广东省执信中学高三数学测试题(理数)
广东省广州市执信中学高三数学理上学期期末试卷含解析
广东省广州市执信中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知定义在实数集R上的函数f（x）满足f（1）=2，且f（x）的导数f′（x）在R上恒有f′（x）＜1（x∈R），则不等式f（x）＜x+1的解集为（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣1，1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）参考答案：考点：利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质；导数的加法与减法法则．专题：计算题．分析：构造函数g（x）=f（x）﹣x﹣1，g'（x）=f′（x）﹣1＜0，从而可得g（x）的单调性，结合f（1）=2，可求得g（1）=1，然后求出不等式的解集即可．解答：解：令g（x）=f（x）﹣x﹣1，∵f′（x）＜1（x∈R），∴g′（x）=f′（x）﹣1＜0，∴g（x）=f（x）﹣x﹣1为减函数，又f（1）=2，∴g（1）=f（1）﹣1﹣1=0，∴不等式f（x）＜x+1的解集?g（x）=f（x）﹣x﹣1＜0=g（1）的解集，即g（x）＜g（1），又g（x）=f（x）﹣x﹣1为减函数，∴x＞1，即x∈（1，+∞）．故选A．点评：本题利用导数研究函数的单调性，可构造函数，考查所构造的函数的单调性是关键，也是难点所在，属于中档题．2. 设集合则=（）A． B．C． D．参考答案：B 略3. 在当今的信息化社会中，信息安全显得尤为重要，为提高信息在传输中的安全性，通常在原信息中按一定规则对信息加密，设定原信息为A0=a1a2…a n，a i∈{0，1}（i=1，2，3…n），传输当中原信息中的1都转换成01，原信息中的0转换成10，定义这种数字的转换为变换T，在多次的加密过程中，满足A k=T（A k－1），k=1，2，3，…．（1）若A2：10010110，则A0为____ ；（2）若A0为10，记A K中连续两项都是l的数对个数为l K，k=l，2，3，…，则l K= 。
广东省广州市执信中学2024届高三下学期教学情况检测(二) 数学试题【含答案】
执信中学2023~2024学年度高三教学情况检测（二）数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.本卷满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}51A x x =-<≤，{}29B x x =≤，则A B ⋃=（）A ．[)3,1-B ．[]3,1-C ．(]5,3-D ．[]3,3-2．已知复数z 满足(1)|1|z i +=-，则复数z 的共轭复数为（）A ．1i-+B ．1i--C ．1i+D ．1i-3．在等比数列{}n a 中，“12a a >”是“36a a >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．我国油纸伞的制作工艺巧妙．如图（1），伞不管是张开还是收拢，伞柄AP 始终平分同一平面内两条伞骨所成的角BAC ∠，且AB AC =，从而保证伞圈D 能够沿着伞柄滑动．如图（2），伞完全收拢时，伞圈D 已滑动到D ¢的位置，且A 、B 、D ¢三点共线，40cm AD '=，B 为AD '的中点，当伞从完全张开到完全收拢，伞圈D 沿着伞柄向下滑动的距离为24cm ，则当伞完全张开时，BAC ∠的余弦值是（）A ．1725-B ．25-C ．35-D ．825-5．已知方程220Ax By Cxy Dx Ey F +++++=，其中A B C D E F ≥≥≥≥≥．现有四位同学对该方程进行了判断，提出了四个命题：甲：可以是圆的方程；乙：可以是抛物线的方程；丙：可以是椭圆的标准方程；丁：可以是双曲线的标准方程．其中，真命题有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>C 的一条渐近线与圆22(2)(3)1x y -+-=交于A ，B 两点，则||AB =（）A B C D 7．已知函数()()sin 2cos 0,0f x A x x A ωωω=+>>的对称轴方程为()ππZ 62k x k =+∈，且函数()()g x f x a =-在[]()*0,πN n n ∈内恰有2023个零点，则满足条件的有序实数对(),a n （）A ．只有2对B ．只有3对C ．只有4对D ．有无数对8．已知实数a ，b 满足0a b >>，且a b a b =，e 为自然对数的底数，则（）A ．1eb >B ．2ea b +>C ．1e a a a -<D ．1ee a a -<二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．百年大计，教育为本.十四五发展纲要中，教育作为一个专章被提出.近日，教育部发布2020年全国教育事业统计主要结果.其中关于高中阶段教育（含普通高中、中等职业学校及其他适龄教育机构）近六年的在校规模与毛入学率情况图表及2020年高中阶段教育在校生结构饼图如下，根据图中信息，下列论断正确的有（）（名词解释：高中阶段毛入学率≡在校生规模÷适龄青少年总人数×100%）A ．近六年，高中阶段在校生规模与毛入学率均持续增长B ．近六年，高中阶段在校生规模的平均值超过4000万人C ．2019年，未接受高中阶段教育的适龄青少年不足420万D ．2020年，普通高中的在校生超过2470万人10．如图，过点(,0)(0)C a a >的直线AB 交抛物线22(0)y px p =>于A ，B 两点，连接AO 、BO ，并延长，分别交直线x a =-于M ，N 两点，则下列结论中一定成立的有（）A ．//BM ANB ．以AB 为直径的圆与直线x a =-相切C ．AOB MONS S =△△D ．24MCN ANC BCMS S S =⋅△△△11．素描是使用单一色彩表现明暗变化的一种绘画方法，素描水平反映了绘画者的空间造型能力．“十字贯穿体”是学习素描时常用的几何体实物模型，如图是某同学绘制“十字贯穿体”的素描作品．“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）．若该同学绘制的“十字贯穿体”由两个底面边长为2，高为6的正四棱柱构成，则（）A ．一个正四棱柱的某个侧面与另一个正四棱柱的两个侧面的交线互相垂直B ．该“十字贯穿体”的表面积是112-C ．该“十字贯穿体”的体积是162483-D ．一只蚂蚁从该“十字贯穿体”的顶点A 出发，沿表面到达顶点B 的最短路线长为43+三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．如图，,BC DE 是半径为3的圆O 的两条直径，2BF FO = ，则FD FE ⋅=．13．华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混浊”的数学定义：由此发展的混浊理论在生物学、经济学和社会学领域都有重要作用，在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设()f x 是定义在R 上的函数，对于x ∈R ，令()1(1,2,3,)n n x f x n -== ，若存在正整数k 使得0k x x =，且当0j k <<时，0j x x ≠，则称0x 是()f x 的一个周期为k 的周期点．若()1e x f x -=，写出一个()f x 周期为1的周期点．14．有n 个编号分别为1，2，…，n 的盒子，第1个盒子中有2个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到白球的概率是，从第n个盒子中取到白球的概率是．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．如图，在四棱锥P ABCD -中，,2BC AD AD BC =∥，M 是棱PD 上靠近点P 的三等分点．(1)证明：//PB 平面MAC ；(2)设平面PAB 与平面PCD 的交线为l ，若平面PAD ⊥平面,,ABCD AB AD PA AD ⊥⊥，22PA AD AB ===，求l 与平面MAC 所成角的正弦值．16．为了调查居民对垃圾分类的了解程度，某社区居委会从A 小区与B 小区各随机抽取300名社区居民（分为18-40岁、41岁-70岁及其他人群各100名）参与问卷测试，按测试结果将居民对垃圾分类的了解程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分），并将问卷得分不低于60分绘制频数分布表如下分组A 小区频数B 小区频数18-40岁人群603041-70岁人群8090其他人群3050假设用频率估计概率，所有居民的问卷测试结果互不影响．(1)从A 小区随机抽取一名居民参与问卷测试，估计其对垃圾分类比较了解的概率；(2)从A 、B 小区41-70岁人群中各随机抽取一名居民，记其对垃圾分类比较了解的居民人数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望；(3)设事件E 为“从A 小区的三个年龄组随机抽取两组，且每个年龄组各随机抽取一名居民，则这两名居民均为对垃圾分类比较了解”，设事件F 为“从B 小区的三个年龄组随机抽取两组，且每个年龄组各随机抽取一名居民，则这两名居民均为对垃圾分类比较了解”，试比较事件E 发生的概率()P E 与事件F 发生的概率()P F 的大小，并说明理由．17．双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左顶点为A ，焦距为4，过右焦点F 作垂直于实轴的直线交C 于B 、D 两点，且ABD △是直角三角形．(1)求双曲线C 的方程；(2)M 、N 是C 右支上的两动点，设直线AM 、AN 的斜率分别为1k 、2k ，若122k k =-，求点A 到直线MN 的距离d 的取值范围．18．已知函数()1x af x x e=-+（,a R e ∈为自然对数的底数）（1）若曲线()y f x =在点()1,()f x 处的切线平行于x 轴，求a 的值；（2）求函数()f x 的极值；（3）当1a =时，若直线:1l y kx =-与曲线()y f x =没有公共点，求k 的最大值.19．若无穷数列{}n a 的各项均为整数．且对于*,i j ∀∈N ，i j <，都存在k j >，使得k j i j i a a a a a =--，则称数列{}n a 满足性质P ．(1)判断下列数列是否满足性质P ，并说明理由．①n a n =，1n =，2，3，…；②2n b n =+，1n =，2，3，…．(2)若数列{}n a 满足性质P ，且11a =，求证：集合{}*3n n a ∈=N 为无限集；(3)若周期数列{}n a 满足性质P ，求数列{}n a 的通项公式．1．C【分析】解29x ≤得出集合B ，然后根据并集的运算，即可得出答案.【详解】解29x ≤可得，33x -≤≤，所以{}3|3B x x =-≤≤.所以，{}{}{}51|3353A B x x x x x x ⋃=-<≤⋃-≤≤=-<≤.故选：C.2．C【解析】根据复数模的计算公式先求出模长，再利用复数的除法可得.【详解】由(1)|1|2z i +=-+=，得z =2(1)1(1)(1)21i i i i i ==+-+--，∴1z i =+.故选：C.【点睛】本题主要考查复数的相关概念，模长求解，共轭复数以及复数运算等，题目虽小，知识点很是丰富.3．C【分析】根据条件，由等比数列通项公式可得121(1)0a a a q >⇔->、()2336110a a a q q >⇔->，结合因式分解及充分、必要性定义判断条件间的关系.【详解】设公比为q ，由121210(1)0a a a a a q >⇔->⇔->，由()252336361110010a a a a a q a q a q q >⇔->⇔->⇔->，所以()221(1)10a q q q q -++>.