高考数学深化复习 命题热点提分专题21坐标系与参数方程理

专题21 坐标系与参数方程1．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的正半轴重合，直线l 的极坐标方程为ρsin (θ－π6)＝12，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos α，y ＝2sin α.(1)写出直线l 的直角坐标方程；(2)求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值．解：(1)∵ρsin (θ－π6)＝12，∴ρ(32sin θ－12cos θ)＝12，∴32y －12x ＝12，即x －3y ＋1＝0.故直线l 的直角坐标方程是x －3y ＋1＝0. (2)方法一：由已知可得，曲线C 上的点的坐标为(2＋2cos α，2sin α)，∴曲线C 上的点到直线l 的距离d ＝|2＋2cos α－2 3sin α＋1|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4cos （α＋π3）＋32≤72，故最大距离是72. 方法二：曲线C 是以(2，0)为圆心，以2为半径的圆，圆心到直线l 的距离为32，∴最大距离为32＋2＝72.2．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2cos α，y ＝－4＋2sin α(α为参数)．(1)以原点为极点、x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 的极坐标方程； (2)已知A(－2，0)，B(0，2)，圆C 上任意一点M(x ，y)，求△ABM 面积的最大值．解：(1)圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2cos α，y ＝－4＋2sin α(α为参数)，所以其普通方程为(x －3)2＋(y ＋4)2＝4，所以圆C 的极坐标方程为ρ2－6ρcos θ＋8ρsin θ＋21＝0.(2)点M(x ，y)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|2cos α－2sin α＋9|2，故△ABM 的面积S ＝12×|AB|×d＝|2cos α－2sin α＋9|＝|2 2sin (π4－α)＋9|，所以△ABM 面积的最大值为9＋2 2.3．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋12t ，y ＝32t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ. (1)将直线l 的参数方程化为极坐标方程；(2)求直线l 和曲线C 交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ<2π)．解：(1)将直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋12t ，y ＝32t(t 为参数)消去参数t ，化为普通方程3x －y －2 3＝0，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入3x －y －2 3＝0，得3ρcos θ－ρsin θ－2 3＝0.4．已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ－4sin θ.以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝－1＋t sin α(t 为参数)．(1)判断直线l 与曲线C 的位置关系，并说明理由；(2)若直线l 和曲线C 相交于A ，B 两点，且|AB|＝3 2，求直线l 的斜率． 解：(1)∵ρ＝2cos θ－4sin θ，∴ρ2＝2ρcos θ－4ρsin θ， ∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x －4y ， 即(x －1)2＋(y ＋2)2＝5.∵直线l 过点(1，－1)，且该点与圆心间的距离为（1－1）2＋（－1＋2）2<5，∴直线l 与曲线C 相交． (2)方法一：当直线l 的斜率不存在时，直线l 过圆心(1，－2)，|AB|＝2 5≠3 2， 则直线l 的斜率必存在，设其方程为y ＋1＝k(x －1)，即kx －y －k －1＝0， 圆心(1，－2)到直线l 的距离d ＝1k 2＋1＝（5）2－（3 22）2＝22，解得k ＝±1，∴直线l 的斜率为±1.方法二：将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝－1＋t sin α代入(x －1)2＋(y ＋2)2＝5，得(t cos α)2＋(1＋t sin α)2＝5， 整理得t 2＋2sin α·t－4＝0.设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－2sin α，t 1t 2＝－4， 则|AB|＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝4sin 2α＋16＝3 2， ∵α为直线l 的倾斜角，∴sin α＝22(舍去负值)，则α＝π4或3π4，∴直线l 的斜率为±1. 5．已知点P 的直角坐标是(x ，y)，以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．设点P 的极坐标是(ρ，θ)，点Q 的极坐标是(ρ，θ＋θ0)，其中θ0是常数．设点Q 的直角坐标是(m ，n)．