江苏省盐城市盐城中学2020届高三数学上学期第一次月考试题【带解析】
江苏省盐城市20202020学年度高三第一次调研考试数学试题 人教版
江苏省盐城市20202020学年度高三第一次调研考试数学试题一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，恰．有一项．．．是符合题目要求的．）1．若cos 0θ>，且sin 20θ<，则角θ的终边所在象限是A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设数列{}n a 是各项互不相等的等比数列，1239,18a a a =+=，则公比q 等于 Ａ．2- Ｂ． 1- Ｃ．12-Ｄ． 1 3． 已知m ，n 是不重合的两条直线，α，β，γ是不重合的三个平面，下列四个命题正确的是A ．若m ∥α，则m 平行于α内的任意一条直线B ．若α∥β ，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥nC ．若m ∥n ，m ⊥α， n ⊥β，则α∥βD ．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β4．已知圆2210x y +=，动点M 在以P (1,3)为切点的切线上运动，则线段OM 中点的轨迹方程为 Ａ．340x y -+= Ｂ．350x y +-= Ｃ．3100x y +-= Ｄ． 3200x y +-= 5．若两个函数的图像经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数．给出下列三个函数：1()sin cos f x x x =+，2()f x x =3()sin f x x =，则Ａ．123(),(),()f x f x f x 为“同形”函数Ｂ．12(),()f x f x 为“同形”函数，且它们与3()f x 不为“同形”函数 Ｃ．13(),()f x f x 为“同形”函数，且它们与2()f x 不为“同形”函数 Ｄ．23(),()f x f x 为“同形”函数，且它们与1()f x 不为“同形”函数6． 某体育彩票规定：从01至36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元．某人从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号，将这7个号组成一注，若这个人把这种特殊要求的所有注买全，至少要花费Ａ．3360元 B ．6720元 C ．4320元 D ．8640元7．若椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，线段21F F 被抛物线bx y 22=的焦点F 分成5﹕3的两段，则此椭圆的离心率为A ．552 B ． 54 C ． 1716D ．17174 8．若向量(cos ,sin )x αα=r ，(cos ,sin )y ββ=u r，则下列结论一定成立的是Ａ． x r ∥y r Ｂ． x y ⊥r rＣ．x r 与y u r 的夹角等于αβ- Ｄ．()()x y x y +⊥-r r r r9．菱形ABCD 中，2AB =，060BCD ∠=，现将其沿对角线BD 折成直二面角A BD C --（如图），则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为 AB ．C ．14D ．3410．定义{}max ,aa b a b ba b≥⎧=⎨<⎩，设实数,x y 满足约束条件22x y ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，{}max 4,3z x y x y =+-，则z 的取值范围是A ．[－6，10]B ．[－7，10]C ．[－6，8]D ． [－7，8] 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11．设2012(1)n nn x a a x a x a x +=+++L ，若322a a =，则n = ▲ ．12．如图所示两个带指针的转盘，每个转盘被分成5个区域，指针落在5个区域的可能性相等，每个区域内标有一个数字，则两个指针同时落在奇数所在区域内的概率为 ▲ ．13．若函数32()234f x x x ax a =+++有一个极大值和一个极小值，则a 的取值范围是 ▲ ． 14．已知函数cos ()cos()6xf x x π=-，则()()3f x f x π+-的值为 ▲ ．15．点O 是四边形ABCD 内一点，满足0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ，若AB AD DC AO λ++=u u u r u u u r u u u r u u u r， 则λ= ▲ ．16．函数()f x 满足1(0,1)1()xa a a f x =>≠+，若12()()1f x f x +=，则12()f x x +的最大值为 ▲ ．三、解答题：（本大题共5小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2a =，cos 2cos()A B C =+，2AB AC ⋅=u u u r u u u r．求角A 及边,b c 的大小．18．（本小题满分14分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右两个焦点分别为12,F F ．过右焦点2F 且与x 轴DCBA垂直的直线l 与双曲线C相交，其中一个交点为M ． （１） 求双曲线C 的方程；（２）设双曲线C 的虚轴一个端点为(0,)B b -，求1F BM ∆的面积． 19．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，090ACB ∠=，2AC =，11BC BB ==，D 是棱11A C 的中点．（１） 设平面1BB D 与棱AC 交于点E ，确定点E 的位置并给出理由；（２） 求直线AB 与平面1BB D 所成角的大小； （３） 求二面角1B AD B --的大小． 20．（本小题满分16分）已知“接龙等差”数列12101120213031,,,,,,,,,,,a a a a a a a a L L L L 构成如下：11a =，1210,,,a a a L 是公差为1的等差数列；101120,,,a a a L 是公差为d 的等差数列；202130,,,a a a L 是公差为2d 的等差数列；L ；101011021010,,,,n n n n a a a a +++L 是公差为n d 的等差数列（*n N ∈）；其中0d ≠． （１） 若2080a =，求d ； （２） 设10n n b a =．求n b ；（３） 当1d >-时，证明对所有奇数n 总有5n b >．1B 1BA21．（本小题满分14分）已知集合{}121212(,)0,0,D x x x x x x k =>>+=．其中k 为正常数．（1）设12u x x =，求u 的取值范围． （2）求证：当1k ≥时不等式21212112()()()2k x x x x k--≤-对任意12(,)x x D ∈恒成立； （3）求使不等式21212112()()()2k x x x x k--≥-对任意12(,)x x D ∈恒成立的k 的范围．[参考答案]一、选择题二 填空题11． 8 ；12． 625；13． 4(,)9-∞ ．14．；15． 3 ； 16． 54．三、解答题 17．（本小题满分12分）解 由cos 2cos()A B C =+得22cos cos 10A A +-=， …………２分∴1cos 2A =或cos 1A =-（不合题意舍去）．∴60A =︒ …………4分 由题意，cos 2AB AC c b A ⋅=⋅⋅=u u u r u u u r，∴4b c ⋅= ①， …………7分由余弦定理得2222cosa b c bc A =+-，将2a =，cos 2b c A ⋅⋅=代入得228b c += ② …………10分 由①②解得2b c ==． …………12分 18．（本小题满分14分） 解(1)由条件可知c =21MF =，…………２分在直角12F F M ∆中13MF===，根据双曲线的定义得122312,1a MF MF a =-=-==，从而1b=， …………６分 所以双曲线方程为221x y -=． ………………………８分(2)由题意知1((0,1)M F B -,直线1MF 420y -+=，…10分 点B 到直线1MF 的距离d ==， ………………………12分又13MF =，所以11122F BMS MF d ∆==． ………………………14分19．（本小题满分14分）解（1）E 是AC 的中点． ………………………1分由棱柱的性质知1B B ∥平面11ACC A ,∵AB ⊆平面ABD ,平1B 1BA面11ACC A I 平面1BB D DE =，∴所以DE ∥1B B ，∴DE ∥1A A ，由D 是11A C 的中点知E 是AC 中点．