盐城中学高三上学期期中考试数学
2024-2025学年江苏省盐城市高三(上)期中数学试卷(含答案)
2024-2025学年江苏省盐城市高三（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={−1,1}，B ={(x,y)|x ∈A ，y ∈A}，则A ∩B =( )A. AB. BC. ⌀D. R2.已知复数z =1+i ，则z ⋅−z =( )A.2B. 2C. −2D. −23.在△ABC 中，“sinA =cosB ”是“C =π2”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.若sin (α+β)=1，则sin2α=( )A. sin2βB. cos2βC. −sin2βD. −cos2β5.已知数列{a n }满足a 1=4，a n +1=2−4a n ，则{a n }的前2024项的和为( )A. 2024B. 2025C. 2026D. 20276.若实数x ，y 满足x 2+9y 2=1，则x +3y 的最小值为( )A. 1B. −1C.2D. −27.人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，O 为坐标原点，定义余弦相似度为cos (A,B)=cos <OA ,OB >，余弦距离为1−cos (A,B).已知A(cosα,sinα)，B( 3,−1)，若A ，B 的余弦距离为13，则cos (2α+π3)=( )A. −79B. −19C. 19D. 798.已知点O 为△ABC 的外心，且向量AO =λAB +(1−λ)AC ，λ∈R ，若向量BA 在向量BC 上的投影向量为15BC ，则cosB 的值为( )A.32B.55 C.2 55D. 12二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在正项等比数列{a n }中，a 4=4，a 6=16，则( )A. 数列{a n a n+1}的首项为12B. 数列{a n a n+1}是公比为2的等比数列C. 数列{a n a n+1}是公比为4的等比数列D. 数列{a n a n+1}的前n项和为16(4n−1)10.下列向量运算，一定正确的有( )A. (a+b)⋅(a−b)=a2−b2B. |a+b|2=a2+2a⋅b+b2C. |a+b||a−b|=|a2−b2|D. |a+b|3=(a+b)311.已知函数f(x)=e x+e−x2，函数g(x)=ex−e−x2，x∈R，则( )A. 对任意实数x，f2(x)−g2(x)=1B. 存在实数x，使得f(x)>2g(x)C. 对任意实数x，y，g(x+y)g(x−y)=g2(x)+g2(y)D. 若直线y=t与函数y=f(x)和y=g(x)的图象共有三个交点，设这三个交点的横坐标分别为x1，x2，x3，则x1+x2+x3>ln(1+2)三、填空题：本题共3小题，共13分。
2020-2021学年盐城市高三上学期期中数学试卷(含解析)
2020-2021学年盐城市高三上学期期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1.给出下列四个命题：①若样本数据x 1，x 2，..x 10的方差为16，则数据2x 1−1，2x 2−1，…2x 10−1的方差为64； ②“平面向量a ⃗ ，b ⃗ 夹角为锐角，则a ⃗ ⋅b ⃗ >0”的逆命题为真命题；③命题“∀x ∈(−∞,0)，均有e x >x +1”的否定是“∃x 0∈(−∞,0)，使得e x 0≤x 0+1”； ④a =−1是直线x −ay +1=0与直线x +a 2y −1=0平行的必要不充分条件． 其中正确的命题个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 42.已知集合A ={y|y =−x 2+3,x ∈R},B ={x|y =√x +3}，则A ∩B =( )A. {(0,3)，(1,2)}B. (−3,−3)C. [−3,3]D. {y|y ≤3}3.已知O 为△ABC 的外接圆的圆心，且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−√5OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则∠C 的值为( )A. π4B. π2C. π6D. π124.已知数列{a n }为各项均为正数的等比数列，S n 是它的前n 项和，若a 42=4，且a 4+a 3=6，则S 5=( )A. 31B. 32C. 30D. 295.函数f(x)=lnx 的图象与函数g(x)=x 2−4x +4的图象的交点个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 36.一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)=11−3t +241+t (t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A. 4+25ln5B.252+24ln6C.352+24ln6D.352+48ln67.记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若2S 2=S 3+S 4，a 1=2，则a 2=( )A. 2B. −4C. 2或−4D. 48.若a =sin2π7，b =tan 5π7，c =cos 5π7，则( )A. a <b <cB. a <c <bC. b <c <aD. c <b <a二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 设函数f(x)=|cosx +a|+|cos2x +b|，a ，b ∈R ，则( )A. f(x)的最小正周期可能为π2 B. f(x)为偶函数C. 当a =b =0时，f(x)的最小值为√22D. 存a ，b 使f(x)在(0,π2)上单调递增10. 设x ∈R ，则x <−3的一个必要条件是( )A. x <−2B. x <−1C. x >−4D. x <−511. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，下列说法中正确的是( )A. 若△ABC 为锐角三角形且A >B ，则sinA >cosBB. 若sin2A =sin2B ，则△ABC 为等腰三角形C. 若A >B ，则sinA >sinBD. 若a =8，c =10，B =60°，则符合条件的△ABC 有两个12. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，前n 项积为T n ，且1e a 3+1+1e a 2019+1≤1，则( )A. 当数列{a n }为等差数列时，S 2021≥0B. 当数列{a n }为等差数列时，S 2021≤0C. 当数列{a n }为等比数列时，T 2021>0D. 当数列{a n }为等比数列时，T 2021<0三、单空题（本大题共3小题，共15.0分） 13. 已知sinα+cosα=12，则cos4α= ．14. 在等差数列{a n }中，已知a 1+a 2=5，a 4+a 5=23，则该数列的前10项的和S 10= ______ ． 15. 已知函数在处有极值为10，则四、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16. 已知O 为△ABC 的外心，AB =6，AC =10，AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，且2x +6y =3；当x =0时，cos∠BAC = ；当x ≠0时，cos∠BAC = ． 五、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层．体育馆要建造可使用年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为万元．该建筑物每年的能源消耗费用(单位：万元)与隔热层厚度(单位：)满足关系：(，为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为万元.设为隔热层建造费用与年的能源消耗费用之和．(1)求的值及的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值．18.已知向量a⃗=(2sin(x+π12),cos(x−π12))，b⃗ =(cos(x+π12),2sin(x−π12))，函数f(x)=a⃗⋅b⃗ −2cos2x；(1)求f(x)的最小正周期；(2)若函数y=g(x)的图象是由y=f(x)的图象向左平移π4个单位长度，再向下平移1个单位长度得到的，当x∈[0,π2]时，求y=g(x)的最大值和最小值．19.已知函数f(x)=a x−2x(a>1)．(1)当a=e时，求证：f(x)−lnx+2x>2；(2)讨论函数f(x)的零点个数．20.在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且sin2B−sin2A=sin2C−sinAsinC．(1)求角B的大小；(2)若△ABC的周长为9，且b=4，求△ABC的面积．21.已知公差为d的等差数列{a n}和公比q<0的等比数列{b n}，a1=b1=1，a2+b2=1，a3+b3=4．