2021年中考学霸必刷压轴题几何最值第三讲阿氏圆问题中考真题试题解析
2021年中考学霸必刷压轴题几何最值第三讲阿氏圆问题中考
真题试题解析
一．填空题（共2小题）
1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，AC＝9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D．连接AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是．
2．如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上的一个动点，则
PD−1
2PC的最大值为．
二．解答题（共1小题）
3．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B．
（1）求抛物线解析式及B点坐标；
（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；
（3）如图2，若P点是半径为2的⊙B上一动点，连接PC、P A，当点P运动到某一位
置时，PC+1
2P A的值最小，请求出这个最小值，并说明理由．
2021阿氏
参考答案与试题解析
一．填空题（共2小题）
1．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝12，AC ＝9，以点C 为圆心，6为半径的圆上
有一个动点D ．连接AD 、BD 、CD ，则2AD +3BD 的最小值是 12√10 ．
【专题】推理填空题；图形的相似；运算能力；推理能力．
【解答】解：如图，在CA 上截取CM ，使CM ＝4，连接DM ，BM ，
∵CD ＝6，CM ＝4，CA ＝9，
∴CD 2＝CM •CA ，
∴CD CM =CA CD ，
∵∠DCM ＝∠ACD ，
∴△DCM ∽△ACD ，
∴DM AD =CD AC =23， ∴DM =23AD ，
∴23AD +BD ＝DM +BD ， ∵DM +BD ≥BM ，
在Rt △CBM 中，∵∠CMB ＝90°，CM ＝4，BC ＝12，
∴BM =√CM 2+BC 2=4√10，
∴23
AD +BD ≥4√10， ∴23AD +BD 的最小值为4√10，
∴2AD +3BD 的最小值是12√10．
故答案为：12√10．
2．如图，已知正方形ABCD 的边长为4，⊙B 的半径为2，点P 是⊙B 上的一个动点，则
PD −12
PC 的最大值为 5 ．
【专题】几何图形．
【解答】解：在BC 上取一点G ，使得BG ＝1，如图，
∵
PB BG =21=2，BC PB =42=2， ∴PB BG =BC PB
， ∵∠PBG ＝∠PBC ，
∴△PBG ∽△CBP ，
∴PG PC =BG PB =12， ∴PG =12PC ，
当点P 在DG 的延长线上时，PD −12PC 的值最大，最大值为DG =√42+32=5． 故答案为：5
二．解答题（共1小题）
3．如图1，在平面直角坐标系中，直线y ＝﹣5x +5与x 轴，y 轴分别交于A ，C 两点，抛物
线y ＝x 2+bx +c 经过A ，C 两点，与x 轴的另一交点为B ．
（1）求抛物线解析式及B 点坐标；
（2）若点M 为x 轴下方抛物线上一动点，连接MA 、MB 、BC ，当点M 运动到某一位置时，四边形AMBC 面积最大，求此时点M 的坐标及四边形AMBC 的面积；
（3）如图2，若P 点是半径为2的⊙B 上一动点，连接PC 、P A ，当点P 运动到某一位置时，PC +12P A 的值最小，请求出这个最小值，并说明理由．
【专题】代数几何综合题；数形结合；转化思想；构造法；面积法；一次方程（组）及应用；一元二次方程及应用；二次函数图象及其性质；图形的相似．
【解答】解：（1）直线y ＝﹣5x +5，x ＝0时，y ＝5
∴C （0，5）
y ＝﹣5x +5＝0时，解得：x ＝1
∴A （1，0）
∵抛物线y ＝x 2+bx +c 经过A ，C 两点
∴{1+b +c =00+0+c =5 解得：{b =−6c =5
∴抛物线解析式为y ＝x 2﹣6x +5
当y ＝x 2﹣6x +5＝0时，解得：x 1＝1，x 2＝5
∴B （5，0）
（2）如图1，过点M 作MH ⊥x 轴于点H
∵A （1，0），B （5，0），C （0，5）
∴AB ＝5﹣1＝4，OC ＝5
∴S △ABC =12AB •OC =12
×4×5＝10 ∵点M 为x 轴下方抛物线上的点
∴设M （m ，m 2﹣6m +5）（1＜m ＜5）
∴MH ＝|m 2﹣6m +5|＝﹣m 2+6m ﹣5
∴S △ABM =12AB •MH =12×4（﹣m 2+6m ﹣5）＝﹣2m 2+12m ﹣10＝﹣2（m ﹣3）2+8 ∴S 四边形AMBC ＝S △ABC +S △ABM ＝10+[﹣2（m ﹣3）2+8]＝﹣2（m ﹣3）2+18 ∴当m ＝3，即M （3，﹣4）时，四边形AMBC 面积最大，最大面积等于18 （可以直接利用点M 是抛物线的顶点时，面积最大求解）
（3）如图2，在x 轴上取点D （4，0），连接PD 、CD
∴BD ＝5﹣4＝1
∵AB ＝4，BP ＝2
∴BD BP =BP AB =12 ∵∠PBD ＝∠ABP
∴△PBD ∽△ABP
∴PD AP =BD BP =12， ∴PD =12AP
∴PC +12P A ＝PC +PD
∴当点C 、P 、D 在同一直线上时，PC +12P A ＝PC +PD ＝CD 最小
∵CD =√OC 2+OD 2=√52+42=√41
∴PC +12P A 的最小值为√41。
2021年中考数学第三轮专题冲刺复习：圆的综合(含答案)
2021年中考数学第三轮压轴题专题冲刺复习：圆的综合1、如图，为的直角边上一点，以为半径的与斜边相切于点，交于点．已知．（1）求的长；（2）求图中阴影部分的面积．2、如图，已知等腰直角三角形ABC，点P是斜边BC上一点（不与B，C重合），PE是△ABP的外接圆⊙O的直径．（1）求证：△APE是等腰直角三角形；（2）若⊙O的直径为2，求PC2+PB2的值．3、如图，在中，，以为直径的⊙交边于点，过点作，与过点的切线交于点，连接.（1）求证：；Rt C∆AB CA CO O ABD OAE C3B=C3A=DAABC∆AB AC=AB O AC DC//CF AB B F BDBD BF=（2）若，，求的长.4、如图，AB 是O 的直径，CD 与O 相切于点C ，与AB 的延长线交于D .（1）求证：ADCCDB ∆∆；（2）若32,2AC AB CD ==，求O 半径.5、如图，在Rt △ABC 中，∠C=Rt ∠，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，切线DE 交AC 于点E.(1)求证：∠A=∠ADE ；(2)若AD=16，DE=10，求BC 的长.6、如图，在△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，⊙O （圆心O 在△ABC 内部）经过B 、C 两点，交AB 于点E ，过点E 作⊙O 的切线交AC 于点F ．延长CO 交AB 于点G ，作ED ∥AC 交CG 于点D（1）求证：四边形CDEF 是平行四边形；[来源:] （2）若BC=3，tan ∠DEF=2，求BG 的值．10AB =4CD =BC7、如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 交于点E ，过点B 的切线BP 与CD 的延长线交于点P ，连接OC ，CB ． （1）求证：AE •EB =CE •ED ； （2）若⊙O 的半径为3，OE =2BE ，95CE DE ，求tan ∠OBC 的值及DP 的长．8、将一副三角板Rt △ABD 与Rt △ACB （其中∠ABD=90°，∠D=60°，∠ACB=90°，∠ABC=45°）如图摆放，Rt △ABD 中∠D 所对直角边与Rt △ACB 斜边恰好重合．以AB 为直径的圆经过点C ，且与AD 交于点 E ，分别连接EB ，EC ． （1）求证：EC 平分∠AEB ； （2）求的值．9、如图，AB是⊙O直径，点C在⊙O上，AD平分∠CAB，BD是⊙O的切线，AD 与BC相交于点E．（1）求证：BD=BE；（2）若DE=2，BD=，求CE的长．10、如图，AB为⊙O的直径，D为AC的中点，连接OD交弦AC于点F.过点D 作ACDE//，交BA的延长线于点E.（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）连接CD，若4OA，求四边形ACDE的面积.==AE11、如图，△ABC内接于⊙O，AC是直径，BC=BA，在∠ACB的内部作∠ACF=30°，且CF=CA，过点F作FH⊥AC于点H，连接BF．（1）若CF交⊙O于点G，⊙O的半径是4，求的长；（2）请判断直线BF与⊙O的位置关系，并说明理由．12、如图，已知△ABC 内接于⊙O ，点C 在劣弧AB 上（不与点A ，B 重合），点D 为弦BC 的中点，DE ⊥BC ，DE 与AC 的延长线交于点E ，射线AO 与射线EB 交于点F ，与⊙O 交于点G ，设∠GAB=ɑ，∠ACB=β，∠EAG+∠EBA=γ， （1）点点同学通过画图和测量得到以下近似数据： ɑ 30° 40° 50° 60° β 120° 130° 140° 150° γ150°140°130°120°猜想：β关于ɑ的函数表达式，γ关于ɑ的函数表达式，并给出证明：（2）若γ=135°，CD=3，△ABE 的面积为△ABC 的面积的4倍，求⊙O 半径的长．13、已知是⊙的直径，是⊙的切线，，交⊙于点，是上一点，延长交⊙于点.（1）如图①，求和的大小； （2）如图②，当时，求的大小.AB O AT O 050=∠ABT BT O C E AB CE O D T ∠CDB ∠BC BE =CDO ∠14、如图，已知⊙O 的半径长为1，AB 、AC 是⊙O 的两条弦，且AB=AC ，BO 的延长线交AC 于点D ，联结OA 、OC ． （1）求证：△OAD ∽△ABD ；（2）当△OCD 是直角三角形时，求B 、C 两点的距离；（3）记△AOB 、△AOD 、△COD 的面积分别为S 1、S 2、S 3，如果S 2是S 1和S 3的比例中项，求OD 的长．15、有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形. (1)如图1，在半对角四边形中，，，求与的度数之和；(2)如图2，锐角内接于，若边上存在一点，使得，的平分线交于点，连结并延长交于点，.求证：四边形是半对角四边形；(3)如图3，在(2)的条件下，过点作于点，交于点，当时，求与的面积之比.ABCD 12B D ∠∠12C A ∠∠B ∠C ∠ABC △O ⊙ABD BD BO OBA ∠OAE DE ACF 2AFE EAF ∠∠DBCF D DG OBH BC G DHBGBGH △ABC △16、如图，已知线段AB=2，MN ⊥AB 于点M ，且AM =BM ，P 是射线MN 上一动点，E ，D 分别是PA ，PB 的中点，过点A ，M ，D 的圆与BP 的另一交点C （点C 在线段BD 上），连结AC ，DE ．（1）当∠APB=28°时，求∠B 和CM 的度数； （2）求证：AC=AB 。
中考数学最值—阿氏圆问题(解析+例题)
中考数学最值——阿氏圆问题（点在圆上运动）（PA+k·PB型最值）【问题背景】与两个定点距离之比为一个不为0的常数的点的轨迹是一个圆，这个圆为阿氏圆。
这个定理叫阿波罗尼斯定理。
【知识储备】①三角形三边关系：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边。
②两点之间线段最短。
③连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
【模型分析】①条件：已知A、B为定点，P为 O上一动点，OPOB=k（0＜k＜1）。
②问题：P在何处时，PA+k·PB的值最小。
③方法：连接OP，OB，在OB上取点C，使OCOP =k，可得△POC∽△BOP，所以CPPB=OPOB=k，所以得CP=k·PB。
所以PA+k·PB=PA+CP≥AC，当P为AC与 O的交点时，PA+k·PB的最小值为AC。
总结：构造母子三角形相似若能直接构造△相似计算的，直接计算，不能直接构造△相似计算的，先把k提到括号外边，将其中一条线段的系数化成，再构造△相似进行计算。
【经典例题】已知∠ACB=90°，CB=4,CA=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点.（1）求12AP BP+的最小值为。
（2）求13AP BP+的最小值为。
【巩固训练】练习1：如图，点A、B在⊙O 上，且OA=OB=6，且OA⊥OB，点C是OA的中点，点D在OB 上，且OD=4，动点P在⊙O 上，则2PC+PD的最小值为；练习2：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AC的中点，M为BD的中点，将线段AD绕A点任意旋转（旋转过程中始终保持点M为BD的中点），若AC=4，BC=3，那么在旋转过程中，线段CM长度的取值范围是__________。
