2017年秋季学期新版新人教版八年级数学上学期12.3、角的平分线的性质课件71
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人教版数学八年级上册角平分线的性质课件
对应边相等）
C
条射线AE,AE就是角平分线， 角平分线上的点到角的两边的距离相等
角平分线上的点到角的两边的距离相等
人教版你八年级能数学说(上) 明它的道理吗?
E
1、明确命题的已知和求证
角的平分线上的点到角的两边的距离
.
证明：∵OC平分∠ AOB （已知）
A
2、证明：
在△ACD和△ACB中
AD=AB（已知）
D
将点A放在角的顶点 ,AB和AD 1、如图，在△ABC中， ∠ 1=∠2 ，且BD＝CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.
如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？
B
沿 着 角 的 两 边 放 下 , 沿 AC 画 一 ∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的
定理的作用:证明线段相等。
长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，
交ＯＢ于Ｎ．
A
２．分别以Ｍ，Ｎ为
圆心．大于 1 ＭＮ的长为 2
Ｃ
Ｍ
半径作弧．两弧在∠AOB的
内部交于Ｃ．
３．作射线OC．
Ｂ
Ｎ
Ｏ
则射线ＯＣ即为所求．
探索并证明角的平分线性质；
3、经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。
OP=OP （公共边）
C
活 动 2 （2）点在该平分线上；
O
∴PD=PE.
A D
P
B E
角平分线的性质
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
定理应用所具备的条件：
（1）角的平分线； （2）点在该平分线上； O （3）垂直距离。
定理的作用： 证明线段相等。
D
A
C P
E B
人教版八年级数学上课件：12.3.1 角的平分线的性质
3.作射线OC.
则射线OC就是∠AOB的平分线. 请你说明OC为什么是∠AOB的平分线,并与 同伴进行交流.
A C
NB
想一想： 为什么OC是角平分线呢？
已知：OM=ON，MC=NC。
求证：OC平分∠AOB。
A
证明：在△OMC和△ONC中，
Ｍ
OM=ON，
Ｃ
MC=NC，
OC=OC，
∴ △OMC≌ △ONC（SSＢS） Ｎ
定理：角的平分线上的点到角的
两边的距离相等
A
D
几何语言：
∵OP是∠BOA的平分线
P
PD⊥OA，PE⊥OB O
∴PD=PE(角的平分线上的点
E
B
到角的两边的距离相等)
练习一
下列两图中，能表示角的平分线上的一点P到 角的边上的距离的是（ A ）
M
P A
N
P A
A
B
练习二
如图，OC平分∠AOB，CD⊥AO于D，CE⊥OB
C
∴EB=EC （角平分线上的点到这个角的两边 的距离相等）
在R t∆ABE和R t∆ACE中
AE=AE
BE=CE
R t∆ABE ≌R t∆ACE(HL)，A∴B=AC
试一试 如图，已知△ABC中， AD平分∠BAC，且BD=CD， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，∠B与∠C相 等吗？为什么？
E
A
解: DE与DC相等.
D
∵BD平分∠ABC， B
C
且DE⊥AB，DC ⊥ BC，
∴DE=DC
理由：角的平分线上的点
到这个角的两边距离相等.
B
练习5：如图，点E是∠BAC平分线
人教版八年级数学上册教学课件-12.3 角的平分线的性质
2.△ABC中, ∠C=900,AD平分∠ CAB,
且BC=8,BD=5,则点D到AB的距离
是3 。
C
D
A
E
B
总体升华
• 通过本节课的学习你有什么收获？
拓展提升
A E
C
B
D
在△ABC中，AC⊥BC，AD为
∠BAC的平分线，DE⊥AB，AB
＝7㎝，AC＝3㎝，求BE的长。
作业布置：
1、P50 练习题第一题、P51页习题12.3第一题 2、练习册
再见
12.3角平分线的性质
要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁 路距离相等且离公路，铁路的交叉处５００ 米，应建在何处？（比例尺 1：50 000）
Ｏ
公路
铁路
Ｓ
自主学习
1、如图：
∵ OC是∠AOB的平分线，
O
∴ ∠AOC= ∠BOC= 1/2∠AOB
2、如图所示：PD⊥OA于点D,
PE⊥OB于点E,点P到OA的距
D
PD ⊥OA ，PE ⊥OB
P
∴PD=PE.
