《圆的标准方程》课件1 (北师大版必修2)
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《圆的标准方程》课件2 (北师大版必修2)
课本例1 • 写出圆心为A（2，3）半径 长等于5的圆 的方程， • 并判断点 M 1 （5，-7）， （- 5 ，-1） M 2 • 是否在这个圆上。
练 习 ： 1、 写 出 下 列 各 圆 的 方 程 ： (1 )圆 心 在 点 C (3 , 4 )， 半 径 是
5
(x -3 ) 2 + (y -4 ) 2 = 5
作业:
课本第134页
2、3、4。
同 学 们 再 见 ！
2
y r C
M
O
x
+ (y -b )
2
= r
把上式两边平方得： (x -a )
2
+ (y -b )
2
= r2
求：圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程
解： M (x ,y )是 圆 上 任 意 一 点 ， 设
根 据 定 义 ，点 M到 圆心 C的 距 离 等 于 r， 所 以 圆 C 就 是 集 合 P = { M | |M C |= r } 由两点间的距离公式，点M适合的 条件可表示为： (x -a )
作为练习：
请完成课本131页练习第4题
小结
(1 ) 圆 心 为 C (a ,b )， 半 径 为 r 的 圆 的 标 准 方 程 为 (x -a )
2
+ (y -b )
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
= r2
当 圆 心 在 原 点 时 a=b=0， 圆 的 标 准 方 程 为 ： x2 + y2 = r2
(2 ) 由 于 圆 的 标 准 方 程 中 含 有 a , b , r 三 个 参 数 ， 因 此必须具备三个独立的条件才能确定圆；对于由已知 条件容易求得圆心坐标和圆的半径或需利用圆心坐标 列方程的问题一般采用圆的标准方程。
2.2.1《圆的标准方程》课件(北师大版必修2)
5 . 则圆关于原点对称的圆的圆心为（-2，1），
半径为r=
5,
故所求圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5.
答案：(x+2)2+(y-1)2=5
6.设动点P（x,y)在圆x2+y2=4上运动，则 (x-1)2 +(y+3)2 的最大值为，最小值为_______. 【解析】由两点间的距离公式可知：
【解析】选B.由题意可知圆心到x轴的距离等于半径r,又圆心
为(-3,4)， ∴r=4,∴圆的方程为(x+3)2+(y-4)2=16.
2.(2009·重庆高考）圆心在y轴上，半径为1，且过点（1，2）
的圆的方程为（
(A)x2+(y-2)2=1 (B)x2+(y+2)2=1
）
(C)(x-1)2+(y-3)2=1 (D)x2+(y-3)2=1
一、选择题（每题4分，共16分） 1.以点（-3，4）为圆心，且与x轴相切 的圆的方程是（ ）
(A)(x-3)2+(y+4)2=16
(B)(x+3)2+(y-4)2=16
(C)(x-3)2+(y+4)2=9 (D)(x+3)2+(y-4)2=9
【解析】选A.
Hale Waihona Puke 方法一（直接法）：设圆心坐标为(0,b),
则由题意知
(0-1)2 +(b-2)2 =1, 解得b=2,
故圆的方程为x2+(y-2)2=1. 方法二（数形结合法）：由作图，根据点（1，2）到圆心的 距离为1易知圆心为（0，2），
故圆的方程为x2+(y-2)2=1.
2-2-1圆的标准方程课件(北师大版必修二)
(3)当圆心是坐标原点时，有 a＝b＝0，那么圆的方程 为
x2＋y2＝r2
.
想一想：圆(x－1)2＋(y－2)2＝a2 的半径为 a 吗？ 提示 由于 a 的正负性不知，故该圆的半径为|a|.
