人教A版高三数学理科一轮复习滚动检测试卷(二)含答案

高三单元滚动检测卷·数学考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．滚动检测二第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．(·浏阳联考)设全集U ＝R ，A ＝{x |2x (x －2)<1}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．{x |x ≥1}B ．{x |x ≤1}C ．{x |0<x ≤1}D ．{x |1≤x <2}2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx ，x ≤0，f (x －1)＋1，x >0，则f (43)＋f (－43)的值为( )A.12 B ．－12C ．－1D ．13．(·湖北荆州中学模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax ＋1，x ≥1，ax 2＋x ＋1，x <1，则－2≤a ≤1是f (x )在R 上单调递增的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．设f (x )＝|2－x 2|，若0<a <b 且f (a )＝f (b )，则a ＋b 的取值范围是( ) A ．(0,2) B ．(0，2) C ．(0,4)D ．(0,22)5．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝ln(x ＋1)，则函数f (x )的大致图象为( )6．对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足1－xf ′(x )≤0，则必有( )A ．f (0)＋f (2)>2f (1)B ．f (0)＋f (2)≤2f (1)C ．f (0)＋f (2)<2f (1)D ．f (0)＋f (2)≥2f (1)7．(·渭南质检一)已知函数f (x )满足f (－x )＝f (x )和f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝1－x ，则关于x 的方程f (x )＝(13)x 在x ∈[0,4]上解的个数是( )A ．5B ．4C ．3D ．28．若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2] B ．(－∞，－1] C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －1，x ≥0，x 2－2x －1，x <0，则对任意x 1，x 2∈R ，若0<|x 1|<|x 2|，下列不等式成立的是( ) A ．f (x 1)＋f (x 2)<0 B ．f (x 1)＋f (x 2)>0 C ．f (x 1)－f (x 2)>0D ．f (x 1)－f (x 2)<010．当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－5，－3] B ．[－6，－98]C ．[－6，－2]D ．[－4，－3]11．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f (x ＋32)，且f (1)＝2，则f (2 017)等于( )A ．－1B ．2C ．－2D.312．(·济源模拟)函数f (x )的定义域为A ，若当x 1，x 2∈A 且f (x 1)＝f (x 2)时，总有x 1＝x 2，则称f (x )为单函数．例如：函数f (x )＝2x ＋1 (x ∈R )是单函数．给出下列结论：①函数f (x )＝x 2(x ∈R )是单函数；②指数函数f (x )＝2x (x ∈R )是单函数；③若f (x )为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)；④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数． 其中正确结论的个数是( ) A ．3 B ．2 C ．1D ．0第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．设函数f (x )＝1＋(－1)x 2 (x ∈Z )，给出以下三个结论：①f (x )为偶函数；②f (x )为周期函数；③f (x ＋1)＋f (x )＝1，其中正确结论的序号是________． 14．关于函数f (x )＝lg x 2＋1|x |(x ≠0)，有下列命题：①其图象关于y 轴对称；②当x >0时，f (x )是增函数；当x <0时，f (x )是减函数； ③f (x )的最小值是lg 2；④f (x )在区间(－1,0)，(2，＋∞)上是增函数； ⑤f (x )无最大值，也无最小值． 其中所有正确结论的序号是________．15．(·江西省五校协作体高三期中)下列四个命题： ①∃x ∈(0，＋∞)，(12)x >(13)x ；②∃x ∈(0，＋∞)，log 2x <log 3x ； ③∀x ∈(0，＋∞)，(12)x >log 12x ；④∀x ∈(0，13)，(12)x <log 13x .其中正确命题的序号是________．16．