2018-2019学年河南省郑州市第一中学高二下学期期中考试数学(理)试题(解析版)
域问题.
【详解】
C．
或
D．
或
内有变号的零点，分离参数，进而转化为求函数的值
因为
在
有解，即求
值域，
因为
在
【点睛】
上单调递增，所以
，选 B.
本题考查函数极值，考查等价转化思想方法与基本求解能力，属中档题.
11．在二项式
的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，把展开式中所有
的项重新排成一列，则有理项不相邻的概率为（ ）
由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的分配方案有（ ）
A． 种 【答案】B
B．37 种
C．18 种
D．16 种
【解析】根据间接法求解甲工厂没有班级去的方法数即可.
【详解】
高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践，共有 种方法，
若甲工厂没有班级去，则有 种方法，所以所求不同的分配方案有 选 B. 【点睛】 本题考查排列组合，考查基本分析求解能力，属基础题.
得递推关系式，再利用求根公式解得相邻项关系，最后根据数学归纳法证明.
【详解】
解：（Ⅰ）当 时， 当 时，
，解得
，又 ，
，解得
，又 ，
． ．
当 时，
，解得
，又 ，
．
猜想
．
（Ⅱ）证明： 当 时，由（Ⅰ）可知
假设 （
）时，
成立． 成立，
．
所以当
时猜想也成立．
综上可知，猜想
对一切
都成立．
【点睛】 本题考查数学归纳法求与证数列通项公式，考查基本分析求解能力，属中档题 19．（2013•重庆）设 f（x）=a（x﹣5）2+6lnx，其中 a∈R，曲线 y=f（x）在点（1，f （1））处的切线与 y 轴相交于点（0，6）． （1）确定 a 的值； （2）求函数 f（x）的单调区间与极值．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】先求 ，再确定有理项项数，最后根据排列组合方法计算，利用古典概型概率
公式得结果.
【详解】
因为只有第五项的二项式系数最大，所以
从而
，所以
时为有理项，
有理项不相邻有 【点睛】
种方法,因此所求概率为
,选 A.
本题考查二项式定理以及古典概型概率，考查综合分析求解能力，属中档题.
【答案】（1） （2）见解析
【解析】试题分析：（1）求出导数 ，得 ，写出题中切线方程
，
令 ，则 ，由此可得 ；（2）解不等式
得增区间，解不等式
得减区
间；
的点就是极值点，由刚才的单调性可知是极大值点还是极小值点．
试题解析：（1）因为
，
故
．
令 ，得
，
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
，
由点 在切线上，可得
，解得 ．
A． 种
B．
种
C． 种
D． 种
【答案】D
【解析】剩余的 4 个空车位看作一个元素，由相邻问题用捆绑法求排列数.
【详解】
剩余的 4 个空车位看作一个元素，则不同的停车方法有 【点睛】 本题考查排列组合，考查基本分析求解能力，属基础题.
种，选 D.
9．已知曲线
， 轴与 轴在第一象限所围成的图形面积为 ，曲线
的面积为 S，内切圆半径为 r，则
，
类比这个结论可知，四面体 S−ABC 的四个面的面积分别为 S1、S2、S3、S4，内切球半
径为 R，四面体 S−ABC 的体积为 V，则 R 等于
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】解：设四面体的内切球的球心为 O，则球心 O 到四个面的距离都是 R,所以四
面体的体积等于以 O 为顶点，分别以四个面为底面的 4 个三棱锥体积的和．则四面体
的体积为
，因此可知 R＝
5．在 A．60
的展开式中，含 项的系数为（ ）
B．64
C．160
【答案】A
【解析】根据二项展开式通项公式求特定项系数.
【详解】
，选 B D．
因为
，
所以令 【点睛】
，因此含 项的系数为
，选 A.
本题考查二项展开式通项公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
6．高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践，但去哪个工厂可以自
【答案】（I） （II）故 的分布列是
0
10
20
25
40
【解析】试题分析：解：⑴设 为射手 3 次射击击中目标的总次数，则
.
故
,
所以所求概率为 .
⑵由题意可知， 的所有可能取值为
,
用
表示事件“第 次击中目标”，
则
，
，
故 的分布列是 0
， ， .
10
20
25
40
. 【考点】n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率；离散型随机变量的期望与方差．
【答案】
【解析】根据正态分布对称性求解.
，则
________.
【详解】
【点睛】 本题考查正态分布，考查综合分析求解能力，属中档题
15．已知函数 的取值范围为________. 【答案】 【解析】转化函数 【详解】
，当
时，不等式
单调性，再利用导数求解.
恒成立，则实数
令 调递增，
，则当
时，不等式
恒成立,即 在
解： （Ⅰ）由题意
所以
为所求
解之得
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
是实数，
，即
为所求．
【点睛】
本题考查复数相等以及复数概念，考查基本分析求解能力，属中档题
18．已知数列 的前 项和 满足：
且
（Ⅰ）计算
的值，并猜想 的通项公式；
（Ⅱ）用数学归纳法证明 的通项公式．
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）见解析
【解析】（Ⅰ）根据递推关系逐一代入求解，再根据规律归纳，（Ⅱ）根据和项与通项关系
Байду номын сангаас
点评：本题主要考查 n 次独立重复实验中恰好发生 k 次的概率，离散型随机变量的数学
期望的求法，属于中档题．
21．某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为 30 元，并且每件产品须向总公司
缴纳 元( 为常数，
)的管理费．根据多年的统计经验，预计当每件产品的售价
为 元时，产品一年的销售量为 为自然对数的底数)万件．已知每件产品的售价为 40 元时，该产品一年的销售量为 500 万件．经物价部门核定每件产品的售价 最低不低于 35 元，最高不超过 41 元． （Ⅰ）求分公司经营该产品一年的利润 万元与每件产品的售价 元的函数关系式； （Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，该产品一年的利润 最大，并求 的最大值． 【答案】(1) L(x)= 500(x－30－a)e40－x(35≤x≤41)；(2) 当 2≤a≤4 时，每件产品的售价为 35 元，该产品一年的利润 L(x)最大，最大为 500(5－a)e5 万元；当 4<a≤5 时，每件产品的 售价为(31＋a)元时，该产品一年的利润 L(x)最大，最大为 500e9－a 万元. 【解析】试题分析：（1）先根据条件求出 k，再根据利润等于销售量乘以单个利润得函 数解析式，最后交代定义域（2）先求导数，再求导函数零点，根据零点与定义区间关 系分类讨论，确定导函数符号，进而确定最大值
当且仅当 a＝4，x＝35 时取等号．
所以 L(x)在[35，41]上单调递减． 因此，L(x)max＝L(35)＝500(5－a)e5. ②当 4<a≤5 时，L′(x)>0⇔35≤x<31＋a，
种方法，
7．已知 为虚数单位，
,若 为纯虚数，则复数
A．
B．
C．
【答案】D
【解析】先根据纯虚数概念得 ，再根据模的定义求结果.
【详解】
的模等于（ ） D．2
因为
为纯虚数，所以
，即 ，
因此
，所以 ，选 D.
【点睛】
本题考查纯虚数以及复数的模，考查基本分析求解能力，属基础题. 8．停车场划出一排 9 个停车位置，今有 5 辆不同的车需要停放，若要求剩余的 4 个空 车位连在一起，则不同的停车方法有（ ）
12．定义：如果函数
在区间 上存在
满足
，则称函数
是在区间 上的一个双中值函数.已知函
数
是区间 上的双中值函数，则实数 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】转化为函数有两个零点问题，再根据二次函数图象可得不等式，即得结果.
【详解】
由题意得
在区间 上有两个零点，即
，
因此
或
，解得
或
【点睛】 本题考查函数零点，考查综合分析求解能力，属中档题
件 AB 为“两次都取到白球”，依题意知
，
，所以，在第一次取
到白球的条件下，第二次取到白球的概率是
．
【考点】条件概率与独立事件．
点评：本题考查条件概率，是高中阶段见到的比较少的一种题目，针对于这道题同学们
要好好分析，再用事件数表示的概率公式做一遍，有助于理解本题．
14．已知随机变量 服从正态分布
，若
（2）由（1）知，
（ ），
．
令
，解得 ， ．
当
或 时，
，故 的递增区间是 ，
；
当
时，
，故 的递减区间是 ．
由此可知 在 处取得极大值
，
在 处取得极小值
．
【考点】导数的几何意义，用导数研究函数的单调性与极值．
【名师点睛】导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面 （1）已知切点 A（x0，f（x0））求斜率 k，即求该点处的导数值：k＝f′（x0）； （2）已知斜率 k，求切点 A（x1，f（x1）），即解方程 f′（x1）＝k； （3）已知过某点 M（x1，f（x1））（不是切点）的切线斜率为 k 时，常需设出切点 A（x0，
郑州一中18-19学年下学期期中考试高二数学(理)试题卷(含答案)
位连在一起，则不同的停车方法有（ ）
A. A95 种
B. 2 A55 A44 种
C. 5 A55 种
D. 6 A55 种
9. 已知曲线 y 1 x2 ， x 轴与 y 轴在第一象限所围成的图形面积为 S ，
曲线
y
1
x2
，曲线
y
3x2 与
y
轴所围成的图形面积为
S1 ，则
S1 S
的
值为( )
a3
1 ，解得
a3
5
7 ，又 an 0 ， a3
7
5．
猜想 an 2n 1 2n 1 ．…．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4 分
（Ⅱ）证明：1 当 n 1 时，由（Ⅰ）可知 a1 3 1成立．
2 假设 n k （ k N* ）时， ak 2k 1 2k 1 成立，
，当
x2
x1 时，不等式
f x1
x2
f x2 0 恒成
x1
立，则实数 a 的取值范围为
.
16. 已知 f x sin x 1 sin 2x ，则 f x 的最小值为
.
2
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.（本小题满分 10 分）
B. 37 种
C.18 种
D.16 种
高二 数学（理）试题 第 1页（共 4 页）
7.
已知 i 为虚数单位， a R
,若
2i ai
为纯虚数，则复数 z
2a
3i 的模等于（
）
A. 17
河南省郑州市第一中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学(理)试题(PDF版)
)
ai （ a R ）的模为该复数 z 的实部的 2 倍， 1 i
( ) C． 1 或 1 D．1 )
B．假设三内角都大于 60° D．假设三内角至多有两个大于 60°
B． 4
5．由抛物线 x y 和直线 y 1 所围成的封闭图形的面积等于( A． 1 B．
4 2 1 C． D． 3 3 3 6．函数 f x 的定义域为 a, b ，导函数 f x 在 a, b 内的图像如图所示，则函数
f x e
值范围是
lg 2 x 1
2 x 3 与 g x x 2 tx 2t 5 互为“友邻函数”，则实数 t 的取
( )
A． , 2
+ B． ，
9 4
C. 2， 4
9
D.