(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式；(2)令C n=2 a n+a n b n，求数列{c n}的前n项和S n．22.已知函数f(x)=a(x2−1)−lnx(1)若y=f(x)在x=2处取得极小值，求a的值；(2)若f(x)≥0在[1,+∞)上恒成立，求a的取值范围；(3)求证：当n≥2且n∈N∗时，1ln2+1ln3+⋯+1lnn>3n2−n−22n2+2n．【答案与解析】1.答案：B解析：解：对于①，由方差的性质得：数据2x 1+1，2x 2+1，…，2x 8+1的方差为：S 2=22×16=64，故正确．对于②，逆命题为：面向量a ⃗ ，b ⃗ 满足a ⃗ ⋅b ⃗ >0，则向量a ⃗ ，b ⃗ 夹角为锐角，是假命题；对于③，命题“∀x ∈(−∞,0)，均有e x >x +1”的否定是“∃x 0∈(−∞,0)，使得e x 0≤x 0+1”，正确；对于④，当a =−1时直线x −ay +1=0与直线x +a 2y −1=0平行，故是假命题． 故选：B ．①根据方差的性质、定义进行判断，②根据逆命题以及向量数量积的定义进行判断， ③根据全称命题的否定是特称命题进行判断， ④根据直线平行的判定方法关系进行判断．本题主要考查命题的真假判断，涉及知识点较多，综合性较强，但难度不大．2.答案：C解析：解：由y =−x 2+3≤3得，则集合A ={y|y ≤3}=(−∞,3]， 由x +3≥0得x ≥−3，则集合B =[−3,+∞)， 所以A ∩B =[−3,3]， 故选：C ．由二次函数的性质求出集合A ，由偶次根号下被开方数大于等于零求出集合B ，由交集的运算求出A ∩B ．本题考查交集及其运算，以及二次函数的性质，函数的定义域，属于基础题．3.答案：A解析：解：根据题意，如图，O 为△ABC 的外接圆的圆心，设|OA|=|OB|=|OC|=t ，∠AOB =θ，若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−√5OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则有(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=(−√5OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )2， 即t 2+4t 2+2t 2cosθ=5t 2， 则有cosθ=0，又由0≤θ≤π， 则有θ=π2，。
江苏省盐城市高三上学期期中数学试题
江苏省盐城市高三上学期期中数学试题姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共8题；共16分)1. （2分）设集合，则（）A . {0}B . {0,1}C . {-1,1}D . {-1,0,1}2. （2分）“成等比数列”是“”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件3. （2分）(2020·天津模拟) 已知是定义在R上的偶函数且在区间单调递减，则（）A .B .C .D .4. （2分） (2016高二上·遵义期中) “x＜﹣1”是“x＜﹣1或x＞1”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要5. （2分）函数的图象在点处的切线方程是，则等于（）A . 1B . 2C . 0D . 36. （2分）在△ABC中，AB=5，AC=3，BC=7，则∠BAC=（）A .B .C .D .7. （2分） (2016高三上·集宁期中) 已知函数f（x）=log2x+ ，若x1∈（1，2），x2∈（2，+∞），则（）A . f（x1）＜0，f（x2）＜0B . f（x1）＜0，f（x2）＞0C . f（x1）＞0，f（x2）＜0D . f（x1）＞0，f（x2）＞08. （2分）(2018·河南模拟) 定义域为的函数的图象的两个端点分别为，，是图象上任意一点，其中，向量 .若不等式恒成立，则称函数在上为“ 函数”.若函数在上为“ 函数”，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共6题；共6分)9. （1分） (2019高二下·大庆月考) 若是虚数单位，则复数的虚部为________.10. （1分） (2016高一上·宁波期中) 函数f（x）=xn+ax﹣1（n∈Z，a＞0且a≠1）的图象必过定点________11. （1分） (2016高一下·长春期中) 等差数列{an}的前n项和为Sn ，且S3=6，a1=1，则公差d等于________．12. （1分） (2017高一上·雨花期中) 已知函数f（x）= 为R上的增函数，则实数a的取值范围是________．13. （1分） (2016高一下·大庆开学考) 函数y= cos（ x+ π），x∈[0，2π]的递增区间________．14. （1分）(2016·城中模拟) 给定集合A={a1 ， a2 ， a3 ，…，an}（n∈N* ，n≥3）中，定义ai+aj （1≤i＜j≤n，i，j∈N*）中所有不同值的个数为集合A两元素和的容量，用L（A）表示．若数列{an}是公差不为0的等差数列，设集合A={a1 ， a2 ， a3 ，…，a2016}，则L（A）=________．三、解答题 (共6题；共75分)15. （10分）已知函数，（x∈R，a＞0，ω＞0）的最小正周期为π，函数f（x）的最大值是，最小值是．（1）求ω，a，b的值；（2）求出f（x）的单调递增区间．16. （10分） (2019高三上·城关期中) 设的三个内角，，所对的边分别为，，，且满足 .（1）求角的大小；（2）若，试求的最小值．17. （10分） (2018高二上·新乡月考) 在等比数列中，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列的公比大于，且，求数列的前项和．18. （15分）(2017·成武模拟) 如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D﹣AF﹣E与二面角C﹣BE﹣F都是60°．（Ⅰ）证明平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．19. （15分） (2017高二下·伊春期末) 已知函数（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若对所有都有，求实数的取值范围．20. （15分）(2020·金堂模拟) 已知函数 , ,是实数.（Ⅰ）若在处取得极值,求的值;（Ⅱ）若在区间为增函数,求的取值范围;（Ⅲ）在(Ⅱ)的条件下,函数有三个零点,求的取值范围.参考答案一、单选题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共6题；共6分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、三、解答题 (共6题；共75分)15-1、15-2、16-1、16-2、17-1、19-1、20-1、。
江苏省盐城中学高三数学上学期期中考试
2008-2009学年江苏省盐城中学高三数学上学期期中考试试卷总分：160分 考试时间：120分钟一、 填空题（共14题，每小题5分，共70分）1、设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n M N =∈-=Z 则，≤≤_____.2、“1x >”是“2x x >”的 ______条件.3、设函数)(x f 是奇函数且周期为3，)2008(1)1(f f ，则-=-= ．4、已知()()(2,3),(1,2),a b a b a b λ==+⊥-,则__________λ=．5、已知等差数列{a n },其中,33,4,31521==+=n a a a a 则n 的值为 _____ ． 6、已知n S 是数列}{n a 的前n 项和，且有21n S n =+，则数列}{n a 的通项n a = ．7、将函数sin(2)3y x π=-的图象先向左平移3π，然后将所得图象上所有的点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为_______________．8、等差数列2008200520071,220052007,2008,,}{S S S a n S a n n 则项和是其前中=--=的值为_____． 9、方程210xx =-的根)1,(+∈k k x ，k ∈Z ，则k = ．10、已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()12,xf x -=-则不等式()12f x <-的解集是__________．11、已知函数f (x )=Acos 2(ωx +ϕ)+1（A >0，ω>0）的最大值为3，图象经过点()0,2，且其相邻两对称轴间的距离为2，则f (1)+f (2)+f (3)+…+f (100)=____________.12、对于ABC ∆,有如下命题：(1)sin 2sin 2A B =若,则ABC ∆一定为等腰三角形． (2)sin sin ,A B ABC =∆若则一定为等腰三角形.222sin sin cos 1A B C ABC ++<∆(3)若，则一定为钝角三角形. (4)tan tan tan 0,A B C ABC ++>∆若则一定为锐角三角形.则其中正确命题的序号是______________.(把所有正确的命题序号都填上)13、设函数()()0,11x xa f x a a a =>≠+且，若用【m 】表示不超过实数m 的最大整数，则函数【()12f x -】+【()12f x --】的值域为______________. 14、已知实数数列{}n a 中，1a =1，6a =32，212n n na a a ++=，把数列{}n a 的各项排成如右图的三角形状。
