2016年上海中考数学试卷(含答案)
AE BD ；
（1）求证： AD CE ；
（2）如果点 G 在线段 DC 上（不与点 D 重合） ，且
AG AD ，求证：四边形 AGCE 是平行四边形；
24. 如图，抛物线 y ax bx 5 （ a 0 ）经过点 A(4, 5) ，与 x 轴的负半轴交于点 B ，
BC 12 ， 点 E 是边 AB 上的动点，点 F 是射线 CD 上一点，射线 ED 和射线 AF 交于点 G ，且 AGE DAB ； （1）求线段 CD 的长；
（2）如果 AEG 是以 EG 为腰的等腰三角形，求线段 AE 的长； （3）如果点 F 在边 CD 上（不与点 C 、 D 重合） ，设 AE x ， DF y ，求 y 关于 x 的 函 数解析式，并写出 x 的取值范围；
D.
1 a b 2
6. 如图，在 Rt ABC 中， C 90 ， AC 4 ，
BC 7 ，点 D 在边 BC 上， CD 3 ，⊙ A 的半
径长为 3，⊙ D 与⊙ A 相交，且点 B 在⊙ D 外， 那么⊙ D 的半径长 r 的取值范围是（ A. 1 r 4 C. 1 r 8 二. 填空题 7. 计算： a a
C分 别落在点 A 、 C 处，如果点 A 、 C 、 B 在同一条直线上，那么 tan ABA 的值为
三. 解答题
19. 计算： | 3 1| 4 2 12 ( ) ；
1
1 3
2
20. 解方程：
1 4 2 1； x2 x 4
21. 如图，在 Rt ABC 中， ACB 90 ， AC BC 3 ，点 D 在边 AC 上，且
2
B. y ( x 1) 2
2
C. y x 1
2
D. y x 3
4. 某校调查了 20 名男生某一周参加篮球运动的次数，调查结果如表所示，那么这 20 名男 生该周参加篮球运动次数的平均数是（ 次数 人数 A. 3 次 B. 3.5 次 2 2 ） 3 2 C. 4 次 4 10 5 6 D. 4.5 次
k （ k 0 ），如果在这个函数图像所在的每一个象限内， y 的值 x
随着 x 的值增大而减小，那么 k 的取值范围是 14. 有一枚材质均匀的正方体骰子，它的六个面上分别有 1 点、2 点、 、6 点的标记， 掷 一次骰子，向上的一面出现的点数是 3 的倍数的概率是 15. 在 ABC 中，点 D 、 E 分别是 AB 、 AC 的中点，那么 ADE 的面积与 ABC 的面 积的比是 16. 今年 5 月份有关部门对计划去上海迪士尼乐园的部分市民的前往方式进行调查，图 1 和图 2 是收集数据后绘制的两幅不完整统计图，根据图中提供的信息，那么本次调查的对 象中选择公交前往的人数是
3
）
B. 2 r 4 D. 2 r 8
8. 函数 y 9. 方程
3 的定义域是 x2
x 1 2 的解是
10. 如果 a
1 ， b 3 ，那么代数式 2a b 的值为 2
2 x 5 的解集是 x 1 0
2
11. 不等式组
12. 如果关于 x 的方程 x 3 x k 0 有两个相等的实数根，那么实数 k 的值是 13. 已知反比例函数 y
17. 如图，航拍无人机从 A 处测得一幢建筑物顶部 B 的仰角为 30°，测得底部 C 的俯角为 60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离 AD 为 90 米，那么该建筑物的高度 BC 约为 米（精确到 1 米，参考数据： 3 1.73 ）
18. 如图，矩形 ABCD 中， BC 2 ，将矩形 ABCD 绕点 D 顺时针旋转 90°，点 A 、
2
与 y 轴交于点 C ，且 OC 5OB ，抛物线的顶点为 D ； （1）求这条抛物线的表达式； （2）联结 AB 、 BC 、 CD 、 DA ，求四边形 ABCD 的面积； （3）如果点 E 在 y 轴的正半轴上，且 BEO ABC ，求点 E 的坐标；
25. 如图所示，梯形 ABCD 中， AB ∥ DC ， B 90 ， AD 15 ， AB 16 ，
2016 年上海中考数学试卷
一. 选择题 1. 如果 a 与 3 互为倒数，那么 a 是（ A. 3 B. 3
2
）
C.
1 3
） C. ab
2
D.
1 3
D. 3ab ）
2
2. 下列单项式中，与 a b 是同类项的是（ A. 2a b
2
2
B. a b2 2来自3. 如果将抛物线 y x 2 向下平移 1 个单位，那么所得新抛物线的表达式是（ A. y ( x 1) 2
5. 已知在 ABC 中， AB AC ， AD 是角平分线，点 D 在边 BC 上，设 BC a ，
AD b ， 那么向量 AC 用向量 a 、 b 表示为（
A.
） C.
1 ab 2
B.
1 a b 2
1 ab 2
EF 表
示 B 种机器人的搬运量 yB （千克）与时间 x （时）的函数图像，根据图像提供的信息，解 答下列问题： （1）求 yB 关于 x 的函数解析式； （2）如果 A 、 B 两种机器人各连续搬运 5 个小时， 那么 B 种机器人比 A 种机器人多搬运了多少千克？
AB AC ，点 D 在边 BC 上， AE ∥ BC ， 23. 已知，如图，⊙ O 是 ABC 的外接圆，
AD 2CD ， DE AB ，垂足为点 E ，联结 CE ，求：
（1）线段 BE 的长；（2） ECB 的余切值；
22. 某物流公司引进 A 、 B 两种机器人用来搬运某种货物，这两种机器人充满电后可以连 续 搬运 5 小时， A 种机器人于某日 0 时开始搬运，过了 1 小时， B 种机器人也开始搬运，如 图，线段 OG 表示 A 种机器人的搬运量 y A （千克）与时间 x （时）的函数图像，线段
上海市奉贤区2016届中考数学二模试卷附答案解析
2016年上海市奉贤区中考数学二模试卷一、选择题：（本大题共6题.每题4分.满分24分）1．如果两个实数a、b满足a+b=0.那么a、b一定是（）A．都等于0 B．一正一负 C．互为相反数D．互为倒数2．若x=2.y=﹣1.那么代数式x2+2xy+y2的值是（）A．0 B．1 C．2 D．4．3．一次函数y=﹣2x+3的图象不经过的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．一组数据3.3.2.5.8.8的中位数是（）A．3 B．4 C．5 D．8．5．下列说法中.正确的是（）A．关于某条直线对称的两个三角形一定全等B．两个全等三角形一定关于某条直线对称C．面积相等的两个三角形一定关于某条直线之间对称D．周长相等的两个三角形一定关于某条直线之间对称6．已知⊙O1与⊙O2外离.⊙O1的半径是5.圆心距O1O2=7.那么⊙O2的半径可以是（）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题：（本大题共12题.每题4分.满分48分）7．化简： = ．8．因式分解：a2﹣a= ．9．函数y=的定义域是．10．一个不透明的袋子中装有若干个除颜色外形状大小完全相同的小球．如果其中有2个白球n个黄球.从中随机摸出白球的概率是.那么n= ．11．不等式组的解集是．12．已知反比例函数.在其图象所在的每个象限内.y的值随x值的增大而（填“增大”或“减小”）．13．直线y=kx+b（k≠0）平行于直线且经过点（0.2）.那么这条直线的解析式是．14．小明在高为18米的楼上看到停在地面上的一辆汽车的俯角为60°.那么这辆汽车到楼底的距离是．（结果保留根号）15．如图.在△ABC中.点D在边BC上.且DC=2BD.点E是边AC的中点.设.那么= ；（用不的线性组合表示）16．四边形ABCD中.AD∥BC.∠D=90°.如果再添加一个条件.可以得到四边形ABCD是矩形.那么可以添加的条件是．（不再添加线或字母.写出一种情况即可）17．如图.在Rt△ABC中.∠ACB=90°.AD是边BC边上的中线.如果AD=BC.那么cot∠CAB的值是．18．如图.在△ABC中.∠B=45°.∠C=30°.AC=2.点D在BC上.将△ACD沿直线AD翻折后.点C落在点E处.边AE交边BC于点F.如果DE∥AB.那么的值是．三、解答题：（本大题共7题.满分78）19．计算：．20．解方程：．21．已知.如图.在Rt△ABC中.∠ACB=90°.AB=4.AD是∠BAC的平分线.过点D作DE⊥AD.垂足为点D.交AB于点E.且．（1）求线段BD的长；（2）求∠ADC的正切值．22．今年3月5日.某中学组织六、七年级200位学生参与了“走出校门.服务社会”的活动.该校某数学学习小组的同学对那天参与打扫街道、敬老院服务和社区文艺演出的三组人数进行分别统计.部分数据如图所示：（1）参与社区文艺演出的学生人数是人.参与敬老院服务的学生人数是人；（2）该数学学习小组的同学还发现.六、七年级参与打扫街道的学生人数分别比参与敬老院服务的学生人数多了40%和60%.求参与敬老院服务的六、七年级学生分别有多少人？23．已知：如图.梯形ABCD中.DC∥AB.AD=BC=DC.AC、BD是对角线.E是AB延长线上一点.且∠BCE=∠ACD.联结CE．（1）求证：四边形DBEC是平行四边形；（2）求证：AC2=AD•AE．24．已知在平面直角坐标系xOy（如图）中.抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1.0）与点C（3.0）.与y轴交于点B.点P为OB上一点.过点B作射线AP的垂线.垂足为点D.射线BD交x轴于点E．（1）求该抛物线的解析式；（2）连结BC.当P点坐标为（0.）时.求△EBC的面积；（3）当点D落在抛物线的对称轴上时.求点P的坐标．25．如图.边长为5的菱形ABCD中.cosA=.点P为边AB上一点.以A为圆心.AP为半径的⊙A与边AD交于点E.射线CE与⊙A另一个交点为点F．（1）当点E与点D重合时.求EF的长；（2）设AP=x.CE=y.求y关于x的函数关系式及定义域；（3）是否存在一点P.使得=2？若存在.求AP的长；若不存在.请说明理由．2016年上海市奉贤区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题.每题4分.满分24分）1．如果两个实数a、b满足a+b=0.那么a、b一定是（）A．都等于0 B．一正一负 C．互为相反数D．互为倒数【考点】实数的运算．【专题】计算题；实数．【分析】利用相反数的性质判断即可．【解答】解：由a+b=0.得到a.b互为相反数.故选C【点评】此题考查了实数的运算.熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．若x=2.y=﹣1.那么代数式x2+2xy+y2的值是（）A．0 B．1 C．2 D．4．【考点】代数式求值．【分析】首先利用完全平方公式的逆运算.然后代入即可．【解答】解：x2+2xy+y2=（x+y）2=（2﹣1）2=1.故选B．【点评】本题主要考查了代数式求值.利用完全平方公式的逆运算.然后代入是解答此题的关键．3．一次函数y=﹣2x+3的图象不经过的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】一次函数的性质．【分析】首先确定k.k＞0.必过第二、四象限.再确定b.看与y轴交点.即可得到答案．【解答】解：∵y=﹣2x+3中.k=﹣2＜0.∴必过第二、四象限.∵b=3.∴交y轴于正半轴．∴过第一、二、四象限.不过第三象限.故选：C．【点评】此题主要考查了一次函数的性质.直线所过象限.受k.b的影响．4．一组数据3.3.2.5.8.8的中位数是（）A．3 B．4 C．5 D．8．【考点】中位数．【分析】根据中位数计算：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列.如果数据的个数是奇数.则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数.则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．【解答】解：把这组数据按照从小到大的顺序排列为：2.3.3.5.8.8.∴这组数据的中位数是=4.故选B．【点评】本题考查了中位数的定义.解题的关键是牢记定义.此题比较简单.易于掌握．5．下列说法中.正确的是（）A．关于某条直线对称的两个三角形一定全等B．两个全等三角形一定关于某条直线对称C．面积相等的两个三角形一定关于某条直线之间对称D．周长相等的两个三角形一定关于某条直线之间对称【考点】轴对称的性质．【分析】认真阅读各选项提供的已知条件.根据轴对称的性质对个选项逐一验证.其中选项A是正确的．【解答】解：A、关于某条直线对称的两个图形能够完全重合.所以关于某条直线对称的两个三角形是全等三角形.正确；B、全等三角形不一定关于某直线对称.错误；C、面积相等的两个三角形不一定关于某条直线之间对称.错误；D、周长相等的两个三角形不一定关于某条直线之间对称.错误；故选A【点评】主要考查了轴对称的性质；找着每个选项正误的具体原因是正确解答本题的关键．6．已知⊙O1与⊙O2外离.⊙O1的半径是5.圆心距O1O2=7.那么⊙O2的半径可以是（）A．4 B．3 C．2 D．1 【考点】圆与圆的位置关系．【分析】由⊙O1与⊙O2外离.⊙O1的半径是5.圆心距O1O2=7.可求得⊙O2的半径＜2.继而求得答案．【解答】解：∵⊙O1与⊙O2外离.圆心距O1O2=7.∴⊙O1与⊙O2的半径和＜7.∵⊙O1的半径是5.∴⊙O2的半径＜2.∴⊙O2的半径可以是：1．故选D．【点评】此题考查了圆与圆的位置关系．注意掌握两圆位置关系与圆心距d.两圆半径R.r的数量关系间的联系是解此题的关键．二、填空题：（本大题共12题.每题4分.满分48分）7．化简： = 4．【考点】二次根式的性质与化简．【分析】根据二次根式的性质.化简即可．【解答】解：.故答案为：4．【点评】本题考查了二次根式的性质.解决本题的关键是熟记二次根式的性质．8．因式分解：a2﹣a= a（a﹣1）．【考点】因式分解-提公因式法．【分析】直接提取公因式a.进而分解因式得出即可．【解答】解：a2﹣a=a（a﹣1）．故答案为：a（a﹣1）．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式.正确找出公因式是解题关键．9．函数y=的定义域是x≠1．【考点】函数自变量的取值范围．【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得.x﹣1≠0.解得x≠1．故答案为：x≠1．【点评】本题考查了函数自变量的范围.一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时.自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时.考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时.被开方数非负．10．一个不透明的袋子中装有若干个除颜色外形状大小完全相同的小球．如果其中有2个白球n个黄球.从中随机摸出白球的概率是.那么n= 1 ．【考点】概率公式．【分析】根据有2个白球n个黄球.从中随机摸出白球的概率是.列出等式解答即可．【解答】解：∵有2个白球n个黄球.从中随机摸出白球的概率是.∴=.解得n=1；故答案为：1．【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能.而且这些事件的可能性相同.其中事件A 出现m种结果.那么事件A的概率P（A）=．11．不等式组的解集是x＞3 ．【考点】解一元一次不等式组．【分析】首先解每个不等式.两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．【解答】解：.解①得x ＞3.解②得x ＞﹣4． 则不等式组的解集是：x ＞3．故答案是：x ＞3．【点评】本题考查的是一元一次不等式组的解.解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解.若x ＞较小的数、＜较大的数.那么解集为x 介于两数之间．12．已知反比例函数.在其图象所在的每个象限内.y 的值随x 值的增大而 减小 （填“增大”或“减小”）．【考点】反比例函数的性质．【分析】根据反比例函数的性质.k=3＞0.y 随x 的增大而减小．【解答】解：反比例函数y=中.k=3＞0.故每个象限内.y 随x 增大而减小．故答案为：减小．【点评】本题考查了反比例函数的性质.应注意y=中k 的取值．13．直线y=kx+b （k≠0）平行于直线且经过点（0.2）.那么这条直线的解析式是 y=x+2 ． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】根据两直线平行的问题得到k=.然后把（0.2）代入y=x+b.求出b 的值即可．【解答】解：根据题意得k=.把（0.2）代入y=x+b 得b=2.所以直线解析式为y=x+2．故答案为y=x+2．【点评】本题考查了两直线平行或相交的问题：直线y=k 1x+b 1（k 1≠0）和直线y=k 2x+b 2（k 2≠0）平行.则k 1=k 2；若直线y=k 1x+b 1（k 1≠0）和直线y=k 2x+b 2（k 2≠0）相交.则交点坐标满足两函数的解析式．也考查了待定系数法求函数的解析式．14．小明在高为18米的楼上看到停在地面上的一辆汽车的俯角为60°.那么这辆汽车到楼底的距离是6米．（结果保留根号）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】由俯角的正切值和楼高可求得这辆汽车到楼底的距离．【解答】解：由于楼高18米.塔顶看停在地面上的一辆汽车的俯角为60°.则这辆汽车到楼底的距离为=6（米）．故答案是：6米．【点评】本题考查俯角的定义.要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．15．如图.在△ABC中.点D在边BC上.且DC=2BD.点E是边AC的中点.设.那么=﹣；（用不的线性组合表示）【考点】*平面向量．【分析】由在△ABC中.点D在边BC上.且DC=2BD.点E是边AC的中点.设.可表示出与.然后利用三角形法则求解即可求得答案．【解答】解：∵DC=2BD.点E是边AC的中点.设.∴==. ==.∴=﹣=﹣．故答案为：﹣．【点评】此题考查了平面向量的知识．注意掌握三角形法则的应用是解此题的关键．16．四边形ABCD中.AD∥BC.∠D=90°.如果再添加一个条件.可以得到四边形ABCD是矩形.那么可以添加的条件是AD=BC ．（不再添加线或字母.写出一种情况即可）【考点】矩形的判定．【分析】添加AD=BC.再有条件AD∥BC可得四边形ABCD是平行四边形.再加上条件∠D=90°可根据有一个角是直角的平行四边形是矩形判定四边形ABCD是矩形．【解答】解：添加AD=BC.∵AD∥BC.AD=BC.∴四边形ABCD是平行四边形.∵∠D=90°.∴四边形ABCD是矩形.故答案为：AD=BC．【点评】此题主要考查了矩形的判定.关键是掌握有一个角是直角的平行四边形是矩形．17．如图.在Rt△ABC中.∠ACB=90°.AD是边BC边上的中线.如果AD=BC.那么cot∠CAB的值是．【考点】解直角三角形；含30度角的直角三角形．【专题】计算题．【分析】设AD=BC=2x.利用中线定义得到CD=BD=x.则可根据勾股定理表示出AC.然后利用余切的定义求解．【解答】解：设AD=BC=2x.则CD=BD=x.在Rt△ACD中.AC===x.在Rt△ABC中.cot∠CAB===．故答案为．【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中.由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．解决本题的关键是灵活运用勾股定理和锐角三角函数的定义．18．如图.在△ABC中.∠B=45°.∠C=30°.AC=2.点D在BC上.将△ACD沿直线AD翻折后.点C落在点E处.边AE交边BC于点F.如果DE∥AB.那么的值是+1 ．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】作AM⊥BC垂足为M.先求出AM、BM、MC.再证明CA=CF.由此即可解决问题．【解答】解：如图作AM⊥BC垂足为M.∵△ADE是由△ADC翻折.∴∠C=∠E=30°.∵AB∥DE.∴∠E=∠BAF=30°.∴∠AFC=∠B+∠BAF=75°.∴∠CAF=180°﹣∠AFC﹣∠C=75°.∴∠CAF=∠CFA=75°.∴CA=CF=2.在RT△AMC中.∵∠C=30°.AC=2.∴AM=1.MC=.∵∠B=∠BAM=45°.∴MB=AM=1.∴BC=1+.BF=1+﹣2=﹣1∴==+1． 故答案为+1． 【点评】本题考查翻折变换、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识.添加辅助线构造直角三角形是解决问题的关键.解题时要善于发现特殊三角形.属于中考常考题型．三、解答题：（本大题共7题.满分78）19．计算：．【考点】实数的运算；分数指数幂；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【专题】计算题；实数．【分析】原式第一项利用零指数幂法则计算.第二项利用负整数指数幂法则计算.第三项利用立方根定义计算.最后一项利用绝对值的代数意义化简.计算即可得到结果．【解答】解：原式=1﹣﹣2+2﹣=1﹣．【点评】此题考查了实数的运算.熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．解方程：．【考点】解分式方程．【专题】计算题．【分析】观察可得最简公分母是（x 2﹣4）.方程两边乘最简公分母.可以把分式方程转化为整式方程求解．【解答】解：方程的两边同乘（x 2﹣4）.得（x+2）2﹣（x ﹣2）=16.解得x 1=2.x 2=﹣5．检验：把x=2代入（x 2﹣4）=0.所以x=2是原方程的增根．把x=﹣5代入（x 2﹣4）=21≠0.∴原方程的解为x=﹣5．【点评】本题考查了分式方程的解法.