精编冀教版数学九年级下册 第三十二章 投影与视图

九年级数学·下新课标[冀]第三十二章投影与视图1.通过实例,了解中心投影、平行投影的意义;能确定简单物体的中心投影、平行投影;体会中心投影、平行投影在生活中的应用.2.了解物体的正投影,能区分中心投影和平行投影.3.了解视图的概念,能判断简单物体的视图;会画直棱柱、圆柱、圆锥、球的主视图、左视图和俯视图.4.会根据视图描述简单的几何体,体会几何体与其视图间的联系.5.了解直棱柱和圆锥的侧面展开图,能根据表面展开图想象和制作实物模型.6.通过实例,了解视图与侧面展开图在现实生活中的应用.1.经历对实物进行观察分析和探索的过程,初步感受平行投影、中心投影及正投影的意义,体会数学与生活之间的密切关系,提高学生的数学应用意识.2.通过具体的活动,发展学生动手实践能力和数学思考能力,发展学生的合情推理和空间观念.3.通过观察、操作、猜想、讨论、合作等活动,使学生体会到三视图中位置及各部分之间大小的对应关系,积累数学活动的经验.4.通过观察、探究等活动,使学生能根据视图描述几何体或实物原型,进一步认识物体与其三视图之间的关系.5.经历直棱柱和圆锥的侧面展开与折叠、制作模型等活动,加强直观与想象相结合的能力,提高动手操作与理论结合实际的能力.1.使学生学会关注生活中有关投影与视图的数学问题,体会数学与生活实际密不可分,提高数学的应用意识.2.学生通过观察、思考、分析,探究出结论,培养观察能力、实践能力及归纳总结能力.3.通过学生自主学习与小组合作的学习方式,提高分析问题及解决问题的能力,培养学生合作意识.4.通过探究物体的三视图,学会多角度看问题,体会成功的快乐,激发学生学习数学的热情,增强学好数学的信心.5.在探究三视图向立体图形转化过程中,使学生感受数学的和谐美,培养学生动手实践能力,发展空间想象能力.本章是结合学生在生活中对几何体认识的基础上,通过研究中心投影、平行投影、几何体的三视图、直棱柱与圆锥的侧面展开图等内容,将立体图形用平面图形来刻画,进一步丰富学生认识几何体的方法.投影是生活中常见的现象,而三视图又是特殊投影的产物,投影与三视图的知识在日常生活和生产中有着广泛的应用,是培养学生空间观念的有效平台.本章内容在数学学习中起着承上启下的作用,教材前边学习过“图形的初步认识”“图形的变换”等几何图形知识,在此基础上本章将研究“投影与视图”,它是反映空间观念的重要内容,也为高中学习立体几何做好铺垫.本章教材以生活实例出发,通过对比、分析生活中的实例,引导学生理解平行投影与中心投影及正投影的概念,而物体三个方向上的正投影就是该物体的三视图,教材最后探究“由物到图”和“由图到物”,两方面结合起来,就从不同角度反映了平面图形与立体图形之间的联系.本章的知识内容不太多,在内容安排的顺序上,注重知识的发生、发展过程,注重知识间的内在联系.编写本章最主要的目的不是介绍投影与视图的知识,而是通过学习本章内容,切实发展学生的空间想象能力.本章主要内容的学习是以学生已有的生活经验为基础,通过观察、操作、想象、交流、推理等数学活动,直观地获得有关概念和性质,有效地发展学生的空间观念,由平面图形到空间图形,再由空间图形到平面图形,体验平面图形与立体图形的相互转化.【重点】通过实例了解平行投影和中心投影的含义及简单应用;会画基本几何体及简单组合体的三视图;能根据三视图描述基本几何体或实物的原型.【难点】了解基本几何体与其三视图、展开图之间的联系,通过典型实例知道这种关系在现实生活中的应用.学生的空间知识来自丰富的实物模型,与现实生活息息相关,所以在本章的教学中要重视借助直观模型或动画演示,开展多种实践活动,帮助学生克服立体几何知识不足的困难,学生在学习本章内容前缺乏对这些知识的系统学习,只是有一些感性认识,解决这个问题的比较好的做法是选择一些实例或通过课件动画展示,通过让学生观察、想象,由直观地认识结合实例了解空间关系,降低学习本章内容的难度,提高学生空间想象能力.