………………………4分（2）∵1BB ⊥底面ABC ，∴平面1BB DE ⊥底面ABC ，过A 点作AM ⊥BE ，M 是垂足，M 在BE 的延长线上，∴AM ⊥平面1BB DF ，ABM ∠就是直线AB 与平面1BDB 所成角．………………………6分在直角ACB ∆中，AB =045BEC AEM ∠=∠=，所以AM =∴sin 10ABM ∠==，ABM ∠=． …………8分（或在△ABC 中，∠ABM ＝∠ABE ＝∠ABC －∠CBE ＝arctan 24π-）（3）解法一．如图１，在直角1AA D中AD =1BB D ∆中BD =，在直角ACB ∆中AB =222AB AD BD =+，∴AD DB ⊥．在1ADB ∆中，11AD DB AB ===01120ADB ∠=，01130DAB DB A ∠=∠=过点D 作DP AD ⊥，垂足为P ，则PDB ∠是二面角1B AD B --的平面角． ……11分 连BP ．在等腰1ADB ∆中1DP B P ==，在直角1ABB ∆中1BP =， 在PDB ∆中，222cos 2DP DB PBPDB DP DB+-∠=⋅2213+-==, ∴二面角1B AD B --的大小为． ………14分 解法二：设平面ABD 与棱11B C 交于点F ，则F 为11B C 中点，如图，过点1B 作1B N ⊥DF ,垂足N 在DF 的延长线上,连BN ,∵1BB DF ⊥,∴DF ⊥平面1BB N ,作1B H BN ⊥,H 为垂足,∵11,B H BN B H DF ⊥⊥，∴1B H ⊥平面A1ABFD ，作1,B O AD O ⊥为垂足，连OH ，由三垂线逆定理知OH AD ⊥，∴1B OH ∠是二面角1B AD B --的平面角． ………………11分 在直角1B NF 中,得1B N =1BB N ∆中得1B H = 在1ADB中，11AD DB AB，得1B O =…………12分 在直角1B HO ∆中，11sin 3B OH ∠==，所以二面角1B AD B --的大小是1arcsin 3． ………………14分 20、（本小题满分16分）解(1) 由1210,,,a a a L 是首项为1，公差为1的等差数列得1010a =，101120,,,a a a L 是公差为d 的等差数列得201010101080a a d d =+=+=，解得7d =． ……………4分(2) 由题意有 201010a a d =+，2302010a a d =+，3403010a a d =+， (1)1010(1)10n n n a a d--=+累加得211010101010n n a a d d d -=++++L 2110101010n d d d -=++++L ……………8分所以2110101010n n b d d d -=++++L 10(1)(1)110(1)n d d dn d ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩, ……………10分 （3）设n 为奇数,当(0,)d ∈+∞时211010101010n n b d d d-=++++>L ……………13分 当(1,0)d ∈-时, 10(1)1n n d b d -=-，由112d <-<及11nd ->有10(1)10512n n d b d -=>=- 综上所述，当n 为奇数且1d >-时，恒有5n b >． ……………16分21.（本小题满分14分）（1）221212()24x x k x x +≤=，当且仅当122kx x ==时等号成立，故u 的取值范围为2(0,]4k ． ……………3分（2）解法一（函数法）121212121221111()()x x x x x x x x x x x x --=+-- 222212121212121211122x x k k x x x x u x x x x x x u+--=+-=-+=-+ ……………4分由204k u <≤，又1k ≥，210k -≥，∴21()2k f u u u -=-+在2(0,]4k 上是增函数， ……………6分所以121211()()x x x x --=212k u u --+22222214222()4424k k k kk k k -≤-+=-+=- 即当1k ≥时不等式21212112()()()2k x x x x k--≤-成立． ……………8分解法二（不等式证明的作差比较法）21212112()()()2k x x x x k ----=21212212211424x x k x x x x x x k +----+ 212122122114()(2)4x x k x x x x k x x =----+-2221212122121244()4k x x k x x x x k x x x x ---=--， 将2212124()k x x x x -=-代入得21212112()()()2k x x x x k ----2221212212()(44)4x x k x x k k x x ---=， ……………5分 ∵212()0x x -≥，1k ≥时22221212444(1)0k x x k k k x x --=--<，∴2221212212()(44)04x x k x x k k x x ---≤，即当1k ≥时不等式21212112()()()2k x x x x k --≤-成立． ……………8分（3）解法一（函数法）记121211()()x x x x --=212()k u f u u -++=，则222()()22k k f k -=， 即求使2()()4k f u f ≥对2(0,]4k u ∈恒成立的k 的范围． ……………9分由（2）知，要使21212112()()()2k x x x x k--≥-对任意12(,)x x D ∈恒成立，必有01k <<，因此210k ->，∴函数21()2k f u u u-=++在上递减，在)+∞上递增， ……………11分要使函数()f u 在2(0,]4k 上恒有2()()4k f u f ≥，必有24k ≤，即4216160k k +-≤，解得0k <≤． ……………14分解法二（不等式证明的作差比较法）由(2)可知21212112()()()2k x x x x k ----=2221212212()(44)4x x k x x k k x x ---， 要不等式恒成立，必须2212440k x x k --≥恒成立， ……………10分即212244k x x k -≤恒成立， ……………11分 由21204k x x <≤得222444k k k-≤，即4216160k k +-≤， ……………13分解得0k <≤因此不等式21212112()()()2k x x x x k--≥-恒成立的k的范围是0k <≤．……………14分。
江苏省盐城市2020届高三数学上学期期中试题(1)
盐城市2020届高三年级第一学期期中考试数 学 试 题(总分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分. 请把答案填写在答题卡相应位置上. 1．已知集合{}1,3,6A =，{}1,2B =，则A B U = ▲ ． 2．函数2sin y x =的最小正周期为 ▲ ．3．若幂函数y x α=的图象经过点，则α的值为 ▲ ．4．在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若2a =，b =3B π=，则A = ▲ ．5．若命题“x R ∃∈，210x ax -+<”是真命题，则实数a 的取值范围是 ▲ ．6．在等差数列}{n a 中，若2523a a +=，则数列}{n a 的前6项的和6S = ▲ ． 7．若向量(2,3)a =r ，(3,3)b =r ，(7,8)c =r ，且(,)c xa yb x y R =+∈r r r，则x y += ▲ ．8．若函数x x a x x f ln )3()(2+++=在区间(1,2)上存在唯一的极值点，则实数a 的取值范围为 ▲ ．9．若菱形ABCD 的对角线AC 的长为4，则AB AC ⋅=uu u r uuu r▲ ．10．函数)sin()(ϕω+=x A x f （其中A ，ω，ϕ为常数，且0>A ，0>ω，22πϕπ<<-）的部分图象如图所示，若56)(=αf （20πα<<），则()6f πα+的值为 ▲ ．11．函数()f x 是以4为周期的奇函数，当[1,0)x ∈-时，()2x f x =，则2(log 20)f = ▲ ．12．设函数9()||()f x x a a R x=-+∈，若当(0,)x ∈+∞时，不等式()4f x …恒成立，则a 的取值范围是 ▲ ．13．在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知74,3==a A π，角A 的平分线交边BC 于点D ，其中33=AD ，则ABC S ∆= ▲ ．14．设数列{}n a 共有4项，满足12340a a a a >>>…，若对任意的,(14i j i j 剟?