（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”.把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．21．已知.如图.在Rt△ABC中.∠ACB=90°.AB=4.AD是∠BAC的平分线.过点D作DE⊥AD.垂足为点D.交AB于点E.且．（1）求线段BD的长；（2）求∠ADC的正切值．【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形．【分析】（1）根据余角的性质得到∠CAD=∠DAB.推出∠BAD=∠BDE.得到△BED∽△BDA.由相似三角形的性质得到BD2=BE•BA.即可得到结论；（2）由余角的性质得到∠ADE=∠AED.根据余角的性质得到.根据三角形函数的定义即可得到结论．【解答】解：（1）∵DE⊥AD.∴∠BDE=∠CAD=90°﹣∠CDA.∵∠CAD=∠DAB.∴∠BAD=∠BDE.∵∠B=∠B.∴△BED∽△BDA.∴BD2=BE•BA.∵AB=4..∴BE=1.∴BD2=1×4=4.∴BD=2；（2）.∵DE⊥AD.∴∠AED=90°﹣∠DAE.∵∠ADE=90°﹣∠CAD.∵∠CAD=∠DAB.∴∠ADE=∠AED.∵△BED∽△BDA.∴.∴tan∠ADE=tan∠AED===2．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质.三角函数的定义.熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．22．今年3月5日.某中学组织六、七年级200位学生参与了“走出校门.服务社会”的活动.该校某数学学习小组的同学对那天参与打扫街道、敬老院服务和社区文艺演出的三组人数进行分别统计.部分数据如图所示：（1）参与社区文艺演出的学生人数是50 人.参与敬老院服务的学生人数是60 人；（2）该数学学习小组的同学还发现.六、七年级参与打扫街道的学生人数分别比参与敬老院服务的学生人数多了40%和60%.求参与敬老院服务的六、七年级学生分别有多少人？【考点】扇形统计图．【分析】（1）用学生总数乘以参与社区文艺演出的学生所占百分比得到参与社区文艺演出的学生人数；用学生总数分别减去打扫街道、社区文艺演出的人数得到参与敬老院服务的学生人数；（2）设六年级参与敬老院服务的学生有x人.则七年级参与敬老院服务的学生有（60﹣x）人.根据六、七年级参与打扫街道总人数为90人列出方程求解可得．【解答】解：（1）参与社区文艺演出的学生人数是：200×25%=50人.参与敬老院服务的学生人数是：200﹣90﹣50=60人；（2）设六年级参与敬老院服务的学生有x人.则七年级参与敬老院服务的学生有（60﹣x）人.根据题意.得：（1+40%）x+（1+60%）（60﹣x）=90.解得：x=30.答：六年级参与敬老院服务的学生有30人.则七年级参与敬老院服务的学生有30人．【点评】本题主要考查读扇形统计图和列方程解决实际问题的能力.根据扇形统计图读出有用信息依据计算公式计算是基础.抓住相等关系列方程解决实际问题是关键．23．已知：如图.梯形ABCD中.DC∥AB.AD=BC=DC.AC、BD是对角线.E是AB延长线上一点.且∠BCE=∠ACD.联结CE．（1）求证：四边形DBEC是平行四边形；（2）求证：AC2=AD•AE．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的判定．【专题】证明题．【分析】（1）由等腰梯形的性质得出∠ADC=∠BCD.由SAS证明△ADC≌△BCD.得出∠ACD=∠BDC.由等腰三角形的性质和已知条件得出∠BCE=∠CBD.证出BD∥CE.即可得出结论；（2）证出CE=AC.证明△EAC∽△EBC.得出对应边成比例.即可得出结论．【解答】证明：（1）∵梯形ABCD中.DC∥AB.AD=BC=DC.∴∠ADC=∠BCD.在△ADC和△BCD中..∴△ADC≌△BCD（SAS）.∴∠ACD=∠BDC.∵BC=DC.∴∠CBD=∠BDC.∴∠CBD=∠ACD.∵∠BCE=∠ACD.∴∠BCE=∠CBD.∴BD∥CE.又∵DC∥AB.∴四边形DBEC是平行四边形；（2）由（1）得：四边形DBEC是平行四边形.∴∠E=∠BDC.∵DC∥AB.∴∠BAC=∠ACD.∵∠BCE=∠ACD.∴∠BAC=∠BCE=∠E.∴CE=AC.又∵∠B=∠B.∴△EAC∽△EBC.∴.即.∴AC2=AD•AE．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰梯形的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质.证明三角形相似得出比例式是解决问题（2）的关键．24．已知在平面直角坐标系xOy（如图）中.抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1.0）与点C（3.0）.与y轴交于点B.点P为OB上一点.过点B作射线AP的垂线.垂足为点D.射线BD交x轴于点E．（1）求该抛物线的解析式；（2）连结BC.当P点坐标为（0.）时.求△EBC的面积；（3）当点D落在抛物线的对称轴上时.求点P的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）将A、C点的坐标代入抛物线解析式.得到关于b、c的二元一次方程.解方程即可得出结论；（2）由∠APO、∠AED均匀∠PAO互余得出∠APO=∠AED.再结合∠AOP=∠BOE=90°可得出△AOP∽△BOE.由相似三角形的性质得出.代入数据可得出OE的长度.结合C点坐标可得出CE 长度.将CE、OB的长度代入三角形的面积公式.即可得出结论；（3）令对称轴与x轴的交点为H.过点B作BF⊥直线x=1于点F.先证△ADH∽△DBF.再由相似三角形的性质找出.设DH=a.由此可得出关于a的一元二次方程.解方程可求出a的值.再根据可得出OP的长度.从而得出P点的坐标．【解答】解：（1）将点A（﹣1.0）.点C（3.0）的坐标代入抛物线解析式.得：.解得：．故该抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．（2）∵BD⊥AD.∴∠ADE=90°.∴∠PAO+∠APO=∠PAO+∠AED=90°.∴∠APO=∠AED=∠BEO.又∵∠AOP=∠BOE=90°.∴△AOP∽△BOE.∴．令x=0.y=3.即点B的坐标为（0.3）.∵点A（﹣1.0）.点C（3.0）.点P（0.）.∴OE=2.∴CE=OC﹣OE=3﹣2=1．S△EBC=CE•OB=．（3）抛物线对称轴直线x=﹣=1.令对称轴与x轴的交点为H.过点B作BF⊥直线x=1于点F.如图所示．∵DH⊥x轴.BF⊥FD.∴∠AHD=∠DFB=90°.∵∠BDF+∠BDA+∠ADH=180°.∠BDA=90°.∠BDF+∠DBF=90°.∴∠ADH=∠DBF.∴△ADH∽△DBF.∴．设DH=a．∵AH=2.DF=BO﹣DH=3﹣a.FB=1.∴有.解得：a1=1.a2=2．又∵.∴OP=或1．故点P的坐标为（0.1）或（0.）．【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定及性质、解一元二次方程.解题的关键：（1）待定系数法求解析式的系数；（2）找出线段CE的长度；（3）由相似三角形的性质找出关于a的一元二次方程．本题属于中档题.（1）难度不大；（2）（3）有点难度．解决该类问题.利用相似三角形的性质找出比例关系.解方程即可得出结论．25．如图.边长为5的菱形ABCD中.cosA=.点P为边AB上一点.以A为圆心.AP为半径的⊙A与边AD交于点E.射线CE与⊙A另一个交点为点F．（1）当点E与点D重合时.求EF的长；（2）设AP=x.CE=y.求y关于x的函数关系式及定义域；（3）是否存在一点P.使得=2？若存在.求AP的长；若不存在.请说明理由．【考点】圆的综合题．【分析】（1）由平行四边形的性质得到∠AEF=DAB.再利用cos∠DAB=cos∠AEF==即可求解；（2）由平行四边形的性质得到∠CGD=∠BAD.再利用勾股定理即可求解；（3）由平行四边形的性质得到∠GCE=∠HAE=∠DAB.利用cosA=计算即可．【解答】解：（1）过点A作AH⊥EF于点H.∴EF=2EH.∵点E与点D重合.∴EF∥AB.∴∠AEF=DAB.∴cos∠DAB=cos∠AEF==.∵AE=5.∴EH=3.∴EF=6；（2）如图.. . 过点C 作CG⊥AD .在Rt△CGD 中.cos∠CGD=cos∠BAD=.∴DG=3.CG=4.在Rt△CGE 中.GE=8﹣x.∴y 2=16+（8﹣x ）2.y=（0＜x≤5）.（3）∵cos∠DAB=.∴tan∠DAB=.∵∠GCE=∠HAE=∠DAB .∴tan∠DAB==.∴x=.即：AP 的长为．【点评】此题是圆的综合题.主要考查了圆的性质.平行四边形的性质.勾股定理以及锐角三角函数.锐角三角函数的运用是解本题的关键．。
2016-2017学年上海中学八年级(下)期中数学试卷(含解析)
2016-2017学年上海中学八年级（下）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共36分）1．（3分）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．2．（3分）二次根式有意义的条件是（）A．x＞3 B．x＞﹣3 C．x≥﹣3 D．x≥33．（3分）下列计算正确的是（）A．B．C．D．4．（3分）正方形面积为36，则对角线的长为（）A．6 B．C．9 D．5．（3分）下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（）A．a=1.5，b=2，c=3 B．a=7，b=24，c=25C．a=6，b=8，c=10 D．a=3，b=4，c=56．（3分）能判定四边形ABCD为平行四边形的题设是（）A．AB∥CD AD=BC B．∠A=∠B∠C=∠DC．AB=CD AD=BC D．AB=AD CB=CD7．（3分）如图，在▱ABCD中，已知AD=5cm，AB=3cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm8．（3分）矩形的两条对角线的夹角为60度，对角线长为15，则矩形的较短边长为（）A．12 B．10 C．7.5 D．59．（3分）如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF=3，则菱形ABCD的周长是（）A．12 B．16 C．20 D．2410．（3分）以下条件不能判别四边形ABCD是矩形的是（）A．AB=CD，AD=BC，∠A=90°B．OA=OB=OC=ODC．AB=CD，AB∥CD，AC=BD D．AB=CD，AB∥CD，OA=OC，OB=OD 11．（3分）在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是（0，0），（5，0），（2，3），则顶点C的坐标是（）A．（3，7） B．（5，3） C．（7，3） D．（8，2）12．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为（）A．6 B．8 C．10 D．12二、填空题（每小题3分，共18分）13．（3分）=，=．14．（3分）顺次连接矩形各边中点所得四边形为形．15．（3分）已知菱形的两条对角线长为8和6，那么这个菱形面积是，菱形的高．16．（3分）如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC 于F．且AD交EF于O，则∠AOF=度．17．（3分）如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，A1，B1，C1，D1是四边形ABCD的中点四边形，如果AC=8，BD=10，那么四边形A1B1C1D1的面积为．18．（3分）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC 上一动点，则PB+PE的最小值是．三、解答题：（共66分）19．（8分）计算：（1）2﹣6+3（2）（﹣）．20．（8分）当x=2﹣时，求代数式（7+4）x2+（2+）x+的值．21．（10分）如图所示，四边形ABCD，∠A=90°，AB=3m，BC=12m，CD=13m，DA=4m，求四边形ABCD的面积．22．（10分）已知：如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，CD边上，BE=DF，连接CE，AF．求证：AF=CE．23．（10分）（1）化简：2a（a+b）﹣（a+b）2（2）如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD．试判断四边形OCED 的形状，并说明理由．24．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD 上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N．（1）求证：∠ADB=∠CDB；（2）若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形．25．（10分）如图1，在△ABO中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8．以OB为一边，在△OAB外作等边三角形OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E．（1）求点B的坐标；（2）求证：四边形ABCE是平行四边形；（3）如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长．2016-2017学年上海中学八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共36分）1．（3分）（2014春•宁津县期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【解答】解：A、被开方数含分母，故A错误；B、被开方数含分母，故B错误；C、被开方数含能开得尽方的因数，故C错误；D、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故D正确；故选：D．【点评】本题考查最简二次根式的定义，被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．2．（3分）（2016春•重庆期中）二次根式有意义的条件是（）A．x＞3 B．x＞﹣3 C．x≥﹣3 D．x≥3【分析】根据二次根式有意义的条件求出x+3≥0，求出即可．【解答】解：∵要使有意义，必须x+3≥0，∴x≥﹣3，故选C．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件的应用，注意：要使有意义，必须a≥0．3．（3分）（2016春•津南区校级期中）下列计算正确的是（）A．B．C．D．【分析】原式各项计算得到结果，即可做出判断．【解答】解：A、原式=，错误；B、原式不能合并，错误；C、原式=2×=，错误；D、原式=5，正确，故选D【点评】此题考查了二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4．（3分）（2016春•津南区校级期中）正方形面积为36，则对角线的长为（）A．6 B．C．9 D．【分析】根据对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半，且正方形对角线相等，列方程解答即可．【解答】解：设对角线长是x．则有x2=36，解得：x=6．故选：B．【点评】本题考查了正方形的性质，注意结论：对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半．此题也可首先根据面积求得正方形的边长，再根据勾股定理进行求解．5．（3分）（2016春•庆云县期末）下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（）A．a=1.5，b=2，c=3 B．a=7，b=24，c=25C．a=6，b=8，c=10 D．a=3，b=4，c=5【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．【解答】解：A、∵1.52+22≠32，∴该三角形不是直角三角形，故A选项符合题意；B、∵72+242=252，∴该三角形是直角三角形，故B选项不符合题意；C、∵62+82=102，∴该三角形是直角三角形，故C选项不符合题意；D、∵32+42=52，∴该三角形不是直角三角形，故D选项不符合题意．故选：A．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．6．（3分）（2016春•津南区校级期中）能判定四边形ABCD为平行四边形的题设是（）A．AB∥CD AD=BC B．∠A=∠B∠C=∠DC．AB=CD AD=BC D．AB=AD CB=CD【分析】利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形可对A进行判定；根据两组对角分别相等的四边形为平行四边形可对B进行判定；根据两组对边分别相等的四边形为平行四边形可对C、D进行判定．【解答】解：A、若AB∥CD，AB=CD，则四边形ABCD为平行四边形，所以A选项错误；B、若∠A=∠C，∠B=∠D，则四边形ABCD为平行四边形，所以B选项错误；C、若AB=CD，AD=BC，则四边形ABCD为平行四边形，所以C选项正确；D、若AB=CD，AD=BC，则四边形ABCD为平行四边形，所以D选项错误．故选C．【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．7．（3分）（2007•南通）如图，在▱ABCD中，已知AD=5cm，AB=3cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的性质可以推导出等角，进而得到等腰三角形，推得AB=BE，所以根据AD、AB的值，求出EC的值．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠DAE=∠BEA∵AE平分∠BAD∴∠BAE=∠DAE∴∠BAE=∠BEA∴BE=AB=3∵BC=AD=5∴EC=BC﹣BE=5﹣3=2故选：B．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．8．（3分）（2016春•津南区校级期中）矩形的两条对角线的夹角为60度，对角线长为15，则矩形的较短边长为（）A．12 B．10 C．7.5 D．5【分析】如下图所示：∠AOD=∠BOC=60°，即：∠COD=120°＞∠AOD=60°，AD 是该矩形较短的一边，根据矩形的性质：矩形的对角线相等且互相平分，所以有OA=OD=OC=OB=7.5，又因为∠AOD=∠BOC=60°，所以AD的长即可求出．【解答】解：如下图所示：矩形ABCD，对角线AC=BD=15，∠AOD=∠BOC=60°∵四边形ABCD是矩形∴OA=OD=OC=OB=×15=7.5（矩形的对角线互相平分且相等）又∵∠AOD=∠BOC=60°，∴OA=OD=AD=7.5，∵∠COD=120°＞∠AOD=60°∴AD＜DC所以该矩形较短的一边长为7.5，故选C．【点评】本题主要考查矩形的性质：矩形的对角线相等且互相平分，且矩形对角线相交所的角中“大角对大边，小角对小边”．9．（3分）（2016春•苏州期末）如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF=3，则菱形ABCD的周长是（）A．12 B．16 C．20 D．24【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出BC，再根据菱形的周长公式列式计算即可得解．【解答】解：∵E、F分别是AB、AC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴BC=2EF=2×3=6，∴菱形ABCD的周长=4BC=4×6=24．故选：D．【点评】本题主要考查了菱形的四条边都相等，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，求出菱形的边长是解题的关键．10．（3分）（2016春•津南区校级期中）以下条件不能判别四边形ABCD是矩形的是（）A．AB=CD，AD=BC，∠A=90°B．OA=OB=OC=ODC．AB=CD，AB∥CD，AC=BD D．AB=CD，AB∥CD，OA=OC，OB=OD【分析】先根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，再根据矩形的判定逐个判断即可．【解答】解：如图：A、∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠BAD=90°，∴四边形ABCD是矩形，故本选项错误；B、∵OA=OB=OC=OD，∴AC=BD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，故本选项错误；C、∵AB=CD，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC=BD，∴四边形ABCD是矩形，故本选项错误；D、∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，根据OA=OC，OB=OD不能推出平行四边形ABCD是矩形，故本选项正确；故选D．