高中数学第1章立体几何初步7简单几何体的再认识7.1柱、锥、台的侧面展开与面积数学教案

§7简单几何体的再认识7．1 柱、锥、台的侧面展开与面积
学习目标核心素养
1.通过对简单几何体侧面展开图的探究，了解侧面积公式的由来．
2．准确掌握简单几何体的侧面积公式及推导方法．(重点)
3．掌握简单组合体侧面积和表面积的计算．(难点)1.通过对简单几何体侧面展开图的探究，提升直观想象素养．
2．通过对简单几何体侧面积的计算，培养数学运算素养.
1．圆柱、圆锥、圆台的侧面积
几何体侧面展开图侧面积公式
圆柱
S圆柱侧＝2πrl r为底面半径l为侧面母线长
圆锥
S圆锥侧＝πrl r为底面半径l为侧面母线长
圆台S圆台侧＝π(r1＋r2)l r1为上底面半径r2为下底面半径l为侧面母线长
2.直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积
几何体侧面展开图侧面积公式
直棱柱
S直棱柱侧＝ch c为底面周长
h为高
正棱锥
S正棱锥侧＝
1
2ch′
c为底面周长h′为斜高，即侧面等腰三角形的高
正棱台
S 正棱台侧＝1
2(c ＋c ′)h ′
c ′为上底面周长
c 为下底面周长 h ′为斜高，即侧面 等腰梯形的高
思考1：怎样计算柱、锥、台的表面积？
提示：柱、锥、台的表面积S 表等于该几何体的侧面积S 侧与底面积S 底的和，即S 表
＝S 侧＋S 底．
思考2：求圆柱、圆锥、圆台的表面积时，要求的关键量是什么？
提示：求圆柱、圆锥的表面积时，关键是求其母线长与底面的半径；求圆台的表面积时，关键是求其母线长与上、下底面的半径．
1．矩形的边长分别为1和2，分别以这两边为轴旋转，所形成的几何体的侧面积之比为( )
A ．1∶2
B ．1∶1
C ．1∶4
D ．4∶1 B [S 1＝2π·1·2＝4π，S 2＝2π·2·1＝4π，∴S 1＝S 2.]
2．若圆台的上下底面半径分别是1和3，它的侧面积是两底面面积和的2倍，则圆台的母线长是( )
A ．2
B ．2.5
C ．5
D ．10
C [S
侧＝π(r 1＋r 2)l ＝2(πr 21＋πr 2
2)，∴l ＝
2(12＋32)
1＋3
＝5.] 3．已知正三棱锥底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的体积为________． 339 [∵正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为5， ∴底面的正三角形的面积为：
S ＝1
2×6×62－⎝⎛⎭⎫622
＝93，
故底面的正三角形高为33，其外接圆半径为23，
∴三棱锥的高为h ＝52－(23)2＝13，
∴体积为V ＝1
3
×93×13＝339.]
4．若一个正六棱柱的底面边长为a ，侧面对角线的长为2a ，则它的表面积为________． 93a 2
[正六棱柱的底面边长为a ，所以正六棱柱的底面面积为S 底＝33a 2
2
，又侧面
对角线的长为2a ，所以侧棱长为3a ，则该正六棱柱的表面积为S 表＝2S 底＋S 侧＝2×
33a 2
2＋6a ×3a ＝93a 2.]
圆柱、圆锥、圆台的侧面积与表面积
＝16 cm ，AD ＝4 cm.求以AB 所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积．
[解] 以AB 所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆台，其上底半径是4 cm ，下底半径是16 cm ，母线DC ＝
52＋(16－4)2＝13(cm)，
∴该几何体的表面积为π(4＋16)×13＋π×42＋π×162＝532π(cm 2)．
1．圆柱、圆锥、圆台的相关几何量都集中体现在轴截面上，因此准确把握轴截面中的相关量及其关系是求解旋转体表面积的关键．
2．求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本的柱、锥、台，再通过这些柱、锥、台的表面积，进行求和或作差，从而求得几何体的表面积．
[跟进训练]
1．圆柱的底面积为S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是( ) A ．4πS B ．2πS C ．πS D.233πS
A [设底面半径为r ，则S ＝πr 2，则r ＝
S
π
，所以底面周长为2πr ＝2πS
π
，又侧面展开图为一个正方形，故母线长为2πr ＝2
S
π
·π， ∴S 侧＝2πr ·l ＝(2πr )2＝4π2·r 2＝4π2⎝
⎛
⎭
⎫
S π2
＝4πS .]