1
O
2
B
E
证明几何命题的一般步骤：
1、明确命题的已知和求证
2、根据题意，画出图形，并用数学符号表示 已知和求证；
3、经过分析，找出由已知推出求证的途径， 写出证明过程。
巩固新知
Ｏ
公路
铁路
Ｓ
解：设要截取的长度为Ｘm,则：
X
1
500 50000
解得：Ｘ＝0.01m ＝1cm
Ｃ
证明：在△OMC和△ONC中，
Ｏ
∴ △OMC≌ △ONC（SSS）
∴∠MOC=∠NOC
人教版中学数学八年级上册 角的平分线的性质 课件PPT
ＢG
21
随堂训练
4、如图，已知AD∥BC，P是∠BAD与 ∠ABC的平分线 的交点，PE⊥AB于E，且PE=3，求AD与BC之间的距 解离：、过点P作MN⊥AD于点M，交BC于点N、
∵ AD∥BC，∴ MN⊥BC，MN的长即为 AD与BC之间的距离、
∵ AP平分∠BAD, PM⊥AD , PE⊥AB，
∠ PDO＝∠PEO, ∠ AOC＝∠BOC, OP=OP, ∴ △PDO≌△PEO（AAS）,
∴ PD＝PE、
知识讲解
方法归纳
一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以 按照类似的步骤进行，即 1、明确命题中的已知和求证； 2、根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证； 3、经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写 出证明过程、
A M
C
NB
请你说明OC为什么是∠AOB 的平分线,并与同伴进行交流、提示：连接CM,CN
、
7
知识讲解
思考：角平分线有什么性质呢？
如图，OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点、
1、 操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作 PD⊥OA，PE ⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长、
⊥OA ，PE⊥OB，垂足分别是D、E、
A
求证：PD=PE、
D
P
C
O
B
E
知识讲解
已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD
A
⊥OA ，PE⊥OB，垂足分别是D、E、
求证：PD=PE、
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB,
D
P
C
∴ ∠PDO= ∠PEO= 90°、
O
在△ PDO和△ PEO中,
(人教版)八年级数学上册：12.3《角的平分线的性质》ppt课件(1)
公路
铁路
Ｓ
练习1：如图，△ＡＢＣ的∠Ｂ的外角的平
分线ＢＤ与∠Ｃ的外角的平分线ＣＥ相交于 点Ｐ．求证：点Ｐ到三边ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ 所在直线的距离相等． Ｄ
Ｃ F H
Ｐ
Ｂ G
Ｅ
Ａ
练习2： 如图,求作一点P,使PC=PD,
并且点P到∠AOB的两边的距离相等.
B
D●
C● O A
知识拓展
如图，在△ABC中， A AC=BC，∠C=90°， AD是△ABC的角平分线， DE⊥AB，垂足为E。 （1）已知CD=4cm，求 AC的长； C （2）求证：AB=AC+CD
E
A D E B C O A D C
P
B
思考：
如图所示OC是∠AOB 的平分线,P 是OC上任 意一点,问PE=PD?为什 么?
E A O P C
D
B
PD,PE没有垂直OA,OB,它们不是角 平分线上任一点这个角两边的距离, 所以不一定相等直
思考：要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到
公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉 处５００米，应建在何处？（比例尺 1：20 000） Ｏ
A
即点P到边AB、BC、
CA的距离相等 想一想，点P在∠A 的 平分线上吗？这 说明三角形的三条角平分线有什么关系？ B D
N P M
F
C
E
畅 谈 收 获
知识应用
1、在Rt△ABC中，BD是角平分线，DE⊥AB， 垂足为E，DE与DC相等吗？为什么？ 2 、 如 图 ,OC 是 ∠ AOB 的 平 分 线 , 点 P 在 OC 上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是 D、E,PD=4cm,则 ， PE=__________cm.
铁路
Ｓ
练习1：如图，△ＡＢＣ的∠Ｂ的外角的平
分线ＢＤ与∠Ｃ的外角的平分线ＣＥ相交于 点Ｐ．求证：点Ｐ到三边ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ 所在直线的距离相等． Ｄ
Ｃ F H
Ｐ
Ｂ G
Ｅ
Ａ
练习2： 如图,求作一点P,使PC=PD,
并且点P到∠AOB的两边的距离相等.
