2008年深圳市高三年级第一次调研考试(数学文科)

2008年深圳市高三年级第一次调研考试数学（文科）2008.3一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1. 设集合{1,2}M =，则满足条件{1,2,3,4}M N = 的集合N 的个数是（ ）A ．1B ．3C ．4D ．8 2. 已知命题“若p 则q ”为真，则下列命题中一定为真的是（ ） A ．若p ⌝则q ⌝ B ．若q ⌝则p ⌝ C ．若q 则pD ．若q ⌝则p 3. 若π02α-<<，则点(cos ,sin )Q αα位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4. 在等差数列{}n a 中，已知5710a a +=，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则11S = （ ）A ．45B ．50C ．55D ．605. 如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为 （ ）A ．3π2B ．2πC ．3πD ．4π6. 函数2()2x f x x =-的零点个数是（ ） A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个7. 电流强度I （安）随时间t （秒）变化的函数πsin 6I A t ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0A >，0ω≠）的图像如图所示，则当150t =时，电流强度是 （ ）A ．5-安B ．5安 C．安 D ．10安8. 若函数()23k kh x x x =-+在(1,)+∞上是增函数，则实数k 的取值范围是 （ ）A ．[2,)-+∞B ．[2,)+∞C ．(,2]-∞-D ．(,2]-∞9. 甲、乙两人各抛掷一次正方体骰子（它们的六个面分别标有数字1,2,3,4,5,6），设甲、乙所抛掷骰子朝上的面的点数分别为x 、y ，则满足复数i x y +的实部大于虚部的概率是（ ）A ．16B ．512C ．712D ．1310. 在xOy 平面上，横坐标与纵坐标均为整数的点称为整点．对任意n *∈N ，连接原点O 与点(,4)n P n n -，用()g n 表示线段n OP 上除端点外的整点个数，则(2008)g = （ ） A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共20分．其中第13题前一空2分，后一空3分；第14、15两小题是选做题，考生只能选做一题，若两题都做，则只以第14题的得分为最后得分．11. 已知||3u = ，||4v =，以u 与v 同向，则u v ⋅= ．12. 准线方程为2x =的抛物线的标准方程是 ．13. 图（1）、（2）、（3）、（4）分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第n 个图形包含()f n 个“福娃迎迎”，则(5)f = ；()(1)f n f n --= ．（答案用数字或n 的解析式表示）14. （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线π3θ=（ρ∈R ）与圆4cos ρθ=+θ交于A 、B 两点，则AB = ．15. 如图，从圆O 外一点A 引圆的切线AD 和割线ABC ，已知AD =6AC =，圆O的半径为3，则圆心O 到AC 的距离为 ．D三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （本小题满分12分）在ABC ∆中，已知3AC =，sin cos A A += （Ⅰ）求sin A 的值；（Ⅱ）若ABC ∆的面积3S =，求BC 的值．[]17. （本小题满分12分）如图是以正方形ABCD 为底面的正四棱柱被一平面所截得的几何体，四边形EFGH 为 截面，且AB AD a ==，BF DH b ==．（Ⅰ）证明：截面四边形EFGH 是菱形； （Ⅱ）求三棱锥F ABH -的体积．C某旅游商品生产企业，2007年某商品生产的投入成本为1元/件，出厂价为流程图的输 出结果p 元/件，年销售量为10000件，因2008年国家长假的调整，此企业为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每件投入成本增加的比例为x （01x <<），则出厂价相应提高的比例为0.75x ，同时预计销售量增加的比例为0.8x ．已知得利润=（出厂价-投入成本）⨯年销售量．（Ⅰ）写出2008年预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；（Ⅱ）为使2008年的年利润比2007年有所增加，问：投入成本增加的比例x 应在什么范围内？