名师点睛 1．点与圆的位置关系 点与圆的位置关系有点在圆内、圆上、圆外三种．其判断方法 是：由两点间的距离公式求出该点到圆心的距离，再与圆的半 径比较大小或利用点与圆的方程来判定． 设点 M(x0，y0)到圆 C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2 的圆心 C 的距离为 d，则 d＝|MC|＝ x0－a2＋y0－b2，
解 设圆心 C(a，b)，半径长为 r，则由 C 为 P1P2 的中点，得 a 3＋5 8＋4 ＝ 2 ＝4，b＝ 2 ＝6，即圆心坐标为 C(4,6)， ∴r＝|CP1|＝ 4－32＋6－82＝ 5. 故所求圆的方程为(x－4)2＋(y－6பைடு நூலகம்2＝5. 分别计算点 M、N、P 到圆心 C 的距离： |CM|＝ 4－52＋6－32＝ 10＞ 5， |CN|＝ 4－32＋6－42＝ 5， |CP|＝ 3－42＋5－62＝ 2＜ 5， 所以点 M 在此圆外，点 N 在此圆上，点 P 在此圆内．
5 的取值范围是－∞，－2，.
题型三 圆的标准方程的应用 【例 3】 (12 分)已知圆心在 x 轴上的圆 C 与 x 轴交于两点 A(1,0)， B(5,0)， (1)求此圆的标准方程； (2)设 P(x，y)为圆 C 上任意一点，求 P(x，y)到直线 x－y＋1＝0 的距 离的最大值和最小值． 审题指导 针对这个类型的题目一般考虑所求式子的几何意义，然后 利用数形结合的方法求出其最值． 根据题意 求出圆心 画直线 【解题流程】 → → 画出图形 和半径 x－y＋1＝0 得到P点到直线 → 的距离的最值
2.2.1圆的标准方程课件-河南省新蔡县第一高级中学2020-2021学年高一年级北师大版数学必修二
3、求圆心（-2、1），与x轴相切的
圆的方程
Y
c
-2 0
C(-2、1) r=2
X
(x+2)2+(y-1)2=4
4、已知两点A(1,3),B(7,-5),求以AB为直径的圆的方程.
解: 设AB的中点为(a,b)
则a 1 7 4,b - 5 3 -1.
2
2
Y A(1，3) X
B(7，-5)
B 解析：∵ 圆心在x轴上，∴ 设圆心为C（a，0）.∵ 圆的半径为 2，∴ 可设圆的标准方程为（x-a）2+y2＝4.又圆过点（0，2），代 入圆的标准方程可得a＝2， 故所求的圆的方程为 （x-2）2+y2＝4.
4.直接写出下列圆的方程： (1) 圆心在原点,半径为2. (2) 圆心在点C(-3, 2), 半径为1.
(x a)2 (y b)2 r2
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
待定系数 法
(5 a)2 (1 b)2 r 2
(7 a)2 (3 b)2 r 2
(2 a)2 (8 b)2 r 2
a 2, b 3, r 5.
圆的方程为 (x 2)2 ( y 3)2 25
2.2.1 圆的标准方程
[问题导入] 预习课本，思考并完成以下问题： 1．如何确定一个圆？ 2．圆的标准方程是什么？ 3．点与圆的位置关系是什么？
知识点一：圆的标准方程
[新知初探]
平面内与定点距离等于定长的点的集合
（轨迹）是圆。
y
M(x,y)
r
O C(a,b)
x
设点M (x,y)为圆C上任一点，则|MC|= r。
圆上所有点的集合 P = { M | |MC| = r }
圆的标准方程 圆的一般方程 教学课件(共39张PPT)高中数学北师大版(2019)选择性必修第一册
(, )
r
由两点间的距离公式得
x
a
2
y b
2
r，
(, )
O
将上式两边平方得 x a
2
y b
2
r 2 .①
x
思考一下
以方程①的解为坐标点一定在圆 C 上吗？
设以方程①的任意解 x, y 为坐标的点记为点 Q ，
因为 x, y 是方程①的解，代入方程①可得： x a 2 y b 2 r 2
10
D +3E
20
4 D+2 E
F050ຫໍສະໝຸດ 5D 5EF0
解得 D
F
2, E
0
4, F
2
2
x
+
y
故所求圆的方程为
20 ，
2x
4y
20
0.