【点评】本题考查了平行四边形和矩形的判定的应用，能熟记矩形的判定定理是解此题的关键．11．（3分）（2006•南京）在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是（0，0），（5，0），（2，3），则顶点C的坐标是（）A．（3，7） B．（5，3） C．（7，3） D．（8，2）【分析】因为D点坐标为（2，3），由平行四边形的性质，可知C点的纵坐标一定是3，又由D点相对于A点横坐标移动了2，故可得C点横坐标为2+5=7，即顶点C的坐标（7，3）．【解答】解：已知A，B，D三点的坐标分别是（0，0），（5，0），（2，3），∵AB在x轴上，∴点C与点D的纵坐标相等，都为3，又∵D点相对于A点横坐标移动了2﹣0=2，∴C点横坐标为2+5=7，∴即顶点C的坐标（7，3）．故选：C．【点评】本题主要是对平行四边形的性质与点的坐标的表示及平行线的性质和互为余（补）角的等知识的直接考查．同时考查了数形结合思想，题目的条件既有数又有形，解决问题的方法也要既依托数也依托形，体现了数形的紧密结合，但本题对学生能力的要求并不高．12．（3分）（2016春•日照期中）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为（）A．6 B．8 C．10 D．12【分析】因为BC为AF边上的高，要求△AFC的面积，求得AF即可，求证△AFD′≌△CFB，得BF=D′F，设D′F=x，则在Rt△AFD′中，根据勾股定理求x，于是得到AF=AB﹣BF，即可得到结果．【解答】解：易证△A FD′≌△CFB，∴D′F=BF，设D′F=x，则AF=8﹣x，在Rt△AFD′中，（8﹣x）2=x2+42，解之得：x=3，∴AF=AB﹣FB=8﹣3=5，∴S=•AF•BC=10．△AFC故选C．【点评】本题考查了翻折变换﹣折叠问题，勾股定理的正确运用，本题中设D′F=x，根据直角三角形AFD′中运用勾股定理求x是解题的关键．二、填空题（每小题3分，共18分）13．（3分）（2016春•津南区校级期中）=，=．【分析】根据二次根式的乘除法则以及二次根式的性质化简即可．【解答】解：==，=|﹣|=，故答案分别为，．【点评】本题考查二次根式的化简，二次根式的性质，解题的关键是掌握分母有理化的方法，记住公式=|a|，（）2=a（a＞0），属于中考常考题型．14．（3分）（2012•蓟县模拟）顺次连接矩形各边中点所得四边形为菱形．【分析】作出图形，根据三角形的中位线定理可得EF=GH=AC，FG=EH=BD，再根据矩形的对角线相等可得AC=BD，从而得到四边形EFGH的四条边都相等，然后根据四条边都相等的四边形是菱形解答．【解答】解：如图，连接AC、BD，∵E、F、G、H分别是矩形ABCD的AB、BC、CD、AD边上的中点，∴EF=GH=AC，FG=EH=BD（三角形的中位线等于第三边的一半），∵矩形ABCD的对角线AC=BD，∴EF=GH=FG=EH，∴四边形EFGH是菱形．故答案为：菱形．【点评】本题考查了三角形的中位线定理，菱形的判定，矩形的性质，作辅助线构造出三角形，然后利用三角形的中位线定理是解题的关键．15．（3分）（2016春•津南区校级期中）已知菱形的两条对角线长为8和6，那么这个菱形面积是24，菱形的高．【分析】如图，四边形ABCD是菱形，BD=8，AC=6，作AE⊥BC于E，先利用勾股定理求出菱形边长，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半等于底乘高，即可解决问题．【解答】解：如图，四边形ABCD是菱形，BD=8，AC=6，作AE⊥BC于E．∴AC⊥BD，AO=AC=3，BO=BD=4，∴AB===5，∴BC=AB=5，∴菱形的面积=•AC•BD=24，∵BC•AE=24，∴AE=，∴菱形的高为．故答案为24，．【点评】本题考查菱形的性质，记住菱形的面积的两种求法，①菱形面积等于三角形乘积的一半，②菱形的面积等于底乘高，属于基础题，中考常考题型．16．（3分）（2016春•津南区校级期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC 交AB于E，DF∥AB交AC于F．且AD交EF于O，则∠AOF=90度．【分析】先根据平行四边形的判定定理得出四边形AEDF为平行四边形，再根据平行线的性质及角平分线的性质得出∠1=∠3，故可得出▱AEDF为菱形，根据菱形的性质即可得出结论．【解答】证明：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF为平行四边形，∴OA=OD，OE=OF，∠2=∠3，∵AD是△ABC的角平分线，∵∠1=∠2，∴∠1=∠3，∴AE=DE．∴▱AEDF为菱形．∴AD⊥EF，即∠AOF=90°．故答案为：90．【点评】本题考查的是菱形的判定与性质，根据题意判断出四边形AEDF是菱形是解答此题的关键．17．（3分）（2004•郫县）如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，A1，B1，C1，D1是四边形ABCD的中点四边形，如果AC=8，BD=10，那么四边形A1B1C1D1的面积为20．【分析】此题要能够根据三角形的中位线定理证明四边形A1B1C1D1是矩形，从而根据矩形的面积进行计算．【解答】解：∵A1，B1，C1，D1是四边形ABCD的中点四边形，且AC=8，BD=10∴A1D1是△ABD的中位线∴A1D1=BD=×10=5同理可得A1B1=AC=4根据三角形的中位线定理，可以证明四边形A1B1C1D1是矩形那么四边形A1B1C1D1的面积为A1D1×A1B1=5×4=20．【点评】本题考查了三角形的中位线定理，是经常出现的知识点．注意：顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得四边形是矩形．18．（3分）（2013•钦州）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是10．【分析】由正方形性质的得出B、D关于AC对称，根据两点之间线段最短可知，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小，进而利用勾股定理求出即可．【解答】解：如图，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小．∵四边形ABCD是正方形，∴B、D关于AC对称，∴PB=PD，∴PB+PE=PD+PE=DE．∵BE=2，AE=3BE，∴AE=6，AB=8，∴DE==10，故PB+PE的最小值是10．故答案为：10．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，正方形的性质，解此题通常是利用两点之间，线段最短的性质得出．三、解答题：（共66分）19．（8分）（2016春•津南区校级期中）计算：（1）2﹣6+3（2）（﹣）．【分析】（1）先把各个二次根式进行化简，合并同类二次根式即可；（2）先把各个二次根式进行化简，合并同类二次根式，再根据二次根式的除法法则计算即可．【解答】解：（1）2﹣6+3=4﹣2+12=14；（2）（﹣）=（5﹣2）÷=3÷=3．【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质和二次根式的混合运算法则是解题的关键．20．（8分）（2015春•荣昌县期末）当x=2﹣时，求代数式（7+4）x2+（2+）x+的值．【分析】因为x2=7﹣4直接代入，可构成两个平方差公式，计算比较简便．【解答】解：∵x2=（2﹣）2=7﹣4，∴原式=（7+4）（7﹣4）+（2+）（2﹣）+=49﹣48+[22﹣（）2]+=1+（4﹣3）+=2+．【点评】此题的难点在于将7+4写成（2+）2的形式．21．（10分）（2016春•津南区校级期中）如图所示，四边形ABCD，∠A=90°，AB=3m，BC=12m，CD=13m，DA=4m，求四边形ABCD的面积．【分析】如图，连接BD．首先利用勾股定理求出BD，再利用勾股定理的逆定理证明△BDC是直角三角形，分别求出△ABD，△DBC的面积即可解决问题．【解答】解：如图，连接BD．在Rt△ABD中，∵∠A=90°，AD=4，AB=3，∴BD===5，∵BD2+BC2=52+122=169，DC2=132=169，∴BD2+BC2=CD2，∴△BDC是直角三角形，∴S△DBC =•BD•BC=×5×12=30，S△ABD=•AD•AB=×3×4=6，∴四边形ABCD的面积=S△BDC +S△ADB=36．【点评】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形的面积等知识，解题的关键是把四边形问题转化为三角形问题解决，属于中考常考题型．22．（10分）（2014•泉州）已知：如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，CD边上，BE=DF，连接CE，AF．求证：AF=CE．【分析】根据矩形的性质得出DC∥AB，DC=AB，求出CF=AE，CF∥AE，根据平行四边形的判定得出四边形AFCE是平行四边形，即可得出答案．【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴DC∥AB，DC=AB，∴CF∥AE，∵DF=BE，∴CF=AE，∴四边形AFCE是平行四边形，∴AF=CE．【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的性质的应用，注意：矩形的对边相等且平行，平行四边形的对边相等．23．（10分）（2013•济南模拟）（1）化简：2a（a+b）﹣（a+b）2（2）如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD．试判断四边形OCED 的形状，并说明理由．【分析】（1）提取公因式（a+b），然后整理即可得解；（2）根据矩形的对角线互相垂直平分求出OC=OD，然后求出四边形OCED是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形证明．【解答】（1）解：2a（a+b）﹣（a+b）2，=（a+b）（2a﹣a﹣b），=（a+b）（a﹣b），=a2﹣b2；（2）解：四边形OCED菱形．理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OD=BD，OC=AC，∴OC=OD，∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形，∴四边形OCED是菱形．【点评】本题考查了菱形的判定，矩形的对角线互相垂直平分的性质，以及平行四边形的判定与一组邻边相等的平行四边形是菱形．24．（10分）（2013•南京）如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N．（1）求证：∠ADB=∠CDB；（2）若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形．【分析】（1）根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法证明△ABD≌△CBD，由全等三角形的性质即可得到：∠ADB=∠CDB；（2）若∠ADC=90°，由（1）中的条件可得四边形MPND是矩形，再根据两边相等的四边形是正方形即可证明四边形MPND是正方形．【解答】证明：（1）∵对角线BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，在△ABD和△CBD中，，∴△ABD≌△CBD（SAS），∴∠ADB=∠CDB；（2）∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴∠PMD=∠PND=90°，∵∠ADC=90°，∴四边形MPND是矩形，∵∠ADB=∠CDB，∴∠ADB=45°∴PM=MD，∴四边形MPND是正方形．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、矩形的判定和性质以及正方形的判定，解题的关键是熟记各种几何图形的性质和判定．25．（10分）（2011•河池）如图1，在△ABO中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8．以OB为一边，在△OAB外作等边三角形OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E．（1）求点B的坐标；（2）求证：四边形ABCE是平行四边形；（3）如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长．【分析】（1）由在△ABO中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8，根据三角函数的知识，即可求得AB与OA的长，即可求得点B的坐标；（2）首先可得CE∥AB，D是OB的中点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可证得BD=AD，∠ADB=60°，又由△OBC是等边三角形，可得∠ADB=∠OBC，根据内错角相等，两直线平行，可证得BC∥AE，继而可得四边形ABCD 是平行四边形；（3）首先设OG的长为x，由折叠的性质可得：AG=CG=8﹣x，然后根据勾股定理可得方程（8﹣x）2=x2+（4）2，解此方程即可求得OG的长．【解答】（1）解：在△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8，∴OA=OB•cos30°=8×=4，AB=OB•sin30°=8×=4，∴点B的坐标为（4，4）；（2）证明：∵∠OAB=90°，∴AB⊥x轴，∵y轴⊥x轴，∴AB∥y轴，即AB∥CE，∵∠AOB=30°，∴∠OBA=60°，∵DB=DO=4∴DB=AB=4∴∠BDA=∠BAD=120°÷2=60°，∴∠ADB=60°，∵△OBC是等边三角形，∴∠OBC=60°，∴∠ADB=∠OBC，即AD∥BC，∴四边形ABCE是平行四边形；（3）解：设OG的长为x，∵OC=OB=8，∴CG=8﹣x，由折叠的性质可得：AG=CG=8﹣x，在Rt△AOG中，AG2=OG2+OA2，即（8﹣x）2=x2+（4）2，解得：x=1，即OG=1．【点评】此题考查了折叠的性质，三角函数的性质，平行四边形的判定，等边三角形的性质，以及勾股定理等知识．此题难度较大，解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用，注意折叠中的对应关系．。
2016年中考数学真题试题及答案(word版)
（2）共12种情况，有6种情况两次摸到相同颜色棋子，所以概率为 ． 24. 解：（1）设第一批购进水果x千克，则第二批购进水果2.5千克，依
据题意得： ，解得x=200，经检验x=200是原方程的解，∴x+2.5x=700， 答：这两批水果功够进700千克； （2）设售价为每千克a元，则： ， 630a≥7500×1.26，∴ ，∴a≥15，答：售价至少为每千克15元． 25. （1）证明：在△GAD和△EAB中，∠GAD=90°+∠EAD， ∠EAB=90°+∠EAD， ∴∠GAD=∠EAB，又∵AG=AE，AB=AD，∴△GAD≌△EAB， ∴EB=GD； （2）EB⊥GD，理由如下：连接BD，由（1）得：∠ADG=∠ABE，则 在△BDH中， ∠DHB=180°-（∠HDB+∠HBD）=180°-90°=90°，∴EB⊥GD； （3）设BD与AC交于点O，∵AB=AD=2在Rt△ABD中，DB= ， ∴EB=GD= ． 26. 解：（1）由y=0得，ax2-2ax-3a=0，∵a≠0，∴x2-2x-3=0，解得 x1=-1，x2=3， ∴点A的坐标（-1，0），点B的坐标（3，0）； （2）由y=ax2-2ax-3a，令x=0，得y=-3a，∴C（0，-3a），又 ∵y=ax2-2ax-3a=a（x-1）2-4a，得D（1，-4a），∴DH=1，CH=-4a（-3a）=-a，∴-a=1，∴a=-1，∴C（0，3），D（1，4）， 设直线CD的解析式为y=kx+b，把C、D两点的坐标代入得， ，解得 ， ∴直线CD的解析式为y=x+3； （3）存在．由（2）得，E（-3，0），N（-
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2016年中考真题数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的 四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把正确答案的标号填在答题 卡内相应的位置上） 1、计算的结果是（ ） A、 B、 C、1 D、22、若∠α的余角是30°，则cosα的值是（ ） A、 B、 C、 D、 3、下列运算正确的是（ ） A、 B、 C、 D、4、下列图形是轴对称图形，又是中心对称 图形的有（ ）
2016年各地中考试卷集锦9套含答案
得分
评卷人
22．（本题满分8分）
化简求值： ，其中 ．
得分
评卷人
23．（本题满分8分）
秀文中学初三有100名学生参加了初中数学竞赛．已知竞赛成绩都是整数，试题满分为140分，参赛学生的成绩统计情况如下图：
请根据以上信息完成下列问题：
（1）将该统计图补充完整；
（2）竞赛成绩的中位数落在上表中的分数段内；
17．如图，有一块边长为4的正方形塑料模板ABCD，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在A点，两条直角边分别与CD交于点F，与CB延长线交于点E．则四边形AECF的面积是．
18．如图，将一根25㎝长的细木棒放入长、宽、高分别为8㎝、6㎝和10 ㎝的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是㎝．
C．∠1＋∠3＝2∠2D．∠1＋∠3＝∠2
8．下列正多边形的组合中，能够铺满地面（即平面镶嵌）的是
A．正三角形和正四边形B．正四边形和正五边形
C．正五边形和正六边形D．正六边形和正八边形
9．如图，直线 与双曲线 的图象的一个交点坐标为（2，4）．则它们的另一个交点坐标是
A．（－2，－4）
B．（－2，4）
A． B．
C． D．
12．已知点A（2，0）、点B（－ ，0）、点C（0，1），以A、B、C三点为顶点画平行四边形．则第四个顶点不可能在
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
13．甲、乙两人同时从A地到B地，甲先骑自行车到达中点后改为步行，乙先步行到中点后改骑自行车．已知甲、乙两人骑车的速度和步行的速度分别相同．则甲、乙两人所行的路程与所用时间的关系图正确的是（实线表示甲，虚线表示乙）
A．B．C．D．
2016年数学中考试题及答案
2016年数学中考试题及答案【篇一：2016年全国中考数学模拟卷及答案】=txt>数学试卷一、选择题下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。
．．1．截止到2016年6月1日，北京市已建成39个地下调蓄设施，蓄水能力达到2 40 000立方平米。
将1240 000用科学记数法表示应为2．实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，绝对值最大的是a．a b．bc．cd．d3．一个不透明的盒子中装有3个红球，2个黄球和1个绿球，这些球除了颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，恰好是黄球的概率为 a． b． c． d．4．剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，是轴对称图形的为6．如图，公路ac，bc互相垂直，公路ab的中点m与点c被湖隔开，若测得am的长为1.2km，则m，c两点间的距离为a．0.5km b．0.6km c．0.9km d．1.2km7．某市6月份日平均气温统计如图所示，则在日平均气温这组数据中，众数和中位数分别是 a．21，21 b．21，21.5 c．21，22 d．22，228．右图是利用平面直角坐标系画出的故宫博物院的主要建筑分布图。
若这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向。
表示太和门的点坐标为（0，-1），表示九龙壁的点的坐标为（4，1），则表示下列宫殿的点的坐标正确的是a．景仁宫（4，2）b．养心殿（-2，3） c．保和殿（1，0） d．武英殿（-3.5，-4）9．一家游泳馆的游泳收费标准为30元/次，若购买会员年卡，可享受如下优惠：a．购买a类会员年卡b．购买b类会员年卡 c．购买c类会员年卡d．不购买会员年卡10．一个寻宝游戏的寻宝通道如图1所示，通道由在同一平面内的ab，bc，ca，oa，ob，oc组成。
为记录寻宝者的进行路线，在bc的中点m处放置了一台定位仪器，设寻宝者行进的时间为x，寻宝者与定位仪器之间的距离为y，若寻宝者匀速行进，且表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则寻宝者的行进路线可能为a．a→o→bb．b→a→cc．b→o→c d．c→b→o 二、填空题11．分解因式：5x2-10x2=5x=_________．12．右图是由射线ab，bc，cd，de，组成的平面图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=_____．13．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架。
2016年上海市静安区中考数学一模试卷及参考答案
