2019届高考数学二轮复习第一篇求准提速基础小题不失分第15练直线与圆练习文
冲刺高考数学二轮复习核心考点特色突破专题：15直线与圆(2)(含解析)
专题15 直线与圆（2）【自主热身，归纳总结】1、 圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)的圆的标准方程为________． 【答案】： (x －1)2＋(y ＋4)2＝8解法1 设圆心为(a ，－4a )，则有r ＝|a －4a －1|2＝a －2＋－4a ＋2，解得a ＝1，r ＝22，则圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.解法2 过点P (3，－2)且垂直于直线x ＋y －1＝0的直线方程为x －y －5＝0，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y －5＝0，y ＝－4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－4，则圆心坐标为(1，－4)，半径为r ＝－2＋－4＋2＝22，故圆的方程为(x－1)2＋(y ＋4)2＝8.2、 在平面直角坐标系xOy 中，若直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝16相交于A ，B 两点，且△ABC 为直角三角形，则实数a 的值是________． 【答案】： －1【解析】：因为△ABC 为直角三角形，所以BC ＝AC ＝r ＝4，所以圆心C 到直线AB 的距离为22，从而有|a ＋a －2|a 2＋1＝22，解得a ＝－1. 3、 已知直线l ：x ＋3y －2＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，则弦AB 的长度为________. 【答案】：. 2 3【解析】：圆心C (0,0)到直线l 的距离d ＝|0＋3×0－2|1＋3＝1，由垂径定理得AB ＝2R 2－d 2＝24－1＝23，故弦AB 的长度为2 3.4、已知过点的直线被圆截得的弦长为4，则直线的方程为 . 【答案】：或【解析】：化成标准式为：.因为截得弦长为4小于直径故该直线必有两条且圆心到直线的距离为.当斜率不存在时，(25)，l l20x -=，显然符合要求。
当斜率存在时，，，截得， 故直线为.5、在平面直角坐标系xOy 中，若动圆C 上的点都在不等式组⎩⎨⎧x ≤3，x －3y ＋3≥0x ＋3y ＋3≥0，表示的平面区域内，则面积最大的圆C 的标准方程为________． 【答案】： (x －1)2＋y 2＝4【解析】：首先由线性约束条件作出可行域，面积最大的圆C 即为可行域三角形的内切圆(如图)，由对称性可知，圆C 的圆心在x 轴上，设半径为r ，则圆心C(3－r ，0)，且它与直线x －3y ＋3＝0相切，所以|3－r ＋3|1＋3＝r ，解得r ＝2，所以面积最大的圆C 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝4.6、在平面直角坐标系xOy 中，若圆(x －2)2＋(y －2)2＝1上存在点M ，使得点M 关于x 轴的对称点N 在直线kx ＋y ＋3＝0上，则实数k 的最小值为________．:2lx=43k =l7、已知经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32的两个圆C 1，C 2都与直线l 1：y ＝12x ，l 2：y ＝2x 相切，则这两圆的圆心距C 1C 2＝________. 【答案】 459【解析】：易求直线C 1C 2的方程为y ＝x ，设C 1(x 1，x 1)，C 2(x 2，x 2)， 由题意得C 1(x 1，x 1)到直线2x －y ＝0的距离等于C 1P ，即|2x 1－x 1|5＝x 1－2＋x 1－322，整理得9x 21－25x 1＋654＝0，同理可得9x 22－25x 2＋654＝0，所以x 1，x 2是方程9x 2－25x ＋654＝0的两个实数根，从而x 1＋x 2＝259，x 1x 2＝6536，所以圆心距C 1C 2＝2|x 1－x 2|＝2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫2592－4×6536＝459. 8、在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝2，点A 是x 轴上的一个动点，AP ，AQ 分别切圆C 于P ，Q 两点，则线段PQ 长的取值范围是________． 【答案】 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫2143，22 【解析】：设∠PCA ＝θ，所以PQ ＝22sin θ.又cos θ＝2AC，AC ∈[3，＋∞)，所以cos θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23，所以cos 2θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，29，sin 2θ＝1－cos 2θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫79，1，所以sin θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫73，1，所以PQ ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫2143，22.解后反思 与切线有关的问题，一般都不需要求出切点，而是利用直线与圆相切时所得到的直角三角形转化为点与圆心的距离问题求解．9、在平面直角坐标系xOy 中，已知点，点，为圆上一动点，则的最大值是 ． 【答案】、2(02)A -，(11)B -，P 222x y +=PBPA【解析】1：设，则，，令，即，则动直线与圆必须有公共点，所以，解得，所以，即，的最大值是. （有了上面的解法，也可设，直接通过动直线与圆有公共点来解决） 【解析】2：设，则，令，则，即，因为，所以，则动直线与圆必须有公共点，所以，解得，即，的最大值是. 【解析】3：因为为圆上一动点，故设（），(,)Pxy 222x y +=1232x t y -=+222x y +=71t -≤≤[0,2]PB PA∈PBPA2222x y +=(,)Pxy 222x y +=222x y +=222x y +=04λ≤≤[0,2]PBPA∈PBPA2P 222x y +=R θ∈则令，整理为，由，解得，从而，的最大值是. 10、在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝9，直线l ：y ＝kx ＋3与圆C 相交于A ，B 两点，M 为弦AB 上一动点，以M 为圆心，2为半径的圆与圆C 总有公共点，则实数k 的取值范围为 ． 【答案】 思路分析：根据两个圆的位置关系的判断方法，本题即要求则可，根据图形的对称性， 当点位于的中点时存在公共点，则在其它位置时，一定存在公共点，由点到直线的距离不难得到答案。
高考数学二轮核心考点突破：专题15-直线与圆(2)(有答案解析)
t 的值为
________ ．
【答案】 4
解法 1 设点 D( x，y) ，因为 AD≤２BD，A(0,1) ，B(1 ，0) ，所以 x2＋ y－
2≤２
x－
2＋ y 2，整理得
4 x－ 3
2
＋
1 y＋3
28 ≥ 9，它表示以
41
22
3，－ 3 为圆心，以 3 为半径的圆及其外部，又因为直线
x AC为 t ＋ y＝ 1，即 x＋ ty
＝
2
a－ 2＋ － 4a＋ 2，解得 a＝ 1，r ＝ 2 2，则圆的
方程为 ( x－ 1) 2＋ ( y＋ 4) 2＝ 8.
x－ y－ 5＝0，
解法 2 过点 P(3 ，－ 2) 且垂直于直线 x＋ y－ 1＝ 0 的直线方程为 x－ y－ 5＝ 0，联立方程组
解
y＝－ 4x，
x＝ 1， 得
y＝－ 4，
2
2
【解析】：设∠ PCA＝ θ ，所以 PQ＝ 2 2sin θ . 又 cos θ＝ AC，AC∈ [3 ，＋∞ ) ，所以 cos θ ∈ 0， 3 ，所以
cos 2θ ∈
2 0， 9
， sin 2θ ＝ 1－ cos 2θ ∈
7 9， 1
，所以
sin θ ∈
37， 1 ，所以 PQ∈ 2 314， 2 2 .
5
2 ＝ ＝ 2，得
2 r 2＋ (
2) 2＝r 2，解得 r 2 ＝10，所以 r ＝ 10.
2
5
【问题探究，变式训练】 例 1、在平面直角坐标系 xOy中，圆 O：x2＋ y2＝ 1，圆 M：( x＋ a＋ 3) 2＋( y－ 2a) 2 ＝1( a 为实数 ) ．若圆 O与圆 M
高考数学二轮复习小题专项练习(十)直线与圆理
小题专项练习(十) 直线与圆一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[·哈尔滨市第三中学第三次模拟]圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,3)的圆的方程是( )A ．x 2＋(y －2)2＝1B ．x 2＋(y ＋2)2＝1C ．x 2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y ＋3)2＝12．[·浙江杭州第二次质检]设圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：(x －2)2＋(y ＋2)2＝1，则圆C 1与圆C 2的位置关系是( )A ．外离B ．外切C ．相交D ．内含3．[·辽宁模拟]将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( )A ．x ＋y －1＝0B ．x ＋y ＋3＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x －y ＋3＝04．[·福建三明市模拟试卷二]与双曲线x 22－y 2＝1的渐近线平行，且距离为6的直线方程为( )A ．x ±2y －6＝0 B.2x ±2y ±6＝0C ．x ±2y ±6＝0 D.2x ±2y ＋6＝05．[·丹东总复习质量测试]圆心为(2,0)的圆C 与圆x 2＋y 2＋4x －6y ＋4＝0相外切，则C 的方程为( )A ．x 2＋y 2＋4x ＋2＝0B ．x 2＋y 2－4x ＋2＝0C ．x 2＋y 2＋4x ＝0D ．x 2＋y 2－4x ＝06．[·浙江杭州二中月考 ]已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＝1，直线l ：y ＝k (x －1)＋1，则l与C 的位置关系是( )A ．一定相离B ．一定相切C ．相交且一定不过圆心D ．相交且可能过圆心7．[·四川高三联测]过点(1,0)且倾斜角为30°的直线被圆(x －2)2＋y 2＝1所截得的弦长为( )A.32B ．1 C. 3 D ．2 38．[·哈尔滨六中第三次模拟]已知抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，以F 为圆心的圆与抛物线交于M ，N 两点，与抛物线的准线l 交于P ，Q 两点，当四边形MNPQ 为矩形时，圆F 的方程为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝8 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝19．[·临川一中全真模拟]已知定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，N 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P ，则点P 的轨迹是( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线10．[·山东日照校际联合考试]已知F 1，F 2为双曲线C ：x 216－y 29＝1的左、右焦点，P 为C 上异于顶点的点，直线l 分别与以PF 1，PF 2为直径的圆相切于A ，B 两点，则|AB |＝( ) A.7 B ．3C ．4D ．511．[·四川蓉城四月联考]已知圆C 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，C 2：(x －5)2＋y 2＝225，动圆C满足与C 1外切且与C 2内切，若M 为C 1上的动点，且CM →·C 1M →＝0，则|CM →|的最小值为( )A ．2 2B ．2 3C ．4D ．2 512．[·安徽示范高中第八次月考]已知圆C 经过原点O 且圆心在x 轴正半轴上，经过点N (－2,0)且倾斜角为30°的直线l 与圆C 相切于点Q ，点Q 在x 轴上的射影为点P ，设点M为圆C 上的任意一点，则|MN ||MP |＝( ) A ．4 B ．3C ．2D ．1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上．13．[·浙江绍兴一中模拟]已知直线l 1：3x ＋y －1＝0，l 2：ax ＋y ＝1，且l 1⊥l 2，则l 1的倾斜角为________，原点到l 2的距离为________．14．[·全国卷Ⅰ]直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＋2y －3＝0交于A ，B 两点，则|AB |＝________.15．[·天津卷]在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为__________________．16．[·福建南平综合质量检查]直线l 与椭圆C ：x 24＋y 22＝1，相交于P ，Q 两点，若OP ⊥OQ (O 为坐标原点)，则以O 点为圆心且与直线l 相切的圆的方程为________．。
2019版二轮复习数学(理)全国版专题五 第一讲 小题考法——直线与圆
[全国卷3年考情分析]第一讲小题考法——直线与圆[典例感悟][典例](1)“ab＝4”是“直线2x＋ay－1＝0与直线bx＋2y－2＝0平行”的() A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件(2)过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点，且到点P(0,4)距离为2的直线方程为()A．y＝2 B．4x－3y＋2＝0C．x＝2 D．y＝2或4x－3y＋2＝0[解析] (1)因为两直线平行，所以2×2－ab ＝0，可得ab ＝4，必要性成立，又当a ＝1，b ＝4时，满足ab ＝4，但是两直线重合，充分性不成立，故选C.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋3＝0，2x ＋3y －8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.∴l 1与l 2的交点为(1,2)．当所求直线斜率不存在，即直线方程为x ＝1时，显然不满足题意．当所求直线斜率存在时，设该直线方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y ＋2－k ＝0， ∵点P (0,4)到直线的距离为2， ∴2＝|－2－k |1＋k 2，∴k ＝0或k ＝43.∴直线方程为y ＝2或4x －3y ＋2＝0. [答案] (1)C (2)D[方法技巧]直线方程问题的2个关注点(1)求解两条直线平行的问题时，在利用A 1B 2－A 2B 1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的情况．(2)求直线方程时应根据条件选择合适的方程形式，同时要考虑直线斜率不存在的情况．[演练冲关]1．(2018·洛阳模拟)已知直线l 1：x ＋my －1＝0，l 2：nx ＋y －p ＝0，则“m ＋n ＝0”是“l 1⊥l 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C ①若m ＋n ＝0，当m ＝n ＝0时，直线l 1：x －1＝0与直线l 2：y －p ＝0互相垂直；当m ＝－n ≠0时，直线l 1的斜率为－1m ，直线l 2的斜率为－n ，∵－1m ·(－n )＝－1m ·m＝－1，∴l 1⊥l 2.②当l 1⊥l 2时，若m ＝0，l 1：x －1＝0，则n ＝0，此时m ＋n ＝0；若m ≠0，则－1m·(－n )＝－1，即－n ＝m ，有m ＋n ＝0.故选C.2．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2间的距离为( ) A. 2B.823C. 3D.833解析：选B 由l 1∥l 2，得(a －2)a ＝1×3，且a ×2a ≠3×6，解得a ＝－1，所以l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0，所以l 1与l 2间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪6－2312＋(－1)2＝823.3．直线x ＋2y －3＝0与直线ax ＋4y ＋b ＝0关于点A (1,0)对称，则b ＝________. 解析：因为两直线关于点A (1,0)对称，在直线x ＋2y －3＝0上取两点M (1,1)，N (5，－1)，M ，N 关于点A (1,0)对称的点分别为M ′(1，－1)，N ′(－3,1)，则M ′(1，－1)，N ′(－3,1)都在直线ax ＋4y ＋b ＝0上，即⎩⎪⎨⎪⎧a －4＋b ＝0，－3a ＋4＋b ＝0，解得a ＝b ＝2.答案：2[典例] (1)已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )A.53 B.213C.253D.43(2)已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程为____________________．[解析] (1)设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋D ＋F ＝0，3＋3E ＋F ＝0，7＋2D ＋3E ＋F ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝－433，F ＝1，∴△ABC 外接圆的圆心为⎝⎛⎭⎫1，233，故△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为1＋⎝⎛⎭⎫2332＝213.(2)易知直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点为(－1,0)， 即圆C 的圆心坐标为(－1,0)． 因为直线x ＋y ＋3＝0与圆C 相切，所以圆心(－1,0)到直线x ＋y ＋3＝0的距离等于半径r ，即r ＝|－1＋0＋3|2＝2，所以圆C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2. [答案] (1)B (2)(x ＋1)2＋y 2＝2[方法技巧]圆的方程的2种求法[演练冲关]1．(2018·长沙模拟)与圆(x －2)2＋y 2＝4关于直线y ＝33x 对称的圆的方程是( ) A ．(x －3)2＋(y －1)2＝4 B ．(x －2)2＋(y －2)2＝4 C ．x 2＋(y －2)2＝4 D ．(x －1)2＋(y －3)2＝4解析：选D 圆与圆关于直线对称，则圆的半径相同，只需圆心关于直线对称即可．由题意知已知圆的圆心坐标为(2,0)，半径为2，设所求圆的圆心坐标为(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b －0a －2×33＝－1，b ＋02＝33×a ＋22，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，所以所求圆的圆心坐标为(1，3)，半径为2. 