上海市建平中学2020-2021学年高一下学期期中数学试题 答案和解析
∴
，
而 ， ， ，则 ，
但是，其中等号成立的条件是 ，于是 与 矛盾，
所以，此三角形的面积不存在最大值．
以上解答是否正确？若不正确，请你给出正确的答案．
参考答案
1．
【解析】
【分析】
结合题意求解幂函数的解析式即可.
.
8．
【解析】
∵ ,∴ .
∵ ,∴ ，
∴ .
点睛：给值求值问题一般是正用公式将所求“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入展开式即可．
9．
【解析】
利用正弦定理有： ，则 ，则角 的最小值是 ．
10．
【解析】
∵ ，
由正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，
上海市建平中学【最新】高一下学期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．幂函数 的图象过点 ，则 的解析式是______________．
2．若角 的终边上一点 ，则 ____________.
3．若扇形的圆心角为 ，则扇形的内切圆的面积与扇形面积之比为____________.
①对一切 都有 ；
②存在 ，使 ， ， 不能构成一个三角形的三条边长；
③若 为钝角三角形，则存在 ，使 ；
A．①②；B．①③；C．②③；D．①②③；
三、解答题
18．已知cosα= ，cos（α-β）= ，且0＜β＜α＜ ．
（Ⅰ）求tan2α的值；
（Ⅱ）求cosβ．
19．如图， 、 是两个小区所在地， 、 到一条公路 的垂直距离分别为 ， ， 两端之间的距离为 .
12．
【详解】
由正弦定理有： ，
则 ， ，
可得，当 时满足题意，
此时 .
13．-1
【分析】
直接利用诱导公式和同角三角函数关系化简得到答案.
【详解】
故答案为：
【点睛】
本题考查了三角函数的化简，变换 是解题的关键.
14．A
【解析】
当 时， ，
但是当 ，可能 ，
据此可得 是“ ”成立的充分不必要条件.
本题选择A选项.
（1）某移动公司将在 之间找一点 ，在 处建造一个信号塔，使得 对 、 的张角与 对 、 的张角相等，试确定点 的位置.
（2）环保部门将在 之间找一点 ，在 处建造一个垃圾处理厂，使得 对 、 所张角最大，试确定点 的位置.
20．若函数 定义域为 ，且对任意实数 ，有 ，则称 为“ 形函数”，若函数 定义域为 ，函数 对任意 恒成立，且对任意实数 ，有 ，则称为“对数 形函数” .
∴扇形的面积
内切圆面积为πr2 ，
扇形的内切圆的面积与扇形面积之比为2:3.
4．二
【分析】
由点P（tanα，cosα）在第三象限，得到tanα＜0，cosα＜0，从而得到α所在的象限．
【详解】
因为点P（tanα，cosα）在第三象限，所以tanα＜0，cosα＜0，
则角α的终边在第二象限，
故答案为二．
4．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限．
5．已知( ，且 在第二象限角，则 =____________.
6．已知 ， 在第二象限，则 ____________.
7．求值： ____________.
8．已知 ， ，则 ____________.
9．在 中， ，则角 的最小值是____________.
（1）试判断函数 是否为“ 形函数”，并说明理由；
（2）若 是“对数 形函数”，求实数 的取值范围；
（3）若 是“ 形函数”，且满足对任意 ，有 ，问 是否为“对数 形函数”？证明你的结论．
21．（1）若直角三角形两直角边长之和为12，求其周长 的最小值；
（2）若三角形有一个内角为 ，周长为定值 ，求面积 的最大值；
15．C
【解析】
.
本题选择C选项.
16．A
14． 是“ ”成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
15． 的值等于（ ）
A． B． C． D．
16． 中，三边长分别为 、 、 ，且 ，则 的形状为（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法判断
17．设函数 ，其中 ， ，若 ， ， 是 的三条边长，则下列结论中正确的是（）
10． 的内角 所对的边分别为 ，已知 ， ，则 =____________.
11．已知函数 ， ，，记函数 ，则函数 所有零点的和为____________.
12．如果满足 ， ， 的 恰有一个，则实数 的取值范围是____________.
13．已知α为第二象限角，化简 =________
二、单选题
点评：本题考查第三象限内的点的坐标的符号，以及三角函数在各个象限内的符号．
5．
【解析】
由题意可得： ，
结合角的范围有： ，
则 .
点睛：解决此类问题要熟记同角三角函数关系式及诱导公式，特别是要注意公式中的符号问题.
6．3
【解析】
由题意： ，
解得： 或 ，
又 在第二象限，故 ．
7．
【解析】
由题意： ，
则： ，
∴3tanA=2tanC，
∵tanA= ，
∴2tanC=3× =1,解得tanC= .
∴ ，
∵B∈(0,π)，
∴ .
11．5
【解析】
∵ ， ，关于直线y=x对称， ∴可知h（x）关于直线y=x对称．∵y=x与y=5-x，交点为A（2.5，2.5）
∴y=5-x，与函数h（x）交点关于A对称，x1+x2=5，∴函数F（x）=h（x）+x-5，的零点．
【详解】
设幂函数的解析式为 ，由题意可得： ，解得： ，
即 的解析式是 .
【点睛】
本题主要考查幂函数的定义，函数解析式的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
2．
【解析】
若 ，则 ，
若 ，则 ，
综上所述， ．
3．
【详解】
设扇形的半径为R，内切圆半径为r，∵扇形的中心角 ，
∴R−r=2r，∴3r=R，
设h（x）与y=5-x交点问题，可以解决函数F（x）=h（x）+x-5零点问题．
故函数F（x）=h（x）+x-5所有零点的和为5．
故答案为：5．
点睛：本题考查了函数的交点，解决复杂函数的零点问题，反函数的对称问题， 与 关于直线y=x对称，则 关于直线y=x对称，利用y=x与y=5-x的交点，结合图求解即可．
上海市建平中学2020-2021学年高一上学期期中数学试题 (1)
上海市建平中学【最新】高一上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．设集合{}1,2,3,4P =，{}|2Q x x =≤，则PQ =______. 2．集合{}1,2,3的真子集的个数为______.3．不等式1012x x-≥-的解集______. 4．设α：x m >，β：13x ≤<，若α是β的必要条件，则实数m 的取值范围是______. 5．已知a ，b ，c 是实数，写出命题“若0a b c ++=，则a ，b ，c 中至少有两个负数”的等价命题：______.6．若0a >，0b >，321a b +=，则ab 的最大值是______.7．设全集U =R ，1|11A x x ⎧⎫⎪⎪=<⎨⎬-⎪⎪⎩⎭，{}2|540B x x x =-+>，则()U A C B =______.8．已知正数x ，y 满足111x y+=，则49x y +的最小值为______. 9．若不等式11ax x >-的解集为()1,2，则实数a 的值是______. 10．关于x 的不等式组10ax x a <⎧⎨-<⎩的解集不是空集，则实数a 的取值范围是_____. 11．若{}2|0,A x mx x m m R =++=∈，且A R =∅，则实数m 的取值范围为______. 12．用[]M A 表示非空集合A 中的元素个数，记[][][][][][][][],,M A M B M A M B A B M B M A M A M B ⎧-≥⎪-=⎨-<⎪⎩，若{}1,2,3A =，{}2|23B x x x a =--=，且1A B -=，则实数a 的取值范围为______.二、单选题13．如果0a b <<，那么下列不等式成立的是（ ）A ．11a b <B ．2ab b <C ．2ab a -<-D ．11a b -<- 14．“若a ，b ∈R ＋，a 2＋b 2<1”是“ab ＋1>a ＋b”的( )A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件15．不等式2124x x a a +--≥-的解集为R ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(][),13,-∞+∞ B ．()(),13,-∞⋃+∞ C ．[]1,3 D ．()1,316．在下列条件中：①240b ac -≥；②0ac >；③0ab <且0ac >；④240b ac -≥，0b a<，0c a >中能成为“使二次方程20ax bx c ++=的两根为正数”的必要非充分条件是（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④三、解答题 17．解不等式组：251320x x x ⎧≥⎪+⎨⎪+-≥⎩.18．设全集U =R ，集合{}1A x x a =-<，122x B x x ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎩⎭. （1）求出集合B ；（2）若u A C B ⊆，求出实数a 的取值范围.19．某化工厂生产某种产品，当年产量在150吨至250吨时，每年的生产成本y 万元与年产量x 吨之间的关系可可近似地表示为2130400010y x x =-+. （1）若每年的生产总成本不超过2000万元，求年产量x 的取值范围； （2）求年产量为多少吨时，每吨的平均成本最低，并求每吨的最低成本.20．已知{}|13M x x =<<，{}2|680N x x x =-+≤. （1）设全集U =R ，定义集合运算∆，使()U M N M C N ∆=，求M N ∆和N M ∆； （2）若{}|2H x x a =-≤，按（1）的运算定义求：()N M H ∆∆.21．已知函数()22f x ax x c =-+，且()0f x >的解集是1|x x a ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭. （1）求()2f 的最小值及()2f 取最小值时()f x 的解析式；（2）在()2f 取得最小值时，若对于任意的2x >，()()42f x m x +≥-恒成立，求实数m 的取值范围.参考答案1．{}1,2【解析】【分析】由P 与Q ，求出两集合的交集即可.【详解】∵{}1,2,3,4P =，{}|2Q x x =≤，∴{}1,2P Q =.故答案为：{}1,2.【点睛】本题考查集合的交集运算，掌握交集的定义是解题关键．2．7【分析】集合{}1,2,3的真子集是指属于集合的部分组成的集合，包括空集.【详解】集合的真子集为{}1，{}2，{}3，{}1,2，{}1,3，{}2,3，∅.共有7个.故答案为7.【点睛】本题考查集合的子集的概念，属于基础题．3．1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】依题意可得10120x x -≥⎧⎨->⎩①或10120x x -≤⎧⎨-<⎩②，分别解之，取并即可. 【详解】 ∵1012x x-≥-，∴10120x x -≥⎧⎨->⎩①或10120x x -≤⎧⎨-<⎩②， 解①得：x ∈∅；解②得：112x <≤， ∴不等式1012x x -≥-的解集为1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦. 故答案为：1,12⎛⎤⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查解分式不等式，解分式不等式0A B≥可分类讨论，按分子分母的符号，注意分母不为0．4．(),1-∞【分析】 根据充分必要条件的定义以及集合的包含关系求出m 的范围即可.【详解】α：x m >，β：13x ≤<，若α是β的必要条件，则1m <，故答案为：(),1-∞.【点睛】本题考查必要条件的判断，由必要条件求参数范围，解题关键是掌握充分条、必要条件、充要条件与集合的包含关系之间的联系．5．若a ，b ，c 中至多有1个非负数，则0a b c ++≠【分析】命题的逆否命题为若a ，b ，c 中至多有1个非负数，则0a b c ++≠，即可得出结论.【详解】命题的逆否命题为若a ，b ，c 中至多有1个非负数，则0a b c ++≠，故答案为：若a ，b ，c 中至多有1个非负数，则0a b c ++≠.【点睛】本题考查四种命题，解题关键是掌握四种命题之间的关系．6．124【分析】利用基本不等式的性质即可得出.【详解】0a >，0b >，321a b +=，∴132a b =+≥16a =，14b =时取等号， ∴124ab ≤， ∴ab 的最大值是124， 故答案为：124. 【点睛】 本题考查基本不等式求最值，解题时要注意基本不等式求最值的条件：一正二定三相等． 7．{}|24x x <≤【分析】解不等式求出集合A 、B ，根据补集与交集的定义写出()U A C B ⋂.【详解】全集U =R ，{}1|1|111A x x x x ⎧⎫⎪⎪=<=->⎨⎬-⎪⎪⎩⎭{}|02x x x =<>或； {}{}2|540|14B x x x x x x =-+>=<>或，∴{}|14U C B x x =≤≤，∴(){}|24U A C B x x =<≤.故答案为：{}|24x x <≤.【点睛】本题考查集合的运算，解题是先解不等式确定集合,A B ，然后再根据集合运算的定义计算． 8．25【分析】 将111x y+=代入所求关系式，利用基本不等式即可求得答案. 【详解】()11944949y x x y x y x y ⎛⎫++=+++⎪⎝⎭1325≥+=，当且仅当52x =，53y =时取等号， 故49x y +的最小值为25.故答案为：25.【点睛】本题考查用基本不等式求最值，解题关键是凑配出基本不等式的条件：定值．这里用到“1”的代换．9．12【分析】由题意可得原不等式为()1101x x a ⎛⎫--< ⎪-⎝⎭，即可求出a 的值. 【详解】 11ax x >-等价于101ax x ->-，等价于()1101a x x -+>-，等价于()()1110x a x --+>⎡⎤⎣⎦， ∵不等式11ax x >-的解集为()1,2， ∴原不等式为()1101x x a ⎛⎫--< ⎪-⎝⎭， ∴121a=-， 解得12a =.故答案为：12. 【点睛】 本题考查解分式不等式．解分式不等式一般把不等式化为0A B>，然后转化为整式不等式0AB >。
2021-2022学年上海中学高一下学期期中考试数学试题(解析版)
上海中学2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题一、填空题（每题3分）1．设角θ的终边经过点(4,3)P -，那么2cos sin θθ-= ． 2．已知1sin 2x =，则实数x = ． 3．函数()2sin sin()3f x x x π=-的值域是 ．4．若tan 3α=，tan()2αβ-=，则tan β= ． 5．函数2()(sin cos )f x x x =-的最小正周期为 ．6．函数2()cos sin f x x x =+在区间[,]44ππ-上的最小值是 ．7．在三角形ABC 中，a =，b =45A ∠=︒，则C ∠= ．8．在锐角ABC ∆中，4AC =，3BC =，三角形的面积等于AB 的长为 ． 9．函数()cos22cos f x x x =-，[0x ∈，2]π的单调增区间为 ．10．实数x ，y 满足2sin 3(0)2cos 2x y y y π⎧+=⎪+=，则xy = ．11．已知8x y zπ，且34x y z π++=，则乘积cos sin cos x y z ⋅⋅的最大值为 ． 12．设函数66()sin cos 55kx kxf x =+，其中k 是一个正整数，若对任意实数a ，均有{()|1}{()|}f x a x a f x x R <<+=∈，则k 的最小值为 ．二、选择题（每题4分）13．若sin 0x <，且sin(cos )0x >，则角x 是( ) A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角14．设函数()|sin(2)|3f x x π=+，则下列关于函数()f x 的说法中正确的是( )A ．()f x 是偶函数B ．()f x 的最小正周期为πC ．()f x 在区间7[,]312ππ上是增函数D ．()f x 的图象关于点(,0)6π-对称15．O 为锐角ABC ∆的外心，O 到三边a ，b ，c 的距离分别为k ，m ，n ，则( )A ．::::k m n a b c =B ．111::::k m n a b c=C ．::tan :tan :tan k m n A B C =D ．::cos :cos :cos k m n A B C =16．已知函数()sin cos f x x a x ωω=+，周期2T π<，()3f π且在6x π=处取得最大值，则使得不等式||0a λω-恒成立的实数λ的最小值为( )A B C D 三、解答题17．（10分）已知ABC ∆，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin cos()6c A a C π=-． （1）求C ∠的大小；（2）若1a b -=，c =18．（8分）若关于x 的方程sin 0x x a +=在(0,2)π内有两个不同的实数根α，β，求实数a 的取值范围及相应的αβ+的值．19．（10分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知3a =，c =45B =︒．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值．20．（10分）如图，一块直角梯形区域ABCD ，1AB AD ==，2BC =，在D 处有一个可以转动的探照灯，其照射角EDF ∠始终为45︒，设ADE α∠=，[0,]2πα∈，探照灯照射在该梯形ABCD 内部区域的面积为S ．（1）求S 关于α的函数关系式； （2）求S 的取值范围．21．（10分）若函数()y f x =在定义域中存在1x ，212()x x x ≠，使得12()()2f x f x +=成立，则称该函数具有性质p ．（1）判断以下两个函数是否具有性质:p ①2()1f x x x =-+，[0x ∈，1]；②11()sin (cos cos (sin 22g x x x x x =+，[0x ∈，2]π．（2）若函数21())cos()]sin()sin()]322326232x x x xf x ωωπωππωπ=-++⨯+--，（其中0ω>，[x π∈，2])π具有性质p ，求ω的取值范围．▁ ▃ ▅ ▇ █ 参 *考 *答 *案 █ ▇ ▅ ▃ ▁一、填空题（每题3分） 1．〖解 析〗由题意得4cos 5θ=，3sin 5θ=-， 所以43112cos sin 2555θθ-=⨯+=．〖答 案〗1152．〖解 析〗1sin 2x =，1sin 62π=，51sin 62π=， ∴实数26x k ππ=+，k Z ∈或526x k ππ=+，k Z ∈． 〖答 案〗26k ππ+，k Z ∈或526k ππ+，k Z ∈3．〖解 析〗()2sin sin()3f x x x π=-12sin sin )2x x x =-2cos sin x x x =-1cos222x x --1sin(2)62x π=+-， 又1sin(2)16x π-+，∴31()22f x -． 〖答 案〗31[,]22-4．〖解 析〗若tan 3α=，tan()2αβ-=， 则tan tan()321tan tan[()]1tan tan()1327ααββααβααβ---=--===+-⨯⨯．〖答 案〗175．〖解 析〗函数2()(sin cos )12sin cos 1sin2f x x x x x x =-=-=-； 所以函数的最小正周期为：22T ππ==． 〖答 案〗π6．〖解 析〗22()cos sin sin sin 1f x x x x x =+=-++． 令sin x t =，[,]44x ππ∈-，sin [t x ∴=∈，则22151()24y t t t =-++=--+，[t ∈，当t =时，215()24min y =-+=〖答7．〖解 析〗由正弦定理得，sin sin a bA B=，所以sin sin b AB a===，因为b a >，所以B A >，即60B =︒或120B =︒， 当60B =︒时，75C ∠=︒，120B =︒时，15C ∠=︒． 〖答 案〗75︒或15︒8．