2020年江苏省苏州市中考数学一模试卷及解析
2020年江苏省苏州市中考一模试卷数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30分）1.下列四个实数中，最大的实数是()A. |−2|B. −1C. 0D. √22.下列四个图案中，不是中心对称图案的是()A. B. C. D.3.下列运算正确的是()A. a3+a2=a5B. a3÷a2=aC. a3⋅a2=a6D. (a3)2=a94.关于x的一元二次方程x2−(m+2)x+m=0根的情况是()A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 无法确定5.在一个不透明的袋子中放有a个球，其中有6个白球，这些球除颜色外完全相同，若每次把球充分搅匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回袋子．通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.25左右，则a的值约为()A. 10B. 15C. 20D. 246.如图，△ABC是一块直角三角板，∠C=90°，∠A=30°，现将三角板叠放在一把直尺上，AC与直尺的两边分别交于点D、E，AB与直尺的两边分别交于点F、G，若∠1=40°，则∠2的度数为()A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°7.若在实数范围内有意义，则x的取值范围是()√x+1A. x>−1B. x<−1C. x≥−1D. x≥−1且x≠08.如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OA，OC.若OA//BC，∠BCO=70°.则∠ABC的度数为()A. 110°B. 120°C. 125°D. 135°9.如图，一艘轮船在A处测得灯塔C在北偏西15°的方向上，该轮船又从A处向正东方向行驶40海里到达B处，测得灯塔C在北偏西60°的方向上，则轮船在B处时与灯塔C之间的距离(即BC的长)为()A. 40√3海里B. (20√3+20)海里C. 80海里D. (20√3+20√2)海里10.小明骑自行车去上学途中，经过先上坡后下坡的一段路，在这段路上所骑行的路程S(米)与时间(分钟)之间的函数关系如图所示．下列结论：①小明上学途中下坡路的长为1800米；②小明上学途中上坡速度为150米/分，下坡速度为200米/分；③如果小明放学后按原路返回，且往返过程中，上、下坡的速度都相同，则小明返回时经过这段路比上学时多用1分钟；④如果小明放学后按原路返回，返回所用时间与上学所用时间相等，且返回时下坡速度是上坡速度的1.5倍，则返回时上坡速度是160米/分，其中正确的有()A. ①④B. ②③C. ②③④D. ②④二、填空题（本大题共8小题，共24分）11.53的倒数是______．12.DNA分子的直径只有0.000 000 2cm，将0.000 000 2用科学记数法表示为______．13.已知一组数据：5，x，3，6，4的众数是4，则该组数据的中位数是______．14.因式分解：2x2−8=______．15.已知点P(a,b)是一次函数y=x−1的图象与反比例函数y=2x的图象的一个交点，则a2+b2的值为______．16.若圆锥的侧面积等于其底面积的3倍，则该圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数为______．17.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点D是边BC上一点(点D不与点B，C重合)，将△ACD沿AD翻折，点C的对应点是E，AE交BC于点F，若DE//AB，则DF的长为______．18.如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠D=90°，AB=BC=3√5，CD=3，AC是对角线，以CD为边向四边形内部作正方形CDEF，连接BF，则BF的长为______．三、计算题（本大题共1小题，共6分）19.先化简，再求值：2x−1x2−2x+1÷(x2x−1−x+1)，其中x=√2+1．四、解答题（本大题共9小题，共70分）20.计算：2019°−3tan30°+|−√3|−(√22)2．21.解不等式组：{5(x+1)>2x−113x−1≥12(x−3)，并把它的解集在数轴上表示出来．22.如图，平行四边形ABCD中，O是对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交DA，BC的延长线于E，F．(1)求证：AE=CF；(2)若AE=BC，试探究线段OC与线段DF之间的关系，并说明理由．23.今年4月22日是第50个世界地球日，某校在八年级5个班中，每班各选拔10名学生参加“环保知识竞赛”并评出了一、二、三等奖各若干名，学校将获奖情况绘成如图所示的不完整的条形统计图和扇形统计图，请你根据图中信息解答下列问题：(1)求本次竞赛获奖的总人数，并补全条形统计图；(2)求扇形统计图中“二等奖”所对应扇形的圆心角度数；(3)已知甲、乙、丙、丁4位同学获得一等奖，学校将采取随机抽签的方式在4人中选派2人参加上级团委组织的“爱护环境、保护地球”知识竞赛，请求出抽到的2人恰好是甲和乙的概率(用画树状图或列表等方法求解)．24.为了丰富校园文化生活，促进学生积极参加体育运动，某校准备成立校排球队，现计划购进一批甲、乙两种型号的排球，已知一个甲种型号排球的价格与一个乙种型号排球的价格之和为140元；如果购买6个甲种型号排球和5个乙种型号排球，一共需花费780元．(1)求每个甲种型号排球和每个乙种型号排球的价格分别是多少元？(2)学校计划购买甲、乙两种型号的排球共26个，其中甲种型号排球的个数多于乙种型号排球，并且学校购买甲、乙两种型号排球的预算资金不超过1900元，求该学校共有几种购买方案？25.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点B，C在x轴的正半轴上，AB=8，(x>0)的图象经过点E，分BC=6.对角线AC，BD相交于点E，反比例函数y=kx别与AB，CD交于点F，G．(1)若OC=8，求k的值；(2)连接EG，若BF−BE=2，求△CEG的面积．26.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC，垂足为点H，连接DE，交AB于点F．(1)求证：DH是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为4，①当AE=FE时，求AD⏜的长(结果保留π)；②当sinB=√6时，求线段AF的长．427.如图①，四边形ABCD是矩形，AB=1，BC=2，点E是线段BC上一动点(不与B，C重合)，点F是线段BA延长线上一动点，连接DE，EF，DF，EF交AD于点G.设BE=x，AF=y，已知y与x之间的函数关系如图②所示．(1)求图②中y与x的函数表达式；(2)求证：DE⊥DF；(3)是否存在x的值，使得△DEG是等腰三角形？如果存在，求出x的值；如果不存在，说明理由．28.如图1，二次函数y=ax2−3ax−4a的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C(0,−3)．(1)求二次函数的表达式及点A、点B的坐标；S△ABC，求点D的横坐标；(2)若点D在二次函数图象上，且S△DBC=45(3)将直线BC向下平移，与二次函数图象交于M，N两点(M在N左侧)，如图2，过M作ME//y轴，与直线BC交于点E，过N作NF//y轴，与直线BC交于点F，当MN+ME的值最大时，求点M的坐标．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵|−2|>√2>0>−1，∴所给的四个实数中，最大的实数是|−2|．故选：A．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数>0>负实数，两个负实数绝对值大的反而小．2.【答案】C【解析】解：A、B、D是中心对称图形，C不是中心对称图形，故选：C．根据中心对称图形的概念求解．本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方、合并同类项，熟记法则并根据法则计算是解题关键．根据同底数幂的乘法，底数不变指数相加；同底数幂的除法底数不变指数相减；幂的乘方底数不变指数相乘，可得答案．【解答】解：A.a3与a2不是同类项，不能合并，故A不符合题意；B.同底数幂的除法底数不变指数相减，故B符合题意；C.同底数幂的乘法底数不变指数相加，故C不符合题意；D.幂的乘方底数不变指数相乘，故D不符合题意．故选B．4.【答案】A【解析】【分析】此题考查了根的判别式，弄清根的判别式与方程根的关系是解本题的关键．先计算根的判别式，再判断判别式的正负即可确定出方程根的情况．【解答】解：由关于x的一元二次方程x2−(m+2)x+m=0，得到a=1，b=−(m+2)，c=m，△=(m+2)2−4m=m2+4m+4−4m=m2+4>0，则方程有两个不相等的实数根，故选：A．5.【答案】D【解析】【分析】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据白球的频率得到相应的等量关系．在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从摸到白球的频率稳定在0.25左右得到比例关系，列出方程求解即可．【解答】=0.25，解：根据题意得6a解得：a=24，经检验：a=24是分式方程的解，故选：D．6.【答案】D【解析】解：∵DF//EG，∴∠1=∠DFG=40°，又∵∠A=30°，∴∠2=∠A+∠DFG=30°+40°=70°，故选：D．依据平行线的性质，即可得到∠1=∠DFG=40°，再根据三角形外角性质，即可得到∠2的度数．本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等．7.【答案】A在实数范围内有意义，【解析】解：若√x+1则x+1>0，解得：x>−1．故选A．直接利用二次根式有意义的条件分析即可．此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式有意义的条件是解题关键．8.【答案】C【解析】【分析】根据平行线的性质求出∠AOC，根据圆周角定理求出∠D，根据圆内接四边形的性质计算即可．本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．【解答】解：∵OA//BC，∴∠AOC=180°−∠BCO=110°，∠AOC=55°，由圆周角定理得，∠D=12∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠ABC =180°−∠D =125°，故选：C ．9.【答案】B【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用−方位角问题，正确的作出辅助线是解题的关键．过A 作AD ⊥BC 于D ，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：过A 作AD ⊥BC 于D ，在Rt △ABD 中，∠ABD =30°，AB =40，∴AD =12AB =20，BD =√32AB =20√3， 在Rt △ACD 中，∵∠C =45°，∴CD =AD =20，∴BC =BD +CD =(20√3+20)海里，故选：B ．10.【答案】C【解析】解：①小明上学途中下坡路的长为1800−600=1200(米)．②小明上学途中上坡速度为：600÷4=150(米/分)，下坡速度为：1200÷6=200(米/分)．③如果小明放学后按原路返回，且往返过程中，上、下坡的速度都相同，小明返回时经过这段路所用时间为：600÷200+1200÷150=11(分钟)，所以小明返回时经过这段路比上学时多用1分钟；④设上坡速度为x(米/分)，根据题意得，1200x +6001.5x =10，解得x =120，经检验，x =160是原方程的解．所以返回时上坡速度是160米/分．综上所述，正确的有②③④．故选：C ．①根据题意和函数图象可以得到下坡路的长度；②利用路程除以时间求得上坡速度和下坡的速度；③根据“路程除以速度=时间”求解即可；④设上坡速度为x(米/分)，根据题意列方程即可求解．本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决． 11.【答案】35【解析】解：53的倒数是35．根据倒数的定义可知．主要考查倒数的定义，要求熟练掌握．需要注意的是倒数的性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数，0没有倒数．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数． 12.【答案】2×10−7【解析】解：0.0000002=2×10−7．故答案为：2×10−7．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a ×10−n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a ×10−n ，其中1≤|a|<10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．13.【答案】4【解析】【分析】本题考查了众数和中位数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．先根据众数定义求出x ，再把这组数据从小到大排列，找出正中间的那个数就是中位数．【解答】解：∵数据5，x ，3，6，4的众数是4，∴x =4，则数据重新排列为3，4，4，5，6，所以中位数是4，故答案为：4．14.【答案】2(x +2)(x −2)【解析】【分析】观察原式，找到公因式2，提出后再对括号内运用平方差公式分解即可得出答案． 本题考查提公因式法和公式法分解因式，是基础题．【解答】解：2x 2−8=2(x 2−4)=2(x +2)(x −2)．15.【答案】5【解析】解：根据题意得：{y =x −1y =2x， 解得：{x =−1y =−2或{x =2y =1， 即{a =−1b =−2或{a =2b =1， 则a 2+b 2=(−1)2+(−2)2=5或a 2+b 2=22+12=5，即a 2+b 2的值为5，故答案为：5．一次函数y =x −1与反比例函数y =2x 联立，求出a 和b 的值，代入a 2+b 2，计算求值即可．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，正确掌握实数的运算法则是解题的关键．16.【答案】120°【解析】【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．设该圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数为n°，圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，利用扇形面积公式得到12⋅2πr⋅l=3⋅πr2，所以l=3r，然后利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得2πr=n⋅π⋅3r180，再解关于n的方程即可．【解答】解：设该圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数为n°，圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，所以12⋅2πr⋅l=3⋅πr2，则l=3r，因为2πr=n⋅π⋅3r180，所以n=120°．故答案为120°．17.【答案】158【解析】解：AB=AC=5，∴∠B=∠C，∵DE//AB，∴∠BAF=∠E，∠B=∠EDF，由折叠的性质得：∠E=∠C，AE=AC=5，ED=CD，∴∠B=∠BAF=∠E=∠EDF，∴AF=BF，EF=DF，∴BD=AF=AC=5，∴ED=CD=BC−BD=3，∵DE//AB，∴△EDF∽△ABF，∴DFBF =EDAB，即DF5−DF=35，解得：DF=158；故答案为：158．由等腰三角形的性质和平行线的性质得出∠B=∠C，∠BAF=∠E，∠B=∠EDF，由折叠的性质得：∠E=∠C，AE=AC=5，ED=CD，得出∠B=∠BAF=∠E=∠EDF，证出AF=BF，EF=DF，得出BD=AF=AC=5ED=CD=BC−BD=3，由平行线得出△EDF∽△ABF，得出比例式，即可得出结果．本题考查了翻折变换的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握翻折变换和等腰三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键．18.【答案】3√2【解析】【分析】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质和勾股定理，证明三角形相似是解题的关键．连接CE，由等腰直角三角形的性质得出AC=√2BC=3√10，∠ACB=45°，由勾股定理得出AD=√AC2−CD2=9，由正方形的性质得出DE=CD=3，∠DCF=90°，∠ECF=45°，CE=√2CF，求出AE=AD−DE=6，证明△BCF∽△ACE，得出BFAE =BCAC=1√2，即可得出结果．【解答】解：连接CE，如图所示：∵∠ABC=90°，AB=BC=3√5，∴AC=√2BC=3√10，∠ACB=45°，∵∠D=90°，CD=3，∴AD=√AC2−CD2=√(3√10)2−32=9，∵四边形CDEF是正方形，∴DE=CD=3，∠DCF=90°，∠ECF=45°，CE=√2CF，∴AE=AD−DE=6，∴∠ACB=∠ECF=45°，∴∠BCF=∠ACE，∵ACBC =CECF=√2，∴△BCF∽△ACE，∴BFAE =BCAC=√2，∴BF=√2=√2=3√2；故答案为：3√2．19.【答案】解：2x−1x2−2x+1÷(x2x−1−x+1)=2x−1(x−1)2÷x2−(x−1)(x−1)x−1=2x−1(x−1)2⋅x−1x2−x2+2x−1=2x−1x−1⋅12x−1=1x−1，当x =√2+1时，原式=2+1−1=2=√22．【解析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x 的值代入化简后的式子即可解答本题．本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．20.【答案】解：原式=1−3×√33+√3−12=1−√3+√3−12=12．【解析】直接利用特殊角的三角函数值和绝对值的性质和零指数幂的性质分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．21.【答案】解：{5(x +1)>2x −1①13x −1≥12(x −3)②， 解①得：x >−2，解②得：x ≤3，故不等式组的解集是：−2<x ≤3， 表示在数轴上如下：【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，然后把不等式的解集表示在数轴上即可． 本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 22.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD//BC ，AD =BC ， ∴∠ADB =∠CBD ，∵O 是对角线BD 的中点， ∴OB =OD ，在△BOF 和△DOE 中，{∠CBD =∠ADBOB =OD∠BOF =∠DOE ，∴△BOF≌△DOE(ASA)， ∴DE =BF ，∴DE =AD =BF −BC ， ∴AE =CF ；(2)解：OC//DF ，且OC =12DF ，理由如下： ∵AE =BC ，AE =CF ， ∴CF =BC ， ∵OB =OD ，∴OC 是△BDF 的中位线，∴OC//DF ，且OC =12DF ．【解析】(1)由平行四边形的性质得出AD//BC ，AD =BC ，得出∠ADB =∠CBD ，证明△BOF≌△DOE ，得出DE =BF ，即可得出结论；(2)证出CF =BC ，得出OC 是△BDF 的中位线，由三角形中位线定理即可得出结论． 本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 23.【答案】解：(1)本次竞赛获奖的总人数为4÷20%=20(人)， 补全图形如下：(2)扇形统计图中“二等奖”所对应扇形的圆心角度数360°×620=108°； (3)画树形图得：则P(抽取的两人恰好是甲和乙)=16．【解析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．(1)由一等奖人数及其所占百分比可得总人数，再求出二等奖人数即可补全图形； (2)用360°乘以对应的百分比即可得； (3)利用列举法即可求解．24.【答案】解：(1)设每个甲种型号排球的价格是x 元，每个乙种型号排球的价格是y 元，依题意，得：{x +y =1406x +5y =780，解得：{x =80y =60．答：每个甲种型号排球的价格是80元，每个乙种型号排球的价格是60元． (2)设购买甲种型号排球m 个，则购买乙种型号排球(26−m)个， 依题意，得：{m >26−m80m +60(26−m)≤1900，解得：13<m ≤17． 又∵m 为整数，∴m 的值为14，15，16，17．答：该学校共有4种购买方案．【解析】(1)设每个甲种型号排球的价格是x元，每个乙种型号排球的价格是y元，根据“一个甲种型号排球的价格与一个乙种型号排球的价格之和为140元；购买6个甲种型号排球和5个乙种型号排球，一共需花费780元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；(2)设购买甲种型号排球m个，则购买乙种型号排球(26−m)个，根据甲种型号排球的个数多于乙种型号排球且学校购买甲、乙两种型号排球的预算资金不超过1900元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数，即可得出购买方案的个数．本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．25.【答案】解：(1)∵在矩形ABCD的顶点B，AB=8，BC=6，而OC=8，∴B(2,0)，A(2,8)，C(8,0)，∵对角线AC，BD相交于点E，∴点E为AC的中点，∴E(5,4)，把E(5,4)代入y=kx得k=5×4=20；(2)∵AC=√62+82=10，∴BE=EC=5，∵BF−BE=2，∴BF=7，设OB=t，则F(t,7)，E(t+3,4)，∵反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点E、F，∴7t=4(t+3)，解得t=4，∴k=7t=28，∴反比例函数解析式为y=28x，当x=10时，y=2810=145，∴G(10,145)，∴△CEG的面积=12×3×145=215．【解析】(1)先利用矩形的性质和线段中点坐标公式得到E(5,4)，然后把E点坐标代入y=kx可求得k的值；(2)利用勾股定理计算出AC=10，则BE=EC=5，所以BF=7，设OB=t，则F(t,7)，E(t+3,4)，利用反比例函数图象上点的坐标得到7t=4(t+3)，解得t=4，从而得到反比例函数解析式为y=28x，然后确定G点坐标，最后利用三角形面积公式计算△CEG 的面积．本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y=kx(k≠0)图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|.也考查了反比例函数的性质．26.【答案】证明：(1)连接OD，如图1，∵OB=OD，∴△ODB是等腰三角形，∠OBD=∠ODB①，在△ABC中，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB②，由①②得：∠ODB=∠OBD=∠ACB，∴OD//AC，∵DH⊥AC，∴DH⊥OD，∴DH是圆O的切线；(2)①∵AE=EF，∴∠EAF=∠EFA，设∠B=∠C=α，∴∠EAF=∠EFA=2α，∵∠E=∠B=α，∴α+2α+2α=180°，∴α=36°，∴∠B=36°，∴∠AOD=72°，∴AD⏜的长=72⋅π×4180=8π5；②连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=∠ADC=90°，∵⊙O的半径为4，∴AB=AC=8，∵sinB=√64，∴AD8=√64，∴AD=2√6，∵AD⊥BC，DH⊥AC，∴△ADH∽△ACD，∴AHAD =ADAC，∴AH2√6=2√68，∴AH=3，∴CH=5，∵∠B=∠C，∠E=∠B，∴∠E=∠C，∴DE=DC，∵DH⊥AC，∴EH=CH=5，∵OD//AC ，∴∠EAF =∠FOD ，∠E =∠FDO ， ∴△AEF∽△ODF ， ∴AFOF =AEOD ， ∴AF4−AF =24， ∴AF =43．