19. （本小题满分14分）已知椭圆E 的焦点在x 轴上，长轴长为4． （Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）已知点(0,1)A 和直线l ：y x m =+，线段AB 是椭圆E 的一条弦且直线l 垂直平 分弦AB ，求实数m 的值．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，其中0n a ≠，1a 为常数，且1a -、n S 、1n a +成等差数列． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设1n n b S =-，问：是否存在1a ，使数列{}n b 为等比数列？若存在，求出1a 的值； 若不存在，请说明理由．21. （本小题满分14分）已知抛物线21()4f x ax bx =++与直线y x =相切于点(1,1)A ． （Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）若对任意[1,9]x ∈，不等式()f x t x -≤恒成立，求实数t 的取值范围．2008年深圳市高三年级第一次调研考试数学（文科）参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，有且只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共20分．其中第13题前一空2分，后一空3分；第14、15两小题是选做题，考生只能选做一题，若两题都做，则只以第14题的得分为最后得分． 11．12 12．28y x =-13．41，4(1)n -14．815三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16. 解：（Ⅰ）由πsin cos 4A A A ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭得πsin 14A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由此及0πA <<，即ππ5π444A <+< 得ππ42A +=，故π4A =；（Ⅱ）由1sin 32S bc A ===得c =，由此及余弦定理得2222cos 98235a b c bc A =+-=+-⨯⨯=，故a17. 解：（Ⅰ）证明：因为平面ABEF ∥平面CDHG ，且平面EFGH 分别交平面ABFE 、 平面CDHG 于直线EF 、GH ，所以EF ∥GH ．同理，FG ∥EH ．因此，四边形EFGH 为平行四边形． (1)因为BD AC ⊥，而AC 为EG 在底面ABCD 上的射影，所以EG BD ⊥． 因为BF D H =，所以FH ∥BD ． 因此，FH EG ⊥． (2)由（1）、（2）可知：四边形EFGH 是菱形；（Ⅱ）因为DA ⊥平面ABFE ，HD ∥AE ，所以H 到平面ABF 的距离为DA a =．于是，由等体积法得所求体积211113326F ABH H ABF ABF V V S DA ab a a b --∆==⋅⋅=⨯⨯=．18. 解：（Ⅰ）由流程图可知： 1.2p =．依题意，得[1.2(10.75)1(1)]10000(10.8)y x x x =⨯+-⨯+⨯⨯+28006002000x x =-++（01x <<）；（Ⅱ）要保证2008年的利润比2007年有所增加，当且仅当(1.21)1000001y x >-⨯⎧⎨<<⎩，即2800600001x x x ⎧-+>⎨<<⎩． 解之得304x <<． 19. 解：（Ⅰ）2214x y +=； （Ⅱ）由条件可得直线AB 的方程为1y x =-+．于是，有22218580514B y x x x x x y =-+⎧⎪⇒-=⇒=⎨+=⎪⎩，315B B y x =-+=-．设弦AB 的中点为M ，则由中点坐标公式得45M x =，15M y =，由此及点M 在直线l 得 143555m m =+⇒=-． 20. 解：（Ⅰ）依题意，得112n n S a a +=-．于是，当2n ≥时，有 21.111122n n n n S a a S a a +-=-⎧⎨=-⎩． 两式相减，得13n n a a +=（2n ≥）． 又因为211123a S a a =+=，0n a ≠，所以数列{}n a 是首项为1a 、公比为3的等比数列．因此，113n n a a -=⋅（n *∈N ）；（Ⅱ）因为111(13)1131322n n n a S a a -==⋅--，所以 111111322n n n b S a a =-=+-⋅．要使{}n b 为等比数列，当且仅当11102a +=，即12a =-．22. 解：（Ⅰ）依题意，有1(1)1144(1)21f a b a f a b ⎧=++=⎪⇒=⎨⎪'=+=⎩，12b =． 因此，()f x 的解析式为21()2x f x +⎛⎫= ⎪⎝⎭；（Ⅱ）由()f x t x -≤（19x ≤≤）得212x t x -+⎛⎫≤ ⎪⎝⎭（19x ≤≤），解之得221)1)t ≤≤（19x ≤≤）由此可得2min 1)]4t ≤=且2max 1)]4t ≥=，所以实数t 的取值范围是{|4}t t =．。