正切函数图像及性质
答案:（1）
x k x k , k ； 4 2
2 （2） x k x k , k . 3 3
1、y＝tanx( C ) A．在整个定义域上为增函数 B．在整个定义域上为减函数
π π C．在每一个开区间－2＋kπ，2＋kπ (k∈Z)上为增函数 π π D．在每一个闭区间－2＋kπ，2＋kπ (k∈Z)上为增函数
【解题关键】 π 把 3x－ 看作一个整体，借助于正切函数的定义 3 域和单调区间来解决．
解析：要使函数有意义，自变量 x 的取值应满足 3x π π kπ 5π － ≠kπ＋ (k∈Z)，得 x≠ ＋ (k∈Z)， 3 2 3 18
kπ 5π ∴函数的定义域为xx≠ ＋ ，k∈Z 3 18 .
正切函数 图像性质
x | x k , k . 1.定义域： 2
2.值域： R 3.周期性：正切函数是周期函数， 周期为 . 正切函数是奇函数， 4.奇偶性： 图象关于原点对称. 正切函数在开区间 5.单调性： 内都是增函数.
( k, k), k 2 2
π 6.渐近线：直线 x＝kπ ＋ (k∈Z)称为正切曲线的渐近线，渐 2 近线把正切曲线分成无数个不连续的部分．正切曲线在渐近线右侧 向下无限接近渐近线，在渐近线左侧向上无限接近渐近线． π 7.函数 y＝Atan(ωx＋φ)＋k(ω≠0)的最小正周期 T＝ . |ω|
tan x f (x),
所以y=tanx是周期函数, 最小正周期是π.
思考3：根据相关诱导公式，你能判断正切函数具
有奇偶性吗？
提示:
由诱导公式 tan( x) tan x, x R, x k, k 2
知 正切函数是奇函数，图象关于原点对称.
y
T2
思考4：观察图中的正切线，当 角在
π ＝Atan(ωx＋φ)(ω≠0)的周期为 求解． |ω|
π π 解析：(1)∵T＝ ，ω＝2，∴T＝ . |ω| 2 π π ∴y＝2tan(2x＋ )的周期为 . 3 2 π 1 (2)∵T＝ ，ω＝ ，∴T＝2π. |ω| 2 1 π ∴y＝3tan( x－ )的周期为 2π. 2 4
例1.求函数 y tan( x ) 的定义域、单调区间. 2 3
(3) 正切函数图象相邻两个对称中心的距离为周期 π .( ) (4)函数 y＝tan x 为奇函数，故对任意 x∈R 都有 tan(－x)＝－tan x. ( )
【即时训练】
求下列函数的周期 π (1)y＝2tan(2x＋ )； 3 1 π (2)y＝3tan( x－ )． 2 4 【解题关键】利用周期函数的定义求解，或利用 y
5 1 解得 2k x 2k, k . 3 3
因此，函数的单调递增区间是
掌握正切函 数的性质是 解决此类问 题的关键
5 1 ( 2k, 2k), k . 3 的定义域，并指出它的单调
y
方法二：利用正切曲线 由图形可知：
原不等式的解集为
x [k , k )(k ) 3 2
3
3
O
2
x
( , ) 2 2
记住正切函数在一个周期 内的图象
【变式练习】 解不等式（1） 1 tan x 0；
3 （2）tan(x ) . 6 3
( , ) 2 2
内增加时，正切
O
函数值发生什么变化？由此反 映出一个什么性质？
A
T1
x
提示:
函数值先由-∞→0再由0→+∞；正切函数在（- , ）
2 2
内是增函数.
思考5：结合正切函数的周期性，思考正切函数的 单调性如何？
( k k k 正切函数在开区间 2
y
(2) 作正切线， 平移
2 3 8 4
o1
8
O8
4
3 8
x
(3) 连线
作正切函数的图象：正切曲线
3 2
O
正切曲线是由被互相平行的直线 x= k, k Z 2
所隔开的无穷多支曲线组成的.
