曲线和方程练习题
椭圆曲线基础练习题
椭圆曲线基础练习题本文档将为您提供一些关于椭圆曲线基础知识的练题。
1. 椭圆曲线方程假设给定一个椭圆曲线方程：y^2 = x^3 + ax + b请回答以下问题：a) 比较两个椭圆曲线的方程：y^2 = x^3 + 3x + 2 和 y^2 = x^3 + 2x + 3，它们是否相同？- 是相同的。
两个方程只是常数项 a 和 b 不同，对于椭圆曲线来说，常数项的改变不会影响曲线的形状。
b) 对于方程 y^2 = x^3 + 5x + 7，找出一个曲线上的点。
- 我们需要找到一个满足方程的 (x, y) 值。
可以通过尝试一些整数值来找到一个合适的点，或者使用计算工具辅助计算。
c) 给定一个椭圆曲线方程 y^2 = x^3 + 4x + 5 和一个点 P(2, 3)，求出 P 的相反点 -P。
- 首先，我们需要计算点 P 的 y 坐标的相反数，得到 -y。
然后，将 -y 和 P 的 x 坐标代入原方程计算出 -P 的 x 坐标。
最后，将 -P 的x 和 -y 坐标组合成一个点即可。
2. 点的加法对于椭圆曲线上的点加法，我们使用以下规则：- 如果 P 和 Q 是椭圆曲线上的两个点，它们的和是另一个点 R。
- R 是通过连接 P 和 Q 的直线与椭圆曲线的交点确定的。
请回答以下问题：a) 对于椭圆曲线 y^2 = x^3 + 2x + 3，给定点 P(1, 2) 和 Q(4, 5)，计算出它们的和 R。
- 首先，将 P 和 Q 的坐标代入椭圆曲线方程，求出两个点在曲线上是否成立。
如果两个点在曲线上，我们可以利用点的加法规则进行计算。
b) 如果椭圆曲线上的点 P 和 Q 相同，计算它们的和 R。
- 当两个点相同的时候，我们需要使用椭圆曲线上点的切线与椭圆曲线的交点的方法来计算它们的和。
3. 椭圆曲线的群结构椭圆曲线上的点满足群的结构，有以下特性：- 封闭性：椭圆曲线上的点加法运算结果是椭圆曲线上的点。
- 单位元：椭圆曲线上的点O 是加法的单位元，对于任意点P，P + O = O + P = P。
曲线与方程练习题
曲线与方程练习题一、填空题1. 向上凹曲线的二次函数方程一般可以表示为 ________。
2. 直线 y = a 与 x 轴的交点为 _________。
3. 曲线 y = x^3 - 2x^2 - 3x + 2 的对称轴方程为 ________。
4. |a| > 1 时，二次函数 y = ax^2 + bx + c 的图像开口向 _________。
5. 一条直线 y = mx + c 与双曲线 xy = k (k > 0) 相交于两个点时，m 的取值范围为 ________。
6. 一条直线 y = kx 与椭圆 (x^2)/(a^2) + (y^2)/(b^2) = 1 相切于点 (x1, y1)，则 k 的取值范围为 ________。
二、选择题1. 曲线 y = (x + 2)^2 - 3 的对称轴为：A. x = 2B. y = 2C. x = -2D. y = -22. 函数 y = (x - 3)(x - 1) 的图像与 x 轴的交点为：A. (3, 0) 和 (1, 0)B. (3, 0) 和 (-1, 0)C. (0, 3) 和 (0, 1)D. (0, 3) 和 (0, -1)3. 下列函数中，是抛物线的是：A. y = x^3 - 2x + 6B. y = 3x^2 + 4x - 1C. y = x^2 / 2 + 5D. y = 2x + 14. 随着 a 的增大，函数 y = ax^2 的图像：A. 变宽B. 变窄C. 上移D. 下移5. 一次函数 y = mx + c 和二次函数 y = ax^2 相交于两个交点时，m 和 a 的关系为：A. m = aB. m > aC. m < aD. 无法确定三、解答题1. 求下列函数的对称轴、顶点和图像开口的方向：a) y = 2x^2 + 4x - 3b) y = -3x^2 + 6x - 12. 给定函数 y = x^3 + ax^2 + bx + 2，已知该函数的图像过点 (-1, 2)，x = 2 和 y = 4 和曲线的对称轴平行，则 a 和 b 的值分别为多少？3. 已知一条直线将椭圆 (x - 3)^2/4 + (y - 4)^2/9 = 1 和双曲线 (x -1)^2/9 - (y - 5)^2/4 = 1 分成两部分，求此直线方程。
2022届高考数学一轮复习课时作业曲线与方程
曲线与方程1．若方程x 2＋y 2a ＝1(a 是常数)，则下列结论正确的是( )A ．任意实数a 方程表示椭圆B ．存在实数a 方程表示椭圆C ．任意实数a 方程表示双曲线D ．存在实数a 方程表示抛物线2．已知点F (0,1)，直线l ：y ＝－1，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ→，则动点P 的轨迹C 的方程为( )A ．x 2＝4yB ．y 2＝3xC ．x 2＝2yD ．y 2＝4x3．(2020·静安区二模)方程2x 2－9xy ＋8y 2＝0的曲线C 所满足的性质为( ) ①不经过第二、四象限；②关于x 轴对称；③关于原点对称；④关于直线y ＝x 对称．A ．①③B ．②③C ．①④D ．①②4．(2020·成都模拟)设C 为椭圆x 2＋y 25＝1上任意一点，A (0，－2)，B (0,2)，延长AC 至点P ，使得|PC |＝|BC |，则点P 的轨迹方程为( )A ．x 2＋(y －2)2＝20B ．x 2＋(y ＋2)2＝20C ．x 2＋(y －2)2＝5D ．x 2＋(y ＋2)2＝55．在△ABC 中，B (－2,0)，C (2,0)，A (x ，y )，给出△ABC 满足的条件，就能得到动点A 的轨迹方程．下表给出了一些条件及方程：A ．C 3，C 1，C 2B ．C 1，C 2，C 3 C ．C 3，C 2，C 1D ．C 1，C 3，C 26．设线段AB 的两个端点A ，B 分别在x 轴、y 轴上滑动，且|AB |＝5，OM →＝35OA →＋25OB →，则点M 的轨迹方程为( )A ．x 29＋y 24＝1 B ．y 29＋x 24＝1 C ．x 225＋y 29＝1D ．y 225＋x 29＝17．已知△ABC 的顶点B (0,0)，C (5,0)，AB 边上的中线长|CD |＝3，则顶点A 的轨迹方程为__________．8．一条线段的长等于6，两端点A ，B 分别在x 轴和y 轴的正半轴上滑动，P 在线段AB 上且AP→＝2PB →，则点P 的轨迹方程是________．9．已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，若抛物线过点A (－1,0)，B (1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是________．10．在△ABC 中，|BC →|＝4，△ABC 的内切圆切BC 于D 点，且|BD →|－|CD →|＝22，求顶点A 的轨迹方程．11.如图，P 是圆x 2＋y 2＝4上的动点，点P 在x 轴上的射影是点D ，点M 满足DM→＝12DP →.(1)求动点M 的轨迹C 的方程，并说明轨迹是什么图形； (2)过点N (3,0)的直线l 与动点M 的轨迹C 交于不同的两点A ，B ，求以OA ，OB 为邻边的平行四边形OAEB 的顶点E 的轨迹方程．能力提高1．(2020·宁城模拟)如图是房间壁灯照到墙上的光影的照片，壁灯轴线与墙面平行，则光影的边缘是( )A ．抛物线B ．双曲线一支C ．椭圆D ．抛物线或双曲线2．(2020·湖北八校二联)如图，AB 是与平面α交于点A 的斜线段，点C 满足|BC |＝λ|AC |(λ＞0)，且在平面α内运动，给出以下几个命题：①当λ＝1时，点C 的轨迹是抛物线；②当λ＝1时，点C 的轨迹是一条直线；③当λ＝2时，点C 的轨迹是圆；④当λ＝2时，点C 的轨迹是椭圆；⑤当λ＝2时，点C 的轨迹是双曲线．其中正确的命题是________(将所有正确命题的序号填到横线上)．所以当λ＝2时，点C 的轨迹是圆．故②③正确．]3．在平面直角坐标系中，已知A 1(－2，0)，A 2(2，0)，P (x ，y )，M (x,1)，N (x ，－2)，若实数λ使得λ2OM →·ON →＝A 1P →·A 2P →(O 为坐标原点)．求P 点的轨迹方程，并讨论P 点的轨迹类型．扩展应用1．(2020·浦东新区三模)数学中的数形结合也可以组成世间万物的绚丽画面，一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的产物．曲线C ：(x 2＋y 2)3＝16x 2y 2为四叶玫瑰线，下列结论正确的有( )①方程(x 2＋y 2)3＝16x 2y 2(xy ＜0)，表示的曲线在第二和第四象限； ②曲线C 上任一点到坐标原点O 的距离都不超过2； ③曲线C 构成的四叶玫瑰线面积大于4π；④曲线C 上有5个整点(横、纵坐标均为整数的点)． A ．①② B ．①②③ C ．①②④D ．①③④2．(2020·宝山区模拟)如图，某野生保护区监测中心设置在点O 处，正西、正东、正北处有三个监测点A ，B ，C ，且|OA |＝|OB |＝|OC |＝30 km ，一名野生动物观察员在保护区遇险，发出求救信号，三个监测点均收到求救信号，A 点接收到信号的时间比B 点接收到信号的时间早40V 0秒(注：信号每秒传播V 0千米)．