Removed_四年级奥数第一讲(29
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第一讲等差数列基础
关于第一讲等差数列,是中年级学习的一个重点。高年级的很多题虽不是直接考察等差数列,但往往中间的某一步需要用到等差数列的知识。等差数列这讲公式繁多,但希望孩子们千万不要死记硬背这些公式,一定要理解着记忆。
希望孩子们能够每天坚持练几道大数乘除法。乘法可以按照三位数×一位数,两位数×两位数,三位数×两位数,四位数×两位数,三位数×三位数,四位数×三位数。除法可以从三位数÷一位数,四位数÷一位数,三位数÷两位数,四位数÷一位数,五位数÷一位数,五位数÷三位数等等这样的顺序练起。
一、通项公式
知识点解析:
⒈第n项=首项+(n-1)×公差
辅助练习:等差数列5、8、11……求这个数列的第2011项是多少?
这个公式含有四个量首项,第n项,项数n,公差,这四个其实是知三求一的。
⒉首项=第n项-(n-1)×公差
辅助练习:等差数列……91,95,99共17项,求第一项是多少?
(此公式本讲没有涉及)
⒊项数n=(第n项-首项)÷公差+1
辅助练习:等差数列105,111,117……,567共多少项?
⒋公差=(第n项-首项)÷(项数n-1)
辅助练习:等差数列首项为6,末项为94,共23项,求公差
(此公式本讲例6涉及到)
一定要注意的是,这些公式千万不要死记硬背,一定要通过理解,多练习来记忆。其中第一个和第三个是重点。
⒌首项和公差相等的数列(求n项或项数时不用套公式,可直接求):
如3,6,9,12……(首项为3,公差也为3,首项和公差相等)
11000项是几?
26000是这个数列的第几项?
⒍等差数列任意两项的差:
第m项-第n项=(m-n)×公差
如2,5,8,11,14,17……第5项14比第1项2多5-1个公差3
所以第5项-第1项=(5-1)×3=12
附加练习:
对于4,7,10,13,16……
⑴第49项是多少?
⑵49是这个数列的第几项?
3100项和第50项的差值是多少?
例1
已知数列2、3、4、6、6、9、8、12、…,问:这个数列的第2000个数是多少?第2003个数是多少?
学案1 已知数列2,1,4,3,6,5,8,7,……,问2009是这个数列中的第几项?
二、求和公式
知识点解析:
前n项和=(首项+第n项)×项数n÷2
例2 计算
⑴1+3+4+6+7+9+10+12+13+……+66+67+69+70
⑵1000+999-998+997+996-995+……+106+105-104+103+102-101
③原数列=2485-805=1680
⑵1000+999-998+997+996-995+……+106+105-104+103+102-101
三、中项定理
知识点解析:
中间项=(首项+末项)÷2
和=中间项×项数n
对于任意一个项数为奇数的等差数列来说,中间一项的值等于所有项的平均数,也等于首项和末项和的一半;各项和等于中间相乘以项数。
如1,4,7,10,13
学案3 把210拆成7个自然数的和
,使这7个数从小到大排成一行后,相邻两个数差都是5,那么,第一个数和第6个数分别是多少?
学案4
一个大剧院,座位排成的形状是一个梯形,而且第一排有10个座位,第2排有12个座位,第三排有14个座位,……最后一排有210个座位,思考一下,剧院中间一排有多少个座位呢?这个剧院一共有多少个座位呢?
例4
建筑工地有一批砖,摆成如图形状,最上面两层砖,第2层6块砖,第三层10块砖…,依次每一层都比其上面一层多4块砖
,已知最下层有2106块砖,问中间一层有多少块砖?这堆砖共有多少块?
等差数列和其他知识结合:
7差数列和余数综合
例7 求100以内除以3余2的所有数的和
总结:
除以3余2的所有数:2,5,,8,11……首项为余数2,公差为除数3的等差数列;
除以5余3的所有数:3,8,13,18……首项为余数3,公差为除数5的等差数列;
除以6余1的所有数:1,7,13,19……首项为余数1,公差为除数6的等差数列;
除以m余n的所有数(m>n):
㈡等差数列与和差问题综合
例8
如图,把边长为1的小正方叠成金字塔形,其中黑白相见染色,如果最底层有15个正方形,问共有多少个染白色的正方形,有多少个染黑色的正方形?
学案3
节日期间在一个八层楼房上安装彩灯,共安装彩灯888盏,已知从第二层开始,每一层都比下一层少安装6盏,那么最上面一层安装多少盏彩灯?
其他例题:
例5 一个五层书架共放555本书,上层书比相邻的下层少5本。问:最上层放几本书?
例6
幼儿园304个小朋友围成若干个圆(一圈套一圈)做游戏,已知最内圈24人,最外圈52人,如果相邻两圈相差的人数相等,那么相邻的两圈相差多少人?