例 5：讨论方程 x +y
2
2
x 3
解： 将原方程组整理为 1 2 x2
当
2
y2 表示的是什么图形？
1 y2
2
0，
6x 9
1 时，方程（1）是一元一次方程 6x 9
思考交流
对于点 Px0 , y0 和圆 C : x a 2 y b 2 r 2 ，由圆的标准方程的概念，可知点 P
在圆 C 上的充要条件是 x0 a2 y0 b2 r 2 .
2
2
当点 P 不在圆 C 上时，一定有 x0 a y0 b r 2 ，此时，存在以下两种情况：
PC r
x0 a 2 y0 b2
r
x0 a y0 b r 2
《圆的标准方程》课件2 (北师大版必修2)
3 |a|
1.课本探究：几何画板
• 2.课本例２：
• 三角形ABC的三个顶点的 坐标分别是 A(5,1), B(7,3), C (2,8)
• • 求它的外接圆的方程．
1。完成课本131页练习2、 3
• 2。课本例3： , • 已知圆心为C的圆经过点 A(1 1) 和 B(2,2) ， 且圆心C • 在直线 l : x y 1 0 上， • 求圆心为C的圆的标准方程。
y r C
M
O
x
求：圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程
解： 设M(x,y)是圆上任意一点，
根据定义，点M到圆心C的 距离等 于r，所以圆C就是集合 P={M| |MC|=r} 由两点间的距离公式，点M适合的 条件可表示为： (x-a) 2 + (y-b) 2 = r 把上式两边平方得： (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2
作业:
课本第134页
2、3、4。
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普 通 高 中 课 程 标 准 实 验 教 科 书
4。1。1
圆的标准方程
本节要求：掌握圆的标准方程并
能根据条件写出圆的标准方程。
求：圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程
解： 设M(x,y)是圆上任意一点，
根据定义，点M到圆心C的 距离等 于r，所以圆C就是集合 P={M| |MC|=r} 由两点间的距离公式，点M适合的 条件可表示为： (x-a) 2 + (y-b) 2 = r 把上式两边平方得： (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2
作为练习：
请完成课本131页练习第4题
小结
(1) 圆心为C(a,b)，半径为r 的圆的标准方程为 (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2 当圆心在原点时 a=b=0，圆的标准方程为： x2 + y2 = r2
《圆的标准方程》课件1 (北师大版必修2)
即有
(x1-a) 2 + (y1-b) 2 = r
这说明点P1(x1,y1)在以C(a, b)为圆心,r为半径的圆上.
方程(x-a) 2 +
(y-b) 2 = r2 (r＞0)
叫做以(a,b)为圆心, r为半径的圆的标准方程.
练习: (1) C:(x-3)2+(y+2)2=9, 圆心坐标是_______,
课堂小结
1.圆的标准方程 (x-a)
2+
(y-b) =
2
2 r
(r＞0)
2.会用待定系数法求出圆的基本 量a、b、r, 从而求出圆的标准方 程.
作业:
P102 习题2.2(1)
交送作业:ex1.2.3.
课外作业: 做《数学之友》并预习圆的一般方程.
Y
A
0
2.7
B
X
3.求圆心在直线2 x－y－3=0上,且经过点( 5, 2) 和点( 3, -2)的圆的方程.
6
4
2
A( 5 ,2 )
-10 -5 5 10
-2
B( 3, -2 )
-4
-6
课堂检测: 1.写出下列各圆的方程:
(1)圆心在原点,半径为6;
(2)经过点P( 6, 3 ),圆心为C(2, -2). 2.求以点C( -1 ,-5) 为圆心,并且和y轴相 切的圆的方程. 3.已知点A(-4 ,-5 ),B(6, -1),求以线段AB 为直径的圆的方程.
探究:Leabharlann 求：圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程
y
r C O x M
解：设M(x,y)是圆上任意一点，则CM=r
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r
(x1-a) 2 + (y1-b) 2 = r
这说明点P1(x1,y1)在以C(a, b)为圆心,r为半径的圆上.
方程(x-a) 2 +
(y-b) 2 = r2 (r＞0)
叫做以(a,b)为圆心, r为半径的圆的标准方程.