江苏省盐城中学2020届高三数学上学期期中考试苏教版【会员独享】
江苏省盐城中学高三年级2020学年度上学期期中考试数学试题（第Ⅰ卷）（2020.11）一、填空题（本大题共14小题,每小题5分,计70分）1．已知全集{1,2,3,4,5,6}U =，集合{1,3,5}A =，{1,2}B =，则()U A B =U ð___▲____．2．已知曲线x x y -=3在点),(00y x 处的切线平行于直线x y 2=，则=0x ___▲___.3．已知直线l 经过点(2,1)P ，且与直线2310x y ++=垂直，则l 的方程是____▲___. 4．在等比数列{}n a 中，若12a =，98a =，则5a =___▲____.5．若变量,x y 满足条件30380x y x y -≤⎧⎨-+≥⎩，则z x y =+的最大值为___▲___．6．当(0,)2x π∈时，函数sin 3cos y x x =+的值域为___▲____.7．已知a b c r r r ,,满足2a c b +=r r r ，且,||1,||2,a c a c ⊥==r r r r 则||b =r ▲ . 8．数列{}n a 满足*1111(),22n n a a n N a ++=∈=-，n S 是{}n a 的前n 项和，则2011S = _▲_ ．9．已知函数()(2)2af x x x x =+>-的图像过点(3,7)A ，则此函数的最小值是 ▲__ ．10．当钝角ABC ∆的三边,,a b c 是三个连续整数时，则ABC ∆外接圆的半径为__▲___． 11．关于x 的方程3210ax x x -++=在(0,)+∞上有且仅有一个实数解，则a 的取值范围 为_ ▲ ．12．如图，在ABC ∆和AEF ∆中，B 是EF 的中点，2AB EF ==，3CA CB ==，若7AB AE AC AF ⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ，则EF u u u r 与BC u u ur 的夹角的余弦值等于 ▲ _．13．已知0a b c >≥>，且22112444()a ac c ab a a b ++-+=-， 则a b c ++= ▲ ． 14．已知数列{}n a 的各项均为正整数，对于⋅⋅⋅=,3,2,1n ，有11527,2n n n nn n kk a a a a a a +++⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数.其中为使为奇数的正整数，, 若存在*m ∈N ，当n m >且n a 为奇数时，n a 恒为常数p ，则p 的值为___▲___.二、解答题（本大题共6小题，计90分.） 15．（本题满分14分） 已知函数()2sin()f x x ωϕ=+（0ω>，22ππϕ-<<）的图像如图所示，直线38x π=，78x π=是其两条对称轴． （1）求函数()f x 的解析式； （2）若6()5f α=，且388ππα<<，求()8f πα+的值． 16．（本题满分14分）设函数2()2cos[(1)]ln f x x a k x π=-- (k ∈N *，a ∈R)．(1) 若2011k =，1a =，求函数()f x 的最小值； (2) 若k 是偶数，求函数()f x 的单调区间．17．（本题满分15分）ABC ∆中，A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c ．已知(2cos )m A A =u r，(cos ,2cos )n A A =-r，1m n ⋅=-u r r ．（1）若a =2c =，求ABC ∆的面积S 的大小； （2）求2cos(60)b ca C -+o 的值．18．（本题满分15分）某厂家拟在2020年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x 万件与年促销费用0()m m ≥万元满足31kx m =-+（k 为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量是1万件. 已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）．（1）将2020年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； （2）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？19．（本题满分16分）已知函数2()ln f x x a x =-，()2g x bx =-，其中a ，b R ∈且2ab =．函数()f x 在1[,1]4上是减函数，函数()g x 在1[,1]4上是增函数． （1）求函数()f x ，()g x 的表达式；（2）若不等式()()f x mg x ≥对1[,1]4x ∈恒成立，求实数m 的取值范围． （3）求函数1()()()2h x f x g x x =+-的最小值，并证明当*n N ∈，2n ≥时()()3f n g n +>．.资.源.网 20．（本题满分16分）设数列{}n a 、{}n b 满足14a =，252a =，12n n n a b a ++=，12n n n n n a b b a b +=+．（1）证明：2n a >，02n b <<（*n N ∈）；（2）设32log 2n n n a c a +=-，求数列{}n c 的通项公式； （3）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，数列{}n n a b 的前n 项和为{}n P ，求证：83n n n S T P +<+．()2n ≥姓名………………………线………………………………………江苏省盐城中学高三年级2020学年度上学期期中考试数学附加题（第Ⅱ卷）（2020.11）一、选做题21.在A 、B 、c 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答题纸指定区域内 作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的直径，点P 在AB 的延长线上，PC 与⊙O 相切于点C ，PC ＝AC ＝1.求⊙O 的半径．B ．选修4—2：矩阵与变换已知二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，矩阵A 属于特征值λ1＝－1的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1，属于特征值λ2＝4的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32.求矩阵A .C ．选修4-4：坐标系与参数方程已知⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别是2cos ρθ=和2sin a ρθ=(a 是非零常数)． (1) 将两圆的极坐标方程化为直角坐标方程； (2) 若两圆的圆心距为5，求a 的值．D ．选修4—5：不等式选讲设对于任意实数x ，不等式|7||1|x x ++-≥m 恒成立． (1)求m 的取值范围；(2)当m 取最大值时，解关于x 的不等式：|3|2212x x m --≤-．二、必答题：本大题共2小题。
盐城高三数学期中考试卷
盐城高三数学期中考试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 下列函数中，为偶函数的是（）A. y = x^2B. y = x^3C. y = sin(x)D. y = cos(x)2. 已知函数f(x) = 2x + 1，若f(a) = 5，则a的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 43. 函数y = x^2 - 4x + 4的最小值是（）A. 0B. 1C. 2D. 34. 已知数列{an}满足a1 = 1，an = 2an-1 + 1，求a3的值是（）A. 5B. 7C. 9D. 115. 已知向量a = (2, 3)，向量b = (-1, 2)，则向量a与向量b的点积为（）A. -2B. 0C. 2D. 46. 已知圆C的方程为x^2 + y^2 = 4，圆心为(0, 0)，半径为2，点P(1, 1)到圆心的距离是（）A. √2B. √3C. 2D. 37. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4 = 20，S8 = 60，则a1 + a2 + a3 + a4的值为（）A. 10B. 15C. 20D. 258. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x，求f'(x)的值为（）A. 3x^2 - 6x + 4B. x^2 - 6x + 4C. 3x^2 - 3x + 4D. x^2 - 3x + 49. 已知复数z = 1 + i，求|z|的值为（）A. √2B. 2C. √3D. 310. 已知直线l的方程为y = 2x + 3，求直线l与x轴的交点坐标为（）A. (-3/2, 0)B. (-1.5, 0)C. (1.5, 0)D. (3/2, 0)二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。
