【全国百强校】广东省广州市实验中学、执信中学2018届高三10月联考数学（理）试题
【高三数学试题精选】广东省执信中学2018
广东省执信中学2018
5 执信中学2} 和N= { x |x +2x 0} 关系的韦恩（Venn）图是
2下列n的取值中，使 =-1(i是虚数单位）的是
A n=3
B n=4 c n=5 D n=6
3给定下列四个命题
①若一条直线与一个平面内的两条直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；
②若一个平面经过另一个平面的平行线，那么这两个平面相互平行；
③垂直于同一平面的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直
其中，为真命题的是
A．①和② B．②和③ c．③和④ D．②和④
4 “ ”是“ 共线”的（）
A．充分非必要条 B．必要非充分条
c．非充分非必要条 D．充要条
5 已知简谐运动的图象经过点，则该简谐运动的最小正周期和初相分别为（）
Ａ．，Ｂ．，Ｃ．，Ｄ．，
6若函数是函数的反函数，且，则
A． B． c． D．
7 记等差数列{an}的前n项和为Sn，若 ,则 =
A5 B6 c7 D8
8在棱锥中，侧棱PA、PB、Pc两两垂直，Q为底面内一点，若点Q到三个侧面的距离分别为3、4、5，则以线段PQ为直径的球的。
【全国百强校】广东省广州市实验中学、执信中学2018届高三10月联考数学(理)试题(含解析)
到最小值，由此即可得到 m 的最小值． 【解析】作出不等式组表示的平面区域，得到如图的三角形 ABC ，
1 其中 A(m,3 m) ，再作出指数函数 y 的图象， 2
x
[来源: 学+科+网Z+X+X+K]
可得该图象与直线 x y 3 0 交于点 (1, 2) ， 因此，当 A 点与 (1, 2) 重合时，图象上存在点 ( x, y) 且此时 m 达到最小值，即 m 的最小值为 1 ． 故选 B ． 满足不等式组，
1 ．故④正确． 2
5．如图，网格纸上小正方形的边长为 1 ，粗实线画出的是该几何体的三视图，该几何体由一平面将一 圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ A． 36π B． 42π ） ． C． 63π D． 90π
【答案】D 【解析】由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为 6 的圆柱的一半，
） ． B． 6π C． 6π 或 2 3π D． 4 3π
①如图①， OD 1 CD ，[ D 在 OC 上]， ∴ CB 3 1 2 ，
S侧 1 π 2r CB 2 3π ． 【注意有文字】 2
） ．
D．即不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】若函数 y f ( x) 2x m 1 有零点， 则 f (0) 1 m 1 m 1 ， 当 m ≤ 0 时，函数 y log m x 在 (0, ) 上为减函数不成立，即充分性不成立， 若 y log m x 在 (0, ) 上是减函数，则 0 m 1 ， 此时函数 y 2x m 1 有零点成立，即必要性成立， 故“函数 y 2x m 1 有零点”是“函数 y log m x 在 (0, ) 上是减函数”的必要不充分条件． 故选 B ．
2018深中、华附、省实、广雅四校联考理科数学答案(最终成稿)
P( B) P( A1B 1) P( A 2 B 2) P( A 3 B 3) P( A1) P( B 1) P( A 2) P( B 2) P( A 3) P( B 3)
0.65 0.10 0.30 0.20 0.05 0.60 0.155 .
当 n 2 ， an Sn Sn1 2n 2
3 ，………………………… ， a1 ，……………………………………………………………………………7 分 因为， an1 an 2 ， 所以，若数列 {an } 为等差数列，则有 a2 a1 2
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每 个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：60 分. 17． （本小题满分 12 分） ［解析］ （I）因为 an1 Sn1 Sn ，代入 an 1 2 Sn 1 可得： Sn1 Sn 2 Sn 1 ， ………………………………………………………………………………………2 分
………………………………………………………………………………………12 分
18． （本小题满分 12 分） ［解析］ （I）依据甲图,记该河流 8 月份“水位小于 40 米”为事件 A 1 , “水位在 40 米至 50 米之间” 为事件 A 2 , “水位大于 50 米” 为事件 A 3 ，它们发生的概率分别为：
2 整理可得 Sn1 ( Sn 1) ，因为 Sn 0 ，所以 Sn1 Sn 1 ，……………………3 分
所以数列 { Sn } 是首项为 ，公差为 1 的等差数列，……………………………………4 分 所以 Sn
广东省广州市实验中学、执信中学2018届高三10月联考数学(理)试题 含解析
广东省实验中学2018届高三上学期10月段测试数学（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.复数（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题可知．故本题答案选．2.等差数列中，，为等比数列，且，则的值为（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，利用等差数列的定义与性质，求出的值，再利用等比数列的性质求出的值．【详解】等差数列中，，又，所以，解得或（舍去），所以，所以．故选．【点睛】本题考查了等差与等比数列的性质与应用问题，考查了计算能力，是基础题目．3.已知，“函数有零点”是“函数在上是减函数”的（）．A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 即不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：由题意得，由函数有零点可得，，而由函数在上为减函数可得，因此是必要不充分条件，故选B ．考点：1.指数函数的单调性；2.对数函数的单调性；3.充分必要条件. 4.下面给出四种说法：①设、、分别表示数据、、、、、、、、、的平均数、中位数、众数，则；②在线性回归模型中，相关指数表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，越接近于，表示回归的效果越好； ③绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的组距； ④设随机变量服从正态分布，则．其中不正确的是（ ）． A. ① B. ②C. ③D. ④【答案】C 【解析】 【分析】对于A ，根据数据求出的平均数，众数和中位数即可判断； 对于B ，相关指数R 2越接近1，表示回归的效果越好； 对于C ，根据频率分布直方图判定；对于D ，设随机变量ξ服从正态分布N （4，22），利用对称性可得结论； 【详解】解：①将数据按从小到大的顺序排列为： 、、、、、、、、、，中位数：；；这组数据的平均数是．因为此组数据中出现次数最多的数是， 所以是此组数据的众数； 则；②越接近于，表示回归的效果越好，正确；③根据频率分布直方图的意义，因为小矩形的面积之和等于，频率之和也为， 所以有各小长方形的面积等于相应各组的频率；故③错； ④∵随机变量服从正态分布，∴正态曲线的对称轴是，∴．故④正确．故选．【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及统计的基础知识：频率分布直方图和线性回归及分类变量X，Y的关系，属于基础题．5.如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是该几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半，即可求出几何体的体积．【详解】由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为的圆柱的一半，．故选．【点睛】本题考查了由三视图还原几何体，体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.