(1)以O 为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系，根据题设条件求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程；(2)若已知C点与A点接收到信号的时间相同，求观察员遇险地点坐标，以及与监测中心O的距离；(3)若C点监测点信号失灵，现立即以监测点C为圆心进行“圆形”红外扫描，为保证有救援希望，扫描半径r至少是多少公里？曲线与方程1．若方程x 2＋y 2a ＝1(a 是常数)，则下列结论正确的是( )A ．任意实数a 方程表示椭圆B ．存在实数a 方程表示椭圆C ．任意实数a 方程表示双曲线D ．存在实数a 方程表示抛物线B [当a ＞0且a ≠1时，该方程表示椭圆；当a ＜0时，该方程表示双曲线；当a ＝1时，该方程表示圆．故选B.]2．已知点F (0,1)，直线l ：y ＝－1，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ→，则动点P 的轨迹C 的方程为( )A ．x 2＝4yB ．y 2＝3xC ．x 2＝2yD ．y 2＝4xA [设点P (x ，y )，则Q (x ，－1)．∵QP →·QF →＝FP →·FQ →，∴(0，y ＋1)·(－x,2)＝(x ，y －1)·(x ，－2)，即2(y ＋1)＝x 2－2(y －1)，整理得x 2＝4y ，∴动点P 的轨迹C 的方程为x 2＝4y .]3．(2020·静安区二模)方程2x 2－9xy ＋8y 2＝0的曲线C 所满足的性质为( ) ①不经过第二、四象限；②关于x 轴对称；③关于原点对称；④关于直线y ＝x 对称．A ．①③B ．②③C ．①④D ．①②A [由题意，2x 2－9xy ＋8y 2＝0化为：9xy ＝2x 2＋8y 2≥0，说明x ，y 同号或同时为0，所以图形不经过第二、四象限，①正确；－y 换y ，方程发生改变，所以图形不关于x 轴对称，所以②不正确；以－x 代替x ，以－y 代替y ，方程不变，所以③正确；方程2x 2－9xy ＋8y 2＝0，x ，y 互换，方程化为8x 2－9xy ＋2y 2＝0，方程已经改变，所以④不正确．故选A.]4．(2020·成都模拟)设C 为椭圆x 2＋y 25＝1上任意一点，A (0，－2)，B (0,2)，延长AC 至点P ，使得|PC |＝|BC |，则点P 的轨迹方程为( )A ．x 2＋(y －2)2＝20B ．x 2＋(y ＋2)2＝20C ．x 2＋(y －2)2＝5D ．x 2＋(y ＋2)2＝5B [如图，由椭圆方程x 2＋y 25＝1，得a 2＝5，b 2＝1，∴c ＝a 2－b 2＝2，则A (0，－2)，B (0,2)为椭圆两焦点，∴|CA |＋|CB |＝2a ＝25，∵|PC |＝|BC |， ∴|P A |＝|PC |＋|CA |＝|BC |＋|CA |＝2 5.∴点P 的轨迹是以A 为圆心，以25为半径的圆，其方程为x 2＋(y ＋2)2＝20.故选B.]5．在△ABC 中，B (－2,0)，C (2,0)，A (x ，y )，给出△ABC 满足的条件，就能得到动点A 的轨迹方程．下表给出了一些条件及方程：条件方程 ①△ABC 周长为10 C 1：y 2＝25 ②△ABC 面积为10 C 2：x 2＋y 2＝4(y ≠0) ③△ABC 中，∠A ＝90°C 3：x 29＋y 25＝1(y ≠0)A ．C 3，C 1，C 2B ．C 1，C 2，C 3 C ．C 3，C 2，C 1D ．C 1，C 3，C 2A [①△ABC 的周长为10，即|AB |＋|AC |＋|BC |＝10，又|BC |＝4，所以|AB |＋|AC |＝6>|BC |，此时动点A 的轨迹为椭圆，与C 3对应；②△ABC 的面积为10，所以12|BC |·|y |＝10，即|y |＝5，与C 1对应；③因为∠A ＝90°，所以AB →·AC →＝ (－2－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2＋y 2－4＝0，与C 2对应．故选A.]6．设线段AB 的两个端点A ，B 分别在x 轴、y 轴上滑动，且|AB |＝5，OM →＝35OA →＋25OB →，则点M的轨迹方程为( )A ．x 29＋y 24＝1 B ．y 29＋x 24＝1 C ．x 225＋y 29＝1D ．y 225＋x 29＝1A [设M (x ，y )，A (x 0,0)，B (0，y 0)，由OM →＝35OA →＋25OB →，得(x ，y )＝35(x 0,0)＋25(0，y 0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝35x 0，y ＝25y 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝53x ，y 0＝52y ，由|AB |＝5，得⎝ ⎛⎭⎪⎫53x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52y 2＝25，化简得x 29＋y 24＝1.]7．已知△ABC 的顶点B (0,0)，C (5,0)，AB 边上的中线长|CD |＝3，则顶点A 的轨迹方程为__________．(x －10)2＋y 2＝36(y ≠0) [设A (x ，y )， 则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2.∴|CD |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－52＋y24＝3， 化简得(x －10)2＋y 2＝36，由于A ，B ，C 三点构成三角形， ∴A 不能落在x 轴上， 即y ≠0.]8．一条线段的长等于6，两端点A ，B 分别在x 轴和y 轴的正半轴上滑动，P 在线段AB 上且AP→＝2PB →，则点P 的轨迹方程是________．4x 2＋y 2＝16(x ＞0，y ＞0) [设P (x ，y )，A (a,0)，B (0，b )， 则a 2＋b 2＝36.因为AP→＝2PB →，所以(x －a ，y )＝2(－x ，b －y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 3，y ＝2b3，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3x ，b ＝32y ，代入a 2＋b 2＝36，得9x 2＋94y 2＝36，即4x 2＋y 2＝16.]9．已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，若抛物线过点A (－1,0)，B (1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是________．x 24＋y 23＝1(y ≠0) [设抛物线焦点为F ，过A ，B ，O 作准线的垂线AA 1，BB 1，OO 1，则|AA 1|＋|BB 1|＝2|OO 1|＝4，由抛物线定义得|AA 1|＋|BB 1|＝|F A |＋|FB |，所以|F A |＋|FB |＝4，故F 点的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．所以抛物线的焦点轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)．]10．在△ABC 中，|BC →|＝4，△ABC 的内切圆切BC 于D 点，且|BD →|－|CD →|＝22，求顶点A 的轨迹方程．[解] 以BC 的中点为原点，中垂线为y 轴建立如图所示的坐标系，E ，F 分别为两个切点．则|BE |＝|BD |，|CD |＝|CF |，|AE |＝|AF |.所以|AB |－|AC |＝22＜4，所以点A 的轨迹为以B ，C 为焦点的双曲线的右支(y ≠0)，且a ＝2，c ＝2， 所以b ＝2，所以轨迹方程为x 22－y 22＝1(x ＞2)．11.如图，P 是圆x 2＋y 2＝4上的动点，点P 在x 轴上的射影是点D ，点M 满足DM→＝12DP →.(1)求动点M 的轨迹C 的方程，并说明轨迹是什么图形； (2)过点N (3,0)的直线l 与动点M 的轨迹C 交于不同的两点A ，B ，求以OA ，OB 为邻边的平行四边形OAEB 的顶点E 的轨迹方程．[解] (1)设M (x ，y )，则D (x,0)， 由DM→＝12DP →知，P (x,2y )，∵点P 在圆x 2＋y 2＝4上，∴x 2＋4y 2＝4，故动点M 的轨迹C 的方程为x 24＋y 2＝1，且轨迹C 为椭圆． (2)设E (x ，y )，由题意知l 的斜率存在， 设l ：y ＝k (x －3)，代入x 24＋y 2＝1， 得(1＋4k 2)x 2－24k 2x ＋36k 2－4＝0，(*) 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝24k 21＋4k 2，∴y 1＋y 2＝k (x 1－3)＋k (x 2－3)＝k (x 1＋x 2)－6k ＝24k 31＋4k 2－6k ＝－6k1＋4k 2.