湖南省长沙市雅礼中学2020-2021学年高一下学期入学考试数学试题(学生版)
湖南省长沙市2023-2024学年高一下学期入学考试数学试卷含答案
湖南2023-2024学年度高一第二学期入学考试数学（答案在最后）命题：（考试范围：必修1）时量：120分钟满分：150分得分：______.一､选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的.）1.已知全集()U {010},{1,3,5,7}U M N x x M N =⋃=∈≤≤⋂=N ∣ð，则集合N =（）A.{}010x x ≤≤∣ B.{}010x x ∈≤≤N∣C.{}0,2,4,6,8,9,10 D.{}0,2,4,6,8,10【答案】C 【解析】【分析】根据题意，结合集合的运算，即可得到结果.【详解】{}{010}0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10U M N x x =⋃=∈≤≤=N∣，且()U {1,3,5,7}M N ⋂=ð，则集合N 中不包含元素1,3,5,7，即{}0,2,4,6,8,9,10N =.故选：C2.已知R 上的函数()f x ，则“()00f =”是“函数()f x 为奇函数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据题意，结合函数的奇偶性分别验证充分性以及必要性，即可得到结果.【详解】取()()1f x x x =-，x ∈R ，则()00f =，但()()10,12f f =-=，即()()11f f -≠-，所以函数()f x 不是奇函数，故充分性不满足；若函数()f x 为奇函数，则()()00f f =--，即()00f =，故必要性满足；所以“()00f =”是“函数()f x 为奇函数”的必要不充分条件.故选：B3.为了得到函数cos5xy =的图象，只需把余弦曲线cos y x =上所有的点（）A.横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变B.横坐标缩短到原来的15，纵坐标不变C.纵坐标伸长到原来的5倍，横坐标不变 D.纵坐标缩短到原来的15，横坐标不变【答案】A 【解析】【分析】根据函数()cos y A x ωϕ=+的图象变换规律，横坐标伸缩变换，可得结论．【详解】将函数cos y x =图象上各点的横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变，得到函数1cos 5y x =的图象．故选：A ．4.函数()()1ln f x x x =-的图象可能是（）A.B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】通过函数的定义域排除D 选项；通过函数的零点、在1x <-，10x -<<，01x <<，1x >四段范围内函数值的正负可排除AB 选项，确定C 选项.【详解】函数()()1ln f x x x =-的定义域为{}0x x ≠，故排除D 选项；令()()1ln 0f x x x =-=，即1x =或=1x -，所以函数有两个零点1，1-，当1x <-时，1x ->，则10x -<，()ln ln 0x x =->，则()()1ln 0f x x x =-<，故排除AB 选项；当10x -<<时，1x -<，则10x -<，()ln ln 0x x =-<，则()()1ln 0=->f x x x ；当01x <<时，10x -<，ln ln 0x x =<，则()()1ln 0=->f x x x ；当1x >时，10x ->，ln ln 0x x =>，则()()1ln 0=->f x x x .所以函数()()1ln f x x x =-的图象可能是C 选项.故选：C.5.已知实数a ，b ，满足33(1)(1)2a b a b -+-≥--恒成立，则a b +的最小值为（）A.2B.0C.1D.4【答案】A 【解析】【分析】化简可得33(1)(1)(1)1a a b b -+-≥-+-，再根据函数3y x x =+单调递增判断即可.【详解】33(1)(1)2a b a b -+-≥--，所以33(1)(1)(1)1a a b b -+-≥-+-，因为函数3y x x =+单调递增，所以11a b -≥-，即2a b +≥.故选：A ．6.已知4cos 25πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且2πα<，则sin21cos2αα=+（）A.43 B.34C.34-D.43-【答案】D 【解析】【分析】由已知利用诱导公式可求sin α的值，根据同角三角函数基本关系式可求cos α的值，进而根据二倍角公式化简所求即可得解.【详解】解：∵4cos sin 25παα⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭且2πα<，所以4sin 5α=-，3cos 5α==所以2sin22sin cos sin 41cos22cos cos 3ααααααα===-+故选：D .7.已知函数())lg f x x =，正实数a ，b 满足()()220f a f b -+=，则2aba b +的最大值为（）A.49B.29C.15D.14【答案】B 【解析】【分析】先判定函数的奇偶性及单调性，可由条件得出22a b +=，再结合基本不等式计算即可.【详解】易知函数()f x 定义域为R，且)()lg ()lgf x x x⎤-=+-=-⎦)()lgx f x ==-=-，所以)()lgf x x =+为R 上的奇函数，有()()0f x f x -+=，由复合函数的单调性可知()f x 单调递增，由()()220f a f b -+=，得220a b -+=，即22a b +=，因为,a b 为正实数，则有1122ab a b b a=++，而()12222559a b a b b a b a ⎛⎫++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当a b =即23a b ==时等号成立，所以1292b a +≥，则2ab a b +的最大值为29.故选：B.8.已知495ln ,log 3log 17,72425bb c a a b -==++=，则以下关于,,a b c 的大小关系正确的是（）A.b c a >>B.a c b>> C.b a c>> D.a b c>>【答案】D 【解析】【分析】根据零点存在性定理可求解23b <<，进而根据指数对数的运算性质结合基本不等式求解c b <的范围，即可比较大小．【详解】由ln 50a a +-=，令()ln 5f a a a =+-，则()f a 在定义域内单调性递增，且()()33ln35ln320,44ln 45ln 410f f =+-=-<=+-=->，由零点存在性定理可得34a <<，49lg3lg17log 3log 1722lg22lg3b =+=+≥==>=，又494917log 3log lo 4813g log b =+<=+，因此23b <<，2272425724625b b c >+=+=，可得2>c ，72425bbc+=，72425252525b b cb b b +=，22724724()()()()125252525b b +<+=，∴25125cb <，2525c b <，c b ∴<，c b a ∴<<．故选：D【点睛】方法点睛：比较大小问题，常常根据：（1）结合函数性质进行比较；（2）利用特殊值进行估计，再进行间接比较；（3）根据结构特征构造函数，利用导数分析单调性，进而判断大小.二､多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.设a ，b ，c ，d 为实数，且0a b c d >>>>，则（）A.2c cd <B.a c b d -<-C.ac bd >D.c d a b>【答案】AD 【解析】【分析】利用不等式的性质判断A ，利用特殊值判断BC ，利用作差法，结合不等式的性质判断D .【详解】由0c d >>可得，2c cd <，A 正确；3,1,2,3a b c d ===-=-时，a c b d ->-，B 不正确；3,1,2,3a b c d ===-=-时，ac bd <，C 不正确；因为0a b c d >>>>，所以0,,0ab bc ac c d >>->，所以0,c d bc ad ac ad c d a b ab ab b----=>=>所以c da b>，D 正确；故选：AD.10.已知函数()23xf x a kx =---，给出下列四个结论，其中正确的有（）A.若1a =，则函数()f x 至少有一个零点B.存在实数,a k ，使得函数()f x 无零点C.若0a >，则不存在实数k ，使得函数()f x 有三个零点D.对任意实数a ，总存在实数k 使得函数()f x 有两个零点【答案】ABD 【解析】【分析】同一坐标系中，作出函数2,3xy a y kx =-=+的图象，结合图象，利用数形结合法求解.【详解】A 中，当1a =时，函数()213x f x kx =---，令()0f x =，可得213xkx -=+，在同一坐标系中作出21,3xy y kx =-=+的图象，如图所示，由图象及直线3y kx =+过定点(0,3)，可得函数()f x 至少一个零点，故A 正确；B 中，当4a =-，0k =时，作出函数24,3xy y =+=的图象，由图象知，函数()f x 没有零点，所以B 正确；C 中，当16,2==-a k 时，在同一坐标系中，作出函数126,32xy y x =-=-+的图象，如图所示，由图象可得，此时函数()f x 有3个零点，所以C 错误；D 中，分别作出当0,0,0a a a =><时，函数2,3xy a y kx =-=+的图象，由图象知，对于任意实数a ，总存在实数k 使得函数()f x 有两个零点，所以D 正确.故选：ABD.11.海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．已知某港口水深()f t （单位：m ）与时间t （单位：h ）从0~24时的关系可近似地用函数π()sin()0,0,2f t A t b A ωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭来表示，函数()f t 的图象如图所示，则（）A.π()3sin5(024)6f t t t =+≤≤B.函数()f t 的图象关于点(12,0)对称C.当5t =时，水深度达到6.5mD.已知函数()g t 的定义域为[0,6]，(2)(2)g t f t n =-有2个零点12,t t ，则12πtan 3t t =+【答案】ACD 【解析】【分析】根据图象的最值求出,A b ，再根据图象得到其周期则得到ω，代入最高点求出ϕ，则得到三角函数解析式，则判断A ，再结合其对称性即可判断B ，代入计算即可判断C ，利用整体法和其对称性即可判断D.【详解】对A ，由图知()max 8f t =，()min 2f t =，()()max min32f t f t A -∴==，()()max min52f t f t b +==，()f t 的最小正周期12T =，2ππ6T ω∴==，()π33sin 582f ϕ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭ ，()ππ2π22k k ϕ∴+=+∈Z ，解得：()2πk k ϕ=∈Z ，又π2ϕ<，0ϕ∴=，π()3sin 5(024)6f t t t ∴=+≤≤，故A 正确；对B ，令ππ6t k =，()k ∈Z ，解得6t k =，()k ∈Z ，当2k =时，12t =，则(12)3sin 2π55f =+=，则函数()f t 的图象关于点(12,5)对称，故B 错误；对C ，()π3sin55 6.565f ⨯+==，故C 正确；对D ，[]20,6t ∈，则[]0,3t ∈，令(2)(2)0g t f t n =-=，则(2)f t n =，令2t m =，则根据图象知两零点12,m m 关于直线3t =，则126m m +=，即12226t t +=，则123t t +=，则12ππtantan 3t t ==+，故D 正确.故选：ACD.【点睛】关键点睛：本题的关键是利用三角函数模型结合图象求出其解析式.三､填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12.已知半径为120mm 的圆上，有一条弧的长是144mm ，则该弧所对的圆心角（正角）的弧度数为______.【答案】65【解析】【分析】根据弧长公式即可得解.【详解】设圆心角的弧度数为α，则120144α=，解得65α=.故答案为：65.13.若π10,,tan 22⎛⎫∈= ⎪⎝⎭θθ，则sin cos θθ-=________．【答案】5-【解析】【分析】根据同角三角关系求sin θ，进而可得结果.【详解】因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 0,cos 0θθ>>，又因为sin 1tan cos 2θθθ==，则cos 2sin θθ=，且22222cos sin 4sin sin 5sin 1+=+==θθθθθ，解得5sin 5θ=或5sin 5θ=-（舍去），所以sin cos sin 2sin sin 5-=-=-=-θθθθθ.故答案为：5-.14.如图，正方形ABCD 的边长为1,,P Q 分别为边,AB DA 上的点.当APQ △的周长为2时，则PCQ ∠的大小为______.【答案】π4【解析】【分析】设出角,PCB QCD αβ∠=∠=，然后求得,AP AQ ，再根据APQ △的周长求得αβ+，即可得解.【详解】设,PCB QCD αβ∠=∠=，则tan ,tan PB DQ αβ==，则1tan ,1tan AP AQ αβ=-=-，PQ =，21tan 1tan αβ∴=-+-即tan tan αβ+=，将上式两边平方，整理得tan 1ta an an t n t αβαβ+=-⋅，即tan()1αβ+=，因为π0,2αβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以π4αβ+=，所以π4PCQ ∠=.故答案为：π4.【点睛】关键点点睛：解决该试题的关键是能根据边表示出,PCB QCD αβ∠=∠=，的正切值，借助于两角差的正切公式得到结论．四､解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）15.已知集合2{|1327},{|log 1}xA xB x x =≤≤=>.（1）求()R B A ⋃ð；（2）已知集合{|11}C x a x a =-<<+，若C A ⊆，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}3x x ≤；（2）1a ≤.【解析】【分析】（1）由指数函数、对数函数的性质确定集合,A B ，然后由集合的运算法则计算．（2）由集合的包含关系得不等关系，求得参数范围．【详解】解：（1）{}03A x x =≤≤，{}2B x x =>，{}2R B x x =≤ð，(){}3RB A x x ⋃=≤ð.（2）当C =∅时，11a a -≥+，即0a ≤成立；当C ≠∅时，11100113a aa a a -<+⎧⎪-≥⇔<≤⎨⎪+≤⎩成立.综上所述，1a ≤．【点睛】易错点睛：本题考查集合的运算，考查由集合的包含关系示参数范围．在A B ⊆中，要注意A =∅的情形，空集是任何集合的子集．这是易错点．16.已知函数()πsin cos 44f x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的最小正周期；（2）若5π122414f θ⎛⎫-=-⎪⎝⎭，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求cos θ的值.【答案】（1）π（2）1314【解析】【分析】（1）利用恒等变换得到()1πsin 224f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再利用正弦函数的性质求解；（2）由5π1π1sin 2242614f θθ⎛⎫⎛⎫-=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得到π1sin 67θ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，再由ππcos cos 66θθ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎝⎭⎣⎦，利用两角和的余弦公式求解.【小问1详解】解：()π2222sin cos sin cos sin 44224f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2222221πsin cos sin2cos2sin 22244424x x x x x x ⎛⎫=-+=+=+ ⎪⎝⎭，所以最小正周期2π2T π==；【小问2详解】由5π1π1sin 2242614f θθ⎛⎫⎛⎫-=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得π1sin 67θ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，πππ,663θ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以πcos 67θ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，所以ππππππcos cos cos cos sin sin 666666θθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=--- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，1113727214⎛⎫=--⨯=⎪⎝⎭.17.如图，一个半径为4米的筒车按逆时针方向每π分钟转1圈，筒车的轴心O 距水面的高度为2米.设筒车上的某个盛水筒W 到水面的距离为d (单位：米)(在水面下则d 为负数).若以盛水筒W 刚浮出水面时开始计算时间，则d 与时间t (单位：分钟)之间的关系为sin()0,0,22d A t K A ππωϕωϕ⎛⎫=++>>-<< ⎪⎝⎭.（1）求,,,A K ωϕ的值；（2）求盛水筒W 出水后至少经过多少时间就可到达最高点？（3）某时刻0t (单位：分钟)时，盛水筒W 在过O 点的竖直直线的左侧，到水面的距离为5米，再经过6π分钟后，盛水筒W 是否在水中？【答案】（1）4,2,,26A K πωϕ===-=；（2）3π分钟；（3）再经过6π分钟后盛水筒不在水中.【解析】【分析】（1）先结合题设条件得到T π=，4,2A K ==，求得2ω=，再利用初始值计算初相ϕ即可；（2）根据盛水筒达到最高点时6d =，代入计算t 值，再根据0t >，得到最少时间即可；（3）先计算0t 时03sin 264t π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，根据题意，利用同角三角函数的平方关系求0cos 26t π⎛⎫- ⎪⎝⎭，再由6π分钟后00sin()=sin 2sin 26663t t t ππππωϕ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-=-+ ⎪ ⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，进而计算d 值并判断正负，即得结果.【详解】解：（1）由题意知，T π=，即2ππω=，所以2ω=，由题意半径为4米，筒车的轴心O 距水面的高度为2米，可得：4,2A K ==，当0=t 时，0d =，代入4sin(2)2d t ϕ=++得，1sin 2ϕ=-，因为22ππϕ-<<，所以6πϕ=-；（2）由（1）知：4sin 226d t π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，盛水筒达到最高点时，6d =，当6d =时，64sin 226t π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以sin 216t π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以22,Z 62t k k πππ-=+∈，解得,Z 3t k k ππ=+∈，因为0t >，所以，当0k =时，min 3t π=，所以盛水筒出水后至少经过3π分钟就可达到最高点；（3）由题知：04sin 2256t π⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即03sin 264t π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，由题意，盛水筒W 在过O 点的竖直直线的左侧，知0cos 206t π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，所以0cos 264t π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以00313sin 2sin 2666342428t t ππππ⎛⎫-⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-=-+=⨯+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎝⎭，所以，再经过6π分钟后32172142082d --=⨯+=>，所以再经过6π分钟后盛水筒不在水中.【点睛】本题的解题关键在于准确求解出三角函数模型的解析式，才能利用三角函数性质解决实际问题，突破难点.18.若函数()y f x =对定义域内的每一个值1x ，在其定义域内都存在唯一的2x ，使()()121f x f x =成立，则称该函数为“依赖函数”.（1）判断函数()sin g x x =是否为“依赖函数”，并说明理由；（2）已知函数()24()3h x x a a ⎛⎫=-≥⎪⎝⎭在定义域4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为“依赖函数”，若存在实数4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得对任意的t ∈R ，不等式()()24h x t s t x ≥-+-+都成立，求实数s 的最大值.【答案】18.不是“依赖函数”，理由见解析；19.4112.