初中数学教师基本功比赛专业技能比赛试题

初中数学教师基本功比赛专业技能比赛试题

1.试求证：圆的切线垂直于经过切点的半径. (书本定理的证明)

2.如图，已知AB =1，点C 是线段AB 的黄金分割点，试用一元二次方程求根公式验证黄金 比2

1

5-=AB AC

.（书本习题）

3.三座城市A 、B 、C 分别位于一个等腰三角形ABC 的三个顶点处，且AB =AC =50km ，BC =80km ，要在这三个城市之间铺设通讯电缆，现设计了三种连接方案. 方案一：沿AB 、BC 铺设；

方案二：沿BC ，和BC 边上的中线AD 铺设；

方案三：在ABC ∆内找一点O ，使OA =OB =OC ，沿OA =OB =OC 铺设. (1)请你用尺规画出三种方案的示意图；

（2）请你在这三种方案中选择最短的方案，并加以说明.

4.如图，在△ABC 中，45ABC ∠=，点D 在边BC 上，60ADC ∠=，且1

2

BD CD =．将△

ACD 以直线AD 为轴做轴对称变换，得到△AC D '，连接BC '，

（1）求证BC BC '⊥； （2）求C ∠的大小．

A

B

C

D

C /

5.已知抛物线①经过点A （-1,0）、B （4,5）、C （0,-3），其对称轴与直线BC 交于点P 。 （1）求抛物线①的表达式及点P 的坐标；

（2）将抛物线①向右平移1个单位后再作上下平移，得到的抛物线②恰好过点P ，求上下

平移的方向和距离；

（3）设抛物线②的顶点为D ，与y 轴的交点为E ，试求∠EDP 的正弦值.

参考答案：

4.（1）∵△AC D '是△ACD 沿AD 做轴对称变换得到的，

∴△AC D '≌△ACD .

有C D CD '=，ADC ADC '∠=∠．………………3分

∵1

2

BD CD =，60ADC ∠=，

∴1

2BD C D '=，18060BDC ADC ADC ''∠=-∠-∠=．……5分

取C D '中点P ，连接BP ，则△BDP 为等边三角形，△BC P '为等腰三角形，…8分

有11

3022BC D BPD BDC ''∠=∠=∠=︒．∴90C BD '∠=，即BC BC '⊥． ……10分

（2）如图，过点A 分别作,,BC C D BC ''的垂线，垂足分别为,,E F G ．

∵ADC ADC '∠=∠，

即点A 在C DC '∠的平分线上， ∴AE AF =．……13分 ∵90C BD '∠=，45ABC ∠=， ∴45GBA C BC ABC '∠=∠-∠=，

A

B

D

C '

P

B

D

C '

F

G

A

C

即点A 在GBC ∠的平分线上，∴AG AE =．……16分

于是，AG AF =，则点A 在GC D '∠的平分线上．…………………………18分 又∵30BC D '∠=︒,有150GC D '∠=． ∴1

2

AC D '∠=

75GC D '∠=．∴C ∠75AC D '=∠=．………………………20分 解：（1）据题意设抛物线的表达式为2

3y ax bx =+-，

则0351643

a b a b =--⎧⎨=+-⎩，解得12a b =⎧⎨=-⎩，∴抛物线的表达式为223y x x =--

∴对称轴为直线1x =

据题意设直线BC 的解析式为3y kx =-，则543,2k k =-=， ∴直线BC 的解析式为23y x =-，∴P （1，-1）

（2）设抛物线①向右平移1个单位后再向上平移m 个单位得抛物线②， 则抛物线②的表达式为2

(11)4y x m =---+

∵抛物线②过点P ，∴21(111)4m -=---+，∴2m = ∴再将它向上移动2个单位可得到抛物线②

（3）∵抛物线①向右移动1个单位，再向上平移2个单位得到抛物线②，

∴抛物线②的表达式是2

(11)42y x =---+即

2(2)2y x =--，∴D （2,-2），E （0,2）

∵P(1,-1)，∴直线DP 过点O ，且与x 轴夹角为45°， 过点E 作EH ⊥DP 于点H ，∴∠EOH= 45°

∵E （0,2）,∴

，而

=∴sin ∠

EDP=EH DE ==

x

备用：

某一学生把一座正确的时钟的时针装在分针的轴上，把分针装在时针的轴上，问这座时钟一天中有 次显示正确的时刻.22

1、设a 为质数，并且278a +和287a +也都是质数，若记778,887x a y a =+=+，

则在以下情况中，必定成立的是（ ）．

()A 、,x y 都是质数； ()B 、,x y 都是合数；

()C 、,x y 一个是质数，一个是合数； ()D 、对不同的a ，以上各情况皆可能出现．

答案：A ．

解：当3a =时，2

7871a +=与2

8779a +=皆为质数，而778239x a =+=，

887271y a =+=都是质数；

当质数a 异于3时，则2

a 被3除余1，设2

31a n =+，于是2

782115a n +=+，

2872415a n +=+，它们都不是质数，与条件矛盾！

绕圆周填写了十二个正整数，其中每个数取自{}1,2,3,4,5,6,7,8,9之中（每一个数都可以多次出现在圆周上），若圆周上任何三个相邻位置上的数之和都是7的倍数，用S 表示圆周上所有十二个数的和，那么数S 所有可能的取值情况有 种． 答案：9种．

解：对于圆周上相邻的三个数{}12,,k k k a a a ++，12k k k a a a ++++可以是7，或14，或21，例如，当三数和为7时，{}12,,k k k a a a ++可以取{}1,2,4或{}1,1,5或{}2,2,3；又对于圆周上任意相邻的四数，若顺次为123,,,k k k k a a a a +++，由于12k k k a a a ++++和123k k k a a a +++++都是7的倍数，那么必有37k k a a +-，于是k a 与3k a +或者相等，或者相差7；

又在圆周上，1与8可互换，2与9可互换；现将圆周分成四段，每段三个数的和皆可以是7，或14，或21，因此四段的总和可以取到{}28,35,42,49,56,63,70,77,84中的任一个值，总共九种情况．

（其中的一种填法是：先在圆周上顺次填出十二个数：1,2,4,1,2,4,1,2,4,1,2,4，其和