湖北省新高考协作体2019-2020学年高二下学期期末联考数学试题
一、单选题
湖北省新高考协作体2019-2020学年高二下学期期末联考数学试题
加入试卷
1. 设集合
且，
则（ ）A ．B ．C ．
D ．
2. 复数（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3. 已知，若，则（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4.
若的展开式中的系数是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、多选题
5. 设椭圆的两个焦点分别为，若在轴上方的上存在两个不同的点
满足，
则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6. 5个人站成一列，甲不站中间且站在乙后面的排法数为（ ）A ．42
B ．48
C ．52
D ．54
7.
已知正三棱柱的底面边长为
，若此三棱柱外接球的表面积为
，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A ．
B ．
C ．
D ．
8. 已知函数
，当
时，恒成立，则的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9. 下列说法中正确的是（ ）
A ．将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变
B ．设有一个线性回归方程，变量增加1个单位时，平均增加5个单位
C ．设具有相关关系的两个变量
的相关系数为，则
越接近于，和之间的线性相关程度越强
D ．在一个列联表中，由计算得的值，则的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大
10. 已知，函数的图象在区间
上有且仅有一条对称轴，则实数
的可能取值是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
三、填空题
11. 对于四面体，下面说法正确的是（ ）
A ．若
，则与底面所成的角相等
B ．若，则点
在底面
内的射影是的内心
C ．若到三边的距离相等，且点在平面上的射影落在内，则是的内心
D ．四面体的四个面中最多有四个直角三角形
12.
已知
是椭圆长轴上的两个顶点，点是椭圆上异于的任意一点，点
与点关于轴对称，则下列四个命题
中正确的是（ ）A ．直线
与的斜率之积为定值
B ．
C ．
的外接圆半径的最大值为
D ．直线与的交点在双曲线上
13. 命题“，”的否定是__________.
14.
已知公比不为的等比数列满足
，则__________.
15.
如图所示，在四棱锥中，
平面，，底面为梯形，∥
，，点
在棱
上，若∥平面，则
__________.
五、解答题
16. 已知抛物线
的焦点为，在抛物线上任取一点，则到直线的最短距离为__________，到轴的距离与到直线
的距离之和的最小值为_______.
17. 已知公差不为的等差数列的首项，前项和是，且___________（①
、、
成等比数列，②
，③
，任选一个条件填入上空），设，求数列的前
项和.
18. 已知向量.
（1
）求函数的最小正周期；
（2
）在中，，若，求的周长.
19. 随着高考制度的改革，我省将于2021年开启“语数外+3”新高考模式，2018年秋季入学的高一新生从物理（物）、化学（化）、生物（生）、政治（政）、历史（历）、地理（地）六科中任选三科（共20种选法）作为自己将来高考要考的“语数外＋3”中的“3”．某市为了顺利迎接新高考改革，在某高中200名学生中进行“学生模拟选科数据”调查，每个学生只能从表格中的20种课程组合中选择一种，得到学生模拟选课数据统计如下表：序号1234567
物化生物化政物化历物化地物生政物生历物生地
20人5人10人10人5人15人10人8
9
10
11
12
13
14
物政历物政地物历地化生政化生历化生地化政历
5人0人5人5人………151617181920 化政地
化历地
生政历
生政地
生历地
政历地
总计
四、双空题
学
号组合人数序科组合学号人数序科组合学
为了解学生学习成绩与学生模拟选课情况之间的关系，用分层抽样的方法从这200名学生中抽取40人的样本进行分析．（1）从选择学习物理且学习化学的学生中随机抽取3人，求这3人中至少有2人要学习生物的概率；（2）从选择学习物理且学习化学的学生中随机抽取3人，记这3人中要学习地理的人数为
，学习政治的人数为
，求随机变量的分
布列和数学期望．
20. 如图，在三棱锥
中，平面
平面，，点分别是的中点，点是三角形
的重心，与交于点
.
（1）求证：//平面；
（2
）若
求二面角的余弦值.
②证明:
.
①求的取值范围；
（2）若函数
在其定义域上有两个极值点
.