【解析】本题考查了等腰三角形的性质和判定、切线的性质和判定、三角形相似的性质和判定、圆周角定理，弧长的计算，锐角三角函数函数的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．(1)根据同圆的半径相等和等边对等角证明：∠ODB =∠OBD =∠ACB ，则DH ⊥OD ，DH 是圆O 的切线；(2)①根据等腰三角形的性质的∠EAF =∠EFA ，设∠B =∠C =α，得到∠EAF =∠EFA =2α，根据三角形的内角和得到∠B =36°，求得∠AOD =72°，根据弧长公式即可得到结论；②连接AD ，根据圆周角定理得到∠ADB =∠ADC =90°，解直角三角形得到AD =2√6，根据相似三角形的性质得到AH =3，于是得到结论．27.【答案】解：(1)设y =kx +b ，由图象得：当x =1时，y =2，当x =0时，y =4， 代入得：{k +b =2b =4，{k =−2b =4，∴y =−2x +4(0<x <2)；(2)方法一：∵BE =x ，BC =2 ∴CE =2−x ， ∴CE AF =2−x 4−2x =12，CD AD =12， ∴CE AF=CD AD，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠C =∠DAF =90°， ∴△CDE∽△ADF ， ∴∠ADF =∠CDE ，∴∠ADF +∠EDG =∠CDE +∠EDG =90°， ∴DE ⊥DF ；方法二：∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠C =∠DAF =∠B =90°， ∴根据勾股定理得：在Rt △CDE 中，DE 2=CD 2+CE 2=1+(2−x)2=x 2−4x +5，在Rt △ADF 中，DF 2=AD 2+AF 2=4+(4−2x)2=4x 2−16x +20， 在Rt △BEF 中，EF 2=BE 2+BF 2=x 2+(5−2x)2=5x 2−20x +25， ∴DE 2+DF 2=EF 2，∴△DEF 是直角三角形，且∠EDF =90°，(3)假设存在x的值，使得△DEG是等腰三角形，①若DE=DG，则∠DGE=∠DEG，∵四边形ABCD是矩形，∴AD//BC，∠B=90°，∴∠DGE=∠GEB，∴∠DEG=∠BEG，在△DEF和△BEF中，{∠FDE=∠B∠DEF=∠BEF EF=EF，∴△DEF≌△BEF(AAS)，∴DE=BE=x，CE=2−x，∴在Rt△CDE中，由勾股定理得：1+(2−x)2=x2，x=54；②若DE=EG，如图①，作EH//CD，交AD于H，∵AD//BC，EH//CD，∴四边形CDHE是平行四边形，∴∠C=90°，∴四边形CDHE是矩形，∴EH=CD=1，DH=CE=2−x，EH⊥DG，∴HG=DH=2−x，∴AG=2x−2，∵EH//CD，DC//AB，∴EH//AF，∴△EHG∽△FAG，∴EHAF =HGAG，∴14−2x =2−x2x−2，x1=5−√52，x2=5+√52(舍)，③若DG=EG，则∠GDE=∠GED，方法一：∵AD//BC，∴∠GDE=∠DEC，∴∠GED=∠DEC，∵∠C=∠EDF=90°，∴△CDE∽△DFE，∴CECD =DEDF，∵△CDE∽△ADF，∴DE DF =CD AD =12， ∴CECD =12， ∴2−x =12，x =32，方法二：∵∠EDF =90°，∴∠FDG +∠GDE =∠DFG +∠DEG =90°， ∴∠FDG =∠DFG ， ∴FG =DG ， ∴FG =EG ， ∵AD//BC ，∴∠FGA =∠FEB ，∠FAG =∠B ， ∴△FAG∽△FBE ， ∴FA FB=FG FE=12， ∴4−2x5−2x =12，x =32， 综上，x =54或5−√52或32．【解析】本题是四边形的综合题，主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，三角形相似和全等的性质和判定，矩形和平行四边形的性质和判定，勾股定理和逆定理等知识，运用相似三角形的性质是解决本题的关键． (1)利用待定系数法可得y 与x 的函数表达式；(2)方法一：证明△CDE∽△ADF ，得∠ADF =∠CDE ，可得结论；方法二：分别表示△DEF 三边的长，计算三边的平方，根据勾股定理的逆定理得：△DEF 是直角三角形，从而得：DE ⊥DF ； (3)分三种情况：①若DE =DG ，则∠DGE =∠DEG ，②若DE =EG ，如图①，作EH//CD ，交AD 于H ， ③若DG =EG ，则∠GDE =∠GED ， 分别列方程计算可得结论． 28.【答案】解：(1)y =ax 2−3ax −4a 与y 轴交于点C(0,−3)， ∴a =34，∴y =34x 2−94x −3，与x 轴交点A(−1,0)，B(4,0)； (2)设直线BC 的解析式为y =kx +b ， ∴{4k +b =0b =−3，∴{k =−34b =−3， ∴y =34x −3；过点D作DH//y轴，与直线BC交于点H，设H(x,34x−3)，D(x,34x2−94x−3)，∴DH=|34x2−3x|，∵S△ABC=12×5×3=153，∴S△DBC=45×152=6，∴S△DBC=2×|34x2−3x|=6，∴x=2+2√2，x=2−2√2，x=2；∴D点的横坐标为2+2√2，2−2√2，2；(3)过点M作MG//x轴，交FN的延长线于点G，设M(m,34m2−94m−3)，N(n,34n2−94n−3)，则E(m,34m−3)，F(n,34n−3)，∴ME=−34m2+3m，NF=−34n2+3n，∵EF//MN，ME//NF，∴四边形MNFE是平行四边形，∴ME=NF，∴−34m2+3m=−34n2+3n，∴m+n=4，∴MG=n−m=4−2m，∴∠NMG=∠OBC，∴cos∠NMG=cos∠OBC=MGMN =OBBC，∵B(4,0)，C(0,−3)，∴OB=4，OC=3，在Rt△BOC中，BC=5，∴MN=54(n−m)=54(4−2m)=5−52m，∴ME+MN=−34m2+3m+5−52m=−34(m−13)2+6112，∵−34<0，∴当m=13时，ME+MN有最大值，∴M(1,−11)【解析】(1)求出a，即可求解；(2)求出直线BC的解析式，过点D作DH//y轴，与直线BC交于点H，根据三角形面积的关系求解；(3)过点M作MG//x轴，交FN的延长线于点G，设M(m,34m2−94m−3)，N(n,34n2−94n−3)，判断四边形MNFE是平行四边形，根据ME=NF，求出m+n=4，再确定ME+MN=−34m2+3m+5−52m=−34(m−13)2+6112，即可求M；本题考查二次函数图象及性质，一次函数图象及性质；熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法，结合三角形的性质解题；。
江苏省苏州市姑苏区五校(立达、景范、胥江、振华、十六中学)2020年数学中考一模试卷及参考答案
江苏省苏州市姑苏区五校（立达、景范、胥江、振华、十六中学)2020年数学中考一模试卷一、选择题1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A .B .C .D .2. 下列运算正确的是（）A .B .C .D .3. 某篮球运动员在连续7场比赛中的得分（单位：分）依次为20，18，23，17，20，20，18，则这组数据的众数与中位数分别是（）A . 18分，17分B . 20分，17分C . 20分，19分D . 20分，20分4. 如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A . 3：4B . 9：16C . 9：1D . 3：15. 将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上，飞镖落在白色区域的概率为( )A .B .C .D . 无法确定6. 小明在学了尺规作图后，通过“三弧法”作了一个△ACD，其作法步骤是：①作线段AB，分别以A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧的交点为C；②以B为圆心，AB长为半径画弧交AB的延长线于点D；③连结AC，BC，CD．下列说法不正确的是（）A . ∠A＝60°B . △ACD是直角三角形C . BC＝ CD D . 点B是△ACD的外心7. 如图在一笔直的海岸线l上有相距3km的A，B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60°的方向上，从B站测得船C在北偏东30°的方向上，则船C到海岸线l的距离是（）kmA .B .C .D .8.如图，点A ，B ，C ，D ，E 在⊙O 上， 的度数为60°，则∠B+∠D 的度数是（ ）A . 180°B . 120°C . 100°D . 150°9. 对于抛物线y ＝ax ＋(2a －1)x ＋a －3，当x ＝1时，y ＞0，则这条抛物线的顶点一定在（ ）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限10. 如图1，点F 从菱形ABCD 的顶点A出发，沿A→D→B 以1cm/s 的速度匀速运动到点B ，图2是点F 运动时，△FBC 的面积y （cm ）随时间x （s ）变化的关系图象，则a 的值为（ ）A .B . 2C .D . 2二、填空题11. 若代数式 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是________。
江苏省苏州市工业园区2020年中考数学一模试卷(含解析)
江苏省苏州市工业园区2020年中考数学一模试卷一、选择题1．（3分）在|﹣2|，，π，这四个数中最大的数是（）A．|﹣2| B．C．πD．2．（3分）快快乐乐看春晚，平平安安过大年．2020年1月24日8点，中央广播电视总台《2020年春节联欢晩会》如约而至．据不完全统计，截至1月24日24时，春晚新媒体平台直播累积到达人次为11.16亿次，11.16亿用科学记数法表示为（）A．11.16×108B．11.16×104C．1.116×109D．1.116×108 3．（3分）下列汽车图标中既是轴对称又是中心对称的是（）A．B．C．D．4．（3分）下列运算错误的是（）A．x+2x＝3x B．（x3）2＝x6C．x2•x3＝x5D．x8÷x4＝x25．（3分）在一次引体向上的测试中，小强等5位同学引体向上的次数分别为：6，8，9，8，9，那么关于这组数据的说法正确的是（）A．平均数是8.5 B．中位数是8.5C．众数是8.5 D．众数是8和96．（3分）若关于x的方程kx2﹣2x+＝0有实数根，则实数k的取值范围是（）A．k＜4 B．k＜4且k≠0 C．k≤4 D．k≤4且k≠0 7．（3分）如图，直线a与直线b交于点A，与直线c交于点B，∠1＝120°，∠2＝45°，若使直线b与直线c平行，则可将直线b绕点A逆时针旋转（）A．15°B．30°C．45°D．60°8．（3分）关于x的方程+＝0有增根，则m的值是（）A．3 B．2 C．1 D．﹣19．（3分）根据如图中箭头的指向规律，从2018到2019再到2020，箭头的方向是以下图示中的（）A．B．C．D．10．（3分）如图1，正方形ABCD在直角坐标系中，其中AB边在y轴上，其余各边均与坐标轴平行，直线l：y＝x﹣5沿y轴的正方向以每秒1个单位的速度平移，在平移的过程中，该直线被正方形ABCD的边所截得的线段长为m，平移的时间为t（秒），m与t的函数图象如图2所示，则图2中b的值为（）A．3B．5C．6D．10二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.把答案直接填在答题卡相应位置上. 11．计算：a3÷a＝．12．分解因式：2m2﹣8＝．13．若a是方程3x2﹣x﹣2＝0的一个根，则5+2a﹣6a2的值等于．14．某工程队有10名员工，他们的工种及相应每人每月工资如表：工种人数每人每月工资/元电工 2 6000木工 3 5000瓦工 5 4000现该工程队对工资进行了调整：每人每月工资增加300元．与调整前相比，该工程队员工每月工资的方差．（填“变小”、“不变”或“变大”）15．如图，为测量湖面上小船A到公路BC的距离，先在点B处测得小船A在其北偏东60°方向，再沿BC方向前进400m到达点C，测得小船A在其北偏西30°方向，则小船A到公路BC的距离为m．16．如图，把矩形纸片ABCD分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形BAF 和半径最大的圆，若恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则＝．17．如图，直角三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4m，点D，E分别在边AC，AB上，点F是边BC的中点．现将该纸片沿DE折叠，使点A与点F重合，则AE＝cm．18．如图，点D为等边三角形ABC内一点，且∠BDC＝120°，则的最小值为．三、解答题：本大题共10小题，共76分.把解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明.作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔.19．计算：+tan45°．20．解不等式组：．21．已知：如图，AC＝BD，AD＝BC，AD，BC相交于点O，过点O作OE⊥AB，垂足为E．求证：AE＝BE．22．一只不透明的袋子中，装有2个白球，1个红球，1个黄球，这些球除颜色外都相同．求下列事件的概率：（1）搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是白球；（2）搅匀后从中任意摸出2个球，2个都是白球．23．学校随机抽取部分学生就“你是否喜欢网课”进行问卷调查，并将调查结果进行统计后，绘制成如下统计表和扇形统计图．调查结果统计表态度非常喜欢喜欢一般不知道频数90 b30 10频率a0.35 0.20（1）在统计表中，a＝，b＝；（2）求出扇形统计图中“喜欢”网课所对应扇形的圆心角度数；（3）已知该校共有2000名学生，试估计该校“非常喜欢”网课的学生有多少人？24．某学校为了防控新型冠状病毒，购买了甲、乙两种消毒液进行校园环境消毒．已知学校第一次购买了甲种消毒液40瓶和乙种消毒液60瓶，共花费3600元；第二次购买了甲种消毒液60瓶和乙种消毒液40瓶，共花费3400元．（1）每瓶甲种消毒液和每瓶乙种消毒液的价格分别是多少元？（2）学校准备第三次购买这两种消毒液，其中甲种消毒液比乙种消毒液多10瓶，并且总花费不超过3500元，最多能购买多少瓶甲种消毒液？25．如图，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣1与y轴相交于点A，其对称轴与抛物线相交于点B，与x轴相交于点C．（1）求AB的长；（2）平移该抛物线得到一条新抛物线，设新抛物线的顶点为P．若新抛物线经过原点O，且∠POA＝∠ABC，求新抛物线对应的函数表达式．26．如图，四边形ABCD内接于⊙O，且AB＝AC．延长CD至点E，使CE＝BD，连接AE．（1）求证：AD平分∠BDE；（2）若AB∥CD，求证：AE是⊙O的切线．27．【探索规律】如图①，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，且DF∥BC，EF∥AB．设△ADF 的边DF上的高为h1，△EFC的边CE上的高为h2．（1）若△ADF、△EFC的面积分别为3，1，则＝；（2）设△ADF、△EFC、四边形BDFE的面积分别为S1，S2，S，求证：S＝2；【解决问题】（3）如图②，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，点F，G在BC上，且DE∥BC，DF ∥BG．若△ADE、△DBF、△EGC的面积分别为3，7，5，求△ABC的面积．28．如图①，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8．点D，E分别是边AC，BC上的动点，连接DE．设CD＝x（x＞0），BE＝y，y与x之间的函数关系如图②所示．（1）求出图②中线段PQ所在直线的函数表达式；（2）将△DCE沿DE翻折，得△DME．①点M是否可以落在△ABC的某条角平分线上？如果可以，求出相应x的值；如果不可以，说明理由；②直接写出△DME与△ABC重叠部分面积的最大值及相应x的值．参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相应位置上．1．【解答】解：∵|﹣2|＝2，＝3，π＞3＞2＞，∴在|﹣2|，，π，这四个数中最大的数是π．故选：C．2．【解答】解：11.16亿＝1116000000＝1.116×109．故选：C．3．【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形；B、不是轴对称图形，不是中心对称图形；C、是轴对称图形，不是中心对称图形；D、是轴对称图形，是中心对称图形．故选：D．4．【解答】解：A、x+2x＝3x，正确，不符合题意；B、（x3）2＝x6，正确，不符合题意；C、x2•x3＝x5，正确，不符合题意；D、x8÷x4＝x4，原式错误，符合题意；故选：D．5．【解答】解：A、平均数＝＝8，此选项错误；B、6，8，8，9，9中位数是8，此选项错误；C、6，8，9，8，9众数是8和9，此选项错误；D、正确；故选：D．6．【解答】解：当k≠0时，△＝4﹣4k×＝4﹣k≥0，∴k≤4，当k＝0时，也符合题意，∴k≤4，故选：C．7．【解答】解：∵∠1＝120°，∴∠3＝60°，∵∠2＝45°，∴当∠3＝∠2＝45°时，b∥c，∴直线b绕点A逆时针旋转60°﹣45°＝15°．故选：A．8．【解答】解：方程两边都乘（x﹣1），得m﹣1﹣x＝0，∵方程有增根，∴最简公分母x﹣1＝0，即增根是x＝1，把x＝1代入整式方程，得m＝2．故选：B．9．【解答】解：观察图形的变化发现：每4个数为一个循环组，2016÷4＝504所以从0开始到2015共2016个数构成504个循环，2016是第505个循环的第1个数，2017是第505个循环的第2个数，2018是第505个循环的第3个数，2019是第505个循环的第4个数，2020是第506个循环的第1个数，所以从2018到2019再到2020，箭头的方向是以下图示中的C．故选：C．10．【解答】解：如图1，直线y＝x﹣5中，令y＝0，得x＝5；令x＝0，得y＝﹣5，即直线y＝x﹣5与坐标轴围成的△OEF为等腰直角三角形，∴直线l与直线BD平行，即直线l沿x轴的负方向平移时，同时经过B，D两点，由图2可得，t＝3时，直线l经过点A，∴AO＝5﹣3×1＝2，∴A（0，﹣2），由图2可得，t＝15时，直线l经过点C，∴当t＝，直线l经过B，D两点，∴AD＝（9﹣3）×1＝6，∴等腰Rt△ABD中，BD＝，即当a＝9时，b＝．故选：C．二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.把答案直接填在答题卡相应位置上. 11．计算：a3÷a＝a2．【分析】根据同底数幂相除，底数不变指数相减进行计算即可求解．解：a3÷a＝a3﹣1＝a2．故答案为：a2．12．分解因式：2m2﹣8＝2（m+2）（m﹣2）．【分析】先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解因式．解：2m2﹣8，＝2（m2﹣4），＝2（m+2）（m﹣2）．故答案为：2（m+2）（m﹣2）．13．若a是方程3x2﹣x﹣2＝0的一个根，则5+2a﹣6a2的值等于 1 ．【分析】直接利用将a代入得出3a2﹣a＝2，再将原式变形得出答案．解：∵a是方程3x2﹣x﹣2＝0的一个根，∴3a2﹣a﹣2＝0，故3a2﹣a＝2，则5+2a﹣6a2＝5﹣2（3a2﹣a）＝5﹣2×2＝1．故答案为：1．14．某工程队有10名员工，他们的工种及相应每人每月工资如表：工种人数每人每月工资/元电工 2 6000木工 3 5000瓦工 5 4000现该工程队对工资进行了调整：每人每月工资增加300元．与调整前相比，该工程队员工每月工资的方差不变．（填“变小”、“不变”或“变大”）【分析】根据当数据都加上一个数（或减去一个数）时，方差不变，即可得出答案．解：∵每人每月工资增加300元，∴平均每人工资都增加300元，∴该工程队员工每月工资的方差不变．故答案为：不变．15．如图，为测量湖面上小船A到公路BC的距离，先在点B处测得小船A在其北偏东60°方向，再沿BC方向前进400m到达点C，测得小船A在其北偏西30°方向，则小船A到公路BC的距离为100m．【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为点D．证∠BAC＝90°，由直角三角形的性质得AC＝BC ＝200m，求出∠DAC＝30°，得CD＝AC＝100m，AD＝CD＝100m即可，解：过点A作AD⊥BC，垂足为点D．如图，则∠ADC＝90°，依题意得：∠ABC＝90°﹣60°＝30°，∠ACB＝90°﹣60°＝30°，BC＝400m，∴∠BAC＝90°，∴AC＝BC＝200m，∵∠DAC＝90°﹣60°＝30°，∴CD＝AC＝100m，AD＝CD＝100m，即小船A到公路BC的距离为100m；故答案为：100．16．如图，把矩形纸片ABCD分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形BAF 和半径最大的圆，若恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则＝．【分析】根据弧求出长公式扇形BAF的弧长，根据题意列式计算求出AB＝2FC，得到答案．解：扇形BAF的弧长＝＝AB，圆的周长＝π×FC，∵恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，∴AB＝π×FC，∴AB＝2FC，∴＝，故答案为：．17．如图，直角三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4m，点D，E分别在边AC，AB上，点F是边BC的中点．现将该纸片沿DE折叠，使点A与点F重合，则AE＝cm．【分析】过F作FH⊥AB于H，根据相似三角形的性质得到FH＝，BH＝，求得EH＝5﹣﹣AE＝﹣AE，根据折叠的性质得到EF＝AE，根据勾股定理即可得到结论．解：∵∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4m，∴AB＝＝5（cm），过F作FH⊥AB于H，∴∠BHF＝∠C＝90°，∵∠B＝∠B，∴△BFH∽△BAC，∴＝＝，∵点F是边BC的中点，∴BF＝BC＝2，∴＝＝，∴FH＝，BH＝，∴EH＝5﹣﹣AE＝﹣AE，∵现将该纸片沿DE折叠，使点A与点F重合，∴EF＝AE，∵EF2＝HF2+EH2，∴AE2＝（）2+（﹣AE）2，解得：AE＝（cm），故答案为：．18．如图，点D为等边三角形ABC内一点，且∠BDC＝120°，则的最小值为．【分析】如图，将△BCD绕点C顺时针旋转60°得到△ACE，连接DE，过点A作AH⊥DE 于H．想办法证明∠AEB＝60°，推出＝，再根据＝≤求解即可．解：如图，将△BCD绕点C顺时针旋转60°得到△ACE，连接DE，过点A作AH⊥DE于H．∵CE＝CE，∠DCE＝60°，∴△DCE是等边三角形，∴∠EDC＝∠DEC＝60°，∵∠BDC＝∠AEC＝120°，∴∠AED＝60°，∵BD＝AE，∴＝，∵AH⊥DE，∴AD≥AH，∴≥，∵∠AHE＝90°，∠AEB＝60°，∴＝sin60°＝，∴≥，∴的最小值为．三、解答题：本大题共10小题，共76分.把解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明.作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔.19．计算：+tan45°．【分析】计算绝对值、零指数幂、代入三角函数值，再计算加减可得．解：原式＝2﹣1+1＝2．20．解不等式组：．【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．解：，由①得：x≥﹣2，由②得：x＜1，则不等式组的解集为﹣2≤x＜1．21．已知：如图，AC＝BD，AD＝BC，AD，BC相交于点O，过点O作OE⊥AB，垂足为E．求证：AE＝BE．【分析】证明△ACB≌△BDA（SSS），得出∠DAB＝∠CBA，则OA＝OB，可得出结论．【解答】证明：∵AC＝BD，AD＝BC，AB＝BA，∴△ACB≌△BDA（SSS），∴∠DAB＝∠CBA，∴OA＝OB，∵OE⊥AB，∴AE＝BE．22．一只不透明的袋子中，装有2个白球，1个红球，1个黄球，这些球除颜色外都相同．