河北省衡水中学2020届高三上学期第二次调研考试(理数)
河北省衡水中学2020届高三上学期第二次调研考试数 学（理科）一、选择题 1．已知53cos -=x ，且ππ<<x 2，则x x sin tan +的值是 ( ) A ．1532- B ．158- C ．158 D ．15322．已知2log ,3.0log ,2.0323===c b a ，则 ( )A ．c b a >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．b a c >>3．已知奇函数)(x f 满足)4()(+=x f x f ，当)1,0(∈x 时，xx f 2)(=，则=)12(log 2f ( )A ．34-B ．3223C ．43D ．83- 4．已知圆4:22=+y x O 与y 轴正半轴的交点为M ，点M 沿圆0顺时针运动3π弧长达到点N ，以z 轴的正半轴为始边，ON 为终边的角记为α，则=αsin ( )A ．33 B ．21 C ．22 D ．235．函数),0()0,(,sin 2)(ππ -∈+=-x xe e xf xx 的图象大致为 ( )6．如图是函数⎪⎭⎫⎝⎛<<>+=20,0)sin(πϕωϕωx y 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-65,6ππ上的图象，将该图象向右平移)0(>m m 个单位长度后，所得图象关于直线4π=x 对称，则m 的最小值为( )A ．12π B ．6π C ．4π D ．3π7．已知函数)(||)(xxe e x xf --=，对于实数”“0,,>+b a b a 是”“0)()(>+b f a f 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知⎪⎭⎫⎝⎛∈⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0,2,0πβπα，且αααββ2sin cos 22cos 1cos sin ++=，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛++42tan πβα( ) A ．－1 B ．1 C ．322 D ．322- 9．已知函数)(cos sin )(x g x x x f ，-=是)(x f 的导函数，则下列结论中错误的个数是( ) ①函数)(x f 的值域与)(x g 的值域相同；②若0x 是函数)(x f 的极值点，则0x 是函数)(x g 的零点；③把函数)(x f 的图象向右平移2π个单位长度，就可以得到函数)(x g 的图象；④函数)(x f 和)(x g 在区间⎪⎭⎫⎝⎛-4,4ππ上都是增函数． A ．0 B ．1 C ．2 D ．310．对于函数x y cos =，若存在实数n x x x ,,,21 满足π4021≤<<<≤n x x x ，且-)(|1x f ,2,8|)()(||)()(||)(1322≥=-++-+-n x f x f x f x f x f n n *N n ∈，则n 的最小值为 ( )A ．3B ．4C ．5D ．611．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈--∞∈--=),,2[),2(21),2,(|,1|1)(x x f x x x f 则函数1)()(-=x xf x F 的零点个数为( )A ．7B ．6C ．5D ．4 12．已知2||,0πϕω≤>，在函数)sin()(ϕω+=x x f 与函数)cos()(ϕω+=x x g 图象的交点中，相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为2π，当⎪⎭⎫⎝⎛-∈4,6ππx 时，函数)(x f 的图象恒在x 轴的上方，则ϕ的取值范围是 ( ) A ．⎪⎭⎫⎝⎛3,6ππ B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,6ππ C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛2,3ππ D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,3ππ二、填空题13．已知曲线x x y -=3在点),(00y x 处的切线平行于直线022=--y x ，则0x = . 14．已知定义域为R 的函数)(x f 满足)()(x f x f >'，则不等式)12()(1-<-x f x f ex 的解集为 .15．如图阴影部分是由曲线22x y =和322=+y x 及x 轴围成的部分封闭图形，则阴影部分的面积为 ．16．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边长a ，b ，c 成等比数列，21cos )cos(=--B C A ，延长BC 至D ，若BD = 2，则△ACD 面积的最大值为 ． 三、解答题 17．（10分）将函数x y 2sin 3=的图象向左平移6π个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数)(x f 的图象． (1)求)(x f 的单调递增区间； (2)若对任意的⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈2,2ππx ，不等式3|)(|<-m x f 恒成立，求实数m 的取值范围．18．(12分)已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且.sin sin sin sin 22C A B A =+ (1)求证：;sin cos 2sin A AC=(2)若B 为钝角，且△ABC 的面积S 满足2)sin (A b S =，求A.19．(12分)已知函数⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-=2,0,cos sin )(πx x x x a x f (1)当1=a 时，求证：;0)(≥x f(2)如果0)(≥x f 恒成立，求实数a 的最小值．20．(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知.cos cos cos 4C b B c A a +=(1)若ABC a ∆=,4的面积为15，求c b ,的值；(2)若)0(sin sin >=k C k B ，且ABC ∆为钝角三角形，求k 的取值范围．21．(12分)已知函数∈-=a ax ex f x,)(22R.(1)若)(x f 在区间(0，+∞)上单调递增，求a 的取值范围； (2)若)(x f 在区间(0，+∞)上存在极大值M ，证明：⋅<4a M22．(12分)已知函数xx a x f 1)1(ln )(+-=的图象与x 轴相切，21log )1()(2--⋅-=x x b x g b .(1)求证：;)1()(2x x x f -≤(2)若b x <<21，求证：2)1()(02-<<b x g .数学（理科）参考答案一、选择题1．B 2．D 3．A 4．D 5．D 6．B 7．C 8．A 9．B 10．C 11．B 12．D 二、填空题13．－1 14．}1|{>x x 15．832-π16．43 三、解答题17．解：(1)将函数x y 2sin 3=的图象向左平移6π个单位长度，可得⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin 3πx y 的图象，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）， 得到⎪⎭⎫⎝⎛+=3sin 3)(πx x f 的图象， 令≤+≤-322πππx k )(22z k k ∈+ππ，求得),(62652z k k x k ∈+≤≤-ππππ 可得函数f ( x )的单调递增区间为z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,62,652ππππ. （5分） (2)因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈2,2ππx ，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈+65,63πππx ，故当23ππ=+x 时，)(x f 取得最大值3；当=+3πx 6π-时，)(x f 取得最小值23-. 因为不等式3|)(|<-m x f 恒成立， 所以.3)(3+<<-m x f m 所以33+<m ，且,323->-m 求得230<<m ，即实数m 的取值范围为⎪⎭⎫⎝⎛23,0. (10分) 18．(1)证明：△ABC 中，,sin sin sin sin 22C A B A =+所以22c a ab =+，即,22ab a c =-所以=+=+=-+=c a b bc ab b bc a c b A 222cos 2222,sin 2sin sin CAB +所以=+⋅=+=+=a b c R Ra Rb Rc A B C A C 22222122)2(sin sin sin cos 2sin ,sin 2212A R a a b a ab R ==++⋅ 其中R 为△ABC 外接圆的半径，即证得.sin cos 2sin A AC= （5分）(2)解：因为△ABC 的面积S 满足2)sin (A b S =，即,sin sin 2122A b A bc =所以B Cb c A sin 2sin 2sin ==. 又,sin 2sin cos A CA =所以BA A A sin sin cos sin =，所以.sin cos B A = 由B 为钝角，得.2A B +=π（8分）又π=++C B A ，所以,2ππ=+⎪⎭⎫⎝⎛++C A A 解得,22A C -=π所以,sin cos 22cos cos 222sin cos 2sin A AA A A A C ==⎪⎭⎫⎝⎛-=π所以,2sin 2cos A A =所以.12tan =A 又A 为锐角，所以),,0(2π∈A 所以42π=A ，所以8π=A . (12分)19．(1)证明：因为1=a ，所以,cos sin )(x x x x f -=则.sin )(x x x f ='当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，0)(≥'x f 恒成立，所以)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上单调递增， 所以.0)0()(=≥f x f （5分）(2)解：因为,2,0,cos sin )(⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-=πx x x x a x f所以.sin cos )1()(x x x a x f +-=' （6分）①当a=l 时，由(1)知，0)(≥x f 对⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 恒成立； ②当1>α时，因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ，所以0)(>'x f ，因此)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，上单调递增， 所以0)0()(=≥f x f 对任意⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 恒成立； ③当1<a 时，令),()(x f x g '=则.cos sin )2()(x x x a x g +-='因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ，所以0)(≥'x g 恒成立， 因此)(x g 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上单调递增，且,01)0(<-=a g ,022>=⎪⎭⎫ ⎝⎛ππg 所以存在唯一⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,00πx 使得0)(0=x g ，即,0)(0='x f 所以当),0(0x x ∈时，0)(<'x f ，所以)(x f 在区间(0，0x )上单调递减， 所以0)0()(=<f x f ，不合题意． (11分) 综上可知，a 的最小值为1． （12分） 20．解：△ABC 中，,cos cos cos 4C b B c A a +=所以=+=+=)sin(cos sin cos sin cos sin 4B C C B B C A A ,sin A所以41cos =A ，所以415cos 1sin 2=-=A A . （2分）(1)因为a = 4，所以-+=-+=22222cos 2c b A bc c b a 1621=bc ①． 又△ABC 的面积为1541521sin 21=⋅==∆bc A bc S ABC ，所以8=bc ②.由①②组成方程组，解得2,4==c b 或.4,2==c b （6分） (2)因为)0(sin sin >=k C k B ，所以kc b =，所以=⋅⋅-+=-+=412)(cos 222222c kc c kc A bc c b a 22121c k k ⎪⎭⎫⎝⎛+-. （8分）当B 为钝角时，222b c a <+，即,112122k k k <+⎪⎭⎫⎝⎛+-解得;4>k 当C 为钝角时，222c b a <+，即,112122<+⎪⎭⎫⎝⎛+-k k k 解得410<<k . 所以△ABC 为钝角三角形，k 的取值范围为 ⎪⎭⎫⎝⎛41,0),4(+∞. (12分) 21．(1)解：解法1：因为,)(22ax ex f x-=所以.22)(2ax e x f x-='因为)(x f 在区间(0，+∞)上单调递增， 所以0)(≥'x f 在(0，+∞)上都成立，即x e a x2≤在(0，+∞)上都成立． （2分）令x e x g x2)(=，则22222)12(2)(x e x x e xe x g x x x -=-='. 