[思考尝试· 夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正切函数在整个定义域内是增函数．( (2)存在某个区间，使正切函数为减函数．( ) )
解：函数的自变量x应满足
x k , k , 2 3 2
即
1 x 2k , k . 3
所以，函数的定义域是
1 x | x 2k , k . 3
由 k x k, k 2 2 3 2
π π π 令 kπ－ <3x－ <kπ＋ (k∈Z)， 2 3 2 kπ π kπ 5π 即 － <x< ＋ (k∈Z)． 3 18 3 18
kπ π kπ 5π ∴函数的单调递增区间为 3 －18， 3 ＋18 (k∈Z)，不
存在单调递减区间．
函数 tan(sin x)的值域为________________．
提示:
内都是增函数
思考6：正切函数在整个定义域内是增函数吗？ 正切函数会不会在某一区间内是减函数？
提示:
不是 不会
探究点2 正切函数的图象 类比正弦函数图象的作法，可以利用正切线 作正切函数 y tan x, x ( , ) 的图象，具体应 2 2 如何操作？
作法: (1) 等分
例2.
比较 tan 1，tan 2，tan 3 的大小．
【解题关键】可先把角化到一个单调区间中，再利 用单调性比较大小．
【解析】 ∵tan 2＝tan(2－π)， tan 3＝tan(3－π)． π π 又∵ ＜2＜π，∴－ ＜2－π＜0. 2 2 π π ∵ ＜3＜π，∴－ ＜3－π＜0， 2 2 π π 显然－ ＜2－π＜3－π＜1＜ ， 2 2 π π － ， 且 y＝tan x 在 内是增函数， 2 2 ∴tan(2－π)＜tan(3－π)＜tan 1， 因此 tan 2＜tan 3＜tan 1.
4．直线 y＝a(a 为常数)与正切曲线 y＝tan ωx(ω 是 常数且 ω>0)相交，则相邻两交点间的距离是( C ) 2π A．π B. ω π C.ω D．与 a 的值有关
5.函数 y＝3tanx－1 的定义域是_______________．
π x x ≠ ＋kπ，k∈Z 2
1.4.3 正切函数的性质与图象
稻田中学 李凤华
探究点1 正切函数的性质 思考1：正切函数的定义域是什么？用区间如何表示？
( k k k 2 思考2：根据相关诱导公式，你能判断正切函数是周
期函数吗？其最小正周期为多少？ 因为 f (x ) tan(x )
【方法规律】 运用正切函数的单调性比较大小的步骤： (1)运用诱导公式将角化到同一单调区间内； (2)运用单调性比较大小关系．
例3.解不等式 tan x 3.
y
解：方法一：利用正切线
3
T
A
由图形可知： 原不等式的解集为
O
x
x k , k (k ) 3 2
2．f(x)＝tan(x＋π)是( A ) A．奇函数 C．既是奇函数又是偶函数 B．偶函数 D． 非奇非偶函数
3．函数
π y＝tanx－ 4 的定义域是(
D )
A．{x|x∈R，x≠kπ，k∈Z} π B. xx∈R，x≠kπ＋2 ，k∈Z π C. xx∈R，x≠2kπ＋4 ，k∈Z 3π D. xx∈R，x≠kπ＋ 4 ，k∈Z
x k x k , k ； 4 2
2 （2） x k x k , k . 3 3
1、y＝tanx( C ) A．在整个定义域上为增函数 B．在整个定义域上为减函数
π π C．在每一个开区间－2＋kπ，2＋kπ (k∈Z)上为增函数 π π D．在每一个闭区间－2＋kπ，2＋kπ (k∈Z)上为增函数
【解题关键】 π 把 3x－ 看作一个整体，借助于正切函数的定义 3 域和单调区间来解决．
解析：要使函数有意义，自变量 x 的取值应满足 3x π π kπ 5π － ≠kπ＋ (k∈Z)，得 x≠ ＋ (k∈Z)， 3 2 3 18
kπ 5π ∴函数的定义域为xx≠ ＋ ，k∈Z 3 18 .
正切函数 图像性质
x | x k , k . 1.定义域： 2
2.值域： R 3.周期性：正切函数是周期函数， 周期为 . 正切函数是奇函数， 4.奇偶性： 图象关于原点对称. 正切函数在开区间 5.单调性： 内都是增函数.