对于实数，若函数图象上存在点满足约束条件，则实数的最小值为（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】作出不等式组表示的平面区域，观察图形可得函数的图象与直线x﹣y+3＝0交于点（﹣1，2），当点A与该点重合时图象上存在点（x，y）满足不等式组，且此时m达到最小值，由此即可得到m的最小值．【详解】作出不等式组表示的平面区域，得到如图的三角形，其中，再作出指数函数的图象，可得该图象与直线交于点，因此，当点与重合时，图象上存在点满足不等式组，且此时达到最小值，即的最小值为．故选．【点睛】本题给出二元一次不等式组，求能使不等式成立的m的最小值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和函数图象的作法等知识，属于中档题．7.有一个球的内接圆锥，其底面圆周和顶点均在球面上，且底面积为．已知球的半径，则此圆锥的侧面积为（）．A. B. C. 或 D.【答案】C【解析】【分析】由题意列方程求出圆锥的高h，再求出圆锥的母线长l，即可求出圆锥的侧面积．【详解】圆锥，是底面圆心，为球心，，∴，①如图①，，[在上]，∴，．②如图②，，∴，∴．故选．【点睛】本题考查了丁球内接圆锥的侧面积问题，求出圆锥的高是关键，考查空间想象能力与计算能力，属于中档题．8.已知双曲线，过点的直线与相交于，两点，且的中点为，则双曲线的离心率为（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由中点坐标公式，将A和B点代入双曲线的方程，两式相减即可求得直线的斜率，由直线AB的斜率k==1，即可求得=，根据双曲线的离心率公式，即可求得双曲线C的离心率．【详解】设A（x1，y1），B（x2，y2），由AB的中点为N（12，15），则x1+x2=24，y1+y2=30，由，两式相减得：=，则==，由直线AB的斜率k==1，∴=1，则=，双曲线的离心率e===，∴双曲线C的离心率为，故选：B．【点睛】本题考查双曲线的离心率公式，考查中点坐标公式，考查点差法的应用，考查直线的斜率，考查计算能力，属于中档题．9.在正方体中，，分别是棱，的中点，是与的交点，面与面相交于，面与面相交于，则直线，的夹角为（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】画出图象，可得m即为CF，进而根据线面平行的判定定理和性质定理可得m∥n．【详解】如图所示：∵，分别是棱，的中点，故，则面即为平面与平面相交于，即直线，由，可得平面，故面与面相交于时，必有，即，即直线，的夹角为．故选．【点睛】本题考查的知识点是空间直线的夹角，线面平行的判定定理及性质定理，难度中档．10.已知函数，给出下列四个命题：①函数的图象关于直线对称；②函数在区间上单调递增；③函数的最小正周期为；④函数的值域为．其中真命题的个数是（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用三角函数的周期性、单调性、值域以及它的图象的对称性，判断各个选项是否正确，从而得出结论．【详解】解：对于函数，由于，，∴，故的图象不关于直线对称，故排除①．在区间上，，，单调递增，故②正确．函数，，∴，故函数的最小正周期不是，故③错误．当时，，故它的最大值为，最小值为；当时，，综合可得，函数的最大值为，最小值为，故④正确．故选．【点睛】本题主要考查三角函数的周期性、单调性、值域以及它的图象的对称性，属于中档题．11.在抛物线与直线围成的封闭图形内任取一点，为坐标原点，则直线被该封闭图形解得的线段长小于的概率是（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】如图圆的方程为，由圆方程，直线方程，抛物线方程知，．整个密闭区域的面积为，满足条件的区域面积为．由几何概型知所求概率为．故本题答案选．12.若函数在上存在两个极值点，则的取值范围为（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】函数在(0,2)上存在两个极值点，等价于在(0,2)上有两个零点，令f′(x)=0,则，即，∴x−1=0或，∴x=1满足条件,且 (其中x≠1且x∈(0,2)；∴ ,其中x∈(0,1)∪(1,2)；设t(x)=ex⋅x2,其中x∈(0,1)∪(1,2)；则t′(x)=(x2+2x)e x>0，∴函数t(x)是单调增函数，∴t(x)∈(0,e)∪(e,4e2)，∴a∈.本题选择D选项.点睛：2．求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全，区分极值点与导数为0的点；含参数时，要讨论参数的大小．3．求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论．一个函数在其定义域内最值是唯一的，可以在区间的端点取得．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知，，，则，，的大小是__________．【答案】【解析】【分析】根据指数函数与对数函数的单调性可得：a b，c log67．即可得出．【详解】解：a b，c log67．∴c＜a＜b．故答案为：c＜a＜b．【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.已知平面向量，的夹角为，且，．若平面向量满足，则__________．【答案】【解析】由题可设,,设,由题,解得，.15.展开式中，常数项是__________．【答案】60【解析】解：因为展开式中，通项公式为，令x的次数为零可知常数项为60.16.设数列满足，，且，若表示不超过的最大整数，则__________．【答案】【解析】构造，则由题意可得：故数列是为首项，为公差的等差数列，，，以上个式子相加可得解得，则点睛：本题考查了等差数列的通项公式及数列的递推式的应用，考查了累加求和的方法，裂项求和方法的应用，解答本题的关键是熟练掌握通项公式的求法，考查了学生的推理能力和计算能力，属于中档题。
广东省2018届高三10月百校联考理数试题 含解析
高三数学试卷（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合错误！未找到引用源。
，集合错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
等于（）A．错误！未找到引用源。
B．错误！未找到引用源。
C．错误！未找到引用源。
D．错误！未找到引用源。
【答案】A考点：解不等式，集合的运算.2.设复数错误！未找到引用源。
为纯虚数，错误！未找到引用源。
，且错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
的值为（）A． 3 B． -3 C．1 D．-1【答案】C【解析】试题分析：错误！未找到引用源。
,错误！未找到引用源。
,复数错误！未找到引用源。
为纯虚数，错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
,选C.考点：复数的概念，复数的运算.3.下面是2018年3月安徽省芜湖楼市商品住宅板块销售对比饼状图，由图可知，戈江区3月销售套数为（）A．350 B．340 C．330 D． 318【答案】D【解析】试题分析：根据饼状图，鸠江区销售234套，占13％，所以2018年3月安徽省芜湖楼市商品住宅板块共销售楼房错误！未找到引用源。
％=1800套，戈江区3月销售占比1-27％-8％-35％-13％=17％，则戈江区3月销售套数为1800错误！未找到引用源。
17％错误！未找到引用源。
套.选D.考点：统计基础4.若错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
等于（）A. 错误！未找到引用源。
B.错误！未找到引用源。
C. 错误！未找到引用源。
D. 错误！未找到引用源。
【答案】A考点：诱导公式，同叫三角函数关系，二倍角公式.5.如图所示的五边形是由一个矩形截去一个角而得，且错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
等于（）A．错误！未找到引用源。
B．错误！未找到引用源。
C. 错误！未找到引用源。
高2018级2020年10月广东省广州市执信中学高三上学期第二次月考数学试题参考答案
