初一数学思维培训班讲义(八)

初一数学思维培训班讲义（八）
周佩如
主要内容：1、简单证明。

2、多边形的内角和与外角和。

3、用正多边形铺地。

目标：1、学会初步说理，训练说理能力。

2、能运用多边形的内角和与外角和公式解决一些计算问题。

3、理解正多边形能够铺满地面的道理。

知识点：1、三角形的内角和是 。

三角形的外角和是 。

2、多边形（n 边形）的内角和是 。

多边形的外角和是 。

3、用正多边形铺地的条件是：当围绕 点拼在一起的几个多边形的 角加在一起恰好组
成 时，就能拼成一个平面图形。

4、用正多边形铺地的图形只有 、 、 三种。

5、正n 边形的每个内角都 ，每个内角度数为 。

例1、 如图，o o D A O ED BC 20,27,=∠=∠⊥于
求：B ∠与ACB ∠
分析：B ∠是ABC ∆的内角，在ABC ∆中，
B ∠与ACB ∠都是所要求的角.
而ACB ∠又是COD ∆的外角，根据“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”可求ACB ∠，从而根据三角形内角和定理可求B ∠ 。

本题也可从B ∠ 是BEO ∆的一个内角，而BEO ∠是AED ∆的外角入手解得。

解：ED BO ⊥ 90=∠∴DOC ACB ∠ 是COD ∆的外角
1102090=+=∠+∠=∠∴D COD ACB
在ABC ∆中， 4311027180180=--=∠-∠-=∠ACB A B .
注意：求三角形的角与角的数量关系时，一般可以把所求角看作某一三角形的一个内角进行分析，如果
图中出现了外角，或所求角本身是另一个三角形的外角时，通常还要考虑三角形外角性质，这些结合起来，就容易使问题得到解决。

例2、 如图，BE 平分ABD ∠交CD 于F ，CE 平分ACD ∠交AB 于G ，AB 、CD 交于O 点，且 46,48=∠=∠D A ，求E ∠的度数。

分析：由于所求E ∠与已知D A ∠∠,均不在同一个
三角形中，但E A ∠∠,分别在AGC ∆与EGB ∆
中，此两三角形有一组角是对顶角，则
（1）,21∠+∠=∠+∠E A ，同理
（2）34∠+∠=∠+∠E D ，而由角平分线
定义可知42,31∠=∠∠=∠故（1）+（2）得：
)3()2()4()1(∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠E E D A 所以：E D A ∠=∠+∠2 )(2
1D A E ∠+∠=
∠∴ 解：15∠+∠=∠A 25∠+∠=∠E 31∠+∠=∠+∠∴E A （1） 同理 34∠+∠=∠+∠E D （2）
（1）+（2）得 32241∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠E D A
ACD CE ABD BE ∠∠平分平分,
,31,42∠=∠∠=∠∴
E D A ∠=∠+∠∴2
47)4648(2
1)(21=+=∠+∠=∠∴D A E 注意：上述说理解题的分析方式叫做恒等变形方法，根据图形写出几个包括求解一方的等式，然后依据
等式性质进行恒等变换，从而求得题解。

例3、 已知ABC ∆，求C B A ∠+∠+∠的度数.
分析：由实践可知这三个角拼起来可得一个平角。

要从理论上推导这个结论，可以延长一边BC
得一个平角BCD ∠，然后以CA 为边，在
ABC ∆的外部画A ACE ∠=∠，再证明B ECD ∠=∠即可。

解：作BC 的延长线CD ，在 ABC ∆的外部，以CA 为一边，CE 为另一边画A ∠=∠1， 依据内错角
相等，两直线平行，所以得CE ∥AB ，再根据两直线平行，同位角相等，所以2∠=∠B 18021=∠+∠+∠ACB 180=∠+∠+∠∴ACB B A
说明：为了解题需要，在原来的图形上添画的线叫辅助线（一般画成虚线）。

