12.1(2)曲线和方程(每四两题)
曲线和方程练习题集.doc
曲线和方程练习题集.曲线与方程一、选择题1．已知两定点A(1,1)，B(－1，－1)，动点P满足·＝，则点P的轨迹是()A．圆B．椭圆C．双曲线D．拋物线解析设点P(x，y)，则＝(1－x,1－y)，＝(－1－x，－1－y)，所以·＝(1－x)(－1－x)＋(1－y)(－1－y)＝x2＋y2－2.由已知x2＋y2－2＝，即＋＝1，所以点P的轨迹为椭圆．答案B2．已知点F，直线l：x＝－，点B是l上的动点．若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是()．A．双曲线B．椭圆C．圆D．抛物线解析由已知：|MF|＝|MB|.由抛物线定义知，点M的轨迹是以F为焦点，l 为准线的抛物线，故选D.答案D3．长为3的线段AB的端点A、B 分别在x轴、y轴上移动，＝2，则点C的轨迹是()A．线段B．圆C．椭圆D．双曲线解析设C(x，y)，A(a,0)，B(0，b)，则a2＋b2＝9，①又＝2，所以(x－a，y)＝2(－x，b－y)，即②代入①式整理可得x2＋＝1.答案C4．设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为()．A.－＝1 B.＋＝1C.－＝1 D.＋＝1解析M为AQ垂直平分线上一点，则|AM|＝|MQ|，∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，故M的轨迹为椭圆，∴a＝，c＝1，则b2＝a2－c2＝，∴椭圆的标准方程为＋＝1.答案D5．已知二面角α－l－β的平面角为θ，点P在二面角内，PA⊥α，PB⊥β，A，B为垂足，且PA＝4，PB＝5，设A，B到棱l的距离分别为x，y，当θ变化时，点(x，y)的轨迹方程是()A．x2－y2＝9(x≥0)B．x2－y2＝9(x≥0，y≥0)C．y2－x2＝9(y≥0)D．y2－x2＝9(x≥0，y≥0)解析实际上就是求x，y所满足的一个等式，设平面PAB与二面角的棱的交点是C，则AC＝x，BC＝y，在两个直角三角形Rt△PAC，Rt△PBC中其斜边相等，根据勾股定理即可得到x，y所满足的关系式．如图，x2＋42＝y2＋52，即x2－y2＝9(x≥0，y≥0)．答案B6．△ABC的顶点A(－5,0)、B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C 的轨迹方程是()A.－＝1 B.－＝1C.－＝1(x3) D.－＝1(x4)解析如图|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为－＝1(x3)．答案C7．|y|－1＝-一、选择题1．已知两定点A(1,1)，B(－1，－1)，动点P满足·＝，则点P的轨迹是()A．圆B．椭圆C．双曲线D．拋物线解析设点P(x，y)，则＝(1－x,1－y)，＝(－1－x，－1－y)，所以·＝(1－x)(－1－x)＋(1－y)(－1－y)＝x2＋y2－2.由已知x2＋y2－2＝，即＋＝1，所以点P的轨迹为椭圆．答案B2．已知点F，直线l：x＝－，点B是l上的动点．若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是()．A．双曲线B．椭圆C．圆D．抛物线解析由已知：|MF|＝|MB|.由抛物线定义知，点M的轨迹是以F为焦点，l 为准线的抛物线，故选D.答案D3．长为3的线段AB的端点A、B分别在x轴、y轴上移动，＝2，则点C的轨迹是()A．线段B．圆C．椭圆D．双曲线解析设C(x，y)，A(a,0)，B(0，b)，则a2＋b2＝9，①又＝2，所以(x－a，y)＝2(－x，b－y)，即②代入①式整理可得x2＋＝1.答案C4．设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为()．A.－＝1 B.＋＝1C.－＝1 D.＋＝1解析M为AQ垂直平分线上一点，则|AM|＝|MQ|，∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，故M的轨迹为椭圆，∴a＝，c＝1，则b2＝a2－c2＝，∴椭圆的标准方程为＋＝1.答案D5．已知二面角α－l－β的平面角为θ，点P在二面角内，PA⊥α，PB⊥β，A，B为垂足，且PA＝4，PB＝5，设A，B到棱l的距离分别为x，y，当θ变化时，点(x，y)的轨迹方程是()A．x2－y2＝9(x≥0)B．x2－y2＝9(x≥0，y≥0)C．y2－x2＝9(y≥0)D．y2－x2＝9(x≥0，y≥0)解析实际上就是求x，y所满足的一个等式，设平面PAB与二面角的棱的交点是C，则AC＝x，BC＝y，在两个直角三角形Rt△PAC，Rt△PBC中其斜边相等，根据勾股定理即可得到x，y所满足的关系式．如图，x2＋42＝y2＋52，即x2－y2＝9(x≥0，y≥0)．答案B6．△ABC的顶点A(－5,0)、B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C 的轨迹方程是()A.－＝1 B.－＝1C.－＝1(x3) D.－＝1(x4)解析如图|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为－＝1(x3)．答案C7．|y|－1＝：y＝－1，过定点F与直线l1相切的动圆的圆心为点C.(1)求动点C的轨迹方程；(2)过点F的直线l2交轨迹于两点P、Q，交直线l1于点R，求·的最小值．解析(1)由题设知点C到点F的距离等于它到l1的距离，∴点C的轨迹是以F为焦点，l1为准线的抛物线，∴动点C的轨迹方程为x2＝4y.(2)由题意知，直线l2方程可设为y＝kx＋1(k≠0)，与抛物线方程联立消去y，得x2－4kx－4＝0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.又易得点R的坐标为，∴·＝·＝＋(kx1＋2)(kx2＋2)＝(1＋k2)x1x2＋(x1＋x2)＋＋4＝－4(1＋k2)＋4k＋＋4＝4＋8.∵k2＋≥2，当且仅当k2＝1时取等号，∴·≥4×2＋8＝16，即·的最小值为16.15．已知双曲线－y2＝1的左、右顶点分别为A1、A2，点P(x1，y1)，Q(x1，－y1)是双曲线上不同的两个动点．