（1）若该函数在处的切线与直线
垂直，求
的值；
已知函数.
22.（2）设与圆O ：
相切的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点（O 为坐标原点），求面积的最大值.
（1）求椭圆C 的方程；已知椭圆
的短轴长为2，且离心率为.
21.人数
…
…
10人
5人
…
25人
200人
科。
2019-2020学年武汉市数学高二(下)期末统考试题含解析
2019-2020学年武汉市数学高二(下)期末统考试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．若非零向量a v ，b v 满足||a b v v |=|，向量2a b +v v 与b v 垂直，则a v 与b v 的夹角为（ ）A ．150︒B ．120︒C ．60︒D ．30°【答案】B 【解析】∵||||a b =r r ，且2a b +r r 与b r 垂直，∴(2)0a b b +⋅=v v v ，即220a b b ⋅+=v v v ，∴2||2b a b ⋅=-v v v ，∴2||12cos ,2b a b a b a b b b-⋅===-⋅⋅v v v v v v v v v ，∴a r 与b r 的夹角为120︒． 故选B ．2．已知随机变量~(,)B n p ξ，若() 4.8,() 2.88E D ξξ==，则实数n p ，的值分别为( ) A ．4，0.6 B ．12，0.4C ．8，0.3D ．24，0.2【答案】B 【解析】 【分析】由~(,)B n p ξ，可得(),()(1)E np D np p ξξ==-，由此列出关于n p ，的方程组，从而得出结果。
【详解】 解：据题意，得 4.8(1) 2.88np np p =⎧⎨-=⎩,解得120.4n p =⎧⎨=⎩，故选B 。
【点睛】本题考查了二项分布的数学期望和方差，熟记离散型随机变量的数学期望和方差的性质是关键。
3．若抛物线y 2=2px （p>0）的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p=A ．2B ．3C ．4D ．8【答案】D 【解析】【分析】利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于p 的方程，即可解出p ，或者利用检验排除的方法，如2p =时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A ，同样可排除B ，C ，故选D ． 【详解】因为抛物线22(0)y px p =>的焦点(,0)2p 是椭圆2231x y p p +=的一个焦点，所以23()2pp p -=，解得8p =，故选D ．【点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．4．已知0.22x =，2lg 5y =，7525z ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ）A ．x y z <<B ．y z x <<C ．z y x <<D ．z x y <<【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性分别求得,,x y z 的范围，利用临界值可比较出大小关系. 【详解】0.20221x =>=；2lg lg105y =<=；7522155z ⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且0z > y z x ∴<<本题正确选项：B 【点睛】本题考查利用指数函数、对数函数的单调性比较大小的问题，关键是能够通过临界值来进行区分. 5．已知顶点在x 轴上的双曲线实轴长为4，其两条渐近线方程为20x y ±=，该双曲线的焦点为（ ）A ．()± B ．()±C ．()±D ．()±【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线实轴长为4可知 2.a = 由渐近线方程20x y ±=，可得到 2.ba= 然后利用222,c a b =+ 即可得到焦点坐标． 【详解】由双曲线实轴长为4可知 2.a = 由渐近线方程20x y ±=，可得到2.ba=即 4.b = 所以22220.c a b =+= 又双曲线顶点在x轴上，所以焦点坐标为()±．【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，渐近线方程，属于基础题． 6．已知i 为虚数单位，则复数1z ii=+在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z ，从而可得结果.详解：：由于复数，1i z i =+()()()i 1i 1+i 11i 1i 1i 222-===++-， 在复平面的对应点坐标为11,22⎛⎫⎪⎝⎭，∴在第一象限，故选A.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 7．若集合{}A x R ==∈，{}1,B m =，若A B B ⋃=，则m 的值为（ ）A ．2B ．1-C ．1-或2D或2【答案】A 【解析】 【分析】先解出集合A ，由A B B ⋃=，得出A B ⊆，于此可得知实数m 的值. 【详解】=22x x =-，得220x x --=，由于0x ≥，2x ∴=，则{}2A =，A B B =Q U ，A B ∴⊆，2m ∴=，故选：A.【点睛】本题考查集合间的包含关系，利用包含关系求参数的值，解本题的关键就是将集合表示出来，考查计算能力，属于基础题。
