2020高考应用题专题(含答案版)

2020届高三数学应用题专题

1. 经销商用一辆J 型卡车将某种水果从果园运送(满载)到相距400 km 的水果批发市场．据测算，J 型卡车满载行驶时，每100 km 所消耗的燃油量u(L)与速度v(km/h)的关系近似地满

足u ＝?

??100

v

＋23，0

500

＋20，v>50.除燃油费外，人工工资、车损等其他费用平均每小时为300

元．已知燃油价格为每升(L)7.5元．

(1) 设运送这车水果的费用为y(元)(不计返程费用)，将y 表示成速度v 的函数关系式； (2) 卡车应该以怎样的速度行驶，才能使运送这车水果的费用最少？

2. 某城市受雾霾影响严重，现欲在该城市中心P 的两侧建造A ，B 两个空气净化站（A ，P ，B 三点共线），A ，B 两站对该城市的净化度分别为1a a -，，其中(01)a ∈，．已知对该城市总净化效果为A ，B 两站对该城市的净化效果之和，且每站净化效果与净化度成正比，与中心

P 到净化站距离成反比．若1AB =，且当34AP =时，A 站对该城市的净化效果为3

a

，B 站对

该城市的净化效果为1a -． （1）设AP x =，(01)x ∈，，求A ，B 两站对该城市的总净化效果()f x ；

（2）无论A ，B 两站建在何处，若要求A ，B 两站对该城市的总净化效果至少达到2

5

，求

a 的取值集合．

3. 如图,直线1l 是某海岸线，2l 是位于近海的虚拟线，12l l ⊥于点P,点A,C 在2l 上，AC 的中点为O ，且km AC PA 2==.

（1）原计划开发一片以AC 为一条对角线,周长为8 km 的平行四边形水域ABCD,建深水养殖场.求深水养殖场的最大面积;

（2）现因资金充裕,计划扩大开发规模,开发如图五边形水域QABCD,建养殖场,其中ABCD 是周长为8 km 的平行四边形,点Q 在1l 上,且在点P 的上方,AD OQ ⊥, ?≤∠90OCD . 养殖场分两个区域,四边形QAOD 区域内养殖浅水产品,其他区域内养殖深水产品,要求养殖浅水产品区域的面积最大.求点Q 与点P 的距离.

4. 如图(1)是某水上乐园拟开发水滑梯项目的效果图，考虑到空间和安全方面的原因，初步设计方案如下:如图(2)，自直立于水面的空中平台CP 的上端点P 处分别向水池内的三个不同方向建水滑道PA,PM,PB ，水滑道的下端点B,M,A 在同一条直线上，CM = 10m,∠

BCA=120°，CM 平分∠BCA ，假设水滑梯的滑道可以看成线段，B,M,A 均在过C 且与PC 垂直的平面内，为了滑梯的安全性，设计要求ACB PCA PCB S S S ???≤+2.

(1)求滑梯的高PC 的最大值;

(2)现在开发商考虑把该水滑梯项目设计成室内游玩项目，且为保证该项目的趣味性，设计∠PBC=30°，求该滑梯装置(即图(2)中的几何体)的体积最小值

.

.

5.如图，已知A ，B 两镇分别位于东西湖岸MN 的A 处和湖中小岛的B 处，点C 在A 的正

西方向1km 处，经测量3tan 4BAN ∠=，π4

BCN ∠=．现计划铺设一条电缆联通A ，B 两镇．有两种方案供选择：①沿线段AB 在水下铺设；②在湖岸MN 上设立一中转站P ，先沿线段AP 在地下铺设，再沿线段PB 在水下铺设．预算地下、水下的电缆修建费用分别为2万/km 、4万/km ．

（1）求A ，B 两镇间的距离；

（2）应该选择哪种方案，使总修建费用较低？

C A P

B M

N

(第17题)

江苏省如皋中学2019届高三数学应用题专题

1. 解：(1) 由题意，当0＜v ≤50时，y ＝7.5·400100u ＋300·400v ＝30·????100v ＋23＋300·400v

＝123 000

v

＋690， 当v ＞50时，y ＝7.5·400100u ＋300·400v

＝30·????v 2500＋20＋300·400v ＝3v 250＋120 000v ＋600， 所以y ＝?????

123 000

v ＋690，0＜v ≤50，

3v 2

50＋120 000

v ＋600，v ＞50.