+ 2，
第Ⅱ卷 （非选择题，共90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．一质点沿直线运动，如果由始点起经过 t 秒后的位移为 s 这个质点在 2 秒末的瞬时速度是 ．
高二
) C．3 D．4
理科数学试题卷 第 2页（共g x ，设 m x f x 0 , n x g x 0 ，若存在 m , n 使 得 m 2 n 2 3 ， 则 称 f x 与 g x 互 为 “ 友 邻 函 数 ”. 若 函 数
1 3 3 2 t t 2t ，那么 3 2
14．有一个奇数列 1, 3, 5, 7， 9 ，现在进行如下分组：第一组含一个数 1 ；第二组含 两个数 3,5 ；第三组含三个数 7,9,11 ；第四组含四个数 13,15,17,19 ；则 观察每组内各数之和 f n n N 与组的编号数 n 的关系式为 标系， 已知曲线 C 的极坐标方程为 方程为 ．
河南省郑州市2018-2019学年高二下学期期中联考理科数学试卷Word版含解析
河南省郑州市2018-2019学年高二下学期期中联考理科数学试卷一、选择题：共12题1．复数的共轭复数的虚部为A. B. C.1 D.【答案】C【解析】本题主要考查复数的共轭复数与四则运算.,则复数的共轭复数2+i的虚部为12．设复数的共轭复数满足,其中为虚数单位,则等于A. B. C. D.【答案】A【解析】本题主要考查复数的共轭复数与四则运算.因为,所以,则3．已知集合,则的最大值为A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】本题主要考查复数的四则运算与复数的模、圆的性质，考查了逻辑推理能力与计算能力.设复数,复数在复平面上对应的点为Z(x,y),由可得,则点Z(x,y)在以为圆心，以1为半径的圆上，又|OC|=2(O是原点)，所以的最大值为3.4．有如下的演绎推理:“因为对数函数当时在上是增函数;已知是对数函数,所以在上是增函数”的结论是错误的,错误的原因是A.大前提错误B.小前提错误C.大小前提都错误D.推理形式错误【答案】B【解析】本题主要考查演绎推理，考查了三段设的证明方法.因为0<x<2时，<0，无意义，故小前提错误,5．用数学归纳法证明“不等式对一切正整数恒成立”的第二步中,已经假设时不等式成立,推理成立的步骤中用到了放缩法,这个放缩过程主要是证明A. B.C. D.【答案】D【解析】本题主要考查数学归纳法，考查了逻辑推理能力与计算能力.在数学归纳法证明第二步中，假设时不等式成立,即，当时，,故答案为D.6．下列推理是归纳推理的是A.若是平面内两个定点,动点满足,则动点的轨迹是椭圆B.由,求出,猜想出数列的前项和的表达式C.由圆的面积,猜想出椭圆的面积D.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇【答案】B【解析】本题主要考查归纳推理，考查了逻辑推理能力.A.本选项是椭圆的定义，符合归纳推理的定义，排除A；B.由猜想数列的前项和的表达式，符合归纳推理，正确；C是类比推理，不符合题意，排除C；D是类比推理，不符合题意，排除D.7．已知函数在处的导数为12,那么A.-6B.6C.12D.-12【答案】A【解析】本题主要考查导数的定义，考查了导数的基础知识的掌握情况.由题意可知，所以8．函数的图象在点处的切线的倾斜角是A.0B.C.1D.【答案】B【解析】本题主要考查导数与导数的几何意义，考查了导数公式的应用.,所以函数的图象在点处的切线的斜率是,则倾斜角为9．给出定义:设是函数的导函数,是函数的导函数,若方程有实数解,则称点为函数的“拐点”,已知函数的拐点是,则点A.在直线上B.在直线上C.在直线上D.在直线上【答案】B【解析】本题主要考查新定义问题、函数的导数的运算，考查了导数公式与计算能力.，，则，所以，则点在直线上10．设函数在定义域内可导,图象如下图所示,则导函数的图象可能是【答案】D【解析】本题主要考查导数、函数的图像与性质，考查了数形结合思想与逻辑推理能力.由图像可知，函数在上是减函数，此时,故排除A、C；当x>0时，函数的图像是先增，再减，最后再增，所以的值是先正，再负，最后是正，因此排除B，答案为D.11．若函数,则函数在上A.存在极小值,且极小值为B.存在极小值,且极小值大于C.存在极大值,且极大值为D.存在极大值,且极大值小于【答案】B【解析】本题主要考查导数、函数的导数与极值，考查了逻辑推理能力与计算能力.,由得，由得x>e,由得0<x<e,所以函数在x=e处存在极小值,无极大值，故答案为B.12．设函数在内有定义,对于给定的正数,定义函数:,取函数,若对任意的,恒有,则A.的最大值为2B.的最小值为2C.的最大值为1D.的最小值为1【答案】D【解析】本题主要考查导数在研究函数中的应用.由题意可得出,又,令得,即,当时,单调递减,当时,单调递增,故当时,取到最大值.故当时,恒的最小值是1,故选D.二、填空题：共4题13．定义运算,复数满足,则复数的模为 .【答案】【解析】本题主要考查自定义运算、复数的四则运算与模.由题意可得,所以，则14．已知,…,若均为正实数),则类比以上等式,可推测的值, .【答案】41【解析】本题主要考查归纳推理，考查了逻辑推理能力.由,…可知：,则，所以，则15．已知为自然对数的底数),则 .【答案】【解析】本题主要考查定积分，考查了计算能力、导数与积分的联系.因为为自然对数的底数),所以16．若函数有极值点,且,则关于的方程的不同实数根的个数为 .【答案】3【解析】本题主要考查导数、函数的图像与性质、函数的极点与零点，考查了数形结合思想与逻辑推理能力.,因为函数有极值点，则是方程的两根，即时，或，因为是方程的两根，所以令得, 令得,因此当时，函数取得极大值为, 当时，函数取得极小值为,因为，由数形结合分析可知所示方程根的个数为3个.三、解答题：共6题17．设是的共轭复数,若和均为实数,求.【答案】设,∴,∵是实数∴即又,∵是实数∴即,∴∴【解析】本题主要考查复数的四则运算、共轭复数、复数的实部与虚部，考查了计算能力. 设,由和均为实数,即可求出x、y的值，则结论易得.18．设,令.(1)写出的值,并猜想数列的通项公式;(2)用数学归纳法证明你的结论.【答案】(1)∵,∴,猜想.(2)证明:①当时,猜想显然正确；②假设时猜想正确,即,则,这说明时猜想正确,由①②知,对任意,都有.【解析】本题主要考查归纳推理、数学归纳法、数列的通项公式的求法，考查了逻辑推理能力与计算能力.(1)由题意，易得的值,观察可得结论；(2) ①当时,猜想显然正确；②假设时猜想正确,即,利用化简可得结论.19．(1)在直角坐标系中,以原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,已知曲线为参数),为参数).(I)求的普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;(II)若上的点对应的参数为为上的动点,求的中点到直线距离的最大值.(2)已知函数.(I)求不等式的解集;(II)若关于的不等式恒成立,求实数的取值范围.【答案】(1)(I,表示以为圆心,1为半径的圆,表示焦点在轴上,长轴长是8,短轴长是6的椭圆.(II)当时,,设,则,而即,故到的距离,其中,当且仅当时等号成立,故点到直线距离的最大值是.(2)(I)原不等式等价于或或,解得或或,故不等式的解集为.(II)原问题等价于恒成立,即.∵,∴,∴,即,解得或,故实数的取值范围是.【解析】(1)本题主要考查参数方程与极坐标，考查了参直与极直互化、点到直线的距离公式、三角函数. (I 分别消去参数t与，即可得到的普通方程,则结论易得；由公式化简可得直线的直角坐标方程，易得,则到的距离，结合三角函数求解，即可得出结论；(2)本题主要考查含绝对值不等式的解法、绝对值三角不等式，考查了恒成立问题与分类讨论思想.分、、三种情况去绝对值，解不等式即可得出结论；利用绝对值三角不等式求出,由题意可得,再利用对数函数的性质求解即可.20．已知函数在和处取得极值.(1)求的表达式和极值;(2)若在区间上是单调函数,求的取值范围.【答案】(1的两根为和2,∴,得,∴,∴,令,得或;令,得,所以的极大值是,极小值是.(2)由(1)知,在和上单调递增,在上单调递减,∴或或,∴或,则的取值范围是.【解析】本题主要考查导数、函数的解析式、性质与极值，考查了方程思想、分类讨论思想与逻辑推理能力.(1)由题意可知：的两根为和2,由韦达定理求出a、b的值，即可判断函数的单调性，进而求出函数的极值；(2)由(1)的结论，根据题意可得或或,求解即可得出结论.21．某店销售进价为2元/件的产品,假设该店产品每日的销售量单位:千件)与销售价格单位:元/件)满足关系式,其中.(1)若产品销售价格为4元/件,求该店每日销售产品所获得的利润;(2)试确定产品销售价格的值,使该店每日销售产品所获得的利润最大.(保留1位小数)【答案】(1)当时,,所以该店每日销售产品所获得的利润是千元);(2)设该店每日销售产品所获得的利润为千元,则,从而,故在上单调递增,在上单调递减,所以是函数在上的极大值点也是最大值点,所以当销售价格约为3.3元/件时利润最大.【解析】本题主要考查导数与函数的性质，考查了分析问题与解决问题的能力.(1)根据每日的销售量单位:千件)与销售价格单位:元/件)满足关系式，求出每日的销售量，则易得结果；(2) 设该店每日销售产品所获得的利润为千元,则，求导,判断函数的单调性，即可得出结论.22．设函数.(1)讨论函数的单调性;(2)如果对于任意的,都有成立,试求的取值范围.【答案】(1)函数的定义域为,当时,,函数在上单调递增,当时,若,则,函数,函数单调递增;若,则,函数单调递减;所以在上单调递减,在上单调递增.(2)∵,所以当时,在上单调递减;当时,在上单调递增,而,所以在上的最大值是1,依题意,知当时,恒成立,即恒成立,即恒成立,令,则,当时,,所以在上单调递增;当时,,所以在上单调递减,故当时,,∴,即实数的取值范围是.【解析】本题主要考查导数、函数的性质，考查了分类讨论思想、恒成立问题、逻辑推理能力与计算能力.(1),分、两种情况讨论导数的符号，即可得出结论；(2),判断函数的单调性并求出的最大为1；依题意,知当时,恒成立,即恒成立,令,同理，求导并判断函数的单调性，求出的最大值，即可得出结论.。
郑州市第一中学2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题
郑州市第一中学2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题一、选择题1． 函数y=a x +2（a ＞0且a ≠1）图象一定过点（ ）A ．（0，1）B ．（0，3）C ．（1，0）D ．（3，0）2． 已知集合（ ）{}{2|5,x |y ,A y y x B A B I ==-+===A ． B ． C ． D ．[)1,+∞[]1,3(]3,5[]3,5【命题意图】本题考查二次函数的图象和函数定义域等基础知识，意在考查基本运算能力．3． 已知△ABC 是锐角三角形，则点P （cosC ﹣sinA ，sinA ﹣cosB ）在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4． 利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．以上结论正确的是（ ）A ．①②B ．①C ．③④D ．①②③④5． 如图，AB 是半圆O 的直径，AB ＝2，点P 从A 点沿半圆弧运动至B 点，设∠AOP ＝x ，将动点P 到A ，B 两点的距离之和表示为x 的函数f （x ），则y ＝f （x ）的图象大致为（）6． “”是“”的24x ππ-<≤tan 1x ≤（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【命题意图】本题主要考查充分必要条件的概念与判定方法，正切函数的性质和图象，重点是单调性.7． 已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，M 是它们的一个公共点，且∠F 1MF 2=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）A ．2B ．C ．D ．4班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________8． 设1m >，在约束条件,,1.y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z x my =+的最大值小于2，则m 的取值范围为（）A ．(1,12)+B ．(12,)++∞C. (1,3)D ．(3,)+∞9． “方程+=1表示椭圆”是“﹣3＜m ＜5”的（ ）条件．A ．必要不充分B ．充要C ．充分不必要D ．不充分不必要10．设集合M={x|x ≥﹣1}，N={x|x ≤k}，若M ∩N ≠￠，则k 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，﹣1]B ．[﹣1，+∞）C ．（﹣1，+∞）D ．（﹣∞，﹣1）11．已知平面向量、满足，，则（ ）a b ||||1==a b (2)⊥-a a b ||+=a b A ． B ． C ．D ．022312．抛物线x 2=4y 的焦点坐标是（ ）A ．（1，0）B ．（0，1）C ．（）D ．（）二、填空题13．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 为BD 1的中点，则△PAC 在该正方体各个面上的射影可能是 ．14．已知数列{an }的前n 项和为S n ，a 1=1，2a n+1=a n ，若对于任意n ∈N *，当t ∈[﹣1，1]时，不等式x 2+tx+1＞S n 恒成立，则实数x 的取值范围为 ． 15．已知向量、满足，则|+|= ．16．已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4），若λ为实数，（ +λ）⊥，则λ的值为 ．17．与圆22:240C x y x y +-+=外切于原点，且半径为的圆的标准方程为0,1n =()sn n=+⋅1n n +3?>输出s18．下列函数中，①；②y=；③y=log 2x+log x 2（x ＞0且x ≠1）；④y=3x +3﹣x ；⑤；⑥；⑦y=log 2x 2+2最小值为2的函数是 （只填序号）三、解答题19．在中已知，，试判断的形状.ABC ∆2a b c =+2sin sin sin A B C =ABC ∆20．已知集合A={x|x 2﹣5x ﹣6＜0}，集合B={x|6x 2﹣5x+1≥0}，集合C={x|（x ﹣m ）（m+9﹣x ）＞0}（1）求A ∩B（2）若A ∪C=C ，求实数m 的取值范围．21．长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=2，AA 1=AD=4，点E 为AB 中点．（1）求证：BD 1∥平面A 1DE ；（2）求证：A 1D ⊥平面ABD 1．22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．再以原点为极点，以x正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系xOy有相同的长度单位．在该极坐标系中圆C的方程为ρ=4sinθ．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）设圆C与直线l交于点A、B，若点M的坐标为（﹣2，1），求|MA|+|MB|的值．23．如图所示的几何体中，EA⊥平面ABC，BD⊥平面ABC，AC=BC=BD=2AE=，M是AB的中点．（1）求证：CM⊥EM；（2）求MC与平面EAC所成的角．24．2008年奥运会在中国举行，某商场预计2008年从1日起前x个月，顾客对某种奥运商品的需求总量p（x）件与月份x的近似关系是且x≤12），该商品的进价q（x）元与月份x的近似关系是q（x）=150+2x，（x∈N*且x≤12）．（1）写出今年第x月的需求量f（x）件与月份x的函数关系式；（2）该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，则此商场今年销售该商品的月利润预计最大是多少元？郑州市第一中学2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题（参考答案）一、选择题1． 【答案】B【解析】解：由于函数y=a x （a ＞0且a ≠1）图象一定过点（0，1），故函数y=a x +2（a ＞0且a ≠1）图象一定过点（0，3），故选B ．【点评】本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，属于基础题． 2． 【答案】D【解析】，故选D.{}{{}|5,||3,A y y B x y x x Q =≤===≥[]3,5A B ∴=I 3． 【答案】B【解析】解：∵△ABC 是锐角三角形，∴A+B ＞，∴A ＞﹣B ，∴sinA ＞sin （﹣B ）=cosB ，∴sinA ﹣cosB ＞0，同理可得sinA ﹣cosC ＞0，∴点P 在第二象限．故选：B 4． 【答案】A 【解析】考点：斜二测画法．5． 【答案】【解析】选B.