〖解 析〗在锐角ABC ∆中，4AC b ==，3BC a ==，三角形的面积等于∴1sin 2ab C =，即sin C ， C为锐角，1cos 2C ∴，由余弦定理得：2222cos 1691213c a b ab C =+-=+-=，解得：AB c == 〖答9．〖解 析〗2()cos22cos 2cos 2cos 1f x x x x x =-=--，[0x ∈，2]π， 令cos t x =，则2()221g t t t =--，[1t ∈-，1]， 当12t时，()g t 单调递减，当12t >时，()g t 单调递增， 而对于cos t x =，[0x ∈，2]π， 当12t 时，[3x π∈，]π时，cos t x =递减，5[,]3x ππ∈时，cos t x =递增，当12t >时，[0x ∈，]3π时，cos t x =递减，5[3x π∈，2]π时，cos t x =递增，故函数()f x 的单调递增区间为[3π，]π，5[3π，2]π．〖答 案〗[3π，]π，5[3π，2]π10．〖解析〗由方程组2sin 3cos 2x y y ⎧+=⎪+=，可得2sin 3cos 2y xy ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，因为02yπ，所以sin [0y ∈，1]，cos [0y ∈，1]，所以20310221x x ⎧-⎪⎨-⎪⎩，解得22322x x ⎧，所以x =当x 时，可得cos 0y =，且02yπ，所以2yπ=，所以2xy π=〖答 案〗211．〖解 析〗8x y zπ，且34x y z π++=， 33()()44882x y z πππππ∴=-+-+=，sin()0x y -，sin()0y z -，1cos sin cos cos [sin()sin()]2x y z z xy x y ∴⋅⋅=+--1131cos sin()cos sin()cos )2242z xy z z z z zπ⋅+=⋅-=+212(2)484228z z z z =+=++1sin(2)44z π=+ ∴当242z ππ+=，即8z π=，516x y π==时，乘积cos sin cos x y z ⋅⋅．〖答 12．〖解 析〗由条件知，66224224()sin cos ()()55555555kx kx kx kx kx kx kx kxf x sin cos sin sin cos cos =+=+-+ 22222232345()31sin cos 555545858kx kx kx kx kx kx sin cos sin cos =+-=-=+， 其中当且仅当5()2m x m Z kπ=∈时，()f x 取到最大值， 根据条件知，任意一个长为1的开区间(,1)a a +至少包含一个最大值点， 从而512k π<，即52k π>； 反之，当52k π>时，任意一个开区间(,1)a a +均包含()f x 的一个完整周期，此时{()|1}{()|}f x a x a f x x R <<+=∈成立，综上可知，正整数k 的最小值为5[]182π+=． 〖答 案〗8二、选择题（每题4分）13．〖解 析〗1cos 1x -，且sin(cos )0x >，0cos 1x ∴<， 又sin 0x <，∴角x 为第四象限角． 〖答 案〗D 14．〖解析〗()|sin[2()]|333f πππ-=⨯-+()|sin[2()]|0333f πππ=⨯+=， ()()33f f ππ-≠，()f x ∴不是偶函数，选项A 错误；()|sin[2())||sin(2)||sin(2)|22333f x x x x ππππππ+=⨯++=++=+，()f x ∴的最小正周期为2π，选项B 错误； 当7[,]312x ππ∈时，272[,]36x ππ∈，32[,]32x πππ+∈，()sin(2)3g x x π∴=+在7[,]312ππ上为减函数，()|sin(2)|3f x x π=+在7[,]312ππ上为增函数，选项C 正确；函数()|sin(2)|3f x x π=+的图象恒在x 轴上方， ()f x ∴的图象不关于点(,0)6π-对称，选项D 错误．〖答 案〗C15．〖解 析〗因为2211sin 2sin cos 22OBC S ak R A R A A ∆===，2211sin 2sin cos 22AOC S bm R B R B B ∆===，所以sin cos cos sin cos cos OBC OAC S ak A A a A S bm B B b B ∆∆===，所以cos cos k A m B =，同理cos cos m B n C=， 故::cos :cos :cos k m n A B C =．〖答 案〗D 16．〖解析〗()sin cos )f x x a x x ωωωϕ=+=+，其中tan a ϕ=，6x π=处取得最大值，∴262k ππωϕπ+=+，即226k ππϕπω=+-，k Z ∈，1tan tan(2)tan()2626tan 6k a ππππϕπωωπω∴=+-=-==，k Z ∈，①()1sin()1sin(2)333266f kππππππωϕωπωω=+++-k Z ∈， cos 6πω∴=，②①⨯②得1sin 6a πω=2222233sin cos 1661(1)a a a ωπωπ∴+=+=++，即42230a a --=，解得a =，若a =，则()sin 2sin()3f x x x x πωωω==-，()2sin()2663f πωππ=-=，∴2632k ωππππ-=+，k Z ∈， 512k ω∴=+，54()2sin()2sin(4)2sin 333333f k ππωπππππ=-=+-==， 这与()3f π由①得tan tan()66k ωπππ=+，k Z ∈， cos06ωπ>，∴6ωπ在第一象限，∴tan(2)6k ππ=+，k Z ∈， 由22||T ππω=<，即||1ω>，∴266k ωπππ=+，k Z ∈，121k ω∴=+，k Z ∈，使||ω最小，则1k =-，即||11min ω=，若不等式||a λω恒成立，则()||max a λω=〖答 案〗A 三、解答题17．解：（1）因为sin cos()6c A a C π=-，由正弦定理得sin sin sin cos()6C A A C π=-，因为sin 0A >，所以1sin cos()sin 62C C C C π=-=+，即tan C由C 为三角形内角得3C π=；（2）由余弦定理得2222222cos ()17c a b ab C a b ab a b ab ab =+-=+-=-+=+=， 所以6ab =，又1a b -=，所以22()()412425a b a b ab +=-+=+=，所以5a b +=，故三角形的周长为5a b c ++=+．18．解：由sin 0x x a +=，得sin x x a =-，令sin 2sin()3y x x x π==+， (0,2)x π∈，(33x ππ∴+∈，7)3π， 作出函数2sin()3y x π=+的图象如图：若关于x 的方程sin 0x x a +=在(0,2)π内有两个不同的实数根α，β，则2a -<-<2a <-<，即2a -<<2a <．当(2,a ∈-时，3παβ+=；当(a ∈，2)时，73παβ+=．19．解：（1）因为3a =，c =45B =︒．，由余弦定理可得：b ==， 由正弦定理可得sin sin c bC B =，所以225sin sin 45255c C b =︒==，所以sin C =；（2）因为4cos 5ADC ∠=-，所以3sin 5ADC ∠，在三角形ADC 中，易知C 为锐角，由（1）可得cos C ==， 所以在三角形ADC 中，sin sin()sin cos cos sin DAC ADC C ADC C ADC C ∠=∠+∠=∠∠+∠∠=因为(0,)2DAC π∠∈，所以cos DAC ∠==所以sin 2tan cos 11DAC DAC DAC ∠∠==∠．20．（1）解：当04πα时，如图，过点D 作DG BC ⊥，垂足为G ，因为1AB AD ==，2BC =，所以4C π∠=，tan AE α=，1tan BE α∴=-，4FDG πα∠=-，tan()4FG πα∴=-，所以1tan()4BF πα=--，所以111(1tan )1[1tan()]224S παα=⨯⨯-+⨯⨯--，所以11111tan 1tan tan()1tan 224221tan S πααααα-=---=--⨯+，所以122(1tan )21tan S αα=-+++，当42ππα<<时，如图所示，DEG α∠=，34DFG πα∠=-，所以1tan EG α=，13tan()4FG πα=-，所以2211111()32tan 2tan tan()4tan S tan απαααα+=+=⋅+-．当2πα=时，12S =． 所以22122(1tan ),021tan 411,2tan 421,22tan S tan πααααππαααπα⎧-++⎪+⎪+⎪=⋅<<⎨+⎪⎪=⎪⎩； （2）当04πα时，122(1tan )21tan S αα=-+++，令1tan t α+=，[1t∈，2]， 所以122()2S t t=-+，由对勾函数的性质得2()g t t t=+在t =取到最小值1t =或2取到最大值3， 所以2max S =-12min S =．此时S 的取值范围为1[2，2；当42ππα<<时，2211111()32tan 2tan tan()4tan S tan απαααα+=+=⋅+-， 设tan m α=，(1,)m ∈+∞，所以2(21)210S m Sm -+-=有大于1的实根， 当12S =时，1m =不符合题意；当12S >时，21221021210S S S S S ⎧>⎪⎪=+->⎨⎪-+-<⎪⎩，不等式组无实数解；当12S <时，21221021210112S S S S S SS⎧<⎪⎪=+-⎪⎨-+-<⎪⎪>-⎪-⎩，112S <．所以此时S 的取值范围为1，1)2．当2πα=时，12S =．综合得S 的取值范围为1，2-． 21．解：（1）①2()1f x x x =-+，[0x ∈，1]， 当0x =时，(0)1f =；当1x =时，f （1）1=，故满足定义域中存在1x ，212()x x x ≠，使得12()()2f x f x +=成立， 故2()1f x x x =-+，[0x ∈，1]，具有性质p ；②11()sin (cos cos (sin sin cos cos )22g x x x x x x x x x =+=++，令sin cos )4t x x x π=++，[0x ∈，2]π，则21sin cos 2t x x-=，[t∈，则()sin cos cos )4g x x x x x =++，可化为2211124242t t -+=+-，设211()22h t t =+-，[t ∈，作出其大致图象如图示：显然不存在1t ，212()t t t ≠，使得12()()2h t h t +=成立，故②11()sin (cos cos (sin 22g x x x x x =++，[0x ∈，2]π，不具有性质p ；（2）21())cos()]sin()sin()]322326232x x x xf x ωωπωππωπ=-++⨯+--3131[cos cos ][sin sin ]222222422242x x x x x x x xωωωωωωωω=+⋅-+ 2cos sin sin 22x x x ωωω==，因为[x π∈，2]π，所以[x ωωπ∈，2]ωπ，因为()f x 具有性质p ，所以22ωπωπωππ-=，2ω， 当522ππωπ时，需满足922πωπ，解得9542ω； 当5922ππωπ<时，需满足1322πωπ，解得13942ω； 当92πωπ<时，即92ω>时，9242πωπωπωππ-=>>，此时显然成立， 综上可知，ω的取值范围为9[4，513][24，)+∞．上海中学2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题一、填空题（每题3分）1．设角θ的终边经过点(4,3)P -，那么2cos sin θθ-= ． 2．已知1sin 2x =，则实数x = ． 3．函数()2sin sin()3f x x x π=-的值域是 ．4．若tan 3α=，tan()2αβ-=，则tan β= ． 5．函数2()(sin cos )f x x x =-的最小正周期为 ．6．函数2()cos sin f x x x =+在区间[,]44ππ-上的最小值是 ．7．在三角形ABC 中，a =，b =45A ∠=︒，则C ∠= ．8．在锐角ABC ∆中，4AC =，3BC =，三角形的面积等于AB 的长为 ． 9．函数()cos22cos f x x x =-，[0x ∈，2]π的单调增区间为 ．10．实数x ，y 满足2sin 3(0)2cos 2x y y y π⎧+=⎪+=，则xy = ．11．已知8x y zπ，且34x y z π++=，则乘积cos sin cos x y z ⋅⋅的最大值为 ． 12．设函数66()sin cos 55kx kxf x =+，其中k 是一个正整数，若对任意实数a ，均有{()|1}{()|}f x a x a f x x R <<+=∈，则k 的最小值为 ．二、选择题（每题4分）13．若sin 0x <，且sin(cos )0x >，则角x 是( ) A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角14．设函数()|sin(2)|3f x x π=+，则下列关于函数()f x 的说法中正确的是( )A ．()f x 是偶函数B ．()f x 的最小正周期为πC ．()f x 在区间7[,]312ππ上是增函数D ．()f x 的图象关于点(,0)6π-对称15．O 为锐角ABC ∆的外心，O 到三边a ，b ，c 的距离分别为k ，m ，n ，则( ) A ．::::k m n a b c =B ．111::::k m n a b c=C ．::tan :tan :tan k m n A B C =D ．::cos :cos :cos k m n A B C =16．已知函数()sin cos f x x a x ωω=+，周期2T π<，()3f π且在6x π=处取得最大值，则使得不等式||0a λω-恒成立的实数λ的最小值为( )A B C D 三、解答题17．（10分）已知ABC ∆，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin cos()6c A a C π=-． （1）求C ∠的大小；（2）若1a b -=，c =18．（8分）若关于x的方程sin0+=在(0,2)π内有两个不同的实数根α，β，x x a求实数a的取值范围及相应的αβ+的值．19．（10分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知3a =，c =45B =︒．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值．20．（10分）如图，一块直角梯形区域ABCD ，1AB AD ==，2BC =，在D 处有一个可以转动的探照灯，其照射角EDF ∠始终为45︒，设ADE α∠=，[0,]2πα∈，探照灯照射在该梯形ABCD 内部区域的面积为S ．（1）求S 关于α的函数关系式； （2）求S 的取值范围．21．（10分）若函数()y f x =在定义域中存在1x ，212()x x x ≠，使得12()()2f x f x +=成立，则称该函数具有性质p ．（1）判断以下两个函数是否具有性质:p ①2()1f x x x =-+，[0x ∈，1]；②11()sin (cos cos (sin 22g x x x x x =+，[0x ∈，2]π．（2）若函数21())cos()]sin()sin()]322326232x x x xf x ωωπωππωπ=-++⨯+--，（其中0ω>，[x π∈，2])π具有性质p ，求ω的取值范围．▁ ▃ ▅ ▇ █ 参 *考 *答 *案 █ ▇ ▅ ▃ ▁一、填空题（每题3分） 1．〖解 析〗由题意得4cos 5θ=，3sin 5θ=-， 所以43112cos sin 2555θθ-=⨯+=．〖答 案〗1152．〖解 析〗1sin 2x =，1sin 62π=，51sin 62π=， ∴实数26x k ππ=+，k Z ∈或526x k ππ=+，k Z ∈． 〖答 案〗26k ππ+，k Z ∈或526k ππ+，k Z ∈3．〖解 析〗()2sin sin()3f x x x π=-12sin sin )2x x x =-2cos sin x x x =-1cos222x x --1sin(2)62x π=+-， 又1sin(2)16x π-+，∴31()22f x -． 〖答 案〗31[,]22-4．〖解 析〗若tan 3α=，tan()2αβ-=， 则tan tan()321tan tan[()]1tan tan()1327ααββααβααβ---=--===+-⨯⨯．〖答 案〗175．〖解 析〗函数2()(sin cos )12sin cos 1sin2f x x x x x x =-=-=-； 所以函数的最小正周期为：22T ππ==． 〖答 案〗π6．〖解 析〗22()cos sin sin sin 1f x x x x x =+=-++． 令sin x t =，[,]44x ππ∈-，sin [t x ∴=∈，则22151()24y t t t =-++=--+，[t ∈，当t =时，215()24min y =-+=〖答7．〖解 析〗由正弦定理得，sin sin a bA B=，所以sin sin b AB a===，因为b a >，所以B A >，即60B =︒或120B =︒， 当60B =︒时，75C ∠=︒，120B =︒时，15C ∠=︒． 〖答 案〗75︒或15︒8．〖解 析〗在锐角ABC ∆中，4AC b ==，3BC a ==，三角形的面积等于∴1sin 2ab C =，即sin C ， C为锐角，1cos 2C ∴，由余弦定理得：2222cos 1691213c a b ab C =+-=+-=，解得：AB c == 〖答9．〖解 析〗2()cos22cos 2cos 2cos 1f x x x x x =-=--，[0x ∈，2]π， 令cos t x =，则2()221g t t t =--，[1t ∈-，1]， 当12t时，()g t 单调递减，当12t >时，()g t 单调递增， 而对于cos t x =，[0x ∈，2]π， 当12t 时，[3x π∈，]π时，cos t x =递减，5[,]3x ππ∈时，cos t x =递增，当12t >时，[0x ∈，]3π时，cos t x =递减，5[3x π∈，2]π时，cos t x =递增，故函数()f x 的单调递增区间为[3π，]π，5[3π，2]π．〖答 案〗[3π，]π，5[3π，2]π10．〖解析〗由方程组2sin 3cos 2x y y ⎧+=⎪+=，可得2sin 3cos 2y xy ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，因为02yπ，所以sin [0y ∈，1]，cos [0y ∈，1]，所以20310221x x ⎧-⎪⎨-⎪⎩， 解得22322x x ⎧，所以x = 当x 时，可得cos 0y =，且02yπ，所以2yπ=， 所以2xy π= 〖答 案〗211．〖解 析〗8x y z π，且34x y z π++=， 33()()44882x y z πππππ∴=-+-+=， sin()0x y -，sin()0y z -，1cos sin cos cos [sin()sin()]2x y z z xy x y ∴⋅⋅=+-- 1131cos sin()cos sin()cos )2242z xy z z z z zπ⋅+=⋅-=+212(2)484228z z z z =+=++ 1sin(2)44z π=+ ∴当242z ππ+=，即8z π=，516x y π==时，乘积cos sin cos x y z ⋅⋅． 〖答 12．〖解 析〗由条件知，66224224()sin cos ()()55555555kx kx kx kx kx kx kx kx f x sin cos sin sin cos cos =+=+-+ 22222232345()31sin cos 555545858kx kx kx kx kx kx sin cos sin cos =+-=-=+， 其中当且仅当5()2m x m Z k π=∈时，()f x 取到最大值， 根据条件知，任意一个长为1的开区间(,1)a a +至少包含一个最大值点，从而512k π<，即52k π>； 反之，当52k π>时，任意一个开区间(,1)a a +均包含()f x 的一个完整周期，此时{()|1}{()|}f x a x a f x x R <<+=∈成立，综上可知，正整数k 的最小值为5[]182π+=． 