当210<<x 时，)(,0)(x g x g <'在区间⎪⎭⎫⎝⎛21,0上单调递减； 当21>x 时，)(,0)(x g x g >'在区间⎪⎭⎫⎝⎛+∞,21上单调递增. 故当21=x 时，)(x g 取得极小值也是最小值，其值为.221e g =⎪⎭⎫⎝⎛ 所以.2e a ≤所以a 的取值范围为].2,(e -∞ （5分） 解法2：当0≤a 时，函数22)(ax e x f x-=在区间(0，+∞)上单调递增；当0>a 时，,22)(2ax e x f x-='令ax ex h x22)(2-=，则.24)(2a e x h x -=' （1分）①若2≤a ，则0>x 时，,024)(≥->'a x h 则)(x h 在（0，+∞）上单调递增， 此时，02)0()(>=>h x h ，即0)(>'x f ，则)(x f 在(0，+∞)上单调递增；②若,2>α令,024)(2=-='a e x h x得2ln 21a x =. 当2ln 210a x <<时，)(,0)(x h x h <'在区间⎪⎭⎫⎝⎛2ln 210a ，上单调递减； 当2ln 21a x >时，)(,0)(x h x h >'在区间⎪⎭⎫⎝⎛∞+，2ln 21a 上单调递增， 则当2ln 21ax =时，-=-=a a a e x h amm 2ln 2)(2ln 2ln a a .当02ln≥-aa a ，即e a 22≤<时，0)(≥x h ，即.0)(≥'x f 则)(x f 在(0，+∞)上单调递增.故.22e a ≤<综上所述，所求a 的取值范围为].2,(e -∞ （5分）(2)证明：由(1)知，当e a 2≤时，)(x f 在(0，+∞)上单调递增，则不存在极大值．（6分） 当e a 2>时，2ln 21ln ,2ln 2121aa a ><. 由(1)知函数)(x f '在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛2ln21,0a 上单调递减，在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,2ln 21a 上单调递增． 又,0221,02)0(<-=⎪⎭⎫⎝⎛'>='a e f f0)ln (2ln 22)(ln ln 2>-=-='a a a a a e a f a （易证明a －),0ln >a故存在⎪⎭⎫ ⎝⎛∈21,01x 使得.022)(1211=-='ax e x f x存在⎪⎭⎫⎝⎛∈a x ln ,212，使得.0)(2='x f 则当),0(1x x ∈时，),(,0)(21x x x x f ∈>'时，<')(x f ),(,02+∞∈x x 时，.0)(>'x f 故)(x f 在区间),0(1x 上单调递增，在区间),(21x x 上单调递减，在区间),(2+∞x 上单调递增． 所以当1x x =时，)(x f 取得极大值，即2121ax e M x -=. (10分)由2101<<x ，得,1,01111x x x -=/>- 由022121=-ax ex ，得,121ax e x =故<-=-=-=)1(112112121x ax ax ax ax eM x ,421211a x x a =⎪⎭⎫⎝⎛-+ 所以4aM <. （12分） 22．证明：(1)由题意得21)(x x a x f -='. 设)(x f 的图象与x 轴相交丁点),0,(0x则⎩⎨⎧='=,0)(,0)(00x f x f 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+-,01,01)1(ln 2000x x a x x a解得.10==x a （2分）所以,11ln )(xx x f +-=x x x f 2)1()(-≤等价于.1ln -≤x x 设1ln )(+-=x x x h ，则,11)(-='xx h 当10<<x 时，)(,0)(x h x h >'单调递增；当1>x 时，)(,0)(x h x h <'单调递减， 所以0)1()(=≤h x h ，即,1ln -≤x x所以x x x f 2)1()(-≤. （5分）(2)先证：,0)(>x g设)1(ln 1)(>-=x xx x t ，则xx x x t 2ln 11ln )(-+='. 易知，当1>x 时，011ln >-+xx ，从而有0)(>'x t ，所以)(x t 在(1，+∞)上单调递增．又b x <<21，从而有)()(2b t x t <，即,ln 1ln 122bb x x -<- 所以x b bxb x b log )1(ln ln )1(212-=-<-，即.0)(>x g （8分） 再证：2)1()(2-<b x g .11 由题意得--=---=b x b x x b x g b ln ln )1(21log )1()(221ln 2ln )1(21222--⋅-=-x b x b x . 易知当12>x 时，,1ln 22-<x x 所以--⋅-<--⋅-b x b x b x b ln 21)1(21ln 2ln )1(222⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅-=-1ln 1212122b b x x . 又b b 11ln ->，所以.ln 1b b b <-又b x <<21，所以2)1(2)1)(1()(22-<--<b b x x g .(11分) 综上可知，2)1()(02-<<b x g . （12分）。
2020届河北省衡水中学高三二调考试数学(理)试题(含答案)
2020届河北省衡水中学高三二调考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}|10A x x =+>，{}|1B x x =∈≤Z ，则A B =I ( ) A ．{}|011x x ≤+≤ B ．{}|11x x -<≤C ．{}0,1D ．{}1【答案】C【解析】对集合A 进行化简，然后根据集合的交集运算，得到A B I 的值.【详解】集合{}{}|10|1A x x x x =+>=>-，集合{}|1B x x =∈≤Z所以{}{}|110,1B x x A =∈-<≤=Z I .故选：C.【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题.2．设函数()()f x x R ∈满足()(),(2)()f x f x f x f x -=+=，则()y f x =的图像可能是 A ． B ． C ． D ．【答案】B【解析】根据题意，确定函数()y f x =的性质，再判断哪一个图像具有这些性质． 由()()f x f x -=得()y f x =是偶函数，所以函数()y f x =的图象关于y 轴对称，可知B ，D 符合；由(2)()f x f x +=得()y f x =是周期为2的周期函数，选项D 的图像的最小正周期是4，不符合，选项B 的图像的最小正周期是2，符合，故选B ．3．若函数2ln y ax b x =-在1x =处的切线方程为52y x =-，则a ，b 的值为( )A ．2,1B ．-2，-1C ．3,1D ．-3，-1【答案】C 【解析】将1x =代入切线方程得到切点，将切点代入到解析式中，得到a ，利用导数的几何意义，对函数求导，代入1x =，得到切线斜率，得b 的值.【详解】将1x =代入切线52y x =-，得到切点坐标为()1,3，将()1,3代入到函数解析式中，得到3=a ，所以23ln y x b x =-， 求导得6b y x x'=-， 代入1x =得6k b =-，所以65b -=，得1b =.故选：C.【点睛】本题考查导数的几何意义，根据导数的切线求参数的值，属于简单题.4．已知命题p ：0[0,)x ∃∈+∞使00420x x k --=，命题q ：()0,x ∀∈+∞，20x k +>，则命题p 成立是命题q 成立的( )条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【答案】C【解析】根据命题p 和命题q ，分别得到k 的范围，从而得到答案.【详解】命题p ：0[0,)x ∃∈+∞使00420x x k --=，则0042x x k =-， 0[0,)x ∈+∞，所以设[)021,x t =∈+∞，则2k t t =-，在[)1,t ∈+∞上单调递增，所以[)0,k ∈+∞，命题q ：()0,x ∀∈+∞，20x k +>，可得[)0,k ∈+∞所以命题p 成立是命题q 成立的充要条件.故选：C.【点睛】本题考查二次函数相关的复合函数的值域，判断充分必要条件，属于简单题.5．已知()22,026ln ,0x x f x x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩，则()y f x =与y x =的交点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】令()f x x =，得()()g x f x x =-，分0x ≤和0x >进行讨论，利用零点存在定理，得到()g x 的零点个数，从而得到答案.【详解】要求()y f x =与y x =的交点，则令()f x x =，设()()g x f x x =-，即求()g x 的零点个数， 所以()22,06ln ,0x x x g x x x x ⎧--≤=⎨-+>⎩，当0x ≤时，220x x --=，解得1x =-，2x =（舍），所以0x ≤时，()g x 有且仅有一个零点；当0x >，()6ln g x x x =-+，()110g x x'=+>，所以()g x 在()0,∞+上单调递增， 而()150g =-<，()6ln60g =>，由零点存在定理可知()g x 在()0,∞+上有且仅有一个零点；综上所述，()g x 有且仅有两个零点，所以()y f x =与y x =的交点个数为2.故选：B.【点睛】本题考查分段函数的性质，函数图像交点与零点的转化，根据零点存在定理求零点的个数，属于中档题.6．已知函数2,2()24x x f x x -+≤⎧=<≤，则定积分412()f x dx ⎰的值为( ) A ．948π+ B ．144π+ C ．12π+ D ．324π+ 【答案】A【解析】根据积分定义，将积分区间分为两段分别求：左段可根据微积分基本定理求得积分值，右段根据几何意义求得积分值，两个部分求和即可．【详解】 因为()2,224x x f x x -+≤⎧=<≤ 所以()412f x dx =⎰()12222x d x -++⎰⎰()22211221222x dx x x -+=-+⎰()22111122222222⎡⎤⎡⎤⎛⎫=-+⨯--+⨯⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 98=2⎰的几何意义为以()3,0为圆心，以1r =为半径的圆，在x 轴上方的部分因而21122S ππ=⨯⨯= 所以()21229942828x dx ππ+-++=+=⎰⎰ 所以选A【点睛】本题考查了积分的求法，微积分基本定理的应用及利用几何法求积分值，属于中档题．7．已知函数()y f x =的导函数为()f x '，满足R x ∀∈，()()f x f x '>且(1)e f =，则不等式(ln )f x x >的解集为( )A ．(e,)+∞B ．(1,)+∞C ．(0,e)D ．(0,1)【答案】A【解析】令ln t x =，这样原不等式可以转化为()e t f t >，构造新函数()()e x f x g x =，求导，并结合已知条件()()f x f x '>，可以判断出()g x 的单调性，利用单调性，从而可以解得1t >，也就可以求解出x e >，得到答案.【详解】解:令ln t x =，则(ln )()e t f x x f t >⇔>， 令()()e x f x g x =，则()()()0ex f x f x g x '-'=>， ()g x ∴在R 上单调递增，()()e 1e t t f t f t ∴>⇔> ()(1)1ln 1e g t g t x x ⇔>⇔>⇔>⇔>，故选A.【点睛】本题考查了利用转化法、构造函数法、求导法解决不等式解集问题，考查了数学运算能力和推理论证能力.8．若函数()1y f x =+为偶函数，且1x ≥时，()2xf x x e =-则不等式()()3f x f ≥的解集为( )A ．[]3,-+∞B ．[]1,3-C ．(][),13,-∞-+∞UD ．(][),22,-∞-+∞U【答案】B【解析】根据题意得到()f x 关于1x =成轴对称，得到()()31f f =-再利用导数，得到1x ≥时的单调性，从而得到不等式()()3f x f ≥的解集.【详解】因为函数函数()1y f x =+为偶函数，所以可得()f x 关于1x =成轴对称，所以()()31f f =-，当1x ≥时，()2x f x x e =-， 所以()2xf x x e '=- 设()2xg x x e =-，则()2xg x e '=-， 当1x ≥，()0g x '<，()g x 单调递减，。
2020年河北省衡水市高考数学二模试卷(理科)
）
A. 37.5 分钟
C. 49.5 分钟
B. 40.5 分钟
D. 52.5 分钟
11. 在圆锥 PO 中，已知高 PO=2，底面圆的半径为 4，M 为母线 PB 的中点，根据圆锥
曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，下
面四个命题，正确的个数为
（
）
①圆的面积为 4π；
②椭圆的长轴长为√37；
4
③双曲线两渐近线的夹角为 π-arcsin5；
4√5
④抛物线中焦点到准线的距离为
A. 1 个
5
．
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
12. 设使直线 y=ax 与曲线() = ( + 4 ) + 有公共点的 a 的取值范围为集合 A，
的一个焦点 F，
与 y 轴交于 P，Q 两点，若|| =
B. √5
A. √3
2√3
3
（
，则双曲线 C 的离心率是
C. 2
）
D. √2
8. 在斜△ 中，设角, , 的对边分别为, , ，已知
，若是角的角平分线，且 = ，则
（
A.
）
3
4
B.
1
C.
8
2
3பைடு நூலகம்
D.
