广州市执信中学2021届高三年级第二次月考(数学) 含答案

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高三第二次月考数学试题(附答案)

高三第二次月考数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数f (x ) ＝ | sin x ＋cos x |的最小正周期是A ．π4B ．π2C ．πD ．2π2．在等差数列｛a n ｝中, a 7=9, a 13=－2, 则a 25= ( ) A －22 B －24 C 60 D 643．若θθθ则角且,02sin ,0cos <>的终边所在象限是A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．在等比数列{a n }中，a 3=3，S 3=9，则a 1=（）A ．12B ．3C ．－6或12D ．3或125．若函数)sin()(ϕω+=x x f 的图象（部分）如图所示，则ϕω和的取值是A ．3,1πϕω==B ．3,1πϕω-==C ．6,21πϕω==D ．6,21πϕω-==6．已知c b a ,,为非零的平面向量．甲：则乙,:,c b c a b a =⋅=⋅甲是乙的（） A ．充分条件但不是必要条件B ．必要条件但不是充分条件C ．充要条件D ．非充分条件非必要条件7．已知O 是△ABC 内一点，且满足→OA·→OB ＝→OB·→OC ＝→OC·→OA ，则O 点一定是△ABC 的 A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心8．函数]),0[)(26sin(2ππ∈-=x x y 为增函数的区间是A ． ]3,0[πB ． ]127,12[ππC ． ]65,3[ππD ． ],65[ππ9．为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π3个单位长度 10．设)(t f y =是某港口水的深度y （米）关于时间t （时）的函数，其中240≤≤t ．下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系：t0 3 6 9 12 15 18 21 24 y1215．112．19．111．914．911．98．912．1经长期观察，函数的图象可以近似地看成函数的图象．下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（]24,0[∈t ）（）A ．t y 6sin312π+=B ．)6sin(312ππ++=t yC ．t y 12sin312π+=D ． )212sin(312ππ++=t y11．在四边形ABCD 中，，，，b a CD b a BC b a AB 3542--=--=+=其中b a 、不共线，则四边形ABCD 是 A ．梯形B ．矩形C ．菱形D ．正方形12．已知－9，a 1，a 2，－1四个实数成等差数列，－9，b 1，b 2，b 3，－1五个实数成等比数列，则b 2(a 2－a 1)＝A ．8B ．－8C ．±8D ．98二、填空题：本大题共4小题，每小题4分,共16分．把答案填在横线上． 13．设α为第四象限的角，若sin3αsin α＝135，则tan2α ＝_____________．14．已知00000000(sin 53cos 23,cos 23cos53),(cos53sin 23,sin 23sin 53)a b ==-，(1,)c t =，c ∥()a b +，则t= .15．已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-,且A,B,C 三点共线，则k= . 16．若数列)}({+∈N n a n 为等差数列，则数列)(321+∈+⋯+++=N n na a a ab nn也为等差数列，类比上述性质，相应地，若数列{c n }是等比数列且)(0+∈>N n c n ，则有数列d n ＝ (n ∈N ＋)也是等比数列．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本题满分12分）化简f (x )＝cos(6k +13π＋2x )＋cos(6k －13π－2x )＋23sin(π3+2x )(x ∈R ，k ∈Z)，并求函数f (x )的值域和最小正周期．18．（本小题满分12分）已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d >0，且第二项，第五项，第十四项分别是等比数列{b n }的第二项，第三项，第四项． ⑴求数列{a n }与{b n }的通项公式．⑵设数列{c n }对任意正整数n ，均有1332211+=+⋯⋯+++n nn a b c b c b c b c ，求c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2005的值．19．(本题满分12分）A 、B 、C 为△ABC 的三内角，且其对边分别为a 、b 、c ．若m ＝(－cos A 2，sin A 2)，n ＝(cos A 2，sin A 2)，且m ·n ＝12．（1）求A ；（2）若a ＝23，三角形面积S ＝3，求b +c 的值．20．（本题满分12分）已知)0)(sin ,(cos ),sin ,(cos πβαββαα<<<==b a．⑴求证：b a b a-+与互相垂直；⑵若b k a b a k-+与大小相等，求αβ-（其中k 为非零实数）．21．（本小题满分12分）正数数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝a n +1． (1) 试求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n ·a n +1，{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n <12．22．(本题满分14分)设关于x的函数2=--+的最小值为()y x a x a2cos2cos(21)f a．f a的表达式；⑴写出()⑵试确定能使1f a=的a值，并求出此时函数y的最大值．()2高三第二次月考数学试题参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）：二、填空题（每小题4分，共16分）(13) 34- (14) 3 (15) 23- (16) 1234n n C C C C C三、解答题（共74分，按步骤得分）17．解：)23sin(32)232cos()232cos()(x x k x k x f +π+-π-π++π+π= )23sin(32)23cos(2x x +π++π=x 2cos 4=所以函数f (x )的值域为[]4,4-，最小正周期πωπ==2T 。