由22131024q q q ⎛⎫++=++> ⎪⎝⎭，0q ≠，可得：361(1)0a a a q >⇔->，所以“12a a >”是“36a a >”的充要条件.故选：C 4．A【分析】求出AB 、BD 、AD 的长，利用余弦定理求出cos BAD ∠，再利用二倍角的余弦公式可求得cos BAC ∠的值.【详解】依题意分析可知，当伞完全张开时，()402416cm AD =-=，因为B 为AD '的中点，所以，()120cm 2AB AC AD '===，当伞完全收拢时，()40cm AB BD AD '+==，所以，()20cm BD =，在ABD △中，2224002564002cos 2220165AB AD BD BAD AB AD +-+-∠===⋅⨯⨯，所以，()22217cos cos 22cos 121525BAC BAD BAD ⎛⎫∠=∠=∠-=⨯-=- ⎪⎝⎭.故选：A.5．C【分析】根据圆，抛物线，椭圆及双曲线的方程特点结合条件分析即得.【详解】因为方程220Ax By Cxy Dx Ey F +++++=，其中A B C D E F ≥≥≥≥≥，所以当101A B C D E F ==≥===≥=-时，方程为2210x y +-=，即221x y +=是圆的方程，故方程可以是圆的方程；当1012A B C D E F =≥===≥=-≥=-时，方程为220x y --=，即22y x =-是抛物线的方程，故方程可以是抛物线的方程；当2101A B C D E F =≥=≥===≥=-时，方程为22210x y +-=，即22112x y +=是椭圆的标准方程，故方程可以是椭圆的标准方程；若方程为双曲线的标准方程，则有0,0,0AB C D E F <===<，这与A B C D E F ≥≥≥≥≥矛盾，故方程不可以是双曲线的标准方程；所以真命题有3个.故选：C.6．D【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.【详解】由e =222222215c a b b a a a+==+=，解得2ba=，所以双曲线的一条渐近线为2y x =，则圆心(2,3)到渐近线的距离5d ==，所以弦长||AB =故选：D7．B【分析】根据题意求得函数()π4sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，把函数()()g x f x a =-的零点个数转化为方程()f x a =实根的个数，结合方程()f x a =在[]0,π内实根的个数，分类讨论，即可求解.【详解】由函数()()sin 2cos f x A x x x ωωωϕ=+=+，因为函数()f x 图象的对称轴方程为()ππZ 62k x k =+∈，当0k =时，可得1π6x =，当1k =时，可得22π3x =，即两个相邻的最高点与最低点间的距离为21π2x x -=，即1π22T =，则πT =，可得2ω=，因为()f x 的图象关于直线π6x =对称，所以()π03f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即2π2π2sin2cos 33A =+，解得A =则()π2cos24sin 26f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以函数()()g x f x a =-的零点个数等价于方程()f x a =实根的个数，先研究方程()f x a =在[]0,π内实根的个数，当4a =或4a =-时，方程()f x a =在[]0,π内实根的个数为1；当()()4,22,4a ∈-⋃时，方程()f x a =在[]0,π内实根的个数为2；当2a =时，方程()f x a =在[]0,π内实根的个数为3，其中在(]0,π内实根的个数为2，因为()f x 是周期为π的函数，所以当()4,4a ∈-时，在(](](]π,2π,2π,3π,3π,4π, ，(]2022π,2023π内方程()f x a =实根的个数均为2，因为()()g x f x a =-在[]()*0,πN n n ∈内恰有2023个零点，且2023为奇数，所以()()4,22,4a ∈-⋃，不合题意.当4a =±时，2023n =；当2a =时，1011n =；故满足条件的有序实数对(),a n 只有3对.故选：B.8．B【分析】先由a b a b =得到ln ln a a b b =，构造函数()ln f x x x =，确定函数的单调性及最值，得到10e b <<，11e a <<，即可判断A 选项；由1()(ef a f >化简即可判断D 选项；令12a =即可判断C 选项；构造函数21()()()(0)e eF x f x f x x =--<<由极值点偏移即可判断B 选项.【详解】由0a b >>，对a b a b =两边取对数得ln ln a a b b =，令()ln f x x x =，则()1ln f x x '=+，当10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时，()0f x '<，()f x 单调递减；当1,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，故min 11()e e f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，(1)0f =，又0x →时，()0f x →，x →+∞时，()f x →+∞，ln ln a a b b =，即()()f a f b =，结合图像可知，10e b <<，11ea <<，故A 错误；易得1()(e f a f >，即11ln ln e e a a >，即1e 1ln ln e a a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，故11ee 1e e a a -⎛⎫>= ⎪⎝⎭，D 错误；当12a =时，111221211,e e 2e a a a --⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故1122112e ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，C 错误；令21()()()(0)e eF x f x f x x =--<<，则222()()()()()()e e e F x f x f x x f x f x ''''''=--⋅-=+-2221ln 1ln()2ln()e ex x x x =+++-=+-，又222211()e e e x x x -=--+，由10e x <<可得22210,e e x x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，故21()2ln 0e F x '<+=，故()F x 在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故1()0e F b F ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，即2()()0e f b f b -->，即2()()e f b f b >-，又()()f a f b =，故2()()ef a f b >-，又1212,1,,e e e e a b ⎛⎫⎛⎫∈-∈ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，由上知1,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()f x 单调递增，故2e a b >-，即2e a b +>，B 正确.故选：B.【点睛】本题关键点一在于由a b a b =得到ln ln a a b b =，进而构造函数()ln f x x x =，确定函数的单调性及最值，进而判断A 、C 、D 选项；关键点二在于构造函数21()()()(0e eF x f x f x x =--<<由极值点偏移判断B 选项.9．BD【分析】根据图表，对各项逐个分析判断即可得解.【详解】对A ，在前四年有下降的过程，故A 错误；对B ，六年的在校生总数为24037，平均值为4006以上，故B 正确；对C ，39950.1054680.895⨯≈，未接受高中阶段教育的适龄青少年有468万人以上，故C 错误；对D ，41280.6012481⨯≈，故D 正确.故选：BD 10．ACD【分析】设出直线与抛物线联立，利用韦达定理及斜率公式，结合三角形的面积公式及直线与圆的位置关系的判断方法即可求解.【详解】对于A ，令()()1122:,,,,AB x my a A x y B x y =+，联立22x my a y px=+⎧⎨=⎩，消x 可得2220y pmy pa --=，则()2Δ280pm pa =+>，12122,2y y pa y y pm =-+=，()21212222x x m y y a pm a +=++=+，则1111111,:,,OA y y ay k OA y x M a x x x ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭故()12211112212220BMay pay y x y y y pakx a x a y x a +++====+++，同理0,//AN k BM AN =∴，故A 正确；对于C ，设x a =-与x 轴交于P ，,PON AOC MOP BOC S S S S == ，则,PON MOP AOC BOC S S S S ++= ，AOB MON S S =△△，故C 正确；对于D ，()()112211,22ANC BCM S x a y S x a y =+=-+ 则()()()()12121212112244ANC BCM S S x a x a y y my a my a y y ⋅=-++=-++ ()221212121244m y y am y y a y y ⎡⎤=-+++⎣⎦()()()221222424m pa am pm a pa ⎡⎤=--++-⎣⎦()222pa pm a =+，而121212||||2MCN MPC NPC S S S a y y a y y =+=⋅-=- ，所以()()()22222221212124424MCN ANC BCM S a y y a y y y y pa pm a S S ⎡⎤=-=+-=+=⋅⎣⎦，故D 正确；对于B ，AB 中点1212,22x x y y Q ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，即()2,,Q pm a pa +-则Q 到直线x a =-的距离22d pm a =+，以AB 为直径的圆的半径122AB y =-所以()()222224AB d p a a p m -=+-，当2p a =时相切，当2pa ≠时不相切，故B 错误.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：设出直线与抛物线联立，利用韦达定理及斜率公式，结合三角形的面积公式及直线与圆的位置关系的判断即可.11．BCD【分析】根据图形分别求出CD =CE DE ==由4个正方形和16个与梯形BDEF 全等的梯形组成，分别计算；体积用两个柱体体积减去重叠部分体积；分别计算按A C P M D B →→→→→路线和在表面内移动最短的路径长．