数学参考答案一、选择题二、填空题13.【参考答案】3519 14.【参考答案】-215.【参考答案】6223+16.【参考答案】).,1()0,(∞+-∞三、解答题(本大题6小题,共70分) 17.(本小题10分)【解析】选择条件①(1)11,71cos ,7=+-==b a A c , )71(7)11(27)11(cos 2222222-⋅⋅--+-=∴-+=a a a A bc c b a ,8=∴a(2)71cos -=A ,734cos 1sin ),,0(2=-=∴∈A A A π,由正弦定理得：23sin ,sin 77348,sin sin =∴=∴=C C C c A a ,36238)811(21sin 21=⨯⨯-==C ba S ,选择条件②(1)),0(,,169cos ,81cos π∈==B A B A , 873cos 1sin 2=-=∴A A ,1675cos 1sin 2=-=B B , 由正弦定理得：6167511873sin sin =∴-=∴=a aa Bb A a ，，.(2)47811675169873cos sin cos sin )sin(sin =⨯+⨯=+=+=A B B A B A C , 4715476)611(21sin 21=⨯⨯-==C ba S .18.【解】(1)因为4,,432-a a a 成等差数列,所以42423-+=a a a ,所以4828111-+=a a a ,解得21=a ,所以.2nn a =(2)因为n n a 2=,所以)1(2log )1(log )1(22+=+=+=n n n a n b nn n ,所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=++=+22222)1(112)1()12(224n n n n n b n n , 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22222)1(112312122112n n T n , .)1(22)1(112)1(11312121122222222+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-+-=n n n n19.(1)因为平面⊥PAD 平面ABCD ,AD AB ⊥,所以⊥AB 平面PAD ,所以PD AB ⊥,又因为PD PA ⊥,所以⊥PD 平面PAB .(2)取AD 的中点O ,连结,,CO PO因为PD PA =,所以AD PO ⊥.又因为⊂PO 平面PAD ,平面⊥PAD 平面ABCD , 所以⊥PO 平面ABCD .因为⊂CO 平面ABCD ,所以CO PO ⊥. 因为CD AC =,所以AD CO ⊥.如图建立空间直角坐标系xyz O -,由题意得,)1,0,0(),0,1,0(),0,0,2(),0,1,1(),0,1,0(P D C B A -.设平面PCD 的法向量为),,(z y x n =,则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,0PC n PD n 即⎩⎨⎧=-=--,02,0z x z y 令2=z ,则.2,1-==y x 所以).2,2,1(-=n又)1,1,1(-=PB ,所以.33,cos -=<PBn PB n 所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为.3320.(1)因为一个顶点为)1,0(B ,故1=b ,又离心为23,故23=ac 即2312=-a a ,所以2=a ,故椭圆方程为：.1422=+y x(2)若直线l 的斜率不存在,则设),,(),,(n m N n m M -此时41411112222m mm n m n m n k k BNBM =-=--⨯-=,与题设条件矛盾,故直线l 斜率必存在. 设m kx y MN +=:,),(),,(2211y x N y x M ,联立,4422⎩⎨⎧=++=y x mkx y 化为,0448)41(222=-+++m kmx x k0)14(1622>+-=∆m k ,221418k kmx x +-=+∴,22214144k m x x +-=⋅∴.2111212121122211=--+=-⋅-=⋅x x x x y x y x x y x y k k BN BM , 0)1())(1(21221212=-++-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴m x x m k x x k ,0)1(418)1(41442122222=-++--++-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴m k km m k k m k , 化为0322=-+m m ,解得3-=m 或1=m (舍去).即直线过定点)3,0(-21.解：(I)依题意,2.05010)8040(1==<<=X P P , 7.05035)12080(2==≤≤=X P P ,1.0505)120(3==>=X P P ,由二项分布,在未来4年中至多有1年入流量超过120的概率为：.9477.0101)109(4)109()1()1(34333144304=⨯⨯+=-+-=P P C P C P(II)记水电站年总利润为Y (单位：万元)①安装1台发电机的情形.由于水库年入流量总大于40,所以一台发电机运行的概率为1, 对应的年利润5000=Y ,.500015000=⨯=EY ②安装2台发电机.当8040<<X 时,一台发电机运行,此时42008005000=-=Y ,因此2.0)8040()4200(1==<<==P X P y P ,当80≥X 时,两台发电机运行,此时1000025000=⨯=Y ,因此8.0)80()10000(21=+=≥==P P X P Y P .由此得Y 的分布列如下：所以14200+⨯=EY ③安装3台发电机.依题意,当8040<<X 时,一台发电机运行,此时340016005000=-=Y , 因此2.0)8040()3400(1==<<==P X P Y P ;当12080≤≤X 时,两台发电机运行,此时920080025000=-⨯=Y , 此时,7.0)12080()9200(2==≤≤==P X P Y P 当120>X 时,三台发电机运行,此时1500035000=⨯=y , 因此1.0)120()15000(3==>==P X P Y P , 由此得Y 的分布列如下：所以3400⨯=EY 综上,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机2台.22.解：(I)x ax x x f +--=2ln )(,xx ax ax x x f 12121)('2+--=+--=,………2分令a 81-=∆.当81≥a 时,0≤∆,0)('≤x f ,)(x f 在),0(∞+单调递减.………4分 当810<<a 时,0>∆,方程0122=+-x ax 有两个不相等的正根21,x x ,不妨设21x x <, 则当),(),0(21∞+∈x x x 时,0)('<x f ,当),(21x x x ∈时,0)('>x f ,这时)(x f 不是单调函数.综上,a 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+,81. ………………………6分(II)由(I)知,当且仅当⎪⎭⎫⎝⎛∈81,0a 时,)(x f 有极小值点1x 和极大值点2x ,且.21,212121ax x a x x ==+ 2222121121ln ln )()(x ax x x ax x x f x f +--+--=+.141)2ln(1)(21)ln(2121++=+++-=aa x x x x …………………9分令141)2ln()(++=a a a g ,⎪⎭⎫⎝⎛∈81,0a , 则当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈81,0a 时,)(,0414411)('22a g a a a a a g <-=-=在⎪⎭⎫⎝⎛81,0单调递减, 所以2ln 23)81()(-=>g a g ,即.2ln 23)()(21->+x f x f ………………………12分。
2018深中、华附、省实、广雅四校联考理科数学(教师版)