B
D●
C● O A
知识拓展
如图，在△ABC中， A AC=BC，∠C=90°， AD是△ABC的角平分线， DE⊥AB，垂足为E。 （1）已知CD=4cm，求 AC的长； C （2）求证：AB=AC+CD
E
A D E B C O A D C
P
B
思考：
如图所示OC是∠AOB 的平分线,P 是OC上任 意一点,问PE=PD?为什 么?
E A O P C
D
B
PD,PE没有垂直OA,OB,它们不是角 平分线上任一点这个角两边的距离, 所以不一定相等直
思考：要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到
公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉 处５００米，应建在何处？（比例尺 1：20 000） Ｏ
A
即点P到边AB、BC、
CA的距离相等 想一想，点P在∠A 的 平分线上吗？这 说明三角形的三条角平分线有什么关系？ B D
N P M
F
C
E
畅 谈 收 获
知识应用
1、在Rt△ABC中，BD是角平分线，DE⊥AB， 垂足为E，DE与DC相等吗？为什么？ 2 、 如 图 ,OC 是 ∠ AOB 的 平 分 线 , 点 P 在 OC 上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是 D、E,PD=4cm,则 ， PE=__________cm.
人教版 初中数学八年级上册 12.3.1角的平分线的性质(共17张PPT)
∴DE=DC
∵ CD:BD=4:5 ∴ 设CD=4x,BD=5x
E
又∵BC=27 ∴4x+5x =27
B
C D
解得 x=3
∴CD=12cm
∴DE=12cm
答：点D到AB的距离为12cm。
活 动 2 实践操作、探索新知
例：如图所示，已知在△ABC中∠C=90 °， AD平分∠BAC.
变式1:若BE=4cm，BC=10cm，求△ BDE的周长？
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
活 动 2 实践操作、探索新知
证猜明想：角平分线上的点到角两边的距离相等
已知：如图所示，OC平分∠AOB，点P在OC上， PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E。
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/8/302021/8/302021/8/302021/8/308/30/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年8月30日星期一2021/8/302021/8/302021/8/30 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年8月2021/8/302021/8/302021/8/308/30/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/8/302021/8/30August 30, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/8/302021/8/302021/8/302021/8/30
人教版八年级数学上册 《角的平分线的性质》全等三角形PPT(第1课时)
1 2
BD的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就
找不到角的平分线． 2．若分别以B、D为圆心，大于
1 2
的BD长为半径画两弧，两弧的交点可能
在∠MAN的内部，也可能在∠MAN的外部，而我们要找的是∠MAN内部
的交点，否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠MAN的平分线了．
3．角的平分线是一条射线．它不是线段，也不是直线，所以第二步中的两个限制
【思路点拨】由BD平分∠ABC，可得 DC=DE, AD+DE=AD+DC=AC.
第十五页，共二十三页。
同学乙的画法是正确的．
同学甲画的是过角平分线上一点画角平分线的垂线，而
不是过角平分线上一点作两边的垂线段，所以他的画法
不符合要求．
第九页，共二十三页。
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
探究二：角的平分线的性质 活动2 问题1：如何用文字语言叙述所画图形的性质？
角平分线上的点到角的两边的距离相等．
探究三：用角的平分线的性质解决简单问题
活动1 例1 (3)如图, △ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，
CD＝2cm，则点D到AB的距离为 2 cm．
【思路点拨】过D作AB的垂线段DE,垂足为E,由BD 平分∠ABC，可得DC=DE=2.
E
练习：如图, △ABC中，∠C＝90°，BD平分 ∠ABC，DE⊥7 AB，垂足为点E，AC=7cm， 则AD+DE= cm.
折痕分别表示什么？你能得出什么结论？
OC表示∠AOB的角平分线，PD和PE分别表示P到OA和 OB的距离，P到角两边的距离相等（PD=PE）
第八页，共二十三页。
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
12.3 角的平分线的性质(第2课时)课件 (新版)人教版八年级上
12.3 角的平分线的性质
（第2课时）
知识回顾
1.前面我们学习了角的平分线的 性质，你能复述吗？它有什么作用？
2.你能总结画角平分线的方法吗？
角的平分线的性质: 角的平分线上的点到角的两边的距离相等
用数学语言表述： ∵ OC是∠AOB的平分线 PD⊥OA，PE⊥OB ∴ PD＝PE
A
D
O 1 2 E B P C
小结：用角的平分线的性质可证两条 线段相等；用本节所学知识可判定一 个点是否在一个角的平分线上。
利用结论，解决问题
练一练 1. 如图，为了促进当 地旅游发展，某地要在 三条公路围成的一块平 地上修建一个度假村.要 使这个度假村到三条公 路的距离相等,应在何处 修建?