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广东省广州市执信中学2021届高三数学2月月考试题理（含解析）一、选择题（共12题，每题5分，共60分，每道题有且只有一个选项是正确的） 1.设集合{}2|log 2,A x x =≤{5,3,2,4,6}B =--，则A B =（）A. {2,4}B. {2}C. {2,4,6}D.{5,3,2,4}--【答案】A 【解析】【分析】计算出集合A ，再根据交集的定义计算可得. 【详解】解：{}2|log 2A x x =≤，{}|04A x x ∴=<≤，{5,3,2,4,6}B =--，{}2,4A B ∴=.故选：A .【点睛】本题考查对数不等式以及交集的运算，属于基础题. 2.若复数z 满足()12z i i +=，其中i 为虚数单位，则z =（） A. 1i -B. 1i +C. 1i -+D. 1i --【答案】B 【解析】【分析】根据复数的除法，求出复数z 即可. 【详解】复数z 满足()12z i i +=，211iz i i∴==++，故本题选B.【点睛】本题考查复数的四则运算，要求掌握复数的除法运算，比较基础.3.《张丘建算经》卷上有题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈”，其意思为：现一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的步（不变的常量），第1天织了五尺，一个月（按30天计算）共织九匹三丈（一匹=四丈，一丈=十尺），则该女子第30天比第1天多织布的尺数为（） A. 16 B. 17C. 19D. 21【答案】A 【解析】【分析】设该女子第一天织布为1a ，利用等差数列即可得到结论.【详解】记该女子一个月中的第n 天所织布的尺数为n a ，则1303030()3902a a S +==，13026a a +=，则3021a =，30116a a -=.故选：A ．【点睛】本题主要考查等差数列计算，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用，属于基础题．4.已知圆22(7)(4)9x y -++=与圆22(5)(6)9x y ++-=关于直线l 对称，则直线l 的方程是（）A. 56110x y +-=B. 6510x y --=C. 65110x y +-=D. 5610x y -+=【答案】B 【解析】【分析】根据两圆的圆心距大于两圆的半径之和，可得两圆外离，把两个圆的方程相减可得对称轴l 的方程.【详解】∵两圆22(7)(4)9x y -++=与圆22(5)(6)9x y ++-=关于直线l 对称，且两圆的6=>，∴两圆外离，将两个圆的方程相减可得242040x y --=，即6510x y --=. 故直线l 的方程为6510x y --=. 故选：B.【点睛】本题考查两圆关于直线对称的性质，把两个圆的方程相减可得此直线的方程，属于基础题.5.如图，一个半圆柱内部截去某几何体后得到一个新几何体，其三视图如图所示，则该新几何体的体积为（）正视图侧视图俯视图A. 1683π-B. 1643π-C. 84π-D. 843π+【答案】A 【解析】【分析】由三视图知，该几何体是一个半圆柱挖去一个三棱锥得到，利用体积公式即得解.【详解】由三视图知，该几何体是一个半圆柱挖去一个三棱锥得到，211124424232V π=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯16=83π-故选：A【点睛】本题考查了组合体的三视图以及空间几何体的体积，考查了学生空间想象，数学运算的能力，属于中档题.6.若61()ax x-的展开式中常数项等于20-，则a =（）A.12B. 12-C. 1D. 1-【答案】C 【解析】【分析】在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求出r 的值，即可求得常数项，再根据常数项等于20-，求得实数a 的值．【详解】解：∵61()ax x-的展开式中的通项公式为6616(1)rr r r r r T C a x ---+=-6626(1)r r r r C a x --=-，令620r -=得3r =，可得常数项为333361C ()2020ax a x ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，得1a =，故选：C ．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．7.已知函数()y f x =的图象如图所示，则该函数可能是（）A. sin xy x=B. cos xy x=C. cos xy x=D.sin x y x=【答案】B 【解析】【分析】由图象关于原点对称知函数为奇函数，A 、C 中函数为偶函数排除，B 、D 选项中函数为奇函数，再根据函数的单调性确定可能的函数.【详解】由图象可知，该图象关于原点对称，故函数()y f x =为奇函数.A 选项，()()()sin sin x xf x f x xx--===-，且定义域为()(),00,-∞+∞，∴该函数为偶函数，不符合题意，A 错误.B 选项，()()()cos cos x xf x f x xx--==-=--，且定义域为()(),00,-∞+∞，∴该函数为奇函数.易知当π02x <<时，()0f x >；当π3π22x <<时，()0f x <；当3π2π2x <<时，()0f x >，符合题意，B 正确. C 选项，()()()cos cos x xf x f x xx--===-，且定义域为()(),00,-∞+∞，∴该函数为偶函数，不符合题意，C 错误.D 选项，()()()sin sin x x f x f x xx--==-=--，且定义域()(),00,-∞+∞，∴该函数为奇函数.易知当0x >时，()0f x ≥；当0x <时，()0f x ≤，不符合题意，D 错误. 故选：B .【点睛】本题考查函数图象的辨析，考查函数的基本性质，涉及三角函数的单调性，属于中档题.8.已知函数()ln af x x x=+，直线3y x =-+与曲线()y f x =相切，则a =（） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】【分析】设切点为()00,x y ,利用导数的几何意义与()00,x y 在()ln af x x x=+与3y x =-+上联立求解即可.【详解】设切点为()00,x y ,则()21'af x x x=-,又直线3y x =-+与曲线()y f x =相切故20000000113ln a x x y x a y x x ⎧-=-⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=+⎪⎩,消去0y 有0000003ln 3ln a a x x x x x x -+=+⇒=-+-,代入第一个式子有 ()0000013ln 2ln 20x x x x x --+-=-⇒+-=.易得01x =.代入20011ax x -=-有2a =.故选：B【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的运用,需要根据在某点处导函数的值等于在该点处切线的斜率以及切点在切线方程与函数式上联立求解即可.属于中等题型.9.某同学用“随机模拟方法”计算曲线ln y x =与直线,0x e y ==所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了10个在区间[1，e ]上的均匀随机数x i 和10个在区间[0，1]上的均匀随机数(*1i y i N ∈，10)i ≤≤，其数据如下表的前两行．由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值为（） A. 3(1)5e - B.4(1)5e - C.1(1)2e - D.2(1)3e - 【答案】A 【解析】【分析】根据“随机模拟方法”，有序数对(,)i i x y 落在曲线ln y x =与直线,0x e y ==所围成的曲边三角形的内部的个数与总个数的比值约等于曲边三角形面积与直线,1,0,1x e x y y ====所围成的矩形的面积之比.【详解】用计算机分别产生在区间[1，e ]上均匀随机数x i ，在区间[0，1]上的均匀随机数i y ，形成有序数对(,)i i x y 所在区域为直线,1,0,1x e x y y ====所围成的矩形及其内部区域，如图所示，面积1e -，作图：随机产生的十个点，当ln i i y x <时，该点落在曲边三角形内部，共有6个，设曲边三角形面积为S ，则6110S e ≈-，所以3(1)5e S -≈. 故选：A【点睛】此题考查用“随机模拟方法”解决不规则多边形面积问题，关键在于弄清这种模拟方式，两个区域面积之比近似等于落在该区域点的个数之比.10.在ABC 中，6AB =，8BC =，AB BC ⊥，M 是ABC 外接圆上一动点，若AM AB AC λμ=+，则λμ+的最大值是（）A. 1B.54C.43D. 2【答案】C 【解析】【分析】以AC 的中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设M 的坐标为(5cos ,5sin )θθ，由1824(5cos 5,5sin )(,)(10,0)55AM AB AC λμθθλμ=+∴+=+， 51+=sin()62λμθφ∴++可得利用正弦函数的图像及性质即得解.【详解】以AC 的中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设M 的坐标为(5cos ,5sin )θθ，过点B 作 BD x ⊥轴42418sin ,6sin ,cos 555A AB BD AB A AD AB A ==∴====7724(,)555OD AO AD B ∴=-=∴-又1824(5,0),(5,0)(,),(10,0),(5cos 5,5sin )55A B AB AC AP θθ-∴===+1824(5cos 5,5sin )(,)(10,0)55AM AB AC λμθθλμ=+∴+=+13125=cos sin ,sin 28224μθθλθ∴-+=12151+=cos +sin =sin()23262λμθθθφ∴+++当sin()=1θφ+时，max 514(+)623λμ=+= 故选：C【点睛】本题考查了向量的坐标运算和向量的数乘运算和正弦函数的图像和性质，以及直角三角形问题，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.11.已知函数()x xf x xe e =-，函数()g x mx m =-（0m >），若对任意的1[22]x ∈-，，总存在2[22]x ∈-，使得12()()f x g x =，则实数m 的取值范围是（） A. 21[3,]3e -- B. 2[,)e +∞C. 21[,]3eD. 1[,)3+∞【答案】B 【解析】【分析】由题意，可得()f x 在[2,2]-的值域包含于函数()g x 的值域，运用导数和函数的单调性和值域，即可求解.【详解】由题意，函数()(1)x f x e x =-的导数为()xf x xe '=，当0x >时，()0f x '>，则函数()f x 为单调递增；当0x <时，()0f x '<，则函数()f x 为单调递减，即当0x =时，函数()f x 取得极小值，且为最小值1-，又由()2223,(2)f e f e --=-=，可得函数()f x 在[2,2]-的值域2[1,]e -，由函数()(0)g x mx m m =->在[2,2]-递增，可得()g x 的值域[3,]m m -，由对于任意的1[2,2]x ∈-，总存在2[2,2]x ∈-，使得12()()f x g x =，可得2[1,][3,]e m m -⊆-，即为231m m e-≤-⎧⎨≥⎩，解得2m e ≥，故选B. 【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，以及导数在函数中的应用，其中解答中转化为()f x 在[2,2]-的值域包含于函数()g x 的值域，运用导数和函数的单调性和值域是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.12.已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的左，右焦点分别为1F ，2F ，点A 为双曲线右支上一点，线段1AF 交左支于点B .若22AF BF ⊥，且1213BF AF =，则该双曲线的离心率为（）D. 3【答案】B 【解析】【分析】设121BF AF 3==m,由定义得2BF m 2a,AB 2m 2a,=+=+在三角形AB 2F 中由勾股定理，求得m=2a3，在B 12F F 中运用余弦定理即可求解. 【详解】设121BF AF 3==m,，由双曲线定义得2BF m 2a =+，又A 12F AF 2a,-=所以AB=2m+2a,22AF BF ⊥,∴22222AB BF AF =+,即()()()2222m 2a m 2a 3m +=++，解m=22222122a 8a 4c BF 2433a,cos ABF cos F BF ,2a 8a 3AB 5233∠∠⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴===-=-⨯⨯解得故选B.【点睛】本题考查双曲线定义，简单几何性质，熟记双曲线定义，熟练解三角形正确运算是关键，是难题.二、填空题（共4题，每题5分，共20分）13.已知(1,2)a =，(4,)b k =，若0a b ⋅=，则k =________．【答案】-2 【解析】【分析】由数量积的坐标运算即得解.【详解】由(1,2)a =，(4,)b k =，4202a b k k ∴⋅=+=∴=- 故答案为：-2【点睛】本题考查了向量数量积的坐标运算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.14.由方程||||2x y +=确定曲线所围成的区域的面积是________．【答案】8 【解析】【分析】在平面直角坐标系下画出||||2x y +=的图象，为边长为22的正方形，即得解.【详解】在平面直角坐标系下画出||||2x y +=的图象，如图所示，为边长为22的正方形，故2(22)8S == 故答案为：8【点睛】本题考查方程的曲线围成的面积，考查了学生数形结合，数学运算的能力，属于基础题.15.在《九章算术》中，将底面为直角三角形，侧棱垂直于底面的三棱柱称之为堑堵，如图，在堑堵111ABC A B C -中，AB BC =，1A A AB >，堑堵的顶点1C 到直线1A C 的距离为m ，1C 到平面1A BC 的距离为n ，则mn的取值范围是________. 【答案】23(2)3. 【解析】【分析】设1AB =，1AA a =，利用等面积法和等体积法求出m ，n 关于a 的不等式，根据a 的范围得出mn的值．【详解】设1AB BC ==，1(1)AA a a =>，则2AC =212AC a =+，211A B a =+B 到平面11ACC A 的距离为22． 1112122AC CC a m AC a ⋅∴==+，1211122A BCa S A B BC +=⨯⨯=， 1112113C A BCA BC a V S n -+∴=⋅=，又1111111211223326C A BC B A C C A C C aV V S a --===⨯=， 21n a ∴=+，222222222m a n a a +∴==-++1a >，2422232a ∴<-<+， 232mn∴<<．故答案为：23,23⎛⎫ ⎪ ⎪⎝．【点睛】本题考查了空间距离的计算，棱锥的体积公式，属于中档题．16.有一些正整数排成的倒三角，从第二行起，每个数字等于“两肩”数的和，最后一行只有一个数M ，那么M =________．【答案】2816 【解析】【分析】从第一行为1，2和1，2，3和1，2，3，4入手，结合图形归纳出结果，即得解. 【详解】若第一行为1，2，则()223212M -==+⨯；若第一行为1，2，3，则()328312M -==+⨯；若第一行为1，2，3，4，则()4220412M -==+⨯；…归纳可得：若第一行为1，2，3，4，…，n ，则()212n M n -=+⨯．当10n =时，“金字数”81122816M =⨯=．【点睛】本题考查了推理与证明中的归纳推理，考查了学生逻辑推理，数学运算能力，属于中档题.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）（一）必考题：共60分．17.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知cos sin b a C A =，点M 是BC 的中点. （Ⅰ）求A 的值；（Ⅱ）若a =AM 的最大值.【答案】（Ⅰ）3A π=；（Ⅱ）32. 【解析】【分析】（1）由正弦定理，已知条件等式化边为角，结合两角和的正弦公式，可求解；（2）根据余弦定理求出,b c 边的不等量关系，再用余弦定理把AM 用,b c 表示，即可求解；或用向量关系把AM 用,AB AC 表示，转化为求||AM 的最值.【详解】（Ⅰ）由已知及正弦定理得sin sin cos sin B A C C A =+. 又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，且sin 0C ≠，∴tan A A π=<<，即3A π=.（Ⅱ）方法一：在ABC ∆中，由余弦定理得223b c bc +-=，∵222b c bc +≤，当且仅当b c =时取等号，∴226b c +≤.∵AM 是BC 边上的中线，∴在ABM ∆和ACM ∆中，由余弦定理得，2232cos 4c AM AM AMB =+-∠，①2232cos 4b AM AM AMC =+-∠.② 由①②，得22239244b c AM +=-≤，当且仅当b c ==AM 取最大值32. 方法二：在ABC ∆中，由余弦定理得223b c bc +-=，∵222b c bc +≤，当且仅当b c =时取等号，∴226b c +≤.∵AM 是BC 边上的中线，∴2AB ACAM +=，两边平方得 ()22214AM b c bc =++，∴22239244b c AM +=-≤，当且仅当3b c ==时，AM 取最大值32. 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理在三角形中应用，考查基本不等式和向量的模长公式的灵活运用，是一道综合题.18.如图，三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥侧面11BB C C ，已知13BCC π∠=，1BC =，12AB C C ==，点E 是棱1C C 的中点．（1）求证：1C B ⊥平面ABC ；（2）在棱CA 上是否存在一点M ，使得EM 与平面11A B E 所成角的正弦值为21111，若存在，求出CMCA的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）存在，13CM CA =或523CM CA = 【解析】【分析】（1）利用余弦定理解得13BC 结合勾股定理得到1BC BC ⊥，证得AB ⊥侧面11BB C C ， 1AB BC ⊥，继而可证1C B ⊥平面ABC ；（2）以B 为原点，分别以BC ，1BC 和BA 的方向为x ，y 和z 轴的正方向建立空间直角坐标系，假设存在点M ，设(),,M x y z ，由EM 与平面11A B E 所成角的正弦值为211，可求解. 【详解】（1）由题意，因为1BC =，12CC =，13BCC π∠=，利用余弦定理2221112cos 60BC BC CC BC CC =+-⨯︒，解得13BC =，又22211BC BC CC ∴+=，1BC BC ∴⊥，AB ⊥侧面11BB C C ，1AB BC ∴⊥．又AB BC B ⋂=，AB ，BC ⊂平面ABC ，∴直线1C B ⊥平面ABC ．（2）以B 为原点，分别以BC ，1BC 和BA 的方向为x ，y 和z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则有(0,0,2)A ，1(13,0)B -，132E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，1(13,2)A -，设平面11A B E 的一个法向量为(,,)m x y z =，11(0,0,2)A B =-，133,22A E ⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭， 11100m A B m A E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，2033202z x y z -=⎧⎪∴⎨-=⎪⎩，令3y =1x =，(1,3,0)m ∴=，假设存在点M ，设(),,M x y z ，CM CA λ=，[0,1]λ∈，(1,,)(1,0,2)x y z λ∴-=-，(1,0,2)M λλ∴-，13,22EM λλ⎛⎫∴=- ⎪ ⎪⎝⎭利用平面11A B E 的一个法向量为(1,3,0)m =，221321122132424λλλ--∴=⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，得2693850λλ-+=．即(31)(235)0λλ--=，13λ∴=或523λ=，13CM CA ∴=或523CM CA =．【点睛】本题考查了空间向量和立体几何综合问题，考查了学生逻辑推理，空间向量和数学运算能力，属于中档题.19.椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>经过点(2,0)A -,且离心率为22.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）过点任作一条直线与椭圆C 交于不同的两点,M N .在轴上是否存在点，使得？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（I ）22142x y +=（II ）存在点(1,0)Q ，使得180PQM PQN ∠∠+=.【解析】试题分析：（1）由椭圆的标准方程和几何性质，即可求解,a b 的值，得到椭圆的标准方程；（2）若存在点(,0)Q m ，由题意，当直线QM 和QN 的斜率存在,分别设为1k ,2k ，等价于120k k +=，直线l 的斜率存在，故设直线l 的方程为(4)y k x =-.由22(4){142y k x x y =-+= ，得2222(21)163240k x k x k +-+-=，得1212,x x x x +，由120k k +=，即可求得m 的值．试题解析：（I ）22142x y +=（II ）若存在点(),0Q m ，使得180PQM PQN ∠∠+=︒，则直线QM 和QN 的斜率存在,分别设为1k ,2k . 等价于120k k +=.依题意，直线l 的斜率存在，故设直线l 的方程为()4y k x =-.由()224{142y k x x y =-+=，得()222221163240k x k x k +-+-=.因为直线l 与椭圆C 有两个交点，所以0∆>. 即()()()2222164213240k k k -+->，解得216k <. 设()11,M x y ，()22,N x y ,则21221621k x x k +=+，212232421k x x k -=+，()()11224,4,y k x y k x =-=-令1212120y y k k x m x m+=+=--， ()()12210,x m y x m y -+-=当时，()()12122480x x m x x m -+++=，化简得，()281021m k -=+，所以1m =. 当0k =时，也成立.所以存在点()1,0Q ，使得180PQM PQN ∠∠+=.点睛：本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的综合问题，其中解答总涉及到椭圆的几何性质及其应用，直线与椭圆的位置关系的综合应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，推理与运算能力，此类问题的解答中，把直线方程代入椭圆的方程，转化为方程的根与系数的关系及韦达定理的应用是解答的关键．20.山东省2021年高考将实施新的高考改革方案.考生的高考总成绩将由3门统一高考科目成绩和自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目成绩组成，总分为750分.其中，统一高考科目为语文、数学、外语，自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目是从物理、化学、生物、历史、政治、地理6科中选择3门作为选考科目，语、数、外三科各占150分，选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分.根据高考综合改革方案，将每门等级考试科目中考生的原始成绩从高到低分为A 、B +、B 、C +、C 、D +、D 、E 共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%.等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将A 至E 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到91-100、81-90、71-80，61-70、51-60、41-50、31-40、21-30八个分数区间，得到考生的等级成绩. 举例说明.某同学化学学科原始分为65分，该学科C +等级的原始分分布区间为58～69，则该同学化学学科的原始成绩属C +等级.而C +等级的转换分区间为61～70，那么该同学化学学科的转换分为：设该同学化学科的转换等级分为x ，696570655861xx --=--，求得66.73x ≈.四舍五入后该同学化学学科赋分成绩为67.（1）某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布2(60,12)N ξ.（i ）若小明同学在这次考试中物理原始分为84分，等级为B +，其所在原始分分布区间为82～93，求小明转换后的物理成绩；（ii ）求物理原始分在区间(72,84)的人数；（2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取4人，记X 表示这4人中等级成绩在区间[61,80]的人数，求X 的分布列和数学期望.（附：若随机变量2(,)N ξμσ，则()0.682P μσξμσ-<<+=，()220.954P μσξμσ-<<+=，()330.997P μσξμσ-<<+=）【答案】(1)（i ）83.;（ii ）272.(2)见解析. 【解析】【分析】（1）根据原始分数分布区间及转换分区间，结合所给示例，即可求得小明转换后的物理成绩；根据正态分布满足()260,12N ，结合正态分布的对称性即可求得()72,84内的概率，根据总人数即可求得在该区间的人数．（2）根据各等级人数所占比例可知在区间[]61,80内的概率为25，由二项分布即可求得X 的分布列及各情况下的概率，结合数学期望的公式即可求解．【详解】（1）（i ）设小明转换后的物理等级分为x ，938490848281xx --=--，求得82.64x ≈.小明转换后的物理成绩为83分；（ii ）因为物理考试原始分基本服从正态分布()260,12N ，所以(7284)(6084)(6072)P P P ξξξ<<=<<-<<11(3684)(4872)22P P ξξ=<<-<< ()10.9540.6822=- 0.136=.所以物理原始分在区间()72,84的人数为20000.136272⨯=（人）；（2）由题意得，随机抽取1人，其等级成绩在区间[]61,80内的概率为25，随机抽取4人，则2~4,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭. ()438105625P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()31423216155625P X C ⎛⎫==⋅⋅=⎪⎝⎭， ()222423216255625P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()31342396355625P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()421645625P X ⎛⎫===⎪⎝⎭.X 的分布列为数学期望()28455E X =⨯=. 【点睛】本题考查了统计的综合应用，正态分布下求某区间概率的方法，分布列及数学期望的求法，文字多，数据多，需要细心的分析和理解，属于中档题． 21.已知函数()()1xf x alnx x e =--，其中a 为非零常数．()1讨论()f x 的极值点个数，并说明理由；()2若a e >，()i 证明：()f x 在区间()1,+∞内有且仅有1个零点；()ii 设0x 为()f x 的极值点，1x 为()f x 的零点且11x >，求证：0012x lnx x +>．【答案】（1）见解析；（2）（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析. 【解析】【分析】()1先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系，对a 进行分类讨论即可求解函数的单调性，进而可确定极值，()()2i 转化为证明()'0f x =只有一个零点，结合函数与导数知识可证；()ii 由题意可得，()()0100f x f x ⎧=⎪⎨='⎪⎩，代入可得，()012011010x x a x e alnx x e ⎧-=⎪⎨--=⎪⎩，结合函数的性质可证．【详解】解：()1解：由已知，()f x 的定义域为()0,+∞，()2x xa a x e f x xe x x-=-='， ①当0a <时，20x a x e -<，从而()'0f x <，所以()f x 在()0,+∞内单调递减，无极值点；②当0a >时，令()2xg x a x e =-，则由于()g x 在[)0,+∞上单调递减，()00g a =>，(10ga a =-=-<，所以存在唯一的()00,x ∈+∞，使得()00g x =，所以当()00,x x ∈时，()0g x >，即()'0f x >；当()0,x x ∈+∞时，()0g x <，即()'0f x <，所以当0a >时，()f x 在()0,+∞上有且仅有一个极值点.综上所述，当0a <时，函数()f x 无极值点；当0a >时，函数()f x 只有一个极值点；()2证明：()i 由()1知()2xa x e f x x-'=．令()2xg x a x e =-，由a e >得()10g a e =->，所以()0g x =在()1,+∞内有唯一解，从而()'0f x =在()0,+∞内有唯一解，不妨设为0x ，则()f x 在()01,x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减，所以0x 是()f x 的唯一极值点．令()1h x lnx x =-+，则当1x >时，()1'10h x x =-<，故()h x 在()1,+∞内单调递减，从而当1x >时，()()10h x h <=，所以1lnx x <-．从而当a e >时，1lna >，且()()()()()1110lna f lna aln lna lna ea lna lna a =--<---=又因为()10f =，故()f x 在()1,+∞内有唯一的零点．()ii 由题意，()()0100f x f x ⎧=⎪⎨='⎪⎩即()012011010x x a x e alnx x e ⎧-=⎪⎨--=⎪⎩，从而()0120111x x x e lnx x e =-，即1011201x x x lnx e x --=．因为当11x >时，111lnx x <-，又101x x >>，故10112011x x x e x x --<-，即1020x x e x -<，两边取对数，得1020x x lne lnx -<，于是1002x x lnx -<，整理得0012x lnx x +>．【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值问题，体现了转化的思想方法，还综合考查了函数与导数的综合应用，属于难题．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22.已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的正半轴重合，且长度单位相同，曲线C的方程是)4πρθ=-，直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0απ≤<），设(1,2)P ，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点. （1）当0α=时，求AB 的长度；（2）求22PA PB +的取值范围.【答案】（1）2；（2）(]6,14.【解析】分析：（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，当0α=时，直线:2l y =，代入曲线C 可得11x +=±，解得0x =或2-，从而可得2AB =；（2）将12x tcos y tsin αα=+⎧⎨=+⎩代入到()()22112x y ++-=得，()24cos 2sin 30t t αα+++=，利用韦达定理，结合直线参数方程的几何意义，利用辅助角公式以及三角函数的有界性可得结果.详解：（1）曲线C的方程是4πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭，化为2ρθθ⎫=⎪⎪⎝⎭ 化为22sin 2cos )ρρθρθ=-，∴2222x y y x +=-曲线C 的方程为()()22112x y ++-=当0α=时，直线:2l y =代入曲线C 可得11x +=±，解得0x =或2- ∴2AB =.（2）将12x tcos y tsin αα=+⎧⎨=+⎩代入到()()22112x y ++-=得， ()24cos 2sin 30t t αα+++=由0∆>，得()24cos 2sin 120αα+-> 化简得()23sin 15αφ<+≤（其中tan 2φ=）， ∴()12124cos 2sin ,3t t t t αα+=-++= ∴()22222121212||2PA PB t t t t t t +=+=+- ()()224cos 2sin 620sin 6αααφ=+-=+- ∴22||PA PB + (]6,14∈. 点睛：参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如22cos sin 1αα+=等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，222tan x y y xρθ⎧+=⎪⎨=⎪⎩等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．23.已知函数()2f x x a a =-+，()1g x x =+.（Ⅰ）当1a =时，解不等式()()3f x g x -≤；（Ⅱ）当x ∈R 时，()()4f x g x +≥恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭；（Ⅱ）[)1,+∞. 【解析】【分析】（Ⅰ）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求.（Ⅱ）利用绝对值三角不等式求得()()f x g x +的最小值为12a a ++，()()4f x g x +≥等价于124a a ++≥，分类讨论，求得a 的取值范围.【详解】（Ⅰ）当1a =时，不等式()()3f x g x -≤，等价于111x x --+≤；当1x ≤-时，不等式化为()()111x x --++≤，即21≤，解集为∅；当11x -<<时，不等式化为()()111x x ---+≤，解得112x -≤<；当1x ≥时，不等式化为()()111x x --+≤，即21-≤，解得1x ≥；综上，不等式的解集为1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. （Ⅱ）当x ∈R 时，()()2112f x g x x a a x x a x a +=-+++≥---+12a a =++， ()()4f x g x +≥等价于124a a ++≥，若1a <-，则()124a a -++≥，∴a ∈∅；若1a ≥-，则124a a ++≥，∴1a ≥.综上，实数a 的取值范围为[)1,+∞.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，函数恒成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想.。