1
6
9. 如图所示，边长为 1 的正方形网络中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体
所有棱长组成的集合为（
A. {1，√5}
C. {1，√2，√5}
）
B. {1，√6}
D. {1，√2，2√2，√6}
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衡水中学2019-2020学年高三上学期二调考试数学(理)试题(解析版)
2019-2020学年度上学期高三年级二调考试数学（理科）试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本题共12小题，从每小题给出的四个选项中，选出最佳选项，并在答题纸上将该项涂黑）1.若3cos 5x =-，且2x ππ<<，则tan sin x x +的值是( ) A. 3215-B. 815-C. 815D.3215【答案】B 【解析】 【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinx ，tanx 的值，即可得解．【详解】由题意，知3cosx 5=-，且πx π2<<，所以4sinx 5==，则sinx 4tanx cosx 3==-， 448tanx sinx 3515∴+=-+=-．故选：B ．【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，其中解答中熟练应用同角三角函数的基本关系式，准确求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 2.设30.2a =，2log 0.3b =，3log 2c =，则（ ） A. a b c >> B. a c b >> C. b a c >> D. c a b >>【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的单调性，并结合取中间值法即可判断大小. 【详解】由于300.20.2<<，22log 0.3log 10<=，331log 2log 2>=， 则323log 0.30.2log 2<<，即c a b >>.故选：D.【点睛】本题主要考查对数与对数函数和指数与指数函数，利用函数的单调性比较大小是常用手段，属基础题.3.已知奇函数()f x 满足()(4)f x f x =+，当(0,1)x ∈时，()2x f x =，则()2log 12f =（ ） A. 43- B.2332 C.34D. 38-【答案】A 【解析】 【分析】利用周期性和奇函数的性质可得，()()()222log 12log 1244log 12f f f =-=--，再根据指数运算和对数运算即可求得结果.【详解】由题意()(4)f x f x =+，故函数()f x 是周期为4的函数， 由23log 124<<，则21log 1240-<-<，即204log 121<-<， 又函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则()()()2244log 12222log 1224log 12log 1244log 12223f f f -=-=--=-=-=-，故选：A.【点睛】本题主要考查对数函数，奇函数，周期函数，以及抽象函数的性质，综合性较强，属中档题. 4.已知圆22:4O x y +=与y 轴正半轴的交点为M ，点M 沿圆O 顺时针运动3π弧长达到点N ，以x 轴的正半轴为始边，ON 为终边的角即为α，则sin α=（ ） A.3B.12C .D.【答案】D 【解析】 【分析】画图分析，根据弧长公式求出旋转的角的弧度数，则可求出α的值，从而得到结果. 【详解】由题意得M (0,2)，并画出图象如图所示.由点M 沿圆O 顺时针运动3π弧长到达点N ，则旋转的角的弧度数为326ππ=，即以ON 为终边的角3πα=，所以3sin α=. 故选：D .【点睛】本题考查三角函数的定义和弧长公式，注意仔细审题，认真计算，属基础题.5.函数(),,00,2s ()()in x xe ef x x xππ-+=∈-的图象大致为( )A.B. C. D.【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性可排除B ，再根据()0,x π∈时()f x 的符号可排除D ，再根据x π→时，()+f x →∞可排除C ，从而得到正确的选项.【详解】函数的定义域关于原点对称，且()()()2sin x xe ef x f x x -+-==--， 故()f x 为奇函数，其图像关于原点对称，所以排除B. 又当()0x π∈，时，sin 0,0xxx e e->+>，所以()0f x >，故排除D.又当x π→时，()+f x →∞，故排除C ， 综上，选A.【点睛】本题为图像题，考查我们从图形中扑捉信息的能力，一般地，我们需要从图形得到函数的奇偶性、单调性、极值点和函数在特殊点的函数值，然后利用所得性质求解参数的大小或取值范围． 6.如图是函数sin()0,02y x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象，将该图象向右平移(0)m m >个单位长度后，所得图象关于直线4x π=对称，则m 的最小值为（ ）A.12πB.6π C.4π D.3π 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的图象与性质求出()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，再根据右移得到函数()sin 223g x x m π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，利用对称轴的性质，得到m 的表达式，从而求得m 的最小值. 【详解】令()sin()f x y x ωϕ==+，由三角函数图象知，566T πππ=+=，所以2ππω=，所以2ω=.因为函数()f x 过点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭，且02πϕ<<，则206πϕ-⨯+=，即3πϕ=，所以()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，将该函数图象向右平移m 个单位后，所得图象的解析式是()sin 223g x x m π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， 因为函数()g x 的图象关于直线4x π=对称，所以22()432m k k Z ππππ⨯+-=+∈，解得()62k m k Z ππ=-∈，又m >0，所以m 的最小值为6π.【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，解题的关键在于根据图象正确求出函数解析式，并熟练掌握正弦函数的性质，属中档题. 7.已知函数()()xxf x x e e-=-，对于实数a b ，，“0a b +>”是“()()0f a f b +>”的( ).A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】先判断出函数为奇函数，且为R 的单调增函数，结合单调性与奇偶性利用充分条件与必要条件的定义判断即可.【详解】因为()()()()xx x x f x x e e x e e f x ---=--=--=-，所以()f x 为奇函数，0x >时，()1x x f x x e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()f x 在()0,∞+上递增，所以函数()f x 在R 上为单调增函数， 对于任意实数a 和b ，若0a b +>，则()(),a b f a f b >-∴>-， 函数()f x 为奇函数，()()f a f b ∴>-，()()0f a f b ∴+>，充分性成立；若()()0f a f b +>，则()()()f a f b f b >-=-， 函数在R 上为单调增函数，a b ∴>-，0a b ∴+>，必要性成立，∴对于任意实数a 和b ，“0a b +>”，是“()()0f a f b +>”的充要条件，故选C.【点睛】本题主要考查函数的单调性与奇偶性以及充分条件与必要条件的定义，属于综合题. 判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理. 8.已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin 1cos 2cos 2cos sin 2βαβαα+=+，则tan 24παβ⎛⎫++= ⎪⎝⎭（ ） A. －1 B. 1C.3D. 3-【答案】A 【解析】 【分析】利用二倍角公式和三角函数的商数关系对1cos 22cos sin 2ααα++进行化简变形，从而可得tan tan 42παβ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再根据0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,424παπ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，结合正切函数的单调性，则42παβ=-，代入所求表达式从而可求得结果.【详解】2sin 1cos 22cos cos 2cos sin 22cos 2sin cos βααβααααα+==++ 222cos sin cossin1tancos 22222tan 1sin 42sin cos 1tan sin cos 22222ααααααπααααααα---⎛⎫=====- ⎪+⎝⎭⎛⎫+++ ⎪⎝⎭， 故tan tan 42παβ⎛⎫=-⎪⎝⎭，又0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,424παπ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，42παβ∴=-，故22πβα=-，则3tan 2tan 144ππαβ⎛⎫⎛⎫++==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：A.【点睛】本题考查二倍角公式，三角函数的商数关系和正切函数的性质，综合性强，要求一定的计算化简能力，属中档题.9.已知函数()sin cos f x x x =-，()g x 是()f x 的导函数，则下列结论中错误的个数是（ ） ①函数()f x 的值域与()g x 的值域相同；②若0x 是函数()f x 的极值点，则0x 是函数()g x 的零点； ③把函数()f x 的图像向右平移2π个单位长度，就可以得到()g x 的图像； ④函数()f x 和()g x 在区间,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内都是增函数. A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】B 【解析】【分析】求出函数f (x )的导函数g (x )，再分别判断f (x )、g (x )的值域、极值点和零点，图象平移和单调性问题即可一一做出判断，从而得到答案.【详解】()sin cos 4f x x x x x x π⎫⎛⎫=-=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭， ()sin +cos ++224g x x x x x x π⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭， ①， ()4f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()4g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，两函数的值域相同，都是[，故①正确；②，若0x 是函数()f x 的极值点，则042x k πππ-=+，k Z ∈，解得034x k ππ=+，k Z ∈，()03044g x k πππ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，0x ∴也是函数()g x 的零点，故②正确；③，把函数()f x 的图象向右平移2π个单位，得sin cos cos sin ()222f x x x x x g x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---=--≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故③错误；④，,44x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，,042x ππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，()f x 是单调增函数，0,42x ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，()g x 也是单调增函数，故④正确.综上所述，以上结论中错误的个数是1. 故选：B.【点睛】本题考查了两角和与差的正弦公式，正弦函数的单调性，以及三角函数图象的变换，熟练掌握公式和正弦函数的性质是解本题的关键，属中档题. 10.已知函数()cos f x x =，若存在实数12,,,n x x x ，满足1204n x x x π≤<<<≤，且()()()()()()122318n n f x f x f x f x f x f x --+-++-=，2n ≥，n *∈N ，则n 的最小值为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C 【解析】 【分析】由余弦函数的有界性可得，对任意x i ，x j (i ，j =1，2，3，…，n )，都有()()max min ()()2i jf x f x f x f x --=，要使n 取得最小值，尽可能多让x i （i =1，2，3，…，n ）取得最高点和最低点，然后作图可得满足条件的最小n 值．【详解】∵()cos f x x =对任意x i ，x j (i ，j =1，2，3，…，n )， 都有()()max min ()()2i jf x f x f x f x --=，要使n 取得最小值，尽可能多让x i (i =1，2，3，…，n )取得最高点和最低点， 考虑0≤x 1＜x 2＜…＜x n ≤4π，()()()()()()122318n n f x f x f x f x f x f x --+-++-=，按下图取值即可满足条件，则n 的最小值为5. 故选：C.【点睛】本题考查三角函数与数列的综合，考查了余弦函数的图象与性质，审清题意，画出图象是解决本题的关键，属中档题.11.设函数11,(,2)(){1(2),[2,)2x x f x f x x --∈-∞=-∈+∞，则函数()()1F x xf x =-的零点的个数为( )A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】 C 【解析】 试题分析：，转化为如图，画出函数和的图像，当时，有一个交点， 当时，，，此时，是函数的一个零点， ，，满足，所以在有两个交点，同理，所以在有两个交点， ，所以在内没有交点，当时，恒有，所以两个函数没有交点所以，共有6个．考点：1．分段函数；2．函数的零点．3数形结合求函数零点个数． 12.已知0>ω，2πϕ≤，在函数()sin()f x x ωϕ=+，()cos()g x x ωϕ=+的图象的交点中，相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为2π，当(,)64x ππ∈-时，函数()f x 的图象恒在x 轴的上方，则ϕ的取值范围是（ ） A. (,)63ππB. ,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. (,)32ππD. ,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】 【分析】令F （x ）＝()sin x ωϕ+﹣()cos x ωϕ+＝0求出零点，利用相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为2π得ω值，然后根据当,64x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，f(x)>0恒成立即可得到ϕ的取值范围. 【详解】由题意，函数()()sin f x x ωϕ=+，()()cos g x x ωϕ=+的图象中相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为2π． 