取AP 的中点M ，则PA ＝2AM ＝2OA sin ∠AOM＝2sin ，x 2PB ＝2OM ＝2OA ·cos ∠AOM ＝2cos ，x 2∴y ＝f （x ）＝PA ＋PB ＝2sin ＋2cos ＝2sin （＋），x ∈[0，π]，根据解析式可知，只有B 选项符合要求，x 2x 22x 2π4故选B.6． 【答案】A【解析】因为在上单调递增，且，所以，即.反之，当tan y x =,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭24x ππ-<≤tan tan 4x π≤tan 1x ≤时，（），不能保证，所以“”是“”tan 1x ≤24k x k πππ-<≤+πk Z ∈24x ππ-<≤24x ππ-<≤tan 1x ≤的充分不必要条件，故选A.7． 【答案】 C【解析】解：设椭圆的长半轴为a ，双曲线的实半轴为a 1，（a ＞a 1），半焦距为c ，由椭圆和双曲线的定义可知，设|MF 1|=r 1，|MF 2|=r 2，|F 1F 2|=2c ，椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2∵∠F 1MF 2=，∴由余弦定理可得4c 2=（r 1）2+（r 2）2﹣2r 1r 2cos ，①在椭圆中，①化简为即4c 2=4a 2﹣3r 1r 2，即=﹣1，②在双曲线中，①化简为即4c 2=4a 12+r 1r 2，即=1﹣，③联立②③得，+=4，由柯西不等式得（1+）（+）≥（1×+×）2，即（+）2≤×4=，即+≤，当且仅当e 1=，e 2=时取等号．即取得最大值且为．故选C ．【点评】本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关键．难度较大．8． 【答案】A【解析】考点：线性规划.【方法点晴】本题是一道关于线性规划求最值的题目，采用线性规划的知识进行求解；关键是弄清楚的几何意义直线z x my =+截距为zm，作0my x :L =+,向可行域内平移,越向上,则的值越大,从而可得当直线直线z x my =+过点A 时取最大值，⎩⎨⎧==+00001mx y y x 可求得点A 的坐标可求的最大值,然后由z 2,>解不等式可求m 的范围.9． 【答案】C【解析】解：若方程+=1表示椭圆，则满足，即，即﹣3＜m ＜5且m ≠1，此时﹣3＜m ＜5成立，即充分性成立，当m=1时，满足﹣3＜m ＜5，但此时方程+=1即为x 2+y 2=4为圆，不是椭圆，不满足条件．即必要性不成立．故“方程+=1表示椭圆”是“﹣3＜m ＜5”的充分不必要条件．故选：C ．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，考查椭圆的标准方程，根据椭圆的定义和方程是解决本题的关键，是基础题． 10．【答案】B【解析】解：∵M={x|x ≥﹣1}，N={x|x ≤k}，若M ∩N ≠￠，则k ≥﹣1．∴k 的取值范围是[﹣1，+∞）．故选：B ．【点评】本题考查了交集及其运算，考查了集合间的关系，是基础题． 11．【答案】D【解析】∵，∴，(2)⊥-a a b (2)0⋅-=a a b ∴，21122⋅==a b a∴||+==a b．==12．【答案】B【解析】解：∵抛物线x 2=4y 中，p=2， =1，焦点在y 轴上，开口向上，∴焦点坐标为 （0，1），故选：B ．【点评】本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用，抛物线x 2=2py 的焦点坐标为（0，），属基础题． 二、填空题13．【答案】 ①④ ．【解析】解：由所给的正方体知，△PAC 在该正方体上下面上的射影是①，△PAC 在该正方体左右面上的射影是④，△PAC 在该正方体前后面上的射影是④故答案为：①④ 14．【答案】 （﹣∞，]∪[，+∞） ．【解析】解：数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，2a n+1=a n ，∴数列{a n }是以1为首项，以为公比的等比数列，S n ==2﹣（）n ﹣1，对于任意n ∈N *，当t ∈[﹣1，1]时，不等式x 2+tx+1＞S n 恒成立，∴x 2+tx+1≥2，x 2+tx ﹣1≥0，令f （t ）=tx+x 2﹣1，∴，解得：x ≥或x ≤，∴实数x 的取值范围（﹣∞，]∪[，+∞）．15．【答案】 5 ．【解析】解：∵ =（1，0）+（2，4）=（3，4）．∴==5．故答案为：5．【点评】本题考查了向量的运算法则和模的计算公式，属于基础题． 16．【答案】 ﹣ ．【解析】解： +λ=（1+λ，2λ），∵（+λ）⊥，∴（ +λ）•=0，即3（1+λ）+8λ=0，解得λ=﹣．故答案为﹣．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，向量垂直与数量积的关系，是基础题． 17．【答案】 20)4()2(22=-++y x【解析】由已知圆心),(b a 在直线上，所以圆心x y 2-=，又因为与圆22:240C x y x y +-+=外切于原点，)2,(a a -且半径为，可求得52)2(22=-+a a ，舍去。
河南省郑州市第一中学2018_2019学年高二数学下学期期中试题文(含解析)
河南省郑州市第一中学2018-2019学年高二数学下学期期中试题文（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列说法错误的是（）A. 在统计学中，独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法B. 在残差图中，残差分布的带状区域的宽度越狭窄，其模拟的效果越好C. 线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点中的一个点D. 在回归分析中，相关指数越大，模拟的效果越好【答案】C【解析】对于A，统计学中，独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法，正确；对于B，残差图中，残差分布的带状区域的宽度越狭窄，其模拟的效果越好，正确；对于C，线性回归方程对应的直线过样本中心点，不一定过样本数据中的点，故C错误；对于D，回归分析中，相关指数R2越大，其模拟的效果就越好，正确．故选C.2.已知①正方形的对角线相等，②矩形的对角线相等，③正方形是矩形.由①、②、③组合成“三段论”,根据“三段论”推出一个结论，则此结论是（）A. 正方形的对角线相等B. 平行四边形的对角线相等C. 正方形是平行四边形D. 以上均不正确【答案】A【解析】【分析】根据三段论进行推理判断.【详解】大前提：矩形的对角线相等，小前提：正方形是矩形，结论：正方形的对角线相等，所以选A.【点睛】本题考查三段论，考查基本分析判断能力，属基础题.3.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于”时，反设正确的是（）A. 假设三内角都不大于B. 假设三内角都大于C. 假设三内角至多有一个大于D. 假设三内角至多有两个大于【答案】B【解析】分析：熟记反证法的步骤，从命题的反面出发假设出结论，直接得出答案即可．详解：∵用反证法证明在一个三角形中，至少有一个内角不大于60°，∴第一步应假设结论不成立，即假设三个内角都大于60°．故选：B．点睛：此题主要考查了反证法的步骤，熟记反证法的步骤：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．4.下列推理是类比推理的是（）A. ，为定点，动点满足，则点的轨迹为椭圆B. 由，，求出，，，猜想出数列的前项和的表达式C. 由圆的面积，猜想出椭圆的面积D. 以上均不正确【答案】B【解析】A选项用的双曲线的定义进行推理，不符合要求．B选项根据前3个S1，S2，S3的值，猜想出S n的表达式，属于归纳推理，符合要求．C选项由圆x2+y2=r2的面积S=πr2，猜想出椭圆的面积S=πab，用的是类比推理，不符合要求．本题选择C选项.点睛：合情推理包括归纳推理和类比推理，所得到的结论都不一定正确，其结论的正确性是需要证明的．在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑；否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．5.为考察A、B两种药物预防某疾病的效果，进行动物试验，分别得到等高条形图：根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是( )A. 药物A、B对该疾病均没有预防效果B. 药物A、B对该疾病均有显著的预防效果C. 药物A的预防效果优于药物B的预防效果D. 药物B的预防效果优于药物A的预防效果【答案】C【解析】分析: 根据两个表中的等高条形图看药物A的预防效果优于药物B的预防效果．详解: 根据两个表中的等高条形图知，药物A实验显示不服药与服药时患病的差异较药物B实验显示明显大，所以药物A的预防效果优于药物B的预防效果．故答案为：C 点睛:本题主要考查等高条形图,意在考查学生对该知识的掌握水平.6.若，，，则实数（）A. B. 或 C. 或 D.【答案】D【解析】【分析】根据交集定义确定元素，再根据复数相等得结果.【详解】因为，所以，因为为实数，所以，解得选D.【点睛】本题考查交集以及复数相等，考查基本分析求解能力，属基础题.7.非零复数、分别对应复平面内的向量、，若，则( )A. B. C. D. 和共线【答案】A【解析】【分析】根据复数加法几何意义以及向量的模的含义得结论.【详解】因为，所以+|-|,以、为相邻边的平行四边形的对角线相等，即以、为相邻边的平行四边形为矩形，因此，选A.【点睛】本题考查复数加法几何意义以及向量的模，考查基本分析求解能力，属基础题.8.已知命题,，命题,.则下列结论中正确的是（）①命题“”是真命题；②命题“”是假命题；③命题“”是真命题；④命题“”是假命题.A. ①④B. ②③C. ①③D. ②④【答案】B【解析】【分析】先确定命题的真假，再判断复合命题的真假.【详解】因为, 所以命题为假；因为,所以命题为真，从而命题“”是假命题；命题“”是假命题；命题“”是真命题；命题“”是真命题.选B.【点睛】本题考查判断复合命题的真假，考查基本分析判断能力，属基础题.9.已知下列等式：，，，，…，，则推测（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据式子左右关系进行归纳，即得结果.【详解】由式子可得,因此,选D.【点睛】本题考查归纳推理，考查基本分析归纳能力，属基础题.10.下列选项中不正确的是（）A. 中，，则的逆否命题为真命题；B. 若，则的逆命题为真命题；C. 若或，，则是充分不必要条件；D. 若：，，则：，【答案】B【解析】【分析】根据四种命题关系、命题否定以及充要关系逐一判断.【详解】因为中，,所以其逆否命题为真命题;若，则的逆命题为若，则,当时不成立，所以B 不正确；因为或，，所以且，，因此是的充分不必要条件，从而是充分不必要条件；若：，，则：，，综上选B.【点睛】本题考查判断命题真假、四种命题关系、命题否定以及充要关系判断，考查基本分析归纳能力，属基础题.11.在平面几何里，有勾股定理：“设的两边，互相垂直，则”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，“设三棱锥的三个侧面、、两两相互垂直，则可得（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据类比规则进行合情推理.【详解】根据三角形对应三棱锥，边对应面，边长对应面积，即得，选C.【点睛】本题考查类比推理，考查基本分析推理能力，属基础题.12.已知函数，.若，，使得，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将任意存在性问题转化为对应函数最值问题，再根据指数函数以及二次函数性质求最值，即得结果.【详解】因为，，使得，所以,因为,所以,选B.【点睛】本题考查不等式任意存在性问题，考查等价转化思想方法与基本分析求解能力，属中档题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.如图所示，执行图中的程序框图，输出的值是_______.【答案】19【解析】【分析】确定循环次数，再求和得结果.【详解】执行两次循环，输出得【点睛】本题考查循环结构流程图，考查基本分析求解能力，属中档题.14.下列四个命题中，正确命题的个数是___________.①比小②两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数③的充要条件为④如果实数与对应，那么实数集与纯虚数集一一对应【答案】0【解析】【分析】根据复数相关概念逐一判断.【详解】比不可比较大小；两个复数互为共轭复数，则它们的和为实数，反之不成立，如2与3；当为实数时充要条件为；因为当时所以实数集与纯虚数集不一一对应；综上无正确命题，即正确命题的个数是【点睛】本题考查复数相关概念，考查基本分析判断能力，属基本题.15.已知，经计算得，则对于任意有不等式________成立.【答案】.【解析】分析：根据观察、分析、归纳、猜想、验证的思路求解，可得对任意成立的不等式的一般形式．详解：由题意可得第一个式子：，第二个式子：，第三个式子：，第四个式子：，……第个式子：．∴对于任意有不等式成立．点睛：常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：（1）数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等．（2）形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳．16.若，，且，则的最小值为______.【答案】【解析】【分析】根据三角函数有界性确定，，即得结果.【详解】因为所以,因为，所以，即,,故当时取最小值为.【点睛】本题考查三角函数有界性，考查基本分析求解能力，属中档题.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.集合，.（1）若，求；（2）已知命题，命题，若命题是命题的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先解不等式得集合A,求函数值域得集合B，再根据补集与交集定义求结果，（2）根据充要关系得A,B之间包含关系，结合数轴列不等式，解得结果.【详解】解：（1），,（2），，是的充分不必要条件，所以，解得，又及符合题意【点睛】本题考查解不等式、集合运算以及充要关系，考查基本分析求解能力，属基础题.18.设实部为正数的复数z 满足，且(1+2i)z在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上.（1）求复数z；（2）若为纯虚数 , 求m的值.【答案】（1）Z=3－i；（2）－5.【解析】【分析】（1）设z＝a+bi（a，b∈R且a＞0），由条件可得a2+b2＝10①，a＝﹣3b②．由①②联立的方程组得a、b的值，即可得到z的值．（2）根据若（m∈R）为纯虚数，可得，由此求得m的值．【详解】解：（1）设z＝a+bi（a，b∈R且a＞0），由得：a2+b2＝10①．又复数（1+2i）z＝（a﹣2b）+（2a+b）i在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上，则a﹣2b＝2a+b，即a＝﹣3b②．由①②联立的方程组得a＝3，b＝﹣1；或a＝﹣3，b＝1．∵a＞0，∴a＝3，b＝﹣1，则z＝3﹣i．（2）∵为纯虚数，∴，解得m＝﹣5．【点睛】本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．19.为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为．（1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99%的把握认为“喜爱打篮球与性别有关”？说明你的理由．参考公式：独立性检测中，随机变量，其中为样本容量【答案】（1）见解析（2）有99%的把握【解析】【分析】（1）先根据条件求得篮球的总人数，再依次填表，（2）根据公式计算，再对照数据作判断. 【详解】解：（1）因为在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为，所以喜爱打篮球的总人数为人，所以补充完整的列联表如下：（2）根据列联表可得的观测值，所以有99%的把握认为“喜爱打篮球与性别有关”．【点睛】本题考查卡方公式的计算，考查基本分析求解能力，属基础题.20.某公司近年来特别注重创新产品的研发，为了研究年研发经费(单位：万元)对年创新产品销售额(单位：十万元)的影响，对近10年的研发经费与年创新产品销售额（其中）的数据作了初步处理，得到如图的散点图及一些统计量的值.其中，，，，.现拟定关于的回归方程为.（1）求，的值(结果精确到)；（2）根据拟定的回归方程,预测当研发经费为万元时,年创新产品销售额是多少？参考公式：求线性回归方程系数公式 ：，.【答案】（1）（2）155【解析】 【分析】（1）先求均值，再代入公式求以及，（2）令得销售额.【详解】解：(1)令，则由，，，得 ， ，，(2)由(1)知,关于的回归方程为当时，（十万元）（万元）故可预测当研发经费为13万元时,年创新产品销售额是155万元.【点睛】本题考查回归直线方程及其应用，考查基本分析求解能力，属基础题.21.某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图①、②、③、④为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第个图形包含个小正方形．（1）求出；（2）归纳出与的关系式，并根据你得到的关系式求的表达式；（3）求证：．【答案】（1）41（2）（3）见解析【解析】 【分析】（1）根据相邻项规律求；（2）根据相邻项确定，再利用叠加法求的表达式；（3）先利用裂项相消法求不等式左边的和，再证不等式. 【详解】解:（1）∵，，，，∴．（2）∵，，，由上式规律得出．∴，，，，，∴，∴，又时，也适合，∴，（3）当时，，∴，∴．【点睛】本题考查叠加法求通项以及裂项相消法求和，考查综合分析论证与求解能力，属中档题.22.以平面直角坐标系的坐标原点为极点，以轴的非负半轴为极轴，以平面直角坐标系的长度为长度单位建立极坐标系. 已知直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为 .(1)求曲线的直角坐标方程；(2)设直线与曲线相交于两点，求.【答案】（1）（2）【解析】【试题分析】（1）借助极坐标与直角坐标之间的互化关系进行求解；（2）先将直线的参数方程代入抛物线方程中，借助根与系数的关系及直线方程中的参数的几何意义求弦长：解：(1)由，既曲线的直角坐标方程为.(2)的参数方程为代入，整理的，所以，所以.23.设函数，.（1）求函数的最小值；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）.（2）【解析】【试题分析】（１）直接依据三角不等式分析求解；（２）依据题设条件先将问题进行等价转化，再运用分类整合思想进行分析求解：（Ⅰ），当且仅当，即时，取等号，此时.（Ⅱ）对任意的，不等式恒成立，或，或，或，或.所以实数的取值范围为.。