广东省广州市执信中学2024届高三下学期教学情况检测(二) 数学试题【含答案】

执信中学2023~2024学年度高三教学情况检测（二）数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.本卷满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}51A x x =-<≤，{}29B x x =≤，则A B ⋃=（）A ．[)3,1-B ．[]3,1-C ．(]5,3-D ．[]3,3-2．已知复数z 满足(1)|1|z i +=-，则复数z 的共轭复数为（）A ．1i-+B ．1i--C ．1i+D ．1i-3．在等比数列{}n a 中，“12a a >”是“36a a >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．我国油纸伞的制作工艺巧妙．如图（1），伞不管是张开还是收拢，伞柄AP 始终平分同一平面内两条伞骨所成的角BAC ∠，且AB AC =，从而保证伞圈D 能够沿着伞柄滑动．如图（2），伞完全收拢时，伞圈D 已滑动到D ¢的位置，且A 、B 、D ¢三点共线，40cm AD '=，B 为AD '的中点，当伞从完全张开到完全收拢，伞圈D 沿着伞柄向下滑动的距离为24cm ，则当伞完全张开时，BAC ∠的余弦值是（）A ．1725-B ．25-C ．35-D ．825-5．已知方程220Ax By Cxy Dx Ey F +++++=，其中A B C D E F ≥≥≥≥≥．现有四位同学对该方程进行了判断，提出了四个命题：甲：可以是圆的方程；乙：可以是抛物线的方程；丙：可以是椭圆的标准方程；丁：可以是双曲线的标准方程．其中，真命题有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>C 的一条渐近线与圆22(2)(3)1x y -+-=交于A ，B 两点，则||AB =（）A B C D 7．已知函数()()sin 2cos 0,0f x A x x A ωωω=+>>的对称轴方程为()ππZ 62k x k =+∈，且函数()()g x f x a =-在[]()*0,πN n n ∈内恰有2023个零点，则满足条件的有序实数对(),a n （）A ．只有2对B ．只有3对C ．只有4对D ．有无数对8．已知实数a ，b 满足0a b >>，且a b a b =，e 为自然对数的底数，则（）A ．1eb >B ．2ea b +>C ．1e a a a -<D ．1ee a a -<二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．百年大计，教育为本.十四五发展纲要中，教育作为一个专章被提出.近日，教育部发布2020年全国教育事业统计主要结果.其中关于高中阶段教育（含普通高中、中等职业学校及其他适龄教育机构）近六年的在校规模与毛入学率情况图表及2020年高中阶段教育在校生结构饼图如下，根据图中信息，下列论断正确的有（）（名词解释：高中阶段毛入学率≡在校生规模÷适龄青少年总人数×100%）A ．近六年，高中阶段在校生规模与毛入学率均持续增长B ．近六年，高中阶段在校生规模的平均值超过4000万人C ．2019年，未接受高中阶段教育的适龄青少年不足420万D ．2020年，普通高中的在校生超过2470万人10．如图，过点(,0)(0)C a a >的直线AB 交抛物线22(0)y px p =>于A ，B 两点，连接AO 、BO ，并延长，分别交直线x a =-于M ，N 两点，则下列结论中一定成立的有（）A ．//BM ANB ．以AB 为直径的圆与直线x a =-相切C ．AOB MONS S =△△D ．24MCN ANC BCMS S S =⋅△△△11．素描是使用单一色彩表现明暗变化的一种绘画方法，素描水平反映了绘画者的空间造型能力．“十字贯穿体”是学习素描时常用的几何体实物模型，如图是某同学绘制“十字贯穿体”的素描作品．“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）．若该同学绘制的“十字贯穿体”由两个底面边长为2，高为6的正四棱柱构成，则（）A ．一个正四棱柱的某个侧面与另一个正四棱柱的两个侧面的交线互相垂直B ．该“十字贯穿体”的表面积是112-C ．该“十字贯穿体”的体积是162483-D ．一只蚂蚁从该“十字贯穿体”的顶点A 出发，沿表面到达顶点B 的最短路线长为43+三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．如图，,BC DE 是半径为3的圆O 的两条直径，2BF FO = ，则FD FE ⋅=．13．华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混浊”的数学定义：由此发展的混浊理论在生物学、经济学和社会学领域都有重要作用，在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设()f x 是定义在R 上的函数，对于x ∈R ，令()1(1,2,3,)n n x f x n -== ，若存在正整数k 使得0k x x =，且当0j k <<时，0j x x ≠，则称0x 是()f x 的一个周期为k 的周期点．若()1e x f x -=，写出一个()f x 周期为1的周期点．14．有n 个编号分别为1，2，…，n 的盒子，第1个盒子中有2个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到白球的概率是，从第n个盒子中取到白球的概率是．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．如图，在四棱锥P ABCD -中，,2BC AD AD BC =∥，M 是棱PD 上靠近点P 的三等分点．(1)证明：//PB 平面MAC ；(2)设平面PAB 与平面PCD 的交线为l ，若平面PAD ⊥平面,,ABCD AB AD PA AD ⊥⊥，22PA AD AB ===，求l 与平面MAC 所成角的正弦值．16．为了调查居民对垃圾分类的了解程度，某社区居委会从A 小区与B 小区各随机抽取300名社区居民（分为18-40岁、41岁-70岁及其他人群各100名）参与问卷测试，按测试结果将居民对垃圾分类的了解程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分），并将问卷得分不低于60分绘制频数分布表如下分组A 小区频数B 小区频数18-40岁人群603041-70岁人群8090其他人群3050假设用频率估计概率，所有居民的问卷测试结果互不影响．(1)从A 小区随机抽取一名居民参与问卷测试，估计其对垃圾分类比较了解的概率；(2)从A 、B 小区41-70岁人群中各随机抽取一名居民，记其对垃圾分类比较了解的居民人数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望；(3)设事件E 为“从A 小区的三个年龄组随机抽取两组，且每个年龄组各随机抽取一名居民，则这两名居民均为对垃圾分类比较了解”，设事件F 为“从B 小区的三个年龄组随机抽取两组，且每个年龄组各随机抽取一名居民，则这两名居民均为对垃圾分类比较了解”，试比较事件E 发生的概率()P E 与事件F 发生的概率()P F 的大小，并说明理由．17．双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左顶点为A ，焦距为4，过右焦点F 作垂直于实轴的直线交C 于B 、D 两点，且ABD △是直角三角形．(1)求双曲线C 的方程；(2)M 、N 是C 右支上的两动点，设直线AM 、AN 的斜率分别为1k 、2k ，若122k k =-，求点A 到直线MN 的距离d 的取值范围．18．已知函数()1x af x x e=-+（,a R e ∈为自然对数的底数）（1）若曲线()y f x =在点()1,()f x 处的切线平行于x 轴，求a 的值；（2）求函数()f x 的极值；（3）当1a =时，若直线:1l y kx =-与曲线()y f x =没有公共点，求k 的最大值.19．若无穷数列{}n a 的各项均为整数．且对于*,i j ∀∈N ，i j <，都存在k j >，使得k j i j i a a a a a =--，则称数列{}n a 满足性质P ．(1)判断下列数列是否满足性质P ，并说明理由．①n a n =，1n =，2，3，…；②2n b n =+，1n =，2，3，…．(2)若数列{}n a 满足性质P ，且11a =，求证：集合{}*3n n a ∈=N 为无限集；(3)若周期数列{}n a 满足性质P ，求数列{}n a 的通项公式．1．C【分析】解29x ≤得出集合B ，然后根据并集的运算，即可得出答案.【详解】解29x ≤可得，33x -≤≤，所以{}3|3B x x =-≤≤.所以，{}{}{}51|3353A B x x x x x x ⋃=-<≤⋃-≤≤=-<≤.故选：C.2．C【解析】根据复数模的计算公式先求出模长，再利用复数的除法可得.【详解】由(1)|1|2z i +=-+=，得z =2(1)1(1)(1)21i i i i i ==+-+--，∴1z i =+.故选：C.【点睛】本题主要考查复数的相关概念，模长求解，共轭复数以及复数运算等，题目虽小，知识点很是丰富.3．C【分析】根据条件，由等比数列通项公式可得121(1)0a a a q >⇔->、()2336110a a a q q >⇔->，结合因式分解及充分、必要性定义判断条件间的关系.【详解】设公比为q ，由121210(1)0a a a a a q >⇔->⇔->，由()252336361110010a a a a a q a q a q q >⇔->⇔->⇔->，所以()221(1)10a q q q q -++>.由22131024q q q ⎛⎫++=++> ⎪⎝⎭，0q ≠，可得：361(1)0a a a q >⇔->，所以“12a a >”是“36a a >”的充要条件.故选：C 4．A【分析】求出AB 、BD 、AD 的长，利用余弦定理求出cos BAD ∠，再利用二倍角的余弦公式可求得cos BAC ∠的值.【详解】依题意分析可知，当伞完全张开时，()402416cm AD =-=，因为B 为AD '的中点，所以，()120cm 2AB AC AD '===，当伞完全收拢时，()40cm AB BD AD '+==，所以，()20cm BD =，在ABD △中，2224002564002cos 2220165AB AD BD BAD AB AD +-+-∠===⋅⨯⨯，所以，()22217cos cos 22cos 121525BAC BAD BAD ⎛⎫∠=∠=∠-=⨯-=- ⎪⎝⎭.故选：A.5．C【分析】根据圆，抛物线，椭圆及双曲线的方程特点结合条件分析即得.【详解】因为方程220Ax By Cxy Dx Ey F +++++=，其中A B C D E F ≥≥≥≥≥，所以当101A B C D E F ==≥===≥=-时，方程为2210x y +-=，即221x y +=是圆的方程，故方程可以是圆的方程；当1012A B C D E F =≥===≥=-≥=-时，方程为220x y --=，即22y x =-是抛物线的方程，故方程可以是抛物线的方程；当2101A B C D E F =≥=≥===≥=-时，方程为22210x y +-=，即22112x y +=是椭圆的标准方程，故方程可以是椭圆的标准方程；若方程为双曲线的标准方程，则有0,0,0AB C D E F <===<，这与A B C D E F ≥≥≥≥≥矛盾，故方程不可以是双曲线的标准方程；所以真命题有3个.故选：C.6．D【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.【详解】由e =222222215c a b b a a a+==+=，解得2ba=，所以双曲线的一条渐近线为2y x =，则圆心(2,3)到渐近线的距离5d ==，所以弦长||AB =故选：D7．B【分析】根据题意求得函数()π4sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，把函数()()g x f x a =-的零点个数转化为方程()f x a =实根的个数，结合方程()f x a =在[]0,π内实根的个数，分类讨论，即可求解.【详解】由函数()()sin 2cos f x A x x x ωωωϕ=+=+，因为函数()f x 图象的对称轴方程为()ππZ 62k x k =+∈，当0k =时，可得1π6x =，当1k =时，可得22π3x =，即两个相邻的最高点与最低点间的距离为21π2x x -=，即1π22T =，则πT =，可得2ω=，因为()f x 的图象关于直线π6x =对称，所以()π03f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即2π2π2sin2cos 33A =+，解得A =则()π2cos24sin 26f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以函数()()g x f x a =-的零点个数等价于方程()f x a =实根的个数，先研究方程()f x a =在[]0,π内实根的个数，当4a =或4a =-时，方程()f x a =在[]0,π内实根的个数为1；当()()4,22,4a ∈-⋃时，方程()f x a =在[]0,π内实根的个数为2；当2a =时，方程()f x a =在[]0,π内实根的个数为3，其中在(]0,π内实根的个数为2，因为()f x 是周期为π的函数，所以当()4,4a ∈-时，在(](](]π,2π,2π,3π,3π,4π, ，(]2022π,2023π内方程()f x a =实根的个数均为2，因为()()g x f x a =-在[]()*0,πN n n ∈内恰有2023个零点，且2023为奇数，所以()()4,22,4a ∈-⋃，不合题意.当4a =±时，2023n =；当2a =时，1011n =；故满足条件的有序实数对(),a n 只有3对.故选：B.8．B【分析】先由a b a b =得到ln ln a a b b =，构造函数()ln f x x x =，确定函数的单调性及最值，得到10e b <<，11e a <<，即可判断A 选项；由1()(ef a f >化简即可判断D 选项；令12a =即可判断C 选项；构造函数21()()()(0)e eF x f x f x x =--<<由极值点偏移即可判断B 选项.【详解】由0a b >>，对a b a b =两边取对数得ln ln a a b b =，令()ln f x x x =，则()1ln f x x '=+，当10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时，()0f x '<，()f x 单调递减；当1,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，故min 11()e e f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，(1)0f =，又0x →时，()0f x →，x →+∞时，()f x →+∞，ln ln a a b b =，即()()f a f b =，结合图像可知，10e b <<，11ea <<，故A 错误；易得1()(e f a f >，即11ln ln e e a a >，即1e 1ln ln e a a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，故11ee 1e e a a -⎛⎫>= ⎪⎝⎭，D 错误；当12a =时，111221211,e e 2e a a a --⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故1122112e ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，C 错误；令21()()()(0)e eF x f x f x x =--<<，则222()()()()()()e e e F x f x f x x f x f x ''''''=--⋅-=+-2221ln 1ln()2ln()e ex x x x =+++-=+-，又222211()e e e x x x -=--+，由10e x <<可得22210,e e x x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，故21()2ln 0e F x '<+=，故()F x 在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故1()0e F b F ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，即2()()0e f b f b -->，即2()()e f b f b >-，又()()f a f b =，故2()()ef a f b >-，又1212,1,,e e e e a b ⎛⎫⎛⎫∈-∈ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，由上知1,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()f x 单调递增，故2e a b >-，即2e a b +>，B 正确.故选：B.【点睛】本题关键点一在于由a b a b =得到ln ln a a b b =，进而构造函数()ln f x x x =，确定函数的单调性及最值，进而判断A 、C 、D 选项；关键点二在于构造函数21()()()(0e eF x f x f x x =--<<由极值点偏移判断B 选项.9．BD【分析】根据图表，对各项逐个分析判断即可得解.【详解】对A ，在前四年有下降的过程，故A 错误；对B ，六年的在校生总数为24037，平均值为4006以上，故B 正确；对C ，39950.1054680.895⨯≈，未接受高中阶段教育的适龄青少年有468万人以上，故C 错误；对D ，41280.6012481⨯≈，故D 正确.故选：BD 10．ACD【分析】设出直线与抛物线联立，利用韦达定理及斜率公式，结合三角形的面积公式及直线与圆的位置关系的判断方法即可求解.【详解】对于A ，令()()1122:,,,,AB x my a A x y B x y =+，联立22x my a y px=+⎧⎨=⎩，消x 可得2220y pmy pa --=，则()2Δ280pm pa =+>，12122,2y y pa y y pm =-+=，()21212222x x m y y a pm a +=++=+，则1111111,:,,OA y y ay k OA y x M a x x x ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭故()12211112212220BMay pay y x y y y pakx a x a y x a +++====+++，同理0,//AN k BM AN =∴，故A 正确；对于C ，设x a =-与x 轴交于P ，,PON AOC MOP BOC S S S S == ，则,PON MOP AOC BOC S S S S ++= ，AOB MON S S =△△，故C 正确；对于D ，()()112211,22ANC BCM S x a y S x a y =+=-+ 则()()()()12121212112244ANC BCM S S x a x a y y my a my a y y ⋅=-++=-++ ()221212121244m y y am y y a y y ⎡⎤=-+++⎣⎦()()()221222424m pa am pm a pa ⎡⎤=--++-⎣⎦()222pa pm a =+，而121212||||2MCN MPC NPC S S S a y y a y y =+=⋅-=- ，所以()()()22222221212124424MCN ANC BCM S a y y a y y y y pa pm a S S ⎡⎤=-=+-=+=⋅⎣⎦，故D 正确；对于B ，AB 中点1212,22x x y y Q ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，即()2,,Q pm a pa +-则Q 到直线x a =-的距离22d pm a =+，以AB 为直径的圆的半径122AB y =-所以()()222224AB d p a a p m -=+-，当2p a =时相切，当2pa ≠时不相切，故B 错误.