浙教版初中数学九年级上册 3.3圆心角(1)课件

┐
①
②
┐
③
④
由上分析，任意给圆心角，对应出现 四个量：
弧 圆心角
弦 弦心距
课题
圆心角
弧
之间的关系
弦 弦心距
也就是在 图2 中研究不同的圆
心角
、
，以及它们
所对的弧
,弦
,
弦的弦心距 OM、 之间的关
系。
猜 想：
图2
?
?
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圆的旋转不变性：
圆绕圆心旋转任意角α，都能 够与原来的圆重合。
注： α=180O 旋转， 说明圆是以圆心为对称中 心的中心对称图形。
如图，⊙O 和⊙O' 是等圆， 如果 ∠AOB= ∠ A'O'B'
那么 AB=?A'B' 、AB=? A'B' 、OM=?O'M',
为什么？
圆心角定理 : 在同圆或等圆中，相等的圆心角 所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心 距相等。
已知：如图5, ∠AOB = ∠A'OB' , OM、OM'
也就是在 图2 中研究不同的圆
心角
、
，以及它们
所对的弧
,弦
,
弦的弦心距 OM、 之间的关
系。
猜 想：
图2
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.
分别是弦 AB、弦 A'B' 的弦心距. 求证： AB=A'B' , AB= A'B' , OM=OM'
证明：将∠AOB连同AB绕圆心O旋转，
使射线OA与射线OA' 重合 . ∵
图5
∵
又根据弦心距的唯一性，得OM=OM′
另外，对于等圆的情况 ，因为两个等圆可 叠合成同圆，所以等圆问题可转化为同圆问题， 命题成立。
求证：AB=CD
分析： 联想到“角平分线的性质”，作弦心距OM、ON，
要证AB=CD ，只需证OM=ON
证明: 作
, 垂足分别为M 、 N 。
OM=ON P
AB=CD BE
. A M O
C ND F
思考：
如图，P点在圆上，PB=PD吗？ P点在圆内，AB=CD吗？
BE
M
P
.O
ND
F
BE
.M
CP
O
AN DF
条件
在同圆或等圆中 如果圆心角相等
结论
那么
圆心角所对的弧相等 圆心角所对的弦相等 圆心角所对的弦的弦心距相等
在同圆或等圆中 如果弧相等
那么
弧所对的圆心角相等 弧所对的弦相等 弧所对的弦的弦心距相等
在同圆或等圆中 如果弦相等
在同圆或等圆中 如果弦心距相等
那么
弦所对的圆心角相等 弦所对的弧（指劣弧）相等 弦的弦心距相等
图3
将∠AOB连同AB绕圆心O旋转，
使射线OA与射线OA' 重合 , 则：
1 . 射线OB与射线OB'重合吗?为什么?
2 . 点A与A' ，点B与B' 重合吗？ 为什么？
图4
3 . AB与A' B' ,弦AB与弦A' B'重合吗？为什么？
4 . OM 与OM' 呢？为什么？
于是，若∠AOB = ∠A'OB' ， 则 AB=A'B' , AB= A'B' , OM=OM' .
那么
弦心距所对应的圆心角相等 弦心距所对应的弧相等 弦心距所对应的弦相等
推论：(圆心角定理的逆定理)
在同圆或等圆中，如果两个圆心 角、两条弧、两条弦或两条弦的弦 心距中有一组量相等，那么它们所 对应的其余的各组量都分别相等。
例1 如图，已知点O是∠EPF 的平分线上一点，P点在圆外， 以O为圆心的圆与∠EPF 的两边分别相交于A、B和C、D。
顶点在圆心的角,叫圆心角，
如
, 圆心角
所对
的弧为 AB，所对的弦为AB；
过点O作弦AB的垂线, 垂足 为M, 则垂线段OM的长度,即圆
心到弦的距离，叫弦心距 , 图1
中，OM为AB弦的弦心距。
B M
O
A
图1
OM是唯一的。
1、判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。
①
②
③
④
2、下列图中弦心距做对了的是（ ）