2015初三 数学 二次函数知识点总结
数学二次函数知识点总结
数学二次函数知识点总结数学二次函数知识点总结在平平淡淡的学习中，大家对知识点应该都不陌生吧？知识点也可以通俗的理解为重要的内容。
为了帮助大家更高效的学习，下面是店铺为大家收集的数学二次函数知识点总结，希望能够帮助到大家！数学二次函数知识点总结篇1二次函数（quadraticfunction）是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。
二次函数可以表示为f（乘）=a乘^2b乘c（a不为0）。
其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。
一般的，自变量乘和因变量y之间存在如下关系：一般式y=a乘∧2；b乘c（a≠0，a、b、c为常数），顶点坐标为（-b/2a，-（4ac-b∧2）/4a）；顶点式y=a（乘m）∧2k（a≠0，a、m、k为常数）或y=a（乘-h）∧2k （a≠0，a、h、k为常数），顶点坐标为（-m，k）对称轴为乘=-m，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=a乘∧2的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式；交点式y=a（乘-乘1）（乘-乘2）[仅限于与乘轴有交点A（乘1，0）和B（乘2，0）的抛物线]；重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。
a的绝对值还可以决定开口大小，a的绝对值越大开口就越小，a的绝对值越小开口就越大。
牛顿插值公式（已知三点求函数解析式）y=（y3（乘-乘1）（乘-乘2））/（（乘3-乘1）（乘3-乘2）（y2（乘-乘1）（乘-乘3））/（（乘2-乘1）（乘2-乘3）（y1（乘-乘2）（乘-乘3））/（（乘1-乘2）（乘1-乘3）。
由此可引导出交点式的系数a=y1/（乘1乘乘2）（y1为截距）求根公式二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
乘是自变量，y是乘的二次函数乘1，乘2=[-b±（√（b^2-4ac））]/2a（即一元二次方程求根公式）求根的方法还有因式分解法和配方法在平面直角坐标系中作出二次函数y=2乘的平方的图像，可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。
初中数学二次函数知识点总结归纳
初中数学二次函数知识点总结归纳一、二次函数的定义及表示法：二次函数是指形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a, b, c为常数，且a ≠ 0。
二、二次函数的图像：1.抛物线：二次函数的图像成为抛物线，该抛物线的开口方向由a的符号决定。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
2.顶点：抛物线的顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))，其中(-b/2a)为抛物线的对称轴。
若a>0，则顶点为最小值点；若a<0，则顶点为最大值点。
3.轴对称性：二次函数的图像关于x=-b/2a对称。
3. 平移：二次函数的图像可以通过平移进行变换。
对f(x) = ax^2 + bx + c，平移后的二次函数为f(x) = a(x - h)^2 + k。
若h>0，则向右平移h个单位；若h<0，则向左平移，h，个单位。
若k>0，则向上平移k个单位；若k<0，则向下平移，k，个单位。
4. 变伸缩：二次函数的图像也可以通过变伸缩进行变换。
对f(x) = ax^2 + bx + c，缩放后的二次函数为f(x) = a(cx)^2 + b(cx) + c。
若c>1，则在x轴方向上缩小，纵轴方向上拉长；若0<c<1，则在x轴方向上拉长，纵轴方向上缩小。
若b>0，则抛物线的顶点向左移动；若b<0，则抛物线的顶点向右移动。
二次函数的图像通过平移和变伸缩可以得到不同的形状，从而对应不同的函数。
三、二次函数的性质：1.零点：即二次函数的解，即f(x)=0的解。
根据二次函数的特点，f(x)=0有两个解、一个解或者无解。
2.零点坐标的关系：对于f(x) = ax^2 + bx + c：若b^2 - 4ac = 0，则有且只有一个零点，即二次函数与x轴交于一点；若b^2 - 4ac > 0，则有两个不相等的零点，即二次函数与x轴交于两点；若b^2 - 4ac < 0，则没有实数解，即二次函数与x轴不交。
九年级上册数学二次函数知识点
九年级上册数学二次函数知识点篇1：九年级上册数学知识点二次函数九年级上册数学知识点二次函数二次函数(quadraticfunction)是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。
二次函数可以表示为f(乘)=a乘^2b乘c(a不为0)。
其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。
一般的，自变量乘和因变量y之间存在如下关系：一般式y=a乘∧2;b乘c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为(-b/2a，-(4ac-b∧2)/4a);顶点式y=a(乘m)∧2k(a≠0,a、m、k为常数)或y=a(乘-h)∧2k(a≠0,a、h、k为常数)，顶点坐标为(-m，k)对称轴为乘=-m，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=a乘∧2的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式;交点式y=a(乘-乘1)(乘-乘2)[仅限于与乘轴有交点A(乘1，0)和B(乘2，0)的抛物线];重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a牛顿插值公式(已知三点求函数解析式)y=(y3(乘-乘1)(乘-乘2))/((乘3-乘1)(乘3-乘2)(y2(乘-乘1)(乘-乘3))/((乘2-乘1)(乘2-乘3)(y1(乘-乘2)(乘-乘3))/((乘1-乘2)(乘1-乘3)。
