倒易点阵与衍射

磁学与磁性材料
Xi’an Jiaotong University
几点讨论 （6)当X射线以固定的方向照射不动的单晶体时，有 可能倒易点与反射球不相交。这时可采用连续X射 线谱，此时将有一整套半径连续变化的反射球， 故倒易结点有机会与球面相交，这就是劳埃法。 （7）当用单色X射线照射单晶体时，常使X射线与晶 体某主轴垂直，并使晶体围绕此晶轴旋转或回 摆，此时，晶体的倒易点阵亦将围绕过原点并与 反射球相切的一根轴旋转或摆动，于是某些结点 将瞬时地与静止的反射球相交，这就是周转晶体 法，或回摆晶体衍射法。
Xi’an Jiaotong University
倒易点阵与衍射
西安交通大学 材料物理系 宋晓平
2008.07
1
Xi’an Jiaotong University
一、倒易点阵基础 倒易点阵是一种数学方法 利用这一概念，可使晶体几何的问题大为简化。 对于一般的衍射现象 其解释变得更加简单 理解亦可更加深入。 对于复杂的衍射效应， 它可以提供必要的门径。
若(S-SO）/ λ) 恰好为倒易矢量，即 (S-SO）/ λ=ha* +kb*+lc* 则有： Φ=2πδ/λ=2π（(S-SO）/ λ) · OA = 2π（ha*+kb*+lc*）·（pa+qb+rc） = 2π(hp+kq+lr ) 为2π的整数倍，满足衍射加强条件。 因此： (S-SO）/ λ=ha*+kb*+lc*=Hhkl 是获 得衍射的必要条件的矢量方程。式 中hkl 为整数。
布拉格衍射方程的推导： （s-s0）/λ=(s sinθ+s0sin θ)/λ =(2 sin θ)/λ=H=1/d 故可得布拉格方程： 2d sin θ= λ
1
Hhkl
2
t
O
θ
m
A θ
θ n
s t s - s0 s0
磁学与磁性材料
Xi’an Jiaotong University
三、厄瓦尔（Ewald）图解HFra bibliotekPhkl
(hkl)
O
X
图1.晶体点阵中的晶面与倒易点 阵中倒易矢量的关系
Xi’an Jiaotong University
一、倒易点阵基础
从原点到Phkl点的 矢量称为倒易矢 量，其大小为： Hhkl=k/dhkl
式中k位比例系数，在多 数场合下取作1，但很多 时候亦可令之等于X射线 的波长。
磁学与磁性材料
磁学与磁性材料
Xi’an Jiaotong University
一、倒易点阵基础 真点阵中的一组晶面 （hkl），在倒易空间 中将用一个点Phkl表示
点子与晶面有倒易关 系，这种关系表现为： 点子取在（hkl）的法线 上，且Phkl点到倒易点 阵原点的距离与晶面间 距成反比。
磁学与磁性材料
Z
Y N
δ
c*
c b γ (001)
O
a
a*
图2.晶体点阵基矢与倒易 点阵基矢的关系
磁学与磁性材料
Xi’an Jiaotong University
倒易矢量的数学定义 从以上定义可知： （1）如果正点阵晶轴相互垂直，则 倒易轴亦相互垂直且平行于晶轴。 （2）倒易矢量可以表征真点阵（hkl） 晶面的方位，而H（hkl）的长度可以 表示（hkl）的晶面间距dhkl.