数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学,数量关系和空间形式是从现实世界中抽象出来的.关于投影和视图的知识是从实际需要(建筑、制造等)中产生的,它们与实际问题联系得非常紧密.在学习本章之前,学生已经数次接触过和几何图形有关的平面图形知识及简单立体图形,对投影和视图的知识已有初步的、朦胧的了解,只是还没有明确地接触过一些基本名词术语,对有关基本规律还缺乏归纳总结.所以在本章的学习中,以生活实例为载体,通过让学生观察熟悉的生活实例,抽象出有关概念和性质,多组织学生进行不同形式的数学活动,在活动中促进对知识的理解,以学生的生活经验和已有的数学活动经验为基础,以具体的内容为发展空间观念的载体,积极创造自主探究与合作交流的氛围,有意识地引导学生自觉地表达自己对有关概念、结论的理解,自觉地用自己的语言说明操作的过程.回顾与反思1课时32.1投影1.了解中心投影和平行投影的意义,能够对它们进行区分.2.能够确定物体的中心投影和平行投影,体会它们在生活中的应用.3.了解物体的正投影,能画出简单的平面图形的正投影.1.经历对实物进行观察、分析和探索的过程,初步感受平行投影、中心投影及正投影的意义,体会数学与生活之间的密切关系,提高学生的数学应用意识.2.通过具体的活动,发展学生动手实践能力和数学思考能力,发展学生的空间观念.1.通过感受日常生活中的一些投影现象,体会数学与实际生活息息相关,激发学生学习数学的兴趣.2.使学生学会关注生活中有关投影的数学问题,提高数学的应用意识,增强学好数学的信心.3.学生通过观察、思考、分析,探究出结论,培养观察能力、实践能力及归纳总结能力.【重点】通过实例了解平行投影和中心投影的含义及简单应用;能根据正投影的性质画出简单的平面图形的正投影.【难点】在投影面上画出平面图形的平行投影、中心投影及正投影.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】预习教材P90~92.导入一:你看过皮影戏吗?皮影戏又名“灯影子”,是我国民间一种古老而奇特的戏曲艺术,在关中地区很为流行,深受农民的欢迎.(课件展示)类似地,物体在光线的照射下会形成影子.(课件展示)【师生活动】学生欣赏图片,教师课件展示图片,有条件的可以放映电影《小兵张嘎》部分片段——小胖墩和他爸在日军炮台内为日本鬼子表演皮影戏,简单介绍有关皮影戏的知识,导出本节课的课题.导入二:北京故宫中的日晷闻名世界,是我国光辉灿烂文化的瑰宝.它是我国古代利用日影测定时刻的仪器,它由“晷面”与“晷针”组成,当太阳光照在日晷中轴上产生投影,晷针的影子就会投向晷面,随着时间的推移,晷针的影子的长度发生变化,晷针的影子在晷面上慢慢移动,聪明的古人以此来显示时刻.(课件展示)【师生活动】教师展示图片,引入新课,学生观察思考,初步感知投影的概念.[设计意图]学生通过电影片段或欣赏图片,了解中国传统文化,数学课堂上渗透德育教育,通过对皮影戏和日晷的介绍,让学生体会数学在实际生活中的应用,初步感知投影的概念,为下面的学习做好铺垫.[过渡语]物体在光线的照射下,会在投影面上形成投影.物体的投影具有怎样的特征呢?让我们一起认识概念(课件展示)【思考1】1.灯泡的光线与探照灯的光线有什么区别?(灯泡的光线可以看做是从一点射出的,探照灯的光线可以看做是平行的)2.蜡烛的光线、太阳光线分别与哪种光线相同?(蜡烛的光线与灯泡的光线相同,太阳光线与探照灯的光线相同)3.你能举出生活中的一些实例吗?【师生活动】教师展示课件图片,学生观察思考,结合现实生活中影子的实例,小组内交流两种光线的不同,学生代表回答,教师点评,课件展示有关投影的概念.