练习3：Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D 为△ABC 内一动点，满足CD=2，则AD+32BD 的最小值为_______.练习4：如图，菱形ABCD 的边长为2，锐角大小为60°，⊙A 与BC 相切于点E ，在⊙A 上任取一点P ，则PB+23PD 的最小值为________.练习5：如图，已知菱形ABCD 的边长为4，∠B=60°，圆B 的半径为2，P 为圆B 上一动点，则PD+21PC 的最小值为_________.练习6：如图，等边△ABC 的边长为6，内切圆记为⊙O ，P 是圆上动点，求2PB+PC 的最小值.值。
圆中的最值模型之阿氏圆模型(学生版)-初中数学
圆中的最值模型之阿氏圆模型最值问题在中考数学中常常作为压轴题出现，其中“阿氏圆”(又称“阿波罗尼斯圆”)是一个重要的考点。
这类题目主要考察学生的转化与化归等数学思想，并且在各类考试中通常都被视为高档题。
为了帮助学生更好地理解和掌握这一知识点，本专题将对最值模型中的阿氏圆问题进行系统的梳理，并提供对应的试题分析，以便学生能够熟练掌握并灵活应用。
目录例题讲模型 1模型1.阿氏圆模型 1习题练模型 7例题讲模型模型1.阿氏圆模型动点到两定点距离之比为定值(即：平面上两点A、B，动点P满足P A/PB=k(k为常数，且k≠1))，那么动点的轨迹就是圆，因这个结论最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的，故称这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称为阿氏圆。
如图1所示，⊙O的半径为r，点A、B都在⊙O外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB(即OPOB=k)，连接P A、PB，则当“P A+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？最小值是多少呢？如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r(即OCOP=k)，∵OPOB=k，∴OPOB=OCOP，∵∠POC=∠BOP，∴△POC∽△BOP，∴PCPB=k，即k·PB=PC。
故本题求“P A+k·PB”的最小值可以转化为“P A+PC”的最小值。
其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“P A+PC”值最小，如图3所示。
阿氏圆求最值的本质就是通过构造母子相似，化去比例系数，转化为两定一动将军饮马型求最值，难点在于如何构造母子相似。
阿氏圆最值问题常见考法：点在圆外：向内取点(系数小于1)；点在圆内：向外取点(系数大于1)；一内一外：提系数；隐圆型阿氏圆等。
注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·P A+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．1.(2024·浙江·校考一模)如图，AB为⊙O的直径，AB=2，点C与点D在AB的同侧，且AD⊥AB，BC⊥AB，AD=1，BC=3，点P是⊙O上的一动点，则22PD+PC的最小值为．2.(2024·湖北·九年级专题练习)如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上的一个动点，则PD-12PC的最大值为．3.(2023·北京·九年级专题练习)如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则2P A +PB的最小值为．4.(2023·江苏泰州·模拟预测)如图，⊙O与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，⊙O半径为6，点A(0，3)，点B(5，0)，点C(0，12)，将线段OC绕点O顺时针旋转α(0°≤α≤90°)，得线段OC'，OC'与弧MN交于点P，连P A，PB．则2P A+PB的最小值为．5.(2024·山东·模拟预测)如图，在ΔABC中，∠ABC=90°，AB=2BC=6，BD=1，P在以B为圆心3为半径的圆上，则AP+6PD的最小值为．6.(2023·陕西咸阳·三模)如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是OD、OC上的两个动点，且EF=4，P是EF的中点，连接OP、PC、PD，若AC=12,BD=16，则PC+14PD的最小值为．7.(2024·广东·九年级阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，A(2，0)，B(0，2)，C(4，0)，D(5，3)，点P是第一象限内一动点，且∠APB=135°，则4PD+2PC的最小值为．8.(2024·湖北·九年级专题练习)(1)如图1，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求PD+12PC的最小值，2PD+4PC的最小值，PD-12PC的最大值．(2)如图2，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，求PD+23PC的最小值，PD-23PC的最大值，PC+23PD的最小值．(3)如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B=60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求PD+1 2PC的最小值和PD-12PC的最大值．PC+36PD的最小值9.(2023·重庆·模拟预测)如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y =-12x 2+bx +c 与直线y =-12x +2交于点B ，C ，其中点B 在x 轴上，点C 在y 轴上．(1)求抛物线的函数解析式；(2)P 为直线BC 上方抛物线上的一个动点，过点P 作PQ ∥y 轴交直线BC 于点Q ，求PQ +255CQ 的最大值和此时点P 的坐标；习题练模型10.(2024·四川宜宾·中考真题)如图，抛物线y =ax 2+bx +c a <0 的图象交x 轴于点A -3,0 、B 1,0 ，交y 轴于点C ．以下结论：①a +b +c =0；②a +3b +2c <0；③当以点A 、B 、C 为顶点的三角形是等腰三角形时，c =7；④当c =3时，在△AOC 内有一动点P ，若OP =2，则CP +23AP 的最小值为973．其中正确结论有()A.1个B.2个C.3个D.4个11.(2023·山西·九年级专题练习)如图，在△ABC 中，∠B =90°,AB =CB =2，以点B 为圆心作圆B 与AC 相切，点P 为圆B 上任一动点，则P A +22PC 的最小值是．12.(2023·成都市·九年级专题练习)如图，已知菱形ABCD 的边长为4，∠B =60°，⊙B 的半径为2，P 为⊙B 上一动点，则PD +12PC 的最小值．PC +36PD 的最小值13.(2024·甘肃武威·一模)如图，在扇形OAB 中，∠AOB =90，OA =12，点C 在OA 上，AC =4，点D 为OB 的中点，点E 为弧AB 上的动点，OE 与CD 的交点为F ，CE +2DE 的最小值为14.(23-24九年级下·四川成都·阶段练习)如图，△ABC 是等边三角形，AB =4，点D 在边AC 上由C 向A 运动，点E 在边BC 上由B 向C 运动，且CD =BE ，连接BD 、AE 交于点P ，将边AC 绕着点C 顺时针旋转90°得到CM ，在射线CM 上截取线段CF ，使CF =3AC ，在D 、E 的运动过程中，求12PC +PF 的最小值．15.(2024·四川绵阳·校考一模)在△ABC 中，∠ACB =90°，BC =8，AC =6，以点C 为圆心，4为半径的圆上有一动点D ，连接AD ，BD ，CD ，则12BD +AD 的最小值是．16.(2024九年级·广东·专题练习)如图，等边△ABC 的边长为6，内切圆记为⊙O ，P 是⊙O 上一动点，则PB +2PC 的最小值为．17.(2023·山东烟台·统考中考真题)如图，抛物线y =x 2-6x +5与x 轴交于A ,B 两点，与y 轴交于点C ,AB =4，以点B 为圆心，画半径为2的圆，点P 为⊙B 上一个动点，则PC +12P A 的最小值为．18.(2024·江苏镇江·二模)如图，边长为2的正方形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、CD 上的动点，BE =CF ，连接AE 、BF 交于点P ，则PD +55PC 的最小值为．19.(2024·江苏·校考二模)如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，BC =12，AC =9，以点C 为圆心，6为半径的圆上有一个动点D .连接AD 、BD 、CD ，则2AD +3BD 的最小值是.20.(23-24九年级上·江苏南京·期末)如图，在Rt ΔABC 中，∠ACB =90°，AC =6，BC =8，D 、E 分别是边BC 、AC 上的两个动点，且DE =4，P 是DE 的中点，连接P A ，PB ，则P A +14PB 的最小值为．21.(23-24九年级下·江苏盐城·阶段练习)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点D为BD的最小值为．△ABC内一动点，且满足CD=4，则AD+2322.(23-24九年级上·陕西汉中·期末)(1)【问题提出】如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，DF=3CF，求证：△ABE∽△ECF；(2)【问题探究】如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=12，点E、F分别为边AB、BC上一个动点，且EF=6，点P为EF的中点，连接DP，求DP的最小值；(3)【拓展延伸】如图3，在菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，点E为AD边的中点，在平面内存在点F，且满足FE=1，以AF为一边作△FAP(顶点F、A、P按逆时针排列)，使得AP=2AF，且∠FAP= 120°，求2PD+PC的最小值．23.(2024·山东威海·二模)【问题解决】(1)如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 在边AD 上，以CE 为边在其右侧作正方形CEFG ，连接DG ，BE ，求证：DG =BE ．【问题拓广】(2)如图2，四边形ABCD 是矩形，AB =4，BC =6，点E 是AD 边上一动点，以CE 为边在其右侧作矩形CEFG ，且CG :CE =2:3，连接DG ，BE ．①写出线段DG 与BE 的数量关系，并证明你的结论；②连接BG ，则BE +32BG 的最小值为．(直接写答案)24.(23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习)如图1，在矩形ABCD 中，AB =nBC ，点E 为射线BC 上的一个动点，过点E 作EF ⊥AE ，连接AE ，使∠EAF =∠BAC ，连接CF ．(1)求证：①△ABC ∽△HEF ；②△ABE ∽△ACF ；(2)如图2，若n =34，AC =5，连接DF ．①若∠CDF =45°，求BE ；②当E 点在射线BC 上运动时，则DF +53AE 的最小值为．25.(23-24九年级下·湖南郴州·期中)综合与实践，如图，以AB为边向两侧作△ABC和△ABD,E为AD的中点，连接BE,CE．(1)如图1，若CA⊥AB，CA∥BD，AC=3,AB=BD=4，求CE的长．(2)如图2，连接CD交AB于点F,G为CF上一点，FG=AF，AG∥BD，∠BDF=60°，AC=AD．猜想BC与BE之间存在的数量关系，并证明你的猜想．(3)如图3，△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形，若AB=8,BD=4，请直接写出当CE-12AE取最大值时，△ACE的面积．。
2021年中考压轴题--圆含答案
