(完整版)等腰三角形知识点(可编辑修改word版)

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⎩ ⎩ 等腰三角形知识

学习要点：

掌握证明的基本步骤和书写格式，掌握等腰三角形的性质和判定定理，并探索等边三角形的性质和判定定理。结合实例体会反证法的含义。

中考热点：

全等三角形和等腰三角形是中考必考的内容之一，在考试中或单独考查基本知识或综合考查逻辑推理，常把全等三角形、特殊三角形的判定和性质及特殊四边形的判定和性质综合起来进行命题，题型多为证明题或解答题。

知识点：

1、全等三角形的判定及性质

一般三角形直角三角形

判定边角边（SAS）、角边角（ASA）

角角边（AAS）、边边边（SSS）

具备一般三角形的判定方法

斜边和一条直角边对应相等（HL）

性质对应边相等，对应角相等对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等注：① 判定两个三角形全等必须有一组边对应相等；② 全等三角形面积相等．

证题思路：

⎧⎧找夹角（SAS）

⎪⎪

⎪已知两边⎨找直角（HL）

⎪⎪找第三边（SSS）

⎪

⎪⎧若边为角的对边，则找任意角（AAS）

⎪⎪

⎪⎪⎧找已知角的另一边（SAS）

⎨已知一边一角⎨⎪

⎪⎪边为角的邻边⎨找已知边的对角（AAS）

⎪⎪⎪找夹已知边的另一角（ASA）

⎪

⎪

⎪

⎪⎧找两角的夹边（ASA）

⎪已知两角⎨

⎩⎩找任意一边（AAS）

2 例1、如图，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，则对于结论①AC＝AF．②∠FAB＝∠EAB，③EF ＝BC，④∠EAB＝∠FAC，其中正确结论的个数是（）

A.1 个

B.2 个

C.3 个

D.4 个

2、如图，FD⊥AO 于D，FE⊥BO 于E，下列条件：①OF 是∠AOB 的平分线；②DF=EF；③DO=EO；

④∠OFD=∠OFE。其中能够证明△DOF≌△EOF 的条件的个数有（）

A.1 个

B.2 个

C.3 个

D.4 个

3、如图，已知 AC=DB，要使△ABC≌△DCB，需添加的一个条件是．

4、（2016 泰安）如图，在△PAB 中，P A=P B，M，N，K分别是PA，PB，AB 上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，则∠P 的度数为（）

A．44°B．66°C．88°D．92°

(（2016 莱芜）已知△ABC 中，AB=6，AC=8，BC=11，任作一条直线将△ABC 分成两个三角形，

若其中有一个三角形是等腰三角形，则这样的直线最多有（）

A．3 条B．5 条C．7 条D．8 条

【分析】分别以A、B、C 为等腰三角形的顶点，可画出直线，再分别以AB、AC、BC 为底的

等腰三角形，可画出直线，综合两种情况可求得7 条．

5、在△ABC 中,AB=AC,∠BAC= 1200，AD⊥BC，且AD=AB.

(1)如图1，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，求证：AE+AF=AD

(2)如图2,如果∠EDF= 600，且∠EDF 两边分别交边AB，AC 于点E，F，那么线段AE，AF，AD 之间有怎样的数量关系?并给出证明。

分析：（2）连接BD，证明△ABD 是等边三角形，得出BD=AD，∠ABD=∠ADB=60°，证出∠ABD=∠DAC，

得出∠EDB=∠ADF，由ASA 证明△BDE≌△ADF，得出BE=AF，即可得出结论．

6、如图，已知△ABC 中，AB=AC=10 厘米，BC=8 厘米，点D 为AB 的中点．

（1）如果点P 在线段BC 上以3 厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA

上由C 点向 A 点运动．

①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1 秒后，△BPD 与△CQP 是否全等，请说

明理由；

②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使△BPD

与△CQP 全等？

（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆

时针沿△ABC 三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在△ABC 的哪条边上相遇？

等腰三角形的性质及判定

1、等腰三角形的性质

等腰三角形定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。

等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等（简写为“等边对等角”）。

推论 1：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称“三线合一）。

推论 2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。

注：①等腰三角形两底角的平分线（两底角的三分线）相等，等腰三角形两腰上的高线相等，

等腰三角形两腰上的中线相等。

2、等腰三角形的判定

定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。

推论 1：三个角都相等的三角形是等边三角形。

推论 2 ：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

推论 3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角等于斜边的一半。

注：逆用等腰三角形三线合一的性质判定三角形是等腰三角形。

3、反证法：

定义：反证法是一种论证方式，先假设命题的结论不成立，（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法叫反证法。

反证法的使用：

当论题从正面不容易或不能得到证明时，就需要运用反证法，此即所谓"正难则反"。反证法的证题可以简要的概括为“否定→得出矛盾→否定”。即从否定结论开始，得出矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是辩证的“否定之否定”。

注：证明的方法和规律

1、证明一个三角形是等腰三角形的方法

（1）利用定义证明，有两边相等的三角形是等腰三角形。

（2）等腰三角形的判定定理：等角对等边。

⑶ 逆用等腰三角形三线合一的性质判定三角形是等腰三角形。

2、等腰三角形的性质及判定在实际问题中的应用是本节的重点，等腰三角形中主要

抓住“三线合一”这一条，注意数形结合的思想，一般等腰三角形的顶点作底边上的高。

注：已知等腰三角形的两边长或一个角的度数，求周长、另外一边长或求其它角的度数时要分类讨论：把其中一边长作为腰，再根据三角形三边关系确定周长或边长；把已知角作为底角或顶角，再确定其它角的度数。

3、证明一个三角形是等边三角形的方法

（1）利用定义，证明三条边相等。（2）证明三角形三个角相等。

（3）证明它是等腰三角形并且有一个角是60°。

4、例1、若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为