(1)求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程；(2)若过点H(0，h)(h＞1)的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点，且l1⊥l2，求h的值．解析(1)由题设知|x1|＞，A1(－，0)，A2(，0)，则有直线A1P的方程为y＝(x＋)，①直线A2Q的方程为y＝(x－)．②联立①②解得交点坐标为x＝，y＝，即x1＝，y1＝，③则x≠0，|x|＜.而点P(x1，y1)在双曲线－y2＝1上，∴－y21＝1.将③代入上式，整理得所求轨迹E的方程为＋y2＝1，x≠0且x≠±.(2)设过点H(0，h)的直线为y＝kx＋h(h＞1)，联立＋y2＝1得(1＋2k2)x2＋4khx＋2h2－2＝0.令Δ＝16k2h2－4(1＋2k2)(2h2－2)＝0得h2－1－2k2＝0，解得k1＝，k2＝－.由于l1⊥l2，则k1k2＝－＝－1，故h＝.过点A1，A2分别引直线l1，l2通过y轴上的点H(0，h)，且使l1⊥l2，因此A1H⊥A2H，由×＝－1，得h＝.此时，l1，l2的方程分别为y＝x＋与y＝－x＋，它们与轨迹E分别仅有一个交点与.所以，符合条件的h的值为或.16．设椭圆方程为x2＋＝1，过点M(0,1)的直线l交椭圆于A，B两点，O为坐标原点，点P满足＝(＋)，点N的坐标为，当直线l绕点M旋转时，求：(1)动点P的轨迹方程；(2)||的最大值，最小值．解析(1)直线l过定点M(0,1)，设其斜率为k，则l的方程为y＝kx＋1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知，A、B的坐标满足方程组消去y得(4＋k2)x2＋2kx－3＝0.则Δ＝4k2＋12(4＋k2)0.∴x1＋x2＝－，x1x2＝.设P(x，y)是AB的中点，则＝(＋)，得消去k得4x2＋y2－y＝0.当斜率k不存在时，AB的中点是坐标原点，也满足这个方程，故P点的轨迹方程为4x2＋y2－y ＝0.(2)由(1)知4x2＋2＝∴－≤x≤而|NP|2＝2＋2＝2＋＝－32＋，∴当x＝－时，||取得最大值，当x＝时，||取得最小值.您好，欢迎您阅读我的文章，本WORD文档可编辑修改，也可以直接打印。
数学课本习题整理(完整版 )
（4）P (-3,-8) L1:2y-7=0
2．已知三角形ABC三个顶点坐标分别为A（2，1）B（5，3）C（-1，5）求三角形ABC，BC边上的高h.
3．已知三角形ABC三个顶点坐标分别为A（1，1）B（9，3）C（2，5）求角BAC的角平分线所在的直线方程。
例4求经过A(1,0) B(3,0) C(2,2)三点的圆的方程.
例5求过点M(2,2 )且与圆 + =4相切的直线的方程.
练习12.2(2)
1.判断下列方程是否表示圆,并说明理由.
(1) + -2x -4y + 6 = 0
(2) + -2x -4y = 0
(3) + -2x -4y + 5 = 0
3．已知直线l：y=ax+2和A（1，4）B（3，1）两点。当l与线段AB相交时，求实数a的取值范围。
4．直线l经过点P（-2，1）且点A（-1,-2)到l的距离等于1，求直线l方程。
12.1曲线和方程
例1已知两点A（-1,1）和B（3，-1），求证：线段AB的垂直平分线ℓ的方程是2x-y-2=0。
例3已知三角形ABC三个顶点坐标分别为A(1,3) B（3，1）C（-1，0），求△ABC面积。
例4已知直线l：y=kx+1与两点A（-1.5）B（4，-2）若直线l与线段AB相交，求k取值范围.
11.4（2）
1．求两条平行线x+y-1=0与2x+2y+1=0得距离
2．已知直线x-y+3平行且距离等于2的直线的方程。
例2造船时,在船体放样中,要画出甲板圆弧线.由于这条圆弧线的半径很大,无法在钢板上用圆规画出,因此需要先求出这条圆弧线的方程,再用描点法画出圆弧线.已知圆弧AB的半径r=29米,圆弧AB所对的弦长l=12米,以米为单位,建立适当的坐标系,并求圆弧AB的方程(答案中的数据精确到0.001米)
12.2.1圆的标准方程(1)
12.1 曲线和方程
12.2 圆的标准方程（1）
一、圆的定义
定义. 到定点的距离等于定长的点的轨迹称为圆, 并称这 个定点为圆心, 定长为半径. 试推导以C(a,b)为圆心, r为半径的圆的方程. y 设 M ( x, y )是所求轨迹上一点, M ( x, y) 2 2 则 | MC | r ( x a) ( y b) r
y
P （0，4）
（-10，0） A
O
x B （10，0）
x2+(y+10.5)2=14.52,（-10≤x≤10,y≥0）
三、圆的应用
变式一：施工队认为跨度远了，准备在中间每隔4m建一根柱子。 试计算中间两根柱子的长度。(精确到0.01m) y
x2+(y+10.5)2=14.52
（-10≤x≤10,y≥0）
( x a)2 ( y b)2 r 2 所求轨迹方程是:
r
C ( a, b)
( x a ) ( y b) r
2 2
2
O
x
圆的标准方程 确定一个圆需要知道哪几个要素？
二、圆的标准方程
例1.写出下列各圆的标准方程： （1）圆心在原点，半径是3； （2）经过点P(5,1)，圆心在点C(8,-3) （3）直径的两个端点为P(3,4)和Q(-5,6) （4）圆心为M(-1,2),且与直线2x-3y-5=0相切. （5）圆心为在x轴上，半径为5，且经过点A(2,-3)
x0 x y0 y r
过圆上一点的直线与圆相切
例2.已知 M ( x0 , y0 ) 为圆 C : x 2 y 2 r 2 上一点.
求: 过这点与圆相切的切线方程. 解: 圆C与l相切圆心与切点连线垂直于l.
12.1(1)曲线的交点
x2(y2)2(y2)2
因为曲线x在轴的上方，所y以 0.虽然原点 O的 坐标(0,0)是这个方程的解，属 但于 不已知曲线，
所以曲线的方程应 y 是1x2(x 0),它的图形 8
是关于y轴对称的抛物线，包 但括 不抛物线的顶点。
.
30
已知 AB的 C 两个A,顶 B的 点坐标分 (5,别 0),(5是 ,0),
y 解：如图，取直线l为x轴，
过点F且垂直于直线l的直线 为y轴，建立坐标系xOy. 设点M(x,y)是曲线上任意
F
M
OB
x
一点，作MB⊥x轴，垂足
为B,那么点M属于集合
P={M︱︱MF︱－︱MB︱=2}
.