中考压轴题（一）--------与圆有关压轴题欧阳光明（2021.03.07）1.如图，在M中，AB 所对的圆心角为120，已知圆的半径为2cm ，并建立如图所示的直角坐标系． （1）求圆心M 的坐标；（2）求经过A B C ，，三点的抛物线的解析式；（3）点D 是弦AB 所对的优弧上一动点，求四边形ACBD 的最大面积；（4）在（2）中的抛物线上是否存在一点P ，使PAB △和ABC △相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．[解]（1）如图（1），连结MA MB ，． 则120AMB ∠=60CMB ∴∠=，30OBM ∠=．112OM MB ∴==，(01)M ∴，． （2）由A B C ，，三点的特殊性与对称性，知经过A B C ，，三点的抛物线的解析式为2y ax c =+．1OC MC MO =-=，OB(01)C B ∴-，，．113c a ∴=-=，2113y x ∴=-．xx（3）ABC ABD ACBD S S S =+△△四边形，又ABC S △与AB 均为定值，∴当ABD △边AB 上的高最大时，ABD S △最大，此时点D 为M与y 轴的交点，如图1．211143cm 222ABC ABD ACBD S S S AB OC AB OD AB CD ∴=+=+==△△四边形···． （4）方法1：如图2，ABC △为等腰三角形，303ABABC BC∠==，，ABC PAB∴△∽△等价于302336PAB PB AB PA PB ∠=====，，． 设()P x y ，且x >，则cos3033323x PA AO =-=-=·，sin303y PA ==·．又(233)P ，的坐标满足2113y x =-，∴在抛物线2113y x =-上，存在点(233)P ，，使ABC PAB △∽△．由抛物线的对称性，知点(233)-，也符合题意．∴存在点P ，它的坐标为(233)，或(233)-，． 方法2：如图（3），当ABC PAB △∽△时，30PAB BAC ∠=∠=，又由（1）知30MAB ∠=，∴点P 在直线AM 上．设直线AM 的解析式为y kx b =+，将(30)(01)A M -，，，代入，解得31.k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线AM 的解析式yxBCAMP图2O为1y =+．解方程组21113y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得P ．又tan PBx ∠=，60PBx ∴∠=．30P ∴∠=，ABC PAB ∴△∽△．∴在抛物线2113y x =-上，存在点P ，使ABC PAB △∽△．由抛物线的对称性，知点(-也符合题意．∴存在点P ，它的坐标为或(-． 方法3： 如图3，ABC △为等腰三角形，且ABBC=()P x y ，则 图3ABC PAB △∽△等价于PB AB ==6PA ==．当0x >时，得 6.解得P ．又P 的坐标满足2113y x =-，∴在抛物线2113y x =-上，存在点P ，使ABC PAB △∽△．由抛物线的对称性，知点(-也符合题意．∴存在点P ，它的坐标为或(-． [点评]本题是一道综合性很强也是传统型的压轴题，涉及了函数、方程、相似、圆等大量初中数学的重点知识，解这类问题要求学生必须稳固的掌握各个领域的数学知识，须注意的是在第4小问中涉及了相似三角形的问题，很有可能会有多解的情况出现，此时就要求学生拥有较强的数形结合思想去探索结论的存在性。
专题03 阿氏圆(知识解读)-备战2023年中考数学《重难点解读专项训练》
专题03 阿氏圆（知识解读）【专题说明】“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。
此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。
即点P在直线上运动和点P在圆上运动。
(1)其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；(2)点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题；本章节主要学习“阿氏圆”解题方法。
【方法技巧】阿氏圆问题问题：求解“AP nPB+”类加权线段和最小值方法：①定：定系数，并确定是半径和哪条线段的比值②造：根据线段比，构造母子型相似③算：根据母子型结论，计算定点位置④转：“AP nPB+”问题+”转化为“AP PM关键：①可解性：半径长与圆心到加权线段中定点距离比等于加权系数②系数小于1：内部构造母子型③系数大于1：外部构造母子型【典例分析】【典例1】阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．已知平面上两点A、B，则所有符合＝k（k＞0且k≠1）的点P会组成一个圆．这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆．阿氏圆基本解法：构造三角形相似．【问题】如图1，在平面直角坐标系中，在x轴，y轴上分别有点C（m，0），D（0，n），点P是平面内一动点，且OP＝r，设＝k，求PC+kPD的最小值．阿氏圆的关键解题步骤：第一步：如图1，在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k；第二步：证明kPD＝PM；第三步：连接CM，此时CM即为所求的最小值．下面是该题的解答过程（部分）：解：在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k，又∵∠POD＝∠MOP，∴△POM∽△DOP．任务：（1）将以上解答过程补充完整．（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为△ABC内一动点，满足CD＝2，利用（1）中的结论，请直接写出AD+BD的最小值．【变式1】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝9，⊙B的半径为3，点P 是⊙B上一点，连接AP，CP，则AP+CP的最小值为．【典例2】如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝4，C，D分别为OA，OB的中点，点P是上一点，则2PC+PD的最小值为．【变式2-1】如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝6，C是OA的中点，D是OB上一点，OD＝5，P是上一动点，则PC+PD的最小值为．【变式2-2】如图，△ABC为等边三角形，AB＝6，将边AB绕点A顺时针旋转θ（0°＜θ＜120°）得到线段AD，连接CD，∠BAD的平分线交CD于点E，点F为CD上一点，且DF＝2CF，连接BF．（1）如图①，当θ＝60°时，求EF的长；（2）如图②，连接AF，求BF+AF的最小值．专题03 阿氏圆（知识解读）【专题说明】“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。
2025中考数学二次函数压轴题专题练习21 阿氏圆模型(学生版+解析版)
专题21阿氏圆模型一、知识导航所谓“阿氏圆＂，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值（不力l）的点的栠合叫做圆．如下图，已知A、B两点，点P满足PA:PB=k (k* I)，则满足条件的所有的点P构成的图形为圆．pA下给出证明法一：首先了解两个定理(I)角平分线定理：如图，在6-ABC中，AD是乙BAC的角平分线则AB DBAC DCAB DcS BD S ABxDE AB AB DB 证明：一竺丛＝－－－坐上＝＝－－，即一一＝－－s AC/) CD S ACD ACxDF AC. AC DC(2)外角平分线定理；如图，在6.ABC中，外角CAE的角平分线AD交BC的延长线于点D,则AB DB AC DC ^EA,，｀｀B C\\\\IID证明：在B A 延长线上取点E 使得AE=AC ，连接BO,则6.ACD 兰6.AED (SAS), CD=ED 且AD DB ABAB DB 平分乙BDE ,则一一＝一一，即一一＝一一．DE AE AC DC接下来开始证明步骤：仁＇，，夕夕2A、、、、、、、、、、、、、MB'N如图，PA:PB=k,作LAPB 的角平分线交AB 于M 点，根据角平分线定理，MA PA —=—=k '故M 点为定MB PB点，即乙APB 的角平分线交AB 于定点；作乙APB 外角平分线交直线AB于N 点，根据外角平分线定理，NA PA—=—=k,故N 点为定点，即乙APB NB PB外角十分线交直线AB 于定点；又乙MPN=90°,定边对定角，故P 点轨迹是以MN 为直径的圆AN法二：达系不妨将点A 、B 两点置于x轴上且关于原点对称，设A (-m, 0)，则B (m, 0)，设P (x, y), PA=kPB, 即：J (x+m)2+y 2 =k J(x -m)2+ y 2 (x+m)2+y 2 =k 2(x -m )2+k 2y 2 （炉－1)(x2+ y 2)-(2m +2k 2m)x+(k 2-1)矿＝02 2m +2k'n /， X-+y-k 2-lx+ni 2 =0解析式满足圆的一般方程，故P点所构成的图形是固，且圆心与AB 共线．除了证明之外，我们还需了解“阿氏圆”的一些性质：(1)PA MA NA —=—=—=k.PB MB NB应用：祁据点A 、B的位置及k的值可确定M 、N及圆心0.OB OP(2) 6.0BPV>/:::,.QPA,即一一＝一一，变形为OP 2=OA-OB.OP OA 应用：粮据圆心及半径和A 、B其中一点，可求A 、B另外一点位置．(3)OP OB PA —=—=—=k .OA OP PB应用：已知半径及A 、B中的其中一点，即可知道PA:PB的值．pAN匡I1如图，在L.ABC中，AB=4，AC=2,点D为AB边上一点，当AD=时，L.ACDv>L.ABCC8二二AAC AD觯：若6.ACDV)6.A B C 则有—-＝——即AC 2=AB·ADAB AC·: A B =4,AC =2AC2:. AD =—= 1AD故答案为I.2如图，点P 是半径为2的O O 上一动，点，点A 、B为o o 外的定点，连接PA 、P B,点B 与固心0的I距离为4要使PA+�PB 的值最小，如何确定点P,并说明理由．2ABI 思路分析）构造相似三角形，将所求两条线段的和转化为一条线段，此线段与圆的交点即为所求A（详解J连接OB,OP ,在OB 上截取o c 亏1,连接AC 交('0于点P'，连接PC.OP OC l ·—=—=－，乙POC ＝乙BOPOB OP 2 :.�POC BOPPC ll :.—= －，即－PB =PC PB 2· 21:. PA+.:..PB= PA+PC�AC2当点A 、P 、C三点共线时，PA+PC的值最小，最小值为AC的长，即当点P与P'重合时，PA+�PB的2 根据阿氏圆可得OP 2=0B -OC即O P 2 22OC =—=—=1OB 4值最小．23如图，平面直角坐标系中，A(4,0),B(0,3)，点E在以原点0为圆心，2力半径的圆上运动，求AE+�BE3 的最小值．y j.... ＿3一3-,（思路分析）在坐标轴上找一点，构造相似三角形，利用对应边成比例将两条线段的和转化为求一条线段的长，即为最小值．（详解】如图，在y轴上取一点M(O,-:-)4 3 . OE OM 2 4，连接OE,EM, AM,则OE =2,0B =3, OM=-:-3＝＝－OB OE 3又？乙EOM＝乙BOE :. EOM =、BOE EM OM 2 2 :.—=—=－，即EM =::::_BEBE OE3. 3 2:. AE+::::_B E=AE+EM切AM3当A 、E 、M三点共线时，AE+BM的值最小，最小值为AM的长在Rt ,.AOM 中，A M ＝拓夼言夼＝幸2:．当E 为线段A.11与o o 的交点时，AE +78E 有最小值为一—-．4而3 3y ·--3-3-'3 2.9 4.如图，已知抛物线y =－－x +－x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C,44点E的坐标为(2,0)，将线段OE绕点0逆时针旋转得到OE'，旋转角力a(0°<a<90°)，连接BE'、2CE'，求BE'+�CE'的敢小值．3（思路分析】由旋转可知E'点的运动轨迹为以原点0为圆心，2为半径的圆在笫一象限内的一段固弧，在y轴上找一点，构造相似三角形，再结合各点坐标求解即可3 9（详解】解．？抛物线的解析式为y=－-x 2+－x+34 4 :. B (4,0),C(0,3) ·.．点E的坐标为(2,0):.,占、E'的运动轨迹为以原点0为圆心，2为半径的圆在第一象限内的一段圆弧4 如图在y轴上取一点M (O,-::)，连接OE',E'M,B M,则OE'=2, OC = 3, OM =-:: 43......3 . E'M OM 2..-=-=-OCOE' 3 又？L.E'OM＝乙COE':. E'OM(/) COE'. EM 2 2:.-—=－即E 'M=::..CE 'C E '33 2:. BE'+::..CE'=BE'+E'M�BM当B 、E',M三点共线时，BE'+E'M的值最小，最小值为BM的长·:BM＝豆二尸三3)32 4而：．当E'为BM与圆弧的交点时，BE'+7CE'有最小值为3 3I三、中考真题演练I.(2022广东惠州一模）如图1，抛物线y=，矿＋bx~4与X轴交于A、B两点，与Y轴交千点C,其中点A的坐标为(-1,0)，抛物线的对称轴是迎线x=－．