绝密★启用前 试卷类型：A广东省2018届高三年级四校联考理科数学本试卷共6页，22小题，满分150分．考试用时120分钟， 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，用2B 铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题组号的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．1．集合2{|560},{|210}≥A x x x B x x =-+=->，则A B = （ ） A ．(,2][3,)-∞+∞ B ．1(,3)2C ．1(,3]2D ．1(,2][3,)2+∞1．答案：D解析：2{|560}{|(2)(3)0}(,2][3,),A x x x x x x =-+=--=-∞+∞ ≥≥11{|210},,(,2][3,)22B x x A B ⎛⎫=->=+∞∴=+∞ ⎪⎝⎭．2．i 是虚数单位，则复数2iiz -=在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．答案：C 解析：22i (2i)i 2i 112i i i 1z --+====---，在复平面上对应的点(1,2)--位于第三象限． 3．若实数,x y 满足条件6321≤≤≥x y x y x +⎧⎪--⎨⎪⎩，则23x y +的最大值为（ ）A ．21B ．17C ．14D ．53．答案：B解析：作可行域为如图所示的ABC △，其中(1,5),(1,1),(4,2)A B C ，设23z x y =+，则2233y x z =-+，表示斜率为23-，纵截距为3z 的直线，作直线23y x =-并平移，使其经过可行域内的点，当直线过点(1,5)A 时，z 取得最大值，max 213517z =⨯+⨯=．6=x4．已知两个单位向量,a b的夹角为120k R ︒∈，，则a kb - 的最小值为（） A ．34B C ．1 D ．324．答案：B解析：222222222cos1201a kb a ka b k b a k a b b k k -=-⋅+=-⋅︒+=++21324k ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以当12k =-时，a kb - 解法2：如图，,,OA a OB b OC kb ===，因为k R ∈，所以点C 在直线OB 上运动，则a kbAC -= ，显然，当AC OB ⊥时，AC 取得最小值2，此时12k =-．B5．秦九韶是我国南宋时期的数学家，在他所著的《数书九章》中提出的多项式求值的“秦九韶算法”，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法，求某多项式值的一个实例，若输入,n x 的值分别为4和2，则输出v 的值为（ ） A ．32B ．64C ．65D ．1305．答案：C解析：4,2,1n c v ===→是6,3v n →==→是15,2v n →==→是32,1v n →==→是65,0v n →==→否，输出65v =．6．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ） A ．23B ．1C ．43D ．83正视图侧视图俯视图6．答案：C解析：该几何体为三棱锥，其直观图如图所示，体积114222323V ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭．7．已知函数3214()33f x x x x =+++，若函数()y f x a b =++为奇函数，则a b +的值为（ ） A ．5-B ．2-C ．0D ．27．答案：B解析：2()21,()22f x x x f x x '''=++=+，令()0f x ''=，得1x =-，又(1)1f -=，所以函数()f x 的对称中心为(1,1)-，所以函数()y f x a b =++的对称中心为(1,1)a b --+， 根据题意可得10,10a b --=+=，解得1,1a b =-=-，所以2a b +=-． 8．已知函数()sin()(0)ωϕωf x x =+>的图象的一个对称中心为(,0)2π，且1()42πf =，则ω的最小值为（ ） A ．23B ．1C ．43D ．28．答案：A 解析：当2x π=时，11,2x k k Z πωϕωϕπ+=+=∈，当4x π=时，2246x k ππωϕωϕπ+=+=+或2526k ππ+，2k Z ∈，两式相减，得12(2)46k k ππωπ=--或125(2)6k k ππ--，12,k k Z ∈，即1224(2)3k k ω=--或12104(2)3k k --，12,k k Z ∈，又因为0ω>，所以ω的最小值为102433-=． 解法2：直接令5,246πππωϕπωϕ=+=+，得46ππω=，解得23ω=．9．已知关于x 的方程sin()sin()2x x m ππ-++=在区间[0,2)π上有两个根12,x x ，且12x x π-≥，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(B ．(C ．D ．[0,1)9．答案：D解析：sin()sin()2x x m ππ-++=，即sin cos x x m +=),4x m π+=sin()4x π+=，作出函数sin(),[0,2)4y x x ππ=+∈的图像，由图可知，要使得方程在区间[0,2)π上有两个根12,x x ，且12x x π-≥，则022m <≤，即01m <≤．10．已知抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点为F ，O 为坐标原点，点(,9)2pM -， (,1)2pN --，连结OM ，ON 分别交抛物线E 于点,A B ，且,,A B F 三点共线，则p 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．答案：C解析：直线OM 的方程为18y x p =-，将其代入22y px =，解得321629p x py ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故32,1629p p A ⎛⎫- ⎪⎝⎭；直线ON 的方程为2y x p =，将其代入22y px =，解得322p x y p ⎧=⎪⎨⎪=⎩，故32,2p B p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，所以2918,481AB AF p k k p p ==-，因为,,A B F 三点共线，所以AB AF k k =，即2918481pp p =-，解得3p =．BANMFO本题使用了抛物线的性质：设抛物线2:2(0)C y px p =>，AB 是过焦点(,0)2pF 的弦，1122(,),(,)A x y B x y ，准线:2pl x =-，AN l ⊥于N ，BM l ⊥于M ，则： ①221212,4p y y p x x =-=；②,,A O M 三点共线，,,B O N 三点共线．证明：①设直线AB 的方程为2p x my =+，代入22y px =，得：2220y pmy p --=，由韦达定理可得212y y p =-，所以22221212122()2244y y y y p x x p p p =⋅==． ②21221222(,),2OM p y y ppM y k p p y ⎛⎫- ⎪⎝⎭-∴=-=-=，而11211122OA y y p k y x y p===， 所以OM OA k k =，所以,,A O M 三点共线，同理可证,,B O N 三点共线．11．e 为自然对数的底数，已知函数1,1()8ln 1,1xx f x x x ⎧+<⎪=⎨⎪-⎩≥，则函数()y f x ax =-有唯一零点的充要条件是（ ）A ．1a <-或21a e =或98a > B ．1a <-或2118a e ≤≤ C ．1a >-或2198a e <<D ．1a >-或98a >11．答案：A解析：作出函数()f x 的图像如图所示，其中9(1,),(1,1)8A B -，则9,18OA OB k k ==-，设直线y ax =与曲线ln 1(1)y x x =-≥相切，则ln 1ax x =-，即ln 1x a x-=，设ln 1()x g x-=，则221(ln 1)2ln ()x x g x ---'==，当2x e =时，()0g x '=，分析可知，A ．3B ．4πC ．12πD ．312．答案：D解析：取AB 中点D ，连接,PD CD ，则AD 1PD ，所以60,120APD APB ∠=︒∠=︒，设APB △外接圆圆心为1O ，半径为r ，则24sin120ABr ==︒所以2r =．