【详解】如图一个正四棱柱的某个侧面与另一个正四棱柱的两个侧面的交线CE 、DE则在梯形BDEF 中，可知32BD =-，2,3,6,13BF EF DE BE ====设,DEF BEF αβ∠=∠=，则3313cos ,cos 313αβ==根据立体图可得22CD =6CE DE ==222CE DE CD +≠即CE 、DE 不垂直，A 不正确；该“十字贯穿体”的表面积是由4个正方形和16个与梯形BDEF 全等的梯形组成则表面积332441621121622S +=⨯+⨯⨯=-B 正确；如图两个正四棱柱的重叠部分为多面体CDGEST ，取CS 的中点I则多面体CDGEST 可以分成8个全等三棱锥C GEI -，则1222233C GEI V -==该“十字贯穿体”的体积即为1622248483C GEI V V -=⨯--=，C 正确；若按A C P M D B →→→→→路线，则路线长为(432221222+=-若在表面内移动，则有：借助部分展开图，如图所示：∵21cos cos 22cos 103FEN αα∠==-=-<，即FEN ∠为钝角，过B 作NE 的垂线BH ，垂足为H ，则BH 在展开图内()sin sin 2sin 2cos cos 2sin 3913BEN αβαβαβ∠=-=-=+2sin 3BH BE BEN =∠=+根据对称可知此时最短路径为42123BH =+<-则从顶点A 出发，沿表面到达顶点B 的最短路径为43+D 正确；故选：BCD ．12．8-【分析】根据平面向量的加减法、数乘运算，以及数量积的运算律求解.【详解】由题意可得，1FO = ，3OD = ,()()()()FD FE FO OD FO OE FO OD FO OD⋅=+⋅+=+⋅-228FO OD =-=- ,故答案为:8-.13．1【分析】根据新定义可知直线y x =与()y f x =存在交点，即可求解.【详解】对于0x ∈R ，令1()(1,2,)n n x f x n -== ，若存在正整数k 使得0k x x =，且当0j k <<时0j x x ≠，则称0x 是()f x 的一个周期为k 的周期点.若1()e x f x -=，x ∈R ，当1k =时，0110()e x x f x -==，因为直线y x =与()y f x =只有一个交点(1,1)，所以01x =是()f x 的一个周期为1的周期点.故答案为：114．59111232n⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭【分析】记事件i A 表示从第i 个盒子里取出白球，利用全概率公式可得()()()()()212112159P A P A P A A P A P A A =+=，进而可得()()11133n n P A P A -=-，然后构造等比数列，求通项公式即得.【详解】记事件i A 表示从第()1,2,,i i n = 个盒子里取出白球，则()123P A =，()()11113P A P A =-=，所以()()()()()()()212121211212211533339P A P A A P A A P A P A A P A P A A =+=+=⨯+⨯=，()()()()()()()()3232232222211114333327P A P A P A A P A P A A P A P A P A =+=⨯+⨯=⨯+=，()()()()()()()()434334333321113333P A P A P A A P A P A A P A P A P A =+=⨯+⨯=+，进而可得()()11133n n P A P A -=+，()()1111232n n P A P A -⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦，又()11126P A -=，()211218P A -=，()()21111232P A P A ⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦，所以()12n P A ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为16，公比为13的等比数列，所以()11111126323n n n P A -⎛⎫⎛⎫-=⨯=⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即()111232nn P A ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭，故答案为：59；111232n⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭.15．(1)证明见解析26【分析】（1）连接BD 交AC 于点O ，连接OM ，由//PB OM 可得//PB 平面MAC ；（2）延长,AB DC ，交于点N ，则直线NP 就是平面PAB 与平面PCD 的交线l ，以点A 为原点建立空间直角坐标系，求出PN及面MAC 的法向量，求l 与平面MAC 所成角的正弦值．【详解】（1）连接BD 交AC 于点O ，连接OM ，因为,2BC AD AD BC =∥，所以12OB BC OD AD ==，又因M 是棱PD 上靠近点P 的三等分点，所以12OB PM OD MD ==，所以//PB OM ，又OM ⊂平面,MAC PB ⊄平面MAC ，所以//PB 平面MAC ；（2）延长,AB DC ，交于点N ，所以,N P 为平面PAB 与平面PCD 的公共点，所以直线NP 就是平面PAB 与平面PCD 的交线l ；因为平面PAD ⊥平面,ABCD PA AD ⊥，平面PAD ⋂平面,ABCD AD PA =⊂平面PAD ，所以PA ⊥平面ABCD ，又AB ⊂平面ABCD ，所以PA AB ⊥，如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，因为,2BC AD AD BC =∥，所以121BN BC BNAN AD BN ===+，所以1BN =，则()()()()240,0,0,1,1,0,0,,,0,0,2,2,0,033A C M P N ⎛⎫⎪⎝⎭，则()()241,1,0,0,,2,0,233AC AM PN ⎛⎫===- ⎪⎝⎭，设平面MAC 的法向量为(),,n x y z =，则有02433n AC x y n AM y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，可取()2,2,1n =- ，则cos,6n PNn PNn PN⋅===，即l与平面MAC 所成角的正弦值为2616．(1)1730(2)分布列见解析，期望值()1710E X=；(3)()()P F P E<，理由见解析；【分析】（1）由频数分布表计算出样本中的频率，即可估计出其概率；（2）分别估计出A、B小区41-70岁人群中对垃圾分类比较了解的概率，求出随机变量对应取值的概率，即可得出分布列和期望值；（3）分别估计出A、B小区三个不同群体对垃圾分类比较了解的概率，根据题意由概率乘法公式分别计算可得()(),P E P F，即可得出结论.【详解】（1）根据频数分布表可知，抽取的A小区300人样本中，有608030170++=人对垃圾分类比较了解，所以样本中对垃圾分类比较了解的概率为1701730030P==；由样本估计总体的思想，用频率估计概率可知：从A小区随机抽取一名居民，估计其对垃圾分类比较了解的概率为1730；（2）根据频数分布表可知，A小区41-70岁人群中对垃圾分类比较了解的概率可估计为8041005=；B小区41-70岁人群中对垃圾分类比较了解的概率可估计为90910010=；易知随机变量X的所有可能取值为0,1,2；易知()49101151050P X⎛⎫⎛⎫==--=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()49491311151051050P X⎛⎫⎛⎫==-⨯+⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()4918251025P X==⨯=；所以X的分布列如下：X012P15013501825期望值()113181701250502510E X =⨯+⨯+⨯=（3）()()P F P E <，理由如下：从三个年龄组随机抽取两组共有23C 3=种，每一种组合出现的可能为13；易知A 小区三个年龄组对垃圾分类比较了解的概率分别为343,,5510，所以可得()1343343335551051010P E ⎛⎫=⨯+⨯+⨯= ⎪⎝⎭，同理()13931912931010102102100P F ⎛⎫=⨯++⨯= ⎪⎝⎭，显然2930310010010=<；即()()P F P E <.17．(1)2213y x -=(2)(⎤⎦【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，转化为,,a b c 的方程，即可求解；（2）首先设直线MN 的方程为x my n =+，与双曲线方程联立，利用韦达定理表示122k k =-，并根据2m 的取值范围，求点到直线的距离的取值范围.【详解】（1）依题意，90BAD ∠=，焦半径2c =，由AF BF =，得2b ac a+=，得22222a a a +=-，解得：1a =（其中20a =-<舍去），所以222413b c a =-=-=，故双曲线C 的方程为2213y x -=；（2）显然直线MN 不可能与轴平行，故可设直线MN 的方程为x my n =+，联立2233x my n x y =+⎧⎨-=⎩，消去x 整理得()()222316310m y mny n -++-=，在条件2310Δ0m ⎧-≠⎨>⎩下，设()11,M x y ，()22,N x y ，则122631mny y m +=--，()21223131n y y m -=-，由122k k =-，得()()12122110y y x x +++=，即()()12122110y y my n my n +++++=，整理得()()()()2212122121210m y y m n y y n ++++++=，代入韦达定理得，()()()()()22222312112121310n m m n n n m -+-+++-=，化简可消去所有的含m 的项，解得：5n =或1n =-（舍去），则直线MN 的方程为50x my --=，得d =又,M N 都在双曲线的右支上，故有2310m -<，2103m ≤<，此时1≤<(d ⎤=∈⎦，所以点A 到直线MN 的距离d 的取值范围为(⎤⎦.18．（1）a e =（2）当0a ≤时，函数()f x 无极小值；当0a >，()f x 在ln x a =处取得极小值ln a ，无极大值（3）k 的最大值为1【分析】（1）求出'()f x ，由导数的几何意义，解方程'(1)0f =即可；（2）解方程'()0f x =，注意分类讨论，以确定'()f x 的符号，从而确定()f x 的单调性，得极大值或极小值（极值点多时，最好列表表示）；（3）题意就是方程(x)kx 1f =-无实数解，即关于x 的方程()11xk x e -=在R 上没有实数解．一般是分类讨论，1k =时，无实数解，1k ≠时，方程变为11x xe k =-，因此可通过求函数()x g x xe =的值域来求得k 的范围．【详解】（1）由()1x a f x x e =-+,得()1xa f x e '=-．又曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线平行于x 轴,得()10f '=,即10ae-=,解得a e =．（2）()1x af x e'=-,①当0a ≤时,()0f x ¢>,()f x 为(),-∞+∞上的增函数,所以函数()f x 无极值．②当0a >时,令()0f x '=,得x e a =,ln x a =．(),ln x a ∈-∞,()0f x '<;()ln ,x a ∈+∞,()0f x ¢>．所以()f x 在(),ln a -∞上单调递减,在()ln ,a +∞上单调递增,故()f x 在ln x a =处取得极小值,且极小值为()ln ln f a a =,无极大值．综上,当0a ≤时,函数()f x 无极小值当0a >,()f x 在ln x a =处取得极小值ln a ,无极大值．（3）当1a =时,()11xf x x e =-+令()()()()111xg x f x kx k x e =--=-+,则直线l :1y kx =-与曲线()y f x =没有公共点,等价于方程()0g x =在R 上没有实数解．