3 2yy图1图2(1)求抛物线的解析式：(2)若点P是直线BC下方的抛物线上一个动点，是否存在点P使四边形ABPC的面积为16,若存在，求出点P的坐标若不存在，请说明理由；(3)如图2,过点B 作BF 上BC 交抛物线的对称轴千点F,以点C 为圆心，2为半径作(,C'点Q 为C上的五一个动点，求－－B Q+FQ的最小值．42如图），抛物线）1＝成＋（a+3)..I,＋3(a'1'0)与x轴交于点A(4,0)，与y轴交于点B,;{:丘轴上有一动点E(m,O )(0<m<4),过点E作x轴的垂线交直线AB千点N,交抛物线于点P,过点P作PM上AB千点M.y yxX图l(I)求a的值和且线AB的函数表达式：图2C. 6(2)设t:.PMN的周长为C,,t:.A EN的周长为C“若-=－求m的值C 5(3)如图2,在（2)的条件下，将线段OE绕点0逆时针旋转得到OE',旋转角为a (0°<a<90勺，连按E'A 、EB，求E'A＋二E＇B的最小值．33.(20l9山东中考真题）如图I,在平面直角坐标系中，直线y=-5x+5与x轴，y轴分别交于A,C两点，抛物线y=x2+bx+c经过A,C两点，与x轴的另一交点为B图1图2(l)求抛物线解析式及B点坐标；(2)若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC,当点M运动到某一位置时，四边形AMBC 面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；(3)如图2,若P点是半径为2的0B上一动点，连接PC、PA,当点P运动到某一位置时，PC+�PA的2值最小，请求出这个最小值，并说明理由．4.(2018广西柳州中考真题）如图，抛物线y= a.x2 +bx+c圭卢轴交千A(.J3,0), 8两点（点8在点A的左侧），与Y轴交于点C,且08=30A=./3oc'LO A C的平分线AD交Y轴于点D,过点A且垂直于AD的均线［交Y轴于点E,点P是X轴下方抛物线上的一个动点，过点P作PF..l.x轴，垂足为F,交直线AD千点H.(l)求抛物线的解析式：(2)设点P的横坐标为111,当FH=HP时，求1/1.的值：I(3)当归线P F为抛物线的对称轴时，以点H为圆心，－H C为半径作1)H,点Q为o H上的一个动点，求2l�AQ+EQ的最小值4x专题21阿氏圆模型一、知识导航所谓“阿氏圆＂，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值（不力l）的点的栠合叫做圆．如下图，已知A、B两点，点P满足PA:PB=k (k* I)，则满足条件的所有的点P构成的图形为圆．pA下给出证明法一：首先了解两个定理(I)角平分线定理：如图，在6-ABC中，AD是乙BAC的角平分线则AB DBAC DCAB DcS BD S ABxDE AB AB DB 证明：一竺丛＝－－－坐上＝＝－－，即一一＝－－s AC/) CD S ACD ACxDF AC. AC DC(2)外角平分线定理；如图，在6.ABC中，外角CAE的角平分线AD交BC的延长线于点D,则AB DB AC DC ^EA,，｀｀B C\\\\IID证明：在B A 延长线上取点E 使得AE=AC ，连接BO,则6.ACD 兰6.AED (SAS), CD=ED 且AD DB ABAB DB 平分乙BDE ,则一一＝一一，即一一＝一一．DE AE AC DC接下来开始证明步骤：仁＇，，夕夕2A、、、、、、、、、、、、、MB'N如图，PA:PB=k,作LAPB 的角平分线交AB 于M 点，根据角平分线定理，MA PA —=—=k '故M 点为定MB PB点，即乙APB 的角平分线交AB 于定点；作乙APB 外角平分线交直线AB于N 点，根据外角平分线定理，NA PA—=—=k,故N 点为定点，即乙APB NB PB外角十分线交直线AB 于定点；又乙MPN=90°,定边对定角，故P 点轨迹是以MN 为直径的圆AN法二：达系不妨将点A 、B 两点置于x轴上且关于原点对称，设A (-m, 0)，则B (m, 0)，设P (x, y), PA=kPB, 即：J (x+m)2+y 2 =k J(x -m)2+ y 2 (x+m)2+y 2 =k 2(x -m )2+k 2y 2 （炉－1)(x2+ y 2)-(2m +2k 2m)x+(k 2-1)矿＝02 2m +2k'n /， X-+y-k 2-lx+ni 2 =0解析式满足圆的一般方程，故P点所构成的图形是固，且圆心与AB 共线．除了证明之外，我们还需了解“阿氏圆”的一些性质：(1) PA MA NA —=—=—=k .PB MB NB应用：祁据点A 、B的位置及k的值可确定M 、N及圆心0.OB OP(2) 6.0BPV>/:::,.QPA,即一一＝一一，变形为OP 2=OA-OB.OP OA 应用：粮据圆心及半径和A 、B其中一点，可求A 、B另外一点位置．(3)OP OB PA —=—=—=k .OA OP PB应用：已知半径及A 、B中的其中一点，即可知道PA:PB的值．pAN匡I1如图，在L.ABC中，AB=4，AC=2,点D为AB边上一点，当AD=时，L.ACDv>L.ABCC8二二AAC AD觯：若6.ACDV)6.A B C 则有—-＝——即AC 2=AB·ADAB AC·: AB =4,AC =2AC2:. AD =—= 1AD故答案为I.2如图，点P 是半径为2的O O 上一动点，点A 、B为o o 外的定点，连接PA 、P B,点B 与固心0的I距离为4要使PA+�PB的值最小，如何确定点P,并说明理由．2ABI 思路分析）构造相似三角形，将所求两条线段的和转化为一条线段，此线段与圆的交点即为所求．A（详解J连接OB,OP ,在OB 上截取o c 亏1,连接AC 交('0于点P'，连接PC.OP OC l ·—=—=－，乙POC ＝乙BOPOB OP 2 :.�POC BOPPC ll :.—= －，即－PB =PC PB 2· 21:. PA+.:..PB= PA+PC�AC2当点A 、P 、C三点共线时，PA+PC的值最小，最小值为AC的长，即当点P与P'重合时，PA+�PB的2 根据阿氏圆可得O P 2=0B -O C 即O P 2 22OC =—=—=1OB 4值最小．23如图，平面直角坐标系中，A(4,0),B(0,3)，点E在以原点0为圆心，2力半径的圆上运动，求AE+�BE3 的最小值．y j一3-,（思路分析）在坐标轴上找一点，构造相似三角形，利用对应边成比例将两条线段的和转化为求一条线段的长，即为最小值．（详解】如图，在y轴上取一点M(O,-:-)4 3 . OE OM 2 4，连接OE,EM, AM,则OE =2,0B=3, O M=-:-3＝＝－OB OE 3又？乙EOM＝乙BOE :. EOM =、BOE EM OM 2 2 :.—=—=－，即EM =::::_BEBE OE3. 3 2:. AE+::::_B E=AE+EM切AM3当A 、E 、M三点共线时，AE+BM的值最小，最小值为AM的长在Rt ,.AOM 中，AM ＝拓千言夼＝孛2:．当E 为线段A.11与o o 的交点时，AE +78E 有最小值为一—-．4而3 3y ·--3-3-'3 2. 94.如图，已知抛物线y =－－x +－x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C,4 4点E的坐标为(2,0)，将线段OE绕点0逆时针旋转得到OE'，旋转角力a(0°<a<90°)，连接BE'、2CE'，求BE'+�CE'的敢小值．3（思路分析】由旋转可知E'点的运动轨迹为以原点0为圆心，2为半径的圆在笫一象限内的一段圆弧，在y轴上找一点，构造相似三角形，再结合各点坐标求解即可3 9（详解】解．？抛物线的解析式为y=－－x 2+－x+34 4 :. B (4,0),C(0,3) ·.点E的坐标为(2,0):.,占、E'的运动轨迹为以原点0为圆心，2为半径的圆在第一象限内的一段圆弧4 如图在y轴上取一点M (O,-::)，连接OE',E'M,BM,则OE'=2,OC=3, OM=-::43......3 . E'M OM 2..-=-=-OCOE' 3 又？L.E'OM ＝乙COE':. E'OM(/) COE'. EM 2 2:.-—=－即E 'M=::..CE 'C E '33 2:. B E'+::..CE'=BE'+E'M�BM当B 、E',M三点共线时，BE'+E'M的值最小，最小值为BM的长·:BM ＝芦言尸＝玉3 J3 2 4而：当E'为BM与圆弧的交点时，BE'+7CE'有最小值为3 3I三、中考真题演练I.(2022广东惠州一模）如图1，抛物线y=，矿＋bx~4与X轴交于A、B两点，与Y轴交千点C,其中点A的坐标为(-1,0)，抛物线的对称轴是迎线x=－．3 2yy图1图2(1)求抛物线的解析式：(2)若点P是直线BC下方的抛物线上一个动点，是否存在点P使四边形ABPC的面积为16,若存在，求出点P的坐标若不存在，请说明理由；(3)如图2,过点B作BF上BC交抛物线的对称轴千点F,以点C为圆心，2为半径作(,C'点Q为C上的五一个动点，求－－B Q+F Q的最小值．4【答案】(I)y=入.2-3x-4(2)P{l,6)或(3,4)(3)扫3【分析】(I)根据点A的坐标为(-1,0)，抛物线的对称轴是直线x=－．待定系数法求二次函数解析式即可，2(2)先求得直线BC解析式，设P(m,m2-3m-4)，则Q(m m-4)，过点P作PQ轴交直线BC千点Q,根据S四边彤A BPC= s AOC +S如，等干16建立方程，解一元二次方程即可求得Ill的值，然后求得P的坐标，五(3)在CB上取CE=－－，过点E作EG J_OC，构造CQE V>.C BQ，则当F,Q E三点共线时，取得最小值，最小值为FE,勾股定理解直角三形即可．【详解】（I)解：？抛物线y＝矿＋bx-4与X轴交于A、B两点，与Y轴交于点C,点A的坐标为-l,O),抛物线的对称轴是宜线x=－，3:. C(O,--4)，， 4 ， 。
中考数学专题复习39几何最值之阿氏圆问题(解析版)
问题分析：“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”.如下图.已知A 、B 两点.点P 满足PA:PB=k （k ≠1）.则满足条件的所有的点P 的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现.故称“阿氏圆”。
模型展示：如下图.已知A 、B 两点.点P 满足PA ：PB=k （k≠1）.则满足条件的所有的点P 构成的图形为圆．（1）角平分线定理：如图.在△ABC 中.AD 是△BAC 的角平分线.则AB DBAC DC=．证明：ABD ACDS BD SCD =.ABD ACDSAB DE AB SAC DF AC ⨯==⨯.即AB DBAC DC=（2）外角平分线定理：如图.在△ABC 中.外角CAE 的角平分线AD 交BC 的延长线于点D.则AB DBAC DC=．证明：在BA 延长线上取点E 使得AE=AC.连接BD.则△ACD△△AEDA B POA B POFEDCBAABCDE几何最值之阿氏圆问题方法技巧（SAS ）.CD=ED 且AD 平分△BDE.则DB AB DE AE =.即AB DBAC DC=． 接下来开始证明步骤：如图.PA ：PB=k .作△APB 的角平分线交AB 于M 点.根据角平分线定理.MA PAk MB PB==.故M 点为定点.即△APB 的角平分线交AB 于定点；作△APB 外角平分线交直线AB 于N 点.根据外角平分线定理.NA PAk NB PB==.故N 点为定点.即△APB 外角平分线交直线AB 于定点；又△MPN=90°.定边对定角.故P 点轨迹是以MN 为直径的圆．模型最值技巧：计算PA k PB +的最小值时.利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形问题：在圆上找一点P 使得PA k PB +的值最小.解决步骤具体如下： △ 如图.将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP.OB △ 计算出这两条线段的长度比OPk OB= △ 在OB 上取一点C.使得OC k OP =.即构造△POM△△BOP.则PCk PB=.PC k PB = NM APOPB M△ 则=PA k PB PA PC AC ++≥.当A 、P 、C 三点共线时可得最小值【例1】如图.已知正方ABCD 的边长为4.圆B 的半径为2.点P 是圆B 上的一个动点.则12PD PC -的最大值为_______．【分析】当P 点运动到BC 边上时.此时PC=2.根据题意要求构造12PC .在BC 上取M 使得此时PM=1.则在点P 运动的任意时刻.均有PM=12PC .从而将问题转化为求PD -PM 的最大值．连接PD.对于△PDM.PD -PM ＜DM.故当D 、M 、P 共线时.PD -PM=DM 为最大值．【详解】解：（1）如图1中.在BC 上取一点G.使得BG=1．AB CDPABCDP MMPDCBAABCDPMMPDC BA题型精讲△212,212====PB BC BG PB △21==PB BC BG PB △△PBG=△PBC. △△PBG△△CBP.△PC PG 21= △PG DP PC DP +=+21△DP+PG≥DG.