）11. 已知函数f(x) = x^2 - 6x + 8，求函数的对称轴方程为________。
2021-2022学年江苏省盐城市高三(上)期中数学试卷(附详解)
2021-2022学年江苏省盐城市高三（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.集合M=[−1,1]，N={x|x2−2x≤0}，则M∪N=()A. [−1,1]B. [0,1]C. [−1,2]D. [−1,0]2.设f(x)=x+9x(x∈R)，则“x>0”是“f(x)>6”的()条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分又不必要3.若复数z=a+bi(a,b∈R)满足z⋅z−=z2，则()A. a=0，b≠0B. a≠0，b=0C. a=0D. b=04.已知数列{a n}满足a1=2，a n+1=a n4，则a6的值为()A. 220B. 224C. 21024D. 240965.下列向量一定与向量a⃗|a⃗ |−b⃗|b⃗|垂直的是()A. a⃗|a⃗ |+b⃗|b⃗|B. a⃗|b⃗|−b⃗|a⃗ |C. a⃗+b⃗D. a⃗−b⃗6.已知sin(2θ−π6)=−13，θ∈(0,π2)，则sin(θ+π6)=()A. √63B. √33C. √23D. 137.若函数y=sin2x与y=sin(2x+φ)在(0,π4)上的图象没有交点，其中φ∈(0,2π)，则φ的取值范围是()A. [π,2π)B. [π2,π] C. (π,2π) D. [π2,π)8.函数f(x)=lnx−m(x−1)x+1的零点最多有()个A. 4B. 3C. 2D. 1二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.设等比数列{a n}的前n项和为S n，则下列数列一定是等比数列的有()A. a1+a2，a2+a3，a3+a4，…B. a1+a3，a3+a5，a5+a7，…C. S2，S4−S2，S6−S4，…D. S3，S6−S3，S9−S6，…10. 如图，点A 是单位圆O 与x 轴正半轴的交点，点P 是圆O 上第一象限内的动点，将点P 绕原点O 逆时针旋转π3至点Q ，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗ )的值可能为( )A. −1B. −√32C. −√22D. −1211. 已知函数f(x)=√1+cosx +√1−cosx ，下列说法正确的有( )A. 函数f(x)是偶函数B. 函数f(x)的最小正周期为2πC. 函数f(x)的值域为(1,2]D. 函数f(x)图象的相邻两对称轴间的距离为π212. 若正实数x ，y 满足lny −lnx >y −x >siny −sinx ，则下列不等式可能成立的有( )A. 0<x <1<yB. y >x >1C. 0<y <x <1D. 0<x <y <1三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若奇函数f(x)与偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=2x ，则g(2)+g(−2)=______． 14. 试写出一个先减后增的数列{a n }的通项公式：a n =______．15. 若一个三角形的三边长分别为a ，b ，c ，设p =12(a +b +c)，则该三角形的面积S =√p(p −a)(p −b)(p −c)，这就是著名的“秦九韶−海伦公式”，若△ABC 的周长为8，AB =2，则该三角形面积的最大值为______．16. 函数f(x)=ln(1+x)在x =0处的切线方程为______.由导数的几何意义可知，当x无限接近于0时，ln(1+x)x的值无限接近于1.于是，当x 无限接近于+∞时，(1+2x )x 的值无限接近于______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0,0<φ<π2)的图象Γ与y 轴交点的纵坐标为√32，Γ在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为π12．(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在[0,π2]上的值域．18.已知数列{a n}是首项为1−2i(i为虚数单位)的等差数列，a1，√5，a3成等比数列．(1)求{a n}的通项公式；(2)设{a n}的前n项和为S n，求|S10|.19.在△ABC中，点D在边BC上，AD为∠A的角平分线，AC=AD=√10，CD=2．(1)求sin∠BAC的值；(2)求边AB的长．20.已知数列{a n}满足a1=1，a n+1={2n+1(a n+1),n=2k−1,k∈N∗a n2n+1,n=2k,k∈N∗．(1)求证：a2n+1−a2n−1=2；(2)设b n=a2n−1+a2n，求{b n}的前n项和S n．2n21.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=cosB，b=cosA．(1)求证：存在△ABC，使得c=1；(2)求△ABC面积S的最大值．22.设函数f(x)=e x−x2+mln(x+2)−2．(1)求证：当m=0时，f(x)>0在x∈(2,+∞)上总成立；(2)求证：不论m为何值，函数f(x)总存在零点．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合M=[−1,1]，N={x|x2−2x≤0}=[0,2]，∴M∪N=[−1,2]．故选：C．求出集合N，由此能求出M∪N．本题考查集合的运算，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】B【解析】解：x>0，则f(x)=x+9x ≥2√x⋅9x=6，当且仅当x=3时取等号．∴“x>0”是“f(x)>6”的必要不充分条件，故选：B．利用基本不等式、简易逻辑的判定方法即可判断出结论．本题考查了基本不等式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：∵z=a+bi，∴z−=a−bi，z2=(a+bi)2=a2−b2+2abi，∴z⋅z−=(a+bi)(a−bi)=a2+b2，∵z⋅z−=z2，∴{2b2=02ab=0，解得b=0，a∈R．故选：D．根据已知条件，结合复数的乘法法则，以及复数的相等性准则，即可求解．本题主要考查复数的乘法法则，以及复数的相等性准则，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：数列{a n }满足a 1=2，a n+1=a n 4，则a 2=24，a 3=a 24=216， a 4=a 34=264，a 5=a 44=2256，a 6=a 54=21024， 故选：C ．利用数列的递推关系式，依次求解数列的项即可．本题考查数列的递推关系式的应用，数列项的求法，是基础题．5.【答案】A【解析】解：∵a⃗ |a ⃗ |和b⃗ |b ⃗ | 都是单位向量，(a ⃗ |a ⃗ |+b⃗ |b⃗ | )⋅(a ⃗ |a ⃗ |−b⃗ |b⃗ | )=(a⃗ |a ⃗ |)2−(b⃗ |b ⃗ |)2=1−1=0，故与向量a⃗ |a ⃗ |−b ⃗ |b⃗ |垂直的是a⃗ |a ⃗ |+b⃗ |b⃗ |， 而其它向量与向量a⃗ |a ⃗ |−b⃗ |b⃗ |的乘积不等于零， 故选：A ．由题意利用两个向量垂直的性质，单位向量的定义和性质，得出结论． 本题主要两个向量垂直的性质，单位向量的定义和性质，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：∵0<θ<π2，∴−π6<2θ−π6<5π6，又∵sin(2θ−π6)=−13<0， ∴−π6<2θ−π6<0，∴0<θ<π12，∴π6<θ+π6<π4， ∴cos(2θ−π6)=2√23， sin2(θ+π6)=sin(2θ+π3)=sin(2θ−π6+π2)=cos(2θ−π6)=2√23， 即2sin(θ+π6)⋅cos(θ+π6)=2√23，sin(θ+π6)⋅√1−sin2(θ+π6)=√23，解得：sin(θ+π6)=√33，故选：B．根据θ的范围和已知条件，找出2θ−π6的范围，再求出cos(2θ−π6)值，再求解sin(θ+π6)的值．本题考查了三角函数之间的关系及整体思想，计算较复杂属于中档题．7.【答案】A【解析】解：∵函数y=sin2x与y=sin(2x+φ)在(0,π4)上的图象没有交点，其中φ∈(0,2π)，由2x∈(0,π2)，可得sin2x∈(0,1)，∴2x+φ∈(φ,π2+φ)，sin(2x+φ)∈[−1,0]，∴π+2kπ≤φ≤2kπ+2π，k∈Z．结合φ∈(0,2π)，令k=0，求得π≤φ≤2π．综上，π≤φ<2π，故选：A．由题意利用正弦函数的图象、正弦函数的定义域和值域，求得φ的取值范围．本题主要考查正弦函数的图象、正弦函数的定义域和值域，属于中档题．8.