同理可得：1,120,CD ACB ABC =∠=︒△的外接圆半径也为2，因为1PC PD CD ===，所以PCD △是等边三角形，60PDC ∠=︒，即二面角P AB C --为60︒，球心O 在平面PCD 上，过平面PCD 的截面如图所示，则11O D r PD =-=，所以1133OO D ==，所以22211113433OF OO O F =+=+=，即2133R =，所以外接球的表面积25243S R ππ==．PABCDF GC PDO 1O 2O第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．如图是一组数据(,)x y 的散点图，经最小二乘法计算，y 与x 之间的线性回归方程为ˆˆ1ybx =+，则ˆb = ．13．答案：0.8 解析：01340.9 1.9 3.2 4.42, 2.644x y ++++++====，将(2,2.6)代入ˆˆ1ybx =+，解得：ˆ0.8b=． 14．41(1)(1)x x x-+-的展开式中3x 的系数为 ． 14．答案：1 解析：443211(1)(1)(1)(4641)x x x x x x x x x-+-=-+-+-+，所以展开式中3x 的系数为 6141--=．15．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>右顶点且斜率为2的直线，与该双曲线的右支交于两点，则此双曲线离心率的取值范围为． 15．答案：解析：双曲线的渐近线方程为by xa=±，根据题意可得2ba<，所以离心率cea===e的取值范围是．16．如图在平面四边形ABCD中，45,60,150,24A B D AB BC∠=︒∠=︒∠=︒==，则四边形ABCD的面积为．DCB16．答案：6解析：连接AC，则2222cos6012,AC AB BC AB BC AC=+-⋅︒=∴=，此时222AC BC AB+=，90,30,15ACB BAC DAC DAB BAC∠=︒∠=︒∠=∠-∠=︒，所以15DCA∠=︒，取AC中点E，连接DE，则tan15(2DE CE=⋅︒，13(262ACDS AC DE=⨯⨯==-△，12ABCS AC BC=⨯⨯=△所以6ACD ABCABCDS S S=+=△△四边形DECBA三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分．17．（本小题满分12分）已知等差数列{}na的前n项和为nS，1(0)aλλ=>，11()na n N*+=∈．（1）求λ的值；（2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．17．【解析】（1）因为11n n n a S S ++=-，代入11n a +=，可得：11n n S S +-=， ………………………………2分整理可得21n S +，因为0n S >1=，……………………3分所以数列1的等差数列，…………………………………4分2(1)1,(1)n n n S n -==，…………………………5分当2n ≥时，123n n n a S S n -=-=+，…………………………………………6分当1n =时，1a λ=，………………………………………………………………………7分 因为12n n a a +-=，所以，若数列{}n a为等差数列，则有2112a a λ-=-=，解得1λ=．…………………………………………………………………………………8分 （2） 由（1）可得21n a n =-，所以111111=(21)(21)22121n n a a n n n n +⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭……………………10分所以12231111n n n T a a a a a a +=+++， 即11111111112335212122121n n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ． 18．（本小题满分12分）依据某地某条河流8月份的水文观测点的历史统计数据所绘制的频率分布直方图如图（甲）所示；依据当地的地质构造，得到水位与灾害等级的频率分布条形图如图（乙）所示．试估计该河流在8月份水位的中位数；（1）以此频率作为概率，试估计该河流在8月份发生1级灾害的概率；（2）该河流域某企业，在8月份，若没受1、2级灾害影响，利润为500万元；若受1级灾害影响，则亏损100万元；若受2级灾害影响则亏损1000万元． 现此企业有如下三种应对方案：18．【解析】（1）依据甲图，记该河流8月份“水位小于40米”为事件1A ，“水位在40米至50米之间”为事件2A ，“水位大于50米”为事件3A ，它们发生的概率分别为：12()(0.020.050.06)50.65,()(0.040.02)50.30P A P A =++⨯==+⨯=，3()0.0150.05P A =⨯=．………………………………………………………………3分记该地8月份“水位小于40米且发生1级灾害”为事件1B ，“水位在40米至50米之间且发生1级灾害”为事件2B ，“水位大于50米且发生1级灾害”为事件3B ，所以123()0.1,()0.2,()0.6P B P B P B ===．…………………………………………4分 记“该河流在8月份发生1级灾害”为事件B ．则112233112233()()()()()()()()()()P B P A B P A B P A B P A P B P A P B P A P B =++=++0.650.100.300.200.050.600.155=⨯+⨯+⨯=．估计该河流在8月份发生1级灾害的概率为0.155．……………………………………6分（2）以企业利润为随机变量，选择方案一，则利润1X （万元）的取值为：500,100,1000--，由（1）知11(500)0.650.90.300.750.0500.81,(100)0.155,P X P X ==⨯+⨯+⨯==-= 1(1000)0.6500.300.050.050.400.035P X =-=⨯+⨯+⨯=．1X 的分布列为则该企业在8月份的利润期望1()5000.81(100)0.155(1000)0.035354.5E X =⨯+-⨯+-⨯=（万元）．…………8分 选择方案二，则2X （万元）的取值为：460,1040-，由（1）知，22(460)0.810.1550.965,(1040)0.035P X P X ==+==-=，2X 的分布列为：则该企业在8月份的平均利润期望2()4600.965(1040)0.035407.5E X =⨯+-⨯=（万元）…………………………10分选择方案三，则该企业在8月份的利润为：3()500100400E X =-=（万元）………11分 由于231()()()E X E X E X >>，因此企业应选方案二．…………………………………12分 19．（本小题满分12分）已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，,PD PBH =为PC 上的点，过AH 的平面分别交,PB PD 于点,M N ，且//BD 平面AMHN ． （1）证明：MN PC ⊥；（2）当H 为PC 的中点，PA PC =，PA 与平面ABCD 所成的角为60︒，求二面角P AM N --的余弦值．PABCDMNH（1）证明：连结AC 交BD 于点O ，连结PO ．因为ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥，且O 为AC 、BD 的中点，因为PD PB =，所以PO BD ⊥，因为AC PO O = 且AC PO ⊂、平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC ，因为PC ⊂平面PAC ，所以BD PC ⊥．因为//BD 平面AMHN ，BD ⊂平面PBD ，且平面AMHN 平面PBD MN =， 所以//BD MN ，所以MN PC ⊥．…………………………………………5分 （2）由（1）知BD AC ⊥且PO BD ⊥，因为PA PC =，且O 为AC 的中点，所以PO AC ⊥，所以PO ⊥平面ABCD ，所以PA与平面ABCD 所成的角为PAO ∠， 所以，所以1,2AO PA PO PA ==，因为PA =，所以BO =．