∵四边形OAEB 为平行四边形， ∴OE →＝OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫24k 21＋4k 2，－6k 1＋4k 2，又OE →＝(x ，y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝24k 21＋4k 2，y ＝－6k1＋4k 2，消去k ，得x 2＋4y 2－6x ＝0，由(*)中Δ＝(－24k 2)2－4(1＋4k 2)(36k 2－4)>0， 得k 2<15，∴0<x <83.∴顶点E 的轨迹方程为x 2＋4y 2－6x ＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <83.能力提高1．(2020·宁城模拟)如图是房间壁灯照到墙上的光影的照片，壁灯轴线与墙面平行，则光影的边缘是( )A ．抛物线B ．双曲线一支C ．椭圆D ．抛物线或双曲线B [房间壁灯向上照射，区域可理解为顶点在下面的圆锥，墙面不与圆锥面的母线平行，结果不是抛物线，又壁灯轴线与墙面平行，则不是椭圆，而墙面与圆锥侧面相交，且不过圆锥顶点，又与壁灯轴线平行，则结果为双曲线的一支．故选B.]2．(2020·湖北八校二联)如图，AB 是与平面α交于点A 的斜线段，点C 满足|BC |＝λ|AC |(λ＞0)，且在平面α内运动，给出以下几个命题：①当λ＝1时，点C 的轨迹是抛物线；②当λ＝1时，点C 的轨迹是一条直线；③当λ＝2时，点C 的轨迹是圆；④当λ＝2时，点C 的轨迹是椭圆；⑤当λ＝2时，点C 的轨迹是双曲线．其中正确的命题是________(将所有正确命题的序号填到横线上)．②③ [在△ABC 中，|BC |＝λ|AC |，当λ＝1时，|BC |＝|AC |，过AB 的中点作线段AB 的垂面β，则点C 在α与β的交线上，所以点C 的轨迹是一条直线．当λ＝2时，|BC |＝2|AC |，设B 在平面α内的射影为D ，连接BD ，CD ，AD (图略)．设|BD |＝h ，则|BC |＝|CD |2＋h 2.设|AD |＝2a ，在平面α内，以AD 所在直线为x 轴，AD 的垂直平分线为y 轴，AD→的方向为x 轴正方向，建立平面直角坐标系(图略)，设C (x ，y )，则A (－a,0)，D (a,0)，|CA |＝(x ＋a )2＋y 2，|CD |＝(x －a )2＋y 2，|CB |＝|CD |2＋h 2＝(x －a )2＋y 2＋h 2，所以(x －a )2 ＋y 2＋h 2＝2(x ＋a )2＋y 2，化简可得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋53a 2＋y 2＝16a 29＋h23，所以当λ＝2时，点C 的轨迹是圆．故②③正确．]3．在平面直角坐标系中，已知A 1(－2，0)，A 2(2，0)，P (x ，y )，M (x,1)，N (x ，－2)，若实数λ使得λ2OM →·ON →＝A 1P →·A 2P →(O 为坐标原点)．求P 点的轨迹方程，并讨论P 点的轨迹类型．[解] OM →＝(x,1)，ON →＝(x ，－2)，A 1P →＝(x ＋2，y )，A 2P →＝(x －2，y )． ∵λ2OM →·ON →＝A 1P →·A 2P →，∴(x 2－2)λ2＝x 2－2＋y 2，整理得(1－λ2)x 2＋y 2＝2(1－λ2)．①当λ＝±1时，方程为y ＝0，轨迹为一条直线；②当λ＝0时，方程为x 2＋y 2＝2，轨迹为圆；③当λ∈(－1,0)∪(0,1)时，方程为x 22＋y 22(1－λ2)＝1，轨迹为中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆；④当λ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，方程为x 22－y 22(λ2－1)＝1，轨迹为中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线．扩展应用1．(2020·浦东新区三模)数学中的数形结合也可以组成世间万物的绚丽画面，一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的产物．曲线C ：(x 2＋y 2)3＝16x 2y 2为四叶玫瑰线，下列结论正确的有( )①方程(x 2＋y 2)3＝16x 2y 2(xy ＜0)，表示的曲线在第二和第四象限；②曲线C 上任一点到坐标原点O 的距离都不超过2；③曲线C 构成的四叶玫瑰线面积大于4π；④曲线C 上有5个整点(横、纵坐标均为整数的点)．A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①③④A [对于①，因为xy ＜0，所以x 与y 异号，故图象在第二和第四象限，即①正确．对于②，因为x 2＋y 2≥2xy (x ＞0，y ＞0)，所以xy ≤x 2＋y 22，所以(x 2＋y 2)3＝16x 2y 2≤16×(x 2＋y 2)24＝4(x 2＋y 2)2， 所以x 2＋y 2≤4，即②正确．对于③，以O 为圆点，2为半径的圆O 的面积为4π，显然曲线C 围成的区域的面积小于圆O 的面积，即③错误．把x ＝2，y ＝2代入曲线C ，可知等号两边成立，所以曲线C在第一象限过点(2，2)，由曲线的对称性可知，该点的位置是图中的点M，对于④，只需要考虑曲线在第一象限内经过的整点即可，把(1,1)，(1,2)和(2,1)代入曲线C的方程验证可知，等号不成立，所以曲线C在第一象限内不经过任何整点，再结合曲线的对称性可知，曲线C只经过整点(0,0)，即④错误．故选A.]2．(2020·宝山区模拟)如图，某野生保护区监测中心设置在点O处，正西、正东、正北处有三个监测点A，B，C，且|OA|＝|OB|＝|OC|＝30 km，一名野生动物观察员在保护区遇险，发出求救信号，三个监测点均收到求救信号，A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早40V0秒(注：信号每秒传播V0千米)．(1)以O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，根据题设条件求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程；(2)若已知C点与A点接收到信号的时间相同，求观察员遇险地点坐标，以及与监测中心O的距离；(3)若C点监测点信号失灵，现立即以监测点C为圆心进行“圆形”红外扫描，为保证有救援希望，扫描半径r至少是多少公里？[解](1)以O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早40V0秒，可知野生动物观察员在保护区遇险，发出求救信号的位置，在以AB为焦点的双曲线的左支，所以c＝30,2a＝40，所以a＝20，则b＝105，所以观察员所有可能出现的位置的轨迹方程为x2400－y2500＝1，x＜0.(2)已知C点与A点接收到信号的时间相同，则观察员遇险地点既在双曲线上，又在y＝－x(x＜0)上，所以⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－x ，x 2400－y 2500＝1，可得x ＝－205，y ＝205，观察员遇险地点坐标(－205，205)，观察员遇险地点与监测中心O 的距离为 2 000＋2 000＝2010.(3)由题意可得以监测点C 为圆心进行“圆形”红外扫描，可得x 2＋(y －30)2＝r 2，与x 2400－y 2500＝1，x ≤0联立，消去x 可得9y 2－300y ＋6 500－5r 2＝0， Δ＝90 000－36(6 500－5r 2)≥0，解得r ≥20 2.为保证有救援希望，扫描半径r 至少是202公里．。
最新-高二数学曲线和圆的方程练习[上学期] 精品
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高二数学曲线和方程练习先回答下面的问题①用坐标法求曲线的轨迹方程时一般需要几个步骤?②M(x,y)到y 轴的距离表示为__________到x 轴的距离表示为_________③平面直角坐标系中,第一、三象限的角平分线方程是___________二、四象限呢?④寻找方程时，关键是等式，常见的有点到直线的距离公式、两点间的距离公式、中点坐标公式、两直线垂直时斜率的乘积为 –1、还有一些差与和的等式关系等.⑤注意有限制条件的曲线方程在表示时必须对x 或y 加以限制，比方线段、三角形等. 试试看你掌握了多少?1.若点M 到x 轴的距离和它到直线y=8的距离相等，则点M 的轨迹方程是( )A.x=-4B.x=4C.y=-4D.y=42.动点P 到x 轴，y 轴的距离之比等于非零常数k ，则动点P 的轨迹方程是( ) A.y=kx (x ≠0) B.y=kx(x ≠0) C.y=-k x (x ≠0) D.y=±kx(x ≠0) 3.方程4x 2-y 2+4x+2y=0表示的曲线是( )A.一个点B.两条互相平行的直线C.两条互相垂直的直线D.两条相交但不垂直的直线4.已知点A(0，-1)，点B 是抛物线y=2x 2+1上的一个动点，则线段AB 的中点的轨迹是( )A.抛物线y=2x 2B.抛物线y=4x 2C.抛物线y=6x 2D.抛物线y=8x2 5.下列各点中，在曲线x 2-xy+2y+1=0上的点是( )A.(2，-2)B.(4，-3)C.(3，10)D.(-2，5)6.到两条坐标轴的距离之和等于2的点的轨迹方程是( )A.x+y=2B.x+y=±2C.