直棱柱、正棱锥、正棱台的表面积
【例2】 正三棱锥S -ABC 的侧面积是底面积的2倍，它的高SO ＝3，求此正三棱锥的表面积．
[思路探究] 在由高、斜高构成的直角三角形中应用勾股定理，求出底面边长和斜高，从而求其侧面积，然后求表面积．
[解] 设正三棱锥底面边长为a ，斜高为h ′，如图所示，过O 作OE ⊥AB ，连接SE ，则SE ⊥AB ，且SE ＝h ′.
因为S 侧＝2S 底，
所以12×3a ×h ′＝3
4a 2×2，
所以a ＝3h ′.
因为SO ⊥OE ，所以SO 2＋OE 2＝SE 2，
所以32＋⎝⎛
⎭
⎫36×3h ′2
＝h ′2，
所以h ′＝23，所以a ＝3h ′＝6， 所以S 底＝
34a 2＝3
4
×62＝93， 所以S 侧＝2S 底＝183， 则S 表＝S 侧＋S 底＝27 3.
1．正棱锥和正棱台的侧面分别是等腰三角形和等腰梯形，只要弄清楚相对应的元素，求解就会很简单．
2．多面体的表面积等于各侧面与底面的面积之和．对于正棱锥中的计算问题，往往要构造直角三角形来求解，而对正棱台，则需要构造直角梯形或等腰梯形来求解．
[跟进训练]
2．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( ) A ．48 B ．32＋817 C ．48＋817
D ．80
C[由三视图可知本题所给的是一个底面为等腰梯形的放倒的直四棱
柱，所以该直四棱柱的表面积为：S＝2×1
2×(2＋4)×4＋4×4＋2×4＋
2×1＋16×4＝48＋817.]
组合体的表面积【例3】已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内，过点C作l⊥CB，以l为轴将梯形ABCD旋转一周，求旋转体的表面积．
[思路探究]该组合体为一个圆柱在中间挖去了一个等高的圆锥，分别计算各部分的表面积即可．
[解]如题图所示，所得几何体为一个圆柱除去一个圆锥．
在直角梯形ABCD中，AD＝a，BC＝2a，
AB＝(2a－a)tan 60°＝3a，DC＝2a－a
cos 60°＝2a.
又DD′＝DC＝2a，
∴S表＝S圆环＋S圆柱侧＋S圆C＋S圆锥侧
＝[π·(2a)2－πa2]＋2π·2a·3a＋π·(2a)2＋π·a·2a
＝(9＋43)πa2.
求组合体的表面积的解题策略：
(1)对于由基本几何体拼接成的组合体，要注意拼接面的重合对组合体表面积的影响.
(2)对于从基本几何体中通过切挖得到的组合体，要注意新产生的截面和原几何体表面的变化.
[跟进训练]
3．如图所示，△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得到的旋转体的表面积．
[解]过C点作CD⊥AB于点D.如图所示，△ABC以AB所在直线为轴旋转一
周，所得到的旋转体是两个底面重合的圆锥，这两个圆锥的高的和为AB ＝5，底面半径DC ＝AC ·BC AB ＝125，故S 表＝π·DC ·(BC ＋AC )＝845
π.
1．多面体的表面积为围成多面体的各个面的面积之和．
2．有关旋转体的表面积的计算要充分利用其轴截面，就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解．而对于圆台有时需要将它还原成圆锥，再借助相似的相关知识求解．
3．S 圆柱表＝2πr (r ＋l )；S 圆锥表＝πr (r ＋l )；S 圆台表＝π(r 2＋rl ＋Rl ＋R 2)． 1．思考辨析
(1)把柱、锥、台的侧面无论沿哪一条侧棱或母线剪开，所得到的展开图形状都相同，面积都相等．
( ) (2)无论是哪种几何体，它们的侧面展开图都是极为规则的平面图形． (3)空间几何体的侧面积即是表面积． ( )
(4)圆台的侧面展开图是一个扇环． ( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√
2．已知正四棱锥底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为( ) A ．6 B ．12 C ．24 D ．48 D [正四棱锥的斜高h ′＝
52－32＝4，S 侧＝4×1
2
×6×4＝48.]
3．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的表面积是( ) A ．3π B ．33π C ．6π
D ．9π
A [根据轴截面面积是3，可得圆锥的母线长为2，底面半径为1，所以S ＝πr 2＋πrl ＝π＋2π＝3π.]
4．圆锥的侧面展开图是半径为R 的半圆，则圆锥的高是________． 3
2
R [设底面半径是r ，则2πr ＝πR ， ∴r ＝R
2
，∴圆锥的高h ＝
R 2－r 2＝
32
R .]。