【解析】【分析】（1）由“依赖函数”的定义举例子判断即可；（2）分类讨论解决函数不等式()()24h x t s t x ≥-+-+恒成立的问题，分离参数265324339s x x⎛⎫+≤+ ⎪⎝⎭，转化为求函数53239y x x =+在4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最小值问题即可.【小问1详解】对于函数()sin g x x =的定义域R 内存在1π6x =，而()22g x =无解，故()sin g x x =不是“依赖函数”.【小问2详解】①若443a ≤≤，故()2()h x x a =-’在4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上最小值为0，此时不存在2x ，舍去；②若4a >，故()2()h x x a =-’在4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，从而()4413h h ⎛⎫=⎪⎝⎭，解得1a =（舍）或133a =.从而存在4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦使得对任意的t ∈R ，有不等式()221343x t s t x ⎛⎫-≥-+-+ ⎪⎝⎭都成立，即2226133039t xt x s x ⎛⎫++-++≥ ⎪⎝⎭对R t ∈恒成立，则2226133Δ4039x x s x ⎡⎤⎛⎫=--++≤ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，得2265324339s x x ⎛⎫+≤+ ⎪⎝⎭，由存在4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使265324339s x x ⎛⎫+≤+⎪⎝⎭能成立，又53239y x x =+在4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递减，故当43x =时，max 532145393x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，从而26145433s ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，解得4112s ≤，综上，故实数s 的最大值为4112.19.已知e 是自然对数的底数，()e e1xx f x =+．（1）判断函数()f x 在[)0+∞，上的单调性并证明你的判断是正确的；（2）记()(){}ln 3()e1ln 32xg x a f x a x -⎡⎤=--+--⎣⎦，若()0g x ≤对任意的[)0,x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）函数()f x 在[)0+∞，上单调递增，证明见解析（2）[1,3]【解析】【分析】（1）根据函数单调性的定义，任取12,[0,)x x ∈+∞，且12x x <，可证()()()1212121e e 10e ex x x x f x f x ⎛⎫-=--< ⎪⎝⎭，即()()12f x f x <，则可判断函数单调性；（2）将()0g x ≤对任意的[)0,x ∈+∞恒成立，转化为ln (3)e 1ln 32xa a x ⎡⎤-+≤+⎣⎦恒成立，即可求出a 的取值范围.【小问1详解】解：函数()f x 在[)0+∞，上单调递增，证明如下：任取12,[0,)x x ∈+∞，且12x x <，则()()12121211e e e e xx x x f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()12121212111e e e e 1e e e e x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为12,[0,)x x ∈+∞，且12x x <，所以21e e 1x x >≥，所以12e e 0x x -<，12e e 1x x >，12110e e x x ->，故()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以()f x 在[0,)+∞上单调递增.【小问2详解】()ln (3)e 1ln 32xg x a a x ⎡⎤=-+--⎣⎦，问题即为ln (3)e 1ln 32xa a x ⎡⎤-+≤+⎣⎦恒成立，显然0a >，首先(3)e 10x a -+>对任意[0,)x ∈+∞成立，即13,e 0,xa a ⎧<+⎪⎨⎪>⎩因为[0,)x ∈+∞，则1334ex <+≤，所以03a <≤.其次，ln (3)e 1ln 32xa a x ⎡⎤-+≤+⎣⎦，即为2(3)e 13e x xa a -+≤,即23e (3)e 10x x a a +--≥成立，亦即()()3e 1e 10xxa +-≥成立,因为3e 10x +>，所以e 10x a -≥对于任意[0,)x ∈+∞成立，即max1e x a ⎛⎫≥⎪⎝⎭，所以1a ≥.。
2024届湖南省长沙市雅礼教育集团数学高一下期末经典试题含解析
2024届湖南省长沙市雅礼教育集团数学高一下期末经典试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．方程tan 2x =的解集为（ ） A ．{}|2πarctan 2,x x k k =+∈Z B ．{}|2πarctan 2,x x k k =±∈Z C ．{}|πarctan 2,x x k k =+∈Z D ．(){}|π1arctan 2,kx x k k =+-∈Z2．若(3,1),(1,),2a b t a b a =-=+⊥（），则t =（） A ．32B ．23C ．14D ．133．设P 是ABC ∆所在平面内的一点，2BC BA BP +=，则（ ）A ．0PA PB += B ．0PC PA +=C ．0PB PC +=D ．0PA PB PC ++= 4．已知集合A ＝｛x ｜0≤x≤3｝，B ＝｛x R ｜－2＜x ＜2｝则A ∩B =( ) A ．{0,1}B ．{1}C ．[0,1]D ．[0,2)5．在ABC ∆中，三个内角成等差数列是60B ∠=︒的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件6．已知直线a 2x ＋y ＋2＝0与直线bx －(a 2＋1)y －1＝0互相垂直，则|ab|的最小值为 A ．5B ．4C ．2D ．17．从甲、乙、丙三人中，任选两名代表，甲被选中的概率为（ ） A ．12B ．13C ．14D ．238．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若::4:3:2a b c =，则2sin sin sin 2A BC-=（ ）A ．37B ．57C ．97D ．1079．半径为1cm ，中心角为150的弧长为（ ） A ．23cm B ．23cm π C ．56cmD ．56cm π 10．如图，测量河对岸的塔高AB 时，选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D .现测得15BCD ∠=︒，45BDC ∠=︒，302CD m =，并在点C 测得塔顶A 的仰角为30，则塔高AB 为( )A ．302mB ．203mC ．60mD ．20m二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2020-2021学年湖南省长沙雅礼中学高一下期中考试数学试卷及答案解析
2020-2021学年湖南省长沙雅礼中学高一下期中考试数学试卷一．单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．已知复数z =2i 31+i ，则z ＝（ ）A ．﹣1﹣iB ．1﹣iC ．1+3i 2D ．1+3i2．在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝3，cosC =13，则边c 长为（ ） A ．3B ．2C ．√11D ．√173．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另外一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直； ③若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ④垂直于同一直线的两条直线相互平行． 其中，为真命题的是（ ） A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．②和④4．三棱锥S ﹣ABC 的各顶点均在球O 的球面上，SC 为该球的直径，AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝120°，且三棱锥S ﹣ABC 的体积为2，则球O 的半径为（ ） A ．√7B ．√5C ．52D ．35．在△ABC 中，|CA |＝1，|CB |＝2，∠ACB =23π，点M 满足CM →=CB →+2CA →，则MA →•MB →=（ ） A ．0B ．2C ．2√3D ．46．已知：向量a →=（1，2），b →=（﹣2，m ），若a →∥b →，则实数m 的值为（ ） A ．4B ．﹣4C ．1D ．﹣17．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝4，b ＝5，A ＝45°，则满足条件的三角形有（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．无法确定8．如图，向量OA →，OB →，OC →的终点在同一直线上，且AC →=−3CB →，设OA →=p →，OB →=q →，OC →=r →，则下列等式中成立的是（ ）A．r→=−12p→+32q→B．r→=−p→+2q→C．r→=32p→−12q→D．r→=−q→+2p→二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分）9．已知向量e1→=（﹣1，2），e2→=（2，1），若向量a→=λ1e1→+λ2e2→，则可使λ1λ2＜0成立的a→可能是（）A．（1，0）B．（0，1）C．（﹣1，0）D．（0，﹣1）10．对任意z1，z2，z∈C，下列结论成立的是（）A．当m，n∈N*时，有z m z n＝z m+nB．当z1，z2∈C时，若z12+z22＝0，则z1＝0且z2＝0C．互为共轭复数的两个复数的模相等，且|z|2＝|z|2＝z•zD．z1＝z2的充要条件是|z1|＝|z2|11．在四面体ABCD中，∠DAB＝∠DAC＝60°，AB＝AC＝AD＝4，AB⊥AC，E是棱BC 上一动点，则下列说法正确的是（）A．△AED的面积最小值为4B．平面BCD⊥平面ABCC．四面体ABCD的体积为16√2 3D．若F为棱AC的中点，当且仅当E点为棱BC的中点时，EF∥平面ABD12．已知α，β是两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（）A．若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥βB．若m⊥α，n∥α，则m⊥nC．若α∥β，m⊂α，则m∥βD．若m∥n，α∥β，则m与α所成的角和n与β所成的角相等三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．设i是虚数单位，复数z满足（1+2i）z＝4+3i，则z＝．14．复数z满足|z+i|＝1，且z+z=2，则z＝．15．已知向量a →=（m ，3），b →=（1，﹣2），且（a →+b →）⊥b →，则m ＝ ． 16．在△ABC 中，若AB ＝2，∠B =5π12，∠C =π4，则BC ＝ ． 四．解答题（共6小题，第17题10分，第18-22题各12分，共70分） 17．已知复数z ＝（m 2﹣3m +2）+（m 2﹣4m +3）i ，m ∈R ． （1）若z 对应复平面上的点在第四象限，求m 的范围； （2）若z 是纯虚数，求m 的值．18．已知向量a →=（5，﹣12），b →=（﹣3，4）． （1）求a →与b →夹角θ的余弦值；（2）若向量a →+t b →与a →−b →垂直，求实数t 的值．19．如图1，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，过A ，B 分别作AE ⊥CD ，BF ⊥CD ，垂足分别为E 、F ．若AB ＝AE ＝2，CD ＝5，DE ＝1，将梯形ABCD 沿AE ，BF 折起，且平面ADE ⊥平面ABFE （如图2）． （Ⅰ）证明：AF ⊥BD ；（Ⅱ）若CF ∥DE ，在线段AB 上是否存在一点P ，使得直线CP 与平面ACD 所成角的正弦值为√618，若存在，求出AP 的值，若不存在，说明理由．20．已知平面向量a →=（1，x ），b →=（2x +3，﹣x ），x ∈R ． （1）若x ＝2，求b →在a →上的投影向量c 的坐标； （2）若a →⊥b →，求x 的值．21．已知等腰△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝c，D是AC的中点．（Ⅰ）若cos∠BDC=√24，sin∠ABD=√148，CD＝1，求△ABC的面积S；（Ⅱ）若△ABC的面积S等于2，求BD的最小值．22．如图①，是由正三角形ABE和正方形BCDE组成的平面图形，其中AB＝2；将其沿BE 折起，使得AC＝2√2，如图②所示．（1）证明：图②中平面ABE⊥平面BCDE；（2）在线段AB上有一点P，且AP=13AB，求三棱锥P﹣ACE的体积．2020-2021学年湖南省长沙雅礼中学高一下期中考试数学试卷参考答案与试题解析一．单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．已知复数z =2i 31+i ，则z ＝（ ）A ．﹣1﹣iB ．1﹣iC ．1+3i 2D ．1+3i【解答】解：∵复数z =2i 31+i =−2i1+i=−1﹣i ，故选：A ．2．在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝3，cosC =13，则边c 长为（ ） A ．3B ．2C ．√11D ．√17【解答】解：在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝3，cosC =13， 则c =√a 2+b 2−2abcosC =√4+9−2×2×3×13=3． 故选：A ．3．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另外一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直； ③若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ④垂直于同一直线的两条直线相互平行． 其中，为真命题的是（ ） A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．②和④【解答】解：当两个平面相交时，一个平面内的两条直线可以平行于另一个平面，故①不对；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故②正确；由平面与平面垂直的判定定理可知③正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平行，相交也可以异面，故④不对． 故选：B ．4．三棱锥S ﹣ABC 的各顶点均在球O 的球面上，SC 为该球的直径，AC ＝BC ＝2，∠ACB＝120°，且三棱锥S ﹣ABC 的体积为2，则球O 的半径为（ ） A ．√7B ．√5C ．52D ．3【解答】解：因为AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝120°， 所以S △ABC =12×2×2×√32=√3，设△ABC 的外接圆的圆心E ，连接OE ，则OE ⊥平面ABC ，作圆的直径CD ，连接SD ， 因为O ，E 分别为SC ，CD 的中点， 所以SD ∥OE ，SD ⊥平面ABC ，所以三棱锥S ﹣ABC 的体积13×√3×SD =2，所以SD ＝2√3，因为AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝120°， 所以∠ABC ＝30°， 由正弦定理可得，CD =AC sin∠ABC =2sin30°=4，所以SC =√CD 2+SD 2=√42+(2√3)2=2√7， 则外接球直径2R ＝SC ＝2√7即R =√7． 故选：A ．5．在△ABC 中，|CA |＝1，|CB |＝2，∠ACB =23π，点M 满足CM →=CB →+2CA →，则MA →•MB →=（ ） A ．0B ．2C ．2√3D ．4【解答】解：建立平面直角坐标系如图所示，由题意知，C （0，0），B （2，0），A （−12，√32）；∴CB →=（2，0），CA →=（−12，√32）， ∴CM →=CB →+2CA →=（1，√3）， ∴MA →=CA →−CM →=（−32，−√32），MB →=CB →−CM →=（1，−√3）， 则MA →•MB →=−32+32=0． 故选：A ．6．已知：向量a →=（1，2），b →=（﹣2，m ），若a →∥b →，则实数m 的值为（ ） A ．4B ．﹣4C ．1D ．﹣1【解答】解：∵a →∥b →，∴m ﹣2×（﹣2）＝0，解得m ＝﹣4． 故选：B ．7．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝4，b ＝5，A ＝45°，则满足条件的三角形有（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．无法确定【解答】解：由于a ＝4，b ＝5，A ＝45°， 由于b ＞a ＞b sin A ， 所以三角形有两解． 故选：C ．8．如图，向量OA →，OB →，OC →的终点在同一直线上，且AC →=−3CB →，设OA →=p →，OB →=q →，OC →=r →，则下列等式中成立的是（ ）A ．r →=−12p →+32q →B ．r →=−p →+2q →C ．r →=32p →−12q →D ．r →=−q →+2p →【解答】解：有题意可知r →=q →+BC →=q →−13AC →=q →−13(r →−p →)，∴r →=−12p →+32q →， 故选：A ．二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分）9．已知向量e 1→=（﹣1，2），e 2→=（2，1），若向量a →=λ1e 1→+λ2e 2→，则可使λ1λ2＜0成立的a →可能是（ ） A ．（1，0）B ．（0，1）C ．（﹣1，0）D ．（0，﹣1）【解答】解：e 1→=（﹣1，2），e 2→=（2，1）， ∴向量a →=λ1e 1→+λ2e 2→=（﹣λ1，2λ1）+（2λ2，λ2）， ＝（2λ2﹣λ1，2λ1+λ2）， 若使λ1λ2＜0成立，a →=（1，0），则2λ1+λ2＝0，满足题意，a →=（0，1），则2λ2﹣λ1＝0，不满足题意，a →=（﹣1，0），则2λ1+λ2＝0，满足题意，a →=（0，﹣1），则2λ2﹣λ1＝0，不满足题意， 故选：AC ．10．对任意z 1，z 2，z ∈C ，下列结论成立的是（ ） A ．当m ，n ∈N *时，有z m z n ＝z m +nB ．当z 1，z 2∈C 时，若z 12+z 22＝0，则z 1＝0且z 2＝0C ．互为共轭复数的两个复数的模相等，且|z |2＝|z |2＝z •zD ．z 1＝z 2的充要条件是|z 1|＝|z 2|【解答】解：根据复数的运算法则，当m ，n ∈N *时，有z m z n ＝z m +n ，故选项A 正确； 设z 1＝i ，z 2＝1，则有z 12+z 22＝﹣1+1＝0，但此时z 1≠0且z 2≠0，故选项B 错误； 设z ＝a +bi ，z =a ﹣bi ，所以|z|2=a 2+b 2，|z|=a 2+b 2，z ⋅z =(a +bi)(a −bi)=a 2+b 2，所以|z |2＝|z |2＝z •z ，故选项C 正确；由z 1＝z 2能推出|z 1|＝|z 2|，但是|z 1|＝|z 2|不能推出z 1＝z 2，所以z 1＝z 2的必要不充分条件是|z 1|＝|z 2|，故选项D 错误． 故选：AC ．11．在四面体ABCD 中，∠DAB ＝∠DAC ＝60°，AB ＝AC ＝AD ＝4，AB ⊥AC ，E 是棱BC 上一动点，则下列说法正确的是（ ） A ．△AED 的面积最小值为4 B ．平面BCD ⊥平面ABCC ．四面体ABCD 的体积为16√23D ．若F 为棱AC 的中点，当且仅当E 点为棱BC 的中点时，EF ∥平面ABD【解答】解：如图所示，当E 是棱BC 的中点时，△AED 的面积最小，由∠DAB ＝∠DAC ＝60°，AB ＝AC ＝AD ＝4，AB ⊥AC ，所以BC ＝4√2，AE =12BC ＝2√2，又BD ＝CD ＝AB ＝4，所以△BCD 是等腰直角三角形，DE =12BC ＝2√2， 所以AD 2＝AE 2+DE 2，所以DE ⊥AE ，所以△ADE 的面积为12×2√2×2√2=4，选项A 正确；又DE ⊥BC ，AE ∩BC ＝E ，AE ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC ， 又DE ⊂平面BCD ，所以平面BCD ⊥平面ABC ，所以选项B 正确；四面体ABCD的体积为V三棱锥D﹣ABC=13S△ABC•DE=13×12×4×4×2√2=16√23，所以选项C正确；当F为棱AC的中点时，过F作FE∥AB，交BC于E，则E点为棱BC的中点，由EF∥AB，AB⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，所以EF∥ABD；反之，EF∥平面ABD时，由直线与平面平行的性质定理得出EF∥BA，由F是AC的中点，得出E是BC的中点，所以选项D正确．故选：ABCD．12．已知α，β是两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（）A．若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥βB．若m⊥α，n∥α，则m⊥nC．若α∥β，m⊂α，则m∥βD．若m∥n，α∥β，则m与α所成的角和n与β所成的角相等【解答】解：A．满足m⊥n，m⊥α，n∥β时，得不出α⊥β，α与β可能平行，如图所示：∴该选项错误；B．∵n∥α，∴设过n的平面β与α交于a，则n∥a，又m⊥α，∴m⊥a，∴m⊥n，∴该选项正确；C．∵α∥β，∴α内的所有直线都与β平行，且m⊂α，∴m∥β，∴该选项正确；D．