29
由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为
x2(y2)2y2
移项后两边平方，得
化简得 y 1x2 8
C 与 y x
1
2
与 y1 x
3
C 与 y 4x2 2
.
22
例3 、证明圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程是
x2+ y2 =25，并判断点Ｍ１（3，－４)、Ｍ2( 2 5 ,2)是
否在这个圆上。
证明：
（１）设M(x0, y0)是圆上任意一点，因为点Ｍ到原点的距离等于５，
所以
x02 y02 5,
数解，因此直线与曲线C没有交点。
思考:这题除了用解方程组的方法外,还有其他方法解吗?
.
9
解题后的思考
例1，例2在解法上的相同之处是什么？
都是把直线方程与曲线方程联立成方程组， 通过消元变成一元二次方程，再通过解方程或 根的判别式来解决问题。
这两题在结果上有什么相同与不同吗？
曲线与方程练习题
课时作业(六)[学业水平层次]一、选择题1．曲线x 2－xy －y 2－3x ＋4y －4＝0与x 轴的交点坐标是( )A ．(4,0)和(－1,0)B ．(4,0)和(－2,0)C ．(4,0)和(1,0)D ．(4,0)和(2,0)【解析】 在曲线x 2－xy －y 2－3x ＋4y －4＝0中，令y ＝0，则x 2－3x －4＝0，∴x ＝－1或x ＝4.∴交点坐标为(－1,0)和(4,0)．【答案】 A2．(2014·临沂高二期末)方程(x 2－4)(y 2－4)＝0表示的图形是( )A ．两条直线B ．四条直线C ．两个点D ．四个点【解析】 由(x 2－4)(y 2－4)＝0得(x ＋2)(x －2)(y ＋2)·(y －2)＝0，所以x ＋2＝0或x －2＝0或y ＋2＝0或y －2＝0，表示四条直线．【答案】 B3．(2014·广西省桂平中学月考)在平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1,2)与动点P (x ，y )满足OP →·OA →＝4，则点P 的轨迹方程是( )A ．x ＋y ＝4B ．2x ＋y ＝4C ．x ＋2y ＝4D ．x ＋2y ＝1【解析】 本题主要考查求曲线的方程．由OP →＝(x ，y )，OA →＝(1,2)得OP →·OA →＝(x ，y )·(1,2)＝x ＋2y ＝4，则x ＋2y ＝4即为所求的轨迹方程，故选C.【答案】 C4．(2014·广东省中山一中期中考试)方程(2x －y ＋2)·x 2＋y 2－1＝0表示的曲线是( )A ．一个点与一条直线B ．两个点C ．两条射线或一个圆D ．两个点或一条直线或一个圆【解析】 本题主要考查曲线与方程的关系．原方程等价于x 2＋y 2－1＝0，即x 2＋y 2＝1，或⎩⎨⎧ 2x －y ＋2＝0，x 2＋y 2－1≥0，故选C.【答案】 C二、填空题5．“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”是“方程f (x ，y )＝0是曲线C 的方程”的________________条件．【解析】 “方程f (x ，y )＝0是曲线C 的方程 ”⇒“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”，反之不成立．【答案】 必要不充分6．方程x －3·(x ＋y ＋1)＝0表示的几何图形是________．【解析】 由方程得⎩⎨⎧ x ＋y ＋1＝0，x －3≥0或x －3＝0，即x ＋y ＋1＝0(x ≥3)或x ＝3.【答案】 一条射线和一条直线7．(2014·广东省华南师大附中月考)已知定点F (1,0)，动点P 在y轴上运动，点M 在x 轴上，且PM →·PF →＝0，延长MP 到点N ，使得|PM→|＝|PN →|，则点N 的轨迹方程是_____________．【解析】 本题综合考查向量的数量积与由曲线求方程．由于|PM→|＝|PN →|，则P 为MN 的中点．设N (x ，y )，则M (－x,0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2，由PM →·PF →＝0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ，－y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－y 2＝0，所以(－x )·1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 2＝0，则y 2＝4x ，即点N 的轨迹方程是y 2＝4x .【答案】 y 2＝4x三、解答题8．(2014·长沙高二检测)如图2-1-1，圆O 1与圆O 2的半径都是1，|O 1O 2|＝4，过动点P 分别作圆O 1、圆O 2的切线PM ，PN (M ，N 分别为切点)，使得|PM |＝2|PN |，试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程．图2-1-1【解】以O1O2的中点为原点，O1O2所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，得O1(－2,0)，O2(2,0)．连结PO1，O1M，PO2，O2N.由已知|PM|＝2|PN|，得|PM|2＝2|PN|2，又在Rt△PO1M中，|PM|2＝|PO1|2－|MO1|2，在Rt△PO2N中，|PN|2＝|PO2|2－|NO2|2，即得|PO1|2－1＝2(|PO2|2－1)．设P(x，y)，则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，化简得(x－6)2＋y2＝33.因此所求动点P的轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33.9．△ABC的三边长分别为|AC|＝3，|BC|＝4，|AB|＝5，点P是△ABC内切圆上一点，求|P A|2＋|PB|2＋|PC|2的最小值与最大值．【解】因为|AB|2＝|AC|2＋|BC|2，所以∠ACB＝90°.以C 为原点O ，CB ，CA 所在直线分别为x 轴、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，由于|AC |＝3，|BC |＝4，得C (0,0)，A (0,3)，B (4,0)．设△ABC 内切圆的圆心为(r ，r )，由△ABC 的面积＝32×4＝32r ＋2r ＋52r ，得r ＝1，于是内切圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1⇒x 2＋y 2＝2x ＋2y －1， 由(x －1)2≤1⇒0≤x ≤2.