，且*,i j N ∈），j i a a -仍是数列{}n a 中的某一项. 现有下列命题：①数列{}n a 一定是等差数列；②存在14i j <剟，使得j i ja ia =；③数列{}n a 中一定存在一项为0. 其中，真命题的序号有 ▲ ．（请将你认为正确命题的序号都写上）二、解答题：本大题共6小题，共计90分. 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知3a =，7cos 9B =，且7BA BC ⋅=uu r uu u r . （1）求b 的值；（2）求sin()A B -的值．16．（本小题满分14分）记函数2()lg(1)f x ax =-的定义域、值域分别为集合,A B .（1）当1a =时，求A B I ；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.17．（本小题满分14分）设直线6x π=-是函数()sin cos f x x a x =+的图象的一条对称轴.（1）求函数()f x 的最大值及取得最大值时x 的集合； （2）求函数()f x 在[0,]π上的单调减区间.18．（本小题满分16分）2020年射阳县洋马镇政府投资8千万元启动“鹤乡菊海”观光旅游及菊花产业项目. 规划从2020年起，在相当长的年份里，每年继续投资2千万元用于此项目. 2020年该项目的净收入为5百万元（含旅游净收入与菊花产业净收入），并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的1.5倍. 记2020年为第1年，()f n 为第1年至此后第*()n n N ∈年的累计利润（注：含第n 年，累计利润 = 累计净收入－累计投入，单位：千万元），且当()f n 为正值时，认为该项目赢利.（1）试求()f n 的表达式；（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由. （参考数据：43()52≈，ln 20.7≈，ln3 1.1≈）19. （本小题满分16分）已知数列}{n a 满足11a =-，21a =，且*22(1)()2n n n a a n N ++-=∈.（1）求65a a +的值；（2）设n S 为数列}{n a 的前n 项的和，求n S ；（3）设n n n a a b 212+=-，是否存正整数,,()i j k i j k <<，使得k j i b b b ,,成等差数列？若存在，求出所有满足条件的k j i ,,；若不存在，请说明理由.20．（本小题满分16分）设函数()ln ()f x m x m R =∈，()cos g x x =.（1）若函数1()()h x f x x=+在(1,)+∞上单调递增，求m 的取值范围； （2）设函数()()()x f x g x ϕ=+，若对任意的3(,)2x ππ∈，都有()0x ϕ…，求m 的取值范围；（3）设0m >，点00(,)P x y 是函数()f x 与()g x 图象的一个交点，且函数()f x 与()g x 的图象在点P 处的切线互相垂直，求证：存在唯一的0x 满足题意，且0(1,)2x π∈.数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.1.{}1,2,3,62.π3.12 4.2π5.(,2)(2,)-∞-+∞U6.27.838.15(,6)2-- 9. 8 10. 11.45- 12. (,2]-∞ 13.14.①②③二、解答题：本大题共6小题，共计90分.15．解：（1）由7BA BC ⋅=uu r uu u r ，得cos 7ac B =，即7379c ⨯=，解得3c =. (3)分在ABC ∆中，由余弦定理，得2222272cos 3323349b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=， 所以2b =. ………………6分 （2）因为7cos 9B =，所以B为锐角，故sin 9B =. ………………8分 又由余弦定理，得2222222331cos 22233b c a A bc +-+-===⨯⨯， 所以A 为锐角，且sin A =. ………………11分所以71sin()sin cos cos sin 393927A B A B A B -=-=-⨯=.………………14分16．解：（1）当1a =时，2()lg(1)f x x =-，由210x ->，得(1,1)A =-. ……………2分又2011x <-…，所以(,0]B =-∞. ……………4分故(1,0]A B =-I . ……………6分（2）“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件⇔B A Ü. ……………8分 ①当0a =时，A R=，{}0B =，适合题意； ……………9分②当0a <时，A R=，[0,)B =+∞，适合题意； ……………11分③当0a >时，(A =，(,0]B =-∞，不适合题意. ……………13分综上所述，实数a 的取值范围是(,0]-∞. ……………14分17．解：（1）因为直线6x π=-是函数()f x 的图象的对称轴，所以()()66f x f x ππ-+=--对x R ∈恒成立. ……………2分所以sin()cos()sin()cos()6666x a x x a x ππππ-++-+=--+--对x R ∈恒成立，即(0a x +=对x R∈恒成立，所以a =. ……………6分从而()sin 2sin()3f x x x x π==-. ……………8分故当232x k πππ-=+，即52()6x k k Z ππ=+∈时，()f x 取得最大值为2. ……………10分（说明：其它方法的，类似给分）（2）由322232k x k πππππ+-+剟，解得()f x 的递减区间为511[2,2]()66k k k Z ππππ++∈. …12分从而()f x 在[0,]π上的减区间为5[,]6ππ.（注：区间的形式不唯一） ……………14分18．解：（1）由题意知，第1年至此后第*()n n N ∈年的累计投入 为82(1)26n n +-=+（千万元）， ……………3分第1年至此后第*()n n N ∈年的累计净收入为1211131313()()()2222222n -+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯13(()1)322()13212nn -==--（千万元）. ………7分所以33()()1(26)()2722n n f n n n =--+=--（千万元）. ……………8分（2）方法一：因为133(1)()[()2(1)7][()27]22n n f n f n n n ++-=-+----13[()4]22n =-，所以当3n …时，(1)()0f n f n +-<，故当4n …时，()f n 递减； 当4n …时，(1)()0f n f n +->，故当4n …时，()f n 递增. ……………12分又15(1)02f =-<，732733(7)()215210288f =-≈⨯-=-<， 83(8)()232523202f =-≈-=>.所以，该项目将从第8年开始并持续赢利. ……………15分答：该项目将从2023年开始并持续赢利. ……………16分方法二：设3()()27(1)2xf x x x =--…，则33()()ln 222xf x '=-， 令()0f x '=，得3222()532ln 3ln 2 1.10.7ln 2x==≈=--，所以4x ≈. 从而当[1,4)x ∈时，()0f x '<，()f x 递减； 当(4,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 递增. ……………12分又15(1)02f =-<，7333(7)()21028f =-≈-<， 83(8)()232523202f =-≈-=>.所以，该项目将从第8年开始并持续赢利. ……………15分答：该项目将从2023年开始并持续赢利. ……………16分 19．解：（1）由题意，当n 为奇数时，n n a a 212=+；当n 为偶数时，n n a a 232=+. …………2分又11a =-，21a =，所以49,23;41,216453==-=-=a a a a ，即265=+a a . …………4分（2）①当2n k =时，21321242()()n k k k S S a a a a a a -==++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+131(1())1(1())22131122k k -⋅-⋅-=+--312[()()]422k k =+-22312[()()]422n n =+-. ……………6分②当21n k =-时，22n k k S S a =-13132[()()]4()222k k k -=+--11312()()422k k --=⨯+-1122312()()422n n --=⨯+-. ……………8分所以，*2211*22312()2()4,,,22312()()4,,22n nn n n n n N S n n N --⎧⨯+⨯-∈⎪⎪=⎨⎪⨯+-∈⎪⎩为偶数为奇数 ……………9分 （3）由（1），得1121231022n n n n n b a a ---⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭…（仅10b =且{}n b 递增）. ……………10分因为k j >>，且,k j Z ∈，所以1k j +….