( k, k), k 2 2
π 6.渐近线：直线 x＝kπ ＋ (k∈Z)称为正切曲线的渐近线，渐 2 近线把正切曲线分成无数个不连续的部分．正切曲线在渐近线右侧 向下无限接近渐近线，在渐近线左侧向上无限接近渐近线． π 7.函数 y＝Atan(ωx＋φ)＋k(ω≠0)的最小正周期 T＝ . |ω|
tan x f (x),
所以y=tanx是周期函数, 最小正周期是π.
思考3：根据相关诱导公式，你能判断正切函数具
有奇偶性吗？
提示:
由诱导公式 tan( x) tan x, x R, x k, k 2
知 正切函数是奇函数，图象关于原点对称.
y
T2
思考4：观察图中的正切线，当 角在
π ＝Atan(ωx＋φ)(ω≠0)的周期为 求解． |ω|
π π 解析：(1)∵T＝ ，ω＝2，∴T＝ . |ω| 2 π π ∴y＝2tan(2x＋ )的周期为 . 3 2 π 1 (2)∵T＝ ，ω＝ ，∴T＝2π. |ω| 2 1 π ∴y＝3tan( x－ )的周期为 2π. 2 4
例1.求函数 y tan( x ) 的定义域、单调区间. 2 3
(3) 正切函数图象相邻两个对称中心的距离为周期 π .( ) (4)函数 y＝tan x 为奇函数，故对任意 x∈R 都有 tan(－x)＝－tan x. ( )
【即时训练】
求下列函数的周期 π (1)y＝2tan(2x＋ )； 3 1 π (2)y＝3tan( x－ )． 2 4 【解题关键】利用周期函数的定义求解，或利用 y
5 1 解得 2k x 2k, k . 3 3
因此，函数的单调递增区间是
掌握正切函 数的性质是 解决此类问 题的关键
5 1 ( 2k, 2k), k . 3 的定义域，并指出它的单调
y
方法二：利用正切曲线 由图形可知：
原不等式的解集为
x [k , k )(k ) 3 2
3
3
O
2
x
( , ) 2 2
记住正切函数在一个周期 内的图象
【变式练习】 解不等式（1） 1 tan x 0；
3 （2）tan(x ) . 6 3
( , ) 2 2
内增加时，正切
O
函数值发生什么变化？由此反 映出一个什么性质？
A
T1
x
提示:
函数值先由-∞→0再由0→+∞；正切函数在（- , ）
2 2
内是增函数.
思考5：结合正切函数的周期性，思考正切函数的 单调性如何？
( k k k 正切函数在开区间 2
y
(2) 作正切线， 平移
2 3 8 4
o1
8
O8
4
3 8
x
(3) 连线
作正切函数的图象：正切曲线
3 2
O
正切曲线是由被互相平行的直线 x= k, k Z 2
所隔开的无穷多支曲线组成的.
[思考尝试· 夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正切函数在整个定义域内是增函数．( (2)存在某个区间，使正切函数为减函数．( ) )
解：函数的自变量x应满足
x k , k , 2 3 2
即
1 x 2k , k . 3
所以，函数的定义域是
1 x | x 2k , k . 3
由 k x k, k 2 2 3 2
π π π 令 kπ－ <3x－ <kπ＋ (k∈Z)， 2 3 2 kπ π kπ 5π 即 － <x< ＋ (k∈Z)． 3 18 3 18
kπ π kπ 5π ∴函数的单调递增区间为 3 －18， 3 ＋18 (k∈Z)，不
存在单调递减区间．
函数 tan(sin x)的值域为________________．
提示:
内都是增函数
思考6：正切函数在整个定义域内是增函数吗？ 正切函数会不会在某一区间内是减函数？
提示:
不是 不会
探究点2 正切函数的图象 类比正弦函数图象的作法，可以利用正切线 作正切函数 y tan x, x ( , ) 的图象，具体应 2 2 如何操作？
作法: (1) 等分
例2.