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：设出直线与抛物线联立，利用韦达定理及斜率公式，结合三角形的面积公式及直线与圆的位置关系的判断即可.11．BCD【分析】根据图形分别求出CD =CE DE ==由4个正方形和16个与梯形BDEF 全等的梯形组成，分别计算；体积用两个柱体体积减去重叠部分体积；分别计算按A C P M D B →→→→→路线和在表面内移动最短的路径长．【详解】如图一个正四棱柱的某个侧面与另一个正四棱柱的两个侧面的交线CE 、DE则在梯形BDEF 中，可知32BD =-，2,3,6,13BF EF DE BE ====设,DEF BEF αβ∠=∠=，则3313cos ,cos 313αβ==根据立体图可得22CD =6CE DE ==222CE DE CD +≠即CE 、DE 不垂直，A 不正确；该“十字贯穿体”的表面积是由4个正方形和16个与梯形BDEF 全等的梯形组成则表面积332441621121622S +=⨯+⨯⨯=-B 正确；如图两个正四棱柱的重叠部分为多面体CDGEST ，取CS 的中点I则多面体CDGEST 可以分成8个全等三棱锥C GEI -，则1222233C GEI V -==该“十字贯穿体”的体积即为1622248483C GEI V V -=⨯--=，C 正确；若按A C P M D B →→→→→路线，则路线长为(432221222+=-若在表面内移动，则有：借助部分展开图，如图所示：∵21cos cos 22cos 103FEN αα∠==-=-<，即FEN ∠为钝角，过B 作NE 的垂线BH ，垂足为H ，则BH 在展开图内()sin sin 2sin 2cos cos 2sin 3913BEN αβαβαβ∠=-=-=+2sin 3BH BE BEN =∠=+根据对称可知此时最短路径为42123BH =+<-则从顶点A 出发，沿表面到达顶点B 的最短路径为43+D 正确；故选：BCD ．12．8-【分析】根据平面向量的加减法、数乘运算，以及数量积的运算律求解.【详解】由题意可得，1FO = ，3OD = ,()()()()FD FE FO OD FO OE FO OD FO OD⋅=+⋅+=+⋅-228FO OD =-=- ,故答案为:8-.13．1【分析】根据新定义可知直线y x =与()y f x =存在交点，即可求解.【详解】对于0x ∈R ，令1()(1,2,)n n x f x n -== ，若存在正整数k 使得0k x x =，且当0j k <<时0j x x ≠，则称0x 是()f x 的一个周期为k 的周期点.若1()e x f x -=，x ∈R ，当1k =时，0110()e x x f x -==，因为直线y x =与()y f x =只有一个交点(1,1)，所以01x =是()f x 的一个周期为1的周期点.故答案为：114．59111232n⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭【分析】记事件i A 表示从第i 个盒子里取出白球，利用全概率公式可得()()()()()212112159P A P A P A A P A P A A =+=，进而可得()()11133n n P A P A -=-，然后构造等比数列，求通项公式即得.【详解】记事件i A 表示从第()1,2,,i i n = 个盒子里取出白球，则()123P A =，()()11113P A P A =-=，所以()()()()()()()212121211212211533339P A P A A P A A P A P A A P A P A A =+=+=⨯+⨯=，()()()()()()()()3232232222211114333327P A P A P A A P A P A A P A P A P A =+=⨯+⨯=⨯+=，()()()()()()()()434334333321113333P A P A P A A P A P A A P A P A P A =+=⨯+⨯=+，进而可得()()11133n n P A P A -=+，()()1111232n n P A P A -⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦，又()11126P A -=，()211218P A -=，()()21111232P A P A ⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦，所以()12n P A ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为16，公比为13的等比数列，所以()11111126323n n n P A -⎛⎫⎛⎫-=⨯=⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即()111232nn P A ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭，故答案为：59；111232n⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭.15．(1)证明见解析26【分析】（1）连接BD 交AC 于点O ，连接OM ，由//PB OM 可得//PB 平面MAC ；（2）延长,AB DC ，交于点N ，则直线NP 就是平面PAB 与平面PCD 的交线l ，以点A 为原点建立空间直角坐标系，求出PN及面MAC 的法向量，求l 与平面MAC 所成角的正弦值．【详解】（1）连接BD 交AC 于点O ，连接OM ，因为,2BC AD AD BC =∥，所以12OB BC OD AD ==，又因M 是棱PD 上靠近点P 的三等分点，所以12OB PM OD MD ==，所以//PB OM ，又OM ⊂平面,MAC PB ⊄平面MAC ，所以//PB 平面MAC ；（2）延长,AB DC ，交于点N ，所以,N P 为平面PAB 与平面PCD 的公共点，所以直线NP 就是平面PAB 与平面PCD 的交线l ；因为平面PAD ⊥平面,ABCD PA AD ⊥，平面PAD ⋂平面,ABCD AD PA =⊂平面PAD ，所以PA ⊥平面ABCD ，又AB ⊂平面ABCD ，所以PA AB ⊥，如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，因为,2BC AD AD BC =∥，所以121BN BC BNAN AD BN ===+，所以1BN =，则()()()()240,0,0,1,1,0,0,,,0,0,2,2,0,033A C M P N ⎛⎫⎪⎝⎭，则()()241,1,0,0,,2,0,233AC AM PN ⎛⎫===- ⎪⎝⎭，设平面MAC 的法向量为(),,n x y z =，则有02433n AC x y n AM y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，可取()2,2,1n =- ，则cos,6n PNn PNn PN⋅===，即l与平面MAC 所成角的正弦值为2616．(1)1730(2)分布列见解析，期望值()1710E X=；(3)()()P F P E<，理由见解析；【分析】（1）由频数分布表计算出样本中的频率，即可估计出其概率；（2）分别估计出A、B小区41-70岁人群中对垃圾分类比较了解的概率，求出随机变量对应取值的概率，即可得出分布列和期望值；（3）分别估计出A、B小区三个不同群体对垃圾分类比较了解的概率，根据题意由概率乘法公式分别计算可得()(),P E P F，即可得出结论.【详解】（1）根据频数分布表可知，抽取的A小区300人样本中，有608030170++=人对垃圾分类比较了解，所以样本中对垃圾分类比较了解的概率为1701730030P==；由样本估计总体的思想，用频率估计概率可知：从A小区随机抽取一名居民，估计其对垃圾分类比较了解的概率为1730；（2）根据频数分布表可知，A小区41-70岁人群中对垃圾分类比较了解的概率可估计为8041005=；B小区41-70岁人群中对垃圾分类比较了解的概率可估计为90910010=；易知随机变量X的所有可能取值为0,1,2；易知()49101151050P X⎛⎫⎛⎫==--=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()49491311151051050P X⎛⎫⎛⎫==-⨯+⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()4918251025P X==⨯=；所以X的分布列如下：X012P15013501825期望值()113181701250502510E X =⨯+⨯+⨯=（3）()()P F P E <，理由如下：从三个年龄组随机抽取两组共有23C 3=种，每一种组合出现的可能为13；易知A 小区三个年龄组对垃圾分类比较了解的概率分别为343,,5510，所以可得()1343343335551051010P E ⎛⎫=⨯+⨯+⨯= ⎪⎝⎭，同理()13931912931010102102100P F ⎛⎫=⨯++⨯= ⎪⎝⎭，显然2930310010010=<；即()()P F P E <.17．(1)2213y x -=(2)(⎤⎦【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，转化为,,a b c 的方程，即可求解；（2）首先设直线MN 的方程为x my n =+，与双曲线方程联立，利用韦达定理表示122k k =-，并根据2m 的取值范围，求点到直线的距离的取值范围.【详解】（1）依题意，90BAD ∠=，焦半径2c =，由AF BF =，得2b ac a+=，得22222a a a +=-，解得：1a =（其中20a =-<舍去），所以222413b c a =-=-=，故双曲线C 的方程为2213y x -=；（2）显然直线MN 不可能与轴平行，故可设直线MN 的方程为x my n =+，联立2233x my n x y =+⎧⎨-=⎩，消去x 整理得()()222316310m y mny n -++-=，在条件2310Δ0m ⎧-≠⎨>⎩下，设()11,M x y ，()22,N x y ，则122631mny y m +=--，()21223131n y y m -=-，由122k k =-，得()()12122110y y x x +++=，即()()12122110y y my n my n +++++=，整理得()()()()2212122121210m y y m n y y n ++++++=，代入韦达定理得，()()()()()22222312112121310n m m n n n m -+-+++-=，化简可消去所有的含m 的项，解得：5n =或1n =-（舍去），则直线MN 的方程为50x my --=，得d =又,M N 都在双曲线的右支上，故有2310m -<，2103m ≤<，此时1≤<(d ⎤=∈⎦，所以点A 到直线MN 的距离d 的取值范围为(⎤⎦.18．（1）a e =（2）当0a ≤时，函数()f x 无极小值；当0a >，()f x 在ln x a =处取得极小值ln a ，无极大值（3）k 的最大值为1【分析】（1）求出'()f x ，由导数的几何意义，解方程'(1)0f =即可；（2）解方程'()0f x =，注意分类讨论，以确定'()f x 的符号，从而确定()f x 的单调性，得极大值或极小值（极值点多时，最好列表表示）；（3）题意就是方程(x)kx 1f =-无实数解，即关于x 的方程()11xk x e -=在R 上没有实数解．一般是分类讨论，1k =时，无实数解，1k ≠时，方程变为11x xe k =-，因此可通过求函数()x g x xe =的值域来求得k 的范围．【详解】（1）由()1x a f x x e =-+,得()1xa f x e '=-．又曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线平行于x 轴,得()10f '=,即10ae-=,解得a e =．（2）()1x af x e'=-,①当0a ≤时,()0f x ¢>,()f x 为(),-∞+∞上的增函数,所以函数()f x 无极值．②当0a >时,令()0f x '=,得x e a =,ln x a =．(),ln x a ∈-∞,()0f x '<;()ln ,x a ∈+∞,()0f x ¢>．所以()f x 在(),ln a -∞上单调递减,在()ln ,a +∞上单调递增,故()f x 在ln x a =处取得极小值,且极小值为()ln ln f a a =,无极大值．综上,当0a ≤时,函数()f x 无极小值当0a >,()f x 在ln x a =处取得极小值ln a ,无极大值．（3）当1a =时,()11xf x x e =-+令()()()()111xg x f x kx k x e =--=-+,则直线l :1y kx =-与曲线()y f x =没有公共点,等价于方程()0g x =在R 上没有实数解．假设1k >,此时()010g =>,1111101k g k e -⎛⎫=-+< ⎪-⎝⎭,又函数()g x 的图象连续不断,由零点存在定理,可知()0g x =在R 上至少有一解,与“方程()0g x =在R 上没有实数解”矛盾,故1k ≤．又1k =时,()10x g x e=>,知方程()0g x =在R 上没有实数解．所以k 的最大值为1．解法二:（1）（2）同解法一．（3）当1a =时,()11xf x x e =-+．直线l :1y kx =-与曲线()y f x =没有公共点,等价于关于x 的方程111xkx x e -=-+在R 上没有实数解,即关于x 的方程:()11xk x e -=（*）在R 上没有实数解．①当1k =时,方程（*）可化为10xe =,在R 上没有实数解．②当1k ≠时,方程（*）化为11x xe k =-．令()xg x xe =,则有()()1xg x x e '=+．令()0g x '=,得=1x -,当x 变化时,()g x '的变化情况如下表:x (),1-∞-1-()1,-+∞()g x '-+()g x 减1e-增当=1x -时,()min 1g x e=-,同时当x 趋于+∞时,()g x 趋于+∞,从而()g x 的取值范围为1,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．所以当11,1k e ⎛⎫∈-∞- ⎪-⎝⎭时,方程（*）无实数解,解得k 的取值范围是()1,1e -．综上,得k 的最大值为1．考点：导数的几何意义，极值，导数与单调性、值域，方程根的分布．19．(1)数列{}n a 不满足性质P ；数列{}n b 满足性质P ，理由见解析(2)证明见解析(3)0n a =或3n a =．【分析】（1）根据题意分析判断；（2）根据题意先证3为数列{}n a 中的项，再利用反证法证明集合{}3∣n n a *∈=N 为无限集；（3）先根据题意证明{}0,2,3n a ∈，再分{}n a 为常数列和非常数列两种情况，分析判断.【详解】（1）对①，取1i =，对,1j j *∀∈>N ，则11,j i j a a a ===，可得11j j i i j a a a j a =---=--，显然不存在,k j k *>∈N ，使得1k a =-，所以数列{}n a 不满足性质P ；对②，对于,,i j i j *∀∈<N ，则2i b i =+，2j b j =+，故()()()()2222j i i j i j i j i j i jb b b b --=++-+-+=⋅++()22i j i j =⋅++-+，因为,,1,2i j i j *∈≥≥N ，则()2i j i j *⋅++-∈N ，且()()2123i j i j i j j ⋅++-=++-≥，所以存在()2k i j i j *=⋅++-∈N ，k j >，使得()22j k i j i b b i b j i j b b =⋅++-=--+，故数列{}n b 满足性质P ；（2）若数列{}n a 满足性质P ，且11a =，则有：取111,1,i j j j *==>∈N ，均存在111,k j k *>∈N ，使得111111k j j a a a a a =--=-，取2121,,i j j k j *==>∈N ，均存在2212,k j k k *>>∈N ，使得222111k j j a a a a a =--=-，取121,i k j k k ==>，均存在1211,m k m *>>∈N ，使得112123m k k k k a a a a a =--=，故数列{}n a 中存在n *∈N ，使得3n a =，即{}3∣n n a *∈=≠∅N ，反证：假设{}3∣n n a *∈=N 为有限集，其元素由小到大依次为()12,,,1l l n n n n >L ，取1,1l l i j n n ==+>，均存在1,L l L k n k *>+∈N ，使得11111L l l k n n a a a a a ++=--=-，取1,1L i j k ==+，均存在111,L L L k k k *++>+∈N ，使得111111L L L k k k a a a a a +++=--=-，取1,L L i k j k +==，均存在111,l L l l n k n n *+++>>∈N ，使得1113l L L L L n k k k k a a a a a +++=--=，即{}13∣l n n n a *+∈∈=N 这与假设相矛盾，故集合{}3∣n n a *∈=N 为无限集.（3）设周期数列{}n a 的周期为1,T T *≥∈N ，则对n *∀∈N ，均有n n T a a +=，设周期数列{}n a 的最大项为,,1M a M M T *∈≤≤N ，最小项为,,1N a N N T *∈≤≤N ，即对n *∀∈N ，均有N n M a a a ≤≤，若数列{}n a 满足性质P ：反证：假设4M a ≥时，取,i M j M T ==+，则,k M T k *∃>+∈N ，使得22k M M T M M T M M a a a a a a a ++=--=-，则()2330k M M M M M a a a a a a -=-=->，即k M a a >，这对n *∀∈N ，均有N n M a a a ≤≤矛盾，假设不成立；则对n *∀∈N ，均有3n a ≤；反证：假设2N a ≤-时，取,i N j N T ==+，则,k N T k *∃>+∈N ，使得224k N N T N N T N N a a a a a a a ++=--=-≥，这与对n *∀∈N ，均有3n a ≤矛盾，假设不成立，即对n *∀∈N ，均有1n a ≥-；综上所述：对n *∀∈N ，均有13n a -≤≤，反证：假设1为数列{}n a 中的项，由（2）可得：1,3-为数列{}n a 中的项，∵()13135-⨯---=-，即5-为数列{}n a 中的项，这与对n *∀∈N ，均有13n a -≤≤相矛盾，即对n *∀∈N ，均有1n a ≠，同理可证：1n a ≠-，∵n a ∈Z ，则{}0,2,3n a ∈，当1T =时，即数列{}n a 为常数列时，设n a a =，故对,,i j i j *∀∈<N ，都存在k j >，使得22i k i j j a a a a a a a a =--=-=，解得0a =或3a =，即0n a =或3n a =符合题意；当2T ≥时，即数列{}n a 至少有两个不同项，则有：①当0,2为数列{}n a 中的项，则02022⨯--=-，即2-为数列{}n a 中的项，但{}20,2,3-∉，不成立；②当0,3为数列{}n a 中的项，则03033⨯--=-，即3-为数列{}n a 中的项，但{}30,2,3-∉，不成立；③当2,3为数列{}n a 中的项，则23231⨯--=，即1为数列{}n a 中的项，但{}10,2,3∉，不成立；综上所述：0n a =或3n a =.【点睛】关键点点睛：（1）对于证明中出现直接证明不方便时，我们可以利用反证法证明；（2）对于周期数列{}n a 满足性质P ，证明思路：先逐步缩小精确n a 的取值可能，再检验判断.。