①当2k j +…时，2k j b b +…，若k j i b b b ,,成等差数列，则 1111231312222222j j j j i j k j j b b b b b --+++⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=---⎢⎥⎢⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦…11137104242j j --⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 此与0n b …矛盾.故此时不存在这样的等差数列. ……………12分②当1k j =+时，1k j b b +=，若k j i b b b ,,成等差数列，则11131312222222j j j j i j k j j b b b b b --+⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=---⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦111331()()2222j j --=⨯-⨯，又因为i j <，且,i j Z ∈，所以1i j -….若2i j -…，则2i j b b -刡，得1133133131()()()()222222j j j j ----⨯-⨯-…， 得3331()5()022j j --+⨯?，矛盾，所以1i j =-=.从而112j j j b b b -+=+，得11223131312222222j j j j j j ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，化简，得231j -=，解得2j ==. ……………15分从而，满足条件的k j i ,,只有唯一一组解，即1i =，2j =，3k =. ……………16分20．解：（1）由题意，知1()ln h x m x x =+，所以21()m h x x x'=-. 由题意，21()0m h x x x '=-…，即1m x…对(1,)x ∈+∞恒成立. ……………2分又当(1,)x ∈+∞时，11x<，所以1m …. ……………4分（2）因为()()()ln cos x f x g x m x x ϕ=+=+，所以()sin mx x xϕ'=-. ①当0m …时，因为3(,)2x ππ∈，所以ln 0x >，cos 0x <，故()0x ϕ<，不合题意.…6分②当0m >时，因为3(,)2x ππ∈，所以()0x ϕ'>，故()x ϕ在3(,)2ππ上单调递增. ……8分欲()0x ϕ…对任意的3(,)2x ππ∈都成立，则需()0ϕπ…，所以ln cos 0m ππ+…，解得1ln m π…. 综上所述，m的取值范围是1[,)ln π+∞. ……………10分 （3）证明：因为()mf x x '=，()sing x x '=-，且函数()f x 与()g x 在点00(,)P x y 处的切线互相垂直，所以00(sin )1mx x ⋅-=-，即00sin m x x = （*）.又点00(,)P x y 是函数()f x 与()g x 的一个交点，所以00ln cos m x x = （**）.由（*）（**）消去m ，得0000ln sin cos 0x x x x -=. ……………12分 ①当0(0,1]x ∈时，因为0m >，所以0ln 0m x …，且0cos 0x >，此与（**）式矛盾. 所以在(0,1]上没有x 适合题意. ……………13分 ②当0(1,)x ∈+∞时，设()ln sin cos r x x x x x =-，(1,)x ∈+∞. 则()ln 1cos 20r x x x '=+->，即函数()r x 在(1,)+∞上单调递增， 所以函数()r x 在(1,)+∞上至多有一个零点. 因为(1)ln1sin1cos1sin1cos10r =-=-<，()ln sin cos ln 02222222r πππππππ=-=>，且()r x 的图象在(1,)+∞上不间断，所以函数()r x 在(1,)2π有唯一零点.即只有唯一的0(1,)x ∈+∞，使得0000ln sin cos 0x x x x -=成立，且0(1,)2x π∈.综上所述，存在唯一的0(0,)x ∈+∞，且0(1,)2x π∈. ……………16分。
江苏省盐城市盐城中学2020届高三上学期第一次月考数学试题
第1页，总17页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………江苏省盐城市盐城中学2020届高三上学期第一次月考数学试题题号 一 二 总分 得分评卷人 得分一、填空题 本大题共14道小题。
1.如下图，在直角梯形ABCD 中，//,90,4,2,AB CD ADC AB AD E ∠===为BC 中点，若·4AB AC =，则·AE BC =_______________．答案及解析：1.132-【详解】以A 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设()0CD m m =>，结合题意可得：()()((0,0,4,0,2,2,A B C m C 则 ()(4,0,,2AB AC m ==， 故 44,1AB AC m m ⋅==∴=，即(2C ，则522E ⎛ ⎝⎭，据此有()521513,,3,2,12222AE BC AE BC ⎛⎫==-⋅=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭.答案第2页，总17页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………2.设向量(sin 2,cos )a θθ=，(cos ,1)b θ=，则“//a b ”是“1tan 2θ=”成立的 条件 (选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”) .答案及解析：2.必要不充分【详解】试题分析：2//(sin 2,cos )//(cos ,1)sin 2cos cos 02sin cos a b θθθθθθθθ⇔⇔=⇔==或1cos 0tan 2θθ⇔==或，所以“//a b ”是“1tan 2θ=”成立的必要不充分条件考点：向量共线 3.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，11132S =，6930a a +=，则12a 的值为____．答案及解析：3.24 【分析】首先根据等差数列的前n 项和公式和等差中项，即可求出6a 的值，再根据等差数列的通项公式和6930a a +=，即可求出9a ，进而求出12a 的值.【详解】因为11132S =，所以，11111()2a a +＝132，即116a ＝132，所以，6a ＝12 又6930a a +=，所以，9a ＝18，因为61292a a a +=，所以，可求得：12a ＝24。
2020年江苏省盐城中学高考数学一模试卷 (含答案解析)