令F （x ）＝()sin x ωϕ+﹣()cos x ωϕ+＝0sin （4x πωϕ+-）＝0，即4x πωϕ+-＝k π，k ∈Z ．当k ＝0时，可得一个零点x 1＝4πω-∅当k ＝1时，可得二个零点x 2＝54πω-∅, ω＞0， 那么|x 1﹣x 2|＝|544|2ππππωωω-∅-∅-==，可得ω2=,则()()sin 2f x x ϕ=+， 又当,64x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，函数()f x 的图象恒在x 轴的上方， 当f(x)>0时2k π2x φ2k ππ,<+<+解得k πx k π222ϕπϕ-<<+-,只需26224k k ϕπππϕππ⎧-≤-⎪⎪⎨⎪+-≥⎪⎩即2k π2,32k ππϕπ+≤≤+又2πϕ≤，则当k=0时，ϕ的取值范围是,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：D ．【点睛】本题考查三角函数图像的性质，考查恒成立问题，属于中档题.第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（本题共4小题）13.已知曲线3y x x =-在点()00,x y 处的切线平行于直线220x y --=，则0x =______. 【答案】－1 【解析】 【分析】求出函数的导数，代入x 0求得切线的斜率，再由两直线平行的条件可得到关于x 0的方程，解方程即可得到所求值，注意检验.【详解】3y x x =-的导数为231y x '=-，即在点()00,x y 处的切线斜率为2031k x =-，由切线平行于直线220x y --=，则2k =，即20312x -=，解得01x =或1-.若01x =，则切点为(1,0)，满足直线220x y --=，不合题意. 若01x =-，则切点为(1,0)-，不满足直线220x y --=，符合题意. 故答案为：1-.【点睛】本题考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，同时考查两直线平行的问题，属基础题.14.设定义域为R 的函数()f x 满足()()f x f x '>，则不等式()()121x e f x f x -<-的解集为__________．【答案】(1,)+∞ 【解析】 【分析】根据条件构造函数F （x ）()xf x e=，求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论．【详解】设F （x ）()xf x e=，则F ′（x ）()()'xf x f x e-=，∵()()f x f x '>，∴F ′（x ）＞0，即函数F （x ）在定义域上单调递增． ∵()()121x ef x f x -<-∴()()2121xx f x f x ee--＜，即F （x ）＜F （2x 1-）∴x 2x 1-＜，即x ＞1 ∴不等式()()121x ef x f x -<-的解为()1,+∞故答案为：()1,+∞【点睛】本题主要考查函数单调性的判断和应用，根据条件构造函数是解决本题的关键．15.如图，阴影部分是由曲线22y x =和223x y +=及x 轴围成的封闭图形，则阴影部分的面积为______.【答案】328π-【解析】 【分析】首先求出曲线的交点，然后求直线3y x =与22y x =围成的面积1S ，利用扇形的面积公式，求得扇形AOB 的面积2S ，则阴影部分的面积为21S S S =-，计算即可求得结果.【详解】曲线22y x =和圆223x y +=的在第一象限的交点为33,2A ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭， 则直线OA 的方程为：3y x =， 如图，则直线OA 与抛物线22y x =所围成的面积()3322231032332333322324388S x x dx x x ⎛⎫=-=-=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎰，又扇形AOB 圆心角为3πα=，则扇形AOB 的面积221132232S r ππα==⨯⨯=， 所以阴影部分的面积2132S S S π=-=. 故答案为：328π-. 【点睛】本题考查了利用定积分求阴影部分的面积，关键是利用定积分正确表示对应的面积，属中档题. 16.设ABC ∆的内角A B C ，，的对边长a b c ，，成等比数列，()1cos cos 2A CB --=，延长BC 至D ，若2BD =，则ACD ∆面积的最大值为__________. 【答案】34【解析】 【分析】由()1cos cos 2A C B --=，可得1cos cos 4A C =，由,,a b c 成等比数列，结合正弦定理 可得2sin sin sinB AC =，两式相减，可求得3B π=，从而得ABC ∆为正三角形，设正三角形边长为a ，ACD S ∆ ()2a =-，利用基本不等式可得结果. 【详解】()cos cos A C B -- ()()1cos cos 2A C A C =-++=， 1cos cos 4A C ∴=，① 又,,a b c 成等比数列，2b ac ∴=，由正弦定理可得2sin sin sin B A C =，② ①-②得21sin cos cos sin sin 4B AC A C -=- ()cos cos A C B =+=-，21cos 1cos 4B B ∴+-=-，解得1cos ,23B B π==， 由()1cos cos 2A C B --=，得()1cos cos 12A C B -=+=，0,A C A B -==，ABC ∆为正三角形，设正三角形边长为a ， 则2CD a =-，1sin1202ACD S AC CD ∆=⋅()()122224a a a a =-⨯=- ()224a a ⎡⎤+-⎣⎦≤=，1a =时等号成立。
河北省衡水中学2020届高三上学期第二次调研数学(理)试卷
河北省衡水中学2020届高三上学期第二次调研考试数学(理科)一､选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 若3cos 5x =-，且2x ππ<<，则tan sin x x +的值是( ) A. 3215-B. 815-C. 815D.3215【答案】B 【解析】 【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinx ，tanx 的值，即可得解．【详解】由题意，知3cosx 5=-，且πx π2<<，所以4sinx 5==，则sinx 4tanx cosx 3==-， 448tanx sinx 3515∴+=-+=-．故选B ．【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，其中解答中熟练应用同角三角函数的基本关系式，准确求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.2. 设30.2a =，2log 0.3b =，3log 2c =，则（ ） A. a b c >> B. a c b >> C. b a c >> D. c a b >>【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的单调性，并结合取中间值法即可判断大小. 【详解】由于300.20.2<<，22log 0.3log 10<=，331log 2log 2>=， 则323log 0.30.2log 2<<，即c a b >>.故选D.【点睛】本题主要考查对数与对数函数和指数与指数函数，利用函数的单调性比较大小是常用手段，属基础题.3. 已知奇函数()f x 满足()(4)f x f x =+，当(0,1)x ∈时，()2x f x =，则()2log 12f =（ ） A. 43-B.2332 C.34D. 38-【答案】A 【解析】 【分析】利用周期性和奇函数的性质可得，()()()222log 12log 1244log 12f f f =-=--，再根据指数运算和对数运算即可求得结果.【详解】由题意()(4)f x f x =+，故函数()f x 是周期为4的函数， 由23log 124<<，则21log 1240-<-<，即204log 121<-<， 又函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则()()()2244log 12222log 1224log 12log 1244log 12223f f f -=-=--=-=-=-，故选A.【点睛】本题主要考查对数函数，奇函数，周期函数，以及抽象函数的性质，综合性较强，属中档题.4. 已知圆22:4O x y +=与y 轴正半轴的交点为M ，点M 沿圆O 顺时针运动3π弧长达到点N ，以x 轴的正半轴为始边，ON 为终边的角即为α，则sin α=（ ）A.B.12C.22D.32【答案】D【解析】【分析】画图分析，根据弧长公式求出旋转的角的弧度数，则可求出α的值，从而得到结果. 【详解】由题意得M(0,2)，并画出图象如图所示.由点M沿圆O顺时针运动3π弧长到达点N，则旋转的角的弧度数为326ππ=，即以ON为终边的角3πα=，所以3sin2α=.故选D.【点睛】本题考查三角函数的定义和弧长公式，注意仔细审题，认真计算，属基础题.5. 函数(),,00,2s()()inx xe ef x xxππ-+=∈-的图象大致为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】 【分析】根据函数的奇偶性可排除B ，再根据()0,x π∈时()f x 的符号可排除D ，再根据x π→时，()+f x →∞可排除C ，从而得到正确的选项.【详解】函数的定义域关于原点对称，且()()()2sin x xe ef x f x x -+-==--， 故()f x 为奇函数，其图像关于原点对称，所以排除B. 又当()0x π∈，时，sin 0,0xxx e e->+>，所以()0f x >，故排除D.又当x π→时，()+f x →∞，故排除C ， 综上，选A.【点睛】本题为图像题，考查我们从图形中扑捉信息的能力，一般地，我们需要从图形得到函数的奇偶性、单调性、极值点和函数在特殊点的函数值，然后利用所得性质求解参数的大小或取值范围．6. 如图是函数sin()0,02y x πωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象，将该图象向右平移(0)m m >个单位长度后，所得图象关于直线4x π=对称，则m 的最小值为（ ）A.12πB.6πC.4π D.3π 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的图象与性质求出()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据右移得到函数()sin 223g x x m π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，利用对称轴的性质，得到m 的表达式，从而求得m 的最小值.【详解】令()sin()f x y x ωϕ==+，由三角函数图象知，566T πππ=+=，所以2ππω=，所以2ω=.因为函数()f x 过点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭，且02πϕ<<，则206πϕ-⨯+=，即3πϕ=，所以()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将该函数图象向右平移m 个单位后，所得图象的解析式是()sin 223g x x m π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， 因为函数()g x 的图象关于直线4x π=对称，所以22()432m k k Z ππππ⨯+-=+∈，解得()62k m k Z ππ=-∈，又m >0，所以m 的最小值为6π.【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，解题的关键在于根据图象正确求出函数解析式，并熟练掌握正弦函数的性质，属中档题. 7. 已知函数()()xxf x x e e-=-，对于实数a b ，，“0a b +>”是“()()0f a f b +>”的( ).A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】先判断出函数为奇函数，且为R 的单调增函数，结合单调性与奇偶性利用充分条件与必要条件的定义判断即可.【详解】因为()()()()xx x x f x x e e x e e f x ---=--=--=-，所以()f x 为奇函数，0x >时，()1x x f x x e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()f x 在()0,∞+上递增，所以函数()f x 在R 上为单调增函数，对于任意实数a 和b ，若0a b +>，则()(),a b f a f b >-∴>-， 函数()f x 为奇函数，()()f a f b ∴>-，()()0f a f b ∴+>，充分性成立；若()()0f a f b +>，则()()()f a f b f b >-=-， 函数在R 上为单调增函数，a b ∴>-，0a b ∴+>，必要性成立，∴对于任意实数a 和b ，“0a b +>”，是“()()0f a f b +>”的充要条件，故选C.【点睛】本题主要考查函数的单调性与奇偶性以及充分条件与必要条件的定义，属于综合题. 判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理. 8. 已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin 1cos 2cos 2cos sin 2βαβαα+=+，则tan 24παβ⎛⎫++= ⎪⎝⎭（ ）A. －1B. 1C.3D. 3-【答案】A 【解析】 【分析】利用二倍角公式和三角函数的商数关系对1cos 22cos sin 2ααα++进行化简变形，从而可得tan tan 42παβ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再根据0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,424παπ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，结合正切函数的单调性，则42παβ=-，代入所求表达式从而可求得结果.。
2020年河北省衡水中学高考数学二调试卷2 (含答案解析)