设P (x ，y )，那么|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＝x 2＋(y －3)2＋(x －4)2＋y 2＋x 2＋y 2＝3(x 2＋y 2)－8x －6y ＋25＝3(2x ＋2y －1)－8x －6y ＋25＝22－2x ，所以当x ＝0时，|P A |2＋|PB |2＋|PC |2取最大值22，当x ＝2时取最小值为18.[能力提升层次]1．到点A (0,0)，B (－3,4)的距离之和为5的轨迹方程是( )A ．y ＝－43x (－3≤x ≤0)B ．y ＝－43x (0≤x ≤4)C ．y ＝－43x (－3≤x ≤4)D ．y ＝－43x (0≤x ≤5)【解析】 本题主要考查曲线方程的概念．注意到|AB |＝5，则满足到点A (0,0)，B (－3,4)的距离之和为5的点必在线段AB 上，因此，方程为y ＝－43x (－3≤x ≤0)，故选A.【答案】 A2．(2014·河南省实验中学月考)已知动点P 到定点(1,0)和定直线x ＝3的距离之和为4，则点P 的轨迹方程为( )A ．y 2＝4xB ．y 2＝－12(x －4)C ．y 2＝4x (x ≥3)或y 2＝－12(x －4)(x <3)D ．y 2＝4x (x ≤3)或y 2＝－12(x －4)(x >3)【解析】 设P (x ，y )，由题意得(x －1)2＋y 2＋|x －3|＝4.若x ≤3，则y 2＝4x ；若x >3，则y 2＝－12(x －4)，故选D.【答案】 D3．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|P A |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于________．【解析】 设动点P (x ，y )，依题意|P A |＝2|PB |， ∴(x ＋2)2＋y 2＝2(x －1)2＋y 2，化简得(x －2)2＋y 2＝4，方程表示半径为2的圆，因此图形的面积S ＝π·22＝4π.【答案】 4π4．过点P (2,4)作两条互相垂直的直线l 1、l 2，若l 1交x 轴于A 点，l 2交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．【解】 法一 设点M 的坐标为(x ，y )，∵M 为线段AB 的中点，∴A 点的坐标为(2x,0)，B 点的坐标为(0,2y )．∵l 1⊥l 2，且l 1、l 2过点P (2,4)，∴P A ⊥PB ，即k P A ·k PB ＝－1，而k P A ＝4－02－2x ＝21－x(x ≠1)， k PB ＝4－2y 2－0＝2－y 1， ∴21－x ·2－y 1＝－1(x ≠1)， 整理得x ＋2y －5＝0(x ≠1)．∵当x ＝1时，A 、B 的坐标分别为(2,0)、(0,4)，∴线段AB 的中点坐标是(1,2)，它满足方程x ＋2y －5＝0.综上所述，点M 的轨迹方程是x ＋2y －5＝0.法二 设点M 的坐标为(x ，y )，则A 、B 两点的坐标分别是(2x,0)、(0,2y )，连结PM .∵l1⊥l2，∴2|PM|＝|AB|.而|PM|＝(x－2)2＋(y－4)2，|AB|＝(2x)2＋(2y)2，∴2(x－2)2＋(y－4)2＝4x2＋4y2，化简得x＋2y－5＝0，即为所求的点M的轨迹方程．。
曲线与方程
曲线与方程本节内容一、曲线与方程一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C （看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程(),0f x y =的实数解建立了如下关系：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线的点．那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线．二、解析几何建立直角坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标(),x y 所满足的方程(),0f x y =表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质．这个方法叫做坐标法．数学中，用坐标法研究几何图形的知识形成的学科叫做解析几何．解析几何研究的主要问题是：（1）根据已知条件，求出表示曲线的方程；（2）通过曲线的方程，研究曲线的性质．三、求曲线的方程第一步：建立适当的直角坐标系，用(),x y 表示曲线上任意一点P 的坐标；第二步：写出满足条件的点P 的集合，用坐标表示该条件，写出方程(),0f x y =；第三步：化简方程（等价变形），并验证．四、求动点轨迹方程的方法（1）直接法直接根据条件建立动点(),P x y 满足的方程(),0f x y =．（2）定义法若动点轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量．（3）待定系数法根据条件能知道曲线方程的类型，可设出其方程形式，再根据条件确定待定系数．（4）代入法(相关点法)动点(),P x y 满足的条件不便用等式列出，但动点随着另一动点而运动．如果另一动点所满足的条件是可求的，这是我们可以用动点坐标来表示其相关点坐标，根据相关点坐标所满足的方程来求出动点(),P x y 的轨迹方程．（5）交轨法求两动曲线交点的轨迹问题时，通常要通过解方程组得出交点坐标（含参），再消去参数求出轨迹方程．该方法常与参数法并用注：①轨迹方程是坐标关系式，是一个方程，有时要在方程后根据需要指明变量的取值范围；轨迹是点的集合，是曲线，是几何图形．②求曲线方程或轨迹方程时，要注意：第一，建立不同的坐标系，同一曲线的方程也不相同；第二，一般地，求哪个点的轨迹方程，就设哪个点的坐标是(),x y ；化简所求的方程(),0f x y =时，一定要注意同解性．如果破坏了同解性，就要剔除不属于轨迹上的点，找回属于轨迹但遗漏的点．五、两曲线的交点两曲线的交点坐标即两曲线的方程所构成的方程组的解．六、曲线的对称性在曲线方程里，如果以y -代y 方程不变，那么当点(),P x y 在曲线上时，它关于x 轴的对称点()',P x y -也在曲线上，所以曲线关于x 轴对称．同理：我们也可以推出满足什么条件，曲线关于y 轴对称，关于原点对称．并且，曲线具有上述三种对称性中的任意两种，那么它一定还具有另一种对称性．想一想这是为什么呢？本节习题题型一 方程表示的曲线1.（1）11x y -=-表示（ ）A ．两条线段B ．两条直线C ．两条射线D ．一条射线一条线段（2）方程111x y -+-=所表示的图形是 ．（3）方程()22140x y x y +-+-=表示的曲线是 ．题型二 曲线的对称性2.