2020年江苏省盐城中学高考数学一模试卷一、填空题（本大题共14小题，共42.0分）1. 若集合A ={x|1<x <3}，B ={0,1，2，3}，则A ∩B =_________．2. 已知i 为虚数单位，若a+bi1+i =2+i(a,b ∈R)，则ab = ______ ． 3. 运行如图所示的程序，输出的结果是________．4. 某学生参加2门选修课的考试．假设该学生第一门、第二门课程取得A 的概率依次为45、35，且不同课程是否取得A 相互独立．则该生只取得一门课程A 的概率为______ 5. 设函数f(x)=k−2x 1+k⋅2x，则k =−1是函数f(x)为奇函数的______条件(选填“充分不必要、必要不充分、既不充分又不必要、充要”之一)6. 若k 1,k 2,⋯,k 8的方差为3，则2(k 1−3),2(k 2−3),⋯,2(k 8−3)的方差为________．7. 已知一个正四棱柱的底面边长为1，其侧面的对角线长为2，则这个正四棱柱的侧面积为 ．8. 已知f(x)是定义在R 上的偶函数，且是以2为周期的函数，当x ∈[0,1]时，f(x)=x ，则f(7.5)=________．9. 设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若2(a 1+a 2)=3a 1a 2，且4S 3，3S 4，2S 5成等差数列，则S 10的值为___________． 10. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的离心率为2，焦点与椭圆x 225+y 29=1的焦点相同，那么双曲线渐近线方程为______ ．11. 已知点P 在直线x +2y −l =0上，点Q 在直线x +2y +3=0，PQ 的中点为M(x 0,y 0)，且−1≤y 0−x 0≤7，则y 0x 0 的取值范围是______．12. 已知f(x)=6−12x +x 3,x ∈[−13,1]，则函数的最大值为______ ，最小值为______ ． 13. 若b ⃗ =(1,1)，a ⃗ ⋅b ⃗ =2，|a ⃗ −b ⃗ |=√7，则|a ⃗ |= ______ ． 14. 曲线y =e x +2x +1在点A(0,2)处的切线方程______ ． 二、解答题（本大题共10小题，共112.0分）15.已知向量a⃗=(1,cos2x),b⃗ =(sin2x,−√3)，函数．f(x)=a⃗⋅b⃗(I)若f(θ2+2π3)=65，求cos2θ的值；(II)若x∈[0,π2]，求函数f(x)的值域．16.如图，在三棱柱A1B1C1−ABC中，已知E，F，G分别为棱AB，AC，A1C1的中点，∠ACB=90°，A1F⊥平面ABC，CH⊥BG，H为垂足．求证：(1)A1E//平面GBC；(2)BG⊥平面ACH．17.椭圆C：x2a2+y2b2=1过点A(1,32)，离心率为12，左右焦点分别为F1、F2.过点F1的直线l交椭圆于A、B两点．(1)求椭圆C的方程．(2)当△F2AB的面积为12√27时，求l的方程．18.如图，在四边形ABCD中，∠B=2π3，AB=√3，△ABC的面积为3√34．(1)求AC；(2)若BC⊥CD，∠D=π4，求AD．19.已知数列{a n}的前n项和S n，a1=t(t≠−1)，S n+2a n+1+n+1=0，且数列{a n+1}为等比数列．(1)求实数t的值；(2)设T n为数列{b n}的前n项和，b1=1，且T n+1n+1−T nn=1.若对任意的n∈N∗，使得不等式b1+1a1+1+b2+1 a2+1+⋯+b n+1a n+1≥ma n+1恒成立，求实数m的最大值．20. 已知函数f(x)=exx ．(1)求曲线y =f(x)在点P(2,e 22)处的切线方程； (2)证明：．21. 已知矩阵M =[ab cd ]，N =[10012]，且(MN)−1=[14002]，求矩阵M ．22. 已知在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为{x =3+2cosθy =−4+2sinθ(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ−π4)=√2 (1)求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程(2)设M 是直线l 上任意一点，过M 做圆C 切线，切点为A 、B ，求四边形AMBC 面积的最小值．23. 设(3x −1)n =a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a n x n ，已知展开式中二项式系数最大的是四、五两项，求：(1)∑|n i=1a i |； (2)∑|n i=1ia i |；(3)求展开式中系数绝对值最大的项．24. 已知a ，b ，c ，d ∈(0,+∞)，求证ac +bd ≤√(a 2+b 2)(c 2+d 2)．-------- 答案与解析 --------1.答案：{2}解析：【分析】本题考查了交集及其运算，是基础题．根据交集的定义写出A∩B．【解答】解：集合A={x|1<x<3}，B={0,1，2，3}，则A∩B={2}．故答案为：{2}．2.答案：3=2+i，解析：解：∵a+bi1+i∴a+bi=(1+i)(2+i)=2+2i+i−1=1+3i，∴a=1，b=3，a⋅b=3．故答案为：3．化简复数的表达式，利用复数的相等，求出a，b即可求出a+bi．本题考查复数代数形式的乘除运算，复数相等的充要条件，高考常考题型．3.答案：3解析：【分析】本题主要考查了赋值语句，理解赋值的含义是解决问题的关键，属于基础题．【解答】解：a=1，b=2，接下来：a=1+2=3，故最后输出3．故答案为3．4.答案：1125解析：解：某学生参加2门选修课的考试．假设该学生第一门、第二门课程取得A 的概率依次为45、35，且不同课程是否取得A 相互独立． ∴该生只取得一门课程A 的概率为： p =45×(1−35)+(1−45)×35=1125．故答案为：1125．利用相互独立事件概率乘法公式能求出该生只取得一门课程A 的概率．本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．5.答案：充分不必要解析： 【分析】本题主要考查充要条件的应用，属于基础题． 【解答】解：由题意得，f (x )=−1−2x 1−2x,f (−x )=−1−2−x 1−2−x=−f (x )，充分性满足，f (x )+f (−x )=0，则k 不一定是−1，则k =−1是函数f(x)为奇函数的充分不必要条件． 故答案为充分不必要．6.答案：12解析： 【分析】本题考查平均数和方差的变换特点，若在原来数据前乘以同一个数，平均数也乘以同一个数，而方差要乘以这个数的平方，在数据上同加或减同一个数，方差不变．已知一组数据的方差，求在这一组上同时乘以2，再减去6的方差，根据在一组数据上都乘以一个数，则方差的变化是乘以一个数据的平方得到结果，在这组数据上减去6，方差不变． 【解答】解：∵k 1，k 2，…，k 8的方差为3，∴2k 1，2k 2，…，2k 8的方差是22×3=12， ∴2k 1−6，2k 2−6，…，2k 8−6的方差是12， 即2(k 1−3),2(k 2−3),⋯,2(k 8−3)的方差为12． 故答案为：12．。
南京盐城2020年高三一模数学试卷及答案
把答案写在答题卡的指定区域内．
15．(本小题满分 14 分)
已知△ABC 满足 sin(B＋π)＝2cosB． 6
（1）若 cosC＝ 6，AC＝3，求 AB；
3
（2）若 A∈(0，π)，且 cos(B－A)＝4，求 sinA．
3
5
16．(本小题满分 14 分)
如图，长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，已知底面 ABCD 是正方形，点 P 是侧棱 CC1 上的一点．
方法二：由点 A ， B 不重合可知直线 PA 与 x 轴不重合，故可设直线 PA 的方程为 x my 1 ，
联立
x2 2
y2
1
，消去
x
得 (m2
2) y2
2my
1
0 （☆），
x my 1
设 A(x1, y1) ，则 y1 与 y0 为方程（☆）的两个实根，
高三数学答案 第 2 页 共 7 页
数学参考答案
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分.
1． (, 0]
2． 5
3．
2 3
4．真
8． 3
9．
2 3
10． 7
11．
3 3
5． 6
12．10
6． 2 13． 4
7． 2 3
14．
1 2
二、解答题：本大题共 6 小题，计 90 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写 在答题纸的指定区域内.
又由
x02 2
y02
1得
y02
1
x02 2
，代入（＃）式得 ( x0
盐城市盐城中学2020届高三数学上学期第一次月考试题含解析
对函数 求导，根据函数在 上单调递增列不等式，分离常数 后，构造函数 ，利用导数求得 的最小值，进而求得 的取值范围.
【详解】依题意，当 时， 恒成立,即 ,也即 在 上恒成立，构造函数 ，则 ，所以函数 在区间 上递减，在区间 上递增,在 处取得极小值也即是最小值,故 ，所以 。
故答案为 .
【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式恒成立问题的求解策略，属于中档题。
11.如下图，在直角梯形 中, 为 中点,若 ,则 _______________．
【答案】
【解析】
【详解】以A为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系，设 ，结合题意可得: 则 ，
故 ,即 ，则 ，
据此有 .
12.若函数 ,在区间 上有两个零点，则实数 的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：由题设可知函数 与函数 在给定的区间 和区间 内分别有一个根, ,即 ，所以 ，
故答案 .
考点:函数的图象及零点的确定．
【易错点晴】本题设置了一道以分段函数的解析式 背景的零点个数的综合应用问题。将问题等价转化为两个函数 与函数 在给定的区间 和区间 内分别有一个零点的问题。然后建立不等式组 ,通过解不等式组从而获得答案。
故答案为 .