｜x ｜+｜y ｜=2D.｜x+y ｜=27.到直线l:3x+4y-5=0的距离等于1的点的轨迹方程是( )A.3x+4y-4=0B.3x+4y=0或3x+4y-10=0C.3x+4y+10=0D.3x+4y-30=0或3x+4y+20=08.与A(-1,0)和B(1，0)两点连线的斜率的乘积等于-1的动点P 的轨迹方程是( )A.x 2+y 2=1B.x 2+y 2=1(x ≠±1)C.x 2+y 2=1(x ≠0)D.y=21x 9.若点P 在曲线y=x 2+1上，且点P 到原点的距离为5，则点P 的坐标为 .10.若两直线x+y=3a,x-y=a 的交点在方程x 2+y 2=1所表示的曲线上，则a= .11.点P 到定点F(4，0)的距离比它到定直线x+5=0的距离小1，则动点P 的轨迹方程是 .12.Rt△ABC的斜边AB的长度等于定值C，顶点A、B在x轴，y轴上滑动，则斜边AB的中点M的轨迹方程为13.经过点P(3，2)的一条动直线分别交x轴、y轴于点A、B，M是线段AB的中点，连结OM并延长至点N，使｜ON｜=2｜OM｜，求点N的轨迹方程.14.已知曲线C上的每一点到点A(0，-2)的距离与它到x轴的距离的差等于2，求这条曲线的方程，并画出这条曲线.15.在△ABC中，AB边的长为2a，若BC边上的中线AD的长为m，试求顶点C的转迹方程.16.求两直线l1:x-3my+3=0，l2,3mx+y+9m=0的交点的轨迹，并画出轨迹的图形.高二数学圆的方程同步练习在这一节里我想你应该理解和掌握以下知识①圆的定义:到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹),试描一个看看②方程222)()(r b y a x =-+-中是用+号连接的,这是圆的标准方程,半径是______圆心坐标______ ③对022=+++++F Mxy Ey Dx By Ax 你是怎样理解的?与022=++++F Ey Dx y x 的关系如何?当A=_______B=________，M=__________且________________时表示圆的一般方程④你对圆的切线方程的求法有什么方法，比如知道直线过圆上一点，过圆外一点，直线的斜率或直线在y 轴上的截距时，分别怎样怎样求？还有印象吗？⑤直线和圆的位置关系有几种，你是怎样判断的？有几种判断方法？⑥直线和圆相交时，可能会要你求弦的长，你想到了什么方法？（弦心距、弦长、半径的关系是什么） ⑦圆和圆的位置关系目前虽然被淡化了，我想你还是去研究一下判断的方法.(五种位置关系) 回忆完成后你可以开始答题了1.点P(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y 2=1的内部，则实数a 的取值范围是( )A.｜a ｜＜1B.｜a ｜＜51C.｜a ｜＜121D.｜a ｜＜131 2.关于x,y 的方程Ax 2+Bxy+Cy 2+Dx+Ey+F=0表示一个圆的充要条件是( )A.B=0，且A=C ≠0B.B=1且D 2+E 2-4AF ＞0C.B=0且A=C ≠0，D 2+E 2-4AF ≥0D.B=0且A=C ≠0,D 2+E 2-4AF ＞03.过点P(-8，-1)，Q(5，12)，R(17，4)三点的圆的圆心坐标是( ) A.(314，5) B.(5，1) C.(0，0)D.(5，-1) 4.若两直线y=x+2k 与y=2x+k+1的交点P 在圆x 2+2=4的内部，则k 的范围是( ) A.-51＜k ＜-1 B.- 51 ＜k ＜1 C.- 31＜k ＜1 D.-2＜k ＜2 5.圆(x-3)2+(y-3)2=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点有( )A.1个B.2个C.3个D.4个6.使圆(x-2)2+(y+3)2=2上点与点(0，-5)的距离最大的点的坐标是( )A.(5，1)B.(3，-2)C.(4，1)D.(2 +2，2-3) 7.若直线x+y=r 与圆x 2+y 2=r(r ＞0)相切，则实数r 的值等于( )A.22B.1C.2D.2 8.直线x-y+4=0被圆x 2+y 2+4x-4y+6=0截得的弦长等于( )A.8B.4C.22D.42 9.若直线4x-3y-2=0与圆x 2+y 2-2ax+4y+a 2-12=0总有两个不同交点，则a 的取值范围是( )A.-3＜a ＜7B.-6＜a ＜4C.-7＜a ＜3D.-21＜a ＜1910.圆x 2+y 2+ax=0(a ≠0)的圆心坐标和半径分别是 .11.试判断两圆0222=-+x y x 与0422=++y y x 的位置关系12.求圆心在直线2x-y-3=0上，且过点(5，2)和(3，-2)的圆的方程.13．求直线0323=-+y x 截圆 422=+y x 所得的劣弧所对的圆心角的大小14．求与圆1)2(22=+-y x 外切，且与y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程。
曲线与方程练习题
曲线与方程练习题一、选择题1. 已知曲线C：y = x^2 - 4x + 4，下列哪个点不在曲线上？A. (0, 4)B. (1, 1)C. (2, 0)D. (4, 4)2. 曲线y = 2x - 3与直线x = 2的交点坐标是：A. (2, 1)B. (2, -1)C. (1, 2)D. (-1, 2)3. 曲线y = 3x^2 + 6x + 5的顶点坐标是：A. (-1, 2)B. (-2, 5)C. (-3, 2)D. (-2, 2)4. 曲线y = 2x^3 - 6x^2 + 8x - 4的拐点是：A. (1, -1)B. (2, 0)C. (-1, 3)D. (0, -4)5. 曲线y = sin(x)与x轴相交的点是：A. (π, 0)B. (0, 0)C. (2π, 0)D. (π/2, 0)二、填空题6. 曲线y = x^3 + 2x^2 - 3x + 1的切线斜率在x=1处为_________。
7. 曲线y = 1/x在第一象限的渐近线方程是_________。
8. 曲线y = √x的切点在x=4处的切线方程是_________。
9. 曲线y = x^2 - 2x + 3的对称轴方程是_________。
10. 曲线y = e^x的导数是_________。
三、解答题11. 已知曲线C：y = x^2 - 2x + 3，求该曲线在x=2处的切线方程。
12. 曲线y = 4x^3 - 3x^2 + 2x - 1在x=0处的切线斜率是多少？13. 曲线y = x^4 - 4x^2 + 4x - 3的极值点有哪些？14. 曲线y = ln(x)在x=1处的切线方程是什么？15. 曲线y = cos(x)在[0, 2π]区间内的单调增区间是哪些？四、综合题16. 已知曲线y = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求该曲线的拐点坐标。
17. 曲线y = x^2 + 2x - 8与x轴的交点坐标是什么？18. 曲线y = 2x - 1/x在x=1处的切线斜率是多少？19. 曲线y = 3x^2 + 4x - 5的顶点坐标和对称轴方程是什么？20. 曲线y = tan(x)在x=π/4处的切线斜率是多少？请根据上述题目要求，逐一解答。
曲线与方程练习题
曲线与方程练习题曲线与方程练习题数学作为一门抽象而又实用的学科，几乎贯穿了我们的整个学习生涯。
其中，曲线和方程是数学中的重要概念，它们在解决实际问题中起着重要的作用。
本文将通过一些练习题，帮助读者更好地理解曲线和方程的关系。
练习题一：给定方程y = 2x + 3，画出它的图像，并说明该图像的特点。
解析：首先，我们可以根据方程中的斜率和截距，找到该直线的两个点。
当x= 0时，y = 3；当x = 1时，y = 5。
因此，我们可以在坐标系中连接这两个点，得到一条斜率为2，截距为3的直线。
这条直线是一条倾斜向上的直线，它的斜率表示了直线上每单位x变化对应的y的变化。
练习题二：给定方程y = x^2，画出它的图像，并说明该图像的特点。
解析：这个方程表示了一个二次函数的图像。
我们可以通过取一些不同的x值，计算出对应的y值，从而得到一系列点。
例如，当x = -2时，y = 4；当x = -1时，y = 1；当x = 0时，y = 0。
将这些点连接起来，我们可以得到一个开口向上的抛物线。
这个抛物线的特点是，它的顶点位于原点，对称轴为y轴，开口向上。
练习题三：给定方程y = sin(x)，画出它的图像，并说明该图像的特点。
解析：这个方程表示了一个正弦函数的图像。
正弦函数是一种周期性的函数，它的图像在一个周期内重复出现。
我们可以通过取一些不同的x值，计算出对应的y值，从而得到一系列点。
例如，当x = 0时，y = 0；当x = π/2时，y = 1；当x = π时，y = 0。
将这些点连接起来，我们可以得到一个波浪形的曲线。
这个曲线的特点是，它在每个周期内都有一个最大值和一个最小值，且对称于y轴。
练习题四：给定方程y = e^x，画出它的图像，并说明该图像的特点。
解析：这个方程表示了一个指数函数的图像。
指数函数是一种增长非常快的函数，它的图像呈现出逐渐上升的趋势。
我们可以通过取一些不同的x值，计算出对应的y值，从而得到一系列点。
高考数学百大经典例题曲线和方程(新课标)