2022年新执信中学高三数学上学期第二次月考模拟练习理配套精选

2021届高三第一学期第二次月考理科数学试题一、选择题〔本大题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕1.集合M={x|0≤x≤6}，N={x|2x≤32}，那么M∪N=〔〕A．〔﹣∞，6] B．〔﹣∞，5] C．[0，6] D．[0，5]2.复数=〔〕A.﹣1+i +i ﹣i D.﹣1﹣i3.设x，y∈R，那么“|x|≤1且|y|≤1“是“x2+y2≤2“的〔〕A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4.，那么的值是〔〕A．B．C．D．5.假设实数满足，那么的最小值为〔〕A. B. C． D．6.{a n}为等差数列，S n为其前n项和，假设a3+7=2a5，那么S13=〔〕A．49 B．91 C．98 D．1827.随机变量服从正态分布, 且, 那么〔〕A．B． C．D．8.某几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为〔〕A. B. C. D.9.函数y=xcosx﹣sinx的局部图象大致为〔〕A． B．C． D．10. 设P是双曲线上的点，是其焦点，且，假设的面积是1, 且，那么双曲线的离心率为〔〕A..B.C.D.11.函数，满足，且对任意，都有，那么以下结论正确的选项是〔〕A． B． C. D．12.设函数存在零点，且，那么实数的取值范围是〔〕A． B．C. D．二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分)13..14. 假设，那么=____________.15. 等比数列的第项是二项式展开式中的常数项，那么的值为 .16．假设函数的图象上存在不同的两点，，其中使得的最大值为0，那么称函数是“柯西函数〞．给出以下函数：①；②；③；④.其中是“柯西函数〞的为〔填上所有．．正确答案的序号〕三、解答题〔解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤〕17.(此题总分值12分)在△ABC中，a=7，b=8，cosB=﹣．〔1〕求∠A；〔2〕求AC边上的高．18. (此题总分值12分)如图，菱形ABCD与正三角形BCE的边长均为2，它们所在平面互相垂直，FD⊥平面ABCD，且FD=．〔1〕求证：EF∥平面ABCD；〔2〕假设∠CBA=60°，求直线AF与平面BEF所成角的正弦值．19. (此题总分值12分)电子商务在我国开展迅猛，网上购物成为很多人的选择.某购物网站组织了一次促销活动，在网页的界面上打出：高级口香糖，10元钱三瓶，有8种口味供你选择〔其中有一种为草莓口味〕.小王点击进入网页一看，只见有很多包装完全相同的瓶装口香糖排在一起，看不见具体口味，由购置者随机点击进行选择〔各种口味的高级口香糖均超过3瓶，且各种口味的瓶数相同，每点击选择一瓶后，网页自动补充相应的口香糖〕. 〔1〕小王花10元钱买三瓶，请问小王共有多少种不同组合选择方式？〔2〕小王花10元钱买三瓶，由小王随机点击三瓶，请列出有小王喜欢的草莓味口香糖瓶数的分布列，并计算其数学期望和方差.20. (此题总分值12分) 椭圆C的中心在原点，其中一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，点〔1，〕在椭圆C上．〔1〕求椭圆C的标准方程；〔2〕假设直线：y=kx+m〔k≠0〕与椭圆C交于不同的两点M，N，且线段MN的垂直平分线过定点G〔〕，求实数k的取值范围．21. (此题总分值12分)函数有最大值，，且是的导数.〔1〕求的值；〔2〕证明：当，时，.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题计分。