△当D 、G 、P 共线时.PC DP 21+的值最小.最小值为DG=2234+=5． △PC PD 21-=PD -PG≤DG. 当点P 在DG 的延长线上时.PC PD 21-的值最大（如图2中）.最大值为DG=5．【例2】如图.菱形ABCD 的边长为2.锐角大小为60︒.A 与BC 相切于点E .在A 上任取一点P .则3PB 的最小值为___________．37【详解】解：在AD 上截取AH =1.5.连接PH 、AE .过点B 作BF △DA 延长线.垂足为F . △AB =2.△ABC =60°.△BE =AF =1.AE =BF 323AP AD AH AP ==△△P AD =△P AH .△△ADP △△APH .△23DP AD PH AP ==PH 3. 当B 、P 、H 共线时.3PB 的最小.最小值为BH 长. BH 222237(3) 2.5BF FH ++=37【例3】如图.在Rt ABC 中.△C =90°.CA =3.CB =4．C 的半径为2.点P 是C 上一动点.则12AP BP +的最小值______________23+PB PA 的最小值_______10410【详解】△在BC 上取点D .使CD =14BC =1.连接AD .PD .PC .由题意知：PC=2.△12DC PC PC BC ==.△PCD =△BCP .△PDC BPC ∆∆∽.△12PD PB =. 且12PA PB PA PD AD +=+≥.△229110AD AC CD =+=+=.△2PA PB 1+的最小值为10.故答案为：10；△在AC 上取点E .使CE =43.连接PE .BE .PC .△42323CE PC ==.23PC AC =.△23CE PC PC AC ==.且△PCE =△ACP . △PEC APC ∆∆∽.△23PE PC PA AC ==.△23PE PA =.△23PB PA PB PE BE +=+≥. △222244104()33BE BC CE =+=+=.△23+PB PA 的最小值为4103.故答案为：4103．1．如图.矩形ABCD 中.4,2AB AD ==.以B 为圆心.以BC 为半径画圆交边AB 于点E.点P 是弧CE 上的一个动点.连结,PD PA .则12AP DP +的最小值为（ ）提分作业A 10B 11C 13D 14【答案】C【详解】解：如图.连接BP.取BE 的中点G.连接PG. △2AD BC BP ===.4AB =.△2142BP BA ==.△G 是BE 的中点.△12BG BP =.△BP BGBA BP=. △PBG ABP ∠=∠.△BPGBAP .△12PG BP AP BA ==.△12PG AP =. 则12AP DP PG DP +=+.当P 、D 、G 三点共线时.取最小值.即DG 长. 224913DG AD AG ++C ．2．如图.已知菱形ABCD 的边长为4.60B ∠=︒.B 的半径为2.P 为B 上一动点.则12PD PC +的最小值_______．3PC 的最小值_______37111【详解】△如图.在BC 上取一点G .使得BG =1.连接PB 、PG 、GD .作DF △BC 交BC 延长线于F ．△221PB BG ==.422BC PB ==.△PB BCBG PB=.△PBG PBC ∠=∠.△PBG CBP ∆∆.△12PG BG PC PB ==.△12PG PC =.△12PD PC DP PG +=+.△DP PG DG +≥.△当D 、P 、G 共线时.PD +12PC 的值最小.最小值为DG . 在Rt △CDF 中.△DCF =60°.CD =4.△DF =CD •sin 3CF =2. 在Rt △GDF 中.DG 22(23)(5)37+=37 △如图.连接BD .在BD 上取一点M .使得BM 3连接PB 、PM 、MC .过M 作MN △BC 于N ．△四边形ABCD 是菱形.且60ABC ∠=︒. △AC △BD .△AOB =90︒.△ABO =△CBO =12△ABC =30︒.△AO =12AB =2.BO 22224223AB AO -=-BD =2 BO =433332BM PB ==343PB BD = △3BM PB PB BD ==且△MBP =△PBD .△△MBP ~△PBD .△3PM PB PD BD ==3PM =.△3PC PC PM MC =+≥.△当M 、P 、C 共线时.3PC 的值最小.最小值为CM .在Rt △BMN 中.△CBO =30︒.BM 3MN =12BM 3BN 2212BM MN -=.△CN =4-1722=. △MC 2222111CN MN CN MN ++.△3PC 111． 3．如图.在中.△ACB=90°.BC=12.AC=9.以点C 为圆心.6为半径的圆上有一个动点D ．连接AD 、BD 、CD.则2AD+3BD 的最小值是 ．ABC ∆【分析】首先对问题作变式2AD+3BD=233AD BD ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.故求23AD BD +最小值即可．考虑到D 点轨迹是圆.A 是定点.且要求构造23AD .条件已经足够明显．当D 点运动到AC 边时.DA=3.此时在线段CD 上取点M 使得DM=2.则在点D 运动过程中.始终存在23DM DA =．问题转化为DM+DB 的最小值.直接连接BM.BM 长度的3倍即为本题答案．【详解】如图.在AC 上取一点M.使CM=4 ∵CDAC CM CD= ABCDMACDD CBAM DCBAM∴∠MCD=∠ACD ∴△DCM ∽△ACD ∴96==AC DC AD MD ∴AD MD 32=在△MDE 中.MD+DB ≥MD ∴MD+DB 最小值为MB 。
专题09 圆中的最值模型之阿氏圆模型(解析版)
专题09 圆中的最值模型之阿氏圆模型最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，主要考查转化与化归等的数学思想。
在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。
本专题就最值模型中的阿氏圆问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
【模型背景】已知平面上两点A、B，则所有满足PA=k·PB（k≠1）的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。
【模型解读】如图 1 所示，⊙O的半径为r，点A、B都在⊙O外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB，连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r，则可说明△BPO与△PCO相似，即k·PB=PC。
故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小。
如图3所示：注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·PA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短解题。
例1．（2022·安徽·九年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则13AP＋BP的最小值为（）A．7B．C．4D．例2．（2022·湖北·九年级专题练习）如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上的PC的最大值为_____．一个动点，则PD﹣12例3．（2023·成都市·九年级专题练习）如图，已知菱形ABCD 的边长为4，=60B а，B e 的半径为2，P 为B e 上一动点，则12PD PC +的最小值_______．PC PD 的最小值_______∵221PB BG ==，422BC PB ==，∴PB BC BG PB =，∵PBG PBC Ð=Ð，∴PBG CBP D D :，∴PG BG PC PB =∴1PG PC =，∴1PD PC DP PG +=+，∵DP +3∵四边形ABCD 是菱形，且60ABC Ð=°， ∴AC ⊥BD ，∠AOB =90°，∠ABO =∠CBO =12∠ABC =30°，例4．（2022·江苏·无锡市九年级期中）如图，⊙O与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，⊙O半径为3，点A（0，1），点B（2，0），点P在弧MN上移动，连接PA，PB，则3PA+PB的最小值为___．例5．（2022·江苏淮安·九年级期中）问题提出：如图1，在等边△ABC中，AB=12，⊙C半径为6，P为圆上一动点，连结AP，BP，求AP+12BP的最小值．（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP，在CB上取点D，使CD=3，则有CDCP=CPCB=12，又∵∠PCD=∠BCP，∴△PCD∽△BCP，∴PDBP=12，∴PD=12BP，∴AP+12BP=AP+PD．请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+12BP的最小值为．（2）自主探索：如图1，矩形ABCD中，BC=7，AB=9，P为矩形内部一点，且PB=3，13AP+PC的最小值为．（3）拓展延伸：如图2，扇形COD中，O为圆心，∠COD=120°，OC=4，OA=2，OB=3，点P是 CD上一点，求2PA+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程．例6．（2022·重庆·九年级专题练习）（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么PD＋23PC的最小值为__，PD﹣23PC的最大值为__．（2）如图2，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，那么PD＋12PC的最小值为__，PD﹣12PC的最大值为__．如图3中，在BC 上取一点6342PB BG ==Q ，BC PB PBG CBP \V :V ，\23PG PC \=，PD \221PB BG ==Q ，422BC PB ==，PBG CBP \V :V ，PG BG PC PB \=PD PG DG +³Q （当且仅当G PD PG \+的最小值为DG ， 例7．（2022·江苏·苏州九年级阶段练习）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务.已知平面上两点A B 、，则所有符合0(PA k k PB=>且1)k ¹的点P 会组成一个圆.这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆. 阿氏圆基本解法：构造三角形相似.【问题】如图1，在平面直角坐标中，在x 轴，y 轴上分别有点()(),0,0,C m D n ，点P 是平面内一动点，且OP r =，设OP k OD =，求PC kPD +的最小值.阿氏圆的关键解题步骤：第一步：如图1，在OD 上取点M ，使得::OM OP OP OD k ==；第二步：证明kPD PM =；第三步：连接CM ，此时CM 即为所求的最小值.下面是该题的解答过程(部分)：解：在OD 上取点M ，使得::OM OP OP OD k ==，又,POD MOP POM DOP Ð=Ð\Q V :V .任务：()1将以上解答过程补充完整.()2如图2，在Rt ABC V 中，90,4,3,ACB AC BC D Ð=°==为ABC V 内一动点，满足2CD =，利用()1中的结论，请直接写出23AD BD +的最小值.课后专项训练2．（2023·江苏·苏州九年级阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连结AP，BP，则2AP+BP的最小值为（ ）A．B．12C．2D．8，3．（2023·广西·南宁市一模）如图，在平面直角坐标系中，A(2，0)、B(0，2)、C(4，0)、D(3，2)，P是AOB 外部的第一象限内一动点，且∠BPA＝135°，则2PD+PC的最小值是_____．4．（2022·浙江·九年级专题练习）如图，在Rt ABC V 中，∠C =90°，CA =3，CB =4．C e 的半径为2，点P 是C e 上一动点，则12AP BP +的最小值______________23+PB PA 的最小值_______∵12DC PC PC BC ==，∠PCD =∠BCP ，PDC BPC D ∽，∴12PD PB =，且12PA PB PA PD AD +=+³，∴229110AC CD =+=+=，∴PA PB 1+的最小值为10，故答案为：10；∵221PB BG ==，422BC PB ==，∴PB BC BG PB =，∵PBG PBC Ð=Ð，∴PBG CBP D D :，∴PG PC ∴12PG PC =，∴12PD PC DP PG +=+，3∵四边形ABCD 是菱形，且60ABC Ð=°，∴AC ⊥BD ，∠∴AO =12AB =2，BO =22224223AB AO -=-=，∴BD【答案】410【分析】延长OB 到2CM DM +的最小值问题转化为求【详解】解：延长6OM =Q ，3OD DB ==，MOD TOM Ð=ÐQ ，MOD \△2CM DM CM MT CT +=+³Q【答案】17【分析】取点(0,1)T ，连接PT ，12PT OP PA OA ==，进而可得12PT =则有1172BP AP +³，问题得解．