假设1k >,此时()010g =>,1111101k g k e -⎛⎫=-+< ⎪-⎝⎭,又函数()g x 的图象连续不断,由零点存在定理,可知()0g x =在R 上至少有一解,与“方程()0g x =在R 上没有实数解”矛盾,故1k ≤．又1k =时,()10x g x e=>,知方程()0g x =在R 上没有实数解．所以k 的最大值为1．解法二:（1）（2）同解法一．（3）当1a =时,()11xf x x e =-+．直线l :1y kx =-与曲线()y f x =没有公共点,等价于关于x 的方程111xkx x e -=-+在R 上没有实数解,即关于x 的方程:()11xk x e -=（*）在R 上没有实数解．①当1k =时,方程（*）可化为10xe =,在R 上没有实数解．②当1k ≠时,方程（*）化为11x xe k =-．令()xg x xe =,则有()()1xg x x e '=+．令()0g x '=,得=1x -,当x 变化时,()g x '的变化情况如下表:x (),1-∞-1-()1,-+∞()g x '-+()g x 减1e-增当=1x -时,()min 1g x e=-,同时当x 趋于+∞时,()g x 趋于+∞,从而()g x 的取值范围为1,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．所以当11,1k e ⎛⎫∈-∞- ⎪-⎝⎭时,方程（*）无实数解,解得k 的取值范围是()1,1e -．综上,得k 的最大值为1．考点：导数的几何意义，极值，导数与单调性、值域，方程根的分布．19．(1)数列{}n a 不满足性质P ；数列{}n b 满足性质P ，理由见解析(2)证明见解析(3)0n a =或3n a =．【分析】（1）根据题意分析判断；（2）根据题意先证3为数列{}n a 中的项，再利用反证法证明集合{}3∣n n a *∈=N 为无限集；（3）先根据题意证明{}0,2,3n a ∈，再分{}n a 为常数列和非常数列两种情况，分析判断.【详解】（1）对①，取1i =，对,1j j *∀∈>N ，则11,j i j a a a ===，可得11j j i i j a a a j a =---=--，显然不存在,k j k *>∈N ，使得1k a =-，所以数列{}n a 不满足性质P ；对②，对于,,i j i j *∀∈<N ，则2i b i =+，2j b j =+，故()()()()2222j i i j i j i j i j i jb b b b --=++-+-+=⋅++()22i j i j =⋅++-+，因为,,1,2i j i j *∈≥≥N ，则()2i j i j *⋅++-∈N ，且()()2123i j i j i j j ⋅++-=++-≥，所以存在()2k i j i j *=⋅++-∈N ，k j >，使得()22j k i j i b b i b j i j b b =⋅++-=--+，故数列{}n b 满足性质P ；（2）若数列{}n a 满足性质P ，且11a =，则有：取111,1,i j j j *==>∈N ，均存在111,k j k *>∈N ，使得111111k j j a a a a a =--=-，取2121,,i j j k j *==>∈N ，均存在2212,k j k k *>>∈N ，使得222111k j j a a a a a =--=-，取121,i k j k k ==>，均存在1211,m k m *>>∈N ，使得112123m k k k k a a a a a =--=，故数列{}n a 中存在n *∈N ，使得3n a =，即{}3∣n n a *∈=≠∅N ，反证：假设{}3∣n n a *∈=N 为有限集，其元素由小到大依次为()12,,,1l l n n n n >L ，取1,1l l i j n n ==+>，均存在1,L l L k n k *>+∈N ，使得11111L l l k n n a a a a a ++=--=-，取1,1L i j k ==+，均存在111,L L L k k k *++>+∈N ，使得111111L L L k k k a a a a a +++=--=-，取1,L L i k j k +==，均存在111,l L l l n k n n *+++>>∈N ，使得1113l L L L L n k k k k a a a a a +++=--=，即{}13∣l n n n a *+∈∈=N 这与假设相矛盾，故集合{}3∣n n a *∈=N 为无限集.（3）设周期数列{}n a 的周期为1,T T *≥∈N ，则对n *∀∈N ，均有n n T a a +=，设周期数列{}n a 的最大项为,,1M a M M T *∈≤≤N ，最小项为,,1N a N N T *∈≤≤N ，即对n *∀∈N ，均有N n M a a a ≤≤，若数列{}n a 满足性质P ：反证：假设4M a ≥时，取,i M j M T ==+，则,k M T k *∃>+∈N ，使得22k M M T M M T M M a a a a a a a ++=--=-，则()2330k M M M M M a a a a a a -=-=->，即k M a a >，这对n *∀∈N ，均有N n M a a a ≤≤矛盾，假设不成立；则对n *∀∈N ，均有3n a ≤；反证：假设2N a ≤-时，取,i N j N T ==+，则,k N T k *∃>+∈N ，使得224k N N T N N T N N a a a a a a a ++=--=-≥，这与对n *∀∈N ，均有3n a ≤矛盾，假设不成立，即对n *∀∈N ，均有1n a ≥-；综上所述：对n *∀∈N ，均有13n a -≤≤，反证：假设1为数列{}n a 中的项，由（2）可得：1,3-为数列{}n a 中的项，∵()13135-⨯---=-，即5-为数列{}n a 中的项，这与对n *∀∈N ，均有13n a -≤≤相矛盾，即对n *∀∈N ，均有1n a ≠，同理可证：1n a ≠-，∵n a ∈Z ，则{}0,2,3n a ∈，当1T =时，即数列{}n a 为常数列时，设n a a =，故对,,i j i j *∀∈<N ，都存在k j >，使得22i k i j j a a a a a a a a =--=-=，解得0a =或3a =，即0n a =或3n a =符合题意；当2T ≥时，即数列{}n a 至少有两个不同项，则有：①当0,2为数列{}n a 中的项，则02022⨯--=-，即2-为数列{}n a 中的项，但{}20,2,3-∉，不成立；②当0,3为数列{}n a 中的项，则03033⨯--=-，即3-为数列{}n a 中的项，但{}30,2,3-∉，不成立；③当2,3为数列{}n a 中的项，则23231⨯--=，即1为数列{}n a 中的项，但{}10,2,3∉，不成立；综上所述：0n a =或3n a =.【点睛】关键点点睛：（1）对于证明中出现直接证明不方便时，我们可以利用反证法证明；（2）对于周期数列{}n a 满足性质P ，证明思路：先逐步缩小精确n a 的取值可能，再检验判断.。
广东省广州市执信中学2020届高三数学11月月考试题 理(含解析)
广东省广州市执信中学 2020 届高三数学 11 月月考试题 理（含解析）一、选择．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合，，且 ，则实数 有（ ）个不同取值．A.B.【答案】B【解析】试题分析：因为 ，所以或数 的不同取值个数为 ，故选 B．考点：1、集合间的关系；2、一元二次方程．C. ，解得： 或D. 或 ，所以实2.复数的共轭复数是（ ）．A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】分式上下同乘 ，化简整理可得 ，进而可得 。
【详解】，共轭复数．故选 ．【点睛】本题考查复数的除法计算，共轭复数的概念，属基础题。
3.在中，则“ ”是“”的（ ）．A. 充分不必要条件 C. 充要条件 【答案】B 【解析】B. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件试题分析：在中，由得：，因为“”“”，“ ”“”，所以“ ”是“”的必要而不充分条件，故选 B．考点：1、三角函数的性质；2、充分条件与必要条件． 4.下列命题中，错误的是（ ）．A. 平行于同一平面的两个不同平面平行 B. 一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交 C. 若两个平面不垂直，则其中一个平面内一定不存在直线与另一个平面垂直 D. 若直线不平行于平面，则此直线与这个平面内的直线都不平行 【答案】D 【解析】 试题分析：平行于同一平面的两个不同平面平行，所以选项 A 正确；一条直线与两个平行平 面中的一个相交，则必与另一平面相交，所以选项 B 正确；如果两个平面不垂直，那么其中 一个平面内一定不存在直线与另一个平面垂直，所以选项 C 正确；若直线不平行于平面，则 此直线与这个平面内的直线有可能平行，所以选项 D 错误．故选 D． 考点：空间点、线、面的位置关系．5.为得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（ ）．A. 向右平行移动 个单位长度B. 向右平行移动 个单位长度C. 向左平行移动 个单位长度【答案】D 【解析】 【分析】由诱导公式，可将变形为D. 向左平行移动 个单位长度 ，根据平移变换的方法即可得结果。
2024-2025学年广东省广州市执信中学高三(上)第三次月考数学试卷(含答案)
2024-2025学年广东省广州市执信中学高三（上）第三次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列四组函数中，表示同一函数的一组是( )A. y=|x|，u=v2B. y=x2，s=(t)2,m=n+1 D. y=x+1⋅x−1,y=x2−1C. y=x2−1x−12.若复数z满足z(1−i)=1+i，则z4=( )A. 1B. −1C. iD. 163.若a=ln10，b=ln2⋅ln5，c=ln4e，则a、b、c的大小关系是( )A. c<a<bB. a<b<cC. c<b<aD. b<a<c4.已知向量集合M={a|a=(3,4)+λ(1,2),λ1∈R}，N={a|a=(4,5)+λ2(−2,−2),λ∈R}，则M∩N= ( )A. {(4,5)}B. {(3,4)，(4,5)}C. {(3,4)}D. ⌀5.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,A>0)在区间[m,n]上是增函数，且f(m)=−A，f(n)=A，则函数g(x)=Acos(ωx+φ)(ω>0,A>0)在区间[m,n]上( )A. 是增函数B. 是减函数C. 可以取到最大值AD. 可以取到最小值−A6.已知点P在抛物线M：y2=4x上，过点P作圆C：(x−2)2+y2=1的切线，若切线长为27，则点P到M的准线的距离为( )A. 5B. 29C. 6D. 307.设{a n}为等比数列，则“对于任意的n∈N∗，a n+2<a n”是“{a n}为递减数列”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8.如图，B地在A地的正东方向4km处，C地在B地的北偏东30°方向2km处，河流的没岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比到B的距离远2km.现要在曲线PQ上一处M建一座码头，向B、C两地转运货物．经测算，从M到B、M到C修建公路的费用分别是a万元/km、2a万元/km，那么修建这两条公路的总费用最低是( )A. (27−2)a万元B. 5a 万元C. (2 7+1)a 万元D. (2 3+3)a 万元二、多选题：本题共3小题，共18分。
广东省广州市执信中学2024届高三下学期教学情况检测(三)数学试题
