翻译—线性化系统的自适应控制

线性系统的自适应控制11引言 (2)2精确线性化方法回顾 (3)2.1 基本理论 (3)2.2 最小相位非线性系统 (5)2.2.1 单输入单输出情况 (5)2.2.2 多输入多输出情况 (9)3线性化系统的自适应控制 (10)3.1 SISO系统，相对阶为1 (10)3.2 SISO系统，具有更高的相对阶 (13)3.3 采用静态状态反馈解耦的MIMO系统的自适应控制 (20)4结论 (20)1原文Adaptive Control of Linearizable Systems. S.Shankar Sastry & Alberto Isidori. IEEE Transactions on Automatic Control,1989. 支强，盛晓婷译支强，盛晓婷译线性系统的自适应控制摘要：本文利用状态反馈对最小相位非线性系统进行了输入—输出精确线性化，并给出了一些自适应控制的初步结论。

在消除非线性项的过程中，在该线性化方法中采用参数自适应调节来增强鲁棒性。

本文只讨论了连续时间情形，没有涉及离散时间和采样数据情况。

1 引言总所周知，在一定假设情况下，可以采用状态反馈方法对非线性系统的输入—输出响应线性化。

在很多论文中都或明或暗地指出了这一点，例如Porter[22]，Singh 和Rugh[16]，Freund[17]，Isidori 、Krener 、Gori-Giorgi 和Monaco[18]。

与上述控制策略本质上一致的方法在实际中获得了一些成功的应用，例如飞行控制系统（Meyer 和Cicolani[10]）、机器人刚性机械手控制中的计算扭矩法。

与这些进展同步地，由Brochett[23]首先开展的、若干研究人员参与的一项工作，即输入对状态微分方程的线性化可以通过状态反馈和坐标变换获得。

该问题分别由Jakubczyk 和Respondek[24]、Hunt Su 和Meyer[25]独立解决，前者的方法通常称为输入—输出精确线性化，后者通常称为状态空间线性化方法；如果可以进行输入—输出线性化，那么采用状态空间线性化方法等价于设计输出函数。

该理论已经获得很好的发展和推广（见Isidori[26] 、Isidori[8]，连续系统情形见Claude[4]，离散系统和采样系统情形见Monaco 和Normand-Cyrot[11]，Monaco 、Normand-Cyrot 和Stornelli[12]，Jakubczyk[27]）。

连续系统通常用下式描述1()()pi i i xf xg x u ==+∑ 11()yh x =()p p y h x =其中，nx R ∈，,pu y R ∈，f 、i g 、j h 为光滑函数。

上述方法已经取得了一些应用，但也存在一个重要缺点，即输入—输出的线性化依赖于非线性项的精确消除。

如果非线性项存在建模误差或者不确定性，那就无法做到完全消除非线性项。

本文采用参数自适应控制方法来增强鲁棒性，例如当非线性项中的不确定性可以参数化时，对非线性项可以近似做到精确消除。

有些人也做了这方面的尝试，Marino 和Nicosia[14]、Nicosia 和Tomei[15]使用了高增益、滑模和自适应组合控制策略。

更早的工作可以见Nam 和Arapostathis[13]。

本文的贡献是发展了更通用、直接的控制策略（具体地说来，该方法没有要求条件苛刻的误差和稳定性定理），并应用到一类具体的线性化系统—刚性机械手的控制中（具体细节见Craig,Hsu 和Sastry[5]，提到了在工业机械臂中的应用）。

在这里提到Taylor ，Kokotovic 和Marino[20]同时提出的单输入—单输出全状态线性化系统的自适应控制策略。

本文的方案区别于他们的一点是状态（而不是输入—输出）的线性化；另外，他们考虑了自适应控制方案中的寄生动态特性，并给出了该控制方案对寄生动态特性的鲁棒性，本文并未考虑寄生动态特性。

本篇论文组织如下：II 节回顾了由Byrnes 和Isidori[3]发展的最小相位连续系统的输入线性系统的自适应控制—输出精确线性化方法。

III 节讨论了自适应控制策略及其在机器人机械手控制中的应用。

IV 节给出了该控制策略在离散时间系统和采样系统研究方向的一些建议。

2 精确线性化方法回顾2.1 基本理论通过非线性状态反馈方法可以使很多非线性系统具有线性化的输入—输出特性。

本节回顾了该方法。

考虑如下的单输入—单输出系统()()xf xg x u =+ ()yh x = （2.1）其中，nx R ∈，f 、g 、h 为光滑函数。

y 对时间的导数可以写为f g y L h L hu =+ （2.2）其中，f L h 、g L h 表示h 沿f 、g 方向的Lie 导数。

如果nx R ∀∈，()0g L h x ≠，可以得到形如()()x x v αβ+的控制律为1()f g u L h v L h=+−+ 得到线性化系统yv = (2.3) 如果()0g L h x ≡，对（2.2）式再次求导，得到2()f g f y L h L L h u =+ （2.4）其中，2()f f f L h L L h =，()g f g f L L h L L h =。