〖答 案〗8二、选择题（每题4分） 13．〖解 析〗1cos 1x -，且sin(cos )0x >，0cos 1x ∴<，又sin 0x <，∴角x 为第四象限角．〖答 案〗D14．〖解析〗()|sin[2()]|333f πππ-=⨯-+()|sin[2()]|0333f πππ=⨯+=， ()()33f f ππ-≠， ()f x ∴不是偶函数，选项A 错误；()|sin[2())||sin(2)||sin(2)|22333f x x x x ππππππ+=⨯++=++=+， ()f x ∴的最小正周期为2π，选项B 错误； 当7[,]312x ππ∈时，272[,]36x ππ∈，32[,]32x πππ+∈， ()sin(2)3g x x π∴=+在7[,]312ππ上为减函数，()|sin(2)|3f x x π=+在7[,]312ππ上为增函数， 选项C 正确；函数()|sin(2)|3f x x π=+的图象恒在x 轴上方， ()f x ∴的图象不关于点(,0)6π-对称，选项D 错误．〖答 案〗C15．〖解 析〗因为2211sin 2sin cos 22OBC S ak R A R A A ∆===，2211sin 2sin cos 22AOC S bm R B R B B ∆===， 所以sin cos cos sin cos cos OBC OAC S ak A A a A S bm B B b B ∆∆===，所以cos cos k A m B =，同理cos cos m B n C=， 故::cos :cos :cos k m n A B C =．〖答 案〗D16．〖解析〗()sin cos )f x x a x x ωωωϕ=+=+，其中tan a ϕ=， 6x π=处取得最大值， ∴262k ππωϕπ+=+，即226k ππϕπω=+-，k Z ∈，1tan tan(2)tan()2626tan 6k a ππππϕπωωπω∴=+-=-==，k Z ∈，①()1sin()1sin(2)333266f kππππππωϕωπωω=+++-k Z ∈， cos 6πω∴=，② ①⨯②得1sin 6a πω= 2222233sin cos 1661(1)a a a ωπωπ∴+=+=++， 即42230a a --=，解得a =，若a =，则()sin 2sin()3f x x x x πωωω==-， ()2sin()2663f πωππ=-=，∴2632k ωππππ-=+，k Z ∈， 512k ω∴=+，54()2sin()2sin(4)2sin 333333f k ππωπππππ=-=+-==， 这与()3f π由①得tantan()66k ωπππ=+，k Z ∈， cos06ωπ>，∴6ωπ在第一象限， ∴tan(2)6k ππ=+，k Z ∈， 由22||T ππω=<，即||1ω>， ∴266k ωπππ=+，k Z ∈，121k ω∴=+，k Z ∈，使||ω最小，则1k =-，即||11min ω=，若不等式||a λω恒成立，则()||max a λω= 〖答 案〗A三、解答题 17．解：（1）因为sin cos()6c A a C π=-， 由正弦定理得sin sin sin cos()6C A A C π=-，因为sin 0A >，所以1sin cos()sin 62C C C C π=-=+，即tan C 由C 为三角形内角得3C π=；（2）由余弦定理得2222222cos ()17c a b ab C a b ab a b ab ab =+-=+-=-+=+=， 所以6ab =，又1a b -=，所以22()()412425a b a b ab +=-+=+=，所以5a b +=，故三角形的周长为5a b c ++=+．18．解：由sin 0x x a +=，得sin x x a =-，令sin 2sin()3y x x x π==+， (0,2)x π∈，(33x ππ∴+∈，7)3π， 作出函数2sin()3y x π=+的图象如图：若关于x 的方程sin 0x x a +=在(0,2)π内有两个不同的实数根α，β，则2a -<-<2a <-<，即2a -<<2a <．当(2,a ∈-时，3παβ+=；当(a ∈，2)时，73παβ+=．19．解：（1）因为3a =，c =45B =︒．，由余弦定理可得：b ==， 由正弦定理可得sin sinc b C B =，所以225sin sin 45255c C b =︒==，所以sin C =；（2）因为4cos 5ADC ∠=-，所以3sin 5ADC ∠，在三角形ADC 中，易知C 为锐角，由（1）可得cos C ==， 所以在三角形ADC 中，sin sin()sin cos cos sin DAC ADC C ADC C ADC C ∠=∠+∠=∠∠+∠∠=因为(0,)2DAC π∠∈，所以cos DAC ∠== 所以sin 2tan cos 11DAC DAC DAC ∠∠==∠．20．（1）解：当04πα时，如图，过点D 作DG BC ⊥，垂足为G ，因为1AB AD ==，2BC =，所以4C π∠=，tan AE α=， 1tan BE α∴=-，4FDG πα∠=-，tan()4FG πα∴=-， 所以1tan()4BF πα=--， 所以111(1tan )1[1tan()]224S παα=⨯⨯-+⨯⨯--， 所以11111tan 1tan tan()1tan 224221tan S πααααα-=---=--⨯+， 所以122(1tan )21tan S αα=-+++，当42ππα<<时，如图所示，DEG α∠=，34DFG πα∠=-， 所以1tan EG α=，13tan()4FG πα=-， 所以2211111()32tan 2tan tan()4tan S tan απαααα+=+=⋅+-． 当2πα=时，12S =． 所以22122(1tan ),021tan 411,2tan 421,22tan S tan πααααππαααπα⎧-++⎪+⎪+⎪=⋅<<⎨+⎪⎪=⎪⎩； （2）当04πα时，122(1tan )21tan S αα=-+++，令1tan t α+=，[1t∈，2]，所以122()2S t t=-+， 由对勾函数的性质得2()g t t t=+在t =取到最小值1t =或2取到最大值3， 所以2max S =-12min S =． 此时S 的取值范围为1[2，2； 当42ππα<<时，2211111()32tan 2tan tan()4tan S tan απαααα+=+=⋅+-， 设tan m α=，(1,)m ∈+∞，所以2(21)210S m Sm -+-=有大于1的实根，当12S =时，1m =不符合题意；当12S >时，21221021210S S S S S ⎧>⎪⎪=+->⎨⎪-+-<⎪⎩，不等式组无实数解； 当12S <时，21221021210112S S S S S S S⎧<⎪⎪=+-⎪⎨-+-<⎪⎪>-⎪-⎩，112S <．所以此时S 的取值范围为1，1)2． 当2πα=时，12S =．综合得S 的取值范围为1，2-．21．解：（1）①2()1f x x x =-+，[0x ∈，1]，当0x =时，(0)1f =；当1x =时，f （1）1=，故满足定义域中存在1x ，212()x x x ≠，使得12()()2f x f x +=成立，故2()1f x x x =-+，[0x ∈，1]，具有性质p ；②11()sin (cos cos (sin sin cos cos )22g x x x x x x x x x =+=++， 令sin cos )4t x x x π=++，[0x ∈，2]π， 则21sin cos 2t x x-=，[t∈， 则()sin cos cos )4g x x x x x =++，可化为2211124242t t -+=+-，设211()22h t t =+-，[t ∈， 作出其大致图象如图示：显然不存在1t ，212()t t t ≠，使得12()()2h t h t +=成立，故②11()sin (cos cos (sin 22g x x x x x =++，[0x ∈，2]π，不具有性质p ；（2）21())cos()]sin()sin()]322326232x x x x f x ωωπωππωπ=-++⨯+--3131[cos cos ][sin sin ]222222422242x x x x x x x x ωωωωωωωω=+⋅-+ 2cos sin sin 22x x x ωωω==， 因为[x π∈，2]π，所以[x ωωπ∈，2]ωπ，因为()f x 具有性质p ，所以22ωπωπωππ-=，2ω， 当522ππωπ时，需满足922πωπ，解得9542ω； 当5922ππωπ<时，需满足1322πωπ，解得13942ω； 当92πωπ<时，即92ω>时，9242πωπωπωππ-=>>，此时显然成立， 综上可知，ω的取值范围为9[4，513][24，)+∞．。
2020-2021学年上海市浦东新区建平中学高一(下)期中数学复习卷(有解析)
2020-2021学年上海市浦东新区建平中学高一(下)期中数学复习卷一、单选题（本大题共4小题，共12.0分）1.在△ABC中，“cosA+sinA=cosB+sinB”是“∠C=90°”的()A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2.已知sin(π2+θ)=−12，则2sin2θ2−1()A. 12B. −12C. √32D. ±√323.在△ABC中，已知三角形的三边长分别为3、5、7，则最大角为()．A. 60∘B. 75∘C. 120∘D. 150∘4.已知函数f(x)=a x(0<a<1)，给出下列命题：①若x>0，则0<f(x)<1；②若x<1，则f(x)>a；③若f(x1)>f(x2)，则x1<x2.其中正确的命题有()A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个二、单空题（本大题共12小题，共36.0分）5.若幂函数f(x)的图象过点(2,√22)，则f(9)=______ ．6.角α的终边上一点P(7,24)，则1sinα=______ ．7.已知扇形的圆心角为π3，所对的弧长为2，那么扇形的面积是_________．8.若θ是第二象限角，cosθ2−sinθ2=√1−sinθ，则角θ2的终边所在的象限是______ ．9.已知sin(π+α)=−35，且α为第二象限角，则tanα=_______．10.若cosα=45，且α∈(0,π)，则tanα2=______．11.tan19°+tan41°+√3tan19°tan41°=______ ．12.若f(x)=sin(2x+π6)−cos2x，则f(x)在[0,π2]上的最大值与最小值之和为______ ．13.ΔABC中，若sin2A−sin2B+sin2C=sinAsinC，那么角B=___________．14.已知△ABC的三个内角∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且cosAcosB =−ab+2c，则角A的大小为______ ．15.若x1满足3x+3x−1=7，x2满足3x+3log3(x−2)=7，则x1+x2=______ ．16. 如图，△ABC 中，AB =AC =2，BC =2√3，点D 在BC 边上，∠ADC =45°，则AD 的长度等于____． 三、解答题（本大题共5小题，共60.0分） 17. 已知函数f(α)=cos(π2+α)cos(2π+α)sin(−α+32π)sin(α+7π2)sin(−3π−α)．(1)化简f(α)；(2)若α是第三象限角，且tanα=34，求f(2α)．18. 已知π2<β<α<3π4，且cos(α−β)=1213，sin(α+β)=−35，求：cos2α的值．19. 如图，已知A 、B 、C 是一条直路上的三点，AB 与BC 各等于1千米，从三点分别遥望塔M ，在A 处看见塔在北偏东45方向，在B 处看见塔在正东方向，在C 处看见塔在南偏东60°方向，求塔到直路ABC 的最短距离．20.若函数f(x)满足：对于任意正数s,t，都有f(s)>0,f(t)>0，且f(s)+f(t)<f(s+t)，则称函数f(x)为“L函数”．(1)试判断函数f1(x)=x2与f2(x)=x12是否是“L函数”；(2)若函数g(x)=3x−1+a(3−x−1)为“L函数”，求实数a的取值范围；(3)若函数f(x)为“L函数”，且f(1)=1，求证：对任意x∈(2k−1,2k)(k∈N∗)，都有f(x)−f(1x )> x2−2x．21.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且sinAa +sinBb=cosCc．(1)求tan C的值；(2)若a2+b2−c2=8，求△ABC的面积．【答案与解析】1.答案：B解析：解：若C=90°，则A+B=90°，则B=90°−A，，即必要性成立．若A=B=30°，满足cosA+sinA=cosB+sinB，但C=90°不成立，即充分性不成立，故“cosA+sinA=cosB+sinB”是“∠C=90°”的必要不充分条件，故选：B．根据三角函数的诱导公式以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据三角函数的诱导公式是解决本题的关键．2.答案：A解析：解：sin(π2+θ)=−12，可得：cosθ=−12．则2sin2θ2−1=−cosθ=12．故选：A．利用诱导公式以及二倍角公式化简求解即可．本题考查二倍角公式以及诱导公式的应用，考查计算能力．3.答案：C解析：本题考查余弦定理，设三角形最大角为α，利用余弦定理表示出cosα，把三边长代入求出cosα的值，即可确定出α的度数．解：∵三角形的三边长分别为3，5，7，且最大角为α，∴cosα=32+52−722×3×5=−12，则α=120°．故选C．4.答案：A解析：因为函数f(x)=a x(0<a<1)，所以函数单调递减，①若x>0，则0<f(x)<1正确；②若x<1，则f(x)>a正确；③若f(x1)>f(x2)，则x1<x2正确，故选A．5.答案：13解析：本题考察了幂函数的概念、解析式，熟练掌握幂函数的定义是解题的关键．属于基础题．利用幂函数的定义，用待定系数法设出f(x)的解析式，即可求出f(x)，将x=9代入即可得．解：设幂函数f(x)=xα，∵幂函数y=f(x)的图象过点(2,√22)，∴√22=2α，解得α=−12．∴f(x)=x−12，∴f(9)=9−12=13，故答案为13．6.答案：2524解析：解：∵角α的终边上一点P(7,24)，∴x=7、y=24、r=|OP|=25，∴sinα=yr =2425，∴1sinα=2524，故答案为2524．由条件利用任意角的三角函数的定义求出sinα=yr 的值，可得1sinα的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．7.答案：6π解析：本题考查扇形的面积、弧长公式，考查学生的计算能力，比较基础．利用扇形的圆心角为π3，弧长为2，求出扇形的半径，再求扇形的面积．解：∵扇形的圆心角α为π3，弧长l为2，∴扇形的半径r=lα=6π，∴扇形的面积S=12αr2=12×π3×(6π)2=6π．故答案为6π．8.答案：第三象限解析：解：∵√1−sinθ=√(sinθ2−cosθ2)2=|sinθ2−cosθ2|=cosθ2−sinθ2．∴sinθ2<cosθ2．∵θ是第二象限角，∴π2+2kπ<θ<π+2kπ，则π4+kπ<θ2<π2+kπ,k∈Z．综上，5π4+2kπ<θ2<3π2+2kπ,k∈Z．则角θ2的终边所在的象限是第三象限．故答案为：第三象限．化根式内部的代数式为完全平方式，由开方可知sinθ2<cosθ2，结合θ是第二象限角求出θ2的范围，则答案可求．本题考查了三角函数的符号，关键是把根式内部的代数式开方，是基础题．9.答案：−34解析：本题考查同角三角函数基本关系的应用，属于基础题目.解题关键在于判断三角函数在各象限的符号，属于基础题．先求出cosα=−45，再利用tanα=sinαcosα=35−45=−34即可求解．解：sin(π+α)=−35，则sin α=35，所以cos2α=1−sin2α=1625，因为α为第二象限角，所以，所以cosα=−45，所以tanα=sinαcosα=35−45=−34．故答案为−34．10.答案：13解析：解：∵cosα=45，且α∈(0,π)，∴sinα=35，则tanα2=sinα1+cosα=351+45=39=13，故答案为：13．根据半角的正切公式进行求解即可．本题主要考查半角的正切公式的应用，比较基础．11.答案：√3解析：由tan60°=tan(19°+41°)=√3，利用两角和与差的正切函数公式化简，变形后代入所求式子中化简即可求出值．本题考查两角和与差的正切函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键，属中档题．解：∵tan60°=tan(19°+41°)=tan19°+tan41°1−tan19°tan41°=√3，∴tan19°+tan41°=√3(1−tan19°tan41°)，∴tan19°+tan41°+√3tan19°tan41°=√3(1−tan19°tan41°)+√3tan19°tan41°=√3．故答案为：√3．12.答案：12解析：解：∵f(x)=sin(2x+π6)−cos2x=√32sin2x+12cos2x−cos2x=√32sin2x−12cos2x=sin(2x−π6).x∈[0,π2]，可得2x−π6∈[−π6,5π6]，sin(2x−π6)∈[−12,1]，∴函数的最大值与最小值之和为1−12=12，故答案为：12．利用两角和差的正弦公式化简函数的解析式为f(x)sin(2x−π6)，再根据x∈[0,π2]，利用正弦函数的定义域和值域求得函数的最值，从而求得f(x)在[0,π2]上的最大值与最小值之和．本题主要考查两角和差的正弦公式的应用，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．13.答案：2π3解析：本题考查利用正余弦定理进行边角的互化，从而解的本题。
上海市浦东新区建平中学2020_2021学年高一数学下学期期末考试试题含解析