根据线面角的定义即可判断该选项正确．故选：BCD．三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．设i是虚数单位，复数z满足（1+2i）z＝4+3i，则z＝2﹣i．【解答】解：∵i是虚数单位，复数z满足（1+2i）z＝4+3i，∴z=4+3i1+2i=(4+3i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=4+3i−8i−6i21−4i2=10−5i5=2﹣i．故答案为：2﹣i ．14．复数z 满足|z +i |＝1，且z +z =2，则z ＝ 1﹣i ．【解答】解：设复数z ＝a +bi ，z +z =a +bi +a −bi =2a =2，解得a ＝1， 又z +i ＝a +（b +1）i ＝1+（b +1）i ，且|z +i |＝1， 所以√1+(b +1)2=1，解得b ＝﹣1， 所以z ＝1﹣i ． 故答案为：1﹣i ．15．已知向量a →=（m ，3），b →=（1，﹣2），且（a →+b →）⊥b →，则m ＝ 1 ．【解答】解：根据题意，向量a →=（m ，3），b →=（1，﹣2），则a →+b →=(m +1，1)． 因为(a →+b →)⊥b →，所以（a →+b →）•b →=m +1﹣2＝0，解得m ＝1， 故答案为：1．16．在△ABC 中，若AB ＝2，∠B =5π12，∠C =π4，则BC ＝ √6 ． 【解答】解：A =π−B −C =π−5π12−π4=π3，由正弦定理得AB sinC =BCsinA ，所以BC =ABsinA sinC =2sin π3sin π4=√6．故答案为：√6．四．解答题（共6小题，第17题10分，第18-22题各12分，共70分） 17．已知复数z ＝（m 2﹣3m +2）+（m 2﹣4m +3）i ，m ∈R ． （1）若z 对应复平面上的点在第四象限，求m 的范围； （2）若z 是纯虚数，求m 的值．【解答】解：（1）由题意，{m 2−3m +2＞0m 2−4m +3＜0，解得2＜m ＜3，∴m 的范围是（2，3）；（2）由题意，{m 2−3m +2=0m 2−4m +3≠0，解得m ＝2．18．已知向量a →=（5，﹣12），b →=（﹣3，4）． （1）求a →与b →夹角θ的余弦值；（2）若向量a →+t b →与a →−b →垂直，求实数t 的值．【解答】解：（1）∵a →⋅b →=5×(−3)+(−12)×4=−63，|a →|=13，|b →|=5，∴cosθ=a →⋅b|a →|⋅|b →|=−6365，（2）∵a →+tb →=(5，−12)+t(−3，4)=(5−3t ，−12+4t)，a →−b →=(5，−12)−(−3，4)=(8，−16) 又a →+tb →与a →−b →垂直， ∴(a →+tb →)⋅(a →−b →)=0，即8（5﹣3t ）﹣16（﹣12+4t ）＝0，解得t =2911．19．如图1，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，过A ，B 分别作AE ⊥CD ，BF ⊥CD ，垂足分别为E 、F ．若AB ＝AE ＝2，CD ＝5，DE ＝1，将梯形ABCD 沿AE ，BF 折起，且平面ADE ⊥平面ABFE （如图2）． （Ⅰ）证明：AF ⊥BD ；（Ⅱ）若CF ∥DE ，在线段AB 上是否存在一点P ，使得直线CP 与平面ACD 所成角的正弦值为√618，若存在，求出AP 的值，若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵平面ADE ⊥平面ABFE ，DE ⊂平面ADE ， 平面ADE ∩平面ABFE ＝AE ，DE ⊥AE ，∴DE ⊥平面ABFE ，又AF ⊂平面ABFE ，∴DE ⊥AF ， 又正方形ABFE 中，AF ⊥BE ，且BE ∩DE ＝E ， DE ⊂平面BDE ，BE ⊂平面BDE ， ∴AF ⊥平面BDE ，∵BD ⊂平面BDE ，∴AF ⊥BD ．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，DE 、EA 、EF 两两垂直，如图建立空间直角坐标系，∵CF ∥DE ，CF ⊥平面ABFE ，则A （2，0，0），B （2，2，0），C （0，2，2），D （0，0，1）， AD →=（﹣2，0，1），AC →=（﹣2，2，2）， 设平面ACD 的一个法向量n →=（x ，y ，z ）， 则{AD →⋅n →=−2x +z =0AC →⋅n →=−2x +2y +2z =0，取x ＝1，得n →=（1，﹣1，2），设P （2，t ，0），且0≤t ≤2，则CP →=（2，t ﹣2，﹣2）， 设直线CP 与平面ACD 所成角为θ∵在线段AB 上存在一点P ，使得直线CP 与平面ACD 所成角的正弦值为√618， ∴sin θ=|n →⋅CP →||n →|⋅|CP →|=|2+2−t−4|√6⋅√8+(t−2)2=√618，解得t ＝1或t =−32（舍）．∴AP ＝1．20．已知平面向量a →=（1，x ），b →=（2x +3，﹣x ），x ∈R ． （1）若x ＝2，求b →在a →上的投影向量c 的坐标； （2）若a →⊥b →，求x 的值．【解答】解：（1）若x ＝2，则a →=（1，2），b →=（7，﹣2），则c →=a →⋅b →|a →|×a→|a →|=（35，65）．（2）若a →⊥b →，则a →⋅b →=（1，x ）•（2x +3，﹣x ）＝1×（2x +3）+x （﹣x ）＝0， 即x 2﹣2x ﹣3＝0，解得x ＝﹣1或x ＝3．21．已知等腰△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b ＝c ，D 是AC 的中点． （Ⅰ）若cos ∠BDC =√2，sin ∠ABD =√14，CD ＝1，求△ABC 的面积S ；（Ⅱ）若△ABC的面积S等于2，求BD的最小值．【解答】解：（Ⅰ）因为b＝c，D是AC的中点，所以AD＝CD=b2=1，所以b＝c＝2，因为cos∠BDC=(b2)2+BD2−a22BD⋅b2=√24，即1+BD2−a22BD=√24，又因为∠ADB+∠BDC＝π，所以cos∠ADB＝﹣cos∠BDC=(b2)2+BD2−c22BD⋅b2=−√24，整理可得2BD2+√2BD﹣6＝0，解得BD=√2，可得22√2=√24，可得a=√2，在△ABD中，由正弦定理可得BDsinA =b2sin∠ABD，即sin A=2BD⋅sin∠ABDb=2×√2×√1482=√7 4，所以S△ABC=12bc sin A=12×2×2×√74=√72．（Ⅱ）取BC的中点F，连接AF交BD于O，则AF⊥BC，OF=13AF，作DE⊥BC，则E为CF的中点，设OF＝t，则AF＝3t，DE=12AF=3t2，因为S△BDC=12S△ABC＝1，而S△BDC=12DE•BC，所以BC=43t，BE=34BC=1t，所以BD2＝BE2+DE2=1t2+9t24≥2√94=3，当且仅当1t2=9t24，即t=√63时取等号，所以BD的最小值为√3．22．如图①，是由正三角形ABE和正方形BCDE组成的平面图形，其中AB＝2；将其沿BE 折起，使得AC＝2√2，如图②所示．（1）证明：图②中平面ABE⊥平面BCDE；（2）在线段AB上有一点P，且AP=13AB，求三棱锥P﹣ACE的体积．【解答】（1）证明：分别取BE，CD的中点O，M，连接AO，AM，OM，∵△ABE为正三角形且AB＝2，∴AO⊥BE，且AO=√3，∵BCDE为正方形，∴OM＝2，依题意，△ACD为等腰三角形，∵AC＝2√2，∴AM=√7，则AO2+OM2＝AM2，∴AO⊥OM，又∵BE∩OM＝O，且BE，OM⊂平面BCDE，∴AO⊥平面BCDE，∵AO⊂平面ABE，∴平面ABE⊥平面BCDE．（2）解：如图，取AP=13AB，连接PC，PE，EC，由（1）可得平面ABE⊥平面BCDE．则C到平面P AE的距离d＝|BC|＝2，∵AP=13AB，∴S△APE=13S△ABE，∵△ABE为正三角形，且AB＝2，∴S△ABE=13×2×2×sin60°=√3，∴S△APE=13S△ABE=√33，所以，三棱锥P﹣AEC的体积V P﹣AEC=13d⋅S△APE=2√39．。
湖南省2020-2021年高一下学期入学考试数学试题
春季高一 入学联考数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直线√3x +y +m ＝0（m ∈R ）的倾斜角是（ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 2．已知函数f （x ）={lgx ，x ＞0x +11，x ≤0，则f （f （﹣1）＝（ ） A ．﹣2 B ．0 C ．1 D ．﹣13．下列函数中，既是偶函数，又在（﹣∞，0）内单调递增的为（ ）A ．y ＝x 2+2xB ．y ＝2|x |C ．y ＝2x ﹣2﹣xD ．y =log 12|x|−1 4．若直线l 1，l 2的斜率是一元二次方程x 2﹣4x ﹣1＝0的两根，则直线l 1，l 2的位置关系是（ ）A ．平行B ．垂直C ．重合D ．以上均不正确5．如图，棱长为a 的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 为BC 中点，则直线D 1M 与平面ABCD 所成角的正切值为（ ）A ．√32B ．√55C ．2√55D ．12 6．函数f （x ）＝2x −3x −m 的一个零点在区间（1，3）内，则实数m 的取值范围是（ ）A ．（﹣1，7）B ．（0，5）C ．（﹣7，1）D ．（1，5）7．若m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若α⊥β，m ⊥β，则m ∥αB ．若m ∥α，n ⊥m ，则n ⊥αC ．若m ∥α，n ∥α，m ⊂β，n ⊂β，则α∥βD ．若m ∥β，m ⊂α，α∩β＝n ，则m ∥n8．将直线x +2y ＝0绕坐标原点逆时针旋转90°，再向下平移1个单位，所得到直线的方程为（ ）A ．x ﹣2y ﹣1＝0B ．2x ﹣y ﹣1＝0C ．2x +y ﹣1＝0D ．2x ﹣y +1＝09．已知定义在[1﹣a ，2a ﹣5]上的偶函数f （x ）在[0，2a ﹣5]上单调递增，则函数f （x ）的解析式不可能是（ ）A ．f （x ）＝x 2+aB ．f （x ）＝﹣a |x |C ．f （x ）＝x aD ．f （x ）＝log a （|x |+2）10．已知A （3，﹣1），B （5，﹣2），点P 在直线x +y ＝0上，则|P A |+|PB |取最小值是（ ）A ．1B ．2√17+√1535C ．√17D ．211．如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，则在下列命题中，错误的为（ ）A ．AC ⊥BDB ．AC ∥截面PQMNC ．AC ＝BDD ．异面直线PM 与BD 所成的角为45°12．直线x ﹣y ﹣4＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆（x +2）2+y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是（ ）A ．[2，4]B ．[4，8]C ．[8，16]D ．[16，32]二、填空题：本大题共4小题，每题5分，满分20分。
2020-2021学年湖南省长沙市雨花区雅礼中学高一(下)期末数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年湖南省长沙市雨花区雅礼中学高一（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合A={x∈Z|−2≤x<2}，B={0,1}，则下列判断正确的是()A. B∈AB. A∩B=⌀C. A⊆BD. B⊆A2.已知x>0，则对于2−3x−4，说法正确的是()xA. 有最小值2+4√3B. 有最小值2−4√3C. 有最大值2+4√3D. 有最大值2−4√33.已知a⃗=(x,1)，b⃗ =(1,y)，c⃗=(2,−4)，且a⃗⊥c⃗，b⃗ //c⃗，则|a⃗+b⃗ |=()A. √10B. √5C. 2√5D. 104.已知a=log0.33，b=log0.34，c=30.3，那么()A. a<b<cB. c<b<aC. b<a<cD. b<c<a5.为了得到函数y=cos x，x∈R的图象，只需把余弦函数的图象y=cosx，x∈R上5所有的点的()A. 横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变B. 横坐标缩短到原来的1倍，纵坐标不变5C. 纵坐标伸长到原来的5倍，横坐标不变D. 纵坐标伸长到原来的1倍，横坐标不变56.随着互联网和物流行业的快速发展，快递业务已经成为人们日常生活当中不可或缺的重要组成部分.如图是2012～2020年我国快递业务量变化情况统计图，则关于这9年的统计信息，下列说法正确的是()A. 这9年我国快递业务量有增有减B. 这9年我国快递业务量同比增速的中位数为51.4%C. 这9年我国快递业务量同比增速的极差未超过36%D. 这9年我国快递业务量的平均数超过210亿件7. 在空间四边形ABCD 中，若AB ⊥CD ，BC ⊥AD ，则对角线AC 与BD 的位置关系为( )A. 相交但不垂直B. 垂直但不相交C. 不相交也不垂直D. 无法判断8. 若直线l 经过A(2,1)，B(1,−m 2)(m ∈R)两点，则直线l 的倾斜角α的取值范围是( )A. 0≤α≤π4B. π2<α<πC. π4≤α<π2D. π2<α≤3π4二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 三条直线x +y =0，x −y =0，x +ay =3构成三角形，则a 的取值可以是( )A. −1B. 1C. 2D. 510. 已知函数f(x)={4x −3,x <1lnx,x ≥1，则下列结论正确的是( )A. 函数f(x)的定义域为RB. 函数f(x)在R 上为增函数C. 函数f(x)的值域为(−3,+∞)D. 函数f(x)只有一个零点11. 设z 为复数，在复平面内z 、z −对应的点分别为P 、Q ，坐标原点为O ，则下列命题中正确的有( )A. 当z 为纯虚数时，P ，O ，Q 三点共线B. 当z =1+i 时，△POQ 为等腰直角三角形C. 对任意复数z ，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ≠OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗D. 当z 为实数时，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 12. 如图，M 是正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱DD 1的中点，下列命题中真命题是( )A. 过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都相交B. 过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直C. 过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都相交D. 过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知α∈(π2,π)，sinα=35，则tan2α=______ ．14.已知两点A(1,−2)，B(5,0)，则线段AB的垂直平分线方程为______ ．15.甲、乙两位同学进行羽毛球赛，采取三局两胜制．设甲每一局获胜的概率为23，乙每一局获胜的概率为13，且甲已获得第一局胜利．求甲获得最终比赛胜利的概率为______．16.在三棱锥S−ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，△SAB是以AB为斜边的等腰直角三角形，二面角S−AB−C的大小为90°，则该三棱锥外接球的表面积为______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.某市为创建全国卫生城市，引入某公司的智能垃圾处理设备．已知每台设备每月固定维护成本5万元，每处理一万吨垃圾需增加1万元维护费用，每月处理垃圾带来的总收益g(x)万元与每月垃圾处理量x(万吨)满足如下关系：g(x)={−2x 2+33x−100,0≤x≤1035,x>10(注：总收益=总成本+利润)(1)写出每台设备每月处理垃圾获得的利润f(x)关于每月垃圾处理量x的函数关系；(2)该市计划引入10台这种设备，当每台每月垃圾处理量为何值时，所获利润最大？并求出最大利润．18.已知函数f(x)=√3sin x2cos x2−cos2x2+12．(Ⅰ)求函数f(x)的最大值；(Ⅱ)若△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，f(A)=12，a=√3，b=2c，求c．19.某中学为了解学生参加学校暑期开设的网课学习情况，从网站注册的学生中随机选取了100位，统计某周每位学生的学习时长，绘制成如图所示的频率分布直方图，并从学习时长落在[6,11)，[21,26]两组内的学生中，按分层抽样方法抽取了8位学生进行跟踪调查．(1)求图中a的值并估算这100位学生学习的平均时长；(2)若从上述8位学生中随机抽取2位家访，求这2位学生来自不同组别的概率．20.如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA1的长度为2，且∠A1AB=∠A1AD=120°.求：(1)AC1的长；(2)直线BD1与AC所成角的余弦值．21.已知直线l：(a−2)y=(3a−1)x−1(1)求证：不论实数a取何值，直线l总经过一定点．(2)为使直线不经过第二象限，求实数a取值范围．(3)若直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求l的方程．22.如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB//CD，AB⊥AD，CD=PD=PA=AD=1AB=2．2(1)求证：平面PBC⊥平面PAB；(2)求二面角D−PC−B的正弦值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵A={−2,−1,0，1}，B集合的元素都在集合A中，∴B⊆A．故选：D．利用集合之间的包含关系判断集合的关系．本题考查的集合的子集概念，是基础题．2.【答案】D【解析】解：2−3x−4x =2−(3x+4x)，x>0，3x+4x≥2√3x⋅4x=4√3.当且仅当3x2=4，即x=2√33是取等号．∴2−3x−4x =2−(3x+4x)≤2−4√3．故选：D．直接利用基本不等式求解即可判断选项．本题考查基本不等式在最值中的应用，注意表达式的变形是解题的关键．3.【答案】A【解析】解：∵a⃗⊥c⃗，∴a⃗⋅c⃗=2x−4=0，解得x=2，∵b⃗ //c⃗，∴−4−2y=0，解得y=−2，∴a⃗=(2,1),b⃗ =(1,−2)，a⃗+b⃗ =(3,−1)，∴|a⃗+b⃗ |=√10．故选：A．根据a⃗⊥c⃗，b⃗ //c⃗即可求出x，y的值，然后即可求出a⃗+b⃗ 的坐标，进而得出|a⃗+b⃗ |的值．本题考查了向量垂直的充要条件，平行向量的坐标关系，向量坐标的加法运算，根据向量的坐标求向量的长度的方法，考查了计算能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：∵log0.34<log0.33<log0.31=0，30.3>0，∴b<a<c．故选：C．可得出log0.34<log0.33<0,30.3>0，然后即可得出a，b，c的大小关系．本题考查了对数函数的单调性，指数函数的值域，对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：将函数y=cosx图象上各点的横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变，得x的图象．到函数y=cos15故选：A．根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，横坐标伸缩变换，可得结论．本题主要考查函数y=Asin(ωx+⌀)的图象变换规律，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：由条形图可得，这9年我国快递业务量逐年增加，故A错误；将各年我国快递业务量同比增速按从小到大排列得：25.3%，26.6%，28.0%，30.5%，48.0%，51.4%，51.9%，54.8%，61.6%，故中位数为第五个数48.0%，故B错误；这9年我国快递业务量同比增速的极差为61.6%−25.3%=36.3%>36%，故C错误；由条形图可得，自2016年起，各年的快递业务量远超过210亿件，故快递业务量的平均数超过210亿件，故D正确．故选：D．分别观察这9年我国快递业务量和各年我国快递业务量同比增速，对选项一一分析，可得结论．本题考查条形图、曲线图的应用，考查数形结合思想和推理能力，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：如图，作AO⊥平面BCD，垂足为O，可得AO⊥CD，又AB⊥CD，则CD⊥平面ABO，所以BO⊥CD，同理可证DO⊥BC，所以O为△BCD的垂心，所以OC⊥BD，又OA⊥BD，OA∩OC=O，所以BD⊥平面ACO，故BD⊥AC．故选：B．作AO⊥平面BCD，垂足为O，连接OA，OB，OC，由线面垂直的判定和性质，以及三角形的垂心的定义，可得结论．本题考查空间中线线、线面的位置关系，考查推理能力，属于中档题．8.【答案】C【解析】解：根据题意，直线l经过A(2,1)，B(1,−m2)，则直线l的斜率k=1+m22−1=1+m2，又由m∈R，则k=1+m2≥1，则有tanα=k≥1，又由0≤α<π，则π4≤α<π2；故选：C．根据题意，由直线过两点的坐标可得直线的斜率k，分析可得斜率k的范围，结合直线的斜率k与倾斜角的关系可得tanα=k≥1，又由倾斜角的范围，分析可得答案．本题考查直线的斜率、倾斜角的计算，关键是求出斜率的范围．9.【答案】CD【解析】解：∵三条直线x+y=0，x−y=0，x+ay=3构成三角形，故三条直线中任意两条不平行，且三条直线不共点．而直线x+y=0和x−y=0交于原点，无论a为何值，直线x+ay=3总不经过原点，因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线x+ay=3与另两条直线不平行，所以，a ≠±1， 故选：CD ．由题意可得，三条直线中任意两条不平行，且三条直线不共点，由此求得a 的范围． 