典型例题一例 1 假如命题“坐标知足方程 f x， y 0 的点都在曲线 C 上”不正确，那么以下正确的命题是（ A）曲线C上的点的坐标都知足方程 f x， y0 ．（ B）坐标知足方程 f x， y 0 的点有些在C上，有些不在 C 上．（ C）坐标知足方程 f x， y 0 的点都不在曲线 C 上．（ D）必定有不在曲线 C 上的点，其坐标知足方程 f x， y0 ．剖析：原命题是错误的，即坐标知足方程 f x， y0 的点不必定都在曲线 C 上，易知答案为 D．典型例题二例 2 说明过点P(5 ,1) 且平行于 x 轴的直线l和方程y 1所代表的曲线之间的关系．剖析：“曲线和方程”的定义中所列的两个条件正好构成两个会合相等的充要条件，二者缺一不行．此中“曲线上的点的坐标都是方程 f ( x , y)0的解”，即纯粹性；“以方程的解为坐标的点都是曲线上的点” ，即齐备性．这是我们判断方程是否是指定曲线的方程，曲线是否是所给方程的曲线的准则．解：以下列图所示，过点 P 且平行于x轴的直线 l 的方程为y 1 ，因此在直线l上的点的坐标都知足y 1 ，所以直线 l 上的点都在方程y 1 表示的曲线上．可是以y 1这个方程的解为坐标的点不会都在直线l 上，所以方程y 1 不是直线 l 的方程，直线 l 不过方程y 1 所表示曲线的一部分．说明：本题中曲线上的每一点都知足方程，即知足纯粹性，但以方程的解为坐标的点不都在曲线上，即不知足齐备性．典型例题三例 3说明到坐标轴距离相等的点的轨迹与方程y x 所表示的直线之间的关系．剖析：该题应当抓住“纯粹性”和“齐备性”来进行剖析．解：方程 y x 所表示的曲线上每一个点都知足到坐标轴距离相等．可是“到坐标轴距离相等的点的轨迹”上的点不都知足方程y x ，比如点( 3 , 3)到两坐标轴的距离均为3，但它不知足方程y x ．所以不可以说方程y x 就是全部到坐标轴距离相等的点的轨迹方程，到坐标轴距离相等的点的轨迹也不可以说是方程y x 所表示的轨迹．说明：本题中“以方程的解为坐标点都在曲线上” ，即知足齐备性，而“轨迹上的点的坐标不都知足方程” ，即不知足纯粹性．只有二者全切合，方程才能叫曲线的方程，曲线才能叫方程的曲线．典型例题四例 4 曲线x2( y 1) 2 4 与直线 y k (x2)4 有两个不一样的交点，求k 的取值范围．有一个交点呢？无交点呢？剖析：直线与曲线有两个交点、一个交点、无交点，就是由直线与曲线的方程构成的方程组分别有两个解、一个解和无解，也就是由两个方程整理出的对于x 的一元二次方程的判别式分别知足0、0 、0 ．解：由y k( x 2) 4,x2( y1) 2 4.得 (1k 2 )x22k(3 2)x(3 2)2 4 0k k∴4k 2 (32k )24(1 k 2 )[( 3 2k)24] 4(4k 212k5)4(2k 1)(2k 5)∴当0 即( 2k1)( 2k5)0，即1k5时，直线与曲线有两个不一样的交点．22当0即 (2k1)( 2k5)0 ，即k 1或 k52时，直线与曲线有一个交点．2当0即 (2k1)( 2k5)0 ，即k 1或 k52时，直线与曲线没有公共点．2说明：在判断直线与曲线的交点个数时，因为直线与曲线的方程构成的方程组解的个数与由双方程联立所整理出的对于x (或y)的一元方程解的个数相同，所以假如上述一元方程是二次的，即可经过鉴别式来判断直线与曲线的交点个数，但假如是两个二次曲线相遇，两曲线的方程构成的方程组解的个数与由方程组所整理出的一元方程解的个数不必定相同，所以碰到此类问题时，不要盲目套用上例方法，必定要做到详细问题详细剖析．典型例题五例 5 若曲线y a x 与y x a(a 0) 有两个公共点，务实数 a 的取值范围．剖析：将“曲线有两个公共点”转变为“方程有两个不一样的解” ，从而研究一元二次方程的解的个数问题．若将两条曲线的大概形状现出来，或允许能获得一些启迪．y a x 解法一：由y 得： y a y ax a∵ y 0 ，∴y2a2 ( y a) 2，即 (a21) y22a3 y a40 ．要使上述方程有两个相异的非负实根．4a64a4 (a21)02a3则有：0a21a4a210又∵ a0∴解之得： a 1 ．∴所务实数 a 的范围是 (1,) ．解法二：y a x 的曲线是对于y 轴对称且极点在原点的折线，而y x a 表示斜率为 1 且过点(0 , a)的直线，由下列图可知，当a 1时，折线的右支与直线不订交．所以两曲线只有一个交点，当 a 1 时，直线与折线的两支都订交，所以两条直线有两个相异的交点．说明：这种题较好的解法是解法二，即利用数形联合的方法来探究．若题设条件中“ a 0”改为 a R 呢，请自己探究．典型例题六例 6 已知AOB ，此中A(6 , 0)，O(0 , 0)，B(0 , 3)，则角 AOB均分线的方程是y x (以下列图)，对吗？剖析：本题主要观察曲线方程看法掌握和理解的程度，重点是理解三角形内角均分线是一条线段．解：不对，因为AOB 内角均分线是一条线段OC ，而方程y x 的图形是一条直线．如点 P(8,8)坐标合适方程y x ，但点P 不在AOB 内角AOB 的均分线上．综合上述内角AOB 均分线为：y x(0x2) ．说明：判断曲线的方程或方程的曲线，重要扣定义，两个条件缺一不行，重点是要搞清楚曲线的范围．典型例题七例 7判断方程y x22x 1 所表示的曲线．剖析：依据方程的表面形式，很难判断方程的曲线的形状，所以必需先将方程进行等价变形．解：由原方程22 1 可得：y x xy x 1 ，即 yx 1 ( x1), x 1 ( x1),∴方程 y x22x1的曲线是两条射线，以下图：说明：判断方程表示的曲线，在化简变形方程时要注意等价变形．如方程 x 1y 2等价于 ( x 1)2y 2 且x 1，即 y ( x 1)22( x 1) ，原方程的曲线是抛物线一部分．典型例题八例 8 以下图，已知 A 、 B 是两个定点，且 AB 2 ，动点 M 到定点 A 的距离是4，线段 MB 的垂直均分线 l交线段 MA 于点 P ，求动点 P 的轨迹方程．剖析：本题第一要成立合适直角坐标系，动点P知足的条件(等量关系)题设中没有明显给出，要从题意中剖析找出等量关系．连接PB，则 PM PB ，由此PA PB PA PM AM 4 ，即动点 P 到两定点 A ， B 距离之和为常数．解：过 A ， B 两点的直线为x 轴，A，B两点的中点O为坐标原点，成立直角坐标系∵ AB 2，∴ A， B 两点坐标分别为( 1, 0)， (1, 0)．连接 PB ．∵ l 垂直均分线段BM ，∴PM PB，PA PB PA PM AM 4．设点 P( x , y) ，由两点距离公式得(x 1) 2y2( x 1)2y2 4 ，化简方程，移项两边平方得(移项 )2 ( x 1) 2y2 4 x ．两边再平方移项得：x2y21 ，即为所求点P 轨迹方程．43说明：经过剖析题意利用几何图形的相关性质，找出P 点与两定点 A ， B 距离之和为常数 4 ，是解本题的重点．方程化简过程也是很重要的，且化简过程也保证了等价性．典型例题九例9 过P2，4点作两条相互垂直的直线l1， l 2，若 l1交 l1轴于A， l2交 y 轴于 B ，求线段 AB 中点 M 的轨迹方程．解：连接 PM ，设M x，y，则 A 2x，0，yB 0，2 y ．BP ∵l1l 2∴PAB为直角三角形．M由直角三角形性质知O A x1ABPM2图２即x 2 2y 4 214x2 4 y 2化简得 M 的轨迹方程为2x 2 y 5 0说明：本题也能够用勾股定理求解，还能够用斜率关系求解，所以本题可有三种解法．用斜率求解的过程要麻烦一些．典型例题十例 10222（ k 是常数）的动点P 的轨迹方程．求与两定点 A 、 B 知足 PA PB k剖析：按求曲线方程的方法步骤求解．解法一：如图甲，取两定点 A 和 B 的连线为x轴，过 AB 的中点且与 AB 垂直的直线为 y 轴成立坐标系．2( x a)2y22a)2y2设 A( a , 0) ， B(a , 0) ， P( x , y) ，则：PA， PB ( x．据题意，222，有 ( x a)2y2( x a) 2y2k 2得 4ax k 2．PA PB k因为 k 是常数，且 a0 ，所以x k2P 的轨迹是一条平为动点的轨迹方程，即动点4a行于y 轴的直线．解法二：如图乙，取 A 与B 两点连线为x 轴，过 A 点且与AB 垂直的直线为y 轴成立坐标系．设 A(0,0) ， B( a , 0)， P(x , y) ，则：2x22(x a)2y 2．PA y 2， PB据题意，22k 2，有x2y 2( x a) 2y2k2，PA PBa2k 2a2k2，它是平行于y 轴的一条直线．得 x2a，即动点 P 的轨迹方程为x2a解法三：如图丙成立坐标系，设 A(x1, y1 ) ， B( x2 , y2 ) ， P( x , y) ，则2(x x1 ) 22( x x2 )( y y2 ) 2．PA( y y1 )2， PB2据题意， PA 2PB2k 2，有( x x1) 2( y y1 ) 2(x x2 ) 2( y y2 ) 2k2，整理后获得点P 的轨迹方程为：2( x2x1 ) x2( y2y1) y x12y12x22y22k20 ，它是一条直线．说明：由上边介绍的三种解法，能够看到对于同一条直线，在不一样的坐标系中，方程不同，合适成立坐标系如解法一、解法二，获得的方程形式简单、特征明显，一看便知是直线．而解法三获得的方程烦杂、冗长，若以此为基础研究其余问题，会惹起不用要的麻烦．所以，在求曲线方程时，依据详细状况适入选用坐标系十分重要．