广东省广州市执信中学2021届高三上学期第二次月考数学试卷含解析

广州市执信中学2021届高三年级第二次月考数学（考试时间：120分钟满分：150分）一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分，其中第1题至第10题为单项选择题，在给出的四个选项中，只有一项符合要求；第11题和第12题为多项选择题，在给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）1．设集合}221|{<<−=x x A ，}1|{2≤=x x B ，则B A =( ) A ．}21|{<≤−x x B ．}121|{≤<−x x C ．}2|{<x xD ．}21|{<≤x x 2．复数i311−的虚部是( )A ．103−B ．101− C ．101D ．1033．命题“对任意R x ∈都有12≥x ”的否定是( )A ．对任意R x ∈，都有12<xB ．存在R x ∈0，使得120<x C ．存在R x ∈0，使得120≥xD ．不存在R x ∈，使得12<x4．己知双曲线)0,0(1:2222>>=−b a b y a x C 的离心率为25，则C 的渐近线方程为( )A ．x y 41±= B ．x y 31±= C ．x y 21±=D ．x y ±=5．函数xx x f ||ln )(=的图象大致形状是( )6．己知数列}{n a 满足34,0321−==++a a a n n ，则}{n a 的前10项和等于( ) A ．)31(610−−−B ．)31(9110−− C ．)31(310−−D ．)31(310−+7．设R x ∈，则“052<−x x ”是“1|1|<−x ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．42)1)(21(x x ++的展开式中3x 的系数为( )A ．12B ．16C ．20D ．249．414=a ，12log 5=b ，91log 31=c ，则( ) A ．c a b <<B ．b c a <<C ．c b a <<D ．b a c <<10．函数)(x f 的定义域为R ，且)3()(−=x f x f ，当02<≤−x 时，2)1()(+=x x f ；当10<≤x 时，12)(+−=x x f ，则)2021()3()2()1(f f f f ++++ =( ) A ．671B ．673C ．1345D ．134711．（多选）己知函数x x x x f cos sin )(−=，现给出如下结论，其中正确结论个数为( )A ．)(x f 是奇函数B ．0是)(x f 的极值点C ．)(x f 在区间)2,2(ππ−上有且仅有三个零点D ．)(x f 的值域为R12．（多选）如图，在正方体1111D C B A ABCD −中，⊥H A 1平面11D AB ，垂足为H ，则下面结论正确的是( )A ．直线H A 1与该正方体各棱所成角相等B ．直线H A 1与该正方体各面所成角相等C ．垂直于直线H A 1的平面截该正方体，所得截面可能为五边形D ．过直线H A 1的平面截该正方体所得截面为平行四边形二、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分）13．己知向量b a ,满足5||=a ，6||=b ，6−=⋅b a ，则>+<b a a ,cos = .14．若函数)(x f 是定义R 上的周期为2的奇函数，当10<<x 时，xx f 4)(=，则)2()25(f f +−= .15．己知α为锐角，且31)6cos(=+πα，则αcos = . 16．己知⎪⎩⎪⎨⎧>≤=ax x ax x x f ,,)(23，若存在实数b ，使函数b x f x g −=)()(有两个零点，则a 的取值范围是 .三、解答题（本大题6小题，共70分） 17．（本小题10分）在ABC ∆中，11=+b a ，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：(1)a 的值：(2)C sin 和ABC ∆的面积.条件①：;71cos ,7−==A c 条件②：.169cos ,81cos ==B A 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．18．（本小题12分）在公比为2的等比数列}{n a 中，4,,432−a a a 成等差数列． (1)求数列}{n a 的通项公式； (2)若n n a n b 2log )1(+=，求数列⎪⎪⎭⎫⎝⎛+224n b n 的前n 项和n T . 19．（本题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P −中，平面⊥PAD 平面ABCD ，PD PA ⊥，PD PA =，AD AB ⊥，1=AB ，2=AD ，.5==CD AC(1)求证：⊥PD 平面PAB ；(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值.20．（本小题满分12分）如图，己知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的一个顶点为)1,0(B ，离心率为23.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 与椭圆C 交于N M ,两点，直线BM 与线BN 的斜率之积为21，证明：直线l 过定点并且求出该定点坐标．21．（本小题满分12分）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X （年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在40以上. 其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年. 将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．(1)求未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制，并有如下关系：年入流量X 40<X <8080≤X ≤120X >120 发电机最多可运行台数123若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？ 22．（本小题满分12分）己知函数).0(1ln)(2>+−=a x ax xx f (1)若)(x f 是定义域上的单调函数，求a 的取值范围；(2)若)(x f 在定义域上有两个极值点21x x 、，证明：.2ln 23)()(21−>+x f x f数学参考答案一、选择题二、填空题13．【答案】3519 14．【答案】-215．【答案】6223+16．【答案】).,1()0,(∞+−∞三、解答题（本大题6小题，共70分） 17．（本小题10分）【解析】选择条件①(1)11,71cos ,7=+−==b a A c ， )71(7)11(27)11(cos 2222222−⋅⋅−−+−=∴−+=a a a A bc c b a ，8=∴a(2)71cos −=A ，734cos 1sin ),,0(2=−=∴∈A A A π，由正弦定理得：23sin ,sin 77348,sin sin =∴=∴=C C C c A a ，36238)811(21sin 21=⨯⨯−==C ba S ，选择条件②(1)),0(,,169cos ,81cos π∈==B A B A ， 873cos 1sin 2=−=∴A A ，1675cos 1sin 2=−=B B ，由正弦定理得：6167511873sin sin =∴−=∴=a aa Bb A a ，，. (2)47811675169873cos sin cos sin )sin(sin =⨯+⨯=+=+=A B B A B A C ， 4715476)611(21sin 21=⨯⨯−==C ba S .18．【解】(1)因为4,,432−a a a 成等差数列，所以42423−+=a a a ，所以4828111−+=a a a ，解得21=a ，所以.2n n a =(2)因为n n a 2=，所以)1(2log )1(log )1(22+=+=+=n n n a n b n n n ，所以⎪⎪⎭⎫⎝⎛+−=++=+22222)1(112)1()12(224n n n n n b n n ，所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+−++⎪⎭⎫ ⎝⎛−+⎪⎭⎫ ⎝⎛−=22222)1(112312122112n nT n ， .)1(22)1(112)1(11312121122222222+−=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+−=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+−++−+−=n n n n19．(1)因为平面⊥PAD 平面ABCD ，AD AB ⊥，所以⊥AB 平面PAD ，所以PD AB ⊥，又因为PD PA ⊥，所以⊥PD 平面PAB .(2)取AD 的中点O ，连结,,CO PO因为PD PA =，所以AD PO ⊥.又因为⊂PO 平面PAD ，平面⊥PAD 平面ABCD ，所以⊥PO 平面ABCD .因为⊂CO 平面ABCD ，所以CO PO ⊥. 因为CD AC =，所以AD CO ⊥.如图建立空间直角坐标系xyz O −，由题意得，)1,0,0(),0,1,0(),0,0,2(),0,1,1(),0,1,0(P D C B A −.设平面PCD 的法向量为),,(z y x n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,0PC n PD n 即⎩⎨⎧=−=−−,02,0z x z y 令2=z ，则.2,1−==y x 所以).2,2,1(−=n又)1,1,1(−=PB ，所以.33,cos −=>=<PBn PB n 所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为.3320．(1)因为一个顶点为)1,0(B ，故1=b ，又离心为23，故23=a c 即2312=−a a ，所以2=a ，故椭圆方程为：.1422=+y x(2)若直线l 的斜率不存在，则设),,(),,(n m N n m M −此时41411112222m mm n m n m n k k BNBM =−=−−⨯−=，与题设条件矛盾，故直线l 斜率必存在. 设m kx y MN +=:，),(),,(2211y x N y x M ，联立,4422⎩⎨⎧=++=y x mkx y 化为,0448)41(222=−+++m kmx x k0)14(1622>+−=∆m k ，221418k km x x +−=+∴，22214144k m x x +−=⋅∴. 2111212121122211=−−+=−⋅−=⋅x x x x y x y x x y x y k k BN BM ， 0)1())(1(21221212=−++−+⎪⎭⎫ ⎝⎛−∴m x x m k x x k ，0)1(418)1(41442122222=−++−−++−⎪⎭⎫ ⎝⎛−∴m k km m k k m k ，化为0322=−+m m ，解得3−=m 或1=m （舍去）．即直线过定点)3,0(−21．解：(I)依题意，2.05010)8040(1==<<=X P P ， 7.05035)12080(2==≤≤=X P P ，1.0505)120(3==>=X P P ，由二项分布，在未来4年中至多有1年入流量超过120的概率为：.9477.0101)109(4)109()1()1(34333144304=⨯⨯+=−+−=P P C P C P(II)记水电站年总利润为Y （单位：万元）①安装1台发电机的情形.由于水库年入流量总大于40，所以一台发电机运行的概率为1，对应的年利润5000=Y ，.500015000=⨯=EY ②安装2台发电机．当8040<<X 时，一台发电机运行，此时42008005000=−=Y ，因此2.0)8040()4200(1==<<==P X P y P ，当80≥X 时，两台发电机运行，此时1000025000=⨯=Y ，因此8.0)80()10000(21=+=≥==P P X P Y P ．由此得Y 的分布列如下：所以14200+⨯=EY ③安装3台发电机．依题意，当8040<<X 时，一台发电机运行，此时340016005000=−=Y ，因此2.0)8040()3400(1==<<==P X P Y P ；当12080≤≤X 时，两台发电机运行，此时920080025000=−⨯=Y ，此时,7.0)12080()9200(2==≤≤==P X P Y P当120>X 时，三台发电机运行，此时1500035000=⨯=y ，因此1.0)120()15000(3==>==P X P Y P ，由此得Y 的分布列如下：所以3400⨯=EY综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．22．解：(I)x ax x x f +−−=2ln )(，xx ax ax x x f 12121)('2+−−=+−−=，………2分令a 81−=∆．当81≥a 时，0≤∆，0)('≤x f ，)(x f 在),0(∞+单调递减．………4分当810<<a 时，0>∆，方程0122=+−x ax 有两个不相等的正根21,x x ，不妨设21x x <，则当),(),0(21∞+∈x x x 时，0)('<x f ，当),(21x x x ∈时，0)('>x f ，这时)(x f 不是单调函数.综上，a 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+,81. ………………………6分(II)由(I)知，当且仅当⎪⎭⎫⎝⎛∈81,0a 时，)(x f 有极小值点1x 和极大值点2x ，且.21,212121ax x a x x ==+ 2222121121ln ln )()(x ax x x ax x x f x f +−−+−−=+.141)2ln(1)(21)ln(2121++=+++−=aa x x x x …………………9分令141)2ln()(++=a a a g ，⎪⎭⎫⎝⎛∈81,0a ，则当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈81,0a 时，)(,0414411)('22a g a a a a a g <−=−=在⎪⎭⎫⎝⎛81,0单调递减，所以2ln 23)81()(−=>g a g ，即.2ln 23)()(21−>+x f x f ………………………12分。

广东省广州市执信中学2023-2024学年高三上学期第二次月考数学试题及答案

广州市执信中学2024届高三上学期第二次月考数学注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上。

2、选择题每小题选出答案后，有2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。

3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4、考生必须保持答题卡的整洁和平整。

第一部分选择题（共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．己知集合}3,2,1,0,1{−=A ，}032|{2>−+=x x x B ，则B A =( ) A ．}1,0{B ．}3,2{C ．}1,0,1{−D ．}2,1,0,1{−2．在复数范围内方程022=+x 的解为( ) A ．2−=xB ．i x 2=C ．i x 2±=D ．∅3．己知函数)1(+x f 的图象关于点(1，1)对称，则下列函数是奇函数的是( ) A ．1)(+=x f y B ．1)2(++=x f y C ．1)(−=x f yD ．1)2(−+=x f y4．两个单位向量1e 与2e 满足021=⋅e e ，则向量1e −与2e 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°5．若6log 3=a ，2=b ，125.0log 25.0=c ，则( )A ．c a b >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．b c a >>6．某企业在生产中位倡导绿色环保的理念，购入污水过滤系统对污水进行过滤处理，已知在过滤过程中污水的剩余污染物数量N (mg/L )与时间t (h )的关系为kteN N −=0,其中N 0为初始污染物的数量，k 为常数．若在某次过滤过程中，前2个小时过滤掉了污染物的30%，则可计算前6小时共能过滤掉污染物的( )A ．%9.72B ．%7.65C ．%51D ．%49 7．设}{n a 为等比数列，则“对于任意的*N n ∈，n n a a <+2”是}{n a 为递减数列”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．若41<<m ，椭圆1:22=+y m x C 与双曲线14:22=−−my m x D 的离心率分别为e 1，e 2，则( )A ．21e e的最大值为21B ．21e e的最大值为23C ．21e e 的最小值为21D ．21e e的最小值为23二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．己知一组样本数据)(,,,,1032110321x x x x x x x x <<<< 中，5x 与样本平均数相等， 06=x ，则去掉以下哪个数据以后，新的样本数据的方差一定比原来的样本数据的方差小？( ) A ．1xB ．5xC ．6xD ．10x10．在下列底面为平行四边形的四棱锥中，A ，B ，C ，M ，N 是四棱锥的顶点或棱的中点，则MN ∥平面ABC 的有( )11．质点P 和Q 在以坐标原点O 为圆心，半径为1的O Θ上逆时针作匀速圆周运动，同时出发．P 的角速度大小为s ,起点为O Θ与x 轴正半轴的交点；Q 的角速度大小为 s rad /5,起点为射线)0≥=x y 与O Θ的交点，则当Q 与P 重合时，Q 的坐标可以为( )A ．)92sin ,92(cos ππ B ．)95sin ,95cos (ππ−−C ．)9sin ,9(cosππ−D ．)9sin,9cos(ππ−12．若)(x f 图象上存在两点A ，B 关于原点对称，则点对[A ，B ]称为函数)(x f 的“友情点对”（点对[A ，B ]与[B ，A ]视为同一个“友情点对”）若 <>=0,0,)(23x ax x e x x f x恰有两个“友情点对”，则实数a 的值可以是( )A ．0B ．20201−C ．e1−D ．20231−第二部分非选择题（共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．己知直线02=++y x 与圆222r y x =+相切，则半径r = . 14．己知函数)32cos()(2ϕπ+−=x x x f ,).,0(πϕ∈是奇函数，则ϕ= .15．将A ，B ，C ，D ，E 这5名同学从左至右排成一排，则A 与B 相邻且A 与C 之间恰好有1名同学的排法有种． 16．若函数x x f cos )(=，],2(ππ∈a ，则函数)(x f 在],2[a π上平均变化率的取值范围为 .四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）记数列}{n a 的前n 项和为S n ，对任意正整数n ，有).1)(2(2−+=n n a n S (1)证明：数列}11{++n a n 为常数列； (2)求数列}1{1+n n a a 的前n 项和T n 18．（本小题满分12分）己知锐角三角形ABC 中，53)sin(=+B A ,51)sin(=−B A (1)求证：B A tan 2tan =；(2)设3=AB ,求CD 边上的高. 19．（本小题满分12分）中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，某数学建模小组为了获得茶水温度y （单位：℃）关于时间x(单位：min)的回归方程模型，通过实验收集在25℃室温，用同一温度的水冲泡的条件下，茶水温度随时间变化的7组数据，并对数据做初步处理得到如图所示散点图以及如表所示数据.表中：)25ln(−=i i y w ,⋅=∑=i i w w 7171(1)根据散点图判断，①bx a y +=与②25+⋅=x c d y 哪一个更适宜作为该茶水温度y 关于时间x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）请根据你的判断结果及表中数据建立该茶水温度y 关于时间x 的回归方程；(2)己知该茶水温度降至60℃口感最佳，根据(1)中的回归方程，求在相同条件下冲泡的茶水，大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？附：(1)对于一组数据),(),,(2211y x y x ，……),(n n y x ，其回归直线x ay βˆˆ+=的斜率和截距的最小二乘估计分别为211)())((ˆx x y yx x ini iini −−−=∑∑==β，;ˆˆx y βα−= (2)参考数据：92.008.0≈−e，6009.4≈e ，9.17ln ≈，1.13ln ≈，7.02ln ≈20．（本小题满分12分）如图1，在平行四边形ABCD 中，AC AB ⊥，,1=AB 2=BC ，将ACD ∆沿AC 折起，使得点D 到点P 的位置，如图2，经过直线PB 且与直线AC 平行的平面为α，平面 α平面 m PAC =,平面 α平面.n ABC = (1)证明：n m // (2)若6=PB ，求直线BC 与平面ABP 所成角的正弦值．21．（本小题满分12分）平面直角坐标系xOy 中，己知双曲线1:2222=−bx a y C （0,0>>b a ）的离心率为2，实轴长为4．(1)求C 的方程；(2)如图，点A 为双曲线的下顶点，直线l 过点P (0，t )且垂直于y 轴(P 位于原点与上顶点之间)，过P 的直线交C 于G ，H 两点，直线AG ，AH 分别与l 交于M ，N 两点，若1=⋅OM AN k k 求点P 的坐标．22．（本小题满分12分）己知函数a ae x f x ln )(+=,1)1ln()(++=x x g （其中a 为常数，e 是自然对数的底数）． (1)若1=a ,求函数)(x f 在点))0(,0(f 处的切线方程； (2)若)()(x g x f >恒成立，求a 的取值范围.数学参考答案选择题：填空题： 13．214．;40−15．20：16．]2,1(π−−选择填空部分解析6、解析：由己知keN N 200%70−=,可得7.02=−ke，则6个小时后剩余污染物数量为00332060%3.34)7.0()(N N e N e N k k ===−−，故前6小时共能过滤掉污染物的%7.65%3.341=−7、解析：由题意n a 不变号，所以公比q >0n n n n n n a a q a q a a a <⇔<−⇔<−⇔<∴++1220)1(0)1( 8、解析：由题意m m a ce 1111−==，ma c e −==42222 ）（m m m m m e e 4521)4)(1(2121+−=−−=∴，当且仅当2=m 时，21e e 取得最大值219、解析：根据方差的意义，可知去掉最大值和最小值都可以使样本数据的方差变小，故AD 正确；去掉x 5，样本平均数不变，则根据方差公式可知方差变大，故B 错误；去掉x 6样本方差的变化情况无法确定，也不符合条件，故C 错误。

2021届广东省部分重点中学高三下学期2月联考数学试题(解析版)