某某市浦东新区建平中学2020-2021学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、填空题（共12小题）.1．函数f（x）＝sin（﹣2x）的最小正周期为．2．若复数z满足（1+i）z＝i（i为虚数单位），则Imz＝．3．设A（2，3），B（﹣1，5），且，则点D的坐标是．4．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2+n，则该数列的通项公式a n＝．5．已知，，则在向上的数量投影为．6．已知，则＝．7．关于x的方程x2+mx+2＝0（m∈R）的一个根是x＝1+ni（n＞0），则＝．8．i是虚数单位，则＝．9．如图，在三角形ABC中，点D是边BC的中点，O是AD的中点，若BO＝AD＝2，则＝．10．定义：复数b+ai是z＝a+bi（a，b∈R）的转置复数，记为z'＝b+ai．若，则的最大值为．11．定义两个平面向量的一种新运算：sin＜，＞，其中＜，＞表示，的夹角．对于平面上的任意，，向量，λ∈R，下列运算性质一定成立的是．①若，则与共线；②；③；④．12．△ABC中，三边a，b，c满足成等差数列，三角A，B，C满足sin B＝cos A•sin C，且，若存在动点P满足，且，则xy的最大值为．二、选择题13．设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a+为纯虚数”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件14．已知向量，则下列能使成立的一组向量是（）A．B．C．D．15．设复数z满足条件arg z∈（π，π），则对应复平面上的点位于第（）象限A．一B．二C．三D．四16．如图所示，半径为1的圆O始终内切于直角梯形ABCD，则当AD的长度增加时，以下结论：①越来越小；②保持不变．它们成立的情况是（）A．①②都正确B．①②都错误C．①正确，②错误D．①错误，②正确三、解答题17．设{a n}是公比大于1的等比数列，S n为数列{a n}的前n项和．已知S3＝7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n＝log2a n（n≥1），求数列{b n}的前n项和T n．18．已知向量，不共线，t为实数．（Ⅰ）若＝，＝t，＝（+），当t为何值时，A，B，C三点共线；（Ⅱ）若||＝||＝1，且与的夹角为120°，实数x∈[﹣1，]，求|﹣x|的取值X围．19．已知复数z1＝sin2x﹣ti，，i为虚数单位，t，a，x∈R，且z1＝z2．（1）若t＝0且，求x的值；（2）设t＝f（x），已知，求．20．已知x∈R，，．（1）记函数，求函数f（x）取最大值时x的取值X围；（2）求证：与不平行；（3）设△ABC的三边a、b、c满足b2＝ac，且边b所对应的角为x，关于x的方程有且仅有一个实根，某某数t的X围．21．对于一组复数z1，z2，z3，…，z n（n∈N，n≥3），令S n＝z1+z2+z3+……+z n，如果存在z p（p∈{1，2，3，……，n}），使得|z p|≥|S n﹣z p|，那么称z p是该复数组的“M复数”．（1）设z n＝n+（n﹣x）i（n∈{1，2，3}），若z3是复数组z1，z2，z3的“M复数”，某某数x的取值X围；（2）已知z1＝i，z2＝1+i，是否存在复数z3使得z1，z2，z3均是复数组z1，z2，z3的“M 复数”？若存在，求出所有的z3，若不存在，说明理由；（3）若，复数组z1，z2，z3，…，z n是否存在“M 复数”？给出你的结论并说明理由．参考答案一、填空题（共12小题）.1．函数f（x）＝sin（﹣2x）的最小正周期为π．解：函数f（x）＝sin（﹣2x）的最小正周期为＝＝π，故答案为：π．2．若复数z满足（1+i）z＝i（i为虚数单位），则Imz＝．解：∵（1+i）z＝i（i为虚数单位），∴（1﹣i）（1+i）z＝i（1﹣i），化为：2z＝1+i，即z＝+i，则Imz＝，故答案为：．3．设A（2，3），B（﹣1，5），且，则点D的坐标是（﹣7，9）．解：∵，∴＝（2，3）+3[（﹣1，5）﹣（2，3）]＝（﹣7，9）．故答案为（﹣7，9）．4．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2+n，则该数列的通项公式a n＝2n．解：由S n＝n2+n，得a1＝S1＝2，当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝（n2+n）﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）]＝2n．当n＝1时上式成立，∴a n＝2n．故答案为：2n．5．已知，，则在向上的数量投影为 4 ．解：∵，，∴（）•＝2||²﹣＝8﹣＝0，∴＝8，∴向量在向量方向上的数量投影|||cos＜，＞＝＝＝4．故答案为：4．6．已知，则＝．解：由得3＝4﹣得3﹣3＝﹣，即3＝，∴3（﹣）＝，得3＝4，∴＝．故答案为：．7．关于x的方程x2+mx+2＝0（m∈R）的一个根是x＝1+ni（n＞0），则＝﹣2 ．解：∵x2+mx+2＝0（m∈R）的一个根是1+ni（n∈R+），∴（1+ni）2+m（1+ni）+2＝0，整理可得，（3﹣n2+m）+（m+2）ni＝0，∵n＞0，根据复数相等的条件可得，m+2＝0，3+m﹣n2＝0，∴m＝﹣2，n＝1，则m+n＝﹣1，∴＝﹣2．故答案为：﹣2．8．i是虚数单位，则＝﹣i．解：∵＝＝＝﹣i，（﹣i）4＝1，（﹣i）2021＝[（﹣i）4]505×（﹣i）＝﹣i，∴＝＝＝﹣i，故答案为：﹣i．9．如图，在三角形ABC中，点D是边BC的中点，O是AD的中点，若BO＝AD＝2，则＝﹣6 ．解：以D为原点，以BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，设BD＝a，∠OBD＝θ，则D（0，0），B（﹣a，0），O（﹣a+2cosθ，2sinθ），A（﹣2a+4cosθ，4sinθ），∴＝（a﹣4cosθ，﹣4sinθ），＝（2a，0），∵OD＝1，∴（﹣a+2cosθ）2+4sin2θ＝1，整理得：a2﹣4a cosθ＝﹣3，∴＝2a2﹣8a cosθ＝﹣6．故答案为：﹣6．10．定义：复数b+ai是z＝a+bi（a，b∈R）的转置复数，记为z'＝b+ai．若，则的最大值为．解：设z＝a+bi（a，b∈R），则z'＝b+ai，z′+z＝（a+b）+（a+b）i，＝（a+b）+（a﹣b）i，∵，∴a2+b2＝2，∴|（z′+z）（）|＝|（z′+z）||（）|＝＝＝．当且仅当a＝b时等号成立．故答案为：．11．定义两个平面向量的一种新运算：sin＜，＞，其中＜，＞表示，的夹角．对于平面上的任意，，向量，λ∈R，下列运算性质一定成立的是①④．①若，则与共线；②；③；④．解：由若得sin＜，＞＝0，得＜，＞＝0或π，∴与共线，∴①对；例如：＝﹣，与（或）不共线，+＝，∴②中等式左边为0，右边不为0，∴②错；当λ＜0时，③中等式左边为负，右边为正，∴③错；④中等式左边＝||2||2sin2＜，＞+||2||2cos2＜，＞＝||2||2（sin2＜，＞+cos2＜，＞）＝||2||2＝右边．∴④对．故答案选：①④．12．△ABC中，三边a，b，c满足成等差数列，三角A，B，C满足sin B＝cos A•sin C，且，若存在动点P满足，且，则xy的最大值为．解：由△ABC中，三边a，b，c满足成等差数列得2b＝a+c，由正弦定理得2sin B＝sin A+sin C，由sin B＝cos A•sin C得sin（A+C）＝cos A sin C得C＝，由2sin B＝sin A+sin C得2cos A ＝sin A+1，代入sin2A+cos2A＝1可得sin A＝，cos A＝，由，得bc cos A＝16，得bc ＝20，可令a＝3，b＝4，c＝5，以A为原点、CA、CB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图：则A（4，0），B（0，3），C（0，0），设P（s，t），根据得（s﹣4，t）＝λ（﹣s，3﹣t）∴3s+4t＝12，由得（s，t）＝（2x，0）+（0，3y），∴，∴12＝6x+4y≥2，得xy≤，∴xy的最大值为．故答案为：．二、选择题13．设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a+为纯虚数”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解：∵复数a+＝a﹣bi为纯虚数，∴a＝0且﹣b≠0，即a＝0且b≠0，∴“ab＝0”是“复数a+为纯虚数”必要不充分条件．故选：C．14．已知向量，则下列能使成立的一组向量是（）A．B．C．D．解：作为基底不共线即可，共线，共线，不共线，共线，故选：C．15．设复数z满足条件arg z∈（π，π），则对应复平面上的点位于第（）象限A．一B．二C．三D．四解：复数z满足条件arg z∈（π，π），设z＝r（cosθ+i sinθ），则＝（cos（﹣2θ）+i sin2θ）＝（cos2θ+i sin2θ），arg z∈（π，π），即θ∈（π，π），可得2θ∈（，2π）．则对应复平面上的点位于第四象限．故选：D．16．如图所示，半径为1的圆O始终内切于直角梯形ABCD，则当AD的长度增加时，以下结论：①越来越小；②保持不变．它们成立的情况是（）A．①②都正确B．①②都错误C．①正确，②错误D．①错误，②正确解：建立如图所示平面直角坐标系，则B（0，0），A（0，2），O（1，1），设C（m，0），D（n，2），（m＞1，n＞1），则CD所在直线方程为，即2x+（m﹣n）y﹣2m＝0，由题意，，整理得m+n﹣mn＝0（m，n＞1），，，，，∴＝2﹣n，当AD的长度增加时，n增大，则越来越小，故①正确；＝（m+n﹣4，0），＝＝|mn﹣4|，当AD的长度增加时，n增大，|mn﹣4|是变化的，故②错误．故选：C．三、解答题17．设{a n}是公比大于1的等比数列，S n为数列{a n}的前n项和．已知S3＝7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n＝log2a n（n≥1），求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解；（1）设等比数列{a n}的公比为q（q＞1），由a1+3，3a2，a3+4构成等差数列，得6a2＝a1+3+a3+4，即a1+a3＝6a2﹣7，又S3＝7，得a1+a2+a3＝7，所以6a2﹣7+a2＝7，解得a2＝2．所以a1+a3＝5，则+2q＝5，即2q2﹣5q+2＝0，解得q＝2或q＝（舍去），所以a1＝＝＝1，因此a n＝1×2n﹣1＝2n﹣1．（2）由（1）可知a n＝2n﹣1，所以b n＝log2a n＝n﹣1，所以T n＝b1+b2+…+b n＝0+1+2+…+n ﹣1＝．18．已知向量，不共线，t为实数．（Ⅰ）若＝，＝t，＝（+），当t为何值时，A，B，C三点共线；（Ⅱ）若||＝||＝1，且与的夹角为120°，实数x∈[﹣1，]，求|﹣x|的取值X围．解：（Ⅰ）A，B，C三点共线，则存在实数λ，使得，即，则…（Ⅱ）由，则，因为，当时，的最小值为…当时，的最大值为…所以的取值X围是…19．已知复数z1＝sin2x﹣ti，，i为虚数单位，t，a，x∈R，且z1＝z2．（1）若t＝0且，求x的值；（2）设t＝f（x），已知，求．解：（1）t＝0，z1＝z2．∴sin2x＝a+（a﹣cos2x）i，∴sin2x＝a，a﹣cos2x＝0，∴sin2x﹣cos2x＝0，∴tan2x＝，∵，∴0＜2x＜，∴2x＝，或2x＝，解得x＝，或x＝．（2）z1＝z2．∴sin2x+ti＝a+（a﹣cos2x）i，∴sin2x＝a，t＝a﹣cos2x＝，∴t＝sin2x﹣cos2x＝f（x），∴f（α）＝sin2α﹣cos2α＝，∴sin2α﹣cos2α＝，∴sin（2α﹣）＝，∴＝sin[2（2α﹣）+]＝﹣cos[2（2α﹣）]＝﹣[1﹣2]＝2×﹣1＝﹣．20．已知x∈R，，．（1）记函数，求函数f（x）取最大值时x的取值X围；（2）求证：与不平行；（3）设△ABC的三边a、b、c满足b2＝ac，且边b所对应的角为x，关于x的方程有且仅有一个实根，某某数t的X围．【解答】（1）解：＝2sin x cos x+（sin x+cos x）（sin x﹣cos x）＝sin2x ﹣cos2x＝2sin（2x﹣）．当sin（2x﹣）＝1时f（x）取得最大值，此时2x﹣＝2kπ+得x＝kπ+，∴函数f（x）取最大值时x的取值X围是{x|x＝kπ+，k∈Z}．（2）证明：2＝（2sin x，2（sin x﹣cos x）），假设∥2，则2cos x•2（sin x﹣cos x）﹣2sin x（sin x+cos x）＝0，得2sin x cos x﹣2cos2x﹣sin2x﹣sin x cos x＝0，sin2x﹣sin2x﹣cos2x﹣1﹣+cos2x＝0，（1﹣）（sin2x﹣cos2x）＝1+，得sin（2x﹣）＝7+4，显然无解．∴与不平行；（3）解：∵△ABC的三边a、b、c满足b2＝ac，由余弦定理得b2＝a2+c2﹣2ac cos B，∴ac＝a2+c2﹣ac cos B≥2ac﹣2ac cos B，∴cos B≥，∴B∈（0，]，∴x∈（0，]．令g（x）＝+，则g（x）＝+＝2sin（2x﹣）+．由x∈（0，]得2x﹣∈（﹣，]，令2x﹣＝m∈（﹣，]，函数g（x）即为h（m）＝2sin m+，m∈（﹣，]，若关于x的方程有且仅有一个实根，则函数h（m）＝2sin m+，m∈（﹣，]与y＝t有且仅有一个交点，∵函数h（m）＝2sin m+，在（﹣，]上单调递增，值域为（﹣，]，∴实数t的X围是（﹣，]．21．对于一组复数z1，z2，z3，…，z n（n∈N，n≥3），令S n＝z1+z2+z3+……+z n，如果存在z p（p∈{1，2，3，……，n}），使得|z p|≥|S n﹣z p|，那么称z p是该复数组的“M复数”．（1）设z n＝n+（n﹣x）i（n∈{1，2，3}），若z3是复数组z1，z2，z3的“M复数”，某某数x的取值X围；（2）已知z1＝i，z2＝1+i，是否存在复数z3使得z1，z2，z3均是复数组z1，z2，z3的“M 复数”？若存在，求出所有的z3，若不存在，说明理由；（3）若，复数组z1，z2，z3，…，z n是否存在“M 复数”？给出你的结论并说明理由．解：（1）z1＝1+（1﹣x）i，z2＝2+（2﹣x）i，z3＝3+（3﹣x）i，∵z3是复数组z1，z2，z3的“M复数”，∴|z3|≥|S3﹣z3|＝|z1+z2|，代入得≥，化简，得x（x﹣2）≤0，解得0≤x≤2．（2）∵z1＝i，z2＝1+i，存在复数z3使得z1，z2，z3均是复数组z1，z2，z3的“M复数”，∴，设z k＝x k+y k i，k＝1，2，3，则，相加得（x1+x2+x3）2+（y1+y2+y3）2≤0，∴z1+z2+z3＝0，∴z3＝﹣1﹣2i．（3）|z n|＝严格减．n为奇数时，z1＝1﹣i，z2+z3+•••+z n＝（）+＝＝[1﹣（）n﹣1，∴|z1|＝，|z2+z3+•••+z n|＝[1﹣（）n﹣1]，∴当n为奇数时，复数组z1，z2，z3，•••，z n存在“M复数”，z1是复数组z1，z2，z3，•••，z n的“M复数”，n（n≥3）为偶数时，|z P|max＝|z1|＝，|S n﹣z p|min＝|S n﹣z1|min＝|z2+z3+••+z n|＝|（）+（）2+•••+（）n﹣1+i|＝＝＝|z1|＝|z n|max，∴|z n|max＜|S n﹣z p|min，∴当n为偶数时，复数组z1，z2，z3，…，z n不存在“M复数”．。
2021-2022学年上海中学高一(下)期中数学试卷(解析版)
2021-2022学年上海中学高一（下）期中数学试卷一、填空题（每题3分）1．设角θ的终边经过点P（4，﹣3），那么2cosθ﹣sinθ＝．2．已知，则实数x＝．3．函数的值域是．4．若tanα＝3，tan（α﹣β）＝2，则tanβ＝．5．函数f（x）＝（sin x﹣cos x）2的最小正周期为．6．函数f（x）＝cos2x+sin x在区间上的最小值是．7．在三角形ABC中，，，∠A＝45°，则∠C＝．8．在锐角△ABC中，AC＝4，BC＝3，三角形的面积等于，则AB的长为．9．函数f（x）＝cos2x﹣2cos x，x∈[0，2π]的单调增区间为．10．实数x，y满足，则xy＝．11．已知，且，则乘积cos x•sin y•cos z的最大值为．12．设函数，其中k是一个正整数，若对任意实数a，均有{f （x）|a＜x＜a+1}＝{f（x）|x∈R}，则k的最小值为．二、选择题（每题4分）13．若sin x＜0，且sin（cos x）＞0，则角x是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角14．设函数f（x）＝|sin（2x+）|，则下列关于函数f（x）的说法中正确的是（）A．f（x）是偶函数B．f（x）的最小正周期为πC．f（x）在区间上是增函数D．f（x）的图象关于点对称15．O为锐角△ABC的外心，O到三边a，b，c的距离分别为k，m，n，则（）A．k：m：n＝a：b：c B．C．k：m：n＝tan A：tan B：tan C D．k：m：n＝cos A：cos B：cos C16．已知函数f（x）＝sinωx+a cosωx，周期T＜2π，，且在处取得最大值，则使得不等式λ|ω|﹣a≥0恒成立的实数λ的最小值为（）A．B．C．D．三、解答题17．已知△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求∠C的大小；（2）若a﹣b＝1，，求三角形的周长．18．若关于x的方程sin x+cos x+a＝0在（0，2π）内有两个不同的实数根α，β，求实数a的取值范围及相应的α+β的值．19．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a＝3，c＝，B＝45°．（1）求sin C的值；（2）在边BC上取一点D，使得cos∠ADC＝﹣，求tan∠DAC的值．20．如图，一块直角梯形区域ABCD，AB＝AD＝1，BC＝2，在D处有一个可以转动的探照灯，其照射角∠EDF始终为45°，设∠ADE＝α，，探照灯照射在该梯形ABCD内部区域的面积为S．（1）求S关于α的函数关系式；（2）求S的取值范围．21．若函数y＝f（x）在定义域中存在x1，x2（x1≠x2），使得f（x1）+f（x2）＝2成立，则称该函数具有性质p．（1）判断以下两个函数是否具有性质p：①f（x）＝x2﹣x+1，x∈[0，1]；②，x∈[0，2π]．（2）若函数，（其中ω＞0，x∈[π，2π]）具有性质p，求ω的取值范围．参考答案一、填空题（每题3分）1．设角θ的终边经过点P（4，﹣3），那么2cosθ﹣sinθ＝．【分析】由已知结合三角函数的定义即可直接求解．解：由题意得cosθ＝，sinθ＝﹣，所以2cosθ﹣sinθ＝2×+＝．故答案为：．2．已知，则实数x＝+2kπ，k∈Z或+2kπ，k∈Z．【分析】利用正弦函数的性质直接求解．解：∵，sin＝，＝，∴实数x＝+2kπ，k∈Z或x＝+2kπ，k∈Z．故答案为：+2kπ，k∈Z或+2kπ，k∈Z．3．函数的值域是．【分析】利用二倍角公式及辅助角公式对函数化简可得，＝，由正弦函数的性质可得，代入函数可求函数的值域．解：∵＝＝＝＝又∵∴故答案为：4．若tanα＝3，tan（α﹣β）＝2，则tanβ＝．【分析】由β＝α﹣（α﹣β），运用两角差的正切公式，计算可得所求值．解：若tanα＝3，tan（α﹣β）＝2，则tanβ＝tan[α﹣（α﹣β）]＝＝＝．故答案为：．5．函数f（x）＝（sin x﹣cos x）2的最小正周期为π．【分析】化简函数的表达式为一个角的一个三角函数的形式，然后利用周期公式求出函数的周期．解：函数f（x）＝（sin x﹣cos x）2＝1﹣2sin x cos x＝1﹣six2x；所以函数的最小正周期为：T＝，故答案为：π．6．函数f（x）＝cos2x+sin x在区间上的最小值是．【分析】化余弦为正弦，然后令sin x＝t换元，利用x的范围求得t的范围，配方后求得函数最小值．解：f（x）＝cos2x+sin x＝﹣sin2x+sin x+1．令sin x＝t，∵x∈，∴t＝sin x∈[]，则y＝，t∈[]，当t＝﹣时，．故答案为：．7．在三角形ABC中，，，∠A＝45°，则∠C＝75°或15°．【分析】由已知结合正弦定理先求出B，然后结合三角形内角和定理可求C．解：由正弦定理得，，所以sin B＝＝＝，因为b＞a，所以B＞A，即B＝60°或B＝120°，当B＝60°时，∠C＝75°，B＝120°时，∠C＝15°，故答案为：75°或15°．8．在锐角△ABC中，AC＝4，BC＝3，三角形的面积等于，则AB的长为．【分析】利用三角形面积公式列出关系式，将AC与BC，以及已知面积代入求出sin C的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cos C的值，利用余弦定理列出关系式，将AC，BC，以及cos C的值代入即可求出AB的长．解：∵在锐角△ABC中，AC＝b＝4，BC＝a＝3，三角形的面积等于3，∴ab sin C＝3，即sin C＝，∵C为锐角，∴cos C＝＝，由余弦定理得：c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝16+9﹣12＝13，解得：AB＝c＝．故答案为：9．函数f（x）＝cos2x﹣2cos x，x∈[0，2π]的单调增区间为[，π]，[，2π]．【分析】由已知结合二次函数及余弦函数的单调性及复合函数单调性可求解：f（x）＝cos2x﹣2cos x＝2cos2x﹣2cos x﹣1，x∈[0，2π]，令t＝cos x，则g（t）＝2t2﹣2t﹣1，t∈[﹣1，1]，当t时，g（t）单调递减，当t时，g（t）单调递增，而对于t＝cos x，x∈[0，2π]，当t时，x∈[，π]时，t＝cos x递减，x∈[]时，t＝cos x递增，当t时，x∈[0，]时，t＝cos x递减，x∈[，2π]时，t＝cos x递增，故函数f（x）的单调递增区间为[，π]，[，2π]．故答案为：[，π]，[，2π]．10．实数x，y满足，则xy＝．【分析】由0≤y≤，得，进而得x＝，代入即可求解．解：由方程组，可得，因为0≤y≤，所以sin y∈[0，1]，cos y∈[0，1]，所以，解得，所以x＝，当x＝时，可得cos y＝0，且0≤y≤，所以y＝，所以xy＝＝．故答案为：．11．已知，且，则乘积cos x•sin y•cos z的最大值为．【分析】由已知可得，且sin（x﹣y）≥0，sin（y﹣z）≥0，可得cos x•sin y•cos z ＝cos z[sin（x+y）﹣sin（x﹣y）]≤cos z•sin（x+y），转化为关于z的三角函数，再由正弦函数的单调性求最值．解：∵，且，∴x＝﹣（y+z）≤，sin（x﹣y）≥0，sin（y﹣z）≥0，∴cos x•sin y•cos z＝cos z[sin（x+y）﹣sin（x﹣y）]≤cos z•sin（x+y）＝＝cos z（）＝＝＝．∴当2z+，即z＝，x＝y＝时，乘积cos x•sin y•cos z的最大值为．