【详解】解：如图，取点(0,1)T ，连接(0,1)T Q ，(0,4)A ，(4,0)B ，OT \2OP =Q ，2OP OT OA \=×，\OP OT11．（2022·重庆·九年级专题练习）如图，在RT△ABC中，∠，AB＝CB＝2，以点B为圆心作圆与AC相切，圆C，点P为圆B上的一动点，求AP PC的最小值．12．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知：图1 图2 图3（1）初步思考：如图1， 在PCB D 中，已知2PB =，BC=4，N 为BC 上一点且1BN =，试说明：12PN PC =（2）问题提出：如图2，已知正方形ABCD 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求12PD PC +的最小值．（3）推广运用：如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B﹦60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求12 PD PC-的最大值．PB BC13．（2023·山东·九年级专题练习）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CA ＝3，CB ＝4，C e 的半径为2，点P 是C e 上的一动点，则12AP PB +的最小值为？由题意得：PC =2，∵CD =1，BC ∵∠PCB =∠PCD ，∴△PCD ∽△BCP14．（2022·江苏·无锡市九年级阶段练习）问题提出：如图①，在Rt ABC △中，90C =o ∠，4CB =，6CA =，⊙C 的半径为2，P 为圆上一动点，连接AP 、BP ，求12AP BP +的最小值．（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图①，连接CP ，在CB 上取一点D ，使1CD =，则12CD CP CP CB ==．又PCD BCP Ð=Ð，所以PCD V ∽BCP V ．所以12PD CD BP CP ==．所以12PD PB =，所以12AP BP AP PD +=+．请你完成余下的思考，并直接写出答案：12AP BP +的最小值为________；（2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的前提下，求13AP BP +的最小值；（3）拓展延伸：如图②，已知在扇形COD 中，90COD Ð=o ，6OC =，3OA =，5OB =，P 是 CD上一点，求2PA PB +的最小值．OP ，OAP ∽OPE V ，∴OA OP OP OE ==、P 、B 三点共线时，15．（2022·广东·九年级专题练习）如图，点A 、B 在O e 上，且OA ＝OB ＝6，且OA ⊥OB ，点C 是OA 的中点，点D 在OB 上，且OD ＝4，动点P 在O e 上．求2PC ＋PD 的最小值．16．【问题背景】如图1，△ABC中，∠BAC＞∠B，点D在边BC上，若∠CAD＝∠B，则可得△CAB∽△CAD，进而可得，进一步变形有AC2＝CD•CB．【简单运用】（1）如图1，若AC＝2，BC＝4，则BD长为 ；＝ ．（2）如图2，⊙O中，弦AD、BC相交于点E，已知AB＝2AE，BE＝15，且C是劣弧AD的中点，求CD的长．【灵活运用】如图3，平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+9交于坐标轴于A、B两点，点P坐标为（m，n），且m2+n2＝36，连接PA，PB，则3PB+2PA的最小值为 ．【解答】解：（1）∵AC2＝CD•BD，∴4CD＝4，∴CD＝1，∴BD＝BC﹣CD＝3，∵△CAB∽△CAD，∴＝＝＝，故答案是3，；（2）如图1，∵＝，∴∠B＝∠CAE，由上知，∴△ACE∽△BCA，∴＝＝＝＝，AC2＝CE•BC，∴AC＝2CE，∴4CE2＝CE•（CE+15），∴CE＝5，∴CD＝AC＝2CE＝10；【灵活运用】如图2，由题意得，OA ＝OB ＝9，∵且m 2+n 2＝36，∴OP ＝6，在OA 上截取OC ＝4，∴＝，又∵∠AOP 是公共角，∴△AOP ∽△POC ，∴＝，∴PA ＝PC ，∴PB +PA ＝PB +PC ≥BC ，当B 、P 、C 共线时，（PB +PC ）最小＝BC ＝＝，∵3PB +2PA ＝3（PB +PA ），∴（3PB +2PA ）最小＝3，故答案是3．17．（2022·河北·九年级专题练习）如图1，在RT △ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝4，CA ＝6，圆C 的半径为2，点P 为圆上一动点，连接AP ，BP ，求：①12AP BP +，②2AP BP +，③13AP BP +，④3AP BP +的最小值．∵1CD =，2CP =，4CB =∴12PD BP =，即12PD BP =，∴当A 、P 、D 三点共线时，∵在Rt ACD V 中，AD AC =②∵122(2AP BP AP BP +=+∵23CE =，2CP =，CA =又∵ECP PCA Ð=Ð，∴ECP V ∴当B 、P 、E 三点共线时，【问题呈现】如图1，∠AOB=90°，OA=4，OB=5，点P在半径为2的⊙O上，求12 AP【问题解决】小明是这样做的：如图2，在OA上取一点∠COP=∠POA，所以可得△COP ∽△POA，所以CP AP=又因为，所以1AP BP+[能力提升]在BC 上取一点E 2163CE BE \==，41123CF BF ==连接DE ，DF ，由DEC DBE S EC S BE =V V \点E ，F 到BD ，CD 的距离相等，Q 点D 是平面内任意一点，过点O 作DG AB ^交AB 的延长线于点【点睛】本题考查了圆和相似三角形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆的性质，直径所对的圆周角直角，角平分线的判定，最短路径，锐角三角函数等知识，构造辅助线是角本题的关键19．（2023·江苏连云港·统考一模）如图1，平面内有一点PC ，若有222PA PB PC =+，则称点P 为V (1)如图2，在55´的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A ，B 、C 、点D 是ABC V 关于点______的勾股点；若点F 在格点上，且点E 是ABF △中画出ABF △；(2)如图3，菱形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，点E 是平面内一点，且点点E 的勾股点．①求证：OE AB =；②若12OA =，1OB =，则AE 的最大值为③若12OA =，1OB =，且ABE V 是以AE 为底的等腰三角形，求AE 的长．（2）解：①∵点O是∵菱形ABCD中，AC②∵12OA=，1OB=，∴点E在以O为圆心，半径为（3）解：如图4，在BC 上取点∵C 是ABE V 关于点A 的勾股点，在Rt ABC △中，22AC AB =又∵ECB FCE Ð=Ð，∴CFE △∴34AE BE AE EF +=+，∴当【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，圆外一点到圆上一点距离的最值问题，菱形的性质，勾股定理，矩形的性质，正方形的性质与判定等等，灵活运用数形结合的思想是解题的关键．。
专题 最值模型之阿氏圆模型(学生版)
专题28最值模型之阿氏圆模型最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，主要考查转化与化归等的数学思想。
在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。
本专题就最值模型中的阿氏圆问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
【模型背景】已知平面上两点A 、B ，则所有满足PA =k ·PB （k ≠1）的点P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。
【模型解读】如图1所示，⊙O 的半径为r ，点A 、B 都在⊙O 外，P 为⊙O 上一动点，已知r =k ·OB ，连接PA 、PB ，则当“PA +k ·PB ”的值最小时，P 点的位置如何确定？如图2，在线段OB 上截取OC 使OC =k ·r ，则可说明△BPO 与△PCO 相似，即k ·PB =PC 。
故本题求“PA +k ·PB ”的最小值可以转化为“PA +PC ”的最小值，其中与A 与C 为定点，P A 、P 、C 三点共线时，“PA +PC ”值最小。
如图3所示：注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k ·PA +PB ”最值问题，其中P 点轨迹是直线，而当P 点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短解题。
例1．（2023·山东·九年级专题练习）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，4CB =，6CA =，圆C 半径为2，P 为圆上一动点，连接,2,1A A P P P P B B +最小值__________．13BP AP +最小值__________．，例3．（2023·广东·九年级专题练习）如图，菱形ABCD的边长为2，锐角大小为60︒，A与BC相切于点E，在A上任取一点P，则32PB PD+的最小值为___________．例4．（2023·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，在边长为例5．（2023·浙江·一模）问题提出：如图1，在等边△ABC中，AB＝9，⊙C半径为3，P为圆上一动点，连结AP，BP，求AP+13BP的最小值(1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路，通过构造一对相似三角形，将13BP转化为某一条线段长，具体方法如下：(请把下面的过程填写完整)如图2，连结CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有13== CD CP CP CB又∵∠PCD＝∠△∽△∴13=PDBP∴PD＝13BP∴AP+13BP＝AP+PD∴当A，P，D三点共线时，AP+PD取到最小值请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+13BP的最小值为．(2)自主探索：如图3，矩形ABCD中，BC＝6，AB＝8，P为矩形内部一点，且PB＝4，则12AP+PC的最小值为．(请在图3中添加相应的辅助线)(3)拓展延伸：如图4，在扇形COD中，O为圆心，∠COD＝120°，OC＝4．OA＝2，OB＝3，点P是CD上一点，求2PA+PB例6．（2022·湖北·九年级专题练习）（1）如图1，已知正方形ABCD 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求12PD PC +4PC +的最小值，12PD PC -的最大值．（2）如图2，已知正方形ABCD 的边长为9，圆B 的半径为6，点P 是圆B 上的一个动点，求23PD PC +的最小值，23PD PC -的最大值，23+PC PD 的最小值．（3）如图3，已知菱形ABCD 的边长为4，=60B ∠︒，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求12PD PC +的最小值和12PD PC -的最大值．6+PC PD 的最小值例7．（2022·湖北武汉·模拟预测）【新知探究】新定义：平面内两定点A ,B ，所有满足PA PB=k (k 为定值)的P 点形成的图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆”，【问题解决】如图，在△ABC 中，CB =4，AB =2AC ，则△ABC 面积的最大值为_____．轴交于课后专项训练＝A．62B．43．（2022·湖北·九年级专题练习）如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上的一个动点，则PD﹣12PC的最大值为_____．内切于的取值范围为5．