本题主要考查三条直线能构成三角形的条件，两条直线不平行的条件，属于基础题．10.【答案】AC【解析】解：选项A ：由已知可得函数定义域为R ，故A 正确；选项B ：当x <1时，函数f(x)为增函数，当x ≥1时，函数为增函数，且41−3=1>ln1=0，所以函数在R 上不单调，故B 错误；选项C ：当x <1时，−3<f(x)<1，当x ≥1时，f(x)≥0，所以函数的值域为(−3,+∞)，故C 正确；选项D ：当x <1时，令4x −3=0，解得x =log 43，当x ≥1时，令lnx =0，解得x =1， 故函数有两个零点，故D 错误， 故选：AC ．利用分段函数的性质对应各个选项逐个判断即可．本题考查了分段函数的性质，考查了学生对分段函数的理解能力，属于中档题．11.【答案】ABD【解析】解：对于A ，当z 为纯虚数时，设z =bi(b ∈R 且b ≠0)， 则P(0,b)，O(0,0)，Q(0,−b)，三点共线，故A 正确； 对于B ，当z =1+i 时，z −=1−i ，则P(1,1)，Q(1,−1)，|OP|=|OQ|，且OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1×1−1×1=0，则△POQ 为等腰直角三角形，故B 正确； 对于C ，取z =1，则z =z −=1，有OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，故C 错误； 对于D ，当z 为实数时，z =z −，则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，故D 正确． 故选：ABD ．当z 为纯虚数时，可得P 、O 、Q 都在虚轴上，判断A 正确；由|OP|=|OQ|且OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0判断B ；举例说明C 错误；当z 为实数时，由z =z −判断D ． 本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．12.【答案】ABD【解析】解：直线AB 与B 1C 1 是两条互相垂直的异面直线，点M 不在这两异面直线中的任何一条上，如图所示：取C 1C 的中点N ，则MN//AB ，且MN =AB ，设BN 与B 1C 1交于H ，则点 A 、B 、M 、N 、H 共面，直线HM 必与AB 直线相交于某点O ．所以，过M 点有且只有一条直线HO 与直线AB 、B 1C 1都相交；故A 正确． 过M 点有且只有一条直线与直线AB 、B 1C 1都垂直，此垂线就是棱DD 1，故B 正确． 过M 点有无数个平面与直线AB 、B 1C 1都相交，故C 不正确．过M 点有且只有一个平面与直线AB 、B 1C 1都平行，此平面就是过M 点与正方体的上下底都平行的平面，故D 正确．故选：ABD ．点M 不在这两异面直线中的任何一条上，所以，过M 点有且只有一条直线与直线AB 、B 1C 1都相交，A 正确．过M 点有且只有一条直线与直线AB 、B 1C 1都垂直，B 正确．过M 点有无数个平面与直线AB 、B 1C 1都相交，C 不正确．过M 点有且只有一个平面与直线AB 、B 1C 1都平行，D 正确．本题考查立体几何图形中直线和平面的相交、平行、垂直的性质，体现了数形结合的数学思想．13.【答案】−247【解析】解：∵α∈(π2,π)，sinα=35，∴cosα=−√1−sin 2α=−√1−(35)2=−45，∴tanα=sinαcosα=−34．则tan2α=2tanα1−tan 2α=2×(−34)1−(−34)2=−247． 故答案为：−247． 由已知求得cosα，进一步得到tanα，再由二倍角的正切求解．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及倍角公式的应用，是基础题．14.【答案】2x +y −5=0【解析】解：经过两点A(1,−2)，B(5,0)的直线的斜率为0+25−1=12，中点为(3,−1)， 则线段AB 的垂直平分线的斜率为−2，故线段AB 的垂直平分线方程为y +1=−2(x −3)，即2x +y −5=0，故答案为：2x +y −5=0．求出线段AB 的中点和斜率，可得AB 中垂线的斜率，再利用点斜式求出线段AB 的垂直平分线方程．本题主要考查直线的斜率公式，用点斜式求直线的方程，属于基础题．15.【答案】89【解析】解：直接法：分成甲胜第二局直接取胜和乙胜第二局甲胜第三局两种情况． 甲胜第二局概率为：23，乙胜第二局甲胜第三局概率为：13×23=29，∴甲获胜概率为：23+29=89．间接法：乙获胜概率为13×13=19，所以甲获胜概率为：1−19=89．故答案为：89．直接法：分成甲胜第二局直接取胜和乙胜第二局甲胜第三局两种情况，甲胜第二局概率为23，乙胜第二局甲胜第三局概率为13×23=29，由此能求出甲获胜概率．间接法：先求出乙获胜概率，利用对立事件概率计算公式能求出甲获胜概率．本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16.【答案】16π3【解析】解：如图，取AB 中点G ，则G 为三角形SAB 的外心，取等边三角形ABC 的外心O ，则OG ⊥平面SAB ，又二面角S −AB −C 的大小为90°，即平面SAB ⊥平面ABC ，且平面SAB ∩平面ABC =AB ， ∴OG ⊥平面SAB ，则OC =OA =OB =OS ，故O 为三棱锥S −ABC 的外接球的球心，则外接球的半径R =OC =23√22−12=2√33， 则该三棱锥外接球的表面积为4π×(2√33)2=16π3． 故答案为：16π3．由题意画出图形，可得等边三角形ABC 外接圆的圆心为三棱锥S −ABC 的外接球的其球心，求出外接球的半径，代入球的表面积公式得答案．本题考查多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查数形结合思想，是中档题．17.【答案】解：由题意可得：(1)f(x)={−2x 2+32x −105,0≤x ≤1030−x,x >10； (2)由(1)可得：当0≤x ≤10时，f(x)=−2(x −8)2+23．当x =8时，f(x)max =f(8)=23；当x >10时，f(x)=30−x 为减函数，则f(x)<20．∴当x =8时，每台设备每月处理垃圾所获利润最大．最大利润为：w=23×10=230(万元)．【解析】(1)直接由已知结合利润=总收益−总成本可得每台设备每月处理垃圾获得的利润f(x)关于每月垃圾处理量x的函数关系；(2)分段求出函数的最大值，则答案可求．本题考查函数模型的选择及其应用，训练了分段函数最值的求法，是基础题．18.【答案】解：(I)f(x)=√3sin x2cos x2−cos2x2+12，=√32sinx−12cosx，=sin(x−π6)，故函数的最大值为1；(II)由f(A)=sin(A−π6)=12且A为三角形内角，则A=π3，因为a=√3，b=2c，由余弦定理得a2=b2+c2−bc，即3=4c2+c2−2c2，解得c=1．【解析】(I)先结合二倍角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质可求；(II)由已知可先求A，然后结合余弦定理可求．本题主要考查了二倍角公式，正弦函数的性质，余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题．19.【答案】解：(1)由频率分布直方图的性质得：(0.020+0.050+0.070+a+a)×5=1，解得a=0.03．∴估算这100位学生学习的平均时长为：3.5×0.020×5+8.5×0.050×5+13.5×0.070×5+18.5×0.030×5+23.5×0.030×5=13.5(小时)．(2)从学习时长落在[6,11)，[21,26]两组内的学生中，按分层抽样方法抽取了8位学生进行跟踪调查，学习时长在[6,11)的学生中抽取：8×0.0500.050+0.030=5位，学习时长在[21,26)的学生中抽取：8×0.0300.050+0.030=3位，从这8位学生中随机抽取2位家访，基本事件总数n =C 82=28，这2位学生来自不同组别包含的基本事件个数m =C 51C 31=15． ∴这2位学生来自不同组别的概率P =m n =1528．【解析】(1)由频率分布直方图的性质列方程能求出a ，由此能估算这100位学生学习的平均时长．(2)从学习时长落在[6,11)，[21,26]两组内的学生中，按分层抽样方法抽取了8位学生进行跟踪调查，在[6,11)的学生中抽取5位，在[21,26)的学生中抽取3位，从这8位学生中随机抽取2位家访，基本事件总数n =C 82=28，这2位学生来自不同组别包含的基本事件个数m =C 51C 31=15.由此能求出这2位学生来自不同组别的概率．本题考查频率、平均数、概率的求法，考查频率分布直方图、分层抽样、古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力、数据分析能力等数学核心素养，是基础题．20.【答案】解：(1)∵AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=22+12+12+2×1×2×cos120°+2×1×2×cos120°+2×1×1×cos90°=2，∴AC 1=|AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2；(2)∵AC⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12+12+0=2，∴|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2， ∵BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2 +2BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=22+12+12+2×1×2×cos60°+2×1×2×cos120°+2×1×1×cos90°=6， ∴|BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√6，∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=−2．∴|cos <AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BD 1||=√2×√6=√33． ∴直线BD 1与AC 所成角的余弦值为√33．【解析】(1)由AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，两边平方，代入数量积运算即可求解；(2)分别求出|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |、|BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |及AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，再由数量积求夹角公式可得直线BD 1与AC 所成角的余弦值．本题考查空间中的点、线、面间的距离计算，考查异面直线所成角的求法，考查空间向量的应用，是中档题．21.【答案】解：(1)直线l 方程可整理为：a(3x −y)+(−x +2y −1)=0，联立{3x −y =0−x +2y −1=0，解得{x =15y =35， ∴直线恒过定点(15,35)；(2)∵(a −2)y =(3a −1)x −1，当a =2时，x =15，满足题意，当a ≠2时，∴y =3a−1a−2x −1a−2，∵直线不经过第二象限，∴{3a−1a−2≥01a−2≤0， 解得a >2．∴实数a 的取值范围是[2,+∞)；(3)由题意可知直线的斜率k =3a−1a−2<0，解得13<a <2， 令y =0可得x =13a−1，令x =0可得y =−1a−2．∴S △=12⋅|13a−1⋅−1a−2|=12|13a 2−7a+2|，对于函数y =3a 2−7a +2其对称轴为a =76，当a =76时，此时函数y 取最小值，且为负数，为−2512所以函数y =|3a 2−7a +2|的范围为(0,2512]，∴S 的面积有最小值，当a =76时取最小值． 此时l 的方程为：5y +15x −6=0．【解析】(1)直线l 方程可整理为：a(3x −y)+(−x +2y −1)=0，由直线系的知识联立方程组，解方程组可得定点；(2)把直线转化为y =3a−1a−2x −1a−2，由直线不经过第二象限，得到x 的系数不小于0，且常数不大于0，由此能求出实数m 的取值范围，(3)由题意可得a 的范围，分别令x =0，y =0可得相应的截距，可表示面积，由二次函数的知识可得结论．本题考查直线方程过定点的证明，考查直线不过第二象限时参数的取值范围的求法涉及函数最值的求解，属中档题．22.【答案】(1)证明：取PB 的中点E ，PA 的中点F ，连接DF ，EF ，EC ，所以EF//AB ，AB =2EF ，又因为AB//CD ，AB =2CD ，则EF//CD ，且EF =CD ，故四边形EFDC 为平行四边形，所以CE//DF ，因为平面PDA ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD =AD ，AB ⊥AD ，又因为AB ⊂平面ABCD ，所以AB ⊥平面PAD ，又DF ⊂平面PAD ，所以AB ⊥DF ，因为PD =PA ，F 为PA 的中点，所以DF ⊥AP ，因为CE//DF ，所以CE ⊥AB ，CE ⊥AP ，又AP ∩AB =A ，AB ⊂平面PAB ，所以CE ⊥平面PAB ，又因为CE ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PAB ．(2)解：取AD 的中点O ，取BC 的中点G ，以点O 为坐标原地，建立如空间直角坐标系图所示，则O(0,0，0)，P(0,0,√3),C(−1,2,0),B(1,4,0),D(−1,0,0)，所以PC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2,−√3),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,4,−√3)，PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,−√3)， 设平面PCB 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y,z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−x +2y −√3z =0x +4y −√3z =0， 令z =−√3，则x =1，y =−1，故m ⃗⃗⃗ =(1,−1,−√3)，设平面PCD 的法向量为n⃗ =(a,b,c)， 则{n ⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−a +2b −√3c =0−a −√3c =0， 令z =−√3，则x =3，故n ⃗ =(3,0,−√3)，设二面角D −PC −B 的大小为θ，所以|cosθ|=|cos <n ⃗ ,m ⃗⃗⃗ >|=|n ⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |=√5×√12=√155， 则sinθ=√1−cos 2θ=√105， 故二面角D −PC −B 的正弦值为√105．【解析】(1)取PB 的中点E ，PA 的中点F ，连接DF ，EF ，EC ，先证明四边形EFDC 为平行四边形，可得CE//DF ，由面面垂直的性质定理证明AB ⊥平面PAD ，从而证明AB ⊥DF ，CE ⊥AP ，由线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理证明即可；(2)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面PCB 和平面PCD 的法向量，由向量的夹角公式以及同角三角函数关系式求解即可．本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理的应用，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．。
2020-2021学年湖南省长沙市雅礼中学高一下学期3月月考数学试题(解析版)
2020-2021学年湖南省长沙市雅礼中学高一下学期3月月考数学试题一、单选题1．设集合 {}03|P x x =<<，{}|12Q x x =-<<，则P Q ⋃=（ ） A ．{}|3x x < B ．{}|13x x -<< C ．{}|02x x << D ．{}|0x x >【答案】B【分析】直接对P 、Q 求并集即可.【详解】∵{}03|P x x =<<，{}|12Q x x =-<<， ∴P Q ⋃={}|13x x -<< 故选：B 2．已知复数212z i=+(i 是虚数单位)，则z =（ ） A ．1255i + B ．1255i - C ．2455i +D ．2455i - 【答案】C【分析】先化简复数z ，再求解其共轭复数即可. 【详解】()()()21222412121255i z i i i i -===-++-，∴2455z i =+， 故选:C.3．如图，已知等腰三角形O A B '''△，O A A B ''''=是一个平面图形的直观图，斜边2O B ''=，则这个平面图形的面积是（ ）A ．22B ．1C 2D ．2【答案】D【分析】利用斜二测画法，由直观图作出原图三角形，再利用三角形面积公式即可求解. 【详解】因为O A B '''△是等腰直角三角形，2O B ''=，所以2O A A B ''''==，所以原平面图形为：且2OB O B ''==，OA OB ⊥，222OA O A ''==所以原平面图形的面积是1222222⨯⨯= 故选：D4．已知平行四边形ABCD ，O 是平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，OA a =，OB b =，OC c =，则向量OD 等于A ．a b c ++B ．a b c +-C ．a b c -+D ．a b c --【答案】C【分析】根据向量的加减的几何意义即可求出．【详解】∵O 是平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，OA a =，OB b =，OC c =， ∴OD OA AD OA BC OA OC OB a c b =+=+=+-=+-， 故选C ．【点睛】本题考查了向量的加减的几何意义，属于基础题．5．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式.宋代称为撮尖，清代称攒尖.依其平面有圆形攒尖､三角攒尖､四角攒尖､六角攒尖等，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑.如图所示，某园林建筑为六角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥，若此正六棱锥的侧面等腰三角形的底角为α，且1cos 4α=，则侧棱与底面外接圆半径的比为（ ）A ．2B ．21515C ．1D ．14【答案】A【分析】根据正六棱锥的底面为正六边形计算可得结果.【详解】正六棱锥的底面为正六边形，设其外接圆半径为R ，则底面正边形的边长为R ， 因为正六棱锥的侧面等腰三角形的底角为α，所以侧棱长为2cos 2cos RR αα=， 所以侧棱与底面外接圆半径的比为12cos 22cos RR αα==. 故选：A【点睛】关键点点睛：掌握正六棱锥的结构特征是解题关键.6．已知棱长均相等的四面体A BCD -6，则这个四面体的棱长为（ ） A 3B ．22C ．23D ．4【答案】D【分析】将棱长均相等的四面体A BCD -放正方体中，设正方体的棱长为a ，根据(22263a =，求出a ，求出正方体的面对角线即可求解.【详解】由题意可知A BCD -为正四面体， 将此正四面体放在正方体中，如图：设正方体的棱长为a ，()22263a =，解得22a =，所以四面体的棱长为22164a a +==. 故选：D7．定义在R 的奇函数()f x 满足()()4f x f x +=，且当()0,2x ∈时，()()21f x x =-，则函数()f x 在区间[]0,4上的零点个数为（ ）A ．3B ．5C ．2D ．4【答案】B【分析】根据奇偶性可知()00f =；由()()4f x f x +=可求得()20f =且()f x 周期为4，由此可得函数图象，结合图象可求得结果. 【详解】()f x 为R 上的奇函数，()00f ∴=，且()f x 图象关于原点对称，由()()4f x f x +=知：()f x 是周期为4的周期函数， 且()()()()22422f f f f =-+=-=-，()20f ∴=；()f x ∴部分图象如下图所示：由图象可知：()f x 在[]0,4共有5个零点，分别为0x =，1x =，2x =，3x =，4x =. 故选：B.【点睛】方法点睛：求解函数零点(方程根)的个数常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解 8．将函数()4sin 22f x x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭和直线()1g x x =-的所有交点从左到右依次记为1A ，2A ，…，n A ，若P 点坐标为(0,3)，则12...n PA PA PA +++=A ．0B ．2C ．6D ．10【答案】D【分析】画出函数图像，根据对称性得到1253...55(1,3)PA PA PA PA +++==-，进而得到结果.【详解】函数()4cos 2f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭与()1g x x =-的所有交点从左往右依次记为1A 、2A 、3A 、4A 和5A ，且1A 和5A ，2A 和4A ，都关于点3A 对称，如图所示：则1253...55(1,3)PA PA PA PA +++==-，所以12...10n PA PA PA +++=. 故选D.【点睛】这个题目考查了向量加法的平行四边形法则，涉及函数的图像的交点问题，属于综合题.向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.二、多选题9．下面四个条件中，能确定一个平面的是（ ） A ．一条直线 B ．一条直线和一个点 C ．两条相交的直线 D ．两条平行的直线【答案】CD【分析】逐一判断四个选项的正误即可得正确选项.