练习: (1) C:(x-3)2+(y+2)2=9, 圆心坐标是_______,
课堂小结
1.圆的标准方程 (x-a)
2+
(y-b) =
2
2 r
(r＞0)
2.会用待定系数法求出圆的基本 量a、b、r, 从而求出圆的标准方 程.
作业:
P102 习题2.2(1)
交送作业:ex1.2.3.
课外作业: 做《数学之友》并预习圆的一般方程.
Y
A
0
2.7
B
X
3.求圆心在直线2 x－y－3=0上,且经过点( 5, 2) 和点( 3, -2)的圆的方程.
6
4
2
A( 5 ,2 )
-10 -5 5 10
-2
B( 3, -2 )
-4
-6
课堂检测: 1.写出下列各圆的方程:
(1)圆心在原点,半径为6;
(2)经过点P( 6, 3 ),圆心为C(2, -2). 2.求以点C( -1 ,-5) 为圆心,并且和y轴相 切的圆的方程. 3.已知点A(-4 ,-5 ),B(6, -1),求以线段AB 为直径的圆的方程.
探究:Leabharlann 求：圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程
y
r C O x M
解：设M(x,y)是圆上任意一点，则CM=r
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r
2.2.1 圆的标准方程 课件(北师大必修2)
(1)圆心在原点，半径为8； (2)圆心在(2,3)，半径为2； (3)圆心在(2，－1)且过原点． [自主解答] 设圆的标准方程为 (x－a)2＋(y－b)2＝r2. (1)∵圆心在原点，半径为8，即a＝0，b＝0，r＝8，
∴圆的方程为x2＋y2＝64.
(2)∵圆心为(2,3)，半径为2， 即a＝2，b＝3，r＝2， ∴圆的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝4. (3)∵圆心在(2，－1)且过原点， ∴a＝2，b＝－1，r＝ 2－02＋－1－02＝ 5. ∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝5.
[研一题] [例3] 求圆心在直线l：2x－y－3＝0上，且过点A(5，
2)和点B(3，－2)的圆的方程．
[自主解答] 法一：设圆的方程为
(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则 2a－b－3＝0， 2 2 2 5－a ＋2－b ＝r ， 3－a2＋－2－b2＝r2， a＝2， 解得b＝1， r＝ 10.
a－b＝0， 解方程组 5a－3b＝8， a＝4， 得 b＝4， a＝1， 或 b＝－1.
a＋b＝0， 或 5a－3b＝8，
∴圆心坐标为(4,4)或(1，－1)． ∴可得半径 r＝|a|＝4 或 r＝|a|＝1. ∴所求圆方程为(x－4)2＋(y－4)2＝16 或(x－1)2＋ (y＋1)2＝1.
2
x2＋y2＝r2
.
[小问题·大思维] 1．若圆的标准方程为(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t≠0)，那么圆 心坐标是什么？半径呢？
提示：圆心坐标为(－a，－b)，半径为|t|.
2．由圆的标准方程可以得到圆的哪些几何特征？ 提示：由圆的标准方程可以直接得到圆的圆心坐标和 半径．
[研一题] [例1] 写出下列各圆的标准方程．
《圆的标准方程》课件2 (北师大版必修2)
2
y r C
M
O
x
+ (y -b )
2
= r
把上式两边平方得： (x -a )
2
+ (y -b )
2
= r2
求：圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程
解： M (x ,y )是 圆 上 任 意 一 点 ， 设
根 据 定 义 ，点 M到 圆心 C的 距 离 等 于 r， 所 以 圆 C 就 是 集 合 P = {M | |M C |= r } 由两点间的距离公式，点M适合的 条件可表示为： (x -a )
1.课本探究：几何画板
• 2.课本例２：
• 三角形ABC的三个顶点的 坐标分别是
A ( 5 ,1), B ( 7 , 3 ), C ( 2 , 8 )
• • 求它的外接圆的方程．
1。完成课本131页练习2、 3
• 2。课本例3： • 已知圆心为C的圆经过点 A (1,1) 和 B ( 2 , 2 ) ， 且圆心C • 在直线 l : x y 1 0 上， • 求圆心为C的圆的标准方程。
2
y r C
M
O
x
得： (x -a )
2
+ (y -b )
2
= r2
求：圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程
解： M (x ,y )是 圆 上 任 意 一 点 ， 设