河南省郑州市第一中学高二下学期期中考试数学(理)试题
2017-2018学年下期中考 19届 高二理科数学试题 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设a R ∈，若复数3a i z i -=+（i 是虚数单位）的实部为15，则a 的值为（ ） A ．43 B ．53C ．1D ．-1 2.函数ln 2()x xf x x-=的图象在点(1,2)-处的切线方程为（ ）A ．240x y --=B ．20x y +=C ．30x y --=D ．10x y ++= 3.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于060”时，假设正确的是（ ） A ．假设三内角都不大于060 B ．假设三内角都大于060 C ．假设三内角至多有一个大于060 D ．假设三内角至多有两个大于0604.已知i 为虚数单位，若复数1a iz i+=+（a R ∈）的模为该复数z 倍，则a =（ ） A ．0 B ．-4 C. 1或-1 D ．15.由抛物线2x y =和直线1y =所围成的封闭图形的面积等于（ ） A ．1 B ．43 C. 23 D ．136.函数()f x 的定义域为(,)a b ，导函数'()f x 在(,)a b 内的图象如图所示，则函数()f x 在(,)a b 内有极小值点（ ）A ．1个B ．2个 C.3个 D ．4个7.（选修4-4：参数方程选讲）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），以射线Ox 为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是cos sin 0ρθρθ--=，则直线l 与曲线C 相交所得的弦AB 的长为（ ）A B（选修4-5：不等式选讲）已知不等式1()()9ax y x y++≥对任意正实数,x y 恒成立，则a 的最小值为（ ）A ．8B ．6 C.4 D ．28.郑州市了为缓解交通压力，实行机动车辆限行政策，每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周末（周六和周日）不限行，某公司有,,,,A B C D E 五辆车，保证每天至少有四辆车可以上路行驶，已知E 车周四限行，B 车昨天限行，从今天算起，,A C 两车连续四天都能上路行驶，E 车明天可以上路，由此可知下列推测一定正确的是（ ）A ．今天是周六B ．今天是周四 C. A 车周三限行 D ．C 车周五限行 9.若函数1()sin 2sin 3f x x x a x =-+在R 单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．[1,1]- B ．1[1,]3- C. 11[,]33- D ．1[1,]3--10.若函数3()63f x x bx b =-+在(0,1)内有极小值，则实数b 的取值范围是（ ） A ．(0,1) B ．(,1)-∞ C. (0,)+∞ D ．1(0,)211.给出下面类比推理（其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集）：①“若,a b R ∈，则0a b -=⇒a b =”类比推出“,a b C ∈，则0a b a b -=⇒=” ②“若,,,a b c d R ∈，则复数,a bi c di a c b d +=+⇒==”类比推出“,,,a b c d Q ∈，则,a c a c b d +=+==”；③“,a b R ∈，则0a b a b ->⇒>”类比推出“若,a c C ∈，则0a b a b ->⇒>”； ④“若x R ∈，则111x x <⇒-<<”类比推出“若z C ∈，则111z z <⇒-<<” 其中类比结论正确的个数为（ ）A ．1B ．2 C.3 D ．412.对于函数()f x 和()g x ，设{()0}m x f x ∈=，{()0}n x g x ∈=，若存在,m n 使得223m n -≤，则称()f x 和()g x 互为“友邻函数”，若函数lg(21)()23x f x e x -=+-与2()25g x x tx t =--+互为“友邻函数”，则实数t 的取值范围是（ ）A ．(,2]-∞B ．9[,)4+∞ C. 9[2,]4D ．[2,)+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为3213232s t t t =-+，那么这个质点在2秒末的瞬时速度是 ．14.有一个奇数列1,3,5,7,9……，现在进行如下分组：第一组含一个数{1}，第二组合含两个数{3,5}；第三组含三个数{7,9,11}；第四组含四个数{13,15,17,19}……；则观察每组内各数之和()()f n n N ∈与组的编号数n 的关系式为 ．15.（选修4-4：参数方程选讲）以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为22(13sin )4ρθ+=，则在直角坐标系下曲线C 的方程为 ．（选修4-5：不等式选讲）若21x y ++=则222x y z ++的最小值为 ．16.定义在R 上的函数()f x 满足：'()1()f x f x >-，(0)6f =，'()f x 是()f x 的导函数，则不等式()5xxe f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （1）设1z i =+（i 是虚数单位），求22z z+的值. （2）设,x y R ∈，复数z x yi =+，且满足23()2iz z z i i-++=+，试求,x y 的值.18. 求由曲线y =2y x =-，13y x =-所围成的封闭图形的面积.19. 已知3335311111()12345f n n =++++++，231()22g n n=-，*n N ∈（1）当1,2,3n =时，试比较()f n 与()g n 的大小关系； （2）猜想()f n 与()f n 的大小关系，并给出证明.20. 设函数3()65f x x x =-+，x R ∈.（1）若关于x 的方程()f x a =有3个不同实根，求实数a 的取值范围； （2）已知当(1,)x ∈+∞时，()(1)f x k x ≥-恒成立，求实数k 的取值范围. 21. 已知函数()(ln 1)f x x k x =--（k R ∈）. （1）当1x >时，求()f x 的单调区间和极值；（2）若12x x ≠，且12()()f x f x =，证明：212kx x e <请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为6sin ρθ=.（1）求圆C 的直角坐标方程；（2）设圆C 与直线l 交于点,A B ，求AB 的最小值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知不等式2342x x a -+-<. （1）若1a =，求不等式的解集；（2）若已知不等式的解集不是空集，求a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: CCBAB 6-10: ACBCD 11、12：BD 二、填空题13. 0 14. 3()f n n = 15. （选修4-4）2214x y += ；（选修4-5）1816. (0,)+∞ 三、解答题17.（1）2222(1)1211z i i i i z i+=+=-+=++ （2）将z x yi =+代入23()2i z z z i i-++=+，得2221x y xi i ++=-∴22121x y x ⎧+=⎨=-⎩，∴12x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 18.解：130111)(2)33x dx x x dx +-+⎰⎰ 32221321121()(2)0133232x x x x =+∙+-∙214133636=++= 19.解：（1）当1n =时，()1f x =，231(1)1221g =-=⨯，所以(1)(1)f g =； 当2n =时，319(2)128f =+=，23111(2)2228g =-=⨯，所以(2)(2)f g <； 当3n =时，3311251(3)123216f =++=，23113(3)2239g =-=⨯，所以(3)(3)f g < （2）由（1）猜想()()f n g n ≤，下面用数学归纳法给出证明. ①当1n =时，不等式显然成立. ②假设当n k =*()k N ∈时不等式成立.即33332111131123422k k +++++≤-⨯ 那么，当1n k =+时，3231311(1)()(1)22(1)f k f k k k k +=+≤-+++因为22332321113131[]02(1)2(1)2(1)22(1)k k k k k k k k k+----=-=<++++ 所以231(1)(1)2(1)f k g k k +<-=++ 由①②可知，对一切*n N ∈，都有()()f n g n ≤成立.20.解：（1）'2()3(2)f x x =-，令'()0f x =，得1x =2x =∴当x <x >'()0f x >；当x <<时，'()0f x <，∴()f x 的单调递增区间是(,-∞和)+∞，单调递减区间是(当x =()f x 有极大值5+当x =()f x 有极小值5-可知()y f x =图象的大致形状及走向∴当55a -<<+y a =与()y f x =的图象有3个不同交点，即当55a -<<+()f x α=有三解. （2）()(1)f x k x ≥-即2(1)(5)(1)x x x k x -+-≥- ∵1x >，∴25k x x ≤+-在(1,)+∞上恒成立.令2()5g x x x =+-，由二次函数的性质，()g x 在(1,)+∞上是增函数， ∴()(1)3g x g >=-，∴所求k 的取值范围是3k ≤- 21.解：（1）'1()ln 1ln f x x x k x k x=∙+--=-， ①0k ≤时，因为1x >，所以'()ln 0f x x k =->函数()f x 的单调递增区间是(1,)+∞，无单调递减区间，无极值；②当0k >时，令ln 0x k -=，解得kx e =，当1k x e <<时，'()0f x <；当kx e >，'()0f x >.所以函数()f x 的单调递减区间是(1,)ke ，单调递增区间是(,)ke +∞，在区间(1,)+∞上的极小值为()(1)k k kf e k k e e =--=-，无极大值.（2）因为12()()f x f x =，由（1）知，函数()f x 在区间(0,)ke 上单调递减， 在区间(,)ke +∞上单调递增，不妨设12x x <，则120kx e x <<<，要证212kx x e <，只要证221k e x x <，即证221k ke e x x <<因为()f x 在区间(,)ke +∞上单调递增，所以221()()ke f x f x <，又12()()f x f x =，即证211()()ke f x f x <，构造函数222()()()(ln 1)(ln 1)k k ke e e h xf x f x k x k x x x=-=-----， 即2ln 1()ln (1)()kx k h x x x k x e x x-=-++-，(0,)k x e ∈. 22'22221ln 1()()ln 1(1)()(ln )k kx k x e h x x k e x k x x x ---=+-+++=-，因为(0,)kx e ∈，所以ln 0x k -<，22kx e <，即'()0h x >，所以函数()h x 在区间(0,)ke 上单调递增，故()()kh x h e <，而2()()()0kkkk e h e f e f e=-=，故()0h x <，所以211()()k e f x f x <，即2211()()()ke f x f x f x =<，所以212k x x e <成立.22.解：（1）由6sin ρθ=得26sin ρρθ=，化为直角坐标方程为226x y y +=，即22(3)9x y +-=所以圆C 的直角坐标方程为22(3)9x y +-=.（2）将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得22(cos sin )70t t αα+--=， 由已知得2(2cos 2sin )470αα∆=-+⨯>，所以可设12,t t 是上述方程的两根，则12122(cos sin )7t t t t αα+=--⎧⎨=-⎩，12AB t t =-===≥=所以AB的最小值为23.解：（1）当1a =时，不等式即为2342x x -+-<， 若4x ≥，则3102x -<，4x <，∴舍去； 若34x <<，则22x -<，∴34x <<； 若3x ≤，则1032x -<，∴833x <≤ 综上，不等式的解集为8{4}3xx <<. （2）设()234f x x x =-+-，则310,4()2,34103,3x x f x x x x x -≥⎧⎪=-<<⎨⎪-≤⎩作出函数()f x 的图象，如图所示： 由图象可知，()1f x ≥ ∴21a >，12a >，即a 的取值范围为1(,)2+∞。
河南省郑州市第一中学2017-2018学年高二数学下学期期中试题 理(含解析)
10.若函数 在 内有极小值，则实数 的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分析：
求得函数导数，令导数为0，得极小值点，使其属于 ，即可得解．
详解：
由题意得,函数 的导数 .
18.求由曲线 ， ， 所围成的封闭图形的面积.
【答案】
【解析】试题分析：求出曲线 的交点 横坐标,求出 的交点 的横坐标,再分成两部分算出阴影部分的面积.
考点：1.用定积分算阴影部分面积的步骤；2.微积分基本定理.
19.已知 ， ，
（1）当 时，试比较 与 的大小关系；
（2）猜想 与 的大小关系，并给出证明.
由函数单增等价转换为导函数大于等于0恒成立，通过二倍角化简，进而换元为二次不等式恒成立即可.
详解：
若函数 在 单调递增，则 在 上恒成立.
即 在 上恒成立，即 恒成立.
令 ，原命题等价于 在 恒成立.
只需 ，解得： .
故选C.
点睛：利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法
（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a即可；f(x)≤a恒成立，只需f(x)max≤a即可.
7.在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程是 （ 为参数），以射线 为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程是 ，则直线 与曲线 相交所得的弦 的长为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：
将曲线的参数方程化为普通方程，极坐标方程化为直角坐标方程，得到圆和直线，进而利用垂径定理即可得弦长.