【详解】对于选项A ：一条直线不能确定一个平面，故选项A 不正确；对于选项B ：一条直线和直线外的一个点可以确定一个平面，一条直线和直线上的一个点不能确定一个平面，故选项B 不正确；对于选项C ：两条相交的直线可以确定一个平面，故选项C 正确； 对于选项D ：两条平行的直线可以确定一个平面，故选项D 正确； 故选：CD10．给出下列命题，其中为真命题的是（ ）A ．命题“1x ∃≤，2320x x -+≥”的否定是：“1x ∀>，2320x x -+<”B ．若,,a b c ∈R ，当0ac >时，x ∃∈R ，20ax bx c +-=C ．若实数x ，y 满足1133x y⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则33x y > D ．x y x y -=+成立的充要条件是0xy ≥ 【答案】BC【分析】选项A ，可根据存在量词命题的否定的定义判断其为假命题；选项B ，根据方程判别式的符号判断一元二次方程是否有解；选项C ，根据指数函数和幂函数的单调性判断大小；选项D ，通过等价转化，逐步找到正确的充要条件. 【详解】选项A ，根据存在量词命题的否定的定义， “1x ∃≤，2320x x -+≥”的否定应该是： “1x ∀≤，2320x x -+<”，故A 错误； 选项B ，20ax bx c +-=，2=4b ac ，因为0ac >，所以0∆>，则方程有解，故B 正确；选项C ，指数函数1()3xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递减， 则由1133x y⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得x y >， 又因为幂函数3()g x x =单调递增，所以33x y >，故C 正确；x y x y 22()x yxy 222222x xyy xxyy220xy xy xy ，故选项D 错误，也可举反例，如3,2x y ==-，3(2)532，则选项D 错误.故选：BC.【点睛】对于命题的真假判断，要结合各个知识点进行逐一判断，有时也可以通过举反例的方法判断命题为假.11．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S ，下列ABC 有关的结论，正确的是（ ） A ．若ABC 为锐角三角形，则sin cos A B > B ．若a b >，则cos2cos2A B <C ．24sin sin sin S R A B C =，其中R 为ABC 外接圆的半径D ．若ABC 为非直角三角形，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++= 【答案】ABD 【分析】由2A B π+>，结合正弦函数的单调性和诱导公式，可判定A 正确；根据正弦定理，求得22sin sin A B >，结合余弦的倍角公式，可判定B 正确；结合面积公式和正弦定理，可判定C 不正确；根据三角形内角和定理和正切的两角和公式，可判定D 正确.【详解】对于A 中，若ABC 为锐角三角形，可得2A B π+>且,(0,)2A B π∈ ， 可得2A B π>-，且(0,)22B ππ-∈，根据正弦函数的单调性，可得sin sin()2A B π>-，所以sin cos A B >，所以A 正确；对于B 中，在ABC 中，由a b >，根据正弦定理可得sin sin A B >， 则22sin sin A B >，可得1cos 21cos 222A B-->，解得cos2cos2A B <，所以B 正确；对于C 中，由三角形的面积公式，可得in 12s S ab C =， 由正弦定理知2sin ,2sin a R A b R B ==，可得22sin sin sin =S R A B C ，所以C 不正确；对于D 中，在ABC 中，可得A B C π++=，则A B C π+=-， 所以tan()tan()A B C π+=-，即tan tan tan 1tan tan A BC A B+=--，可得tan tan tan tan tan tan A B C A B C +=-+，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，所以D 正确. 故选：ABD【点睛】对于解三角形问题的常见解题策略：对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，同时注意三角形内角和定理，三角形面积公式在解题中的应用. 12．已知集合()(){},M x y y f x ==，若对于任意实数对()11,x y M ∈，存在()22,x y M ∈，使12120x x y y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”；下列四个集合中，是“垂直对点集”的是（ ） A ．()21,M x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭B ．(){},sin 1M x y y x ==+ C ．(){},22xM x y y ==-D ．(){}2,log M x y y x ==【答案】ABC【分析】根据题意给出的定义，从代数、几何、反例等角度对每一个选项进行判断. 【详解】选项A ：任取()11,x y M ∈，则1211y x =，取211x x =-， 故212121112221121111111()?()?0x x y y x x x x x x x x +=-+=-+=， 所以存在这样的211x x =-使得12120x x y y +=成立，选项A 正确； 选项B ：任取点()11,A x y M ∈，取点()22,B x y M ∈，12120x x y y +=表示的几何意义是OA OB ⊥，即对曲线每一个点与原点构成的直线OA ，与之垂直的直线OB 与曲线都存在交点， 如图，当点A 运动时，直线OB 与曲线sin 1y x =+均有交点， 选项B 是正确的；选项C ：任取点()11,A x y M ∈，取点()22,B x y M ∈，12120x x y y +=表示的几何意义是OA OB ⊥，即对曲线每一个点与原点构成的直线OA ，与之垂直的直线OB 与曲线都存在交点， 如图，当点A 运动时，直线OB 与曲线22xy =-均有交点， 选项C 是正确的；选项D ：在函数2log y x =上取点(1,0)时，若存在22(,)x y 使得12120x x y y +=成立，则221?0?0x y +=，则一定有20x =，不满足函数的定义域， 故不能满足题意中的任意一点这一条件，选项D 不正确； 故选：ABC【点睛】本题考查了新定义的问题，新定义问题首先需要有很强的阅读理解能力，其次题目考查的本质问题还是函数的图象、性质等等，解决问题的关键是要有将新定义问题转化为常规问题的能力.三、填空题13．已知α是锐角，sin α＝23，则cos(3π－α)＝________.【分析】由正弦值根据角的范围求得余弦值，代入两角差余弦公式即可求得结果. 【详解】因为α是锐角，2sin 3α=，所以5cos α，所以12cos cos cos sin sin 33323236πππααα⎛⎫-=+=⨯+⨯=⎪⎝⎭14．复数11cos z i θ=+，2sin i z θ=-，则12z z -的最大值为_________．1【分析】利用复数的加减运算法则计算计算12z z -，然后计算12z z -并利用三角函数的性质分析其最值.【详解】因为11cos z i θ=+，2sin i z θ=-， 所以()()121sin cos 1z z i θθ-=-++， 故12z z -===，所以当sin 14πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，12z z -有最大值，且最大值为12max 1z z -==.故答案为：21+.【点睛】本题考查复数的模长计算，解答本题的关键在于先要表示出12z z -的表达式，然后通过辅助角公式将12z z -化简，结合三角函数的性质求解最值.15．如图，正方形ABCD 的边长为1，P 、Q 分别为边BC 、CD 上的点，当CPQ 的周长是2，则PAQ ∠的大小为_________．【答案】4π 【分析】设出角,,PAB QAD αβ∠=∠=，然后借助于正方形的性质得到22tan tan (1tan )(1tan )αβαβ+=-+-tan 1ta an an t n t αβαβ+=-⋅ ，再利用两角和的正切公式可得4παβ+=，即求.【详解】设,PAB QAD αβ∠=∠=，则tan ,tan PB DQ αβ==， 则1tan ,1tan CP CQ αβ=-=-，22(1tan )(1tan )PQ αβ=-+-，2221tan 1tan (1tan )(1tan )αβαβ∴=-+--+- 22tan tan (1tan )(1tan )αβαβ+=-+-tan tan 1tan tan αβαβ∴+=-⋅即tan()1αβ+=，4παβ∴+=，4PAQ π∴∠=.故答案为：4π四、双空题16．在ABC 中，已知2,1,120,AB AC BAC D ==∠=是BC 上一点，且AD 平分BAC ∠，则BDCD=__________，线段AD 的长度为__________. 【答案】2 23【分析】利用正弦定理求解得出比值BD CD ，利用余弦定理及BDCD可得AD ． 【详解】在ABD △和ACD △中，sin 60sin BD AB ADB =︒∠，sin 60sin CD ACADC=︒∠，又180ADB ADC ∠+∠=︒，即sin sin ADB ADC ∠=∠， 所以2BD ABCD AC==，所以BD CD=2==，解得23AD =（0AD =舍去）． 故答案为：2；23．【点睛】关键点点睛：本题考查正弦定理、余弦定理的应用．本题考查第一个结论BD ABCD AC=，实质上就是三角形的内角平分定理，可以通过平面几何的知识进行证明．五、解答题17．已知关于x 的方程()2250x px p -+=∈R 在复数范围内的两根为1x 、2x ．（1）若p =8，求1x 、2x ； （2）若134i x =+，求p 的值．【答案】（1）143x i =+，243x i =-；（2）6p ．【分析】（1）利用求根公式即可求解. （2）将134i x =+代入方程即可求解.【详解】（1）由题意得，2100360p ∆=-=-<，∴86432i x i ±====±，∴143x i =+，243x i =-．（2）已知关于x 的方程()2250x px p R -+=∈的一根为134x i =+，所以()()()()23434251832440i p i p p i +-++=-+-=， 所以1832440p p -=-=，解得6p．18．在①222b a c =+，②cosB sin A a b =，③sin B +cos B 任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，___________，A =3π，b . （1）求角B ； （2）求△ABC 的面积.【答案】条件选择见解析；（1）4B π=；（2【分析】取①222b a c +=+，由余弦定理可得cos 2B =进而解得B ，C 的大小也可得出，再由正弦定理可得a ，最后利用三角形的面积公式计算即可得出； 取②cos sin a B b A =，由正弦定理可得：tan 1B =，(0,)B π∈，解得B ，可得sin sin()C A B =+，由正弦定理可得：a ，利用三角形面积计算公式即可得出；取③sin cos B B +=)4B π+B 的大小，C 的大小也可得出，再由正弦定理可得a ，最后利用三角形的面积公式计算即可得出；【详解】解：（1）若选①，222b a c =+，则由余弦定理得222cos 222a cb B ac ac +-===， 因为(0,)B π∈，所以4B π=若选②，cos sin a B b A =，由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===得 sin cos sin sin A B B A =，又(0,)A π∈，所以sin 0A >，所以cos sin B B = 又(0,)B π∈，tan 1B =，4B π=，若选③，由sin cos B B +=)4B π+=，所以sin()14B π+=，又(0,)B π∈，所以5(,)444B πππ+∈，42B ππ+=，所以4B π=，（2）由正弦定理得sin sin a bA B =，又3A π=，2b =，4Bπ=所以32sin 23sin 22b Aa B⨯===，512C A B ππ=--=， 所以562sin sinsin()sin cos cos sin 12464646C πππππππ+==+=+=所以1162sin 32224ABCSab C +==⨯⨯⨯=33+ 【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.19．如图，圆锥PO 的底面直径和高均是a ，过PO 的中点O '作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，（1）求圆柱的表面积；（2）求圆锥挖去圆柱剩下几何体的体积． 【答案】（1）238a π；（2）3596a π． 【分析】（1）设圆锥底面半径为r ，圆柱底面半径为r '，求得r 和r '的值，以及圆柱和圆锥的母线长，结合侧面积和圆的面积公式，即可求解； （2）利用圆锥和圆柱的体积公式，即可求得剩下几何体的体积． 【详解】（1）设圆锥底面半径为r ，圆柱底面半径为r '，因为过PO 的中点O '作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，可得2a r =，4a r '=，且圆柱母线长2a l '=，圆锥母线长l ==，所以圆柱的表面积为：222322224428a a a S r r l a πππππ⎛⎫'''=+=⋅+⋅⋅= ⎪⎝⎭表（2）剩下几何体的体积222221153324296a a a V r OP r OO a a πππππ⎛⎫⎛⎫'=⋅-⋅=⋅⋅-⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．20．已知函数()2log 2a xf x mx-=+，（0a >且0a ≠）是奇函数．（1）求实数m 的值； （2）若217f ⎛⎫<⎪⎝⎭，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）1m =；（2）304a <<或1a >． 【分析】（1）利用()()f x f x -=-恒成立求出m =±，再验证定义域是否关于原点对称； （2）化为3log 14a<，再分类讨论a ，利用对数函数的单调性可解得结果. 【详解】（1）因为函数()2log 2axf x mx-=+（0a >且0a ≠）是奇函数，所以()()22log log 22aax mxf x f x mx x++-==-=-- ∴2222x mxmx x++=--，∴22244x m x -=-，∴21m =，∴1m =±，当1m =-时，()2log 02a xf x x-==-，此时2x ≠，定义域不关于原点对称，∴不成立，当1m =时，2()log 2a xf x x-=+的定义域为(2,2)-，符合题意， 故1m =．（2）由（1）知，2()log 2axf x x-=+， ∵217f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，∴2237log log 12427a a-=<+当1a >时：3log 04a<，恒成立； 当01a <<时：由3log 14a <，得304a <<，综上所述：304a <<或1a >．【点睛】关键点点睛：对a 分类讨论，利用对数函数的单调性解不等式是解题关键. 21．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色.位于潍坊滨海的“渤海之眼”摩天轮是世界上最大的无轴摩天轮，该摩天轮轮盘直径为124米.游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点时距离地面145米，匀速转动一周大约需要30分钟.当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.（1）经过t 分钟后游客甲距离地面的高度为H 米，已知H 关于t 的函数关系式满足()sin()H t A t B ωϕ=++(其中0A >，0>ω，||2πϕ≤)求摩天轮转动一周的解析式()H t ；（2）游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到52米？【答案】（1）()62cos8315H t t π=-+(030t ≤≤)；（2）5分钟【分析】（1）根据函数关系式()sin()H t A t B ωϕ=++，结合已知条件可知max ()145H t =，min ()21H t =，即21145A B A B -+=⎧⎨+=⎩，求得,A B ，利用()H t 的最小正周期30T =，求出ω，再根据题意知其过点(0,21)，求出ϕ，即可求出摩天轮转动一周的解析式；（2）令()52H t =，求出符合题意的t 即可. 【详解】（1）该摩天轮轮盘直径为124米，且摩天轮最高点距离地面145米，∴摩天轮最低点距离地面14512421-=米，即max()145H t =，min()21H t =21145A B A B -+=⎧∴⎨+=⎩，解得8362B A =⎧⎨=⎩又摩天轮匀速转动一周大约需要30分钟，()H t ∴的最小正周期为30T =223015T πππω∴===，()62sin 83.15H t t πϕ⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭又(0)62sin 8321H ϕ=+=，sin 1ϕ∴=-||2πϕ≤，2πϕ∴=-()62sin 8362cos 83.15215H t t t πππ⎛⎫∴=-+=-+ ⎪⎝⎭所以摩天轮转动一周的解析式为：()62cos 8315H t t π=-+(030t ≤≤)（2）由（1）知，()62cos 8315H t t π=-+(030t ≤≤)，令62cos835215t π-+=，解得：1cos152t π=要求求摩天轮第一次距离地面的高度为52米，015t ∴≤≤，015t ππ∴≤≤，315t ππ∴=，5t ∴=所以游客甲坐上摩天轮后5分钟，距离地面的高度第一次恰好达到52米. 【点睛】方法点睛：求sin()y A x B ωϕ=++(其中0A >，0>ω)解析式的步骤 （1）求,A B ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则2M mA，2M mB +=.（2）求ω，确定函数的周期T ，则2Tπω=. （3）求ϕ，代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入． 22．已知向量()3cos ,cos x a x ωω=-，()()sin ,cos 0b x x ωωω=>，若函数()12f x a b =⋅+的最小正周期为π． （1）求()f x 的解析式；（2）若关于x 的方程22cos 22cos 2501212a fx x f x x a ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-+--= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π有实数解，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）22⎡-⎢⎣⎦． 【分析】（1）由向量的数量积的运算公式，化简得到()sin 26f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合()f x 的最小正周期为π，求得1w =，即可求解；（2）由（1）得sin 212f x x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，把22cos 22cos 2501212a f x x f x x a ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-+--= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦， 化简得2220at t a ++=，转化为方程2221ta t -=+在[]1,1t ∈-时有解，结合基本不等式，即可求解.【详解】（1）由题意，向量()3cos ,cos x a x ωω=-，()()sin ,cos 0b x x ωωω=>，可得()2113sin cos 22f x a b x x x ωωω=⋅+=-+1cos 212sin 22226x x x ωπωω+⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭． 因为()f x 的最小正周期为π，所以22ππω=，可得1w =，所以()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（2）由（1）可知sin 212f x x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭． 因为()222sin 2cos 2sin 22sin 2cos 2cos 212sin 2cos 2x x x x x x x x +=++=+，()222sin 2cos2sin 22sin 2cos2cos 212sin 2cos2x x x x x x x x -=-+=-，所以()()22sin 2cos 212sin 2cos 211sin 2cos 2x x x x x x ⎡⎤+=+=+--⎣⎦，令sin 2cos2t x x =-，则()22sin 2cos 22x x t +=-，则方程22cos 22cos 2501212a fx x f x x a ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-+--= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦， 可化为()222250a t t a ---=，即2220att a ++=，因为0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以[]sin 2cos 221,14t x x x π⎛⎫=-=-∈- ⎪⎝⎭．所以由题意可知，方程2220at t a ++=在[]1,1t ∈-时有解， 方程2220at t a ++=可化为2221t a t -=+， 令2221ty t -=+，[]1,1t ∈-， ①当0t =时，0y =；②当0t ≠时，212y t t-=+， 当01t <≤时，12t t+≥2x =时取等号，所以2y ⎡⎫∈-⎪⎢⎪⎣⎭； 当10t -≤<时，12t t +≤-，当且仅当2x =-时取等号，所以0,2y ⎛∈ ⎝⎦；综上，y ⎡∈⎢⎣⎦，所以a ⎡∈⎢⎣⎦， 故实数a的取值范围是22⎡-⎢⎣⎦． 【点睛】解答中利用三角恒等变换的公式，把22cos 22cos 2501212a f x x f x x a ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-+--= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦， 化简得2220at t a ++=，转化为方程2221ta t -=+在[]1,1t ∈-时有解，结合基本不等式求解是解答的关键.。