从而所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4.2．(2018·广州模拟)若一个圆的圆心是抛物线x 2＝4y 的焦点，且该圆与直线y ＝x ＋3相切，则该圆的标准方程是________________．解析：抛物线x 2＝4y 的焦点为(0,1)，即圆心为(0,1)，设该圆的标准方程是x 2＋(y －1)2＝r 2(r ＞0)，因为该圆与直线y ＝x ＋3相切，所以r ＝|－1＋3|2＝2，故该圆的标准方程是x 2＋(y －1)2＝2.答案：x 2＋(y －1)2＝23．(2018·惠州调研)圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________________．解析：设圆心坐标为(a ，b )，半径为r .由已知⎩⎪⎨⎪⎧a －2b ＝0，b >0，又圆心(a ，b )到y 轴、x 轴的距离分别为|a |，|b |，所以|a |＝r ，|b |2＋3＝r 2.综上，解得a ＝2，b ＝1，r ＝2，所以圆心坐标为(2,1)，圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.答案：(x －2)2＋(y －1)2＝44．已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．解析：由二元二次方程表示圆的条件可得a 2＝a ＋2≠0，解得a ＝2或－1.当a ＝2时，方程为4x 2＋4y 2＋4x ＋8y ＋10＝0，即x 2＋y 2＋x ＋2y ＋52＝0，配方得⎝⎛⎭⎫x ＋122＋(y ＋1)2＝－54＜0，不表示圆；当a ＝－1时，方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，配方得(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，则圆心坐标为(－2，－4)，半径是5.答案：(－2，－4) 5[典例感悟][典例] (1)(2019届高三·齐鲁名校联考)已知圆x 2－2x ＋y 2－2my ＋2m －1＝0，当圆的面积最小时，直线y ＝x ＋b 与圆相切，则b ＝( )A ．±1B ．1C ．±2D. 2(2)(2018·全国卷Ⅲ)直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是( )A ．[2,6]B ．[4,8]C ．[2，32]D ．[22，32](3)已知点P (x ，y )在圆x 2＋(y －1)2＝1上运动，则y －1x －2的最大值与最小值分别为________．[解析] (1)由题意可知，圆x 2－2x ＋y 2－2my ＋2m －1＝0化为标准形式为(x －1)2＋(y －m )2＝m 2－2m ＋2，圆心为(1，m )，半径r ＝m 2－2m ＋2，当圆的面积最小时，半径r ＝1，此时m ＝1，即圆心为(1,1)，由直线和圆相切的条件可知|b |2＝1，解得b ＝±2.故选C. (2)设圆(x －2)2＋y 2＝2的圆心为C ，半径为r ，点P 到直线x ＋y ＋2＝0的距离为d ， 则圆心C (2,0)，r ＝2，所以圆心C 到直线x ＋y ＋2＝0的距离为|2＋2|2＝22，可得d max ＝22＋r ＝32，d min ＝22－r ＝ 2. 由已知条件可得|AB |＝22，所以△ABP 面积的最大值为12|AB |·d max ＝6，△ABP 面积的最小值为12|AB |·d min ＝2.综上，△ABP 面积的取值范围是[2,6]． (3)设y －1x －2＝k ，则k 表示点P (x ，y )与点A (2,1)连线的斜率．当直线P A 与圆相切时，k 取得最大值与最小值．设过(2,1)的直线方程为y －1＝k (x －2)，即kx －y ＋1－2k ＝0.由|2k |k 2＋1＝1，解得k ＝±33.[答案] (1)C (2)A (3)33，－33[方法技巧]1．直线(圆)与圆位置关系问题的求解思路(1)研究直线与圆的位置关系主要通过将圆心到直线的距离同半径做比较实现，两圆位置关系的判断依据是两圆心距离与两半径差与和的大小关系．(2)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式．过圆外一点求解切线段长的问题，可先求出圆心到圆外点的距离，再结合半径利用勾股定理计算．2．与圆有关最值问题的求解策略处理与圆有关的最值问题时，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，利用转化思想和数形结合思想求解．与圆有关的最值问题，常见类型及解题思路如下：[演练冲关]1．(2018·宁夏银川九中模拟)直线l ：kx ＋y ＋4＝0(k ∈R )是圆C ：x 2＋y 2＋4x －4y ＋6＝0的一条对称轴，过点A (0，k )作斜率为1的直线m ，则直线m 被圆C 所截得的弦长为( )A.22B. 2C. 6D ．2 6解析：选C 圆C ：x 2＋y 2＋4x －4y ＋6＝0，即(x ＋2)2＋(y －2)2＝2，表示以C (－2,2)为圆心，2为半径的圆．由题意可得，直线l ：kx ＋y ＋4＝0经过圆心C (－2,2)，所以－2k ＋2＋4＝0，解得k ＝3，所以点A (0,3)，故直线m 的方程为y ＝x ＋3，即x －y ＋3＝0，则圆心C 到直线m 的距离d ＝|－2－2＋3|2＝12，所以直线m 被圆C 所截得的弦长为2×2－12＝ 6.故选C.2．(2018·江苏苏州二模)已知直线l 1：x －2y ＝0的倾斜角为α，倾斜角为2α的直线l 2与圆M ：x 2＋y 2＋2x －2y ＋F ＝0交于A ，C 两点，其中A (－1,0)，B ，D 在圆M 上，且位于直线l 2的两侧，则四边形ABCD 的面积的最大值是________．解析：由题意知，tan α＝12，则tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝43.直线l 2过点A (－1,0)，则l 2：y ＝43(x ＋1)，即4x －3y ＋4＝0，又A 是圆M 上的点，则(－1)2＋2×(－1)＋F ＝0，得F ＝1， 圆M 的标准方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆心M (－1,1)， 其到l 2的距离d ＝|－4－3＋4|5＝35.则|AC |＝21－⎝⎛⎭⎫352＝85.因为B ，D 两点在圆上，且位于直线l2的两侧，则四边形ABCD 的面积可以看成是△ABC 和△ACD 的面积之和，如图所示，当BD 垂直平分AC (即BD 为直径)时，两三角形的面积之和最大，即四边形ABCD 的面积最大，此时AC ，BD 相交于点E ，则最大面积S ＝12×|AC |×|BE |＋12×|AC |×|DE |＝12×|AC |×|BD |＝12×85×2＝85. 答案：853．(2018·广西桂林中学5月模拟)已知从圆C ：(x ＋1)2＋(y －2)2＝2外一点P (x 1，y 1)向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，则当|PM |取最小值时点P 的坐标为____________．解析：如图所示，连接CM ，CP .由题意知圆心C (－1,2)，半径r ＝ 2.因为|PM |＝|PO |，所以|PO |2＋r 2＝|PC |2，所以x 21＋y 21＋2＝(x 1＋1)2＋(y 1－2)2，即2x 1－4y 1＋3＝0.要使|PM |的值最小，只需|PO |的值最小即可．当PO 垂直于直线2x －4y ＋3＝0时，即PO 所在直线的方程为2x ＋y ＝0时，|PM |的值最小，此时点P 为两直线的交点，则⎩⎪⎨⎪⎧2x －4y ＋3＝0，2x ＋y ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－310，y ＝35，故当|PM |取最小值时点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－310，35. 答案：⎝⎛⎭⎫－310，35 [必备知能·自主补缺] 依据学情课下看，针对自身补缺漏；临近高考再浏览，考前温故熟主干[主干知识要记牢]1．直线方程的五种形式2．点到直线的距离及两平行直线间的距离(1)点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离为d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.(2)两平行线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2. 3．圆的方程(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.(2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)．(3)圆的直径式方程：(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0(圆的直径的两端点是A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2))．4．直线与圆位置关系的判定方法(1)代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况)：Δ>0⇔相交，Δ<0⇔相离，Δ＝0⇔相切．(2)几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)：设圆心到直线的距离为d，则d<r ⇔相交，d>r⇔相离，d＝r⇔相切．5．圆与圆的位置关系已知两圆的圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，则(1)当|O1O2|＞r1＋r2时，两圆外离；(2)当|O1O2|＝r1＋r2时，两圆外切；(3)当|r1－r2|＜|O1O2|＜r1＋r2时，两圆相交；(4)当|O1O2|＝|r1－r2|时，两圆内切；(5)当0≤|O1O2|＜|r1－r2|时，两圆内含．[二级结论要用好]1．直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系(1)平行⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0；(2)重合⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1＝0；(3)相交⇔A1B2－A2B1≠0；(4)垂直⇔A1A2＋B1B2＝0.[针对练1]若直线l1：mx＋y＋8＝0与l2：4x＋(m－5)y＋2m＝0垂直，则m＝________.解析：∵l1⊥l2，∴4m＋(m－5)＝0，∴m＝1.答案：12．若点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上，则圆过该点的切线方程为：x0x＋y0y＝r2.[针对练2]过点(1，3)且与圆x2＋y2＝4相切的直线l的方程为____________．解析：∵点(1，3)在圆x2＋y2＝4上，∴切线方程为x＋3y＝4，即x＋3y－4＝0.答案：x＋3y－4＝0[易错易混要明了]1．易忽视直线方程几种形式的限制条件，如根据直线在两坐标轴上的截距相等设方程时，未讨论截距为0的情况，直接设为xa＋ya＝1；再如，未讨论斜率不存在的情况直接将过定点P(x0，y0)的直线设为y－y0＝k(x－x0)等．[针对练3]已知直线过点P(1,5)，且在两坐标轴上的截距相等，则此直线的方程为__________________．解析：当截距为0时，直线方程为5x －y ＝0；当截距不为0时，设直线方程为x a ＋ya ＝1，代入P (1,5)，得a ＝6，∴直线方程为x ＋y －6＝0. 答案：5x －y ＝0或x ＋y －6＝02．讨论两条直线的位置关系时，易忽视系数等于零时的讨论导致漏解，如两条直线垂直，若一条直线的斜率不存在，则另一条直线斜率为0.如果利用直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件A 1A 2＋B 1B 2＝0，就可以避免讨论．[针对练4] 已知直线l 1：(t ＋2)x ＋(1－t )y ＝1与l 2：(t －1)x ＋(2t ＋3)y ＋2＝0互相垂直，则t 的值为________．解析：∵l 1⊥l 2，∴(t ＋2)(t －1)＋(1－t )(2t ＋3)＝0，解得t ＝1或t ＝－1. 答案：－1或13．求解两条平行线之间的距离时，易忽视两直线系数不相等，而直接代入公式|C 1－C 2|A 2＋B 2，导致错解．[针对练5] 两平行直线3x ＋4y －5＝0与6x ＋8y ＋5＝0间的距离为________． 解析：把直线6x ＋8y ＋5＝0化为3x ＋4y ＋52＝0，故两平行线间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪－5－5232＋42＝32.答案：324．易误认为两圆相切即为两圆外切，忽视两圆内切的情况导致漏解．[针对练6] 已知两圆x 2＋y 2－2x －6y －1＝0，x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0相切，则m ＝________.解析：由x 2＋y 2－2x －6y －1＝0，得(x －1)2＋(y －3)2＝11，由x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0，得(x －5)2＋(y －6)2＝61－m .当两圆外切时，有(5－1)2＋(6－3)2＝61－m ＋11，解得m＝25＋1011；当两圆内切时，有(5－1)2＋(6－3)2＝||61－m －11，解得m ＝25－1011. 答案：25±1011[课时跟踪检测] A 级——12＋4提速练一、选择题1．已知直线l 1：x ＋2ay －1＝0，l 2：(a ＋1)x －ay ＝0，若l 1∥l 2，则实数a 的值为( )A ．－32B ．0C ．－32或0D ．2解析：选C 由l 1∥l 2得1×(－a )＝2a (a ＋1)，即2a 2＋3a ＝0，解得a ＝0或a ＝－32.经检验，当a ＝0或a ＝－32时均有l 1∥l 2，故选C.2．(2018·贵阳模拟)经过三点A (－1,0)，B (3,0)，C (1,2)的圆的面积S ＝( ) A ．π B ．2π C ．3πD ．4π解析：选D 法一：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，将A (－1,0)，B (3,0)，C (1,2)的坐标代入圆的方程可得⎩⎪⎨⎪⎧1－D ＋F ＝0，9＋3D ＋F ＝0，1＋4＋D ＋2E ＋F ＝0，解得D ＝－2，E ＝0，F＝－3，所以圆的方程为x 2＋y 2－2x －3＝0，即(x －1)2＋y 2＝4，所以圆的半径r ＝2，所以S ＝4π.故选D.法二：根据A ，B 两点的坐标特征可知圆心在直线x ＝1上，设圆心坐标为(1，a )，则r ＝4＋a 2＝|a －2|，所以a ＝0，r ＝2，所以S ＝4π，故选D.3．已知圆(x －1)2＋y 2＝1被直线x －3y ＝0分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为( )A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶4D ．1∶5解析：选A (x －1)2＋y 2＝1的圆心为(1,0)，半径为1.圆心到直线的距离d ＝11＋3＝12，所以较短弧所对的圆心角为2π3，较长弧所对的圆心角为4π3，故两弧长之比为1∶2，故选A. 4．(2018·山东临沂模拟)已知直线3x ＋ay ＝0(a >0)被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则a 的值为( )A. 2B. 3 C ．2 2D ．2 3解析：选B 由已知条件可知，圆的半径为2，又直线被圆所截得的弦长为2，故圆心到直线的距离为3，即69＋a2＝3，得a ＝ 3.5．(2018·郑州模拟)已知圆(x －a )2＋y 2＝1与直线y ＝x 相切于第三象限，则a 的值是( ) A. 2 B ．－ 2 C ．±2D ．－2解析：选B 依题意得，圆心(a,0)到直线x －y ＝0的距离等于半径，即有|a |2＝1，|a |＝ 2.又切点位于第三象限，结合图形(图略)可知，a ＝－2，故选B.6．(2018·山东济宁模拟)已知圆C 过点A (2,4)，B (4,2)，且圆心C 在直线x ＋y ＝4上，若直线x ＋2y －t ＝0与圆C 相切，则t 的值为( )A ．－6±2 5B ．6±2 5C ．25±6D ．6±4 5解析：选B 因为圆C 过点A (2,4)，B (4,2)，所以圆心C 在线段AB 的垂直平分线y ＝x上，又圆心C 在直线x ＋y ＝4上，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x ＋y ＝4，解得x ＝y ＝2，即圆心C (2,2)，圆C 的半径r ＝(2－2)2＋(2－4)2＝2.又直线x ＋2y －t ＝0与圆C 相切，所以|2＋4－t |5＝2，解得t＝6±2 5.7．若过点A (1,0)的直线l 与圆C ：x 2＋y 2－6x －8y ＋21＝0相交于P ，Q 两点，线段PQ 的中点为M ，l 与直线x ＋2y ＋2＝0的交点为N ，则|AM |·|AN |的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选B 圆C 的方程化成标准方程可得(x －3)2＋(y －4)2＝4，故圆心C (3,4)，半径为2，则可设直线l 的方程为kx －y －k ＝0(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋2＝0，kx －y －k ＝0，得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －22k ＋1，－3k 2k ＋1，又直线CM 与l 垂直，得直线CM 的方程为y －4＝－1k(x －3)．由⎩⎪⎨⎪⎧y －4＝－1k(x －3)，kx －y －k ＝0，得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋4k ＋3k 2＋1，4k 2＋2k k 2＋1，则|AM |·|AN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋4k ＋3k 2＋1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋2k k 2＋12·⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －22k ＋1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k 2k ＋12＝2|2k ＋1|1＋k 2×1＋k 2×31＋k 2|2k ＋1|＝6.故选B.8．(2019届高三·湘东五校联考)圆(x －3)2＋(y －3)2＝9上到直线3x ＋4y －11＝0的距离等于2的点有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选B 圆(x －3)2＋(y －3)2＝9的圆心为(3,3)，半径为3，圆心到直线3x ＋4y －11＝0的距离d ＝|3×3＋4×3－11|32＋42＝2，∴圆上到直线3x ＋4y －11＝0的距离为2的点有2个．故选B.9．圆x 2＋y 2＝1上的点到直线3x ＋4y －25＝0的距离的最小值为( ) A ．4 B ．3 C ．5D ．6解析：选A 易知圆x 2＋y 2＝1的圆心坐标为(0,0)，半径为1，圆心到直线3x ＋4y －25＝0的距离d ＝|－25|5＝5，所以圆x 2＋y 2＝1上的点到直线3x ＋4y －25＝0的距离的最小值为5－1＝4.10．