【点睛】本小题主要考查利用导数求解函数在实数范围内单调的问题,考查利用导数求解不等式恒成立问题，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，难度较大，属于难题。
二、解答题（本大题共6小题）
15。已知集合 ,集合 ，集合 ，命题 ,命题 .
（1)若命题 为假命题,求实数 的取值范围；
【答案】24
【解析】
江苏省盐城中学2020届高三第一次阶段性质量检测数学试题(PDF版)
16． ABC 中，角 A, B, C 所对边分别是 a, b, c ，且 cos A 1 . 3
（1）求 sin 2 B C cos 2 A 的值； 2
（2）若 a 3 ，求 ABC 面积的最大值.
17．如图，在 ABC 中， BAC 1200 ， AB 2 ， AC 1， D 是边 BC 上一点， | DC | 2 | BD |. （1）求 AD BC 的值；（2）若 ( AB tCD) CD 0 ，求实数 t 的值.
角 A 为锐角，则 m 的取值范围是
．( 6 , 2) 2
14．已知函数 f (x) 2tx ln(x n 2) ， g(x) 1 t ，若函数 h(x) 4 x3 nx 2 (1 n)x n 8 在
x
3
(,) 上是增函数，且 f (x)g(x) 0 在定义域上恒成立，则实数 t 的取值范围是 (, 1 ] {e2} 2e
f f
(1) 1 a (2) 4 2a
4 4
0
0
，解得
a
0
16． ABC 中，角 A, B, C 所对边分别是 a, b, c ，且 cos A 1 . 3
（1）求 sin 2 B C cos 2 A 的值； 2
（2）若 a 3 ，求 ABC 面积的最大值.
（1）求数列{an }的通项公式；
（2）若 bn
an 1 S 2n1 S 2n1
，数列{bn } 的前 n 项和为 Tn ，求 Tn 的取值范围；
（3）若 cn
1 2
(a
n
2
n 2
,
2020届江苏省盐城市高三上学期期中数学试题(解析版)
2020届江苏省盐城市高三上学期期中数学试题一、填空题1．已知集合{}2=|10A x x -=，[0,)B =+∞，则A B =________．【答案】{1}【解析】先求得集合A ，然后求得两个集合的交集. 【详解】依题意{}1,1A =-，所以{}1A B ⋂=. 故答案为：{1}. 【点睛】本小题主要考查集合交集的概念和运算，属于基础题.2．已知角α的始边为x轴的正半轴，点P 是其终边上一点，则cos α的值为________． 【答案】13【解析】根据三角函数的定义求得cos α的值. 【详解】 依题意1cos 3α==.故答案为：13. 【点睛】本小题主要考查三角函数的定义，属于基础题.3．“1m >”是“2m >”的________条件．（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一） 【答案】必要不充分【解析】根据充分、必要条件的判断方法，判断出正确结论. 【详解】由于()1,+∞包含()2,+∞，故“1m >”是“2m >”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，属于基础题.4．若向量(1,)a m =，(3,2)b =，a b ，则实数m 的值为________． 【答案】23【解析】根据向量共线的坐标表示列方程，解方程求得m 的值. 【详解】由于两个向量平行，所以1230m ⨯-=，解得23m =. 故答案为：23. 【点睛】本小题主要考查两个向量平行的坐标表示，属于基础题.5．函数y =________．【答案】[2,)+∞【解析】根据偶次方根被开方数为非负数、对数真数大于零列不等式组，解不等式组求得函数的定义域. 【详解】依题意21log 00x x -+≥⎧⎨>⎩，解得2x ≥，故函数的定义域为[2,)+∞.故答案为：[2,)+∞. 【点睛】本小题主要考查具体函数定义域的求法，属于基础题.6．若函数()y f x =为奇函数，当0x >时，2()log (1)f x x =+，则(7)f -的值为________． 【答案】3-【解析】里奇偶性的性质，结合对数运算，求得函数值. 【详解】由于函数()f x 为奇函数，所以()()()277log 173f f -=-=-+=-. 故答案为：3-. 【点睛】本小题主要考查利用函数的奇偶性求函数值，考查对数运算，属于基础题.7．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若35S S =，且公差d 0≠，则1a d的值为________．【答案】72-【解析】将所给已知条件转化为1,a d 的形式，由此求得1a d的值. 【详解】由于数列{}n a 是等差数列，所以1133510a d a d +=+，即127a d =-，由于0d ≠，所以172a d =-. 故答案为：72-. 【点睛】本小题主要考查等差数列前n 项和的基本量计算，属于基础题. 8．若4sin()5πα+=-，则cos2α的值为________． 【答案】725-【解析】利用诱导公式求得sin α的值，利用二倍角公式求得cos2α的值. 【详解】依题意()44sin sin ,sin 55πααα+=-=-=，故2247cos 212sin 12525αα⎛⎫=-=-⨯=- ⎪⎝⎭.故答案为：725-. 【点睛】本小题主要考查诱导公式、二倍角公式的运用，考查运算求解能力，属于基础题.9．若函数()sin f x x x =的图象关于直线x a =对称，则|a|的最小值是________． 【答案】6π【解析】利用辅助角公式化简()f x ，根据正弦型函数的对称性，求得a 的表达式，进而求得a 的最小值. 【详解】依题意()π2sin 3f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，由πππ32x k -=+得5ππ6x k =+，所以()5ππ6a k k Z =+∈，故当1k =-时，a 有最小值为π6. 故答案为：π6【点睛】本小题主要考查辅助角公式，考查三角函数对称轴的求法，属于基础题.10．若函数221,0(),0x ax x a x f x e x ⎧++-<=⎨≥⎩在(1,)-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是________． 【答案】[0,1]【解析】根据分段函数的在(1,)-+∞上是增函数列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围. 【详解】由于()f x 在(1,)-+∞上是增函数，故0a =或002121a a a a>⎧⎪⎪-≤-⎨⎪-≤⎪⎩，解得0a =或01a <≤，所以实数a 的取值范围是[0,1]. 故答案为：[0,1]. 【点睛】本小题主要考查根据分段函数在给定区间上的单调性求参数的取值范围，考查二次函数的性质，考查指数函数的单调性，属于基础题.11．若数列{}n a 满足121a a ==，32a =，则数列{}1n n a a +⋅是等比数列，则数列{}n a 的前19项和的值为________． 【答案】1534【解析】根据{}1n n a a +⋅是等比数列求得1219,,,a a a ，由此求得数列{}n a 的前19项和.【详解】由于121a a ==，32a =，则数列{}1n n a a +⋅是等比数列，而12231,2a a a a ==，所以173********,8,,2a a a a a a ===，由此求得456782,4,8a a a a a =====，91011121314151616,32,64,128a a a a a a a a ========，171819256,512a a a ===，所以数列{}n a 的前19项和为11222562565121534+++++++=.故答案为：1534 【点睛】本小题主要考查根据等比数列求数列的项，考查列举法找数列的规律，属于基础题.12．如图，在ABC ∆中，AB =AC =23AD AB =，13AE AC =，DM ME =，BN NC =，若MN BC ⊥，则cos A 的值为________．【答案】6【解析】将,MN BC 用,AB AC 表示，利用0MN BC ⋅=列方程，解方程求得cos A 的值. 【详解】 依题意()()()111121222233MN AN AM AB AC AD AE AB AC AB AC ⎛⎫=-=+-+=+-+ ⎪⎝⎭1163AB AC =+，BC AC AB =-.由于MN BC ⊥，所以0MN BC ⋅=，即()11063AB AC AC AB ⎛⎫+⋅-= ⎪⎝⎭，也即221110636AB AC AB AC -+-⋅=，即11132cos 0636A -⨯+⨯-=，解得cos A =.故答案为：6. 【点睛】本小题主要考查平面向量基本定理的运用，考查向量垂直的表示，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.13．