曲线(),0f x y =关于直线30x y --=对称的曲线方程是（ ）A ．()3,0f x y -=B ．()3,0f y x +=C ．()3,30f y x -+=D ．()3,30f y x +-=题型三 求轨迹方程3.设圆()22:11C x y -+=，过原点O 作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程．请分别用直接法、 定义法、代入法、参数法来求．4.求到直线20x y -=和20x y -=的距离相等的点的轨迹方程．5.已知动点P 到定点()1,0F 和直线3x =的距离之和等于4，求P 的轨迹方程．6.圆()()22:546C x y -+-=内的一定点()4,3A ，在圆上作弦MN ，使90MAN ∠=，求弦MN 的 中点P 的轨迹方程．7.已知点P 到两个定点()()1,0,1,0M N -距离的比为2，点N 到直线PM 的距离为1．求直线PN 的 方程．8.已知点()3,0P -，点A 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，且0PA AQ ⋅=．点M 在直线AQ 上， 满足32AM MQ =-．当点A 在y 轴上移动时，求动点M 的轨迹C 的方程．9.由P 向圆221x y +=作两条切线,PA PB ，切点分别为,A B ，60APB ∠=，求动点P 的轨迹方程．10.已知1,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，B 是圆221:42F x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭（F 为圆心）上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，求动点P 的轨迹方程．11.已知圆()221:425M x y ++=，圆()222:41M x y -+=，一动圆与这两个圆都外切，求动圆圆心P的轨迹方程．12.动点P 是抛物线221y x =+上任一点，定点为()0,1A -，点M 分PA 所成的比为2，求动点M 的 轨迹方程．13.已知定点()3,0B ，点A 在圆221x y +=上运动，M 是线段AB 上的一点，且13AM MB =，求点M 的轨迹方程．14.过点()1,3P 作两条相互垂直的直线12,l l ，1l 交x 轴于A 点，2l 交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．15.点P 是曲线22412390x y x y ++-+=上的动点，直线10x y -+=是线段PQ 的中垂线，求点Q 的 轨迹方程．课后练习【练1】 若直线y x b =+与曲线234y x x =--有公共点，则b 的取值范围是（ ）A ．1122⎡⎤-+⎣⎦，B ．122122⎡⎤-+⎣⎦，C ．1223⎡⎤-⎣⎦，D ．123⎡⎤-⎣⎦，【练2】 若曲线C 上的点的坐标都是方程(),0f x y =的解，则下面判断正确的是（ ）A ．曲线C 的方程是(),0f x y =B ．以方程(),0f x y =的解为坐标的点都在曲线C 上C ．方程(),0f x y =表示的曲线是CD ．方程(),0f x y =表示的曲线不一定是C【练3】 “点M 在曲线24y x =上”是点M 的坐标满足方程2y x =-的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【练4】 下列命题正确的是（ ）A ．到两坐标轴的距离相等的点组成的直线方程是y x =B ．已知三点()()()2,0,0,2,0,0A BC ，ABC 的边AB 上的中线方程为y x =C ．到两坐标轴的距离的乘积是1的点的轨迹方程是1xy =±D ．到x 轴的距离等于1的点的轨迹方程是1y =【练5】 方程221y x x =-+所表示的曲线是（ ）A ．两条直线B ．两条射线C ．一条直线D ．一条射线【练6】 方程222xy x y x -=所表示的曲线（ ）A ．关于y 轴对称B ．关于0x y +=对称C ．关于原点对称D ．关于0x y -=对称【练7】 21y x =-与曲线y x =的交点个数是______．【练8】 曲线22330y x ++=与曲线22450x y x +--=的交点的个数是_________．【练9】 已知两点551,,4,44M N ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭给出下列曲线方程：①4210x y +-=；②223x y +=；③2212x y +=；④2212x y -=，在曲线上存在点P 满足MP NP =的所有曲线方程是（ ） A ．①③ B ．②④ C ．①②③ D ．②③④【题1】 两条直线10x my --=与10mx y +-=的交点的轨迹方程是 ．【题2】 圆()22:11C x y -+=，过原点O 作圆的弦OA ，则弦的中点M 的轨迹方程是 ． 【题3】 当m 变化时，则抛物线()22211y x m x m =+++-的顶点的轨迹方程为 ．。
12.1.1曲线和方程(1)
PQ QP
则称：方程 F ( x, y ) 0为曲线C的方程; QP 曲线C是方程 F ( x, y ) 0 的曲线. 方程的解与曲线上的点是一一对应的;
辨析： 设曲线C 上的点的集合为 P M | M在曲线C上； 设方程 F x, y 0的解集为Q x, y | F x, y 0 集合 P 与Q 之间存在怎样的关系?
(1)求证： 曲线 C 既关于 x 轴,又关于 y 轴对称；
12.1 曲线与方程
教学小结：
（1）体会曲线与方程关系；
（2）曲线的方程、方程的曲线的定义；
（3）解析几何研究问题的一般方法（思想）
用代数方法，研究几何图形的性质；
12.1 曲线与方程
华罗庚论数形结合：
数与形，本是相倚依； 焉能分作两边飞， 数缺形时少直觉， 形少数时难入微， 数形结合百般好， 隔离分家万事非， 切莫忘， 几何代数统一体， 永远联系，切莫分离。
第十二章 圆锥曲线
11.4 点到直线的距离
12.1 曲线和方程（1）
1. 直线与直线方程； 2. 曲线与曲线方程；
12.1 曲线与方程
复习引入：
怎样的方程表示直线？ 一般地, 形如 ax by c 0 (a,b不全为零)的二元一次方程 表示直线.
曲线和方程练习题
曲线和方程练习题
一、选择题
1、已知，动点满足，则点的轨迹方程是（）
2、若曲线与的交点在曲线上，则值是（）
3、曲线与的交点坐标是（）或或
4、在第四象限内，到原点的距离等于的点的轨迹方程是（）
5、若曲线和有两个交点，则（）
6、曲线与曲线的交点个数是）
7、若直线被曲线截得的线段长为，则的值为（）
8、下列各组方程表示相同曲线的是（）与与与与
9、曲线关于点对称的曲线的方程是（）