2018-2019学年河南省郑州一中高二(下)期中数学试卷(文科)
2018-2019学年河南省郑州一中高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. （5分）下列说法错误的是（）A •在统计学中，独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法B •在残差图中，残差分布的带状区域的宽度越狭窄，其模拟的效果越好C .线性回归方程对应的直线? = bx a至少经过其样本数据点中的一个点D .在回归分析中，相关指数R2越大，模拟的效果越好2. （5分）已知①正方形的对角线相等，②矩形的对角线相等，③正方形是矩形.由①、②、③组合成“三段论”，根据“三段论”推出一个结论，则此结论是（）A .正方形的对角线相等B .平行四边形的对角线相等C .正方形是平行四边形D .以上均不正确3. （5分）用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60 ”时，反设正确的是（）A .假设三内角都不大于60B .假设三内角都大于60C .假设三内角至多有一个大于60D .假设三内角至多有两个小于604. （5分）下列推理是归纳推理的是（）A . A , B为定点，动点P满足|PA| JPB|=2a | AB|，则P点的轨迹为椭圆B .由印=1 , a. =3n -1，求出S , S?, S3，猜想出数列的前n项和S n的表达式2 2C .由圆x2 y2二r2的面积二r2，猜想出椭圆专•占=1的面积Svaba bD.以上均不正确p： x・ R,使sinx * * * 5;命题q： -x・ R ,25. （5分）为考察A、B两种药物预防某疾病的效果，进行动物试验，分别得到如下等高条形图：血炳未恿瞬■般用將N役観則药根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是A •药物A、B对该疾病均没有预防效果B .药物A、B对该疾病均有显著的预防效果C .药物A的预防效果优于药物B的预防效果D .药物B的预防效果优于药物A的预防效果2 26. (5 分)实数m 满足集合M 二｛1 , 2, (m -3m-1) (m -5m-6)i｝, N 二｛-1 , 3｝，且M「|N ={3}，则实数m的值是（）& （5分）已知命题 2都有x x 1 0，给出下A .②④B .②③C.③④ D .①②③9 . （5分）已知.2 3=2 4 AVC. -1 或4D. -1 或67. （5分）非零复数Z Z2分别对应复平面内的向量OA、OB，若D . OA和OB共线A . OA_OB B . |OA|=|OB|2 2 2 2 SABC■ S.ACD ' 5ADB - SBCD2 2 2 2 2 2D . | AB | |AC | |AD | =\ BC| | CD || BD |1 x-----f(x)二x , g(x) =(-)一m .若—X 1[-1 ,2f （x ）g （X 2），则实数m 的取值范围是（）1丄 A .[—,：：)413 . （ 5分）如图所示，执行图中的程序框图，输出的 S 值是:，则推测a ・b =（A . 1033B . 109 )C . 199 10. （5分）下列选项中不正确的是 （ ） A . ABC 中，A . B ，贝U si nA .sinB 的逆否命题为真命题 2 2B .若am ::: bm ,则a ::: b 的逆命题为真命题C .若p:x=2或y=6 , q:x ・y=8，贝U q 是p 充分不必要条件D .若 p: -X R , cosx, 1，则一p : x R , cosx 1 11. （ 5分）在平面几何里，有勾股定理: “设.SBC 的两边 |AB 1 2 - | AC 2=|BC 2 *”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理,三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两相互垂直，则可得”（AB , AC 互相垂直，则“设三棱锥 A - BCD 的）2 2 2 2 2 2A . | AB || AC | | AD | =| BC | |CD || BD |SABC 12. （ 5分）已知函数3] , x 2[0 , 2]，使得M /抽" S■附9 ] F I TO14. ( 5分)下列四个命题中，正确命题的个数是①0比i小②两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数③x yi =1 i的充要条件为x =y =1④如果实数a与ai对应，那么实数集与纯虚数集-- 对应11 i 5 7 15. ( 5 分)已知f(n) =1 +— +—+ …+ —，经计算f( 4) a 2，f (8)》一，f(16) = 3，f (32) ，2 3 n 2 2则根据以上式子得到第n个式子为 _ .1 r,16. --------------------------------------------------------------------- (5分)若X , X2 E R，且_________ =1，贝V |人+X2 |的最小值为 -------------------------------- .(2 +sin xj(2 +sin2x2)三、解答题：本大题共2小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.t 217. (12 分)集合A 二{x|(x—a)(x—3a)：：：0, a 0}, B二{x|x=2 一 , 2：t：：3}.(1 )若a =1，求A「|(e R B);(2)已知命题p:x・A，命题q:x・B，若命题q是命题p的充分不必要条件，求实数a的取值范围.18. (12分)设实部为正数的复数z，满足|z|—10，且复数(1 2i)z在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上.(1)求复数z ；(2)若z m -(m R)为纯虚数，求实数m的值.1 +i19. (12分)为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为(1 )请将上面的列联表补充完整；(2)是否有99%的把握认为“喜爱打篮球与性别有关”？说明你的理由. 第4页(共18页)2参考公式：独立性检测中，随机变量 K 2n(ad bc)-(a +b)(c +d)(a +c)(b +d)对年创新产品销售额 y (单位：十万元)的影响，对近 10年的研发经费x 与年创新产品销售额y(i =1 , 2, , 10)的数据作了初步处理，得到如图的散点图及一些统计量的值.现拟定y 关于x 的回归方程为？ =(x -3)2 - ?.(1 )求£?，I?的值(结果精确到 0.1)； 10 10 10 其中' X i =65 , ' y =75 , ' (x —3)2 =205 , i 1 i £ i 土10 10' (x -3)4 =8773 , ' (x -3)2 y =2016 .i 1 i £(2)根据拟定的回归方程，预测当研发经费为 13万元时，年创新产品销售额是多少?附：对于一组数据(q ，Vj ，(U 2，V 2)，(u n ，v n )，其回归直线vu 的斜率和截n二(u i -u)(V i -V) 二 距的最小二乘估计分别为 ？=亠n ' (u i -u)2i =1nU i V i - nuv i i-n，■ 2 2 u i -nu=v - -Tu.101021.④为她们刺绣最简单的(12分)四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮, 现按同样的规律刺绣(小正方形的(1)求出f (5);(2)归纳出f(n 1)与f(n)的关系式，并根据你得到的关系式求f(n)的表达式;曲线C 的极坐标方程为 『si nJ - 4cos v(I) 求曲线C 的直角坐标方程; ［选修4-5:不等式选讲］23•设函数 f (x) =|x 1| |x_2|, g(x)=|x-3| |x-2| . (1) 求函数f (x)的最小值；(2) 若对任意的x ・R ，不等式g (a ) , f (x)恒成立，求实数a 的取值范围.(3)求证: 3f(T) f (2) -1 f ⑶ _1 f (n) _1 '2■■■ ■请考生在第22题，23题中任选一题作答，在答题卷上将所选题号涂黑，如果多做，则按所选的第一题计分.［选修4-4 :坐标系与参数方程］ 22. (10分)以平面直角坐标系原点0为极点，以 x 轴非负半轴为极轴，以平面直角坐标系的长度单位为长度单位建立极坐标系.已知直线 f x 二 2 - 3t1的参数方程为y .-1-2t (t 为参数)，(H) 设直线I|AB|.2018-2019学年河南省郑州一中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. （5分）下列说法错误的是（）A •在统计学中，独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法B •在残差图中，残差分布的带状区域的宽度越狭窄，其模拟的效果越好C .线性回归方程对应的直线y = bX a?至少经过其样本数据点中的一个点D .在回归分析中，相关指数R2越大，模拟的效果越好【解答】解：对于A，统计学中，独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法，正确；对于B，残差图中，残差分布的带状区域的宽度越狭窄，其模拟的效果越好，正确；对于C ,线性回归方程对应的直线？=bX - a过样本中心点，不一定过样本数据中的点，故C 错误；对于D，回归分析中，相关指数R2越大，其模拟的效果就越好，正确.故选：C .2. （5分）已知①正方形的对角线相等，②矩形的对角线相等，③正方形是矩形.由①、②、③组合成“三段论”，根据“三段论”推出一个结论，则此结论是（）A .正方形的对角线相等B .平行四边形的对角线相等C .正方形是平行四边形D .以上均不正确【解答】解：由演绎推理三段论可得“三段论”推理出一个结论，则这个结论是：“正方形的对角线相等”，故选：A.3. （5分）用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60 ”时，反设正确的是（）A .假设三内角都不大于60B .假设三内角都大于60第7页（共18页）D .假设三内角至多有两个小于60【解答】证明：用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个内角不大于60 ”时，应假设命题的否定成立，而命题“三角形的内角中至少有一个内角不大于60 ”的否定是: 三角形的三个内角都大于60，故选：B .4. （5分）下列推理是归纳推理的是（）A . A , B为定点，动点P满足|PA| ・|PB|=：2a | AB|，则P点的轨迹为椭圆B .由a i =1 , a. =3n -1，求出S , S2, S3，猜想出数列的前n项和S n的表达式2 2C .由圆X2 y2=r2的面积二r2，猜想出椭圆马•再=1的面积S#aba bD.以上均不正确【解答】解：A选项用的双曲线的定义进行推理，不符合要求.B选项根据前3个S , S2 , S3的值，猜想出S n的表达式，属于归纳推理，符合要求.2 2C选项由圆X2 y2 =r2的面积S二■■:r2，猜想出椭圆冷•占=1的面积S二二ab，用的是类a b 比推理，不符合要求.故选：B .5. （5分）为考察A、B两种药物预防某疾病的效果，进行动物试验，分别得到如下等高条根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是A .药物A、B对该疾病均没有预防效果B .药物A、B对该疾病均有显著的预防效果第8页（共18页）第9页(共18页)C .药物A 的预防效果优于药物 B 的预防效果D .药物B 的预防效果优于药物 A 的预防效果 【解答】解：根据两个表中的等高条形图知， 药物A 实验显示不服药与服药时患病的差异较药物 B 实验显示明显大,.药物A 的预防效果优于药物 B 的预防效果. 故选：C . 6.( 5 分)实数 m 满足集合 M ={1 , 2, (m 2 —3m —1) (m 2—5m —6)i} , N ={—1 , 3}，且 M 「|N ={3}，则实数m 的值是( ) A . 4B . -1C . -1 或 4D . -1 或 6【解答】解：一 集合 M ={1 , 2, (m 2 - 3m -1) (m 2 - 5m -6)i},N ={-1, 3}，且二{3},m 2 -3m -1 =3 ■ 2 ， m-亦-6=0 解得m = 一1 . 故选：B .7. ( 5分)非零复数z)A . OA_OB 【解答】解：在四边形 丁非零复数z 、Z 2分别对应复平面内的向量 0A 、OB , 则由复数加法的几何意义可知，|z Z 2 |对应 |OC| , Iz -Z 2 |对应 |AB| , 则 |OC ^| AB|,—T T T T T由OC =0A OB , AB =0B -0A ，可知三边长 OACB 为平行四边形， 则四边形OACB 为矩形.、Z 2分别对应复平面内的向量 OA 、OB ，若 | Z + Z 2 |=| 乙-Z 2 |，则（T TB . |OA|=|OB| C.OA 二 OBT —*D . OA 和OB 共线OACB 内，左二OA OB ,T T ■AB =0B —OA ,—* T.OA _ 0B .第10页（共18页）第10页（共18页）& （ 5分）已知命题p : -l x 三R ,使sinx 5 ;命题q: ~x^ R ，都有x 2 x 1 0，给出下2 列结论：① 命题“ p q ”是真命题； ② 命题“ p （一q ） ”是假命题； ③ 命题“（一p ） q ”是真命题； ④ 命题“（—p ） （—q ） ”是假命题. 其中正确的是（ ）A .②④B .②③C .③④D .①②③【解答】解：：［sinx|,1 , : X- R ，使sinx-错误，即命题p 是假命题，2丁判别式厶=1_4二；：：：0 , -x ・R ，都有x 2 x 1 0恒成立，即命题 q 是真命题， 则①命题“ p q ”是假命题；故 ①错误， ② 命题“ p （—q ） ”是假命题；故 ②正确， ③ 命题“（—p ） q ”是真命题；故 ③正确， ④ 命题“（—p ） （—q ） ”是真命题.故 ④错误,故选：B .故选：B .10. （ 5分）下列选项中不正确的是 （ ）A . ABC 中，AB ，贝U si nA ・sinB 的逆否命题为真命题2 2B .若am :: bm ，则a :: b 的逆命题为真命题9 . （5分）已10 : =10,:，则推测 a b =( A . 1033B . 109D . 29【解答】解：由给出的几个等式可以推测: 在 10 a =10.:中,a =10 , b =102 -1 =99，于是 a b =109 ..2 2=2J "C . 199（n---2且n 是正整aC.若p:x=2或y=6 , q:x，y=8，贝U q是p充分不必要条件D .若p: -x R , cosx, 1，则—p : x R , cosx 1第10页（共18页）【解答】解：根据题意知,A为真命题故逆否命题为真命题；2 2B中命题为若a :::b，则am :::bm , m =0时不合题意; Cp不能得q，由q可得p，正确；D由命题的否定知D正确故选：B .2 2 2 2 2 2D . | AB | |AC | | AD | BC | | CD | | BD | 【解答】解：由边对应着面,边长对应着面积，由类比可得：2 2 2 2S B CD =S ABC 'S ACD 'S ADB .12. （5分）已知函数f(X)=x2, g(x) =(l)x— m .2若一石• [-1 , 3] , x2 [0 , 2]，使得f(X i),g（X2），则实数m的取值范围是（）A .1[，；)4B . （二,七]C . [-8三]4D . (仝,_8^J[ 1，二)411. （5分）在平面几何里，有勾股定理: “设「ABC的两边AB ,AC互相垂直，则|AB 2 - | AC|=|BC|”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理,三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，则可得”(2 2 2 2 2 2A . | AB | | AC | | AD | =|BC | |CD | | BD |“设三棱锥A-BCD的）B . S ABC S ACD S ADB = S 'BCDABC 'S.ACD'S ADB -故选：C .；-儿• [一1 , 3] , X 2 [0 , 2]，使得 f(x), g(X2), 第19页(共18页)【解答】解：由题意可知，f （x ）=x 2・[0 , 9], 第11页（共18页）；-儿• [一1 , 3] , X 2 [0 , 2]，使得 f(x), g(X 2),第20页(共18页)\'g(x)在［0 , 2］上单调递减，故 g(x )max =g(0) =1-m .9, 1 -m则实数m 的取值范围m, 一8 故选：B .二、填空题：本大题共 4小题，每小题5分，共20分.13. (5分)如图所示，执行图中的程序框图，输出的 S 值是19---【解答】 解：A =1 , A, 2 是，S =1 *9=10 , A =A ，1=2 ,A =2 , A 2 是，S =10 9=19 , A =A 1=3,A =3 , A 2 否，输出 S =19 , 故答案为：1914. ( 5分)下列四个命题中，正确命题的个数是 0 .