故答案为：．12．设函数，其中k是一个正整数，若对任意实数a，均有{f （x）|a＜x＜a+1}＝{f（x）|x∈R}，则k的最小值为8．【分析】先将函数式化简为一个角一种三角函数一次的形式，然后借助于三角函数的周期性、值域等知识求解．解：由条件知，＝＝＝＝，其中当且仅当x＝（m∈Z）时，f（x）取到最大值，根据条件知，任意一个长为1的开区间（a，a+1）至少包含一个最大值点，从而＜1，即k＞；反之，当k＞时，任意一个开区间（a，a+1）均包含f（x）的一个完整周期，此时{f（x）|a＜x＜a+1}＝{f（x）|x∈R}成立，综上可知，正整数k的最小值为[]+1＝8．故答案为：8．二、选择题（每题4分）13．若sin x＜0，且sin（cos x）＞0，则角x是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【分析】根据三角函数角的范围和符号之间的关系进行判断即可．解：∵﹣1≤cos x≤1，且sin（cos x）＞0，∴0＜cos x≤1，又sin x＜0，∴角x为第四象限角，故选：D．14．设函数f（x）＝|sin（2x+）|，则下列关于函数f（x）的说法中正确的是（）A．f（x）是偶函数B．f（x）的最小正周期为πC．f（x）在区间上是增函数D．f（x）的图象关于点对称【分析】举例说明A不正确；由f（x+）＝f（x）说明B不正确；由x得范围得到相位的范围，说明g（x）＝sin（2x+）在上为减函数，f（x）＝|sin（2x+）|在上为增函数；由f（x）＝|sin（2x+）|的图象恒在x轴上方说明f（x）的图象不关于点对称．解：∵f（）＝|sin[2×（）+]|＝，f（）＝|sin[2×（）+]|＝0，f（）≠f（），∴f（x）不是偶函数，选项A错误；∵f（x+）＝|sin[2×（x+）+）|＝|sin（2x+π+）|＝|sin（2x+）|，∴f（x）的最小正周期为，选项B错误；当x∈时，2x∈，2x+∈，∴g（x）＝sin（2x+）在上为减函数，f（x）＝|sin（2x+）|在上为增函数，选项C正确；函数f（x）＝|sin（2x+）|的图象恒在x轴上方，∴f（x）的图象不关于点对称，选项D错误．故选：C．15．O为锐角△ABC的外心，O到三边a，b，c的距离分别为k，m，n，则（）A．k：m：n＝a：b：c B．C．k：m：n＝tan A：tan B：tan C D．k：m：n＝cos A：cos B：cos C【分析】由已知结合三角形面积公式及二倍角公式进行化解即可求解．解：因为S△OBC＝＝sin2A＝R2sin A cos A，S△AOC＝＝sin2B＝R2sin B cos B，所以＝＝＝，所以＝，同理＝，故k：m：n＝cos A：cos B：cos C．故选：D．16．已知函数f（x）＝sinωx+a cosωx，周期T＜2π，，且在处取得最大值，则使得不等式λ|ω|﹣a≥0恒成立的实数λ的最小值为（）A．B．C．D．【分析】先根据三角恒等变换和三角形函数的性质，以及同角的三角函数的关系可得tanφ＝＝a，再根据，可得cosω＝，联立求出a的值，再根据三角函数的性质可得ω＝12k+1，k∈Z，求出|ω|min＝11，根据不等式λ|ω|≥a恒成立，则λ≥（）max，即可求出答案．解：∵f（x）＝sinωx+a cosωx＝sin（ωx+φ），其中tanφ＝a，∵x＝处取得最大值∴ω+φ＝+2kπ，即φ＝+2kπ﹣ω，k∈Z，∴tanφ＝tan（+2kπ﹣ω）＝tan（﹣ω）＝＝a，k∈Z，①∵f（）＝sin（ω+φ）＝sin（ω++2kπ﹣ω）＝cos＝，k∈Z，∴cosω＝，②①×②得sinω＝•，∴sin2+cos2＝+＝1，即a4﹣2a2﹣3＝0，解得a＝，若a＝﹣，则f（x）＝sinωx﹣cosωx＝2sin（ωx﹣），f（）＝2sin（﹣）＝2，∴﹣＝+2kπ，k∈Z，∴ω＝5+12k，f（）＝2sin（﹣）＝2sin（+4kπ﹣）＝2sin＝﹣，这与f（）＝矛盾，故应舍去．由①得tan＝tan（+kπ），k∈Z，∵cos＞0，∴在第一象限，∴取＝tan（+2kπ），k∈Z，由T＝＜2π，即|ω|＞1，∴＝+2kπ，k∈Z，∴ω＝12k+1，k∈Z，使|ω|最小，则k＝﹣1，即|ω|min＝11，若不等式λ|ω|≥a恒成立，则λ≥（）max＝，故选：A．三、解答题17．已知△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求∠C的大小；（2）若a﹣b＝1，，求三角形的周长．【分析】（1）由已知结合正弦定理及和差角公式，同角基本关系进行化简可求tan C，进而可求C；（2）由已知结合余弦定理可求ab，进而可求a+b，从而可求三角形周长．解：（1）因为，由正弦定理得sin C sin A＝sin A cos（C﹣），因为sin A＞0，所以sin C＝cos（C﹣）＝cos C+sin C，即tan C＝，由C为三角形内角得C＝；（2）由余弦定理得c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝a2+b2﹣ab＝（a﹣b）2+ab＝1+ab＝7，所以ab＝6，又a﹣b＝1，所以（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝1+24＝25，所以a+b＝5，故三角形的周长为a+b+c＝5+．18．若关于x的方程sin x+cos x+a＝0在（0，2π）内有两个不同的实数根α，β，求实数a的取值范围及相应的α+β的值．【分析】由sin x+cos x+a＝0，得sin x+cos x＝﹣a，画出函数y＝sin x+cos x＝的图象，数形结合得答案．解：由sin x+cos x+a＝0，得sin x+cos x＝﹣a，令y＝sin x+cos x＝，∵x∈（0，2π），∴x+∈（，），作出函数的图象如图：若关于x的方程sin x+cos x+a＝0在（0，2π）内有两个不同的实数根α，β，则﹣2，或，即或．当a∈（﹣2，﹣）时，；当a∈（﹣，2）时，．19．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a＝3，c＝，B＝45°．（1）求sin C的值；（2）在边BC上取一点D，使得cos∠ADC＝﹣，求tan∠DAC的值．【分析】（1）由题意及余弦定理求出b边，再由正弦定理求出sin C的值；（2）三角形的内角和为180°，cos∠ADC＝﹣，可得∠ADC为钝角，可得∠DAC与∠ADC+∠C互为补角，所以sin∠DAC＝sin（∠ADC+∠C）展开可得sin∠DAC及cos ∠DAC，进而求出tan∠DAC的值．解：（1）因为a＝3，c＝，B＝45°．，由余弦定理可得：b＝＝＝，由正弦定理可得＝，所以sin C＝•sin45°＝＝，所以sin C＝；（2）因为cos∠ADC＝﹣，所以sin∠ADC＝＝，在三角形ADC中，易知C为锐角，由（1）可得cos C＝＝，所以在三角形ADC中，sin∠DAC＝sin（∠ADC+∠C）＝sin∠ADC cos∠C+cos∠ADC sin ∠C＝，因为∠DAC，所以cos∠DAC＝＝，所以tan∠DAC＝＝．20．如图，一块直角梯形区域ABCD，AB＝AD＝1，BC＝2，在D处有一个可以转动的探照灯，其照射角∠EDF始终为45°，设∠ADE＝α，，探照灯照射在该梯形ABCD内部区域的面积为S．（1）求S关于α的函数关系式；（2）求S的取值范围．【分析】（1）对α分三种情况讨论，分别求出函数的解析式即得解；（2）对α分三种情况讨论，分别求出函数的取值范围即得解．解：（1）解：当0≤α时，如图，过点D作DG⊥BC，垂足为G，因为AB＝AD＝1，BC＝2，∴BE＝1﹣tanα，∵∠FDG＝﹣α，∴FG＝tan（﹣α），所以BF＝1﹣tan（﹣α），所以S＝（1﹣tanα）+[1﹣tan（﹣α）]，所以S＝1﹣tanα﹣tan（﹣α）＝1﹣tanα﹣，所以S＝2﹣（1+tanα+），当＜α＜时，如图所示，∠DEG＝α，∠DFG＝﹣α，所以EG＝，FG＝，所以S＝（+）＝．当α＝时，S＝．所以S＝；（2）当0≤α时，S＝2﹣（1+tanα+），令1+tanα＝t，t∈[1，2]，由对勾函数的性质得g（t）＝t+在t＝取到最小值2，在t＝1或2取到最大值3，所以S max＝2﹣，S min＝．此时S的取值范围为[，2﹣]；当＜α＜时，S＝（+）＝，设m＝tanα，m∈（1，+∞），所以（2S﹣1）m2+2Sm﹣1＝0有大于1的实根，当S＝时，m＝1不符合题意；当S＞时，，不等式组无实数解；当S＜时，，所以﹣1≤S．所以此时S的取值范围为[﹣1，）．当时，S＝．综合得S的取值范围为[，2﹣]．21．若函数y＝f（x）在定义域中存在x1，x2（x1≠x2），使得f（x1）+f（x2）＝2成立，则称该函数具有性质p．（1）判断以下两个函数是否具有性质p：①f（x）＝x2﹣x+1，x∈[0，1]；②，x∈[0，2π]．（2）若函数，（其中ω＞0，x∈[π，2π]）具有性质p，求ω的取值范围．【分析】（1）找到x1，x2（x1≠x2），使得f（x1）+f（x2）＝2，可说明①具有性质p；利用换元法，结合二次函数的性质，作出大致图象，可说明②不具有性质p；（2）化简得到f（x）＝sinωx，结合正弦函数的性质，分类讨论，求得答案．解：（1）①f（x）＝x2﹣x+1，x∈[0，1]，当x＝0 时，f（0）＝1；当x＝1 时，f（1）＝1，故满足定义域中存在x1，x2（x1≠x2），使得f（x1）+f（x2）＝2成立，故f（x）＝x2﹣x+1，x∈[0，1]，具有性质p；②＝sin x cos x+（sin x+cos x），令t＝sin x+cos x＝sin（x+），x∈[0，2π]，则sin x cos x＝，t∈[﹣，]，则g（x）＝sin x cos x+（sin x+cos x），可化为+t＝t2+t﹣，设h（t）＝t2+t﹣，t∈[﹣，]，作出其大致图象如图示：显然不存在t1，t2（t1≠t2），使得h（t1）+h（t2）＝2成立，故②，x∈[0，2π]，不具有性质p；（2）＝[cos+sin+cos﹣sin]•[sin+cos﹣cos+sin]＝2cos sin＝sinωx，因为x∈[π，2π]，所以ωx∈[ωπ，2ωπ]，因为f（x）具有性质p，所以2ωπ﹣ωπ＝ωπ≥2π，ω≥2，当2π≤ωπ≤时，需满足2ωπ≥，解得；当＜ωπ≤时，需满足2ωπ≥，解得≤ω≤；当＜ωπ时，即时，2ωπ﹣ωπ＝ωπ＞＞4π，此时显然成立，综上可知，ω的取值范围为[，]∪[，+∞）．。
2019-2020学年上海市浦东新区建平中学高一(下)期中数学试卷
2019-2020学年上海市浦东新区建平中学高一（下）期中数学试卷试题数：21，总分：01.（填空题，3分）已知扇形的弧长是6，圆心角为2，则扇形的面积为___ ．2.（填空题，3分）数列{a n}是等比数列，a1=12，q=12，a n=132，则n=___ ．3.（填空题，3分）已知tanθ=-2，则cosθ−sinθsinθ+cosθ=___ ．4.（填空题，3分）三角方程tan(x−π6)=3的解集为___ ．5.（填空题，3分）sinx=13，x∈[3π2，5π2]，则x用反正弦可以表示为___ ．6.（填空题，3分）已知数列{a n}满足a1=0，a n+1=n√3√3a+1（n∈N*），则a2020=___ ．7.（填空题，3分）等差数列{a n}的通项为a n=2n-1，令b n=a2n-1，则数列{b n}的前20项之和为___ ．8.（填空题，3分）函数y=sin2ωx-cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为4π，则ω=___ ．9.（填空题，3分）已知12sinα+5cosα可表示为Asin（α+φ）（A＞0，0≤φ＜π）的形式，则sin2φ=___ ．10.（填空题，3分）已知角α，β∈(0，π4)，3sinβ=sin（2α+β），4tanα2=1−tan2α2，则α+β=___ ．11.（填空题，3分）方程x2−10xsinπx2+1=0实数解的个数为___ ．12.（填空题，3分）设数列{a n}的通项公式为a n=2n-3（n∈N*），数列{b n}定义如下：对于正整数m，b m是使得不等式a n≥m成立的所有n中的最小值，则数列{b n}的前2m项和为___ ．（结果用m表示）13.（单选题，3分）已知α是第二象限角，则α2是（）A.锐角B.第一象限角C.第一、三象限角D.第二、四象限角14.（单选题，3分）在△ABC中，若tanAtanB＞1，则△ABC是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定15.（单选题，3分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ| ＜π2）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式为（）A.f（x）=sin（2x+ π3）B.f（x）=sin（12x+π3）C.f（x）=sin（12x−π3）D.f（x）=sin（2x −π3）16.（单选题，3分）已知{a n}、{b n}均是等差数列，c n=a n•b n，若{c n}前三项是7、9、9，则c10=（）A.-47B.47C.-1D.117.（问答题，0分）已知函数f（x）=2sinxcosx-2sin2x+1．（1）求f（x）的单调递减区间；（2）若函数f(x)=√22，x∈[0，π），求x．18.（问答题，0分）已知sinα+cosα=−15，α∈（0，π），求下列式子的值：（1）sinαcosα；（2）tanα2；（3）sin3α+cos3α．19.（问答题，0分）如图，一智能扫地机器人在A处发现位于它正西方向的B处和北偏东30°方向上的C处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距离少0.4米，于是选择沿A→B→C路线清扫，已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2m/s，忽略机器人吸入垃圾及在B处旋转所用时间，10秒钟完成了清扫任务．（1）B、C两处垃圾的距离是多少？（2）智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角∠B的正弦值是多少？20.（问答题，0分）设{a n}是无穷等差数列，公差为d，前n项和为S n．（1）设a1=40，a6=38，求S n的最大值；（2）设S9=0，且a2+a3+a4+a5=-18，令b n=|a n|，求数列{b n}的前n项和T n．21.（问答题，0分）已知定义在R上的函数f（x）和数列{a n}满足下列条件：a1=a，a2≠a1，当n∈N*且n≥2时，a n=f（a n-1）且f（a n）-f（a n-1）=k（a n-a n-1），其中a、k均为非零常数．（1）若{a n}是等差数列，求实数k的值；（2）令b n=a n+1-a n（n∈N*），若b1=1，求数列{b n}的通项公式；（3）令b n=a n+1-a n（n∈N*），若c1=b1=k＜0，数列{c n}满足c n+1-c n=2（b n+1-b n），若数列{c n}∈(−2，2)，求k的取值范围．有最大值M，最小值m，且Mm2019-2020学年上海市浦东新区建平中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：01.（填空题，3分）已知扇形的弧长是6，圆心角为2，则扇形的面积为___ ．【正确答案】：[1]9【解析】：利用扇形的弧长公式可求扇形的半径，根据扇形的面积公式即可求解．【解答】：解：设扇形的半径为r，则r= 62=3，则扇形的面积S= 12×6×3=9．故答案为：9．【点评】：本题主要考查了扇形的弧长公式，面积公式的应用，属于基础题．2.（填空题，3分）数列{a n}是等比数列，a1=12，q=12，a n=132，则n=___ ．【正确答案】：[1]5【解析】：利用等比数列的通面公式直接求解．【解答】：解：∵数列{a n}是等比数列，a1=12，q=12，a n=132，∴ a n=12×(12)n−1=132，解得n=5．故答案为：5．【点评】：本题考查等比数列的项数n的求法，考查等比数列的性质等基础知识，是基础题．3.（填空题，3分）已知tanθ=-2，则cosθ−sinθsinθ+cosθ=___ ．【正确答案】：[1]-3【解析】：由已知利用同角三角函数基本关系式化简即可求解．【解答】：解：∵tanθ=-2，∴ cosθ−sinθsinθ+cosθ = 1−tanθtanθ+1= 1−(−2)−2+1=-3．故答案为：-3．【点评】：本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．4.（填空题，3分）三角方程tan(x−π6)=3的解集为___ ．【正确答案】：[1] {x|x=arctan3+π6+kπ，k∈Z}【解析】：直接根据tan(x−π6)=3，解方程即可．【解答】：解：∵ tan(x−π6)=3，∴ x−π6=arctan3+kπ，k∈Z，∴ x=arctan3+π6+kπ，k∈Z．∴方程的解集为{x|x=arctan3+π6+kπ，k∈Z}．故答案为：{x|x=arctan3+π6+kπ，k∈Z}．【点评】：本题考查了三角方程的求法，属基础题．5.（填空题，3分）sinx=13，x∈[3π2，5π2]，则x用反正弦可以表示为___ ．【正确答案】：[1] x=2π+arcsin13【解析】：根据sinx=13，x∈[3π2，5π2]，直接求出x即可．【解答】：解：∵ sinx=13，x∈[3π2，5π2]，∴ x=2π+arcsin13．故答案为：x=2π+arcsin13．【点评】：本题考查了三角方程的求法，属基础题．6.（填空题，3分）已知数列{a n}满足a1=0，a n+1=n√3√3a+1（n∈N*），则a2020=___ ．【正确答案】：[1]0【解析】：求出数列的前几项，判断数列是周期数列，然后求解即可．（n∈N*），【解答】：解：数列{a n}满足a1=0，a n+1=a n−√3√3a+1=- √3，可得a2= √3√3×0+1a3= √3−√3= √3，√3×(−√3)+1=0，…a4= √3−√3√3×√3+1所以数列是周期数列，周期为3，所以a2020=a3×673+1=a1=0，故答案为：0．【点评】：本题考查数列的递推关系式的应用，数列的项的求法，判断数列是周期数列是解题的关键．7.（填空题，3分）等差数列{a n}的通项为a n=2n-1，令b n=a2n-1，则数列{b n}的前20项之和为___ ．【正确答案】：[1]780【解析】：由已知代入可求b n，然后结合等差数列的求和公式即可求解．【解答】：解：由a n=2n-1，可得b n=a2n-1=2（2n-1）-1=4n-3，则数列{b n}是以1为首项，以4为公差的等差数列，×4 =780．故前20项之和S20=20×1+ 20×192故答案为：780．【点评】：本题主要考查了等差数列的性质及求和公式的简单应用，属于基础试题．8.（填空题，3分）函数y=sin2ωx-cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为4π，则ω=___ ．【正确答案】：[1] 14【解析】：利用二倍角的余弦函数公式化简函数解析式，根据余弦函数的周期公式即可求解．，【解答】：解：∵y=sin2ωx-cos2ωx=-cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为4π，即4π= 2π2ω．∴ω= 14．故答案为：14【点评】：本题主要考查了二倍角的余弦函数公式，余弦函数的周期公式的应用，考查了函数思想，属于基础题．9.（填空题，3分）已知12sinα+5cosα可表示为Asin（α+φ）（A＞0，0≤φ＜π）的形式，则sin2φ=___ ．【正确答案】：[1] 120169【解析】：由题意利用三角恒等变换，辅助角公式，先求出sinφ 和cosφ的值，可得sin2φ的值．【解答】：解：∵12sinα+5cosα=13（1213sinα+ 513cosα）可表示为Asin（α+φ）（A＞0，0≤φ＜π）的形式，则sinφ= 513，cosφ= 1213，∴sin2φ=2sinφcosφ= 120169，故答案为：120169．【点评】：本题主要考查三角恒等变换，辅助角公式的应用，属于中档题．10.（填空题，3分）已知角α，β∈(0，π4)，3sinβ=sin（2α+β），4tanα2=1−tan2α2，则α+β=___ ．【正确答案】：[1] π4【解析】：从4tan α2 =1-tan2α2．中解出tanα，利用配角法化简3sinβ=sin（2α+β），即将其中的2α+β用（α+β）+α，β用（α+β）-α代换，从而求出tan（α+β），利用三角函数值求解得α+β的值．【解答】：解：∵4tan α2 =1-tan2α2，∴2•tanα=1，tanα= 12．