求下列事件的概率：（1）搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是白球；（2）搅匀后从中任意摸出2个球，2个都是白球．【分析】（1）列举出所有的可能情况，计算概率即可；（2）列举得出所有等可能的情况数，找出两次都是白球的情况数，即可求出所求的概率．解：（1）搅匀后从中任意摸出1个球，所有可能出现的结果共有4种，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足“恰好是白球”（记为事件A）的结果有2种，所以P（A）＝＝；（2）搅匀后从中任意摸出2个球，所有可能出现的结果有：（白1，白2）、（白1，黄）、（白2，黄）、（白1，红）、（白2，红）、（红，黄），共有6种，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足“2个都是白球”（记为事件B）的结果只有1种，所以P （B）＝．23．学校随机抽取部分学生就“你是否喜欢网课”进行问卷调查，并将调查结果进行统计后，绘制成如下统计表和扇形统计图．调查结果统计表态度非常喜欢喜欢一般不知道频数90 b30 10频率a0.35 0.20（1）在统计表中，a＝0.45 ，b＝70 ；（2）求出扇形统计图中“喜欢”网课所对应扇形的圆心角度数；（3）已知该校共有2000名学生，试估计该校“非常喜欢”网课的学生有多少人？【分析】（1）利用“一般”的人数除以所占百分比可得抽查学生总体，再利用总人数×频率可得b的值；（2）利用360°乘以“喜欢”网课的人数所占比例即可；（3）利用样本估计总体的方法计算即可．解：（1）抽查的学生总数：30÷15%＝200（人），a＝＝0.45，b＝200×0.35＝70，故答案为：0.45；70；（2）“喜欢”网课所对应扇形的圆心角度数：360°×＝126°；（3）2000×＝900（人），答：该校“非常喜欢”网课的学生有900人．24．某学校为了防控新型冠状病毒，购买了甲、乙两种消毒液进行校园环境消毒．已知学校第一次购买了甲种消毒液40瓶和乙种消毒液60瓶，共花费3600元；第二次购买了甲种消毒液60瓶和乙种消毒液40瓶，共花费3400元．（1）每瓶甲种消毒液和每瓶乙种消毒液的价格分别是多少元？（2）学校准备第三次购买这两种消毒液，其中甲种消毒液比乙种消毒液多10瓶，并且总花费不超过3500元，最多能购买多少瓶甲种消毒液？【分析】（1）根据题意，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得每瓶甲种消毒液和每瓶乙种消毒液的价格分别是多少元；（2）根据题意，可以得到费用与甲种消毒液数量的函数关系，然后根据总花费不超过3500元，即可得到甲种消毒液数量的取值范围，即可得到最多能购买多少瓶甲种消毒液．解：（1）设每瓶甲种消毒液和每瓶乙种消毒液的价格分别是x元、y元，，解得，，答：每瓶甲种消毒液和每瓶乙种消毒液的价格分别是30元、40元；（2）设购买a瓶甲种消毒液，费用为w元，w＝30a+40（a﹣10）＝70a﹣400，∵总花费不超过3500元，∴70a﹣400≤3500，解得，a≤55，∵a为整数，∴a的最大值为55，答：最多能购买55瓶甲种消毒液．25．如图，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣1与y轴相交于点A，其对称轴与抛物线相交于点B，与x轴相交于点C．（1）求AB的长；（2）平移该抛物线得到一条新抛物线，设新抛物线的顶点为P．若新抛物线经过原点O，且∠POA＝∠ABC，求新抛物线对应的函数表达式．【分析】（1）求得A、B点的坐标，然后根据勾股定理即可求得；（2）根据平移的规律即可求得新抛物线对应的函数表达式．解：（1）令x＝0，则y＝﹣1，∴A（0，﹣1），∵y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）﹣2，∴B（1，﹣2），∴AB＝＝；（2）∵A（0，﹣1），∴抛物线向上平移1个单位经过原点，此时四边形ABPO是平行四边形，∴∠POA＝∠ABC，此时新抛物线对应的函数表达式为y＝x2﹣2x，抛物线y＝x2﹣2x，关于y轴对称的抛物线为：y＝x2+2x，图象经过原点，且∠POA＝∠ABC，∴新抛物线对应的函数表达式为y＝x2﹣2x或y＝x2+2x．26．如图，四边形ABCD内接于⊙O，且AB＝AC．延长CD至点E，使CE＝BD，连接AE．（1）求证：AD平分∠BDE；（2）若AB∥CD，求证：AE是⊙O的切线．【分析】（1）根据等腰三角形的性质和圆内接四边形的性质得到∠ADE＝∠ADB，根据角平分线的定义即可得到结论；（2）根据平行线的性质得到∠ADE＝∠DAB，求得∠BAD＝∠ADB，根据垂径定理得到AT ⊥BC，根据平行四边形的性质得到AE∥BC，于是得到结论．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADE＝∠ABC，∵∠ADB＝∠ACB，∴∠ADE＝∠ADB，∴AD平分∠BDE；（2）解：∵AB∥CD，∴∠ADE＝∠DAB，∵∠ADE＝∠ABC＝∠ACB，∴∠ADB＝∠ACB，∴∠BAD＝∠ADB，∴AB＝BD∵AC＝AB，∴＝，∴AT⊥BC，∵AB∥CE，∴四边形ABCE是平行四边形，∴AE∥BC，∴AT⊥AE，∴AE是⊙O的切线．27．【探索规律】如图①，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，且DF∥BC，EF∥AB．设△ADF 的边DF上的高为h1，△EFC的边CE上的高为h2．（1）若△ADF、△EFC的面积分别为3，1，则＝；（2）设△ADF、△EFC、四边形BDFE的面积分别为S1，S2，S，求证：S＝2；【解决问题】（3）如图②，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，点F，G在BC上，且DE∥BC，DF ∥BG．若△ADE、△DBF、△EGC的面积分别为3，7，5，求△ABC的面积．【分析】（1）证明△ADF∽△FEC，由相似三角形的性质可得出答案；（2）设AD＝a，BD＝b，BD与EF间的距离为h，根据已知条件得到四边形DBEF是平行四边形，由（1）知△ADF∽△FEC，根据相似三角形的性质得到，由三角形的面积公式得到S1＝ah，求出S2，得到S1S2＝，由平行四边形的面积公式得到S＝bh，于是得到结论．（3）过点D作DM∥AC交BC于点M，证明△DFM≌△EGC（AAS），得出S△DFM＝S△EGC＝5，证明△DAE∽△BDM，则，可求出S△ABC＝9S△ADE＝27．解：（1）∵DF∥BC，EF∥AB，∴∠AFD＝∠ACB，∠DAF＝∠EFC，∴△ADF∽△FEC，∵△ADF、△EFC的面积分别为3，1，∴，∴，∵△ADF的边DF上的高为h1，△EFC的边CE上的高为h2，∴；故答案为：．（2）证明：如图①，设AD＝a，BD＝b，DB与EF间的距离为h，∵EF∥AB，DF∥BC，∴四边形DBFE是平行四边形，∴BD＝EF＝b，由（1）知△ADF∽△FEC，∴，∵S1＝ah，∴S2＝，∴S1S2＝，∴bh＝2，∵S＝bh，∴S＝2．（3）如图②，过点D作DM∥AC交BC于点M，∴∠DMF＝∠ECG，∵DE∥BC，DF∥BG，∴四边形DFGE为平行四边形，∴∠DF＝EG，∠DFM＝∠EGC，∴△DFM≌△EGC（AAS），∴S△DFM＝S△EGC＝5，∵S△DBF＝7，∴S△BDM＝7+5＝12，∵DE∥BM，DM∥AC，∴∠ADE＝∠DBM，∠BDM＝∠BAE，∴△DAE∽△BDM，∴＝，∴，∴，同理，△ADE∽△ABC，∴S△ABC＝9S△ADE＝9×3＝27．28．如图①，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8．点D，E分别是边AC，BC上的动点，连接DE．设CD＝x（x＞0），BE＝y，y与x之间的函数关系如图②所示．（1）求出图②中线段PQ所在直线的函数表达式；（2）将△DCE沿DE翻折，得△DME．①点M是否可以落在△ABC的某条角平分线上？如果可以，求出相应x的值；如果不可以，说明理由；②直接写出△DME与△ABC重叠部分面积的最大值及相应x的值．【分析】（1）设线段PQ所在直线的函数表达式为y＝kx+b，将P（3，4）和Q（6，0）代入可求得答案；（2）①连接CM并延长CM交AB于点F，证明△DCE∽△ACB，得出∠DEC＝∠ABC，则DE ∥AB，求出CF＝，CM＝x，MF＝x，过点M作MG⊥AC于点M，过点M作MH⊥BC于点H，证得△CGM∽△BCA，则，可得出MG，CG，分三种不同情况可求出答案；②分两种情形，当0＜x≤3时，当3＜x≤6时，求出△DME与△ABC重叠部分面积的最大值即可．解：（1）设线段PQ所在直线的函数表达式为y＝kx+b，将P（3，4）和Q（6，0）代入得，，解得，∴线段PQ所在直线的函数表达式为y＝﹣x+8；（2）①如图1，连接CM并延长CM交AB于点F，∵∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，∴AC＝＝6，由（1）得BE＝﹣x+8，∴CE＝x，∴，∵∠DCE＝∠ACB，∴△DCE∽△ACB，∴∠DEC＝∠ABC，∴DE∥AB，∵点C和点M关于直线DE对称，∴CM⊥DE，∴CF⊥AB，∵S△ABC＝AB•CF，∴6×8＝10×CF，∴CF＝，∵∠C＝90°，CD＝x，CE＝x，∴DE＝＝x，∴CM＝x，MF＝x，过点M作MG⊥AC于点M，过点M作MH⊥BC于点H，则四边形GCHM为矩形，∵∠GCM+∠BCF＝∠BCF+∠ABC＝90°，∴∠GCM＝∠ABC，∵∠MGC＝∠ACB＝90°，∴△CGM∽△BCA，∴，即，∴MG＝x，CG＝x，∴MH＝x，（Ⅰ）若点M落在∠ACB的平分线上，则有MG＝MH，即x，解得x＝0（不合题意舍去），（Ⅱ）若点M落在∠BAC的平分线上，则有MG＝MF，即x，解得x＝，（Ⅲ）若点M落在∠ABC的平分线上，则有MH＝MF，即x＝x，解得x＝．综合以上可得，当x＝或x＝时，点M落在△ABC的某条角平分线上．②当0＜x≤3时，点M不在形外，△DME与△ABC重叠部分面积为△DME的面积，∴S＝，当x＝3时，S的最大值为＝6．当3＜x≤6时，点M在形外，如图2，由①知CM＝2CQ＝x，∴MT＝CM﹣CF＝，∵PK∥DE，∴△MPK∽△MDE，∴＝＝，∴S△MPK＝S△MDE•，∵S四边形DEKP＝S△MDE﹣S△MPK，∴S四边形DEKP＝＝，化简得S四边形DEKP＝﹣2x2+16x﹣24＝﹣2（x﹣4）2+8，∴当x＝4时，△DME与△ABC重叠部分面积的最大值为8．综合可得，当x＝4时，△DME与△ABC重叠部分面积的最大值为8．。
2020年江苏省苏州市中考数学一模名师精编试题附解析
2020年江苏省苏州市中考数学一模名师精编试题 学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．如图所示，课堂上小亮站在座位上回答数学老师提出的问题，那么数学老师观察小亮身后，盲区是（ ）A ．DCE △B ．四边形ABCDC ．ABF △D ．ABE △ 2．如图所示，在四边形ABCD 中，∠B=∠D=90°，:C :1:2:2CD B CA =，则∠DAB 等于（ ）A ．60°B ．75°C ．90°D ．105°3．如果小强将镖随意投中如图所示的正方形木板，那么镖落在阴影部分的概率为（ ）A ．61B ．81C ．91D ．121 4． 如图，以圆柱的下底面为底面，上底面圆心为顶点的圆锥的母线长为4，高线长为 3，则圆柱的侧面积为（ ）A ． 30πB ．67πC ．20πD ．47π5．如图，半圆 0 的直径AB 与半圆围成一个区域，要使一只蚂蚁 （看成点 C ）在这个区域内，则∠ACB 应该是（ ）A ．小于90B ．大于 90°C ． 等于120°D ． 大于120°6．已知ABC △的三边长分别为5，13，12，则ABC △的面积为（ ）A ．30B ．60C ．78D ．不能确定7．某校初三（2）班40名同学为“希望工程”捐款,共捐款100元.捐款情况如下表：捐款（元） 1 2 3 4 人 数 6 7表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已看不清楚.若设捐款2元的有x 名同学,捐款3元的有y 名同学,根据题意,可得方程组（ ）A ．272366x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．2723100x y x y +=⎧⎨+=⎩C ．273266x y x y +=⎧⎨+=⎩D ．2732100x y x y +=⎧⎨+=⎩ 8．下列条件中，能识别梯形ABCD 是等腰梯形的条件是 （ ）A ．一组对边相等B ．有两个角相等C ．对角线相等D ．有两个角互补 二、填空题9．如图是用火柴棒摆出的两个正五边形的图案，若图甲的面积是a ，则图乙的面积 (用含 a 的代数式表示)是 ．10．平行四边形ABCD 两条对角线交于点0. 若△BOC 的面积为 6，AB=3，则AB ，CD 间的距离为 .11．某日的最高气温是15℃，气温的极差为10℃，则该日的最低气温是_______℃．12．等角的余角相等，改写成“如果……那么……”的形式： ,该命题是 (填“真”或“假”)命题．13．两直线3y x =-、5y x =-+与y 轴围成的三角形的面积是 .14．甲种糖果每千克l0元，乙种糖果每千克8元，现把甲、乙两种糖果混合制成什锦糖，若要使什锦糖的单价为每千克9元，则100元的甲种糖果应与 元的乙种糖果混合．15．P(必然事件)= ，P(不可能事件)= .16．若方程213235a b x y -++=是二元一次方程，则a= ，b = ．17．右图是2007年6月份的日历．象图中那样，用一个圈竖着圈住3个数．如果被圈住的三个数的和为42,那么这三个数中最大的一个数为 ．18．a 、b 、c 、d 为实数，现规定一种新的运算a c ad bcb d =-，当241815x =-时,x = .19．2a a -，则实数a 是 . 三、解答题20．已知：如图，在△ABC中，∠B = 45°，∠C = 60°，AB = 6．求BC的长（结果保留根号）．21．将如图所示的△ABC 以C 为位似中心缩小 0.5 倍，画出图形，写出三个顶点变化后的坐标.22．如图，在格点图中将△ABC 以A 为位似中心在点A的右侧放大2倍（即△ABC 与它的像的位似比为1：3），请画出放大后的图形，并写出放大后的△AB′C′各个顶点的坐标.23．某商场出售一批进价为 2 元的贺卡，在市场营销中发现此商品日销售单价x(元)与日销售量 y(张)之间有如下关系：x (元)3456y(张)20151210(1)根据表中数据在直角坐标系中描出实数对(x，y)的对应点；(2)猜测并确定 y 与x 之间的函数关系式，并画出图象；(3)设经营此贺卡的销售利润为ω元，试求ω与x之间的函数关系式，如果物价局规定此贺卡售价最高不能超过10元/张，请你求出当日销售单价x定为多少元时，才能获得最大日销售利润？24．今有一机器人接到指令：在4×4的正方形（每个小正方形边长均为1）网格的格点．．上跳跃，每次跳跃的距离只能为1或2或2或5，机器人从A点出发连续跳跃4次恰好跳回A 点，且跳跃的路线（A B C D A→→→→）所成的封闭图形为多边形．例如图①机器人跳跃四次的路线图形是四边形ABCD．仿照图①操作：(1）请你在网格图②中画出机器人跳跃的路线图形是直角梯形ABCD（只画一个图即可）；(2）请在网格图③中画出机器人跳跃的路线图形是面积为2的平行四边形ABCD（只画一个图即可）．25．如图，等腰梯形ABCD中，上底AD=24 cm，下底BC=28 cm，动点P从A开始沿AD边向D以1 cm／s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向B以3 cm／s的速度运动，P，Q 分别从点A，C同时出发，当其中一点到端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t(s)．(1)t取何值时，四边形PQCD为平行四边形?(2)t取何值时，四边形PQCD为等腰梯形?26．如图，在方格纸(每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形)中，我们称每个小正方形的顶点为格点，以格点为顶点的图形称为格点围形. 如图中的△ABC 称为格点△ABC. 请根据你所学过的平移、旋转、对称等知识，说明网中“格点四边形图案”是如何通过“格点A4BC 图案”变换得到的.27．解方程组：(1）⎩⎨⎧=+=-1464534y x y x (2）⎩⎨⎧=+=-1732623y x y x28．一艘轮船在一条江里顺水航行的速度为28 km/h ，逆水航行的速度为 20 km/h ，求轮船在静水中的速度和水流速度.29．如图所示，在方格纸中，有两个形状、大小完全相同的图形，请指出如何运用轴对称、平移、旋转这三种运动，将一个图形重合到另一个图形上．30．计算： (1)231221110.75(1)(1)()223-÷-+-⨯-； (2)[(-3)2-(-5)2]÷(-2).【参考答案】学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．Ｄ2．B3．C4．B5．B6．A7．A8．C二、填空题9．4a.10．811．512．如果两个角是另两个相等的角的余角，那么这两个角相等；真13．1614．8015．1,016．1，13-17．2118．319．非正数三、解答题20．解：过点A作AD⊥BC于点D．在Rt△ABD中，∠B =45°，∴AD = BD．设AD = x，又∵AB = 6，∴x 2＋ x 2 = 62，解得x =32AD = BD =32在Rt△ACD中，∠ACD = 60°，∴∠CAD = 30°， tan30°=CDAD323=CD6．∴BC = BD + DC =326 21．C(5,0) , A1(6,-1．5), B1(7 ,0. 5).22．如图，A(—4，0)，B ′(2，3)，C ′(5，一3)23．（1)如图，(2)是反比例函数，60y x= (x 为正整数)图象如解图. (3)12060w x=- ，当定价x 定为10元/张时，利润最大，为48 元. 24．(1） (2）(1) t 取6 s 时，四边形PQCD 为平行四边形；（2）t 取7s 时，四边形PQCD 为等腰梯形 26． 把“格点△ABC 图案”向右平移 10个单位长度，再向上平移5个单位长度，以BC 中点为旋转中心旋转 180°(或以 BC 所在直线为对称轴作轴对称变换)，即得到“格点四边形图案” 27．（1）⎩⎨⎧==12y x ；（2）⎩⎨⎧==34y x ． 28．静水中的速度为 24 km/h ，水流速度为 4 km/hA B C D 25．A B C D29．把△ABC先绕点A逆时针旋转90°，再向上平移2个单位，然后以D点所在的竖格子线为对称轴进行轴对称变换30．(1)736(2)8。
【2020精品中考数学提分卷】苏州市初三数学一模试卷()+答案
2020年苏州市中考数学模拟试卷(试卷满分:130分 考试时间:120分钟)一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.12的相反数是( ) A. 2 B.12 C. –2 D. –122.下列图形中，不是轴对称图形的是( )3.为了支援贫困地区学生，某“爱心小组”的七位同学为贫困地区捐款，捐款金额分别为60，75，60，75，120，60，90(单位:元)，那么这组数据的众数是( ) A. 60元 B. 7 5元 C. 90元 D. 120元4.计算26a a 的结果是( )A. 6aB. 12aC. 12aD. 8a 5.点(2,5)P -关于y 轴对称的点的坐标是( )A. ( 2，5)B.(–2，5)C. (–2，–5)D. (–5，2)6.如图，直线//a b ，射线DC 与直线a 相交于点C ，过点D 作DE b ⊥于点E .已知125∠=︒，则2∠的度数为( )A. 115ºB. 125ºC. 155ºD. 165º7.将二次函数212y x =的图像向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得函数的关系式为( ) A. 21(1)22y x =+- B. 21(1)22y x =-- C. 21(1)22y x =++ D. 21(1)22y x =-+ 8.如图，在矩形纸片ABCD 中，3AB =.点E 在边BC 上.将ABE ∆沿直线AE 折叠，点B 恰好落在对角线AC 上的点F 处，若EAC ECA ∠=∠，则AC 的长是( )A. B. 6 C. 4 D. 59.在全民健身环城越野赛中，甲、乙两选手的行程y (km)随时间x (h)变化的图像(全程)如图所示.有下列说法: ①起跑后1h 内，甲在乙的前面; ②第1h 两人都跑了10 km; ③甲比乙先到达终点; ④两人都跑了20 km. 其中正确的说法有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10.如图，已知在矩形ABCD 中，4,2AB BC ==，点M 、E 在AD 上，点F 在边AB 上.并且1DM =.现将AEF ∆沿着直线EF 折叠，使点A 落在边CD 上的点P 处，则当PB PM +的和最小时，ME 的长度为( )A.13 B. 49 C. 59 D. 23二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分) 11.分解因式:22ab b -= .12.x 的取值范围是 .13.甲、乙、丙三位选手各10次射击成绩的平均数均为9.3环，方差(单位:环2)依次分别为0.026，0.015，0.032，则射击成绩最稳定的选手是 (填“甲”“乙”或“丙”).14.若2210x x --=，则代数式2243x x -+的值为 .15.如图，ABC ∆的顶点是正方形网格的格点，则sin A 的值为 .16.已知C 、D 是线段AB 的两个黄金分割点，2AB =，则CD 的长是 (用含根号的式子表示) 17.如图，用一个半径为30 cm 、面积为300πcm 2的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥(不计损耗).则圆锥的底面半径r 为 .18.如图，在四边形ABCD 中，90BAD ACB ∠=∠=︒，,4AB AD AC BC ==.设CD 的长为x ，四边形ABCD 的面积为y ，则y 与x 之间的函数关系式是 .三、解答题(本大题共10小题，共76分.解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明) 19. (5分)计算: 0231)(2)--+-.20. ( 5分)解不等式组:426113x x x x >-⎧⎪+⎨-≤⎪⎩，并写出它的所有整数解.21. (6分)先化简，再求值：21(1)1xxx +-，其中1x =.22. (6分)如图，要设计一本画册的封面，封面长40cm ，宽30cm ，正中央是一个与整个封面长、宽比例相同的矩形画、如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的15，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(结果保留一位小数，参考数据 2.236≈).23. (8分)如图，AB AC =，CD AB ⊥于点D ，BE AC ⊥于点E ，BE 与CD 相交于点O .(1)求证:AD AE =;(2)若10,6AB AE ==，求BO 的长.24. (8分)苏州一中综合实践活动艺体课程组为了解学生最喜欢的球类运动，对足球、乒乓球、篮球、排球四个项目进行了调查，并将调查的结果绘制成如下的两幅统计图(说明:每位同学只选一种自己最喜欢的球类)，请你根据图中提供的信息解答下列问题:(1)求这次接受调查的学生人数，并补全条形统计图; (2)求扇形统计图中喜欢排球的所对应扇形的圆心角度数;(3)若调查到爱好乒乓球的5名学生中有3名男生，2名女生，现从这5名学生中任意抽取2名学生，请用列表法或画树状图的方法，求出刚好抽到一男一女的概率.25. (8分)如图，已知等腰三角形ABC 的底角为30º，以BC 为直径的⊙O 与底边AB 交于点D ，过点D 作DE AC ⊥，垂足为E .(1)求证:DE 为⊙O 的切线;(2)连接OE ，若4BC =，求OEC ∆的面积.26.(10分)(1)如图①，已知ABC ∆三个顶点的坐标分别为(1,4),(4,1),(4,4)A B C ，若双曲线ky x=(0x >)与ABC ∆有公共点，则k 的取值范围是 .(2)把图①中的ABC ∆沿直线AB 翻折后得到1ABC ∆，若双曲线my x=(0x >)与1ABC ∆有公共点，求m 的取值范围.小明借助一元二次方程根的判断式圆满地解决了这个问题，小芳借助二次函数模型也圆满地解决了这个问题.请你先在图2中画出1ABC ∆，再写出自己的解答过程.(3)如图③，已知点A (1，2)，B(4，1)，若双曲线ny x=(0x >)与线段AB 有公共点，则n 的取值范围是 .27. (10分)如图，二次函数的图像经过(3,0),(4,0),(0,4)A B C --三点. (1)求该抛物线的解析式; (2)求该抛物线的对称轴;(3)该抛物线的对称轴上有一点D ，在该抛物线上是否存在一点E ，使得以D 、E 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形?若存在，求出点E 的坐标;若不存在，请说明理由.28. (10分)如图，在矩形ABCD 中，12,AB BC ==，点O 是AB 的中点，点P 在AB 的延长线上，且6BP =.一动点E 从点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA 匀速运动.到达点A 后，立即以原速度沿AO 返回;另一动点F 从点P 出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA 匀速运动，点E 、F 同时出发.当两点相遇时停止运动.在点E 、F 的运动过程中，以EF 为边作等边三角形EFG .使 EFG ∆和矩形ABCD 在射线PA 的同侧，设运动的时间为t s(0t ≥).(1)当t = 时，等边三角形EFG 的边FG 恰好经过点C ;(2)在整个运动过程中.设等边三角形和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围;∆是等腰三角形?若存在， (3)设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H，是否存在这样的t，使AOH求出对应的t的值;若不存在，请说明理由.参考答案一、选择题1. D2. A3. A4. D5. C6. A7. A8. B9. C 10. B二、填空题b a b-11.(2)12.2x ≥ 13. 乙 14. 516. 4 17. 10cm 18. 225y x =三、解答题19. 原式3146=-+=20.∵不等式组的解为32x -<≤，∴不等式组的所有整数解2,1,0,1,2-- 21. 21(1)1x x x +-11x =-代入1x =，原式=5. 22. 上、下边衬宽度为2.1 cm ，左、右边衬宽度为1.6 cm. 23. (1)点拨：证明ADC AEB ∆≅∆ (2)5BO =，点拨：证明BDOBEA ∆∆，可得BD BOBE AB=24. (1)由喜欢足球的有40人，占比20%，可得总人数为200人， 可计算出喜欢篮球的有80人，喜欢排球的有20人 条形统计图如图所示(2)喜欢排球的所对应扇形的圆心角度数为36º(3)列表如下由图可知刚好抽到一男一女的概率是3525. (1)点拨，连接,OD CD ，可得OD 是ABC ∆的中位线.(2) OEC S ∆=. 26.(1) 416k ≤≤(2) 2514m ≤≤ (3) 49212n ≤≤ 27. (1) 211433y x x =-- (2) 12x =(3) 点E 的坐标为713(,)212-，95(,)24或75(,)24-. 点拨：分BC 为平行四边形边和对角线两种情况讨论 28. (1)2 s【2020年中考数学——精品提分卷】第 1 页 / 共 11 页 (2)当02t ≤<时，S =+当26t ≤<时，22S t =-++ 当68t ≤<时，S =-+当812t ≤<时，2S =-+.(3)当6t =-6t =+，4t =，8t =或0t =时，AOH ∆是等腰三角形. 点拨：分AH AO =，HA HO =，OH OA =三种情况讨论。