想一想
在确定度假村的位置时,一定要画 出三个角的平分线吗?你是怎样思考 的?你是如何证明的?
A
N B P M C
想一想，点P在 ∠A的平分线上 吗？这说明三角 形的三条角平分 线有什么关系？
巩固练习 如图，△ABC的∠ABC的外角的平 分线BD与∠ACB的外角的平分线CE相 交于点P.求证：点P到三边AB，BC， CA所在直线的距离相等.
C A B P D
E
想一想，点P在 ∠A的平分线上 吗？
用数学语言表示为： ∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE． ∴点Q在∠AOB的平分线上． 角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上 ∴ QD＝QE
知识应用
例 如图，△ABC的角的平分线 BM，CN相交于点P.求证：点P到三边 AB，BC,现要建 一个货物中转站,要求它到三条公路的距 离相等,则可供选择的地址有( ). A.一处 B.两处 C.三处 D.四处
（第2课时）
知识回顾
1.前面我们学习了角的平分线的 性质，你能复述吗？它有什么作用？
2.你能总结画角平分线的方法吗？
角的平分线的性质: 角的平分线上的点到角的两边的距离相等
用数学语言表述： ∵ OC是∠AOB的平分线 PD⊥OA，PE⊥OB ∴ PD＝PE
A
D
O 1 2 E B P C
小结：用角的平分线的性质可证两条 线段相等；用本节所学知识可判定一 个点是否在一个角的平分线上。
利用结论，解决问题
练一练 1. 如图，为了促进当 地旅游发展，某地要在 三条公路围成的一块平 地上修建一个度假村.要 使这个度假村到三条公 路的距离相等,应在何处 修建?
想一想
在确定度假村的位置时,一定要画 出三个角的平分线吗?你是怎样思考 的?你是如何证明的?
A
N B P M C
想一想，点P在 ∠A的平分线上 吗？这说明三角 形的三条角平分 线有什么关系？
巩固练习 如图，△ABC的∠ABC的外角的平 分线BD与∠ACB的外角的平分线CE相 交于点P.求证：点P到三边AB，BC， CA所在直线的距离相等.
C A B P D
E
想一想，点P在 ∠A的平分线上 吗？
用数学语言表示为： ∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE． ∴点Q在∠AOB的平分线上． 角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上 ∴ QD＝QE
知识应用
例 如图，△ABC的角的平分线 BM，CN相交于点P.求证：点P到三边 AB，BC,现要建 一个货物中转站,要求它到三条公路的距 离相等,则可供选择的地址有( ). A.一处 B.两处 C.三处 D.四处
人教版八年级上册数学课件：角的平分线的性质
动脑筋
如图1-29， 已知EF⊥CD，EF⊥AB，MN⊥AC，M 是EF 的中点. 需添加一个什么条件， 就可使CM，AM 分别为∠ACD和∠CAB的平分线呢？
人 教 版 八 年 级上册 数学课 件：角 的平分 线的性 质
图1-29
人 教 版 八 年 级上册 数学课 件：角 的平分 线的性 质
可以添加条件MN =ME （或MN =MF）. ∵ ME⊥CD， MN⊥CA， ∴ M在∠ACD的平分线上，即CM是∠ACD的平分线. 同理可得AM是∠CAB的平分线.
铁路
X
1
500 20000
ＳＡ
解得：Ｘ＝0.025m ＝2.5cm
则点Ａ即为所求的点
拓展思维：若把在Ｓ区去掉，有几处A点
人 教 版 八 年 级上册 数学课 件：角 的平分 线的性 质
人 教 版 八 年 级上册 数学课 件：角 的平分 线的性 质
练习
1. 如图，在直线MN上求作一点P ，使点P到∠AOB两边 的距离相等.
练习3 如图,求作一点P,使PC=PD,并
且点P到∠AOB的两边的距离相等.
B
D●
C●
O
A
人 教 版 八 年 级上册 数学课 件：角 的平分 线的性 质
人 教 版 八 年 级上册 数学课 件：角 的平分 线的性 质
练习
1. 如图，E 是∠AOB 的平分线上一点，EC⊥OA 于 点C，ED⊥OB 于点D. 求证：（1）∠ECD=∠EDC； （2）OC=OD.