∵3sinβ=sin（2α+β），∴3sinβ=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα．∴3sin（α+β）cosα-3cos（α+β）sinα=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα．∴sin（α+β）cosα=2cos（α+β）sinα．∴tan（α+β）=2tanα=1．又α，β∈(0，π4)，∴α+β= π4．故答案为：π4．【点评】：本题主要考查了三角函数化简求值，角的变换是常用技巧．如2α+β=（α+β）+α，β=（α+β）-α等．三角变换中的角的变换，在本题中显得尤为突出，将单角化为复角，对字母角度的巧妙拼凑，使得问题顺利解决，属于基础题．11.（填空题，3分）方程x2−10xsinπx2+1=0实数解的个数为___ ．【正确答案】：[1]12【解析】：将方程变形得sin πx2 = 110x+ x10（x≠0）分别作出sin πx2和y= 110x+ x10的函数图象，根据交点个数进行判断．【解答】：解：∵ x2−10xsinπx2+1=0，∴sin πx2 = 110x+ x10（x≠0），令f（x）= 110x + x10= 110（x+ 1x），则f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，作出y=sin πx2和y=f（x）在（0，+∞）上函数图象如图所示：由图象可知y=sin πx2和y=f（x）在（0，+∞）上有6个交点，又y=sin πx2和y=f（x）都是奇函数，∴y=sin πx2和y=f（x）在（-∞，0）上有6个交点，∴方程x2−10xsinπx2+1=0有个解，故答案为：12．【点评】：本题考查了方程的根与函数图象的关系，属于中档题．12.（填空题，3分）设数列{a n}的通项公式为a n=2n-3（n∈N*），数列{b n}定义如下：对于正整数m，b m是使得不等式a n≥m成立的所有n中的最小值，则数列{b n}的前2m项和为___ ．（结果用m表示）【正确答案】：[1]m2+4m【解析】：先由题设条件求出数列{b n}的前几项，归纳出b2k-1+b2k=2k+3（k∈N*），再求出其前2m项和即可．【解答】：解：由题设条件可得：当m=1时，b1=2，当m=2时，b2=3，当m=3时，b3=3，当m=4时，b4=4，当m=5时，b5=4，…，故易知：b2k-1=2+k-1=k+1，b2k=3+k-1=k+2，k∈N*，故b2k-1+b2k=2k+3，∴数列{b n}的前2m项和为m(5+2m+3)2=m2+4m．故答案为：m2+4m．【点评】：本题主要考查数列通项公式的求法及数列求和，属于基础题．13.（单选题，3分）已知α是第二象限角，则α2是（）A.锐角B.第一象限角C.第一、三象限角D.第二、四象限角【正确答案】：C【解析】：由α是第二象限角对应的范围，即可求解结论．【解答】：解：∵α是第二象限角，所以π2+2kπ＜α＜π+2kπ，k∈Z，∴ π4+kπ＜α2＜kπ +π2，k∈Z，∴ α2是第一象限或第三象限角，故选：C．【点评】：本题考查角在第几象限的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意象限角定义的合理运用．14.（单选题，3分）在△ABC中，若tanAtanB＞1，则△ABC是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定【正确答案】：A【解析】：利用两角和的正切函数公式表示出tan（A+B），根据A与B的范围以及tanAtanB＞1，得到tanA和tanB都大于0，即可得到A与B都为锐角，然后判断出tan（A+B）小于0，得到A+B为钝角即C为锐角，所以得到此三角形为锐角三角形．【解答】：解：因为A和B都为三角形中的内角，由tanAtanB＞1，得到1-tanAtanB＜0，且得到tanA＞0，tanB＞0，即A，B为锐角，＜0，所以tan（A+B）= tanA+tanB1−tanAtanB，π），即C都为锐角，则A+B∈（π2所以△ABC是锐角三角形．故选：A．【点评】：此题考查了三角形的形状判断，用的知识有两角和与差的正切函数公式．解本题的思路是：根据tanAtanB＞1和A与B都为三角形的内角得到tanA和tanB都大于0，即A和B都为锐角，进而根据两角和与差的正切函数公式得到tan（A+B）的值为负数，进而得到A+B的范围，判断出C也为锐角．）的部分图象如15.（单选题，3分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ| ＜π2图所示，则f（x）的解析式为（）A.f（x）=sin（2x+ π）3B.f （x ）=sin （ 12x +π3 ） C.f （x ）=sin （ 12x −π3 ） D.f （x ）=sin （2x −π3 ） 【正确答案】：A【解析】：依题意，可求得A=1，由T= 2πω =π可求得ω=2，由 π3 ω+φ=π可求得φ．【解答】：解：由图知，A=1； 又 T4 = 7π12 - π3 = π4 ， ∴T=π，又T= 2πω ， ∴ω=2；∵f （x ）=Asin （ωx+φ）经过（ π3，0），且在该处为递减趋势， ∴ π3 ω+φ=π， ∴φ=π- π3 ×2= π3 ．∴f （x ）的解析式为：f （x ）=sin （2x+ π3 ）． 故选：A ．【点评】：本题考查由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式，确定φ的值是难点，考查观察与运算能力，属于中档题．16.（单选题，3分）已知{a n }、{b n }均是等差数列，c n =a n •b n ，若{c n }前三项是7、9、9，则c 10=（ ） A.-47 B.47 C.-1 D.1【正确答案】：A【解析】：{a n }、{b n }均是等差数列，故{c n }为二次函数，设c n =an 2+bn+c ，根据前3项，求出a ，b ，c 的值，即可得到c 10．【解答】：解：设c n =a n •b n =an 2+bn+c ， 则 {a +b +c =74a +2b +c =99a +3b +c =9，解得a=-1，b=5，c=3，∴c10=-1×102+5×10+3=-47，故选：A．【点评】：本题考查了等差数列的通项公式，考查分析和解决问题的能力和计算能力，属于基础题．17.（问答题，0分）已知函数f（x）=2sinxcosx-2sin2x+1．（1）求f（x）的单调递减区间；（2）若函数f(x)=√22，x∈[0，π），求x．【正确答案】：【解析】：（1）利用二倍角公式化简函数f（x）的解析式为f（x）= √2 sin（2x+ π4），令2kπ+ π2≤2x+ π4≤2kπ+ 3π2，（k∈Z），解得x的范围即得f（x）的单调递减区间．（2）由题意可得sin（2x+ π4）= 12，可求范围2x+ π4∈[ π4，9π4），根据正弦函数的图象和性质即可求解．【解答】：解：（1）∵f（x）=sin2x+cos2x= √2 sin（2x+ π4），∴令2kπ+ π2≤2x+ π4≤2kπ+ 3π2，（k∈Z），解得kπ+ π8≤x≤kπ+ 5π8，（k∈Z），∴f（x）的单调递减区间是：[π8+kπ，5π8+kπ]，k∈Z；（2）∵ f(x)=√22，即√2 sin（2x+ π4）= √22，∴解得：sin（2x+ π4）= 12，∵x∈[0，π），∴2x+ π4∈[ π4，9π4），∴2x+ π4 = 5π6，或13π6，解得x= 7π24，或23π24．【点评】：本题主要考查了二倍角公式，正弦函数的图象和性质，考查了函数思想和转化思想，属于基础题．18.（问答题，0分）已知sinα+cosα=−15，α∈（0，π），求下列式子的值：（1）sinαcosα；（2）tanα2；（3）sin3α+cos3α．【正确答案】：【解析】：（1）将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式可求得sinαcosα的值；（2）由已知可求α2∈（0，π2），sinα＞0，cosα＜0，tan α2＞0，利用平方差公式可求sinα-cosα= 75，进而可求sinα= 35，利用二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式可求tanα2的值．（3）利用立方和公式即可求解．【解答】：解：（1）∵ sinα+cosα=−15，α∈（0，π），∴两边平方，可得1+2sinαcosα= 125，∴解得sinαcosα=- 1225；（2）∵ sinα+cosα=−15＜0，①又α∈（0，π），α2∈（0，π2），∴sinα＞0，cosα＜0，tan α2＞0，∴sinα-cosα= √(sinα−cosα)2 = √1−2sinαcosα = 75，②∴由① ② 可得sinα= 35，即2sinα2cosα2sin2α2+cos2α2= 2tanα21+tan2α2= 35，整理可得：3tan2α2-10tan α2+3=0，∴解得tan α2 =3，或- 13（舍去）．（3）sin3α+cos3α=（sinα+cosα）（sin2α+cos2α-sinαcosα）=（- 15）×（1+ 1225）=- 37125．【点评】：本题主要考查了同角三角函数基本关系式，平方差公式，二倍角的正弦函数公式，立方和公式在三角函数化简求值中的应用，考查了方程思想和转化思想，属于中档题．19.（问答题，0分）如图，一智能扫地机器人在A处发现位于它正西方向的B处和北偏东30°方向上的C处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距离少0.4米，于是选择沿A→B→C路线清扫，已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2m/s，忽略机器人吸入垃圾及在B处旋转所用时间，10秒钟完成了清扫任务．（1）B、C两处垃圾的距离是多少？（2）智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角∠B的正弦值是多少？【正确答案】：【解析】：（1）由题意C在A处北偏东30°方向上，所以可得∠CAB=90°+30°=120°，及|AB|，|AC|与|BC|的关系，在三角形ABC中由余弦定理可得|BC|的值，（2）由（1）可得|BC|，|AC|，∠BAC=120°，由正弦定理可得sin∠B的值．【解答】：解：（1）由题意可得|AB|+|BC|=0.2×10=2，|AC|-|AB|=0.4，所以|AC|+|BC|=2.4，|AB|=2-|BC|，|AC|=2.4-|BC|，因为C在A处北偏东30°方向上，所以∠CAB=90°+30°=120°，在三角形ABC中，∠BAC=120°，由余弦定理可得|BC|2=|AB|2+|AC|2-2|AB||AC|cos120°=（2-|BC|）2+（2.4-|BC|）2+（2-|BC|）（2.4-|BC|），整理可得|BC|2-6.6|BC|+7.28=0，解得|BC|=1.4或|BC|=5.2（舍），所以B、C两处垃圾的距离是1.4米；（2）由（1）可得|BC|=1.4，|AC|=2.4-1.4=1，∠CAB=120°，由正弦定理可得 |AC|sin∠B = |BC|sin∠CAB ， 所以sin∠B= |AC||BC| •sin120°= 11.4 •√32 = 5√314．【点评】：本题考查三角形中正余弦定理的应用，属于中档题． 20.（问答题，0分）设{a n }是无穷等差数列，公差为d ，前n 项和为S n ． （1）设a 1=40，a 6=38，求S n 的最大值；（2）设S 9=0，且a 2+a 3+a 4+a 5=-18，令b n =|a n |，求数列{b n }的前n 项和T n ．【正确答案】：【解析】：（1）首先求出数列的通项公式，进一步求出数列的和．（2）利用函数的通项公式，进一步利用含绝对值的数列的应用求出数列的和．【解答】：解：（1）数列{a n }是无穷等差数列，公差为d ， 由于a 1=40，a 6=38，所以a 6=a 1+5d ，a 6-a 1=-2=5d ，解得d=- 25 ． 所以S n = 40n −25×n (n−1)2 = n 2−201n 5 =- 15(n −2012)2+201220； 当n=100或101时，S n 取得最大值2020； （2）由于S 9=0，且a 2+a 3+a 4+a 5=-18， 故 {S 9=0a 2+a 3+a 4+a 5=−18 ，解得 {a 1=−12d =3，故a n =3n-15，b n =|3n-15|，所以当n≤5，故 T n =|a 1|+|a 2|+⋯|a n |=−a 1−+⋯−a n =−n (−12+3n−15)2=−32n 2+272n ．当n≥5时，T n=|a1|+|a2|+…+|a n|=（-a1-a2-…-a5）+（a1+a2+…+a n）= 32n2−272n+60所以：T n={−32n2+272(n≤5)3 2n2−272n+60(n≥5)．【点评】：本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，含绝对值的数列的求和的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．21.（问答题，0分）已知定义在R上的函数f（x）和数列{a n}满足下列条件：a1=a，a2≠a1，当n∈N*且n≥2时，a n=f（a n-1）且f（a n）-f（a n-1）=k（a n-a n-1），其中a、k均为非零常数．（1）若{a n}是等差数列，求实数k的值；（2）令b n=a n+1-a n（n∈N*），若b1=1，求数列{b n}的通项公式；（3）令b n=a n+1-a n（n∈N*），若c1=b1=k＜0，数列{c n}满足c n+1-c n=2（b n+1-b n），若数列{c n}有最大值M，最小值m，且Mm∈(−2，2)，求k的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）利用等差数列的定义a n+1-a n=a n-a n-1，a n=f（a n-1），易得k=1（2）利用等比数列的定义证明数列{b n}是等比数列，进而写出数列{b n}的通项公式（3）利用累加法求得{c n}的通项公式，结合题意，找到数列{c n}的最大项和最小项，解不等式求的结果．【解答】：解：（1）由已知a n=f（a n-1），f（a n）-f（a n-1）=k（a n-a n-1），a n+1-a n=f（a n）-f（a n-1）=k（a n-a n-1），∵数列{a n}是等差数列，∴a n+1-a n=a n-a n-1，∴k=1；（2）由b1=a2-a1≠0，可得b2=a3-a2=f（a2）-f（a1）=k（a2-a1）≠0，且当n＞2时，b n=a n+1-a n=f（a n）-f（a n-1）=k（a n-a n-1）=…=k n-1（a2-a1）≠0，且b nb n−1 = a n+1−a na n−a n−1= f(a n)−f(a n−1)a n−a n−1=k∴数列{b n}是一个以首项为b1，公比为k的等比数列，若b1=1，则数列{b n}的通项公式为 b n=k n-1（n∈N*）；（3）由（2）可得{b n}是以k为首项，以k为公比的等比数列，∴b n=k n，c1=b1=k＜0，∴c n+1-c n=2（b n+1-b n）=2（k n+1-k n）=2（k-1）k n，∴c2-c1=2（k-1）k1，c3-c2=2（k-1）k2，c4-c3=2（k-1）k3，…，c n-c n-1=2（k-1）k n-1（n≥2），累加得c n-c1=2（k-1）（k1+k2+…+k n-1）=2（k n-k），∴c n=2k n-k（n≥2），当n=1时也满足，∴c n=2k n-k（n∈N*）若{c n}存在最大值，结合k＜0，的条件，则-1＜k＜0，∴c2的是最大项，c1是最小项．∴M=2k2-k，m=k，由Mm ∈（-2，2），得-2＜2k2−kk＜2，解得- 12＜k＜0，∴k的取值范围为（- 12，0）【点评】：本题考查的是数列问题，涉及到的知识点有等差数列的定义，等比数列的通项公式，累加法求数列的通项公式，数列的最大最小项，属于难题．。
考点08 指数函数(解析版)
考点31 指数函数一．指数函数的概念函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，函数的定义域是R ，a 是底数． 形如y ＝ka x ，y ＝a x ＋k (k ∈R 且k ≠0，a >0且a ≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数． 二．．指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象与性质考向一 指数函数辨析【例1】（2020·科尔沁左翼后旗甘旗卡第二高级中学）函数2(232)xy a a a =-+是指数函数，则a 的取值知识理解考向分析范围是（ ） A ．0,1a a >≠ B ．1a =C ．12a =D ．1a =或12a =【答案】C 【解析】函数2(232)xy a a a =-+是指数函数，22321a a ∴-+=且0a >，1a ≠，由22321a a -+=解得1a =或12a =，12a ∴=，故选C ．【举一反三】1．（2021·定远县育才学校）函数(23)xy a =-是指数函数，则a 的取值范围是________． 【答案】3,2(2,)2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】因为(23)xy a =-是指数函数,所以230231a a ->⎧⎨-≠⎩,解得: 322a <<或2a <<+∞即a 的取值范围是3,2(2,)2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.故答案为: 3,2(2,)2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭2．（2020·上海市松江二中）已知指数函数(2)xy a =-是严格增函数，则实数a 的取值范围是____. 【答案】1a <【解析】因为指数函数(2)xy a =-是严格增函数，所以21a ->，解得：1a <，故答案为：1a <. 3．（2020·全国高三专题练习）若函数21()(33)()22xf x a a a =-++-是指数函数，则实数a 的值为_________． 【答案】2【解析】因为函数21()(33)()22xf x a a a =-++-是指数函数,所以2331a a -+=且20a -=, 解得2a =.故答案为2考向二 指数函数定义域值域【例2】（2020·全国课时练习）求下列函数的定义域和值域： （1）142x y -=；（2）23y ⎛= ⎪⎝⎭；（3）22312x x y --⎛⎫=⎪⎝⎭.【答案】（1）定义域{|4}x x ≠，值域为{|0y y >且1}y ≠； （2）定义域{|0}x x =，值域{|1}y y =； （3）定义域R ，值域(]0,16【解析】（1）要使函数式有意义，则40x -≠，解得4x ≠.所以函数142x y -=的定义域为{|4}x x ≠.因为104x ≠-，所以1421x -≠，即函数142x y -=的值域为{|01}y y y >≠，且. （2）要使函数式有意义，则||0x -，解得0x =，所以函数23y ⎛= ⎪⎝⎭的定义域为{|0}x x =.因为0x =，所以022133⎛⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即函数23y ⎛= ⎪⎝⎭的值域为{|1}y y =.（3）函数的定义域为R .因为2223(1)44x x x --=--≥-，所以2234111622x x ---⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 又223102x x --⎛⎫>⎪⎝⎭，所以函数22312x x y --⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为(]0,16.【举一反三】1．（2020·全国高三专题练习）函数211()2-=x f x 的定义域为___，值域为____. 【答案】{|1}x x ≠± 1(0,](1,)2⋃+∞ 【解析】∵()2112x f x -=，∴x 2﹣1≠0，即x ≠±1，即函数的定义域为{x |x ≠±1}．∴x 2﹣1)()100∞⎡∈-⋃+⎣，， ∴](()21101x ∞∈-∞-⋃+-，， ∴函数()2112x f x -=的值域为()10,1,2⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦故答案为{}()1|10,1,2x x ⎛⎤≠±⋃+∞ ⎥⎝⎦， 2．