【答案】B【解析】解：由f(x)=lnx−m(x−1)x+1，∴x∈(0,+∞)，f′(x)=x2+(2−2m)x+1x(x+1)2，令g(x)=x2+(2−2m)x+1，①则m≤1时，因为x∈(0,+∞)，g(x)=x2+(2−2m)x+1>0，f′(x)>0，所以f(x)在(0,+∞)单调递增，又∵f(1)=0，∴f(x)在R上有且只有一个零点，②当m∈(1,2]时，Δ=4m2−8m=4m(m−2)≤0，f′(x)>0，所以f(x)在(0,+∞)单调递增，又∵f(1)=0，∴f(x)在R上有且只有一个零点，③当m>2时，x2+(2−2m)x+1=0有两个正根，x1=m−1−√m2−2m，x2=m−1+√m2−2m，由x1x2=1，∴0<x1<1，x2>1，当0<x<x1时，g(x)>0，f(x)>0，f′(x)单调递增，当x1<x<x2，g(x)<0，f(x)>0，f′(x)单调递减，当x>x2时，g(x)>0，f(x)>0，f′(x)单调递增，∵1∈(x1,x2)，f(1)=0，∴f(x)在(x1,x2)上有一个零点，且f(x1)>0，f(x2)<0，又∵e m>1，0<e−m<1，且f(e m)=m−m(e m−1)e m+1=2me m+1>0，f(e−m)=−m−m(e−m−1)e−m+1=−2me−m+1<0，∴f(x)在(0,x1)，(x2,+∞)上各有一个零点，综上所述：当m<2时，f(x)有且只有1个零点，当m>2时，f(x)有3个零点．∴f(x)最多有3个零点．故选：B．由题意对函数求导，建立新的函数，再讨论m的范围，得零点个数．本题考查函数的零点与方程的关系，属于难题．9.【答案】BD【解析】解：若等比数列{a n}的公比q=−1，则a1+a2=0，所以此时a1+a2，a2+a3，a3+a4，…不能构成等比数列，选项A错误；同理可得q=−1时，S2=0，选项C错误；而a1+a3，a3+a5，a5+a7，…是以q2为公比的等比数列，S3，S6−S3，S9−S6，…也是以q2为公比的等比数列，其首项均不等于0，所以选项BD正确．故选：BD．考虑{a n}公比为−1的情况，对选项进行逐项判断即可．本题考查等比数列的性质，解题的关键在于考虑{a n}公比为−1的情况，属于基础题．10.【答案】ABC【解析】解：由题意可知，OA =OP =OQ =1，∠POQ =π3， 设∠AOP =θ(0<θ<π2)，则∠AOQ =θ+π3，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗ )=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =1×1×cos(θ+π3)−1×1×cosθ=cos(θ+π3)−cosθ=cosθcos π3−sinθsin π3−cosθ=−12cosθ−√32sinθ=−sin(θ+π6)，∵0<θ<π2，∴π6<θ+π6<2π3，∴sin(θ+π6)∈(12,1]，即−sin(θ+π6)∈[−1,−12), ∴OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗ )∈[−1,−12)， ∴OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗ )的值可能为−1，−√32，−√22， 故选：ABC ．设∠AOP =θ(0<θ<π2)，则∠AOQ =θ+π3，所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗ )=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12cosθ−√32sinθ=−sin(θ+π6)，结合θ的范围求出−sin(θ+π6)的范围，从而判断出正确选项．本题主要考查了任意角的三角函数的定义，考查了考查了两角和的正弦函数和余弦函数，同时考查了向量数量积的运算，属于中档题．11.【答案】AD【解析】解：函数f(x)=√1+cosx +√1−cosx ， 所以f(x)≥0，则[f(x)]2=1+cosx +1−cosx +2√(1+cosx)(1−cosx)=2+2|sinx|>0， 所以f(x)=√2+2|sinx|，对于A ，因为f(x)的定义域为R ，关于原点对称， 又f(−x)=√2+2|sin(−x)|=√2+2|sinx|=f(x)， 所以函数f(x)为偶函数， 故选项A 正确；对于B ，因为函数y =|sinx|的最小正周期为π，所以函数f(x)=√2+2|sinx|的最小正周期为π，故选项B错误；对于C，因为−1≤sinx≤1，则0≤|sinx|≤1，所以2≤2+2|sinx|≤4，故√2≤√2+2|sinx|≤2，所以函数f(x)的值域为[√2,2]，故选项C错误；对于D，因为函数f(x)的最小值正周期为π，又函数f(x)的对称轴方程为x=kπ2,k∈Z，故函数f(x)图象的相邻的两条对称轴之间的距离为π2，故选项D正确．故选：AD．先将函数f(x)的解析式进行化简变形，利用偶函数的定义，即可判断选项A，利用三角函数的周期性，即可判断选项B，利用正弦函数的有界性，即可判断选项C，由周期性以及正弦函数的对称性，求出对称轴方程，即可判断选项D．本题以命题的真假判断为载体，考查了函数的周期性、对称性、奇偶性以及值域的求解，涉及了三角函数图象与性质的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．12.【答案】AD【解析】解：x>0，y>0，lny−lnx>y−x>siny−sinx，∴lny−y>lnx−x，①且y−siny>x−sinx②．令f(x)=lnx−x(x>0)，g(x)=x−sinx(x>0)，则f′(x)=1x −1=1−xx，当x∈(0,1)时，f′(x)>0，当x∈(1,+∞)时，f′(x)<0，∴f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，∴当0<x<y<1，或1<y<x时①成立，故D正确，C错误，B错误，A可能正确，也可能错误；③又∀x∈(0,+∞)，g′(x)=1−cosx≥0恒成立，∴g(x)在(0,+∞)上单调递增，∴当y >x >0时，②成立，故D 正确，A 正确；④ 综合③④，得以上不等式可能成立的有AD ， 故选：AD ．由已知得lny −y >lnx −x ，且y −siny >x −sinx ，分别构造函数f(x)=lnx −x(x >0)，g(x)=x −sinx(x >0)，求导，研究两个函数的单调情况即可作出正确选择． 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化思想，考查构造法的应用及运算求解能力，属于中档题．13.【答案】174【解析】解：奇函数f(x)与偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=2x ， 所以f(−x)+g(−x)=g(x)−f(x)=(12)x ， 联立得，g(x)=2x +(12)x2，则g(2)+g(−2)=174．故答案为：174．结合奇函数与偶函数定义及已知等式可求g(x)，进而可求g(2)+g(−2)． 本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数值，属于基础题．14.【答案】n 2−4n(答案不唯一)【解析】解：根据题意，若数列{a n }先减后增，结合二次函数的性质分析，数列的通项公式可以为a n =n 2−4n ； 故答案为：n 2−4n(答案不唯一)．由数列的函数特性，结合二次函数的性质分析可得答案．本题考查数列的函数特性以及数列的表示方法，涉及数列的通项公式，属于基础题．15.【答案】2√2【解析】解：因为△ABC 的周长为8，c =2，p =12(a +b +c)=4，a +b =6， 所以三角形的面积S =√4(4−a)(4−b)(4−2)=√8ab −64，又6=a +b ≥2√ab ，可得ab ≤9，当且仅当a =b =3时等号成立，所以三角形的面积S =√8ab −64≤√8×9−64=2√2，当且仅当a =b =3时等号成立，故该三角形面积的最大值为2√2． 故答案为：2√2．由题意可求S =√8ab −64，利用基本不等式可求ab ≤9，进而根据三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．16.【答案】y =x e 2【解析】解：由f(x)=ln(1+x)，得f′(x)=11+x ， 则f′(0)=1，又f(0)=0，∴函数f(x)=ln(1+x)在x =0处的切线方程为y =x ； 当x 无限接近于0时，ln(1+x)x的值无限接近于1，而(1+2x )x =[(1+2x )x 2]2=[e x 2ln(1+2x )]2=e2(ln(1+2x )2x)，当x 无限接近于+∞时，2x 无限接近于0，则ln(1+2x)2x无限接近于1，∴当x 无限接近于+∞时，(1+2x )x 的值无限接近于e 2． 故答案为：y =x ；e 2．求出函数f(x)=ln(1+x)的导函数，可得f′(0)=1，再由f(0)=0，利用直线方程的斜截式可得函数f(x)=ln(1+x)在x =0处的切线方程；把(1+2x )x 变形，结合x 无限接近于0时，ln(1+x)x的值无限接近于1得答案．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．17.【答案】解：(1)由题意知f(0)=√32，即sinφ=√32， ∵0<φ<π2，∴φ=π3， 此时f(x)=sin(ωx +π3)，∵Γ在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为π12．∴由五点对应法得π12ω+π3=π2，∴π12ω=π6，∴ω=2，∴f(x)=sin(2x+π3).