(2019届高三·西安八校联考)若过点A (3,0)的直线l 与曲线(x －1)2＋y 2＝1有公共点，则直线l 斜率的取值范围为( )A ．(－3，3)B ．[－3， 3 ] C.⎝⎛⎭⎫－33，33 D.⎣⎡⎦⎤－33，33 解析：选D 数形结合可知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －3)，则圆心(1,0)到直线y ＝k (x －3)的距离应小于等于半径1，即|2k |1＋k 2≤1，解得－33≤k ≤33，故选D.11．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (－1,0)，B (0,1)，则满足|P A |2－|PB |2＝4且在圆x 2＋y 2＝4上的点P 的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C 设P (x ，y )，则由|P A |2－|PB |2＝4，得(x ＋1)2＋y 2－x 2－(y －1)2＝4，所以x ＋y －2＝0.求满足条件的点P 的个数即为求直线与圆的交点个数，圆心到直线的距离d ＝|0＋0－2|2＝2＜2＝r ，所以直线与圆相交，交点个数为2.故满足条件的点P 有2个． 12．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，－2)，点B (1，－1)，P 为圆x 2＋y 2＝2上一动点，则|PB ||P A |的最大值是( )A ．1B ．3C ．2D. 2解析：选C 设动点P (x ，y )，令|PB ||P A |＝t (t >0)，则(1－x )2＋(－1－y )2(－x )2＋(－2－y )2＝t 2，整理得，(1－t 2)x 2＋(1－t 2)y 2－2x ＋(2－4t 2)y ＋2－4t 2＝0，(*)易知当1－t 2≠0时，(*)式表示一个圆，且动点P 在该圆上，又点P 在圆x 2＋y 2＝2上，所以点P 为两圆的公共点，两圆方程相减得两圆公共弦所在直线l 的方程为x －(1－2t 2)y －2＋3t 2＝0，所以圆心(0,0)到直线l 的距离d ＝|－2＋3t 2|1＋(1－2t 2)2≤2，解得0<t ≤2，所以|PB ||P A |的最大值为2.二、填空题13．(2018·全国卷Ⅰ)直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＋2y －3＝0交于A ，B 两点，则|AB |＝________.解析：由x 2＋y 2＋2y －3＝0，得x 2＋(y ＋1)2＝4.∴圆心C (0，－1)，半径r ＝2.圆心C (0，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝|1＋1|2＝2，∴|AB |＝2r 2－d 2＝24－2＝2 2.答案：2 214．如果直线ax ＋2y ＋3a ＝0与直线3x ＋(a －1)y ＝a －7平行，则a ＝________. 解析：由直线ax ＋2y ＋3a ＝0与直线3x ＋(a －1)y ＋7－a ＝0平行，可得⎩⎪⎨⎪⎧ a (a －1)－2×3＝0，a (7－a )－3×3a ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3或a ＝－2，a ≠0且a ≠－2，故a ＝3. 答案：315．过点M ⎝⎛⎭⎫12，1的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A ，B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为____________________．解析：易知当CM ⊥AB 时，∠ACB 最小，直线CM 的斜率为k CM ＝1－012－1＝－2，从而直线l 的斜率为k l ＝－1k CM ＝12，其方程为y －1＝12⎝⎛⎭⎫x －12，即2x －4y ＋3＝0. 答案：2x －4y ＋3＝016．(2018·南宁、柳州模拟)过点(2，0)作直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于________．解析：令P (2，0)，如图，易知|OA |＝|OB |＝1，所以S △AOB ＝12|OA |·|OB |·sin ∠AOB ＝12sin ∠AOB ≤12，当∠AOB ＝90°时，△AOB 的面积取得最大值，此时过点O 作OH ⊥AB 于点H ，则|OH |＝22，于是sin ∠OPH ＝|OH ||OP |＝222＝12，易知∠OPH 为锐角，所以∠OPH ＝30°，则直线AB 的倾斜角为150°，故直线AB 的斜率为tan 150°＝－33. 答案：－33B 级——难度小题强化练1．(2018·重庆模拟)已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝2，直线l ：y ＝kx ，其中k 为[－3，3]上的任意一个数，则事件“直线l 与圆C 相离”发生的概率为( )A.33B.34C.14D.3－33解析：选D 当直线l 与圆C 相离时，圆心C 到直线l 的距离d ＝|2k |k 2＋1>2，解得k >1或k <－1，又k ∈[－3，3]，所以－3≤k <－1或1<k ≤3，故事件“直线l 与圆C 相离”发生的概率P ＝(3－1)＋(－1＋3)23＝3－33，故选D.2．(2018·合肥质检)设圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0的圆心为C ，直线l 过(0,3)与圆C 交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则直线l 的方程为( )A ．3x ＋4y －12＝0或4x －3y ＋9＝0B ．3x ＋4y －12＝0或x ＝0C ．4x －3y ＋9＝0或x ＝0D ．3x －4y ＋12＝0或4x ＋3y ＋9＝0解析：选B 圆的方程化为标准形式为(x －1)2＋(y －1)2＝4，圆心C (1,1)，半径r ＝2，当直线l 的斜率不存在时，方程为x ＝0，计算出弦长为23，符合题意；当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为y ＝kx ＋3，由弦长为23可知，圆心到该直线的距离为1，从而有|k ＋2|k 2＋1＝1，解得k ＝－34，此时方程为y ＝－34x ＋3，即3x ＋4y －12＝0.综上，直线l 的方程为x ＝0或3x ＋4y －12＝0，故选B.3．(2018·安徽黄山二模)已知圆O ：x 2＋y 2＝1，点P 为直线x 4＋y2＝1上一动点，过点P向圆O 引两条切线P A ，PB ，A ，B 为切点，则直线AB 经过定点( )A.⎝⎛⎭⎫12，14B.⎝⎛⎭⎫14，12C.⎝⎛⎭⎫34，0D.⎝⎛⎭⎫0，34 解析：选B 因为点P 是直线x 4＋y2＝1上的一动点，所以设P (4－2m ，m )．因为P A ，PB 是圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，所以OA ⊥P A ，OB ⊥PB ，所以点A ，B 在以OP 为直径的圆C 上，即弦AB 是圆O 和圆C 的公共弦．因为圆心C 的坐标是⎝⎛⎭⎫2－m ，m 2，且半径的平方r 2＝(4－2m )2＋m 24，所以圆C 的方程为(x －2＋m )2⎝⎛⎭⎫y －m 22＝(4－2m )2＋m 24，①又x 2＋y 2＝1，②所以②－①得，(2m －4)x －my ＋1＝0，即公共弦AB 所在的直线方程为(2x －y )m ＋(－4x＋1)＝0，所以由⎩⎪⎨⎪⎧－4x ＋1＝0，2x －y ＝0得⎩⎨⎧x ＝14，y ＝12，所以直线AB 过定点⎝⎛⎭⎫14，12.故选B.4.(2018·南昌第一次模拟)如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝2x ＋1与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则cos ∠AOB ＝( )A.510B ．－510C.910 D ．－910解析：选D 法一：因为圆x 2＋y 2＝4的圆心为O (0,0)，半径为2，所以圆心O 到直线y ＝2x ＋1的距离d ＝|2×0－0＋1|22＋(－1)2＝15，所以弦长|AB |＝222－⎝⎛⎭⎫152＝2195.在△AOB 中，由余弦定理得cos ∠AOB ＝|OA |2＋|OB |2－|AB |22|OA |·|OB |＝4＋4－4×1952×2×2＝－910.法二：取AB 的中点D ，连接OD (图略)，则OD ⊥AB ，且∠AOB ＝2∠AOD ，又圆心到直线的距离d ＝|2×0－0＋1|22＋(－1)2＝15，即|OD |＝15，所以cos ∠AOD ＝|OD ||OA |＝125，故cos ∠AOB ＝2cos 2∠AOD －1＝2×⎝⎛⎭⎫1252－1＝－910.5．已知圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0上存在两点关于直线l ：x ＋my ＋1＝0对称，经过点M (m ，m )作圆C 的切线，切点为P ，则|MP |＝________.解析：圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0的圆心坐标为C (1,2)，半径r ＝2，因为圆上存在两点关于直线l 对称，所以直线l ：x ＋my ＋1＝0过点(1,2)，所以1＋2m ＋1＝0，得m ＝－1，所以M (－1，－1)，|MC |2＝(1＋1)2＋(2＋1)2＝13，r 2＝4，所以|MP |＝13－4＝3.答案：36．(2019届高三·湘中名校联考)已知m >0，n >0，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是____________．解析：因为m >0，n >0，直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，所以圆心C (1,1)到直线的距离d ＝|m ＋1＋n ＋1－2|(m ＋1)2＋(n ＋1)2＝1，即|m ＋n |＝(m ＋1)2＋(n ＋1)2，两边平方并整理得m ＋n ＋1＝mn ≤⎝⎛⎭⎪⎫m ＋n 22，即(m ＋n )2－4(m ＋n )－4≥0，解得m ＋n ≥2＋22，所以m ＋n 的取值范围为[2＋22，＋∞)． 答案：[2＋22，＋∞)。
2019高考数学二轮复习核心考点特色突破专题14直线与圆(1)(含解析)
专题直线与圆（）【自主热身，归纳总结】、在平面直角坐标系中，已知过点(，－)的圆与直线＋＝相切，且圆心在直线＝－上，则圆的标准方程为．【答案】： (－)＋(＋)＝解法(几何法) 点(，－)在直线＋＝上，故点是切点．过点(，－)与直线＋－＝垂直的直线方程为－＝，由解得所以圆心(，－)．又＝＝，所以圆的标准方程为(－)＋(＋)＝.、在平面直角坐标系中，直线＋－＝被圆(－)＋(＋)＝截得的弦长为．【答案】：.【解析】圆心为(，－)，半径＝.圆心到直线的距离＝＝，所以弦长为＝＝.、若直线与圆始终有公共点，则实数的取值范围是．【答案】：≤≤.【解析】因为，所以由题意得：,化简得即≤≤.、在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线()相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为．【答案】：(－)＋＝.【解析】由直线－－－＝得(－)－(＋)＝，故直线过点(，－)．当切线与过(，)，(，－)两点的直线垂直时，圆的半径最大，此时有＝＝，故所求圆的标准方程为(－)＋＝.、圆心在抛物线＝上，并且和该抛物线的准线及轴都相切的圆的标准方程为．【答案】： (±)＋＝思路分析求圆的方程就是要确定它的圆心与半径，根据圆与抛物线的准线以及与轴都相切，得到圆心的一个等式，再根据圆心在抛物线上，得到另一个等式，从而可求出圆心的坐标，由此可得半径．因为圆心在抛物线＝上，所以设圆心为(，)，则＝.又圆与抛物线的准线及轴都相切，故＋＝＝，由此解得＝±，＝，＝，所以所求圆的方程为(±)＋＝.解后反思凡涉及抛物线上点到焦点的距离或到准线的距离时，一般运用定义转化为到准线的距离或到焦点的距离来进行处理，本题中充分运用抛物线定义实施转化，其关键在于求圆心的坐标．、在平面直角坐标系中，已知圆：(－)＋(－)＝，圆：(－)＋(＋)＝，若圆心在轴上的圆同时平分圆和圆的圆周，则圆的方程是．、. 在平面直角坐标系中，已知过点()的直线与圆(＋)＋(－)＝相切，且与直线＋－＝垂直，则实数＝. 【答案】：思路分析可用过圆上一点的切线方程求解；也可用垂直条件，设切线方程(－)－(－)＝，再令圆心到切线的距离等于半径．因为点在圆上，所以切线方程为(＋)(＋)＋(－)(－)＝，即－－＝.由两直线的法向量(，－)与()垂直，得－＝，即＝.思想根源以圆(－)＋(－)＝上一点(，)为切点的切线方程为(－)(－)＋(－)(－)＝.、若直线：＝＋和直线：＝＋将圆(－)＋(－)＝分成长度相等的四段弧，则＋＝.。
高考数学二轮复习直线与圆复习题及答案解析
专题限时集训(九) 直线与圆[专题通关练] (建议用时：30分钟)1．(2019·江阴模拟)点P 是直线x ＋y －2＝0上的动点，点Q 是圆x 2＋y 2＝1上的动点，则线段PQ 长的最小值为( )A.2－1 B ．1 C.2＋1D ．2A [根据题意，圆x 2＋y 2＝1的圆心为(0,0)，半径r ＝1，圆心(0,0)到直线x ＋y －2＝0的距离d ＝|2|2＝2，则线段PQ 长的最小值为2－1，故选A.]2．直线l 1：mx －2y ＋1＝0，l 2：x －(m －1)y －1＝0，则“m ＝2”是“l 1∥l 2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件C [由l 1∥l 2得－m (m －1)＝1×(－2)，得m ＝2或m ＝－1，经验证，当m ＝－1时，直线l 1与l 2重合，不合题意．所以“m ＝2”是“l 1∥l 2”的充要条件，故选C.]3．圆x 2－4x ＋y 2＝0与圆x 2＋y 2＋4x ＋3＝0的公切线共有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条D [根据题意，圆x 2－4x ＋y 2＝0，即(x －2)2＋y 2＝4，其圆心坐标为(2,0)，半径为2； 圆x 2＋y 2＋4x ＋3＝0，即圆(x ＋2)2＋y 2＝1，其圆心坐标为(－2,0)，半径为1； 则两圆的圆心距为4，两圆半径和为3，因为4＞3，所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共4条．故选D.]4．直线y ＝kx ＋3被圆(x －2)2＋(y －3)2＝4截得的弦长为23，则直线的倾斜角为( ) A.π6或5π6B ．－π3或π3C ．－π6或π6D.π6A [由题意可知，圆心P (2,3)，半径r ＝2， ∴圆心P 到直线y ＝kx ＋3的距离d ＝|2k |1＋k2，由d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＝r 2，可得4k 21＋k 2＋3＝4，解得k ＝±33.设直线的倾斜角为α，则tan α＝±33，又α∈[0，π)， ∴α＝π6或5π6.]5．在平面直角坐标系xOy 中，以(－2,0)为圆心且与直线(3m ＋1)x ＋(1－2m )y －5＝0(m ∈R )相切的所有圆中，面积最大的圆的标准方程是( )A ．(x ＋2)2＋y 2＝16 B ．(x ＋2)2＋y 2＝20 C ．(x ＋2)2＋y 2＝25D ．(x ＋2)2＋y 2＝36C [将直线(3m ＋1)x ＋(1－2m )y －5＝0变形为(3x －2y )m ＋(x ＋y －5)＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝0，x ＋y －5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3.即直线恒过定点M (2,3)．设圆心为P ，即P (－2,0)，由题意可知， 当圆的半径r ＝|MP |时，圆的面积最大，此时|MP |2＝r 2＝25. 即圆的标准方程为(x ＋2)2＋y 2＝25.]6．若P (2，－1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是________．x －y －3＝0 [记题中圆的圆心为O ，则O (1,0)，因为P (2，－1)是弦AB 的中点，所以直线AB 与直线OP 垂直，易知直线OP 的斜率为－1，所以直线AB 的斜率为1，故直线AB 的方程为x －y －3＝0.]7．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋ax ＋2ay －9＝0(a >0)相交，公共弦的长为22，则a ＝________.102 [联立两圆方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，x 2＋y 2＋ax ＋2ay －9＝0，可得公共弦所在直线方程为ax ＋2ay －5＝0， 故圆心(0,0)到直线ax ＋2ay －5＝0的距离为 |－5|a 2＋4a 2＝5a(a >0)．故222－⎝ ⎛⎭⎪⎫5a 2＝22，解得a 2＝52，因为a >0，所以a ＝102.]8．设P 为直线3x －4y ＋11＝0上的动点，过点P 作圆C ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形PACB 的面积的最小值为________．3 [圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心为C (1,1)，半径为r ＝1，根据对称性可知，四边形PACB 的面积为2S △APC ＝2×12|PA |r ＝|PA |＝|PC |2－r 2，要使四边形PACB 的面积最小，则只需|PC |最小，最小值为圆心到直线l ：3x －4y ＋11＝0的距离d ＝|3－4＋11|32＋－42＝105＝2. 所以四边形PACB 面积的最小值为|PC |2min －r 2＝4－1＝ 3.][能力提升练] (建议用时：20分钟)9．实数x ，y 满足x 2＋y 2＋2x ＝0，则yx －1的取值范围是( )A ．[－3，3]B ．(－∞，－3]∪[3，＋∞) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－33∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，＋∞ C [设yx －1＝t ，，则tx －y －t ＝0与圆(x ＋1)2＋y 2＝1有交点，∴圆心(－1,0)到直线tx－y －t ＝0的距离d ＝|－t －t |t 2＋1≤1，解得－33≤t ≤33.故选C.]10．(2019·赣州模拟)已知动直线y ＝kx －1＋k (k ∈R )与圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0(圆心为C )交于点A 、B ，则弦AB 最短时，△ABC 的面积为 ( )A ．3B ．6 C. 5D ．2 5D [根据题意，圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0可化为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9，其圆心为(1，－2)，半径r ＝3.动直线y ＝kx －1＋k ，即y ＋1＝k (x ＋1)，恒过定点P (－1，－1)，又由(－1－1)2＋(－1＋2)2＜9，可知点P (－1，－1)在圆C 的内部，动直线y ＝kx －1＋k (k ∈R )与圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0(圆心为C )交于点A 、B ，当P 为AB 的中点即CP 与AB 垂直时，弦AB 最短，此时|CP |＝5，弦AB 的长度为2×r 2－|CP |2＝4，此时，△ABC 的面积S ＝12×|CP |×|AB |＝12×4×5＝2 5.