2021届广东省部分重点中学高三下学期2月联考数学试题一、单选题 1．若复数421iz i+=-，则z z -=（）A ．1B ．2CD ．6【答案】D【分析】先通过除法运算求得z ，再得z ，进一步求6z z i -=，最后求模即可. 【详解】由题意可得42(42)(1)131(1)(1)i i i z i i i i +++===+--+，所以13z i =-，所以6z z i -=，则6z z -=.故选：D.2．已知集合{}1215A x x =<-≤，{}240B x x =-≥，则()AB =R（）A ．{}23x x ≤≤B ．{}23x x <≤C ．{}12x x <<D ．{}12x x <≤【答案】C【分析】根据题意，分别求出集合A 、B ，即可得到()RAB .【详解】由题意可得{}13A x x =<≤，{2B x x =≥或}2x ≤- ，则{}22R B x x =-<<，故(){}12R A B x x ⋂=<<. 故选：C.3．已知,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则“2sin 23cos 0αα-=”是“3sin 4α=”的（）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】结合二倍角的正弦公式即可. 【详解】由2sin 23cos 0αα-=，得4sin cos 3cos ααα=，因为,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以cos 0α≠，所以4sin 3α=，则3sin 4α=；反之也成立.故“2sin 23cos 0αα-=”是“3sin 4α=”的充要条件. 故选：A4．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，现已知该四棱锥的高与斜高的比值为45，则该四棱锥的底面面积与侧面面积的比值是（）A ．45B ．35C ．125D ．512【答案】B【分析】根据题意，设四棱锥底面的边长为2a ，高为h ，斜高为1h .由四棱锥的高与斜高的比值为45，找出a 与1h 的关系式，结合面积公式，即可得到该四棱锥的底面面积与侧面面积的比值.【详解】设该四棱锥底面的边长为2a ，高为h ，斜高为1h ，根据题意得1222145h h h a h ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，即135a h =，从而该四棱锥底面面积为22136425a h =，侧面面积为221111312424255ah h h ⨯⨯=⨯=，故该四棱锥的底面面积与侧面面积的比值是2211361232555h h ÷=. 故选：B.5．已知0.4log 0.3a =，0.7log 0.4b =，0.70.3c =，则（） A ．c b a << B ．c a b << C ．a c b << D ．b c a <<【答案】B【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．【详解】解：0.40.40.41log 0.4log 0.3log 0.162a =<=<=，0.70.7log 0.4log 0.492b =>=，0.700.30.31c =<=，故c a b <<．故选：B6．已知数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 的平均数是5，方差是9，则222222123456x x x x x x +++++=（） A ．159B ．204C ．231D ．636【答案】B【分析】根据平均数和方差的概念进行计算即可.【详解】由题意可得()()()()()()222222123456155555596x x x x x x ⎡⎤-+-+-+-+-+-=⎣⎦，则222222123456103015054x x x x x x +++++-⨯+=，故22222212345654150300204x x x x x x +++++=-+=.7．某地市场调查发现，35的人喜欢在网上购买家用小电器，其余的人则喜欢在实体店购买家用小电器.经该地市场监管局抽样调查发现，在网上购买的家用小电器的合格率为34，而在实体店购买的家用小电器的合格率为910.现该地市场监管局接到一个关于家用小电器不合格的投诉电话，则这台被投诉的家用小电器是在网上购买的概率是（） A ．320B ．1115C ．1519D ．34【答案】C【分析】分别计算出在网上与实体店购买的家用小电器不合格的概率，即可得到答案.【详解】在网上购买的家用小电器不合格的概率为3135420⨯=，在实体店购买的家用小电器不合格的概率为21151025⨯=，故这台被投诉的家用小电器是在网上购买的概率为3152031192025=+. 故选：C.8．已知函数()()π4cos 2206f x x ωω⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭在[]0,π内有且仅有两个零点，则ω的取值范围是（） A ．313,26⎛⎤⎥⎝⎦B ．313,26⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．313,412⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．313,412⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【分析】由题得πππ22666x ωωπ≤+≤+，解不等式组π5π263π7π263ωπωπ⎧+≥⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩即得解.【详解】因为0πx ≤≤，所以πππ22666x ωωπ≤+≤+．因为函数()f x 在[]0,π内有且仅有两个零点，所以π5π263π7π263ωπωπ⎧+≥⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩，解得313412ω≤<．故选：D二、多选题9．下列函数中是偶函数，且值域为[)0,+∞的有（） A ．()()ln 1f x x =+ B ．1()f x x x=-C ．()x x f x e e -=+D ．42()21f x x x =-+【答案】AD【分析】先由奇偶性排除B ，再由值域排除C ，进而可得正确答案. 【详解】由题意可得1()f x x x=-是奇函数，故排除选项B ；()x x f x e e -=+是偶函数，但值域为[)2,+∞，故排除选项C ；()()ln 1f x x =+和42()21f x x x =-+都是偶函数，且值域均为[)0,+∞. 故选：AD.10．已知0a >，0b >，且240a b ab ++-=，则（） A ．a b +的最大值为2 B ．a b +的最小值为2 C ．ab 的最大值是1 D ．ab 的最小值是1【答案】BC【分析】结合均值不等式即可求出a b +的最小值和ab 的最大值.【详解】因为240a b ab ++-=，所以242422a b a b ab +⎛⎫+=-≥-⨯ ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时等号成立，所以2()2()80a b a b +++-≥，解得4a b +≤-或2a b +≥.因为0a >，0b >，所以2a b +≥，故A 错误，B 正确；因为240a b ab ++-=，所以()244ab a b =-+≤-a b =时等号成立，所以240ab +≤，因为0ab >1，所以1ab ≤，故C 正确，D 错误. 故选：BC.11．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，点E 是棱PC 的中点，PD AB =，则（） A ．AC PB ⊥B ．直线AE 与平面PAB 所成角的正弦值是36C ．异面直线AD 与PB 所成的角是4π D ．四棱锥P ABCD -的体积与其外接球的体积的比值是2327π【答案】AB【分析】对于选项A ，根据题意易得AC ⊥平面PBD ，故可得AC PB ⊥；对于选项BC ，可以通过建立空间直角坐标系，转化为向量问题来处理；对于选项D ，根据题意可知，PB 即为外接球的直径，结合体积公式即可判断.【详解】如图，连接BD .因为底面ABCD 是正方形，所以BD AC ⊥，因为PD ⊥平面ABCD ，所以PD AC ⊥，所以AC ⊥平面PBD ，则AC PB ⊥，故A 正确.由题意易证AD ，CD ，PD 两两垂直，故建立如图所示的空间坐标系D xyz -.设2AB =，则()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,0,0D ，()0,1,1E ，()002P ,,，从而()2,0,0AD =-，()0,2,0AB =，()2,1,1AE =-，()2,2,2PB =-.设平面PAB 的法向量(),,n x y z =，则202220n AB y n PB x y z ⎧⋅==⎨⋅=+-=⎩，令1x =，得()1,0,1n =.设直线AE 与平面PAB 所成的角为θ，则213sin cos ,62AE n θ-+===⨯B 正确. 设异面直线AD 与PB 所成的角为α，则223cos cos ,212AD PB α-⨯==⨯从而4πα≠，故C 错误.四棱锥P ABCD -的体积183V =，由题意可知四棱锥P ABCD -外接球的半径2PBR ==则其体积3324433V R ππ==⨯=，从而四棱锥P ABCD -的体积与其外接球的体积的比值是12V V =D 错误. 故选：AB.【点睛】解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.12．设A ，B 是抛物线C ：24y x =上两个不同的点，O 为坐标原点，若直线OA 与OB 的斜率之积为-4，则下列结论正确的有（） A ．4AB ≥B ．8OA OB +>C ．直线AB 过抛物线C 的焦点D ．OAB 面积的最小值是2【答案】ACD【分析】对于选项B ，可以通过特殊点来判断，而对于选项ACD ，可以通过设直线AB ，再联立方程组，结合韦达定理一一判断即可.【详解】取()1,2A -，()1,2B ，满足4OA OB k k ⋅=-，从而OA OB +=B 错误；由题意可知直线AB 的斜率不为0，设直线AB 的方程为x my t =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立24x my ty x=+⎧⎨=⎩，整理得2440y my t --=，则124y y m +=，124y y t .因为1212121644OA OB y y k k x x y y t⋅===-=-，所以1t =，所以直线AB 的方程为1x my =+，则直线AB 过点()1,0，故C 正确；因为抛物线C 的焦点为()1,0F ，所以直线AB 过焦点F ，则由抛物线的性质可知24AB p ≥=，故A 正确；由上可得直线AB 的方程为1x my =+，则()21241y y m AB =-=+，原点O 到直线AB的距离d =则()21141222OABSAB d m ===⨯+，故D 正确. 故选：ACD.【点睛】解决直线与抛物线的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、抛物线的条件；(2)强化有关直线与抛物线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．三、填空题13．已知向量a ，b 的夹角为30°，|a |＝2，|b ||a +2b |＝__.【答案】【分析】根据平面向量的数量积计算模长即可.【详解】解：因为向量a ，b 的夹角为30°，|a |＝2，|b |所以（2a b +）22a =+4a b ⋅+42=b 22+4230cos ⨯︒+42⨯=28，所以|2a b +|＝.故答案为：14．在新冠肺炎疫情期间，为有效防控疫情，某小区党员志愿者踊跃报名参加值班工作.已知该小区共4个大门可供出入，每天有5名志愿者负责值班，其中1号门有车辆出入，需2人值班，其余3个大门各需1人值班，则每天不同的值班安排有___________种. 【答案】60【分析】根据题意，分2步进行分析：先从5人中选2人安排到1号门值班，再将剩下的3人分别安排到其他3个门值班，由分步计数原理计算可得答案. 【详解】根据题意，分2步进行分析：先从这5人中选取2人在1号门值班，共有25C 种情况，再将剩下的3人分别安排到其他3个门值班，有33A 种情况，故每天不同的值班安排有235360C A =种.故答案为：6015．已知函数()xf x e ax =+，当0x ≥时，()0f x ≥恒成立，则a 的取值范围为______．【答案】[),e -+∞【分析】求导得到()x f x e a '=+，讨论10a +和10a +<两种情况，计算10a +<时，函数()f x 在()()0,ln a -上单调递减，在()()ln ,a -+∞上单调递增，因为()0f x ≥，所以()ln 0a a a -+-≥，解不等式即可得结果．【详解】由题意可得()xf x e a '=+．因为0x ≥，所以()1f x a '≥+．当1a ≥-时，()0f x '≥，则()f x 在[)0,+∞上单调递增，从而()()min 010f x f ==>恒成立，故1a ≥-符合题意．当1a <-时，令()0f x '=，得()ln x a =-．因为()f x '在R 上单调递增．所以()f x 在()()0,ln a -上单调递减，在()()ln ,a -+∞上单调递增，则()()()()min ln ln f x f a a a a =-=-+-．因为()0f x ≥，所以()ln 0a a a -+-≥，即()ln 1a -≤，解得1e a -≤<-．综上，a 的取值范围为[),e -+∞．故答案为：[),e -+∞四、双空题16．双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，点P 是C 上一点，使得12F F ，2F P ，1F P 依次构成一个公差为2的等差数列，则双曲线C 的实轴长为___________，若12120F F P ∠=︒，则双曲线C 的离心率为___________. 【答案】232【分析】由双曲线的定义可得实轴长，由余弦定理可求得c ，进一步就可以求得离心率. 【详解】结合题意知1222a F P F P =-=，即1a =，则双曲线C 的实轴长为22a =. 又122F F c =，222F P c =+，124F P c =+，由余弦定理知22212(2)(22)(24)1cos 22(22)2c c c F F P c c ++-+∠==-⋅⋅+，解得32c =，故32e =. 故答案为：32,2.五、解答题17．在递增的等比数列{}n a 中，2532a a =，3412a a +=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）若1(1)nn n b a +=-，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】（1）12n n a -=；（2）1(2)23n n S +-+=-. 【分析】(1)由题意可得数列的公比与首项，进而可得出通项公式. (2)由(1)得出n b ，结合等比数列前n 项求和公式法即可.【详解】（1）由题意可得342534343212a a a a a a a a==⎧⎪+=⎨⎪<⎩，解得34a =，48a =，则11a =，2q.故1112n n n a a q --==.（2）由（1）可得12n n a +=，则(1)2n nn b =-⋅.故23123222(1)2n n n n S b b b b =++++=-+-++-121(2)(2)21(2)3nn +⎡⎤-⨯---+⎣⎦==---. 18．在①sin 2sin B C =，②3b c +=，③sin 8C =面问题中，并作答.问题：在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2a =，()cos 4cos a B c b A =-，且___________，求ABC 的面积.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】. 【分析】选条件①结合余弦定理求出1c =，2b =，然后即可求解；选条件②，结合余弦定理求出2bc =，然后即可求解；选条件③，结合余弦定理求出1c =，2b =，然后即可求解【详解】解：因为cos (4)cos a B c b A =-，所以sin cos (4sin sin )cos A B C B A =-，即sin cos sin cos sin()4sin cos A B B A A B C A +=+=.因为A B C π++=，所以()sin sin C A B =+，所以sin 4sin cos C C A =.因为sin 0C ≠，所以14cos A =，即1cos 4A =. 若选①，因为sin 2sin B C =，所以2b c =.由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，则22244c c c +-=，故1c =，2b =. 因为1cos 4A =，所以15sin 4A =，则ABC 的面积为111515sin 212244bc A =⨯⨯⨯=. 若选②，由余弦定理可得222252cos ()2a b c bc A b c bc =+-=+-，则5942bc -=，解得2bc =.因为1cos 4A =，所以15sin 4A =，则ABC 的面积为111515sin 212244bc A =⨯⨯⨯=. 若选③，因为1cos 4A =，所以15sin 4A =，因为15sin 8C =，所以sin 2sin A C =，所以112c a ==.由余弦定理可得222212cos 142a b c bc A b b =+-=+-=，即2260b b --=，解得2b =或32b =-(舍去).则ABC 的面积为111515sin 212244bc A =⨯⨯⨯=. 19．如图，在多面体ABCDFE 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，四边形ABEF 是直角梯形，其中90ABE ∠=︒，//AF BE ，且33DE AF BE ===.（1）证明：平面ABEF ⊥平面ABCD .（2）求二面角C DE F --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）连接BD ，由勾股定理得逆定理可得BE BD ⊥，结合BE AB ⊥可得BE ⊂平面ABEF ，进而证得结果；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，分别求得平面DEF 和平面CDE 的法向量，结合图形进而可得结果. 【详解】（1）证明：连接BD .因为ABCD 是边长为2的正方形，所以BD =因为33DE BE ==，所以1BE =，3DE =，所以222BE BD DE +=，则BE BD ⊥. 因为90ABE ∠=︒，所以BE AB ⊥. 因为ABBD B =，所以BE ⊥平面ABCD ，因为BE ⊂平面ABEF ，所以平面ABEF ⊥平面ABCD .（2）解：由（1）知AB ，AF ，AD 两两垂直，故以A 为坐标原点，以射线AB ，AF ，AD 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴建立如图所示的空问直角坐标系A xyz -. 则()0,0,2D ，()0,3,0F ，()2,1,0E ，()2,0,2C ，故()2,1,2DE =-，()2,0,0DC =，()0,3,2FD =-.设平面DEF 的法向量为()111,,m x y z =，则11111220320m DE x y z m FD y z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令13z =，则()2,2,3m =.设平面CDE 的法向量为()222,,n x y z =，则222222020n DE x y z n DC x ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅==⎪⎩，令21z =，则()0,2,1n =. 4cos ,17m n m n m n⋅+===记二面角C DE F --的平面角为θ，由图可知θ为钝角，则cos θ=.20．科技是国家强盛之基，创新是民族进步之魂.当今世界，科学技术日益渗透到经济发展､社会发展和人类生活的方方面面，成为生产力中最活跃的因素，科学技术的重要性也逐渐突显出来.某企业为提高产品质量，引进了一套先进的生产线设备.为了解该生产线输出的产品质量情况，从中随机抽取200件产品，测量某项质量指数，根据所得数据分成[)17.5,18.0，[)18.0,18.5，[)18.5,19.0，[)19.0,19.5，[]19.5,20.0这5组，得到频率分布直方图如图所示.若这项质量指数在[)18.0,19.5内，则称该产品为优等品，其他的称为非优等品.（1）估计该生产线生产的产品该项质量指数的中位数(结果精确到0.01)；（2）按优等品和非优等品用分层抽样的方法从这200件产品中抽取10件产品，再从这10件产品中随机抽取3件，记优等品的数量为X ，求X 的分布列与期望. 【答案】（1）中位数为18.64；（2）分布列答案见解析，数学期望：125. 【分析】（1）根据频率分布直方图的数据进行估计该项质量指数的中位数即可；（2）首先确定抽取10件产品中有8件优等品，2件非优等品，最后根据超几何分布求解分布列和数学期望即可.【详解】解：（1）因为()0.160.640.50.40.5+⨯=<，()0.160.640.720.50.760.5++⨯=>，所以该生产线生产的产品该项质量指数的中位数在[)18.5,19.0内. 设其中位数为m ，则()18.50.720.40.5m -⨯+=，解得18.64m ≈，即该生产线生产的产品该项质量指数的中位数约为18.64.（2）由题意可知样本中非优等品有()2000.160.240.540⨯+⨯=件，优等品有20040160-=件，则优等品应抽取160108200⨯=件，非优等品应抽取40102200⨯=件. 故X 的取值可能是1，2，3.()1282310C C 811C 12015P X ====，()2182310C C 5672C 12015P X ====，()38310C 5673C 12015P X ====，则X 的分布列为故177121231515155EX =⨯+⨯+⨯=. 21．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，且椭圆C 上的点到右焦点F 的距离最长为3.（1）求椭圆C 的标准方程.（2）过点F 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，AB 的中垂线1l 与x 轴交于点G ，试问AB FG是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由. 【答案】（1）22143x y +=；（2）是定值，定值为4.【分析】（1）由离心率，椭圆上的点到右焦点距离最大值为a c +和椭圆,,a b c 关系可构造方程组求得,a b ，进而得到椭圆标准方程；（2）当直线l 的斜率不为0时，设:1l x my =+，与椭圆联立可得韦达定理的形式，利用弦长公式可求得AB ，并利用中点坐标公式求得AB 中点H 坐标，由此可表示出1l 方程，从而求得G 点坐标，得到FG ，化简可得定值；当直线l 的斜率为0时，易求得满足所求定值；综合两种情况可得结论.【详解】（1）设椭圆的半焦距为c ，由题意可得：222312a c c a a b c+=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得：2a =，b =1c =，∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=. （2）当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为1x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，AB 的中点为()00,H x y .联立221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得：()2234690m y my ++-=，由题意可知：0m ≠，则122634my y m +=-+，122934y y m =-+，()2212134m AB m +∴==+.H 为AB 的中点，02334m y m -∴=+，0024134x my m =+=+，即2243,3434m H m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭. 直线1l 的方程可设为221343434m x y m m m ⎛⎫=-++ ⎪++⎝⎭，令0y =得：2134x m =+，则()22231113434m FG m m +=-=++，()()22221213443134m ABm FG m m ++∴==++. 当直线l 的斜率为0时，24AB a ==，1FG c ==，则4ABFG=. 综上所述：AB FG为定值，且定值为4.【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的定值问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于x 或y 的一元二次方程的形式； ②利用0∆>求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式； ③利用韦达定理表示出所求量； ④化简所得式子，消元可得定值.22．已知函数()sin 2cos f x x x x x =++，()f x '为()f x 的导函数. （1）证明：()f x '在π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭内存在唯一零点.（2）当π,2π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x ax ≤，求a 的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）[)2,+∞.【分析】（1）判断导函数()f x '在π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭的单调性，结合零点存在定理进行证明即可；（2）因为()f x ax ≤在π,2π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，至少需要πππ22f a ⎛⎫=≤⋅ ⎪⎝⎭，()2π2π22πf a =+≤成立，进而获得2a ≥，又由（1）知()f x 在0π,2x ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在(]0,2πx 上单调递增，根据单调性最后证明2a ≥时，()f x ax ≤在π,2π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立即可.【详解】证明：因为()sin 2cos f x x x x x =++，所以()cos sin 1f x x x x '=-+. 记()()cos sin 1g x f x x x x '==-+，则()sin g x x x '=-.当π,π2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0g x '<；当(]π,2πx ∈时，()0g x '>.()g x 在π,π2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在(]π,2π上单调递增，即()f x '在π,π2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在(]π,2π上单调递增.因为π02f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，()ππ10f =-'+<，()2π2π10f '=+>，所以存在唯一()0π,2πx ∈，使得()0f x '=，即()f x '在π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭内存在唯一零点.解：由（1）可知当0π,2x x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0f x '<；当(]0,2πx x ∈时，()0f x '>.所以()f x 在0π,2x ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在(]0,2πx 上单调递增.因为当π,2π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x ax ≤恒成立，则至少满足πππ22f a ⎛⎫=≤⋅ ⎪⎝⎭，()2π2π22πf a =+≤，即2a ≥，①当π3π,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，3π02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()max ππ2f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，满足()2f x x ≤；②当3π,2π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()max 2π2π2f x f ==+，而3π223π2x ≥⋅=，满足()2f x x ≤.即当π,2π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，都有()2f x x ≤.又当2a ≥，π,2π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2ax x ≥，从而当2a ≥时，()f x ax ≤对一切π,2π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立.故a 的取值范围为[)2,+∞.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．。