2020年河北省衡水中学高考数学二调试卷2一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|x 2−16<0}，B ={−5,0，1}，则( )A. A ∩B =⌀B. B ⊆AC. A ∩B ={0,1}D. A ⊆B2. 若i 为虚数单位，图中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点Z 表示复数z ，则复数z 的共轭复数是( )A. 2+iB. 2−iC. 1+2iD. 1+2i 3. 下列函数中，x =0是极值点的函数是( )A. y =−x 3B. y =cos 2xC. y =tanx −xD. y =1x4. 已知变量x ，y 满足约束条件{x +y −1≤03x −y +1≥0x −y −1≤0，则z =3y −2x 的最小值为( )A. 1B. 2C. −3D. −45. 执行如图所示的程序框图，若输入的n =4，则输出的j =A. 1B. 3C. 5D. 7 6. 一个等差数列第9项为9，则它的前17项和为( )A. 153B. 144C. 17D. 1627. 在某次数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布N(90,σ2)，若ξ在(80,100)内的概率为0.6，则任意选取一名参加本次数学测试的学生，该生成绩不低于100分的概率为( )A. 0.2B. 0.3C. 0.35D. 0.48. 已知函数f(x)=sin(ωx +φ)，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则f(π2)的值为( )A. 1B. −1C. √22D. −√229. 若(x 2+1)(x −3)9=a 0+a 1(x −2)+a 2(x −2)2+a 3(x −2)3+⋯+a 11(x −2)11，则a 1+a 2+⋯+a 11的值为( )A. 0B. −5C. 5D. 25510. 椭圆x 212+y 28=1与曲线x 28−k −y 2k−12=1(k <8)的( )A. 焦距相等B. 离心率相等C. 焦点相同D. 准线相同11. 已知函数f(x)={3(a −3)x +2,x ≤1,−4a −lnx,x >1,对于任意的x 1≠x 2，都有(x 1−x 2)[f(x 2)−f(x 1)]>0成立，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,3]B. (−∞,3)C. (3,+∞)D. [1,3)12. 四面体ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥面ABC ，AD =√7，AB =3，BC =4，此四面体的外接球的表面积为( )A. 28πB. 32πC. 36πD. 48π二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知(如图)为某四棱锥的三视图，则该几何体体积为______14. 已知向量a ⃗ =(2,λ)，b ⃗ =(4,−3)，若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则|a ⃗ |=____________． 15. 已知抛物线y 2=4x 的准线与双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的两条渐近线分别交于A ，B 两点，且|AB|=2√3，则双曲线的离心率e 为______ ．16.设数列{a n}的前n项和为S n，满足：S n+a n=n−1，n=1，2，…，n，则S2019=________．n(n+1)三、解答题（本大题共8小题，共94.0分）17.在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2bsinA=√3a.(1)求角B的大小；(2)若a+c=5，且a>c，b=√7，求边a，c．18.某公司开发一新产品有甲、乙两种型号，现分别对这两种型号产品进行质量检测，从它们的检测数据中随机抽取8次(数值越大产品质量越好)，记录如下：甲：8.3，9.0，7.9，7.8，9.4，8.9，8.4，8.3乙：9.2，9.5，8.0，7.5，8.2，8.1，9.0，8.5(Ⅰ)画出甲、乙两产品数据的茎叶图；(Ⅱ)现要从甲、乙中选一种型号产品投入生产，从统计学角度，你认为生产哪种型号产品合适？简单说明理由；(Ⅲ)若将频率视为概率，对产品乙今后的三次检测数据进行预测，记这三次数据中不低于8.5分的次数为ξ，求ξ的分布列及期望Eξ．19.如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，P是AB的中点，将△ADP沿DP向上折起到△A1DP的位置，使平面A1DP⊥平面BCDP．(1)求证：A1D⊥CP；(2)求二面角B−A1C−P的余弦值．20.设椭圆C:x2+y2=1的右焦点为F，过点(m,0)(|m|≥1)作直线l与椭圆C交于A，B两点，且4坐标原点O(0,0)到直线l的距离为1．(1)当m=1时，求直线AF的方程；(2)求ΔABF面积的最大值．ax2+lnx，g(x)=−bx，设ℎ(x)=f(x)−g(x)．21.已知函数f(x)=12(1)若f(x)在x=√2处取得极值，且f′(1)=g(−1)−2，求函数ℎ(x)的单调区间；2(2)若a=0时函数ℎ(x)有两个不同的零点x1、x2．①求b的取值范围；>1．②求证：x1x2e222.如图所示，△ABC内接于⊙O，直线AD与⊙O相切于点A，交BC的延长线于点D，过点D作DE//CA交BA的延长线于点E．(I)求证：DE2=AE⋅BE；(Ⅱ)若直线EF与⊙O相切于点F，且EF=4，EA=2，求线段AC的长．23.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：x2+y2−2y=0，倾斜角为π的直线l过点M(−2,0)，以原6点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．(1)求C1和C2交点的直角坐标；(2)若直线l与C1交于A，B两点，求|MA|+|MB|的值．24.求y=3sin x+2√2+2cos2x的最大值．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：A={x|x2−16<0}={x|−4<x<4}，B={−5,0，1}，则A∩B={0,1}，故选：C．根据集合的基本运算进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2.答案：B解析：解：由题意可得z=2+i．复数的共轭复数为：2−i．故选：B．利用表格写出复数z，然后求解共轭复数即可．本题考查复数的几何意义，是基础题．3.答案：B解析：A.y=−x3，∵y′=(−x3)′=−3x2，当x<0或x>0时，y′<0，∴x=0不是极值点.B．y= cos2x，y′=(cos2x)′=2cosx(−sinx)=−sin2x，当x<0时，−sin2x>0，y′>0；当x>0时，−sin2x<0，y′<0，所以x=0是y=cos2x的极大值点.C．y=tanx−x，y′=(tanx−x)′=1cos2x−1，当x<0或x>0时，0<cos2x<1，y′>0，∴x=0不是极值点.D．y=1x ，y′=(1x)′=−1x2，当x<0或x>0时，y′<0，∴x=0不是极值点．4.答案：D解析：【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：(阴影部分ABC)，由z =3y −2x 得y =23x +z3，平移直线y =23x ，由图象可知当直线y =23x +z3经过点A 时，直线y =23x +z3的截距最小，此时z 最小，由{x −y −1=03x −y +1=0，解得A(−1,−2)， 将A(−1,−2)的坐标代入目标函数z =3y −2x ，得z =3×(−2)−2×(−1)=−4， 即z =3y −2x 的最小值为−4． 故选D ．5.答案：C解析： 【分析】本题考查程序框图，属基础题． 模拟算法，可得输出的j 的值． 【解答】解： 框图的执行过程如下表：i 1 2 3 4 j 1 3 3 5 5． 故选C ．6.答案：A解析：【分析】本题考查等差数列的性质，根据前n项和与通项的关系即可求解．【解答】解：S17=17×(a1+a17)2=17a9=17×9=153．故选A．7.答案：A解析：【分析】本题考查正态曲线的性质，利用对称性求解．【解答】解：ξ服从正态分布N(90,σ2)，所以正态曲线关于直线x=90对称，由若ξ在(80,100)内的概率为0.6，得ξ在(90,100)内的概率为0.3，所以该生成绩不低于100分的概率为0.5−0.3=0.2，故选A．8.答案：D解析：解：根据函数f(x)=sin(ωx+φ)，ω>0，|φ|<π2的部分图象，可得T2=3π4−5π12=πω，∴ω=3，将(7π12,−1)代入，可得sin(7π4+φ)=−1，故，又|φ|<π2，∴φ=−π4，∴f(x)=sin(3x−π4)，∴f(π2)=sin5π4=−√22，故选D．由周期求出ω的值，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数f(x)的解析式，从而求得f(π2)的值．本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，属于基础题．9.答案：C解析：解：在(x2+1)(x−3)9=a0+a1(x−2)+a2(x−2)2+a3(x−2)3+⋯+a11(x−2)11中，令x=2，得a0=(4+1)×(−1)=−5；令x=3，得a0+a1+a2+a3+⋯+a11=(9+1)×0=0；∴a1+a2+a3+⋯+a11=5．故选：C．在所给的等式中，令x=2求得a0的值，令x=3求得a0+a1+a2+a3+⋯+a11，从而求得结果．本题考查二项式定理的应用问题，利用赋值法求出结果，属于基础题．10.答案：A解析：【分析】利用椭圆方程以及双曲线方程，求出c，然后推出结果．本题考查椭圆的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．【解答】解：因为椭圆方程为x212+y28=1，所以a=2√3，b=2√2，c=2，焦点在x轴上．曲线x28−k −y2k−12=1(k<8)，因为k<8，所以8−k>0，k−12<0，曲线方程可写为：x28−k +y212−k=1(k<8)，12−k>8−k，所以曲线为焦点在y轴上的椭圆，a=√12−k，b=√8−k，c=2，所以焦距相等正确．故选：A．11.答案：D解析：【分析】本题考查函数的单调性的判断和应用，考查不等式的解法和运算能力，属于中档题．【解答】解：由(x1−x2)[f(x2)−f(x1)]>0对任意x1≠x2成立，得(x 1−x 2)·[f(x 1)−f(x 2)]<0，所以函数f(x)为R 上的单调递减函数对任意x 1≠x 2成立， 则{a −3<0,3(a −3)+2≥−4a,解得1≤a <3． 故选D ．12.答案：B解析： 【分析】本题考查球O 的表面积，考查学生的计算能力，确定四面体ABCD 的外接球的半径是关键，属于基础题．由正弦定理可得△ABC 外接圆的半径，利用勾股定理可得四面体ABCD 的外接球的半径，即可求出球O 的表面积． 【解答】 解：由题意，由AB ⊥BC ，AB =3，BC =4，可得△ABC 外接圆的半径为52， ∵AD ⊥平面ABC ，AD =√7，∴四面体ABCD 的外接球的半径为12DC =12√7+25=2√2， ∴球O 的表面积为4π×8=32π． 故选：B ．13.答案：83解析： 【分析】根据四棱锥的三视图知，四棱锥是侧放的直四棱锥，结合图中数据求出它的体积．本题考查了空间几何体三视图的应用问题，是基础题． 【解答】解：根据四棱锥的三视图知，则四棱锥是侧放的直四棱锥，且底面四边形是边长为2的正方形，高为2；所以该四棱锥的体积为V 四棱锥=13×22×2=83． 故答案为：83．14.答案：103解析： ↵ 【分析】考查向量数量积运算，以及向量垂直的充要条件及向量模的求法．根据条件a ⃗ 与b ⃗ 垂直，从而得出a ⃗ ⋅b ⃗ =0，进行向量数量积的坐标运算即可得出关于λ的方程，求出λ的值即可． 【解答】解：a ⃗ =(2,λ)，b ⃗ =(4,−3)，若a ⃗ ⊥b ⃗ ， ∵a ⃗ ⊥b ⃗ ，∴a ⃗ ⋅b ⃗ =8−3λ=0， ∴λ=83，则|a ⃗ |=√22+(83)2=103，故答案为103．15.答案：2解析： 【分析】求出y 2=4x 的准线l ：x =−1，由抛物线y 2=4x 的准线与双曲线x 2a2−y 2b 2=1的两条渐近线分别交于A ，B 两点，且|AB|=2√3，从而得出A 、B 的坐标，将A 点坐标代入双曲线渐近线方程结合a ，b ，c 的关系式得出出a ，c 的关系，即可求得离心率．本题考查双曲线的性质和应用，考查学生的计算能力，属于中档题． 【解答】解：∵y 2=4x 的准线l ：x =−1，∵抛物线y2=4x的准线与双曲线x2a2−y2b2=1的两条渐近线分别交于A，B两点，且|AB|=2√3，∴A(−1,√3)，B(−1,−√3)，将A点坐标代入双曲线渐近线方程得ba=√3，∴b2=3a2，又b2=c2−a2∴3a2=c2−a2，即4a2=c2，∴e=ca=2．则双曲线的离心率e为2．故答案为：2．16.答案：12020−(12)2019解析：解：数列{a n}的前n项和为S n满足：S n+a n=n−1n(n+1)，n=1，2，…，n．则：当n=1时，S1=0，当n≥2时，S n+S n−S n−1=2S n−S n−1=1n+1−(1n−1n+1)，所以：S n−1n+1=12(S n−1−1n)=(12)n−1(S1−12)=−(12)n，故：S n=1n+1−(12)n故：S2019=12020−(12)2019，故答案为：12020−(12)2019首先利用关系式的恒等变换求出数列的和的关系式，进一步求出结果．本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用，数列的和公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．17.答案：解：(1)在锐角△ABC中，∵2bsinA=√3a，∴2sinBsinA=√3sinA，sinA≠0，∴sinB=√32，B∈(0,π2)，∴B=π3．(2)由余弦定理可得：b2=a2+c2−2accosB，∴7=(a+c)2−2ac−2accosπ3，化为：ac=6，与a+c=5，a>c，联立解得：a=3，c=2．解析：(1)由2bsinA=√3a，利用正弦定理可得：2sinBsinA=√3sinA，sinA≠0，化简整理即可得出．(2)由余弦定理可得：b2=a2+c2−2accosB，代入化简解出即可．本题考查了正弦定理余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.答案：解：(Ⅰ)由已知作出甲、乙两产品数据的茎叶图如图：(Ⅱ)x 甲=18(8.3+9.0+7.9+7.8+9.4+8.9+8.4+8.3)=8.5， x 乙=18(9.2+9.5+8.0+7.5+8.2+8.1+9.0+8.5)=8.5，S 甲2=18[(8.3−8.5)2+(9.0−8.5)2+(7.9−8.5)2+(7.8−8.5)2+(9.4−8.5)2+(8.9−8.5)2+(8.4−8.5)2+(8.3−8.5)2]=0.27，S 乙2=18[(9.2−8.5)2+(9.5−8.5)2+(8.0−8.5)2+(7.5−8.5)2+(8.2−8.5)2+(8.1−8.5)2+(9.0−8.5)2+(8.5−8.5)2]=0.405，∵x 甲=x 乙，S 甲2<S 乙2，∴甲和乙的质量数值的平均数相同，但甲的方差较小， 说明甲的数据更加稳定，故生产甲产品合适． (Ⅲ)依题意，乙不低于8.5分的频率为12， ξ的可能取值为0，1，2，3， 则ξ～B(3,12)，∴P(ξ=0)=C 30(12)3=18，P(ξ=1)=C 31(12)(12)2=38， P(ξ=2)=C 32(12)2(12)=38， P(ξ=3)=C 33(12)3=18，∴ξ的分布列为： ξ 0 1 2 3 P18383818×18+×38+×38+×18=32．解析：(Ⅰ)由已知数据能作出甲、乙两产品数据的茎叶图．(Ⅱ)分别求出x 甲，x 乙，S 甲2，S 乙2，得到x 甲=x 乙，S 甲2<S 乙2，这说明甲的数据更加稳定，故生产甲产品合适．(Ⅲ)依题意，乙不低于8.5分的频率为12，ξ的可能取值为0，1，2，3，ξ～B(3,12)，由此能求 本题主要考查茎叶图、概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力．19.答案：证明：(1)在矩形ABCD 中，AB =2，AD =1，P 是AB 的中点，∴DP =√AD 2+AP 2=√2，CP =√BP 2+BC 2=√2， ∴CD 2=4=DP 2+CP 2，∴CP ⊥DP ，∵平面A 1DP ⊥平面BCDP ，平面A 1DP ∩平面BCDP =PD ， CP ⊂平面BCDP ，∴CP ⊥平面A 1DP ， ∵A 1D ⊂平面A 1DP ，∴A 1D ⊥CP ．解：(2)以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，作A 1E ⊥DP 于点E ， 则A 1E =12DP =√22，P(1,1，0)，B(1,2，0)，C(0,2，0)，E(12,12,0)，A 1(12,12,√22)，从而CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,−32,√22)，CB⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0，0)，CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,0)， 设m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)是平面A 1BC 的法向量， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12x −32y +√22z =0m ⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ =x =0，取z =3，得m ⃗⃗⃗ =(0,√2,3)， 设n⃗ =(x,y ，z)为平面A 1CP 的法向量， 则{n ⃗ ⋅CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12x −32y +√22z =0n ⃗ ⋅CP⃗⃗⃗⃗⃗ =x −y =0，取z =√2，得n⃗ =(1,1，√2)， ∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√22√11=2√2211， ∴二面角B −A 1C −P 的余弦值为2√2211．