角平分线是从一个角的顶点出发，把这个 角分成两个相等的角的射线..
感悟实践经验，用尺规作角的平分线
下图是一个平分角的仪器，其中AB =AD， BC =DC，将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两 边放下，沿AC 画一条射线AE，AE 就是∠DAB 的平分
如图1-29， 已知EF⊥CD，EF⊥AB，MN⊥AC，M 是EF 的中点. 需添加一个什么条件， 就可使CM，AM 分别为∠ACD和∠CAB的平分线呢？
人 教 版 八 年 级上册 数学课 件：角 的平分 线的性 质
图1-29
人 教 版 八 年 级上册 数学课 件：角 的平分 线的性 质
可以添加条件MN =ME （或MN =MF）. ∵ ME⊥CD， MN⊥CA， ∴ M在∠ACD的平分线上，即CM是∠ACD的平分线. 同理可得AM是∠CAB的平分线.
铁路
X
1
500 20000
ＳＡ
解得：Ｘ＝0.025m ＝2.5cm
则点Ａ即为所求的点
拓展思维：若把在Ｓ区去掉，有几处A点
人 教 版 八 年 级上册 数学课 件：角 的平分 线的性 质
人 教 版 八 年 级上册 数学课 件：角 的平分 线的性 质
练习
1. 如图，在直线MN上求作一点P ，使点P到∠AOB两边 的距离相等.
练习3 如图,求作一点P,使PC=PD,并
且点P到∠AOB的两边的距离相等.
B
D●
C●
O
A
人 教 版 八 年 级上册 数学课 件：角 的平分 线的性 质
人 教 版 八 年 级上册 数学课 件：角 的平分 线的性 质
练习
1. 如图，E 是∠AOB 的平分线上一点，EC⊥OA 于 点C，ED⊥OB 于点D. 求证：（1）∠ECD=∠EDC； （2）OC=OD.
角平分线是从一个角的顶点出发，把这个 角分成两个相等的角的射线..
感悟实践经验，用尺规作角的平分线
下图是一个平分角的仪器，其中AB =AD， BC =DC，将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两 边放下，沿AC 画一条射线AE，AE 就是∠DAB 的平分
人教版八年级上册数学123角的平分线的性质优秀课件
OP=OP（公共边），
O
P
PD= PE（已知 ），
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）.
E B
∴∠AOP=∠BOP （全等三角形的对应角相等）.
∴点P在∠AOB的平分线上.
探究新知
判定定理：
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 应用所具备的条件：
（1）位置关系：点在角的内部； （2）数量关系：该点到角两边的距离相等.
BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边
放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线，你能
说明它的道理吗?
A
其依据是SSS，两全等三角形的 对应角相等.
D
B
(E)C
探究新知
【思考】如果没有此仪器，我们用数学作图做 请大家找到用尺规作角的平分线的方法，并说明
第一课时
角的平分线的性质
导入新知
下图是一个平分角的仪器，其中AB= AD，BC=DC. 将点A放在角的顶点，AB和AD 沿着角的两边放下，沿 AC画一条射线AE，AE 就是这个角的平分线，你能说
A
明它的道理吗？
D
B
C E
素养目标
3. 熟练地运用角平分线的性质解决实际 问题. 2. 探究并认知角平分线的性质.
P在∠AOB的平分线上．
3
2．如图，AB∥CD，点P到AB，BC，CD的距离相等，则
点P是 ∠ABC的平分线与 ∠BCD 的平分线的交点．
探究新知
知识点 2 三角形的内角平分线
分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现 了什么？
发现：三角形的三条角平分线相交于一点.
探究新知 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一
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三边AB，BC，CA所在直线的距离相等.
（来自教材）
角的平分线的性质与判定定理的关系： (1)都与距离有关，即垂直的条件都应具备． (2)点在角的平分线上 相等．
性质 判定定理
点到这个角两边的距离
(3)性质反映只要是角的平分线上的点，到角两边的距离就
一定相等；判定定理反映只要是到角两边距离相等的点， 都应在角的平分线上．
必做：
1.请你完成教材P51T3、P52T7.