(课件展示)物体在光线的照射下,会在某个平面(墙面、地面等所在的平面)上留下它的影子,这种现象就是投影.光线是投影线,这个平面是投影面.蜡烛和灯泡的光线可以看做是从一点射出的.像这样,由一点射出的光线照射在物体上所形成的投影,叫做中心投影.太阳光线和探照灯的光线可以看做是平行的.像这样,由平行光线照射在物体上所形成的投影,叫做平行投影.【思考2】观察平行投影和中心投影,它们有什么相同点与不同点?【师生活动】学生独立思考后,小组合作交流,教师进行点评,共同归纳,完成表格.(课件展示)[设计意图]片,寻找它们的异同,抽象出投影的有关概念,激发学生的求知欲望.通过交流平行投影与中心投影的区别,加深对投影的有关概念的理解和掌握.大家谈谈1.如图所示,观察正方形的中心投影.当投影面和物体的摆放位置不变时,光源距物体的远近与物体投影的大小有什么关系?2.当投影面和光源的位置不变时,物体的摆放位置与它的投影形状有什么关系?【师生活动】学生独立思考后,小组合作交流,小组代表回答,教师点评并动手演示,师生共同归纳结论.(课件展示)中心投影时,光源距物体越近,物体的投影越大,反之越小;物体的摆放位置与它的投影形状无关.[设计意图]通过观察、思考,使学生体会中心投影对物体的大小、形状的影响,发展学生合情推理及空间想象观念.一起探究【师生活动】学生自主学习教材第91页,要求学生在自主学习过程中动手操作,画图并独立思考所提出的问题,完成画图和思考后,小组内合作交流,共同归纳结论,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,给学生充足的时间和空间思考交流,小组代表回答问题,其他学生质疑提问,教师点评归纳.(课件展示)1.同一时刻,同一物体的平行投影大小相同;同一时刻,不同物体的平行投影的长与物体的高的比相等.2.平行投影时,物体的摆放位置离地面的远近与它的投影的形状没有关系;物体摆放的位置不同,则它的投影的形状不同,如正方形的平行投影可能是正方形、长方形或一条线段.3.正投影:我们把投影线垂直照射在投影面上的物体的投影叫做正投影.追加思考:1.三角形在平行投影下的形状是什么?圆呢?2.三角形的正投影是什么图形?【师生活动】学生思考回答,教师点评.思路二【思考1】(课件展示)1.如图所示,一束平行光线倾斜地照射在地面(投影面)上.教师引导思考:(1)我们站在阳光下,投影的长短是否会变化?那么立于地面上点A处的旗杆的高度与它投影的长短有什么关系?(变化,成正比)(2)如何画出物体在阳光下的投影?请你分别画出小明站在点B处和点C处时的投影(用线段表示),并比较他在这两处投影的长短.(过物体的顶端作光线的平行线,底面的交点与物体之间的线段为物体的投影,小明站在B,C两处的投影大小相等)(3)同一时刻,物体与它的投影构成的三角形之间有什么关系?旗杆高与它投影长的比,小明身高与他投影长的比,二者之间有什么关系?(相似,二者相等)【师生活动】学生在教师的引导下思考、操作、回答,师生共同归纳结论.(课件展示)结论:同一时刻,同一物体的平行投影是相同的;同一时刻,不同物体的平行投影长度与物体的高度的比相等.【思考2】(课件展示)2.如图所示,一束平行光线垂直地照射在地面(投影面)上.观察、思考并回答下列问题:(1)当正方形纸片摆放位置距离地面的远近不同时,它的平行投影的形状、大小;(2)当正方形纸片平行于投影面时,它的平行投影与正方形纸片的形状、大小;(3)当正方形纸片倾斜于投影面时,它的平行投影与正方形纸片的形状、大小;(4)当正方形纸片倾斜于投影面时,它的平行投影是.(5)根据上边探究的结论,平行投影分为几种形式?哪几种形式?(两种形式,一种为投影线倾斜于投影面,一种为投影线垂直于投影面.)【师生活动】教师课件展示问题,学生观察思考后,小组合作交流答案,对学生的答案,教师作出点评,师生共同归纳结论.(课件展示)1.