根 据 定 义 ，点 M到 圆心 C的 距 离 等 于 r， 所 以 圆 C 就 是 集 合 P = {M | |M C |= r } 由两点间的距离公式，点M适合的 条件可表示为： (x -a )
普 通 高 中 课 程 标 准 实 验 教 科 书
4。1。1
圆的标准方程
y r C
M
O
x
+ (y -b )
2
= r
把上式两边平方得： (x -a )
2
+ (y -b )
2
= r2
求：圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程
解： M (x ,y )是 圆 上 任 意 一 点 ， 设
根 据 定 义 ，点 M到 圆心 C的 距 离 等 于 r， 所 以 圆 C 就 是 集 合 P = {M | |M C |= r } 由两点间的距离公式，点M适合的 条件可表示为： (x -a )
1.课本探究：几何画板
• 2.课本例２：
• 三角形ABC的三个顶点的 坐标分别是
A ( 5 ,1), B ( 7 , 3 ), C ( 2 , 8 )
• • 求它的外接圆的方程．
1。完成课本131页练习2、 3
• 2。课本例3： • 已知圆心为C的圆经过点 A (1,1) 和 B ( 2 , 2 ) ， 且圆心C • 在直线 l : x y 1 0 上， • 求圆心为C的圆的标准方程。
2
y r C
M
O
x
得： (x -a )
2
+ (y -b )
2
= r2
求：圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程
解： M (x ,y )是 圆 上 任 意 一 点 ， 设
根 据 定 义 ，点 M到 圆心 C的 距 离 等 于 r， 所 以 圆 C 就 是 集 合 P = {M | |M C |= r } 由两点间的距离公式，点M适合的 条件可表示为： (x -a )
普 通 高 中 课 程 标 准 实 验 教 科 书
4。1。1
圆的标准方程
圆的标准方程ppt课件
M3 (3,3)是否在这个圆上。(课本85页）
解：圆心为A（2，-3），半径为5的圆的标准方程是
y
M3
（ − ) + ( + ) =
把点M1（5，-7）代入圆得
把点M2（-2，-1）代入圆得
把点M3（3，3）代入圆得
（5-2)2+(-7+3)2=25，M1在圆上
（-2-2)2+(-1+3)2=20<25，M2在圆内
课堂小结
回顾两点间的距离公式
B（x2 ,y2）
定点到定点的距离
A（x1 ,y1）
知识回顾
知识探究
例题剖析
课堂小结
巩固练习
圆心（0，0）
圆心（0，0）
圆心（a，b）
半径 1
半径 r
半径 r
1
p(x ,y)
r
p(x ,y)
(a,b)
( − ) +( − ) =
( − ) +( − ) =
y
O
圆的标准方程的特点
1、明确给出了圆心坐标和半径；2、确定圆的
标准方程必须具备三个独立条件，即a、b、r。
3、是关于x,y的二元二次方程。
M（x,y)
A
（a,b)
x
知识回顾
例题剖析
知识探究
巩固练习
课堂小结
例1、 求圆心A（2,-3），半径为5的圆的标准方程，并判断点M1（5，-7），M2 (-2,-1)，
P={M| |MA|=r},
y
根据两点间的距离公式，点M的坐标（x,y)满足的条件可以表示为
（ − ） + ( − )
= r
两边平方，得
解：圆心为A（2，-3），半径为5的圆的标准方程是
y
M3
（ − ) + ( + ) =
把点M1（5，-7）代入圆得
把点M2（-2，-1）代入圆得
把点M3（3，3）代入圆得
（5-2)2+(-7+3)2=25，M1在圆上
（-2-2)2+(-1+3)2=20<25，M2在圆内
课堂小结
回顾两点间的距离公式
B（x2 ,y2）
定点到定点的距离
A（x1 ,y1）
知识回顾
知识探究
例题剖析
课堂小结
巩固练习
圆心（0，0）
圆心（0，0）
圆心（a，b）
半径 1
半径 r
半径 r
1
p(x ,y)
r
p(x ,y)
(a,b)
( − ) +( − ) =
( − ) +( − ) =
y
O
圆的标准方程的特点
1、明确给出了圆心坐标和半径；2、确定圆的
标准方程必须具备三个独立条件，即a、b、r。
3、是关于x,y的二元二次方程。
M（x,y)
A
（a,b)
x
知识回顾
例题剖析
知识探究
巩固练习
课堂小结
例1、 求圆心A（2,-3），半径为5的圆的标准方程，并判断点M1（5，-7），M2 (-2,-1)，
P={M| |MA|=r},
y
根据两点间的距离公式，点M的坐标（x,y)满足的条件可以表示为
（ − ） + ( − )
= r
两边平方，得
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课堂小结
1.圆的标准方程 (x-a)
2+
(y-b) =
2
2 r
(r＞0)
2.会用待定系数法求出圆的基本 量a、b、r, 从而求出圆的标准方 程.