故选D.]11．若圆C ：x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋12m 2＝n 的圆心为椭圆M ：x 2＋my 2＝1的一个焦点，且圆C 经过椭圆M 的另一个焦点，则圆C 的标准方程为________．x 2＋(y ＋1)2＝4 [∵圆C 的圆心为⎝⎛⎭⎪⎫0，－12m ，∴1m －1＝12m ，解得m ＝12.又圆C 经过M 的另一个焦点，则圆C 经过点(0,1)，从而n ＝4，故圆C 的标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝4.]12．(2019·九江二模)已知圆E 经过M (－1,0)，N (0,1)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32三点．(1)求圆E 的方程；(2)若过点C (2,2)作圆E 的两条切线，切点分别是A ，B ，求直线AB 的方程． [解](1)根据题意，设圆E 的圆心E 坐标为(a ，b )，半径为r ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋12＋b 2＝r 2，a 2＋b －12＝r 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋322＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0，r ＝1，则圆E 的方程为x 2＋y 2＝1.(2)根据题意，过点C (2,2)作圆E 的两条切线，切点分别是A ，B ， 设以C 为圆心，CA 为半径的圆为圆C ，其半径为R ， 则有R ＝|CA |＝|OC |2－r 2＝7， 则圆C 的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝7， 即x 2＋y 2－4x －4y ＋1＝0，又由直线AB 为圆E 与圆C 的公共弦所在的直线，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，x 2＋y 2－4x －4y ＋1＝0，解得2x ＋2y －1＝0，则AB 的方程为：2x ＋2y －1＝0.题号 内容押题依据1点到直线的距离公式，数形由动态的观点，分析直线与圆的位置关系，并通过数结合思想 形结合的思想及方程思想确定方程的具体位置，体现了高考的最新动向2直线与圆的位置关系，平面向量，轨迹问题，根与系数的关系用代数的方法研究直线与圆的位置关系可以巧妙的将函数与方程，根与系数的关系等知识交汇在一起，考查考生的运算能力和等价转化能力【押题1】 已知直线l ：x －2y ＋4＝0，圆C ：(x －1)2＋(y ＋5)2＝80，那么圆C 上到l 的距离为5的点一共有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个C [由圆C ：(x －1)2＋(y ＋5)2＝80，可得圆心C (1，－5)，半径R ＝45， 又圆心C (1，－5)到直线x －2y ＋4＝0的距离d ＝|1－2×－5＋4|12＋－22＝155＝35， 如图所示，由图象可知，点A ，B ，D 到直线x －2y ＋4＝0的距离都为5，所以圆C 上到l 的距离为5的点一共3个，故选C.]【押题2】 已知圆C ：(x －2)2＋(y －2)2＝16，点A (10,0)． (1)设点P 是圆C 上的一个动点，求AP 的中点Q 的轨迹方程； (2)直线l ：kx －y －10k ＝0与圆C 交于M ，N ，求AM →·AN →的值． [解](1)设Q (x ，y )，P (x 0，y 0)，则(x 0－2)2＋(y 0－2)2＝16， 由x ＝x 0＋102，y ＝y 0＋02，解得x 0＝2x －10，y 0＝2y .代入圆的方程可得：(2x －10－2)2＋(2y －2)2＝16， 即(x －6)2＋(y －1)2＝4.∴AP 的中点Q 的轨迹方程为：(x －6)2＋(y －1)2＝4.(2)直线l ：kx －y －10k ＝0与圆C 交于M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 把直线l 的方程代入圆的方程可得：(x －2)2＋(kx －10k －2)2＝16， 化为：(1＋k 2)x 2－(20k 2＋4k ＋4)x ＋100k 2＋40k －12＝0.Δ＞0.∴x 1x 2＝100k 2＋40k －121＋k 2，x 1＋x 2＝20k 2＋4k ＋41＋k2. ∴AM →·AN →＝(x 1－10，y 1)(x 2－10，y 2)＝(x 1－10)(x 2－10)＋y 1y 2＝(x 1－10)(x 2－10)＋(kx 1－10k )(kx 2－10k )＝(1＋k 2)x 1x 2－(10k 2＋10)(x 1＋x 2)＋100＋100k 2＝(1＋k 2)100k 2＋40k －121＋k 2－(10k 2＋10)20k 2＋4k ＋41＋k2＋100＋100k 2＝48.。
2019高考数学二轮练习-专项13直线与圆
2019高考数学二轮练习-专项13直线与圆随着新课程改革的推进，高考对解析几何的考查要求也有了很大的变化，其中对直线方程、圆的方程的考查要求加强了.近几年高考对圆锥曲线的考查仍然势头不减，在填空题中有1～2道，另外还有一道涉及直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等知识的综合性解答题.预测在2018年的高考题中：1如果解答题中没有涉及直线与圆的综合问题，那么在填空题中必定出现直线与圆的较难问题，反之会考查直线与圆的基本问题如直线方程的求解，简单位置关系的判断.2在解答题中，由于直线方程和圆的方程均为C 级要求，可能出现以椭圆或抛物线为背景的直线与圆的综合问题如定点问题、最值问题等.1、假设直线y ＝kx ＋1与直线2x ＋y －4＝0垂直，那么k ＝________.解析：由题意得k ×(－2)＝－1，k ＝12.答案：122、假设直线3x ＋y ＋a ＝0过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心，那么a 的值为________、 解析：化圆为标准形式(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，圆心为(－1,2)、∵直线过圆心，∴3×(－1)＋2＋a ＝0，∴a ＝1.答案：13、(2018·盐城二模)过圆x 2＋y 2＝4内一点P (1,1)作两条相互垂直的弦AC ，BD ，当AC ＝BD 时，四边形ABCD 的面积为________、解析：过圆心O 向AC ，BD 引垂线，那么构成一个正方形，那么O 到AC ，BD 距离为1，那么AC ＝BD ＝23，那么四边形ABCD 的面积为6.答案：64、(2018·泰州期末)过点C (3,4)且与x 轴，y 轴都相切的两个圆的半径分别为r 1，r 2，那么r 1r 2＝________.解析：由题意得，满足与x 轴，y 轴都相切的圆的圆心在第一象限， 设圆心坐标为(a ，a )，那么半径r ＝a ， ∴圆的方程为(x －a )2＋(y －a )2＝a 2， 又C (3,4)在此圆上，∴将C 的坐标代入得(3－a )2＋(4－a )2＝a 2， 整理得a 2－14a ＋25＝0，∵r 1，r 2分别为a 2－14a ＋25＝0的两个解， ∴r 1r 2＝25. 答案：255、过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A ，B 两点，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为____________、解析：验证知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1在圆内，当∠ACB 最小时，直线l 与CP 垂直， 由圆的方程，圆心C (1,0)∵k CP ＝1－012－1＝－2，∴k ＝12.∴l 的方程为y －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，整理得2x －4y ＋3＝0.答案：2x －4y ＋3＝0[典例1](1)经过抛物线y 2＝4x 的焦点且平行于直线3x －2y ＝0的直线l 的方程是________、 (2)一条光线沿直线2x －y ＋2＝0入射到直线x ＋y －5＝0后反射，那么反射光线所在的直线方程为________、[解析](1)∵抛物线y 2＝4x 的焦点是(1,0)，直线3x －2y ＝0的斜率是32，∴直线l 的方程是y ＝32(x －1)，即3x －2y －3＝0.(2)取直线2x －y ＋2＝0上一点A (0,2)，设点A (0,2)关于直线x ＋y －5＝0对称的点为B (a ，b )、那么⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b ＋22－5＝0，b －2a ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝5.∴B (3,5)、联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2＝0，x ＋y －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4.∴直线2x －y ＋2＝0与直线x ＋y －5＝0的交点为P (1,4)，∴反射光线在经过点B (3,5)和点P (1,4)的直线上，其直线方程为y －4＝4－51－3(x －1)，整理得x －2y ＋7＝0.[答案](1)3x －2y －3＝0(2)x －2y ＋7＝01、与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程可设为Ax ＋By ＋C 1＝0，垂直的直线方程可设为Bx ＋Ay ＋C 2＝0.2、两点关于直线l 对称时，两点的中点在l 上，且两点连成的直线与l 垂直、 [演练1] “a ＝－1”是“直线ax ＋(2a －1)y ＋1＝0和直线3x ＋ay ＋3＝0垂直”的________条件、 解析：假设直线ax ＋(2a －1)y ＋1＝0和直线3x ＋ay ＋3＝0垂直，那么a ×3＋(2a －1)×a ＝0，解得a ＝0或a ＝－1.故a ＝－1是两直线垂直的充分而不必要条件、 答案：充分不必要 [典例2]设圆C 同时满足三个条件：①过原点；②圆心在直线y ＝x 上；③截y 轴所得的弦长为4，那么圆C 的方程是________、[解析]由题意可设圆心A (a ，a )，如图，那么22＋a 2＝2a 2解得a ＝±2，r 2＝2a 2＝8.所以圆C 的方程是(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝8或(x －2)2＋(y－2)2＝8.[答案](x ＋2)2＋(y ＋2)2＝8或(x －2)2＋(y －2)2＝8此题考查求圆的方程的基本方法：待定系数法，求解时可结合圆形利用圆的几何性质建立关于参数的方程求解、[演练2]圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：y ＝x －1被圆C 截得的弦长为22，那么过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为________、解析：由题可知，设圆心的坐标为(a,0)(a >0)，设圆C 的半径为|a －1|，圆心到直线l的距离为|a －1|2，根据勾股定理可得，⎝ ⎛⎭⎪⎫|a －1|22＋(2)2＝|a －1|2，解得a ＝3或a ＝－1(舍去)，所以圆C 的圆心坐标为(3,0)，那么过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为x ＋y －3＝0.答案：x ＋y －3＝0 [典例3](2018·南通一模)如图，在平面直角坐标系xOy 中，圆C 1：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝1.(1)假设过点C 1(－1,0)的直线l 被圆C 2截得的弦长为65，求直线l 的方程；(2)设动圆C 同时平分圆C 1的周长、圆C 2的周长、 ①证明：动圆圆心C 在一条定直线上运动；②动圆C 是否经过定点？假设经过，求出定点的坐标；假设不经过，请说明理由、 [解](1)设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)， 即kx －y ＋k ＝0.因为直线l 被圆C 2截得的弦长为65，而圆C 2的半径为1，所以圆心C 2(3,4)到l ：kx －y＋k ＝0的距离为|4k －4|k 2＋1＝45.化简，得12k 2－25k ＋12＝0，解得k ＝43或k ＝34.所以直线l 的方程为4x －3y ＋4＝0或3x －4y ＋3＝0. (2)①证明：设圆心C (x ，y )，由题意，得CC 1＝CC 2， 即x ＋12＋y 2＝x －32＋y －42. 化简得x ＋y －3＝0，即动圆圆心C 在定直线x ＋y －3＝0上运动、 ②圆C 过定点，设C (m,3－m )， 那么动圆C 的半径为1＋CC 21＝1＋m ＋12＋3－m 2.于是动圆C 的方程为(x －m )2＋(y －3＋m )2＝1＋(m ＋1)2＋(3－m )2.整理，得x 2＋y 2－6y －2－2m (x －y ＋1)＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x 2＋y 2－6y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋322，y ＝2＋322或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－322，y ＝2－322.所以定点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1－322，2－322，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋322，2＋322.此题考查直线与圆的综合问题，第(2)小题中的①实际上是求圆心的轨迹方程、②是考查圆中的探索性问题，解决方法一般是先假设结论成立，然后进行推理，假设推出矛盾那么否定结论，不出现矛盾那么肯定结论、[演练3]在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上、 (1)求圆C 的方程；(2)假设圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值、解：(1)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)， 与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)、 故可设C 的圆心为(3，t )，那么有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1.那么圆C 的半径为32＋t －12＝3. 所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋a ＝0，x －32＋y －12＝9.消去y ，得方程2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0. 由可得，判别式Δ＝56－16a －4a 2>0.从而x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝a 2－2a ＋12.① 由于OA ⊥OB ，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0. 又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ，所以2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2＝0.②由①②得a ＝－1，满足Δ>0，故a ＝－1. [专题技法归纳]1、直线与圆的基本量如k ，a ，b ，r 的求解，一般是用方程法，建立方程时要结合图形，计算要力求准确、2、直线与圆、圆与圆的位置关系的判定方法主要是几何法，要掌握求切线长、弦长等问题、3、直线与圆的综合问题中主要是数学思想方法的运用和含多个字母的代数式的化简、1、直线kx －y ＋1＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，假设点M 在圆C 上，且有OM ＝OA ＋OB (O 为坐标原点)，那么实数k ＝________.解析：结合图形可知，当A ，B ，M 均在圆上时，平行四边形OAMB 的对角线OM ＝2，此时四边形OAMB 为菱形，故问题等价于圆心(0,0)到直线kx －y ＋1＝0的距离等于1.即d ＝1k 2＋1＝1，解得k ＝0. 答案：02、在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，那么四边形ABCD 的面积为________、解析：圆的方程化为标准形式为(x －1)2＋(y －3)2＝10，由圆的性质可知最长弦AC ＝210，最短弦BD 恰以E (0,1)为中点，设点F 为其圆心，坐标为(1,3)、故EF ＝5，∴BD ＝210－52＝25，∴S 四边形ABCD ＝12AC ·BD ＝10 2.答案：10 23、(2018·南京期初调研卷)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的圆心在第一象限，圆C 与x 轴交于A (1,0)，B (3,0)两点，且与直线x －y ＋1＝0相切，那么圆C 的半径为________、解析：由题意可设圆心为(2，b )，半径r ＝b 2＋1，b >0，那么|3－b |2＝b 2＋1，解得b ＝1或b ＝－7(舍去)、那么r ＝ 2.答案： 24、设x ，y 均为正实数，且32＋x ＋32＋y ＝1，以点(x ，y )为圆心，R ＝xy 为半径的圆的面积最小时圆的标准方程为________、解析：∵32＋x ＋32＋y ＝1，∴x ＝8＋yy －1.令z ＝y －1，那么y ＝z ＋1，z >0，∴xy ＝y 2＋8y y －1＝z ＋12＋8z ＋1z ＝z 2＋10z ＋9z＝z ＋9z ＋10≥6＋10＝16，当且仅当z ＝9z ，即z ＝3时，取等号、此时y ＝4，x ＝4，半径xy ＝16. 圆的方程为(x －4)2＋(y －4)2＝256.答案：(x －4)2＋(y －4)2＝2565、(2018·苏锡常二模)在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线xy ＝1(x >0)上，点P 在x 轴上的射影为M .假设点P 在直线x －y ＝0的下方，当OP 2OM －MP 取得最小值时，点P 的坐标为________、解析：设点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，1t ，得OP 2＝t 2＋1t 2， 而OM ＝t ，MP ＝1t ，∴OP 2OM －MP ＝t 2＋1t 2t －1t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t 2＋2t －1t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t ＋2t －1t.∵点P 在直线x －y ＝0的下方，且t >0，∴0<1t <1，得t －1t 是正数， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t ＋2t －1t≥2 2.