=（a×b）· c =（b×c）· a =（c×a）· b
磁学与磁性材料
b*
δ
c b γ (001) a
a*
图2.晶体点阵基矢与倒易 点阵基矢的关系
Xi’an Jiaotong University
倒易点阵的应用举例
2、晶面间距 Hhkl=1/dhkl，两边平方得： H2=1/d2=H · H=（ha*+kb*+lc*）·（ha*+kb*+lc*）= =h2a*2+k2b*2+l2c*2+2hk(a* · b*)+2kl(b* ·c*)+2kl(b* ·c*) 对立方晶系 a*2=b*2=c*2 ，(a* · b*)=(b* ·c*)=(b* ·c*)=0 代入上式得： 1/d2=h2a*2+k2a*2+l2a*2=(h2+k2+l2)a*2= =(h2+k2+l2) / a2 故: d= a / √ h2+k2+l2 对其他晶系，把参数带入公式中，可求出晶面间距。
磁学与磁性材料
d P Hhk θ t 2 θ l A θ O t b
图6.在倒易空间中反射的几何条件 a—入射线；b—反射球； C—反射线；d—反射线方向。
c
R
a B
θ 1
Xi’an Jiaotong University
几点讨论
（1）反射球是立体 的，所以真实图像 时不同的倒易点阵 与不同的球面相 交，空间衍射点分 布在不同半径的圆 上。但实际记录往 往是二维的。 如图反射球与 倒易点阵结点相交 的投影。
劳埃衍射方程
a·(S-S0)=a(cosα-cos α0)=hλ
b·(S-S0)=b (cos β -cos β0)= kλ c· (S-S0)=c(cos γ -cos γ0)=lλ
磁学与磁性材料
Xi’an Jiaotong University
二、衍射方程
(S-SO）/ λ=ha*+kb*+lc*=Hhkl
磁学与磁性材料
Xi’an Jiaotong University
倒易矢量的数学定义
a*·a=c*·c=b*·b=1 同文字的倒易矢量与正矢量的 数量积为1的图形解释见图2. 从图2可知，c cosδ是（001） 面的面间距d001，因此： c*·c=c* c cosδ=c*d001=1 可得 c*=1/d001 b*
磁学与磁性材料
Xi’an Jiaotong University
倒易点阵的图形表示
图3是用平面图像表明立方 系晶体与其倒易点阵的关 系 可以看出，H矢量的长度 等于其对应晶面的间距的 倒数，且与晶面相垂直。 必须指出，像nh,nk,nl(n 为整数)这样的倒易阵点， 对应着与（hkl）平行且间 距为其1/n的点阵面。如图 3中的H220平行于H110，且 是H110的两倍。
磁学与磁性材料
Xi’an Jiaotong University
一、倒易点阵基础 晶体由质点按一定的规律排列而成，如果将这种 周期排列规律抽象出来，就是空间点阵。 将空间点阵（真实点阵或实点阵）经过倒易变 换，就得到倒易点阵。 倒易点阵的外形也很像点阵，但其上的结点并不 代表质点，而是对应着真点阵的一组晶面。
Z
Y N
H
Phkl
(hkl)
O
X
图1.晶体点阵中的晶面与倒易点 阵中倒易矢量的关系
Xi’an Jiaotong University
倒易矢量的数学定义
设真点阵的基本平移矢量为 a b c
设倒易点阵的基本平移矢量为 a* b* c* a*·b=a*·c=b*·a=b*·c=c*·a=c*·b=0 不同文字的倒易矢量与正矢量的数量积为零，其涵义为 a*⊥b及c; c* ⊥a及b; b*⊥a及c。 a*·a=c*·c=b*·b=1 同文字的倒易矢量与正矢量的数量积为1.
磁学与磁性材料
1
Hhkl
2
t
O
θ
m
A θ
θ n
s t s - s0 s0
图5、衍射关系说明图 1-入射线； 2-衍射线
Xi’an Jiaotong University
二、衍射方程
过 O 作垂直于 SO 的波阵面得 m 点；又过 A 作垂直于 S 的 波阵面得 n 点，则 O 和 A 两个原子的散射线在 S 方向 上的程差为：
磁学与磁性材料
d P a B θ 1 2θ A t b
图6.在倒易空间中反射的几何条件 a—入射线；b—反射球； C—反射线；d—反射线方向。
c θ θ
R t
Hhkl O
Xi’an Jiaotong University
三、厄瓦尔（Ewald）图解
将倒易点阵置于反射球中， 就可将衍射和倒易点阵联系 起来。 如图6，以O点作为倒易点阵 原点，而入射线的方向BO与 倒易点阵的基本平移矢量一 致。在这种情况下，所有落 到球面上的结点均处于射线 束的反射位置。例如有一个 倒易结点落到球面的P点 处，则反射线的方向将与反 射球的中心A到P点的连线相 平行。
磁学与磁性材料
Xi’an Jiaotong University
几点讨论
（4）理想晶体的倒易点阵是规则排列阵点。但当晶体为薄 片状时，由于在某个方向上的原子数目过少，其倒易点阵 将演化成细圆棒；而针状晶体的倒易点阵将由一组平行的 平面组成。如果晶体在三维方向上原子数目都很少，其倒 易结点将变成漫散的体积。于是，这时的衍射线条会宽化。 （5）如果一个相当大的晶体中出现了一些针状或片状的不 均匀区域，且二者具有共格关系（如铝合金中的沉淀GP 区），这时将在高密度的倒易结点处出现一些薄片状或细 圆棒状的异常散射区，在X射线衍射花样上将可看到通过 某些衍射斑点的强度较低的条痕。有时反射球面和倒易点 虽不相遇，但却通过这些异常散射区域，则微弱的条痕将 单独出现在衍射花样中。
厄瓦尔（Ewald）图解是衍射条件的几何表达法。 布拉格方程为2dsin θ=λ,并令Hhkl=k/dhkl中的比例 系数为λ，则Hhkl=λ/dhkl,代入布拉格方程得： sin θhkl=Hhkl/2 上式表明，某族反射面（hkl）所对应的布拉格角 的正弦等于其倒易矢量长度之半。可以用两维简图 来表示上述关系。
磁学与磁性材料
Xi’an Jiaotong University