（2020·上海课时练习）函数11()31xx f x -=-的定义域为__________，值域为_________.【答案】(,0)(0,1)(1,)-∞⋃⋃+∞ 11(,1)0,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃⋃+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【解析】令1310x x --≠，即01313xx -≠=，则01xx ≠-，解得0x ≠且1x ≠. 即函数的定义域为(,0)(0,1)(1,)-∞⋃⋃+∞；当0x <时，101111x x x <=+<--，所以11203x x --<<，则111231x x -<-；当01x <<时，01xx <-，且当1x →时，1x x →-∞-，则130x x ->且130x x -→， 所以1131xx -->-，即11131x x -<--； 当1x >时， 11111x x x <=+--，则1123x x --<，所以1110231x x -<<-； 综上所述，值域为11(,1)0,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃⋃+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为: (,0)(0,1)(1,)-∞⋃⋃+∞;11(,1)0,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 3．（2020·全国课时练习）求下列函数的定义域和值域： （1）y =（2）12xx y -=.【答案】（1）{|0x x ≤或2}x ≥；（2）(0,2)(2,)⋃+∞ 【解析】（1）22320,0x y x x x -=∴-∴或2x ≥.∴定义域为{|0 2}x x x ≤或. 2200,331x xx -∴=，即1y ，∴值域为[1,)+∞.（2）12,10,1xx y x x -=∴-≠∴≠，∴定义域为{|1}x x ≠.由于1(1)1111,22111xx x x x x x --+==+≠∴≠---，且120x x ->，即0y >且2y ≠，∴值域为(0,2)(2,)⋃+∞.考向三 指数式比较大小【例3】（2021·江苏南通市·海门市第一中学）已知2225351,3,(3)2a b c -⎛⎫===- ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b a c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．b c a >>【答案】D 【解析】()21122555522124a -=⎛⎫= ==⎪⎝⎭，()1122333339b ===，()()2511255393c ⎡⎤=-=⎣⎦=-，因为15y x =在()0,∞+单调递增，所以115549<，即a c <， 因为9xy =在R 上单调递增，1153<，所以115399<，即c b <， 所以a c b <<，即b c a >> 故选：D. 【举一反三】1．（2021·云南昆明市·昆明一中高三月考）设0.49a =，0.913b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.90.8c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．b a c << C ．b c a << D ．c a b <<【答案】D【解析】由题可知，0.40.83319=a >==，0.90.9313b -⎛⎫= ⎪=⎝⎭，则1b a >>，又0.900.80.8=1c =<，所以c a b <<，故选：D.2．（2021·四川高三月考（文））设0.20.30.20.30.2,0.2,0.3,0.3a b c d ====.则a b c d ,,,的大小关系是（ ）A ．c a d b >>>B ．c d a b >>>C ．c a b d >>>D ．d c b a >>>【答案】A【解析】由指数函数的单调性知：0.20.30.20.2a b =>=，0.20.30.30.3c d =>=， 由幂函数的单调性知：0.30.30.20.3b d =<=，0.20.20.20.3a c =<=，又0.20.10.30.10.20.040.30.027a d ==>==，∴综上有：c a d b >>>.故选：A 3．（2019·江西九江市）设e e a =，e πb =，πe c =，则,,a b c 大小关系是( ) A ．a c b >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．c a b >>【答案】C【解析】由幂函数和指数函数知识可得e e πe >，πe e e >，即b a >，c a >. 下面比较,b c 的大小，即比较eln π与π的大小.设()eln f x x x =-，则e ()xf x x-'=， ()f x 在(0,e)上单调递增，在(e,)+∞上单调递减，(e)(π)f f ∴>，即elne e eln ππ->-，即eln ππ<，e ππe ∴<，即c b >，即c b a >>，故选C.考向四 指数函数过定点【例4】（2020·浙江）函数12(0,1)x y a a a +=+>≠恒过定点_______． 【答案】(1,3)-.【解析】因为函数xy a =过定点(0,1)，而函数12x y a +=+是将函数x y a =的图像向左平移1个单位，向上平移2个单位得到，所以函数12x y a +=+恒过定点(1,3)-.故答案为：(1,3)-.【举一反三】1．（2021·上海市大同中学）已知函数()32x f x a -=-的图像恒过定点A ，则A 的坐标为_____________.【答案】()3,1-【解析】()xf x a =过定点（0,1），而()32x f x a-=-可以看成()x f x a =的图像右移3个单位，再下移2个点位得到的，所以函数()32x f x a-=-的图像恒过定点()3,1-即A ()3,1-故答案为：()3,1-2．（2021·上海市建平中学）对于任意实数a ，函数31()2x f x a +=+（0a >且1a ≠）的图像经过一个定点，则该定点的坐标是________． 【答案】33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】因为函数31()2x f x a +=+图像可以通过x y a =向左平移3个单位得3x y a +=，再将3x y a +=图像上的点向上平移12个单位得到，且指数函数xy a =（0a >且1a ≠）恒过定点0,1， 所以函数31()2x f x a +=+（0a >且1a ≠）的图像经过定点33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭3．（2020·江苏课时练习）已知函数93x y a -=（0a >且1a ≠）恒过定点(),A m n ，则log m n =______．【答案】12【解析】∵函数93x y a -=（0a >且1a ≠）恒过定点(),A m n ，∴90m -=，3n =，则91g31g31log log 31g921g32m n ====，故答案为：12．一、单选题1．（2021·全国高一课时练习）若指数函数()()1xf x a =+是R 上的减函数，则a 的取值范围为（ ） A ．(),2-∞ B ．()2,+∞ C ．()1,0- D ．()0,1【答案】C【解析】由指数函数的单调性可知011a <+<，所以10a -<<.故选C.2．（2010·吉林长春市）如果指数函数(1)xy a =-是增函数，则a 的取值范围是( ) A ．2a > B ．2a <C ．1a >D ．12a <<【答案】 A强化练习【解析】由于指数函数(1)xy a =-是增函数，所以11a ->，解得2a >，故选A.3．（2021·四川雅安市）函数()f x =的定义域为（ ） A ．(]2,0- B ．()(],22,0-∞-⋃- C ．(]2,1- D ．()(],22,1-∞--【答案】A【解析】由题意13020x x ⎧-≥⎨+>⎩，解得20x -<≤．故选：A ．4．（2020·全国课时练习）函数()f x = ） A ．[0,)+∞ B ．[1,)+∞ C ．(,0]-∞ D ．(,1]-∞【答案】A【解析】要使函数有意义，则需210x -≥，即为21x ≥，解得，0x ≥，则定义域为[0,)+∞.故选：A . 5．（2021·河北石家庄市·石家庄一中）若2020120212020112020,,log 20212021a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（ ） A ．c a b << B ．b a c << C ．b c a << D ．c b a <<【答案】D【解析】102021202020201a >==，2020011120212021b ⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2020102021b ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，202020201log log 102021c =<=， 所以a b c >>.故选：D6．（2021·浙江丽水市）已知0.22a =，0.42b =， 1.212c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ） A ．a b c << B ．b c a << C ．a c b << D ．c a b <<【答案】D【解析】 1.21.2122c -⎛⎫== ⎪⎝⎭，又函数2xy =单调递增，故 1.20.20.4222-<<，即c a b <<，故选：D.7．（2021·云南高三期末）若0.52a =，0.62b =，20.6c =，则a 、b 、c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．a c b << D ．c a b <<【答案】D 【解析】0.60.502221>>=，即1b a >>，又200.60.61c =<=，因此，c a b <<.故选：D.8．（2021·浙江）已知函数1(0,1)xy a a a =+>≠的图象恒过定点P ，则点P 的坐标为（ ） A ．(1,2) B ．(1,1) C ．(0,1) D ．(0,2)【答案】D【解析】对于函数1(0,1)xy a a a =+>≠，令0x =，得(0)2f =，所以图象恒过定点()0,2P ，故选：D.9．（2021·长沙市·湖南师大附中）函数()235x f x a -=+(0a >且1a ≠)的图象恒过定点P ，点P 又在幂函数()g x 的图象上，则()2g -的值为（ ）A ．-8B ．-9C ．18-D ．19-【答案】A【解析】∵()235x f x a-=+，令20x -=，得2x =，∴()02358f a =+=， ∴()f x 的图象恒过点()2,8P ，设()g x x α=，把()2,8P 代入得28a =，∴3α=，∴()3g x x =，∴()()3228g -=-=-.故选：A10．（2020·怀仁市第一中学校云东校区）函数2()3x f x a-=+（0a >且1a ≠）的图象恒过定点P ，点P又在幂函数()g x 的图象上，则()3g 的值为（ ） A ．4 B ．8 C ．9 D ．16【答案】C【解析】∵2()3x f x a-=+，令20x -=得2x =，∴0(2)34f a =+=， ∴()f x 的图象恒过点(2,4)，设()g x x α=，把(2,4)P 代入得24α=， ∴2α=，∴2()g x x =，∴2(3)39g ==. 故选：C .11．（2020·毕节市实验高级中学）函数11x y a +=+(0,1)a a >≠的图象一定经过点（ ）A ．(1,1)-B ．(1,0)C ．(1,2)-D ．(1,1)【答案】C【解析】由解析式可得当1x =-时，012y a =+=，故函数过定点(1,2)-.故选：C.12．（2020·浙江高一期末）已知()()25xf x m m m =--⋅是指数函数，则实数m 的值是___________．【答案】3 【解析】()f x 是指数函数，251m m ∴--=，解得3m =或2-，2m =-不满足题意故舍去，∴3m =.故答案为：313．（2020·全国单元测试）指数函数f （x ）=（a ﹣1）x在R 上是增函数，则a 的取值范围是_____． 【答案】（2，+∞）【解析】∵指数函数f （x ）=（a ﹣1）x 在R 上是增函数，∴a ﹣1＞1，即a ＞2，故a 的取值范围是（2，+∞）故答案为（2，+∞）．14．（2020·全国高三专题练习）函数()1f x x =-__________. 【答案】(2,1)-【解析】函数()f x =的自变量x 满足：2650140210x x x x ⎧--≥⎪⎪⎛⎫->⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪-≠⎩， 解得6121x x x -≤≤⎧⎪>-⎨⎪≠⎩即 21x -<<.故答案为：(2,1)-15．（2021·湖南长沙市）函数2112x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为_________．【答案】(0,2] 【解析】设21t x =-，则12ty ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 因为211t x =-≥-，12t y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在定义域内为减函数， 所以111022t -⎛⎫⎛⎫<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1022t ⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭， 所以函数2112x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为(0,2]，故答案为：(0,2]16．（2021·曲靖市沾益区第四中学）函数()423x f x a-=+（0a >，且1a ≠）恒过一个定点，则该点的坐标为_________.【答案】()4,5【解析】令40x -=得4x =，5y =.所以()45f =，所以函数()f x 恒过定点()4,5故答案：()4,517．（2021·山东济宁市）已知函数1()2x a f x ax -=++（0a >且1a ≠）的图象恒过定点P ，则点P 的坐标为____________.【答案】()1,4【解析】1x =时，(1)1124f =++=，所以函数图象恒过定点(1,4)．故答案为：(1,4)．18．（2020·浙江高一期末）函数123x y +=的定义域为__________，值域为_________．【答案】{}|2x x ≠- {0y y 且}1y ≠【解析】由题意可得20x +≠，解得：2x ≠-，所以函数的定义域为：{}|2x x ≠-， 令12t x =+，则0t ≠，12303t x y +=>=且03y ≠，即1y ≠， 故函数123x y +=的值域为{0y y 且}1y ≠，故答案为：{}|2x x ≠-；{0y y 且}1y ≠19．（2020·浙江杭州市·学军中学高一期中）函数1()2x x f x +=的定义域是__________________；值域是_________________.【答案】(,0)(0,)-∞+∞； (0,2)(2,)⋃+∞； 【解析】由题意知：指数1x x+中有0x ≠， ∴(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞， 令111t x=+≠，则()()2t f x g t ==有()(0,2)(2,)g t ∈⋃+∞， 故答案为：(,0)(0,)-∞+∞，(0,2)(2,)⋃+∞； 20．（2021·长春市第八中学）若函数23x y a -=+，(0a >，且1a ≠)的图象恒过定点P ，则点P 的坐标为________，若点P 在角θ的终边上，则2sin 3cos sin θθθ=-________. 【答案】(2,4) 4【解析】对于函数23x y a -=+(0a >，且1a ≠)，令20x -=，求得2x =，4y =，可得它的的图象恒过定点(2,4)P ，点P 在角θ的终边上， 4tan 22θ∴==， ∴2sin 2tan 2243cos sin 3tan 32θθθθθ⨯===---， 故答案为：(2,4)，4．。
2021年高一下学期期中考试数学试卷+答案
2020－2021学年度第二学期高一年级期中检测时间：120分钟 总分：150分注意事项：2021.41．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上并检查试卷.2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚．3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．4．保持卡面清洁，不折叠，不破损． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. 设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( )A ．a ＋b <ab <0B ．ab <a ＋b <0C ．a ＋b <0<abD ．ab <0<a ＋b2. 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0，若y ≥k (x ＋1)－1恒成立，那么k 的取值范围是( )A. ⎣⎡⎦⎤12，3B. ⎝⎛⎦⎤－∞，43C. [3，＋∞)D. ⎝⎛⎦⎤－∞，12 3. 在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若A ＝120°，a ＝1，则2b ＋3c 的最大值为( )A ．3 B. 2213 C ．3 2 D. 3524. 素数也叫质数，法国数学家马林·梅森是研究素数的数学家中成就很高的一位，因此后人将“2n －1”形式（n 是素数）的素数称为梅森素数．已知第20个梅森素数为P ＝24423－1，第19个梅森素数为Q ＝24253－1，则下列各数中与P Q最接近的数为（参考数据：lg 2≈0.3）( )A ．1045B ．1051C ．1056D ．10595. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，b cos A ＝c －12a ，点D 在AC 上，2AD ＝DC ，BD ＝2，则△ABC 的面积的最大值为( ) A. 332B. 3 C ．4 D ．6 6. 欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x （i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式可知，e πie π4i 表示的复数在复平面中位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 7. 如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则( )A ．BM ＝EN ，且直线BM ，EN 是相交直线B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线C ．BM ＝EN ，且直线BM ，EN 是异面直线D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线8. 定义在R 上的偶函数f (x )对任意实数都有f (2－x )＝f (x ＋2)，且当x ∈(－1，3]时，f (x )＝⎩⎨⎧ 1－x 2，x ∈(－1，1]，1－|x －2|，x ∈(1，3]，则函数g (x )＝5f (x )－|x |的零点个数为( ) A ．5 B ．6 C ．10 D ．12二、多项选择题：本大题共4题，每小题5分，共20分.9. 正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系。
上海高一数学下期中试卷及详解(20200509131252).pdf
期中考试高一数学试题
姓名
学号
成绩 2013.4.