① 0比i 小② 两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数 ③ x yi T i 的充要条件为x = y =1④ 如果实数a 与ai 对应，那么实数集与纯虚数集 对应 【解答】解：根据题意知：复数不能比较大小，故①错； 由共轭复数的概念知实部相等，虚部互为相反数，两个复数和为实数不一定互为共轭复数故 ② 错误；③ 不知x , y 的范围故错误； 由纯虚数的定义知a =0，故④错误； •正确命题个数为 0.f(X )max g(X )max ,故答案为0.d dA C715. ( 5 分)已知 f(n )=1 ,经计算 f (4) > 2 , f (8), f(16)>3 , f (32) a —,2 3n--则根据以上式子得到第 n 个式子为 f （2n 卑）＞n +3（ n^N ） 2f(16) =f (24) 3 =¥， 57 4 +3f（32）=f （2）厂〒，…，则 f(2n 1) - 3(n 三 N *)2.(2 sin x)(2 sin2x 2)=1,：一1剟Vsinx 1 , . 1剟2 sinx 2 , .2sin 为=1 且 2 sin 2x 2 =1 , 即 sin/ = -1， sin2x 2 = -1，则 x 1 =- 2k 二，2x 2 =- 2m ：，即 x 2m 二，k ， m Z ， 2 2 43 二 3 ：■■则 x 1 x 22k 二• m 二，2 49 二则 |X 1 X 2 鬥 （2 k m ）二 I ，497TTT则当2k F = -2时，|人 Kl 取得最小值，最小为| 一 2二|J44TT故答案为：一.4三、解答题：本大题共 2小题，共70分•解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.t _217. (12 分)集合 A ={x| (x —a)(x —3a) ：： 0 , a 0}, B={x|x=2, 2：：：t ： 3}.【解解：观察已知中等式: f (4) = f(22) .2 二口，2 f (8)35 2 3 = f(2 )2 厂,故答案为：f （2n1） n 亠3*• ”N) 16. (5 分)若 X , X2 • R ，且【解答】解： 1(2+s in xj(2 +s in 2x01，则| X-1 ' X 2 |的最小值为—一(2 sin 为)(2 sin 2x 2) 41(1)右a 二1，求A「|(e R B);(2)已知命题p:x・A，命题q:x・B，若命题q是命题p的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 【解答】解：(1) a =1 时，A=(1,3), B=(1,2) , eRB=(_：:, 1^[2 ,:：).■ A"® B) =[2 , 3).(2) ；a .0, . A=(a,3a) , B =(1,2).7q是p的充分不必要条件，.B u A .由B M A得a, 1，解得2剟a 1 ,3a-2 32 又a =1及a二-符合题意.32.2剟a 1.318. (12分)设实部为正数的复数z，满足|z|= • 10，且复数(1 2i)z在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上.(1)求复数z ；(2)若z mzi (^ R)为纯虚数，求实数m的值.1 +i【解答】解：(1)设Z =a bi(a , b • R且a 0)，由|Z |= 10 得：a2b2^10①.又复数(1 2i)z =(a -2b) • (2a b)i在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上,则 a _2b =2a b，即a - -3b ②.由①②联立的方程组得a=3 , b--1 ;或a - -3 , b=1 .(a 0 , a =3 , b - -1，则Z =3 - i .m -i (m -i)(1 —i) m 5 1 —m 、(2)■ Z 3 i i为纯虚数,1 +i2 2 2解得m = -5 .19. (12分)为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班到了如50人进行了问卷调查得下的列联表:已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为-2（1 ）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99%的把握认为“喜爱打篮球与性别有关”？说明你的理由.2 参考公式：独立性检测中，随机变量K2 n（ad bC）-（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）【解答】解：（1）因为在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为-,2所以喜爱打篮球的总人数为50 1=25人,2（2）根据列联表可得K2的观测值k=5°（2°15一3°5） >8.333 6.635 , 30汉20汇25汉253 4k? = y -? =7.5 -0.10 20.5 =5.45 ： 5.5 ... 2（2）由（1）知，y关于x的回归方程为？=0.1（x-3） 5.5 , 当x =13 时，？=0.1 （13-3）2 5.5=15.5 （十万元）=155 万元，故可预测当研发经费为13万元时，年创新产品销售额是155万元.21. （12分）某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图①、②、③、④为她们刺绣最简单的四个图所以有99%的把握认为“喜爱打篮球与性别有关” .......... 12分20. （12分）某公司近年来特别注重创新产品的研发，为了研究年研发经费x （单位：万元）对年创新产品销售额y （单位：十万元）的影响，对近10年的研发经费x与年创新产品销售额y（i =1 , 2,…，10）的数据作了初步处理，得到如图的散点图及一些统计量的值.10 10 10 10 10其中' x i=65 , \ y=75 , ' （x 一3）2=205 , ' （x 一3）4=8773 , '（人-3）2y=2016.i 1i ±i ±i 土i ±案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含f（n）个小正方形.现拟定y 关于x 的回归方程为y =?（x —3）2 I?.第25页（共18页）（i ）求a , I?的值（结果精确到 0.1）；nZ （U i -U ）（V i 距的最小二乘估计分别为？=旦丁' （U i -u ）2i丄10 4 i【解答】解：（i ）令t=（x-3）2，则y^ = at I?， 10 10 10y 匚-y =7.5 , ' w 八(x -3)2y i =2016 , 10 i 土 i 1i ±10 10迟 t i 2 =迟(x —3)4 =8773 , i 土 i 土10二 t i y i -10r|_yc i12016 —205 7.5a^ = -^ 0.1 ,寸 2 丁2 8773 —205 X20.5 t i -10t（2）根据拟定的回归方程，预测当研发经费为 13万元时，年创新产品销售额是多少? 附：对于一组数据（U 1， V i ）， （U 2， V 2），（U n ，V n ），其回归直线U 的斜率和截n「V) 、Uy 「nUV—导 ，：? =V _ -?U .- 2 _2、U i -nUi X丄' (x -3)^ 20.5 , 10 y(1)求出 f (5);(2) 归纳出f(n 1)与f (n)的关系式，并根据你得到的关系式求f(n)的表达式;f (5)-f (4) = 4 4,由上式规律得出： f(n 」)_f(n) =4n ..f(n)—f( n — 1)=4(n —1), f(n — 1) — f( n — 2)=4( n —2). f(n -2)-f(n -3)=4(n -3),f (2) -f (1) = 4 1 , .f(n)—f (1) =4 [(n — 1) (n —2)u 2 1]=2(n —1)n ,2.f (n) =2n -2n 1(n …2),又 n =1 时，f (1)也适合 f(n) , . f(n) =2『-2n 1(n ・・・1). .」 1 1 I 3.f(1) f(2) -1 f (3) -1 f(n)—1 2请考生在第22题，23题中任选一题作答，在答题卷上将所选题号涂黑，如果多做，则按所 选的第一题计分.［选修4-4 :坐标系与参数方程］22. ( 10分)以平面直角坐标系原点 0为极点，以x 轴非负半轴为极轴，以平面直角坐标系f x 二 2 - 3t的长度单位为长度单位建立极坐标系.已知直线I 的参数方程为 x 2 3t (t 为参数),\y = —1 +2t■■■■■ ■ ■■■① ②【解答】 解:(1) ： f (1) =1, 1 f (2)=5 , f (3) = 13 , f (4) = 25 ,(2)f (2) —f (1) = 4=4 1, f (3) -f (2) = 8=4：： 2 , f (4) — f ( 3) =12 =4 3 ,(3)当 n--2 时,1f(n) -12^2^1冷(亡-+)，丄」 —f(1)f(2) -1f(3)—11f(n) -1=1 1 (1 -2 3一 _<丄2n-(3)求证：击花匕帀匕 由”1 ..f (5) =25 4 4 =41 .n曲线C 的极坐标方程为 「sin 2二=4cos -(I) 求曲线C 的直角坐标方程；(H) 设直线I 与曲线C 相交于A , B 两点，求|AB|.【解答】解：(I)曲线C 的极坐标方程为 gnJ-4cosn , 转化为：(「sin v)2 =4「COST , 进一步转化为直角坐标方程为：y 2 =4x(H)把直线I 的参数方程为 x =2 -戲 为参数)化为：2x 3y =1 ,y = —1+2t22代入y =4x 得y 亠6y -2 =0 ； 设A 、B 的纵坐标分别为％、y 2 ；则 y°2 - -2 , yy^6 ；［选修4-5：不等式选讲］23•设函数 f (x) =|x 1| |x_2|, g(x)=|x-3| |x-2| . (1)求函数f (x)的最小值；(2)若对任意的R ，不等式g (a ) , f (x)恒成立，求实数a 的取值范围.【解答】 解：(1) f(x) =|x 1| |x-2|…心 1)—(x —2)|=3，当且仅当(x 1)(x-2), 0, 即［-1 , 2］时，取等号，此时f (X)min =3 .(2 )对任意的x ・R ，不等式g (a ) , f (x)恒成立，二g ( a ) , f(x)m. -3 ,a, 2 2 ■■■ a ::: 3a (3)i，或/，或1i3-a2-a, 33-a a-2,3 a-3a-2, 3=1 剟a 2，或 2 ::: a ：：：3，或 3剟a 4，二 1 剟a 4 .则 |y i —y 2 | 二 36二4一(二2) =2 11 ；2 Ji = 143所以 |AB|= 143 .所以，实数a的取值范围为［1 , 4］.列结论:①命题“ p q ”是真命题；②命题“ p （一q）”是假命题；③命题“（一p） q ”是真命题；④命题“（一p）（一q）”是假命题.其中正确的是（）1C . [-8,-]4、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.。
河南省郑州市第一中学2018_2019学年高二数学下学期期中试题文(含解析)
河南省郑州市第一中学2018-2019学年高二数学下学期期中试题文（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列说法错误的是（）A. 在统计学中，独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法B. 在残差图中，残差分布的带状区域的宽度越狭窄，其模拟的效果越好C. 线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点中的一个点D. 在回归分析中，相关指数越大，模拟的效果越好【答案】C【解析】对于A，统计学中，独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法，正确；对于B，残差图中，残差分布的带状区域的宽度越狭窄，其模拟的效果越好，正确；对于C，线性回归方程对应的直线过样本中心点，不一定过样本数据中的点，故C错误；对于D，回归分析中，相关指数R2越大，其模拟的效果就越好，正确．故选C.2.已知①正方形的对角线相等，②矩形的对角线相等，③正方形是矩形.由①、②、③组合成“三段论”,根据“三段论”推出一个结论，则此结论是（）A. 正方形的对角线相等B. 平行四边形的对角线相等C. 正方形是平行四边形D. 以上均不正确【答案】A【解析】【分析】根据三段论进行推理判断.【详解】大前提：矩形的对角线相等，小前提：正方形是矩形，结论：正方形的对角线相等，所以选A.【点睛】本题考查三段论，考查基本分析判断能力，属基础题.3.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于”时，反设正确的是（）A. 假设三内角都不大于B. 假设三内角都大于C. 假设三内角至多有一个大于D. 假设三内角至多有两个大于【答案】B【解析】分析：熟记反证法的步骤，从命题的反面出发假设出结论，直接得出答案即可．详解：∵用反证法证明在一个三角形中，至少有一个内角不大于60°，∴第一步应假设结论不成立，即假设三个内角都大于60°．故选：B．点睛：此题主要考查了反证法的步骤，熟记反证法的步骤：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．4.下列推理是类比推理的是（）A. ，为定点，动点满足，则点的轨迹为椭圆B. 由，，求出，，，猜想出数列的前项和的表达式C. 由圆的面积，猜想出椭圆的面积D. 以上均不正确【答案】B【解析】A选项用的双曲线的定义进行推理，不符合要求．B选项根据前3个S1，S2，S3的值，猜想出S n的表达式，属于归纳推理，符合要求．C选项由圆x2+y2=r2的面积S=πr2，猜想出椭圆的面积S=πab，用的是类比推理，不符合要求．本题选择C选项.点睛：合情推理包括归纳推理和类比推理，所得到的结论都不一定正确，其结论的正确性是需要证明的．在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑；否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．5.为考察A、B两种药物预防某疾病的效果，进行动物试验，分别得到等高条形图：根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是( )A. 药物A、B对该疾病均没有预防效果B. 药物A、B对该疾病均有显著的预防效果C. 药物A的预防效果优于药物B的预防效果D. 药物B的预防效果优于药物A的预防效果【答案】C【解析】分析: 根据两个表中的等高条形图看药物A的预防效果优于药物B的预防效果．详解: 根据两个表中的等高条形图知，药物A实验显示不服药与服药时患病的差异较药物B实验显示明显大，所以药物A的预防效果优于药物B的预防效果．故答案为：C 点睛:本题主要考查等高条形图,意在考查学生对该知识的掌握水平.6.若，，，则实数（）A. B. 或 C. 或 D.【答案】D【解析】【分析】根据交集定义确定元素，再根据复数相等得结果.【详解】因为，所以，因为为实数，所以，解得选D.【点睛】本题考查交集以及复数相等，考查基本分析求解能力，属基础题.7.非零复数、分别对应复平面内的向量、，若，则( )A. B. C. D. 和共线【答案】A【解析】【分析】根据复数加法几何意义以及向量的模的含义得结论.【详解】因为，所以+|-|,以、为相邻边的平行四边形的对角线相等，即以、为相邻边的平行四边形为矩形，因此，选A.【点睛】本题考查复数加法几何意义以及向量的模，考查基本分析求解能力，属基础题.8.已知命题,，命题,.则下列结论中正确的是（）①命题“”是真命题；②命题“”是假命题；③命题“”是真命题；④命题“”是假命题.A. ①④B. ②③C. ①③D. ②④【答案】B【解析】【分析】先确定命题的真假，再判断复合命题的真假.【详解】因为, 所以命题为假；因为,所以命题为真，从而命题“”是假命题；命题“”是假命题；命题“”是真命题；命题“”是真命题.选B.【点睛】本题考查判断复合命题的真假，考查基本分析判断能力，属基础题.9.已知下列等式：，，，，…，，则推测（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据式子左右关系进行归纳，即得结果.【详解】由式子可得,因此,选D.【点睛】本题考查归纳推理，考查基本分析归纳能力，属基础题.10.下列选项中不正确的是（）A. 中，，则的逆否命题为真命题；B. 若，则的逆命题为真命题；C. 若或，，则是充分不必要条件；D. 若：，，则：，【答案】B【解析】【分析】根据四种命题关系、命题否定以及充要关系逐一判断.【详解】因为中，,所以其逆否命题为真命题;若，则的逆命题为若，则,当时不成立，所以B 不正确；因为或，，所以且，，因此是的充分不必要条件，从而是充分不必要条件；若：，，则：，，综上选B.【点睛】本题考查判断命题真假、四种命题关系、命题否定以及充要关系判断，考查基本分析归纳能力，属基础题.11.在平面几何里，有勾股定理：“设的两边，互相垂直，则”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，“设三棱锥的三个侧面、、两两相互垂直，则可得（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据类比规则进行合情推理.【详解】根据三角形对应三棱锥，边对应面，边长对应面积，即得，选C.【点睛】本题考查类比推理，考查基本分析推理能力，属基础题.12.已知函数，.若，，使得，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将任意存在性问题转化为对应函数最值问题，再根据指数函数以及二次函数性质求最值，即得结果.