当且仅当t －1t ＝2t －1t时取等号，即t －1t ＝2，解得t ＝6＋22，1t ＝6－22. ∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋22，6－22 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋22，6－22 6、(2018·南通三模)假设动点P 在直线l 1：x －y －2＝0上，动点Q 在直线l 2：x －y －6＝0上，设线段PQ 的中点为M (x 0，y 0)，且(x 0－2)2＋(y 0＋2)2≤8，那么x 20＋y 20的取值范围是________、解析：设点P (x 1，y 1)满足x 1－y 1－2＝0，点Q (x 2，y 2)满足x 2－y 2－6＝0，两式相加得，点M (x 0，y 0)轨迹是直线x 0－y 0－4＝0.那么y 0＝x 0－4，代入(x 0－2)2＋(y 0＋2)2≤8得 (x 0－2)2＋(x 0－2)2≤8，解得0≤x 0≤4，所以x 20＋y 20＝x 20＋(x 0－4)2＝2(x 0－2)2＋8∈[8,16]、 答案：[8,16]7、(2018·南京三模)在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,2)，直线l ：x ＋y －4＝0.点B (x ，y )是圆C ：x 2＋y 2－2x －1＝0的动点，AD ⊥l ，BE ⊥l ，垂足分别为D ，E ，那么线段DE 的最大值是________、解析：线段DE 的最大值等于圆心(1,0)到直线AD ：x －y ＋2＝0的距离加半径即为522.答案：5228、假设实数a ，b ，c 成等差数列，点P (－1,0)在动直线ax ＋by ＋c ＝0上的射影为M ，点N (3,3)，那么线段MN 长度的最大值是________、解析：由题可知动直线ax ＋by ＋c ＝0过定点A (1，－2)、设点M (x ，y )，由MP ⊥MA 可求得点M 的轨迹方程为以AP 为直径的圆，圆心Q (0，－1)半径r ＝ 2.故线段MN 长度的最大值为QN ＋r ＝5＋ 2.答案：5＋ 29、(2018·徐州四市)平面直角坐标系中，点A (1，－2)，B (4,0)，P (a,1)，N (a ＋1,1)，当四边形PABN 的周长最小时，过三点A ，P ，N 的圆的圆心坐标是________、解析：∵AB ，PN 的长为定值， ∴只要求PA ＋BN 的最小值、 PA ＋BN ＝a －12＋9＋a －32＋1，其几何意义为动点(a,0)到两定点(1,3)和(3，－1)距离之和，当三点共线，即a ＝52时，其和取得最小值、线段PN 的中垂线方程为x＝3，线段PA 的中垂线方程为y ＋12＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －74，交点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－98即为所求的圆心坐标、答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－98 10、A (－2,0)，B (0,2)，M ，N 是圆x 2＋y 2＋kx ＝0(k 是常数)上的两个不同的点，P 是圆上的动点，如果M ，N 两点关于直线x －y －1＝0对称，那么△PAB 面积的最大值是________、解析：因为M ，N 关于直线x －y －1＝0对称，故圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2，0在直线x －y －1＝0上，那么－k2－1＝0，解得k ＝－2，那么圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1.又直线AB 的方程为x －y ＋2＝0，那么圆心(1,0)到直线AB 的距离为d ＝|1＋2|2＝322.所以圆上的点到直线AB 的最大距离为1＋322，所以△PAB 面积的最大值为S ＝12×|AB |×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋322＝12×22×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋322＝3＋ 2.答案：3＋ 211、(2018·泉州五校质检)圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋3＝0关于直线x ＋y －1＝0对称，圆心C 在第二象限，半径为 2.(1)求圆C 的方程；(2)是否存在直线l 与圆C 相切，且在x 轴、y 轴上的截距相等？假设存在，求直线的方程；假设不存在，说明理由、解：(1)由x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋3＝0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋D 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2－124， ∴圆C 的圆心C 的坐标为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2，半径R ＝D 2＋E 2－122，由R ＝2，得D 2＋E 2－122＝2，故D 2＋E 2＝20.①∵圆C 关于直线x ＋y －1＝0对称，∴圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2在直线x ＋y －1＝0上，∴－D 2－E2－1＝0，故D ＋E ＝－2，②由②式，得E ＝－2－D ，代入①式，得D 2＋(－2－D )2＝20， 即D 2＋2D －8＝0，解得D ＝－4或D ＝2.又∵圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2在第二象限，∴－D2<0，解得D >0.∴D ＝2，E ＝－2－2＝－4.∴圆C 的方程为x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0， 即(x ＋1)2＋(y －2)2＝2.(2)直线l 在x 轴、y 轴上的截距相等，设为a ， 由(1)知圆C 的圆心C (－1,2)，当a ＝0时，直线l 过原点，设其方程为y ＝kx ， 即kx －y ＝0，假设直线l ：kx －y ＝0与圆C 相切，那么|－k －2|k 2＋1＝2， 即k 2－4k －2＝0，解得k ＝2±6， 此时直线l 的方程为y ＝(2±6)x ， 即(2±6)x －y ＝0；当a ≠0时，直线l 的方程为x a ＋ya ＝1， 即x ＋y －a ＝0，假设直线l ：x ＋y －a ＝0与圆C 相切，那么|－1＋2－a |1＋1＝2，即|a －1|＝2，解得a ＝－1或a ＝3.此时直线l 的方程为x ＋y ＋1＝0，或x ＋y －3＝0. 综上所述，存在四条直线满足题意，其方程为(2±6)x －y ＝0或x ＋y ＋1＝0或 x ＋y －3＝0.12.如图，在平面直角坐标系xOy 中，F1(－4,0)，F 2(4,0)，A (0,8)，直线y ＝t (0<t <8)与线段AF 1，AF 2分别交于点P ，Q .(1)当t ＝3时，求以F 1，F 2为焦点，且过PQ 中点的椭圆的标准方程；(2)过点Q 作直线QR ∥AF 1交F 1F 2于点R ，记△PRF 1的外接圆为圆C .①求证：圆心C 在定直线7x ＋4y ＋8＝0上；②圆C 是否恒过异于点F 1的一个定点？假设过，求出该点的坐标；假设不过，请说明理由、解：(1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， 当t ＝3时，PQ 的中点为(0,3)，所以b ＝3. 而a 2－b 2＝16，所以a 2＝25，故椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.(2)①证明：法一：易得直线AF 1：y ＝2x ＋8， AF 2：y ＝－2x ＋8，所以可得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －82，t ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫8－t 2，t ，再由QR ∥AF 1，得R (4－t,0)、那么线段F 1R 的中垂线方程为x ＝－t2， 线段PF 1的中垂线方程为y ＝－12x ＋5t －168， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋5t －168，x ＝－t 2，解得△PRF 1的外接圆的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－t 2，7t 8－2.经验证，该圆心在定直线7x ＋4y ＋8＝0上、法二：易得直线AF 1：y ＝2x ＋8；AF 2：y ＝－2x ＋8，所以可得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －82，t ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫8－t 2，t ，再由QR ∥AF 1，得R (4－t,0)、设△PRF 1的外接圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，那么⎩⎪⎨⎪⎧4－t2＋4－t D ＋F ＝0，－42－4D ＋F ＝0，⎝ ⎛⎭⎪⎫t －822＋t 2＋t －82D ＋tE ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝t ，E ＝4－74t ，F ＝4t －16.所以圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－t 2，7t 8－2，经验证，该圆心在定直线7x ＋4y ＋8＝0上、②由①可得圆C 的方程为x 2＋y 2＋tx ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－74t y ＋4t －16＝0. 该方程可整理为(x 2＋y 2＋4y －16)＋t ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －74y ＋4＝0，那么由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋4y －16＝0，x －74y ＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝413，y ＝3213或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝0.所以圆C 恒过异于点F 1的一个定点，该点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫413，3213.。
2019年高考数学(理)一轮复习必刷题练习第十五单元 直线和圆的方程
第十五单元 直线和圆的方程考点一 求圆的方程1.(2016年浙江卷)已知a ∈R ,方程a 2x 2+(a+2)y 2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是 ,半径是 .【解析】由二元二次方程表示圆的条件可得a 2=a+2,解得a=2或a=-1.当a=2时,方程为4x 2+4y 2+4x+8y+10=0,即x 2+y 2+x+2y+52=0,配方得 x +12 2+(y+1)2=-54<0,不表示圆;当a=-1时,方程为x 2+y 2+4x+8y-5=0,配方得(x+2)2+(y+4)2=25,则圆心坐标是(-2,-4),半径是5.【答案】(-2,-4) 52.(2014年山东卷)圆心在直线x-2y=0上的圆C 与y 轴的正半轴相切,圆C 截x 轴所得弦的长为2 3,则圆C 的标准方程为 .【解析】因为圆心在直线x-2y=0上,所以可设圆心坐标为(2b ,b ). 又圆C 与y 轴的正半轴相切,所以b>0,圆的半径为2b.由勾股定理可得b 2+( 2=4b 2,解得b=±1.又因为b>0,所以b=1,所以圆C 的圆心坐标为(2,1),半径为2, 所以圆C 的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4.【答案】(x-2)2+(y-1)2=43.(2015年全国Ⅰ卷)一个圆经过椭圆x 216+y 24=1的三个顶点,且圆心在x 轴的正半轴上,则该圆的标准方程为 .【解析】设所求圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0(D 2+E 2-4F>0).由题意知圆过(4,0),(0,2),(0,-2)三点,则有16+0+4D+0+F=0,0+4+0+2E+F=0,0+4+0−2E+F=0,解得D=−3,E=0,F=−4,故所求圆的方程为x2+y2-3x-4=0,标准方程为 x-32+y2=25.【答案】 x-32+y2=25考点二有关距离的计算4.(2015年全国Ⅱ卷)已知三点A(1,0),B(0,3),C(2,3),则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为().A.53B.213C.253D.43【解析】由已知可得|AB|=|AC|=|BC|=2,所以△ABC是等边三角形,所以其外接圆圆心即为三角形的重心,其坐标为1+0+2,0+3+3,即1,23,故圆心到原点的距离为1+232=21.【答案】B5.(2016年上海卷)已知平行直线l1:2x+y-1=0,l2:2x+y+1=0,则l1,l2的距离为.【解析】d=|c1-c2|a2+b =|-1-1|2+1=25.【答案】256.(2016年全国Ⅱ卷)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=().A.-43B.-34C.3D.2【解析】圆x2+y2-2x-8y+13=0的标准方程为(x-1)2+(y-4)2=4,由圆心到直线ax+y-1=0的距离为1可知a2+1=1,解得a=-43,故选A.【答案】A考点三直线与圆的位置关系7.(2014年安徽卷)过点P(-3,-1)的直线l与圆x2+y2=1有公共点,则直线l的倾斜角的取值范围是().A.0,π6B.0,π3C.0,π6D.0,π3【解析】设直线l:y+1=k(x+3),即kx-y+3k-1=0,由题意知,圆心O到直线l的距离d=|k·0-0+3k-1|k+1≤1,解得0≤k≤3,则直线l的倾斜角的取值范围是0,π,选D.【答案】D8.(2016年山东卷)已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是22,则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是().A.内切B.相交C.外切D.相离【解析】∵x2+y2-2ay=0(a>0),∴x2+(y-a)2=a2(a>0),∴圆心M(0,a),r1=a.依题意,有a2=a2-2,解得a=2.∴圆M的方程为x2+y2-4y=0,即x2+(y-2)2=4,圆心M(0,2),半径r1=2.又圆N:(x-1)2+(y-1)2=1,圆心N(1,1),半径r2=1,∴|MN|=(0-1)2+(2−1)2=.∵r1-r2=1,r1+r2=3,1<|MN|<3,∴两圆相交.【答案】B9.(2014年湖南卷)若圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x-8y+m=0外切,则m=().A.21B.19C.9D.-11【解析】圆C1的圆心是原点(0,0),半径r1=1.圆C2:(x-3)2+(y-4)2=25-m,圆心C2(3,4),半径r2=.由两圆相外切,得|C1C2|=r1+r2,即5=1+25−m,所以m=9.故选C.【答案】C10.(2015年山东卷)过点P(1,3)作圆x2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则PA²PB=.【解析】如图所示,由题意可知OA ⊥AP ,OB ⊥BP ,OP= 1+3=2,又OA=OB=1,可以求得AP=BP= 3,∠APB=60°,故PA²PB = ³ ³cos 60°=32. 【答案】32考点四 直线和圆的综合应用11.(2014年福建卷)已知直线l 过圆x 2+(y-3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则l 的方程是( ).A.x+y-2=0B.x-y+2=0C.x+y-3=0D.x-y+3=0【解析】由直线l 与直线x+y+1=0垂直,可设直线l 的方程为x-y+n=0.又直线l 过圆x 2+(y-3)2=4的圆心(0,3),则n=3,所以直线l 的方程为x-y+3=0,故选D.【答案】D12.(2014年浙江卷)已知圆x 2+y 2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a 的值是( ).A.-2B.-4C.-6D.-8【解析】圆的标准方程为(x+1)2+(y-1)2=2-a ,r 2=2-a ,则圆心(-1,1)到直线x+y+2=0的距离为 2= . 由22+( 2=2-a ,得a=-4,故选B.【答案】B13.(2015年山东卷)一条光线从点(-2,-3)射出,经y 轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为( ).A.-53或-35B.-32或-23C.-54或-45D.-43或-34【解析】由已知,得点(-2,-3)关于y 轴的对称点为(2,-3).由入射光线与反射光线的对称性,知反射光线一定过点(2,-3).设反射光线所在直线的斜率为k ,则反射光线所在直线的方程为y+3=k (x-2),即kx-y-2k-3=0.由反射光线与圆相切,则有d= k +1=1,解得k=-43或k=-34,故选D .【答案】D14.(2016年全国Ⅰ卷)设直线y=x+2a 与圆C :x 2+y 2-2ay-2=0相交于A ,B 两点,若|AB|=2 3,则圆C 的面积为 .【解析】圆C :x 2+y 2-2ay-2=0化为标准方程是C :x 2+(y-a )2=a 2+2,所以圆心C (0,a ),半径r= a 2+2.|AB|=2 3,点C 到直线y=x+2a 即x-y+2a=0的距离d=|0-a +2a |2,由勾股定理得 2 32+ |0-a +2a |22=a 2+2,解得a 2=2,所以r=2,所以圆C 的面积为π³22=4π.【答案】4π15.(2014年全国Ⅱ卷)设点M (x 0,1),若在圆O :x 2+y 2=1上存在点N ,使得∠OMN=45°,则x 0的取值范围是 .【解析】由题意可知M 在直线y=1上运动,设直线y=1与圆x 2+y 2=1相切于点P (0,1).当x 0=0即点M 与点P 重合时,显然圆上存在点N (±1,0)符合要求;当x 0≠0时,过点M 作圆的切线,切点之一为点P ,此时对于圆上任意一点N ,都有∠OMN ≤∠OMP ,故要存在∠OMN=45°,只需∠OMP ≥45°.特别地,当∠OMP=45°时,有x 0=±1.结合图形可知,符合条件的x 0的取值范围为[-1,1].【答案】[-1,1]高频考点:求直线的方程,求圆的方程,判断两条直线的位置关系,判断直线与圆的位置关系.命题特点:本部分内容是解析几何的基础知识,需要掌握求直线与圆的方程的基本方法、熟悉距离公式以及会判断直线与圆的位置关系,需要掌握求切线方程的基本方法以及会运用弦长公式:这些内容在题型考查中既可以作为一个考点单独在选择题、填空题中考查,也可以在解答题中与圆锥曲线一起综合考查.§15.1 直线方程与两条直线的位置关系一 直线的倾斜角1.定义:x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫作这条直线的倾斜角.当直线与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0°.2.倾斜角的范围为[0,π).