由此可引导出交点式的系数a=y1/(乘1乘乘2)(y1为截距)求根公式二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
乘是自变量，y是乘的二次函数乘1,乘2=[-b±(√(b^2-4ac))]/2a(即一元二次方程求根公式)求根的方法还有因式分解法和配方法在平面直角坐标系中作出二次函数y=2乘的平方的图像，可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。
不同的二次函数图像如果所画图形准确无误，那么二次函数将是由一般式平移得到的。
注意：草图要有1本身图像，旁边注明函数。
2画出对称轴，并注明乘=什么3与乘轴交点坐标，与Y轴交点坐标，顶点坐标。
初三数学二次函数知识点总结及经典习题
《二次函数》学问点总结一. 二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2=++（a b cy ax bx c，，是常数，0a≠）的函数，叫做二次函数.这里须要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a≠，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2=++的构造特征：y ax bx c⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二. 二次函数的图像和性质y=a(x-h)2x=h0）y 随x 的增大而减小最小值y =0a ＜0向下直线x=h（h ，0）①当x ＞h 时，y 随x 的增大而减小②当x ＜0时，y 随x 的增大而增大当x=h 时，y 有最大值，即最大值y =0 ④y=a(x-h)2+ka ＞0向上直线x=h（h ，k ）①当x ＞h 时，y 随x 的增大而增大②当x ＜h 时，y 随x 的增大而减小当x=h 时，y 有最小值，即最小值y =k a ＜0向下直线x=h（h ，k ）①当x ＞h 时，y 随x 的增大而减小②当x ＜h 时，y 随x 的增大而增大 当x=h 时，y 有最大值，即最大值y =k ⑤ y=ax 2+b x+c 可化为： y=a(x+)2ab 2+a ＞0向上直线x=-a b 2（-ab 2，ab ac 442-） ①当x ＞-a b 2时，y 随x 的增大而增大 ②当x ＜-a b 2时，y 随x 的增大而减小 当x=-ab 2时，y 有最小值，最小值y =ab ac 442-a ＜0向下直线x=-a b 2（-ab 2，ab ac 442-）①当x ＞-ab 2时，y 随x 的增大而减小 ②当x ＜-a b 2时，y 随x 的增大而增大当x=-ab 2时，y 有最大值，即 y 最大值=ab ac 442-三. 二次函数图象的平移 1. 平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形态不变，将其顶点平移到()h k ，处，详细平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的根底上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减（自变量），上加下减（常数项）”二次函数图像间的平移可看作是顶点间的平移，因此只要驾驭了顶点是如何平移的，就驾驭了二次函数图像间的平移. 四.二次函数()2y a x h k =-+及2y ax bx c =++的比拟从解析式上看，()2y a x h k =-+及2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中．五．二次函数解析式的三种表示方法但并非全部的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线及x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化，将顶点式、交点式去括号、合并同类项就可转化为一般式，把一般式配方、因式分解就可转化为顶点式、交点式.六．二次函数的图象及各项系数之间的关系1. 二次项系数a【a确定抛物线的开口方向，|a|确定抛物线开口的大小】⑴当0a>时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，a的值越小，开口越大；⑵当0a<时，抛物线开口向下，a的值越大，开口越大，a的值越大，开口越大．注：|a|越大，抛物线的开口越小，|a|越小，抛物线开口越大抛物线的形态一样，即|a|一样.2.一次项系数b【由a和对称轴共同确定】对称轴在y轴的左侧，a，b同号；对称轴在y轴的右侧，a，b异号.（左同右异 b为0时，对称轴为y轴）3. 常数项c⑴当0c>时，抛物线及y轴的交点在x轴上方，即抛物线及y轴交点的纵坐标为正；⑵当0c=时，抛物线及y轴的交点为坐标原点，即抛物线及y轴交点的纵坐标为0；⑶当0c<时，抛物线及y轴的交点在x轴下方，即抛物线及y轴交点的纵坐标为负．总结起来，c确定了抛物线及y轴交点的位置．七．二次函数图象（抛物线）及x轴交点状况的推断：y＝ax2+bx+c （a≠0，a、b、c都是常数）1.△=b²-4ac＞0⇔抛物线及x轴有两个交点2.△=b²-4ac=0⇔抛物线及x轴有一个交点3.△=b²-4ac＜0⇔抛物线及x轴没有交点①当0y>；a>时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有0②当0y<．a<时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有0八.二次函数及一元二次方程、一元二次不等式的解之间的关系：1.二次函数y＝ax2+bx+c的图象及x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的解.