比较 tan 1，tan 2，tan 3 的大小．
【解题关键】可先把角化到一个单调区间中，再利 用单调性比较大小．
【解析】 ∵tan 2＝tan(2－π)， tan 3＝tan(3－π)． π π 又∵ ＜2＜π，∴－ ＜2－π＜0. 2 2 π π ∵ ＜3＜π，∴－ ＜3－π＜0， 2 2 π π 显然－ ＜2－π＜3－π＜1＜ ， 2 2 π π － ， 且 y＝tan x 在 内是增函数， 2 2 ∴tan(2－π)＜tan(3－π)＜tan 1， 因此 tan 2＜tan 3＜tan 1.
4．直线 y＝a(a 为常数)与正切曲线 y＝tan ωx(ω 是 常数且 ω>0)相交，则相邻两交点间的距离是( C ) 2π A．π B. ω π C.ω D．与 a 的值有关
5.函数 y＝3tanx－1 的定义域是_______________．
π x x ≠ ＋kπ，k∈Z 2
1.4.3 正切函数的性质与图象
稻田中学 李凤华
探究点1 正切函数的性质 思考1：正切函数的定义域是什么？用区间如何表示？
( k k k 2 思考2：根据相关诱导公式，你能判断正切函数是周
期函数吗？其最小正周期为多少？ 因为 f (x ) tan(x )
【方法规律】 运用正切函数的单调性比较大小的步骤： (1)运用诱导公式将角化到同一单调区间内； (2)运用单调性比较大小关系．
例3.解不等式 tan x 3.
y
解：方法一：利用正切线
3
T
A
由图形可知： 原不等式的解集为
O
x
x k , k (k ) 3 2
2．f(x)＝tan(x＋π)是( A ) A．奇函数 C．既是奇函数又是偶函数 B．偶函数 D． 非奇非偶函数
3．函数
π y＝tanx－ 4 的定义域是(
D )
A．{x|x∈R，x≠kπ，k∈Z} π B. xx∈R，x≠kπ＋2 ，k∈Z π C. xx∈R，x≠2kπ＋4 ，k∈Z 3π D. xx∈R，x≠kπ＋ 4 ，k∈Z
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高一数学正切函数的图像和性质(中学课件201911)
tan x
f x
∴ y tan x是周期函数， 是它的一个周期．
利用正切线画出函数
y
tan
x
，x
2
，
2
的图像:
演示
4.10 正切函数的图像和性质
结正合切正函切数函的数性图质像：研究正切函数的性质：定义域、值域、周期性、
奇∴函偶正数性切．①②当当正∵⑤正⑥④和函切切定值任单渐渐xx奇单数函函义域意调小大近近偶调是数数域：性于于线线x性性奇是在:：R方：：2函．周每2程奇x数期个k2是x函k．函开（：数(kxkk2数区．，，间2k正kZZ周）)x切且，k期且曲无k2是无，线(限kk限Z2关接．接于ZZ近k近)原于，，于2点都22有kOtkk对a(nk称时时．，，xZttaa)nn内xx都t a是nx增，
上图像后，再利用周期性把该段图像向左右延伸、平移。
（2） y tan x 性质:
定义域
值 周 奇 单调增区间 域 期偶
性
对 称 渐近线 中心 方程
x
x
k
2
，k
Z
R
奇 函 数
k
2
，k
2
kZ
k，0
k Z
x k
2 kZ
谢谢大家指导!