湖南省长沙市雅礼中学2020-2021学年第一学期高一第一次月考数学试卷(含评分细则)
湖南省雅礼中学2020年下学期高一第一次月考试卷数 学（时间：120分钟分值：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知集合S ＝{a ，b ，c }中的三个元素是△ABC 的三边长，那么△ABC 一定不是(D )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形2、集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |x <1}，则A ∩(∁R B )＝(D )A ．{x |x >1}B ．{x |x ≥1}C ．{x |1<x ≤2}D ．{x |1≤x ≤2}3、设A 、B 、U 均为非空集合，且满足A ⊆B ⊆U ，则下列各式中错误的是(B )A ．(∁U A )∪B ＝U B ．(∁U A )∪(∁U B )＝UC ．A ∩(∁U B )＝∅D ．(∁U A )∩(∁U B )＝∁U B4、“b a ,为正数”是“ab b a 2>+”的(D )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5、已知命题p ：01x ∃＞，2010x -＞，那么p ⌝是（C ）A ．2110x x ∀-，＞＞B ．200110x x ∃-，≤＞C ．2110x x ∀-，≤＞D ．200110x x ∃-≤，≤6、已知函数()()2143f x x x R -=+∈，若()15f a =，则实数a 的值为（D ）A ．2B ．3C ．4D ．57、已知命题“∃x ∈R ,使4x 2＋x ＋14(a －2)≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是(D)A ．a <0B ．0≤a ≤4C ．a ≥4D ．a >948、已知2>x ，则函数421)(-+=x x x f 的最小值为（A ）A.22+ B.222+ C.2D.22二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9、使ab >0成立的充分不必要条件可以是(ACD )A ．a >0，b >0B ．a ＋b >0C ．a <0，b <0D ．a >1，b >110、下列说法中，正确的是（BC ）A ．若0a b >>，则22ac bc >B ．若0a b <<，则22a ab b >>C ．若00a b c >><且，则22c c a b >D ．若a b >且11a b>，则0>ab 11、已知a ∈Z ，关于x 的一元二次不等式260x x a -+≤的解集中有且仅有3个整数，则a 的值可以是（CD ）.A ．4B ．5C ．6D ．7【解析】设26y x x a =-+，其图像为开口向上，对称轴是3x =的抛物线，如图所示.若关于x 的一元二次不等式260x x a -+≤的解集中有且仅有3个整数，因为对称轴为3x =,则2226201610a a ⎧-⨯+≤⎨-⨯+>⎩解得58a <≤，.又a ∈Z ，故a 可以为6，7，8.12、下列说法正确的是（BCD ）A.若R x ∈，则21≥+xx B.若51≤<≤-y x ，则06<-≤-y x C.“1>x 或2>y ”是“3>+y x ”的必要不充分条件D.若||||b b a a >，则ba >三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13、设A ＝{x |－1<x ≤3}，B ＝{x |x >a }，若A ⊆B ，则a 的取值范围是_a ≤－1_______．14、已知⎪⎩⎪⎨⎧>+=<=0,10,10,0)(x x x x x f ，则)))1(((-f f f 的值是_____2_____．15、若}31|{≤≤∈∃x x x ，使得不等式022≥++a x x 成立，则实数a 的取值范围为15-≥a .16、已知1,=+∈+b a R b a ，,则：（1）2121+++b a 的最小值是__54_________;（2）11b a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值是2+.【解析】（1）由于1,=+∈+b a R b a ，，则5)2()2(=+++b a 所以54)222121512121≥++++++=+++b a b a b a （，当且仅当21==b a 时等号成立；（2）22222111()22(2b b a b b a ab b a b abab ab ++++++===当且仅当a =即2a =，1b =-时等号成立.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17、已知集合{}2|2A x x -=≤≤，集合{}|1B x x =>.（1）求()R C B A ⋂；（2）设集合{}|6M x a x a =<<+，且A M M ⋃=，求实数a 的取值范围.【解析】（1） 集合{}1B x x =.则{}|1R C B x x =≤ 集合{}|22A x x =-≤≤，则(){}|21R C B A x x ⋂=-≤≤(2) 集合{}|6M x a x a =<<+，且A M M ⋃=，则MA ⊆622a a +>⎧∴⎨<-⎩,解得42a -<<-，故实数a 的取值范围为{}|42a a -<<-18、设集合{}2|230A x x x =+-<，集合{|||1}B x x a =+<.（1）若3a =，求A B ；（2）设命题 : p x A ∈，命题:q x B ∈，若p 是q 成立的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.【解析】（1）{}{}2|230|31A x x x x x =+-<=-<<.因为3a =，所以{||3|1}{|42}B x x x x =+<=-<<-，因此{|41}A B x x =-<<（2）{}|31A x x =-<<，{|||1}{|11}B x x a x a x a =+<=--<<-，因为p 是q 成立的必要不充分条件，所以集合B 是集合A 的真子集，因此有⎩⎨⎧≤--≥--1131a a ，解得02a ≤≤.19、已知函数x x x f 2622)(-+-=.（1）求)(x f 的定义域；（2）求)(x f 的值域.【解析】（1）由⎩⎨⎧≥-≥-026022x x 得)(x f 的定义域为]3,1[；（2）易知0)(≥x f .又121642426)26)(22(222)(22-+-+=-+--+-=x x x x x x x f =1)2(442+--+x .由于)(x f 的定义域为]3,1[，易得]8,4[)(2∈x f ，故求)(x f 的值域为]22,2[.20、已知：()2:,21p x R x m x ∀∈>+，0:,q x R ∃∈200210x x m +--=，（1）若q 是真命题，求实数m 的取值范围；（2）若p 、q ⌝均为真命题，求实数m 的取值范围.【解析】（1）因为0:R,q x ∃∈200210x x m +--=为真命题，所以方程2210x x m +--=有实根，所以判别式()4410m ∆=++≥，得实数m 的取值范围为2m ≥-.（2）()221x m x >+可化为220mx x m -+<，若:R,p x ∀∈()221x m x >+为真命题，则220mx x m -+<对任意的x ∈R当0m =时，不等式可化为20x -<，显然不恒成立；当0m ≠时，有2440m m <⎧⎨-<⎩，1m ∴<-.由（1）知，若q ⌝为真命题，则2m <-，又p、q⌝均为真命题，所以实数m需满足12mm<-⎧⎨<-⎩，解得2m<-，所以实数m的取值范围为2m<-.21、某单位决定投资3200旧墙不花钱，正面用铁栅，每1m长造价40元；两侧墙砌砖，每1m长造价45元（不考虑铁栅及墙体的厚度和高度）.（1）若该仓库不需要做屋顶，求该仓库占地面积S的最大值；（2）若为了使仓库防雨，需要为仓库做屋顶.顶部每21m造价20元，则当仓库占地面积S取最大值时，正面铁栅应设计为多长？【解析】设铁栅长为()0x x>米，一侧砖墙长为()0y y>米，则仓库占地面积S（1）402453200x y+⨯=，6400493209S xyx y+==≥≤当且仅当9160,40==yx时取等号.故该仓库占地面积S的最大值为96400.（2）依题设，得40245203200x y xy+⨯+=，由基本不等式得3200202020xy xy S≥+=+=，则1600S+-≤，即)10160+≤，故10≤S，从而100≤S，当且仅当4090x y=且100xy=即15x=时取等号，所以S的最大值是100平方米，故此时铁栅的长是15米.22、（1）已知a，b，c均为正数,求证:aacb-+32+bbca223-++3332≥-+ccba；（2）已知正数x，y满足2x y+=，若2122+++<yyxxa恒成立，求实数a的取值范围.【解析】（1）证明∵a，b，c均为正数,∴ab2+ba2≥2ac3+ca3≥2bc23+cb32≥2以上三式相加,得ab2+ba2+ac3+ca3+bc23+cb32≥6∴（ab2+ba2-1）+（ac3+ca3-1）+（bc23+cb32-1）≥3即aacb-+32+bbca223-++3332≥-+ccba.(当且仅当a=2b=3c时等号成立).（2）解：由于正数x ，y 满足2x y +=，所以(1)(2)5x y +++=，所以：12155x y +++=则2222(11)(22)1212x y x y x y x y +-+-+=+++++，22(1)2(1)1(2)4(2)412x x y y x y +-+++-++=+++，14122412x y x y =+-+++-+++，14112x y =+-++，1214()()15512x y x y ++=++-++14(1)24155(2)5(1)5x y y x ++=+++-++≥4115-+，当且仅当34,32==y x 等号成立要使2122+++<y y x x a 恒成立，只需满足min21）（+++<y x a 即可，故54<a ．。
2020-2021学年湖南省长沙市雅礼中学高一上学期第一次月考数学试题(解析版)
2020-2021学年湖南省长沙市雅礼中学高一上学期第一次月考数学试题一、单选题1．若集合{},,a b c 中的三个元素可构成某个三角形的三条边长，则此三角形一定不是（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形【答案】D【解析】根据集合中元素的互异性可知，D 正确；给,,a b c 取特值可知，,,A B C 不正确. 【详解】根据集合中元素的互异性可知，a b c ≠≠，所以此三角形一定不是等腰三角形，故D 正确；当3,4,5a b c ===时，三角形为直角三角形，故A 不正确； 当 6.8.9a b c ===时，三角形为锐角三角形，故B 不正确； 当6,8,11a b c ===时，三角形为钝角三角形，故C 不正确； 故选：D. 【点睛】本题考查了集合中元素的互异性，属于基础题. 2．集合{}12A x x =-≤≤，{}1B x x =<，则()A B =R（ ）A ．{}1x x > B ．{}1x x ≥C ．{}12x x <≤D ．{}12x x ≤≤【答案】D【解析】根据{}1B x x =<，利用补集的定义求得RB ，然后再利用交集运算求解.【详解】因为{}1B x x =<， 所以{}R1B x x =≥.又{}12A x x =-≤≤，(){}R 12A B x x ∴⋂=≤≤.故选：D 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题.3．设A 、B 、U 均为非空集合，且满足A B U ⊆⊆，则下列各式中错误的是（ ） A ．()U C A B U =B ．()()U U UC A C B C B = C ．()U A C B ⋂=∅D ．()()U U C A C B U =【答案】D【解析】做出韦恩图，根据图形结合交集、并集、补集定义，逐项判断，即可得出结论. 【详解】A B U ⊆⊆，如下图所示，则U U C B C A ⊆，()U C A B U =，选项A 正确，()()U U U C A C B C B =，选项B 正确， ()U A C B ⋂=∅，选项C 正确，()()U U U C A C B C A U =≠，所以选项D 错误.故选:D.【点睛】本题考查集合交、并、补计算，利用韦恩图是解题的关键，属于基础题. 4．“a ，b 为正数”是“2a b ab +>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】通过举反例可得答案. 【详解】当0a b =>时，2a b ab +=，故“a ，b 为正数”是“2a b ab +>的不充分条件当1,0a b ==时，满足a b +>a ，b 为正数，故“a ，b 为正数”是“a b +>的不必要条件综上：“a ，b 为正数”是“a b +>的既不充分也不必要条件 故选：D 【点睛】本题考查的是充分条件和必要条件的判断，较简单.5．已知命题p ：01x ∃>，2010x ->，那么p ⌝是（ ）A ．01x ∀>，210x ->B ．01x ∃>，2010x -≤ C ．01x ∀>，2010x -≤D ．01x ∃≤，2010x -≤【答案】C【解析】直接利用特称量词的否定得到答案. 【详解】解：命题P ：01x ∃>，2010x ->，那么P ⌝：01x ∀>，2010x -≤.故选：C. 【点睛】本题考查了特称量词的否定，属于简单题.6．已知函数(21)43(R)f x x x -=+∈，若()15f a =，则实数a 之值为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】令21x a -=，则12a x +=，再由1()43152+=⨯+=a f a 求解. 【详解】令21x a -=，则12a x +=， 所以1()43252a f a a +=⨯+=+， 由2515a +=， 解得5a =. 故选：D ． 【点睛】本题主要考查已知函数值求参数问题，属于基础题.7．已知命题“x ∃∈R ，使()214204x x a ++-≤”是假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．0a < B ．04a ≤≤ C ．4a ≥ D ．94a >【答案】D【解析】根据特称命题的真假关系即可得到结论． 【详解】 解：命题“x R ∃∈，使()214204x x a ++-”是假命题， ∴命题“x R ∀∈，使()214204x x a ++->”是真命题， 即判别式()21144204a ∆=-⨯⨯-<，所以94a >， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查含有量词的命题的真假应用，利用一元二次不等式的性质是解决本题的关键，基础题．8．已知2x >，则函数()124f x x x =+-的最小值为（ ）A ．2+B ．2+C ．2D ．【答案】A【解析】对()11222242f x x x x x =+=-++--进行变形，然后利用基本不等式求最小值即可. 【详解】 当2x >时，()1122222242f x x x x x =+=-++≥=--当且仅当1222x x -=-，即22x =+取等号，所以()f x 的最小值为2 故选： A.本题考查了利用基本不等式求最小值，注意等号成立的条件.二、多选题9．使0ab >成立的充分不必要条件可以是（ ） A ．0a >，0b > B ．0a b +>C ．0a <，0b <D ．1a >，1b >【答案】ACD【解析】根据题意逐一判断即可. 【详解】由0a >，0b >可以推出0ab >，反之不成立，故A 满足题意 当5,4a b ==-时满足0a b +>，但不满足0ab >，故B 不满足题意 由0a <，0b <可以推出0ab >，反之不成立，故C 满足题意 由1a >，1b >可以推出0ab >，反之不成立，故D 满足题意 故选：ACD 【点睛】本题考查的是充分必要条件的判断，较简单. 10．（多选题）下列命题为真命题的是（ ） A ．若0a b >>，则22ac bc > B ．若0a b <<，则22a ab b >> C ．若0a b >>且0c <，则22c ca b > D ．若a b >且11a b>，则0ab < 【答案】BCD 【解析】当0c 时，可判断选项A 不成立；分别利用不等式的性质可判断选项BCD正确． 【详解】 选项A ：当0c时，不等式不成立，故本命题是假命题；选项B : 2222,00a b a b a ab ab b a ab b a b ⎧<<⎧⇒>⇒>∴>>⎨⎨<<⎩⎩，所以本命题是真命题； 选项C : 22222211000,0c ca b a b c a b a b >>⇒>>⇒<<<∴>，所以本命题是真命题； 选项D :111100,00b aa b b a ab a b a b ab->⇒->⇒>>∴-<∴<，所以本命题是真命题； 故选:BCD ．本题以命题的形式考查不等式性质的应用，熟记公式是解题的关键，考查学生的计算能力，属于中档题．11．已知a∈Z，关于x的一元二次不等式260x x a-+≤的解集中有且仅有3个整数，则a的值可以是（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】CD【解析】设2()6f x x x a=-+，其图象是开口向上，对称轴是3x=的抛物线，如图所示．利用数形结合的方法得出，若关于x的一元二次不等式260x x a-+的解集中有且仅有3个整数，则(2)0{(1)0ff>，从而解出所有符合条件的a的值．【详解】设()26f x x x a=-+，其图像为开口向上，对称轴是3x=的抛物线，如图所示.若关于x的一元二次不等式260x x a-+≤的解集中有且仅有3个整数，因为对称轴为3x=，则2226201610⎧-⨯+≤⎨-⨯+>⎩aa解得58a<≤，又a∈Z，故a可以为6，7，8.故选：CD【点睛】本题考查了有特殊要求的一元二次不等式的解法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．12．下列说法正确的是（）A ．若x ∈R ，则12x x+≥ B ．若15x y -≤<≤，则60x y -≤-<C ．“1x >或2y >”是“3x y +>”的必要不充分条件D ．若a ab b ，则a b >【答案】BCD【解析】A. 由0x <判断； B.根据15x y -≤<≤，由不等式的基本性质判断；，C.利用等价命题判断； D.令()22,0,0x x f x x x x x ⎧≥==⎨-<⎩，利用函数的单调性判断；如图所示：【详解】A. 当0x <时，12x x+≥不成立，故错误； B.因为15x y -≤<≤，所以51y -≤-≤，由不等式的基本性质，则60x y -≤-<，故正确；C. “1x >或2y >”，则“3x y +>”的逆否命题是“3x y +≤”，则“1x ≤且2y ≤”是假命题，故不充分，“1x >或2y >”，则“3x y +>”的否命题是“1x ≤且2y ≤” ，则“3x y +≤”是真命题，故必要，故正确；D.当()22,0,0x x f x x x x x ⎧≥==⎨-<⎩，如图所示：()f x 在R 上递增，由()()f a f b >则a b >，故正确；故选：BCD 【点睛】本题主要考查不等式的基本性质以及逻辑条件的判断，还考查分析求解问题的能力，属于中档题.三、填空题13．设{}|13A x x=-<≤，{}|=>B x x a，若A B⊆，则a的取值范围是______.【答案】1a≤-【解析】依据题中条件:“A B⊆”结合数轴求解即可，本题即要考虑a对应的点与区间[]1,3-的端点的关系即得.【详解】根据题意画出数轴，如图所示，结合数轴:A B⊆,a∴对应的点必须在区间[]1,3-的左端点1-的左侧，1a∴≤-.故答案为：1a≤-.【点睛】本题主要考查的是元素与集合、集合之间的关系，是基础题.14．已知()0,01,01,0xf x xx x<⎧⎪==⎨⎪+>⎩，则()()()1f f f-=______．【答案】2【解析】先求出()1f-，进而可求出()()1f f-，最后即可求出()()()1f f f-【详解】解：因为10-<，所以()10f-=，则()()()101f f f-==，因为10>，所以()()()()112f f f f-==，故答案为:2.【点睛】本题考查了分段函数函数值的求解，属于基础题.15．若{}13x x x∃∈≤≤，使得不等式220x x a++≥成立，则实数a的取值范围为______．【答案】15a ≥-【解析】令()22f x x x =--，求出()f x 的最小值即可.【详解】解：即{}13x x x ∃∈≤≤，使22a x x ≥--成立， 令()()22211f x x x x =--=-++，{}13x x x ∈≤≤时，()()22211f x x x x =--=-++单调递减，()()()31513f f x f =-≤≤=-，则实数a 的取值范围为15a ≥-.故答案为：15a ≥-. 【点睛】考查不等式能成立求参数的取值范围，基础题.四、双空题16．已知a ，b R +∈，1a b +=，则： （1）1122a b +++的最小值是______． （2）11b a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值是______．【答案】452+ 【解析】(1)将1a b +=配凑为()()225a b +++=，然后利用常数代换后，再利用基本不等式，即可求出1122a b +++最小值； (2)将11b a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭通分后可得21b ab+，然后将分母中的利用1的代换可得2222b a ab ab ++，再利用基本不等式，即可求出最小值. 