(2)当x∈[0,π2]时，2x∈[0,π]，∴2x+π3∈[π3,4π3]，则当2x+π3=4π3时，f(x)取得最小值此时f(x)=sin4π3=−√32，当2x+π3=π2时，f(x)取得最大值此时f(x)=sinπ2=1，即函数的值域为[−√32,1]．【解析】(1)根据条件求出ω和φ的值即可．(2)求出角的范围，利用三角函数的有界性进行求解即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用条件求出函数的解析式，求出角的范围，利用三角函数的有界性是解决本题的关键，是中档题．18.【答案】解：(1)设等差数列公差为d，因为a1，√5，a3成等比数列，所以a1a3=5，所以(1−2i)(1+2d−2i)=5，若d为实数，则{2d−3=5−4i−4id=0，无解；若d为虚数，则{2d−4i=0−3−4id=5，解得d=2i，所以a n=1−2i+(n−1)×2i=1+2(n−2)i，即a n=1+2(n−2)i；(2)|S10|=|a1+(a2+a10)×92|=|1−2i+1+1+(10−2)2i2×9|=|10+70i|=√102+702=50√2．【解析】(1)设公差为d，由条件可得(1−2i)(1+2d−2i)=5，分d为实数和d为虚数两种情况求解；(2)由(1)数列每一项均为复数，所以所求为复数的模，化简S10=10+70i，代入模长公式计算．本题考查了等差等比的综合运算，复数的运算，属于综合题．19.【答案】解：(1)设∠DAC=α，△ADC中，由余弦定理得，cosα=10+10−42×√10×√10=45，所以sinα=35，所以sin∠BAC=sin2α=2sinαcosα=2×45×35=2425；(2)过A作AE⊥CD，垂足为E，设AB=x，由角平分线性质得，ABAC =BDCD，所以x√10=BD2，所以BD=√105x，Rt△ACE中，CE=1，AC=√10，AE=3，Rt△ABE中，AB2=AE2+BE2，即x2=9+(1+√105x)2，整理得，3x2−2√10x−50=0，解得AB=x=5√103．【解析】(1)由已知结合余弦定理先求cos∠DAC，然后结合同角平方关系及二倍角正弦公式可求；(2)设AB=x，结合角平分线性质先表示BD，然后结合勾股定理可求AB．本题主要考查了余弦定理，同角平方关系，二倍角公式，还考查了角平分线性质，属于中档题．20.【答案】证明：(1)由题设有a2k=22k(a2k−1+1)，a2k+1=a2k22k+1，故a2k22k=a2k−1+1，所以a2k+1=a2k−1+1+1，即a2n+1−a2n−1=2，解：(2)由(1)可得{a2n−1}为等差数列且首项为a1=1，公差为2，故a2n−1=1+(n−1)×2=2n−1，故a2k=22k(a2k−1)=2k×22k=k⋅22k+1，故b n=2n−1+n×22n−12n=2n−1+4n，故S n=n(1+2n−1)2+4(1−4n)1−4=n2+4n+1−43．【解析】(1)由题设有a2k=22k(a2k−1+1)，a2k+1=a2k22k+1，化简后可得所需证明的递推关系，(2)利用(1)的结果可得b n=2n−1+4n，利用分组求和法可求S n．本题考查数列的递推公式，及数列的求和公式，考查学生的运算能力，属于中档题．21.【答案】(1)证明：因为a=cosB，b=cosA，由正弦定理可得，asinA =bsinB，所以cosBsinA =cosAsinB，则sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，在△ABC中，因为A，B∈(0,π)，且A+B<π，所以2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=π2，当A+B=π2时，C=π2，所以c2=cos2A+cos2B=cos2A+sin2A=1，则c=1，故存在△ABC，使得c=1；(2)解：①当A+B=π2时，S△ABC=12cosAcosB=12sinAcosA=14sin2A≤14，所以△ABC面积的最大值为14；②当A=B时，S△ABC=12cos2Asin(π−2A)=12cos2Asin2A=sinAcos3A，故S△ABC2=sin2Acos6A=(1−cos2A)cos6A，令x=cos2A，则x∈(0,1)，所以S△ABC2=f(x)=(1−x)x3，则f′(x)=−x3+3(1−x)x2=x2(3−4x)，令f′(x)=0，解得x=34，当0<x <34时，f′(x)>0，则f(x)单调递增， 当34<x <1时，f′(x)<0，则f(x)单调递减， 所以当x =34时，f(x)取得最大值f(34)=3343，即当cos 2A =34，即A =π6时，△ABC 的面积取得最大值3√316．因为3√316>14，故△ABC 面积S 的最大值为3√316．【解析】(1)利用正弦定理结合已知条件，得到cosB sinA =cosAsinB ，利用三角恒等变换得到sin2A =sin2B ，从而得到A =B 或A +B =π2，当A +B =π2时，即可求得c =1，从而证明结论；(2)当A +B =π2时，求出△ABC 的面积的最大值，当A =B 时，表示出△ABC 的面积，令x =cos 2A ，则x ∈(0,1)，构造函数f(x)=(1−x)x 3，利用导数研究函数的单调性，求解函数的最值，比较即可得到答案．本题考查了利用导数研究函数单调性以及函数最值的应用，解三角的应用，正弦定理以及三角形面积公式的运用，三角恒等变换的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．22.【答案】证明：(1)当m =0时，f(x)=e x −x 2−2，f′(x)=e x −2x ， f″(x)=e x −2，当x ∈(2,+∞)时，f″(x)=e x −2>0恒成立，即f′(x)单增， 又f′(2)=e 2−4>0，则f′(x)>f′(2)>0恒成立，即f(x)单增， 又f(2)=e 2−6>0， 则f(x)>f(2)>0．(2)由题知，f(−l)=e −1−3<0，当m ≥0时，f(2)=e 2−6+mln4>0恒成立， 由零点存在定理知，函数f(x)总存在零点；当m <0时，f′(x)=e x −2x +mx+2，f″(x)=e x−2−m(x+2)2，>0，则f′(x)在[1,+∞)上单增，易知，f″(x)单增，且f″(1)=e−2−m9根据f′(x)的解析式，存在x1∈[x0,+∞)，使f′(x)>0，f(x)单增，根据f(x)的解析式，存在x1→+∞，使f(x1)>0，由零点存在定理知，函数f(x)总存在零点．【解析】(1)当m=0时，f(x)=e x−x2−2，二次求导，根据导数正负情况判断原函数的单调性，从而证得结论；(2)由题知，f(−1)=e−1−3<0，只需证明无论m为何值，函数f(x)总能取到正值，由零点存在定理即可证得结论．本题考查零点存在性定理，导数的综合应用，属于难题．。
江苏省盐城中学数学高三上期中经典测试卷(含答案解析)
一、选择题1．数列{}n a 的前n 项和为21n S n n =++,()()1N*nn n b a n =-∈,则数列{}n b 的前50项和为（ ） A ．49B ．50C ．99D ．1002．设实数x ，y 满足22413x xy y x y ++=+-，则代数式2413xy y x y ++-（ ）A ．有最小值631B ．有最小值413C ．有最大值1D ．有最大值20213．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（ ） A ．一尺五寸B ．二尺五寸C ．三尺五寸D ．四尺五寸4．河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{}n a ，则()235log a a ⋅的值为（ ） A ．8B ．10C ．12D ．165．已知不等式2230x x --<的解集为A ,260x x +-<的解集为B ，不等式2+0x ax b +<的解集为A B ，则a b +=（ ）A ．-3B ．1C ．-1D ．36．已知A 、B 两地的距离为10 km,B 、C 两地的距离为20 km,现测得∠ABC=120°，则A 、C 两地的距离为 （ ） A ．10 kmBkmC．D．7．已知数列{}n a 的通项公式为()*21log N 2n n a n n +=∈+，设其前n 项和为n S ，则使5n S <-成立的自然数n ( )A ．有最小值63B ．有最大值63C ．有最小值31D ．有最大值318．若关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解,则a 的取值范围是（ ） A ．23,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．23,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()1,+∞D ．23,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦9．已知ABC ∆中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3b =，c =，30B =︒，则AB 边上的中线的长为( )A ．37B ．34 C ．32或372D ．34或37210．已知数列{an}的通项公式为an ＝2()3nn 则数列{an}中的最大项为( ) A ．89B ．23C ．6481D ．