一 . 填空题 （本题满分 44 分 , 每小题 4 分）
1. 化简 1 2sin2cos2 的结果是
。
2. 如果 tan sin 0,且 0 sin cos 1, 那么 的终边在第
象限。
3. 若
k 360o 30o, k Z ，则其中在 720o : 720o之间的角有
AM 2 AN 2 2AM AN cos( 1 1 ) .
方案二：①需要测量的数据有：
7
1
，则
sin 2x
1，
2
6
66
2
6
2a 2asin 2x
a，
6
3a b 1
由题意得
2a 2a b 5
a 2, b 5.
当 a 0时，有 a 2asin 2x 6
2a ，
3a b 5
由题意得
2a 2a b 1
a 2, b 1.
（ 2）当 x
时, f x 取得最大值 .
12
(3) 当 a 0 时， f x
A . 充分条件但非必要条件
B . 必要条件但非充分条件
C . 充分必要条件
D . 既非充分条件又非必要条件
三、解答题 ( 本题满分 44 分)
D. ab 2
（）
（
）
16. （本题满分 8 分）已知一扇形的圆心角是
，所在的圆的半径为 r 。
（ 1）若 60 ,r 10cm ，求扇形的弧长；
（ 2）若扇形的周长是一定值 c c 0 ，当扇形的圆心角为多少时，该扇形的面积最大。
（ 2）若 sin
5 ，求 cos 的值。
期中检测卷01(解析版)-2020-2021学年高一数学下学期期中专项复习(沪教版2020)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．（2020·重庆市第十一中学校高三月考）已知1sin 4x =，则3cos()2x π+=（ ）A ．14B ．14-C D ．【答案】A 【解析】31cos()cos()cos()sin 2224x x x x ππππ+=++=-+==故选：A 2．（2021·内蒙古呼和浩特市·高三一模（文））已知()0,πα∈，若3πin 325s α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（ ） A ．2425B ．1225C ．1225-D ．2425-【答案】D 【解析】3π33c 2s n os 55i αα⎛⎫+=⇒-=⎪⎝⎭，解得3cos 5α=-，又()0,πα∈，可得4sin 5α，所以24sin 22sin cos 25ααα==-.故选：D 3．（2021·山东济宁市·高一期末）“2ϕπ=”是“函数sin()y x ϕ=+为偶函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】2ϕπ=时，sin()sin()cos 2y x x x πϕ=+=+=是偶函数，充分性满足，但2πϕ=-时，sin()sin()cos 2y x x x πϕ=+=-=-也是偶函数，必要性不满足．应是充分不必要条件．故选：A ．4．（2020·安徽省六安中学高三月考（文））函数()2tan 1y x =-的对称中心的坐标是（以下的k Z ∈）（ ） A ．,02k ⎛⎫⎪⎝⎭π B ．1,02k π⎛⎫-⎪⎝⎭C ．(),0k πD ．1,02k π⎛⎫+⎪⎝⎭【答案】D 【解析】由1,2k x k Z π-=∈，解得1,2kx k Z π=+∈ 函数()2tan 1y x =-的对称中心为1,0,2k k Z π⎛⎫+∈⎪⎝⎭.故选：D. 5．（2021·全国高三月考（理））已知函数()()()cos 0,0,0πf x A x A ωϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示，则（ ）A ．()π6f x x ⎫⎛=- ⎪⎝⎭B ．()π6f x x ⎫⎛=+ ⎪⎝⎭C ．()π26f x x ⎫⎛=- ⎪⎝⎭D ．()π26f x x ⎫⎛=+ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】由图象可知A =因为()302f =，所以cos 2ϕ=. 又0πϕ<<，可得=6πϕ由5π3f ⎫⎛=⎪⎝⎭，所以()5ππ2ππ36k k Z ω+=+∈， 解得()6152k k Z ω=+∈，结合选项可知12ω=，因此()π26f x x ⎫⎛=+ ⎪⎝⎭，故选：D ．6．（2021·全国高三其他模拟）黄金分割点是指将一条线段分为两部分，使得较长部分与整体线段的长的比的点.利用线段上的两个黄金分割点可以作出正五角星，如图所示，已知C ，D 为AB 的两个黄金分割点，研究发现如下规律：AC BD CD AB AB BC ===.若CDE △是顶角为36°的等腰三角形，则cos216︒=（ ）A ．14-B ．C ．12+-D ．12-【答案】A【解析】由题意得在正五角星中，C ，D 为AB 的两个黄金分割点，易知BC CE =.因为12CD BC =，所以CD CE =，故不妨设2CE =，1CD =，则在CDE △中，)222221cos36222+-︒==⨯⨯从而()cos216cos 18036cos36︒=︒+︒=-︒=故选：A. 7．（2021·甘肃高三一模（文））在ABC 中，120A =︒，6BC =，则ABC 的面积的最大值为（ ）A ．12B ．1C D ．【答案】D【解析】由余弦定理，2226cos1202b c bc+-︒=，即22362b c bc bc +=-≥，当且仅当b c =时，等号成立，所以max ()12bc =，所以max 11sin 12222S bc A ==⨯⨯=，故选：D 8．（2021·内蒙古呼和浩特市·高三一模（文））已知函数()f x 的周期为4π且()1f ϕ=，若()()π2sin 20,0π6f x x ωϕωϕ⎫⎛-=+><< ⎪⎝⎭，则关于函数()f x ，下面判断正确的是（ ）A ．函数()f x 是偶函数B ．4π3x =是函数()f x 的一条对称轴 C ．函数()f x 是奇函数 D ．π,012⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 的一个对称中心 【答案】A【解析】令t x ωϕ=-，则t x ϕω+=，所以()()22π2sin 0,0π6f t t ϕωϕωω⎛⎫=++><<⎪⎝⎭则()()22π2sin 0,0π6f x x ϕωϕωω⎛⎫=++><< ⎪⎝⎭，故周期242T ππω== 得4ω= 又()1f ϕ=，则()2sin 16f πϕϕ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，又因为0ϕπ<<，所以566ππϕ+= 得23ϕπ= 所以()1π12sin 2cos 222f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭由()()112cos 2cos 22f x x x f x ⎛⎫-=-== ⎪⎝⎭，故()f x 是偶函数，A 正确，C 错；由()f x 的对称轴方程为()2,x k k Z π=∈知B 错； 由()f x 的对称中心为()()21,0k π+，()k Z ∈ 知D 错；故选：A二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分) 9．（2020·黄冈市外国语学校高一月考）若α是第二象限的角，则3α的终边所在位置可能是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．笫四象限【答案】ABD【解析】α是第二象限的角，则222k k ππαππ+<<+，k Z ∈，2236333k k ππαππ+<<<，k Z ∈， 当3,k n n Z =∈时，3α是第一象限角，当31,k n n Z =+∈时，3α是第二象限角， 当32,k n n Z =+∈时，3α是第四象限角，故选：ABD ．10．（2020·福建三明市·高一其他模拟）已知()0,απ∈，且1sin cos 5αα+=，则（ ） A ．12sin cos 25αα= B ．12sin cos 25αα=-C ．7cos sin 5αα-=D ．7cos sin 5αα-=-【答案】BD【解析】1sin cos 5αα+=，两边平方后()21sin cos 12sin cos 25αααα+=+=，解得：12sin cos 25αα=-，故B 正确；()0,απ∈，12sin cos 025αα=-<，,2παπ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭， cos sin 0αα-<，且()2cos sin 121249sin cos 122525αααα⎛⎫=-⨯-=⎪=-⎭-⎝， 解得：7cos sin 5αα-=-，故D 正确.故选：BD 11．（2021·江苏苏州市·苏州中学高一月考）要得到函数sin 2y x =的图像，只需将函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像（ ） A ．向左平移6π个单位 B ．向左平移3π个单位 C ．向右平移23π个单位 D ．向右平移56π个单位 【答案】AD【解析】假设将函数sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象平移ϕ个单位可得到sin 2y x =的图象，则平移后的解析式为()sin 2sin 2233y x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫=+-=+- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，根据题意只需满足22,3k k Z πϕπ-=∈即可，故0k =时，6π=ϕ，即向左平移6π个单位长度，故A 符合；当1k =-时，56π=-ϕ，即向右平移56π个单位长度，故D 符合.故选：AD.12．（2021·福建莆田市·仙游一中高一开学考试）函数()sin()(,,f x A x A ωϕωϕ=+是常数，0,0)A ω>>的部分图像如图所示，下列结论正确的是（ ）A ．(0)1f =B ．在区间,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．2()()3f x f x π=-- D ．若()()1f a f b ==，则a b -的最小值为3π【答案】BCD【解析】由图可知，2A =，37341264T πππ=+=，所以T π=，则2ω=，所以732122ππϕ⨯+=，可得3πϕ=，所以()2sin(2)3f x x π=+，得(0)2sin3f π==,03x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，可得(2),333x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，可知函数为增函数；根据225()2sin 2()2sin(2)2sin(2)2sin(2)333333f x x x x x ππππππ⎡⎤-=-+=-=--=-+⎢⎥⎣⎦所以2()()3f x f x π=--；若()1f x =，可得12x k ππ=-+或4x k (k Z )π=+π∈，所以可知()()1f a f b ==时，a b -的最小值为3π.故选：BCD.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．（2021·新疆昌吉回族自治州·高一期末）已知tan 2θ=-，则sin cos sin cos θθθθ-+=_____．【答案】3【解析】由题意，分子分母同除以cos θ，可得sin cos tan 1213sin cos tan 121θθθθθθ----===++-+.故答案为：3.14．（2018·陆川中学（文））在△ABC 中，若BC ＝1，A ＝3π，sinB ＝2sinC ，则AB 的长度为__________．【解析】∵sin 2sin B C =，∴2b c =，又∵1BC =，3A π=，∴由余弦定理得：221422cos3c c c c π=+-⨯⨯，∴c =AB15．（2020·玉林市第十一中学高一月考）方程sin 2|sin |0,[0,2]x x k x π+-=∈有且仅有两个不同的根，则k 的取值范围是_________. 【答案】(1,3)【解析】当[0,]x π∈时，0sin 1x ≤≤，则3sin 0x k -=，即3sin [0,3]k x =∈；当[,2]x ππ∈时，1sin 0x -≤≤，则sin 0x k --=，即sin [0,1]k x =-∈；∴当1()0,k ∈，方程在[0,]π、[,2]ππ各有两个根，即共有四个不同的根；当(1,3)k ∈，方程只在[0,]π有两个不同的根；当3k =，方程只在[0,]π有一个根，当0,1k =，方程在[0,2]π有三个根，.故综上，(1,3)k ∈符合要求.故答案为：(1,3).16．（2021·全国高三专题练习）定义在R 上的函数()f x 满足(6)()f x f x +=．当[)3,3x ∈-时，()()22,3113x x f x x x ⎧-+-≤<-⎪=⎨-≤<⎪⎩，，则(4)f =___________；(1)(2)(3)(2016)(2017)f f f f f +++++=__________．【答案】0 337【解析】因为(6)()f x f x +=，所以函数()f x 的周期为6的周期函数，当[)3,3x ∈-时，()()22,3113x x f x x x ⎧-+-≤<-⎪=⎨-≤<⎪⎩，，所以2(4)(2)(22)0f f =-=--+=，因为201763361=⨯+，(1)1f =，(2)2f =，2(3)(3)(32)1f f =-=--+=-，(4)0f =，(5)(1)1f f =-=-，(6)(0)0f f ==，所以(1)(2)(3)(2016)(2017)f f f f f +++++[]336(1)(2)(3)(6)(2017)f f f f f =⨯+++++336(121010)1337=⨯+-+-++=.故答案为0；337．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（2020·北京昌平区·临川学校高一月考）函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且0x >时，()sin f x x x =+.（1）计算(0)()f f π+的值；（2）若()0,απ∈，且3()5f αα=+，计算()()cos 2sin 2cos 2k παπαπα⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭+，()k Z ∈的值. 【解析】（1）因为()f x 为定义在R 上的奇函数，所以()00f =， 因为0x >时，()sin f x x x =+， 所以()sin f ππππ=+=， 所以(0)()f f ππ+=；（2）由诱导公式化简可得()()cos 2sin sin 2sin sin 2tan cos 2cos cos k παπαααααπααα⎛⎫+-+ ⎪-+⎝⎭===+， 因为3()sin 5f αααα=+=+，所以3sin 5α=，当0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，4cos 5α===，此时sin 35tan cos 4534ααα===，当,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，4cos 5α===-， 此时3sin 35tan 4cos 45ααα===--， 综上所述：当0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，原式的值为34；当,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，原式的值为34-.18．（2020·天津市四合庄中学高一月考）已知4cos 5α=-，并且α是第二象限的角. （1）求sin α和tan α的值； （2）求2sin 3cos cos sin αααα+-.【解析】（1）α是第二象限角，4cos 5α=-，可得3sin 5α==，sin 3tan cos 4ααα==-，∴3sin 5α=，3tan 4α=-.（2）原式上、下同时除以cos α得，2sin 3cos 2tan 36cos sin 1tan 7αααααα++==--.19．（2021·全国高三专题练习）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边的锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于点,A B ，若点AB.（1）求cos()αβ-的值； （2）求αβ+的值.【解析】因为锐角α的终边与单位圆交于A ，且点A所以，由任意角的三角函数的定义可知，cosα，从而sinα因为钝角β的终边与单位圆交于点B ，且点B ，所以sinβ，从而cosβ．（1）cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ×()＋10×＝－10． （2）sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ)×＝2．因为α为锐角，β为钝角，故α＋β∈(2π，32π)， 所以α＋β＝34π． 20．（2019·全国高三专题练习）已知电流I 与时间t 的关系式为sin()I A t ωϕ=+. （1）下图是sin()I A t ωϕ=+(0,)2πωϕ><在一个周期内的图象，根据图中数据求sin()I A t ωϕ=+的解析式；（2）如果t 在任意一段1150秒的时间内，电流sin()I A t ωϕ=+都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？【解析】（1）由图可知300A =，设11900t =-，21180t =， 则周期211112()2()18090075T t t =-=+=，∴2150Tπωπ==. 1900t =-时，0I =，即1sin[150()]0900πϕ⋅-+=，sin()06πϕ-=. 而2πϕ<， ∴6πϕ=. 故所求的解析式为300sin(150)6I t ππ=+. （2）依题意，周期1150T ≤，即21150πω≤，(0)ω>， ∴300942ωπ≥>，又*N ω∈，故最小正整数943ω=.21．（2020·重庆市第十一中学校高三月考）已知函数1()2sin (05)63f x x πωω⎛⎫=-+<< ⎪⎝⎭，给出以下三个条件：①直线3x π=是函数()f x 图像的一条对称轴.②函数()f x 图像的任意相邻两条对称轴之间的距离为2π.③将函数()f x 图像的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，得到()12sin 63g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭；从以上三个条件中任选一个作为条件(如果选择多个条件的，以选择的第一个条件的答案为准).你选择的条件是____________.求：（1）()f x 的单调递增区间；（2）()f x 在[0,]2π上的最小值和最大值.【解析】（1）选①时 直线3x π=是函数()f x 图象的一条对称轴．且1()2sin()(05)63f x x πωω=-+<<， ∴362k k Z πππωπ-=+∈，，23k ω∴=+，又05ω<<，所以2ω= 则1()2sin(2)63f x x π=-+． 选②时，函数()f x 图象的任意相邻两条对称轴之间的距离为2π． 故函数的周期为π，所以2ω=，则1()2sin(2)63f x x π=-+． 选③时，将函数()f x 图象的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，得到1()2sin()63g x x π=-+， 所以2ω=， 则1()2sin(2)63f x x π=-+． 令222,262k x k k Z πππππ-+-+∈，得()f x 单调递增区间：[,],63k k k Z ππππ-+∈， （2）由（1）知：令2,[0,]62t x x ππ=-∈， 所以5[,]66t ππ∈-， 所以1sin [,1]2t ∈-． 故()f x 最大值为73，最小值为23-． 22．（2019·石家庄市藁城区第一中学高一月考）已知点()()()()1122,,,A x f x B x f x 是函数()2sin()f x x ωϕ=+0,02πωϕ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭图象上的任意两点，且角φ的终边经过点(1,P ，若()()124f x f x -=时，12x x -的最小值为3π. （1）求函数f （x ）的解析式； （2）求函数f （x ）在[]0,π上的单调递增区间；（3）当0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式()2()mf x m f x +≥恒成立，求实数m 的取值范围.【解析】（1）角φ的终边经过点(1,P ，tan ϕ∴=02πϕ-<<，3ϕπ∴=-， ()()124f x f x -=时，12x x -的最小值为3π， 23T π∴=，则23T π=，则23T πω==， ()2sin 33πf x x ⎛⎫=- ⎝∴⎪⎭;（2）令232,232πππk πx k πk Z -+-+∈，解得252,183183ππk πx k πk Z -++∈， 再结合[]0,x π∈，则5018πx ≤≤或11171818ππx ≤≤， 故()f x 在[]0,π上的单调递增区间为50,18π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和1117,1818ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦； （3）当0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，可得3,336x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，1sin 3322πx ⎡⎤⎛⎫-∈-⎢⎥ ⎪⎣∴⎝⎭⎦，则()[f x ∈， 由不等式()2()mf x m f x +≥恒成立，可得(1)()2m f x m --， 当10m -=时，即1m =，可得02≥-恒成立，满足题意；当10m ->时，即1m ，可得2()1m f x m --，只需231m m ---，解得233m --，可得1m ； 当10m -<时，即1m <，可得2()1m f x m -≤-，只需211m m -≥-，解得13m ≥，可得113m ≤<， 综上，实数m 的取值范围为1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.。