2016年上海市静安区中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）的相反数是（）A．B．﹣C．D．﹣2．（4分）下列方程中，有实数解的是（）A．x2﹣x+1＝0B．＝1﹣x C．＝0D．＝1 3．（4分）化简（x﹣1﹣1）﹣1的结果是（）A．B．C．x﹣1D．1﹣x4．（4分）如果点A（2，m）在抛物线y＝x2上，将抛物线向右平移3个单位后，点A同时平移到点A′，那么A′坐标为（）A．（2，1）B．（2，7）C．（5，4）D．（﹣1，4）5．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是高，如果AD＝m，∠A＝α，那么BC的长为（）A．m•tanα•cosαB．m•cotα•cosαC．D．6．（4分）如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的（）A．＝B．＝C．＝D．＝二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分44分）7．（4分）化简：（﹣2a2）3＝．8．（4分）函数的定义域是．9．（4分）方程＝x﹣1的根为．10．（4分）如果函数y＝（m﹣3）x+1﹣m的图象经过第二、三、四象限，那么常数m的取值范围为．11．（4分）二次函数y＝x2﹣6x+1的图象的顶点坐标是．12．（4分）如果抛物线y＝ax2﹣2ax+5与y轴交于点A，那么点A关于此抛物线对称轴的对称点坐标是．13．（4分）如图，已知D、E分别是△ABC的边AB和AC上的点，DE∥BC，BE与CD相交于点F，如果AE＝1，CE＝2，那么EF：BF等于．14．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，点G是重心，如果sin A＝，BC＝2，那么GC的长等于．15．（4分）已知在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，设＝，＝，那么＝．（用向量，的式子表示）16．（4分）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，如果AB＝5，BC＝8，sin B ＝，那么tan∠CDE＝．17．（4分）将▱ABCD（如图）绕点A旋转后，点D落在边AB上的点D′，点C落到C′，且点C′、B、C在一直线上．如果AB＝13，AD＝3，那么∠A 的余弦值为．三、解答题：（本大题7题，满分78分）18．（10分）化简：÷，并求当x＝时的值．19．（10分）用配方法解方程：2x2﹣3x﹣3＝0．20．（10分）如图，直线y＝x与反比例函数的图象交于点A（3，a），第一象限内的点B在这个反比例函数图象上，OB与x轴正半轴的夹角为α，且tanα＝．（1）求点B的坐标；（2）求△OAB的面积．21．（10分）如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P 的仰角是26.6°，向前走30米到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是45°和33.7°，求该电线杆PQ的高度（结果精确到1米）（备用数据：sin26.6°＝0.45，cos26.6°＝0.89，tan26.6°＝0.50，cot26.6°＝2.00；sin33.7°＝0.55，cos33.7°＝0.83，tan33.7°＝0.67，cot33.7°＝1.50）22．（12分）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，BD＝AD＝AC，AD与CE相交于点F，AE2＝EF•EC．（1）求证：∠ADC＝∠DCE+∠EAF；（2）求证：AF•AD＝AB•EF．23．（12分）如图，直线y＝x+1与x轴、y轴分别相交于点A、B，二次函数的图象与y轴相交于点C，与直线y＝x+1相交于点A、D，CD∥x轴，∠CDA＝∠OCA．（1）求点C的坐标；（2）求这个二次函数的解析式．24．（14分）已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，AC＝BC＝10，cos∠ACB＝，点E在对角线AC上，且CE＝AD，BE的延长线与射线AD、射线CD分别相交于点F、G，设AD＝x，△AEF的面积为y．（1）求证：∠DCA＝∠EBC；（2）如图，当点G在线段CD上时，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）如果△DFG是直角三角形，求△AEF的面积．2016年上海市静安区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）的相反数是（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：根据相反数定义得：的相反数为：﹣，分子分母同乘得：﹣．故选：D．2．（4分）下列方程中，有实数解的是（）A．x2﹣x+1＝0B．＝1﹣x C．＝0D．＝1【解答】解：A、∵△＝1﹣4＝﹣3＜0，∴原方程无实数根，B、当1﹣x＜0，即x＞1时，原方程无实数根，C、当x2﹣x＝0，即x＝1，或x＝0时，原方程无实数根，D、∵＝1，∴x＝﹣1．故选：D．3．（4分）化简（x﹣1﹣1）﹣1的结果是（）A．B．C．x﹣1D．1﹣x【解答】解：原式＝（﹣1）﹣1＝（）﹣1＝．故选：A．4．（4分）如果点A（2，m）在抛物线y＝x2上，将抛物线向右平移3个单位后，点A同时平移到点A′，那么A′坐标为（）A．（2，1）B．（2，7）C．（5，4）D．（﹣1，4）【解答】解：把A（2，m）代入y＝x2得m＝4，则A点坐标为（2，4），把点A （2，4）向右平移3个单位后所得对应点A′的坐标为（5，4）．故选：C．5．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是高，如果AD＝m，∠A＝α，那么BC的长为（）A．m•tanα•cosαB．m•cotα•cosαC．D．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是高，如果AD＝m，∠A＝α，∴tanα＝，∴CD＝m•tanα，∵∠ACB＝∠A+∠B＝90°，∠BDC＝∠B+∠BCD＝90°，∠A＝α，∴∠BCD＝α，∴cos∠BCD＝，即cos，BC＝．故选：C．6．（4分）如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的（）A．＝B．＝C．＝D．＝【解答】解：∵∠BAC＝∠D，，∴△ABC∽△ADE．故选：C．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分44分）7．（4分）化简：（﹣2a2）3＝﹣8a6．【解答】解：（﹣2a2）3＝（﹣2）3•（a2）3＝﹣8a6．故答案为：﹣8a6．8．（4分）函数的定义域是x≠﹣2．【解答】解：根据题意得：x+2≠0解得x≠﹣2．故答案为x≠﹣2．9．（4分）方程＝x﹣1的根为4．【解答】解：由二次根式性质得：x+5≥0且x﹣1≥0，∴x≥1．将＝x﹣1两边平方得：x+5＝x2﹣2x+1，整理得：x2﹣3x﹣4＝0，分解因式：（x﹣4）（x+1）＝0，得：x1＝4，x2＝﹣1，∵x≥1，∴x＝4．故答案为：4．10．（4分）如果函数y＝（m﹣3）x+1﹣m的图象经过第二、三、四象限，那么常数m的取值范围为1＜m＜3．【解答】解：∵函数y＝（m﹣3）x+1﹣m的图象经过第二、三、四象限，∴，解得1＜m＜3．故答案为：1＜m＜3．11．（4分）二次函数y＝x2﹣6x+1的图象的顶点坐标是（3，﹣8）．【解答】解：∵y＝x2﹣6x+1＝（x﹣3）2﹣8，∴抛物线顶点坐标为（3，﹣8）．故答案为：（3，﹣8）．12．（4分）如果抛物线y＝ax2﹣2ax+5与y轴交于点A，那么点A关于此抛物线对称轴的对称点坐标是（2，5）．【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax+5与y轴交于点A坐标为（0，5），对称轴为x＝﹣＝1，∴点A（0，5）关于此抛物线对称轴的对称点坐标是（2，5）．故答案为：（2，5）．13．（4分）如图，已知D、E分别是△ABC的边AB和AC上的点，DE∥BC，BE与CD相交于点F，如果AE＝1，CE＝2，那么EF：BF等于．【解答】解：∵AE＝1，CE＝2，∴AC＝3，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∵DE∥BC，∴△DEF∽△BCF，∴＝，故答案为：1：3．14．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，点G是重心，如果sin A＝，BC＝2，那么GC的长等于2．【解答】解：如图所示，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，BC＝2，∴AB＝3BC＝6．∵点G是重心，∴CD为△ABC的中线，∴CG＝CD＝×3＝2．故答案为：2．15．（4分）已知在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，设＝，＝，那么＝﹣﹣．（用向量，的式子表示）【解答】解：如图，过点D作DE∥AB，交BC于点E，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴BE＝AD，DE＝AB，∵BC＝2AD，＝，＝，∴＝＝，＝＝，∴＝﹣＝﹣（+）＝﹣（+）＝﹣﹣．故答案为：﹣﹣．16．（4分）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，如果AB＝5，BC＝8，sin B ＝，那么tan∠CDE＝．【解答】解：在△ABE中，AE⊥BC，AB＝5，sin B＝，∴BE＝3，AE＝4．∴EC＝BC﹣BE＝8﹣3＝5．∵平行四边形ABCD，∴△CED为等腰三角形．∴∠CDE＝∠CED．∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠CED．∴∠CDE＝∠ADE．在Rt△ADE中，AE＝4，AD＝BC＝8，∴tan∠CDE＝＝，故答案为：．17．（4分）将▱ABCD（如图）绕点A旋转后，点D落在边AB上的点D′，点C落到C′，且点C′、B、C在一直线上．如果AB＝13，AD＝3，那么∠A 的余弦值为．【解答】解：∵▱ABCD绕点A旋转后得到▱AB′C′D′，∴∠DAB＝∠D′AB′，AB＝AB′＝C′D′＝13，∵AB′∥C′D′，∴∠D′AB′＝∠BD′C′，∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠C＝∠DAB，∴∠C＝∠BD′C′，∵点C′、B、C在一直线上，而AB∥CD，∴∠C＝∠C′BD′，∴∠C′BD′＝∠BD′C′，∴△C′BD′为等腰三角形，作C′H⊥D′B，则BH＝D′H，∵AB＝13，AD＝3，∴BD′＝10，∴D′H＝5，∴cos∠HD′C′＝＝，即∠A的余弦值为．故答案为．三、解答题：（本大题7题，满分78分）18．（10分）化简：÷，并求当x＝时的值．【解答】解：原式＝•＝，当x＝时，原式＝＝7．19．（10分）用配方法解方程：2x2﹣3x﹣3＝0．【解答】解：2x2﹣3x﹣3＝0，x2﹣x﹣＝0，x2﹣x+＝+，（x﹣）2＝，x﹣＝±，解得：x1＝，x2＝．20．（10分）如图，直线y＝x与反比例函数的图象交于点A（3，a），第一象限内的点B在这个反比例函数图象上，OB与x轴正半轴的夹角为α，且tanα＝．（1）求点B的坐标；（2）求△OAB的面积．【解答】解：（1）∵直线y＝x与反比例函数的图象交于点A（3，a），∴A（3，4），反比例函数解析式y＝，∵点B在这个反比例函数图象上，设B（x，），∵tanα＝，∴＝，解得：x＝±6，∵点B在第一象限，∴x＝6，∴B（6，2）．答：点B坐标为（6，2）．（2）设直线OB为y＝kx，（k≠0），将点B（6，2）代入得：k＝，∴OB直线解析式为：y＝x，过A点做AC⊥x轴，交OB于点C，如下图：则点C坐标为：（3，1），∴AC＝3S△OAB的面积＝S△OAC的面积+S△ACB的面积，＝×|AC|×6＝9．△OAB的面积为9．21．（10分）如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P 的仰角是26.6°，向前走30米到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是45°和33.7°，求该电线杆PQ的高度（结果精确到1米）（备用数据：sin26.6°＝0.45，cos26.6°＝0.89，tan26.6°＝0.50，cot26.6°＝2.00；sin33.7°＝0.55，cos33.7°＝0.83，tan33.7°＝0.67，cot33.7°＝1.50）【解答】解：延长PQ交直线AB于点E，设PE＝x米．在直角△ABE中，∠PBE＝45°，则BE＝PE＝x米；∵∠P AE＝26.6°在直角△APE中，AE＝PE•cot∠P AE≈2x，∵AB＝AE﹣BE＝30米，则2x﹣x＝30，解得：x＝30．则BE＝PE＝30米．在直角△BEQ中，QE＝BE•tan∠QBE＝30×tan33.7°＝30×0.67≈20.1米．∴PQ＝PE﹣QE＝30﹣20＝10（米）．答：电线杆PQ的高度是10米．22．（12分）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，BD＝AD＝AC，AD与CE相交于点F，AE2＝EF•EC．（1）求证：∠ADC＝∠DCE+∠EAF；（2）求证：AF•AD＝AB•EF．【解答】证明：（1）∵BD＝AD＝AC，∴∠B＝∠BAD，∠ADC＝∠ACD，∵AE2＝EF•EC，∴，∵∠E＝∠E，∴△EAF∽△ECA，∴∠EAF＝∠ECA，∴∠ADC＝∠ACD＝∠ACE+∠ECB＝∠DCE+∠EAF；（2）∵△EAF∽△ECA，∴，即，∵∠EF A＝∠BAC，∠EAF＝∠B，∴△F AE∽△ABC，∴，∴F A•AC＝EF•AB，∵AC＝AD，∴AF•AD＝AB•EF．23．（12分）如图，直线y＝x+1与x轴、y轴分别相交于点A、B，二次函数的图象与y轴相交于点C，与直线y＝x+1相交于点A、D，CD∥x轴，∠CDA＝∠OCA．（1）求点C的坐标；（2）求这个二次函数的解析式．【解答】解：（1）∵函数y＝x+1中，当y＝0时，x＝﹣2，∴A（﹣2，0），∵函数y＝x+1中，当x＝0时，y＝1，∴B（0，1），∵CD∥x轴，∴∠BAO＝∠ADC，∵∠CDA＝∠OCA，∴∠ACO＝∠BAO，∴tan∠ACO＝tan∠BAO＝，∴CO＝4，∴C（0，4）；（2）∵∠AOB＝∠OCD＝90°，∠BAO＝∠BDC＝90°，∴△CBD∽△OBA，∴＝，∴＝，∴CD＝6，∴D（6，4），设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，∵图象经过A（﹣2，0），D（6，4），C（0，4），∴，解得：．∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+x+4．24．（14分）已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，AC＝BC＝10，cos∠ACB＝，点E在对角线AC上，且CE＝AD，BE的延长线与射线AD、射线CD分别相交于点F、G，设AD＝x，△AEF的面积为y．（1）求证：∠DCA＝∠EBC；（2）如图，当点G在线段CD上时，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）如果△DFG是直角三角形，求△AEF的面积．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ECB，在△DCA和△ECB中，，∴△DCA≌△ECB（SAS），∴∠DCA＝∠EBC；（2）∵AD∥BC，∴△AEF∽△CEB，∴，即，解得：AF＝，作EH⊥AF于H，如图1所示，∵cos∠ACB＝，∴EH＝AE＝（10﹣x），＝×（10﹣x）×＝，∴y＝S△AEF∴y＝，∵点G在线段CD上，∴AF≥AD，即≥x，∴x≤5﹣5，∴0＜x≤5﹣5，∴y关于x的函数解析式为：y＝，（0＜x≤5﹣5）；（3）分两种情况考虑：①当∠FDG＝90°时，如图2所示：在Rt△ADC中，AD＝AC×＝8，即x＝8，＝y＝＝；∴S△AEF②当∠DGF＝90°时，过E作EM⊥BC于点M，如图3所示，由（1）得：CE＝AF＝x，在Rt△EMC中，EM＝x，MC＝x，∴BM＝BC﹣MC＝10﹣x，∵∠GCE＝∠GBC，∠EGC＝∠CGB，∴△CGE∽△BGC，∴＝，即＝，∵∠EBM＝∠CBG，∠BME＝∠BGC＝90°，∴△BME∽△BGC，∴＝＝，∴＝，即x＝5，此时y＝＝15，综上，此时△AEF的面积为或15．免责声明：本文系转载自网络，如有侵犯，请联系我们立即删除.百度文库百度文库百度文库百度文库百度文库百度文库百度文库百度文库百度文库百度文百度文库百度文库百度文库百度文库百度文库百度文库百度文库百度文库百度文库百度文百度文库百度文库百度文库百度文库百度文库百度文库百度文库百度文库百度文库百度文免责声明：本文系转载自网络，如有侵犯，请联系我们立即删除.百度文库百度文库百度文库百度文库百度文库百度文库百度文库百度文库百度文库百度文百度文库百度文库百度文库百度文库百度文库百度文库百度文库百度文库百度文库百度文。
2016年上海市各区县中考数学一模压轴题图文解析第24、25题
2016年上海市各区县中考数学一模压轴题图文解析目录第一部分第24、25题图文解析2016年上海市崇明县中考数学一模第24、25题/ 22016年上海市奉贤区中考数学一模第24、25题/ 52016年上海市虹口区中考数学一模第24、25题/ 82016年上海市黄浦区中考数学一模第24、25题/ 112016年上海市嘉定区中考数学一模第24、25题/ 142016年上海市静安区青浦区中考数学一模第24、25题/ 172016年上海市闵行区中考数学一模第24、25题/ 202016年上海市浦东新区中考数学一模第24、25题/ 242016年上海市普陀区中考数学一模第24、25题/ 282016年上海市松江区中考数学一模第24、25题/ 312016年上海市徐汇区中考数学一模第24、25题/ 342016年上海市杨浦区中考数学一模第24、25题/ 382016年上海市闸北区中考数学一模第24、25题/ 412016年上海市长宁区金山区中考数学一模第24、25题/ 452016年上海市宝山区中考数学一模第25、26题/ 48如图1，在直角坐标系中，一条抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中B(3, 0)，C(0, 4)，点A在x轴的负半轴上，OC＝4OA．（1）求这条抛物线的解析式，并求出它的顶点坐标；（2）联结AC、BC，点P是x轴正半轴上的一个动点，过点P作PM//BC交射线AC于M，联结CP，若△CPM的面积为2，则请求出点P的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16崇明一模24”，拖动点P在x轴的正半轴上运动，可以体验到，有两个时刻，△CPM的面积为2．满分解答（1）由C(0, 4)，OC＝4OA，得OA＝1，A(－1, 0)．设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－3)，代入点C(0, 4)，得4＝－3a．解得43a=-．所以244(1)(3)(23)33y x x x x=-+-=---2416(1)33x=--+．顶点坐标为16 (1)3，．（2）如图2，设P(m, 0)，那么AP＝m＋1．所以S△CP A＝12AP CO⋅＝1(1)42m+⨯＝2m＋2．由PM//BC，得CM BPCA BA=．又因为CPMCPAS CMS CA=△△，所以S△CPM ＝(22)BPmBA+．①如图2，当点P在AB上时，BP＝3－m．解方程3(22)4mm-+＝2，得m＝1．此时P(1, 0)．②如图3，当点P在AB的延长线上时，BP＝m－3．解方程3(22)4mm-+＝2，得1m=±P(1+．图2 图3如图1，已知矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，点E 是BC 边上一点（不与B 、C 重合），过点E 作EF ⊥AE 交AC 、CD 于点M 、F ，过点B 作BG ⊥AC ，垂足为G ，BG 交AE 于点H ．（1）求证：△ABH ∽△ECM ； （2）设BE ＝x ，EHEM＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域； （3）当△BHE 为等腰三角形时，求BE 的长．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16崇明一模25”，拖动点E 在BC 上运动，可以体验到，有三个时刻，△BHE 可以成为为等腰三角形．满分解答（1）如图2，因为∠1和∠2都是∠BAC 的余角，所以∠1＝∠2． 又因为∠BAH 和∠CEM 都是∠AEB 的余角，所以∠BAH ＝∠CEM ． 所以△ABH ∽△ECM ．图2 图3（2）如图3，延长BG 交AD 于N ．在Rt △ABC 中，AB ＝6，BC ＝8，所以AC ＝10． 在Rt △ABN 中，AB ＝6，所以AN ＝AB tan ∠1＝34AB ＝92，BN ＝152． 如图2，由AD //BC ，得92AH AN EH BE x ==． 由△ABH ∽△ECM ，得68AH AB EM EC x ==-． 所以y ＝EHEM＝AH AH EM EH ÷＝6982x x ÷-＝12729x x -． 定义域是0＜x ＜8．（3）如图2，由AD//BC，得92NH ANBH BE x==．