平行投影时,物体的摆放位置离地面的远近与它的投影的形状没有关系;物体摆放位置不同它的投影的形状不同,如正方形的平行投影可能是正方形、长方形或一条线段.2.正投影:我们把投影线垂直照射在投影面上的物体的投影叫做正投影.追加思考:1.三角形在平行投影下的形状是什么?圆呢?2.三角形的正投影是什么图形?【师生活动】学生思考回答,教师点评.[设计意图]通过观察、思考、动手实践,利用平行线构成相似三角形,使学生体会平行投影对物体的大小、形状的影响,借助多媒体展示当纸片在不同位置时,投影的形状,使学生获得直观体验.观察与思考(课件展示)如图所示,已知正方体的R面与投影面是平行的,它在投影面上的正投影是四边形A'B'C'D'.(1)四边形A'B'C'D'是什么四边形?正方体R面对面的正投影是什么图形?(2)正方体Q面和P面的正投影分别是什么图形?(3)正方体棱AB和棱AE的正投影分别是什么图形?正方体顶点A和顶点E的正投影分别是什么图形?【师生活动】学生独立思考后,小组内交流答案,学生回答问题后,教师归纳总结.(1)四边形A'B'C'D'是正方形.R面的对面的正投影是正方形.(2)Q面与P面的正投影均为线段.(3)棱AB的正投影是线段且与AB等长,棱AE的正投影是一个点;顶点A和顶点E的正投影仍是一个点.结论:点的正投影是点;线的正投影是线或点;面的正投影是面或线.[设计意图]通过观察、思考后,小组合作交流,体会点、线、面正投影的形状,发展学生空间观念,提高学生观察、归纳和空间想象能力及应用意识.[知识拓展]1.光线移动时,物体影子的大小、方向也随着变化,物体的形状与影子的形状有密切的联系.2.光是沿直线传播的,因此我们可以由投影与物体确定光线方向.3.平行投影的应用:(1)根据阳光下影子的大小、位置的变化判断时刻的不同;(2)已知一个物体及其在阳光下的影子,可作出同一时刻另一个物体在阳光下的影子;(3)根据物高和影长的关系可以求物高或影长.4.中心投影的应用:(1)根据点光源下两种或两种以上物体及影子的情况判断点光源的位置;(2)已知点光源的位置,可以画物体在点光源下的影子.5.当物体的某个面平行于投影面时,这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同.6.只有在平行投影中,才会出现正投影.正投影是光线与投影面的关系,与物体的摆放位置无关.人们在实际作图中,经常采用正投影.1.什么是平行投影、中心投影、正投影?2.平行投影和中心投影的区别与联系:3.4.点、线、面的正投影的形状.1.平行投影中的光线是()A.平行的B.聚成一点的C.不平行的D.向四面八方发散的解析:平行投影中的光线是平行的.故选A.2.下列投影中属于中心投影的是()A.阳光下跑动的运动员的影子B.阳光下木杆的影子C.阳光下汽车的影子D.路灯下行人的影子解析:中心投影的光源为灯光,平行投影的光源为阳光与月光,在各选项中只有D选项得到的投影为中心投影.故选D.3.如图所示,箭头表示投影的方向,则图中圆柱体的正投影是()A.圆B.矩形C.梯形D.圆柱解析:圆柱的正投影是矩形.故选B.4.小明想利用太阳光测量楼高.他带着皮尺来到一栋楼下,发现对面墙上有这栋楼的影子,针对这种情况,他设计了一种测量方案,具体测量情况如下:如图所示,小明边移动边观察,发现站到点E处时,可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠,且高度恰好相同.此时,测得小明落在墙上的影子高度CD=1.2 m,又测得CE=0.8 m,CA=30 m(点A,E,C在同一直线上).已知小明的身高EF是1.7 m,请你帮小明求出楼高AB(结果精确到0.1 m).解:如图所示,过点D作DG⊥AB,分别交AB,EF于点G,H,则EH=AG=CD=1.2,DH=CE=0.8,DG=CA=30.