解析：(1)推导出CP ⊥DP ，从而CP ⊥平面A 1DP ，由此能证明A 1D ⊥CP ．(2)以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，作A 1E ⊥DP 于点E ，利用向量法能求出二面角B −A 1C −P 的余弦值．本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20.答案：解：(1)焦点F(√3,0)，当m =1时，直线l:x =1，点A(1,±√32)，k AF =√32−01−√3或−√32−01−√3，∴直线AF 的方程为：y =−√3+34(x −√3)或y =√3+34(x −√3)；(2)当直线l 的斜率不存在时，m =±1， S ΔABF =3−√32或3+√32．当直线l 的斜率存在时，设直线l ：y =k(x −m)，联立方程{x 24+y 2=1y =k(x −m)，得(1+4k 2)x 2−8mk 2x +4m 2k 2−4=0． 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=8mk 21+4k 2，x 1⋅x 2=4m 2k 2−41+4k 2．由题意知|km|√1+k 2=1，即k 2m 2=k 2+1 ①，，利用①式，消去k ，得|y 1−y 2|=4√3m 2+3， ∴，当m <−1或1<m <√3时，S ΔABF =2√3(√3−m)m 2+3， 令t =√3−m ，t ∈(0,√3−1)∪(√3+1,+∞) ， 则；当m >√3时，S ΔABF =2√3(m−√3)m 2+3， 令t =m −√3，，则；∴当m =−1时，ΔABF 面积的最大值为3+√32．解析：本题考查直线与椭圆的综合问题．(1)当m =1时，直线l ：x =1，点A(1,±√32)，从而直线AF 有两个，利用点斜式方程即可;(2)当直线的斜率不存在时，m =±1，此时S ▵AFB =3√32；当直线l 的斜率存在时，设直线l ：y =k(x −m)，联立方程组，用点A 、B 的坐标表示出S ▵ABF =12|m −√3|⋅|y 1−y 2|=2√3|m−√3|m +3，通过换元用 基本不等式解决．21.答案： 解：(1)因为f ′(x)=ax +1x ，所以f ′(1)=a +1，由f′(1)=g(−1)−2可得a =b −3，又因为f(x)在x =√22处取得极值，所以f′(√22)=√22a +√2=0，所以a =−2，b =1， 所以，其定义域为，ℎ′(x)=−2x +1x+1=−2x 2+x+1x=−(2x+1)(x−1)x令ℎ′(x)=0得x 1=−12，x 2=1， 当x ∈(0,1)时，ℎ′(x)>0， 当ℎ′(x)<0，所以函数ℎ(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为；(2)当a =0时，，其定义域为，①ℎ′(x)=1x +b ，当b ⩾0，则ℎ′(x)>0，ℎ(x)在上单调递增，不合题意，当b <0时，ℎ(x)在(0,−1b )上单调递增，在上单调递减，因为ℎ(x)有2个不同零点，所以ℎ(−1b )>0，即b ∈(−1e ,0)， 此时存在1<−1b <4b 2 ，使得ℎ(1)=b <0，ℎ(4b 2)<0， 又ℎ(x)在(0,−1b )和都连续， 所以ℎ(x)在(0,−1b )和各有一个零点，所以b 的取值范围为(−1e ,0)． ②由题意得，，所以，，所以，不妨设x 1<x 2， 要证x 1x 2>e 2，只需要证，即证，设t=x2x1(t>1)，则，因为F(t)=1t −4(t+1)2=(t−1)2t(t+1)2>0，所以函数F(t)在上单调增，而F(1)=0，所以F(t)>0即，所以x1x2>e2，所以x1x2e2>1．解析：【分析】本题考查函数的综合应用问题，属于较难题，应用导数解决函数的极值，零点，单调区间以及利用不等式求解参数的取值范围和证明相关问题．(1)利用导数解决极值，由导函数与0的关系，求单调区间；(2)利用导数，利用函数与方程，利用函数的零点求出b的范围，构造函数证明不等式．22.答案：证明：(Ⅰ)∵AD是⊙O的切线，∴∠DAC=∠B，∵DE//CA，∴∠DAC=∠EDA，∴∠EDA=∠B，∵∠AED=∠DEB，∴△AED∽△DEB，∴DEBE =AEDE，∴DE2=AE⋅BE．解：(Ⅱ)∵EF是⊙O的切线，EAB是⊙O割线，∴EF2=EA⋅EB，∵EF=4，EA=2，∴EB=8，AB=EB−EA=6，由(Ⅰ)知DE2=AE⋅BE，∴DE=4，∵DE//CA，∴△BAC∽△BED，∴BABE =ACED，∴AC=BA⋅EDBE =6×48=3．解析：(Ⅰ)推导出△AED∽△DEB，由此能证明DE2=AE⋅BE．(Ⅱ)由切割线定理得EF2=EA⋅EB，由DE//CA，得△BAC∽△BED，由此能求出AC．本题考查与圆有关的线段间等量关系的证明，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意切割线定理的合理运用．23.答案：解：(1)曲线C 2的极坐标方程为，化为直角坐标系的方程为x +y −2=0， 联立{x +y −2=0x 2+y 2−2y =0, 消去x 得，y 2−3y +2=0， 解得y =1或2，故C 1和C 2交点的坐标为(0,2)，(1,1)． (2)依题意，直线l 的参数方程为为参数)，把直线l 的参数方程{x =−2+√32t y =12t代入x 2+y 2−2y =0，得(−2+√32t)2+(12t)2−t =0，即t 2−(2√3+1)t +4=0， 设A ，B 对应得参数分别为t 1,t 2， 则t 1+t 2=2√3+1，t 1·t 2=4． 易知点M 在圆x 2+y 2−2y =0外， 所以|MA|+|MB|=|t 1+t 2|=2√3+1．解析：本题主要考查由直线极坐标方程求直角坐标方程，由直线直角坐标方程求其参数方程，考查参数的几何意义，属于中档题． (1)将曲线C 2的极坐标方程化成直角坐标方程，联立方程即可求解；(2)通过设直线l 的参数方程，联立方程，利用参数的几何意义求解．24.答案：解：y =3sinx +2√2+2cos2x =3sinx +4√cos 2x ．由柯西不等式得：y 2=(3sinx +4√cos 2x)2≤(32+42)(sin 2x +cos 2x )=25， 所以y max =5，此时sinx =35， 所以函数的最大值为5．解析：本题考查利用柯西不等式求函数的最值，由柯西不等式得到y2=(3sinx+4√cos2x)2≤(32+42)(sin2x+cos2x)=25，即可求出答案．。
2020年河北省衡水二中高考数学二模试卷(理科) (解析版)
2020年河北省衡水二中高考数学二模试卷(理科)一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.设集合A={x∈Z|x2−2x−3<0}，B={−1,0，1，2}，则A∩B=()A. {0,1}B. {0,1,2}C. {−1,0,1}D. {−1,0}2.i是虚数单位，z=4i则|z|=()1−iA. 2B. 2√2C. 4D. 4√23.风雨桥是侗族最具特色的建筑之一．风雨桥由桥、塔、亭组成，其亭、塔平面图通常是正方形、正六边形和正八边形．下图是风雨桥亭、塔正六边形的正射影，其正六边形的边长计算方法如下：A1B1=A0B0−B0B1，A2B2=A1B1−B1B2，A3B3=A2B2−B2B3，…，A n B n=A n−1B n−1−B n−1B n，其中B n−1B n=⋯=B2B3=B1B2=B0B1，n∈N∗.根据每层边长间的规律，建筑师通过推算，可初步估计需要多少材料．所用材料中，横向梁所用木料与正六边形的周长有关．某一风雨桥亭、塔共5层，若A0B0=8m，B0B1=0.5m，则这五层正六边形的周长总和为()A. 35mB. 45mC. 210mD. 270m4.已知l，m，n是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则α⊥β的一个充分条件是()A. l⊂α，m⊂β，且l⊥mB. l⊂α，m⊂β，n⊂β，且l⊥m，l⊥nC. m⊂α，n⊂β，且l⊥m，l⊥nD. l⊂α，l//m，且m⊥β5.下图可能是下列哪个函数的图象()A. y=x2(x−2)x−1B. y=x(x−2)ln|x−1|C. y=x2ln|x−1|D. y=tanx⋅ln(x+1)6.已知a⃗，b⃗ 为单位向量，其夹角为120°，则(a⃗−2b⃗ )⋅b⃗ =()A. −52B. −32C. −1D. 27.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，那么至多有一名女生参加的概率是()A. 110B. 310C. 35D. 9108.条形码是由一组规则排列的条、空及其对应的代码组成，用来表示一定的信息，我们通常见的条形码是“EAN−13”通用代码，它是由从左到右排列的13个数字(用a1，a2，…，a13表示)组成，这些数字分别表示前缀部分、制造厂代码、商品代码和校验码，其中a13是校验码，用来校验前12个数字代码的正确性．图(1)是计算第13位校验码的程序框图，框图中符号[m]表示不超过m的最大整数(例如[365.8]=365).现有一条形码如图(2)所示(97a37107202551)，其中第3个数被污损，那么这个被污损数字a3是A. 9B. 8C. 7D. 69.如图是1990年−2017年我国劳动年龄(15−64岁)人口数量及其占总人口比重情况：根据图表信息，下列统计结论不正确的是()A. 2000年我国劳动年龄人口数量及其占总人口比重的年增幅均为最大B. 2010年后我国人口数量开始呈现负增长态势C. 2013年我国劳动年龄人口数量达到峰值D. 我国劳动年龄人口占总人口比重极差超过6%10. 设抛物线x 2=4y 的焦点为F ，过点F 作斜率为k(k >0)的直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，且点P 恰为AB 的中点，过点P 作x 轴的垂线与抛物线交于点M ，若|MF |=3，则直线l 的方程为( )A. y =2√2x +1B. y =√3x +1C. y =√2x +1D. y =2√3x +211. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为AB 和AA 1的中点，则直线EF 与平面ACC 1A 1所成的角等于( )A. 30°B. 45°C. 60°D. 90° 12. 若函数在(0,2)上存在两个极值点，则a 的取值范围是( ) A.B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为√3，则双曲线C 的焦距为_______．14. 在等比数列{a n }中，已知a 1+a 2+⋯+a n =2n −1，则a 12+a 22+⋯+a n 2=______．15. 已知定义在R 上的函数f (x )满足：f(x)={x 2+2,x ∈[0,1),2−x 2,x ∈[−1,0),且f(x +2)=f(x)，g(x)=2x+5x+2，则方程f (x )=g (x )在区间[−5,1]上的所有实根之和为____．16. 在三棱锥D − ABC 中，AB = BC = DB = DC = 1，当三棱锥D – ABC 的体积最大时，其外接球的表面积为 ____________ ．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17. 如图所示，在平面四边形ABCD 中，BC =CD =2，△BCD 的面积是2．(1)求∠BCD 的大小(2)若∠ABD =2∠ACB =60°，求线段AD 的长．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，已知PA=AC=2，，CE⊥AD与E．(1)求证：AD⊥PC；(2)若平面PAD⊥平面ABCD，且AD=3，求二面角C−PD−A的余弦值．19.已知F1(−1,0)，F2(1,0)为椭圆Γ：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点，过F2的直线交椭圆于A，B两点，△F1AB的周长为8．(1)求椭圆Γ的标准方程；(2)已知P(x0,y0)(y0≠0)是直线l：x=4上一动点，若PA，PB与x轴分别交于点M(x M,0)，N(x N,0)，则1x M−1+1x N−1是否为定值，若是，求出该定值，不是请说明理由．20.已知函数f(x)=x2−aln x有两个零点x1，x2(x1<x2)，有一个极值点x0．(1)求实数a的取值范围；(2)求证：x1+3x2>4x0．21.在某市创建全国文明城市的过程中，创文专家组对该市的中小学进行了抽检，其中抽检的一个环节是对学校的教师和学生分别进行问卷测评．下表是被抽检到的5所学校A、B、C、D、E 的教师和学生的测评成绩(单位：分)：(1)建立y关于x的回归方程ŷ=b̂x+â；(2)现从A、B、C、D、E这5所学校中随机选2所派代表参加座谈，用X表示选出的2所学校中学生的测评成绩大于90分的学校数，求随机变量X的分布列及数学期望E(X)．附：b ̂=ni=1i −x)(y i −y)∑(x −x)2n ，a ̂=y −b ̂x ．22. 在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为{x =−4t +2y =kt (t 为参数)，直线l 2的参数方程为{x =m −2y =m k(m 为参数)，当k 变化时，设 l 1与l 2的交点的轨迹为曲线C ．(I)以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程； (II)设曲线C 上的点A 的极角为π6，射线OA 与直线l 3：ρsin(θ+φ)−2√2=0 (0<φ<π2)的交点为B ，且|OB|=√7|OA|，求φ的值．23. 已知函数f(x)=|x +2a|+|x −a|．(1)当a =1时，求不等式f(x)≥4−|x +2|的解集；(2)设a >0，b >0，f(x)的最小值为t ，若t +3b =3，求1a +2b 的最小值。
衡水中学2019-2020学年高三上学期二调考试数学(理)试题(原卷版)
2019-2020学年度上学期高三年级二调考试数学（理科）试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本题共12小题，从每小题给出的四个选项中，选出最佳选项，并在答题纸上将该项涂黑）1.若3cos 5x =-，且2x ππ<<，则tan sin x x +的值是( ) A. 3215-B. 815-C. 815D.32152.设30.2a =，2log 0.3b =，3log 2c =，则（ ） A. a b c >> B. a c b >> C. b a c >>D. c a b >>3.已知奇函数()f x 满足()(4)f x f x =+，当(0,1)x ∈时，()2x f x =，则()2log 12f =（ ） A. 43- B.2332 C.34D. 38-4.已知圆22:4O x y +=与y 轴正半轴的交点为M ，点M 沿圆O 顺时针运动3π弧长达到点N ，以x 轴的正半轴为始边，ON 为终边的角即为α，则sin α=（ ） A.3 B.12C.22D.3 5.函数(),,00,2s ()()in x xe ef x x xππ-+=∈-图象大致为( )A. B.C. D.6.如图是函数sin()0,02y x πωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象，将该图象向右平移(0)m m >个单位长度后，所得图象关于直线4x π=对称，则m 的最小值为（ ）A.12πB.6π C.4π D.3π 7.已知函数()()xxf x x e e-=-，对于实数a b ，，“0a b +>”是“()()0f a f b +>”的( ).A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin 1cos 2cos 2cos sin 2βαβαα+=+，则tan 24παβ⎛⎫++= ⎪⎝⎭（ ） A. －1 B. 1C.223D. 223-9.已知函数()sin cos f x x x =-，()g x 是()f x 的导函数，则下列结论中错误的个数是（ ） ①函数()f x 的值域与()g x 的值域相同；②若0x 是函数()f x 的极值点，则0x 是函数()g x 的零点； ③把函数()f x 的图像向右平移2π个单位长度，就可以得到()g x 的图像； ④函数()f x 和()g x 在区间,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内都是增函数. A. 0B. 1C. 2D. 310.