所以292BN xBH x+=．所以215292xBHx=⨯+＝1529xx+．在△BHE中，BE＝x，cos∠HBE＝35，1529xBHx=+．分三种情况讨论等腰三角形BHE：①如图4，当BE＝BH时，解方程1529xxx=+，得x＝3．②如图5，当HB＝HE时，1cos2BE BH B=⋅∠．解方程11532295xxx=⨯+，得92x=．③如图6，当EB＝EH时，1cos2BH BE B=⋅∠．解方程11532295xxx⨯=+，得74x=．图4 图5 图6如图1，二次函数y＝x2＋bx＋c的图像经过原点和点A(2, 0)，直线AB与抛物线交于点B，且∠BAO＝45°．（1）求二次函数的解析式及顶点C的坐标；（2）在直线AB上是否存在点D，使得△BCD为直角三角形，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“16奉贤一模24”，可以体验到，以BC为直径的圆恰好经过点A，直角三角形BCD存在两种情况．满分解答（1）因为抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于O、A(2, 0)两点，所以y＝x(x－2)＝(x－1)2－1．顶点C的坐标为(1,－1)．（2）如图2，作BH⊥x轴于H．设B(x, x2－2x)．由于∠BAH＝45°，所以BH＝AH．解方程x2－2x＝2－x，得x＝－1，或x＝2．所以点B的坐标为(－1, 3)．图2①∠BDC＝90°．如图3，由A(2, 0)、C(1,－1)，可得∠CAO＝45°．因此∠BAC＝90°．所以当点D与点A(2, 0)重合时，△BCD是直角三角形．②∠BCD＝90°．由A(2, 0)、B(－1, 3)，可得直线AB的解析式为y＝－x＋2．【解法一】如图4，过点C作BC的垂线与直线AB交于点D．设D(m,－m＋2 )．由BD2＝BC2＋CD2，得(m＋1)2＋(－m－1)2＝22＋42＋(m－1)2＋(－m＋3)2．解得73m=．此时点D的坐标为71(,)33-．【解法二】构造△BMC∽△CND，由BM CNMC ND=，得4123mm-=-+．解得73m=．图2 图3 图4如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，点D 是斜边AB 上任意一点，联结DC ，过点C 作CE ⊥CD ，联结DE ，使得∠EDC ＝∠A ，联结BE ．（1）求证：AC ·BE ＝BC ·AD ；（2）设AD ＝x ，四边形BDCE 的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式，并写出定义域；（3）当S △BDE ＝14S △ABC 时，求tan ∠BCE 的值．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16奉贤一模25”，拖动点E 在AD 边上运动，可以体验到，△ABC 与△DEC 保持相似，△ACD 与△BCE 保持相似，△BDE 是直角三角形．满分解答（1）如图2，在Rt △BAC 和Rt △EDC 中，由tan ∠A ＝tan ∠EDC ，得BC ECAC DC=． 如图3，已知∠ACB ＝∠DCE ＝90°，所以∠1＝∠2． 所以△ACD ∽△BCE ．所以AC BCAD BE=．因此AC ·BE ＝BC ·AD ．图2 图3（2）在Rt △ABC 中，AB ＝5，BC ＝3，所以AC ＝4．所以S △ABC ＝6．如图3，由于△ABC 与△ADC 是同高三角形，所以S △ADC ∶S △ABC ＝AD ∶AB ＝x ∶5． 所以S △ADC ＝65x ．所以S △BDC ＝665x -． 由△ADC ∽△BEC ，得S △ADC ∶S △BEC ＝AC 2∶BC 2＝16∶9．所以S △BEC ＝916S △ADC ＝96165x ⨯＝2740x ． 所以S ＝S 四边形BDCE ＝S △BDC ＋S △BEC ＝6276540x x -+＝21640x -+．定义域是0＜x ＜5．（3）如图3，由△ACD ∽△BCE ，得AC BCAD BE=，∠A ＝∠CBE ． 由43x BE =，得BE ＝34x ． 由∠A ＝∠CBE ，∠A 与∠ABC 互余，得∠ABE ＝90°（如图4）．所以S △BDE ＝1133(5)(5)2248BD BE x x x x ⋅=-⨯=--． 当S △BDE ＝14S △ABC ＝13642⨯=时，解方程33(5)82x x --=，得x ＝1，或x ＝4．图4 图5 图6作DH ⊥AC 于H ．①如图5，当x ＝AD ＝1时，在Rt △ADH 中，DH ＝35AD ＝35，AH ＝45AD ＝45． 在Rt △CDH 中，CH ＝AC －AH ＝416455-=，所以tan ∠HCD ＝DHCH ＝316．②如图6，当x ＝AD ＝4时，在Rt △ADH 中，DH ＝35AD ＝125，AH ＝45AD ＝165．在Rt △CDH 中，CH ＝AC －AH ＝164455-=，所以tan ∠HCD ＝DHCH＝3． 综合①、②，当S △BDE ＝14S △ABC 时， tan ∠BCE 的值为316或3．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3与x 轴分别交于点A (2, 0)、点B （点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ，tan ∠CBA ＝12． （1）求该抛物线的表达式；（2）设该抛物线的顶点为D ，求四边形ACBD 的面积； （3）设抛物线上的点E 在第一象限，△BCE 是以BC 为一条直角边的直角三角形，请直接写出点E 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16虹口一模24”，可以体验到，以BC 为直角边的直角三角形BCE 有2个．满分解答（1）由y ＝ax 2＋bx ＋3，得C (0, 3)，OC ＝3． 由tan ∠CBA ＝OC OB ＝12，得OB ＝6，B (6, 0)． 将A (2, 0)、B (6, 0)分别代入y ＝ax 2＋bx ＋3，得4230,36630.a b a b ++=⎧⎨++=⎩解得14a =，b ＝－2．所以221123(4)144y x x x =-+=--． （2）如图2，顶点D 的坐标为(4,－1)．S 四边形ACBD ＝S △ABC ＋S △ABD ＝1123+2122⨯⨯⨯⨯＝4．（3）如图3，点E 的坐标为(10, 8)或(16, 35)．思路如下：设E 21(,23)4x x x -+． 当∠CBE ＝90°时，过点E 作EF ⊥x 轴于F ，那么2EF BOBF CO==．所以EF ＝2BF ． 解方程21232(4)4x x x -+=-，得x ＝10，或x ＝4．此时E (10, 8)． 当∠BCE ＝90°时，EF ＝2CF ． 解方程21224x x x -=，得x ＝16，或x ＝0．此时E (16, 35)．图2 图3如图1，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为线段AE 上一点，联结BF 并延长交边AD 于点G ，过点G 作AE 的平行线，交射线DC 于点H ．设AD EFx AB AF==． （1）当x ＝1时，求AG ∶AB 的值； （2）设GDHEBAS S △△＝y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； （3）当DH ＝3HC 时，求x 的值．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16虹口一模25”，拖动点B 可以改变平行四边形的邻边比，可以体验到，当菱形ABCD 时，G 是AD 的中点，△GDH 与△EBA 保持相似．还可以体验到，DH ＝3HC 存在两种情况．满分解答（1）如图2，当x ＝1时，AD ＝AB ，F 是AE 的中点． 因为AD //CB ，所以AG ＝BE ＝12BC ＝12AD ＝12AB ． 所以AG ∶AB ＝1∶2．（2）如图3，已知AD EF x AB AF ==，设AB ＝m ，那么AD ＝xm ，BE ＝12xm ． 由AD //BC ，得BE EFx AG AF ==．所以12BE AG m x ==．所以DG ＝12xm m -．图2 图3 图4 如图4，延长AE 交DC 的延长线于M ． 因为GH //AE ，所以△GDH ∽△ADM ． 因为DM //AB ，所以△EBA ∽△ADM ． 所以△GDH ∽△EBA ．所以y ＝GDH EBA S S △△＝2()DG BE ＝2211()()22xm m xm -÷＝22(21)x x -． （3）如图5，因为GH //AM ，所以11()2122DH DG xm m m x HM GA ==-÷=-． 因为DM //AB ，E 是BC 的中点，所以MC ＝AB ＝DC ． DH ＝3HC 存在两种情况：如图5，当H 在DC 上时，35DH HM =．解方程3215x -=，得45x =． 如图6，当H 在DC 的延长线上时，3DH HM =．解方程213x -=，得45x =．图5 图6如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2－3ax ＋c 与x 轴交于A (－1, 0)、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C (0, 2)．（1）求抛物线的对称轴及点B 的坐标； （2）求证：∠CAO ＝∠BCO ；（3）点D 是射线BC 上一点（不与B 、C 重合），联结OD ，过点B 作BE ⊥OD ，垂足为△BOD 外一点E ，若△BDE 与△ABC 相似，求点D 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16黄浦一模24”，拖动点D 在射线BC 上运动，可以体验到，当点E 在△BOD 外时，有两个时刻，Rt △BDE 的两条直角边的比为1∶2．满分解答（1）由y ＝ax 2－3ax ＋c ，得抛物线的对称轴为直线32x =． 因此点A (－1, 0)关于直线32x =的对称点B 的坐标为(4, 0)． （2）如图2，因为tan ∠CAO ＝2CO AO =，tan ∠BCO ＝2BOCO=，所以∠CAO ＝∠BCO ．（3）由B (4, 0)、C (0, 2)，得直线BC 的解析式为122y x =-+．设D 1(,2)2x x -+．以∠ABC （∠OBC ）为分类标准，分两种情况讨论：①如图3，当∠OBC ＝∠DBE 时，由于∠OBC 与∠OCB 互余，∠DBE 与∠ODC 互余，所以∠OCB ＝∠ODC ．此时OD ＝OC ＝2．根据OD 2＝4，列方程221+(2)42x x -+=．解得x ＝0，或85x =．此时D 86(,)55． ②如图4，当∠OBC ＝∠EDB 时，OD ＝OB ＝4． 根据OD 2＝16，列方程221+(2)162x x -+=．解得x ＝4，或125x =-．此时D 1216(,)55-．图2 图3 图4如图1，已知直线l1//l2，点A是l1上的点，B、C是l2上的点，AC⊥BC，∠ABC＝60°，AB＝4，O是AB的中点，D是CB的延长线上的点，将△DOC沿直线CO翻折，点D与点D′重合．（1）如图1，当点D落在直线l1上时，求DB的长；（2）延长DO交直线l1于点E，直线OD′分别交直线l1、l2于点M、N．①如图2，当点E在线段AM上时，设AE＝x，DN＝y，求y关于x的解析式及定义域；②若△DON AE的长．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“16黄浦一模25”，拖动点D在CB的延长线上运动，可以体验到，CD′与AB保持平行，△BON与△BDO保持相似．还可以体验到，有两个时刻DN＝3．满分解答（1）如图3，在Rt△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝4，O是AB的中点，所以△OBC是边长为2的等边三角形．又因为△DOC与△D′OC关于CO对称，所以∠BCD′＝120°，CD′＝CD．所以AB//D′C．当点D′ 落在直线l1上时，AD′//BC．所以四边形ABCD′是平行四边形．所以CD′＝BA＝4．此时BD＝CD－CB＝CD′－CB＝4－2＝2．图3（2）①如图4，由于AE//BD，O是AB的中点，所以AE＝BD＝x．因为AB//D′C，所以∠AOM＝∠2．又因为∠AOM＝∠BON，∠2＝∠1，所以∠BON＝∠1．又因为∠OBN＝∠DBO，所以△BON∽△BDO．所以BO BDBN BO=．因此22xx y=+．于是得到24xyx-=．定义域是0＜x≤2．②在△DON中，DN当S△DON DN＝3．有两种情形：情形1，如图4，当D在BN上时，DN＝24xyx-=＝3，解得x＝1，或x＝－4．此时AE＝1．情形2，如图5，当D在BN的延长线上时，由BO BDBN BO=，得22xx y=-．于是得到24xyx-=．当DN＝24xyx-=＝3时，解得x＝4，或x＝－1．此时AE＝4．图4 图5如图1，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =++经过点A (4, 0)、点C (0,－4)，点B 与点A 关于这条抛物线的对称轴对称．（1）用配方法求这条抛物线的顶点坐标； （2）联结AC 、BC ，求∠ACB 的正弦值；（3）点P 是这条抛物线上的一个动点，设点P 的横坐标为m （m ＞0），过点P 作y 轴的垂线PQ ，垂足为Q ，如果∠QPO ＝∠BCO ，求m 的值．图1动感体验请打开几何画板文件名“16嘉定一模24”，可以体验到，QO ∶QP ＝OB ∶OC ．满分解答（1）将A (4, 0)、C (0,－4)分别代入212y x bx c =++，得840,4.b c c ++=⎧⎨=-⎩解得b ＝－1，c ＝－4．所以2142y x x =--＝1(2)(4)2x x +-＝219(1)22x --． 点B 的坐标是(－2, 0)，顶点坐标是9(1,)2-．（2）由A (4, 0)、B (－2, 0)、C (0,－4)，得AC ＝BC ＝AB ＝6，CO ＝4． 作BH ⊥AC 于H ．由S △ABC ＝12AB CO ⋅＝12AC BH ⋅．得AB CO BH AC ⋅=＝因此sin ∠ACB ＝BH BC ．（3）点P 的坐标可以表示为21(,4)2m m m --． 由tan ∠QPO ＝tan ∠BCO ，得12QO OB QP OC ==． 所以QP ＝2QO ．解方程212(4)2m m m =--，得m =图2所以点P 的横坐标m ．如图1，已知△ABC 中，∠ABC ＝90°，tan ∠BAC ＝12．点D 在AC 边的延长线上，且DB 2＝DC ·DA ．（1）求DCCA的值； （2）如果点E 在线段BC 的延长线上，联结AE ，过点B 作AC 的垂线，交AC 于点F ，交AE 于点G ．①如图2，当CE ＝3BC 时，求BFFG的值； ②如图3，当CE ＝BC 时，求BCDBEGS S △△的值．图1动感体验请打开几何画板文件名“16嘉定一模25”，拖动点E 运动，可以体验到，当CE ＝3BC 时，BD //AE ，BG 是直角三角形ABE 斜边上的中线．当CE ＝BC 时，△ABF ≌△BEH ，AF ＝2EH ＝4CF ．满分解答（1）如图1，由DB 2＝DC ·DA ，得DB DADC DB=． 又因为∠D 是公共角，所以△DBC ∽△DAB ．所以DB BC CDDA AB BD==． 又因为tan ∠BAC ＝BC AB ＝12，所以12CD BD =，12BD DA =．所以14CD DA =．所以13DCCA=． （2）①如图4，由△DBC ∽△DAB ，得∠1＝∠2． 当BF ⊥CA 时，∠1＝∠3，所以∠2＝∠3．因为13DC CA =，当CE ＝3BC 时，得DC BCCA CE =．所以BD //AE ． 所以13BD EA =，∠2＝∠E ．所以∠3＝∠E ．所以GB ＝GE ．于是可得G B 是Rt △ABE 斜边上的中线．所以23BD GA =．所以23BF BD FG GA ==．②如图5，作EH⊥BG，垂足为H．当CE＝BC时，CF是△BEH的中位线，BF＝FH．设CF＝m．由tan∠1＝tan∠3＝12，得BF＝2m，AF＝4m．所以FH＝2m，EH＝2m，DC＝1533CA m=．因此422FG AF mHG EH m===．所以2433FG FH m==．所以103BG m=．于是5121321102323BCDBEGm mDC BFSS BG EH m m⨯⋅===⋅⨯△△．图4 图5如图1，直线121+=x y 与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，二次函数的图像与y 轴相交于点C ，与直线121+=x y 相交于点A 、D ，CD //x 轴，∠CDA ＝∠OCA ． （1）求点C 的坐标；（2）求这个二次函数的解析式．图1动感体验请打开几何画板文件名“16静安青浦一模24”，可以体验到，△AOB 与△COA 相似．满分解答（1）由121+=x y ，得A (－2, 0)，B (0, 1)．所以OA ＝2，OB ＝1． 由于CD //x 轴，所以∠CDA ＝∠1．又已知∠CDA ＝∠OCA ，所以∠1＝∠OCA ． 由tan ∠1＝tan ∠OCA ，得OB OAOA OC=． 所以122OC=． 解得OC ＝4．所以C (0, 4)．（2）因为CD //x 轴，所以y D ＝y C ＝4． 图2 解方程1142x +=，得x ＝6．所以D (6, 4)． 所以抛物线的对称轴为直线x ＝3．因此点A (－2, 0)关于直线x ＝3的对称点为(8, 0)． 设抛物线的解析式为y ＝a (x ＋2)(x －8)．代入点C (0, 4)，得4＝－16a ． 解得14a =-．所以2113(2)(8)4442y x x x x =-+-=-++．如图1，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AC ＝BC ＝10，cos ∠ACB ＝45，点E 在对角线AC 上，且CE ＝AD ，BE 的延长线与射线AD 、射线CD 分别相交于点F 、G ．设AD ＝x ，△AEF 的面积为y ．（1）求证：∠DCA ＝∠EBC ；（2）当点G 在线段CD 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； （3）如果△DFG 是直角三角形，求△AEF 的面积．图1动感体验请打开几何画板文件名“16静安青浦一模25”，拖动点D 运动，可以体验到，直角三角形DFG 存在两种情况．满分解答（1）如图2，因为AD //BC ，所以∠DAC ＝∠ECB ．又因为AC ＝CB ，AD ＝CE ，所以△ADC ≌△CEB ．所以∠DCA ＝∠EBC ． （2）如图3，作EH ⊥BC 于H ． 在Rt △EHC 中，CE ＝x ，cos ∠ECB ＝45，所以CH ＝45x ，EH ＝35x ． 所以S △CEB ＝12BC EH ⋅＝131025x ⨯⨯＝3x ． 因为AD //BC ，所以△AEF ∽△CEB ．所以2()AEF CEB S AE S CE=△△． 所以22103(10)()3AEF x x y S x x x--==⨯=△．定义域是0＜x≤5． 定义域中x＝5的几何意义如图4，D 、F 重合，根据AD AECB CE=，列方程1010x xx-=．图2 图3 图4（3）①如图5，如果∠FGD＝90°，那么在Rt△BCG和Rt△BEH中，tan∠GBC＝335104504xGC HE xGB HB x x ===--．由（1）得∠ACD＝∠CBE．由cos∠ACD＝cos∠CBE，得GC GBCE BC=．所以10GC CE xGB BC==．因此350410x xx=-．解得x＝5．此时S△AEF＝23(10)15xyx-==．②如图6，如果∠FDG＝90°，那么在Rt△ADC中，AD＝AC cos∠CAD＝4105⨯＝8．此时S△AEF＝23(10)32xyx-==．图5 图6例 2016年上海市闵行区中考一模第24题如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像与x 轴交于A 、B 两点，点B 的坐标为(3, 0)，与y 轴交于点C (0,－3)，点P 是直线BC 下方的抛物线上的任意一点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）联结PO ，PC ，并将△POC 沿y 轴对折，得到四边形POP ′C ，如果四边形POP ′C 为菱形，求点P 的坐标；（3）如果点P 在运动过程中，使得以P 、C 、B 为顶点的三角形与△AOC 相似，请求出此时点P 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16闵行一模24”，拖动点P 在直线BC 下方的抛物线上运动，可以体验到，当四边形POP ′C 为菱形时，PP ′垂直平分OC ．还可以体验到，当点P 与抛物线的顶点重合时，或者点P 落在以BC 为直径的圆上时，△PCB 是直角三角形．满分解答（1）将B (3, 0)、C (0,－3)分别代入y ＝x 2＋bx ＋c ，得930,3.b c c ++=⎧⎨=-⎩．解得b ＝－2，c ＝－3．所以二次函数的解析式为y ＝x 2－2x －3．（2）如图2，如果四边形POP ′C 为菱形，那么PP ′垂直平分OC ，所以y P ＝32-．解方程23232x x --=-，得22x =．所以点P 的坐标为23()22-．图2 图3 图4（3）由y ＝x 2－2x －3＝(x ＋1)(x －3)＝(x －1)2－4，得A (－1, 0)，顶点M (1,－4)． 在Rt △AOC 中，OA ∶OC ＝1∶3．分两种情况讨论△PCB 与△AOC 相似：①如图3，作MN⊥y轴于N．