（2023·湖南·九年级专题练习）如图，边长为最小值为．6．（2023上·四川成都·九年级校考期中）如图，已知EC AE＝，G是射线CN上的动点，同时在:2:1为．若点H运动轨迹与射线7．（2023·广西·南宁市一模）如图，在平面直角坐标系中，A(2，0)、B(0，2)、C(4，0)、D(3，2)，P是AOB外部的第一象限内一动点，且∠BPA＝135°，则2PD+PC的最小值是_____．9．（2023秋·浙江温州·九年级校考期末）如图，在边长为分别是11．（2022·江苏·苏州九年级阶段练习）如图，正方形ABCD的边长为4，点E为边AD上一个动点，点F在边CD上，且线段EF＝4，点G为线段EF的中点，连接BG、CG，则BG+12CG的最小值为_____．12．（2023·四川成都·九年级专题练习）在ABC中，AB=9，BC=8，∠ABC=60°，⊙A的半径为6，P是A上一动点，连接PB，PC，则32PC PB+的最小值_____________PB的最小值_______=6014．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知：（1）初步思考：如图1，在PCB ∆中，已知2PB =，BC=4，N 为BC 上一点且1BN =，试说明：12PN PC =（2）问题提出：如图2，已知正方形ABCD 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求12PD PC+的最小值．（3）推广运用：如图3，已知菱形ABCD 的边长为4，∠B ﹦60°，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求12PD PC -的最大值．图1图2图3的三个顶点的距离分别为(1)如图2，在55⨯的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A ，B 、C 、D 、E 均在小正方形的格点上，则点D 是ABC 关于点______的勾股点；若点F 在格点上，且点E 是ABF △关于点F 的勾股点，请在方格纸中画出ABF △；(2)如图3，菱形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，点E 是平面内一点，且点O 是ABE 关于点E 的勾股点．D17．（2023·重庆大渡口·九年级统考阶段练习）如图线为x轴、y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，连接并与矩形的两边交于点E和点F已知平面上两点）的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称第1步：一般将含有k 的线段PB 两端点分别与圆心O 相连，即连接OB 、OP ；第2步：在OB 上取点C ，使得2OP OC OB =⋅，即OC OP OP OB=，构造母子型相似OCP △∽OPB △（图2）；第3步：连接AC ，与圆O 的交点即为点P （图3）．【问题解决】如图，O 与y 轴、x 轴的正半轴分别相交于点M 、点N ，O 半径为，点()0,2A ，点3,02B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，点的任意一点，为半径画圆，交。
九年级中考数学第三轮压轴题：圆的综合 专题复习(含答案)
2021年中考数学第三轮压轴题：圆的综合专题复习1、如图，CD是⊙O的切线，点C在直径AB的延长线上．（1）求证：∠CAD=∠BDC；（2）若BD=AD，AC=3，求CD的长．2、如图，C是⊙O上一点，点P在直径AB的延长线上，⊙O的半径为3，PB=2，PC=4．（1）求证：PC是⊙O的切线．（2）求tan∠CAB的值．3、如图所示，⊙O的半径为4，点A是⊙O上一点，直线l过点A；P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l于点B，交⊙O于点E，直径PD延长线交直线l于点F，点A是的中点．（1）求证：直线l是⊙O的切线；（2）若PA=6，求PB的长．4、已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB=AD，AE是⊙O的弦，∠AEC=30°．（1）求证：直线AD是⊙O的切线；（2）若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为4，求AE的长．5、如图，已知BC⊥AC，圆心O在AC上，点M与点C分别是AC与⊙O的交点，点D是MB与⊙O的交点，点P是AD延长线与BC的交点，且=．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）若AD=12，AM=MC，求的值．6、如图，PA与⊙O相切于点A，过点A作AB⊥OP，垂足为C，交⊙O于点B．连接PB，AO，并延长AO交⊙O于点D，与PB的延长线交于点E．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若OC=3，AC=4，求sinE的值．7、如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE ⊥BC于点E．（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）过点D作DF⊥AB于点F，若BE=3，DF=3，求图中阴影部分的面积．8、如图，在△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点F，过点C作CE∥AB，与过点A的切线相交于点E，连接AD．（1）求证：AD=AE；（2）若AB=6，AC=4，求AE的长．9、如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，过点D作FG⊥AC于点F，交AB的延长线于点G．（1）求证：FG是⊙O的切线；（2）若tanC=2，求的值．10、如图，以AB为直径的⊙O外接于△ABC，过A点的切线AP与BC的延长线交于点P，∠APB的平分线分别交AB，AC于点D，E，其中AE，BD（AE＜BD）的长是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个实数根．（1）求证：PA•BD=PB•AE；（2）在线段BC上是否存在一点M，使得四边形ADME是菱形？若存在，请给予证明，并求其面积；若不存在，说明理由．11、如图，P是⊙O外的一点，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，PO交AB于点F，延长BO交⊙O于点C，交PA的延长交于点Q，连结AC．（1）求证：AC∥PO；（2）设D为PB的中点，QD交AB于点E，若⊙O的半径为3，CQ=2，求的值．12、如图，点A在数轴上对应的数为26，以原点O为圆心，OA为半径作优弧，使点B在O右下方，且tan∠AOB=，在优弧上任取一点P，且能过P作直线l∥OB交数轴于点Q，设Q在数轴上对应的数为x，连接OP．（1）若优弧上一段的长为13π，求∠AOP的度数及x的值；（2）求x的最小值，并指出此时直线l与所在圆的位置关系；（3）若线段PQ的长为12.5，直接写出这时x的值．13、已知：⊙O是正方形ABCD的外接圆，点E在上，连接BE、DE，点F在上连接BF、DF，BF与DE、DA分别交于点G、点H，且DA平分∠EDF．（1）如图1，求证：∠CBE=∠DHG；（2）如图2，在线段AH上取一点N（点N不与点A、点H重合），连接BN交DE 于点L，过点H作HK∥BN交DE于点K，过点E作EP⊥BN，垂足为点P，当BP=HF 时，求证：BE=HK；（3）如图3，在（2）的条件下，当3HF=2DF时，延长EP交⊙O于点R，连接BR，若△BER的面积与△DHK的面积的差为，求线段BR的长．14、如图1，直线l：y=﹣x+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，点C是线段OA上一动点（0＜AC＜）．以点A为圆心，AC长为半径作⊙A交x轴于另一点D，交线段AB于点E，连结OE并延长交⊙A于点F．（1）求直线l的函数表达式和tan∠BAO的值；（2）如图2，连结CE，当CE=EF时，①求证：△OCE∽△OEA；②求点E的坐标；（3）当点C在线段OA上运动时，求OE•EF的最大值．参考答案2021年中考数学第三轮压轴题：圆的综合专题复习1、如图，CD是⊙O的切线，点C在直径AB的延长线上．（1）求证：∠CAD=∠BDC；（2）若BD=AD，AC=3，求CD的长．【解答】（1）证明：连接OD，如图所示．∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB．∵CD是⊙O的切线，OD是⊙O的半径，∴∠ODB+∠BDC=90°．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠OBD+∠CAD=90°，∴∠CAD=∠BDC．（2）解：∵∠C=∠C，∠CAD=∠CDB，∴△CDB∽△CAD，∴=．∵BD=AD，∴=，∴=，又∵AC=3，∴CD=2．2、如图，C是⊙O上一点，点P在直径AB的延长线上，⊙O的半径为3，PB=2，PC=4．（1）求证：PC是⊙O的切线．（2）求tan∠CAB的值．【解答】解：（1）如图，连接OC、BC∵⊙O的半径为3，PB=2∴OC=OB=3，OP=OB+PB=5∵PC=4∴OC2+PC2=OP2∴△OCP是直角三角形，∴OC⊥PC∴PC是⊙O的切线．（2）∵AB是直径∴∠ACB=90°∴∠ACO+∠OCB=90°∵OC⊥PC∴∠BCP+∠OCB=90°∴∠BCP=∠ACO∵OA=OC∴∠A=∠ACO∴∠A=∠BCP在△PBC和△PCA中：∠BCP=∠A，∠P=∠P∴△PBC∽△PCA，∴∴tan∠CAB=3、如图所示，⊙O的半径为4，点A是⊙O上一点，直线l过点A；P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l于点B，交⊙O于点E，直径PD延长线交直线l于点F，点A是的中点．（1）求证：直线l是⊙O的切线；（2）若PA=6，求PB的长．【解答】（1）证明：连接DE，OA．∵PD是直径，∴∠DEP=90°，∵PB⊥FB，∴∠DEP=∠FBP，∴DE∥BF，∵=，∴OA⊥DE，∴OA⊥BF，∴直线l是⊙O的切线．（2）解：作OH⊥PA于H．∵OA=OP，OH⊥PA，∴AH=PH=3，∵OA∥PB，∴∠OAH=∠APB，∵∠AHO=∠ABP=90°，∴△AOH∽△PAB，∴=，∴=，∴PB=．4、已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB=AD，AE是⊙O的弦，∠AEC=30°．（1）求证：直线AD是⊙O的切线；（2）若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为4，求AE的长．【解答】解：（1）如图，∵∠AEC=30°，∴∠ABC=30°，∵AB=AD，∴∠D=∠ABC=30°，根据三角形的内角和定理得，∠BAD=120°，连接OA，∴OA=OB，∴∠OAB=∠ABC=30°，∴∠OAD=∠BAD﹣∠OAB=90°，∴OA⊥AD，∵点A在⊙O上，∴直线AD是⊙O的切线；（2）连接OA，∵∠AEC=30°，∴∠AOC=60°，∵BC⊥AE于M，∴AE=2AM，∠OMA=90°，在Rt△AOM中，AM=OA•sin∠AOM=4×sin60°=2，∴AE=2AM=4．5、如图，已知BC⊥AC，圆心O在AC上，点M与点C分别是AC与⊙O的交点，点D是MB与⊙O的交点，点P是AD延长线与BC的交点，且=．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）若AD=12，AM=MC，求的值．【解答】（1）证明：连接OD、OP、CD．∵=，∠A=∠A，∴△ADM∽△APO，∴∠ADM=∠APO，∴MD∥PO，∴∠1=∠4，∠2=∠3，∵OD=OM，∴∠3=∠4，∴∠1=∠2，∵OP=OP，OD=OC，∴△ODP≌△OCP，∴∠ODP=∠OCP，∵BC⊥AC，∴∠OCP=90°，∴OD⊥AP，∴PD是⊙O的切线．（2）连接CD．由（1）可知：PC=PD，∵AM=MC，∴AM=2MO=2R，在Rt△AOD中，OD2+AD2=OA2，∴R2+122=9R2，∴R=3，∴OD=3，MC=6，∵==，∴DP=6，∵O是MC的中点，∴==，∴点P是BC的中点，∴BP=CP=DP=6，∵MC是⊙O的直径，∴∠BDC=∠CDM=90°，在Rt△BCM中，∵BC=2DP=12，MC=6，∴BM=6，∵△BCM∽△CDM，∴=，即=，∴MD=2，∴==．6、如图，PA与⊙O相切于点A，过点A作AB⊥OP，垂足为C，交⊙O于点B．连接PB，AO，并延长AO交⊙O于点D，与PB的延长线交于点E．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若OC=3，AC=4，求sinE的值．【解答】（1）证明：连接OB∵PO⊥AB，∴AC=BC，∴PA=PB在△PAO和△PBO中∴△PAO和≌△PBO∴∠OBP=∠OAP=90°∴PB是⊙O的切线．