∵EF∥AB,∴=.由题意得FH=EF-EH=1.7-1.2=0.5.∴=,解得BG=18.75.∴AB=BG+AG=18.75+1.2=19.95≈20.0.∴楼高AB约为20.0 m.32.1投影认识概念大家谈谈一起探究观察与思考一、教材作业【必做题】教材第92页习题A组的1,2,3题.【选做题】教材第93页习题B组的1,2题.二、课后作业【基础巩固】1.如图所示的投影不是中心投影的是()ABCD2.如图所示,晚上小亮在路灯下散步,在小亮由A处走到B处这一过程中,他在地上的影子()A.逐渐变短B.逐渐变长C.先变短后变长D.先变长后变短3.如图所示的是一根电线杆在一天中不同时刻的影长,试按其一天中发生的先后顺序排列,正确的是()A ①②③④B ④①③②C ④②③①D ④③②①4.如图所示的圆台的上下底面与投影线平行,圆台的正投影是()A.矩形B.两条线段C.等腰梯形D.圆环5.下列叙述正确的是()A.圆锥的正投影是圆或等腰三角形B.圆柱的正投影是矩形或圆C.球的正投影是圆D.正方体的正投影是正方形6.如图所示,小华为了测量所住楼房的高度,她请来同学帮忙,测得同一时刻她自己的影长和楼房的影长分别是0.5米和15米,已知小华的身高为1.6米,那么她所住楼房的高度为米.(第6题图)(第7题图)7.如图所示,光源P在横杆AB的正上方,AB在灯光下的影子为CD,AB∥CD,AB=2 m,CD=6 m,点P到CD的距离是2.7 m,则AB与CD之间的距离是m.8.赵亮同学想利用影长测量学校旗杆的高度,如图所示,他在某一时刻立1米长的标杆,测得其影长为1.2米,同时旗杆的投影一部分在地面上,另一部分在某一建筑的墙上,分别测得其长度为9.6米和2米,则学校旗杆的高度为米.9.如图所示,AB和DE是直立在地面上的两根立柱.AB=5 m,某一时刻AB在阳光下的投影BC=3 m.(1)请你在图中画出此时DE在阳光下的投影;(2)在测量AB的投影时,同时测量出DE在阳光下的投影长为6 m,请你计算DE的长.10.某一广告墙PQ旁有两根直立的木杆AB和CD,某一时刻在太阳光下,木杆CD的影子刚好不落在广告墙PQ上.(1)你在图中画出此时的太阳光线CE及木杆AB的影子BF;(2)若AB=5米,CD=3米,CD到PQ的距离DQ的长为4米,求此时木杆AB的影长.【能力提升】11.(2016·北京中考)如图所示,小军、小珠之间的距离为2.7 m,他们在同一盏路灯下的影长分别为1.8 m,1.5 m,已知小军、小珠的身高分别为1.8 m,1.5 m,则路灯的高为m.12.如图所示,光源L距地面(LN)8米,距正方体大箱顶端(LM)2米,已知,在光源照射下,箱子在左侧的影子BE 长5米,求箱子在右侧的影子CF的长.(箱子棱长为6米)【拓展探究】13.如图所示,王琳同学在晚上由路灯A走向路灯B,当她行到P处时发现,她在路灯B下的影长为2米,且恰好位于路灯A的正下方,接着她又走了6.5米到Q处,此时她在路灯A下的影子恰好位于路灯B的正下方(已知王琳身高1.8米,路灯B高9米).(1)指出王琳站在P处在路灯B下的影子;(2)计算王琳站在Q处在路灯A下的影长;(3)计算路灯A的高度.【答案与解析】1.D(解析:分别连接头顶和影子的端点,A,B,C中的两条光线交于一点,是中心投影,D中的两条光线平行,是平行投影.)2.C(解析:因为小亮由A处走到B处这一过程中离光源是由远到近再到远的过程,所以他在地上的影子先变短后变长.)3.B(解析:对于北半球而言,从早晨到傍晚影子的指向是:西—西北—北—东北—东,影长由长变短,再变长.根据题意,太阳是从东方升起,故影子指向的方向为西方,然后依次为西北—北—东北—东,故分析可得先后顺序为④①③②.