二 直线的斜率1.定义:一条直线的倾斜角α的正切值叫作这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示,即k=tan α.倾斜角是90°的直线没有斜率.2.经过两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式:k=y 2-y 1x 2-x 1=y 1-y2x 1-x 2.三 直线方程的五种形式点斜式: .斜截式: .两点式:y -y 1y2-y 1=x -x 1x 2-x 1.截距式:x a +yb =1.一般式: .四 两条直线平行与垂直的判定1.两条不重合的直线l 1,l 2的斜率分别为k 1,k 2,则(1)l 1∥l 2⇔k 1=k 2;(2)l1⊥l2⇔.2.直线l1:A1x+B1y+C1=0与直线l2:A2x+B2y+C2=0,则(1)A1B2-A2B1≠0⇔l1与l2相交;(2)A1B2-A2B1=0⇔l1与l2平行或重合;(3)⇔l1与l2垂直.五距离1.点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=.2.两条平行直线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0(其中C1≠C2)之间的距离d=.☞左学右考判断下列结论是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“³”.(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率.()(2)直线的倾斜角越大,其斜率就越大.()(3)如果两条直线l1与l2垂直,那么它们的斜率之积一定等于-1.()(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.(),且线段AB的中点在直线l上.() (5)若点A,B关于直线l:y=kx+b(k≠0)对称,则直线AB的斜率等于-1k直线3x-y+a=0的倾斜角为().A.30°B.60°C.150°D.120°过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是().A.x-2y-1=0B.x-2y+1=0C.2x+y-2=0D.x+2y-1=0已知两条直线l 1:x+y-1=0,l 2:3x+ay+2=0且l 1⊥l 2,则a 等于( ).A.-13B .13C.-3D.3已知直线3x+4y-3=0与6x+my+14=0平行,则它们之间的距离是 .若A (1,2),B (-2,3),C (4,y )在同一条直线上,则y 的值是 .知识清单三、y-y 0=k (x-x 0) y=kx+b Ax+By+C=0(A 2+B 2≠0)四、1.(2)k 1²k 2=-1 2.(3)A 1A 2+B 1B 2=0 五、1.00 A +B 2.|C 1-C 2|A +B基础训练1.【答案】(1)³ (2)³ (3)³ (4)√ (5)√2.【解析】∵直线的斜率为 3,∴倾斜角为60°. 【答案】B3.【解析】由题意知所求直线方程为x-2y+c=0,因为该直线过点(1,0),所以1-0+c=0,即c=-1.所以所求直线方程为x-2y-1=0. 【答案】A4.【解析】∵l 1⊥l 2,∴3+a=0,∴a=-3. 【答案】C5.【解析】由题意知36=4m,∴m=8,∴所求距离为3+4=2.【答案】26.【解析】∵A (1,2),B (-2,3),∴过A ,B 两点的直线方程是y-2=-13(x-1).∵点(4,y )在此直线上,∴y -2=-13³(4-1),∴y=1. 【答案】1题型一 直线的倾斜角与斜率【例1】(1)直线x sin α+y+2=0的倾斜角的取值范围是( ).A.[0,π)B. 0,π4∪3π4,π C. 0,π4D. 0,π4 ∪ π2,π(2)若直线l :y=kx- 3与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限,则直线l 的倾斜角的取值范围是( ). A. π6,π3B. π6,π2C. π3,π2D. π6,π2【解析】(1)因为直线x sin α+y+2=0的斜率k=-sin α,-1≤sin α≤1,所以-1≤k ≤1.设直线x sin α+y+2=0的倾斜角为θ,所以-1≤tan θ≤1,而θ∈[0,π),故倾斜角的取值范围是 0,π4∪3π4,π .(2)如图,直线l :y=kx- 3,过定点P (0,- 3), 又A (3,0),所以k PA = 33,故直线PA 的倾斜角为π6,所以满足条件的直线l 的倾斜角的取值范围是 π6,π2. 【答案】(1)B (2)Bk=k=. 【变式训练1】(1)若三点A (2,2),B (a ,0),C (0,b )(ab ≠0)共线,则1a +1b 的值为 .(2)曲线y=x 3-x+5上各点处的切线的倾斜角的取值范围为 .【解析】(1)由题意知过B (a ,0),C (0,b )两点的直线为x a +y b =1.因为点A 在直线BC 上,所以2a +2b =1,即1a +1b =12.(2)设曲线上任意一点处的切线的倾斜角为θ(θ∈[0,π)).因为y'=3x 2-1≥-1,所以tan θ≥-1.结合正切函数的图象可知,θ的取值范围为 0,π2 ∪3π4,π . 【答案】(1)12 (2) 0,π2 ∪3π4,π题型二 两条直线的位置关系【例2】(1)(2017吉安一中期中)“a=-2”是“直线l 1:ax-y+3=0与l 2:2x-(a+1)y+4=0互相平行”的( ).A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)两条平行直线2x-y-2=0和4x-2y+3=0之间的距离是 .【解析】(1)直线l 1:ax-y+3=0与l 2:2x-(a+1)y+4=0互相平行的充要条件为-(a+1)a=(-1)³2且a 2≠34,即a=-2或a=1,因此“a=-2”是“直线l 1:ax-y+3=0与l 2:2x-(a+1)y+4=0互相平行”的充分不必要条件.故选A.(2)直线方程2x-y-2=0即4x-2y-4=0,利用两条平行直线距离公式得其距离d=4+(−2)=7 510.【答案】(1)A (2)7 510(1)利用两条直线的平行与垂直关系的判断公式求解;【变式训练2】(1)直线l 0:x-y+1=0,直线l 1:ax-2y+1=0与l 0平行,且直线l 2:x+by+3=0与l 0垂直,则a+b=( ). A.3 B.2 C.1 D.-1(2)平行于直线2x+y+1=0且与圆x 2+y 2=5相切的直线的方程是( ).A.2x-y+ =0或2x-y- =0B.2x+y+ 5=0或2x+y- 5=0C.2x-y+5=0或2x-y-5=0D.2x+y+5=0或2x+y-5=0【解析】(1)因为l 0∥l 1,所以1a =12,解得a=2.因为l 0⊥l 2,所以-1b=-1,解得b=1,所以a+b=3.(2)设所求切线方程为2x+y+c=0,依题意有|0+0+c |2+1= 5,解得c=±5,所以所求切线方程为2x+y+5=0或2x+y-5=0.故选D. 【答案】(1)A (2)D题型三 求直线的方程【例3】根据下列条件,分别求满足条件的直线的一般式方程:(1)过点(5,10),且原点到该直线的距离为5; (2)与直线3x+4y+1=0平行且过点(1,2);(3)经过两条直线l 1:x-2y+4=0和l 2:x+y-2=0的交点P ,且与直线l 3:3x-4y+5=0垂直. 【解析】(1)由题意知,当直线的斜率不存在时符合题意,此时直线方程为x=5. 当直线的斜率存在时,设其方程为y-10=k (x-5),即kx-y+(10-5k )=0. 由点到直线的距离公式得|10-5k |1+k =5,解得k=34.此时直线的方程为3x-4y+25=0.综上所述,所求直线的方程为x=5或3x-4y+25=0.(2)设与直线3x+4y+1=0平行的直线l 的方程为3x+4y+m=0. 因为l 经过点(1,2),所以3³1+4³2+m=0,解得m=-11. 所以所求直线的方程为3x+4y-11=0.(3)由方程组 x -2y +4=0,x +y -2=0,得 x =0,y =2,即交点为P (0,2).设所求直线为l ,因为l ⊥l 3,直线l 3的斜率为34,所以直线l 的斜率k 1=-43,所以直线l 的方程为y-2=-43x ,即4x+3y-6=0.【变式训练3】(1)过点A (2,3),且将圆C :x 2+y 2-2x-4y+1=0平分的直线的方程为 .(2)从点(2,3)射出的光线沿与直线x-2y=0平行的方向射到y 轴上,则经y 轴反射后的光线所在的直线的方程为 . 【解析】(1)由题意知圆心为C (1,2),依题意知,点A (2,3),C (1,2)在所求直线上.由两点式得y -23−2=x -12−1,即x-y+1=0.(2)由题意得,入射光线的方程为y-3=12(x-2),即x-2y+4=0,与y 轴的交点为(0,2).又(2,3)关于y 轴的对称点为(-2,3),∴反射光线所在的直线过(0,2),(-2,3).由直线方程的两点式可得反射光线的方程为y -23−2=x -0-2-0,即x+2y-4=0.【答案】(1)x-y+1=0 (2)x+2y-4=0方法 对称问题的解题技巧涉及对称问题,主要有以下几种情况:1.若点P (x 0,y 0)关于直线l :Ax+By+C=0对称的点是Q (x'0,y'0),则线段PQ 的中点在直线l 上且直线PQ ⊥l ,由此可得方程组 A ·x ' 0+x02+B ·y ' 0+y 02+C =0,y 0-y'x 0-x' 0· -A =−1,解方程组得到x'0,y'0的值,从而求得对称点的坐标.2.若直线l :Ax+By+C=0关于点P (x 0,y 0)对称的直线为l',由于直线l'必与直线l :Ax+By+C=0平行,故可设直线l'的方程为Ax+By+C 0=0.利用距离公式并结合图形可求得直线l'的方程.3.若直线l :Ax+By+C=0关于直线l 0:A 0x+B 0y+C 0=0对称的直线为l',则在直线l :Ax+By+C=0上取两点,求出这两点关于直线l 0对称的两点的坐标,再由两点式便可得直线l'的方程.【突破训练】已知直线l :3x-y+3=0,求: (1)点P (4,5)关于l 的对称点;(2)直线x-y-2=0关于直线l 对称的直线方程; (3)直线l 关于点(1,2)的对称直线方程.【解析】(1)设P (x ,y )关于直线l :3x-y+3=0的对称点为P'(x',y').∵k PP'²k l =-1,∴y '-yx '-x³3=-1. ①又∵PP'的中点在直线3x-y+3=0上,∴3³x '+x 2-y '+y2+3=0. ②由①②得x'=-4x+3y-95,③y'=3x+4y+35.④把x=4,y=5代入③④,得x'=-2,y'=7,∴点P(4,5)关于直线l的对称点P'的坐标为(-2,7).(2)用③④分别代换x-y-2=0中的x,y,得关于l的对称直线方程为-4x+3y-95-3x+4y+35-2=0,化简得7x+y+22=0.(3)在直线l:3x-y+3=0上取点M(0,3),设其关于点(1,2)的对称点为M'(x',y'),∴x'+02=1,y'+32=2,解得x'=2,y'=1,∴M'(2,1).又l关于点(1,2)的对称直线平行于l,∴所求对称直线的斜率k=3,∴对称直线的方程为y-1=3³(x-2),即3x-y-5=0.1.(2017北京东城区期末)已知直线l的倾斜角为α,斜率为k,那么“α>π3”是“k>3”的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】当π<α<π时,k<0;当k>3时,π<α<π.所以“α>π3”是“k>的必要不充分条件.故选B.【答案】B2.(2017沧州市一中月考)若直线l1:ax+y-1=0与l2:3x+(a+2)y+1=0平行,则a的值为().C.0或-12D.1或-3【解析】由题意可得a (a+2)=3,解得a=1或a=-3.当a=-3时两条直线重合,故应舍去.所以选A. 【答案】A3.(2017襄阳四中月考)方程(1+4k )x-(2-3k )y+(2-14k )=0表示的直线必经过点( ).A.(2,2)B.(-2,2)C.(-6,2)D.34,22 【解析】原方程可化为x-2y+2+k (4x+3y-14)=0,由 x -2y +2=0,4x +3y -14=0,解得 x =2,y =2,所以直线过定点(2,2).【答案】A4.(2017广州模拟)已知直线l 1:2ax+(a+1)y+1=0,l 2:(a+1)x+(a-1)y=0,若l 1⊥l 2,则a=( ).A.2或12B.13或-1 C.13D.-1【解析】由题意知2a (a+1)+(a+1)(a-1)=0,解得a=13或a=-1.故选B. 【答案】B5.(2017广州综合测试)已知三条直线2x-3y+1=0,4x+3y+5=0,mx-y-1=0不能构成三角形,则实数m 的取值集合为( ).A. -4,2B. 4,-2C. -4,2,4D. -4,-2,2【解析】三条直线不能围成三角形,则至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点.若直线2x-3y+1=0平行直线mx-y-1=0,则m=23;若直线4x+3y+5=0平行直线mx-y-1=0,则m=-43;若三条直线相交于同一点,则m=-23,故选D .【答案】D6.(2017沙市中学月考)若三条直线y=2x ,x+y=3,mx+ny+5=0相交于同一点,则点(m ,n )到原点的距离的最小值为( ).A. 5B. 6C.2 3D.2 5【解析】直线y=2x ,x+y=3的交点为(1,2),代入mx+ny+5=0得m+2n+5=0. m 2+n 2表示点(m ,n )与(0,0)的距离,其最小值为原点到直线的距离d= 5= 5,∴ m 2+n 2的最小值为 5.7.(2017云南师大附中月考)已知倾斜角为θ的直线l 与直线m :x-2y+3=0垂直,则tan 2θ= .【解析】∵直线l 与m 垂直,∴12²tan θ=-1⇒tan θ=-2,∴tan 2θ=2tan θ1−tan 2θ=2×(−2)1−4=43. 【答案】48.(2017河南豫东、豫北十校联考)△ABC 的三个顶点坐标分别为A (-3,0),B (2,1),C (-2,3),则边BC 的垂直平分线的直线方程为 .【解析】设BC 的中点的坐标为(x ,y ), 则x=2−2=0,y=1+3=2,即(0,2). ∵直线BC 的斜率k 1=-12,∴BC 的垂直平分线的直线斜率k 2=2, ∴所求的直线方程为2x-y+2=0.【答案】2x-y+2=09.(2016深圳市调研)若a=log π2,b=log π3,c=log π5,则( ).A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c【解析】因为log πx x -1=log πx -0x -1表示函数y=log πx 图象上的点(x ,y )与点D (1,0)连线的斜率.所以令a=k DA ,b=k DB ,c=k DC ,由图知k DA >k DB >k DC ,即c<b<a.故选B .10.(2017大庆铁人中学期末)将一张坐标纸折叠一次,使得点(0,2)与点(4,0)重合,点(7,3)与点(m,n)重合,则m+n=().A.345B.365C.283D.323【解析】由题意可得,对称轴所在的直线即为点(0,2)与点(4,0)构成的线段的中垂线.由于点(0,2)与点(4,0)连成的线段的中点为(2,1),斜率为-12,故对称轴所在的直线的方程为y-1=2(x-2),即2x-y-3=0.根据点(7,3)与点(m,n)重合,可得n-3m-7×2=−1,2×m+72-n+32-3=0,解得m=35,n=315,所以m+n=345,故选A.【答案】A11.如图,平面中两条直线l1和l2相交于点O,对于平面上任意一点M,若p和q分别是M到直线l1和l2的距离,则称有序非负实数对(p,q)是点M的“距离坐标”.已知常数p≥0,q≥0,给出下列命题:①若p=q=0,则“距离坐标”为(0,0)的点有且仅有一个;②若pq=0,且p+q≠0,则“距离坐标”为(p,q)的点有且仅有两个;③若pq≠0,则“距离坐标”为(p,q)的点有且仅有四个.上述命题中,正确命题的个数是().A.0B.1C.2D.3【解析】①正确,此点为点O;②正确,注意到p,q为常数,由p,q中必有一个为零,另一个非零,从而可知有且仅有两个点,这两个点分别在两条直线上,且到另一条直线的距离为q(或p),两点关于点O对称;③正确,四个交点分别为与直线l1相距p的两条平行线和与直线l2相距q的两条平行线的交点.【答案】D12.(2017汕头潮南实验学校月考)若直线m被两条平行直线l1:x-y+1=0与l2:x-y+3=0所截得的线段的长为22,则m的倾斜角可以是.(写出所有正确答案的序号)①15°,②30°,③45°,④60°,⑤75°.【解析】两条平行直线间的距离为d=1+1=2,由图(图略)知直线m与l1的夹角为30°,l1的倾斜角为45°,所以直线m的倾斜角等于30°+45°=75°或45°-30°=15°.13.(2017鸡泽一中月考)定义:曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离.已知曲线C 1:y=x 2+a 到直线l :y=x 的距离等于曲线C 2:x 2+(y+4)2=2到直线l :y=x 的距离,则实数a= .【解析】曲线C 2:x 2+(y+4)2=2到直线l :y=x 的距离为2- 2= 2, 则曲线C 1与直线l 不能相交, 即x 2+a>x ,∴x 2+a-x>0.设C 1:y=x 2+a 上点为(x 0,y 0),则点(x 0,y 0)到直线l 的距离d= x -y 0 2=002 2= x -12 2+a-14 2≥4 2= ,所以a=94.【答案】914.(2017天河中学检测)设直线l 1:y=k 1x+1,l 2:y=k 2x-1,其中实数k 1,k 2满足k 1k 2+2=0.证明: (1)l 1与l 2相交;(2)l 1与l 2的交点在椭圆2x 2+y 2=1上.【解析】(1)假设l 1与l 2不相交,则l 1与l 2平行,有k 1=k 2.代入k 1k 2+2=0,得k 12+2=0,此与k 1为实数的事实相矛盾. 从而k 1≠k 2,即l 1与l 2相交. (2)由方程组 y =k 1x +1,y =k 2x-1,解得交点P 的坐标(x ,y )为x =2k 2-k 1,y =k 2+k 1k 2-k 1. 而2x 2+y 2=22k 2-k 12+k 2+k 1k 2-k 12=8+k 22+k 12+2k 1k 2k 22+k 12-2k 1k 2=k 12+k 22+4k 12+k 22+4=1.此即表明交点P (x ,y )在椭圆2x 2+y 2=1上.§15.2圆的方程一圆的方程1.圆的标准方程(1)方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)表示圆心为,半径为r的圆的标准方程.(2)特别地,以原点为圆心,半径为r(r>0)的圆的标准方程为.2.圆的一般方程方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),圆心为,半径为.二点与圆的位置关系圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,点M(x0,y0),①(x0-a)2+(y0-b)2r2⇔点在圆上;②(x0-a)2+(y0-b)2r2⇔点在圆外;③(x0-a)2+(y0-b)2r2⇔点在圆内.☞左学右考方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圆的充要条件是().A.1<m<1B.m<1或m>1C.m<14D.m>1若点(2a,a+1)在圆x2+(y-1)2=5的内部,则a的取值范围是().A.-1<a<1B.0<a<1C.-1<a<15D.-15<a<1已知点A(2,0),B(0,2),则以线段AB为直径的圆的方程是.知识清单一、1.(1)(a,b)(2)x2+y2=r22.-D,-ED2+E2-4F二、①=②>③<基础训练1.