∴又∵tan3167
2
3tan1733
45
，函数
2
y
tan
x
，x
3
2
，
正切函数图像与性质
1、周期性 T π π tan( x π ) tan x , x R, x kπ , k Z 2
y A tan(x )
T
2、奇偶性 π tan( x ) tan x , x R, x kπ , k Z 2 正切函数是奇函数
正切函数在整个定义域上单调递增？
例1、判断下列函数的奇偶性并求周期：
(1)
(2) y tan 2 x y tan 3x 奇函数，T . 非奇非偶函数，T . 3 2 x (4) y tan x (3) y tan 2 3 奇函数，T 2 . 奇函数，T 3
正切函数的性质:
定义域： x x k , k Z 2
k 对称中心是 ( , 0), k Z 2
值域： R 周期性：T 奇偶性：奇函数
在开区间 k , k k Z内递增 单调性： 2 2 在每一个开区间内都是单调增函数.能不能说
1.4.3 正切函数的图象和性质
正切函数的性质与图象
利用正切线画出函数在
, 2 2
y
的图象 y P T
O M A x
3 4 6 2
O1
O 6
4 3 2
x
结合正切函数图像研究正切函数的性质：定义域、值域、周期性、 正切函数的性质： 奇偶性和单调性． ⑤单调性: 奇函数．正切曲线关于原点 O 对称． ②值域： R ④奇偶性： x x k，k Z ①定义域： 2 Z）且无限接近于 kkk Z ) 内都是增 k， ( 时， x tan ． k 正切函数在每个开区间 当 x 小于 （k x 正切函数是周期函数，周期是k Z ) 2 2 ∵任意 x 2 k， k( 2 ，都有 tan x tan x ， 2 2 tan 当 函数． x 大于 2 k(k Z)且无限接近于 2 k 时， x ∴正切函数是奇函数．
正切函数图像和性质
1 由u x 得 : 2 4
1 k x k 2 2 4 2
y 3 tan(
1 x )的单调递增区间为 : 2 4
y 3 tan(
1 x )的单调递减区间为 : 2 4
3 2k x 2k 2 2
正切线：tanα=BT>0
作法如下：
Y
作直角坐标系，并
在直角坐标系y轴左 侧作单位圆。
找横坐标（把x轴
上 到 到这 2 一段分成8等份） 作出正切线。
把单位圆右半圆中 找交叉点。
2
X
连线。
3 2
2
3 2
Y
3 2
2
X3
思考题
设
, 且m t an(2 x ) 0 6 3 3 恒成立，试确定实数 的取值范围 m .
回首页
x
例题3
3 画函数y （x 0, 2 x 、x ）的简图； 2 2 2 1 tan x
tan x
3 sin x, x 0, ,2 tan x tan x 2 2 y 3 1 tan 2 x sec x sin x, x , 2 2
f ( x ) cot( x ) cot x f ( x) 最小正周期是
例题4
求下列函数定义域：
y cot x csc x
解： cot x 0 cot x 0 csc x 0 或csc x 0 x k x k
1 k x k 2 2 4 2
y 3 tan(
1 x )的单调递增区间为 : 2 4
y 3 tan(
1 x )的单调递减区间为 : 2 4
3 2k x 2k 2 2
正切线：tanα=BT>0
作法如下：
Y
作直角坐标系，并
在直角坐标系y轴左 侧作单位圆。
找横坐标（把x轴
上 到 到这 2 一段分成8等份） 作出正切线。
把单位圆右半圆中 找交叉点。
2
X
连线。
3 2
2
3 2
Y
3 2
2
X3
思考题
设
, 且m t an(2 x ) 0 6 3 3 恒成立，试确定实数 的取值范围 m .
回首页
x
例题3
3 画函数y （x 0, 2 x 、x ）的简图； 2 2 2 1 tan x
tan x
3 sin x, x 0, ,2 tan x tan x 2 2 y 3 1 tan 2 x sec x sin x, x , 2 2
f ( x ) cot( x ) cot x f ( x) 最小正周期是
例题4
求下列函数定义域：
y cot x csc x
解： cot x 0 cot x 0 csc x 0 或csc x 0 x k x k
(完整版)正切函数的性质与图像.ppt
2
2
正
渐
切
近 线
函
数
渐
图
近 线
像
性质 :
渐近线方程： x k , k Z 2
对称中心
( kπ,0) 2
正切函数有对称轴吗？ 无对称轴
问题5： (1)正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？ (2)正切函数会在某一区间内是减函数吗？为什么？
A
B
在每一个开区间
(-π+ kπ,π+ kπ) ，kZ 内都是增函数。
5、周期性
最小正周期是
3
小结：正切函数的图像和性质
1、正切曲线是先利用平移正切线得y tan x, x ( , )的图象， 22
再利用周期性把该段图象向左、右扩展得到。
2 、y tan x 性质:
⑴ 定义域： {x | x k, k Z}
⑵ 值域： R 2 ⑶ 周期性：
⑷ 奇偶性：奇函数，图象关于原点对称。
22 右呈上升趋势，向上与直线 x
k
,k
Z
无限接近但
永不相交；向下与直线
x
2
k , k
Z无限接近但永不
2
相交。
将 x k , k Z 称为正切曲线的渐近线。
2
题型一 求与正切函数有关的函数的定义域
例1.求下列函数的定义域.