(·宜昌一模)定义域为R 的偶函数f (x )满足对∀x ∈R ，有f (x ＋2)＝f (x )－f (1)，且当x ∈[2,3]时，f (x )＝－2x 2＋12x －18，若函数y ＝f (x )－log a (|x |＋1)在(0，＋∞)上至少有三个零点，则a的取值范围是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)(·黄冈中学月考)若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)满足f(x＋1)－f(x)＝4x ＋1，且f(0)＝3.(1)求f(x)的解析式；(2)若在区间[－1,1]上，不等式f(x)>6x＋m恒成立，求实数m的取值范围．18．(12分)定义在[－1,1]上的奇函数f(x)，已知当x∈[－1,0]时的解析式为f(x)＝14x－a2x(a∈R)．(1)写出f(x)在(0,1]上的解析式；(2)求f(x)在(0,1]上的最大值．19.(12分)(·广东阳东一中模拟)已知函数f(x)＝ax＋x ln|x＋b|是奇函数，且图象在点(e，f(e))处的切线斜率为3(e为自然对数的底数)．(1)求实数a、b的值；(2)若k∈Z，且k<f(x)x－1对任意x>1恒成立，求k的最大值．20．(12分)经市场调查，某商品在过去100天内的销售量和价格均为时间t (天)的函数，且日销售量近似地满足g (t )＝－13t ＋1123(1≤t ≤100，t ∈N )，前40天价格为f (t )＝14t ＋22(1≤t ≤40，t ∈N )，后60天价格为f (t )＝－12t ＋52(41≤t ≤100，t ∈N )，试求该商品的日销售额s (t )的最大值和最小值．21.(12分)(·惠州二调)已知函数f (x )＝ax －ln(1＋x 2)． (1)当a ＝45时，求函数f (x )在(0，＋∞)上的极值；(2)证明：当x >0时，ln(1＋x 2)<x ；(3)证明：(1＋124)(1＋134)…(1＋1n 4)<e(n ∈N *，n ≥2，e 为自然对数的底数)．22．(12分)(·课标全国Ⅱ)设函数f (x )＝e mx ＋x 2－mx . (1)证明：f (x )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增；(2)若对于任意x 1，x 2∈[－1,1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤e －1，求m 的取值范围．答案解析1．D [因为图中阴影部分表示的集合为A ∩(∁U B )，由题意可知A ＝{x |0<x <2}，B ＝{x |x <1}，所以A ∩(∁U B )＝{x |0<x <2}∩{x |x ≥1}＝{x |1≤x <2}．故选D.] 2．D [∵f (－43)＝cos(－43π)＝cos 43π＝－12，f (43)＝f (43－1)＋1＝f (13)＋1 ＝[f (13－1)＋1]＋1＝f (－23)＋2＝cos(－23π)＋2＝－12＋2＝32，∴f (43)＋f (－43)＝1.]3．B [函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在[1，＋∞)上单调递增，则a ≥－2， 函数f (x )＝ax 2＋x ＋1在(－∞，1)上单调递增，则－12≤a ≤0，而函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax ＋1，x ≥1，ax 2＋x ＋1，x <1在R 上单调递增，则－12≤a ≤0，故选B.]4．D [∵f (a )＝f (b )，且0<a <b ， ∴a <2<b ，由|2－a 2|＝|2－b 2|， 得a 2＋b 2＝4.由(a ＋b )2≤2(a 2＋b 2)，易知a ＋b ≤22(当且仅当a ＝b 时取等号)， 又0<a <b ，故0<a ＋b <2 2.]5．C [∵当x ≥0时，f (x )＝ln(x ＋1)， ∴设x ≤0，得－x ≥0，f (－x )＝ln(－x ＋1)， 又∵函数f (x )是定义在R 上的偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即当x ≤0时，f (x )＝ln(－x ＋1)．当x ≥0时，原函数由对数函数y ＝ln x 图象左移一个单位而得，当x ≥0时函数为增函数，函数图象是上凸的，故选C.]6．A [当x <1时，f ′(x )<0，此时函数f (x )递减， 当x >1时，f ′(x )>0，此时函数f (x )递增，即当x ＝1时，函数f (x )取得极小值同时也取得最小值f (1)， 所以f (0)>f (1)，f (2)>f (1)， 则f (0)＋f (2)>2f (1)．故选A.]7．A [因为f (－x )＝f (x )，故f (x )为偶函数；因为f (x ＋2)＝f (x )，故T ＝2.作出f (x )在[0,4]上的图象如图所示，再作出g (x )＝(13)x 的图象，可知f (x )和g (x )在[0,4]上有5个交点，即方程f (x )＝(13)x在[0,4]上解的个数为5，故选A.]8．D [f ′(x )＝k －1x ，由已知得f ′(x )≥0在x ∈(1，＋∞)上恒成立，故k ≥1x 在(1，＋∞)上恒成立．因为x >1，所以0<1x <1，故k 的取值范围是[1，＋∞)．] 9．D [函数f (x )的图象如图所示：且f (－x )＝f (x )，从而函数f (x )是偶函数且在[0，＋∞)上是增函数． 