【详解】(1)由于a ，b R +∈，1a b +=，则()()225a b +++=所以11111[(2)(2)]22522a b a b a b ⎛⎫+=++++ ⎪++++⎝⎭ 12211522b a a b ++⎛⎫=+++ ⎪++⎝⎭1222522b a a b ++⎛⎫=++ ⎪++⎝⎭14255⎛⎫≥= ⎪ ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时等号成立； (2)()2222211122b a b b b a ab b a b ab ab ab+++++⎛⎫+===⎪⎝⎭2)2ab ab=≥，当且仅当a =，即2a =，1b =时等号成立.【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最小值，属于中档题.在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特点灵活变形，配凑出和或积为常数的形式，主要思路为：(1)对所求目标函数的不等式求解，常用方法为：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法；(2)根据条件变形，常用“1”的代换求目标函数的最值.五、解答题17．已知集合{}2|2A x x -=≤≤，集合{}|1B x x =>. （1）求()R C B A ⋂；（2）设集合{}|6M x a x a =<<+，且A M M ⋃=，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）(){|21}R C B A x x ⋂=-≤≤（2）{}|42a a -<<- 【解析】（1）根据集合的补集和并集的定义计算即可 （2）根据并集的定义得出关于a 的不等式组，求出解集即可 【详解】 （1）集合{}1B x x =.则{}|1R C B x x =≤集合{}|22A x x =-≤≤， 则(){}|21R C B A x x ⋂=-≤≤ (2)集合{}|6M x a x a =<<+，且A M M ⋃=622a a +>⎧∴⎨<-⎩,解得42a -<<-故实数a 的取值范围为{}|42a a -<<- 【点睛】本题主要考查了交集、并集、补集的运算，在解答时需要将并集转化为子集问题来求解． 18．设集合{}2|230A x x x =+-<，集合{|||1}B x x a =+<. （1）若3a =，求AB ；（2）设命题 : p x A ∈，命题:q x B ∈，若p 是q 成立的必要不充分条件，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{|41}AB x x =-<<；（2）02a ≤≤.【解析】（1）解一元二次不等式、绝对值不等式化简集合,A B 的表示，再利用集合并集的定义，结合数轴进行求解即可；（2）根据必要不充分对应的集合间的子集关系，结合数轴进行求解即可. 【详解】（1）{}{}2|230|31A x x x x x =+-<=-<<.因为3a =，所以{||3|1}{|42}B x x x x =+<=-<<-， 因此{|41}AB x x =-<<；（2）{}|31A x x =-<<，{|||1}{|11}B x x a x a x a =+<=--<<-， 因为p 是q 成立的必要不充分条件，所以集合B 是集合A 的真子集，因此有1113a a -≤⎧⎨-->-⎩或1113a a -<⎧⎨--≥-⎩，解得02a ≤≤.【点睛】本题考查了集合的并集的运算，考查了由必要不充分条件求参数问题，考查了一元二次不等式、绝对值不等式的解法，考查了数学运算能力.19．已知函数()f x = （1）求()f x 的定义域； （2）求()f x 的值域．【答案】（1）[]1,3；（2）2,⎡⎣.【解析】（1）利用偶次根式被开方数非负可解出函数()y f x =的定义域；（2）把()f x =()24f x =+，再求241612x x -+-的值域即可，然后逆推回去即可求解函数()y f x =的值域.【详解】 解：（1）由220620x x -≥⎧⎨-≥⎩，得()f x 的定义域为[]1,3；（2）易知()0f x ≥．又()222624f x x x =-+-=+4=+2x =时，()221x --+有最大值1，1x =或3x =时，()221x --+有最小值0，所以[]1,3x ∈时，易得()[]24,8f x ∈，故求()f x 的值域为2,⎡⎣．【点睛】本题考查函数定义域的求解，同时也考查了函数值域的求解，将问题转化为二次函数在区间上的值域问题是解答的关键，考查化归与转化思想，属于中等题.20．已知p ：x R ∀∈，()221x m x >+，q ：0x R ∃∈，200210x x m +--=，（1）若q 是真命题，求实数m 的取值范围； （2）若p 、q ⌝均为真命题，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）2m ≥-；（2）2m <-.【解析】（1）条件可转化为方程2210x x m +--=有实根，然后可求出答案； （2）先求出p 为真命题的答案，然后结合（1）可得出实数m 的取值范围． 【详解】（1）因为q ：0R x ∃∈，200210x x m +--=为真命题，所以方程2210x x m +--=有实根，所以判别式()4410m ∆=++≥， 得实数m 的取值范围为2m ≥-．（2）()221x m x >+可化为220mx x m -+<，若p ：R x ∀∈，()221x m x >+为真命题，则220mx x m -+<对任意的x ∈R 恒成立，当0m =时，不等式可化为20x -<，显然不恒成立； 当0m ≠时，有2440m m <⎧⎨-<⎩，∴1m <-．由（1）知，若q ⌝为真命题，则2m <-， 又p 、q ⌝均为真命题，所以实数m 需满足12m m <-⎧⎨<-⎩，解得2m <-，所以实数m 的取值范围为2m <-． 【点睛】本题考查的是命题和命题否定的真假性的应用，考查了分类讨论的思想，属于基础题. 21．某单位决定投资3200元建一仓库（长方体状），该仓库的高度为一定值，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每1m 长造价40元；两侧墙砌砖，每1m 长造价45元（不考虑铁栅及墙体的厚度和高度）．（1）若该仓库不需要做屋顶，求该仓库占地面积S 的最大值；（2）若为了使仓库防雨，需要为仓库做屋顶，顶部每21m 造价20元，则当仓库占地面积S 取最大值时，正面铁栅应设计为多长？ 【答案】（1）64009；（2）15米． 【解析】（1）设铁栅长为()0x x >米，一侧砖墙长为()0y y >米，则仓库占地面积S xy =，由条件可得402453200x y +⨯=，然后利用基本不等式求出xy 的最大值即可；（2）根据题意可得40245203200x y xy +⨯+=，然后利用基本不等式可求出答案. 【详解】设铁栅长为()0x x >米，一侧砖墙长为()0y y >米，则仓库占地面积Sxy =．（1）402453200x y +⨯=，49320x y +=≥=64009S xy =≤ 当且仅当40x =，1609y =时取等号，故该仓库占地面积S 的最大值为64009． （2）依题设，得40245203200x y xy +⨯+=，由基本不等式得3200202020xy xy S ≥==，则1600S +≤，即)10160≤10≤，从而100S ≤，当且仅当4090x y =且100xy =即15x =时取等号，所以S 的最大值是100平方米，故此时铁栅的长是15米． 【点睛】本题考查的是基本不等式的实际应用，考查了学生的阅读理解能力，属于基础题. 22．（1）已知a ，b ，c 均为正数，求证：233223323b c a a c b a b ca b c+-+-+-++≥； （2）已知正数x ，y 满足2x y +=，若2212x y a x y <+++恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）45a <. 【解析】（1）利用综合法结合基本不等式证明不等式；（2）先求出12155x y +++=，再结合基本不等式求出2212x y x y +++的最小值，即得解. 【详解】（1）证明∵a ，b ，c 均为正数，∴222b a a b +≥ 323c a a c +≥ 32223c bb c+≥ 以上三式相加，得233262323b a c a c b a b a c b c+++++≥ ∴233211132323b a c a c b a b a c b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-++-++-≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即233223323b c a a c b a b ca b c+-+-+-++≥．（当且仅当23a b c ==时等号成立）． （2）解：由于正数x ，y 满足2x y +=，所以()()125x y +++=，所以：12155x y +++= 则()()222211221212x y x y x y x y +-+-+=+++++，()()()()221211242412x x y y x y +-+++-++=+++， 14122412x y x y =+-+++-+++14112x y =+-++，121415512x y x y ⎛⎫++⎛⎫=++-⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，()()()4112441115525155x y y x ++=+++-≥-+=++， (当且仅当23x =，43y =等号成立) 要使2212x y a x y <+++恒成立，只需满足22min12x y a x y ⎛⎫<+ ⎪++⎝⎭即可，故45a <． 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，考查不等式的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.。
湖南省长沙市雅礼中学2020-2021学年高二下学期入学考试数学试题
湖南省长沙市雅礼中学2020-2021学年高二下学期入学考试数学试题湖南省长沙市雅礼中学2020-2021学年高二下学期入学考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知复数421i z i+=+（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是,M I N ，中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是 A ．815 B ．18 C ．115 D ．1303．函数3()2f x x ax a =-+在(0,1)内有极小值，则实数a 的取值范围为（） A ．(0,3) B ．(,3)-∞ C ．(0,)+∞ D ． 4．已知2:0- <<="" a="" b="" bdsfid="103" c="" d="" p="" x="" 的一个必要不充分条件是（="" ）="" ，那么命题p="" ．01x="" ．11x="" ．1223x="" ．122<="">x << 5．在由0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中,能被5整除的有( ) A ．512个B ．192个C ．240个D ．108个 6．已知函数()22cos f x x x =+，若()f x '是()f x 的导函数，则函数()f x '的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．7．已知双曲线M 的焦点12,F F 在x 30y +=是双曲线M 的一条渐近线，点P 在双曲线M 上，且120PF PF ?=，如果抛物线2 16y x =的准线经过双曲线M的一个焦点，那么12||||PF PF ?=（） A ．21 B ．14 C ．7 D ．08．有六名同学参加演讲比赛，编号分别为1，2，3，4，5，6，比赛结果设特等奖一名，A ，B ，C ，D 四名同学对于谁获得特等奖进行预测.A 说：不是1号就是2号获得特等奖；B 说：3号不可能获得特等奖；C 说：4，5，6号不可能获得特等奖；D 说：能获得特等奖的是4，5，6号中的一个.公布的比赛结果表明，A ，B ，C ，D 中只有一个判断正确.根据以上信息，获得特等奖的是（）号同学.A ．1B ．2C ．3D ．4，5，6号中的一个 9．ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC 的面积为2224a b c +-，则C = A ．π2 B ．π3 C ．π4 D ．π610．设()f x 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0x <时，()()()()''0f x g x f x g x ->，且()03g =，则不等式()()0f x g x <的解集是（） A ．()()3,03,-?+∞ B ．()()3,00,3- C ．()(),33,-∞-+∞ D ．()(),30,3-∞- 11．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R 与产量x 的关系式为R(x)= 21400x ,0400,{?280000,400,x x x -≤≤>则总利润最大时，每年生产的产品是 ( )A ．100单位B ．150单位C ．200单位D ．300单位12．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=＞＞过右焦点F 且斜率为(0)k k ＞的直线与C 相交于A B 、两点．若3AF FB =，则k =A ．1BCD ．2二、填空题13．双曲线221x y -=的离心率为14．如图，平面PAD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，90PAD ∠=?，且2PA AD ==，E ，F 分别是线段PA ，CD 的中点，则异面直线EF 与BD 所成角的余弦值为______.15．有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不能相邻，有______种不同的站法.16．已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a =________三、解答题17．已知在等比数列{}n a 中, 11a =,且2a 是1a 和31a -的等差中项.（1）求数列{}n a 的通项公式;（2）若数列{}n b 满足()*21n n b n a n N =-+∈,求{}n b 的前n 项和n S .18．已知函数()()22sin cos cos x x f x x x R x --∈=.（1）求23f π?? ???的值. （2）求()f x 的单调递增区间.19．《中华人民共和国道路交通安全法》第47条的相关规定：机动车行经人行道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”《中华人民共和国道路交通安全法》第90条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣3分，罚款50元的处罚.下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为统计数据：（1）请利用所给数据求不“礼让斑马线”驾驶员人数y 与月份x 之间的回归直线方程ybx a =+，并预测该路口9月份的不“礼让斑马线”驾驶员人数；（2）若从表中1月份和4月份的不“礼让斑马线”驾驶员中，采用分层抽样方法抽取一个容量为7的样本，再从这7人中任选2人进行交规调查，求抽到的两人恰好来自同一月份的概率. 参考公式：()()()1 122211?n n i i i ii i n n i i i i x y nx y x x y y b x nx x x ====---==--∑∑∑∑，??a y bx =-. 参考数据：511415ii i x y ==∑.20．如图，在边长为4的菱形ABCD 中,60DAB ∠=，点,E F 分别是,CD CB 的中点，AC EF O ?=，沿EF 将CEF ?翻折到PEF ?，连接,,PA PB PD ，得到如图的五棱锥P ABFED -，且PB =（1）求证：BD ⊥平面POA （2）求二面角--B AP O 的余弦值.21．如图所示，在直角坐标系xOy 中，点11,2P ?? ???到抛物线C ：()220y px p =>的准线的距离为54.点(),1M t 是C 上的定点，A ，B 是C 上的两动点，且线段AB 的中点(),Q m n 在直线OM 上.（1）求曲线C 的方程及点M 的坐标；（2）记()d m =，求弦长AB （用m 表示）；并求d 的最大值.22．已知函数()(2)(1)2ln f x a x x =---，1()x g x xe -=，（,a R e ∈为自然对数的底数）.（1）若不等式()0f x >对于一切1(0,)2x ∈恒成立，求a 的最小值；（2）若对任意的0(0,]x e ∈，在(0,]e 上总存在两个不同的i x (1,2)i =，使0()()i f x g x =成立，求a 的取值范围.参考答案1．D【分析】利用复数的除法运算化简出3322z i=-，即可得出对应点，便可得所在象限.【详解】解：∵41i=，∴复数()()()31213311122iz ii i i-+===-++-，即3322z i=-，则对应点坐标为33,22-，位于第四象限.故选：D.【点睛】本题考查复数的除法运算，复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题.2．C【解析】试题分析：开机密码的可能有(,1),(,2),(,3),(,4),(,5),(,1),(,2),(,3),(,4),(,5)M M M M M I I I I I，(,1),(,2),(,3),(,4),(,5)N N N N N，共15种可能，所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率是115，故选C．【考点】古典概型【解题反思】对古典概型必须明确两点：①对于每个随机试验来说，试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相等．只有在同时满足①、②的条件下，运用的古典概型计算公式()mP An=（其中n是基本事件的总数，m是事件A包含的基本事件的个数）得出的结果才是正确的．3．D【解析】试题分析：对于函数，求导可得，∵函数在（0，1）内有极小值，∴，则其有一根在（0，1）内，a ＞0时，3x 2-2a=0两根为±，若有一根在（0，1）内，则0＜＜1，即0＜a ＜．a=0时，3x 2-3a=0两根相等，均为0，f （x ）在（0，1）内无极小值．a ＜0时，3x 2-3a=0无根，f （x ）在（0，1）内无极小值，综合可得，0＜a ＜．考点：考查利用导数研究函数的极值问题，体现了转化的思想方法．4．B【详解】解: p ：x 2－x <0的充要条件为0<x<="" bdsfid="270" p=""></x【解析】试题分析：由于能被5整除的数，其个位必为0或5，由此分两类：第一类：个位为0的，有个；第二类：个位为5的，再分两小类：第1小类：不含0的，有个，第2小类：含0的，有个，从而第二类共有48个；故在由数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的个数有60+48=108个，故选D ．考点：排列组合．6．A【分析】先求导数，再利用二次求导研究导函数零点以及对应区间导函数符号，即可判断选择.【详解】()()()22cos 22sin 22cos 0f x x x f x x x f x x '''=+∴=-∴=-≥因此当0x =时，()0f x '=；当0x >时，()()00f x f ''>=；当0x <时，()()00f x f ''<=；故选：A【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性以及零点，考查基本分析判断能力，属中档题. 7．B【解析】试题分析：因为双曲线M 的焦点12,F F 在x 轴上，所以设双曲线方程为，因为抛物线的准线过双曲线的焦点，且一条渐近线方程为730x y +=，所以，解得；因为点P 在双曲线M 上，且120PF PF ?=，所以，解得；故选B ．考点：1.双曲线的定义和几何性质；2.抛物线的几何性质．8．C【分析】因为只有一人猜对，而C ，D 互相否定，故C ，D 中一人猜对，再分类讨论，综合分析即可得出结论.【详解】解：因为C ，D 互相否定，故C ，D 中一人猜对，假设D 对，则B 也对与题干矛盾，故D 错，猜对者一定是C ，于是B 一定猜错，A 也错，则获得特等奖的是：3号同学.故选：C.【点睛】本题考查合情推理的应用，同时考查推理能力、分析和解决问题的能力，属于基础题. 9．C【解析】分析：利用面积公式12ABC S absinC =和余弦定理2222a b c abcosC +-=进行计算可得．详解：由题可知222124ABC a b c S absinC +-== 所以2222absinC a b c +-=由余弦定理2222a b c abcosC +-=所以sinC cosC =()C 0,π∈C 4π∴=故选C.点睛：本题主要考查解三角形，考查了三角形的面积公式和余弦定理．10．A【分析】构造函数()()()g x F x f x =，根据已知条件，可判断出()F x 的奇偶性和单调性，且()()330F F =-=，将求不等式()()0f x g x <的解集，转化成求()0F x <的解集，即可得出答案.【详解】解：根据题意，设函数()()()g x F x f x =，由于当0x <时，()()()()''0f x g x f x g x ->，即：()()()()''0g x f x g x f x -<所以()()()()()()2'0'g x f x g x f F x f x x '=则()F x 在(),0-∞上为减函数，因为()f x 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，则()()()()()()g x g x F x F x f x f x -===---，所以()F x 在R 上为奇函数，则()F x 在()0,+∞上也为减函数，由于()03g =，所以()()()3303g F f ==，即()30F =，()30F -=，因为()()()()()()()22g x f x g x f x f x F x f x =?=?，要求不等式()()0f x g x <，即求()0F x <，解得：30x -<<或3x >，则不等式()()0f x g x <的解集为：()()3,03,-?+∞.