知识讲解_《导数及其应用》全章复习与巩固(提高)(理)

《导数及其应用》全章复习与巩固【学习目标】1. 会利用导数解决曲线的切线的问题.2. 会利用导数解决函数的单调性等有关问题.3. 会利用导数解决函数的极值、最值等有关问题.4. 能通过运用导数这一工具解决生活中的一些优化问题：例如利润最大、用料最省、效率最高等问题【知识网络】【要点梳理】要点一：有关切线问题直线与曲线相切，我们要抓住三点：①切点在切线上；②切点在曲线上；③切线斜率等于曲线在切点处的导数值.要点诠释：通过以上三点可以看出，抓住切点是解决此类题的关键，有切点直接求，无切点则设切点，布列方程组.要点二：有关函数单调性的问题设函数()y f x =在区间（a ，b ）内可导，（1）如果恒有'()0f x >，则函数()f x 在（a ，b ）内为增函数； （2）如果恒有'()0f x <，则函数()f x 在（a ，b ）内为减函数； （3）如果恒有'()0f x =，则函数()f x 在（a ，b ）内为常数函数. 要点诠释：（1）若函数()f x 在区间（a ，b ）内单调递增，则'()0f x ≥，若函数()f x 在（a ，b ）内单调递减，则'()0f x ≤.（2）'()0f x ≥或'()0f x ≤恒成立，求参数值的范围的方法： ① 分离参数法：()m g x ≥或()m g x ≤.② 若不能隔离参数，就是求含参函数(,)f x m 的最小值min (,)f x m ，使min (,)0f x m ≥. （或是求含参函数(,)f x m 的最大值max (,)f x m ，使max (,)0f x m ≤） 要点三：函数极值、最值的问题 函数极值的问题（1）确定函数的定义域； （2）求导数)(x f '； （3）求方程0)(='x f 的根；（4）检查'()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法) 要点诠释： ①先求出定义域②一般都要列表：然后看在每个根附近导数符号的变化：若由正变负，则该点为极大值点； 若由负变正，则该点为极小值点.注意：无定义的点不用在表中列出③根据表格给出结论：注意一定指出在哪取得极值. 函数最值的问题若函数()y f x =在闭区间],[b a 有定义，在开区间(,)a b 内有导数，则求函数()y f x =在],[b a 上的最大值和最小值的步骤如下：（1）求函数)(x f 在),(b a 内的导数)(x f '； （2）求方程0)(='x f 在),(b a 内的根；（3）求在),(b a 内所有使0)(='x f 的的点的函数值和)(x f 在闭区间端点处的函数值)(a f ，)(b f ； （4）比较上面所求的值，其中最大者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最大值，最小者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最小值.要点诠释：①求函数的最值时，不需要对导数为0的点讨论其是极大还是极小值，只需将导数为0的点和端点的函数值进行比较即可.②若)(x f 在开区间),(b a 内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）值. 要点四：优化问题在实际生活中用料最省、利润最大、效率最高等问题，常常可以归结为函数的最大值问题，从而可用导数来解决.我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具，导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题.利用导数解决实际问题中的最值的一般步骤：(1) 分析实际问题中各量之间的关系，找出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式()y f x =；(2) 求函数的导数'()f x ，解方程'()0f x =；(3) 比较函数在区间端点和极值点的函数值大小，最大(小)者为最大(小)值． 要点诠释：①解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系.再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．利用导数解决优化问题的基本思路：②得出变量之间的关系()y f x =后，必须由实际意义确定自变量x 的取值范围；③在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f ′(x )＝0的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值．