……8分分别以OA ，OB ，OP为,,x y z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，设2PA =，则1(0,0,0),(1,0,0),(1,0,0),(0,(2O A B C D P H --，所以3(0,,0),(,0,(1,(3223DB AH AB AP ==-=-=- ．记平面AMHN 的法向量为1111(,,)n x y z =，则1111103022n DB y n AH x z ⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩，令10x =，则110,y z =1(1n =，记平面PAB 的法向量为2222(,,)n x y z =，则22222200n AB x y n AP x ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅=-+=⎩ ， 令21x =，则22y z ==，所以2n = ，…………………………11分记二面角P AM N --的大小为θ，则121212cos cos ,n n n n n n θ⋅===⋅． 所以二面角P AM N --的余弦值为13．20．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的离心率为12，圆222:(0)O x y r r +=>与x 轴交于点M N 、，P 为椭圆E 上的动点，2PM PN a +=，PMN △（1）求圆O 与椭圆E 的方程；（2）圆O 的切线l 交椭圆于点A B 、，求AB 的取值范围．20．【解析】（1）由题意得12c e a a ===，解得：2b =①……………1分 因为2PM PN a +=，所以，点M N 、为椭圆的焦点，所以，22214r c a ==………2分 设00(,)P x y ，则0b y b -≤≤，所以0012PMN S r y a y =⋅=△，当0y b =时， ()max 12PMN S ab ==△……………………………………………………………………3分 代入①解得2a =，所以1b c =，……………………………………………………4分所以，圆O 的方程为221x y +=，椭圆E 的方程为22143x y +=．……………………5分 （2）①当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+，1122(,),(,)A x kx m B x kx m ++ 因为直线l1=，即221m k =+，…………………………6分联立22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 可得222(43)84120k x kmx m +++-=， 2222121222841248(43)48(32)0,,4343km m k m k x x x x k k -∆=+-=+>+=-=++，AB ==24k ==+=令2134t k =+，则2140334t k <=+≤，所以403AB t =<≤，所以AB =33AB <≤11分 ②当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =±，解得331,,1,,322A B AB ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，综上，AB的取值范围是3⎡⎢⎣⎦．21．（本小题满分12分）已知函数()(1)16xa f x x e =--+，其中 2.718e = 为自然对数的底数，常数0a >．（1）求函数()f x 在区间(0,)+∞上的零点个数；（2）函数()F x 的导数()()()x F x e a f x '=-，是否存在无数个(1,4)a ∈，使得ln a 为函数()F x 的极大值点？说明理由．21．【解析】（1）()()6xaf x x e '=-，……………………………………………………1分 当06a x <<时，()0()f x f x '<，单调递减；当6ax >时，()0()f x f x '>，单调递增； ……………………………………2分因为()(0)0,(1)10666a a a f f f <=-<+=>，所以存在0,166aa x ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭，使0()0f x =， 且当00x x <<时，()0f x <，当0x x >时，()0f x >．故函数()f x 在区间(0,)+∞上有1个零点，即0x ．………………………………4分 （2）（法一）当1a >时，ln 0a >．因为当(0,ln )x a ∈时，0xe a -<；当(ln ,)x a ∈+∞，0xe a ->． 由（1）知，当0(0,)x x ∈时，()0f x <；当0(,)x x ∈+∞时，()0f x >． 下证：当(1,)a e ∈时，0ln a x <，即证(ln )0f a <．2(ln )(ln 1)1ln 166a a f a a a a a =--+=--+，记2()ln 1,[1,]6x g x x x x x e =--+∈……………………………………………………6分 3()ln ,()033x xg x x g x x -'''=-=>，所以()g x '在(1,)e 单调递增，由1(1)0,()1033eg g e ''=-<=->，………………………………………………7分所以存在唯一零点0(1,)t e ∈，使得0()1g t '=，且0(1,)x t ∈时，()0,()g x g x '<单调递减，0(,)x t e ∈时，()0,()g x g x '>单调递增．…………………………………………8分所以当(1,)x e ∈时，()max{(1),()}g x g g e <．……………………………………9分由216(1)0,()066e g g e -=-<=<，得当(1,)x e ∈时，()0g x <． 故0(ln )0,0ln f a a x <<<．……………………………………………………11分 当0ln x a <<时，0,()0,()()()0,()x x e a f x F x e a f x F x '-<<=->单调递增； 当0ln a x x <<时，0,()0,()()()0,()x xe af x F x e a f x F x '-><=-<单调递减． 所以存在(1,)(1,4)a e ∈⊂，使得ln a 为()F x 的极大值点．…………………………12分 （2）（法二）因为当(0,ln )x a ∈时，0xe a -<；当(ln ,)x a ∈+∞，0xe a ->． 由（1）知，当0(0,)x x ∈时，()0f x <；当0(,)x x ∈+∞时，()0f x >．所以存在无数个(1,4)a ∈，使得ln a 为函数()F x 的极大值点，即存在无数个(1,4)a ∈，使得0ln a x <成立， ①…………………………………………………………………………6分 由（1），问题①等价于，存在无数个(1,4)a ∈，使得(ln )0f a <成立，因为2(ln )(ln 1)1ln 166a a f a a a a a =--+=--+， 记2()ln 1,(1,4)6x g x x x x x =--+∈……………………………………………………7分 ()ln ,(1,4),3x g x x x '=-∈因为3()3x g x x -''=，当3,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x ''>，所以()g x '在3,22⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，因为3312ln 0,(2)ln 202223g g ⎛⎫''=-<=-> ⎪⎝⎭，所以存在唯一零点03,22t ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得0()0g t '=，且当03,2x t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0,()g x g x '<单调递减；当0(,2)x t ∈时，()0,()g x g x '>单调递增；所以，当3,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，20min 0000()()ln 16t g x g t t t t ==--+， ②…………………9分由0()0g t '=，可得00ln 3t t =，代入②式可得2min 00()()16t g x g t t ==-+，当03,22t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，220000(3)11()106628t t g t t -=-+=--<≤，……………………11分 所以，必存在3,22x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()0g x <，即对任意3,2,(ln )02a f a ⎛⎫∈< ⎪⎝⎭有解， 所以对任意3,22a ⎛⎫∈⎪⎝⎭，函数()F x 存在极大值点为ln a ．