(1) y tan(x );
3 (2) y lg tan x 16 x2 .
x 2k 时， ymax 1 x 2k 时，ymin 1
x[ 2k , 2k ] 增函数
x[2k , 2k ]
偶函数
2
减函数
对称轴： x
2
k
,
正切函数的图像和性质 (精致版)
奇函数 偶函数
2 对称轴： x k , k Z
2 对称中心： (k ,0) k Z
2
对称轴： x k , k Z 对称中心：( k , 0) k Z
2
探索一 你可以从一个新的角度来研究正 切函数的性质吗？
正弦函数 正切函数
定义+三角函数线
三角函数图象
课后练习
作业：
P45.2、3、4
课后思考
思考1：我们分别从什么角度讨论了正切函数 的性质？这两种讨论方法分别有什么特点？ 思考2：你能用同样的方法去讨论正、余弦 函数的性质吗？
想一想？ 得到y tan x最小正周期为__ ____
由y tan x最小正周期为
反馈练习：求下列函数的周期：
x (1) y 5 tan 2
2
(2) y tan(4 x ) 3
4
巩固练习 1、比较下列每组数的大小。
13π 11π tan() 与 tan() （2） 4 5
正切函数的对称中心
正 切 函 数 图 像
性质 :
渐 进 线
渐 进 线
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
定义域： {x | x k, k Z} 2 值域： R 周期性： 奇偶性： 奇函数，图象关于原点对称。
⑸ 单调性： 在每一个开区间 ( k , k ) ， k Z 内都是增函数。 2 2 kZ x k , (7)对称中心 (6)渐近线方程： 2
kπ ( ,0) 2
问题：
(1)正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？
(2)正切函数会不会在某一区间内是减函数？为什么？
A
B
2 对称轴： x k , k Z
2 对称中心： (k ,0) k Z
2
对称轴： x k , k Z 对称中心：( k , 0) k Z
2
探索一 你可以从一个新的角度来研究正 切函数的性质吗？
正弦函数 正切函数
定义+三角函数线
三角函数图象
课后练习
作业：
P45.2、3、4
课后思考
思考1：我们分别从什么角度讨论了正切函数 的性质？这两种讨论方法分别有什么特点？ 思考2：你能用同样的方法去讨论正、余弦 函数的性质吗？
想一想？ 得到y tan x最小正周期为__ ____
由y tan x最小正周期为
反馈练习：求下列函数的周期：
x (1) y 5 tan 2
2
(2) y tan(4 x ) 3
4
巩固练习 1、比较下列每组数的大小。
13π 11π tan() 与 tan() （2） 4 5
正切函数的对称中心
正 切 函 数 图 像
性质 :
渐 进 线
渐 进 线
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
定义域： {x | x k, k Z} 2 值域： R 周期性： 奇偶性： 奇函数，图象关于原点对称。
⑸ 单调性： 在每一个开区间 ( k , k ) ， k Z 内都是增函数。 2 2 kZ x k , (7)对称中心 (6)渐近线方程： 2
kπ ( ,0) 2
问题：
(1)正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？
(2)正切函数会不会在某一区间内是减函数？为什么？
A
B
正切函数图像与性质
2
温故知新
回顾1：我们在学习正弦、余弦函数的图象时学习 过哪些作图方法？ 几何描点作图法： 作正弦函数y=sinx的图象 作余弦函数y=cosx的图象 平移变换作图法： 作正弦、余弦函数的简图 五点作图法： 问题1：我们选择哪种方法作正切函数的图象？ 几何描点作图法
正切函数的图象和性质 一、引入 如何几何描点法作正弦函数图象呢？
栏目 导引
知识回顾：任意角的正切线
y
T
y
x
o
(1,0)
A
x
正切线AT
o x(1,0) A
T
x
y
y
T
x
x
(1,0)
o