【详解】因为，，使得，所以,因为,所以,选B.【点睛】本题考查不等式任意存在性问题，考查等价转化思想方法与基本分析求解能力，属中档题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.如图所示，执行图中的程序框图，输出的值是_______.【答案】19【解析】【分析】确定循环次数，再求和得结果.【详解】执行两次循环，输出得【点睛】本题考查循环结构流程图，考查基本分析求解能力，属中档题.14.下列四个命题中，正确命题的个数是___________.①比小②两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数③的充要条件为④如果实数与对应，那么实数集与纯虚数集一一对应【答案】0【解析】【分析】根据复数相关概念逐一判断.【详解】比不可比较大小；两个复数互为共轭复数，则它们的和为实数，反之不成立，如2与3；当为实数时充要条件为；因为当时所以实数集与纯虚数集不一一对应；综上无正确命题，即正确命题的个数是【点睛】本题考查复数相关概念，考查基本分析判断能力，属基本题.15.已知，经计算得，则对于任意有不等式________成立.【答案】.【解析】分析：根据观察、分析、归纳、猜想、验证的思路求解，可得对任意成立的不等式的一般形式．详解：由题意可得第一个式子：，第二个式子：，第三个式子：，第四个式子：，……第个式子：．∴对于任意有不等式成立．点睛：常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：（1）数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等．（2）形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳．16.若，，且，则的最小值为______.【答案】【解析】【分析】根据三角函数有界性确定，，即得结果.【详解】因为所以,因为，所以，即,,故当时取最小值为.【点睛】本题考查三角函数有界性，考查基本分析求解能力，属中档题.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.集合，.（1）若，求；（2）已知命题，命题，若命题是命题的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先解不等式得集合A,求函数值域得集合B，再根据补集与交集定义求结果，（2）根据充要关系得A,B之间包含关系，结合数轴列不等式，解得结果.【详解】解：（1），,（2），，是的充分不必要条件，所以，解得，又及符合题意【点睛】本题考查解不等式、集合运算以及充要关系，考查基本分析求解能力，属基础题.18.设实部为正数的复数z 满足，且(1+2i)z在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上.（1）求复数z；（2）若为纯虚数 , 求m的值.【答案】（1）Z=3－i；（2）－5.【解析】【分析】（1）设z＝a+bi（a，b∈R且a＞0），由条件可得a2+b2＝10①，a＝﹣3b②．由①②联立的方程组得a、b的值，即可得到z的值．（2）根据若（m∈R）为纯虚数，可得，由此求得m的值．【详解】解：（1）设z＝a+bi（a，b∈R且a＞0），由得：a2+b2＝10①．又复数（1+2i）z＝（a﹣2b）+（2a+b）i在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上，则a﹣2b＝2a+b，即a＝﹣3b②．由①②联立的方程组得a＝3，b＝﹣1；或a＝﹣3，b＝1．∵a＞0，∴a＝3，b＝﹣1，则z＝3﹣i．（2）∵为纯虚数，∴，解得m＝﹣5．【点睛】本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．19.为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为．（1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99%的把握认为“喜爱打篮球与性别有关”？说明你的理由．参考公式：独立性检测中，随机变量，其中为样本容量【答案】（1）见解析（2）有99%的把握【解析】【分析】（1）先根据条件求得篮球的总人数，再依次填表，（2）根据公式计算，再对照数据作判断. 【详解】解：（1）因为在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为，所以喜爱打篮球的总人数为人，所以补充完整的列联表如下：（2）根据列联表可得的观测值，所以有99%的把握认为“喜爱打篮球与性别有关”．【点睛】本题考查卡方公式的计算，考查基本分析求解能力，属基础题.20.某公司近年来特别注重创新产品的研发，为了研究年研发经费(单位：万元)对年创新产品销售额(单位：十万元)的影响，对近10年的研发经费与年创新产品销售额（其中）的数据作了初步处理，得到如图的散点图及一些统计量的值.其中，，，，.现拟定关于的回归方程为.（1）求，的值(结果精确到)；（2）根据拟定的回归方程,预测当研发经费为万元时,年创新产品销售额是多少？参考公式：求线性回归方程系数公式：，.【答案】（1）（2）155【解析】【分析】（1）先求均值，再代入公式求以及，（2）令得销售额.【详解】解：(1)令，则由，，，得，，，(2)由(1)知,关于的回归方程为当时，（十万元）（万元）故可预测当研发经费为13万元时,年创新产品销售额是155万元.【点睛】本题考查回归直线方程及其应用，考查基本分析求解能力，属基础题.21.某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图①、②、③、④为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第个图形包含个小正方形．（1）求出；（2）归纳出与的关系式，并根据你得到的关系式求的表达式；（3）求证：．【答案】（1）41（2）（3）见解析【解析】 【分析】（1）根据相邻项规律求；（2）根据相邻项确定，再利用叠加法求的表达式；（3）先利用裂项相消法求不等式左边的和，再证不等式. 【详解】解:（1）∵，，，，∴．（2）∵，，，由上式规律得出．∴，，，，，∴，∴，又时，也适合，∴，（3）当时，，∴，∴．【点睛】本题考查叠加法求通项以及裂项相消法求和，考查综合分析论证与求解能力，属中档题.22.以平面直角坐标系的坐标原点为极点，以轴的非负半轴为极轴，以平面直角坐标系的长度为长度单位建立极坐标系. 已知直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为 .(1)求曲线的直角坐标方程；(2)设直线与曲线相交于两点，求.【答案】（1）（2）【解析】【试题分析】（1）借助极坐标与直角坐标之间的互化关系进行求解；（2）先将直线的参数方程代入抛物线方程中，借助根与系数的关系及直线方程中的参数的几何意义求弦长：解：(1)由，既曲线的直角坐标方程为.(2)的参数方程为代入，整理的，所以，所以.23.设函数，.（1）求函数的最小值；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）.（2）【解析】【试题分析】（１）直接依据三角不等式分析求解；（２）依据题设条件先将问题进行等价转化，再运用分类整合思想进行分析求解：（Ⅰ），当且仅当，即时，取等号，此时.（Ⅱ）对任意的，不等式恒成立，或，或，或，或.所以实数的取值范围为.。
2018-2019学年河南省郑州市第一中学高二下学期开学考试数学(理)试题(解析版)
2018-2019学年河南省郑州市第一中学高二下学期开学考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}R12,1,0,1,2,|02x A B x x -⎧⎫=--=≥⎨⎬+⎩⎭ð，则A B =I （ ） A ．{}1,0,1- B ．{}1,0-C ．{}2,1,0--D ．{}0,1,2【答案】C【解析】由已知，可得R {|1B x x =≥ð或}2x <-，{}|21B x x ∴=-≤<，又{}{}2,1,0,1,2,2,1,0A A B =--∴⋂=--Q ，故选C.2．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60︒”时，反设正确的是（ ）A ．假设三内角都不大于60︒B ．假设三内角都大于60︒C ．假设三内角至多有一个大于60︒D ．假设三内角至多有两个小于60︒【答案】B【解析】根据命题的否定是否定结论，且至少有一个的反面，是一个也没有，由此可得到答案． 【详解】证明：用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个内角不大于60︒”时， 应假设命题的否定成立，而命题“三角形的内角中至少有一个内角不大于60︒”的否定是：三角形的三个内角都大于60︒. 故选：B ． 【点睛】本题主要考查求一个命题的否定，用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口，属于基础题3．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()112,1N n n a a S n *+==+∈，则5S= （ ）A ．31B ．42C ．37D ．47【答案】D【解析】由11n n a S +=+ , ① 可得()112n n a S n -=+≥, ② ①-②得12n n a a +=，又()4211531213,2,24712a S a S ⨯-=+==∴=+=-Q ，故选D.4．在ABC ∆中，()2,0B-，()2,0C ，(),A x y ，给出ABC ∆满足条件，就能得到动点A 的轨迹方程下表给出了一些条件及方程：则满足条件①，②，③的轨迹方程依次为（ ） A ．3C ，1C ，2C B ．1C ，2C ，3CC ．3C ，2C ，1CD ．1C ，3C ，2C【答案】A【解析】①中可转化为A 点到B 、C 两点距离之和为常数，符合椭圆的定义，利用定义法求轨迹方程；②中利用三角形面积公式可知A 点到BC 距离为常数，轨迹为两条直线；③中90A ∠=︒，可用斜率或向量处理. 【详解】解：①ABC ∆的周长为10，即10AB AC BC ++=，4BC =Q ，6AB AC BC ∴+=>，故动点A 的轨迹为椭圆，与3C 对应；②ABC ∆的面积为10，1102BC y ∴⋅=，即5y =，与1C 对应； ③90A ∠=︒Q ，()()222,2,40AB AC x y x y x y ∴⋅=---⋅--=+-=uu u r uu u r，与2C 对应..故选：A. 【点睛】本题考查轨迹方程的求法，考查直接法、定义法求轨迹方程，是基础题.5．(2017安徽黄山二模)已知a=1⎰(x 2-1)d x ,b=1-log 23,c=cos5π6,则a ,b ,c 的大小关系是( ) A ．a<b<c B ．c<a<bC ．a<c<bD ．b<c<a【答案】B【解析】∵a=1⎰(x 2-1)d x=1311-?33x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭-1=-23≈-0.667, b=1-log 23=1-lg3lg2≈-0.58, c=cos5π6=-3≈-0.866,∴c<a<b ,故选B .6．在区间[0,8]上随机取一个x 的值，执行如下的程序框图，则输出3y ≥的概率为（ ）A ．12B ．13C ．23D ．34【答案】A【解析】解：由条件知，当0≤x≤6，2x ﹣1≥3，解得2≤x≤6；当6＜x≤8时，33x≥，无解，∴输出的y≥3的概率为12. 点睛：利用分段函数，求出输出的y≥3时，x 的范围，以长度为测度求出相应的概率． 7．过圆锥顶点的平面截去圆锥一部分，所得几何体的三视图如图所示，则原圆锥的体积为（ ）A ．1B ．23π C ．43π D ．83π 【答案】D【解析】由已知中的三视图，圆锥母线5322l =+=，圆锥的高512h =-=，圆锥底面半径为312r =+=，故原圆锥的体积为11842333V Sh ππ==⨯⨯=，故选D.8．已知m >1，x ，y 满足约束条件405001x y mx y m x -+≥⎧⎪-+-≤⎨⎪≤≤⎩若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为3，则1a ＋2b（ ） A ．有最小值11210+ B ．有最大值11210+ C ．有最小值11210- D ．有最大值11210- 【答案】A【解析】直线50mx y m -+-=，过40x y -+=上的定点()1,5A ，画出40{5001x y mx y m x -+≥-+-≤≤≤表示的可行域，如图，由图知z ax by =+过()1,5A 时，最大值为53a b +=，所以()1211253a b a b a b ⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭152111133b a a b +⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭，故选A. 【方法点晴】本题主要考查可行域、含参数目标函数最优解和均值不等式求最值，属于难题.含参变量的线性规划问题是近年来高考命题的热点，由于参数的引入，提高了思维的技巧、增加了解题的难度， 此类问题的存在增加了探索问题的动态性和开放性，此类问题一般从目标函数的结论入手，对目标函数变化过程进行详细分析，对变化过程中的相关量的准确定位，是求最优解的关键.9．已知,,P A B 是双曲线22221x y a b-=上不同的三点，且,A B 关于原点对称，若直线,PA PB 的斜率乘积34PA PB k k =，则该双曲线的离心率是（ ） A ．2 BCD．【答案】C【解析】由题意，设1111(,),(,),(,)P x y A x y B x y --，则22221122221,1x y x y a b a b-=-=，即2222221122(1),(1)x x y b y b a a=-=-，因为34PA PB k k =，所以222122222111222221111[(1)(1)34x x b y y y y y y b a a x x x x x x x x a ----+-⋅====-+--，则该双曲线的离心率为c e a ==== C. 点睛：在处理圆锥曲线问题或直线和圆锥曲线的位置关系时，往往利用“设而不求”的思想进行处理，如本题中设出点的坐标，但没有求点的坐标，只是利用其横纵坐标间的关系进行求解.10．已知圆22:1C x y +=，点P 为直线142x y+=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线,,,PA PB A B 为切点，则直线AB 经过定点.（ ） A ．11,24⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C．⎫⎪⎪⎝⎭D．⎛ ⎝⎭【答案】B【解析】设()42,,,P m m PA PB -Q 是圆C 的切线，,,CA PA CB PB AB ∴⊥⊥∴是圆C 与以PC 为直径的两圆的公共弦，可得以PC 为直径的圆的方程为()()22222224m m x m y m ⎛⎫⎡⎤--+-=-+ ⎪⎣⎦⎝⎭， ① 又221x y +=Q ， ② ①-②得():221AB m x my -+=，可得11,42⎛⎫⎪⎝⎭满足上式，即AB 过定点11,42⎛⎫⎪⎝⎭，故选B. 11．函数()()()ln 0{0x x f x x x >=--≤与()()112g x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],32ln 2-∞- B ．[)32ln 2,-+∞ C ．),e ⎡+∞⎣ D ．(,e ⎤-∞-⎦【答案】B【解析】要使函数与()()112g x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点，只需()g x 关于y 轴的对称的函数()()112h x x a =-+图象与()y f x =的图象有交点即可，即设()112y x a =-+与ln y x =相切时，切点为()00,ln x x ，则0011,22x x ==，又点()2,ln 2与1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭两点连线斜率1ln 212.32ln 222a a -=∴=--，由图知a 的取值范围是[)32ln 2,-+∞时，函数()()112h x x a =-+图象与()y f x =的图象有交点，即a 范围是[)32ln 2,-+∞时，函数()()()ln 0{0x x f x x x >=--≤与()()112g x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点，故选B.【思路点睛】本题主要考查数学解题过程中的数形结合思想和化归思想，导数以及直线斜率的灵活应用，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形相互转化来解决数学问题，这种思想方法在解题中运用的目的是化抽象为直观，通过直观的图像解决抽象问题，尤其在解决选择题、填空题时发挥着奇特的功效，大大提高了解题能力与速度. 12．将函数3sin 4y x π⎛⎫=⎪⎝⎭的图象向左平移3个单位，得函数()3sin 4y x πϕϕπ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象(如图) ，点,M N 分别是函数()f x 图象上y 轴两侧相邻的最高点和最低点，设MON θ∠=，则()tan ϕθ-的值为（ ）A ．13B ．23C ．13+D ．