12524311．已知ABC ∆的三边长是三个连续的自然数，且最大的内角是最小内角的2倍，则最小角的余弦值为（ ） A ．34B ．56C ．78D ．2312．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅，则ABC 的形状为（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形13．已知正数x 、y 满足1x y +=，则141x y++的最小值为（ ）A ．2B ．92C ．143D ．514．若a ，b ，c ，d∈R，则下列说法正确的是（ ） A ．若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd B ．若a ＞b ，c ＞d ，则a+c ＞b+d C ．若a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，则c d a b> D ．若a ＞b ，c ＞d ，则a ﹣c ＞b ﹣d15．已知等差数列{}n a 的前n 项为n S ，且1514a a +=-，927S =-，则使得n S 取最小值时的n 为（ ）． A ．1B ．6C ．7D ．6或7二、填空题16．若变量x ，y 满足22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则z ＝2x +y 的最大值是_____．17．已知的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________．18．已知各项为正数的等比数列{}n a 满足7652a a a =+，若存在两项,m n a a 使得122m n a a a ⋅=，则14m n+的最小值为__________．19．对一切实数x ，不等式2||10x a x ++≥恒成立，则实数a 的取值范围是_______ 20．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是__________． 21．不等式211x x --<的解集是 ． 22．设a ＞0,b ＞0． 若关于x,y 的方程组1,{1ax y x by +=+=无解，则+a b 的取值范围是 ．23．已知数列{}n a 满足1133,2,n n a a a n +=-=则na n的最小值为__________. 24．在ABC ∆中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC=__________． 25．若已知数列的前四项是2112+、2124+、2136+、2148+，则数列前n 项和为______. 三、解答题26．已知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C 的对边，cos 3sin 0a C a C b c +--=．（1）求A ．（2）若2a =，ABC △的面积为3，求b ，c ．27．如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距()533+海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D 点需要多长时间？28．设数列{}n a 满足12a = ，12nn n a a +-= ；数列{}n b 的前n 项和为n S ，且2132nS n n （） （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若n n n c a b = ，求数列{}n c 的前n 项和n T ．29．已知n S 是数列{}n a 的前n 项之和，*111,2,n n a S na n N +==∈．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设211(1)n n n n a b a a ++=-⋅⋅，数列{}n b 的前n 项和n T ，若112019n T +<，求正整数n 的最小值．30．首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为21200800002y x x =-+，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．A 2．B 3．B 4．C 5．A 6．D 7．A 8．A 9．C 10．A 11．A 12．D14．B15．B二、填空题16．5【解析】【分析】由约束条件作出可行域化目标函数为直线方程的斜截式数形结合得到最优解联立方程组求得最优解的坐标把最优解的坐标代入目标函数得结论【详解】作出变量满足的可行域如图由知所以动直线的纵截距取17．【解析】【分析】利用余弦定理得到进而得到结合正弦定理得到结果【详解】由正弦定理得【点睛】本题考查解三角形的有关知识涉及到余弦定理正弦定理及同角基本关系式考查恒等变形能力属于基础题18．【解析】【分析】由求得由可得结合为正整数讨论四种情况可得的最小值【详解】设等比数列的公比为由可得到由于所以解得或因为各项全为正所以由于存在两项使得所以可得当时;当时；当时;当时;综上可得的最小值为故19．－2+）【解析】【分析】根据题意分x=0与x≠0两种情况讨论①x=0时易得原不等式恒成立②x≠0时原式可变形为a≥-（|x|+）由基本不等式的性质易得a的范围综合两种情况可得答案【详解】根据题意分两20．【解析】【详解】总费用为当且仅当即时等号成立故答案为30点睛:在利用基本不等式求最值时要特别注意拆拼凑等技巧使其满足基本不等式中正(即条件要求中字母为正数)定(不等式的另一边必须为定值)等(等号取得21．【解析】【分析】【详解】由条件可得22．【解析】试题分析：方程组无解等价于直线与直线平行所以且又为正数所以（）即取值范围是考点：方程组的思想以及基本不等式的应用23．【解析】【分析】先利用累加法求出an＝33+n2﹣n所以设f（n）由此能导出n＝5或6时f（n）有最小值借此能得到的最小值【详解】解：∵an+1﹣an＝2n∴当n≥2时an＝（an﹣an﹣1）+（a24．【解析】【分析】【详解】试题分析：考点：正余弦定理解三角形25．【解析】【分析】观察得到再利用裂项相消法计算前项和得到答案【详解】观察知故数列的前项和故答案为：【点睛】本题考查了数列的通项公式裂项相消求和意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用三、解答题27． 28． 29． 30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．A 解析：A 【解析】试题分析：当1n =时，113a S ==；当2n ≥时，()()()22111112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=++--+-+=⎣⎦,把1n =代入上式可得123a =≠.综上可得3,1{2,2n n a n n ==≥.所以3,1{2,12,n n b n n n n n -==-≠为奇数且为偶数.数列{}n b 的前50项和为()()503235749224650S =--+++++++++()()24349252503224922++=--⋅+⋅=.故A 正确.考点：1求数列的通项公式;2数列求和问题.2．B解析：B 【解析】【分析】先利用条件把413x y +-进行等量代换，再利用换元法，结合二次函数区间最值求解. 【详解】设y t x=，则222222221114113xy y xy y x x xy y x xy y t t x y ++==-=-+++++++-， ()222222441(1)01313x tx t x x tx t t x t x ++=+-⇒++-++=， 10(3)(31)033t t t ∆≥⇒--≤⇒≤≤. 221314121,13,1,911313t t t t ⎡⎤⎡⎤++∈-∈⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦，2min 441313xy y x y ⎛⎫⎪+= ⎪ ⎪+-⎝⎭，2max 1241313xy y x y ⎛⎫ ⎪+= ⎪ ⎪+-⎝⎭. 故选：B. 【点睛】本题主要考查最值问题，利用条件进行等量代换是求解的关键，注意齐次分式的处理方法，侧重考查数学运算的核心素养.3．B解析：B 【解析】 【分析】从冬至日起各节气日影长设为{}n a ，可得{}n a 为等差数列，根据已知结合前n 项和公式和等差中项关系，求出通项公式，即可求解. 【详解】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和，则()19959985.52a a S a +===尺，所以59.5a =尺，由题知1474331.5a a a a ++==， 所以410.5a =，所以公差541d a a =-=-， 所以1257 2.5a a d =+=尺。