因此利用二次函数图象可求以x为未知数的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解（从图象上进展推断）.2.二次函数y＝ax2+bx+c在x轴上方的图象上的点的横坐标是一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解；在x轴下方的图象上的点的横坐标是一元二次不等式ax2+bx+c ＜0的解.九.二次函数的应用二次函数应用☆☆二次函数抛物线简洁的图形变换☆☆（1）顶点式【ky+=2)(（a≠0）】-hxa（2）一般式【c+=2（a≠0）】y+bxax①平移：如将二次函数c=2向右平移m(m＞0)个单位，再向下平移n（n+bxaxy+＞0）个单位，得到n c bm am x b am ax n c m x b m x a -+-+--=-+-+-=222)2()()(y ②对称注：无论是平移、轴对称还是旋转，最好先把二次函数化成顶点式，然后再依据须要进展求解.二次函数对应练习试题一.选择题1.二次函数247y x x =--的顶点坐标是( )A.(2,－11)B.（－2，7）C.（2，11）D. （2，－3） 2.把抛物线22y x =-向上平移1个单位，得到的抛物线是（ ）A.22(1)y x =-+B.22(1)y x =--C.221y x =-+D.221y x =-- 3.函数2y kx k =-和在同始终角坐标系中图象可能是图中的( )4.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,则下列结论: ①a,b 同号;②当1x =和3x =时,函数值相等;③40a b +=④当2y =-时, x 的值只能取0.其中正确的个数是( ) A.1个 B.2个 C. 3个 D. 4个 5.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标（-1，-3.2）及局部图象(如图),由图象可知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两个根分别是121.3x x ==和（ ）A.-1.3 B.-2.3 C.-0.3 D.-3.36. 已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则点(,)ac bc 在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限7.方程的正根的个数为（ ）A.0个B.1个C.2个. 3 个8.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),及y 轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为A. 22y x x =--B. 22y x x =-++C. 22y x x =--或22y x x =-++D. 22y x x =---或22y x x =++ 二．填空题9．二次函数23y x bx =++的对称轴是2x =，则b =_______.10．已知抛物线y=-2（x+3）²+5，假如y 随x 的增大而减小，那么x 的取值范围是_______.11．一个函数具有下列性质：①图象过点（－1，2），②当x ＜0时，函数值y 随自变量x 的增大而增大；满意上述两条性质的函数的解析式是 （只写一个即可）.12．抛物线22(2)6y x =--的顶点为C ，已知直线3y kx =-+过点C ，则这条直线及两坐标轴所围成的三角形面积为 .13. 二次函数2241y x x =--的图象是由22y x bx c =++的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位得到的,则b= ,c= .14．如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，在线段AB 上离中心M 处5米的地方，桥的高度是 (π取3.14). 三．解答题：15.已知二次函数图象的对称轴是30x +=,图象经过(1,-6),且及y 轴的交点为(0,52-).(1)求这个二次函数的解析式;(2)当x 为何值时,这个函数的函数值为0?(3)当x 在什么范围内改变时,这个函数的函数值y 随x 的增大而增大?16.某种爆竹点燃后，其上上升度h （米）和时间t （秒）符合关系式 （0<t ≤2），其中重力加速度g 以10米/秒2计算．这种爆竹点燃后以v 0=20米/秒的初速度上升， （1）这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地15米？（2）在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内，推断爆竹是上升，或是下降，并说明理由.17.如图，抛物线2y x bx c =+-经过直线3y x =-及坐标轴的两个交点A 、B ，此抛物线及x 轴的另一个交点为C ，抛物线顶点为D.（1）求此抛物线的解析式；（2）点P 为抛物线上的一个动点，求使APC S ∆：ACD S ∆=5 ：4的点P 的坐标。
二次函数知识点总结(详细)
2.已知二次函数 的图象如图所示, 有以下结论: ① ；② ；③ ；④ ；⑤ 其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①②B. ①③④C. ①②③⑤D. ①②③④⑤3.二次函数 的图象如图所示, 则下列关系式中错误的是（ ） A. a ＜0 B. c ＞0 C. ＞0 4、D. ＞0图12为二次函数 的图象, 给出下列说法:① ；②方程 的根为 ；③ ；④当 时, y 随x 值的增大而增大；⑤当 时, . 其中, 正确的说法有 ．（请写出所有正确说法的序号）5.已知=次函数y ＝ax +bx+c 的图象如图. 则下列5个代数式: ac, a+b+c, 4a －2b+c, 2a+b, 2a －b 中, 其值大于0的个数为（ ） A. 2B 3C 、4D 、5四、二次函数解析式的确定 例4.求二次函数解析式:（1）抛物线过（0, 2）, （1, 1）, （3, 5）；（2）顶点M （-1, 2）, 且过N （2, 1）；（3）已知抛物线过A （1, 0）和B （4, 0）两点, 交y 轴于C 点且BC ＝5, 求该二次函数的解析式。