广东省广州市2021届新高考数学二模试卷含解析

广东省广州市2021届新高考数学二模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知点P是双曲线2222:1(0,0,x y C a b c a b-=>>=上一点，若点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离之积为214c ，则双曲线C 的离心率为（） ABCD ．2【答案】A 【解析】【分析】设点P 的坐标为(,)m n ，代入椭圆方程可得222222b m a n a b -=，然后分别求出点P 到两条渐近线的距离，由距离之积为214c ，并结合222222b m a n a b -=，可得到,,a b c 的齐次方程，进而可求出离心率的值. 【详解】设点P 的坐标为(,)m n ，有22221m n a b-=，得222222b m a n a b -=.双曲线的两条渐近线方程为0bx ay -=和0bx ay +=，则点P 到双曲线C的两条渐近线的距离之积为222222222b m a n a b a b c-==+，所以222214a b c c =，则22244()a c a c -=，即()22220c a -=，故2220c a -=，即2222c e a ==，所以e =故选：A. 【点睛】本题考查双曲线的离心率，构造,,a b c 的齐次方程是解决本题的关键，属于中档题.2．如图，已知平面αβ⊥，l αβ⋂=，A 、B 是直线l 上的两点，C 、D 是平面β内的两点，且DA l ⊥，CB l ⊥，3AD =，6AB =，6CB =．P 是平面α上的一动点，且直线PD ，PC 与平面α所成角相等，则二面角P BC D --的余弦值的最小值是（）A ．5 B ．3 C ．12D ．1【答案】B 【解析】【分析】PBA ∠为所求的二面角的平面角，由DAP CPB ~n n 得出PAPB，求出P 在α内的轨迹，根据轨迹的特点求出PBA ∠的最大值对应的余弦值【详解】DA l ⊥Q ，αβ⊥，l αβ⋂=，AD β⊂ AD α∴⊥，同理BC α⊥DPA ∴∠为直线PD 与平面α所成的角，CPB ∠为直线PC 与平面α所成的角DPA CPB ∴∠=∠，又90DAP CBP ∠=∠=︒DAP CPB ∴~n n ，12PA DA PB BC == 在平面α内，以AB 为x 轴，以AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系则()()3030A B -，，，，设()()0P x y y >， ()()2222233x y x y ∴++=-+()22516x y ++=P ∴在α内的轨迹为()50M -，为圆心，以4为半径的上半圆 Q 平面PBC ⋂平面BC β=，PB BC ⊥，AB BC ⊥PBA ∴∠为二面角P BC D --的平面角，∴当PB 与圆相切时，PBA ∠最大，cos PBA ∠取得最小值此时48PM MB MP PB PB ==⊥=，，，cos 82PB PBA MB ∠===故选B 【点睛】本题主要考查了二面角的平面角及其求法，方法有：定义法、三垂线定理及其逆定理、找公垂面法、射影公式、向量法等，依据题目选择方法求出结果．3． “完全数”是一些特殊的自然数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身.古希腊数学家毕达哥拉斯公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28，进一步研究发现后续三个完全数”分别为496，8128，33550336，现将这五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28不在同一组的概率为（） A ．15B ．25C ．35D ．45【答案】C 【解析】【分析】先求出五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个的基本事件总数为2510C =，再求出6和28恰好在同一组包含的基本事件个数，根据即可求出6和28不在同一组的概率. 【详解】解：根据题意，将五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则基本事件总数为2510C =，则6和28恰好在同一组包含的基本事件个数21234C C +=， ∴6和28不在同一组的概率1043105P -==. 故选：C. 【点睛】本题考查古典概型的概率的求法，涉及实际问题中组合数的应用.4．函数()231f x x x =-+在[]2,1-上的最大值和最小值分别为（） A ．23，-2 B ．23-，-9 C ．-2，-9 D ．2，-2【答案】B 【解析】【分析】由函数解析式中含绝对值，所以去绝对值并画出函数图象，结合图象即可求得在[]2,1-上的最大值和最小值. 【详解】依题意，()151,2323111,13x x f x x x x x ⎧+-≤<-⎪⎪=-+=⎨⎪---≤≤⎪⎩，作出函数()f x 的图象如下所示；由函数图像可知，当13x =-时，()f x 有最大值23-，当2x =-时，()f x 有最小值9-. 故选：B. 【点睛】本题考查了绝对值函数图象的画法，由函数图象求函数的最值，属于基础题. 5．若5(1)(1)ax x ++的展开式中23,x x 的系数之和为10-，则实数a 的值为（） A ．3- B ．2- C ．1-D ．1【答案】B 【解析】【分析】由555(1)(1)(1)(1)ax x x ax x ++=+++，进而分别求出展开式中2x 的系数及展开式中3x 的系数，令二者之和等于10-，可求出实数a 的值. 【详解】由555(1)(1)(1)(1)ax x x ax x ++=+++，则展开式中2x 的系数为1255105C aC a +=+，展开式中3x 的系数为32551010C aC a +=+，二者的系数之和为(105)(1010)152010a a a +++=+=-，得2a =-.【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 6．已知函数2(0x y a a -=>且1a ≠的图象恒过定点P ，则函数1mx y x n+=+图象以点P 为对称中心的充要条件是( ) A ．1,2m n ==- B ．1,2m n =-= C ．1,2m n == D ．1,2m n =-=-【答案】A 【解析】【分析】由题可得出P 的坐标为(2,1)，再利用点对称的性质，即可求出m 和n . 【详解】根据题意，201x y -=⎧⎨=⎩，所以点P 的坐标为(2,1)，又1()1mx m x n mn y m x n x n +++-===+++ 1mnx n-+，所以1,2m n ==-. 故选：A. 【点睛】本题考查指数函数过定点问题和函数对称性的应用，属于基础题.7．已知F 是双曲线22:4||C kx y k +=（k 为常数）的一个焦点，则点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为（） A ．2k B ．4k C ．4 D ．2【答案】D 【解析】【分析】分析可得k 0<,再去绝对值化简成标准形式,进而根据双曲线的性质求解即可. 【详解】当0k ≥时,等式224||kx y k +=不是双曲线的方程；当k 0<时,224||4kx y k k +==-,可化为22144y x k -=-,可得虚半轴长2b =,所以点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为2. 故选：D本题考查双曲线的方程与点到直线的距离.属于基础题. 8．已知函数()()1xf x k xe =-，若对任意x ∈R ，都有()1f x <成立，则实数k 的取值范围是（）A ．(),1e -∞-B ．()1,e -+∞C ．(],0e -D ．(]1,1e -【答案】D 【解析】【分析】先将所求问题转化为()11e x k x -<对任意x ∈R恒成立，即1xy e =得图象恒在函数 (1)y k x =-图象的上方，再利用数形结合即可解决.【详解】由()1f x <得()11e x k x -<，由题意函数1xy e =得图象恒在函数(1)y k x =-图象的上方，作出函数的图象如图所示过原点作函数1xy e =的切线，设切点为(,)a b ，则1e e aa b a a --==，解得1a =-，所以切线斜率为e -，所以e 10k -<-≤，解得1e 1k -<≤. 故选：D. 【点睛】本题考查导数在不等式恒成立中的应用，考查了学生转化与化归思想以及数形结合的思想，是一道中档题. 9．执行如图所示的程序框图后，输出的值为5，则P 的取值范围是（）.A ．37,48⎛⎤⎥⎝⎦B ．59,610⎛⎤⎥⎝⎦C ．715,816⎛⎤⎥⎝⎦D ．1531,1632⎛⎤⎥⎝⎦ 【答案】C 【解析】【分析】框图的功能是求等比数列的和，直到和不满足给定的值时，退出循环，输出n. 【详解】第一次循环：1,22S n ==；第二次循环：2113,3224S n =+==；第三次循环：231117,42228S n =++==；第四次循环：234111115,5222216S n =+++==；此时满足输出结果，故715816P <≤. 故选：C. 【点睛】本题考查程序框图的应用，建议数据比较小时，可以一步一步的书写，防止错误，是一道容易题. 10．如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1AB 的中点，,M N 分别为线段1AC 和棱11B C 上任意一点，则22PM MN 的最小值为（）A ．22B ．2C ．3D ．2【答案】D 【解析】【分析】取AC 中点E ，过M 作MF ⊥面1111D C B A ，可得MFN ∆为等腰直角三角形，由APM AEM ∆≅∆，可得PM EM =，当11MN B C ⊥时， MN 最小，由 22MF MN =，故()122222222PM MN PM MN EM MF AA ⎛⎫+=+=+≥= ⎪ ⎪⎝⎭，即可求解.【详解】取AC 中点E ，过M 作MF ⊥面1111D C B A ，如图：则APM AEM ∆≅∆，故PM EM =，而对固定的点M ，当11MN B C ⊥时， MN 最小．此时由MF ⊥面1111D C B A ，可知MFN ∆为等腰直角三角形，2MF =，故()122222222PM MN PM MN EM MF AA ⎛⎫=+=+≥= ⎪ ⎪⎝⎭. 故选：D【点睛】本题考查了空间几何体中的线面垂直、考查了学生的空间想象能力，属于中档题.11．定义在上的函数满足，且为奇函数，则的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】根据为奇函数，得到函数关于中心对称，排除，计算排除，得到答案.【详解】为奇函数，即，函数关于中心对称，排除.，排除.故选：.【点睛】本题考查了函数图像的识别，确定函数关于中心对称是解题的关键.12．某校在高一年级进行了数学竞赛（总分100分），下表为高一·一班40名同学的数学竞赛成绩：55 57 59 61 68 64 62 59 80 8898 95 60 73 88 74 86 77 79 9497 100 99 97 89 81 80 60 79 6082 95 90 93 90 85 80 77 99 68如图的算法框图中输入的i a为上表中的学生的数学竞赛成绩，运行相应的程序，输出m，n的值，则-=（）m nA ．6B ．8C ．10D ．12【答案】D 【解析】【分析】根据程序框图判断出,n m 的意义，由此求得,m n 的值，进而求得m n -的值. 【详解】由题意可得n 的取值为成绩大于等于90的人数，m 的取值为成绩大于等于60且小于90的人数，故24m =，12n =，所以241212m n -=-=.故选：D 【点睛】本小题考查利用程序框图计算统计量等基础知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力和数学应用意识. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

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