此外，也要注意到本题所求的是轨迹的方程，在作解答表述时应重申曲线的方程，而不是曲线．典型例题十一例 11 两直线分别绕着定点 A 和 B ( AB2a )在平面内转动，且转动时保持相互垂直，求两直线的交点P 的轨迹方程．剖析：成立合适的直角坐标系，利用直角三角形的性质，列出动点所知足的等式．解：取直线 AB 为x轴，取线段AB 的中点 O 为原点成立直角坐标系，则：A( a , 0) ， B(a , 0) ，P属于会合 C P22AB2PA PB．设 P(x , y) ，则 ( x a)2y2( x a) 2y2( 2a) 2，化简得 x2y2a2．这就是两直线的交点P 的轨迹方程．说明：本题易出现以下解答错误：取直线 AB 为x轴，取线段 AB 的中点 O 为原点成立直角坐标系，则：A( a , 0)， B(a , 0) ，交点P属于会合C P PA PB P k PA k PB1 ．设 P(x , y) ，则k PAy( x a) ，k PBy( x a) ，x a x ay y 故a 1，即x2y2 a 2(x a )．x a x要知道，当 PA x 轴且另向来线与x 轴重合时，仍有两直线相互垂直，此时两直线交点为 A ．相同 PB x 轴重合时，且另向来线与x 轴仍有两直线相互垂直，此时两直线交点为 B ．因此，A( a , 0) 与 B(a , 0) 应为所求方程的解．纠正的方法是：当PA 或 PB 的斜率不存在时，即x a 时，A(a , 0)和 B( a , 0) 也在曲线上，故所求的点P 的轨迹方程是x2y2 a 2．求出曲线上的点所合适的方程后，不过形式上的曲线方程，还一定对以方程的解为坐标的点作观察，既要剔除不合适的部分，也不要遗漏知足条件的部分．典型例题十二例12如图， Rt ABC 的两条直角边长分别为 a 和b( a b) ，A与B 两点分别在x 轴的正半轴和y 轴的正半轴上滑动，求直角极点 C 的轨迹方程．剖析： 由已知ACB 是直角， A 和 B 两点在座标轴上滑动时， AOB 也是直角，由平面几何知识， A 、 C 、 B 、 O 四点共圆，则有 ABC AOC ，这就是点 C 知足的几 何条件．由此列出极点 C 的坐标合适的方程．解：设点 C 的坐标为 ( x , y) ，连接 CO ，由ACB AOB 90 ，所以 A 、O 、B 、C 四点共圆．b，tan AOCy ，有 y b ，即 ybx ．从而 AOCABC ．由 tan ABCax x aa注意到方程表示的是过原点、斜率为b的一条直线，而题目中的A 与B 均在两坐标轴bC a点的轨迹不会是一条直线， 而是直线的一部分． 我的正半轴上滑动， 因为 a 、 为常数， 故们可观察 A 与 B 两点在座标轴上的极端地点，确立C 点坐标的范围．以下列图，当点A 与原点重合时，SABC1AB x1 a2 b 2 x ，所以 xab ．22a 2b 2以下列图，当点B 与原点重合时，C 点的横坐标 x BD ．由射影定理， BC2BD AB ，即 a 2xa 2b 2 ，有 xa 2 ．由已知 ab ，ab a2．所以b2a2a2b2故 C 点的轨迹方程为：y bx （ab x a 2）．a a2b2 a 2b2说明：求出曲线上的点所合适的方程后，不过形式上的曲线方程，还一定对以方程的解为坐标的点作观察，剔除不合适的部分．典型例题十三例 13 过点P(3 , 2)作两条相互垂直的直线l1、l2，若 l1交 x 轴于A， l2交y轴于B，M 在线段 AB 上，且 AM : BM1: 3，求 M 点的轨迹方程．剖析：如图，设 M ( x , y) ，题中几何条件是 l1l 2，在分析几何中要表示垂直关系的代数关系式就是斜率乘积为－1，所以要求M的轨迹方程即x 、y之间的关系，第一要把 l 1、l 2的斜率用 x 、y表示出来，而表示斜率的重点是用x 、y表示A、B两点的坐标，由题可知 M 是 A 、 B 的定比分点，由定比分点坐标公式即可找出 A 、 B 、 M 坐标之间的关系，从而表示出 A 、 B 两点的坐标，并求出 M 点的轨迹方程．解：设 M (x , y) ， A(a , 0) ， B(0 , b)∵ M 在线段 AB 上，且 AM : BM 1:3．∴ M 分AB所成的比是 1 ，3xa1143a x ，由1，得3bb4y y3113∴ A(4x , 0) 、 B(0 , 4 y) 3又∵ P(3 , 2) ， ∴ l 1 的斜率 k 12， l 2 的斜率 k 24 y2 4 ．3 x3324 y 2∵ l 11．l 2 ，∴34x33化简得： 4x 8y 130 ．说明： 本题的上述解题过程其实不严实，因为 k 1 需在 x9x9时才能成立，而当时，44 A(3 , 0) ， l 1 的方程为 x 3 ．所以 l 2 的方程是 y2．故 B(0, 2)，可求得 M (9 1 , ) ，而( 9 , 1) 也知足方程 4x4 28 y 13 0 ．故所求轨迹的方程是4x 8 y 13 0 ．这种题在解4 2答时应注意考虑齐备性和纯粹性．典型例题十四例14如图，已知两点 P( 2 , 2) ，Q(0 , 2)以及向来线l ：yx，设长为2 的线段AB在直线l 上挪动．求直线PA 和 QB 的交点M 的轨迹方程．剖析 1：设 M ( x , y) ，题中的几何条件是 AB2 ，所以只要用 ( x , y) 表示出 A 、 B两点的坐标，即可求出曲线的方程，而要表示A 点坐标可先找出 A 、 M 两点坐标的关系，明显 P 、 A 、 M 三点共线． 这样即可找出 A 、 M 坐标之间的关系，从而表示出 A 的坐标， 同理即可表示出 B 的坐标，问题便能够水到渠成．解法一： 设 M ( x , y) 、 A( a , a) 、 B(b , b) (b a) ．由 P 、 A 、M 三点共线可得：a2 y2（利用 PA 与 MP 斜率相等获得）a2 x 22x 2 y∴ a．x y 4由 Q 、B、M三点共线可得b2 y 2 ．b x2x∴ b．x y 2又由 AB 2 得2(a b)2 2 ．∴ b a 1，∴2x2x 2 y 1 ．y2x y4x化简和所求轨迹方程为：x2y2 2 x 2 y 8 0 ．剖析 2：本题也能够先用P 、 A 、 M 三点共线表示出 A 点坐标，再依据 AB 2 表示出 B 点坐标，而后利用Q 、B、M三点共线也可求得轨迹方程．解法二：设 M ( x , y) ， A( a , a)由 AB 2 且 B 在直线 y x 上且 B 在 A 的上方可得：B( a 1 , a 1)由解法一知2x 2 y ay，x4∴B(3x y 4 , 3x y 4 )x y 4 x y 4又由 Q 、B、M三点共线可得：3x y4 x y 2y 24．3x y4xx y4化简得所求轨迹方程为：x2y2 2 x 2 y 8 0 ．解法三：因为 AB 2 且 AB 在直线 y x 上所以可设 A(a , a)， B(a 1 , a1) ．则直线 AP 的方程为：(a2)( y 2) (a 2)( x 2)直线 BQ 的方程为： (a 1)( y 2) (a 1)xx21 a由上述两式解得a( a0)2y1aa( x1) 2a244∴a 2422( y1)a a24∴ ( x 1)2( y 1)28 ，即 x 2y 22x 2 y8 0 ．而当 a0 时，直线 AP 与BQ平行，没有交点．∴所求轨迹方程为x2y 22x 2 y 8 0 ．说明：本题的前两种方法属于直接法，相对较繁，尔后一种方法，事实上它波及到参数的思想 ( a为参数 )，利用交点求轨迹方程．一般先把交点表示为对于参数的坐标，而后消去参数，这也反应出运动的看法．。
高一数学方程曲线练习题
高一数学方程曲线练习题一、单项选择题（在每小题列出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的。
错选、多选或未选均无分。
）1.双曲线x2－2y2＝16的渐近线方程为( )A.y ＝±2xB.y ＝±2xC.y ＝±12xD.y ＝±22x 2.a=5,焦距为4,焦点在y 轴上的椭圆方程是（ ）A.2212125y x += B.2212521y x += C.221254y x += D.221425y x += 3.焦点在y 轴上,a=3,b=4的双曲线方程是（ ）A.221169y x -= B.221916x y -= C.221169x y -=D.221916y x -= 4.ax2+by2=ab 且ab<0,则这曲线是（ ）A.双曲线B.椭圆C.圆D.射线 5.双曲线22148y x -=的渐近线方程是( ) A.y ＝±2x B.y ＝±22x C.y ＝±x D.y ＝±2x 6.双曲线221916x y -=的渐近线方程是( ) A.y ＝±34x B.y ＝±43x C.y ＝±916x D.y ＝±169x 7.椭圆x225＋y24=1的长轴长为 （ ） A.10 B.5C.4D.28.双曲线x29－y216=－1的顶点坐标为 （ ） A.（±4，0），（0，±3）B.（±3，0），（0，±4）C.（±3，0）D.（0，±4）9.已知ax2＋y2＝1，当－1＜a ＜0时，方程所表示的曲线为 （ ）A.焦点在y 轴上的椭圆B.焦点在x 轴上的椭圆C.焦点在x 轴上的双曲线D.焦点在y 轴上的双曲线10.椭圆短轴的一个端点到焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3，则椭圆的标准方程为（ ）A.y225＋x216＝1B.x225＋y216＝1 C.y225＋x216＝1或x225＋y216＝1 D.y225＋x29＝1 11.