由B(3, 0)、C(0,－3)，M(1,－4)，可得∠BOC＝∠MCN＝45°，所以∠BCM＝90°．又因为CM∶CB＝1∶3，所以当点P与点M(1,－4)重合时，△PCB∽△AOC．②如图4，当∠BPC＝90°时，构造△AEP∽△PFB，那么CE PF EP FB=．设P(x, x2－2x－3)，那么22(3)(23)3(23)x x xx x x-----=---．化简，得1(2)1xx--=+．解得x=．此时点P的横坐标为x=．而2(23)32CB NB x xxCP MP x x---===-++是个无理数，所以当∠BPC＝90°时，△PCB与△AOC不相似．例 2016年上海市闵行区中考一模第25题如图1，在直角梯形ABCD 中，AB //CD ，∠ABC ＝90°，对角线AC 、BD 交于点G ，已知AB ＝BC ＝3，tan ∠BDC ＝12，点E 是射线BC 上任意一点，过点B 作BF ⊥DE ，垂足为F ，交射线AC 于点M ，交射线DC 于点H ．（1）当点F 是线段BH 的中点时，求线段CH 的长；（2）当点E 在线段BC 上时（点E 不与B 、C 重合），设BE ＝x ，CM ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并指出x 的取值范围；（3）联结GF ，如果线段GF 与直角梯形ABCD 中的一条边（AD 除外）垂直时，求x 的值．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16闵行一模25”，拖动点E 在射线BC 上运动，可以体验到，点G 是BD 的一个三等分点，CH 始终都有CE 的一半．还可以体验到，GF 可以与BC 垂直，也可以与DC 垂直．满分解答（1）在Rt △BCD 中，BC ＝3，tan ∠BDC ＝BC DC ＝12，所以DC ＝6，DB ＝．如图2，当点F 是线段BH 的中点时，DF 垂直平分BH ，所以DH ＝DB ＝．此时CH ＝DB －DC ＝6．图2 图3（2）如图3，因为∠CBH 与∠CDE 都是∠BHD 的余角，所以∠CBH ＝∠CDE ． 由tan ∠CBH ＝tan ∠CDE ，得CH CE CB CD =，即336CH x-=． 又因为CH //AB ，所以CH MC AB MA =，即3CH =．因此36x -=．整理，得)3x y x -=+．x 的取值范围是0＜x ＜3． （3）如图4，不论点E 在BC 上，还是在BC 的延长线上，都有12BG AB GD DC ==， 12CH CE =． ①如图5，如果GF ⊥BC 于P ，那么AB //GF //DH ．所以13BP PF BG BC CH BD ===．所以BP ＝1，111(3)366PF CH CE x ===-． 由PF //DC ，得PF PE DC CE =，即12(3)(3)363x x x---=-． 整理，得242450x x -+=．解得21x =±21BE =- ②如图6，如果GF ⊥DC 于Q ，那么GF //BE ． 所以23QF DQ DG CE DC DB ===．所以DQ ＝4，2(3)3QF x =-． 由QF //BC ，得QF QH BC CH =，即21(3)2(3)3213(3)2x x x ---=-． 整理，得223450x x --=．解得x =34BE +=．图4 图5 图6如图1，抛物线y ＝ax 2＋2ax ＋c （a ＞0）与x 轴交于A (－3,0)、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C (0,－3)，抛物线的顶点为M ．（1）求a 、c 的值； （2）求tan ∠MAC 的值；（3）若点P 是线段AC 上的一个动点，联结OP ．问：是否存在点P ，使得以点O 、C 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“16浦东一模24”，拖动点P 在线段AC 上运动，可以体验到，△COP 与△ABC 相似存在两种情况．满分解答（1）将A (－3,0)、C (0,－3)分别代入y ＝ax 2＋2ax ＋c ，得960,3.a a c c -+=⎧⎨=-⎩解得a ＝1，c ＝－3．（2）由y ＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4，得顶点M 的坐标为(－1,－4)． 如图2，作MN ⊥y 轴于N ．由A (－3,0)、C (0,－3)、M (－1,－4)，可得OA ＝OC ＝3，NC ＝NM ＝1．所以∠ACO ＝∠MCN ＝45°，AC ＝MC ． 所以∠ACM ＝90°．因此tan ∠MAC ＝MC AC＝13． （3）由y ＝x 2＋2x －3＝(x ＋3)(x －1)，得B (1, 0)．所以AB ＝4．如图3，在△COP 与△ABC 中，∠OCP ＝∠BAC ＝45°，分两种情况讨论它们相似：当CP ABCO AC =时，3CP =CP =P 的坐标为(－2,－1)．当CP AC CO AB =时，3CP =CP =．此时点P 的坐标为93(,)44--．图2 图3如图1，在边长为6的正方形ABCD 中，点E 为AD 边上的一个动点（与A 、D 不重合），∠EBM ＝45°，BE 交对角线AC 于点F ，BM 交对角线于点G ，交CD 于点M ．（1）如图1，联结BD ，求证：△DEB ∽△CGB ，并写出DECG的值； （2）如图2，联结EG ，设AE ＝x ，EG ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当M 为边DC 的三等分点时，求S △EGF 的面积．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“16浦东一模25”，拖动点E 在AD 边上运动，可以体验到， △EBD 与△GBC 保持相似，△EBG 保持等腰直角三角形．满分解答（1）如图3，因为∠EBM ＝∠DBC ＝45°，所以∠1＝∠2． 又因为∠EDB ＝∠GCB ＝45°，所以△DEB ∽△CGB ．因此DE DBCG CB==图3 图4（2）如图3，由△DEB ∽△CGB ，得EB DBGB CB=． 又因为∠EBM ＝∠DBC ＝45°，所以△EBG ∽△DBC （如图4）． 所以△EBG 是等腰直角三角形．如图4，在Rt △ABE 中，AB ＝6，AE ＝x ，所以BE所以y ＝EG ＝2BE ． 定义域是0＜x ＜6．（3）如图5，由于S △EGB ＝12EG 2＝2364x +，EGF EGB S EF S EB =△△， 所以2364EGFEF x S EB +=⨯△． 由（1）知，DE，所以 x ＝AE ＝AD －DE＝6．①如图6，当13CM CD =时，13CG CM AG AB ==．所以1144CG CA ==⨯此时x ＝AE＝6-＝3．所以3162EF AE BF CB ===．所以13EF EB =．所以2364EGF EF x S EB +=⨯△＝2133634+⨯＝154． ②如图7，当23CM CD =时，23CG CM AG AB ==．所以2255CG CA ==⨯=此时x ＝AE＝6-＝65．所以61655EF AE BF CB ==÷=．所以16EF EB =．所以2364EGFEF x S EB +=⨯△＝26()361564+⨯＝3925．图5 图6 图7第（2）题也可以这样证明等腰直角三角形EBG ： 如图8，作GH ⊥EB 于H ，那么△GBH 是等腰直角三角形．一方面2GB CB EB DB ==，另一方面cos 452HB GB =︒=，所以GB HBEB GB=． 于是可得△EBG ∽△GBH ．所以△EBG 是等腰直角三角形． 如图9，第（2）题也可以构造Rt △EGN 来求斜边EG ＝y ： 在Rt △AEN 中，AE ＝x ，所以AN ＝ENx ． 又因为CG)x -，所以GN ＝AC －AN －CG＝所以y＝EG．如图10，第（2）题如果构造Rt△EGQ和Rt△CGP，也可以求斜边EG＝y：由于CG)x-，所以CP＝GP＝1(6)2x-＝132x-．所以GQ＝PD＝16(3)2x--＝132x+，EQ＝16(3)2x x---＝132x-．所以y＝EG．图8 图9 图10如图1，已知二次函数273y ax x c =-+的图像经过A (0, 8)、B (6, 2)、C (9, m )三点，延长AC 交x 轴于点D ．（1）求这个二次函数的解析式及m 的值； （2）求∠ADO 的余切值；（3）过点B 的直线分别与y 轴的正半轴、x 轴、线段AD 交于点P （点A 的上方）、M 、Q ，使以点P 、A 、Q 为顶点的三角形与△MDQ 相似，求此时点P的坐标． 图1动感体验请打开几何画板文件名“16普陀一模24”，拖动点Q 在线段AD 上运动，可以体验到，△APQ 与△MDQ 相似只存在一种情况．满分解答（1）将A (0, 8)、B (6, 2)分别代入273y ax x c =-+，得8,3614 2.c a c =⎧⎨-+=⎩ 解得29a =，c ＝8．所以二次函数的解析式为227893y x x =-+． 所以227(9)818218593m f x x ==-+=-+=．（2）由A (0, 8)、C (9, 5)，可得直线AC 的解析式为183y x =-+．所以D (24, 0)．因此cot ∠ADO ＝OD OA ＝248＝3．（3）如图2，如果△APQ 与△MDQ 相似，由于∠AQP ＝∠MQD ，∠P AQ 与∠DMQ 是钝角，因此只存在一种情况，△APQ ∽△MDQ ．因此∠APQ ＝∠D ．作BN ⊥y 轴于N ，那么∠BPN ＝∠D ．因此cot ∠BPN ＝cot ∠D ＝3．所以PN ＝3BN ＝18．此时点P 的坐标为(0, 20)．图2如图1，已知锐角∠MBN 的正切值等于3，△PBD 中，∠BDP ＝90°，点D 在∠MBN 的边BN 上，点P 在∠MBN 内，PD ＝3，BD ＝9．直线l 经过点P ，并绕点P 旋转，交射线BM 于点A ，交射线DN 于点C ，设CAx CP=． （1）求x ＝2时，点A 到BN 的距离；（2）设△ABC 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）当△ABC 因l 的旋转成为等腰三角形时，求x 的值．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16普陀一模25”，拖动点C 运动，可以体验到，AH 与BH 的比值＝tan ∠B ＝3为定值，AH 与PD 的比值＝CA ∶CP ＝x ．满分解答（1）如图2，作AH ⊥BC 于H ，那么PD //AH ． 因此2AH CAx PD CP===． 所以AH ＝2PD ＝6，即点A 到BN 的距离为6．图2 图3（2）如图3，由AH CAx PD CP ==，得AH ＝xPD ＝3x ． 又因为tan ∠MBN ＝AHBH ＝3，所以BH ＝x ．设BC ＝m ．由CH CA x CD CP ==，得9m xx m -=-．整理，得81xm x =-．所以y ＝S △ABC ＝12BC AH ⋅＝18321xx x ⨯⨯-＝2121x x -． 定义域是0＜x ≤9．x ＝9的几何意义是点C 与点H 重合，此时CA ＝27，CP ＝3．（3）在△ABC 中，BA ，cos ∠ABC BC ＝81x x -．①如图4，当BA ＝BC 81x x =-，得1x = ②如图5，当AB ＝AC 时，BC ＝2BH ．解方程821xx x =-，得x ＝5．③如图6，当CA ＝CB 时，由cos ∠ABC ，得12AB =．解方程1821x x =-，得135x =．图4 图5 图6如图1，已知抛物线y ＝ax 2＋bx －3与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，O 是坐标原点，已知点B 的坐标是(3, 0)，tan ∠OAC ＝3．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P 在x 轴上方的抛物线上，且∠P AB ＝∠CAB ，求点P 的坐标；（3）点D 是y 轴上的一动点，若以D 、C 、B 为顶点的三角形与△ABC 相似，求出符合条件的点D 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16松江一模24”，拖动点D 在y 轴正半轴上运动，可以体验到，△BCD 与△ABC 相似存在两种情况．满分解答（1）由y ＝ax 2＋bx －3，得C (0,－3)，OC ＝3． 由tan ∠OAC ＝3，得OA ＝1，A (－1, 0)．因为抛物线与x 轴交于A (－1, 0)、B (3, 0)两点，设y ＝a (x ＋1)(x －3)． 代入点C (0,－3)，得a ＝1．所以y ＝(x ＋1)(x －3)＝x 2－2x －3． （2）如图2，作PH ⊥x 轴于H ．设P (x , (x ＋1)(x －3))． 由tan ∠P AB ＝tan ∠CAB ，得3PH CO AH AO ==．所以(1)(3)31x x x +-=+． 解得x ＝6．所以点P 的坐标为(6, 21)．（3）由A (－1, 0)、B (3, 0)、C (0,－3)，得BA ＝4，BC ＝ABC ＝∠BCO ＝45°． 当点D 在点C 上方时，∠ABC ＝∠BCD ＝45°．分两种情况讨论△BCD 与△ABC 相似： 如图3，当CD BACB BC=时，CD ＝BA ＝4．此时D (0, 1)．如图4，当CD BCCB BA =4=92CD =．此时D 3(0,)2．图2 图3 图4已知等腰梯形ABCD 中，AD //BC ，∠B ＝∠BCD ＝45°，AD ＝3，BC ＝9，点P 是对角线AC 上的一个动点，且∠APE ＝∠B ，PE 分别交射线AD 和射线CD 于点E 和点G ．（1）如图1，当点E 、D 重合时，求AP 的长；（2）如图2，当点E 在AD 的延长线上时，设AP ＝x ，DE ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当线段DG 时，求AE 的长．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“16松江一模25”，拖动点P 在AC 上运动，可以体验到，DGDE 也存在两种情况．满分解答（1）如图3，作AM ⊥BC ，DN ⊥BC ，垂足分别为M 、N ，那么MN ＝AD ＝3．在Rt △ABM 中，BM ＝3，∠B ＝45°，所以AM ＝3，AB ＝在Rt △AMC 中，AM ＝3，MC ＝6，所以CA ＝ 如图4，由AD //BC ，得∠1＝∠2．又因为∠APE ＝∠B ，当E 、D 重合时，△APD ∽△CBA ．所以AP CBAD CA =．因此3AP =AP ＝5． （2）如图5，设（1）中E 、D 重合时点P 的对应点为F ． 因为∠AFD ＝∠APE ＝45°，所以FD //PE ．所以AF AD AP AE =33y=+．因此33y x =-．定义域是5＜x ≤．图3 图4 图5（3）如图6，因为CA =AF =，所以FC =．由DF //PE ，得13FP DG FC DC ===．所以FP =．由DF //PE ，9552AD AF DE FP ==÷=．所以2293DE AD ==． ①如图6，当P 在AF 的延长线上时，233AE AD DE =+=． ②如图7，当P 在AF 上时，123AE AD DE =-=．图6 图7例 2016年上海市徐汇区中考一模第24题如图1，在Rt △AOB 中，∠AOB ＝90°，已知点A (－1,－1)，点B 在第二象限，OB＝抛物线235y x bx c =++经过点A 和B ． （1）求点B 的坐标； （2）求抛物线235y x bx c =++的对称轴； （3）如果该抛物线的对称轴分别和边AO 、BO 的延长线交于点C 、D ，设点E 在直线AB 上，当△BOE 和△BCD 相似时，直接写出点E 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16徐汇一模24”，拖动点E 在射线BA 上运动，可以体验到，△BOE 和△BCD 相似存在两种情况．满分解答（1）由A (－1,－1)，得OA 与x 轴负半轴的夹角为45°．又因为∠AOB ＝90°，所以OB 与x 轴负半轴的夹角也为45°． 当OB＝B 到x 轴、y 轴的距离都为2． 所以点B 的坐标为(－2,2)．（2）将A (－1,－1)、B (－2,2)分别代入235y x bx c =++，得31,5122 2.5b c b c ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩解得65b =-，145c =-．所以23614555y x x =--．抛物线的对称轴是直线x ＝1．（3）如图2，由A (－1,－1)、B (－2,2)、C (1, 1)、D (1,－1)，以及∠AOB ＝90°，可得BO 垂直平分AC ，BO＝，BA ＝BCBD＝如图3，过点A 、E 作y 轴的平行线，过点B 作y 轴的垂线，构造Rt △ABM 和Rt △EBN ，那么BA BM MA BE BN NE==． 设点E 的坐标为(x , y )1322x y==+-．图2 图3当点E 在射线BA 上时，∠EBO ＝∠DBC ．分两种情况讨论相似：①当BE BCBO BD ==BE =1322x y==+-．解得x ＝43-，y ＝0．所以E 4(,0)3-（如图4）．②当BE BDBO BC ==BE =1322x y==+-．解得x ＝45-，y ＝85-．所以E 48(,)55--（如图5）．图4 图5例 2016年上海市徐汇区中考一模第25题如图1，四边形ABCD 中，∠C ＝60°，AB ＝AD ＝5，CB ＝CD ＝8，点P 、Q 分别是边AD 、BC 上的动点，AQ 与BP 交于点E ，且∠BEQ ＝90°－12∠BAD ．设A 、P 两点间的距离为x ．（1）求∠BEQ 的正切值； （2）设AEPE＝y ，求y 关于x 的函数解析式及定义域； （3）当△AEP 是等腰三角形时，求B 、Q 两点间的距离．图1动感体验请打开几何画板文件名“16徐汇一模25”，拖动点P 在AD 边上运动，可以体验到， ∠AEP ＝∠BEQ ＝∠ABH ＝∠ADH ，△ABF ∽△BEF ∽△BDP ，△AEP ∽△ADF ．满分解答（1）如图2，联结BD 、AC 交于点H ．因为AB ＝AD ，CB ＝CD ，所以A 、C 在BD 的垂直平分线上． 所以AC 垂直平分BD ．因此∠BAH ＝12∠BAD ． 因为∠BEQ ＝90°－12∠BAD ， 所以∠BEQ ＝90°－∠BAH ＝∠ABH ．在Rt △ABH 中，AB ＝5，BH ＝4，所以AH ＝3． 所以tan ∠BEQ ＝tan ∠ABH ＝34． 图2 （2）如图3，由于∠BEQ ＝∠ABH ，∠BEQ ＝∠AEP ，∠ABH ＝∠ADH ， 所以∠AEP ＝∠BEQ ＝∠ABH ＝∠ADH ．图3 图4 图5如图3，因为∠BF A 是公共角，所以△BEF ∽△ABF ． 如图4，因为∠DBP 是公共角，所以△BEF ∽△BDP ．所以△ABF ∽△BDP ．所以AB BD BF DP =．因此585BF x=-． 所以5(5)8BF x =-．所以518(5)(539)88FD BD BF x x =-=--=+．如图5，因为∠DAF 是公共角，所以△AEP ∽△ADF ． 所以5401539(539)8AE AD y PE FD x x ====++．定义域是0≤x ≤5． （3）分三种情况讨论等腰△AEP ：①当EP ＝EA 时，由于△AEP ∽△ADF ，所以DF ＝DA ＝5（如图6）． 此时BF ＝3，HF ＝1． 作QM ⊥BD 于M ．在Rt △BMQ 中，∠QBM ＝60°，设BQ ＝m ，那么12BM m =，QM =． 在Rt △FMQ 中，132FM m =-，tan ∠MFQ ＝tan ∠HF A ＝3，所以QM ＝3FM ．13(3)2m =-，得BQ ＝m＝9- ②如图7，当AE ＝AP 时，E 与B 重合，P 与D 重合，此时Q 与B 重合，BQ ＝0． ③不存在PE ＝P A 的情况，因为∠P AE ＞∠P AH ＞∠AEP ．图6 图7如图1，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y轴交于点C ，直线y ＝x ＋4经过A 、C 两点．（1）求抛物线的表达式；（2）如果点P 、Q 在抛物线上（点P 在对称轴左边），且PQ //AO ，PQ ＝2AO ，求点P 、Q 的坐标；（3）动点M 在直线y ＝x ＋4上，且△ABC 与△COM相似，求点M 的坐标． 图1动感体验请打开几何画板文件名“16杨浦一模24”，拖动点M 在射线CA 上运动，可以体验到，△ABC 与△COM 相似存在两种情况．满分解答（1）由y ＝x ＋4，得A (－4, 0)，C (0, 4)． 将A (－4, 0)、C (0, 4)分别代入212y x bx c =-++，得840,4.b c c --+=⎧⎨=⎩ 解得b ＝－1，c ＝4．所以抛物线的表达式为2142y x x =--+． （2）如图2，因为PQ //AO ，所以P 、Q 关于抛物线的对称轴对称． 因为抛物线的对称轴是直线x ＝－1，PQ ＝2AO ＝8，所以x P ＝－5，x Q ＝3．当x ＝3时，2142y x x =--+＝72-．所以P 7(5,)2--，Q 7(3,)2-． （3）由2114(4)(2)22y x x x x =--+=-+-，得B (2, 0)．由A (－4, 0)、B (2, 0)、C (0, 4)，得AB ＝6，AC ＝，CO ＝4．当点M 在射线CA 上时，由于∠MCO ＝∠BAC ＝45°，所以分两种情况讨论相似：①当CM ABCO AC =时，4CM =CM =M (－3, 1)（如图3）．②当CM AC CO AB =时，46CM =CM =M 84(,)33-（如图4）．