广东省广州市执信中学2024届高三下学期教学情况检测（三）数学试题一、单选题1．已知集合{}R 33A x x =∈-≤≤，{}2R 4B x x =∈>，则A B =I （ ）A ．(]2,3B ．[)3,∞-+C ．[)(]3,22,3--UD ．()(),22,∞∞--⋃+2．设()0,θπ∈，则“6πθ<”是“1sin 2θ<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知圆22:210C x x y ++-=，直线()10mx n y +-=与圆C 交于A ，B 两点.若ABC V 为直角三角形，则（ ） A ．0mn = B ．0-=m n C ．0m n +=D ．2230m n -=4．“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的学术大师．已知浙江大学、复旦大学、武汉大学、中山大学均有开设数学学科拔尖学生培养基地，某班级有5位同学从中任选一所学校作为奋斗目标，则每所学校至少有一位同学选择的不同方法数共有（ ） A ．120种B ．180种C ．240种D ．300种5．已知{}n a 是公比为()1q q ≠的等比数列，n S 为其前n 项和.若对任意的*N n ∈，11n a S q<-恒成立，则（ ） A ．{}n a 是递增数列 B ．{}n a 是递减数列 C ．{}n S 是递增数列D ．{}n S 是递减数列6．蜜蜂被誉为“天才的建筑师”.蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材面积最小的结构.如图是一个蜂房的立体模型，底面ABCDEF 是正六边形，棱AG ，BH ，CI ，DJ ，EK ，FL 均垂直于底面ABCDEF ，上顶由三个全等的菱形PGHI ，PIJK ，PKLG 构成.设1BC =，10928GPI IPK KPG θ'∠=∠=∠=≈o ，则上顶的面积为（ ）（参考数据：1cos 3θ=-，tan 2θ=A ．BC D7．ABC V 中，4AB ACB π∠=，O 是ABC V 外接圆圆心，是OC AB CA CB ⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 的最大值为（ ） A ．0B ．1C ．3D ．58．椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 且斜率为-与椭圆交于A ，B 两点（A 在B 左侧），若()11220F A F F AF +⋅=u u u r u u u u r u u u u r，则C 的离心率为（ ）A ．25B ．35C ．27D ．37二、多选题9．设z ，1z ，2z 为复数，且12z z ≠，下列命题中正确的是（ ） A ．若12z z =，则12z z =B ．若1212z z z z -=+，则120z z =C ．若12zz zz =，则0z =D ．若12z z z z -=-，则z 在复平面对应的点在一条直线上10．已知函数21()e 12x f x x =--，对于任意的实数a ，b ，下列结论一定成立的有（ ）A ．若0a b +>，则()()0f a f b +>B ．若0a b +>，则()()0f a f b -->C ．若()()0f a f b +>，则0a b +>D ．若()()0f a f b +<，则0a b +<11．抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为(0,1)F ，经过点F 且倾斜角为α的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，分别过点A 、点B 作抛物线C 的切线，两切线相交于点E ，则（ ）A ．当16AB =时，π3α=B ．AOB V 面积的最大值为2C ．点E 在一条定直线上D ．设直线EF 倾斜角为β，αβ-为定值三、填空题12．已知函数()3f x x x =-有2个极值点1x ，2x ，则()()1212x x f x f x +++=．13．某企业瓷砖生产线上生产的瓷砖某项指标()2800,X N σ~，且()8010.6P X <=，现从该生产线上随机抽取10片瓷砖，记Y 表示800801X ≤<的瓷砖片数，则()E Y =． 14．剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的中国民间艺术．其传承赓续的视觉形象和造型格式，蕴涵了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会认知、道德观念、实践经验、生活理想和审美情趣，具有认知、教化、表意、抒情、娱乐、交往等多重社会价值．现有如图所示剪纸图案，其花纹中就隐含方程为222333(0)x y a a +=>的曲线C （称为星形线），则曲线C 的内切圆半径为；以曲线C 上点(,)(0)m n mn ≠为切点的直线被坐标轴截得的线段长等于．四、解答题15．如图，在以P ，A ，B ，C ，D 为顶点的五面体中，平面ABCD 为等腰梯形，1//,2AB CD AD CD AB ==，平面P AD ⊥平面P AB ，PA PB ⊥.(1)求证：△P AD 为直角三角形；(2)若AD PB =，求直线PD 与平面PBC 所成角的正弦值.16．已知1F ，2F 分别为双曲线C ：()2230x y λλ-=>的左、右焦点，过2F 的直线l 与双曲线C 的右支交于A ，B 两点．当l 与x 轴垂直时，1ABF V 面积为12． (1)求双曲线C 的标准方程；(2)当l 与x 轴不垂直时，作线段AB 的中垂线，交x 轴于点D ．试判断2DF AB是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．17．已知函数()2122x xe xf x e a-+=+.其中e 为自然对数的底数. (1)当12a =-时，求()f x 的单调区间：(2)当0a >时，若()f x 有两个极值点12,x x ，且()()122lna f x f x k f ⎛⎫+>⋅ ⎪⎝⎭恒成立，求k 的最大值.18．已知数列{}n a 的首项不为0，前n 项的和为n S ，满足*()n a c n =+∈N ． (1)证明：1c ≤；(2)若0c =，证明：()21n S n ≥+；(3)是否存在常数c ，使得{}n a 为等比数列?若存在，求出c 的所有可能值；若不存在，说明理由．19．甲、乙两人进行知识问答比赛，共有n 道抢答题，甲、乙抢题的成功率相同.假设每题甲乙答题正确的概率分别为p 和13，各题答题相互独立.规则为：初始双方均为0分，答对一题得1分，答错一题得﹣1分，未抢到题得0分，最后累计总分多的人获胜. (1)若3n =，12p =，求甲获胜的概率； (2)若20n =，设甲第i 题的得分为随机变量i X ，一次比赛中得到i X 的一组观测值()1,2,,20i x i =L ，如下表.现利用统计方法来估计p 的值：①设随机变量11ni i X X n ==∑，若以观测值()1,2,,20i x i =L 的均值x 作为X 的数学期望，请以此求出p 的估计值µ1p ；②设随机变量i X 取到观测值()1,2,,20i x i =L 的概率为()L p ，即()L p ()11222020,,,P X x X x X x ====L ；在一次抽样中获得这一组特殊观测值的概率应该最大，随着p 的变化，用使得()L p 达到最大时p 的取值µ2p 作为参数p 的一个估计值.求µ2p .表1：甲得分的一组观测值.附：若随机变量X ，Y 的期望()E X ，()E Y 都存在，则()()()E X Y E X E Y +=+.。
广东省广州市执信中学2023-2024学年高三上学期第二次月考数学试题及答案
广州市执信中学2024届高三上学期第二次月考数 学注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答 题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡 上。
2、选择题每小题选出答案后，有2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑； 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。
3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答 卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动， 先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以 上要求作答的答案无效。
4、考生必须保持答题卡的整洁和平整。
第一部分 选择题（共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．己知集合}3,2,1,0,1{−=A ，}032|{2>−+=x x x B ，则B A =( ) A ．}1,0{B ．}3,2{C ．}1,0,1{−D ．}2,1,0,1{−2．在复数范围内方程022=+x 的解为( ) A ．2−=xB ．i x 2=C ．i x 2±=D ．∅3．己知函数)1(+x f 的图象关于点(1，1)对称，则下列函数是奇函数的是( ) A ．1)(+=x f y B ．1)2(++=x f y C ．1)(−=x f yD ．1)2(−+=x f y4．两个单位向量1e 与2e 满足021=⋅e e ，则向量1e −与2e 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°5．若6log 3=a ，2=b ，125.0log 25.0=c ，则( )A ．c a b >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．b c a >>6．某企业在生产中位倡导绿色环保的理念，购入污水过滤系统对污水进行过滤处理，已知 在过滤过程中污水的剩余污染物数量N (mg/L )与时间t (h )的关系为kteN N −=0,其中N 0为初始污染物的数量，k 为常数．若在某次过滤过程中，前2个小时过滤掉了污染物的30%， 则可计算前6小时共能过滤掉污染物的( )A ．%9.72B ．%7.65C ．%51D ．%49 7．设}{n a 为等比数列，则“对于任意的*N n ∈，n n a a <+2”是}{n a 为递减数列”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．若41<<m ，椭圆1:22=+y m x C 与双曲线14:22=−−my m x D 的离心率分别为e 1，e 2，则( )A ．21e e的最大值为21B ．21e e的最大值为23C ．21e e 的最小值为21D ．21e e的最小值为23二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．己知一组样本数据)(,,,,1032110321x x x x x x x x <<<< 中，5x 与样本平均数相等， 06=x ，则去掉以下哪个数据以后，新的样本数据的方差一定比原来的样本数据的方差 小？( ) A ．1xB ．5xC ．6xD ．10x10．在下列底面为平行四边形的四棱锥中，A ，B ，C ，M ，N 是四棱锥的顶点或棱的中点， 则MN ∥平面ABC 的有( )11．质点P 和Q 在以坐标原点O 为圆心，半径为1的O Θ上逆时针作匀速圆周运动，同时 出发．P 的角速度大小为s ,起点为O Θ与x 轴正半轴的交点；Q 的角速度大小为 s rad /5,起点为射线)0≥=x y 与O Θ的交点，则当Q 与P 重合时，Q 的坐标可以为( )A ．)92sin ,92(cos ππ B ．)95sin ,95cos (ππ−−C ．)9sin ,9(cosππ−D ．)9sin,9cos(ππ−12．若)(x f 图象上存在两点A ，B 关于原点对称，则点对[A ，B ]称为函数)(x f 的“友情点 对”（点对[A ，B ]与[B ，A ]视为同一个“友情点对”）若 <>=0,0,)(23x ax x e x x f x恰有两个“友 情点对”，则实数a 的值可以是( )A ．