若椭圆的两半轴之和为8，它的焦点与双曲线x2－y2＝8的焦点相同，则椭圆的离心率为（ ）A.45B.35C.12D.2212.过点（2，3）的等轴双曲线方程是 （ ） A.x24－y29＝1 B.y25－x25＝1 C.x213－y213＝1 D.y213－x213＝1 13.平面内到两定点F1（－5，0），F2（5，0）的距离之差的绝对值等于6的点的轨迹方程是（ ）A.29x ＋216y ＝1B.225x ＋29y ＝1 C.29x －216y ＝1 D.216x －29y ＝1 14.在下列双曲线中，以y ＝12x 为渐近线的双由线是 （ ） A.216x －24y ＝1 B.24x －216y ＝1 C.22x －21y ＝1 D.21x －22y ＝1 15.椭圆22x a ＋22y b＝1的离心率是方程2x2－5x ＋2＝0的一个根，长轴长2a ＝8，则焦点坐标为 （ ）A.（±4，0）B.（0，±2）C.（±2，0）D.，0）16.设椭圆22x a ＋22y b＝1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B 且｜BF2｜＝｜F1F2｜＝2，则该椭圆的方程为 （ ） A.24x ＋23x ＝1 B.23x ＋y2＝1 C.22x ＋y2＝1 D.24x ＋y2＝1 17.已知双曲线x225－y29＝1的两个焦点分别是F1，F2，双曲线上一点P 到F1的距离是12，则点P 到F2的距离是（ ）A.17B.7C.7或17D.2或2218.双曲线y2－x2＝2的渐近线方程是（ ）A.y ＝±xB.y ＝±2xC.y ＝±3xD.y ＝±2x19.已知动点P （x ，y ）到两个定点F1（－3，0），F2（3，0）的距离之和为10，则动点P 的轨迹方程是（ ）A.x225－y216＝1B.x225＋y216＝1 C.y225－x216＝1 D.y225＋x216＝1 20.若椭圆x216＋y2m＝1经过点M （2，15），则（ ） A.椭圆的长轴长为25，焦点在y 轴上B.椭圆的长轴长为45，焦点在y 轴上C.椭圆的长轴长为8，焦点在x 轴上D.椭圆的长轴长为4，焦点在x 轴上二、填空题21.椭圆4x2＋9y2＝36的a,b 值分别为 .22.已知椭圆的短轴长等于焦距,则离心率为 .23.双曲线221819x y -=的焦距为 . 24.以（±5，0）为焦点，且过点（0，4）的椭圆的标准方程为 .25.若双曲线中心在原点，对称轴为坐标轴，焦距为8，一个顶点为（2，0），则该双曲线的标准方程为 .26.双曲线x29－y227＝1的离心率为 . 27.已知双曲线x2a －y212＝1的离心率为2，则a ＝ . 28.已知椭圆25x ＋2y k＝1，则k ＝ . 29.到定点F1（－4，0），F2（4，0）的距离之和等于10的点的轨迹方程为 .30.过双曲线x216－y29＝1的焦点，且垂直于x 轴的直线交双曲线于A ，B 两点，则｜AB ｜＝ .三、解答题（解答题应写出文字说明及演算步骤）31.已知椭圆的中心在原点,有一个焦点与抛物线y2＝－8x 的焦点重合,且椭圆的离心率e ＝23,求椭圆的标准方程. 32.求下列椭圆的焦点、焦距.(1)4x2＋y2＝16; (2)x2＋4y2＝1.33.求双曲线221124y x -=的实轴长、虚轴长、顶点坐标、离心率及渐近线方程. 34.已知椭圆x29＋y2m =1（9>m>0）与双曲线x29－y2n=1的离心率分别是9x2－18x ＋8=0的两根，求m ，n 的值.35.求以3x ±2y=0为渐近线，且过点（－4，33）的双曲线的标准方程.答案一、单项选择题1.D2.B 【提示】 焦距是4,故c=2,a=5,所以b2=21,所以方程是2212521y x +=. 3.D 【提示】 由题意知方程是221916y x -=,故选D. 4.A 【提示】 双曲线ax2+by2=ab 且（ab<0）化简为221x y b a+=,其中ab 异号,所以该曲线表示双曲线,故选A.5.B6.B7.A 【提示】a2＝25，∴a ＝5，∴2a ＝10.8.D【提示】x29－y216＝－1，即y216－x29＝1，∴a2＝16，∴a ＝4，∴顶点坐标为（0，±4）. 9.D 【提示】当－1＜a ＜0时，2x 的系数是负数，2y 系数为正数，根据解析式的特征，方程所表示的曲线为焦点在y 轴上的双曲线，故选D.10.C11.A12.B13.C14.A15.C16.A17.D 【提示】 由双曲线定义知|||PF1|－|PF2|＝2a ，∵a2＝25，a ＝5，∴｜12－｜PF2｜｜＝10，解得｜PF2｜＝2或22，故选D ．18.A 【提示】 方程可化为y22－x22＝1，a2＝b2＝2，焦点在y 轴，渐近线方程为y ＝±a b x ，即y ＝±22x ＝±x ． 19.B 【提示】∵2a ＝10，∴a ＝5.又∵c ＝3，∴b2＝a2－c2＝25－9＝16，∴动点P 的轨迹方程是x225＋y216＝1. 20.B 【提示】∵将点M （2，15）代入x216＋y2m ＝1得416＋15m ＝1，∴m ＝20，∴方程为x216＋y220＝1，则a2＝20，a ＝25，∴长轴长2a ＝45，焦点在y 轴上． 二、填空题21.3 2 22.2223.61024.x241＋y216＝1 【提示】c ＝5，b ＝4，∴a2＝b2＋c2＝25＋16＝41，∴椭圆的标准方程为x241＋y216＝1. 25.22412x y -＝1 【解析】焦点在x 轴上，且c ＝4，a ＝2，∴b2＝c2－a2＝16－4＝12，∴双曲线的标准方程为22412x y -＝1. 26.2 【解析】a2＝9，b2＝27，∴c2＝a2＋b2＝36，∴a ＝3，c ＝6，∴离心率e ＝c a＝2.27.428.4或25429.x225＋y29＝1 【提示】 根据椭圆定义得c ＝4，2a ＝10⇒a ＝5，∴b2＝a2－c2＝25－16＝9，故椭圆的标准方程为x225＋y29＝1． 30.92【提示】取右焦点F （5，0），直线方程为x ＝5，则⎩⎨⎧x216－y29＝1，x ＝5，解得⎩⎨⎧x ＝5，y ＝94或⎩⎨⎧x ＝5，y ＝－94，即A 95,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，B 95,4⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴｜AB ｜＝92. 三、解答题31.解 ∵2p ＝8,即2p ＝2,∴抛物线焦点F 的坐标为F(－2,0),即椭圆的焦距2c ＝4,∵椭圆的离心率e ＝c a＝23,∴a ＝3,b＝5,∴椭圆的标准方程为2295x y +＝1. 32.(1)焦点(0,±23) 焦距4 3 (2)焦点⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭焦距 333.实轴长4 3 虚轴长4 顶点坐标(0,±23) 离心率233渐近线y ＝±3x34.解：由9x2－18x ＋8＝0解得x1＝23，x2＝43， ∴椭圆离心率23，双曲线离心率为43， 即9－m 9＝49，∴m ＝5，9＋n 9＝169，∴n ＝7. 35.解：设双曲线方程为9x2－4y2＝λ（λ≠0），将点（－4，33）代入，得λ＝36， ∴双曲线方程为9x2－4y2＝36，即x24－y29＝1.。
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曲线和方程练习题一、选择题1、（2014·安徽高考文科·Ｔ3）抛物线214y x =的准线方程是（ ） A. 1-=y B. 2-=y C. 1-=x D. 2-=x 【解题提示】 将抛物线化为标准形式即可得出。
【解析】选A 。
22144y x x y =?，所以抛物线的准线方程是y=-1.2. (2014·新课标全国卷Ⅱ高考文科数学·T10) (2014·新课标全国卷Ⅱ高考文科数学·T10)设F 为抛物线C:y 2=3x 的焦点,过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点,则 AB = ( )A.B.6C.12D. 【解题提示】画出图形,利用抛物线的定义求解. 【解析】选C.设AF=2m,BF=2n,F 3,04⎛⎫⎪⎝⎭.则由抛物线的定义和直角三角形知识可得,2m=2·34·34n,解得m=32 ),n=32所以m+n=6. AB=AF+BF=2m+2n=12.故选C.3. (2014·新课标全国卷Ⅱ高考理科数学·T10)设F 为抛物线C:y 2=3x 的焦点,过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为( )A.4 B. 8 C. 6332 D. 94【解题提示】将三角形OAB 的面积通过焦点“一分为二”,设出AF,BF,利用抛物线的定义求得面积.【解析】选D.设点A,B 分别在第一和第四象限,AF=2m,BF=2n,则由抛物线的定义和直角三角形知识可得,2m=2·34+m,2n=2·34-n,解得m=32 (2+),n=32 (2-),所以m+n=6.所以S △OAB=1324⋅·(m+n)=94.故选D. 4. （2014·四川高考理科·Ｔ10）已知F 为抛物线x y =2的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=u u u r u u u r（其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是（ ）A. 2B.3C.8【解题提示】【解析】选B. 