（1） 练习: 根据下列条件求关于x 的二次函数的解析式 当x=3时, y 最小值=－1, 且图象过（0, 7）图象过点（0, －2）（1, 2）且对称轴为直线x=图象经过（0, 1）（1, 0）（3, 0）五、二次函数与x 轴、y 轴的交点（二次函数与一元二次方程的关系）11 1 Oxy已知抛物线y＝x2-2x-8,（1）求证: 该抛物线与x轴一定有两个交点；（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B, 且它的顶点为P, 求△ABP的面积。
2、1.二次函数y＝x2-2x-3图象与x轴交点之间的距离为如图所示, 二次函数y＝x2－4x＋3的图象交x轴于A、B两点, 交y 轴于点C,则△ABC的面积为( )A.6B.4C.3D.13.若二次函数y＝(m+5)x2+2(m+1)x+m的图象全部在x轴的上方, 则m 的取值范围是六、直线与二次函数的问题例6 已知: 二次函数为y=x2－x+m, （1）写出它的图像的开口方向, 对称轴及顶点坐标；（2）m为何值时, 顶点在x轴上方, （3）若抛物线与y轴交于A, 过A作AB∥x轴交抛物线于另一点B, 当S△AOB=4时, 求此二次函数的解析式.1.抛物线y=x2+7x+3与直线y=2x+9的交点坐标为。
初中九年级二次函数知识点总结
初中九年级二次函数知识点总结初中九年级二次函数知识点总结总结就是把一个时间段取得的成绩、存在的问题及得到的经验和教训进行一次全面系统的总结的书面材料，它能使我们及时找出错误并改正，让我们一起认真地写一份总结吧。
那么总结应该包括什么内容呢？以下是小编收集整理的初中九年级二次函数知识点总结，希望能够帮助到大家。
初中九年级二次函数知识点总结1教学目标：(1)能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。
(2)注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学习习惯教学重点：能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。
教学难点：求出函数的自变量的取值范围。
教学过程：一、问题引新1.设矩形花圃的垂直于墙(墙长18)的一边AB的长为_m，先取_的一些值，算出矩形的另一边BC的长，进而得出矩形的面积ym2.试将计算结果填写在下表的空格中，AB长_(m) 1 2 3 4 5 6 7 8 9BC长(m) 12面积y(m2) 482._的值是否可以任意取?有限定范围吗?3.我们发现，当AB的长(_)确定后，矩形的面积(y)也随之确定，y 是_的函数，试写出这个函数的关系式，教师可提出问题，(1)当AB=_m时，BC长等于多少m?(2)面积y等于多少? y=_(20-2_)二、提出问题，解决问题1、引导学生看书第二页问题一、二2、观察概括y=6_2 d= n /2 (n-3) y= 20 (1-_)2以上函数关系式有什么共同特点? (都是含有二次项)3、二次函数定义：形如y=a_2+b_+c(a、b、、c是常数，a≠0)的函数叫做_的二次函数，a叫做二次函数的系数，b叫做一次项的系数，c叫作常数项.4、课堂练习(1) (口答)下列函数中，哪些是二次函数?(1)y=5_+1 (2)y=4_2-1(3)y=2_3-3_2 (4)y=5_4-3_+1(2).P3练习第1，2题。
初三数学二次函数知识点总结
初三数学 二次函数 知识点总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c=+上加下减。
3.()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，．五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数图像参考：y=-2x 2y=3(x+4)22y=3x 2十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少二次函数考查重点与常见题型1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。
初三数学二次函数知识点总结及经典习题含答案
初三数学二次函数知识点总结及经典习题含答案初三数学二次函数知识点总结一、二次函数概念：二次函数是指形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数。
需要强调的是，和一元二次方程类似，二次项系数a≠0，而b，c可以为零。
二次函数的定义域是全体实数。
二、二次函数的基本形式1.二次函数基本形式：y=ax2的性质：当a的绝对值越大，抛物线的开口越小。
a的符号决定开口方向，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴。
当x>0时，y随x的增大而增大；当x<0时，y随x的增大而减小；当x=0时，y有最小值。
当a>0时，向上开口，对称轴为y轴；当a<0时，向下开口，对称轴为y轴。
2.y=ax2+c的性质：上加下减。
a的符号决定开口方向，顶点坐标为（0，c），对称轴为y轴。
当x>0时，y随x的增大而增大；当x<0时，y随x的增大而减小；当x=0时，y有最小值c。
当a>0时，向上开口，对称轴为y轴；当a<0时，向下开口，对称轴为y轴。
3.y=a(x-h)的性质：左加右减。
a的符号决定开口方向，顶点坐标为（h，0），对称轴为x=h。
当x>h时，y随x的增大而增大；当x<h时，y随x的增大而减小；当x=h时，y有最小值。
当a>0时，向上开口，对称轴为x=h；当a<0时，向下开口，对称轴为x=h。
4.y=a(x-h)+k的性质：a的符号决定开口方向，顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h。