(1)用x ，y ，θ0表示m ，n ；(2)若m ，n 满足mn ＝1，且θ0＝π4，求点P 的直角坐标(x ，y)满足的方程．解：(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ和⎩⎪⎨⎪⎧m ＝ρcos （θ＋θ0），n ＝ρsin （θ＋θ0）， 即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝ρcos θcos θ0－ρsin θsin θ0，n ＝ρsin θcos θ0＋ρcos θsin θ0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝x cos θ0－y sin θ0，n ＝x sin θ0＋y cos θ0.(2)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m ＝22x －22y ，n ＝22x ＋22y ，所以(22x －22y)(22x ＋22y)＝1， 整理得x 22－y22＝1.6．已知平面直角坐标系xOy ，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，并取相同的长度单位建立极坐标系．点M 的直角坐标为(－1，0)，曲线C 的极坐标方程为ρ＝8cos θ1－cos 2θ.(1)求点M 的极坐标(ρ>0，0≤θ<2π)和曲线C 的直角坐标方程；(2)过点M 的直线l 与曲线C 相交于不同的两点A ，B ，若MA →＝2MB →，求直线l 的参数方程． 解：(1)点M 的极坐标为(1，π)．由ρ＝8cos θ1－cos 2θ，得ρ(1－cos 2θ)＝8cos θ，即ρ·2sin 2θ＝8cos θ，即ρ2sin 2θ＝4ρcos θ，即y 2＝4x ，故曲线C 的直角坐标方程为y 2＝4x.7.在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C 1的极坐标方程为ρ2＝21＋sin 2θ，直线l 的极坐标方程为ρ＝42sin θ＋cos θ. (1)写出曲线C 1与直线l 的直角坐标方程；(2)设Q 为曲线C 1上一动点，求Q 点到直线l 距离的最小值．解：(1)由ρ2＝21＋sin 2θ，得ρ2(cos 2θ＋2sin 2θ)＝2，所以x 22＋y 2＝1；ρ＝42sin θ＋cos θ，即ρcos θ＋2ρsin θ＝4，所以x ＋2y ＝4.所以曲线C 1的直角坐标方程为x 22＋y 2＝1，直线l 的直角坐标方程为x ＋2y －4＝0.(2)设Q(2cos θ，sin θ)，则点Q 到直线l 的距离d ＝|2sin θ＋2cos θ－4|3＝|2sin （θ＋π4）－4|3≥23＝2 33.当且仅当θ＋π4＝2k π＋π2(k ∈Z)，即θ＝2k π＋π4(k ∈Z)时取等号，所以Q 点到直线l 距离的最小值为2 33. 8、在直角坐标系xOy 中，l 是过定点P(4，2)且倾斜角为α的直线；在极坐标系(以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，取相同单位长度)中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)若曲线C 与直线l 相交于不同的两点M ，N ，求|PM|＋|PN|的取值范围． 解：(1)∵ρ＝4cos θ，∴ρ2＝4ρcos θ， ∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x.(2)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)，代入C ：x 2＋y 2＝4x ，得t 2＋4(sin α＋cos α)t ＋4＝0，设点M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2则有⎩⎪⎨⎪⎧t 1·t 2＝4，t 1＋t 2＝－4（sin α＋cos α），Δ＝16（sin α＋cos α）2－16>0，∴sin α·cos α>0，又α∈[0，π)，所以α∈(0，π2)，所以t 1<0，t 2<0，而|PM|＋|PN|＝|t 1|＋|t 2|＝－t 1－t 2＝4(sin α＋cos α)＝4 2sin (α＋π4)．∵α∈(0，π2)，∴α＋π4∈(π4，34π)，∴22<sin (α＋π4)≤1，∴|PM|＋|PN|的取值范围为(4，4 2]．9、已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－32t ，y ＝3＋12t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin (θ－π6)．(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)若P(x ，y)是直线l 与圆面ρ≤4sin (θ－π6)的公共点，求3x ＋y 的取值范围．解：(1)因为圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin (θ－π6)，所以ρ2＝4ρsin (θ－π6)＝4ρ(32sin θ－12cos θ)．又ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以x 2＋y 2＝2 3y －2x ，所以圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2x －2 3y ＝0. (2)方法一：设z ＝3x ＋y ，由圆C 的方程x 2＋y 2＋2x －2 3y ＝0⇒(x ＋1)2＋(y －3)2＝4， 所以圆C 的圆心是(－1，3)，半径是2，。