2.补充: 请完成《典中点》剩余部分习题
（来自《点拨》）
知1－讲
【例1】 如图，BE＝CF，DF⊥AC于点F，DE⊥AB于 点E，BF和CE相交于点D.
求证：AD平分∠BAC. 导引：要证AD平分∠BAC，已知
条件中有两个垂直，即有 点到角的两边的距离，再证这两个距离相等即 可证明结论，证这两条垂线段相等，可通过证 明△BDE和△CDF全等来完成．
（来自教材）
知2－讲
探究思考：
想一想，点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形
得三条角平分线有什么关系？
（来自教材）
知2－讲
总 结
三角形得角平分线的交点到三边的距离相等， 这个交点叫作三角形的内心.
（来自《点拨》）
知2－练
1
到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的( A．三条中线的交点
)
B．三条角平分线的交点
)
D．组成∠E的平分线所在的直线(E点除外)
（来自《典中点》）
知2－讲
知识点
2
三角形的角平分线
如图，△ABC的角平分线BM， CN相交于点P.求证：点P到 三边AB，BC， CA的距离相等. 证明：过点P作PD，PE，PF分别垂
直于 AB，BC, CA，垂足分别
为D, E，F. ∵ BM是△ABC的角平分线，点P在BM上， ∴ PD=PE. 同理PE=PF. ∴ PD=PE=PF. 即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
第十二章 全等三角形
12.3
角的平分线的性质
第2课时
角的平分线 的判定
1
课堂讲解 课时流程
逐点 导讲练
角平分线的判定 三角形的角平分线
2
课堂 小结
作业 提升
如图，要在S区建一个集贸市场， 使它到公路、 铁路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处500 m.
这个集贸市场应建于何处 (比例尺为1:20 000)?
（来自教材）
知1－导
知识点
1
角平分线的判定
角平分线的性质为：角的平分线上的点到
角的两边距离相等.
交换上述已知和结论，你能得到什么结论， 这个新结论正确吗？
知1－讲
判定方法：角的内部到角的两边的距离相等的点在角 的平分线上． 书写格式：如图，∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE, ∴点P在∠AOB的平分线上(或∠AOC＝∠BOC)．
（来自《典中点》）
知1－练
3
如图，在CD上求一点P，使它到边OA，OB的距 离相等，则点P是( )
A．线段CD的中点
B．CD与过点O作CD的 垂线的交点 C．CD与∠AOB的平分线的交点 D．以上均不对
（来自《典中点》）
知1－练
4
如图，在△ABC中，分别与∠ABC，∠ACB相邻的
外角的平分线相交于点F，连接AF，则下列结论正
确的是( )
A．AF平分BC B．AF平分∠BAC C．AF⊥BC D．以上结论都正确
（来自《典中点》）
知1－练
5
(2015•永州)如图，在四边形ABCD中，AB＝CD， BA和CD的延长线交于点E，若点P使得S△PAB＝
S△PCD，则满足此条件的点P(
A．有且只有1个 B．有且只有2个 C．组成∠E的平分线
（来自教材）
知1－讲
证明：∵DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E， ∴∠DEB＝∠DFC＝90°.
在△BDE和△CDF中，
∠BDE＝∠CDF ∠DEB＝∠DFC
BE＝CF
∴△BDE≌△CDF(AAS)， ∴DE＝DF.
又∵DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，
∴AD平分∠BAC.
（来自《点拨》）
C．三条高的交点 D．以上均不对
（来自教材）
知2－练
2
如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为40， 50，60，其三条角平分线交于点O，则
S△ABO∶S△BCO∶S△CAO＝________________.
（来自《典中点》）
知2－练
3
如图，△ABC的∠ABC的外角的平分线BD与
∠ACB的外角的平分线CE相 交于点P.求证：点P到
知1－讲
总 结
证明角平分线的“两种方法”
(1)定义法：应用角平分线的定义.
(2)定理法：应用“到角两边距离相等的点在角的平分线 上”来判定 . 判定角平分线时，需要满足两个条件：
“垂直”和“相等”.
知1－练
1 2
解决课时导入提出的问题. 在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB 两边距离相等的点应是( A．点M B．点N ) C．点P D．点Q
（来自教材）
角的平分线的性质与判定定理的关系： (1)都与距离有关，即垂直的条件都应具备． (2)点在角的平分线上 相等．
性质 判定定理
点到这个角两边的距离
(3)性质反映只要是角的平分线上的点，到角两边的距离就
一定相等；判定定理反映只要是到角两边距离相等的点， 都应在角的平分线上．
必做：
1.请你完成教材P51T3、P52T7.