④在求实际问题的最大(小)值时，一定要注意考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去． 要点五：定积分的概念如果函数=()y f x 在区间[]a b ，上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间[]a b ，等分成n 个小区间，在每个小区间[]1,i i x x -上取点()1,2,,i i n =ξ，作和式：11()()nnn i i i i b aS f x f n==-=∆=∑∑ξξ．当n →+∞时，上述和式n S 无限趋近于常数，那么称该常数为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记作：()baf x dx ⎰，即+1()lim()nbi an i b af x dx f n →∞=-=∑⎰ξ．要点诠释： （1）定积分()baf x dx ⎰是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时），记为()baf x dx ⎰，而不是n S ． (2) 定积分是一个数值（极限值），它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即()()()bbbaaaf x dx f u du f t dt ===⎰⎰⎰（称为积分形式的不变性），另外定积分()()baf x d x ⎰与积分区间[a ，b ]息息相关，不同的积分区间，定积分的积分上下限不同，所得的值也就不同，例如120(1)x dx +⎰与320(1)x dx +⎰的值就不同．要点六：定积分的几何意义从几何上看，如果在区间[],a b 上函数()f x 连续且恒有()0f x ≥，那么定积分()baf x dx ⎰表示由直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x =所围成的曲边梯形(如图a 中的阴影部分)的面积.要点诠释：（1）当()0f x ≤时，由()y f x =、x =a 、x =b 与x 轴所围成的曲边梯形位于x 轴的下方，积分()d baf x x⎰在几何上表示上述曲边梯形面积的相反数（负数）．所以[()]d ()b baaS f x x f x S =-=-=-⎰⎰，即()d baf x x S =-⎰，如图（b ）． （2）当()f x 在区间[a ，b ]上有正有负时，积分()d baf x x ⎰在几何上表示几个小曲边梯形面积的代数和（x 轴上方面积取正号，x 轴下方面积取负号）．在如图（c ）所示的图象中，定积分132()d baf x x S S S =+-⎰．要点七：定积分的运算性质 性质1：()d ()bba ak f x x k f x kS ==⎰⎰；性质2：[()g()]d ()g()d bb ba aaf x x x f x x x ±=±⎰⎰⎰；性质3：定积分关于积分区间具有可加性。

如右图：()d ()d ()d bcbaacf x x f x x f x x =+⎰⎰⎰（其中a c b <<）性质4． 设()f x 在[a ，b ]上连续： ①当()f x 是奇函数，()0aa f x dx -=⎰；②当()f x 是偶函数，0()2()aaaf x dx f x dx -=⎰⎰．要点八：求定积分的基本方法 ①定义法（极限观点）一般步骤：分割，近似代替，求和，取极限． ②公式法（微积分基本定理）微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）：如果'()()F x f x =，且()f x 在[a ，b ]上可积，则()d ()()baf x x F b F a =-⎰．③利用定积分的几何意义，转化为规则图形（如三角形、四边形、圆等）的面积． ④利用奇（偶）函数在对称区间上的性质（要点三运算性质4）。

要点诠释：对于这几种计算定积分的方法，要合理的利用：一般先看积分区间[a ，b ]，如果是对称区间，就利用对称区间上积分的性质来化简（方法④），接着分析被积函数()f x 的特点，如果是有理函数，就利用微积分基本定理计算（方法②），如果是无理函数，则利用定积分的几何意义计算（方法③）．而利用定积分的定义求积分()d baf x x ⎰的值时，除了几个特殊的情况需要求积分比较困难，一般很少用．要点九：定积分的应用 平面图形的面积求平面图形的面积，主要是利用定积分的几何意义，借助图形直观，把平面图形进行适当的分割，从而把求平面图形面积的问题转化为求曲边梯形面积的问题． 不分割型图形的面积由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上、下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可． 