23-+【答案】D【解析】将函数3sin 4y x π⎛⎫=⎪⎝⎭的图象向左平移3个单位，得函数3sin ()4y x πϕϕπ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭得34ϕπ=，由图可知：(3),(3,3)M N --,MON △中，利用余弦定理可得：2223cos 283OM ON MN OM ON θ+-===⋅,150θ︒=,所以：()tan ϕθ-=tan 45tan 30tan (15)tan (4530)231tan 45tan 30︒︒︒︒︒︒︒--=--=-=-++点睛：根据平移规则求出ϕ，然后根据三角想余弦定理可求出θ，再根据三角和差公式进行求解即可，要注意计算的准确性.二、填空题13．已知1,1,222a b a b ⎛==+= ⎝⎭r r r r，则b r 在a r 方向上的投影为__________． 【答案】14-【解析】1,1,222a b a b ⎛==+= ⎝⎭r r Q r r ，得()2244?cos ?4b a a b a b ++=r r rr r r ，将1,1a b ==r r 代入上式，得b r 在a r 方向上的投影为1cos ,4b a b 〈〉=-r rr ，故答案为14-.14．设函数()f x 是定义在(),0-∞上的可导函数，其导函数为()f x '，且有()()22f x xf x x '+>，则不等式()()()22016201610x f x f ++-->的解集_____．【答案】(),2017-∞-【解析】令()()2g x x f x =，因为()()22f x xf x x '+>，且0x <，所以()()()()()23220g x xf x x f x x f x xf x x ⎡⎤=+=+<<⎣⎦'''，即函数()()2g x x f x =在(),0-∞上单调递减，因为()()()22016201610x f x f ++-->，即()()()()222016201611x f x f ++>-⨯-，所以20161x +<-，即2017x <-，即不等式的解集为(),2017-∞-.点睛：处理本题的关键是合理利用()()22f x xf x x '+>和()()()22016201610x f x f ++-->的形式，恰当地构造函数，这是导数在函数中应用中的常见题型，要在学习过程中积累构造方法. 15．从抛物线214y x =上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且5PM =.设抛物线的焦点为F ，则MPF ∆的面积为______. 【答案】10【解析】先设处P 点坐标，进而求得抛物线的准线方程，进而求得P 点横坐标，代入抛物线方程求得P 的纵坐标，进而利用三角形面积公式求得答案. 【详解】抛物线24x y =上一点P 引抛物线准线的垂线， 设()00,P x y依题意可知抛物线准线1y =-，0514y ∴=-=.04x ∴=，MPF ∴∆的面积为：011||541022PM x =⨯⨯=. 故答案为：10. 【点睛】本题主要考查了抛物线的应用.解题的关键是灵活利用了抛物线的定义. 16．设()A n 表示正整数n 的个位数，()()2,n a A nA n A =-为数列{}na 的前202项和，函数()1xf x e e =-+，若函数()g x 满足()11x Ax f g x A -⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦，且()()N n b g n n *=∈，则数列{}n b 的前n 项和为__________．【答案】2332nn n +-+ 【解析】由题意得，1234560,2,6,2,0,0a a a a a a ======，7891011122,4,8,0,0,2a a a a a a ==-=-===，…, 可得{}n a 是周期为10的周期数列，12310...0a a a a ++++=，前202项和为122a a +=，即2A =，()1x f x e e =-+Q 单调递增，且()()111,1Ax f g x Ax -=∴-=，()()21211,122n x nx n g x b g n --=+==+，()211113...21,222n n S n n =⨯+⨯++-⨯+，设()211113 (21222)n n T n =⨯+⨯++-⨯，()()211111113 (232122222)n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+-⨯， 相式()21111112...22122222n n n T n +=+⨯++⨯--⨯，可得23233,322n n n n T S n n n ++=-=-+，故答案为2332n n n+-+.【方法点晴】本题主要考查函数与数列的综合问题，属于难题.解决数列与函数的综合问题的关键是从题设中提炼出数列的基本条件，综合函数知识求解；数列是特殊的函数，以数列为背景的函数问题及以函数为背景的数列的综合问题体现了在知交汇点上命题的特点.本题是将函数的单调性、数列的周期性和特殊数列求和综合起来命题，也正体现了这种命题特点.三、解答题17．ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，向量m =r，(cos 1,sin )n A A =+r ，且m n ⋅r r的值为2.（1）求A ∠的大小； （2）若a =cos B =ABC ∆的面积. 【答案】(1)6A π=;(2)2. 【解析】试题分析：(1)由·2m n =r r可得sin 13A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，从而可得结果；（2）在ABC ∆中，由cos B =，得sin B =，又由正弦定理sin sin a b A B =，解得b =故b的长为试题解析：(1)·sin 2sin 3m n A A A π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭r r Q ,sin 136A A ππ⎛⎫∴+=⇒= ⎪⎝⎭.(2)cos sin B B =∴=由sin sin b a B A =得312b ==())1sin sin cos cos sin 22ABC S ab C A B A B A B ∆∴==+=+=+.18．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，面PAD ⊥底面ABCD ，且PAD ∆是边长为2的等边三角形，PC M =在PC 上，且PA P 面MBD .（1）求证:M 是PC 的中点；（2）在PA 上是否存在点F ，使二面角F BD M --为直角？若存在，求出AFAP的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1) 见解析;(2)38AF AP =. 【解析】试题分析：(1)连AC 交BD 于E 可得E 是AC 中点，再根据PA P 面MBD 可得,PA ME P 进而根据中位线定理可得结果；(2)取AD 中点O ，由（1）知,,OA OE OP 两两垂直. 以O 为原点，,,OA OE OP 所在直线分别为x 轴,y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，求出面MBD 的一个法向量n r ，用λ表示面FBD 的一个法向量m u r ，由·0n m =r r可得结果.试题解析：(1)证明：连AC 交BD 于E ，连.ME ABCD Q 是矩形，E ∴是AC 中点.又PA P 面MBD ，且ME 是面PAC 与面MDB 的交线，,PA ME M ∴∴P 是PC 的中点.(2)取AD 中点O ，由（1）知,,OA OE OP 两两垂直. 以O 为原点，,,OA OE OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系（如图），则各点坐标为()()()()()1331,0,0,1,3,0,1,0,0,1,3,0,0,0,3,,,22A B D C P M ⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭.设存在F 满足要求，且AFAPλ=，则由AF AP λ=u u u r u u u r 得：()1,0,3F λλ-，面MBD 的一个法向量为231,,3n r ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，面FBD 的一个法向量为21,,33m λ⎛=- ⎪⎝⎭r ，由·0n m r r=，得421093λλ-++=，解得38λ=，故存在F ，使二面角F BD M --为直角，此时38AF AP =. 19．设数列{}n a 的前n 项和n S ，()*111,1,1n n a a S n N λλ+==+∈≠-，且123,2,3a a a +为等差数列{}n b 的前三项．（1）求数列{}{},n n a b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b 的前n 项和．【答案】（1）12n n a -=，；（2）()3525nn T n =-⋅+.【解析】试题分析：（1）依据题设条件建立方程求解；（2）借助题设条件运用错位相减法求解. 试题解析:（1）解法1：∵()11n n a S n N λ*+=+∈，∴()112n n a S n λ-=+≥ ∴，即()()11,2,10n n a a n λλ+=+≥+≠，又1211,11a a S λλ==+=+，∴数列{}n a 为以1为首项，公比为1λ+的等比数列， ∴()231a λ=+，∴()()241113λλ+=+++，整理得，得1λ=∴12n n a -=，()13132n b n n =+-=-解法2：∵()111,1n n a a S n Nλ*+==+∈，∴()2213211,111121a S a S λλλλλλλ=+=+=+=+++=++， ∴()2411213λλλ+=++++，整理得，得1λ=∴()11n n a S n N*+=+∈，∴()112n n a S n -=+≥∴1n n n a a a +-=，即()122n n a a n +=≥， 又121,2a a ==∴数列{}n a 为以1为首项，公比为2的等比数列，∴12n n a -=，()13132n b n n =+-=-（2）()1322n n n a b n -=-⋅∴()121114272322n n T n -=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅①∴()()12312124272352322n n n T n n -=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅②①-②得()12111323232322n n n T n --=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅--⋅()()12121332212n nn -⋅-=+⋅--⋅-整理得：()3525nn T n =-⋅+【考点】等差数列等比数列的通项前项和等有关知识的运用．20．已知椭圆(222:122x y E a a +=>的离心率6e ，右焦点(),0F c ，过点2,0a A c ⎛⎫⎪⎝⎭的直线交椭圆E 于,P Q 两点. （1）求椭圆E 的方程；（2）若点P 关于x 轴的对称点为M ，求证:,,M F Q 三点共线； (3) 当FPQ ∆面积最大时，求直线PQ 的方程.【答案】(1) 22162x y +=;(2)见解析;(3)630x ±-=.【解析】试题分析：(1)根据离心率可求得a 的值，从而可求得b 的值，进而可得结果；(2) 设()()1122,,,P x y Q x y ，只需用平面向量坐标法证明MF FQ P u u u r u u u r即可得结论；（3）设直线PQ 的方程为3x my =+，根据韦达定理、弦长公式、三角形面积公式将FPQ ∆面积表示为关于m 的函数式，换元后根据配方法求最值，取得最值时可以确定m 的值，进而可得结果.试题解析：(1)由3a a =⇒=∴椭圆E 的方程是22162x y +=. (2)由（1）可得()3,0A ，设直线PQ 的方程为()3y k x =-. 由方程组()221{623x y y k x +==-，得()222231182760k x k x k +-+-=，依题意()212230k∆=->，得k <<.设()()1122,,,P x y Q x y ，则()()()()2212121111222218276,,2,0,,,2,,2,3131k k x x x x F M x y MF x y FQ x y k k -+==-=-=-++u u u r u u u r Q ，由()()()()()()12211221222?32?3x y x y x k x x k x ---=----- ()221212221827652125?2?1203131k k k x x x x k k k ⎛⎫-⎡⎤=+--=--= ⎪⎣⎦++⎝⎭，得,,,MF FQ M F Q ∴u u u r u u u rP 三点共线.(3)设直线PQ 的方程为3x my =+. 由方程组221{623x y x my +==+，得()223630my my +++=，依题意()22361230m m ∆=-+>，得232m >.设()()1122,,,P x y Q x y ，则12121233631,.?332FPQm y y y y S AF y y m m ∆+=-=∴=-++====，令23t m =+，则212111,3929FPQS y y t m t ∆=-====+=，即26,m m ==FPQ S ∆最大，FPQS ∆∴最大时直线PQ 的方程为30x ±-=.【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用配方法法求三角形最值的. 21．已知33331111()1234f n n =++++L ，231()22g n n=-，*n N ∈． （1）当1,2,3n =时，试比较()f n 与()g n 的大小关系； （2）猜想()f n 与()g n 的大小关系，并给出证明．【答案】（1） (2)(2)f g <； (3)(3)f g <．（2）猜想()()f n g n ≤，证明见解析 【解析】【详解】（1） 当1n =时，(1)1f =，(1)1g =，所以(1)(1)f g =当2n =时，9(2)8f =，11(2)8g =，所以(2)(2)f g < 当3n =时，251(3)216f =，312(3)216g =，所以(3)(3)f g <（2） 由（１），猜想()()f n g n ≤，下面用数学归纳法给出证明 ①当1,2,3n =时，不等式显然成立 ②假设当(3)n k k =≥时不等式成立，即33332111131123422k k ++++<-L 那么，当1n k =+时，3231311(1)()(1)22(1)f k f k k k k +=+<-+++因为22332321113131()02(1)2(1)2(1)22(1)k k k k k k k k k+----=-=<++++ 所以231(1)(1)22(1)f k g k k +<-=++ 由①、②可知，对一切*n N ∈，都有()()f n g n ≤成立. 【考点】数学归纳法. 22．已知函数()ln f x x x =-（1）证明：对任意的1x ，()20,x ∈+∞，都有()212ln x f x x >；（2）设0m n >>，比较()()()f m m f n n m n+-+-与22mm n-的大小，并说明理由.. 【答案】（1）证明见解析；（2）()()()22f m m f n n mm nm n+-+>-+，理由见解析. 【解析】(1)分别对不等式两段构造函数，利用导数研究两函数的单调性和最值，证明()()max min G x f x <成立即可；(2) 先等价化简，再作差构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值即可判定 【详解】（1）证明：因为()1xf x x-'=，故()f x 在()0,1上是单调递增的， 在()1,+∞上是单调递减的，()()max 1ln111f x f ==-=-，()min 1f x =， 设()ln x G x x =，则()21ln xG x x-'=， 故()G x 在()0,e 上是单调递增的，在(),e +∞上是单调递减的，故()()max 11G x G e e==<， ()()max min G x f x <，所以()212ln x f x x >对任意的1x ，()20,x ∈+∞恒成立； （2）解：()()lnln ln 11mf m f n m n m n n m m n m n n n-+--==⋅---， 且2211m n m m n n m n=⨯++，0m n >>Q ，10m n ∴->，故只需比较ln m n 与1m n n m m n-+的大小， 令m t n =（1t >），设()()211ln ln 11t t t G t t t t t t--=-=-++则()()()()3222221112111t t t t t G t t t t t -+++-'=-=++， 因为1t >，所以()0G t '>，所以函数()G t 在()1,+∞上是增加的，故()()10G t G >=，所以()0G t >对任意1t >恒成立，即1ln m m n n m n m n->+，从而有()()()22f m m f n m m m nm n +-+>-+. 【点睛】利用导数研究不等式的解集或不等式恒成立问题时，关键步骤是合理构造函数，将不等式问题转化为求函数的最值问题.。