2.补充: 请完成《典中点》剩余部分习题
（来自《点拨》）
知1－讲
【例1】 如图，BE＝CF，DF⊥AC于点F，DE⊥AB于 点E，BF和CE相交于点D.
求证：AD平分∠BAC. 导引：要证AD平分∠BAC，已知
条件中有两个垂直，即有 点到角的两边的距离，再证这两个距离相等即 可证明结论，证这两条垂线段相等，可通过证 明△BDE和△CDF全等来完成．
（来自教材）
知2－讲
探究思考：
想一想，点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形
得三条角平分线有什么关系？
（来自教材）
知2－讲
总 结
三角形得角平分线的交点到三边的距离相等， 这个交点叫作三角形的内心.
（来自《点拨》）
知2－练
1
到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的( A．三条中线的交点
)
B．三条角平分线的交点
)
D．组成∠E的平分线所在的直线(E点除外)
（来自《典中点》）
知2－讲
知识点
2
三角形的角平分线
如图，△ABC的角平分线BM， CN相交于点P.求证：点P到 三边AB，BC， CA的距离相等. 证明：过点P作PD，PE，PF分别垂
直于 AB，BC, CA，垂足分别
为D, E，F. ∵ BM是△ABC的角平分线，点P在BM上， ∴ PD=PE. 同理PE=PF. ∴ PD=PE=PF. 即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
第十二章 全等三角形
12.3
角的平分线的性质
第2课时
角的平分线 的判定
1
课堂讲解 课时流程
逐点 导讲练
角平分线的判定 三角形的角平分线
2
课堂 小结
作业 提升
如图，要在S区建一个集贸市场， 使它到公路、 铁路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处500 m.
这个集贸市场应建于何处 (比例尺为1:20 000)?
（来自教材）
知1－导
知识点
1
角平分线的判定
角平分线的性质为：角的平分线上的点到
角的两边距离相等.
交换上述已知和结论，你能得到什么结论， 这个新结论正确吗？
知1－讲
判定方法：角的内部到角的两边的距离相等的点在角 的平分线上． 书写格式：如图，∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE, ∴点P在∠AOB的平分线上(或∠AOC＝∠BOC)．
（来自《典中点》）
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3
如图，在CD上求一点P，使它到边OA，OB的距 离相等，则点P是( )
A．线段CD的中点
B．CD与过点O作CD的 垂线的交点 C．CD与∠AOB的平分线的交点 D．以上均不对
（来自《典中点》）
知1－练
4
如图，在△ABC中，分别与∠ABC，∠ACB相邻的
外角的平分线相交于点F，连接AF，则下列结论正
确的是( )
A．AF平分BC B．AF平分∠BAC C．AF⊥BC D．以上结论都正确
（来自《典中点》）
知1－练
5
(2015•永州)如图，在四边形ABCD中，AB＝CD， BA和CD的延长线交于点E，若点P使得S△PAB＝
S△PCD，则满足此条件的点P(
A．有且只有1个 B．有且只有2个 C．组成∠E的平分线
（来自教材）
知1－讲
证明：∵DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E， ∴∠DEB＝∠DFC＝90°.
在△BDE和△CDF中，
∠BDE＝∠CDF ∠DEB＝∠DFC
BE＝CF
∴△BDE≌△CDF(AAS)， ∴DE＝DF.
又∵DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，
∴AD平分∠BAC.
（来自《点拨》）
C．三条高的交点 D．以上均不对
（来自教材）
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2
如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为40， 50，60，其三条角平分线交于点O，则
S△ABO∶S△BCO∶S△CAO＝________________.
（来自《典中点》）
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3
如图，△ABC的∠ABC的外角的平分线BD与
∠ACB的外角的平分线CE相 交于点P.求证：点P到
知1－讲
总 结
证明角平分线的“两种方法”
(1)定义法：应用角平分线的定义.
(2)定理法：应用“到角两边距离相等的点在角的平分线 上”来判定 . 判定角平分线时，需要满足两个条件：
“垂直”和“相等”.
知1－练
1 2
解决课时导入提出的问题. 在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB 两边距离相等的点应是( A．点M B．点N ) C．点P D．点Q