10、曲线与曲线（）仅有个交点有个交点最多有个交点可能没有交点
11、曲线围成的区域的面积是（）
12、曲线与曲线的交点个数是（）与值有关
二、填空题
13、已知，若点在曲线上，则____________、
14、曲线与轴的交点坐标是________________________、
15、过曲线和交点的直线方程是__________________、
三、解答题
16、求曲线关于直线对称的曲线的方程、
17、已知曲线是与两定点距离之比为的点的轨迹，求此曲线的方程、
18、已知平面上两定点、，，平面上一动点到、距离之比为，求此动点的轨迹方程、
19、画出下列方程所表示的曲线（1）（2）
20、已知线段的长度为，点在轴上移动，点在轴上移动，求线段的中点的轨迹方程、。
曲线和方程测试卷
曲线和方程测试卷例1 假如命题“坐标满足方程()0=y x f ，的点都在曲线C 上”不正确，那么以下正确的命题是（A ）曲线C 上的点的坐标都满足方程()0=y x f ，．（B ）坐标满足方程()0=y x f ，的点有些在C 上，有些不在C 上． （C ）坐标满足方程()0=y x f ，的点都不在曲线C 上． （D ）一定有不在曲线C 上的点，其坐标满足方程()0=y x f ，．分析：原命题是错误的，即坐标满足方程()0=y x f ，的点不一定都在曲线C 上，易知答案为D ．典型例题二例2 说明过点)1,5(-P 且平行于x 轴的直线l 和方程1=y 所代表的曲线之间的关系． 分析：“曲线和方程”的定义中所列的两个条件正好组成两个集合相等的充要条件，二者缺一不可．其中“曲线上的点的坐标差不多上方程0),(=y x f 的解”，即纯粹性；“以方程的解为坐标的点差不多上曲线上的点”，即完备性．这是我们判定方程是不是指定曲线的方程，曲线是不是所给方程的曲线的准则．解：如下图所示，过点P 且平行于x 轴的直线l 的方程为1-=y ，因而在直线l 上的点的坐标都满足1=y ，因此直线l 上的点都在方程1=y 表示的曲线上．然而以1=y 那个方程的解为坐标的点可不能都在直线l 上，因此方程1=y 不是直线l 的方程，直线l 只是方程1=y 所表示曲线的一部分．说明：本题中曲线上的每一点都满足方程，即满足纯粹性，但以方程的解为坐标的点不都在曲线上，即不满足完备性．典型例题三例3 说明到坐标轴距离相等的点的轨迹与方程x y =所表示的直线之间的关系． 分析：该题应该抓住“纯粹性”和“完备性”来进行分析．解：方程x y =所表示的曲线上每一个点都满足到坐标轴距离相等．然而“到坐标轴距离相等的点的轨迹”上的点不都满足方程x y =，例如点)3,3(-到两坐标轴的距离均为3，但它不满足方程x y =．因此不能说方程x y =确实是所有到坐标轴距离相等的点的轨迹方程，到坐标轴距离相等的点的轨迹也不能说是方程x y =所表示的轨迹．说明：本题中“以方程的解为坐标点都在曲线上”，即满足完备性，而“轨迹上的点的坐标不都满足方程”，即不满足纯粹性．只有两者全符合，方程才能叫曲线的方程，曲线才能叫方程的曲线．典型例题四例 4 曲线4)1(22=-+y x 与直线4)2(+-=x k y 有两个不同的交点，求k 的取值范畴．有一个交点呢？无交点呢？分析：直线与曲线有两个交点、一个交点、无交点，确实是由直线与曲线的方程组成的方程组分别有两个解、一个解和无解，也确实是由两个方程整理出的关于x 的一元二次方程的判别式∆分别满足0>∆、0=∆、0<∆．解：由⎩⎨⎧=-++-=.4)1(,4)2(22y x x k y 得04)23()23(2)1(222=--+-++k x k k x k ∴]4)23)[(1(4)23(42222--+--=∆k k k k)5124(42+--=k k)52)(12(4---=k k∴当0>∆即0)52)(12(<--k k ，即2521<<k 时，直线与曲线有两个不同的交点． 当0=∆即0)52)(12(=--k k ，即21=k 或25=k 时，直线与曲线有一个交点．当0<∆即0)52)(12(>--k k ，即21<k 或25>k 时，直线与曲线没有公共点．说明：在判定直线与曲线的交点个数时，由于直线与曲线的方程组成的方程组解的个数与由两方程联立所整理出的关于x (或y )的一元方程解的个数相同，因此假如上述一元方程是二次的，便可通过判别式来判定直线与曲线的交点个数，但假如是两个二次曲线相遇，两曲线的方程组成的方程组解的个数与由方程组所整理出的一元方程解的个数不一定相同，因此遇到此类问题时，不要盲目套用上例方法，一定要做到具体问题具体分析．典型例题五例5 若曲线x a y =与)0(>+=a a x y 有两个公共点，求实数a 的取值范畴． 分析：将“曲线有两个公共点”转化为“方程有两个不同的解”，从而研究一元二次方程的解的个数问题．若将两条曲线的大致形状现出来，也许可能得到一些启发．解法一：由⎩⎨⎧+==ax y x a y 得：a y a y -=∵0≥y ，∴222)(a y a y -=， 即02)1(4322=+--a y a y a ． 要使上述方程有两个相异的非负实根．则有：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>->->--=∆01120)1(442423246a a a a a a a 又∵0>a∴解之得：1>a ．∴所求实数a 的范畴是),1(∞+．解法二：x a y =的曲线是关于y 轴对称且顶点在原点的折线，而a x y +=表示斜率为1且过点),0(a 的直线，由下图可知，当1≤a 时，折线的右支与直线不相交．因此两曲线只有一个交点，当1>a 时，直线与折线的两支都相交，因此两条直线有两个相异的交点．说明：这类题较好的解法是解法二，即利用数形结合的方法来探求．若题设条件中“0>a ”改为R a ∈呢，请自己探求．典型例题六例 6 已知AOB ∆，其中)0,6(A ，)0,0(O ，)3,0(B ，则角AOB 平分线的方程是x y =(如下图)，对吗？分析：本题要紧考查曲线方程概念把握和明白得的程度，关键是明白得三角形内角平分线是一条线段．解：不对，因为AOB ∆内角平分线是一条线段OC ，而方程x y =的图形是一条直线．如点)8,8(P 坐标适合方程x y =，但点P 不在AOB ∆内角AOB 的平分线上．综合上述内角AOB 平分线为：)20(≤≤=x x y ．说明：判定曲线的方程或方程的曲线，要紧扣定义，两个条件缺一不可，关键是要搞清晰曲线的范畴．典型例题七例7 判定方程122+--=x x y 所表示的曲线．分析：依照方程的表面形式，专门难判定方程的曲线的形状，因此必需先将方程进行等价变形．解：由原方程122+--=x x y 可得：1--=x y ，即⎩⎨⎧<-≥+-=),1(1),1(1x x x x y ∴方程122+--=x x y 的曲线是两条射线，如图所示：说明：判定方程表示的曲线，在化简变形方程时要注意等价变形．