在ABC ∆中，AC 1=，AB =D 为BC 的中点，2CAD BAD ∠=∠，则BC的长为________．【解析】利用正弦定理列方程组，化简后求得3π4A =，利用余弦定理求得BC 的长. 【详解】依题意1AB AC ==，设,22CA B D BA D DC x D α=∠=∠==,sin sin sin ADB ADC β∠=∠=.则在三角形ABD 和三角形ACD中，分别由正弦定理得sin sin 1sin 2sin x x αβαβ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，两式相除得2cos 2αα==，由于0πα<<，所以π4α=，所以3π4A =.在三角形ABC中由余弦定理得，BC ==【点睛】本小题主要考查利用余弦定理、正弦定理解三角形，考查二倍角公式，考查运算求解能力，属于中档题.14．设函数32()|23|f x x x a =--，若对任意的实数a ，总存在0[0,2]x ∈，使得0()f x m ≥，则实数m 的取值范围是________．【答案】5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】当0m ≤时，根据绝对值的性质判断此时m 符合题意.当0m >时，利用绝对值的解法，化简()0f x m ≥，结合0x 的取值范围，以及不等式的性质，求得m 的取值范围. 【详解】()3200023f x x x a =--，当0m ≤时，()0f x m ≥恒成立，符合题意.当0m >时，由()3200023f x x x a m =--≥，得320023x x a m --≤-或320023x x a m --≥，即320023m a x x -≤-+或320023m a x x +≤-.构造函数()[]()321230,2g x x x x =-+∈，()()'161g x x x =--，所以()1g x 在区间()0,1上递增，在()1,2上递减，()1g x 最大值为()111g =.故1m a -≤①.构造函数()[]()322230,2g x x x x =-∈，()()'261g x x x =-，所以()2g x 在区间()0,1上递减，在()1,2上递增，且()()2200,24g g ==，所以()2g x 的最大值为()224g =.故4m a +≤②.①+②得525,2m m ≤≤，即502<≤m . 综上所述，m 的取值范围是5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 故答案为：5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【点睛】本小题主要考查绝对值不等式，考查存在性问题的求解策略，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.二、解答题15．若函数()2sin()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的图象经过点，且相邻的两个零点差的绝对值为6． （1）求函数()f x 的解析式；（2）若将函数()f x 的图象向右平移3个单位后得到函数()g x 的图象，当[1,5]x ∈-时，求()g x 的值域．【答案】（1）()2sin 63f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭；（2）[2]【解析】（1）根据()f x 相邻两个零点差的绝对值得到半周期，进而求得ω的值，根据点(求得ϕ的值，进而求得函数()f x 的解析式.（2）根据图像变换的知识求得()g x 的解析式，再结合三角函数求值域的方法，求得函数()g x 在[1,5]-上的值域. 【详解】（1）∵()f x 相邻的两个零点差的绝对值为6， 记()2sin()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的周期为T ，则62T=， 又2T πω=，∴6π=ω. ∴()2sin 062f x x ππϕϕ⎛⎫⎛⎫=+<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；∵()f x 的图像经过点，∴(0)2sin 02f πϕϕ⎫==<<⎪⎭，∴3πϕ=，∴函数()f x 的解析式为()2sin 63f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭.（2）∵将函数()f x 的图像向右平移3个单位后得到函数()g x 的图像， 由（1）得，()2sin 63f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，∴函数()g x 的解析式为()2sin (3)2sin 6366g x x x ππππ⎡⎤⎛⎫=-+=- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭；当[1,5]x ∈-时，2,6633x ππππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，则2sin [66x ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭.综上，当[1,5]x ∈-时，()g x 的值域为[2]. 【点睛】本小题主要考查根据三角函数图像与性质求三角函数解析式，考查三角函数图像变换，考查三角函数值域的求法，属于中档题.16．设:p “x R ∀∈，sin 2x a ≤+”；:q “2()f x x x a =--在区间[1,1]-上有零点” （1）若p 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若p q ∨为真命题，且p q ∧为假命题，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）1a ≥- （2）11,(2,)4⎡⎫--⋃+∞⎪⎢⎣⎭【解析】（1）根据sin x 的最大值，求得a 的取值范围.（2）由于“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，所以,p q 一真一假，先求得q 为真命题时a 的取值范围，然后根据“p 真q 假”和“p 假q 真”两种情况进行分类讨论，由此求得实数a 的取值范围. 【详解】（1）∵p 为真命题，则max 2(sin )a x +≥，∴1a ≥-； （2）∵“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题， 则p ，q 一真一假.若q 为真命题，则2a x x =-在[1,1]x ∈-有解，又2y x x =-，[1,1]x ∈-的值域为1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，∴124a -≤≤①p 真q 假，11,24a a a ≥-⎧⎪⎨-⎪⎩，解得114a -≤<-，或2a > ②p 假q 真，1124a a <-⎧⎪⎨-≤≤⎪⎩，则a 无解综上，实数a 的取值范围是11,(2,)4⎡⎫--⋃+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本小题主要考查根据含有逻辑连接词命题的真假性求参数，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.17．如图所示是某社区公园的平面图，ABCD 为矩形，200AB =米，100BC =米，为了便于居民观赏花草，现欲在矩形ABCD 内修建5条道路AE ，DE ，EF ，BF ，CF ，道路的宽度忽略不计，考虑对称美，要求直线EF 垂直平分边AD ，且线段EF 的中点是矩形的中心，求这5条路总长度的最小值．【答案】200+米【解析】设0,2ADE πθθ⎛⎫⎛⎫∠=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，过E 作EH AD ⊥于H ，用θ表示出,,,,DE AE BF CF EF ，由此求得5条导数总长度的表达式()f θ，利用导数求得()f θ的单调性，进而求得()f θ的最小值.【详解】设0,2ADE πθθ⎛⎫⎛⎫∠=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，过E 作EH AD ⊥于H ，∵EF 垂直平分AD ，∴1502DH BC ==（米）， ∴50cos DE θ=（米），50tan EH θ=（米）， 又∵EF 的中点是矩形ABCD 的中心， ∴2002200100tan EF EH θ=-=-（米）， 记这5条路总长度为()f θ（米）， 则50()4200100tan 0,cos 2f πθθθθ⎛⎫⎛⎫=⋅+-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即2sin ()2001000,cos 2f θπθθθ-⎛⎫⎛⎫=+⋅∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴2(2sin )cos (2sin )(cos )()100cos f θθθθθθ'''---=⋅，化简得22sin 1()100cos f θθθ-'=⋅，由()0f θ'=，可得6πθ=， 列表如下：由上表可知，当6πθ=时，()f θ取最小值122001002006f π-⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭（米）答：5条道路的总长度的最小值为200+（米）.