图2 图3 图4如图1，已知菱形ABCD的边长为5，对角线AC的长为6，点E为边AB上的动点，点F在射线AD上，且∠ECF＝∠B，直线CF交直线AB于点M．（1）求∠B的余弦值；（2）当点E与点A重合时，试画出符合题意的图，并求BM的长；（3）当点M在AB的延长线上时，设BE＝x，BM＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16杨浦一模25”，拖动点E在AB上慢慢运动，可以体验到，∠1＝∠2＝∠3，△MCE与△MBC保持相似．满分解答（1）如图2，作AN⊥BC于N，联结BD交AC于O，那么BO垂直平分AC．在Rt△ABO中，AB＝5，AO＝3，所以BO＝4．因为S菱形ABCD＝12AC BD⋅＝BC AN⋅，所以64=5AN⨯⨯．解得AN＝245．在Rt△ABN中，AB＝5，AN＝245，所以BN＝75．因此cos∠B＝BNAB＝725．（2）如图3，当点E与点A重合时，由于∠ECF＝∠B，∠FEC＝∠1，所以△ECF∽△ABC．所以EF ACEC AB=，即665EF=．解得365EF=．由BC//AF，得AM AFBM BC=，即53625BMBM+=．解得12511BM=．图2 图3（3）如图4，因为∠ECF ＝∠ABC ，根据等角的邻补角相等，得∠MCE ＝∠MBC ． 如图5，因为∠M 是公共角，所以△MCE ∽△MBC ． 所以MC MBME MC=．因此22()MC MB ME y x y xy y =⋅=+=+． 作MH ⊥BC ，垂足为H ．在Rt △MBH 中，MB ＝y ，cos ∠MBH ＝725，所以BH ＝725y ，MH ＝2425y ．在Rt △MCH 中，根据勾股定理，得MC 2＝MH 2＋CH 2．因此222247()(5)2525xy y y y +=++． 整理，得125514y x =-．定义域是145＜x ≤5．定义域中x ＝145的几何意义如图6所示，此时D 、F 重合，AB //CF ．由CF ＝CE ，CF ＝CB ，得CE ＝CB ． 所以1cos 2BE BC B =⋅．解得BE ＝72525⨯⨯＝145．图4 图5 图6例 2016年上海市闸北区中考一模第24题如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x 轴交于点A (－1,0)和点B ，与y 轴交于点C (0, 2)，对称轴为直线x ＝1，对称轴交x 轴于点E ．（1）求该抛物线的表达式，并写出顶点D 的坐标；（2）设点F 在抛物线上，如果四边形AEFD 是梯形，求点F 的坐标；（3）联结BD ，设点P 在线段BD 上，若△EBP 与△ABD 相似，求点P 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16闸北一模24”，梯形AEFD 只存在一种情况．拖动点P 在BD 边上运动，可以体验到，△EBP 与△ABD 相似存在两种情况．满分解答（1）点A (－1,0)关于直线x ＝1的对称点B 的坐标为(3, 0)．设抛物线的解析式为y ＝a (x ＋1)(x －3)，代入点C (0, 2)，得2＝－3a ． 解得23a =-．所以2222428(1)(3)2(1)33333y x x x x x =-+-=-++=--+． 顶点D 的坐标为8(1,)3． （2）过△ADE 的三个顶点分别画对边的平行线，只有经过点E 的直线与抛物线有另外的交点，在第一象限内的交点就是梯形AEFD 的顶点F ．设F 224(,2)33x x x -++． 作FH ⊥x 轴于H ，那么∠FEH ＝∠DAE ． 由tan ∠FEH ＝tan ∠DAE ，得43FH DE EH AE ==．所以43FH EH =．解方程22442(1)333x x x -++=-，得x =F ．图2 图3 图4。
上海市中考数学模拟试卷(4)
上海市中考数学模拟试卷（4）一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）1．（4分）2016的相反数是（）A ．B．﹣2016C ．﹣D．20162．（4分）下列运算正确的是（）A．2x2y+3xy＝5x3y2B．（﹣2ab2）3＝﹣6a3bC．（3a+b）2＝9a2+b2D．（3a+b）（3a﹣b）＝9a2﹣b23．（4分）下列四个函数中：①y＝5x；②y＝﹣5x；③y ＝；④y ＝﹣．在同一象限，y 随x的增大而减小的函数有（）A．①②B．②③C．③④D．①④4．（4分）随着我国综合国力的增强，人们生活水平也不断提升，越来越多的人开始关注健康、锻炼身体，其中走路是最简单的锻炼方法之一，舒适的运动鞋就成为走路锻炼的必要装备，运动鞋的鞋底柔软而富有弹性，能起到一定的缓冲作用，防止脚踝受伤，某运动鞋品牌店试销一种新款男鞋，试销期间销售情况如下表：鞋的尺码2424.52525.52626.5 /cm销售量/双38161062父亲节来临之际，该品牌店店主为了促销再次进货，此次进货应参考的是试销期间所售出鞋的尺码的（）A．平均数B．众数C．中位数D．方差5．（4分）下列命题中，是假命题的是（）A．直角三角形的两个锐角互余B．在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行C．同旁内角互补，两直线平行D．三角形的一个外角大于任何一个内角6．（4分）如图是一个等边三角形，若将它绕着它的中心O旋转一定角度后能与自身重合，则至少应将它旋转的度数是（）A．120°B．90°C．60°D．30°二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）7．（4分）合并同类项：﹣9x3+7x2﹣3x2+6x3＝．8．（4分）根据如图所示的程序计算函数值，若输入x的值1.5，则输出的y值为．9．（4分）若（x﹣1）3＝x﹣1，则x＝．10．（4分）关于x的方程x2＝m﹣1有实数根，则m的取值范围是．11．（4分）在一个不透明的口袋中装有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，从中随机摸出两个小球，其标号之和大于4的概率为．12．（4分）如图是一张长12cm，宽10cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是24cm2的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为cm．13．（4分）某班若干名学生每分钟脉搏跳动次数的频数分布直方图如图，则每分钟脉搏跳动不少于78次的学生人数有名．14．（4分）已知实数x，y，z满足x﹣y＝3，x+z＝6，若x≥﹣2y，则x+y+z的最小值为．15．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，点E是边CD的中点，如果，，用含、的式子表示向量＝．16．（4分）如图，某下水管道的横截面为圆形，水面宽AB的长为8dm，水面到管道上部最高处点D的距离为2dm，则管道半径为dm．17．（4分）如图，AB∥CD，AD与BC相交于点E，若AE＝2，ED＝3，则的值是．18．（4分）如图，∠AOC＝60°，点B在OA上，且OB＝2．若以点B为圆心、r为半径的圆与直线OC相切，则r的值为；若⊙B与直线OC相交，则r的取值范围是；若⊙B与直线OC相离，则r的取值范围是．三．解答题（共7小题，满分78分）19．（10分）计算：×2﹣|1﹣|+．20．（10分）解不等式组．21．（10分）若A、B两点关于y轴对称，且点A在双曲线上，点B在直线y＝x+3上，设点A的坐标为（a、b），求的值．22．（10分）如图．某大街水平地画有两路灯灯杆AB＝CD＝10米，小明晚上站在两灯杆的正中位置观察眼睛处影子的俯角∠MEG＝∠NEH＝11.31°，已知底面到小明眼睛处的高度EF＝1.5米；（1）求两灯杆的距离DB；（2）其县在一条长760m的大街P﹣K﹣Q上安装12根灯杆（含两端），其中PK为休闲街，按（1）中的灯杆距离安装灯杆，KQ为购物街，灯杆距离比（1）中的少35m，求休闲街和购物街分别长多少米．（参考数据：tan78.69°≈5.00，tan11.31≈0.20，cos78.69≈0.20，cos11.31≈0.98，可使用科学计算器）23．（12分）已知，如图，正方形ABCD的边长为1，点E是AD边上的动点，从点A沿AD 向D运动，以BE为边，在BE的上方作正方形BEFG，连接CG，请探究：①线段AE与CG是否相等，请说明理由．②若设AE＝x，DH＝y，当x取何值时，y最大，最大值是多少？24．（12分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，过点A的直线y＝kx+b与y轴交于点D，与抛物线交于点E．（1）若k＝且点C与点D关于x轴对称，求a的值；（2）若a＝，∠DAB＝CBA，求直线y＝kx+b的解析式；（3）若点E在第一象限，问：是否存在直线y＝kx+b，使得△ABE与△ABC相似？若存在，请求出直线y＝kx+b的解析式，若不存在，请说明理由．25．（14分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝6，∠B＝45°，点E为CD 上一动点，经过A、C、E三点的⊙O交BC于点F．（1）【操作与发现】当E运动到AE⊥CD处，利用直尺与圆规作出点E与点F．（保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，证明＝．（3）【探索与证明】点E运动到任何一个位置时，求证＝．（4）【延伸与应用】点E在运动的过程中，直接写出EF的最小值．。
【精选试卷】上海中考数学专项练习基础练习(提高培优) (2)
一、选择题1．已知平面内不同的两点A （a +2，4）和B （3，2a +2）到x 轴的距离相等，则a 的值为( ) A ．﹣3 B ．﹣5 C ．1或﹣3 D ．1或﹣5 2．某商品的标价为200元，8折销售仍赚40元，则商品进价为（ ）元． A ．140B ．120C ．160D ．1003．下列长度的三根小木棒能构成三角形的是( )A ．2cm ，3cm ，5cmB ．7cm ，4cm ，2cmC ．3cm ，4cm ，8cmD ．3cm ，3cm ，4cm 4．如图，将▱ABCD 沿对角线BD 折叠，使点A 落在点E 处，交BC 于点F ，若ABD 48∠=，CFD 40∠=，则E ∠为( )A ．102B ．112C ．122D ．925．某公司计划新建一个容积V(m 3)一定的长方体污水处理池，池的底面积S(m 2)与其深度h （m ）之间的函数关系式为()0S Vh h=≠，这个函数的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．6．如图，O 为坐标原点，菱形OABC 的顶点A 的坐标为(34)-，，顶点C 在x 轴的负半轴上，函数(0)ky x x=<的图象经过顶点B ，则k 的值为（ ）A ．12-B ．27-C ．32-D ．36-7．如图，菱形ABCD 的对角线相交于点O ，若AC ＝8，BD ＝6，则菱形的周长为（ ）A ．40B ．30C ．28D ．208．甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价相同的商品，甲超市先降价20%，后又降价10%；乙超市连续两次降价15%；丙超市一次性降价30%.则顾客到哪家超市购买这种商品更合算（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．一样9．如图，四个有理数在数轴上的对应点M ，P ，N ，Q ，若点M ，N 表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数的点是（ ）A ．点MB ．点NC ．点PD ．点Q10．将一个矩形纸片按如图所示折叠，若∠1=40°，则∠2的度数是（ ）A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°11．如图，在⊙O 中，AE 是直径，半径OC 垂直于弦AB 于D ，连接BE ，若AB=27，CD=1，则BE 的长是( )A．5B．6C．7D．812．如图，AB为⊙O直径，已知为∠DCB=20°，则∠DBA为（）A．50°B．20°C．60°D．70°13．下列命题中，真命题的是（）A．对角线互相垂直的四边形是菱形B．对角线互相垂直平分的四边形是正方形C．对角线相等的四边形是矩形D．对角线互相平分的四边形是平行四边形的图象如图所示，则二次函数 y =a x 2－2x和一次函数 y＝bx+a 14．已知反比例函数 y＝abx在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．15．在“朗读者”节目的影响下，某中学开展了“好书伴我成长”读书活动．为了解5月份八年级300名学生读书情况，随机调查了八年级50名学生读书的册数，统计数据如下表所示：册数01234人数41216171关于这组数据，下列说法正确的是（）A．中位数是2 B．众数是17 C．平均数是2 D．方差是216．如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C，再经过一段坡度（或坡比）为i=1：0.75、坡长为10米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E（A，B，C，D，E均在同一平面内）．在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB的高度约为（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°=0.45）（）A ．21.7米B ．22.4米C ．27.4米D ．28.8米17．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，且a>b>c ，a ＋b ＋c ＝0，有以下四个命题，则一定正确命题的序号是（ ）①x=1是二次方程ax 2＋bx ＋c=0的一个实数根； ②二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下；③二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴在y 轴的左侧； ④不等式4a+2b+c>0一定成立． A ．①②B ．①③C ．①④D ．③④18．如图是由5个相同大小的正方体搭成的几何体，则它的俯视图是( )A ．B ．C ．D ．19．定义一种新运算：1a n n nbn xdx a b -⋅=-⎰，例如：222khxdx k h ⋅=-⎰，若m252mx dx --=-⎰，则m =（ ）A ．-2B ．25-C ．2D ．2520．在下面的四个几何体中，左视图与主视图不相同的几何体是( )A ．B ．C ．D ．21．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，有一动点P 从点A 出发，沿A →C →B →A 匀速运动．则CP 的长度s 与时间t 之间的函数关系用图象描述大致是（ ）A ．B ．C ．D ．22．函数21y x =-中的自变量x 的取值范围是（ ）A ．x ≠12 B ．x ≥1C ．x >12D ．x ≥1223．下列关于矩形的说法中正确的是（ ） A ．对角线相等的四边形是矩形 B ．矩形的对角线相等且互相平分 C ．对角线互相平分的四边形是矩形 D ．矩形的对角线互相垂直且平分24．直线y =﹣kx +k ﹣3与直线y =kx 在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．25．小军旅行箱的密码是一个六位数，由于他忘记了密码的末位数字，则小军能一次打开该旅行箱的概率是（ ） A ．110B ．19C ．16D ．1526．在△ABC 中（2）2+|1-tanB|=0，则△ABC 一定是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形 27．若一元二次方程x 2﹣2kx +k 2＝0的一根为x ＝﹣1，则k 的值为（ ）A ．﹣1B ．0C ．1或﹣1D ．2或028．如图，在菱形ABCD 中，E 是AC 的中点，EF ∥CB ，交AB 于点F ，如果EF=3，那么菱形ABCD 的周长为（ ）A ．24B ．18C ．12D ．929．如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 在坐标原点，边OA 在x 轴上， OC 在y 轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC 关于点O 位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC 面积的14，那么点B′的坐标是（ ）A ．（－2，3）B ．（2，－3）C ．（3，－2）或（－2，3）D ．（－2，3）或（2，－3）30．把一副三角板如图（1）放置，其中∠ACB ＝∠DEC ＝90°，∠A ＝45°，∠D ＝30°，斜边AB ＝4，CD ＝5．把三角板DCE 绕着点C 顺时针旋转15°得到△D 1CE 1（如图2），此时AB 与CD 1交于点O ，则线段AD 1的长度为（ ）A 13B 5C ．22D ．4二、填空题31．分解因式：2x 3﹣6x 2+4x =__________．32．正六边形的边长为8cm ，则它的面积为____cm 2． 33．82=_______________． 34．使分式x 2−1x+1的值为0，这时x=_____．35．已知关于x 的一元二次方程2220ax x c ++-=有两个相等的实数根，则1c a+的值等于_______．36．如图，是将菱形ABCD 以点O 为中心按顺时针方向分别旋转90°，180°，270°后形成的图形．若∠BAD=60°，AB=2，则图中阴影部分的面积为 ．37．如图，在△ABC 中E 是BC 上的一点，EC=2BE ，点D 是AC 的中点，设△ABC 、△ADF 、△BEF 的面积分别为S △ABC ，S △ADF ，S △BEF ，且S △ABC =12，则S △ADF －S △BEF =_________．38．如图，把三角形纸片折叠，使点B ，点C 都与点A 重合，折痕分别为,DE FG ，若15,2C AE EG ︒∠===厘米，ABC △则的边BC 的长为__________厘米。
2016年上海市嘉定区、宝山区中考数学二模试卷及答案
2016年上海市嘉定区、宝山区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．﹣2的倒数是（）A．﹣2 B．2 C．﹣D．2．下列计算正确的是（）A．2a﹣a=1 B．a2+a2=2a4 C．a2•a3=a5D．（a﹣b）2=a2﹣b23．某地气象局预报称：明天A地区降水概率为80%，这句话指的是（）A．明天A地区80%的时间都下雨B．明天A地区的降雨量是同期的80%C．明天A地区80%的地方都下雨D．明天A地区下雨的可能性是80%4．某老师在试卷分析中说：参加这次考试的82位同学中，考91的人数最多，有11人之众，但是十分遗憾最低的同学仍然只得了56了．这说明本次考试分数的众数是（）A．82 B．91 C．11 D．565．如果点K、L、M、N分别是四边形ABCD的四条边AB、BC、CD、DA的中点，且四边形KLMN是菱形，那么下列选项正确的是（）A．AB⊥BC B．AC⊥BD C．AB=BC D．AC=BD6．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠DBC=45°，点E在BC上，点F在AB上，将梯形ABCD沿直线EF翻折，使得点B与点D重合．如果，那么的值是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．据统计，今年上海“樱花节”活动期间顾村公园入园赏樱人数约312万人次，用科学记数法可表示为______人次．8．因式分解：2a2﹣8=______．9．不等式组的解集是______．10．如果在组成反比例函数图象的每条曲线上，y都随x的增大而增大，那么k的取值范围是______．11．如果函数y=f（x）的图象沿x轴的正方向平移1个单位后与抛物线y=x2﹣2x+3重合，那么函数y=f（x）的解析式是______．12．甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩统计如下表．如果从这四位同学中，选出一位成绩较好且状态稳定的同学参加上海市初中数学竞赛，那么应选______同学．甲乙丙丁平均数70 85 85 70标准差 6.5 6.5 7.6 7.613．方程的解是______．14．已知在平行四边形ABCD中，点M、N分别是边AB、BC的中点，如果、，那么向量=______（结果用、表示）．15．以点A、B、C为圆心的圆分别记作⊙A、⊙B、⊙C，其中⊙A的半径长为1，⊙B的半径长为2，⊙C的半径长为3，如果这三个圆两两外切，那么cosB的值是______．16．如图，如果在大厦AB所在的平地上选择一点C，测得大厦顶端A的仰角为30°，然后向大厦方向前进40米，到达点D处（C、D、B三点在同一直线上），此时测得大厦顶端A 的仰角为45°，那么大厦AB的高度为______米（保留根号）．17．对于实数m、n，定义一种运算“*”为：m*n=mn+n．如果关于x的方程x*（a*x）=有两个相等的实数根，那么满足条件的实数a的值是______．18．如图，点D在边长为6的等边△ABC的边AC上，且AD=2，将△ABC绕点C顺时针方向旋转60°，若此时点A和点D的对应点分别记作点E和点F，联结BF交边AC与点G，那么tan∠AEG=______．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．化简求值：（）÷，其中x=．20．解方程：．21．