2020年江苏省苏州市姑苏区中考数学一模试卷(附答案详解)
2020年江苏省苏州市姑苏区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.2020的相反数是()A. 2020B. −2020C. 12020D. −120202.有一组数据：2、4、4、5、8，这组数据的众数是()A. 2B. 4C. 5D. 83.若分式xx−3在实数范围内有意义，则x的取值范围为()A. x>3B. x≠3C. x≥0D. x≠0且x≠34.据央视网消息，全国广大共产党员积极响应党中央号召，踊跃捐款，表达对新冠肺炎疫情防控工作的支持．据统计，截至2020年3月10日，全国已有7436万多名党员自愿捐款，共捐款76.8亿元．76.8亿用科学记数法可表示为()A. 7.68×108B. 0.768×1010C. 7.68×109D. 76.8×1085.如图，△ABC中，∠C=90o，tanA=2，则cos A的值为()A. √32B. √55C. 12D. 2√556.如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30o，顶点C在直线b上，若a//b，∠1=92°，则∠2的度数为()A. 28°B. 30°C. 32°D. 46°7.如图，扇形OAB中，∠AOB=90°，以AO为直径作半圆，若AO=1，则阴影部分的周长为()A. πB. π+1C. 2π+1D. 2π+28.若一次函数y=−x+m的图象经过点(−1,2)，则不等式−x+m≥2的解集为()A. x≥0B. x≤0C. x≥−1D. x≤−19.宽和长的比为√5−12的矩形称为黄金矩形，如图，黄金矩形ABCD中，宽AB=2，将黄金矩形ABCD沿EF折叠，使得点C落在点A处，点D落在点D′处，则△AEF的面积为()A. √5B. √5−1C. √5+1D. 3−√510.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(−8,0)，点B的坐标为(0,4)，点C从点A出发以2个单位长度/s的速度沿线段AO向点O匀速移动，同时点D从点O 出发以1个单位长度/s的速度沿线段OB向点B匀速移动，点P为线段CD的中点，在点C从点A移动到点O的过程中，点P移动的路径长为()A. 4B. 2√5C. πD. 2π二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）11.计算：a⋅3a2=______．12.分解因式：x2−3xy=______．13.若ab =23，则a+b2a−b=______．14.二次函数y=x2−4x+7的顶点坐标是______ ．15.转动如图所示被等分为8份的转盘一次，指针指向阴影部分的概率为______．16.如图，△ABC内接于⊙O，C为弧BD的中点，若∠A=30°，则∠BCD=______°.17.如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，射线CD与边AB交于点D，E、F分别为AD、BD中点，设点E、F到射线CD的距离分别为m、n，则m+n的最大值为______．18.如图，折线AB−BC中，AB=3，BC=5，将折线AB−BC绕点A按逆时针方向旋转，得到折线AD−DE，点B的对应点落在线段BC上的点D处，点C的对应点落在点E处，连接CE，若CE⊥BC，则tan∠EDC=______．三、解答题（本大题共10小题，共76.0分）19.计算：√12−|tan60°−1|−(2020−π)0．20.解不等式x+12<x−13+1，并把它的解集在数轴上表示出来．21. 先化简，再求值：(1+5x−2)÷x 2−9x 2−4x+4，其中x =3+√2．22. 如图，△ABC 中，D 、E 分别为边BC 、AC 中点，连接DE 并延长至点F ，使得EF =DE ，连接AF ．(1)求证：△AEF≌△CED ；(2)若AB =12，BC =14，求四边形ABDF 的周长．23. 新学期复学后，学校为了保障学生的出行安全，随机调查了部分学生的上学方式(每位学生从乘私家车、坐公交、骑车和步行4种方式中限选1项)，根据调查数据制作了如图所示的不完整的统计表和扇形统计图．上学方式统计表(1)本次学校共调查了______名学生，a=______，m=______；(2)求扇形统计图中“步行”对应扇形的圆心角；(3)甲、乙两位同学住在同一小区，且都坐公交车上学，有A、B、C三路公交车途径该小区和学校，假设甲、乙两位同学坐这三路公交车是等可能的，请用列表或画树状图的方法求某日甲、乙两位同学坐同一路公交车到学校的概率．24.新冠肺炎疫情期间，佩戴口罩是做好个人防护的重要举措．小明家先后两次在同一电商平台以相同的单价免邮购买了A、B两种型号的口罩．第一次购买20个A型口罩，30个B型口罩，共花费190元；第二次购买30个A型口罩，20个B型口罩，共花费160元．(1)求A、B两种型号口罩的单价；(2)“五一”期间，该电商平台举行促销活动，小明发现同样花费160元购买B型口罩，以活动价购买可以比原价多买8个，求“五一”期间B型口罩的活动价．(x>0)的图象上，顶点C 25.如图，△ABC中，顶点A、B在反比例函数y=kx在x轴的正半轴上，∠ACO=60°．(1)若AC=OC=4，求k的值；(2)若∠A=30°，∠ACB=90°，k=3√3，求点C的坐标．26.如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，AD//OC，交⊙O于点D，E为弧AB的中点，连接DE，交AB于点F．(1)求证：CD为⊙O的切线；(2)求证：AD⋅OC=2OA2；(3)若cosA=3，求tan E．527.如图①，△ABC中，∠ACB=90°，BC=6cm.动点P在△ABC的边上按C→A的路线匀速移动，当点P到达A点时停止移动；动点Q以2cm/s的速度在△ABC的边上按A→B→C的路线匀速移动，当点Q到达C点时停止移动．已知点P、点Q同时开始移动，同时停止移动(即同时到达各自的终止位置).设动点P移动的时间为t(s)，△CPQ的面积为S(cm2)，S与t的函数关系如图②所示．(1)图①中AB=______cm，图②中n=______cm2；(2)求S与t的函数表达式；(3)当t为何值时，△CPQ为等腰三角形．28.如图，二次函数y=−x2+(m−1)x+m(其中m>1)的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．(1)点A的坐标为______，∠ABC=______°；(2)若D为△ABC的外心，且△ACD与△BCO的面积之比为5：9，求m的值；(3)在(2)的条件下，试探究抛物线y=−x2+(m−1)x+m上是否存在点E，使得∠CBE=∠DAB，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．直接利用相反数的定义得出答案．【解答】解：2020的相反数是：−2020．故选B．2.【答案】B【解析】解：这组数据中4出现了2次，次数最多，故这组数据的众数是4．故选：B．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，结合所给数据即可得出答案．此题考查了众数的定义，属于基础题，解答本题的关键是掌握众数的定义．3.【答案】B【解析】解：∵分式x在实数范围内有意义，x−3∴x−3≠0，∴x≠3故选：B．分式有意义的条件是分母不等于零．根据分式意义的条件即可求出答案．本题考查分式有意义的条件，解题的关键正确理解分式有意义的条件．4.【答案】C【解析】解：76.8亿=7680000000=7.68×109，故选：C．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．此题主要考查科学记数法的表示方法．表示时关键要正确确定a的值以及n的值．5.【答案】B【解析】解：∵△ABC中，∠C=90o，∴tanA=CBAC=2，∴设CB=2k，AC=k，∴AB=√AC2+BC2=√5k，∴cosA=ACAB =√5k=√55，故选：B．根据tanA=CBAC=2，于是设CB=2k，AC=k，由勾股定理得到AB=√AC2+BC2=√5k，于是得到结论．本题考查了同角三角函数的关系，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．6.【答案】A【解析】解：如图所示，∵∠1是△ADE的外角，∴∠ADE=∠1−∠A=92°−30°=62°，∵a//b，∴∠ACF=∠ADE=62°，又∵∠ACB=90°，∴∠2=90°−62°=28°，故选：A．依据三角形外角性质即可得到∠ADE的度数，根据平行线的性质即可得出∠ACF的度数，进而得到∠2的度数．本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．7.【答案】B【解析】解：∵扇形OAB中，∠AOB=90°，AO=1，∴阴影部分的周长=12×π+90⋅π×1180+1=π+1，故选：B．根据弧长的计算公式即可得到结论．本题考查了弧长的计算，熟练掌握弧长的计算公式是解题的关键．8.【答案】D【解析】【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，先把(−1,2)代入y=−x+m中求出m，然后解不等式−x+m≥2即可．【解答】解：把(−1,2)代入y=−x+m得1+m=2，解得m=1，所以一次函数解析式为y=−x+1，解不等式−x+1≥2得x≤−1．故选：D．9.【答案】A【解析】解：∵黄金矩形ABCD中，宽AB=2，∴ABBC =√5−12，即BC=4√5−1=√5+1，设AF=CF=x，则BF=√5+1−x，∵∠B=90°，∴Rt△ABF中，AB2+BF2=AF2，即22+(√5+1−x)2=x2，解得x=√5，∴AF=√5，又∵AD′=CD=AB=2，∴△AEF的面积=12AF×AD′=12×√5×2=√5，故选：A．依据黄金矩形ABCD中，宽AB=2，可得BC的长，设AF=CF=x，则BF=√5+1−x，再根据勾股定理即可得到AF的长，进而得出△AEF的面积．本题主要考查了矩形的性质以及折叠的性质，解题时常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．10.【答案】B【解析】解：∵点C从点A出发以2个单位长度/s的速度沿线段AO向点O匀速移动，同时点D从点O出发以1个单位长度/s的速度沿线段OB向点B匀速移动，∴AC=2t，DO=t，∴点C(−8+2t,0)，点D(0,t)，∵点P为线段CD的中点，)，∴点P(−4+t,t2x+2上运动，∴点P在直线y=12当点C与点A重合时，则点P(−4,0)，当点C与点O重合时，则点P(0,2)，∴点P移动的路径长=√(−4−0)2+(0−2)2=√16+4=2√5，故选：B．x+2上运动，由特殊位置可求解．由中点坐标公式可求点P坐标，可得点P在直线y=12本题考查了轨迹，坐标与图形的性质，确定点P的轨迹是本题的关键．11.【答案】3a3【解析】解：a⋅3a2=3a2+1=3a3，故答案为：3a3．根据单项式与单项式相乘的法则计算．本题考查的是单项式乘单项式，单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．12.【答案】x(x−3y)【解析】解：x2−3xy=x(x−3y)．故答案为：x(x−3y)．直接提取公因式x，进而分解因式即可．此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．13.【答案】5【解析】解：由ab =23得b=3a2，∴a+b2a−b =a+3a22a−3a2=5a2a2=5a2⋅2a=5．故答案为：5．由ab =23可得b=3a2，再代入所求式子计算即可．本题主要考查了比例的性质，会用其中一个字母的代数式表示出另一个字母是解答本题的关键．14.【答案】(2,3)【解析】解：∵y=x2−4x+7=x2−4x+4+3=(x−2)2+3，∴二次函数y=x2−4x+7的顶点坐标为(2,3)．故答案为(2,3)．先把y=x2−4x+7进行配方得到抛物线的顶点式y=(x−2)2+3，根据二次函数的性质即可得到其顶点坐标．本题考查了二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质：二次函数的顶点式y=a(x−b 2a )2+4ac−b24a，其顶点坐标为(−b2a,4ac−b24a).15.【答案】12【解析】解：转动如图所示的转盘一次，指针指向阴影部分的概率为48=12，故答案为：12．用阴影部分的扇形个数除以这样的扇形总个数即可得．本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．16.【答案】120【解析】解：由圆周角定理得，∠BDC=∠A=30°，∵C为弧BD的中点，∴CB⏜=CD⏜，∴CB=CD，∴∠CBD=∠BDC=30°，∴∠BCD=180°−30°−30°=120°，故答案为：120．根据圆周角定理求出∠BDC，根据圆心角、弧、弦之间的关系定理得到CB=CD，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算，得到答案．本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、圆心角、弧、弦之间的关系定理是解题的关键．17.【答案】2.5【解析】解：∵△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，∴AB=√42+32=5，∵E、F分别为AD、BD中点，AB=2.5，∴EF=12由垂线段最短可求CD⊥AB时，m+n有最大值2.5．故答案为：2.5．根据勾股定理可求AB，再根据垂线段最短可求CD⊥AB时，m+n有最大值．考查了勾股定理，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．18.【答案】247【解析】解：如图，连接AC ，AE ，过点A 作AF ⊥BC 于F ，作AH ⊥EC 于H ，∵CE ⊥BC ，AF ⊥BC ，AH ⊥EC ，∴四边形AFCH 是矩形，∴AF =CH ，∵将折线AB −BC 绕点A 按逆时针方向旋转，得到折线AD −DE ，∴AD =AB =3，BC =DE =5，∠ABC =∠ADE ，∴△ABC≌△ADE(SAS)，∴AC =AE ，∵AC =AE ，AB =AD ，AF ⊥BC ，AH ⊥EC ，∴BF =DF ，CH =EH ，∵AB 2=AF 2+BF 2，DE 2=DC 2+CE 2，∴9=AF 2+BF 2，25=(5−2BF)2+4AF 2，∴BF =95，AF =125，∴EC =2CH =2AF =245，CD =5−2×95=75， ∴tan∠EDC =EC CD =247， 故答案为：247．连接AC ，AE ，过点A 作AF ⊥BC 于F ，作AH ⊥EC 于H ，可证四边形AFCH 是矩形，可得AF =CH ，由旋转的性质可得AD =AB =3，BC =DE =5，∠ABC =∠ADE ，由“SAS ”可证△ABC≌△ADE ，可得AC =AE ，由等腰三角形的性质和勾股定理可得BF =95，AF =125，由三角函数可求解．本题考查了旋转的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，利用勾股定理求出BF ，AF 的长是本题的关键．19.【答案】解：原式=2√3−(√3−1)−1=2√3−√3+1−1=√3．【解析】原式利用二次根式性质，绝对值的代数意义，特殊角的三角函数值，以及零指数幂法则计算即可求出值．此题考查了实数的运算，零指数幂，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20.【答案】解：去分母得：3(x+1)<2(x−1)+6，去括号得：3x+3<2x−2+6，移项合并得：x<1．【解析】不等式去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，确定出解集，表示在数轴上即可．此题考查了解一元一次不等式，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．21.【答案】解：原式=x−2+5x−2⋅(x−2)2 (x−3)(x+3)=x+3x−2⋅(x−2)2 (x−3)(x+3)=x−2x−3，当x=3+√2时，原式=√2−23+√2−3=√2+22．【解析】直接将括号里面通分运算，进而利用分式的混合运算法则计算得出答案．此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．22.【答案】证明：(1)∵点E是AC的中点，∴AE=EC，又∵DE=EF，∠AEF=∠DEC，∴△AEF≌△CED(SAS)，(2)∵D、E分别为边BC、AC中点，∴DE//AB，AB=2DE，∴DF=2DE=AB，∴四边形ABDF是平行四边形，∵BC=14，点D是BC中点，∴BD=CD=7，∴四边形ABDF的周长=2(AB+BD)=38．【解析】(1)由“SAS”可证△AEF≌△CED；(2)由三角形中位线定理可得DE//AB，AB=2DE，可证四边形ABDF是平行四边形，由平行四边形的性质可求解．本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．23.【答案】150 24 28【解析】解：(1)本次学校共调查了54÷36%=150名学生，a=150×16%=24(名)，m=42150×100=28；故答案为：150，24，28；(2)扇形统计图中“步行”对应扇形的圆心角为360°×(1−36%−28%−16%)=72°；(3)画树状图如图所示，∵共有9种等可能的结果，甲、乙两位同学坐同一路公交车的有3种情况，∴甲、乙两位同学坐同一路公交车的概率为39=13．(1)依据乘公交车的人数以及百分比，即可得到本次调查共抽取的人数，根据本次调查共抽取的人数乘以骑车的百分比即可得到结论；(2)依据“步行”的百分比乘以360°，即可得到结论；(3)根据题意画树状图即可得到结论．本题考查的是统计表与扇形统计图、用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．24.【答案】解：(1)设A 、B 两种型号口罩的单价分别是x 元，y 元，由题意可得{20x +30y =19030x +20y =160， 解得：{x =2y =5， 答：A 、B 两种型号口罩的单价分别是2元，5元，(2)设五一”期间B 型口罩的活动价为a 元，由题意可得：a(1605+8)=160，∴a =4，答：五一”期间B 型口罩的活动价为4元．【解析】(1)设A 、B 两种型号口罩的单价分别是x 元，y 元，由“第一次购买20个A 型口罩，30个B 型口罩，共花费190元；第二次购买30个A 型口罩，20个B 型口罩，共花费160元”，列出方程组，可求解；(2)设五一”期间B 型口罩的活动价为a 元，由单价×数量=160，可列方程，即可求解． 本题考查了二元一次方程组的应用，找到正确的相等关系是本题的关键．25.【答案】解：(1)过点A 作AE ⊥OC 于E ，∵∠ACO =60°，AE ⊥OC ，∴∠EAC =30°，∴EC =12AC =2，AE =√3EC =2√3，∴OE =OC −EC =2，∴点A(2,2√3)，∵点A在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，∴k=2×2√3=4√3；(2)如图，过点A作AE⊥OC于E，过点B作BF⊥OC于F，∵∠CAB=30°，∠ACB=90°，∴AC=√3BC，设BC=a，AC=√3a，点C(m,0)，∵∠ACO=60°，AE⊥OC，∴∠EAC=30°，∴EC=12AC=√32a，AE=√3EC=32a，∴点A(m−√32a,32a)，∵∠ACO=60°，∠ACB=90°，∴∠BCF=30°，∴BF=12BC=12a，CF=√3BF=√32a，∴点B(m+√32a,12a)，∵点A、B在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，∴(m−√32a)×32a=3√3，(m+√32a)×12a=3√3，∴a=2，m=2√3，∴点C(2√3,0)．【解析】(1)过点A作AE⊥OC于E，由直角三角形的性质可求EC=12AC=2，AE=√3EC=2√3，可得点A坐标，代入解析式可求解；(2)过点A作AE⊥OC于E，过点B作BF⊥OC于F，设BC=a，AC=√3a，点C(m,0)，利用参数a，m表示点A，点B坐标，代入解析式可求解．本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，直角三角形的性质，利用参数表示点A，点B坐标是本题的关键．26.【答案】(1)证明：连接OD，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∵AD//OC，∴∠DOC=∠ODA，∠BOC=∠OAD，∴∠DOC=∠BOC，在△CDO和△CBO中，{CO=CO∠DOC=∠BOC OD=OB，∴△CDO≌△CBO(SAS)，∴∠ODC=∠OBC，∵BC为⊙O的切线，∴OB⊥BC，∴∠OBC=90°，∴∠ODC=90°，即OD⊥CD，∴CD为⊙O的切线；(2)证明：连接BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=∠ABC=90°，∵∠BOC=∠OAD，∴△ABD∽△OCB，∴ADOB =ABOC，∵AB=2OB=2OA，OA=OB，∴AD⋅OC=2OA2；(3)解：作DG⊥AB于点G，设AB=5a，则OE=OD=AO=5a2，∵∠ADB=90°，cosA=35，∴AD=3a，∵∠ADB=90°，DG⊥AB，∴AD2=AG⋅AB，∴AG=9a5，∴OG=AO−AG=7a10，DG=2−OG2=12a5，∵E为弧AB的中点，∴∠AOE=∠DGO=90°，∴DG//OE，∴△DGF∽△EOF，∴GFFO =DGOE=12a55a2=2425，∴FO=2549OG=2549×7a10=5a14，∴tanE=OFOE =5a145a2=17．