如方程21-=-y x等价于2)1(2-=-y x 且1≥x ，即)1(2)1(2≥+-=x x y ，原方程的曲线是抛物线一部分．典型例题八例8 如图所示，已知A 、B 是两个定点，且2=AB ，动点M 到定点A 的距离是4，线段MB 的垂直平分线l 交线段MA 于点P ，求动点P 的轨迹方程．分析：本题第一要建立适当直角坐标系，动点P 满足的条件(等量关系)题设中没有明显给出，要从题意中分析找出等量关系．连结PB ，则PB PM =，由此4==+=+AM PM PA PB PA ，即动点P 到两定点A ，B 距离之和为常数．解：过A ，B 两点的直线为x 轴，A ，B 两点的中点O 为坐标原点，建立直角坐标系 ∵2=AB ，∴A ，B 两点坐标分别为)0,1(-，)0,1(． 连结PB ．∵l 垂直平分线段BM ， ∴PB PM =，4==+=+AM PM PA PB PA ．设点),(y x P ，由两点距离公式得4)1()1(2222=+-+++y x y x ，化简方程，移项两边平方得(移项)x y x -=+-4)1(222．两边再平方移项得：13422=+y x ，即为所求点P 轨迹方程． 说明：通过分析题意利用几何图形的有关性质，找出P 点与两定点A ，B 距离之和为常数4，是解本题的关键．方程化简过程也是专门重要的，且化简过程也保证了等价性．典型例题九例9 过()42，P 点作两条互相垂直的直线1l ，2l ，若1l 交1l 轴于A ，2l 交y 轴于B ，求线段AB 中点M 的轨迹方程．解：连接PM ，设()y x M ，，则()02，x A ，()y B 20，．∵ 21l l ⊥∴ PAB ∆为直角三角形．由直角三角形性质知AB PM 21=即()()2222442142y x y x +=-+- 化简得M 的轨迹方程为052=-+y x说明：本题也能够用勾股定理求解，还能够用斜率关系求解，因此本题可有三种解法．用斜率求解的过程要苦恼一些．典型例题十例10 求与两定点A 、B 满足222k PB PA =-（k 是常数）的动点P 的轨迹方程． 分析：按求曲线方程的方法步骤求解．解法一：如图甲，取两定点A 和B 的连线为x 轴，过AB 的中点且与AB 垂直的直线为y 轴建立坐标系．设)0,(a A -，)0,(a B ，),(y x P ，则：222)(y a x PA ++=，222)(y a x PB +-=．O AxPyB图２M据题意，222k PB PA =-，有[][]22222)()(kya x y a x =+--++得24k ax =．由因此k 常数，且0≠a ，因此ak x 42=为动点的轨迹方程，即动点P 的轨迹是一条平行于y 轴的直线．解法二：如图乙，取A 与B 两点连线为x 轴，过A 点且与AB 垂直的直线为y 轴建立坐标系．设)0,0(A ，)0,(a B ，),(y x P ，则：222y x PA +=，222)(y a x PB +-=．据题意，222k PB PA =-，有()[]22222)(k y a x yx =+--+，得a k a x 222+=，即动点P 的轨迹方程为ak a x 222+=，它是平行于y 轴的一条直线．解法三：如图丙建立坐标系，设),(11y x A ，),(22y x B ，),(y x P ，则21212)()(y y x x PA -+-=，22222)()(y y x x PB -+-=．据题意，222k PB PA =-，有[][]222222121)()()()(k y y x x y y x x =-+---+-，整理后得到点P 的轨迹方程为：0)(2)(22222221211212=---++-+-k y x y x y y y x x x ，它是一条直线．说明：由上面介绍的三种解法，能够看到关于同一条直线，在不同的坐标系中，方程不同，适当建立坐标系如解法一、解法二，得到的方程形式简单、特性明显，一看便知是直线．而解法三得到的方程烦琐、冗长，若以此为基础研究其他问题，会引起不必要的苦恼．因此，在求曲线方程时，依照具体情形适当选取坐标系十分重要．另外，也要注意到本题所求的是轨迹的方程，在作解答表述时应强调曲线的方程，而不是曲线．典型例题十一例11 两直线分别绕着定点A 和B (a AB 2=)在平面内转动，且转动时保持相互垂直，求两直线的交点P 的轨迹方程．分析：建立适当的直角坐标系，利用直角三角形的性质，列出动点所满足的等式． 解：取直线AB 为x 轴，取线段AB 的中点O 为原点建立直角坐标系，则：)0,(a A -，)0,(a B ，P 属于集合{}222ABPB PA P C =+=．设),(y x P ，则22222)2()()(a y a x y a x =+-+++，化简得222a y x =+．这确实是两直线的交点P 的轨迹方程． 说明：本题易显现如下解答错误：取直线AB 为x 轴，取线段AB 的中点O 为原点建立直角坐标系，则：)0,(a A -，)0,(a B ，交点P 属于集合{}{}1-=⋅=⊥=PB PA k k P PB PA P C ．设),(y x P ，则a x y k PA +=)(a x -≠，ax yk PB -=)(a x ≠， 故1-=-⋅+ax ya x y ，即222a y x =+(a x ±≠)． 要明白，当x PA ⊥轴且另一直线与x 轴重合时，仍有两直线互相垂直，现在两直线交点为A ．同样x PB ⊥轴重合时，且另一直线与x 轴仍有两直线互相垂直，现在两直线交点为B ．因而，)0,(a A -与)0,(a B 应为所求方程的解．纠正的方法是：当PA 或PB 的斜率不存在时，即a x ±=时，)0,(a A -和)0,(a B 也在曲线上，故所求的点P 的轨迹方程是222a y x =+．求出曲线上的点所适合的方程后，只是形式上的曲线方程，还必须对以方程的解为坐标的点作考察，既要剔除不适合的部分，也不要遗漏满足条件的部分．典型例题十二例12 如图，ABC Rt ∆的两条直角边长分别为a 和b )(b a >，A 与B 两点分别在x 轴的正半轴和y 轴的正半轴上滑动，求直角顶点C 的轨迹方程．分析：由已知ACB ∠是直角，A 和B 两点在坐标轴上滑动时，AOB ∠也是直角，由平面几何知识，A 、C 、B 、O 四点共圆，则有AOC ABC ∠=∠，这确实是点C 满足的几何条件．由此列出顶点C 的坐标适合的方程．解：设点C 的坐标为),(y x ，连结CO ，由︒=∠=∠90AOB ACB ，因此A 、O 、B 、C 四点共圆．从而ABC AOC ∠=∠．由a b ABC =∠tan ，x y AOC =∠tan ，有a b x y =，即x aby =． 注意到方程表示的是过原点、斜率为ab的一条直线，而题目中的A 与B 均在两坐标轴的正半轴上滑动，由于a 、b 为常数，故C 点的轨迹可不能是一条直线，而是直线的一部分．我们可考察A 与B 两点在坐标轴上的极端位置，确定C 点坐标的范畴．