已知函数()cos f x x =，若存在实数12,,,n x x x ，满足1204n x x x π≤<<<≤，且()()()()()()122318n n f x f x f x f x f x f x --+-++-=，2n ≥，n *∈N ，则n最小值为（ ）A 3B. 4C. 5D. 611.设函数11,(,2)(){1(2),[2,)2x x f x f x x --∈-∞=-∈+∞，则函数()()1F x xf x =-的零点的个数为( )A. 4B. 5C. 6D. 712.已知0>ω，2πϕ≤，在函数()sin()f x x ωϕ=+，()cos()g x x ωϕ=+的图象的交点中，相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为2π，当(,)64x ππ∈-时，函数()f x 的图象恒在x 轴的上方，则ϕ的取值范围是（ ） A. (,)63ππB. ,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. (,)32ππD. ,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（本题共4小题）13.已知曲线3y x x =-在点()00,x y 处的切线平行于直线220x y --=，则0x =______. 14.设定义域为R 的函数()f x 满足()()f x f x '>，则不等式()()121x ef x f x -<-的解集为__________．15.如图，阴影部分是由曲线22y x =和223x y +=及x 轴围成的封闭图形，则阴影部分的面积为______.16.设ABC ∆的内角A B C ，，的对边长a b c ，，成等比数列，()1cos cos 2A CB --=，延长BC 至D ，若2BD =，则ACD ∆面积的最大值为__________.三、解答题（解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.将函数3sin 2y x =的图像向左平移6π个单位长度，再将图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到()f x 的图像. （1）求()f x 的单调递增区间； （2）若对于任意的,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，不等式()3f x m 恒成立，求实数m 的取值范围.18.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22sin sin sin sin A B A C +=. （1）求证：sin sin 2cos CA A=；（2）若B 为钝角，且ABC ∆的面积S 满足2(sin )S b A =，求角A 的大小. 19.设函数()sin cos ,[0,]2f x a x x x x π=-∈． （Ⅰ）当1a =时，求证：()0f x ≥；（Ⅱ）如果()0f x ≥恒成立，求实数a 的最小值．20.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知4cos cos cos a A c B b C =+.（1）若4a =，ABC ∆b ，c 的值；（2）若sin sin (0)B k C k =>，且ABC ∆为钝角三角形，求实数k 的取值范围. 21.已知函数22()x f x e ax =-，a ∈R .（1）若()f x 在区间(0,)+∞内单调递增，求a 的取值范围； （2）若()f x 在区间(0,)+∞内存在极大值M ，证明：4a M <. 22.已知函数1()(ln 1)f x a x x =-+的图像与x 轴相切，21()(1)log 2b x g x b x -=--.（1）求证：2(1)()x f x x-≤；（2）若21x b <<，求证：2(1)0()2b g x -<<.。
河北省衡水市2020届高三数学二模试题 理(含解析)
2020学年度第二学期二模考试 高三年级数学试卷（理科）一、选择题（下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.集合{}{}11324x A x x B x ，+=-≤=≥，则A B =U （ ）A. []02，B. ()13，C. []14， D.[)2-+∞，【答案】D 【解析】 【分析】解不等式313x -≤-≤可得集合A ，解1222x +≥可得集合B ，进而得到集合A,B 的并集。
【详解】由题得{}|24A x x =-≤≤，{}|1B x x =≤，则有{}|2A B x x ⋃=≥-，故选D 。
【点睛】本题考查求集合的并集，属于基础题。
2.复数121z i z i =+=，，其中i 为虚数单位，则12z z 的虚部为（ ） A. 1- B. 1C. iD. i -【答案】A 【解析】 【分析】根据复数共轭的概念得到__1z ，再由复数的除法运算得到结果即可.【详解】11211,1,z i z i i z i-=-==--虚部为-1， 故选A.【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数的共轭复数等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.3.某中学2020年的高考考生人数是2020年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2020年和2020年的高考情况，得到如图柱状图：则下列结论正确的是（ ）A. 与2020年相比，2020年一本达线人数减少B. 与2020年相比，2020二本达线人数增加了0.5倍C. 2020年与2020年艺体达线人数相同D. 与2020年相比，2020年不上线的人数有所增加 【答案】D 【解析】 【分析】设2020年该校参加高考的人数为S ，则2020年该校参加高考的人数为1.5S . 观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算得到答案.【详解】设2020年该校参加高考的人数为S ，则2020年该校参加高考的人数为1.5S . 对于选项A.2020年一本达线人数为0.28S .2020年一本达线人数为0.24 1.50.36S S ⨯=，可见一本达线人数增加了，故选项A 错误；对于选项B ，2020年二本达线人数为0.32S ，2020年二本达线人数为0.4 1.50.6S S ⨯=，显然2020年二本达线人数不是增加了0.5倍，故选项B 错误；对于选项C ，2020年和2020年.艺体达线率没变，但是人数是不相同的，故选项C 错误； 对于选项D ，2020年不上线人数为0.32S .2020年不上线人数为0.28 1.50.42S S ⨯=.不达线人数有所增加.故选D.【点睛】本题考查了柱状统计图以及用样本估计总体，观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算是解题的关键．4.如图所示，ABC ∆中，点D 是线段BC的中点，E 是线段AD 的靠近A 的三等分点，则AC =u u u r（ ）A. 43AD BE +u u ur u u u rB. 53AD BE +u u ur u u u rC. 4132AD BE +u u ur u u u rD. 5132AD BE +u u ur u u u r【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的加减运算求解即可 【详解】据题意，2533AC DC DA BD AD BE ED AD BE AD AD AD BE =-=+=++=++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r．故选：B ． 【点睛】本题考查向量加法、减法以及向量的数乘运算，是基础题5.程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作.它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展了重要的作用.卷八中第33问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个.问该若干？”如图是解决该问题的程序框图.执行该程序配图，求得该垛果子的总数S 为（ ）A. 120B. 84C. 56D. 28 【答案】B【解析】运行程序：i=1,n=1,s=1,1＜7，i=2,n=3,s=4,2＜7，i=3,n=6,s=10,3＜7，i=4,n=10,s=20,4＜7，i=5.n=15,s=35,5＜7，i=6,n=21,s=56,6＜7，i=7,n=28,s=84,7≮7,s=84.故选C.6.某人在微信群中发一个8元“拼手气”红包，被甲、乙、丙三人抢完，若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则甲领到的钱数不少于其他任何人的概率为（ ） A.13B.827C.37D.518【答案】B 【解析】 【分析】利用隔板法得到共计有n 27C ==21种领法，利用列举法求得甲领到的钱数不少于其他任何人的情况总数m ＝8，由此能求出结果． 【详解】如下图，利用隔板法，得到共计有n 27C ==21种领法，甲领3元“甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况有2种，即乙领3元，丙领2元或丙领3元，乙领2元，记为（乙2，丙3）或（丙2，乙3）；甲领4元“甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况有3种，即（乙1，丙3）或（丙1，乙3）或（乙2，丙2）甲领5元“甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况有2种，即（乙1，丙2）或（丙1，乙2）；甲领6元“甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况只有1种，即（乙1，丙1） “甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况总数m ＝2+3+2+1＝6， ∴甲领取的钱数不少于其他任何人的概率p 821=． 故选B ．【点睛】本题考查概率的求法，考查隔板法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．7.以双曲线()2222:100x y C a b a b-=>>，上一点M 为圆心作圆，该圆与x 轴相切于C 的一个焦点F ，与y 轴交于P Q ，两点，若PQ =，则双曲线C 的离心率是（ ）C. 2【答案】A 【解析】 【分析】根据圆与x 轴相切于C 的一个焦点F ，且圆心在双曲线上，可确定圆心坐标和半径，再由弦长3PQ c =，即可求出结果. 【详解】因为以双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上一点M 为圆心作圆，该圆与x 轴相切于C 的一个焦点F ，所以MF x ⊥轴；不妨令M 在第一象限，所以易得2b M c a ，⎛⎫⎪⎝⎭，半径2b r a=；取PQ 中点N ，连结MN ，则MN 垂直且平分PQ ，所以MQ ==；又MQ r =，所以23b c a =222ac =220e -=，解得e =故答案为A【点睛】本题主要考查双曲线的离心率，根据题意，结合双曲线的性质即可求解，属于常考题型.8.在斜ABC ∆中，设解 A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin sin 4sin a A b B c C b B +-=cos C ，若CD 是角C 的角平分线，且CD b =，则cos C =（ ）A.34B.18C.23D.16【答案】B 【解析】 【分析】由已知sin sin sin 4sin cos a A b B c C b B C +-=，可得22224cos ,a b c b C +-= 结合余弦定理可得2,a b = 又CD 是角C 的角平分线，且CD b =，结合三角形角平分线定理可得2BD AD =，再结合余弦定理可得cos2C的值，则cos C 可求. 【详解】由已知sin sin sin 4sin cos a A b B c C b B C +-=，根据正弦定理可得22224cos ,a b c b C +-=又由余弦定理可得2222cos ,a b c ab C +-=故24,a b =即2,a b =结合三角形角平分线定理可得2BD AD =，再结合余弦定理可得()22222222cos54cos 22C CBD b b b b b b =+-⨯⨯⨯=- ， 222222cos 22cos 22C CAD b b b b b b =+-⨯⨯⨯=-，由2224BD AD BD AD =⇒= ，可得2222354cos 88cos ,cos ,2224C C C b b b b -=-∴=故2231cos 2cos 121,248C C ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭故选B.【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理及三角形角平分线定理，属中档题.9.如图所示，边长为1的正方形网络中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体所有棱长组成的集合为A. {1,5}B. {1,6}C. {1,2,5}D.{1,2,22,6}【答案】B 【解析】 【分析】将三视图还原成四棱柱即可得解.【详解】该几何体是四棱柱，底面是边长为16, 故选B.【点睛】由三视图还原几何体时应注意把握三个视图的尺寸关系：主视图与俯视图长应对正（简称长对正），主视图与左视图高度保持平齐（简称高平齐），左视图与俯视图宽度应相等（简称宽相等），若不按顺序放置和不全时，则应注意三个视图名称．10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，质点M N ，间隔3分钟先后从点P ，绕原点按逆时针方向作角速度为6弧度/分钟的匀速圆周运动，则M 与N 的纵坐标之差第4次达到最大值时，N 运动的时间为（ ）A. 37.5分钟B. 40.5分钟C. 49.5分钟D. 52.5分钟 【答案】A 【解析】【详解】分析：由题意可得：y N =sin cos 626x x πππ⎛⎫-=-⎪⎝⎭，y M =()x+3sin 626x πππ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦，计算y M ﹣y N 2sin 64x ππ⎛⎫+⎪⎝⎭，即可得出．详解：由题意可得：y N =sin cos 626x x πππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，y M =()cos x+3sin 626x πππ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦∴y M ﹣y N = y M ﹣y N 2sin 64x ππ⎛⎫+⎪⎝⎭，令sin 64x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=1，解得：64x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=2kπ+2π，x=12k+32，k=0，1，2，3．∴M 与N 的纵坐标之差第4次达到最大值时，N 运动的时间=3×12+32=37.5（分钟）． 故选：A ．点睛：本题考查了三角函数的图象与性质、和差公式、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．也查到了三角函数的定义的应用，三角函数的定义指的是单位圆上的点坐标和这一点的旋转角之间的关系.11.在圆锥PO 中，已知高2PO =，底面圆的半径为4，M 为母线PB 的点；根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，下面四个命题，正确的个数为（ ）①圆的面积为4π； 37；③双曲线两渐近线的夹角正切值为34-④抛物线中焦点到准线的距离为55. A. 1个 B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B 【解析】 【分析】根据点M 是母线的中点，求出截面圆的半径即可判断①；由勾股定理求出椭圆长轴可判断②；建立坐标系，求出,a b 的关系可判断③；建立坐标系，求出抛物线方程，可判断④. 