A
T
x
o
(1,0)
A
x
第一章
三角函数
作法如下：
作直角坐标
系，并在直角 坐标系y轴左侧 作单位圆。
y
找横坐标
（把x轴上 2 到 到这一 段分成8等份）
1
2
3 8 4 8
11 tan( ) tan , 4 4 2
2 4
13 2 tan( ) tan 5 5
又y tan x在(
2 tan tan 4 5
11 13 tan( ) tan( ). 4 5
5
2 2 ,
2
)是增函数
k , k , k z 2 2
2
k x
4
2ຫໍສະໝຸດ k , k z 函数y tan(x )的单调递增区间是： k , k , k z 4 4 4
温故知新
回顾1：我们在学习正弦、余弦函数的图象时学习 过哪些作图方法？ 几何描点作图法： 作正弦函数y=sinx的图象 作余弦函数y=cosx的图象 平移变换作图法： 作正弦、余弦函数的简图 五点作图法： 问题1：我们选择哪种方法作正切函数的图象？ 几何描点作图法
正切函数的图象和性质 一、引入 如何几何描点法作正弦函数图象呢？
栏目 导引
知识回顾：任意角的正切线
y
T
y
x
o
(1,0)
A
x
正切线AT
o x(1,0) A
T
x
y
y
T
x
x
(1,0)
o
A
T
x
o
(1,0)
A
x
第一章
三角函数
作法如下：
作直角坐标
系，并在直角 坐标系y轴左侧 作单位圆。
y
找横坐标
（把x轴上 2 到 到这一 段分成8等份）
1
2
3 8 4 8
11 tan( ) tan , 4 4 2
2 4
13 2 tan( ) tan 5 5
又y tan x在(
2 tan tan 4 5
11 13 tan( ) tan( ). 4 5
5
2 2 ,
2
)是增函数
k , k , k z 2 2
2
k x
4
2ຫໍສະໝຸດ k , k z 函数y tan(x )的单调递增区间是： k , k , k z 4 4 4
143正切函数的图像和性质
4
2
4
所以原函数的定义域是：
x
|
x
k
4
,
k
z
例题讲解
例2 求函数 y tan( x ) 的定义域、周期和单调区间.
23
解:函数的自变量 x 应满足
即 x 2k 1 ,k Z.
x k , k Z,
23
2
3
所以,函数的定义域是
x
|
x
2k
1 3
,
k
Z
.
由于
f (x) tan( x ) tan( x
22 4 2
2
2
y 3 tan(1 x )的单调递增区间为:
24
(2k 3 , 2k ), k z
2
2
变题(2) y 3tan( x )
ห้องสมุดไป่ตู้24
解:因为原函数可化为: y 3tan( x );
24
令u
x 2
4
;由
k
y tanu的单调性知
u k ,k Z
:
2
2
由u 1 x 得 : 24
)
3tan(2x ) 4
4
3tan[2(x ) ]
f (x ) 2 4
(2)变题y 3 tan(1 x );
24
解 : f (x) 3tan(1 x )
3 tan(1
x
2
4
)
24
3tan[1 (x 2 ) ]
2
4
2 周期T
2
f (x 2 ) 周期T 2
k 1 x k 2k x 2k 3
22 4 2
2
2
y 3 tan( 1 x )的单调递减区间为:
三角函数正切函数的性质与图像
正切函数的图像向右平移π个单位，可以得 到余弦函数的图像。
左右翻转
正切函数的图像关于$y$轴对称，即$tan( - x) = tan(x)$。 正切函数的图像向左翻转后，可以得到正切函数的图像。
03
正切函数的图像绘制
利用Python绘制正切函数图像
导入matplotlib库
定义正切函数
首先需要导入matplotlib库，该库是 Python中用于绘图的常用库之一。
使用xlabel和ylabel参数可以添加x轴和y轴的标签，例如x轴 标签为“$x$”，y轴标签为“$y$”。
显示网格线
使用grid参数可以显示网格线，以便更好地观察图像的细节 。
04
三角函数的实际应用
物理中的三角函数
简谐振动
简谐振动的位移与时间的关系可以表示为正弦或余弦函数，利用三角函数性 质可以更深入地理解简谐振动的特征。