……………………12分 （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（本小题满分10分）[选修4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1:1C x y +=与曲线222cos :2sin x C y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数，[0,2)ϕπ∈）．以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）写出曲线12,C C 的极坐标方程；（2）在极坐标系中，已知点A 是射线:(0)l θαρ=≥与1C 的公共点，点B 是l 与2C 的公共点，当α在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上变化时，求OBOA 的最大值．22．【解析】（1）曲线1C 的极坐标方程为(cos sin )1ρθθ+=，即sin 42πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭． …………………………3分曲线2C 的普通方程为22(2)4x y -+=，即2240x y x +-=，所以曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=．………………………………………………………………………………5分（2） 由（1）知1,4cos cos sin A B OA OB ρρθθθ====+，………………6分4cos (cos sin )2(1cos 2sin 2)224OBOA παααααα⎛⎫∴=+=++=++ ⎪⎝⎭……8分 由02πα≤≤知52+444πππα≤≤，当242ππα+=， 即8πα=时，OB OA有最大值2+．…………………………………………10分23．（本小题满分10分）[选修4—5：不等式选讲]已知函数2()1f x x x a =-++，其中a R ∈．（1）当a =()6f x ≥的解集；（2）若存在0x R ∈，使得0()4f x a <，求实数a 的取值范围．23．【解析】（1）当a =21,2()12=3,2121,1x x f x x x x x x -+-⎧⎪=-++-<<⎨⎪+⎩≤≥， 所以2()6216x f x x -⎧⇔⎨--⎩≤≥≥或2136x -<<⎧⎨⎩≥或1216x x ⎧⎨+⎩≥≥，解得72x -≤或52x ≥，因此不等式()6f x ≥的解集的7522x x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭或≤≥……………………5分（2）2222()1(1)()11f x x x a x x a a a =-++--+=+=+≥，且2(1)1f a =+，所以2min ()1f x a =+，所以存在0x R ∈，使得0()4f x a <，等价于241a a >+， 所以2410a a -+<，解得22a <<所以实数a的取值范围是(2…………………………………………10分。
广东省广州市2018届高三综合测试(一)数学(理)试卷(含答案)
秘密 ★ 启用前 试卷类型： A2018年广州市普通高中毕业班综合测试（一）理科数学2018．3本试卷共5页，23小题， 满分150分。
考试用时120分钟。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数z 满足()21i 4i z -=，则复数z 的共轭复数z = A ．2- B ．2 C ．2i - D ．2i2．设集合301x A x x ⎧+⎫=<⎨⎬-⎩⎭，{}3B x x =-≤，则集合{}1x x =≥ A ．A B IB ．A B UC ．()()A B R R U 痧D ．()()A B R R I 痧 3．若A ，B ，C ，D ，E 五位同学站成一排照相，则A ，B 两位同学不相邻的概率为 A ．45 B ．35 C ．25 D ．154．执行如图所示的程序框图，则输出的S = A ．920 B ．49 C ．29 D ．940 5．已知3sin 45x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 4x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭ A ．45 B ．35C ．45-D ．35- 6．已知二项式212n x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的所有二项式系数之和等于128，那么其展开式中含1x 项的系数是 A ．84- B ．14- C ．14 D ．847．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个几何体的三视图，则该几何体的表 面积为A ．44223++B ．1442+C ．104223++D ．4 8．若x ，y 满足约束条件20,210,10,x y y x -+⎧⎪-⎨⎪-⎩≥≥≤ 则222z x x y =++的最小值为 A ．12 B ．14 C ．12- D ．34-9．已知函数()sin 6f x x ωπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()0ω>在区间43π2π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递增，则ω的取值范围为A ．80,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．18,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 10．已知函数()322f x x ax bx a =+++在1x =处的极值为10，则数对(),a b 为 A ．()3,3- B ．()11,4- C ．()4,11- D ．()3,3-或()4,11-11．如图，在梯形ABCD 中，已知2AB CD =，25AE AC =uu u r uuu r ，双曲线 过C ，D ，E 三点，且以A ，B 为焦点，则双曲线的离心率为A ．7B ．22C ．3D ．1012．设函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，对于任意的实数x ，都有()()22f x f x x +-=，当0x <时，()12f x x '+<，若()()121f a f a a +-++≤，则实数a 的最小值为 A ．12- B ．1- C ．32- D ．2-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．D CA B E13．已知向量(),2m=a，()1,1=b，若+=+a b a b，则实数m=．14．已知三棱锥P ABC-的底面ABC是等腰三角形，AB AC⊥，PA⊥底面ABC，1==ABPA，则这个三棱锥内切球的半径为．15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若()()2cos2cos0a Bb A cθθ-+++=，则cosθ的值为．16．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中，用图①的三角形形象地表示了二项式系数规律，俗称“杨辉三角形”．现将杨辉三角形中的奇数换成1，偶数换成0，得到图②所示的由数字0和1组成的三角形数表，由上往下数，记第n行各数字的和为n S，如11S=，22S=，32S=，44S=，……，则126S=．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．（一）必考题：共60分．17．