【详解】①Q 点M 是母线的中点， ∴截面的半径2r =，因此面积224ππ=⨯=，故①正确；②由勾股定理可得椭圆的长轴为()2242137=++=，故②正确；③在与底面、平面PAB 的垂直且过点M 的平面内建立直角坐标系，不妨设双曲线的标准方程为()22221,0x y a b a b-=>，则()1,0M ，即1a =，把点(2,23代入可得21241b -=，解得2,2b b a =∴=，设双曲线两渐近线的夹角为2θ，2224tan 2123θ⨯∴==--，4sin 25θ∴=，因比双曲线两渐近线的夹角为4arcsin 5，③不正确；④建立直角坐标系，不彷设抛物线的标准方程为22y px =,把点)5,4代入可得2425p =，解得85p =∴抛物线中焦点到准线的距离p 85，④不正确，故选B .【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查圆锥的性质、椭圆的性质、双曲线的性质，抛物线的方程与性质，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.12.设使直线y ax =与曲线()sin ln 4x x x f π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭有公共点的a 的取值范围为集合A ，则（ ）A. ()1A ⊆-∞，B. ()1A +∞≠∅I ， C. ()1A ⊆+∞， D. ()1R A ⋃+∞=， 【答案】A 【解析】 【分析】设公共点(),s t ，可得πsin ln 1ln 4s ss a s s⎛⎫++ ⎪+⎝⎭=≤，通过构造函数()1ln g s s s =+-，求导分析单调性可得1ln 1ss+≤，从而得1a <. 【详解】设直线y ax =与曲线()πsin ln 4f x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭有公共点(),s t ,则πsin ln 1ln 4s ss a s s⎛⎫++ ⎪+⎝⎭=≤, 设()1ln g s s s =+-,则()111sg s s s-=-=' , 所以()g s 在()0,1上是增函数,在()1,+∞上是减函数, 所以()()10g s g ≤=,1+ln s s ≤，又0s >，所以1ln 1ss+≤，当1s =时，πsin ln 1ln 41s ss s s⎛⎫++ ⎪+⎝⎭<=,所以1a <,故选A. 【点睛】本题是一道灵活处理方程问题求参的试题，用到了放缩的思想和构造新函数的方法，方法较为巧妙，难度较大，属于难题.二、填空题（把答案在答题纸的横线上）13.某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，…，599，600从中抽取60个样本，如下提供随机数表的第4行到 第6行：32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42 84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04 32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45 若从表中第6行第6列开始向右依次读取数据，则得到的第6个样本编号_____ 【答案】535 【解析】 【分析】根据题意按既定的方法向右读，直到取到第六个样本为止，即可得其编号。
河北省衡水中学2020届高三上学期第二次调研考试(理数)
河北省衡水中学2020届高三上学期第二次调研考试数 学（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
共4页，满分150分，考试时间120分钟。
第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知53cos -=x ，且ππ<<x 2，则x x sin tan +的值是 ( ) A ．1532- B ．158- C ．158 D ．15322．已知2log ,3.0log ,2.0323===c b a ，则 ( )A ．c b a >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．b a c >>3．已知奇函数)(x f 满足)4()(+=x f x f ，当)1,0(∈x 时，xx f 2)(=，则=)12(log 2f ( )A ．34-B ．3223 C ．43 D ．83-4．已知圆4:22=+y x O 与y 轴正半轴的交点为M ，点M 沿圆0顺时针运动3π弧长达到点N ，以z 轴的正半轴为始边，ON 为终边的角记为α，则=αsin ( )A ．33 B ．21 C ．22 D ．23 5．函数),0()0,(,sin 2)(ππ -∈+=-x xe e xf xx 的图象大致为 ( )6．如图是函数⎪⎭⎫⎝⎛<<>+=20,0)sin(πϕωϕωx y 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-65,6ππ上的图象，将该图象向右平移)0(>m m 个单位长度后，所得图象关于直线4π=x 对称，则m 的最小值为( )A ．12π B ．6π C ．4π D ．3π7．已知函数)(||)(xx e e x x f --=，对于实数”“0,,>+b a b a 是”“0)()(>+b f a f 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 8．已知⎪⎭⎫⎝⎛∈⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0,2,0πβπα，且αααββ2sin cos 22cos 1cos sin ++=，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛++42tan πβα( ) A ．－1 B ．1 C ．322 D ．322- 9．已知函数)(cos sin )(x g x x x f ，-=是)(x f 的导函数，则下列结论中错误的个数是( ) ①函数)(x f 的值域与)(x g 的值域相同；②若0x 是函数)(x f 的极值点，则0x 是函数)(x g 的零点；③把函数)(x f 的图象向右平移2π个单位长度，就可以得到函数)(x g 的图象；④函数)(x f 和)(x g 在区间⎪⎭⎫⎝⎛-4,4ππ上都是增函数． A ．0 B ．1 C ．2 D ．310．对于函数x y c o s =，若存在实数n x x x ,,,21 满足π4021≤<<<≤n x x x ，且-)(|1x f ,2,8|)()(||)()(||)(1322≥=-++-+-n x f x f x f x f x f n n *N n ∈，则n 的最小值为 ( )A ．3B ．4C ．5D ．611．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈--∞∈--=),,2[),2(21),2,(|,1|1)(x x f x x x f 则函数1)()(-=x xf x F 的零点个数为( )A ．7B ．6C ．5D ．4 12．已知2||,0πϕω≤>，在函数)sin()(ϕω+=x x f 与函数)cos()(ϕω+=x x g 图象的交点中，相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为2π，当⎪⎭⎫⎝⎛-∈4,6ππx 时，函数)(x f 的图象恒在x 轴的上方，则ϕ的取值范围是 ( ) A ．⎪⎭⎫⎝⎛3,6ππ B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,6ππ C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛2,3ππ D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,3ππ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知曲线x x y -=3在点),(00y x 处的切线平行于直线022=--y x ，则0x = . 14．已知定义域为R 的函数)(x f 满足)()(x f x f >'，则不等式)12()(1-<-x f x f ex 的解集为 .15．如图阴影部分是由曲线22x y =和322=+y x 及x 轴围成的部分封闭图形，则阴影部分的面积为 ．16．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边长a ，b ，c 成等比数列，21cos )cos(=--B C A ，延长BC 至D ，若BD = 2，则△ACD 面积的最大值为 ． 三、解答题（共70分。
【精编】2020年衡水中学高三高考数学(理科)二调试题(解析版)
2020年衡水中学高三高考数学（理科）二调试题一、单选题1．()742111x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为（ ） A ．22- B ．21- C ．20 D ．21 2．若复数i i z )8(+-=在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．集合M ＝{x|－2＜x≤3且x∈N}的真子集个数为( )A ．7B ．8C ．15D ．164．已知实数,x y 满足1,3,10,x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪-≥⎩若2z x y =+的最大值为（ ）A ．12B ．10C ．7D ．15．实数a,b,c 时图像连续不断的函数y =f(x)定义域中的三个数，且满足a <b <c ，f(a)⋅f(b)<0，f(c)<0，则函数y =f(x)在区间(a,c)上的零点个数为（ ）A ．2B ．奇数C ．偶数D ．至少是26．设长方体的长、宽、高分别为2，1，1，其顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ） A ．3π B ．6π C ．12π D ．24π7．已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ，若()30.84P X ≤=，则()13P X ≤≤=（ ） A ．0.34 B ．0.48 C ．0.68 D ．0.848．在数学史上，中外数学家使用不同的方法对圆周率π进行了估算．根据德国数学家莱布尼茨在1674年给出的求π的方法绘制的程序框图如图所示．执行该程序框图，输出s 的值为（ ）A ．4B ．83 C ．5215 D ．3041059．已知函数()f x 的定义域为R ，其图象关于点()1,0-中心对称，其导函数()f x '，当1x <-时， ()()()()110x f x x f x '⎡⎤+++<⎣⎦，则不等式()()10xf x f ->的解集为（ ）A ．()1,+∞B ．(),1-∞-C ．()1,1-D ．()(),11,-∞-⋃+∞10．已知函数()()sin 03f x A x k πωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的图象向右平移43π个单位长度后与原图象重合，则ω的最小值是（ ）A ．23B ．32C ．43D ．3411．设n S 、n T 分别为等差数列{}n a 与{}n b 的前n 项和，若2132n n S n T n -=+，则77a b 等于（ ）A ．1323B ．2744C ．2541D ．2338 12．已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，F 1,F 2为其左、右焦点，P 为椭圆C 上除长轴端点外的任一点，G 为ΔF 1PF 2内一点，满足，ΔF 1PF 2的内心为I ，且有（其中λ为实数），则椭圆C 的离心率e =（ ）A ．13B ．12C ．23D ．√32二、填空题13．如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，2AB AD ==.若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅的最小值为__________．14．已知,A B 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右顶点，M 是双曲线上异于,A B 的动点，若直线,MA MB 的斜率分别为12,k k ，始终满足12()()f k f k =，其中()ln()2x f x =，则C 的离心率为________.15．某几何体的三视图如图所示（小正方形的边长为1），则该几何体外接球的表面积__________．16．等比数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，若312a =，372S =，则12233411111n n a a a a a a a a ++++⋅⋅⋅+=______.三、解答题17． 已知函数()13f x x x =-+-.（1）解不等式()1f x x +；（2）设函数()f x 的最小值为c ，实数ab 满足0a >，0b >，a b c +=，求证：22111a b a b +++.18．已知椭圆E ：22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点为()1,0F -，其中四个顶点围成的四边形面积为（1）求椭圆E 的标准方程；（2）过点F 的直线l 与曲线E 交于A ，B 两点，设AB 的中点为M ，C ，D 两点为椭圆E 上关于原点O 对称的两点，且OC OM λ=（0λ>），求四边形ACBD 面积的最小值.19．在直角坐标系xoy 中，曲线1cos :sin x t C y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数且0t ≠），其中0απ≤≤，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线23:2sin ,:ρθρθ==C C ．（Ⅰ）求2C 与3C 交点的直角坐标；（Ⅱ）若1C 与2C 相交于点A ，1C 与3C 相交于点B ，求当56πα=时AB 的值． 20．已知函数2(),()sin x f x ae x g x x bx =+=+，一条直线与()f x 相切于点(0,)a 且与()g x 相切于点,122b ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. （1）求a ，b 的值；（2）证明：不等式()()f x g x >恒成立.21．三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，平面AA 1B 1B ⊥平面ABC ，AB ＝AA 1＝A 1B ＝4，BC ＝2，AC ＝点F 为AB 的中点，点E 为线段A 1C 1上的动点.（1）求证：BC⊥平面A1EF；（2）若∠B1EC1＝60°，求四面体A1B1EF的体积.22．已知△ABC的内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且√3cacosB=tanA+tanB．（1）求角A的大小；（2）若a=2，求△ABC的面积的最大值.23．某市对所有高校学生进行普通话水平测试，发现成绩服从正态分布N（μ，σ2），下表用茎叶图列举出来抽样出的10名学生的成绩．（1）计算这10名学生的成绩的均值和方差；（2）给出正态分布的数据：P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）=0.9544．由（1）估计从全市随机抽取一名学生的成绩在（76，97）的概率．24．如图，在锐角△ABC中，AC是最短边；以AC中点O为圆心，12AC长为半径作⊙O，交BC于E，过O作OD∥BC交⊙O于D，连结AE、AD、DC．（1）求证：D是弧ＡＥ的中点；（2）求证：∠DAO =∠B +∠BAD；（3）若12CEFOCDSS∆∆=，且AC=4，求CF的长．【答案与解析】1．A 先根据二项式定理得7211x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式，再求对应常数项. 因为7211x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中71721()(1)r r r r T C x -+=- 所以()742111x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为()()257457772111122x C x C ⎛⎫⋅⋅-+-=- ⎪⎝⎭⋅． 故选：A本题考查二项式定理应用，考查基本分析求解能力，属基础题.2．C试题分析：i i i i i z 818)8(2--=+-=+-= ，故复数z 在复平面内对应的点为)8,1(--，在第三象限。