【解析】由题意知,(4m)2+(-2)2-4³5m=16m2-20m+4>0,解得m<14或m>1.【答案】B2.【解析】由题意知(2a)2+a2<5,即5a2<5,解得-1<a<1.【答案】A3.【解析】AB的中点为2+02,0+22,即(1,1).∴圆心为(1,1).∵|AB|=22,∴圆的半径为2.∴所求圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2.【答案】(x-1)2+(y-1)2=2题型一求圆的方程【例1】求下列各圆的方程:(1)已知圆心在直线y=-4x上,且圆与直线l:x+y-1=0相切于点P(3,-2);(2)经过点A(5,2),点B(3,2),且圆心在直线2x-y-3=0上;(3)经过三点A(1,12),B(7,10),C(-9,2).【解析】(1)过切点且与x+y-1=0垂直的直线为y+2=x-3,与y=-4x联立可求得圆心为(1,-4).所以半径r=(3-1)2+(−2+4)2=22,故所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.(2)设圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则(5-a)2+(2−b)2=r2,(3-a)2+(2−b)2=r2,2a-b-3=0,得a=4,b=5,r2=10.故圆C的方程为(x-4)2+(y-5)2=10. (3)设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,因为圆过三点A(1,12),B(7,10),C(-9,2),所以1+144+D+12E+F=0, 49+100+7D+10E+F=0, 81+4−9D+2E+F=0,解得D=−2, E=−4, F=−95.所以所求圆的方程为x2+y2-2x-4y-95=0.【变式训练1】(1)已知圆M与直线3x-4y=0及3x-4y+10=0都相切,圆心在直线y=-x-4上,则圆M的方程为().A.(x+3)2+(y-1)2=1B.(x-3)2+(y+1)2=1C.(x+3)2+(y+1)2=1D.(x-3)2+(y-1)2=1(2)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,5)在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距离为455,则圆C的方程为.【解析】(1)到直线3x-4y=0及3x-4y+10=0的距离都相等的直线方程为3x-4y+5=0,联立方程组3x-4y+5=0,y=−x-4,解得x=−3,y=−1.两条平行直线之间的距离为2,所以半径为1,从而圆M的方程为(x+3)2+(y+1)2=1.选C.(2)因为圆C的圆心在x轴的正半轴上,设C(a,0),且a>0,所以圆心到直线2x-y=0的距离d=2a5=45,解得a=2,所以圆C的半径r=|CM|=4+5=3,所以圆C的方程为(x-2)2+y2=9.【答案】(1)C(2)(x-2)2+y2=9题型二与圆有关的最值或范围问题【例2】(1)已知直线l:x-y+4=0与圆C:(x-1)2+(y-1)2=2,则圆C上各点到l的距离的最小值为.(2)已知A(-2,0),B(0,2),实数k是常数,M,N是圆x2+y2+kx=0上不同的两点,P是圆x2+y2+kx=0上的动点.若M,N关于直线x-y-1=0对称,则△PAB面积的最大值是().A.3B.32C.3-2D.3+2【解析】(1)圆C:(x-1)2+(y-1)2=2的圆心是(1,1),半径r=2,圆心到直线l:x-y+4=0的距离d=42=22,圆上的点到直线的距离最小值为d-r=2.(2)因为M,N关于直线x-y-1=0对称,所以圆心-k2,0在直线x-y-1=0上,即-k2-1=0,解得k=-2,所以圆的方程为x2+y2-2x=0,即圆心为(1,0),半径为r=1.要使△PAB面积的值最大,即此时点P到直线的距离为圆心(1,0)到直线AB的距离与圆半径之和.因为圆心(1,0)到直线AB的距离为322,|AB|=22,所以△PAB面积的最大值为S=12³22³322+1=3+2.故选D.【答案】(1)2(2)D与圆上的点有关的距离的最值问题都要与圆心联系起来.①当直线与圆相离时,圆心到直线的距离为d,圆半径为r,则圆上的【变式训练2】(1)设点P和点Q分别在x2+(y-6)2=2和椭圆x210+y2=1上,则点P,点Q之间的最大距离为().A.5B.+C.7+2D.62(2)过点M(1,2)的直线l与圆:(x-3)2+(y-4)2=25交于A,B两点,设C为圆的圆心,当∠ACB最小时,直线l的方程是. 【解析】(1)依题意点P,点Q之间的最大距离可以转化为圆心到椭圆上的点的最大距离再加上圆的半径2.设Q(x,y),则圆心(0,6)与点Q的距离d=x2+(y-6)2=-9y2-12y+46=-9 y+232+50≤52,所以点P,点Q之间的最大距离为62.故选D.(2)要使∠ACB最小,由圆心角定理可知,需AB最短.由勾股定理可知,当圆心到直线l的距离最大时,|AB|最短,即线段CM垂直于直线l.因为线段CM的斜率k=4−23−1=1,所以所求的直线斜率为-1,由点斜式可得y-2=-(x-1),即x+y-3=0.【答案】(1)D(2)x+y-3=0题型三与圆有关的轨迹方程【例3】已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.(1)求M的轨迹方程;(2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及△POM的面积.【解析】(1)圆C的方程可化为x2+(y-4)2=16,所以圆心为C(0,4),半径为4.设M(x,y),CM=(x,y-4),MP=(2-x,2-y),由圆的几何性质,CM⊥MP,所以CM²MP=0,所以x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,即(x-1)2+(y-3)2=2.因为点P在圆C的内部,所以直线l一定与圆心C相交,所以上式方程满足题意.所以M的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2.(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心,2为半径的圆.因为|OP|=|OM|,设线段PM中点为点D,所以OD⊥PM.又点P在圆N上,从而ND⊥PM,所以ON⊥PM.因为ON 的斜率为3,所以直线l 的斜率为-13,故l 的方程为y=-13x+83.又|OM|=|OP|=2 2,O 到直线l 的距离为4 105, 故|PM|=4 105,所以△POM 的面积为165.【变式训练3】已知一个圆经过点A (3,1),B (-1,3),且它的圆心在直线3x-y-2=0上. (1)求此圆的方程;(2)若点D 为所求圆上任意一点,且点C (3,0),求线段CD 的中点M 的轨迹方程. 【解析】(1)因为A (3,1),B (-1,3),所以k AB =3−1-1-3=-1,线段AB 的中点坐标为(1,2),从而线段AB 的垂直平分线的斜率为2,方程为y-2=2(x-1),即2x-y=0.由方程组 2x -y =0,3x -y -2=0,解得 x =2,y =4,所以圆心N (2,4),半径r=|NA|= (2-3)2+(4−1)2=故所求圆N 的方程为(x-2)2+(y-4)2=10.(2)设M (x ,y ),D (x 1,y 1),则由C (3,0)及M 为线段CD 的中点得x =x 1+32,y =y 1+0,解得 x 1=2x-3,y 1=2y.又点D 在圆N 上,所以(2x-3-2)2+(2y-4)2=10,化简得 x -5 2+(y-2)2=5.故所求的轨迹方程为 x -5 2+(y-2)2=5.方法 数形结合思想在解决关于圆的方程的问题中的应用研究与圆有关的最值问题时,可借助图形,利用数形结合求解.常见的最值问题有以下几种类型:①形如μ=y -bx -a的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题;②形如t=ax+by 的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题;③形如(x-a )2+(y-b )2的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.【突破训练】在平面直角坐标系xOy 中,A (-12,0),B (0,6),点P 在圆O :x 2+y 2=50上,若PA ²PB ≤20,则点P 的横坐标的取值范围是 .【解析】设P (x ,y ),由PA²PB ≤20和x 2+y 2=50,得2x-y+5≤0. 由 2x -y +5=0,x 2+y 2=50, 解得 x =−5,y =−5或 x =1,y =7.如图,由2x-y+5≤0,得点P 在圆左边弧CD 上, 所以点P 横坐标的取值范围为[-5 2,1]. 【答案】[-5 2,1]1.(2017包头市期中)若圆x 2+y 2-2x-4y=0的圆心到直线x-y+a=0的距离为 22,则a 的值为( ).A.-2或2B.12或32C.2或0D.-2或0【解析】由圆心(1,2)到直线的距离公式得|1-2+a |2= 22,解得a=0或a=2.故选C.【答案】C2.(2017广西名校一模)过点A(1,-1),B(-1,1)且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是().A.(x-3)2+(y+1)2=4B.(x+3)2+(y-1)2=4C.(x-1)2+(y-1)2=4D.(x+1)2+(y+1)2=4【解析】AB的垂直平分线为直线y=x,其与直线x+y-2=0的交点是(1,1),即为圆的圆心,故半径r=2.【答案】C3.(2017新泰一中月考)点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任意一点连线的中点的轨迹方程是().A.(x-2)2+(y+1)2=1B.(x+2)2+(y+1)2=4C.(x+4)2+(y-2)2=4D.(x+2)2+(y-1)2=1【解析】设圆上任意一点为Q(x0,y0),PQ的中点为M(x,y),则x=4+x02,y=-2+y02,解得x0=2x-4,y0=2y+2.因为点Q在圆x2+y2=4上,所以x02+y02=4,即(2x-4)2+(2y+2)2=4,化简得(x-2)2+(y+1)2=1.【答案】A4.(2015年全国Ⅱ卷)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交于y轴于M,N两点,则MN=().A.26B.8C.46D.10【解析】由题意得k AB=3−21−4=-13,k CB=2+74−1=3,所以k AB k CB=-1,所以AB⊥CB,即△ABC为直角三角形,则外接圆的圆心为AC的中点(1,-2),半径为5,所以外接圆方程为(x-1)2+(y+2)2=25,令x=0,则有y=±26-2,所以MN=46,故选C.【答案】C5.(2017汕头模拟)已知圆x2+y2-2(m-1)x+2(m-1)y+2m2-6m+4=0过坐标原点,则实数m的值是.【解析】由D2+E2-4F>0,即8(m-1)2-4(2m2-6m+4)>0,解得m>1.因为圆过坐标原点,所以2m2-6m+4=0,解得m=2或m=1.因此m=2.【答案】26.(2017温州一模)已知动点M到定点(8,0)的距离等于M到(2,0)的距离的2倍,那么点M的轨迹方程是.【解析】设点M的坐标为(x,y),利用动点满足的几何关系列式得(x-8)2+y2=2(x-2)2+y2,化简得x2+y2=16.【答案】x2+y2=167.(2015年江苏卷)在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为.【解析】mx-y-2m-1=0可化为m(x-2)-(y+1)=0,则动直线恒过定点M(2,-1),故满足题意的圆与直线切于点M时,半径最大,从而r=(2-1)2+(−1−0)2=2,故标准方程为(x-1)2+y2=2.【答案】(x-1)2+y2=28.(2017丽水联考)点A(2,0)是圆x2+y2=4上一点,点B(1,1)是圆内一点,P,Q为圆上的动点.(1)求线段AP的中点的轨迹方程;(2)若∠PBQ=90°,求线段PQ的中点的轨迹方程.【解析】(1)设线段AP的中点为M(x,y),由中点公式得点P坐标为P(2x-2,2y).∵点P在圆x2+y2=4上,∴(2x-2)2+(2y)2=4,故线段AP的中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1.(2)设线段PQ的中点为N(x,y),在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|,设O为坐标原点,连接ON,则ON⊥PQ,∴|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2,∴x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4,故线段PQ的中点的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0.9.(2017长春市质量监测一)已知圆(x-1)2+(y-1)2=4上到直线y=x+b的距离等于1的点有且仅有两个,则b的取值范围是().A.(-2,0)∪(0,2)B.(-32,32)C.(-32,-2)∪(2,32)D.(-32,-2]∪(2,32]【解析】由已知得圆的半径为2,可知圆心到直线的距离属于(1,3)时,满足只有两个圆上的点到直线l的距离为1,根据点到直线的距离公式可得1<<3,因此b∈(-3-)∪(,3.故选C.2【答案】C10.(2017福州三中测试卷)下面四个命题:①直线(3+m)x+4y-3+3m=0(m∈R)恒过定点(-3,3);②圆x2+y2=4上有且仅有3个点到直线l:x-y+2=0的距离都等于1;③若函数y=f (x )在x=a 及x=b 之间的一段图象可以近似地看作直线,且a<c<b ,则f (c )≈f (a )+c -ab -af (b )-f (a ) ; ④当m ∈ -33,33时,曲线C 1:x 2+y 2-2x=0与曲线C 2:y (y-mx-m )=0有四个不同的交点.其中正确的是( ).A .①②③ B.①③④ C .①②④ D .①②③④【解析】易知①是正确的;②圆心(0,0)到直线的距离d=1,又半径为2,故②正确;③斜率k ≈f (b )-f (a )b -a,直线近似为f (x )-f (a )=f (b )-f (a )b -a(x-a ),把(c ,f (c ))代入解得f (c )≈f (a )+c -ab -a² f (b )-f (a ) ,故③正确;④当m=0时,C 2:y=0与C 1:x 2+y 2-2x=0只有两个交点,故④错误.【答案】A11.(2016如东高中期中)在平面直角坐标系xOy 中,已知点A (-2,0),点B 是圆C :(x-2)2+y 2=4上的点,点M 为AB 中点,若直线l :y=kx- 5k 上存在点P ,使得∠OPM=30°,则实数k 的取值范围为 .【解析】因为点M 为AB 的中点,所以OM=12CB=1,即点M 轨迹为以原点为圆心的单位圆.当PM 为单位圆切线时,∠OPM 取最大值,即∠OPM ≥30°,从而OP=1sin ∠O PM≤2,因此原点到直线l :y=kx- 5k 距离不大于2,即|- 5k|k +1≤2⇒-2≤k ≤2.【答案】-2≤k ≤212.(2017黄冈二模)已知点B (4,0),直线kx+y+3=0过定点A ,若点P 是圆x 2+y 2-2y=0上的动点,则△ABP 面积的最小值为 .【解析】由已知得点A 的坐标为(0,-3),如图,过圆心C 向直线AB 作垂线交圆于点P ,这时点P 与直线AB 距离最小,即△ABP 的面积最小.直线AB 的方程为x 4+y -3=1,即3x-4y-12=0,圆心C 到直线AB 的距离为d=3+(−4)=165,故△ABP的面积的最小值为12³5³165-1 =112. 【答案】11213.(2017绵阳质检)已知圆C 过点P (1,1),且与圆M :(x+2)2+(y+2)2=r 2(r>0)关于直线x+y+2=0对称.(1)求圆C 的方程;(2)设Q 为圆C 上的一个动点,求PQ ²MQ 的最小值.【解析】(1)设圆心C(a,b),则a-22+b-22+2=0, b+2a+2=1,解得a=0,b=0,则圆C的方程为x2+y2=r2(r>0),将点P的坐标代入得r2=2,故圆C的方程为x2+y2=2.(2)设Q的坐标为(x,y),则x2+y2=2,所以PQ²MQ=(x-1,y-1)²(x+2,y+2)=x2+y2+x+y-4=x+y-2.因为(x+y)2=x2+y2+2xy≤2(x2+y2)=4,当x=y=±1时,等号成立,所以-2≤x+y≤2.所以PQ²MQ的最小值为-4.14.(2015年广东卷)已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.(1)求圆心C1的坐标.(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程.(3)是否存在实数k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由x2+y2-6x+5=0得(x-3)2+y2=4,所以圆心C1的坐标为(3,0).(2)设M的坐标为(x,y),因为点M为弦AB的中点,即C1M⊥AB,所以k C1M ²k AB=-1,即yx-3²yx=-1,所以线段AB的中点M的轨迹C的方程为 x-322+y2=94,从原点作圆C1的切线时,得交点的横坐标为53,当点M与圆心C1重合时,点M的横坐标取得最大值3,所以点M的横坐标范围为53<x≤3.即轨迹C的方程为 x-32+y2=95<x≤3.(3)由(2)知点M的轨迹是以C3,0为圆心,r=3为半径的部分圆弧EF(如图,不包括E,F两端点),且E 53,2 53, F 53,-2 53, 又直线L :y=k (x-4)过定点D (4,0), 当直线L 与圆C相切时,由|k 32-4 -0| k +1=3,得k=±3.又k DE =-k DF =-0− -2 534−53=-2 57,结合上图可知,当k ∈ -34,34 ∪ -2 57,2 57时,直线L :y=k (x-4)与曲线C 只有一个交点.§15.3 直线与圆、圆与圆的位置关系一 直线与圆的位置关系与判断方法二 圆与圆的位置关系圆O 1:(x-a 1)2+(y-b 1)2=r 12(r 1>0),圆O 2:(x-a 2)2+(y-b 2)2=r 22(r 2>0).☞左学右考判断下列结论是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“³”.(1)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和,那么两圆相交. ( )(2)过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.()(3)“k=1”是“直线x-y+k=0与圆x2+y2=1相交”的必要不充分条件.()(4)若两圆的公共点的横坐标有且只有一个值,则两圆一定是相切.()(5)若点P(a,b)在圆x2+y2=1外,则直线ax+by=1与圆相离.()已知圆C:x2+y2-4x=0,l是过点P(3,0)的直线,则().A.l与C相交B.l与C相切C.l与C相离D.以上三个选项均有可能圆(x+2)2+y2=4与圆(x-2)2+(y-1)2=9的位置关系为().A.内切B.相交C.外切D.相离已知两圆x2+y2-10x-10y=0,x2+y2+6x-2y-40=0,则它们的公共弦所在直线的方程为;公共弦长为.直线l过点A(2,4)且与圆x2+y2=4相切,则直线l的方程为.知识清单一、相交相切相离相交相切相离二、无解一组实数解两组不同的实数解一组实数解无解基础训练1.【答案】(1)³(2)√(3)³(4)³(5)³2.【解析】圆C:x2+y2-4x=0是以(2,0)为圆心,以2为半径的圆,而点P(3,0)到圆心的距离为d=(3-2)2+(0−0)2=1<2,点P(3,0)恒在圆内,所以过点P(3,0)不管怎么样画直线,都与圆相交.故选A.【答案】A3.【解析】两圆圆心分别为(-2,0),(2,1),半径分别为2和3,圆心距d=2+12=.∵3-2<d<3+2,∴两圆相交.【答案】B4.【解析】由两圆的方程x2+y2-10x-10y=0,x2+y2+6x-2y-40=0,相减并整理得公共弦所在直线的方程为2x+y-5=0.圆心(5,5)到直线=2弦长的一半为=,得公共弦长为2.2x+y-5=0的距离为5【答案】2x+y-5=0230。