例4、 已知一个多边形，它的内角和等于外角和的2倍，求这个多边形的边数。

分析：由多边形的内角和、外角和公式可依题意列出有关等式，即可解之.
解：设多边形的边数为n ，因为它的内角和等于 180)2(⋅-n ，外角和等于
360.
故由题意得： 180)2(⋅-n = 3602⨯ 解得： 6=n
例5、 多边形的内角和除一个内角外是
2570，求这个多边形的边数，除外的这个内角度数 分析：可设除外的内角为α则α是小于 180的角，再由多边形内角和公式列出等式解之。

解：设多边形有一内角为α度，边数为n .
由题意得：α+=⨯-
2570180)2(n 18050141802570αα++=+=
n 130=∴α当时，15=n 答：此多边形为十五边形，除外的一个内角为
130
习题精练：
一、求解题.
1、 如图（1）， 30,96,27=∠=∠=∠C CBE A ，求ADE ∠的度数.
2、 如图（2），已知O 是ABC ∆三条高的交点， 70=∠BAC ，求BOC ∠的度数.
3、 如图（3），已知 43,64,=∠=∠∠=∠=∠DEF FDE ACF CBE BAD 求ABC ∆各内角的度数.
4、 已知ABC ∆中，B ∠的平分线与C ∠的外角平分线交于P 点，则P ∠与A ∠关系如何？
5、 已知PB 、QD 分别是ODA OBC ∠∠,的平分线，说理：等式)21(21∠+∠=
∠BPD D
（1） （2） （3）
（4）
（5） 二、多边形的内角和与外角和
1、一个多边形的对角线的条数与边数相等，这个多边形的边数是 （ ）
A. 7
B.6
C.5
D.4
2、一个凸多边形的外角和等于它的内角和的一半，那么这个多边形的边数为 （ ）
A.4
B.5
C.6
D.7
3、一个正多边形的内角和是 720，这个多边形是 （ ）
A.正方形
B.正五边形
C. 正六边形
D. 正八边形
4、若正n 边形的一个外角为 60，则n 的值等于 （ ）
A.3
B.5
C.6
D.8
5、凸n 边形的n 个内角与某一外角的总和为
1350，则n 等于 （ ）
A.6
B.7
C.8
D.9
6、已知一个多边形的外角和等于内角和，则这个多边形是 （ ）
A.三角形
B.四边形
C. 正五边形
D. 六边形
7、从)3(>n n 边形的一个顶点引对角线，把n 边形分成三角形的个数是 （ ）
A.1-n
B.2-n
C.3-n
D.4-n
8、若多边形的边数由3增加到n n (为正整数，且大于3），则其外角和的度数为 （ ）
A.增加
B.减少
C.不变
D.不确定
9、如果把一个多边形的边数增加一倍，它的内角和是 2520，那么原来多边形的边数为（ ）
A.6
B.7
C.8
D.9
10、如果一个多边形中有三个内角相等，其余各角的外角都等于 30，则这个多边形的边数不可能是
（ ）
A.4
B.6
C.15
D.10
11、一个多边形除一个内角外，其余各内角和为 2570，其外角和的度数为 （ ）
A. 90
B. 105
C. 120
D. 130
12、下列命题中，正确的有：
① 七边形有14条对角线；
② 外角和大于内角和的只有三角形；
③ 若一个多边形的内角和与外角和是4：1，则它是九边形
A.0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个
13、若正多边形的一个外角等于 45，那么这个正多边形的内角和等于 度.
14、一个多边形的每个内角都等于 150，则它的边数等于 .
15、一个n 边形的内角和是 1080，则=n .
16、多边形边数增加1条时，其内角和增加 度.
17、已知一个多边形的内角和是外角和的2倍，此多边形的边数 .
18、在四边形ABCD 中，D C B D C B A ∠∠∠=∠∠∠=∠,,,3:2:1::,90 的度数分别为 ， ， .。