【解析】(1)连接OD，根据等腰三角形的性质和平行线的性质得到相等的边和角，利用SAS证得△CDO≌△CBO，得到∠ODC=90°，即可证得CD为⊙O的切线；(2)连接BD，根据“AB为⊙O的直径”得到∠ADB是直角，证得△ABD∽△OCB，得到AD OB =ABOC，再对比例式进行变形即可得到AD⋅OC=2OA2；(3)作DG⊥AB于点G，设AB=5a，求得AG、OG、DG，根据“E为弧AB的中点”，得到∠AOE=∠DGO=90°，进而得到DG//OE，可得△DGF∽△EOF，利用比例式求得FO，即可得到tan E．本题是圆的综合题，主要考查了切线的判定定理，全等三角形的判定与性质，圆周角定理及推论，相似三角形的判定与性质，勾股定理和垂径定理等，解题的关键是正确作出辅助线．27.【答案】10 15【解析】解：(1)由图②可知：t=5s时，点Q运动到点B，∴AB=2×5=10(cm)，由勾股定理得：AC=√AB2−BC2=√102−62=8(cm)，设点P的运动速度为v，∵点P、点Q同时开始移动，同时停止移动(即同时到达各自的终止位置)，∴8v =10+62，∴v =1(cm/s)，当t =5s 时，CP =5×1=5，S △CPQ =12BC ⋅CP =12×6×5=15(cm 2)， ∴n =15cm 2， 故答案为：10，15； (2)当0≤t ≤5时，点Q 在AB 上，则CP =t ，AQ =2t ， 过点Q 作QH ⊥AC 于H ，如图①所示：sinA =QH AQ =BC AB =610=35，∴QH =35AQ =35×2t =65t ，S =12CP ⋅QH =12×t ×65t =35t 2；当5<t ≤8时，点Q 在BC 上，如图③所示：∵AB +BQ =2t ，∴CQ =10+6−2t =16−2t ，∵CP =t ，∴S =12CP ⋅CQ =12×t ×(16−2t)=−t 2+8t ，综上所述：S ={35t 2(0≤t ≤5)−t 2+8t(5<t ≤8)；(3)①当Q 在AB 上时，如图④所示：过点Q 作QH ⊥AC 于H ，此时，CP =t ，AQ =2t ，sinA =QH AQ =BCAB =610=35，∴QH =35AQ =35×2t =65t ，∵t <65t ，∴CP =PQ =t 和CP =CQ =t ，不成立；当CQ =PQ 时，则CH =PH =12CP =12t ，cosA =AH AQ =AC AB =810=45，∴AH =45AQ =45×2t =85t ，∴AC =CH +AH =8，即12t +85t =8，解得：t=8021(s)；②当Q在BC上时，如图⑤所示：∵∠ACB=90°，∴只有CQ=CP一种情况，当CQ=CP=t时，2t+t=10+6，∴t=163(s)；综上所述，当t为8021s或163s时，△CPQ为等腰三角形．(1)由图②可知t=5s时，点Q运动到点B，则AB=10，由勾股定理得AC=8，设点P的运动速度为v，则8v =10+62，得出v=1，当t=5时，CP=5，由S△CPQ=12BC⋅CP即可得出结果；(2)当0≤t≤5时，点Q在AB上，则CP=t，AQ=2t，过点Q作QH⊥AC于H，sinA=QH AQ =BCAB=35，得出QH=65t，S=12CP⋅QH=35t2；当5<t≤8时，点Q在BC上，AB+BQ=2t，则CQ=16−2t，CP=t，S=12CP⋅CQ=−t2+8t；(3)①当Q在AB上时，过点Q作QH⊥AC于H，此时，CP=t，AQ=2t，求出QH=65t，得出CP=PQ=t和CP=CQ=t，不成立；当CQ=PQ时，则CH=PH=12CP=12t，求出AH=85t，则12t+85t=8，得出t=8021；②当Q在BC上时，当CQ=CP=t时，2t+t=10+6，得出t=163．本题是三角形综合题，主要考查了函数关系图象、勾股定理、三角函数、三角形面积计算、分类讨论等知识；熟练掌握函数关系图象与分类讨论是解题的关键．28.【答案】(−1,0)45【解析】解：(1)∵0=−x2+(m−1)x+m，∴x1=−1，x2=m，∴点A(−1,0)，点B(m,0)，∴OB=m，当x=0时，y=m，∴点C(0,m)，∴OB=OC=m，∴∠ABC=∠OCB=45°，故答案为(−1,0)，45；(2)∵D为△ABC的外心，∴∠ADC=2∠ABC=90°，AD=CD，∴∠DAC=∠DCA=45°，∴∠DAC=∠DCA=∠OBC=∠OCB=45°，∴△ACD∽△BCO，∴S△ACDS△BCO =(ACBC)2=AC2BC2，∵点A(−1,0)，点B(m,0)，点C(0,m)，∴AC2=m2+1，BC2=2m2，∵△ACD与△BCO的面积之比为5：9，∴m2+12m2=59，∴m1=3，m2=−3(舍去)，∴m=3；(3)当m=3时，抛物线的解析式为y=−x2+2x+3，∴点A(−1,0)，点B(3,0)，点C(0,3)，∴点D(1,1)，BC2=18，∴BC=3√2，如图，过点D作DH⊥AB于H，过点C作BC的垂线交BE于点Q，交BE′于点P，∴DH=1，AH=2，直线PQ的解析式为y=x+3，∵∠CBE′=∠DAB，∠DHA=∠PCB=90°，∴△DAH∽△PBC，∴PCDH =BCAH，∴PC 1=3√22， ∴PC =3√22， 设点P(n,n +3)，∴(n −0)2+(n +3−3)2=(3√22)2， ∴n =±32，∴点P(−32,32)，点Q(32,92)，∴直线BP 解析式为y =−13x +1，直线BQ 解析式为y =−3x +9，联立方程组可得：{y =−13x +1y =−x 2+2x +3， 解得：{x 1=−23y 1=119，{x 2=3y 2=0， ∴点E′坐标为(−23,119)，联立方程组得：{y =−3x +9y =−x 2+2x +3， 解得：{x 1=2y 1=3，{x 2=3y 2=0， ∴点E 坐标为(2,3)，综上所述：点E 坐标为(−23,119)或(2,3)．(1)解方程可求点A 坐标，由等腰三角形的性质可求∠ABC =45°；(2)通过证明△ACD∽△BCO ，可得S △ACD S △BCO =(AC BC )2=AC 2BC 2，即可求解； (3)通过证明△DAH∽△PBC ，可求PC 的长，由两点距离公式可求点P ，点Q 坐标，联立方程组可求解．本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．。
精品解析：2020年江苏省苏州市工业园区中考数学一模试题(解析版)
2020年江苏省苏州市工业园区中考数学一模试卷一．选择题（共10小题）1. 下列四个数中，其中最小的数是A. -4B. 0C. -πD.【答案】A【解析】【分析】【详解】解：因为负数小于一切正数和零所以-4、-π均小于0因为|-4|＞|-π|所以-4＜-π故选A．2. 截至北京时间2020年5月7日6：30，全球累计新冠肺炎确诊病例超过3 740 000例，3 740 000用科学记数法可表示为（）A. 374×104B. 37.4 ×105C. 3.74×106D. 0.374×107【答案】C【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】解：将3740000用科学记数法表示为：3.74×106．故选：C．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：A 、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；B 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；D 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误，故选：A ．【点睛】本题考查了轴对称与中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．4. 1x -x 的取值范围是( )A. x<1B. x≤1C. x>1D. x≥1 【答案】D【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于x 的不等式，求出x 的取值范围即可.【详解】由题意得，x －1≥0，解得x≥1.故选D.【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，要使二次根式有意义，其被开方数应为非负数.5. 计算11()(1)22a a a +÷+--的结果是（ ） A. 1B. aC. 1a +D. 1a -【答案】D【解析】【分析】直接利用分式的运算法则先将括号里通分，再将分子相加减，最后再利用分式的除法法则计算即可． 【详解】解：原式2212122a a a a a -+-+=÷-- 2(1)221a a a a --=⋅-- 1a =-，故选：D ．【点睛】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．6. 用直角边长分别为2、1的四个直角三角形和一个小正方形（阴影部分）拼成了如图所示的大正方形飞镖游戏板．某人向该游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是（ ）A. 13B. 14C. 15 5 【答案】C【解析】【分析】分别计算出大正方形和小正方形的面积，再利用概率公式计算即可【详解】解：大正方形的面积为：21214(21)52⨯⨯⨯+-=， 阴影部分的小正方形的面积为：2(21)1-=，∴飞镖落在阴影部分的概率是1155÷=， 故选：C ．【点睛】本题考查了几何概率的求法：首先根据题意用代数关系将面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A ）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A ）发生的概率． 7. 如图，AB 是⊙O 的直径，点,C D 在⊙O 上．若50D ∠=︒，则BAC ∠等于（ ）A. 25°B. 40°C. 50°D. 55°【答案】B【解析】【分析】 由AB 是⊙O 的直径，根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角，即可求得∠ACB 的度数，又由∠D ＝65°，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等即可求得∠B 的度数，最后根据三角形的内角和即可求得∠BAC 的度数．【详解】解：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∵∠D ＝50°，∴∠D ＝∠B ＝50°，∴∠BAC ＝90°﹣∠B ＝40°．故选：B ．【点睛】此题考查了圆周角定理．此题比较简单，解题的关键是掌握半圆（或直径）所对的圆周角是直角与在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用．8. 如图，ABCD 的周长为36 cm ，对角线,AC BD 相交于点,12O AC cm ．若点E 是AB 的中点，则AOE △的周长为（ ）A. 10 cmB. 15 cmC. 20 cmD. 30 cm【答案】B【解析】【分析】根据▱ABCD 的周长为36 可得AB ＋BC ＝18，根据平行四边形的对边相等和对角线互相平分可得OA ＝OC ＝12AC ，又因为E 点是AB 的中点，可得OE 是△ABC 的中位线，可得OE ＝12BC ，进而可求△DOE 的周长．【详解】解：∵▱ABCD 的周长为36，∴2（AB ＋BC ）＝36，∴AB ＋BC ＝18．∵四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC ，BD 相交于点O ，AC ＝12，∴OA ＝OC ＝12AC ＝6． 又∵点E 是AB 的中点， ∴OE 是△ABC 的中位线，AE ＝12AB ， ∴OE ＝12BC ， ∴△AOE 的周长＝OA ＋OE ＋AE ＝12AC ＋12（AB ＋BC ）＝6＋9＝15， 即△AOE 的周长为15．故选：B ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理．熟练运用三角形中位线定理是解决本题的关键．9. 将一个正五边形按如图方式放置． 若直线//m n ，则下列结论中一定成立的是（ ）A. 122∠=∠B. 12180∠+∠=︒C. 1236∠-∠=︒D. 212108∠-∠=︒【答案】C【解析】【分析】 根据正五边形的内角和可得∠A ＝∠B ＝108°，利用平行线的性质可得∠1＋∠3＝∠A ＝108°，利用三角形的内角和可得∠4＋∠5＝72°，进而可得∠3＋∠2 ＝72°，最后利用等式的性质即可得到答案．【详解】解：如图，在正五边形中，∠A ＝∠B ＝108°，∵m ∥n ，∴∠1＋∠3＝∠A ＝108°，∵∠B ＝108°，∴∠4＋∠5＝180°－∠B ＝72°，∵∠3＝∠4，∠2＝∠5，∴∠3＋∠2 ＝72°，∴(∠1＋∠3)－(∠3＋∠2)＝108°－72°＝36°，即∠1－∠2＝36°，故选：C ．【点睛】本题考查了多边形的内角和、平行线的性质、对顶角相等，灵活运用平行线的性质是解决本题的关键10. 如图，菱形AOBC 的顶点A 在x 轴上，反比例函数k y x=（0,0k x >>）的图像经过顶点B ，和边AC 的中点D ．若6OA =，则k 的值为（ ）5 B. 25 C. 5 D. 85【答案】D【解析】【分析】 作BE ⊥x 轴，DF ⊥x 轴，根据菱形的性质可得OB ∥AC ，OB ＝AB ＝AC ＝6，进而可得AD ＝12AC ＝3，由平行可得△BOE ∽△DAF ，进而可得12DF AF DA BE OE OB ===，设AF ＝a ，DF ＝b ，则OE ＝2a ，BE ＝2b ，由此可表示出点B 、D 的坐标，代入函数关系式可得方程，进而可求得k 的值．【详解】解：如图，分别过点B 、D 作BE ⊥x 轴，DF ⊥x 轴，垂足分别为E 、F ，则∠BEO ＝∠DFA ＝90°， ∵在菱形AOBC 中，∴OB ∥AC ，OB ＝AB ＝AC ＝6，∵点D 为AC 的中点，∴AD ＝12AC ＝3， ∵OB ∥AC ，∴∠BOE ＝∠DAF ，∴△BOE ∽△DAF ，∴3162DF AF DA BE OE OB ====， ∴设AF ＝a ，DF ＝b ，则OE ＝2a ，BE ＝2b ，∴点D （6＋a ，b ），点B （2a ，2b ），∵点B 、D 均在反比例函数图像上，∴将点D （6＋a ，b ），点B （2a ，2b ）代入k y x=得： b(6＋a)＝2a·2b ＝k ，解得a ＝2，∴OE ＝2a ＝4，在Rt △BOE 中，BE 22226425OB OE --=∴点B （4，25，∴42585k =⨯=【点睛】本题主要考查菱形的性质、相似三角形的判定及性质、反比例函数的图像性质，运用相似三角形的判定及性质解决问题是解答本题的关键．二．填空题（共8小题）11. 计算：3a a ÷=__________．【答案】2a ．【解析】【分析】同底数幂相除，底数不变，指数相减【详解】解：原式＝312a a -=．故答案为2a ．12. 分解因式：2x 2﹣8=_______【答案】2（x+2）（x ﹣2）【解析】【分析】先提公因式，再运用平方差公式.【详解】2x 2﹣8，=2（x 2﹣4），=2（x+2）（x ﹣2）．【点睛】考核知识点：因式分解.掌握基本方法是关键.13. 若a 是方程2320x x --=的根，则2526a a +-=_____.【答案】1【解析】【分析】利用一元二次方程解定义得到3a 2-a=2，再把2526a a +-变形为()2523a a --，然后利用整体代入的方法计算．【详解】∵a 是方程2320x x --=的根，∴3a 2-a-2=0，∴2526a a +-=()2523a a --=5-2×2=1． 故答案为1．【点睛】此题考查一元二次方程的解，解题关键在于掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．14. 某工程队有10名员工，他们的工种及相应每人每月工资如下：现该工程队对工资进行了调整：每人每月工资增加300元．与调整前相比，该工程队员工每月工资的方差_________．（填“变小”、“不变”或“变大”）【答案】不变【解析】【分析】利用方差的公式分别求出调整前和调整后的方差，进而比较大小即可． 【详解】解：调整前：1(260003500054000)470010x =⨯+⨯+⨯=， ∴22221[2(60004700)3(50004700)5(40004700)]6110s =⨯-+⨯-+⨯-=前， 调整后：1(263003530054300)500010x =⨯+⨯+⨯=， ∴22221[2(63005000)3(53005000)5(43005000)]6110s =⨯-+⨯-+⨯-=后， ∴22s s =后前，故答案为：不变．【点睛】此题主要考查了方差的定义，正确利用方差公式进行计算是解决本题的关键．15. 如图，为测量湖面上小船A 到公路BC 的距离，先在点B 处测得小船A 在其北偏东60°方向，再沿BC 方向前进400 m 到达点C ，测得小船A 在其北偏西30°方向，则小船A 到公路BC 的距离为________m ．【答案】1003【解析】【分析】作AD ⊥AB 于C ，设AD ＝x ，根据正切的定义用x 表示出BD 、CD ，根据BC ＝BD ＋CD ＝400列方程求出x ，即可得到答案．【详解】解：如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，由题意可知：∠ABC ＝30°，∠ACB ＝60°，设AD ＝x ，在Rt △ADB 中，tan ∠ABC AD x BD BD ==， ∴tan30°3x BD == ∴3BD x =，在Rt △ADC 中，tan ∠ACB AD x CD CD ==， ∴tan60°3x CD= ∴33CD x =， ∵BC ＝BD ＋CD ＝400，33400x =， 解得1003x =∴AD ＝1003，故答案为：1003．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，掌握方向角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．16. 如图，把矩形纸片ABCD分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形BAF和半径最大的圆，若恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则ABAD=________．【答案】2 3【解析】【分析】设AB＝x，AD＝y，则DE＝y﹣x，根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长列出方程，求解即可．【详解】解：设AB＝x，AD＝y，则DE＝y﹣x，根据题意，得：90() 180xy xππ⋅=-，整理得：x＝2(y﹣x)解得：23xy=，即：23 ABAD=．故答案为：23．【点睛】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．17. 如图，直角三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4m，点D，E分别在边AC，AB上，点F是边BC的中点．现将该纸片沿DE折叠，使点A与点F重合，则AE＝_____cm．【答案】65 34【解析】【分析】过F作FH⊥AB于H，根据相似三角形的性质得到FH＝65，BH＝85，求得EH＝5﹣85﹣AE＝175﹣AE，根据折叠的性质得到EF＝AE，根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：∵∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4m，∴AB22AC BC+5（cm），过F作FH⊥AB于H，∴∠BHF＝∠C＝90°，∵∠B＝∠B，∴△BFH∽△BAC，∴FH BF BH AC AB BC==，∵点F是边BC 的中点，∴BF＝12BC＝2，∴2354FH BH==，∴FH＝65，BH＝85，∴EH＝5﹣85﹣AE＝175﹣AE，∵现将该纸片沿DE折叠，使点A与点F重合，∴EF＝AE，∵222EF HF EH=+，∴22261755AE AE⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：AE ＝6534（cm ）， 故答案为：6534．【点睛】此题考查三角形相似，折叠的性质及勾股定理的应用，添加辅助线，构造相似三角形，是解题的关键．18. 如图，点D 为等边三角形ABC 内一点，且120BDC ∠=︒，则AD BD的最小值为______．【答案】32【解析】【分析】 以CD 为边在CD 的右侧作等边三角形CDE ，连接AE ，结合等边三角形ABC 可证△ACE ≌△BCD ，进而可证得∠AED ＝∠AEC －∠CED ＝60°，过点A 作AF ⊥BE 于点F ，利用三角函数还可求得3AF AE =，再根据AD 与AF 的大小关系可得3AD AE ≥3AD BD ≥ 【详解】解：如图，以CD 为边在CD 的右侧作等边三角形CDE ，连接AE ，∵△CDE 和△ABC 为等边三角形，∴CD ＝CE ，AC ＝BC ，∠DCE ＝∠ACB ＝∠CDE ＝∠CED ＝60°，∵∠BDC ＝120°，∴∠BDC ＋∠CDE ＝180°，∴点B 、D 、E 在同一直线上，∵∠DCE ＝∠ACB ，∴∠DCE －∠ACD ＝∠ACB －∠ACD ，即∠ACE ＝∠BCD ，在△ACE 与△BCD 中，CE CD ACE BCD AC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACE ≌△BCD （SAS ），∴AE ＝BD ，∠AEC ＝∠BDC ＝120°，∴∠AED ＝∠AEC －∠CED ＝60°，过点A 作AF ⊥BE 于点F ，在Rt △AFE 中，sin ∠AEF ＝AF AE， 则sin60°＝3AF AE = 当点D 不与点F 重合时，AD ＞AF ， 则3AD AF AE AE > 当点D 与点F 重合时，AD ＝AF ， 则3AD AF AE AE = ∴3AD AE∴3 ADBD≥，∴ADBD的最小值为3，故答案为：32．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质，解直角三角形的应用以及垂线段最短的基本事实，作出正确的辅助线构造全等三角形以及根据垂线段最短比较大小是解决本题的关键．三．解答题（共10小题）19. 计算：02(13)tan45--++︒．【答案】2【解析】【分析】根据绝对值的代数意义、零指数幂法则和特殊角的三角函数值直接计算即可．【详解】解：原式211=-+2=．【点睛】本题考查了绝对值的代数意义、零指数幂法则和特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解决本题的关键．20. 解不等式组：24 312xx-≤⎧⎨-<⎩【答案】﹣2≤x＜1【解析】【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可求解．【详解】解：24312xx-≤⎧⎨-<⎩①②，由①得x≥﹣2，由②得x＜1．∴原不等式组的解集为﹣2≤x＜1．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法．解题的关键是正确掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．21. 已知：如图，,,,AC BD AD BC AD BC ==相交于点O ，过点O 作OE AB ⊥，垂足为E ．求证：AE BE =．【答案】见解析【解析】【分析】先证△ABC ≌△BAD 可得∠ABC ＝∠BAC ，进而可得AO ＝BO ，再结合OE ⊥AB 根据等腰三角形的三线合一即可得证．【详解】证明：在△ABC 与△BAD 中，AC BD BC AD AB BA =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△BAD （SSS ），∴∠ABC ＝∠BAC ，∴AO ＝BO ，又∵OE ⊥AB ，∴AE ＝BE ．【点睛】本题考查了全等三角形判定及性质、等腰三角形的判定及性质，灵活运用全等三角形及等腰三角形的相关知识是解决本题的关键．22. 一只不透明的袋子中，装有2个白球，1个红球，1个黄球，这些球除颜色外都相同．求下列事件的概率：（1）搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是白球；（2）搅匀后从中任意摸出2个球，2个都是白球．【答案】(1)12;(2)16. 【解析】试题分析：()1列举出所有的可能情况，计算概率即可；()2列举得出所有等可能的情况数，找出两次都是红球的情况数，即可求出所求的概率．试题解析：()1搅匀后从中任意摸出1个球，所有可能出现的结果共有4种，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足“恰好是白球”(记为事件A)的结果有2种，所以()21.42P A==()2把2个白球分别记为白1，白2，搅匀后从中任意摸出2个球，所有可能出现的结果有：(白1，白2)、(白1，红)、(白2，红)、(白1，黄)、(白2，黄)、(红，黄)，共有6种，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足“2个都是白球”(记为事件B)的结果只有1种，所以()1 . 6P B=23. 学校随机抽取部分学生就“你是否喜欢网课”进行问卷调查，并将调查结果进行统计后，绘制成如下统计表和扇形统计图．调查结果统计表（1）在统计表中，a＝，b＝；（2）求出扇形统计图中“喜欢”网课所对应扇形的圆心角度数；（3）已知该校共有2000名学生，试估计该校“非常喜欢”网课的学生有多少人？【答案】（1）0.45，70；（2）126°；（3）该校“非常喜欢”网课的学生有900人．【解析】【分析】（1）利用“一般”的人数除以所占百分比可得抽查学生总体，再利用总人数×频率可得b的值；（2）利用360°乘以“喜欢”网课的人数所占比例即可；（3）利用样本估计总体的方法计算即可．【详解】解：（1）抽查的学生总数：30÷15%＝200（人），a＝90200＝0.45，b＝200×0.35＝70，故答案为：0.45；70；（2）“喜欢”网课所对应扇形的圆心角度数：360°×70200＝126°；（3）2000×90200＝900（人），答：该校“非常喜欢”网课的学生有900人．【点睛】此题考查数据章节，频数频率关系，根据扇形图求圆心角度数．24. 某学校为了防控新型冠状病毒，购买了甲、乙两种消毒液进行校园环境消毒．己知学校第一次购买了甲种消毒液40瓶和乙种消毒液60瓶，共花费3 600元；第二次购买了甲种消毒液60瓶和乙种消毒液40瓶，共花费3 400元．（1）每瓶甲种消毒液和每瓶乙种消毒液的价格分别是多少元?（2）学校准备第三次购买这两种消毒液，其中甲种消毒液比乙种消毒液多10瓶，并且总花费不超过3 500元，最多能购买多少瓶甲种消毒液?【答案】（1）每瓶甲种消毒液的价格是30元，每瓶乙种消毒液的价格是40元；（2）最多能购买甲种消毒液55瓶．【解析】【分析】（1）设每瓶甲种消毒液的价格是x元，每瓶乙种消毒液的价格是y元，根据“第一次购买了甲种消毒液40瓶和乙种消毒液60瓶，共花费3 600元；第二次购买了甲种消毒液60瓶和乙种消毒液40瓶，共花费3 400元”列出方程组求解即可；（2）设可以购买甲种消毒液a瓶，根据“总花费不超过3 500元”列出不等式求解即可．【详解】解：（1）设每瓶甲种消毒液的价格是x元，每瓶乙种消毒液的价格是y元．依题意得：40603600 60403400x yx y+=⎧⎨+=⎩解得：3040 xy=⎧⎨=⎩．答：每瓶甲种消毒液的价格是30元，每瓶乙种消毒液的价格是40元．（2）设可以购买甲种消毒液a 瓶，则购买乙种消毒液（a -10）瓶．依题意得：30a ＋40(a -10)≤3500．解得：a ≤3907∴a 的最大整数解为55．答：最多能购买甲种消毒液55瓶．【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的实际应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的等量关系和不等关系式．25. 如图，己知抛物线221y x x =--与y 轴相交于点A ，其对称轴与抛物线相交于点B ，与x 轴相交于点C ．（1）求AB 的长；（2）平移该抛物线得到一条新抛物线，设新抛物线的顶点为P ．若新抛物线经过原点O ，且POA ABC ∠=∠，求新抛物线对应的函数表达式．【答案】（12；（2）22y x x =-或22y x x =+【解析】【分析】（1）先利用函数关系式求出点A 、B 的坐标，再利用两点间的距离公式即可求得AB 的长；（2）根据A 、B 两点坐标结合三角函数可求得∠POA ＝∠ABC ＝45°，进而可判断点P 在在一、三象限或二、四象限的角平分线上，分情况讨论，设点P 坐标为（a ，a ）或（-a ，a ），利用顶点式表示出新抛物线的函数表达式，再将原点O 的坐标代入计算即可．【详解】解：（1）当x ＝0时，y ＝-1，∴点A 坐标为（0，-1），∵221y x x =--∴2(1)2y x =--∴点B 坐标为（1，-2），∴AB ==（2）∵点A 坐标为（0，-1），点B 坐标为（1，-2），∴tan ∠ABC ＝10112-=-+， ∴∠ABC ＝45°，∵∠POA ＝∠ABC ，∴∠POA ＝45°，∴点P 在一、三象限或二、四象限的角平分线上，当点P 在一、三象限的角平分线上时，设点P 坐标为（a ，a ）则设此时新抛物线的解析式为2()y x a a =--∵新抛物线经过原点O ，∴将（0，0）代入，得20a a -=解得121,0a a ==（舍去）∴2(1)1y x =--，即22y x x =-，当点P 在二、四象限的角平分线上时，设点P 坐标为（-a ，a ）则设此时新抛物线的解析式为2()y x a a =+-∵新抛物线经过原点O ，∴将（0，0）代入，得20a a -=解得121,0a a ==（舍去）∴2(1)1y x =+-，即22y x x =+，综上所述，新抛物线对应的函数表达式为22y x x =-或22y x x =+．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数关系式、两点之间的距离公式、利用三角函数值求角的度数，灵活运用相关知识是解决此类题目的关键．26. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，且AB＝AC．延长CD至点E，使CE＝BD，连接AE．（1）求证：AD平分∠BDE；（2）若AB//CD，求证：AE是⊙O的切线．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质和圆内接四边形的性质得到∠ADE＝∠ADB，根据角平分线的定义即可得到结论；（2）根据平行线的性质得到∠ADE＝∠DAB，求得∠BAD＝∠ADB，根据垂径定理得到AT⊥BC，根据平行四边形的性质得到AE//BC，于是得到结论．【详解】（1）证明：连接AD，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADE＝∠ABC，∵∠ADB＝∠ACB，∴∠ADE＝∠ADB，∴AD平分∠BDE；（2）解：连接AO并延长交BC于点F，∵AB//CD，∴∠ADE＝∠DAB，∵∠ADE＝∠ABC＝∠ACB，∴∠ADB＝∠ACB，∴∠BAD＝∠ADB，∴AB＝BD，∵BD ＝CE ，∴AB ＝CE ，∵AC ＝AB ，∴AC AB =∴AF ⊥BC ，∵AB //CE ，AB ＝CE ，∴四边形ABCE 是平行四边形，∴AE //BC ，∴AF ⊥AE ，∴AE 是⊙O 的切线．【点睛】本题考查了切线的判定，角平分线的定义，等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质，平行四边形的判定和性质，垂径定理，正确的识别图形是解题的关键．27. 如图①，在ABC ∆中，点,,D E F 分别在,,AB BC AC 上，且//,//DF BC EF AB ．设ADF 的边DF 上的高为1h ，EFC 的边CE 上的高为2h ．（1）若ADF 、EFC 的面积分别为3，1，则12h h = ； （2）设ADF 、EFC 、四边形BDFE 的面积分别为12,,S S S ，求证：122S S S =（3）如图②，在ABC ∆中，点,D E 分别在,AB AC 上，点,F G 在BC 上，且//DE BC ， //DF EG ． 若ADE 、DBF 、EGC 的面积分别为3， 7， 5，求ABC ∆的面积．【答案】（1；（2）见解析；（3）27【解析】【分析】（1）根据//,//DF BC EF AB 可证ADF ∽FEC ，根据相似三角形的性质即可得解；（2）设AD ＝a ，BD ＝b ，根据相似三角形的性质利用a 、b 分别把1S 、2S 表示出来，进而可表示出S ，然（3）将△BDF 和△CEG 拼接成新△BDH ，易得△BDH ∽△DAE ∽△BAC ，且S △BDH ＝12，利用相似三角形的性质可得AD:BD ＝1:2，进而可得AD ：AB ＝1:3，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得解．【详解】（1）解：∵//,//DF BC EF AB ，∴∠AFD ＝∠C ，∠A ＝∠EFC ，∴ADF ∽FEC ， ∴212ADF FEC S h S h ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∵ADF 、EFC 的面积分别为3，1，∴21231h h ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴12h h =（2）证明：设AD ＝a ，BD ＝b ，∵//,//DF BC EF AB ，∴ADF ∽ABC ，FEC ∽ABC ，∴221ABC S AD a S AB a b ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，222ABC S FE b S AB a b ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭， ∴()212ABC a S S a b =⋅+，()222ABC b S S a b =⋅+， ∴12ABC S S S S =--221ABC a b S a b a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--⋅⎢⎥ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()22ABC abS a b =⋅+()2ABC ABC S Sa b =⋅⋅+=()2ABC ab S a b =⋅+∴S =（3）∵//DE BC ， //DF EG∴四边形DFGE 为平行四边形，∴DF ＝EG ，∴可将△BDF 和△CEG 拼接成新△BDH ，则△BDH ∽△DAE ∽△BAC ，且S △BDH ＝S △BDF ＋S △EGC ＝7＋5＝12，∵△BDH ∽△DAE ， ∴231124DAE BDH S AD SBD ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， ∴12AD BD =， ∴13AD AB =， ∵△DAE ∽△BAC ， ∴221139DAE ABC S AD SAB ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴99327ABC DAE S S ==⨯=，∴ΔABC 的面积为27．【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质：相似三角形的对应高之比等于相似比、相似三角形的面积比等于相似比的平方，通过设AD ＝a ，BD ＝b ，进而表示出1S 、2S 及S 的值是解决（2）的关键，通过拼图拼成新的相似三角形是解决（3）的关键．28. 如图①，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，BC ＝8．点D ，E 分别是边AC ，BC 上的动点，连接DE ．设CD ＝x （x ＞0），BE ＝y ，y 与x 之间的函数关系如图②所示．（1）求出图②中线段PQ 所在直线的函数表达式；（2）将△DCE 沿DE 翻折，得△DME ．①点M 是否可以落在△ABC 的某条角平分线上？如果可以，求出相应x 的值；如果不可以，说明理由； ②直接写出△DME 与△ABC 重叠部分面积的最大值及相应x 的值．【答案】（1）y ＝﹣43x +8；（2）①当x ＝158或x ＝53时，点M 落在△ABC 的某条角平分线上；②当x ＝4时，△DME 与△ABC 重叠部分面积的最大值为8．【解析】【分析】（1）设线段PQ 所在直线的函数表达式为y ＝kx +b ，将P （3，4）和Q （6，0）代入可求得答案；（2）①连接CM 并延长CM 交AB 于点F ，证明△DCE ∽△ACB ，得出∠DEC ＝∠ABC ，则DE//AB ，求出CF ＝245，CM ＝85x ，MF ＝24855x -，过点M 作MG ⊥AC 于点M ，过点M 作MH ⊥BC 于点H ，证得△CGM ∽△BCA ，则MG CG CM AC BC AB ==，可得出MG ，CG ，分三种不同情况可求出答案； ②分两种情形，当0＜x ≤3时，当3＜x ≤6时，求出△DME 与△ABC 重叠部分面积的最大值即可．【详解】解：（1）设线段PQ 所在直线的函数表达式为y ＝kx +b ，将P （3，4）和Q （6，0）代入得，0306k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得438k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴线段PQ 所在直线的函数表达式为483y x =-+； （2）①如图1，连接CM 并延长CM 交AB 于点F ，∵∠C ＝90°，AB ＝10，BC ＝8，∴AC 22AB BC -＝6，由（1）得BE ＝()2221624248DEKP S x x x =-+-=--+四边形，∴CE ＝43x ， ∴34DC AC CE BC ==， ∵∠DCE ＝∠ACB ，∴△DCE ∽△ACB ，∴∠DEC ＝∠ABC ，∴DE//AB ，∵点C 和点M 关于直线DE 对称，∴CM ⊥DE ，∴CF ⊥AB ， ∵1122ABC S AC BC AB CF ==△， ∴6×8＝10×CF ，∴CF ＝245, ∵∠C ＝90°，CD ＝x ，CE ＝43x ， ∴DE 2253CE CD x +=， ∴CM ＝85x ，MF ＝24855x -， 过点M 作MG ⊥AC 于点M ，过点M 作MH ⊥BC 于点H ，则四边形GCHM 为矩形，∵∠GCM+∠BCF ＝∠BCF+∠ABC ＝90°，∴∠GCM＝∠ABC，∵∠MGC＝∠ACB＝90°，∴△CGM∽△BCA，∴MG CG CM AC BC AB==，即85 6810x MG CG==，∴MG＝2425x，CG＝3225x，∴MH＝3225x，（Ⅰ）若点M落在∠ACB的平分线上，则有MG＝MH，即24322525x x=，解得x＝0（不合题意舍去），（Ⅱ）若点M落在∠BAC的平分线上，则有MG＝MF，即242482555x x=-，解得x＝158，（Ⅲ）若点M落在∠ABC的平分线上，则有MH＝MF，即322482555x x=-，解得x＝53．综合以上可得，当x＝158或x＝53时，点M落在△ABC的某条角平分线上．②当0＜x≤3时，点M不在三角形外，△DME与△ABC重叠部分面积为△DME的面积，∴2142233S x x x==，当x＝3时，S的最大值为22363⨯=．当3＜x≤6时，点M在三角形外，如图2，由①知CM＝2CQ＝85x，∴MT＝CM﹣CF＝82455x-，∵PK//DE，∴△MPK∽△MDE，∴()2222824265545MPKMDE x x S MF S MQ x x ⎛⎫- ⎪-⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭△△ ， ∴()2226MPK MDE x S S x -=△△，∵DEKP MDE MPK S S S =-△△四边形，∴()()2222226262113DEKP MDE x x S S x x x ⎡⎤⎡⎤--=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦△四边形， 即：()2221624248DEKP S x x x =-+-=--+四边形，∴当x ＝4时，△DME 与△ABC 重叠部分面积的最大值为8．综合可得，当x ＝4时，△DME 与△ABC 重叠部分面积的最大值为8．【点睛】本题为二次函数与与几何图形压轴题，综合性强，难度较大，设计到一次函数，二次函数，直角三角形，勾股定理，相似，分类讨论等知识，解题关键是认真读题，理解题意，按照解题步骤每一步为后续解题提供条件或方法进行解题，同时注意数形结合思想的运用．。
江苏省苏州市高新区2020年中考数学一模试卷(含解析)
江苏省苏州市高新区2020年中考数学一模试卷一、选择题1．下列各数中，最小的数是（）A．﹣3 B．|﹣4| C．﹣D．2．以下是中国四大银行（工、农、中、建）标志，其中仅是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．下列运算正确的是（）A．a3+a3＝a6B．2（a+1）＝2a+1C．（a﹣b）2＝a2﹣b2D．a6÷a3＝a34．如图，在⊙O中，直径CD垂直弦AB于点E，连接OB、CB，已知⊙O的半径为2，AB＝，则∠BCD的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．15°5．某市测得2019年3月22日到29日PM2.5（可入肺颗粒物）的日均值（单位：μg/m3）如下：65，39，52，45，55，71，65，133，这组数据中位数是（）A．65 B．50 C．60 D．556．不等式组的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．7．如图是几何体的三视图，该几何体是（）A．圆锥B．圆柱C．正三棱柱D．正三棱锥8．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD，∠C＝40°．则∠ABD的度数是（）A．30°B．25°C．20°D．15°9．二次函数y＝x2﹣4x+7的最小值为（）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣310．经过原点的抛物线是（）A．y＝2x2+x B．y＝2（x+1）2C．y＝2x2﹣1 D．y＝2x2+1二.填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分，把答案直接填写在答题卡相应位置上. 11．计算a3÷a2的结果等于．12．分解因式：2a2+4a+2＝．13．五边形的内角和是°．14．某十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是绿灯的概率为．15．如图，圆锥的底面半径为3cm，母线长为6cm，那么这个圆锥的侧面积是cm2（结果保留π）．16．如图，直线y＝x﹣2与x轴交于点A，以OA为斜边在x轴上方作等腰直角三角形OAB，将△OAB沿x轴向右平移，当点B落在直线y＝x﹣2上时，则△OAB平移的距离是．17．如图，矩形ABCD中，E为BC的中点，将△ABE沿直线AE折叠，使点B落在点F处，连接FC，若∠DAF＝18°，则∠DCF＝度．18．如图，抛物线y＝x2﹣4与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连结OQ．则线段OQ的最大值是．三、解答题：本大题共10小题，共76分，把解答过程写在答题卡相应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明，作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔.19．计算：﹣|﹣2|+（）﹣1﹣2cos45°20．解不等式组：．21．先化简，再求值：，其中a＝．22．甲、乙、丙、丁四名同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选两位同学打第一场比赛．（1）若由甲挑一名选手打第一场比赛，选中乙的概率是多少？（直接写出答案）（2）任选两名同学打第一场，请用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率．23．为了解某校学生的课余兴趣爱好情况，某调查小组设计了“阅读”、“打球”、“书法”和“其他”四个选项，用随机抽样的方法调查了该校部分学生的课余兴趣爱好情况（每个学生必须选一项且只能选一项），并根据调查结果绘制了如下统计图：根据统计图所提供的信息，解答下列问题：（1）本次抽样调查中的样本容量是；（2）补全条形统计图；（3）该校共有2000名学生，请根据统计结果估计该校课余兴趣爱好为“打球”的学生人数．24．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E．（1）证明：四边形ACDE是平行四边形；（2）若AC＝8，BD＝6，求△ADE的周长．25．如图，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝mx+b的图象交于两点A（1，3），B（n，﹣1）．（1）求反比例函数与一次函数的函数表达式；（2）在反比例函数的图象上找点P，使得点A，O，P构成以AP为底的等腰三角形，请求出所有满足条件的点P的坐标．26．如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作CE ⊥OB，交⊙O于点C，垂足为点E，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，AF ⊥PC于点F，连接CB．（1）求证：CB是∠ECP的平分线；（2）求证：CF＝CE；（3）当＝时，求劣弧的长度（结果保留π）27．如图1，在△ABC中，∠A＝30°，点P从点A出发以2cm/s的速度沿折线A﹣C﹣B运动，点Q从点A出发以a（cm/s）的速度沿AB运动，P、Q两点同时出发，当某一点运动到点B时，两点同时停止运动．设运动时间为x（s）．△APQ的面积为y（cm2），y关于x的函数图象由C1、C2两段组成（其中C1、C2均为抛物线的一部分）．如图2所示．（1）求a的值；（2）求图2中图象C2段的函数表达式；（3）当点P运动到线段BC上某一段时△APQ的面积，大于当点P在线段AC上任意一点时△APQ的面积，求x的取值范围，28．在平面直角坐标系中，抛物线y＝mx2﹣2mx﹣3m与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC，将△OBC沿BC所在的直线翻折，得到△DBC，连接OD．（1）点A的坐标为，点B的坐标为．（2）如图1，若点D落在抛物线的对称轴上，且在x轴上方，求抛物线的解析式．（3）设△OBD的面积为S1，△OAC的面积为S2，若S1＝S2，求m的值．参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将选择题的答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置上.1．下列各数中，最小的数是（）A．﹣3 B．|﹣4| C．﹣D．【分析】根据绝对值的性质先得出|﹣4|＝4，再根据有理数的大小比较的法则进行比较即可．解：∵|﹣4|＝4，∴﹣3＜﹣＜＜|﹣4|，∴最小的数是﹣3，故选：A．2．以下是中国四大银行（工、农、中、建）标志，其中仅是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项正确；C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误．故选：B．3．下列运算正确的是（）A．a3+a3＝a6B．2（a+1）＝2a+1C．（a﹣b）2＝a2﹣b2D．a6÷a3＝a3【分析】根据同类项合并、多项式乘法、完全平方公式和同底数幂的除法计算判断即可．解：A、a3+a3＝2a3，错误；B、2（a+1）＝2a+2，错误；C、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，错误；D、a6÷a3＝a3，正确；故选：D．4．如图，在⊙O中，直径CD垂直弦AB于点E，连接OB、CB，已知⊙O的半径为2，AB＝，则∠BCD的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．15°【分析】首先在直角三角形OEB中利用锐角三角函数求得∠EOB的度数，然后利用同弧所对的圆心角和圆周角之间的关系求得∠BCD的度数即可．解：∵直径CD垂直弦AB于点E，AB＝2，∴EB＝AB＝，∵⊙O的半径为2，∴sin∠EOB＝＝，∴∠EOB＝60°，∴∠BCD＝30°．故选：A．5．某市测得2019年3月22日到29日PM2.5（可入肺颗粒物）的日均值（单位：μg/m3）如下：65，39，52，45，55，71，65，133，这组数据中位数是（）A．65 B．50 C．60 D．55【分析】先将题目中的数据按照从小到大排列，然后即可得到这组数据的中位数，本题得以解决．解：数据65，39，52，45，55，71，65，133按照从小到大排列是：39，45，52，55，65，65，71，133，故这组数据的中位数是（55+65）÷2＝60，故选：C．6．不等式组的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．【分析】分别求出各不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．解：，由①得，x＞1，由②得，x≥2，故此不等式组得解集为：x≥2．在数轴上表示为：．故选：A．7．如图是几何体的三视图，该几何体是（）A．圆锥B．圆柱C．正三棱柱D．正三棱锥【分析】如图：该几何体的俯视图与左视图均为矩形，主视图为三角形，易得出该几何体的形状．解：该几何体的左视图为矩形，俯视图亦为矩形，主视图是一个等边三角形，则可得出该几何体为正三棱柱．故选：C．8．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD，∠C＝40°．则∠ABD的度数是（）A．30°B．25°C．20°D．15°【分析】根据切线的性质求出∠OAC，结合∠C＝40°求出∠AOC，根据等腰三角形性质求出∠B＝∠BDO，根据三角形外角性质求出即可．解：∵AC是⊙O的切线，∴∠OAC＝90°，∵∠C＝40°，∴∠AOC＝50°，∵OB＝OD，∴∠ABD＝∠BDO，∵∠ABD+∠BDO＝∠AOC，∴∠ABD＝25°，故选：B．9．二次函数y＝x2﹣4x+7的最小值为（）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3【分析】本题考查利用二次函数顶点式求最小（大）值的方法．解：∵原式可化为y＝x2﹣4x+4+3＝（x﹣2）2+3，∴最小值为3．故选：C．10．经过原点的抛物线是（）A．y＝2x2+x B．y＝2（x+1）2C．y＝2x2﹣1 D．y＝2x2+1【分析】将（0，0）代入四个选项，分别计算．解：将（0，0）代入A得，左边＝0，右边＝2×0+0＝0，左边＝右边，成立．将（0，0）分别代入B，C，D得，左边≠右边，等式均不成立．故选：A．二.填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分，把答案直接填写在答题卡相应位置上.11．计算a3÷a2的结果等于a．【分析】利用同底数幂的性质直接运算即可．解：a3÷a2＝a3﹣2＝a，故答案为：a．12．分解因式：2a2+4a+2＝2（a+1）2．【分析】原式提取2，再利用完全平方公式分解即可．解：原式＝2（a2+2a+1）＝2（a+1）2，故答案为：2（a+1）2．13．五边形的内角和是540 °．【分析】根据多边形的内角和是（n﹣2）•180°，代入计算即可．解：（5﹣2）•180°＝540°，故答案为：540°．14．某十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是绿灯的概率为．【分析】随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数，据此用绿灯亮的时间除以三种灯亮的总时间，求出抬头看信号灯时，是绿灯的概率为多少即可．解：抬头看信号灯时，是绿灯的概率为．故答案为：．15．如图，圆锥的底面半径为3cm，母线长为6cm，那么这个圆锥的侧面积是18πcm2（结果保留π）．【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．解：底面圆的半径为3，则底面周长＝6π，侧面面积＝×6π×6＝18πcm2．16．如图，直线y＝x﹣2与x轴交于点A，以OA为斜边在x轴上方作等腰直角三角形OAB，将△OAB沿x轴向右平移，当点B落在直线y＝x﹣2上时，则△OAB平移的距离是 6 ．【分析】根据等腰直角三角形的性质求得点BC、OC的长度，即点B的纵坐标，表示出B′的坐标，代入函数解析式，即可求出答案．解：y＝x﹣2，当y＝0时，x﹣2＝0，解得：x＝4，即OA＝4，过B作BC⊥OA于C，∵△OAB是以OA为斜边的等腰直角三角形，∴BC＝OC＝AC＝2，即B点的坐标是（2，2），设平移的距离为a，则B点的对称点B′的坐标为（a+2，2），代入y＝x﹣2得：2＝（a+2）﹣2，解得：a＝6，即△OAB平移的距离是6，故答案为：6．17．如图，矩形ABCD中，E为BC的中点，将△ABE沿直线AE折叠，使点B落在点F处，连接FC，若∠DAF＝18°，则∠DCF＝36 度．【分析】由折叠的性质得：FE＝BE，∠FAE＝∠BAE，∠AEB＝∠AEF，求出∠BAE＝∠FAE ＝36°，由直角三角形的性质得出∠AEF＝∠AEB＝54°，求出∠CEF＝72°，求出FE＝CE，由等腰三角形的性质求出∠ECF＝54°，即可得出∠DCF的度数．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝∠BCD＝90°，由折叠的性质得：FE＝BE，∠FAE＝∠BAE，∠AEB＝∠AEF，∵∠DAF＝18°，∴∠BAE＝∠FAE＝（90°﹣18°）＝36°，∴∠AEF＝∠AEB＝90°﹣36°＝54°，∴∠CEF＝180°﹣2×54°＝72°，∵E为BC的中点，∴BE＝CE，∴FE＝CE，∴∠ECF＝（180°﹣72°）＝54°，∴∠DCF＝90°﹣∠ECF＝36°；故答案为：36．18．如图，抛物线y＝x2﹣4与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连结OQ．则线段OQ的最大值是 3.5 ．【分析】当B、C、P三点共线，且点C在PB之间时，PB最大，而OQ是△ABP的中位线，即可求解．解：令y＝x2﹣4＝0，则x＝±4，故点B（4，0），设圆的半径为r，则r＝2，当B、C、P三点共线，且点C在PB之间时，PB最大，而点Q、O分别为AP、AB的中点，故OQ是△ABP的中位线，则OE＝BP＝（BC+r）＝（+2）＝3.5，故答案为3.5．三、解答题：本大题共10小题，共76分，把解答过程写在答题卡相应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明，作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔.19．计算：﹣|﹣2|+（）﹣1﹣2cos45°【分析】直接利用二次根式的性质以及负指数幂的性质和特殊角的三角函数值分别化简求出答案．解：原式＝2﹣2+3﹣2×＝2+1﹣＝+1．20．解不等式组：．【分析】先求出每个不等式的解集，再找出不等式组的解集即可．解：∵解不等式①得：x＞﹣4，解不等式②得：x≤，∴不等式组的解集是﹣4＜x≤．21．先化简，再求值：，其中a＝．【分析】首先运用提取公因式及完全平方公式和平方差公式对分式进行化简，然后代入求值．解：原式＝﹣×＝﹣＝＝，当a＝﹣2时，原式＝＝．22．甲、乙、丙、丁四名同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选两位同学打第一场比赛．（1）若由甲挑一名选手打第一场比赛，选中乙的概率是多少？（直接写出答案）（2）任选两名同学打第一场，请用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率．【分析】（1）直接利用概率公式求解；（2）画树状图展示所有12种等可能性结果数，再找出满足条件的结果数，然后根据概率公式求解．解：（1）∵共有乙、丙、丁三位同学，恰好选中乙同学的只有一种情况，∴P（恰好选中乙同学）＝；（2）画树状图得：∵所有出现的等可能性结果共有12种，其中满足条件的结果有2种．∴P（恰好选中甲、乙两位同学）＝．23．为了解某校学生的课余兴趣爱好情况，某调查小组设计了“阅读”、“打球”、“书法”和“其他”四个选项，用随机抽样的方法调查了该校部分学生的课余兴趣爱好情况（每个学生必须选一项且只能选一项），并根据调查结果绘制了如下统计图：根据统计图所提供的信息，解答下列问题：（1）本次抽样调查中的样本容量是100 ；（2）补全条形统计图；（3）该校共有2000名学生，请根据统计结果估计该校课余兴趣爱好为“打球”的学生人数．【分析】（1）根据百分比＝计算即可；（2）求出“打球”和“其他”的人数，画出条形图即可；（3）用样本估计总体的思想解决问题即可；解：（1）本次抽样调查中的样本容量＝30÷30%＝100，故答案为100．（2）其他有100×10%＝10人，打球有100﹣30﹣20﹣10＝40人，条形图如图所示：（3）估计该校课余兴趣爱好为“打球”的学生人数为2000×40%＝800人．24．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E．（1）证明：四边形ACDE是平行四边形；（2）若AC＝8，BD＝6，求△ADE的周长．【分析】（1）根据平行四边形的判定证明即可；（2）利用平行四边形的性质得出平行四边形的周长即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AC⊥BD，∴AE∥CD，∠AOB＝90°，∵DE⊥BD，即∠EDB＝90°，∴∠AOB＝∠EDB，∴DE∥AC，∴四边形ACDE是平行四边形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，∴AO＝4，DO＝3，AD＝CD＝5，∵四边形ACDE是平行四边形，∴AE＝CD＝5，DE＝AC＝8，∴△ADE的周长为AD+AE+DE＝5+5+8＝18．25．如图，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝mx+b的图象交于两点A（1，3），B（n，﹣1）．（1）求反比例函数与一次函数的函数表达式；（2）在反比例函数的图象上找点P，使得点A，O，P构成以AP为底的等腰三角形，请求出所有满足条件的点P的坐标．【分析】（1）利用待定系数法求得一次函数与反比例函数的解析式；（2）利用等腰三角形的性质和两点距离公式可求解．解：（1）∵A（1，3）在反比例函数图象上，∴k＝3，∴反比例函数的函数表达式为：y＝，∵B在y＝的图象上，∴n＝﹣3．∵A（1，3），B（﹣3，﹣1）在一次函数图象上，∴，解得m＝1，b＝2．∴一次函数的函数表达式为：y＝x+2；（2）设点P（a，），∵点A，O，P构成以AP为底的等腰三角形，∴OA＝OP，∴OA2＝OP2，∴（3﹣0）2+（1﹣0）2＝（x﹣0）2+（﹣0）2，∴x1＝1（舍去），x2＝﹣1，x3＝﹣3，x4＝3，∴点P（﹣1，﹣3）或（﹣3，﹣1）或（3，1）．26．如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作CE ⊥OB，交⊙O于点C，垂足为点E，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，AF ⊥PC于点F，连接CB．（1）求证：CB是∠ECP的平分线；（2）求证：CF＝CE；（3）当＝时，求劣弧的长度（结果保留π）【分析】（1）根据等角的余角相等证明即可；（2）欲证明CF＝CE，只要证明△ACF≌△ACE即可；（3）作BM⊥PF于M．则CE＝CM＝CF，设CE＝CM＝CF＝3a，PC＝4a，PM＝a，利用相似三角形的性质求出BM，求出tan∠BCM的值即可解决问题；【解答】（1）证明：∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∵PF是⊙O的切线，CE⊥AB，∴∠OCP＝∠CEB＝90°，∴∠PCB+∠OCB＝90°，∠BCE+∠OBC＝90°，∴∠BCE＝∠BCP，∴BC平分∠PCE．（2）证明：连接AC．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BCP+∠ACF＝90°，∠ACE+∠BCE＝90°，∵∠BCP＝∠BCE，∴∠ACF＝∠ACE，∵∠F＝∠AEC＝90°，AC＝AC，∴△ACF≌△ACE，∴CF＝CE．解法二：证明：连接AC．∵OA＝OC∴∠BAC＝∠ACO，∵CD平行AF，∴∠FAC＝∠ACD，∴∠FAC＝∠CAO，∵CF⊥AF，CE⊥AB，∴CF＝CE．（3）解：作BM⊥PF于M．则CE＝CM＝CF，设CE＝CM＝CF＝3a，PC＝4a，PM＝a，∵∠MCB+∠P＝90°，∠P+∠PBM＝90°，∴∠MCB＝∠PBM，∵CD是直径，BM⊥PC，∴∠CMB＝∠BMP＝90°，∴△BMC∽△PMB，∴＝，∴BM2＝CM•PM＝3a2，∴BM＝a，∴tan∠BCM＝＝，∴∠BCM＝30°，∴∠OCB＝∠OBC＝∠BOC＝60°，∴的长＝＝π．27．如图1，在△ABC中，∠A＝30°，点P从点A出发以2cm/s的速度沿折线A﹣C﹣B运动，点Q从点A出发以a（cm/s）的速度沿AB运动，P、Q两点同时出发，当某一点运动到点B时，两点同时停止运动．设运动时间为x（s）．△APQ的面积为y（cm2），y关于x的函数图象由C1、C2两段组成（其中C1、C2均为抛物线的一部分）．如图2所示．（1）求a的值；（2）求图2中图象C2段的函数表达式；（3）当点P运动到线段BC上某一段时△APQ的面积，大于当点P在线段AC上任意一点时△APQ的面积，求x的取值范围，【分析】（1）过点P作PD⊥AB于D，根据直角三角形的性质得到PD＝AP＝x，根据三角形的面积公式得到函数解析式，代入计算即可；（2）根据当x＝6时，y＝，求出sin B，得到图象C2段的函数表达式；（3）求出y＝x2的最大值，根据二次函数的性质计算即可．解：（1）如图1，过点P作PD⊥AB于D，∵∠A＝30°，∴PD＝AP＝x，∴y＝AQ•PD＝ax•2x＝ax2，由图象可知，当x＝1时，y＝，∴×a×12＝，解得，a＝1；（2）如图2，由（1）知，点Q的速度是1cm/s，∵AC+BC＜2AB，而点P的速度时2cm/s，所以点P先到达B点，作PD⊥AB于D，由图象可知，PB＝7×2﹣2x＝14﹣2x，PD＝PB•sin B＝（14﹣2x）•sin B，∴y＝×AQ×PD＝x×（14﹣2x）•sin B，∵当x＝6时，y＝，∴×6×（14﹣2×6）•sin B＝，解得，sin B＝，∴y＝x×（14﹣2x）×＝﹣x2+x；即C2段的函数表达式为y＝﹣x．（3）x2＝﹣x2+x，解得，x1＝0，x2＝2，由图象可知，当x＝2时，y＝x2有最大值，最大值是×22＝2，∴﹣x2+x＝2，解得，x1＝2，x2＝5，∴当2＜x＜5时，点P运动到线段BC上某一段时△APQ的面积，大于当点P在线段AC上任意一点时△APQ的面积．28．在平面直角坐标系中，抛物线y＝mx2﹣2mx﹣3m与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC，将△OBC沿BC所在的直线翻折，得到△DBC，连接OD．（1）点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0）．（2）如图1，若点D落在抛物线的对称轴上，且在x轴上方，求抛物线的解析式．（3）设△OBD的面积为S1，△OAC的面积为S2，若S1＝S2，求m的值．【分析】（1）抛物线的表达式为：y＝m（x2﹣2x﹣3）＝m（x+1）（x﹣3），即可求解；（2）证明△CPD∽△DQB，即可求解；（3）S2＝S△AOC＝×1×（﹣3m）＝﹣m，而S1＝S△BOD＝×DO×MB＝OM×MB，由S1＝S2即可求解．解：（1）抛物线的表达式为：y＝m（x2﹣2x﹣3）＝m（x+1）（x﹣3），故点A、B的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0），故答案为：（﹣1，0）、（3，0）；（2）过点B作y轴的平行线BQ，过点D作x轴的平行线交y轴于点P、交BQ于点Q，设：D（1，n），点C（0，﹣3m），∵∠CDP+∠PDC＝90°，∠PDC+∠QDB＝90°，∴∠QDB＝∠DCP，又∵∠CPD＝∠BQD＝90°，∴△CPD∽△DQB，∴＝＝，其中：CP＝n+3m，DQ＝3﹣1＝2，PD＝1，BQ＝n，CD＝﹣3m，BD＝3，将以上数值代入比例式并解得：m＝±，∵m＜0，故m＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+；（3）y＝m（x2﹣2x﹣3）＝m（x+1）（x﹣3），∴C（0，﹣3m），CO＝﹣3m．∵A（﹣1，0），B（3，0），∴AB＝4，∴S2＝S△AOC＝×1×（﹣3m）＝﹣m，设OD交BC于点M，由轴对称性，BC⊥OD，OD＝2OM，在Rt△COB中，BC＝＝3，由面积法得：OM＝＝﹣，∴tan∠COB＝＝﹣m，则cos∠COB＝，MB＝OB•cos∠COB＝，∴S1＝S△BOD＝×DO×MB＝OM×MB＝﹣，又S1＝S2，∴m2+1＝（m＜0），故m＝﹣．。
江苏省苏州市吴江区三区联考2020届中考数学一模试卷 (含解析)
江苏省苏州市吴江区三区联考2020届中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共10小题，共30.0分） 1. 下列各数中，最小的数是( )A. 3B. −4C. 4D. −5 2. 据统计，深圳户籍人口约为3700000人，将3700000用科学记数法表示为( )A. 37×105B. 3.7×105C. 3.7×106D. 0.37×107 3. 下列图形中，属于中心对称图形，但不属于轴对称图形的是( )A. B.C. D.4. 某班抽6名同学参加体能测试，成绩分别是80，90，75，75，80，80.则这组同学的测试成绩的中位数是( )A. 75B. 80C. 85D. 90 5. 如图，已知AD//BC ，∠B =40°，DB 平分∠ADE ，则∠DEC 等于( )A. 80°B. 70°C. 60°D. 40° 6. 化简分式：(1−a 2+8a 2+4a+4)÷4a−4a 2+2a 的结果为( ) A. a+2a B. a a+2C. a−2aD. a a−2 7. 若关于x 的方程2x 2=3x +a 没有实数根，则a 的取值范围是( ) A. a <98 B. a >98 C. a <−98 D. a >−98 8. 如图，AB 是⊙O 的直径，点D 、E 是半圆的三等分点，AE 、BD 的延长线交于点C ，若CE =2，则图中阴影部分的面积是( )A. 34π−√3B. πC. π−√3D. π9. 如图，一艘轮船在A 处测得灯塔C 在北偏西15∘的方向上，该轮船又从A 处向正东方向行驶40海里到达B 处，测得灯塔C 在北偏西60∘的方向上，则轮船在B 处时与灯塔C 之间的距离(即BC 的长)为( )A. 40√3海里B. (20√3+20)海里C. 80海里D. (20√3+20√2)海里10. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，BC 为直径，AD 平分∠BAC 交⊙O 于D ，点P为△ABC 的内心，PD =5√2，AB =8.下列结论：①∠BAD =45°；②PD =PB ；③PD =√22BC ；④S △APC =6．其中正确结论的个数是( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）11. −2014的相反数______ ．12. 函数y =1x−2+√3−x 的自变量x 的取值范围是______．13. 如果代数式x +2y +3的值是0，则代数式2x +4y +5的值是______．14. 如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ACD =40°，则∠BCD =________，∠BOD =________．15. 从227、√16、π2、−√93、0.6⋅中，任取一个数，取到无理数的概率是_____． 16. 如图，将△ABC 绕点C 顺时针旋转至△DEC ，使点D 落在BC 的延长线上，已知∠A =27°，∠B =40°，则∠ACE =______．17. 如图，已知菱形ABCD 的边长为4，∠B =60°，点O 为对角线AC的中点，⊙O半径为1，点P 为CD 边上一动点，PE 与⊙O 相切于点E ，则PE的最小值是______．18. 甲、乙两人分别从相距2380米的A ，B 两地出发，相向而行，甲先出发5分钟，乙再出发．在整个行走过程中，甲、乙两人均保持匀速行走，两人相遇后，依然按照原速度原方向继续行走，甲、乙两人相距的路程y(米)与甲出发的时间x(分钟)之间的关系如图所示，则当乙到达A 地时，甲与B 地的距离是______米．三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）19. 如图，在⊙O 中，直径AB 垂直弦CD 于E ，过点A 作∠DAF =∠DAB ，过点D 作AF 的垂线，垂足为F ，交AB 的延长线于点P ，连接CO 并延长交⊙O 于点G ，连接EG ．(1)求证：DF 是⊙O 的切线；(2)若AD =DP ，OB =3，求BD⏜的长度； (3)若DE =4，AE =8，求线段EG 的长．四、解答题（本大题共9小题，共66.0分）20. 计算：√9+(√93−2)0−|−3|−(13)−121.解不等式组：{5x−6>4, ①x−8<4x+1. ②22.如图，在△ABC和△ADE中，∠C=∠E，∠BAD=∠CAE，AB=AD.求证：BC=DE．23.我市2014年中考的体育考试项目和实验考试项目采用抽签方式决定，规定：实验抽考测密度、欧姆定律、二氧化碳制取三个实验项目中的一个(用纸签A、B、C表示).体育从跳绳、篮球运球投篮、立定跳远三个项目(用纸签D、E、F表示)中抽取一项进行考试．在看不到纸签的情况下，分别从中各随机抽取一个．(1)用“列表法”或“树状图法”表示所有可能出现的结果；(2)聪聪抽到B和F(记作事件M)的概率是多少？24.某学校随机抽取若干名学生，调查他们一周的课外阅读时间，并根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计表．根据图表信息，解答下列问题阅读时间(小时)频数(人)频率1≤x<2180.122≤x<3a m3≤x<4450.34≤x<536n5≤x<6210.14合计b1(1)a=______b=______m______，n=______；(2)将频数分布直方图补充完整(画图后请标注相应的频数)；(3)若该校由3000名学生，请根据上述调查结果，估算该校学生一周的课外阅读时间不足三小时的人数．25.我市某社会团体组织人员参观古滇印象展，主办方对团体购票实行优惠：在原定票价的基础上，每张降价40元，则按原定票价需花费6000元购买门票，现在只花了4000元．(1)求每张门票原定的票价；(2)在展览期间，平均每天可售出个人票2000张，现主办方决定对个人购票也采取优惠措施，发现原定票价每降低2元，平均每天可多售出个人票40张，若要使平均每天的个人票收入达到241500元，且能有效控制游览人数，则票价应降低多少元？26.如图，点A的坐标为(0,2√3)，△AOB是等边三角形，AC⊥AB，直线AC与x轴和直线OB分别经过点B．相交于点C和点D，双曲线y=kx(1)求k的值；(2)判断点D是否在双曲线y=k上，并说明理由．xx2+x+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．27.如图，二次函数y=−12(1)求点A、B、C的坐标；(2)M为线段AB上一动点，过点M作MD//BC交线段AC于点D，连接CM．①当点M的坐标为(1,0)时，求点D的坐标；②求△CMD面积的最大值．28.背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图所示的位置摆放(点E、A、D在同一条直线上)，发现BE=DG且BE⊥DG．小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：(1)将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转(如图1)，还能得到BE=DG吗？若能，请给出证明；若不能，请说明理由；(2)把背景中的正方形分别改成菱形AEFG和菱形ABCD，将菱形AEFG绕点A按顺时针方向旋转(如图2)，试问当∠EAG与∠BAD的大小满足怎样的关系时，背景中的结论BE=DG仍成立？请说明理由；(3)把背景中的正方形分别改写成矩形AEFG和矩形ABCD，且AEAG =ABAD=23，AE=4，AB=8，将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转(如图3)，连接DE，BG.小组发现：在旋转过程中，DE2+ BG2的值是定值，请求出这个定值．。
2020年江苏省苏州市吴中区、相城区、吴江区中考一模数学试卷
2020年江苏省苏州市吴中区、相城区、吴江区中考一模数学试卷一、选择题（共10小题；共50分）1. 下列各数中，最小的数是( )A. 0B. 13C. −13D. −32. 天王星围绕太阳公转的轨道半径长约为2900000000km，数字2900000000用科学记数法表示为( )A. 2.9×108B. 2.9×109C. 29×108D. 0.29×10103. 下列图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是( )A. B.C. D.4. 某校田径队六名运动员进行了100米跑的测试，他们的成绩各不相同．在统计时，将第五名选手的成绩多写0.1秒，则计算结果不受影响的是( )A. 平均数B. 方差C. 标准差D. 中位数5. 如图，BD平分∠ABC，E在BC上，EF∥AB，∠FEC=70∘，则∠ABD等于( )A. 35∘B. 40∘C. 55∘D. 70∘6. 计算(ab −ba)÷a+ba的结果为( )A. a−bb B. a+bbC. a−baD. a+ba7. 已知关于x的方程x(x−2)+3m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是( )A. m<13B. m>−13C. m<13且m≠0 D. m>−13且m≠08. 【测试2】如图，⊙O中，AB⏜=AC⏜，∠ACB=75∘，BC=2，则阴影部分的面积是( )A. 2+23π B. 2+√3+23π C. 4+23π D. 2+43π9. 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65∘方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45∘方向上的B处，则这时海轮所在的B处距离灯塔P的距离是( )A. 80√2sin25∘B. 40√2sin25∘C. 80√2cos25∘D. 40√2cos25∘10. 正方形ABCD的边长AB=2，E为AB的中点，F为BC的中点，AF分别与DE，BD相交于点M，N，则MN的长为( )A. 5√56B. 2√53−1 C. 4√515D. √33二、填空题（共8小题；共40分）11. 3的相反数为．12. 函数y=√x−4中，自变量x的取值范围为．13. 已知x−2y=5，那么代数式3−2x+4y的值是．14. 如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，AD是直径，∠CAD=56∘，则∠B的度数为．15. 如图，在2×2的正方形网格中有9个格点，已知取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的概率是．16. 如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D，E分别在AB，BC上，若DE∥AC，∠EDA=120∘，则图中的等边三角形是．17. 如图，菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AC=10，BD=4，动点P在边AB上运动，以点O为圆心，OP为半径作⊙O，CQ切⊙O于点Q，则在点P运动过程中，CQ的长的最大值为．18. 如图，是用图象反映储油罐内的油量V与输油管开启时间t的函数关系．观察这个图象，以下结论正确的有．①随着输油管开启时间的增加，储油罐内的油量在减少；②输油管开启10分钟时，储油罐内的油量是80立方米；③如果储油罐内至少存油40立方米，那么输油管最多可以开启36分钟；④输油管开启30分钟后，储油罐内的油量只有原油量的一半．三、解答题（共10小题；共130分）19. 计算：(−1)3+√9−(√3+1)0．≤9．20. 解不等式组−7≤2(1+3x)721. 已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2．（1）求证：BD=CE；（2）求证：∠M=∠N．22. 从2021年起，江苏省高考采用“3+1+2”模式：“3”是指语文、数学、外语3科为必选科目，“1”是指在物理、历史2科中任选1科，“2”是指在化学、生物、思想政治、地理4科中任选2科．（1）若小丽在“1”中选择了历史，在“2”中已选择了地理，则她选择生物的概率是；（2）若小明在“1”中选择了物理，用画树状图的方法求他在“2”中选化学、生物的概率．23. 苏州市某初中学校对本校初中学生完成家庭作业的时间做了总量控制，规定每天完成家庭作业时间不超过1.5小时．该校数学课外兴趣小组对本校初中学生回家完成作业的时间做了一次随机抽样调查，并绘制出频数分布表和频数分布直方图的一部分．时间(小时)频数(人数)频率0≤t <0.540.10.5≤t <1a 0.31≤t <1.5100.251.5≤t <28b 2≤t <2.560.15合计1（1）a = ，b = ； （2）补全频数分布直方图； （3）请估计该校 1500 名初中学生中，约有多少学生在 1.5 小时以内完成家庭作业．24. 为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从 2016 年年底到 2018 年年底两年内由 5 万册增加到 7.2 万册．（1）求这两年藏书量的年平均增长率；（2）经统计，知中外古典名著的数量在 2016 年年底仅占当时藏书总量的 5.6%，在这两年新增加的图书中，中外古典名著所占的百分率恰好等于这两年藏书量的年平均增长率，那么到2018 年年底中外古典名著的数量占藏书总量的百分之几?25. 如图 1，P 是平面直角坐标系中第一象限内一点，过点 P 作 PA ⊥x 轴于点 A ，以 AP 为边在右侧作等边 △APQ ，已知点 Q 的纵坐标为 2，连接 OQ 交 AP 于 B ，BQ =3OB ．（1）求点 P 的坐标；（2）如图 2，若过点 P 的双曲线 y =kx (k >0) 与过点 Q 垂直于 x 轴的直线交于 D ，连接PD ．求 tan∠PDQ ．26. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，点 D 在直径 AB 上（D 与 A ，B 不重合），CD ⊥AB ，且 CD =AB ，连接 CB ，与 ⊙O 交于点 F ，在 CD 上取一点 E ，使 EF =EC ．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若D是OA的中点，AB=4，求CF的长．27. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=14x2−mx−n的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中A点的坐标为(0,−8)、点B的坐标是(−4,0)．（1）求该二次函数的表达式及点C的坐标；（2）若点D的坐标是(0,−4)，点F为该二次函数在第四象限内图象上的动点，连接CD，CF，以CD，CF为邻边作平行四边形CDEF，设平行四边形CDEF的面积为S．①求S的最大值；②在点F的运动过程中，当点E落在该二次函数图象上时，请求出点E的坐标．28. 如图，已知AE平分∠BAC，ABAE =ADAC．（1）求证：∠E=∠C．（2）若AB=9，AD=5，DC=3，求BE的长．答案第一部分1. D 【解析】−3<−13<0<13，故选：D．2. B 【解析】2900000000用科学记数法表示为2.9×109，故选：B．3. B 【解析】A、既是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项不合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意；C、不是轴对称图形也不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、既是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：B．4. D 【解析】这组数据的中位数第3，4个数据的平均数，∴将第五名选手的成绩多写0.1秒，不影响数据的中位数．5. A【解析】∵EF∥AB，∠FEC=70∘，∴∠ABC=70∘，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=12∠ABC=35∘．6. A7. A 【解析】将方程整理为一般式得x2−2x+3m=0，根据题意知Δ=(−2)2−4×1×3m>0，解得m<13，故选：A．8. A 【解析】∵AB⏜=AC⏜，∴AB=AC，∵∠ACB=75∘，∴∠ABC=∠ACB=75∘，∴∠BAC=30∘，∴∠BOC=60∘，∵OB=OC，∴△BOC是等边三角形，∴OA=OB=OC=BC=2，作AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=CD，∴AD经过圆心O，∴OD=√32OB=√3，∴AD=2+√3，∴S△ABC=12BC⋅AD=2+√3，S△BOC=12BC⋅OD=√3，∴S阴影=S△ABC+S扇形BOC−S△BOC=2+√3+60π×22360−√3=2+23．9. C 【解析】如图，过点P作PD⊥AB于点D．由题意知∠DPB=∠DBP=45∘．在Rt△PBD中，cos45∘=PDPB =√22，∴PB=√2PD．∵点A在点P的北偏东65∘方向上，∴∠APD=25∘．在Rt△PAD中，cos25∘=PDPA．∴PD=PAcos25∘=80cos25∘，∴PB=80√2cos25∘（海里）．10. C第二部分11. −3【解析】3的相反数为−3．12. x≥4【解析】根据题意得x−4≥0，解得：x≥4．13. −7【解析】∵x−2y=5，∴3−2x+4y=3−2(x−2y)=3−2×5=−7．14. 34∘【解析】连接DC，∵AD为直径，∴∠ACD=90∘，∵∠CAD=56∘，∴∠D=90∘−56∘=34∘，∴∠B=∠D=34∘．15. 47【解析】∵取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的有4种情况，∴使△ABC为直角三角形的概率是：47．16. △ABC，△BDE17. 25√2929【解析】连接OQ，∵CQ切⊙O于点Q，∴OQ⊥CQ，∴∠CQO=90∘，∴CQ=√OC2−OQ2，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=OC=12AC=12×10=5，OB=12BD=12×4=2，∴AB=√OA2+OB2=√29，∴OC是定值，则当OQ最小时，CQ最大，即OP最小时，CQ最大，∴当OP⊥AB时，CQ最大，此时OQ=OP=OA⋅OBAB =√29=10√2929，∴CQ=25√2929．18. ①③④【解析】由函数图象知，随着输油管开启时间的增加，储油罐内的油量减少，故①说法正确；由函数图象知，输油管开启10分钟时，储油罐内的油量大于80立方米，故②说法错误；由函数图象知，如果储油罐内至少存油40m3，那么输油管最多可以开启36分钟，故③说法正确；由函数图象知，输油管开启30分钟后，储油罐内的油量只有原油量的一半，故④说法正确．∴结论正确的有①③④．第三部分19. 原式=−1+3−1=1.20. 不等式组的解集为−172≤x≤616．21. （1）在△ABD和△ACE中，{AB=AC,∠1=∠2, AD=AE,∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴BD=CE．（2）∵∠1=∠2，∴∠1+∠DAE=∠2+∠DAE，即∠BAN=∠CAM，由（1）得：△ABD≌△ACE，∴∠B=∠C，在△ACM和△ABN中，{∠C=∠B,AC=AB,∠CAM=∠BAN,∴△ACM≌△ABN(ASA)，∴∠M=∠N．22. （1）13（2）列出树状图如图所示：由图可知，共有12种等可能结果，其中选化学、生物的有2种，所以，P(选化学、生物)=212=16．答：小明同学选化学、生物的概率是16．23. （1）12；0.2【解析】调查的总人数是：4÷0.1=40（人），则a=40×0.3=12（人），b=8÷40=0.2．（2）根据（1）求出的频数，补全统计图如下：（3）根据题意得：1500×(0.1+0.3+0.25)=975（人）．答：该校1500名初中学生中，约有975名学生在1.5小时以内完成家庭作业．24. （1）设这两年藏书量的年平均增长率是x．根据题意，得5(1+x)2=7.2.解得x1=0.2=20%,x2=−2.2(不合题意,舍去).答：这两年藏书量的年平均增长率是20%．（2）在这两年新增加的图书中，中外古典名著有(7.2−5)×20%=0.44（万册），∴到2018年年底中外古典名著的数量占藏书总量的5×5.6%+0.447.2×100%=10%．答：到2018年年底中外古典名著的数量占藏书总量的10%．25. （1）过Q作QC⊥x轴于点C，则CQ=2，∵△APQ是等边三角形，∴∠PAQ=60∘，∵PA⊥x轴，∴∠CAQ=30∘，∴AC=2√3，AP=AQ=4，∵AB∥CQ，∴OAAC =OBBQ=13，∴OA=13AC=2√33，∴P(2√33,4)．（2）设DQ的延长线与过P点平行于x轴的直线交于点E，∵双曲线y=kx(k>0)过点P，∴k=4×2√33=8√33，∴双曲线的解析式为：y=8√33x，又∵OC=OA+AC=2√33+2√3=8√33，∴D点的纵坐标为1，∴DE=4−1=3，在Rt△PED中，PE=AC=2√3,∴tan∠PDQ=PEDE =2√33．26. （1）连接OF，如图1所示：∵CD⊥AB，∴∠DBC+∠C=90∘，∵OB=OF，∴∠DBC=∠OFB，∵EF=EC，∴∠C=∠EFC，∴∠OFB+∠EFC=90∘，∴∠OFE=180∘−90∘=90∘，∴OF⊥EF，∵OF为⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线．（2）连接AF，如图2所示：∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB=90∘，∵D是OA的中点，∴OD=DA=12OA=14AB=14×4=1，∴BD=3OD=3，∵CD⊥AB，CD=AB=4，∴∠CDB=90∘，由勾股定理得：BC=√BD2+CD2=√32+42=5，∵∠AFB=∠CDB=90∘，∠FBA=∠DBC，∴△FBA∽△DBC，∴BFBD =ABBC，∴BF=AB⋅BDBC =4×35=125，∴CF=BC−BF=5−125=135．27. （1）∵二次函数y=14x2−mx−n的图象过A(0,−8)、点B(−4,0)，∴{−8=−n,14×(−4)2+4m−n=0,∴n=8，m=1，∴二次函数的表达式为y=14x2−x−8，令y=0，则14x2−x−8=0，解得：x1=−4，x2=8，∴点C的坐标为(8,0)．（2）①连接OF，FD，设F(t,14x2−x−8)，∵四边形CDEF为平行四边形，∴S△CDF=S四边形CFDO−S△OCD=12×4⋅t+12×8×(−14t2+t+8)−12×8×4=−t2+6t+16=−(t−3)2+25.当t=3时，△CDF的面积有最大值，最大值为25，∴S的最大值为50；②∵四边形CDEF为平行四边形，∴CD∥EF，CD=EF，∵点C向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点D，∴点F向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点E，即E(t−8,14t2−t−12)，∵E(t−8,14t2−t−12)在抛物线上，∴14(t−8)2−(t−8)−8=14t2−t−12，解得t=7，∴t−8=−1，14t2−t−12=−274，∴E(−1,−274)．28. （1）∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠EAC．又∵ABAE =ADAC，∴ABAD =AEAC，∴△ABE∽△ADC．∴∠E=∠C．（2）由（1）知ABAD =BEDC．设BE=x，∵95=x 3， ∴x =275，即 BE =275．。
2020年江苏省苏州市吴中区、相城区、吴江区中考一模数学试卷(word版含答案解析)
2020年江苏省苏州市吴中区、相城区、吴江区中考一模数学试卷一、选择题（共10小题；共40分）1. 下列各数中，最小的数是A.2. 根据公布数据显示，年苏州市户籍人口约7220000人．数据“”用科学记数法表示为A. B. C. D.3. 下列图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是A. B.C. D.4. 在新年晚会的投飞镖游戏环节中，名同学投掷的成绩（单位：环）分别是，，，，，，，则这组数据的中位数是A. B. C. D.5. 如图，平分，在上，，，则等于A. B. C. D.6. 化简分式：的结果为A. B. C.7. 已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是A. B.C. 且D. 且8. 如图，，在上，连接，，，若，劣弧的度数是，．则图中阴影部分的面积是A. B. C. D.9. 如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔海里的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处，则这时海轮所在的处距离灯塔的距离是A. B. C. D.10. 如图，四边形是正方形，是等腰直角三角形，的平分线过点交于，是的中点，对于下面四个结论：① ；② ，且；③ ；④ 的外接圆圆心和它的内切圆圆心都在直线上．其中表述正确的个数是A. B. C. D.二、填空题（共8小题；共32分）11. 的相反数为．12. 函数中，自变量的取值范围为．13. 已知，那么代数式的值是．14. 如图，，是上的两点，是直径，若，则度．15. 如图，在的正方形网格中有个格点，已知取定点和，在余下的个点中任取一点，使为直角三角形的概率是．16. 如图，中，，绕点顺时针旋转得，当落在上时，连接，取的中点，连接，则的值为．17. 如图，菱形中，对角线和相交于点，，，动点在边上运动，以点为圆心，为半径作，切于点，则在点运动过程中，的长的最大值为．18. 学校与图书馆在同一条笔直道路上，甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步行且同时出发，乙先到达目的地．两人之间的距离（米）与时间（分钟）之间的函数关系如图所示．乙回到学校用了分钟．三、解答题（共10小题；共80分）19. 计算：．20. 解不等式组：21. 已知和位置如图所示，，，．（1）求证：；（2）求证：．22. 小张用张相同的小纸条做成甲、乙、丙、丁支签，放在一个盒子中，搅匀后先从盒子中任意抽出支签（不放回），再从剩余的支签中任意抽出支签．（1）小张第一次抽到的是乙签的概率是；（2）求抽出的两支签中，支为甲签、支为丙签的概率（用画树状图或列表法求解）．23. 苏州市某初中学校对本校初中学生完成家庭作业的时间做了总量控制，规定每天完成家庭作业时间不超过小时．该校数学课外兴趣小组对本校初中学生回家完成作业的时间做了一次随机抽样调查，并绘制出频数分布表和频数分布直方图的一部分．（1），；（2）补全频数分布直方图；（3）请估计该校名初中学生中，约有多少学生在小时以内完成家庭作业．24. 在某次商业足球比赛中，门票销售单位对团体购买门票实行优惠，决定在原定票价基础上每张降价元，这样按原定票价需花费元购买的门票张数，现在只花费了元．（1）求每张门票的原定票价；（2）根据实际情况，组织单位决定对于个人购票也采取优惠措施，原定票价经过连续二次降价后降为元，求平均每次降价的百分率．25. 如图，是平面直角坐标系中第一象限内一点，过点作轴于点，以为边在右侧作等边，已知点的纵坐标为，连接交于，．（1）求点的坐标；（2）如图，若过点的双曲线与过点垂直于轴的直线交于，连接．求．26. 如图，中，，为上的一点，以为直径的交于，连接交于，交于，连接，．（1）求证：与相切；（2）若，，则的半径；（3）若，，求（用的代数式表示）．27. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与坐标轴交于，，三点，其中点的坐标为、点的坐标是．（1）求该二次函数的表达式及点的坐标；（2）若点的坐标是，点为该二次函数在第四象限内图象上的动点，连接，，以，为邻边作平行四边形，设平行四边形的面积为．①求的最大值；②在点的运动过程中，当点落在该二次函数图象上时，请求出点的坐标．28. 如图，点从菱形的顶点出发，沿的长是；图是点运动时，的面积随时间变化的函数图象．（1）点的运动速度是；（2）求的值；（3）如图，在矩形中，，，若点，，分别从点，，三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，当点到达点（即点与点重合）时，三个点随之停止运动；若点不改变运动速度，且点，，的运动速度的比为，在运动过程中，关于直线的对称图形是，设点，，的运动时间为（单位：）．①当时，四边形为正方形；②是否存在，使与相似，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．答案第一部分1. D ，故选：D．2. A 【解析】．3. B 【解析】A、既是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项不合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意；C、不是轴对称图形也不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、既是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：B．4. C 【解析】按从小到大的顺序排列为，，，，，，，最中间的数是，故这组数据的中位数是．故选：C．5. A【解析】，，，平分，．6. B 【解析】7. A 【解析】将方程整理为一般式得，根据题意知，解得，故选：A．8. C 【解析】设与相交于点，如图，劣弧的度数是，，，，，劣弧的度数是，，，，在中，，，．9. C 【解析】如图，过点作于点．由题意知．在中，，．点在点的北偏东方向上，．在中，．，（海里）．10. D【解析】四边形是正方形，，，是等腰直角三角形，，，在和中，，，，，，，，故①正确；是的平分线，，是等腰三角形，，又是的中点，是的中位线，，且，故②正确；设和相交于点，如图所示：设，则，设等腰边长是，则，，，，，即，，解得：或（舍去），，则，故③正确；平分，的内切圆圆心在直线上，垂直平分，的外接圆圆心在直线上，的外接圆圆心和它的内切圆圆心都在直线上，故④正确；故选：D．第二部分【解析】的相反数为12.【解析】根据题意得，解得：．【解析】，．14.【解析】，，，是直径，，，，，，．【解析】取定点和，在余下的个点中任取一点，使为直角三角形的有种情况，使【解析】设，，，，，，，，是等边三角形，，，，是等边三角形，，，，，，．17.【解析】连接，切于点，，，，四边形ABCD是菱形，，，，，是定值，则当最小时，最大，即最小时，最大，当时，最大，此时，．18.【解析】由图象可得，甲的速度为：（米/分钟），乙的速度为：（米/分钟），则乙回到学校用了：（分钟）．第三部分19.20.解不等式①得：解不等式②得：则不等式组的解集是21. （1）在和中，，．（2），，即，由（）得：，，在ACM和中，，．22. （1）（2）画树状图如图：所有等可能的情况有种，其中支为甲签、支为丙签的情况有种，支为甲签、支为丙签的概率．23. （1）；【解析】调查的总人数是：（人），则（人），．（2）根据（）求出的频数，补全统计图如下：（3）根据题意得：（人）．答：该校名初中学生中，约有名学生在小时以内完成家庭作业．24. （1）设每张门票的原定票价为元，则团体票价为元，依题意，得：解得：经检验，是原分式方程的解，且符合题意．答：每张门票的原定票价为元．（2）设平均每次降价的百分率为，依题意，得：解得：答：平均每次降价的百分率为．25. （1）过作轴于点，则，是等边三角形，，轴，，，，，，，．（2）设的延长线与过点平行于轴的直线交于点，双曲线过点，，双曲线的解析式为：，又，点的纵坐标为，，在中，．26. （1）因为，所以，因为，，所以，因为，所以，即，所以，所以与相切．（2）【解析】因为，，所以，因为，所以，所以，所以，所以，所以的半径．（3）因为为的直径，所以，所以，又因为，所以，所以，因为，所以，所以，所以，所以，所以，又，所以，即，因为．所以．27. （1）二次函数的图象过、点，，，二次函数的表达式为，令，则，解得：，X=8 点的坐标为．（2）①连接，，设，四边形为平行四边形，当时，的面积有最大值，最大值为，的最大值为；② 四边形为平行四边形，，，点向左平移个单位，再向上平移个单位得到点，点向左平移个单位，再向上平移个单位得到点，即，在抛物线上，，解得，，，．28. （1）【解析】由图点从点运动到点，，点的运动速度．（2）如图，作于点．当点在上时，，四边形为菱形，点的运动速度为，，，解得，在中，，，在中，，即，解得．（3）①②存在．点的运动速度，点，，的运动速度的比为，点的运动速度，点的运动速度，，，，点的运动速度，，当时，，即，解得；当时，，即，解得（舍去），，综上所述，当时，与相似．【解析】① 点的运动速度，点，的运动速度的比为点的运动速度．由题意得，，，，，，由翻转变换的性质可知，，，当时，，四边形为菱形，又，四边形为正方形，，即时，四边形为正方形，。