【点睛】本小题主要考查三角函数在实际生活中的应用，考查利用导数求函数的最值，属于中档题.18．如图，在ABC ∆中，AB 5=，AC 4=，点D 为ABC ∆内一点，满足2BD CD ==，且50AB AC DB DC ⋅+⋅=（1）求sin sin ABC BCD∠∠的值； （2）求边BC 的长．【答案】（1）2；（2. 【解析】（1）利用向量数量积运算化简50AB AC DB DC ⋅+⋅=，得到cos cos A D =-，由此得到sin sin A D =，根据正弦定理求得sin 2sin ABC BCD∠=∠. （2）利用余弦定理求得cos ,cos A D 的表达式，根据cos cos A D =-，解方程求得BC【详解】（1）设BC a =，AC b =，AB c =，由50AB AC DB DC ⋅+⋅=，所以54cos 522cos 0A D ⋅+⋅⋅=，即cos cos A D =-，又,A D 为三角形的内角，所以sin sin A D =，在ABC ∆中，sin sin a b A ABC =∠，所以4sin sin a A ABC=∠， 同理2sin sin a D BCD=∠， 所以42sin sin ABC BCD =∠∠，∴sin 2sin ABC BCD ∠=∠ （2）在ABC ∆中，22222225441cos 225440b c a a a A bc +-+--===⋅⋅， 同理28cos 8a D -=，由（1）可得22418408a a --=-，解得BC a ==. 【点睛】本小题主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形，考查平面向量数量积运算，考查方程的思想，属于中档题.19．在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次拓展．如数列1，2，经过第1次拓展得到数列1，3，2；经过第2次拓展得到数列1，4，3，5，2；设数列a ，b ，c 经过第n 次拓展后所得数列的项数记为n P ，所有项的和记为n S ．（1）求1P ，2P ，3P ；（2）若2019n P …，求n 的最小值； （3）是否存在实数a ，b ，c ，使得数列{}n S 为等比数列，若存在，求a ，b ，c 满足的条件；若不存在，请说明理由．【答案】（1）15P = 29P = 317P =；（2）10；（3）存在，0a c +=且0b ≠. 【解析】（1）根据原有的项数，确定每次拓展增加的项数，由此求得123,,P P P 的值.解不等式2019n P ≥求得n 的最小值.（3）根据拓展的方法，确定1n S +和n S 的递推关系式，通过假设123,,S S S 成等比数列，得到0a c +=且0b ≠，此时13n n S S +=，即数列{}n S 为等比数列.【详解】（1）因原数列有3项，经第1次拓展后的项数1325P =+=；经第2次拓展后的项数2549P =+=；经第3次拓展后的项数39817P =+=.（2）因数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项，由数列经第n 次拓展后的项数为n P ，则经第1n +次拓展后增加的项数为1n P -， 所以1(1)21n n n n P P P P +=+-=-，所以11222(1)n n n P P P +-=-=-，由（1）知114P -=，所以111422n n n P -+-=⋅=，∴121n n P +=+， 由1212019n n P +=+≥，即122018n +≥，解得10n ≥，所以n 的最小值为10．（3）设第n 次拓展后数列的各项为123,,,,,,m a a a a a c ， 所以123n m S a a a a a c =++++++，因数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加这两项的和，所以11112223()()()()n m m S a a a a a a a a a a a c c +=+++++++++++++， 即11223332n m S a a a a c +=+++++，所以13()n n S S a c +=-+，得1232S a b c =++，25155S a b c =++，3144514S a b c =++，因为数列{}n S 为等比数列，所以3212S S S S =，可得0a c +=， 则12323S a b c b =++=，由10S ≠得0b ≠，反之，当0a c +=且0b ≠时，13n n S S +=，0n S ≠，13n nS S +=，所以数列{}n S 为等比综上，,,a b c 满足的条件为0a c +=且0b ≠.【点睛】本小题主要考查新定义数列概念的理解，考查根据递推关系式求通项公式，考查等比数列的定义及证明，考查化归与转化的数学思想方法，考查分析、思考与解决问题的能力，属于中档题.20．设函数()(1)x f x e x x a =---为常数．（1）当0a =时，求函数()f x 的图象在点(0,(0))P f 处的切线方程；（2）若函数()f x 有两个不同的零点1x ，2x ，①当a Z ∈时，求a 的最小值；②当1a =时，求12x x +的值．【答案】（1）10x y ++=（2）①1-②120x x +=【解析】（1）利用导数求得函数在0x =处切线的斜率，结合切点坐标，利用点斜式写出切线方程.（2）①利用()f x 的二阶导数，求得()f x 的最小值的表达式，利用min ()0f x <，对a 进行分离常数，由此求得a 的取值范围，进而求得a 的最小值. ②当1a =时，假设1x 是函数的零点，证得1x -也是函数的零点，也即21x x =-，由此求得120x x +=.【详解】（1）当0a =时，()(1)x f x e x x =--，(0)1f =-，()1x f x xe '=-，(0)1f '=-，故所求切线的方程为1(0)y x +=--，即10x y ++=.（2）①()1x f x xe '=-，令()()1x g x f x xe '==-，则()(1)x g x x e '=+，当1x <-时()10xg x xe =-<恒成立，故()g x 在(,1)-∞-上递减， 令()0g x '>得1x >-，故()g x 在(1,)-+∞上递增，又1()102g =<，(1)10g e =->，()g x 的图象在[1,)-+∞上连续不间断， 所以存在唯一实数01(,1)2x ∈使得0()0g x =， 故0x x <时()0f x '<，0x x >时()0f x '>，所以()f x 在0(,)x -∞上递减，在()0,x +∞∴0min 000()()(1)x f x f x e x x a ==---，由0()0g x =得001x e x =， ∴min 001()1()f x a x x =--+， 因为函数()f x 有两个不同的零点1x ，2x ，所以min ()0f x <，得0011()a x x >-+， 由01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭易得00131,12x x ⎛⎫⎛⎫-+∈-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故整数1a ≥-， 当1a =-时，(0)(1)0f f ==，满足题意，故整数a 的最小值为1-.（也可以用零点存在性定理给出证明)注：由0(0,1)x ∈得0011(,1)x x ⎛⎫-+∈-∞- ⎪⎝⎭，不能得到1a ≥-. ②当1a =时，()(1)1x f x e x x =---，不妨设12x x <，由(1)20f =-<及()f x 的单调性可知121x x <<，由1()0f x =得111(1)10x e x x ---=， ∴111111111111(1)1()(1)110x x x x x e x x f x e x x x e e -------=--+-=+-==， 故函数()f x 有两个不同的零点1x ，1x -，又由()f x 的单调性可知()f x 有且仅有两个不同的零点1x ，2x ，∴21x x =-，∴120x x +=.【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的切线方程，考查利用函数的二阶导数研究函数的零点，考查分离常数法求解参数的取值范围，考查化归与转化的数学思想方法，综合性较强，属于难题.。