（2）连接BD，则BD∥PO，且BD=2OC=6 在Rt△ACO中，OC=3，AC=4∴AO=5在Rt△ACO与Rt△PAO中，∠APO=∠APO，∠PAO=∠ACO=90°∴△ACO∼△PAO=∴PO=，PA=∴PB=PA=在△EPO与△EBD中，BD∥PO∴△EPO∽△EBD∴=，解得EB=，PE=，∴sinE==7、如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE ⊥BC于点E．（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）过点D作DF⊥AB于点F，若BE=3，DF=3，求图中阴影部分的面积．【解答】解：（1）DE与⊙O相切，理由：连接DO，∵DO=BO，∴∠ODB=∠OBD，∵∠ABC的平分线交⊙O于点D，∴∠EBD=∠DBO，∴∠EBD=∠BDO，∴DO∥BE，∵DE⊥BC，∴∠DEB=∠EDO=90°，∴DE与⊙O相切；（2）∵∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BE，DF⊥AB，∴DE=DF=3，∵BE=3，∴BD==6，∵sin∠DBF==，∴∠DBA=30°，∴∠DOF=60°，∴sin60°===，∴DO=2，则FO=，故图中阴影部分的面积为：﹣××3=2π﹣．8、如图，在△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点F，过点C作CE∥AB，与过点A的切线相交于点E，连接AD．（1）求证：AD=AE；（2）若AB=6，AC=4，求AE的长．【解答】（1）证明：∵AE与⊙O相切，AB是⊙O的直径，∴∠BAE=90°，∠ADB=90°，∵CE∥AB，∴∠E=90°，∴∠E=∠ADB，∵在△ABC中，AB=BC，∴∠BAC=∠BCA，∵∠BAC+∠EAC=90°，∠ACE+∠EAC=90°，∴∠BAC=∠ACE，∴∠BCA=∠ACE，又∵AC=AC，∴△ADC≌△AEC（AAS），∴AD=AE；（2）解：设AE=AD=x，CE=CD=y，则BD=（6﹣y），∵△AEC和△ADB为直角三角形，∴AE2+CE2=AC2，AD2+BD2=AB2，AB=6，AC=4，AE=AD=x，CE=CD=y，BD=（6﹣y）代入，解得：x=，y=，即AE的长为．9、如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，过点D作FG⊥AC于点F，交AB的延长线于点G．（1）求证：FG是⊙O的切线；（2）若tanC=2，求的值．【解答】（1）证明：连接AD、OD．∵AB是直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，∵AC=AB，∴CD=BD，∵OA=OB，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，∴FG是⊙O的切线．（2）解：∵tanC==2，BD=CD，∴BD：AD=1：2，∵∠GDB+∠ODB=90°，∠ADO+∠ODB=90°，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠GDB=∠GAD，∵∠G=∠G，∴△GDB∽△GAD，设BG=a．∴===，∴DG=2a，AG=4a，∴BG：GA=1：4．10、如图，以AB为直径的⊙O外接于△ABC，过A点的切线AP与BC的延长线交于点P，∠APB的平分线分别交AB，AC于点D，E，其中AE，BD（AE＜BD）的长是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个实数根．（1）求证：PA•BD=PB•AE；（2）在线段BC上是否存在一点M，使得四边形ADME是菱形？若存在，请给予证明，并求其面积；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）∵DP平分∠APB，∴∠APE=∠BPD，∵AP与⊙O相切，∴∠BAP=∠BAC+∠EAP=90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠BAC+∠B=90°，∴∠EAP=∠B，∴△PAE∽△PBD，∴，∴PA•BD=PB•AE；（2）过点D作DF⊥PB于点F，作DG⊥AC于点G，∵DP平分∠APB，AD⊥AP，DF⊥PB，∴AD=DF，∵∠EAP=∠B，∴∠APC=∠BAC，易证：DF∥AC，∴∠BDF=∠BAC，由于AE，BD（AE＜BD）的长是x2﹣5x+6=0，解得：AE=2，BD=3，∴由（1）可知：，∴cos∠APC==，∴cos∠BDF=cos∠APC=，∴，∴DF=2，∴DF=AE，∴四边形ADFE是平行四边形，∵AD=AE，∴四边形ADFE是菱形，此时点F即为M点，∵cos∠BAC=cos∠APC=，∴sin∠BAC=，∴，∴DG=，∴在线段BC上是否存在一点M，使得四边形ADME是菱形其面积为：DG•AE=2×=11、如图，P是⊙O外的一点，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，PO交AB于点F，延长BO交⊙O于点C，交PA的延长交于点Q，连结AC．（1）求证：AC∥PO；（2）设D为PB的中点，QD交AB于点E，若⊙O的半径为3，CQ=2，求的值．（1）证明：∵PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，∴PA=PB，且PO平分∠BPA，∴PO⊥AB．∵BC是直径，∴∠CAB=90°，∴AC⊥AB，∴AC∥PO；（2）解：连结OA、DF，如图，∵PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，∴∠OAQ=∠PBQ=90°．在Rt△OAQ中，OA=OC=3，∴OQ=5．由QA2+OA2=OQ2，得QA=4．在Rt△PBQ中，PA=PB，QB=OQ+OB=8，由QB2+PB2=PQ2，得82+PB2=（PB+4）2，解得PB=6，∴PA=PB=6．∵OP⊥AB，∴BF=AF=AB．又∵D为PB的中点，∴DF∥AP，DF=PA=3，∴△DFE∽△QEA，∴ ==，设AE=4t，FE=3t，则AF=AE+FE=7t，∴BE=BF+FE=AF+FE=7t+3t=10t，∴ ==．12、如图，点A在数轴上对应的数为26，以原点O为圆心，OA为半径作优弧，使点B在O右下方，且tan∠AOB=，在优弧上任取一点P，且能过P作直线l∥OB交数轴于点Q，设Q在数轴上对应的数为x，连接OP．（1）若优弧上一段的长为13π，求∠AOP的度数及x的值；（2）求x的最小值，并指出此时直线l与所在圆的位置关系；（3）若线段PQ的长为12.5，直接写出这时x的值．【解答】解：（1）如图1中，由=13π，解得n=90°，∴∠POQ=90°，∵PQ∥OB，∴∠PQO=∠BOQ，∴tan∠PQO=tan∠QOB==，∴OQ=，∴x=．（2）如图当直线PQ与⊙O相切时时，x的值最小．在Rt△OPQ中，OQ=OP÷=32.5，此时x的值为﹣32.5．（3）分三种情况：①如图2中，作OH⊥PQ于H，设OH=4k，QH=3k．在Rt△OPH中，∵OP2=OH2+PH2，∴262=（4k）2+（12.5﹣3k）2，整理得：k2﹣3k﹣20.79=0，解得k=6.3或﹣3.3（舍弃），∴OQ=5k=31.5．此时x的值为31.5．②如图3中，作OH⊥PQ交PQ的延长线于H．设OH=4k，QH=3k．在Rt△在Rt△OPH中，∵OP2=OH2+PH2，∴262=（4k）2+（12.5+3k）2，整理得：k2+3k﹣20.79=0，解得k=﹣6.3（舍弃）或3.3，∴OQ=5k=16.5，此时x的值为﹣16.5．③如图4中，作OH⊥PQ于H，设OH=4k，AH=3k．在Rt△OPH中，∵OP2=OH2+PH2，∴262=（4k）2+（12.5﹣3k）2，整理得：k2﹣3k﹣20.79=0，解得k=6.3或﹣3.3（舍弃），∴OQ=5k=31.5不合题意舍弃．此时x的值为﹣31.5．综上所述，满足条件的x的值为﹣16.5或31.5或﹣31.5．13、已知：⊙O是正方形ABCD的外接圆，点E在上，连接BE、DE，点F在上连接BF、DF，BF与DE、DA分别交于点G、点H，且DA平分∠EDF．（1）如图1，求证：∠CBE=∠DHG；（2）如图2，在线段AH上取一点N（点N不与点A、点H重合），连接BN交DE 于点L，过点H作HK∥BN交DE于点K，过点E作EP⊥BN，垂足为点P，当BP=HF 时，求证：BE=HK；（3）如图3，在（2）的条件下，当3HF=2DF时，延长EP交⊙O于点R，连接BR，若△BER的面积与△DHK的面积的差为，求线段BR的长．【解答】（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠ABC=90°，∵∠F=∠A=90°，∴∠F=∠ABC，∵DA平分∠EDF，∴∠ADE=∠ADF，∵∠ABE=∠ADE，∴∠ABE=∠ADF，∵∠CBE=∠ABC+∠ABE，∠DHG=∠F+∠ADF，∴∠CBE=∠DHG；（2）如图2，过H作HM⊥KD，垂足为点M，∵∠F=90°，∴HF⊥FD，∵DA平分∠EDF，∴HM=FH，∵FH=BP，∴HN=BP，∵KH∥BN，∴∠DKH=∠DLN，∴∠ELP=∠DLN，∴∠DKH=∠ELP，∵∠BED=∠A=90°，∴∠BEP+∠LEP=90°，∵EP⊥BN，∴∠BPE=∠EPL=90°，∴∠LEP+∠ELP=90°，∴∠BEP=∠ELP=∠DKH，∵HM⊥KD，∴∠KMH=∠BPE=90°，∴△BEP≌△HKM，∴BE=HK；（3）解：如图3，连接BD，∵3HF=2DF，BP=FH，∴设HF=2a，DF=3a，∴BP=FH=2a，由（2）得：HM=BP，∠HMD=90°，∵∠F=∠A=90°，∴tan∠HDM=tan∠FDH，∴==，∴DM=3a，∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD，∴∠ABD=∠ADB=45°，∵∠ABF=∠ADF=∠ADE，∠DBF=45°﹣∠ABF，∠BDE=45°﹣∠ADE，∴∠DBF=∠BDE，∵∠BED=∠F，BD=BD，∴△BED≌△DFB，∴BE=FD=3a，过H作HS⊥BD，垂足为S，∵tan∠ABH=tan∠ADE==，∴设AB=3m，AH=2m，∴BD=AB=6m，DH=AD﹣AH=m，∵sin∠ADB==，∴HS=m，∴DS==m，∴BS=BD﹣DS=5m，∴tan∠BDE=tan∠DBF==，∵∠BDE=∠BRE，∴tanBRE==，∵BP=FH=2a，∴RP=10a，在ER上截取ET=DK，连接BT，由（2）得：∠BEP=∠HKD，∴△BET≌△HKD，∴∠BTE=∠KDH，∴tan∠BTE=tan∠KDH，∴=，即PT=3a，∴TR=RP﹣PT=7a，∵S△BER﹣S△DHK=，∴BP•ER﹣HM•DK=，∴BP•（ER﹣DK）=BP•（ER﹣ET）=，∴×2a×7a=，解得：a=（负值舍去），∴BP=1，PR=5，则BR==．14、如图1，直线l：y=﹣x+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，点C 是线段OA上一动点（0＜AC＜）．以点A为圆心，AC长为半径作⊙A交x轴于另一点D，交线段AB于点E，连结OE并延长交⊙A于点F．（1）求直线l的函数表达式和tan∠BAO的值；（2）如图2，连结CE，当CE=EF时，①求证：△OCE∽△OEA；②求点E的坐标；（3）当点C在线段OA上运动时，求OE•EF的最大值．【解答】解：∵直线l：y=﹣x+b与x轴交于点A（4，0），∴﹣×4+b=0，∴b=3，∴直线l的函数表达式y=﹣x+3，∴B（0，3），∴OA=4，OB=3，在Rt△AOB中，tan∠BAO==；（2）①如图2，连接DF，∵CE=EF，∴∠CDE=∠FDE，∴∠CDF=2∠CDE，∵∠OAE=2∠CDE，∴∠OAE=∠ODF，∵四边形CEFD是⊙O的圆内接四边形，∴∠OEC=∠ODF，∴∠OEC=∠OAE，∵∠COE=∠EOA，∴△COE∽△EOA，②过点E⊥OA于M，由①知，tan∠OAB=，设EM=3m，则AM=4m，∴OM=4﹣4m，AE=5m，∴E（4﹣4m，3m），AC=5m，∴OC=4﹣5m，由①知，△COE∽△EOA，∴，∴OE2=OA•OC=4（4﹣5m）=16﹣20m，∵E（4﹣4m，3m），∴（4﹣4m）2+9m2=25m2﹣32m+16，∴25m2﹣32m+16=16﹣20m，∴m=0（舍）或m=，∴4﹣4m=，3m=，∴（，），（3）如图，设⊙O的半径为r，过点O作OG⊥AB于G，∵A（4，0），B（0，3），∴OA=4，OB=3，∴AB=5，∴AB×OG=OA×OB，∴OG=，∴AG==×=，∴EG=AG﹣AE=﹣r，连接FH，∵EH是⊙O直径，∴EH=2r，∠EFH=90°=∠EGO，∵∠OEG=∠HEF，∴△OEG∽△HEF，∴，∴OE•EF=HE•EG=2r（﹣r）=﹣2（r﹣）2+，∴r=时，OE•EF最大值为．。