当x>h时，y随x的增大而增大；当x<h时，y随x的增大而减小；当x=h时，y有最小值k。
当a>0时，向上开口，对称轴为x=h；当a<0时，向下开口，对称轴为x=h。
三、二次函数图象的平移1.平移步骤：将抛物线解析式转化成顶点式y=a(x-h)+k，确定其顶点坐标（h，k）处。
保持抛物线y=ax2的形状不变，将其顶点平移到（h，k）处，具体平移方法如下：向上平移|k|个单位，当k>0时；向下平移|k|个单位，当k<0时。
(完整版)初三数学二次函数知识点汇总(齐全)
(2)与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点y h x =c bx ax y ++=2(,).
h c bh ah ++2
(3)抛物线与轴的交点
x 二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是c bx ax y ++=2x 1x 2x 对应一元二次方程
的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一02=++c bx ax x 元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点抛物线与轴相交；
⇔0>∆⇔x ②有一个交点(顶点在轴上)抛物线与轴相切；x ⇔0=∆⇔x ③没有交点抛物线与轴相离.⇔0<∆⇔x (4)平行于轴的直线与抛物线的交点
x 同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两k k c bx ax =++2个实数根.
(5)一次函数的图像与二次函数的图像
()0≠+=k n kx y l ()02≠++=a c bx ax y 的交点，由方程组
G 的解的数目来确定：⎩⎨⎧++=+=c
bx ax y n
kx y 2
①方程组有两组不同的解时与有两个交点;
⇔l G ②方程组只有一组解时与只有一个交点；③方程组无解时
⇔l G 与没有交点.
⇔l G (6)抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交
x c bx ax y ++=2x 点为，由于、是方程的两个根，故 ()()0021，，，
x B x A 1x 2x 02=++c bx ax
量和常量；(3)用函数表达式表示出它们之间的关系；(4)利用二次函数的有关性质进行求解；(5)检验结果的合理性，对问题加以拓展等．。
初中数学二次函数知识点总结
初中数学二次函数知识点总结（实用版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢!并且，本店铺为大家提供各种类型的实用范文，如工作计划、工作总结、演讲稿、合同范本、心得体会、条据文书、应急预案、教学资料、作文大全、其他范文等等，想了解不同范文格式和写法，敬请关注!Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you!Moreover, our store provides various types of practical sample essays for everyone, such as work plans, work summaries, speech drafts, contract templates, personal experiences, policy documents, emergency plans, teaching materials, complete essays, and other sample essays. If you want to learn about different formats and writing methods of sample essays, please stay tuned!初中数学二次函数知识点总结初中数学二次函数知识点总结（精选30篇）初中数学二次函数知识点总结篇11、定义与定义表达式一般地，自变量X和因变量y之间存在如下关系：y=aX^2+bX+c （a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
初三数学 二次函数 知识点总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，．五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a =-时，y 有最大值244ac b a-．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y a x b x c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---； 2. 关于y 轴对称2y a x b x c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++； 3. 关于原点对称2y a x b x c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-；()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y a x b x c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+． 5. 关于点()m n ，对称()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数图像参考：十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少2-32y=-2x 2y=3(x+4)22y=3x 2y=-2(x-3)2二次函数考查重点与常见题型1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。