正切函数的对称性
正切函数图像无对称轴，但在$x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ 处，函数图像呈现对称性。
正切函数的奇偶性
$tan( - x) = - tan(x)$，因此正切函数为奇函数。
正切函数的应用
正切函数在解直角三角形、求三角形的面积、研究三角恒 等式等方面具有广泛应用。
对未来研究正切函数的展望
三角函数正切函数的性质与图像
xx年xx月xx日
contents
目录
• 正切函数概述 • 正切函数的性质 • 正切函数的图像绘制 • 三角函数的实际应用 • 总结与展望
01
正切函数概述
正切函数的定义
正切函数：tan(x) = sin(x) / cos(x) 值域：(-∞，∞)
定义域：{x | x ≠ π/2 + kπ，k ∈ Z} 周期：π
正切函数的图像和性质
C．充要条件
4.10 正切函数的图像和性质
小结：
（1）y tan x 的作图是利用平移正切线得到的，当我们获得 ， 上图像后，再利用周期性把该段图像向左右延伸、平移。 2 2
（2） y tan x 性质: 定义域 值 周 奇 单调增区间 域 期 偶 性 对 称 中心 渐近线 方程，
y tan x x 利用正切线画出函数 ， ， 的图像: 2 2
几何画板演示
4.10 正切函数的图像和性质
结合正切函数图像研究正切函数的性质：定义域、值域、周期性、 正切函数的性质： 奇偶性和单调性． ⑤单调性 : R 奇函数．正切曲线关于原点 ②值域： ⑥渐近线： O 对称． ④奇偶性： x x k ， k Z ①定义域： 2 tan x x k， k k (k Z ) 内都是增 k（x k Z x 小于 正切函数在每个开区间 当 ）且无限接近于 时， k 渐近线方程是： ， k Z 正切函数是周期函数，周期是 ． 2 Z )，都有 2 2 tan ( k x tan x ， k， k ∵任意 x 2 2 2 2 tan x 当 x 大于 k(k Z)且无限接近于 k 时， 函数． 2 2 ∴正切函数是奇函数．
是增函数， 3 3 11 13 ∴ tan tan 即 tan tan ． 4 5 4 5
4.10 正切函数的图像和性质
练习：
（1）直线 y a（ a 为常数）与正切曲线 y tanx （ 为常数
x x k ，k Z 2
正切函数的图像和性质
是增函数， 3 3 11 13 ∴ tan tan 即 tan tan ． 4 5 4 5
4.10 正切函数的图像和性质
练习：
（1）直线 y a（ a 为常数）与正切曲线 y tanx （ 为常数
4.10 正切函数的图像和性质
4.10 正切函数的图像和性质
回忆：怎样利用单位圆中的正弦线作出 y sin x图像的． 用正切线作正切函数图像: 正切函数 y tan x是否为周期函数？
sin x sin x f x tan x tan x f x cos x cos x
C．充要条件
4.10 正切函数ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ图像和性质
小结：
（1）y tan x 的作图是利用平移正切线得到的，当我们获得 ， 上图像后，再利用周期性把该段图像向左右延伸、平移。 2 2
（2） y tan x 性质: 定义域 值 周 奇 单调增区间 域 期 偶 性 对 称 中心 渐近线 方程
所以函数 y tan x 的定义域是 x x k，k Z 4 4
4.10 正切函数的图像和性质
例2．不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小：
13 11 tan 与 tan ． tan 167 与 tan 173 ；（2） （ 1） 5 4 3 11 解：（ 1 ）∵ tan 90 173 180 167 （2）∵ tan 4 4 13 90 3 x ， 上是增函数 又 ∵ y tan ，在 270 tan tan 5 5 tan 167 tan 173 3 3 3 ∴ 3 y tan x 又∵ ，函数 ，x ， 2 4 5 2 2 2