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盐城中学2010届高三上学期期中考试数学试题(2009.11 )•填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70 分.1 •集合A 1,0,1 , B 2, 1,0，则A B ▲ •2.命题"x R, x22x 3 0”的否定是__ ▲・113 •在等差数列 {a n}中，a2 + a5 = 19 ,S5 = 40 ,贝U a10 为▲ •r r r r r r4.已知向量a (3,1), b (1,3), c (k,7),若(a c) //b，则k = ▲5•函数y a x 22(a 0,a 1)的图象恒过定点A (其坐标与a无关)，则A的坐标为_▲• M2x 2x 1 x 06•设f(x) ' ，若f(t) 2，则实数t的取值范围是_ ▲2x 6, x 07•若函数f(x) (1 73 ta nx)cosx , 0 x —,则f (x)的最大值为▲2&设方程2x x 4的根为x0,若x0(k」,k丄),则整数k ▲. “2 29 •已知函数 f (x) 4si n(2x —) 1 ,给定条件p : - < x W —,2条件q : 2 f (x) m 2，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围为▲•10•在ABC 中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c ,其中a 2,c 3 ,且满足2a c cosBuu uuub cosC ,贝AB BC _▲ 一.11•若等比数列、 2 2 2 a n 满足：a1 a2 a3 a4 a5 3, a1 a2 a3 2 a4 a5 12 ,则a1a2 a3 a^ a5的值是▲.uuu umr luu iur uun uur12.已知ABC的外接圆的圆心O , BC CA AB，则OA OB,OA OC,OB OC的大小13•已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有517.(本小题15分)xf(x 1) (1 x)f(x)，贝y f (7)的值是 ____________ ▲. “14•给定正整数n(n 2)按右图方式构成倒立三角形数表，第一行依 次写上数I , 2，3,…，n ，在第一行的每相邻两个数正中间的下 方写上这两个数之和，得到第二行的数(比上一行少一个数)，依次类推，最后一行(第n 行)只有一个数，例如 n =6时数表如图所，则 当n = 2009时最后一行的数是 ▲. “二、解答题：本大题共 6小题，共90分•解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.(本小题14分)已知y 2x ,x ［2,4］的值域为集合A , y log 2［ x 2 (m 3)x 2(m 1)］定义域为 集合B,其中m1.(I)当 m 4，求 A B ;(n)设全集为R,若A C R B ，求实数m 的取值范围.16.(本小题14分)(I)求x ［ 1,0)时，y f(x)解析式，并求y f(x)在x ［0,1］上的最大值;1(n)解不等式 f(x)1 2 3 4 5 63 5 7 9 118 12 16 20 20 28 36 48 64 112已知y f (x)是定义在［1,1］上的奇函数,x [0,1]时，f (x)4x a 4x 12c在厶ABC中，角A, B, C所对边分别为a, b, c,且1 空Atan B b(I)求角A;cosB, 2cos2C，试求| m n|的最小值.(社)若 m (0, 1), n18. (本小题15分)已知数列a n的前n项和为S n , a1 1, a? 2，且点(S n,S n1)在直线y kx 1上(I)求k的值；(n)求证：a n是等比数列；(川)记T n为数列S n的前n项和，求T10的值.19. (本小题16分)如图，某机场建在一个海湾的半岛上，飞机跑道AB的长为4.5 km且跑道所在的直线与海岸线I的夹角为60度(海岸线可以看作是直线)，跑道上离海岸线距离最近的点B到海岸线的距离BC 4. 3km . D为海湾一侧海岸线CT上的一点,设CD： x (kn),点D对跑道AB的视角为(I)将tan 表示为x的函数；(n)求点D的位置，使取得最大值.20.(本小题16分)2已知函数g(x)2ax2ax 1 b(a 0,b 1)，在区间2, 3上有最大值4,最小值1，设f (x) g(x ) x(I)求a,b 的值; (n)不等式 f(2x ) k 2x 0在x [ 1,1]上恒成立，求实数 k 的范围; (川)方程 f(|2x 1|)k(|2x1|3) 0有三个不同的实数解，求实数 k 的范围.2盐城中学2010届高三上学期期中考试一•填空题： 数学试卷参考答案1. { 2, 1,0,1} 2 x R, x 2 2x 3 03. 29 4.55. (2, 1) 6,0 U 3,7. 2 8 .19. 3,5 10 .311. 4 12 um uur uun uuir .OA OB OA OC uui uurOB OC13. 014.1005 22008_、解答题：15.解：（1）A[4,16], B (2,5), AI B [4,5)(2)若 m 1,则 C R B {x|x2 或 x m 1}m 1 4, 1 m 3若m 1,则qB {x|x m 1或x 2}，此时A C R B 成立.17 . 解:tan A 2c (I) 1 -tan B b ’ sin Acos B 1 sin BcosA2sin C sin Bcos A sin AcosB 即 sin B cos A2sin Csin Bsin B.sin(A B)2sin CA，…cos A1 ,■ 0 A n , . A —.sin BcosA sinB232C(n) m n (cosB,2cos 1) (cosB,cosC),综上所述，实数m 的取值范围为,1 U 1,3解：(1)Q yf x 为奇函数,0,1,0)时,(0,1] f(x)f( x)4x 11,0)时,f在0,1上是增函数•max⑵ Q f (x)£ 4x 11,1].4x 1 4x 1代入a 1,a 22有k 2.⑵ QS n 1 2S n 1, S n 2S n1 1(n 2).两式相减有，a n 1 2a n ,即，也 2且垂2符合. a na 1{a n }为公比为2的等比数列. 3 S n2n 1 T ；0 2 22 23 K 2101 219.幫Ml)过川分别作戌线的垂找•垂足分刖为也"： 由题JB1*肪“ ,Zj4fiF=W-6(r^3(r,所UCE-/1F-4.5Xsm3O ,^ ・AE ^CF - BC+Bf T ・,,2 2 f 2 —| m 叫 cos B cos Cn •A— ,•••2 nB C - 3■-当 sin(2 Bn) = 1 ,即|m n|minT3 262 n ,, _ nn 7 n• B (0,).从而-2B3 66 6nB 时，I m n | 2取得最小值1所以，32a 2k a 11.101 21010 2036.1 218 •解：(1)S n , k S n 1,令 n=1 有，S 2222 n 1ncos B cos ( B) 1 - sin(2 B ).当J 1〉彳时F EZ>9£ J"皿貝上月反 25 7H 士卫=¥二:｛如图门 * — 4 当X*2-时,ED=孑一孙"蠱Z/UX'===竽;■(如期 2九 ............... 所世 lantf ^lAn J <ADii^l^J /ADC- i /BDC}心一 9_.?. ^.?.A.£ Ltz^其中尸宜工茫9 讥“一9）*同『共弔上A0且、「产4 •当址=+时「吕讎=葺务，符合上式-所以伽.苗竺器老需圧>0* ................................囚为心」J * A + 4 八.— 41 = 39 r当且仪当4 a+仍二豎胡时取谆号.上十4所以当匸=6时申4（氐+ 4） +虫兴—41取张小值3SU所以 斗 T 时.妬皿取最大懐上护. ....................................... 由于严伽工在区厠倔尹上址地團如所以当上"时/取JR 大他 答：在撵淸•侧的晦举线存I SHC 点tikm 处的D 点处观看飞机览道的视谢亘尢20. 解：2(I)⑴ g(x) a(x 1) 1 b a当a 0时，g(x)在2, 3上为增函数,,g (3)2 9a 6a 2 b 5 a 1 g(2)54a 4a 2 b 2b 0当a 0时，g(x)在2, 3上为减函数“ g(3)2 9a 6a 2 b 2 a 1 g(2)24a 4a 2 b 5b 32b 1 a 1 b 0 即 g(x) x 2x 1.25、p _4 \/T +-t — 9 x 』打上ADC l +tanZH/X? * 迫nZ 扯云 药 VT ” JT1 | X F ■ ■ " i_亠" .，- ” ■” ・ t,—J _ AXtJT>0+c D E图2彳分1 2.x0 1 2(n)方程 f(2x ) k 2x 0化为2x 1 2 k 2x2x1 2 1 人12 1 (〒 )2〒 k ，令 n x t ，k t 2t 1 2 2 2•/ x [ 1,1] • •-1 1 [ — ,2] 记(t) 2t 2t 12(t)min 0 / .k 0(川)方程 f(|2x 1|) 2k (一 3) 0化为| 2x 1 | 1 2k|2x 1||2x 1| |2x 1 I 2 (2 3k) |2x 1| (1 2k) 0，|2x 1| 0 令|2x 1| t ，则方程化为t 2 (2 3k)t (1 2k)0( t 0)•••方程 |2x 1| 1 x 2k (2 3k) 0有三个不同的实数解， I2 x 1I f xx(2 3k) 02-•••由 t I t 2 (2 且0 t 1 |2x3k)t (1 I 1 1|的图像知, 2k) 或0 t 2 0有两个根 t 1 1 , t 2t 1、 1 t 2 , jC记(t) t 2 (2 3k)t (1 2k) (0) (1)2k(0) (1) 0 -2k k 3k12.x12。