(2) 当0＜v ≤50时，y ＝

123 000

v

＋690是单调减函数， 故v ＝50时，y 取得最小值y min ＝

123 000

50

＋690＝3 150； 当v ＞50时，y ＝3v 250＋120 000

v ＋600(v ＞50)．

由y′＝3v 25－120 000v 2＝3v 3－3×106

25v 2

＝0，得v ＝100.

当50＜v ＜100时，y ′＜0，函数y ＝3v 250＋120 000v ＋600单调递减；当v>100时，y ′>0，

函数y ＝3v 250＋120 000

v

＋600单调递增．

所以当v ＝100时，y 取得最小值y min ＝3×100250＋120 000100＋600＝2 400.由于3 150＞2

400，所以当v ＝100时，y 取得最小值．

答：当卡车以100 km/h 的速度行驶时，运送这车水果的费用最少．

2. 何处，若要求A ，B 两站对该城市的总净化效果至少达到

2

5

，求a 的取值集合． 解：（1）设A 站对城市的净化效果为1y ，比例系数为1k ，则11k a

y x

=，

由题意34x =，13a y =，即1334

k a a =，所以11

4k =，…

设B 站对P 城市的净化效果为2y ，比例系数为2k ，则2211a

y k x

-=-，

由34x =，21y a =-得21

4

k =

所以A 、B 两站对该城市的总净化效果121()44(1)

a a f x y y x x -=+=+-，(01)x ∈，；…6分 （2）由题意得1

()2

f x ≥对任意的(01)x ∈，恒成立，

只要(01)x ∈，时min 1

()2f x ≥即可； 又

111()((1))44(1)41a a a a x x x x x x

--+=++--- 1(1)(1)(1)41a x a x x x --=++-1(1)(1)(12

)41a x a x x x --+?-≥ 1

(12(1))4

a a =+- 当且仅当(1)(1)1a x a x x x --=

-即1111x a =+-时等号成立，则min 1

()(12(1))4

f x a a =+-， 又若12(12(1))45a a +-≥，则290100a a -+≤，即19

1010

a ≤≤，

综上，无论A 、B 两站建在何处，若要求A 、B 两站对P 城市的总净化效果至少达到2

5

，

a 的取值集合为19,1010??

????

． ………………………………14分

3

4. 如图(1)是某水上乐园拟开发水滑梯项目的效果图，考虑到空间和安全方面的原因，初步设计方案如下:如图(2)，自直立于水面的空中平台CP 的上端点P 处分别向水池内的三个不同方向建水滑道PA,PM,PB ，水滑道的下端点B,M,A 在同一条直线上，CM = 10m,∠

BCA=120°，CM 平分∠BCA ，假设水滑梯的滑道可以看成线段，B,M,A 均在过C 且与PC 垂直的平面内，为了滑梯的安全性，设计要求ACB PCA PCB S S S ???≤+2.

(1)求滑梯的高PC 的最大值;

(2)现在开发商考虑把该水滑梯项目设计成室内游玩项目，且为保证该项目的趣味性，设计∠PBC=30°，求该滑梯装置(即图(2)中的几何体)的体积最小值.

5. ．（1）过B 作MN 的垂线，垂足为D ．

在Rt ABD △中，

3

tan tan 4

BD BAD BAN AD ∠=∠==， 所以4

3

AD BD =

， 在Rt BCD △中，tan tan 1BD

BCD BCN CD

∠=∠==， 所以CD BD =．

则41

133

AC AD CD BD BD BD =-=-==，即3BD =，

所以3CD =，4AD =，

由勾股定理得，5AB =(km)．

所以A ，B 两镇间的距离为5km ．……………………………………………4分 （2）方案①：沿线段AB 在水下铺设时，总修建费用为5420?=(万元)．………6分

方案②：设BPD θ∠=，则0π(,)2

θθ∈，其中0BAN θ=∠，

在Rt BDP △中，3tan tan BD DP θθ==，3

sin sin BD BP θθ==

， 所以3

44tan AP DP θ

=-=-．

则总修建费用为6122cos 24886tan sin sin AP BP θ

θθθ-+=-+=+?

．………8分 令2cos ()sin f θ

θθ

-=，则2

22sin (2cos )cos 12cos '()sin sin f θθθθθθθ---==

， 令'()0f θ=，得π

θ=，列表如下：

所以()f θ的最小值为()3

f =

所以方案②的总修建费用最小为8+(万元)，此时4AP =．……12分

而820+，

所以应选择方案②，中转站P 设在A 的正西方向(4-km 处， 总修建费用较低．…

总修建费用较低．…

C A P

B

M

N (第17题)

D