作业:
P102 习题2.2(1)
交送作业:ex1.2.3.
课外作业: 做《数学之友》并预习圆的一般方程.
Y
A
0
2.7
B
X
3.求圆心在直线2 x－y－3=0上,且经过点( 5, 2) 和点( 3, -2)的圆的方程.
6
4
2
A( 5 ,2 )
-10 -5 5 10
-2
B( 3, -2 )
-4
-6
课堂检测: 1.写出下列各圆的方程:
(1)圆心在原点,半径为6;
(2)经过点P( 6, 3 ),圆心为C(2, -2). 2.求以点C( -1 ,-5) 为圆心,并且和y轴相 切的圆的方程. 3.已知点A(-4 ,-5 ),B(6, -1),求以线段AB 为直径的圆的方程.
圆的标准方程:(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2 (r＞0)
例题: 1 . (1)求圆心是C(2, -3), 且经过原 点的圆的方程. (2)求圆心是C(3, 4),且经过点 (4 ,6 )的圆的方程. (3)过点A( 1 , 2 ),且与两坐标轴 同时相切的圆的方程.
2.已知隧道的截面是半径为4m的半圆, 车辆只能在道路中心线一侧行驶,一辆 宽为2.7m,高为3m的货车能不能驶入这 个隧道?
2
即(x 0) (y b) r
2 2
2
01
第三步:将B(18.7, 0) , C(0 , 7.2)分别代入上式,得
(18.7-0)2+(0-b)2=r2 (0-0)2+(7.2-b)2=r2
第四步:圆的方程为:
解得,b≈-20.7 , r≈27.9
x2+(y+20.7)2=27.92
即有
(x1-a) 2 + (y1-b) 2 = r
这说明点P1(x1,y1)在以C(a, b)为圆心,r为半径的圆上.
方程(x-a) 2 +
(y-b) 2 = r2 (r＞0)
叫做以(a,b)为圆心, r为半径的圆的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ准方程.
练习: (1) C:(x-3)2+(y+2)2=9, 圆心坐标是_______,
问题:
河北省赵县的赵州桥，是世界上历史最悠久的 石拱桥.赵州桥的跨度约为37.4m,圆拱高约为7.2m, 如何写出这个圆拱所在的圆的方程?
探究:
第一步:建立直角坐 标系 第二步:设圆拱所 在的圆的半径为r, 那么圆上的任意 一点p(x,y)应满足 o1p=r
C
A
2
B
(x 0) (y b) r
半径 r =_____ (2) C:(x+1)2+(y-1)2=10, 圆心坐标是________, 半径 r =_____ (3) C:(x-1)2+(y+5)2=3, 圆心坐标是________, 半径 r =_____
(4) 圆心为原点 半径为 5的圆的方程________ , (5) 圆心为(3,4),半径为4的圆的方程_________
探究:
求：圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程
y
r C O x M
解：设M(x,y)是圆上任意一点，则CM=r
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r
把上式两边平方得： (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2 ( 1 ) 反过来,若点P1的坐标(x1 ,y1) 是方程(1)的解,则
(x1 - a) 2 + ( y1 - b) 2 = r2