2019届高考数学二轮复习 专题检测(十四)直线与圆 文.doc
2019届高考数学二轮复习 专题检测（十四）直线与圆 文一、选择题1．“ab ＝4”是“直线2x ＋ay －1＝0与直线bx ＋2y －2＝0平行”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 因为两直线平行，所以斜率相等，即－2a ＝－b2，可得ab ＝4，又当a ＝1，b ＝4时，满足ab ＝4，但是两直线重合，故选C.2．(2016·全国卷Ⅱ)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )A ．－43B ．－34C. 3D ．2解析：选A 因为圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离d ＝|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43.3．(2016·山东高考)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离解析：选B 由题知圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2(a ＞0)，圆心(0，a )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a2，所以2a 2－a 22＝22，解得a ＝2.圆M ，圆N 的圆心距|MN |＝2，两圆半径之差为1，故两圆相交．4．在等腰三角形MON 中，|MO |＝|MN |，点O (0,0)，M (－1，3)，点N 在x 轴的负半轴上，则直线MN 的方程为( )A ．3x －y －6＝0B ．3x ＋y ＋6＝0C ．3x －y ＋6＝0D ．3x ＋y －6＝0解析：选C 因为|MO |＝|MN |，所以直线MN 的斜率与直线MO 的斜率互为相反数，所以k MN ＝－k MO ＝3，所以直线MN 的方程为y －3＝3(x ＋1)，即3x －y ＋6＝0.5．已知圆O ：x 2＋y 2＝4上到直线l ：x ＋y ＝a 的距离等于1的点至少有2个，则实数a 的取值范围为( )A ．(－32，32)B ．(－∞，－32)∪(32，＋∞)C ．(－22，22)D ．[－32，3 2 ]解析：选A 由圆的方程可知圆心为(0,0)，半径为2.因为圆O 上到直线l 的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线l 的距离d <r ＋1＝2＋1，即d ＝|－a |12＋12＝|a |2<3，解得a ∈(－32，32)．6．(2018届高三·湖南十校联考)已知函数f (x )＝x ＋sin x (x ∈R)，且f (y 2－2y ＋3)＋f (x 2－4x ＋1)≤0，则当y ≥1时，yx ＋1的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，34 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1 C ．[1,32－3]D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞ 解析：选A 因为函数f (x )＝x ＋sin x (x ∈R)为奇函数， 又f ′(x )＝1＋cos x ≥0， 所以函数f (x )在R 上单调递增， 则f (x 2－4x ＋1)≤f (－y 2＋2y －3)， 即(x －2)2＋(y －1)2≤1，当y ≥1时表示的区域为半圆及其内部． 令k ＝y x ＋1＝yx －－1，其几何意义为过点(－1,0)与半圆相交或相切的直线kx －y ＋k ＝0的斜率，斜率最小时直线过点(3,1)，此时k min ＝13－－1＝14，斜率最大时直线刚好与半圆相切，圆心到直线的距离d ＝|2k －1＋k |k 2＋1＝1(k >0)，解得k max ＝34，故选A.二、填空题7．已知点A (－1,0)，过点A 可作圆x 2＋y 2－mx ＋1＝0的两条切线，则m 的取值范围是________．解析：由题意得点A (－1,0)在圆外，所以1＋m ＋1>0，所以m >－2，又⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m 22＋y 2＝m24－1表示圆，所以m 24－1>0，解得m >2或m <－2，所以m >2.答案：(2，＋∞)8．已知圆C ：(x －3)2＋(y －5)2＝5，直线l 过圆心且交圆C 于A ，B 两点，交y 轴于P 点，若2PA ―→＝PB ―→，则直线l 的斜率k ＝________.解析：依题意得，点A 是线段PB 的中点，|PC |＝|PA |＋|AC |＝3 5.过圆心C (3,5)作y 轴的垂线，垂足为C 1，则|CC 1|＝3，|PC 1|＝352－32＝6.记直线l 的倾斜角为θ，则有|tan θ|＝|PC 1||CC 1|＝2，即k ＝±2.答案：±29．在平面直角坐标系中，已知点P (3,0)在圆C ：(x －m )2＋(y －2)2＝40内，动直线AB 过点P 且交圆C 于A ，B 两点，若△ABC 的面积的最大值为20，则实数m 的取值范围是________．解析：由圆的方程知，圆心C (m,2)，半径r ＝210， 所以S △ABC ＝12r 2sin ∠ACB ＝20sin ∠ACB ，所以当∠ACB ＝π2时，S △ABC 取得最大值20，此时△ABC 为等腰直角三角形，|AB |＝2r ＝45， 则点C 到直线AB 的距离为25， 所以25≤|PC |<210， 即25≤m －32＋22<210，解得－3<m ≤－1或7≤m <9. 答案：(－3，－1]∪[7,9) 三、解答题10．已知以点A (－1,2)为圆心的圆与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切．过点B (－2,0)的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点．(1)求圆A 的方程；(2)当|MN |＝219时，求直线l 的方程． 解：(1)设圆A 的半径为R .因为圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切， 所以R ＝|－1＋4＋7|5＝2 5.所以圆A 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝20.(2)当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－2符合题意； 当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0.由于|MN |＝219，于是⎝ ⎛⎭⎪⎫|－k －2＋2k |k 2＋12＋(19)2＝20⇒k ＝34， 此时，直线l 的方程为3x －4y ＋6＝0.所以所求直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0.11．(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1)，当m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值． 解：(1)不能出现AC ⊥BC 的情况，理由如下： 设A (x 1,0)，B (x 2,0)，则x 1，x 2满足x 2＋mx －2＝0， 所以x 1x 2＝－2. 又C 的坐标为(0,1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x 1·－1x 2＝－12，所以不能出现AC ⊥BC 的情况．(2)证明：由(1)知BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22，12， 可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22. 由(1)可得x 1＋x 2＝－m ， 所以AB 的中垂线方程为x ＝－m2. 联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m 2，y －12＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22，x 22＋mx 2－2＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m 2，y ＝－12.所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2，－12，半径r ＝m 2＋92.故圆在y 轴上截得的弦长为2r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＝3，即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．12．已知点M (－1,0)，N (1,0)，曲线E 上任意一点到点M 的距离均是到点N 的距离的3倍．(1)求曲线E 的方程；(2)已知m ≠0，设直线l 1：x －my －1＝0交曲线E 于A ，C 两点，直线l 2：mx ＋y －m ＝0交曲线E 于B ，D 两点．当CD 的斜率为－1时，求直线CD 的方程．解：(1)设曲线E 上任意一点的坐标为(x ，y )， 由题意得x ＋12＋y 2＝3·x －12＋y 2，整理得x 2＋y 2－4x ＋1＝0，即(x －2)2＋y 2＝3为所求． (2)由题意知l 1⊥l 2，且两条直线均恒过点N (1，0)．设曲线E 的圆心为E ，则E (2,0)，设线段CD 的中点为P ，连接EP ，ED ，NP ，则直线EP ：y ＝x －2.设直线CD ：y ＝－x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －2，y ＝－x ＋t ，解得点P ⎝⎛⎭⎪⎫t ＋22，t －22，由圆的几何性质，知|NP |＝12|CD |＝ |ED |2－|EP |2，而|NP |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋22－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t －222，|ED |2＝3，|EP |2＝⎝⎛⎭⎪⎫|2－t |22，解得t ＝0或t ＝3，所以直线CD 的方程为y ＝－x 或y ＝－x ＋3.。
2019高考数学二轮专项练习—直线与圆
2019高考数学二轮专项练习—直线与圆训练19直线与圆(推荐时间：45分钟)【一】选择题1、直线l 1：y ＝2x ＋3，直线l 2与l 1关于直线y ＝－x 对称，那么直线l 2的斜率为() A.12 B 、－12C 、2D 、－22、(2017·大纲全国)设两圆C 1、C 2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，那么两圆心的距离|C 1C 2|等于()A 、4B 、4 2C 、8D 、8 23、“a ＝2”是“直线ax ＋2y ＝0与直线x ＋y ＝1平行”的()A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件4、当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，那么以C 为圆心，半径为5的圆的方程为()A 、x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0B 、x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0C 、x 2＋y 2＋2x －4y ＝0D 、x 2＋y 2－2x －4y ＝05、经过圆x 2＋2x ＋y 2－4＝0的圆心C ，且与直线x ＋y ＝0垂直的直线方程是()A 、x －y ＋1＝0B 、x －y －1＝0C 、x ＋y －1＝0D 、x ＋y ＋1＝06、点P (x ，y )满足：x 2＋y 2－4x －2y ＋4≤0，那么点P 到直线x ＋y －1＝0的最短距离是()A. 2 B 、0C.2－1D.2＋17、假设直线2ax －by ＋2＝0(a >0，b >0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，那么1a ＋1b 的最小值为()A.14B.12C 、2D 、48、向量a ＝(2cos α，2sin α)，b ＝(3cos β，3sin β)，假设a 与b 的夹角为60°，那么直线2x cos α－2y sin α＋1＝0与圆(x －cos β)2＋(y ＋sin β)2＝1的位置关系是()A 、相交但不过圆心B 、相交且过圆心C 、相切D 、相离9、(2017·四川)在抛物线y ＝x 2＋ax －5(a ≠0)上取横坐标为x 1＝－4，x 2＝2的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x 2＋5y 2＝36相切，那么抛物线顶点的坐标为()A 、(－2，－9)B 、(0，－5)C 、(2，－9)D 、(1，－6)10、如果直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋kx ＋my －4＝0交于M 、N 两点，且M 、N 关于直线x ＋y ＝0对称，那么不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ kx －y ＋1≥0，kx －my ≤0，y ≥0表示的平面区域的面积是()A.14B.12 C 、1 D 、2【二】填空题11、圆C 的方程为x 2＋y 2＋2x －2y ＋1＝0，当圆心C 到直线kx ＋y ＋4＝0的距离最大时，k 的值为________、12、(2017·湖南)圆C ：x 2＋y 2＝12，直线l ：4x ＋3y ＝25.(1)圆C 的圆心到直线l 的距离为________；(2)圆C 上任意一点A 到直线l 的距离小于2的概率为________、13、与直线x －y －4＝0和圆x 2＋y 2＋2x －2y ＝0都相切的半径最小的圆的方程是________________、14、假设0≤θ≤π2，当点(1，cos θ)到直线x sin θ＋y cos θ－1＝0的距离是14时，这条直线的斜率为________、15、设两条直线的方程分别为x ＋y ＋a ＝0，x ＋y ＋b ＝0，a ，b 是方程x 2＋x ＋c ＝0的两个实根，且0≤c ≤18，那么这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是____________、16、直线x ＋a 2y ＋1＝0与直线(a 2＋1)x －by ＋3＝0互相垂直，a 、b ∈R 且ab ≠0，那么|ab |的最小值为________、答案1、A2、C3、C4、C5、A6.C7、D8、C9、A10、A11、－1512、(1)5(2)1613、(x －1)2＋(y ＋1)2＝214、－3315.22，1216、2。
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第15练 直线与圆
[明考情]
直线与圆的考查主要体现在圆锥曲线的考查上，偶有单独命题，单独命题时难度中档偏难.
[知考向]
1.直线方程.
2.圆的方程.
3.直线与圆的位置关系.
考点一 直线方程
方法技巧 (1)解决直线方程问题，要充分利用数形结合思想，养成边读题边画图分析的习惯.
(2)求解直线方程要考虑斜率不存在的情况.
1.设a ∈R ，则“a ＝－1”是“直线ax ＋y －1＝0与直线x ＋ay ＋5＝0平行”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A
解析 直线ax ＋y －1＝0与直线x ＋ay ＋5＝0平行的充要条件为⎩⎪⎨⎪⎧ a2－1＝0，5a ＋1≠0，即a ＝±1，
故a ＝－1是两直线平行的充分不必要条件.故选A.
2.已知两点A (3，2)和B (－1，4)到直线mx ＋y ＋3＝0的距离相等，则m 的值为( )
A.0或－12
B.12
或－6 C.－12或12D.0或12
答案 B
解析 依题意，得|3m ＋5|m2＋1＝|－m ＋7|m2＋1
. 所以|3m ＋5|＝|m －7|，
所以(3m ＋5)2＝(m －7)2
，
所以8m 2＋44m －24＝0，
所以2m 2＋11m －6＝0，
所以m ＝12或m ＝－6.
3.已知点A (2，3)，B (－3，－2)，若直线kx －y ＋1－k ＝0与线段AB 相交，则k 的取值范围是( )
A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2
B.⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，34∪[2，＋∞)C.(－∞，1]∪[2，＋∞) D.[1，2] 答案 B
解析 直线kx －y ＋1－k ＝0恒过点P (1，1)，
k PA ＝3－12－1＝2，k PB ＝－2－1－3－1＝34
. 若直线kx －y ＋1－k ＝0与线段AB 相交，结合图象(图略)得k ≤34
或k ≥2，故选B. 4.若动点A ，B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为( ) A.3 2 B.2 2 C.3 3 D.4 2
答案 A
解析 依题意知AB 的中点M 的集合是与直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0的距离都相等的直线，
则M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离，
设点M 所在直线的方程为l ：x ＋y ＋m ＝0， 根据平行线间的距离公式得|m ＋7|2＝|m ＋5|2
⇒|m ＋7|＝|m ＋5|⇒m ＝－6，即l ：x ＋y －6＝0，根据点到直线的距离公式，得M 到原点的距离的最小值为|－6|2
＝3 2. 5.已知点A (－1，0)，B (1，0)，C (0，1)，直线y ＝ax ＋b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( )
A.(0，1)
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－
22，12C.⎝ ⎛⎦⎥⎤1－22，13 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，12 答案 B
解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，y ＝ax ＋b 消去x ，得y ＝a ＋b a ＋1，当a ＞0时，直线y ＝ax ＋b 与x 轴交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ，0，结合图形知12×a ＋b a ＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ＝12，化简得(a ＋b )2＝a (a ＋1)，则a ＝b21－2b
.因为a ＞0，所以b21－2b ＞0，解得b ＜12.考虑极限位置，即a ＝0，此时易得b ＝1－22，故选B.。