求由曲线围成图形面积的一般步骤： (1)根据题意画出图形；(2)找出范围，确定积分上、下限（联立()y f x =与()g y x =，解方程组得()x a b a b =<，）； (3)确定被积函数（上曲线-下曲线：()()g f x x -）； (4)将面积用定积分表示（()()d baf xg x x -⎡⎤⎣⎦⎰）； (5)用微积分基本定理计算定积分，求出结果．分割型图形面积的求解由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间位于上方和下方的曲线不同时，这种图形的面积如何求呢？要将所求的曲面面积分割成几个不分割图形面积的形式． 求分割型图形面积的一般步骤： （1）根据题意画出图形；（2）先求出曲线的不同的交点横坐标，将积分区间细化； （3）确定相应区间的被积函数（上曲线-下曲线）；（4）将各细分区间的不分割平面图形的面积分别用定积分表示，则所求图形面积表示为若干定积分和的形式；（5）利用微积分基本定理计算定积分得出结果． 简单旋转体的体积旋转体可以看作是由连续曲线()y f x ＝、直线=x a 、x b =及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周而成的几何体，如圆锥体、圆柱体、圆台、球体等．利用定积分也可以求出一些简单的旋转体的体积，体积公式为()2d b aV f x x π⎡⎤⎣⎦⎰＝． 【典型例题】类型一： 利用导数解决有关切线问题例1．若直线y kx =与曲线3232y x x x =-+相切，试求k 的值．【思路点拨】当切点未知时，应先设出切点.． 【解析】设y kx =与3232y x x x =-+相切于00(,)P x y则00y kx =①3200032y x x x =-+，②又2'362y x x =-+ ∴0200'|362x x k y x x ===-+，③ 由①②③得：（200362x x -+）0x ＝3200032x x x -+，即200(23)0x x -=∴00302x x ==或，∴124k k ==-或. 【总结升华】当切点未知时，要先设切点，然后根据直线与曲线相切的三个关系列方程组，从而求得参数值.举一反三：【变式】 已知曲线3)(23+++=x x x x f 在1-=x 处的切线恰好与抛物线px y 22=)0(>p 相切，求抛物线方程和抛物线上的切点坐标．【答案】,2)1(=-f ∴曲线)(x f y =上的切点为A(－1,2).123)(2++='x x x f ,∴2)1(=-'f ,∴切线方程为)1(22+=-x y ，即42+=x y .设抛物线上的切点为),(00y x B ,显然抛物线上的切点在抛物线的上半支，抛物线上半支的方程为px y 2=,则xp y 22=', ∴2220=='=x p y x x ,得08x p = (1)又∵点Ｂ在切线上，∴42200+=x px （2） 由(1)(2)求得2,160==x p ，∴80=y . 故抛物线方程为x y 322=,切点为(2,8). 类型二： 利用导数解决有关函数单调性的问题 【高清课堂：导数的应用综合 370878 例题3】例2.已知函数f (x )=2ln(1)2kx x x +-+ (k ≥0).(Ⅰ)当k =2时，求曲线y =f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (Ⅱ)求f (x )的单调区间.【思路点拨】(Ⅱ)求出导数(1)'()1x kx k f x x+-=+后，主要根据(1)x kx k +-的正负进行分类讨论.【解析】（I ）当2k =时，2()ln(1)f x x x x =+-+，1'()121f x x x=-++ 由于(1)ln 2f =，3'(1)2f =，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 3ln 2(1)2y x -=- 即 322ln 230x y -+-=（II ）(1)'()1x kx k f x x+-=+，(1,)x ∈-+∞.当0k =时，'()1xf x x=-+.所以，在区间(1,0)-上，'()0f x >；在区间(0,)+∞上，'()0f x <. 故()f x 得单调递增区间是(1,0)-，单调递减区间是(0,)+∞.当01k <<时，由(1)'()01x kx k f x x +-==+，得10x =，210kx k-=>所以，在区间(1,0)-和1(,)k k -+∞上，'()0f x >；在区间1(0,)kk-上，'()0f x <故()f x 得单调递增区间是(1,0)-和1(,)k k -+∞，单调递减区间是1(0,)kk-. 当1k =时，2'()1x f x x=+故()f x 得单调递增区间是(1,)-+∞.