又0<|x 1|<|x 2|，∴f (x 2)>f (x 1)， 即f (x 1)－f (x 2)<0.]10．C [不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0变形为ax 3≥x 2－4x －3. 当x ＝0时，0≥－3恒成立，故实数a 的取值范围是R . 当x ∈(0,1]时，a ≥x 2－4x －3x 3恒成立，记f (x )＝x 2－4x －3x 3，f ′(x )＝－x 2＋8x ＋9x 4＝－(x －9)(x ＋1)x 4>0，故函数f (x )单调递增，则f (x )max ＝f (1)＝－6，故a ≥－6.当x ∈[－2,0)时，a ≤x 2－4x －3x 3恒成立，记f (x )＝x 2－4x －3x 3，令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝9(舍去)， 当x ∈[－2，－1)时，f ′(x )<0；当x ∈(－1,0)时，f ′(x )>0，故f (x )min ＝f (－1)＝－2，则a ≤－2. 综上所述，实数a 的取值范围是[－6，－2]．] 11．B [∵f (x )＝－f (x ＋32)，∴f (x ＋3)＝f [(x ＋32)＋32]＝－f (x ＋32)＝f (x )．∴f (x )是以3为周期的周期函数， 则f (2 017)＝f (672×3＋1)＝f (1)＝2.]12．A [由单函数的定义可知，函数值相同则自变量也必须相同．依题意可得①不正确，②正确，③正确，④正确．] 13．①②③解析 对于x ∈Z ，f (x )的图象为离散的点，关于y 轴对称，①正确；f (x )为周期函数，T ＝2，②正确；f (x ＋1)＋f (x )＝1＋(－1)x ＋12＋1＋(－1)x 2＝1＋(－1)x ＋1＋(－1)x2＝1，③正确．14．①③④解析 根据已知条件可知f (x )＝lg x 2＋1|x |(x ≠0)为偶函数，显然利用偶函数的性质可知命题①正确；对真数部分分析可知最小值为2，因此命题③成立；利用复合函数的性质可知命题④成立；命题②，单调性不符合复合函数的性质，因此错误；命题⑤中，函数有最小值，因此错误，故填写①③④. 15．①②④解析 ①∃x ∈(0，＋∞)，(12)x >(13)x 是真命题，如x ＝2，14>19成立；②∃x ∈(0，＋∞)，log 2x <log 3x 是真命题，如x ＝12，log 212＝－1，log 312>log 313＝－1，即∃x ∈(0，＋∞)，log 2x <log 3x ； ③∀x ∈(0，＋∞)，(12)x >log 12x 是假命题，如x ＝12，log 1212＝1>(12)12；④∀x ∈(0，13)，(12)x <log 13x 是真命题，因为∀x ∈(0，13)，(12)13<(12)x <1，log 13x >1.16．(0，33) 解析 ∵f (x ＋2)＝f (x )－f (1)，且f (x )是定义域为R 的偶函数， 令x ＝－1可得f (－1＋2)＝f (－1)－f (1)， 又f (－1)＝f (1)，可得f (1)＝0，f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )是周期为2的偶函数． 当x ∈[2,3]时，f (x )＝－2x 2＋12x －18＝－2(x －3)2， 函数f (x )的图象是开口向下、顶点为(3,0)的抛物线．∵函数y ＝f (x )－log a (|x |＋1)在(0，＋∞)上至少有三个零点，令g (x )＝log a (|x |＋1)， 则f (x )的图象和g (x )的图象至少有3个交点． 作出函数的图象，如图所示，∵f (x )≤0，∴g (x )≤0，可得0<a <1.要使函数y ＝f (x )－log a (|x |＋1)在(0，＋∞)上至少有三个零点， 则有g (2)>f (2)，即log a (2＋1)>f (2)＝－2， ∴log a 3>－2，∴3<1a 2，解得－33<a <33.又∵0<a <1，∴0<a <33. 17．解 (1)由f (0)＝3，得c ＝3. ∴f (x )＝ax 2＋bx ＋3. 又f (x ＋1)－f (x )＝4x ＋1，∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋3－(ax 2＋bx ＋3)＝4x ＋1， 即2ax ＋a ＋b ＝4x ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝4，a ＋b ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1.∴f (x )＝2x 2－x ＋3.(2)f (x )>6x ＋m 等价于2x 2－x ＋3>6x ＋m ， 即2x 2－7x ＋3>m 在[－1,1]上恒成立， 令g (x )＝2x 2－7x ＋3，x ∈[－1,1]， 则g (x )min ＝g (1)＝－2， ∴m <－2.18．解 (1)设x ∈(0,1]，则－x ∈[－1,0)， f (－x )＝14－x －a2－x ＝4x －a ·2x ，又因为函数f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝a ·2x －4x ，x ∈(0,1]． (2)因为f (x )＝a ·2x －4x ，x ∈(0,1]， 令t ＝2x ，t ∈(1,2]， 所以g (t )＝at －t 2＝－(t －a 2)2＋a 24， 当a2≤1，即a ≤2时，g (t )<g (1)＝a －1，此时f (x )无最大值； 当1<a 2<2，即2<a <4时，g (t )max ＝g (a 2)＝a 24；当a2≥2，即a ≥4时，g (t )max ＝g (2)＝2a －4. 