如下图，当点A 与原点重合时，x b a x AB S ABC ⋅+=⋅=∆222121，因此22ba ab x +=．如下图，当点B 与原点重合时，C 点的横坐标BD x =．由射影定理，AB BD BC ⋅=2，即222b a x a +⋅=，有222ba a x +=．由已知b a >，因此22222baa ba ab +<+．故C 点的轨迹方程为：x a b y =（22222ba a xb a ab +≤≤+）． 说明：求出曲线上的点所适合的方程后，只是形式上的曲线方程，还必须对以方程的解为坐标的点作考察，剔除不适合的部分．典型例题十三例13 过点)2,3(P 作两条互相垂直的直线1l 、2l ，若1l 交x 轴于A ，2l 交y 轴于B ，M 在线段AB 上，且3:1:=BM AM ，求M 点的轨迹方程．分析：如图，设),(y x M ，题中几何条件是21l l ⊥，在解析几何中要表示垂直关系的代数关系式确实是斜率乘积为－1，因此要求M 的轨迹方程即x 、y 之间的关系，第一要把1l 、2l 的斜率用x 、y 表示出来，而表示斜率的关键是用x 、y 表示A 、B 两点的坐标，由题可知M 是A 、B 的定比分点，由定比分点坐标公式便可找出A 、B 、M 坐标之间的关系，进而表示出A 、B 两点的坐标，并求出M 点的轨迹方程．解：设),(y x M ，)0,(a A ，),0(b B ∵M 在线段AB 上，且3:1:=BM AM ． ∴M 分AB 所成的比是31， 由⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+=+=31131311b y a x ，得⎪⎩⎪⎨⎧==y b xa 434，∴)0,34(x A 、)4,0(y B又∵)2,3(P ，∴1l 的斜率x k 34321-=，2l 的斜率3242--=y k ． ∵21l l ⊥，∴13243432-=--⋅-y x ． 化简得：01384=-+y x ．说明：本题的上述解题过程并不严密，因为1k 需在49≠x 时才能成立，而当49=x 时，)0,3(A ，1l 的方程为3=x ．因此2l 的方程是2=y ．故)2,0(B ，可求得)21,49(M ，而)21,49(也满足方程01384=-+y x ．故所求轨迹的方程是01384=-+y x ．这类题在解答时应注意考虑完备性和纯粹性．典型例题十四例14 如图，已知两点)2,2(-P ，)2,0(Q 以及一直线x y l =：，设长为2的线段AB 在直线l 上移动．求直线PA 和QB 的交点M 的轨迹方程．分析1：设),(y x M ，题中的几何条件是2=AB ，因此只需用),(y x 表示出A 、B 两点的坐标，便可求出曲线的方程，而要表示A 点坐标可先找出A 、M 两点坐标的关系，明显P 、A 、M 三点共线．如此便可找出A 、M 坐标之间的关系，进而表示出A 的坐标，同理便可表示出B 的坐标，问题便能够迎刃而解．解法一：设),(y x M 、),(a a A 、),(b b B )(a b >．由P 、A 、M 三点共线可得：2222+-=+-x y a a （利用PA 与MP 斜率相等得到）∴422+-+=y x y x a ． 由Q 、B 、M 三点共线可得x y b b 22-=-． ∴22+-=y x x b ． 又由2=AB 得2)(22=-b a ．∴1=-a b ，∴142222=+-+-+-y x y x y x x ． 化简和所求轨迹方程为：082222=+-+-y x y x ．分析2：此题也能够先用P 、A 、M 三点共线表示出A 点坐标，再依照2=AB 表示出B 点坐标，然后利用Q 、B 、M 三点共线也可求得轨迹方程．解法二：设),(y x M ，),(a a A 由2=AB 且B 在直线x y =上且B 在A 的上方可得：)1,1(++a a B 由解法一知422+-+=y x y x a ， ∴)443,443(+-+++-++y x y x y x y x B 又由Q 、B 、M 三点共线可得：xy y x y x y x y x 24432443-=+-++-+-++． 化简得所求轨迹方程为：082222=+-+-y x y x ．解法三：由于2=AB 且AB 在直线x y =上因此可设),(a a A ，)1,1(++a a B ．则直线AP 的方程为：)2)(2()2)(2(+-=-+x a y a直线BQ 的方程为：x a y a )1()2)(1(-=-+ 由上述两式解得)0(1212≠⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=--=a a a y a a x ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+-+=+44)1(44)1(222222a a y a a x∴8)1()1(22-=+-+y x ，即082222=+-+-y x y x ．而当0=a 时，直线AP 与BQ 平行，没有交点．∴所求轨迹方程为082222=+-+-y x y x ．说明：本题的前两种方法属于直截了当法，相对较繁，而后一种方法，事实上它涉及到参数的思想(a 为参数)，利用交点求轨迹方程．一样先把交点表示为关于参数的坐标，然后消去参数，这也反映出运动的观点．。
曲线和方程
➢点P(x,y)关于原点对称点 (x, y) ➢点P(x,y)关于点M(a,b)对称点 (2a x, 2b y) ➢点P(x,y)关于x轴对称点 (x, y) ➢点P(x,y)关于y轴对称点 (x, y) ➢点P(x,y)关于直线y=x对称点 ( y, x) ➢点P(x,y)关于直线y=-x对称点 ( y, x) ➢点P(x,y)关于直线y=x+m对称点 (y m, x m) ➢点P(x,y)关于直线y=-x+m对称点
5.求曲线C : f (x, y) 0关于直线 y x 1 的对称曲线
方程？
思考:已知 ABC中，AB、AC边所在的直线方 程分别为AB:x y 1 0 ，AC:2x y 16 0
求 A 的内角平分线所在的直线方程．(用两
种不同方法求)
(-1, -1) 、Ｂ(3,7) ，求第三个顶点C的轨迹方
程．
y
B
C
0
x
A
例1、已知两定点Ａ(-1, -1) 和Ｂ(3,7)，求到 点Ａ和Ｂ的距离相等的点的轨迹方程 .
变式1：已知等腰三角形底边的两个端点是Ａ (-1, -1) 、Ｂ(3,7) ，求第三个顶点C的轨迹方 程． 变式2：已知等腰C的轨迹方程．
( y m, x m)
1.求点 M (1, 2)关于直线l : x 7y 6 0的对称点？ 2.求直线l : x 7y 6 0关于点 M (1, 2) 的对称直线 方程？
3.求直线l : x 7y 6 0关于直线 l0 : x y 2 0 的对 称直线方程？ 4.求曲线C : f (x, y) 0关于点 M (1, 2) 的对称曲线方 程？
求曲线方程的几种常见方法: