勾股定理习题及答案
勾股定理练习题及答案
勾股定理练习题及答案一．选择题1．若△ABC的三边a、b、c满足（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【解答】解：∵（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，∴a﹣b＝0，a2+b2﹣c2＝0，解得：a＝b，a2+b2＝c2，∴△ABC的形状为等腰直角三角形；故选：C．2．满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是（）A．BC＝1，AC＝2，AB＝B．BC＝1，AC＝2，AB＝C．BC：AC：AB＝3：4：5D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5【解答】解：A、∵12+（）2＝22，∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；B、∵12+22＝（）2，∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；C、∵32+42＝52，∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；D、∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∴∠A＝45°，∠5＝60°，∠C＝75°，∴△ABC不是直角三角形，故本选项符合题意；故选：D．3．下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（）A．32，42，52B．C．9，41，40D．2，3，4【解答】解：A、92+162≠252，故不是直角三角形，故不符合题意；B、（）2+（）2≠（）2，故不是直角三角形，故不符合题意；C、92+402＝412，故是直角三角形，故符合题意；D、22+32≠42，故不是直角三角形，故不符合题意．故选：C．4．下面四组数中是勾股数的有（）（1）1.5，2.5，2；（2），，2；（3）12，16，20；（4）0.5，1.2，1.3．A．1组B．2组C．3组D．4组【解答】解：（1）1.52+22＝2.52，但不是正整数，故错误；（2）（）2+（）2＝22，能构成直角三角形，但不是整数，故错误；（3）122+162＝202，三边是整数，同时能构成直角三角形，故正确；（4）0.52+1.22＝1.32，但不是正整数，故错误．故选：A．5．如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面1.5米，则小巷的宽度为（）A．2.7米B．2.5米C．2米D．1.8米【解答】解：由题意可得：AD2＝0.72+2.42＝6.25，在Rt△ABC中，∵∠ABC＝90°，BC＝1.5米，BC2+AB2＝AC2，∴AB2+1.52＝6.25，∴AB＝±2，∵AB＞0，∴AB＝2米，∴小巷的宽度为0.7+2＝2.7（米）．故选：A．二．填空题6．若直角三角形的两条边长为a，b，且满足（a﹣3）2+|b﹣4|＝0，则该直角三角形的第三条边长为5或．【解答】解：该直角三角形的第三条边长为x，∵直角三角形的两条边长为a，b，且满足（a﹣3）2+|b﹣4|＝0，∴a＝3，b＝4．若4是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理得：32+42＝x2，∴x＝5；若4是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理得：32+x2＝42，∴x＝；∴第三边的长为5或．故答案为：5或．7．有一块田地的形状和尺寸如图，则它的面积为96．【解答】解：连接AC，∵△ACD是直角三角形，∴AB＝＝＝10，因为102+122＝132，所以△ABC是直角三角形，则要求的面积即是两个直角三角形的面积差，即×24×10﹣×6×8＝120﹣24＝96．故答案为：96．故答案为：10．8．若△ABC三边之比为5：12：13，则△ABC是直角三角形．【解答】解：设△ABC三边之比为5x，12x，13x，∵（5x）2+（12x）2＝（13x）2，∴△ABC是直角三角形．故答案为：直角9．已知：如图，四边形ABDC，AB＝4，AC＝3，CD＝12，BD＝13，∠BAC＝90°．则四边形ABDC的面积是36．【解答】解：连接BC，∵∠A＝90°，AB＝4，AC＝3∴BC＝5，∵BC＝5，BD＝13，CD＝12∴BC2+CD2＝BD2∴△BCD是直角三角形∴S四边形ABCD＝S△BCD+S△ABC＝×4×3+×5×12＝36，故答案为：3610．若8，a，17是一组勾股数，则a＝15．【解答】解：①a为最长边，a＝＝，不是正整数，不符合题意；②17为最长边，a＝＝15，三边是整数，能构成勾股数，符合题意．故答案为：15．三．解答题11．如图，已知在四边形ABCD中，AB＝20cm，BC＝15cm，CD＝7cm，AD＝24cm，∠ABC ＝90°．（1）猜想的∠A与∠C关系；（2）求出四边形ABCD的面积．【解答】解：（1）∠A+∠C＝180°．理由如下：如图，连接AC．∵AB＝20cm，BC＝15cm，∠ABC＝90°，∴由勾股定理，得AC2＝AB2+BC2＝625（cm2）．又∵在△ADC中，CD＝7cm，AD＝24cm，∴CD2+AD2＝AC2，∴∠D＝90°．∴∠A+∠C＝360°﹣180°＝180°；（2）∵由（1）知，∠D＝90°，∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝×20×15+×7×24＝234（cm2）．即四边形ABCD的面积是234cm2．12.已知等腰三角形ABC的底边BC＝20cm，D是腰AB上一点，且CD＝16cm，BD＝12cm．（1）求证：CD⊥AB；（2）求该三角形的腰的长度．【解答】解：（1）∵BC＝20cm，CD＝16cm，BD＝12cm，∴满足BD2+CD2＝BC2，∴根据勾股定理逆定理可知，∠BDC＝90°，即CD⊥AB；（2）设腰长为x，则AD＝x﹣12，由（1）可知AD2+CD2＝AC2，即：（x﹣12）2+162＝x2，解得x＝，∴腰长为cm．。
勾股定理练习题(含答案)
勾股定理练习题(含答案)1.下列说法正确的是：C.若a、b、c是Rt△ABC的三边，A=90°，则a+b=c。
2.根据勾股定理，应该选B.a+b>c。
3.根据勾股定理，斜边长为√（k-1）²+（2k）²，即√（5k²-4）。
4.根据(a-b)(a+b-c)=0，可得a=b或a+b=c，所以它的形状为等腰三角形或直角三角形。
5.设另一直角边为x，则根据勾股定理得x²+9²=(x+1)²，解得x=40/9，周长为9+40/9+41/9=120/9=40/3，选C。
6.根据勾股定理得BC=√（13²-12²）=5，所以周长为15+13+5=33，选D。
7.根据勾股定理和中线长度公式得周长为2d+2√(d²-S)，选C。
8.根据勾股定理得OP的长度为√(3²+4²)=5，选C。
9.根据勾股定理和海伦公式得BC=√(26²-24²/25)=17，选A。
10.根据(a-6)+b-8+c-10²=0，可得a+b+c=24，所以它的形状为等边三角形。
11.根据勾股定理和面积公式得面积为(8*15)/2=60，选D。
12.根据等腰三角形的性质，顶角的平分线与底边中线重合，所以答案为底边中线，即6.5.13.根据勾股定理得斜边长为√200=10√2，选D。
14.根据三角形边长比的性质，10:8:6无法构成三角形，所以不是三角形。
15.一个三角形的三边比为5:12:13，周长为60，则其面积为多少？16.在直角三角形ABC中，斜边AB=4，则AB+BC+AC=多少？17.如图，已知直角三角形ABC中，∠C=90°，BA=15，AC=12，以直角边BC为直径作半圆，则该半圆的面积为多少？18.若三角形三个内角的比为1:2:3，最短边长为1cm，最长边长为2cm，则该三角形三个角度数分别为多少？另外一边的平方是多少？19.长方形的一边长为3cm，面积为12cm²，则其一条对角线长为多少？20.如图，一个高为4m、宽为3m的大门，需要在对角线的顶点间加固一个木条，求该木条的长度。
勾股定理练习题及答案
勾股定理练习题及答案勾股定理练习题及答案勾股定理是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
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勾股定理练习题：1、在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝15，AC＝17，以AB为直径作半圆，则此半圆的面积为__________2、已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为__________．3、某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要 __________元．4、如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B到地面的距离为7m，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3m．同时梯子的顶端B 下降至B′，那么BB′（）．A．小于1m B．大于1m C．等于1m D．小于或等于1m5、将一根24cm的.筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是（）．A．h≤17cm B．h≥8cmC．15cm≤h≤16cm D．7cm≤h≤16cm6、如图，某公园内有一棵大树，为测量树高，小明C处用侧角仪测得树顶端A的仰角为30°，已知侧角仪高DC＝1。
4m，BC＝30米，请帮助小明计算出树高AB．（取1。
732，结果保留三个有效数字）◆典例分析如图1，一个梯子AB长2。
5m，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1。
5m，梯子滑动后停在DE的位置上，如图2，测得BD长为0。
5m，求梯子顶端A下落了多少米．解法指导：直角三角形中，已知一直角边和斜边是勾股定理的重要应用之一．勾股定理：a2＋b2＝c2的各种变式：a2＝c2－b2，b2＝c2－a2．应牢固掌握，灵活应用．分析：先利用勾股定理求出AC与CE的长，则梯子顶端A下落的距离为AE＝AC－CF．解：在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2∴2.52＝AC2＋1。
中考数学复习《勾股定理》专项练习题-附带有答案
中考数学复习《勾股定理》专项练习题-附带有答案一、单选题1．线段a、b、c组成的三角形不是直角三角形的是（）A．a=7，b=24，c=25 B．Ba= √41，b=4，c=5C．a= 34，b=1，c= 54D．a=40，b=50，c=602．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN等于（）A．65B．95C．125D．1653．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为7和9，则b的面积为（）A．16 B．2 C．32 D．1304．如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，在图中找出格点C，使得△ABC是腰长为无理数的等腰三角形，点C的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．75．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中S A=10，S B=8，S C=9，S D=4则下列判断不正确的是（）A．S E=18B．S F=13C．S M=31D．S M−S E=176．如图，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（）A．2.1B．√5C．2√2D．2√37．我国古代数学家赵爽“的勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a、b，那么(a+b)2的值为（）.A．49 B．25 C．13 D．18．如图，在△ABC中∠C=60°，AC=4，BC=3 .分别以点A，B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧交于M、N两点，作直线MN交AC于点D，则CD的长为（）A．1 B．75C．32D．3二、填空题9．如图，△ABC中AB=AC=10，BC=16，△ABC的面积是.10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，以AB为一边向三角形外作正方形ABEF，正方形的中心为O，且OC＝4 √2，则BC＝．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在AB上，AD＝AC，AF⊥CD交CD于点E，交CB于点F，则CF的长是12．某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙DE时，梯子底端A到左墙的距离AE为0.7m，梯子顶端D到地面的距离DE为2.4m，若梯子底端A保持不动，将梯子斜靠在右墙BC上，梯子顶端C到地面的距离CB为2m，则这两面直立墙壁之间的安全通道的宽BE为m．13．活动探究：我们知道，已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.如已知△ABC中∠A=30°，AC=3，∠A所对的边为√3，满足已知条件的三角形有两个（我们发现其中如图的△ABC是一个直角三角形），则满足已知条件的三角形的第三边长为三、解答题14．如图，点C在∠DAB内部，CD⊥AD于点D，CB⊥AB于点B，CD＝CB，若AD＝5，求AB的长．15．如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．AD＝1，BD＝4，CD＝2．求证：∠ACB＝90°．16．如图，一只小鸟旋停在空中A点，A点到地面的高度AB=20米，A点到地面C点（B、C两点处于同一水平面）的距离AC=25米．若小鸟竖直下降12米到达D点（D点在线段AB上），求此时小鸟到地面C 点的距离．17．如图，在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D，E为AC边上一点，且满足∠AED＝2∠DCB．（1）求证：DE∥BC；（2）若∠B＝90°，AD＝6，AE＝9，求CE的长．18．如图，在正△ABC的AC，BC上各取一点D，E，使AD=CE，AE，BD相交于点M（1）如图1，求∠BME的度数；（2）如图2，过点B作直线AE的垂线BH，垂足为H①求证：2MH+DM=AE；②若BE=2EC=2，求BH的长．答案1．D2．C3．A4．C5．D6．B7．A8．B9．4810．511．1.512．2.213．2√3或√314．解：解法一：连结AC∵CD⊥AD于点D，CB⊥AB于点B∴∠CDA=∠CBA=90°在Rt△ABC与Rt△ADC中有AC=AC，CD=CB∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）∴AB=AD=5解法二：连结AC∵CD⊥AD于点D，CB⊥AB于点B∴∠CDA=∠CBA=90°∵CD=CB∴由勾股定理得：AB= √AC2−BC2 = √AC2−CD2 =AD=515．证明：∵CD是△ABC的高∴∠ADC=∠BDC=90°．∵AD=1，BD=4，CD=2∴AC2=AD2+CD2=12+22=5，BC2=BD2+CD2=42+22=20，AB2=（1+4）2=25．∴AC2+BC2=AB2．∴△ABC是直角三角形∴∠ACB=90°．16．解：由勾股定理得；BC2=AC2−AB2=252−202=225∴BC=15（米）∵BD=AB−AD=20−12=8（米）∴在Rt△BCD中，由勾股定理得CD=√DB2+BC2=√82+152=17∴此时小鸟到地面C点的距离17米．答；此时小鸟到地面C点的距离为17米．17．（1）证明：∵CD平分∠ACB∴∠ACD=∠DCB即∠ACB=2∠DCB又∵∠AED=2∠DCB∴∠ACB=∠AED∴DE//BC；（2）解：∵DE//BC∴∠EDC=∠BCD，∠B=∠ADE=90°∵∠BCD=∠ECD∴∠EDC=∠ECD∴ED=CE∵AD=6，AE=9∴DE=√AE2−AD2=√92−62=3√5∴CE=3√5．18．（1）解：∵△ABC是等边三角形∴AB=AC，∠BAC=∠C=60°又∵AD=CE ∴△ABD≌△CAE(SAS)∴∠BME=∠ABD+∠BAE=∠CAE+∠BAE=∠BAC=60°（2）解：①∵BH⊥AE ∠BME=60°∴∠HBM=30°∴BM=2MH∵△ABD≌△CAE ∴AE=BD=BM+MD=2MH+MD②过点E作EG⊥AB于点GBE=2EC=2 ∴AB=BC=3∴使用ABC=60°∴BG=1，AG=2，由勾股定理可得，GE= √3，AE= √7设HE=x，则AH= √7 -x由勾股定理得32-（√7 -x）2=22-x2解得x= √77再由勾般定理可得：BH= 3√21.7。
完整版勾股定理练习题及答案
⑶ 若 c — a = 4, b = 16，求 a 、c ；(4) 若Z A= 30°, c = 24，求 c 边上的高 h c ；《勾股定理》练习题及答案测试1勾股定理(一)学习要求掌握勾股定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条边长求出第三 条边长.课堂学习检测一、填空题1.如果直角三角形的两直角边长分别为a 、b ,斜边长为c ,那么________ = c 2；这一定理在我国被称为 _______2.^ ABC 中, Z C = 90°, a 、b 、c 分别是/ A 、/ B / C 的对边.(1) 若 a = 5, b = 12,则 c= _______ ; (2) 若 c = 41, a = 40,贝U b = _____ ；(3) 若Z A = 30 °, a = 1，贝V c = ____ , b= ______ ; (4) 若Z A = 45°, a = 1，贝U b = ______ , c = _______ . 3•如图是由边长为1m 的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从所走的路程为 ________ . 4.等腰直角三角形的斜边为10,则腰长为 ________ ，斜边上的高为 ______ .5.在直角三角形中，一条直角边为 11cm,另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为二、选择题6. Rt △ ABC 中，斜边 BC = 2,则 AB + AC + BC 的值为().(A)8 (B)4 (C)6 (D)无法计算 7. 如图，△ ABC 中, AB= AC = 10, BD 是 AC 边上的高线，DC = 2,则 BD 等于() (A)4 (B)6 (C)8 (D) 2.10 &如图,Rt △ ABC 中，Z C = 90°,若 AB= 15cm,则正方形 为().(A)150cm 2 (B)200cm 2 (C)225cm 2(D)无法计算 三、解答题9.在 Rt △ ABC 中, Z C = 90°，/ A 、Z B Z C 的对边分别为 a 、b 、c . ADEC 和正方形BCFG 勺面积和 (1)若 a : b = 3 : 4, c = 75cm,求 a 、b ； (2)若 a : c = 15 ： 17, b = 24,求厶 ABC 勺面积;⑸ 若a 、b 、c 为连续整数，求 a + b + c .综合、运用、诊断一、 选择题 10.若直角三角形的三边长分别为 2, 4, x ,贝U x 的值可能有().(A)1 个 (B)2 个 (C)3(D)4 个二、 填空题11 •如图，直线I 经过正方形 ABC 啲顶点B,点A 、C 到直线I 的距离分别是1、2,则正方形的边长是12. 在直线上依次摆着 7个正方形(如图)，已知倾斜放置的 3个正方形的面积分别为 1, 2, 3,水平放置三、解答题13. 如图，Rt △ ABC 中, Z C = 90°,/ A = 30°, BD 是/ ABC 的平分线，AD= 20，求 BC 的长.拓展、探究、思考14. 如图，△ ABC 中,/ C = 90°.(1)以直角三角形的三边为边向形外作等边三角形，探究S+ S 2与S 的关系;图①(2)以直角三角形的三边为斜边向形外作等腰直角三角形，探究S + S 与S 3的关系；的4个正方形的面积是 S ,（3）以直角三角形的三边为直径向形外作半圆（如图③），探究S+ S2与S B的关系.学习要求测试2勾股定理（二）掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题.课堂学习检测一、填空题1 •若一个直角三角形的两边长分别为12和5,则此三角形的第三边长为__________ .2.甲、乙两人同时从同一地点出发，已知甲往东走了4km,乙往南走了3km,此时甲、乙两人相距__________ km. 3•如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了______ m路，却踩伤了花草. ！4.如图，有两棵树，一棵高8m,另一棵高2m,两树相距8m,梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞________ m.二、选择题5.如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面3m处折断,树顶端落在离树底部4m处，则树折断之前咼().(A)5m(B)7m(C)8m6.如图，从台阶的下端点B到上端点A的直线距离为（）(A) 12.2(B) 10、3 (C) 6. 5IL L-(D) 8.. 5三、解答题7.在一棵树的10米高B处有两只猴子,处；另一只爬到树顶一只猴子爬下树走到离树D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高多少米20米处的池塘的&在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，一阵风吹来，红莲移到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，求这里的水深是多少米？、填空题9.如图，一电线杆 AB 的高为10米，当太阳光线与地面的夹角为 60°时，其影长 AC 为 ______ 米.10. 如图，有一个圆柱体，它的高为20，底面半径为5.如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的 A 点，沿圆柱表面爬到与A 相对的上底面B 点，则蚂蚁爬的最短路线长约为 ___________ （取3） 二、解答题：11•长为4 m 的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为 60°角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了 ______ m.地毯每平方米30元，那么这块地毯需花多拓展、探究、思考13. 如图，两个村庄 A 、B 在河CD 的同侧，A B 两村到河的距离分别为 AC= 1千米，BD=3千米，CD= 3千米•现要在河边 CD 上建造一水厂，向 A B 两村送自来水•铺设 水管的工程费用为每千米 20000元，请你在CD 上选择水厂位置 O,使铺设水管的费 用最省，并求出铺设水管的总费用 W测试3勾股定理（三）学习要求熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运用方程思想解决问题.课堂学习检测一、填空题1. 在△ ABC 中，若/ A +Z B = 90°, AC= 5, BC= 3,贝U A B= _____ , AB 边上的高 CE= _____ .2. __________________________________________________________ 在△ ABC 中，若 AB= AC= 20, BC= 24,贝U BC 边上的高 AD= ___________________________________ , AC 边上的高 BE= ______综合、运用、诊断12•如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要多少米 ?若楼梯宽2米,少元910 11 12JT90°, AB= 10,则A0= _____________________________________ , AB边上的高CD= _____ .的面积为___________________________________________________ .5. ___________________________________________________________________ 在△ ABC中，若/ ACB= 120 °, AC= BC, AB 边上的高CD= 3，贝U AC= __________________________ , AB= _____ , BC 边上的高AE= _____ .二、选择题6•已知直角三角形的周长为 2 J6，斜边为2,则该三角形的面积是().1 3 1(A) —(B) —(C) —(D)14 4 27.若等腰三角形两边长分别为4和6,则底边上的高等于().(A) .7 (B) 7 或41 (C) 4 2 (D) 4 2 或..7三、解答题&如图，在Rt△ ABC中，/ C= 90°, D E分别为BC和AC的中点, AD= 5, BE= 2 10 求AB 的长.9.在数轴上画出表示10及.13的点.综合、运用、诊断10.如图，△ ABC中，/ A= 90 ° , AC= 20, AB= 10,延长AB 到D,使C叶DB= AO AB求BD的长..11•如图，将矩形ABC船EF折叠，使点D与点B重合，已知AB= 3, AD= 9,求BE的长.13.已知：如图，△ ABC中，/ C= 90°, D为AB的中点，E F分别在AC BC上，且DEL DF.求证：A E+BF2= E F.拓展、探究、思考14. 如图，已知△ ABC 中，/ ABC= 90°, AB= BC三角形的顶点在相互平行的三条直线l i, I2, I3上，且li, I2之间的距离为2, l2, I3之间的距离为3，求AC的长是多少？15. 如图，如果以正方形ABCD勺对角线AC为边作第二个正方形ACEF再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH如此下去，……已知正方形ABCD勺面积S i为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为S, S3,…，$(n为正整数)，那么第8个正方形的面积S B =___________ ，第n个正方形的面积 $= __________ .测试4 勾股定理的逆定理学习要求掌握勾股定理的逆定理及其应用•理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系.课堂学习检测一、填空题1•如果三角形的三边长a、b、c满足a2+ b2= c2,那么这个三角形是 ___________ 三角形，我们把这个定理叫做勾股定理的_______ .2 •在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做_______________ ;如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的3.分别以下列四组数为一个三角形的边长：(1)6、8、10, (2)5、12、13, (3)8、15、17, (4)4、5、6,其中能构成直角三角形的有______________ .(填序号)4.在△ ABC中, a、b、c分别是/ A、/ B/ C的对边,12.如图，在△ ABC 中, D 为BC 边上的一点，已知 AB= 13, AD= 12, AO 15, BD= 5,求CD 勺长.13.已知：如图，四边形ABCD 中, A 吐 BC, AB= 1, BC = 2, CD= 2, AD= 3,求四边形ABC 啲面积.1 _14•已知：如图，在正方形ABCDKF 为DC 的中点，E 为CB 的四等分点且 CE =丄CB ,4求证：AF 丄FE① 若 a 2 + b 2>c 2，则/ c 为 _____________ ② 若a 2 + b 2= c 2，则/ c 为 ____________ ③ 若 a 2 + b 2v c 2，则/ c 为 ____________5•若△ ABC 中, (b — a )( b + a ) = c 2,则/ B = _____________ ; 6. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1,则网格上的△ ABC 是 _______ 三角形.7.若一个三角形的三边长分别为 1、a 、8(其中a 为正整数)，则以a — 2、a 、a + 2为边的三角形的面积为 _______ .角形为 _______ 、选择题 9.下列线段不能组成直角三角形的是 ()(A) a = 6, b = 8, c = 10 (B) a 1,b. 2,c..3(C) a 5,b 1, c 34410.下面各选项给出的是三角形中各边的长度的平方比，其中不是直角三角形的是()(A)1 : 1 : 2 (B)1 :3 : 4 (C)9 :25 : 26 (D)25 :144 : 16911.已知三角形的三边长为n、n + 1、nm 其中甫= 2n + 1)，则此三角形().(A) 一定是等边三角形 (B) 一定是等腰三角形(C) 一定是直角三角形(D)形状无法确定综合、运用、诊断、解答题&△ ABC 的两边a , b 分别为5, 12，另一边c 为奇数，且a +b +c 是3的倍数，则 c 应为，此三(D) a2,b 3, c .. 6a15•在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15海里的速度前进，2小时后，甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗?拓展、探究、思考16. 已知△ ABC中, a2+ b2+ c2= 10a+ 24b+ 26c—338，试判定厶ABC的形状，并说明你的理由.17•已知a、b、c是厶ABC的三边，且a2c2—b2c2= a4—b4,试判断三角形的形状.18.观察下列各式：32+ 42= 5\ 82+ 62= 102, 152+ 82= 172, 242+ 102= 262,…，你有没有发现其中的规律请用含n 的代数式表示此规律并证明,再根据规律写出接下来的式子.参考答案第十八章勾股定理测试1勾股定理(一)1. a2+ b2,勾股定理. 2 . (1)13 ; (2)9 ; (3)2 , ,3 ；(4)1 , , 2 . 3. 2,5 . 4 . 5 .. 2 , 5. 5 . 132cm 6 . A. 7 . B. 8 . C.9. (1) a= 45cm b = 60cm；(2)540 ；(3) a= 30, c = 34；(4)6 ,3 ; (5)12 .10..B. 11 . ,5. 12 . 4. 13.10.3.14.(1) S + S2 = S3; (2) S + 82= S3；(3) S + 82= S3.测试2勾股定理（二）1. 13 或,119. 2 . 5 . 3 . 2 . 4 . 10 .5. C. 6 . A.7 . 15米. 8 . 3米. 29. 叮103.25. 11 . 2.3 2 . 2. 12 . 7 米，420 元13 . 10万元.提示：作A点关于CD的对称点A，连结A B,与CD交点为O.测试3勾股定理(三)1. V34, -5 J34； 2 . 16, 19.2 . 3 . 5彳2 , 5 . 4 . —3 a2.3445 . 6,6 .3 , 33 6 . C.7 . D6 2尿.提示：设BD= DC= m CE= EA= k，贝U k2+ 4nU 40, 4k2+ nU 25. AB=〕4m24k22用.9. ,10 J2 32,.13 ・22 32,图略.10. BD= 5.提示：设BD= x，贝U CD= 30-x.在Rt△ ACD中根据勾股定理列出(30 —x) 2= (x+ 10) 2+ 202,解得x= 5.11. BE= 5.提示：设BE= x，贝U DE= BE= x, AE= AD—DE= 9—x.在Rt△ ABE中，AB+ A E=B W,「. 32+2 2(9 —x) = x .解得x = 5.12. EC= 3cm.提示：设EC= x，则DE= EF= 8 —x, AF= AD= 10, BF= J AF 2AB2 6 ,CF= 4.在Rt△CEF中(8 —x) 2= x2+ 42，解得x= 3.13 .提示：延长FD到M使DM= DF,连结AM EM14.提示：过A, C分别作I 3的垂线，垂足分别为M N则易得△ AMB2A BNC贝U AB , 34, AC 2.17.n —115. 128, 2 .测试4勾股定理的逆定理1.直角，逆定理. 2 .互逆命题，逆命题. 3 . (1)(2)(3).4•①锐角；②直角；③钝角. 5 . 90°. 6 •直角.7. 24 .提示：7v a v 9,「. a= & 8 . 13,直角三角形.提示：7< c< 17.9. D. 10 . C . 11 . C.12 . CD= 9 . 13 . 1 .5.14 .提示：连结AE设正方形的边长为4a,计算得出AF, EF, AE的长，由A^+ EF"= A E得结论.15. 南偏东30°.2 2 216. 直角三角形.提示：原式变为(a—5) + (b—12) + (c—13) = 0.17. 等腰三角形或直角三角形.提示：原式可变形为(a2—b2)( a2+ b2—c2) = 0.18. 35 + 12 = 37 , [( n+ 1) —1] + [2( n+ 1)] = [( n+ 1) + 1] . (n》1 且n 为整数)。
勾股定理复习题答案
勾股定理复习题答案1. 在直角三角形中，直角边长分别为3cm和4cm，求斜边长。
答案：根据勾股定理，斜边长为\(\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)cm。
2. 已知直角三角形的斜边长为10cm，其中一条直角边长为6cm，求另一条直角边长。
答案：设另一条直角边长为x，根据勾股定理，有\(x^2 + 6^2 =10^2\)，解得\(x^2 = 100 - 36 = 64\)，所以\(x = \sqrt{64} =8\)cm。
3. 一个直角三角形的两条直角边长分别为5cm和12cm，求该三角形的周长。
答案：斜边长为\(\sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} =\sqrt{169} = 13\)cm，周长为\(5 + 12 + 13 = 30\)cm。
4. 直角三角形的斜边长为13cm，其中一条直角边长为5cm，求另一条直角边长，并判断该三角形是否为直角三角形。
答案：设另一条直角边长为x，根据勾股定理，有\(x^2 + 5^2 =13^2\)，解得\(x^2 = 169 - 25 = 144\)，所以\(x = \sqrt{144} =12\)cm。
由于满足勾股定理，该三角形为直角三角形。
5. 一个直角三角形的两条直角边长分别为8cm和15cm，求该三角形的面积。
答案：直角三角形的面积为\(\frac{1}{2} \times 8 \times 15 =60\)平方厘米。
6. 已知直角三角形的斜边长为7cm，其中一条直角边长为3cm，求另一条直角边长，并判断该三角形是否为直角三角形。
答案：设另一条直角边长为x，根据勾股定理，有\(x^2 + 3^2 =7^2\)，解得\(x^2 = 49 - 9 = 40\)，所以\(x = \sqrt{40} =2\sqrt{10}\)cm。
由于满足勾股定理，该三角形为直角三角形。
勾股定理练习题及答案
勾股定理练习题及答案1. 直角三角形1.1 已知直角三角形的两个直角边分别为3cm和4cm，求斜边的长度。
解答：根据勾股定理，斜边的长度可以通过以下公式计算：c = √(a^2 + b^2)其中，a和b分别为两个直角边的长度。
代入已知值，可以得到：c = √(3^2 + 4^2) = √(9 + 16) = √25 = 5cm所以，斜边的长度为5cm。
1.2 已知直角三角形的斜边长度为10cm，其中一条直角边的长度为6cm，求另一条直角边的长度。
解答：同样根据勾股定理，可以得到以下公式：c^2 = a^2 + b^2将已知值代入，可以得到：10^2 = 6^2 + b^2100 = 36 + b^2b^2 = 100 - 36b^2 = 64b = √64 = 8cm所以，另一条直角边的长度为8cm。
2. 直角三角形的应用2.1 一根长度为12cm的电话线在地面上拉出了一个直角三角形，其中一条直角边长为9cm，求另一条直角边和斜边的长度。
解答：根据勾股定理，可以得到以下公式：c^2 = a^2 + b^2已知直角边的长度为9cm，将已知值代入公式，可以得到：c^2 = 9^2 + b^2c^2 = 81 + b^2又已知三角形的斜边是长为12cm的电话线，所以可以得到另一个公式：c = 12将这两个公式结合，可以得到以下方程：81 + b^2 = 12^281 + b^2 = 144b^2 = 144 - 81b^2 = 63b = √63 ≈ 7.94cm所以，另一条直角边的长度约为7.94cm，斜边的长度为12cm。
2.2 一根高度为10m的电线杆倒在地面上形成了一个直角三角形，其中一条直角边长为8m，求另一条直角边和斜边的长度。
解答：同样根据勾股定理，可以得到以下公式：c^2 = a^2 + b^2已知直角边的长度为8m，将已知值代入公式，可以得到：c^2 = 8^2 + b^2c^2 = 64 + b^2又已知三角形的斜边是高度为10m的电线杆，所以可以得到另一个公式：c = 10将这两个公式结合，可以得到以下方程：64 + b^2 = 10^264 + b^2 = 100b^2 = 100 - 64b^2 = 36b = √36 = 6m所以，另一条直角边的长度为6m，斜边的长度为10m。
勾股定理练习题(含答案)
勾股定理练习题一、基础达标：1. 下列说法准确的是（ ）A.若 a 、b 、c 是△ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2；B.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2；C.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边， 90=∠A ，则a 2＋b 2＝c 2；D.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边， 90=∠C ，则a 2＋b 2＝c 2． 2. Rt △ABC 的三条边长分别是a 、b 、c ，则下列各式成立的是（ ）A ．c b a =+ B. c b a >+ C. c b a <+ D. 222c b a =+ 3． 如果Rt △的两直角边长分别为k 2－1，2k （k >1），那么它的斜边长是（ ）A 、2kB 、k+1C 、k 2－1D 、k 2+1 4. 已知a ，b ，c 为△ABC 三边，且满足(a 2－b 2)(a 2+b 2－c 2)＝0，则它的形状为（ ）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形 5． 直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（ ）A ．121B ．120C ．90D ．不能确定 6． △ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为（ ） A ．42 B ．32 C ．42 或 32 D ．37 或 33 7.※直角三角形的面积为S ，斜边上的中线长为d ，则这个三角形周长为（ ）（A 2d （B d（C ）2d （D ）d8、在平面直角坐标系中，已知点P 的坐标是(3,4)，则OP 的长为（ ）A ：3B ：4C ：5D ：79．若△ABC 中，AB=25cm ，AC=26cm 高AD=24,则BC 的长为（ ）A ．17 B.3 C.17或3 D.以上都不对10．已知a 、b 、c 是三角形的三边长，如果满足2(6)100a c --=则三角形的形状是（ ）A ：底与边不相等的等腰三角形B ：等边三角形C ：钝角三角形D ：直角三角形 11．斜边的边长为cm 17，一条直角边长为cm 8的直角三角形的面积是 ．12. 等腰三角形的腰长为13，底边长为10，则顶角的平分线为＿＿. 13. 一个直角三角形的三边长的平方和为200，则斜边长为 14．一个三角形三边之比是6:8:10，则按角分类它是 三角形． 15. 一个三角形的三边之比为5∶12∶13，它的周长为60，则它的面积是＿＿＿.16. 在Rt △ABC 中，斜边AB=4，则AB 2＋BC 2＋AC 2=_____．17．若三角形的三个内角的比是3:2:1，最短边长为cm 1，最长边长为cm 2，则这个三角形三个角度数分别是 ，另外一边的平方是 ．18．如图，已知ABC ∆中，︒=∠90C ，15=BA ，12=AC ，以直角边BC 为直径作半圆，则这个半圆的面积是 ．19． 一长方形的一边长为cm 3，面积为212cm ，那么它的一条对角线长是 ．ACB二、综合发展：1．如图，一个高4m 、宽3m 的大门，需要在对角线的顶点间加固一个木条，求木条的长．2、有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC 沿∠CAB 的角平分线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，你能求出CD 的长吗？3.一个三角形三条边的长分别为cm 15，cm 20，cm 25，这个三角形最长边上的高是多少？4．如图，要修建一个育苗棚，棚高h=3m ，棚宽a=4m ，棚的长为12m ，现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？AECDB5．如图，有一只小鸟在一棵高13m 的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m ，高8m 的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2m/s 的速度飞向小树树梢，它最短要飞多远？这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？15．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h.如图，，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30m 处，过了2s 后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m ，这辆小汽车超速了吗？A小汽车小汽车BC观测点答案：一、基础达标1. 解析：利用勾股定理准确书写三角形三边关系的关键是看清谁是直角．答案： D.2. 解析：本题考察三角形的三边关系和勾股定理.答案：B.3． 解析：设另一条直角边为x ，则斜边为（x+1）利用勾股定理可得方程，可以求出x ．然后再求它的周长. 答案：C ．4．解析：解决本题关键是要画出图形来，作图时应注意高AD 是在三角形的内部还是在三角形的外部，有两种情况，分别求解. 答案：C.5． 解析: 勾股定理得到：22215817=-，另一条直角边是15，所求直角三角形面积为21158602cm ⨯⨯=．答案: 260cm ．6． 解析：本题目主要是强调直角三角形中直角对的边是最长边,反过来也是成立．答案:222c b a =+，c ，直角，斜，直角．7． 解析:本题由边长之比是6:8:10 可知满足勾股定理，即是直角三角形．答案：直角． 8． 解析：由三角形的内角和定理知三个角的度数,断定是直角三角形．答案：︒30、︒60、︒90，3． 9． 解析：由勾股定理知道：22222291215=-=-=AC AB BC ，所以以直角边9=BC 为直径的半圆面积为10.125π．答案：10.125π．10． 解析:长方形面积长×宽，即12长×3，长4=，所以一条对角线长为5． 答案：cm 5． 二、综合发展11． 解析：木条长的平方=门高长的平方+门宽长的平方．答案：5m ．12解析：因为222252015=+，所以这三角形是直角三角形，设最长边（斜边）上的高为xcm ，由直角三角形面积关系，可得1115202522x ⨯⨯=⨯⋅，∴12=x ．答案：12cm13．解析：透阳光最大面积是塑料薄膜的面积，需要求出它的另一边的长是多少，可以借助勾股定理求出.答案：在直角三角形中，由勾股定理可得：直角三角形的斜边长为5m,所以矩形塑料薄膜的面积是：5×20=100(m 2) ．14．解析：本题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理求斜边的值是13m ，也就是两树树梢之间的距离是13m ，两再利用时间关系式求解. 答案：6.5s ． 15．解析：本题和14题相似，可以求出BC 的值，再利用速度等于路程除以时间后比较.BC=40米，时间是2s ，可得速度是20m/s=72km/h ＞70km/h ． 答案：这辆小汽车超速了．。
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勾股定理习题及答案
勾股定理习题及答案
勾股定理是数学中的一条重要定理，它描述了直角三角形中三边之间的关系。
在数学教育中，勾股定理常常作为基础知识进行教学，并且在习题中广泛应用。
本文将介绍一些关于勾股定理的习题，并提供详细的解答。
1. 习题一：已知直角三角形的斜边长为5，一条直角边长为3，求另一条直角边的长度。
解答：根据勾股定理，斜边的平方等于两直角边平方和。
设另一条直角边长度
为x，则有5^2 = 3^2 + x^2。
化简得25 = 9 + x^2，进一步得到x^2 = 16。
因此，x的取值可以是正负4。
但由于长度不能为负数，所以另一条直角边的长度为4。
2. 习题二：已知直角三角形的两条直角边分别为6和8，求斜边的长度。
解答：同样利用勾股定理，斜边的平方等于两直角边平方和。
设斜边长度为y，则有y^2 = 6^2 + 8^2。
计算得到y^2 = 36 + 64，进一步得到y^2 = 100。
因此，斜边的长度为10。
3. 习题三：已知直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度。
解答：同样利用勾股定理，斜边的平方等于两直角边平方和。
设斜边长度为z，则有z^2 = 3^2 + 4^2。
计算得到z^2 = 9 + 16，进一步得到z^2 = 25。
因此，斜边的长度为5。
通过以上习题的解答，我们可以看到勾股定理在求解直角三角形问题中的应用。
它帮助我们确定了三角形的边长关系，从而解决了许多实际问题。
除了直角三角形，勾股定理还可以应用于其他几何形状。
例如，我们可以利用
勾股定理计算矩形的对角线长度。
设矩形的长为a，宽为b，对角线的长度为c。
根据勾股定理，c^2 = a^2 + b^2。
这个公式可以帮助我们求解矩形的对角线长度，从而在实际问题中应用矩形的性质。
勾股定理的应用不仅限于几何学，它还可以在其他学科中发挥作用。
例如，物
理学中的力学问题中，常常需要求解物体的速度、加速度等。
通过应用勾股定理，我们可以计算出物体在不同时间点的速度和加速度之间的关系，从而解决
力学问题。
总之，勾股定理是数学中一条重要的定理，它在数学教育中起着重要的作用。
通过习题的练习和解答，我们可以更好地理解和应用勾股定理，从而解决实际
问题。
同时，勾股定理的应用也不仅限于数学领域，它在其他学科中也有广泛
的应用。
希望本文的习题和解答能够帮助读者更好地理解和应用勾股定理。