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以A、B为圆心，大于的长为半径画弧，相交于两点M、N；②联结MN，直线MN交△ABC的边AC与点D，联结BD．如果此时测得∠A=34°，BC=CD．求∠ABC与∠C的度数．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，过点A（﹣4，2）向x轴作垂线，垂足为B，联结AO得到△AOB，过边AO中点C的反比例函数的图象与边AB交于点D．求：（1）反比例函数的解析式；（2）求直线CD与x轴的交点坐标．23．如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，若∠DBC=45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE与BF相交于H，BF与AD的延长线相交于G．求证：（1）CD=BH；（2）AB是AG和HE的比例中项．24．在平面直角坐标系xOy（如图）中，经过点A（﹣1，0）的抛物线y=﹣x2+bx+3与y轴交于点C，点B与点A、点D与点C分别关于该抛物线的对称轴对称．（1）求b的值以及直线AD与x轴正方向的夹角；（2）如果点E是抛物线上一动点，过E作EF平行于x轴交直线AD于点F，且F在E的右边，过点E作EG⊥AD与点G，设E的横坐标为m，△EFG的周长为l，试用m表示l；（3）点M是该抛物线的顶点，点P是y轴上一点，Q是坐标平面内一点，如果以点A、M、P、Q为顶点的四边形是矩形，求该矩形的顶点Q的坐标．25．如图，⊙O与过点O的⊙P交于AB，D是⊙P的劣弧OB上一点，射线OD交⊙O于点E，交AB延长线于点C．如果AB=24，tan∠AOP=．（1）求⊙P的半径长；（2）当△AOC为直角三角形时，求线段OD的长；（3）设线段OD的长度为x，线段CE的长度为y，求y与x之间的函数关系式及其定义域．2016年上海市嘉定区、宝山区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．﹣2的倒数是（）A．﹣2 B．2 C．﹣D．【考点】倒数．【分析】根据倒数的定义：乘积是1的两数互为倒数．一般地，a•=1 （a≠0），就说a （a≠0）的倒数是．【解答】解：﹣2的倒数是﹣，故选C．2．下列计算正确的是（）A．2a﹣a=1 B．a2+a2=2a4 C．a2•a3=a5D．（a﹣b）2=a2﹣b2【考点】完全平方公式；合并同类项；同底数幂的乘法．【分析】根据合并同类项，积的乘方，完全平方公式，即可解答．【解答】解：A.2a﹣a=a，故错误；B．a2+a2=2a2，故错误；C．a2•a3=a5，正确；D．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，故错误；故选：C．3．某地气象局预报称：明天A地区降水概率为80%，这句话指的是（）A．明天A地区80%的时间都下雨B．明天A地区的降雨量是同期的80%C．明天A地区80%的地方都下雨D．明天A地区下雨的可能性是80%【考点】概率的意义．【分析】降水概率就是降水的可能性，根据概率的意义即可作出判断．【解答】解：“明天A地区降水概率为80%”是指明天A地区下雨的可能性是80%．且明天下雨的可能性较大，故A、B、C都错误，只有D正确；故选：D．4．某老师在试卷分析中说：参加这次考试的82位同学中，考91的人数最多，有11人之众，但是十分遗憾最低的同学仍然只得了56了．这说明本次考试分数的众数是（）A．82 B．91 C．11 D．56【考点】众数．【分析】利用众数的定义直接回答即可．【解答】解：∵考91的人数最多，∴众数为91分，故选：B．5．如果点K、L、M、N分别是四边形ABCD的四条边AB、BC、CD、DA的中点，且四边形KLMN是菱形，那么下列选项正确的是（）A．AB⊥BC B．AC⊥BD C．AB=BC D．AC=BD【考点】中点四边形．【分析】由E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，得出KL，MN是中位线，再得出四条边相等，根据四条边都相等的四边形是菱形．【解答】解：∵点K、L、M、N分别是四边形ABCD的四条边AB、BC、CD、DA，∴KL∥AC，KL=AC，MN∥BD，MN=BD，∵四边形EFGH为菱形，∴AC=BD，故选：D．6．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠DBC=45°，点E在BC上，点F在AB上，将梯形ABCD沿直线EF翻折，使得点B与点D重合．如果，那么的值是（）A．B．C．D．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】根据对称的性质得到△BFE≌△DFE，得到DE=BE．根据已知条件得到∠DEB=90°，设AD=1，BC=4，过A作AG⊥BC于G，根据矩形的性质得到GE=AD=1，根据全等三角形的性质得到BG=EC=1.5，根据勾股定理得到AB=CD==5，通过△BDC∽△DEF，得到，求出BF=，于是得到结论．【解答】解：∵EF是点B、D的对称轴，∴△BFE≌△DFE，∴DE=BE．∵在△BDE中，DE=BE，∠DBE=45°，∴∠BDE=∠DBE=45°．∴∠DEB=90°，∴DE⊥BC．在等腰梯形ABCD中，∵，∴设AD=1，BC=4，过A作AG⊥BC于G，∴四边形AGED是矩形．∴GE=AD=1，∵Rt△ABG≌Rt△DCE，∴BG=EC=1.5，∴AG=DE=BE=2.5∴AB=CD==5，∵∠ABC=∠C=∠FDE，∵∠CDE+∠C=90°，∴∠FDE+∠CDE=90°∴∠FDB+∠BDC+∠FDB=∠FDB+∠DFE=90°，∴∠BDC=∠DFE，∵∠DEF=∠DBC=45°，∴△BDC∽△DEF，∴，∴DF=，∴BF=，∴AF=AB﹣BF=，∴=．故选B．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．据统计，今年上海“樱花节”活动期间顾村公园入园赏樱人数约312万人次，用科学记数法可表示为 3.12×106人次．【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将908万用科学记数法表示为3.12×106，故答案为：3.12×106．8．因式分解：2a2﹣8=2（a+2）（a﹣2）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】首先提取公因式2，进而利用平方差公式分解因式即可．【解答】解：2a2﹣8=2（a2﹣4）=2（a+2）（a﹣2）．故答案为：2（a+2）（a﹣2）．9．不等式组的解集是1＜x＜2．【考点】解一元一次不等式组．【分析】分别求出两个不等式的解集，然后再求出两个解集的公共部分．【解答】解：解不等式x+1＜3得，x＜2；解不等式2x﹣1＞1得，x＞1；则不等式组的解集为1＜x＜2．故答案为1＜x＜2．10．如果在组成反比例函数图象的每条曲线上，y都随x的增大而增大，那么k的取值范围是k＞1．【考点】反比例函数的性质．【分析】根据反比例函数的增减性列出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．【解答】解：∵反比例函数图象的每条曲线上，y都随x的增大而增大，∴1﹣k＜0，解得k＞1．故答案为：k＞1．11．如果函数y=f（x）的图象沿x轴的正方向平移1个单位后与抛物线y=x2﹣2x+3重合，那么函数y=f（x）的解析式是y=x2+2．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】把y=x2﹣2x+3沿x轴负方向平移1个单位后得到要求的抛物线．【解答】解：根据题意，y=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2，沿x轴负方向平移1个单位，得到y=x2+2．故答案为y=x2+2．12．甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩统计如下表．如果从这四位同学中，选出一位成绩较好且状态稳定的同学参加上海市初中数学竞赛，那么应选乙同学．甲乙丙丁平均数70 85 85 70标准差 6.5 6.5 7.6 7.6【考点】标准差．【分析】此题有两个要求：①成绩较好，②状态稳定．于是应选平均数大、方差小的同学参赛．【解答】解：由于乙的方差较小、平均数较大，故选乙．故答案为：乙．13．方程的解是x=﹣1．【考点】无理方程．【分析】根据方程可知等号左边的x+1≤0，等号右边根号里面的x+1≥0，联立不等式组，即可解答本题．【解答】解：∵，∴，解得，x=﹣1，故答案为：x=﹣1．14．已知在平行四边形ABCD中，点M、N分别是边AB、BC的中点，如果、，那么向量=+（结果用、表示）．【考点】*平面向量．【分析】首先根据题意画出图形，然后连接AC，由三角形法则，即可求得，然后由点M、N分别是边AB、BC的中点，根据三角形中位线的性质，求得答案．【解答】解：如图，连接AC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴==，∵，∴=+=+，∵点M、N分别是边AB、BC的中点，∴==+．故答案为：+．15．以点A、B、C为圆心的圆分别记作⊙A、⊙B、⊙C，其中⊙A的半径长为1，⊙B的半径长为2，⊙C的半径长为3，如果这三个圆两两外切，那么cosB的值是．【考点】相切两圆的性质．【分析】由已知条件得出△ABC的三边长，由勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，∠A=90°，再由三角函数的定义即可得出结果．【解答】解：如图所示：∵⊙A的半径长为1，⊙B的半径长为2，⊙C的半径长为3，且这三个圆两两外切，∴AB=1+2=3，AC=3+1=4，BC=3+2=5，∵AB2+AC2=BC2，∴△ABC是直角三角形，∠A=90°，∴cosB==．故答案为：．16．如图，如果在大厦AB所在的平地上选择一点C，测得大厦顶端A的仰角为30°，然后向大厦方向前进40米，到达点D处（C、D、B三点在同一直线上），此时测得大厦顶端A 的仰角为45°，那么大厦AB的高度为20+20米（保留根号）．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】先设AB=x；根据题意分析图形：本题涉及到两个直角三角形Rt△ACB和Rt△ADB，应利用其公共边BA构造等量关系，解三角形可求得DB、CB的数值，再根据CD=BC﹣BD=40，进而可求出答案．【解答】解：设AB=x，在Rt△ACB和Rt△ADB中，∵∠C=30°，∠ADB=45°，CD=40，∴DB=x，AC=2x，∴BC==x，∴∵CD=BC﹣BD=40，x﹣x=40，∴x=20（+1），故答案为：20+20．17．对于实数m、n，定义一种运算“*”为：m*n=mn+n．如果关于x的方程x*（a*x）=有两个相等的实数根，那么满足条件的实数a的值是0．【考点】根的判别式．【分析】由于定义一种运算“*”为：m*n=mn+n，所以关于x的方程x*（a*x）=变为（a+1）x2+（a+1）x+=0，而此方程有两个相等的实数根，所以根据判别式和一元二次方程的一般形式的定义可以得到关于a的关系式，即可解决问题．【解答】解：由x*（a*x）=﹣，得（a+1）x2+（a+1）x+=0，依题意有a+1≠0，△=（a+1）2﹣（a+1）=0，解得，a=0，或a=﹣1（舍去）．故答案为：0．18．如图，点D在边长为6的等边△ABC的边AC上，且AD=2，将△ABC绕点C顺时针方向旋转60°，若此时点A和点D的对应点分别记作点E和点F，联结BF交边AC与点G，那么tan∠AEG=．【考点】旋转的性质；等边三角形的性质．【分析】作GM⊥AE于M，则∠AMG=90°，由等边三角形的性质得出AB=BC=AC=6，∠BAC=∠ABC=60°，由旋转的性质得出△AEC≌△ABC，EF=AD=2，因此AE=CE=AB=6，∠EAC=∠ACE=60°，CF=CE﹣EF=4，得出AB∥CF，证出△ABG∽△CFG，得出对应边成比例=，求出AG，再求出AM，得出GM、ME，即可得出结果．【解答】解：如图所示：作GM⊥AE于M，则∠AMG=90°，∵△ABC是边长为6的等边三角形，∴AB=BC=AC=6，∠BAC=∠ABC=60°，由旋转的性质得：△AEC≌△ABC，EF=AD=2，∴AE=CE=AB=6，∠EAC=∠ACE=60°，CF=CE﹣EF=4，∴AB∥CF，∴△ABG∽△CFG，∴==，∴AG=AC=3.6，∵∠AGM=90°﹣60°=30°，∴AM=AG=1，∴GM=AM=，ME=AE﹣AM=，∴tan∠AEG===；故答案为：．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．化简求值：（）÷，其中x=．【考点】二次根式的化简求值．【分析】括号内通分，化除法为乘法进行化简，然后代入求值．【解答】解：原式=×=．将x=代入，得原式==．20．解方程：．【考点】解分式方程．【分析】方程两边乘以x（2x﹣1）去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：方程两边同时乘以x（2x﹣1），得（2x﹣1）2﹣3x2+2x（2x﹣1）=0，整理后，得5x2﹣6x+1=0，解得：x1=1，x2=，经检验：x1=1，x2=是原方程的根，则原方程的根是x1=1，x2=．21．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以A、B为圆心，大于的长为半径画弧，相交于两点M、N；②联结MN，直线MN交△ABC的边AC与点D，联结BD．如果此时测得∠A=34°，BC=CD．求∠ABC与∠C的度数．【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．【分析】利用基本作图可判断MN垂直平分AB，则DA=DB，根据等腰三角形的性质和三角形外角性质得∠CDB=68°，再由CB=CD得到∠CBD=∠CDB=68°，所以∠ABC=∠DBA+∠CBD=102°，然后利用三角形内角和定理计算∠C的度数．【解答】解：由作法得MN垂直平分AB，则DA=DB，∴∠DBA=∠A=34°，∴∠CDB=∠DBA+∠A=68°，∵CB=CD，∴∠CBD=∠CDB=68°，∴∠ABC=∠DBA+∠CBD=34°+68°=102°，∠C=180°﹣68°﹣68°=44°．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，过点A（﹣4，2）向x轴作垂线，垂足为B，联结AO得到△AOB，过边AO中点C的反比例函数的图象与边AB交于点D．求：（1）反比例函数的解析式；（2）求直线CD与x轴的交点坐标．【考点】待定系数法求反比例函数解析式．【分析】（1）由A点的坐标结合中点的坐标公式可得出点C的坐标，将点C的坐标代入到反比例函数解析式即可求出k值，从而得出反比例函数的解析式；（2）令x=﹣4，找出D点的坐标，由待定系数法求出直线CD的函数解析式，再令y=0，解关于x的一元一次方程即可得出直线CD与x轴的交点坐标．【解答】解：（1）∵点C为线段AO的中点，∴C点的坐标为（﹣2，1），将点C（﹣2，1）代入到反比例函数中得：1=，解得：k=﹣2．∴反比例函数的解析式为y=﹣．（2）令x=﹣4，则y=﹣=．即点D的坐标为（﹣4，）．设直线CD的解析式为y=ax+b，由点C、D在直线CD的图象上可知：，解得：．∴直线CD的解析式为y=x+．令y=0，则有x+=0，解得：x=﹣6．∴直线CD与x轴的交点坐标为（﹣6，0）．23．如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，若∠DBC=45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE与BF相交于H，BF与AD的延长线相交于G．求证：（1）CD=BH；（2）AB是AG和HE的比例中项．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】（1）根据已知利用AAS判定△BEH≌△DEC，从而得到BH=DC；（2）根据两组角对应相等的两个三角形相似得到△BEH∽△GBA，相似三角形的对应边成比例所以BH•AB=EH•AG，由于BH=DC=AB所以推出了AB2=GA•HE．【解答】证明：（1）∵在▱ABCD中，DE⊥BC，∠DBC=45°，∴∠DEC=∠BEH=90°，DE=BE，∵∠EBH+∠BHE=90°，∠DHF+∠CDE=90°，∴∠EBH=∠EDC，在△BEH与△DEC中，，∴△BEH≌△DEC．∴BH=DC；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AG∥BC，∠A=∠C=∠BHE，AB=CD，∴∠G=∠HBE，∴△BEH∽△GBA，∴BH•AB=EH•AG，∵BH=DC=AB，∴AB2=GA•HE．24．在平面直角坐标系xOy（如图）中，经过点A（﹣1，0）的抛物线y=﹣x2+bx+3与y轴交于点C，点B与点A、点D与点C分别关于该抛物线的对称轴对称．（1）求b的值以及直线AD与x轴正方向的夹角；（2）如果点E是抛物线上一动点，过E作EF平行于x轴交直线AD于点F，且F在E的右边，过点E作EG⊥AD与点G，设E的横坐标为m，△EFG的周长为l，试用m表示l；（3）点M是该抛物线的顶点，点P是y轴上一点，Q是坐标平面内一点，如果以点A、M、P、Q为顶点的四边形是矩形，求该矩形的顶点Q的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）将点A（﹣1，0）代入抛物线的解析式可求得b的值，然后可得到抛物线的解析式，从而可求得抛物线的对称轴，再依据对称性可求得D（2，3），B（3，0），最后依据待定系数法求得AD的解析式可求得直线AD与x轴正方向的夹角；（2）设E（m，﹣m2+2m+3），则F（﹣m2+2m+2，﹣m2+2m+3），EF=﹣m2+m+2．然后证明△EFG为等腰直角三角形，从而得到EF=（1+）EF，于是可求得l与m的关系式；（3）先利用配方法求得点M的坐标，然后根据①AM为矩形的对角线时，②当AM为矩形的一边时两种情况求解即可．【解答】解：（1）∵将点A（﹣1，0）代入抛物线的解析式得：﹣1﹣b+3=0，解得：b=2，∴y=﹣x2+2x+3．∴抛物线的对称轴为直线x=1．令x=0得：y=3，则C（0，3）．∵点B与点A、点D与点C分别关于该抛物线的对称轴对称，∴D（2，3），B（3，0）．设直线AD的解析式为y=kx+b．∵将A（﹣1，0）、D（2，3）代入得：，解得：k=1，b=1，∴直线AD的解析式为y=x+1．∴直线AD与x轴正方向的夹角为45°．（2）如图1所示：设E（m，﹣m2+2m+3），则F（﹣m2+2m+2，﹣m2+2m+3），EF=﹣m2+2m+2﹣m=﹣m2+m+2．∵∠EGF=90°，∠EFG=45°，∴△EFG为等腰直角三角形．∴l=EF+FG+EG=EF+EF+EF=（1+）EF=（1+）（﹣m2+m+2）=﹣（）m2+（+1）m+2+2．（3）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴M（1，4）．①AM为矩形的对角线时，如图2所示：∵由矩形的性质可知：N为AM的中点，A（﹣1，0），M（1，4），∴N（0，2）．∵由两点间的距离公式可知：MN==．∴NQ1=NQ2=，∴Q1（0，2+），Q2（0，2﹣）．②当AM为矩形的一边时，如图3所示：过Q3作Q3E⊥y轴，垂直为E，过Q4作Q4F⊥y 轴，垂足为F．∵在△ANO中，AO=1，ON=2，∴tan∠ANO=，∴tan∠MNP4=，∴P4M MN=，NP4=MN=．∴P4Q3=．∴P4E=P4Q3=1，EQ3=P4Q3=2．∵OE=OP4﹣P4E=4.5﹣1=3.5，∴Q3的坐标为（2，3.5）．∵点Q3与Q4关于点N对称，∴Q4（﹣2，）．综上所述，点Q的坐标为（0，2+），或（0，2﹣）或（2，3.5）或（﹣2，）．25．如图，⊙O与过点O的⊙P交于AB，D是⊙P的劣弧OB上一点，射线OD交⊙O于点E，交AB延长线于点C．如果AB=24，tan∠AOP=．（1）求⊙P的半径长；（2）当△AOC为直角三角形时，求线段OD的长；（3）设线段OD的长度为x，线段CE的长度为y，求y与x之间的函数关系式及其定义域．【考点】圆的综合题．【分析】（1）首先设OP的延长线交AB于点H，连接AP，由垂径定理可求得AH的长，然后由三角函数，求得OH的长，再设⊙P的半径为r，由在Rt△AHP中，AH2+PH2=AP2，即可求得答案；（2）首先过点P作PG⊥OD于点G，求得OA的长，易证得△PGO∽△OHA，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案；（3）首先过点H作HI⊥OC于点I，可得PG∥HI，然后由平行线分线段成比例定理，求得OI，再由△OHI∽△OCH，求得答案．【解答】解：（1）设OP的延长线交AB于点H，连接AP，∵AH=AB=×24=12，tan∠AOP=，∴OH==18，设⊙P的半径为r，在Rt△AHP中，AH2+PH2=AP2，∴（18﹣r）2+122=r2，解得：r=13，答：⊙P的半径长为13；（2）过点P作PG⊥OD于点G，则OA===6，∵∠AOC=90°，∴∠POG+∠AOH=90°，∵∠AOH+∠OAH=90°，∴∠POG=∠OAH，∴△PGO∽△OHA，∴，即=，解得：OD=4；（3）如图2，过点H作HI⊥OC于点I，则OE=OA=6，∴PG∥HI，∴，即，∴OI=x，∵∠O是公共角，∠OUH=∠OHC=90°，∴△OHI∽△OCH，∴，∴，∴y=﹣6（0＜x＜6）．像平时有价值的升学文章，像自招、校园开放日消息、历年中考分数线，那些文章我都放在公众号菜单栏那个按钮上的专题那里了，还有什么细化的升学问题，你们可以关注公众号给我留言，我看到会第一时间回复你们的——小编编。