故选B.)4.C(解析:根据题意,圆台的上下底面与投影线平行,则圆台的正投影是该圆台的轴截面.)5.C(解析:圆锥、圆柱的正投影都有可能是椭圆,故A,B不正确;球的正投影永远是圆,故C正确;正方体的正投影还有可能是线段,故D不正确.)6.48(解析:如图所示,易证△ABC∽△DEF,有AC∶BC=DF∶EF,由题意知AC=1.6米,BC=0.5米,EF=15米,所以DF=48米.)7.1.8(解析:∵AB∥CD,∴△PAB∽△PCD,∴AB∶CD=P到AB的距离∶点P到CD的距离,∴2∶6=P到AB的距离∶2.7,∴P到AB的距离为0.9 m,所以AB与CD之间的距离为2.7-0.9=1.8 (m).)8.10(解析:如图所示,作DE⊥AB于点E,根据题意得=,即=,解得AE=8(米),则AB=AE+BE=8+2=10(米),即旗杆的高度为10米.)9.解:(1)如图所示,连接AC,过点D作DF∥AC,交地面于点F,连接EF,则线段EF即为DE的投影.(2)∵AC∥DF,∴∠ACB=∠DFE.∵∠ABC=∠DEF=90°,∴△ABC∽△DEF,∴=,即=∴DE=10(m).10.解:(1)如图所示.(2)设木杆AB的影长BF为x米,由题意得=,解得x=.答:木杆AB的影长是米.11.3(解析:如图所示,由题意知小军、小珠的身高都与影长相等,所以∠E=∠F=45°,所以AB=BE=BF,设路灯的高AB为x m,则BD=(x-1.5)m,BC=(x-1.8)m,又CD=2.7 m,所以x-1.5+x-1.8=2.7,解得x=3(m).)12.解:∵四边形DEFG是正方形,LN⊥BC,∴DG∥EF,MN=DE=FG,四边形DENM与四边形MNFG是矩形,∴△DLM∽△BLN,∴=,∴DM=米,∴MG=DG-DM=6-=(米),同理,=,∴FC=13米.∴箱子在右侧的影子CF 的长为13米.13.解:(1)线段CP为王琳站在P处在路灯B下的影子.(2)由题意得Rt△CEP∽Rt△CBD,∴=,∴=,解得QD=1.5(米).故王琳站在Q处在路灯A下的影长为1.5米.(3)由题意知Rt △DFQ∽Rt△DAC,∴=,∴=,解得AC=12(米).答:路灯A的高度为12米.本节课由学生感兴趣的皮影戏和日晷导出课题,让学生了解中国文化,体会数学与生活之间的联系,激发学生的学习兴趣.通过观察现实生活中的不同的影子,直观地认识中心投影和平行投影,并了解不同投影之间的区别和联系,加深对投影概念的理解.让学生根据已有的生活经验独立思考、分析中心投影与平行投影与物体位置之间的关系,然后小组内合作交流,师生共同归纳结论,进一步培养学生抽象、概括能力,发展学生的空间想象能力.最后在教师提出的问题的引导下,加强学生对正投影下正方体中点、线、面的投影的认识.整节课的教学设计思路清晰,目标明确,学生思维活跃,充分体现了学生在课堂上的主体性.本节课的主要内容是投影的意义及生活中的应用,通过联系生活实际,观察、思考、交流、归纳等数学活动,感知平行投影、中心投影及正投影的概念和有关性质,课堂上学生气氛活跃,回答问题积极,但是在“一起探究”活动中,学生缺乏空间想象能力,没有给学生足够的时间和空间思考和交流,造成对抽象概括投影与物体位置之间的关系的理解有困难.在以后教学中,应注重培养学生空间想象及抽象概括能力,多给学生相互交流的时间和空间.本节课的重点是理解和掌握投影的有关概念及在实际问题中的应用,以生活实际问题中的影子引出本节课的课题,让学生体会数学与生活息息相关,激发学生的好奇心和求知欲.以学生举出的与影子有关的生活实例抽象出平行投影和中心投影的概念,并归纳两者的区别和联系,培养学生的观察能力和实践能力.通过观察、思考、画图、交流等数学活动,师生共同探究物体位置与投影之间的关系,加深对概念的理解和掌握,提高学生的分析能力和解决问题的能力,发展学生空间想象能力.练习(教材第92页)1.解:如图所示,线段AB是小树的投影.2.解:如图所示,线段AB表示小明,BC表示小明的影子.。