故选：A.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，结合运用函数的奇偶性解不等式，还考查构造函数的思想及等价转化思想，属于中档题.11．D【分析】利用总收益与成本的差可得总利润关于x 的解析式，利用分段函数的性质，分别求出两段函数的最值，从而可得结果.【详解】设总成本为C 元，总利润为P 元，则C=20000+100x ，P=R-C=2x 30020000,0400,{260000100,400,x x x x --≤≤->所以P′=300,0400,{100,400,x x x -≤≤-> 令P′=0，得x=300．当0<x0；当x>300时，P′<0．所以当x=300时，P 取得最大值，故选D ．</x【点睛】本题考查的是函数模型的应用．解决函数模型应用的解答题，要注意以下几点：①读懂实际背景，将实际问题转化为函数模型．②对涉及的相关公式，记忆要准确．③在求解的过程中计算要正确．另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法，才能快速正确地求解． 12．B【解析】因为2c e a ==，所以2c a =，从而22224a b a c =-=，则椭圆方程为222241x y a a +=．依题意可得直线方程为()y k x =-，联立2222(){41y k x x y a a =+=可得22222(14)(31)0k x ax k a +-+-=设,A B 坐标分别为1122(,),(,)x y x y，则2212122(31)14k a x x x x k-+==+ 因为3AF FB =，所以1122(,)3(,)22a x y x a y --=-，从而有123x x += ① 再由3AF FB =可得3AF FB =，根据椭圆第二定义可得12()3()2323a x a x -=?-，即2133x x a -= ② 由①②可得12,39x a x a ==，所以2221225(31)914k a x x a k -?==+，则22(31)5149k k -=+，解得k =0k >，所以k =B 13【解析】思路分析：由题可得，故离心率考点：此题考查双曲线离心率的计算.点评：简单题，知道离心率的计算公式即可解答.14【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，求出()1,2,1EF =-，()2,2,0BD =-，再利用向量法求异面直线的夹角公式求出结果.【详解】以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系Axyz ，则()0,0,1E ，()1,2,0F ，()2,0,0B ，()0,2,0D . ()1,2,1EF =-，()2,2,0BD =-，故cos ,66EF BDEF BD EF BD ?-====?..【点睛】本题考查利用空间向量法求异面直线的夹角，属于基础题.15．24【分析】利用捆绑法，将甲和乙捆绑排列，再把甲乙当成一个整体与戊排列，再利用插空法将丙丁插入3个空位中，便可算出结果.【详解】解：由题知，5名同学站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不能相邻，故有22222324A A A =（种）不同的方法.故答案为：24.【点睛】本题考查排列的应用，利用捆绑法和插空法解决相邻和不相邻问题，属于中档题. 16．12【分析】令1t x =-，得到()f t 的解析式，判断出()f t 是偶函数，从而得到()f x 的图像关于1x =成轴对称，根据函数()f x 有唯一零点，得到()10f =，从而得到a 的方程，解出a 的值.【详解】()()()()221111211x x x x f x x x a e e x a e e --+--+=-++=--++ 设1t x =-，则()()21t t f t t a e e -=-++定义域为R ，()()()()21t t f t t a e e f t --=--++= 所以()f t 为偶函数，所以()f x 的图像关于1x =成轴对称要使()f x 有唯一零点，则只能()10f =，即()2001210a e e -?++= 解得12a =，故答案为：12. 【点睛】本题考查判断函数奇偶性，根据函数的零点求参数的值，属于中档题.17．(1) 12n n a (2) n S 221n n =+-【分析】(1)由题意结合等差数列的性质得到关于公比的方程，解方程求得公比的值，然后结合首项求解数列的通项公式即可.(2)结合(1)的结果首先确定数列{}n b 的通项公式，然后分组求和即可求得数列{}n b 的前n 项和n S .【详解】(1)设等比数列{}n a 的公比为q ,则2a q =,23a q =, ∵2a 是1a 和31a -的等差中项,∴()21321a a a =+-,即()2211q q =+-,解得2q =,∴12n n a -=.(2) 121212n n n b n a n -=-+=-+,则()()11321122n n S n -??=+++-++++?? ()12112212nn n ??+--??=+-. 221n n =+-.【点睛】数列求和的方法技巧：(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．18．（1）223f π??=（2）2,63k k k Z ππππ??++∈ 【分析】（1）已知()f x 的解析式，代入23x π=，直接算出23f π?? ???的值；（2）利用二倍角公式和辅助角公式化简得()2sin 26f x x π??=-+ ，结合正弦函数的单调性，即可求出()f x 的单调递增区间.【详解】解：（1）由2sin 3π=21cos 32π=-， 22211232222f π=----= ? ? ? ????，即：223f π=. （2）由22cos 2cos sin x x x =-与sin 22sin cos x x x =得()cos 222sin 26x x f x x π??=-=-+ ??，由正弦函数的性质得3222262k x k πππππ+≤+≤+，k Z ∈，解得263k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈，所以()f x 的单调递增区间是2,63k k k Z ππππ??++∈. 【点睛】本题考查正弦型函数的单调性，还运用二倍角正弦和余弦公式、辅助角公式、特殊角的三角函数值化简求值，属于基础题.19．（1）8.5125.5y x =-+，49人；（2）37. 【分析】(1)先求得3x =,100y =,再代入公式计算即可.(2)利用枚举法将基本事件全部列出再求概率即可.【详解】（1）由表中数据知,3x =,100y =, 122114151500?8.55545n i ii n i i x y nx y b xnx ==--===---∑∑,??125.5a y bx =-=, ∴所求回归直线方程为8.5125.5y x =-+.令9x =,则8.591?25.549y=-?+=人. （2）由已知可得：1月份应抽取4位驾驶员,设其编号分别为1a ,2a ,3a ,4a ,4月份应抽取3位驾驶员,设其编号分别为1b ,2b ,3b ,从这7人中任选2人包含以下基本事件,()12,a a ,()13,a a ,()14,a a ,()11,a b ,()12,a b ,()13,a b ,()23,a a ,()24,a a ,()21,a b ,()22,a b ,()23,a b ,()34,aa ,()31,ab ,()32,a b ,()33,a b ,()41,a b ,()42,a b ,()43,a b ,()12,bb ,()13,b b ,()23,b b 共21个基本事件；设“抽到的两人恰好来自同一月份”为事件A ,则事件A 包含的基本事件是()12,a a ,()13,a a ,()14,a a ,()23,a a ,()24,a a ,()34,a a ,()12,b b ,()13,b b ,()23,b b ,共有9个基本事件,()93217P A ==. 【点睛】本题主要考查了线性回归方程的求解与古典概型求解概率的方法.属于基础题.20．（1）见解析（2 【解析】试题分析：（1）先证明//,,BD EF BD AC EF AC ⊥⊥，从而,EF AO EF PO ⊥⊥，根据线面垂直的判定定理可证明BD ⊥平面POA ；（2）设AO BD H ?=，连接BO ，由（1）可得EF PO ⊥，根据勾股定理可得BO PO ⊥,根据线面垂直的判定定理可得PO ⊥平面BFED ，以O 为原点，OF 在直线为x 轴，AO 所在直线y 轴，OP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，分别求出平面BAP 与平面APO 的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果.试题解析：（1）点分别是的中点菱形的对角线互相垂直（2）设，连接ABD ∴?为等边三角形，，在中，在中，，BO ? 平面BFED 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则设平面PAB 的法向量为，由,n AP n AB ⊥⊥得令得3,z x =-=∴平面PAB 的一个法向量为()3,1,3n =--，由（1）知平面PAO 的一个法向量为，设求二面角B AP O --的平面角为θ，则2cos cos ,13||n BHn BH n BH θ?====? ∴二面角B AP O --的余弦值为3913，【方法点晴】本题主要考查线面垂直的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.21．（1）2y x =.()1,1M .（2）A B =d 的最大值为1. 【分析】（1）根据抛物线的定义，求出12p =，即可得出抛物线的方程，便得出点M 的坐标；（2）由点()1,1M ，得出(),Q m m ，利用点差法求出直线AB 的斜率，得出直线AB 的方程为()12y m x m m-=-，直线方程与抛物线方程联立，写出韦达定理，利用弦长公式求出弦长AB ，通过基本不等式求得d 的最大值.【详解】解：（1）()220y px p =>的准线为2p x =-，∴5124p ?--= ，∴12p =，∴抛物线C 的方程为2y x =.又点(),1M t 在曲线C 上，∴1t =.故()1,1M .（2）由（1）知，点()1,1M ，从而n m =，即点(),Q m m ，依题意，直线AB 的斜率存在，且不为0，设直线AB 的斜率为()0k k ≠，且()11,A x y ，()22,B x y ，由211222y x y x ?=?=?，得()()121212y y y y x x -+=-，故21k m ?=，所以直线AB 的方程为()12y m x m m-=-，即2220x my m m -+-=. 由22220x my m m y x-+-=?=?，消去x ，整理得22220y my m m -+-=，所以2440m m ?=->，122y y m +=，2122y y m m =-.。
2020-2021学年湖南省长沙市雨花区雅礼中学高一(下)入学数学试卷解析版
2020-2021学年湖南省长沙市雨花区雅礼中学高一（下）入学数学试卷1.已知集合，，则A. B. C. D.2.已知，，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.如图，中，E是AB的中点，点F满足，则A. B. C. D.4.在同一直角坐标系中，函数，且的图象可能是A. B.C. D.5.已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数k的取值范围是A. B.C. D.6.将函数的图象沿x轴向左平移个单位后得到函数，若为偶函数，则的最小值为A. B. C. D.7.在中，a，b，c分别是角ABC所对的边，若，，，则的值为A. B. C. D.8.已知表示实数m，n中的较小数，若函数，当时，有，则的值为A. 6B. 8C. 9D. 169.下列结论正确的是A. 在三角形ABC中，若，则B. 在锐角三角形ABC中，不等式恒成立C. 若，则三角形ABC为等腰三角形D. 在锐角三角形ABC中，10.已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是A. 函数的周期为B. 函数在单调递减C. 函数的图象关于直线对称D. 该图象向右平移个单位可得的图象11.如图，正方形ABCD的边长为2，O为边AD中点，射线OP绕着点O按逆时针方向从射线OA旋转至射线OD，在旋转的过程中，记为x，射线OP扫过的正方形ABCD内部的区域阴影部分的面积为，则下列说法错误的是A. B. 在上为增函数C. D. 图象的对称轴是12.设函数和，若两函数在区间上的单调性相同，则把区间叫做的“稳定区间”，已知区间为函数的“稳定区间”，则实数a的可能取值是A. B. C. 0 D.13.已知命题“，”是假命题，则实数m的取值范围是______ .14.已知，，，则______15.已知，，且，则的最大值为______ .16.某市规定某工厂产生的废气必须过滤后才能排放.已知在过滤过程中，废气中的污染物单位：毫克/升与过滤时间单位：小时之间的函数关系式为：为自然对数的底数，为污染物的初始含量，过滤2小时后检测，发现污染物的含量为原来的则______ ；且至少需要过滤______ 小时后，才能使污染物的含量不超过初始值的参考数据：17.已知集合，集合其中当时，求；若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围.18.已知函数求的最小正周期；求在区间上的最大值及单调减区间．19.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，且求角A的大小；求周长的取值范围.20.已知在中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c且满足求A的大小；若，，，求CD的长．21.湖北省第二届荆州园林博览会于2019年9月28日至11月28日在荆州园博园举办，本届园林博览会以“辉煌荆楚，生态园博”为主题，展示荆州生态之美，文化之韵，吸引更多优秀企业来荆投资，从而促进荆州经济快速发展．在此次博览会期间，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放荆州市场．已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入80元，设该公司一年内生产该设备x万台且全部售完，每万台的销售收入万元与年产量万台满足如下关系式：写出年利润万元关于年产量万台的函数解析式；利润=销售收入-成本当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大？并求最大利润．22.设函数且是定义域为R的奇函数，求函数的解析式；若在上的最小值为，求m的值.答案和解析1.【答案】D【解析】解：集合，，，则，故选：求解一元二次不等式化简A，再由交集运算得答案．本题考查交集及其运算，考查一元二次不等式的解法，是基础题．2.【答案】C【解析】解：①若时，，，，，，是成立的充分条件，②若时，则，设，则，在上为增函数，，，，是成立的必要条件，综上，是成立的充要条件．故选：先判断是成立的充分条件，再判断是成立的必要条件．本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：，故选：根据向量的运算法则计算即可．本题考查了向量的运算法则，考查数形结合思想，是一道基础题．4.【答案】D【解析】【分析】本题考查了指数函数，对数函数的图象和性质，属于基础题．对a进行讨论，结合指数，对数的性质即可判断；【解答】解：由函数，，当时，可得是递减函数，图象恒过点，函数，是递增函数，图象恒过；当时，可得是递增函数，图象恒过点，函数，是递减函数，图象恒过；满足要求的图象为：故选5.【答案】D【解析】解：根据题意，与的夹角为锐角，则有且、不共线，即，解得且，即k的取值范围为，故选：根据题意，由向量数量积的性质可得，解得k的取值范围，即可得答案．本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角大小的分析，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象．若为偶函数，则，，当时，得到的最小值为故选：利用三角恒等变换化简的解析式，再根据函数的图象变换规律，三角函数的奇偶，求得的最小值，即可得解．本题主要考查三角恒等变换，函数的图象变换规律，三角函数的奇偶性，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：由正弦定理可得，即，解得再由可得，故B为锐角．，故选由正弦定理求得的值，根据以及三角形中大边对大角可得B为锐角，由运算求得结果．本题主要考查正弦定理的应用，以及三角形中大边对大角，同角三角函数的基本关系，属于中档题．8.【答案】B【解析】解：根据题意，函数，则的图象如图中实线所示，由可知，，变形可得：，即，所以故选：根据题意，作出函数的图象，据此可得，即，结合对数的运算性质可得答案．本题考查函数与方程的关系，涉及对数的运算，属于基础题．9.【答案】ABD【解析】解：三角形ABC中，若，则，，即，A正确；由A为锐角可得，，即恒成立，B正确；若，则或，三角形ABC为等腰三角形或直角三角形，C错误；锐角三角形ABC中，，所以，所以，同理，所以，D正确．故选：由正弦定理检验选项A；由余弦定理检验选项B；由诱导公式检验选项C，由正弦函数的性质检验选项本题主要考查了正弦定理，余弦定理，大边对大角等知识在求解三角形中的应用，属于中档题．10.【答案】ACD【解析】解：根据函数的部分图象，可得，，集合五点法作图，可得，，，故的周期为，故A正确；当，，函数没有单调性，故B错误；令，求得，为最大值，故函数的图象关于直线对称，故C正确；把的图象向右平移个单位可得的图象，故D正确，故选：由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得的解析式，再利用函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，得出结论．本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．11.【答案】D【解析】解：当时，求得，A正确；当时，图象面积显然增加，即单调增，B正确；取CB中点G，连接OG，设射线OP与正方形ABCD边的交点为E，作出E关于直线OG对称点F，则，所以，显然为整个正方形的面积，故，所以C正确；在，对应图象面积一直增加，显然不关于对称，故选：直接利用关系式的应用和三角函数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．12.【答案】AB【解析】解：根据题意，设，则，若区间为函数的“稳定区间”，则与两个函数在区间上单调性相同，当时，，，两个函数的单调性相反，不符合题意，当时，，，若与在区间上的单调性相同，必有或，解可得：，分析可得：和满足，0和不满足得，即AB符合题意，故选：根据题意，求出的解析式，进而分2种情况讨论：当时，写出与的解析式，分析易得不符合题意，当时，将与写成分段函数的形式，分析可得或，解可得a的取值范围，即可得答案．本题考查分段函数的单调性，涉及指数函数的性质，注意理解“稳定区间”的定义，属于综合题．13.【答案】【解析】解：命题“，”是假命题，则命题，恒成立为真命题．所以①当时，，解得，与矛盾，②，即，解得，故m的范围为故答案为：直接利用特称命题和全称命题的转换和二次函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：特称命题和全称命题，二次函数的性质，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．14.【答案】【解析】解：，，；；；；故答案为：对两边平方即可求出，从而可求出，从而得出考查向量数量积的运算，以及向量长度的求法．15.【答案】【解析】解：因为，，且，由基本不等式得，当且仅当，即，时取等号，解得，则，故的最大值为由已知结合基本不等式先求ab的范围，要求的最大值，先求的最大值，可求．本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础题．16.【答案】40【解析】解：由题意可知，，，，，故答案为，利用题中条件，代入方程，即可解出．本题考查了指数函数和对数函数的运算，学生的数学运算能力，属于基础题．17.【答案】解：由，得，所以，当时，由，得，所以，所以由及，得，因为是的必要不充分条件，所以，且等号不能同时成立，解得，又，所以实数m的取值范围是【解析】化简集合M，N，再进行集合交集运算即可求得答案；是的必要不充分条件，得，即可求得m的取值范围．本题考查了集合的运算，充要条件的定义，属于基础题．18.【答案】解：函数，故函数的最小正周期为，，故当时，取得最大值为当，即时，单调递减，故的减区间为【解析】由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性得出结论．根据的解析式，利用正弦函数的单调性和最值，得出结论．本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、单调性和最值，属于基础题．19.【答案】解：根据题意，，，若，得，则；又，则；由知，，则，，，，；，又，，，周长的取值范围【解析】根据题意，由向量垂直的判断方法可得，解可得的值，结合A的范围分析可得答案，根据题意，由正弦定理分析可得，，进而可得周长的表达式，结合正弦函数的性质分析可得答案．本题考查三角形中的几何计算，涉及向量数量积的计算，属于中档题．20.【答案】解：在中，中，，又，，，，，，，在中，由正弦定理得，即，解得，在中，由余弦定理得【解析】利用正弦定理将边化角，结合两角和的正弦公式得出；在中，使用正弦定理求出AB，得出DB，再在中使用余弦定理求出本题考查了三角函数的恒等变换，正弦定理，余弦定理，属于中档题．21.【答案】解：当时，当时当且仅当即时等号成立，，当年产量为29万台时，该公司获得的利润最大为1360万元．【解析】当时，当时，分别求最值即可本题考查了函数模型，读懂题目是解题关键，属于中档题．22.【答案】解：由题意，是定义域为R的奇函数，可得，即，解得，由，得，解得，或舍去，，经检验，该函数是R上的奇函数，故；由，令，由，得，则，对称轴①当时，，解得：；②当时，，解得：舍去满足题意的m的值为【解析】根据是定义域为R的奇函数，可得，结合，求出a，k的值，验证函数为奇函数即可；由，化简，转化为二次函数问题讨论最小值，即可求解m的值．本题考查函数解析式的求法，训练了利用换元法及二次函数的单调性求最值，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．。