0B ．20201−C ．e1−D ．20231−第二部分 非选择题（共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．己知直线02=++y x 与圆222r y x =+相切，则半径r = . 14．己知函数)32cos()(2ϕπ+−=x x x f ,).,0(πϕ∈是奇函数，则ϕ= .15．将A ，B ，C ，D ，E 这5名同学从左至右排成一排，则A 与B 相邻且A 与C 之间恰好 有1名同学的排法有 种． 16．若函数x x f cos )(=，],2(ππ∈a ，则函数)(x f 在],2[a π上平均变化率的取值范围为 .四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） 记数列}{n a 的前n 项和为S n ，对任意正整数n ，有).1)(2(2−+=n n a n S (1)证明：数列}11{++n a n 为常数列； (2)求数列}1{1+n n a a 的前n 项和T n 18．（本小题满分12分）己知锐角三角形ABC 中，53)sin(=+B A ,51)sin(=−B A (1)求证：B A tan 2tan =；(2)设3=AB ,求CD 边上的高. 19．（本小题满分12分）中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，某数学建模小组为了获得茶水温度y （单位：℃）关于时间x(单位：min)的回归方程模型，通过实验收集在25℃室温，用同一温度的水冲泡的条件下，茶水温度随时间变化的7组数据，并对数据做初步处理得到如图所示散点图以及如表所示数据.表中：)25ln(−=i i y w ,⋅=∑=i i w w 7171(1)根据散点图判断，①bx a y +=与②25+⋅=x c d y 哪一个更适宜作为该茶水温度y 关于时间x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）请根据你的判断结果及表中数据建立该茶水温度y 关于时间x 的回归方程；(2)己知该茶水温度降至60℃口感最佳，根据(1)中的回归方程，求在相同条件下冲泡的茶水，大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？附：(1)对于一组数据),(),,(2211y x y x ，……),(n n y x ，其回归直线x ay βˆˆ+=的斜率和截距的最小二乘估计分别为211)())((ˆx x y yx x ini iini −−−=∑∑==β，;ˆˆx y βα−= (2)参考数据：92.008.0≈−e，6009.4≈e ，9.17ln ≈，1.13ln ≈，7.02ln ≈20．（本小题满分12分）如图1，在平行四边形ABCD 中，AC AB ⊥，,1=AB 2=BC ，将ACD ∆沿AC 折起，使得点D 到点P 的位置，如图2，经过直线PB 且与直线AC 平行的平面为α，平面 α平面 m PAC =,平面 α平面.n ABC = (1)证明：n m // (2)若6=PB ，求直线BC 与平面ABP 所成角的正弦值．21．（本小题满分12分）平面直角坐标系xOy 中，己知双曲线1:2222=−bx a y C （0,0>>b a ）的离心率为2，实轴长为4．(1)求C 的方程；(2)如图，点A 为双曲线的下顶点，直线l 过点P (0，t )且垂直于y 轴(P 位于原点与上顶点之间)，过P 的直线交C 于G ，H 两点，直线AG ，AH 分别与l 交于M ，N 两点，若1=⋅OM AN k k 求点P 的坐标．22．（本小题满分12分）己知函数a ae x f x ln )(+=,1)1ln()(++=x x g （其中a 为常数，e 是自然对数的底数）． (1)若1=a ,求函数)(x f 在点))0(,0(f 处的切线方程； (2)若)()(x g x f >恒成立，求a 的取值范围.数学参考答案选择题：填空题： 13．214．;40−15．20：16．]2,1(π−−选择填空部分解析6、解析：由己知keN N 200%70−=,可得7.02=−ke，则6个小时后剩余污染物数量为00332060%3.34)7.0()(N N e N e N k k ===−−，故前6小时共能过滤掉污染物的%7.65%3.341=−7、解析：由题意n a 不变号，所以公比q >0n n n n n n a a q a q a a a <⇔<−⇔<−⇔<∴++1220)1(0)1( 8、解析：由题意m m a ce 1111−==，ma c e −==42222 ）（m m m m m e e 4521)4)(1(2121+−=−−=∴，当且仅当2=m 时，21e e 取得最大值219、解析：根据方差的意义，可知去掉最大值和最小值都可以使样本数据的方差变小，故AD 正确；去掉x 5，样本平均数不变，则根据方差公式可知方差变大，故B 错误；去掉x 6样本方差的变化情况无法确定，也不符合条件，故C 错误。
2025届广东省广州市越秀区执信中学高三第三次模拟考试数学试卷含解析
2025届广东省广州市越秀区执信中学高三第三次模拟考试数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在复平面内，复数z =i 对应的点为Z ，将向量OZ 绕原点O 按逆时针方向旋转6π，所得向量对应的复数是（ ）A ．1322i -+ B ．3122i -+ C ．1322i -- D ．3122i -- 2．已知()()cos 0,0,,2f x A x A x R πωϕωϕ⎛⎫=+>><∈ ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()f x 的表达式是（ ）A ．32cos 24x π⎛⎫+⎪⎝⎭B ．2cos 4x π⎛⎫+⎪⎝⎭C ．2cos 24x π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．32cos 24x π⎛⎫-⎪⎝⎭3．函数sin()(0y A x ωϕω=+>，||2ϕπ<，)x R ∈的部分图象如图所示，则函数表达式为（ ）A ．4sin()84y x ππ=-+ B ．4sin()84y x ππ=-C ．4sin()84y x ππ=--D ．4sin()84y x ππ=+ 4．定义在R 上的函数()f x 满足()()2log 10()50x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，则()2019f =（）A ．-1B ．0C ．1D ．25．过点6(26)2P ，的直线l 与曲线213y x =-交于A B ，两点，若25PA AB =，则直线l 的斜率为( ) A ．23-B ．23+C ．23+或23-D ．23-或31-6．执行下面的程序框图，若输出的S 的值为63，则判断框中可以填入的关于i 的判断条件是（ ）A ．5i ≤B ．6i ≤C ．7i ≤D ．8i ≤7．已知定义在R 上的函数()f x 的周期为4，当[2,2)x ∈-时，1()43xf x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则()()33log 6log 54f f -+=（ ） A ．32B ．33log 22- C ．12-D ．32log 23+ 8．要得到函数32sin 2y x x =-的图像，只需把函数sin 232y x x =的图像（ ）A ．向左平移2π个单位 B ．向左平移712π个单位 C ．向右平移12π个单位D ．向右平移3π个单位 9．设{|210}S x x =+>，{|350}T x x =-<，则ST（ ）A ．∅B ．1{|}2x x <-C ．5{|}3x x >D ．15{|}23x x -<< 10．如图，平面四边形ACBD 中，AB BC ⊥，3AB =，2BC =，ABD △为等边三角形，现将ABD △沿AB 翻折，使点D 移动至点P ，且PB BC ⊥，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．8πB ．6πC ．4πD ．823π 11．1777年，法国科学家蒲丰在宴请客人时，在地上铺了一张白纸，上面画着一条条等距离的平行线，而他给每个客人发许多等质量的，长度等于相邻两平行线距离的一半的针，让他们随意投放.事后，蒲丰对针落地的位置进行统计，发现共投针2212枚，与直线相交的有704枚.根据这次统计数据，若客人随意向这张白纸上投放一根这样的针，则针落地后与直线相交的概率约为（ ） A ．12πB ．3πC ．2πD ．1π12．中，如果，则的形状是（ ）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省佛山市执信中学2019-2020学年高三数学理期末试题含解析
广东省佛山市执信中学2019-2020学年高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 定义，将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数g(x)，若g(x)为奇函数，则的值可以是（）A． B． C．D．参考答案：A2. 已知函数，则不等式的解集为（）A．(－2,+∞) B．(－∞,－2) C．(－1,+∞) D．(－∞, －1)参考答案：A分析：先判断函数f(x)的奇偶性，再利用导数求函数f(x)的单调性，再解不等式得解.详解：由题得=-f(x),所以函数f(x)是奇函数.由题得.所以当x>0时，函数在单调递减，因为函数是奇函数，所以函数在单调递减，因为，所以f(2x+3)<-f(1)=f(-1),所以2x+3>-1,所以x>-2.故答案为：A3. 若集合，集合，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A4. 已知，则是的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也非必要条件参考答案：A5. 设随机变量X～N（2，82），且P{2＜x＜4＝0.3，则P{x＜0＝A．0.8 B．0.2 C．0.5 D．0.4参考答案：B略6. 复数的共轭复数是（A）(B) (C) (D)参考答案：B略7. 1+（1+）+（1++）+…+（1+++…+）的值为( )A．18+B．20+C．22+D．18+参考答案：B【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】利用等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解答】解：∵a n=1++…+==2，∴S n=2n﹣=2n﹣=2n﹣2+，∴S11=20+．故选：B．【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8. 设△A n B n C n的三边长分别为a n，b n，c n，△A n B n C n的面积为S n，n=1，2，3…若b1＞c1，b1+c1=2a1，a n+1=a n，，，则（）A．{S n}为递减数列B．{S n}为递增数列C．{S2n﹣1}为递增数列，{S2n}为递减数列D．{S2n﹣1}为递减数列，{S2n}为递增数列参考答案：B【考点】数列递推式；数列的函数特性．【分析】由a n+1=a n可知△A n B n C n的边B n C n为定值a1，由b n+1+c n+1﹣2a1=及b1+c1=2a1得b n+c n=2a1，则在△A n B n C n中边长B n C n=a1为定值，另两边A n C n、A n B n的长度之和b n+c n=2a1为定值，由此可知顶点A n在以B n、C n为焦点的椭圆上，根据b n+1﹣c n+1=，得b n﹣c n=，可知n→+∞时b n→c n，据此可判断△A n B n C n的边B n C n的高h n随着n 的增大而增大，再由三角形面积公式可得到答案．