可设直线AB 的方程为：x ty m =+，点11(,)A x y ，22(,)B x y ，又1(,0)4F ，则直线AB 与x 轴的交点(,0)M m ，由220x ty my ty m y x=+⎧⇒--=⎨=⎩，所以12y y m =-，又21212121222()20OA OB x x y y y y y y ⋅=⇒+=⇒+-=u u u r u u u r，因为点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，所以122y y =-，故2m =，于是122111211111112224224ABO AFO S S x y x y y y y y ∆∆+=-+⨯⨯=⨯⨯-+⨯⨯=111218y y y ++119238y y =+≥=，当且仅当11192483y y y =⇔=时取“=”， 所以ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是3.5. （2014·四川高考文科·Ｔ10）与（2014·四川高考理科·Ｔ10）相同已知F 为抛物线x y =2的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=u u u r u u u r（其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是（ ） A. 2B.3C.【解题提示】【解析】选B.可设直线AB 的方程为：x ty m =+，点11(,)A x y ，22(,)B x y ，又1(,0)4F ，则直线AB 与x轴的交点(,0)M m ，由220x ty my ty m y x=+⎧⇒--=⎨=⎩，所以12y y m =-，又21212121222()20OA OB x x y y y y y y ⋅=⇒+=⇒+-=u u u r u u u r，因为点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，所以122y y =-，故2m =，于是122111211111112224224ABO AFO S S x yx y y y y y ∆∆+=-+⨯⨯=⨯⨯-+⨯⨯=111218y y y ++119238y y =+≥=，当且仅当11192483y y y =⇔=时取“=”， 所以ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是3.6. （2014·辽宁高考理科·Ｔ10）已知点(2,3)A -在抛物线2:2C y px =的准线上,过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ,记C 的焦点为F ,则直线BF 的斜率为1134()()()()2343A B C D【解题提示】由抛物线的定义知p 的值，也就确定了抛物线的方程和焦点坐标；进而结合导数的几何意义求出切点Ｂ的坐标，利用直线的斜率公式求出直线BF 的斜率 【解析】选Ｄ. 根据已知条件得22p-=-，所以 4.p =从而抛物线方程为28y x =，其焦点(2,0)F ． 设切点00(,)B x y ，由题意，在第一象限内2822y x y x =⇒=．由导数的几何意义可知切线的斜率为02AB x x k y x ='==，而切线的斜率也可以为003(2)AB y k x -=--又因为切点00(,)B x y 在曲线上，所以2008y x =．由上述条件解得008x y ==． 即(8,8)B ．从而直线BF 的斜率为804823-=-． 二、填空题1. （2014·湖南高考理科·Ｔ15）如图，正方形ABCD DEFG 和正方形的边长分别为,()a b a b <，原点O 为AD 的中点，抛物线22(0)y px p =>经过,bC F a=两点，则【解题提示】有正方形的边长给出点C,F 的坐标带入抛物线方程求解。
【解析】由题可得),2(a a C -，),2(b b a F +，则12,)2(222+=⎪⎩⎪⎨⎧+==ba b ap b paa 。
答案: 12+ 3.2. （2014·上海高考理科·Ｔ4）2222195_________.x y y px =+=若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 【解题提示】先求出椭圆的右焦点坐标，从而求出p 的值，即得抛物线的准线方程. 【解析】根据椭圆的右焦点坐标F(2，0)得p=4,所以抛物线的准线方程为x=-2. 答案：x=-2.3. （2014·山东高考文科·Ｔ15）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的焦距为2c ，右顶点为A ，抛物线()220x py p =>的焦点为F ，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c ，且FA c =，则双曲线的渐近线方程为 .【解题指南】本题考查了双曲线知识，利用双曲线与抛物线的交点为突破口求出a,b 之间的关系，进而求得双曲线的渐近线方程. 【解析】 由题意知222Pc a b =-=， 抛物线准线与双曲线的一个交点坐标为,2P c ⎛⎫⎪⎝⎭，即(),c b -代入双曲线方程为22221c b a b-=，得222c a =，∴渐近线方程为y x =±，2211b c a a ∴=-=.答案： y x =±4.(2014·陕西高考文科·T11)抛物线y 2=4x 的准线方程为 .【解题指南】根据抛物线y 2=2px 的准线方程为x=-可以得到所求准线方程. 【解析】根据抛物线的几何性质得抛物线y 2=4x 的准线方程为x=-1. 答案:x=-1三、解答题1.（2014·福建高考文科·Ｔ21）21．（本小题满分12分） 已知曲线Γ上的点到点(0,1)F 的距离比它到直线3y =-的距离小2.（1）求曲线Γ的方程；（2）曲线Γ在点P 处的切线l 与x 轴交于点A .直线3y=分别与直线l 及y 轴交于点,M N ，以MN 为直径作圆C ，过点A 作圆C 的切线，切点为B ，试探究：当点P 在曲线Γ上运动（点P 与原点不重合）时，线段AB 的长度是否发生变化？证明你的结论.【解题指南】（1）由题意曲线Γ符合抛物线的定义，直接写出曲线方程．（2）利用点P 的坐标表示直线l 的方程，求出点A ，点M 的坐标，进而求出圆C 的圆心和半径，表示出AB 的长，经过计算为定值．【解析】.方法一（1）设(,)S x y 为曲线Γ上任意一点，依题意，点S 到(0,1)F 的距离与它到直线1y =-的距离相等， 所以曲线Γ是以点(0,1)F 为焦点，直线1y =-为准线的抛物线， 所以曲线Γ的方程为24x y =.（2）当点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变，证明如下： 由（1）知抛物线Γ的方程为214y x =， 设000(,)(0)P x y x ≠，则20014y x =， 由'12y x =，得切线l 的斜率0'012x x k y x ===， 所以切线l 的方程为0001()2y y x x x -=-，即2001124y x x x =-.由20011240y x x x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，得01(,0)2A x .由20011243y x x x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，得0016(,3)2M x x +.又(0,3)N ，所以圆心0013(,3)4C x x +， 半径00113||||24r MN x x ==+，222220000011313||||[()]3()6244AB AC r x x x x x =-=-++-+=.所以点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变.方法二：（1）设(,)S x y 为曲线Γ上任意一点， 则22|(3)|(0)(1)2y x y --=-+-=，依题意，点(,)S x y 只能在直线3y =-的上方，所以3y >-， 22(0)(1)1x y y -+-=+， 化简得，曲线Γ的方程为24x y =.（2）同方法一.2. （2014·浙江高考文科·Ｔ22）已知ABP ∆的三个顶点在抛物线C ：24x y=上，F 为抛物线C 的焦点，点M 为AB 的中点，3PF FM =u u u r u u u u r；（1）若||3PF =，求点M 的坐标； （2）求ABP ∆面积的最大值.【解题提示】（1）根据抛物线的定义，利用条件|PF|=3，求建立方程关系即可求点M 的坐标；（2）设直线AB 的方程为y=kx+m ，利用直线和抛物线联立结合弦长公式公式以及点到直线的距离公式，利用导数即可求出三角形面积的最值．【解析】（1）由题意知焦点(0,1)F ，准线方程为y 1=-， 设00P(x ,y )，由抛物线的定义可知0PF y 1=+，解得0y 2=，所以0x 22=±即P(22,2)或(2,2)-由PF 3FM =u u r u u u u r ，得22()33M -或22()33M 。