如果0,ng f L L h x R ≠∀∈，则有21()f g f u L h v L L h=+−+ 根据（2.4）式，得到线性化系统y v =支强，盛晓婷译更一般地，如果存在最小整数γ，使得当2i γ≤−时，0i g f L L h ≡，并且有1()0g f L L h x γ−≠，n x R ∀∈，那么当11()f g f u L h v L L hγγ−=+−+ （2.5） 时，得到线性化系统()y v γ= （2.6）如果在某些x 点处有10g f L L h γ−=，上述线性化理论将更加复杂，在此处不讨论这种情况。

对于多输入多输出情形，例如p 输入p 输出的非线性系统如下1()()pi i i xf xg x u ==+∑ 11()yh x =()p p y h x = （2.7） 其中，nx R ∈，,pu y R ∈，f 、i g 、j h 为光滑函数。

求j y 对时间的导数，得到1()pj f j gi j i i y L h L h u ==+∑ （2.8）其中，f j L h 表示j h 沿f 方向的Lie 导数，gi j L h 含义同理。

如果()()0gi j L h x ≡，那么（2.8）式中将没有输入项。

定义j γ为使()j jy γ出现输入项的最小整数，即()11()j jj pjf j gi f j i i yL h L L h u γγγ−==+∑ （2.9）中至少有一项对nx R ∀∈，有10j gi f j L L h γ−≠。

定义p p ×的矩阵()A x 如下111111111()()()()()p p p g f gp f g f p gp f p L L h L L h A x L L h L L h γγγγ−−−−⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠（2.10）那么（2.9）式可以写为线性系统的自适应控制11()111()()p p f p p f p L h y u A x u y L h γγγγ⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟=+⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠（2.11）如果()p pA x R×∈为非奇异矩阵，那么状态反馈控制律可以写为1111()()p f f p L h u A x A x v L h γγ−−⎛⎞⎜⎟=−+⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠（2.12）于是得到闭环解耦线性系统1()11()p p p y v v y γγ⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠（2.13）将原系统线性化后，就可以对其进行如模式匹配、极点安置、跟踪等进一步的控制。

（2.12）式通常称为静态状态反馈线性化控制律。

如果（2.10）式定义的()A x 为奇异矩阵，可以通过动态状态反馈进行线性化。

在某些输入前可能要放置积分器，在条件精确已知的情况下Descusse 和Moog[6]利用动态状态反馈实现了系统的线性化。

2.2 最小相位非线性系统此处简要回顾Byrnes 和Isidori[3]发展的最小相位非线性系统相关概念。

2.2.1 单输入单输出情况对于该种情形相关理论很简单。

首先回顾一些定义。

定义：系统（2.1）具有强相对阶γ，如果满足下列条件：2()()()0g g f g f L h x L L h x L L h x γ−===≡ ，1()0g f L L h x γ−≠，n x R ∀∈系统（2.1）具有强相对阶γ，那就意味着输出y 需要求导γ次方程右端才会出现输入项，如（2.5）和（2.6）所示。

如果系统具有强相对阶γ，容易证明对于0nx R ∈，存在0x 的一个邻域0U ，具有映射关系：0:nT U R →。

下面方程支强，盛晓婷译111()()T x z h x == 212()()f T x z L h x ==11()()f T x z L h x γγγ−==与()()0,1i dT x g x i n γ==+为微分同胚。

定义()21Tn z T T γ+= ，（2.1）式可以写为如下正则形式1112zz =1112112(,)(,)zf z zg z z u γ=+ 212(,)z z z ψ= （2.20）11y z = （2.21）在（2.20）方程组中，112(,)()f f z z L h x γ=，1112(,)()g f g z z L L h x γ−=。

如果0x =为平衡点（(0)0f =），同时有(0)0h =，那么下式22(0,)z z ψ= （2.22）称为零动态。

备注：称为零动态，是由于采用状态反馈后动态特性不可观测。

线性状态反馈控制律等价于在系统零点处放置闭环极点，这是不可观测产生的原因。

对于集合{}{}011:()()()0:0f f L x U h x L h x L h x x U z γ−=∈=====∈= ，可以选择下列控制律，使其为常集：1121121((,))(,)u f z z v g z z =−+ （2.23）（2.22）式为该空间的动态特性。

（2.1）式描述的非线性系统为最小相位系统，如果其零动态是渐近稳定的。

备注：正则方程（2.20）、（2.21）式和零动态方程（2.22）式具有局部性，只在0nx R ∈的邻域内成立。

Byrnes 和Isidori[29]最近的工作提出了正则方程全局存在的充分条件。

零动态的全局存在性定义在光滑子流形nR 上线性系统的自适应控制{}1:()()()0n f f L x R h x L h x L h x γ−=∈====定义向量场1()()()()()f g f L h x f x f x g x L L h x γγ−=−，x L ∈（注意，上式之所以是L 的一个向量场，是由于)f x 与L 相切）。