【解答】解：b1=2a1﹣c1且b1＞c1，∴2a1﹣c1＞c1，∴a1＞c1，∴b1﹣a1=2a1﹣c1﹣a1=a1﹣c1＞0，∴b1＞a1＞c1，又b1﹣c1＜a1，∴2a1﹣c1﹣c1＜a1，∴2c1＞a1，∴，由题意， +a n，∴b n+1+c n+1﹣2a n=（b n+c n﹣2a n），∴b n+c n﹣2a n=0，∴b n+c n=2a n=2a1，∴b n+c n=2a1，由此可知顶点A n在以B n、C n为焦点的椭圆上，又由题意，b n+1﹣c n+1=，∴=a1﹣b n，∴b n+1﹣a1=，∴b n﹣a1=，∴，c n=2a1﹣b n=，∴[][]= [﹣]单调递增（可证当n=1时＞0）故选B．9. 已知“”，：“”，那么是的（）条件A充要B既不充分，也不必要C必要不充分 D 充分不必要参考答案：D略10. 已知集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，5}，则A∩（?U B）=（）A．{2} B．{2，3} C．{3} D．{1，3}参考答案：D【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由题意全集U={1，2，3，4，5}，B={2，5}，可以求出集合C U B，然后根据交集的定义和运算法则进行计算．【解答】解：∵U={1，2，3，4，5}，B={2，5}，∴C U B={1，3，4}∵A={3，1，2}∴A∩（C U B）={1，3}故选D．【点评】此题主要考查集合和交集的定义及其运算法则，是一道比较基础的题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若对任意有唯一确定的与之对应，称为关于x、y的二元函数.现定义满足下列性质的二元函数为关于实数x、y的广义“距离”：（1）非负性：，当且仅当时取等号；（2）对称性：；（3）三角形不等式：对任意的实数z均成立.今给出四个二元函数：①②③；④.能够成为关于的x、y的广义“距离”的函数的所有序号是___________.参考答案：略12. 设全集______.参考答案：13. 设实数x，y满足，则的取值范围是____________.参考答案：【分析】作出线性约束条件所表示的可行性，如图所示，根据直线截距的几何意义，即可得答案.【详解】作出线性约束条件所表示的可行性，如图所示，当直线过点B和过点C时，分别取到最小值和最大值，此时，，∴故答案为：【点睛】本题考查简单线性规划的应用，考查数形结合思想和运算求解能力，求解时注意直线截距几何意义的应用.14. 已知表示三条不同的直线，表示三个不同平面，有下列四个命题：①若，且，则；②若相交且都在外，，，，，则；③若，，，，则；④若则．其中正确的是．参考答案：②③略15. 从集合A={0,1,2,3}中任意取出两个不同的元素，则这两个元素之和为奇数的概率是．参考答案：16. 已知数列{a n}满足对时，，其对，有，则数列的前50项的和为．参考答案：252517. 已知正四棱锥O- ABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为________。
广东省广州执信中学2024届高三第二次调研数学含答案
广州市执信中学2024届高三第二次调研数学本试卷共22小题，满分150分，考试用时120分钟.一．单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．“cos 0θ>且sin 20θ<”是“θ为第四象限角”的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件2．在复平面内，复数32i,23i +−+对应的向量分别是,OA OB ，其中O 是坐标原点，则向量AB对应的复数为（ ） A ．1i + B ．5i − C ．53i −D ．5i −+6．若直线l 在x 轴､y 轴上的截距相等，且直线l 将圆22240x y x y +−+=的周长平分，则直线l 的方程为（ ） A ．10x y ++=B ．10x y +−=C ．10x y ++=或20x y += D ．10x y +−=或20x y += 如图②所示，则A M ′的值可能为（ ）8．已知函数()()2ln sin ,sin f x x x g x ax x =+=+，若函数()f x 图象上存在点M 且()g x 图象上存在点N ，使得点M 和点N 关于坐标原点对称，则a 的取值范围是（ ）二．多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）11．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M 是ABC 内一点，,,BMC AMC AMB △△△的面积分别为,,A B C S S S ，且0A B C S MA S MB S MC ⋅+⋅+⋅=.以下命题正确的有（ ）12．小明热爱数学，《九章算术》《几何原本》《数学家的眼光》《奥赛经典》《高等数学》都是他的案头读物．一数，e 2.718≈，ln 20.693≈．三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）参考答案：不妨设直线AP 的方程为：x =联立11x my x =+ =− 解得：1,P −− 联立221413x my y x =++=，消去x 并整理得：。
广东省广州市执信中学高三数学上学期期末考试试题 理
2015-2016学年度第一学期高三级数学(理)期末考试试卷本试卷分选择题和非选择题两部分满分为150分.考试用时120分钟一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。
）1．命题“若220a b +=，则0a =且0b =”的逆否命题A ．若220a b +≠，则0a ≠且0b ≠ B ．若220a b +≠，则0a ≠或0b ≠ C ．若0a ≠且0b ≠，则220a b +≠ D ．若0a ≠或0b ≠，则220a b +≠ 2．复数||z i =-（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数为 A ．2i - B ．2+i C ．4i - D ．4i + 3．函数()2sin(2)3f x x π=-在区间[0,]4π上的最小值为 A ．1- B．2-C． D ．1 4．数列n a 的前n 项和为223()n S n n n N *=-∈，若5p q -=，则p q a a -=A ．20B ．15C ．10D ．5-5．已知函数21sin(),10(),0x x x f x e x π-⎧-<<=⎨≥⎩，实数a 满足(1)()2f f a +=，则a 的所有可能值为 A． B ．1或 C ．1 D ．1或6．若函数()(1)(01)，且x x f x k a a a a -=-->≠在R 上既是奇函数，又是减函数，则()log ()a g x x k =+的图象是7．若不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域被直线43y kx =+分为面积相等的两部分，则k =A ．73 B ．37 C ．43 D ．348．等比数列}{n a 中，182,4a a ==，函数128()()()()f x x x a x a x a =---L ，则'(0)f ＝A ．62B ．92C ．122D ．15221x x =+是否3n ≤1n n =+x输入开始1n =x输出结束9．在二项式4()2n x x⋅的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为A ．16B ．14C ．13 D ．51210．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是正三角形，则几何体的外接球的表面积为A ．83πB ．163πC ．323π D ．643π11．已知椭圆221:111x C y +=，双曲线22222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，若以1C 的长轴为直径的圆与2C 的一条渐近线交于A 、B 两点，且1C 与该渐近线的两交点将线段AB 三等分，则2C 的离心率为A 5B ．5C 17．217712．在ABC ∆中，5BC =，G 、O 分别为ABC ∆的重心和外心，且5OG BC =uuu r uuu rg ，则ABC ∆是A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．上述三种情况都有可能二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．执行如图所示的程序框图，若输出x 的值为23，则输入的x 值为 ； 14．四个命题：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行 某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1；③某项测量结果ξ服从正态分布2(1,)N σ，(5)0.81P ξ≤=，则(3)0.19P ξ≤-=； ④对于两个分类变量X 与Y 的随机变量2K 的观测值k 来说，k 越小， 判断“X 与Y 有关系”的把握程度越大。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
执信中学2012届高三 数学 测试试题（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上。
2、选择题每小题选出答案后，有2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。
3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4、考生必须保持答题卡的整洁和平整。
第一部分选择题(共40分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、复数20112i +=（ ）A ．2i +B ．1-C ．2i -D ．3 2、设集合{}23,log P a =，{}Q ,a b =，若{}Q=0P I ，则Q=P U （ ） A ．{}3,0 B ．{}3,0,1 C ．{}3,0,2 D ．{}3,0,1,2 3、与函数lg(1)10x y-=的图象相同的函数是（ ）A ．2y = B ．1y x =- C ．1y x =- D ．211x y x -=+4、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若111a =-,376a a +=-,则当n S 取最小值时,n 等于（ ）A ．9B ．8C ．7D ．65、设b 、c 表示两条直线，α、β表示两个平面，下列命题中真命题是（ ） A ．若αα//,c b ⊂，则//b c B ．若,//b b c α⊂，则//c α C ．若//,c ααβ⊥，则c β⊥ D ．若//,c c αβ⊥，则αβ⊥6、已知:230p x x ---≤，:3q x ≤，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件7、若sin cos tan (0)2παααα+=<<，则α∈（ ）A ．(0,)6πB ．(,)64ππC ．(,)43ππD ．(,)32ππ8、如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（ ） A ．24 B ．30 C ．36 D ．42第二部分非选择题(共110分)二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。