综上所述，当a ≤2时，f (x )无最大值， 当2<a <4时，f (x )的最大值为a 24，当a ≥4时，f (x )的最大值为2a －4.19．解 (1)由f (x )＝ax ＋x ln|x ＋b |＝x (a ＋ln|x ＋b |)是奇函数， 则y ＝a ＋ln|x ＋b |为偶函数，∴b ＝0. 又x >0时，f (x )＝ax ＋x ln x ， ∴f ′(x )＝a ＋1＋ln x ， ∵f ′(e)＝3， ∴a ＝1.(2)当x >1时，令g (x )＝f (x )x －1＝x ＋x ln xx －1，∴g ′(x )＝x －2－ln x(x －1)2，令h (x )＝x －2－ln x ，∴h ′(x )＝1－1x ＝x －1x >0，∴y ＝h (x )在(1，＋∞)上是增函数，∴h (1)＝－1<0，h (3)＝1－ln 3<0，h (4)＝2－ln 4>0，∴存在x 0∈(3,4)，使得h (x 0)＝0， 则x ∈(1，x 0)，h (x )<0， g ′(x )<0，y ＝g (x )为减函数． x ∈(x 0，＋∞)，h (x )>0， g ′(x )>0，y ＝g (x )为增函数． ∴g (x )min ＝g (x 0)＝x 0＋x 0ln x 0x 0－1＝x 0.∴k <x 0，又x 0∈(3,4)，k ∈Z ， ∴k max ＝3.20．解 当1≤t ≤40，t ∈N 时， s (t )＝g (t )f (t )＝(－13t ＋1123)(14t ＋22)＝－112t 2＋2t ＋112×223＝－112(t －12)2＋2 5003，所以768＝s (40)≤s (t )≤s (12) ＝112×223＋12＝2 5003. 当41≤t ≤100，t ∈N 时， s (t )＝g (t )f (t )＝(－13t ＋1123)(－12t ＋52)＝16t 2－36t ＋112×523 ＝16(t －108)2－83， 所以8＝s (100)≤s (t )≤s (41)＝1 4912. 所以s (t )的最大值为2 5003，最小值为8.21．(1)解 当a ＝45时，f (x )＝45x －ln(1＋x 2)，∴f ′(x )＝45－2x1＋x 2＝4x 2－10x ＋45(1＋x 2).x ，f ′(x )，f (x )变化如下表：x (0，12)12 (12，2) 2 (2， ＋∞) f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋f (x )极大值极小值∴f 极大值＝f (12)＝25－ln 54，f 极小值＝f (2)＝85－ln 5.(2)证明 令g (x )＝x －ln(1＋x 2)， 则g ′(x )＝1－2x1＋x 2＝(x －1)21＋x 2≥0.∴g (x )在(0，＋∞)上为增函数，∴g (x )>g (0)＝0， ∴ln(1＋x 2)<x .(3)证明 由(2)知ln(1＋x 2)<x ，令x ＝1n 2，得ln(1＋1n 4)<1n 2<1n (n －1)＝1n －1－1n，∴ln(1＋124)＋ln(1＋134)＋…＋ln(1＋1n 4)<1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1－1n＝1－1n<1，∴(1＋124)(1＋134)…(1＋1n 4)<e.22．(1)证明 f ′(x )＝m (e mx －1)＋2x .若m ≥0，则当x ∈(－∞，0)时，e mx －1≤0，f ′(x )＜0； 当x ∈(0，＋∞)时，e mx －1≥0，f ′(x )＞0.若m ＜0，则当x ∈(－∞，0)时，e mx －1＞0，f ′(x )＜0； 当x ∈(0，＋∞)时，e mx －1＜0，f ′(x )＞0.所以，f (x )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．(2)解 由(1)知，对任意的m ，f (x )在[－1,0]上单调递减，在[0,1]上单调递增，故f (x )在x ＝0处取得最小值．所以对于任意x 1，x 2∈[－1,1]，|f (x 1)－f (x 2)|≤e －1的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧f (1)－f (0)≤e －1，f (－1)－f (0)≤e －1，即⎩⎪⎨⎪⎧e m－m ≤e －1，e －m ＋m ≤e －1.①设函数g (t )＝e t －t －e ＋1，则g ′(t )＝e t －1. 当t ＜0时，g ′(t )＜0；当t ＞0时，g ′(t )＞0.故g (t )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． 又g (1)＝0，g (－1)＝e －1＋2－e ＜0，故当t ∈[－1,1]时，g (t )≤0. 当m ∈[－1,1]时，g (m )≤0，g (－m )≤0，即①式成立； 当m ＞1时，由g (t )的单调性， g (m )＞0，即e m －m ＞e －1；当m ＜－1时，g (－m )＞0，即e －m ＋m ＞e －1. 综上，m 的取值范围是[－1,1]．。