（本小题满分12分）已知数列{}na的前n项和为nS，数列nSn⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为2的等差数列．（1）求数列{}na的通项公式；（2）设数列{}nb满足()121215452nnnaa anb b b⎛⎫+++=-+ ⎪⎝⎭L，求数列{}nb的前n项和nT．图②图①18．（本小题满分12分）某地1~10岁男童年龄i x （岁）与身高的中位数i y ()cm ()1,2,,10i =L 如下表： x （岁） 12 3 4 5 6 7 8 9 10 y ()cm 76.5 88.5 96.8 104.1 111.3 117.7 124.0 130.0 135.4 140.2对上表的数据作初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．x y ()1021x x i i ∑-= ()1021y y i i ∑-= ()()101x x y y i i i ∑--=5.5 112.45 82.50 3947.71 566.85（1）求y 关于x 的线性回归方程（回归方程系数精确到0.01）；（2）某同学认为，2y px qx r =++更适宜作为y 关于x 的回归方程类型，他求得的回归方程是20.3010.1768.07y x x =-++．经调查，该地11岁男童身高的中位数为145.3cm ．与（1）中的线性回归方程比较，哪个回归方程的拟合效果更好？附：回归方程y a bx =+$$$中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ，a y bx =-$$．19．（本小题满分12分）如图，四棱锥S ABCD -中，△ABD 为正三角形，︒=∠120BCD ， 2CB CD CS ===，︒=∠90BSD ．（1）求证：AC ⊥平面SBD ；（2）若BD SC ⊥，求二面角C SB A --的余弦值．()()()121n x x y y i i i b n x x i i =--∑=-∑=$D C BS20．（本小题满分12分）已知圆(2216x y +=的圆心为M ，点P 是圆M 上的动点，点)N ，点G 在线段MP 上，且满足()()GN GP GN GP +⊥-uuu r uu u r uuu r uu u r ．（1）求点G 的轨迹C 的方程；（2）过点()4,0T 作斜率不为0的直线l 与（1）中的轨迹C 交于A ，B 两点，点A 关于 x 轴的对称点为D ，连接BD 交x 轴于点Q ，求△ABQ 面积的最大值．21．（本小题满分12分）已知函数()ln 1f x ax x =++．（1）讨论函数()x f 零点的个数；（2）对任意的0>x ，()2e x f x x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知过点(),0P m 的直线l的参数方程是,1,2x m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，且2PA PB ⋅=，求实数m 的值．23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数()f x =23x a x b ++-．（1）当1a =，0b =时，求不等式()31f x x +≥的解集； （2）若0a >，0b >，且函数()f x 的最小值为2，求3a b +的值．参考答案1-5：ADBDD6-10：ACDBC11-12：AA13、214、3315、－1216、6417、18、（2）。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
【全国百强校】广东省广州市实验中学、执信中学2018届高三10月联考数学（理）试题
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、单选题
1. 复数（）
A．B．C．D．
2. 等差数列中，，为等比数列，且，则的值为（）．
A．B．C．D．
3. 已知，“函数有零点”是“函数在上是减函数”的（）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件
4. 下面给出四种说法：
①设、、分别表示数据、、、、、、、、、的平均数、中位数、众数，则；
②在线性回归模型中，相关指数表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，
越接近于，表示回归的效果越好；
③绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的组距；
④设随机变量服从正态分布，则．
其中不正确的是（）．
A．①B．②C．③D．④
5. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为
A．B．C．D．
6. 对于实数，若函数图象上存在点满足约束条件
，则实数的最小值为（）．
A．B．
C．
D．
7. 有一个球的内接圆锥，其底面圆周和顶点均在球面上，且底面积为．已知球的半径，则此圆锥的侧面积为（）．
A．B．C．或D．
8. 已知双曲线，过点的直线与相交于，两点，且的中点为，则双曲线的离心率为（）．
A．
B．C．D．
9. 在正方体中，，分别是棱，的中点，是
与的交点，面与面相交于，面与面相交于，则直线，的夹角为（）．
A．
B．C．D．
10. 已知函数，给出下列四个命题：
①函数的图象关于直线对称；
②函数在区间上单调递增；
③函数的最小正周期为；
④函数的值域为．
其中真命题的个数是（）．
A．B．C．D．
11. 在抛物线与直线围成的封闭图形内任取一点，为坐标原点，则直线被该封闭图形解得的线段长小于的概率是（）．
A．B．C．D．
12. 若函数在上存在两个极值点，则的取值范围为（）．
A．B．C．D．
二、填空题
13. 已知，，，则，，的大小是__________．
14. 已知平面向量，的夹角为，且，．若平面向量满足
，则__________．
15. 展开式中，常数项是__________．
16. 设数列满足，，且，若表示不超过的最大整数，则__________．
三、解答题
17. 已知函数．
（）若，求的值．
（）在中，角，，的对边分别是，，，且满足
，求的取值范围．
18. 某大学生从全校学生中随机选取名统计他们的鞋码大小，得到如下数
鞋码合计
男生
女生
……………………………………………
以各性别各鞋码出现的频率为概率．
（）从该校随机挑选一名学生，求他（她）的鞋码为奇数的概率．
（）为了解该校学生考试作弊的情况，从该校随机挑选名学生进行抽样调查．每位学生从装有除颜色外无差别的个红球和个白球的口袋中，随机摸出两个球，若同色，则如实回答其鞋码是否为奇数；若不同色，则如实回答是否曾在考试中作弊．这里的回答，是指在纸上写下“是”或“否”．若调查人员回收到张“是”的小纸条，试估计该校学生在考试中曾有作弊行为的概率．
19. 如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，点E是BC边的中点，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AE，AC，DE，得到如图2所示的几何体．
（Ⅰ）求证：AB⊥平面ADC；
（Ⅱ）若AD＝2，直线CA与平面ABD所成角的正弦值为，求二面角E－AD－C的余弦值．
20. 已知点，点是圆上的任意一点，设为该圆的圆心，并且线段的垂直平分线与直线交于点．
（）求点的轨迹方程．
（）已知，两点的坐标分别为，，点是直线上的一个动点，且直线，分别交（）中点的轨迹于，两点（，，，四点互不相同），证明：直线恒过一定点，并求出该定点坐标．
21. 已知函数，．
（）设曲线在处的切线为，到点的距离为，求的值．（）若对于任意实数，恒成立，试确定的取值范围．
（）当时，是否存在实数，使曲线在点处的切线与轴垂直?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
22. 极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位，以原点为极点，以轴正半轴为极轴．已知曲线的极坐标方程为，曲线的极坐
标方程为，射线，，，与曲线分别交异于极点的四点，，，．
（）若曲线关于曲线对称，求的值，并把曲线和化成直角坐标方程．
（）求，当时，求的值域．
23. 已知函数，．
（）解不等式．
（）若对任意，都有，使得成立，求实数的取值范围．。