(一）必做题（9-13题）9、如果1cos()2A π+=-，那么sin()2A π+= ．10、垂直于直线2610x y -+=且与曲线3231y x x =+-相切的直线方程是 ．11、规定符号“*”表示一种两个正实数之间的运算，即a b a b *=+，则函数()1f x x =*的值域是 ．12、如果一个几何体的三视图如图所示，其中正视图中△ABC 是边长为2的正三角形， 俯视图为正六边形，则该三视图中侧视图的面积为 ．13、观察下列等式:212(1)1x x x x ++=++,22234(1)1232x x x x x x ++=++++,2323456(1)136763x x x x x x x x ++=++++++,242345678(1)1410161916104x x x x x x x x x x ++=++++++++, L L 由以上等式推测:对于n N *∈,若2220122(1)n nn x x a a x a x a x ++=++++L ,则2a = .（二） 选做题（14 - 15题，考生只能从中选做一题）14、将参数方程12cos ,2sin ,x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数,],0[πθ∈）化成普通方程为 ______ ．15、如图，圆O 是ABC ∆的外接圆，过点C 的切线交AB 的延长线于点D，3CD AB BC ===，则AC 的长为 ．正视图侧视图俯视图三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知向量1(sin ,)2m A =u r与(3,sin )n A A =r 共线，其中A 是ABC ∆的内角。
（1）求角A 的大小；（2）若BC=2，求ABC ∆面积S 的最大值． 17．（本小题满分12分）2010年广东亚运会，某运动项目设置了难度不同的甲、乙两个系列，每个系列都有K 和D 两个动作，比赛时每位运动员自选一个系列完成，两个动作得分之和为该运动员 的成绩。
假设每个运动员完成每个系列中的两个动作的得分是相互独立的，根据赛前 训练统计数据，某运动员完成甲系列和乙系列的情况如下表： 甲系列：动作 K D 得分 100 80 40 10概率34 14 34 14乙系列：动作 KD得分 905020概率910 110 910 110现该运动员最后一个出场，其之前运动员的最高得分为118分。
（1）若该运动员希望获得该项目的第一名，应选择哪个系列，说明理由，并求其获得第一名的概率； （2）若该运动员选择乙系列，求其成绩X 的分布列及其数学期望EX ． 18．（本小题满分14分） 如图一，平面四边形ABCD 关于直线AC 对称，60,90,A C ∠=︒∠=︒2CD =．把ABD ∆沿BD 折起（如图二），使二面角C BD A --．对于图二，完成以下各小题：（1）求,A C 两点间的距离； （2）证明：⊥AC 平面BCD ；（3）求直线AC 与平面ABD 所成角的正弦值．19．（本小题满分14分） 已知函数()(af x x a x=+∈R ), ()ln g x x = CBDA图1BCDA图2（1）求函数()()()F x f x g x =+的单调区间； （2）若关于x 的方程()()[2]g x x f x e x=⋅-(e 为自然对数的底数)只有一个实数根， 求a 的值．20．（本小题满分14分）已知直线10x y -+=经过椭圆S ：22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点和一个顶点．（1）求椭圆S 的方程；（2）如图，M ，N 分别是椭圆S 的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线P A 的斜率为k ．①若直线P A 平分线段MN ，求k 的值；②对任意0k >，求证：PA PB ⊥．21．（本小题满分14分） 设数列{}n a 满足：11a =，11(1416n n a a n +=++（1）求2a ，3a ； （Ⅱ）令n b ={}n b （2）已知1()63n n f n a a +=-，求证：1(1)(2)()2f f f n ⋅>L ．参考答案一、CBAD DACC二、9、12； 10、320x y ++=； 11、(1,)+∞； 12、32； 13、(1)2n n +14、()2214(0)x y y -+=≥； 15、37三、解答题：16、（本题满分12分）解：17、（本题满分12分）（I ）若该运动员希望获得该项目的第一名，应选择甲系列．……1分 理由如下：选择甲系列最高得分为100＋40＝140＞118，可能获得第一名；而选择乙系列最高得分为90＋20＝110＜118，不可能获得第一名． ……2分 记“该运动员完成K 动作得100分”为事件A ，“该运动员完成D 动作得40分”为事件B ，则P （A ）＝34，P （B ）＝34． …………4分记“该运动员获得第一名”为事件C ，依题意得 P （C ）＝P （AB ）＋()P AB ＝33134444×＋×＝34． 该运动员获得第一名的概率为34．…………6分（II ）若该运动员选择乙系列，X 的可能取值是50，70，90，110， …………7分 则P （X ＝50）＝111010×＝1100，P （X ＝70）＝191010×＝9100，P （X ＝90）＝911010×＝9100，P （X ＝110）＝991010×＝81100． …………9分X 的分布列为：∴EX ＝50×1100＋70×9100＋90×9100＋110×81100＝104． ……12分18、解：（Ⅰ）取BD 的中点E ，连接CE AE ,， 由CD CB AD AB ==,，得：BD CE BD AE ⊥⊥,AEC ∴∠就是二面角C BD A --的平面角，33cos =∠∴AEC …………………………2分 在ACE ∆中，2,6==CE AEAEC CE AE CE AE AC ∠⋅⋅-+=cos 222243326226=⨯⨯⨯-+= 2=∴AC …………………………4 分（Ⅱ）由22===BD AD AC ，2===CD BC AC∴,222AB BC AC =+,222AD CD AC =+∴︒=∠=∠90ACD ACB …………………………6分,AC BC AC CD ∴⊥⊥，又C CD BC =IAC ∴⊥平面BCD ． …………………………8分 （Ⅲ）方法一：由（Ⅰ）知⊥BD 平面ACE ⊂BD 平面ABD∴平面⊥ACE 平面ABD …………………………10分 平面I ACE 平面AE ABD =，作CF AE ⊥交AE 于F ，则CF ⊥平面ABD ，CAF ∠就是AC 与平面ABD 所成的角， …………………………12分3sin sin 3CE CAF CAE AE ∴∠=∠==． …………………………14分 方法二：设点C 到平面ABD 的距离为h ，∵BCD A ABD C V V --= …………………………10分11112222602223232h ∴⨯⨯︒⋅=⨯⨯⨯⨯ 233h ∴=…………………………12分 于是AC 与平面ABD 所成角θ的正弦为33sin ==AC h θ． …………………………14分 方法三：以CA CD CB ,,所在直线分别为x 轴，y 轴和z 轴建立空间直角坐标系xyz C -，则)0,2,0()0,0,0(),0,0,2(),2,0,0(D C B A ． ………10分设平面ABD 的法向量为n ),,(z y x =，则n 0=⋅AB ， n 0=⋅AD ，⇒022,022=-=-z y z x 取1===z y x ，则n )1,1,1(=， ----------12分 于是AC 与平面ABD 所成角θ的正弦即3323|200|||||sin =⨯++==CA n θ． …………………………14分19、解: 函数()()()ln aF x f x g x x x x=+=++的定义域为()0,+∞. ∴()'211a F x x x=-+22x x ax +-=.① 当140a ∆=+≤, 即14a ≤-时, 得20x x a +-≥,则()'0F x ≥. ∴函数()F x 在()0,+∞上单调递增. ……2分 ② 当140a ∆=+>, 即14a >-时, 令()'0,F x = 得20x x a +-=,解得12110,22x x --+=<=.(ⅰ) 若104a -<≤, 则2102x -+=≤. ∵()0,x ∈+∞, ∴()'0F x >, ∴函数()F x 在()0,+∞上单调递增. …… 4分(ⅱ)若0a >,则10,2x ⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭时, ()'0F x <;x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时, ()'0F x >,∴函数()F x 在区间⎛⎝⎭上单调递减, 在区间⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增. …… 6分 综上所述, 当0a ≤时, 函数()F x 的单调递增区间为()0,+∞;当0a >时, 函数()F x 的单调递减区间为⎛⎝⎭, 单调递增区间为12⎛⎫-++∞ ⎪ ⎪⎝⎭. …… 8分 (2) 解: 令()ln x h x x =, 则()'21ln x h x x-=.令()'0h x =, 得x e =. 当0x e <<时, ()'0h x >; 当x e >时, ()'0h x <.∴函数()h x 在区间()0,e 上单调递增, 在区间(),e +∞上单调递减. ∴当x e =时, 函数()h x 取得最大值, 其值为()1h e e=. …… 10分 而函数()()2222m x x ex a x e a e =-+=-+-,当x e =时, 函数()m x 取得最小值, 其值为()2m e a e =-. …… 12分∴ 当21a e e -=, 即21a e e=+时, 方程()()22g x f x e x =-只有一个根. …… 14分20、解：（1）在直线10x y -+=中令0x =得1y =；令0y =得1x =-1c b ∴==， 22a ∴=则椭圆方程为2212x y +=（2）①(M ,(0,1)N -,M 、N 的中点坐标为(2-，12-)，所以2k = （3）法一：将直线P A 方程y kx =代入2212x y +=，解得x =m =，则 (,)P m mk ，(,)A m mk --，于是(,0)C m ，故直线AB 方程为0()()2mk ky x m x m m m +=-=-+代入椭圆方程得22222(2)280k x k mx k m +-+-=，由2222B A k mx x k +=+，因此2322(32)(,)22m k mk B k k +++(2,2)AP m mk ∴=u u u r ，2322222(32)22(,)(,)2222m k mk mk mk PB m mk k k k k +-=--=++++u u u r 2222222022mk mkAP PB m mk k k -∴=⨯+⨯=++u u u r u u u r g PA PB ∴⊥法二：由题意设0000110(,),(,),(,),(,0)P x y A x y B x y C x --则，Q A 、C 、B 三点共线，010110010,2y y y y x x x x x +∴==-+又因为点P 、B 在椭圆上，222200111,12121x y x y ∴+=+=，两式相减得：01012()PB x x k y y +=-+00110010011001()()[]12()()()PA PB y x x y y x x k k x y y x x y y +++∴=-=-=-+++ PA PB ∴⊥法二：同理由111()1(1)(1)422n n n f n =-=-+ 1211111(1)(1)112222n n n n --+-=+->Q11111111(1)(2)()(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)2244222111(1)111(1)222n n n n f f f n -∴⋅=-+-++-+>-⋅⋅⋅+>L L L法三：可以先用数学归纳法证明加强不等式：22111111(1)(2)()(1)(1)(1)1()444444n n f f f n =---≥-+++L L L。