当1k >时，(1)'()01x kx k f x x +-==+，得11(1,0)kx k -=∈-，20x =.所以在区间1(1,)k k --和(0,)+∞上，'()0f x >；在区间1(,0)kk -上，'()0f x < 故()f x 得单调递增区间是1(1,)k k --和(0,)+∞，单调递减区间是1(,0)kk- 【总结升华】（1）解决此类题目，关键是解不等式'()0f x ≥或'()0f x ≤，若'()f x 中含有参数，须分类讨论. （2）特别应注意，在求解过程中应先写出函数的定义域.举一反三：【高清课堂：导数的应用综合 370878 例题1】 【变式1】函数()2sin 2=-xf x x 的图象大致是（ ）A B C D 【答案】C首先易判断函数为奇函数，排除A ，求导后解导数大于零可得周期性区间，从而排除B 、D,故选C. 【变式2】(2014 江西)已知函数f(x)＝(x 2＋bx ＋b)x 21- (b ∈R)(1)当b ＝4时，求f(x)的极值；(2)若f(x)在区间(0，31)上单调递增，求b 的取值范围．【答案】(1)当b ＝4时，f(x)＝(x 2＋4x+4)x 21-＝()⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-+212122x x x )，则()()()()()()xx x x x x x x f 21252·2121·22122212-+-=--++-+='-．由f′(x)＝0，得x ＝－2或x ＝0．当x ＜－2时，f′(x)＜0，f(x)在(－∞，－2)上为减函数． 当－2＜x ＜0时，f′(x)＞0，f(x)在(－2，0)上为增函数． 当0＜x ＜21时，f′(x)＜0，f(x)在(0，21)上为减函数． ∴当x ＝－2时，f(x)取极小值为0．当x ＝0时，f(x)取极大值为4； (2)由f(x)＝(x 2＋bx+b)x 21-，得：()()()()().212352·2121·2122212xx bx x x b bx x x b x x f -+--=--+++-+='-由f(x)在区间(0，31)上单调递增，得f′(x)≥0对任意x ∈(0，31)恒成立．即－5x 2－3bx+2x ≥0对任意x ∈(0，31)恒成立．∴352x b -≤对任意x ∈(0，31)恒成立． ∵9133152352＝＞⨯--x ． ∴91≤b ． ∴b 的取值范围是⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-91,．类型三：利用导数解决函数极值、最值的问题例3. 设e e x ax x f x()1()(2-⋅-+=为自然对数的底，a 为常数且R x a ∈<,0），)(x f 取极小值时，求x的值.【思路点拨】求导后可采用求根法求出极值点，再结合函数图象讨论增减性以确定极值.【解析】)1()1()12()(2-⋅⋅-++⋅+='--x x e x ax e ax x f (1)(2)x e ax x -=-⋅+-令210)(或ax x f -=⇒=' （1）0121<<->-a 即当，由表)(,1x f ax 时-=∴取极小值.（2）0)2(21)(,21212≤-⋅⋅-='-==--x e x f a a x 时即当无极值. （3）121-<<-a 即当时，由表2,().x f x ∴=-时取极小值11,0,,()2a x f x a -<<=-综上当时时取极小值，取极小值时时当)(,2,21x f x a -=-<. 【总结升华】1. 导数式含参数时，如何讨论参数范围而确定到数值的正负是解决这类题的难点，一般采用求根法和图像法.2. 列表能比较清楚的看清极值点.3. 写结论时极值点和极大（小）值都要交代清楚. 举一反三：【高清课堂：导数的应用综合 370878 例题2】 【变式1】设函数1()ln (0),3f x x x x =->则()y f x =（ ） A 在区间1(,1),(1,)e e 内均有零点.B 在区间1(,1),(1,)e e内均无零点.C 在区间1(,1)e 内有零点，在区间(1,)e 内无零点.D 在区间1(,1)e内无零点，在区间(1,)e 内有零点.【答案】D由题得xx x x f 33131)`(-=-=，令0)`(>x f 得3>x ；令0)`(<x f 得30<<x ；0)`(=x f 得3=x ，故知函数)(x f 在区间)3,0(上为减函数，在区间),3(+∞为增函数，在点3=x 处有极小值03ln 1<-；又()0131)1(,013,31)1(>+=<-==ee f e e f f ，故选择D. 【变式2】(2015 安徽文)已知函数2()(00)()axf x a r x r =>>+， (1)求f(x)的定义域，并讨论f(x)的单调性； (2)若400ar=，求f(x)在(0，+∞)内的极值。