武汉市2019-2020学年数学高二第二学期期末统考试题含解析
武汉市2019-2020学年数学高二第二学期期末统考试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．对于函数(),y f x x R =∈,“()y f x =的图象关于轴对称”是“=()f x 是奇函数”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】由奇函数，偶函数的定义,容易得选项B 正确. 2．若m 是小于10的正整数，则()()()151620m m m ---等于（ ）A ．515m P - B ．1520mm P --C ．520m P - D ．620m P -【答案】D 【解析】 【分析】利用排列数的定义可得出正确选项. 【详解】()()()()()()()()()()1231415162020!1516201231414!m m m m m m m m m m ⋅⋅--------==⋅⋅--()()20!206!m m -=--⎡⎤⎣⎦，由排列数的定义可得()()()620151620m m m m P ----=. 故选：D. 【点睛】本题考查排列数的表示，解题的关键就是依据排列数的定义将代数式表示为阶乘的形式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.3．已知()()sin 3f x x x x R =∈，若将其图像右移0ϕϕ>（）个单位后,图象关于原点对称，则ϕ的最小值是 ( ) A ．2πB ．6π C ．3π D ．4π 【答案】C 【解析】 【分析】利用两角和差的三角公式化简函数的解析式，再利用函数y ＝Asin （ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，求得φ的最小值． 【详解】∵f （x ）＝sinx 3+cosx ＝2sin （x 3π+） （x ∈R ）， 若将其图象右移φ（φ＞0）个单位后，可得y ＝2sin （x ﹣φ3π+）的图象； 若所得图象关于原点对称，则﹣φ3π+=k π，k ∈Z ，故φ的最小值为3π， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查两角和差的三角公式，函数y ＝Asin （ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于基础题．4．从10名男生6名女生中任选3人参加竞赛，要求参赛的3人中既有男生又有女生，则不同的选法有()种 A ．1190 B ．420 C ．560 D ．3360【答案】B 【解析】 【分析】根据分类计数原理和组合的应用即可得解. 【详解】要求参赛的3人中既有男生又有女生,分为两种情况： 第一种情况：1名男生2名女生，有12106C C 种选法； 第二种情况：2名男生1名女生，有21106C C 种选法，由分类计算原理可得1221106106420C C C C +=.故选B.【点睛】本题考查分类计数原理和组合的应用，属于基础题. 5．有下列数据：下列四个函数中，模拟效果最好的为( )A ．132x y -=⨯B ．2log y x =C ．3y x =D ．2yx【答案】A 【解析】分析：将()1,3，()2,5.99，()3,12.01代入四个选项，可得结论.详解：将()1,3，()2,5.99，()3,12.01代入四个选项，可得A 模拟效果最好. 故选：A.点睛：本题考查选择合适的模拟来拟合一组数据，考查四种函数的性质，本题是一个比较简单的综合题目. 6．已知单位圆有一条长为2的弦AB ，动点P 在圆内，则使得2AP AB ⋅≥的概率为( ) A ．24ππ- B ．2ππ- C ．324ππ- D ．2π【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】建立直角坐标系，则()1,1AB =，设P 点坐标为(),x y ，则(),1,?12AP x y AP AB x y =+⋅=++≥，故10x y +-≥，则使得2AP AB ⋅≥的概率为24S P S ππ-==阴影圆， 故选A ． 【点睛】（1）当试验的结果构成的区域为长度､面积､体积等时，应考虑使用几何概型求解．（2）利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．7．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三梭柱称之为“堑堵”.已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为( )A ．1613+B ．3213+C ．52813+D ．2613+【答案】D 【解析】分析：先还原几何体，再根据棱柱各面形状求面积.详解：因为几何体为一个以俯视图为底面的三棱柱，底面直角三角形的两直角边长为2213-2，所以棱柱表面积为1=232+24+3134=26+4132S ⨯⨯⨯⨯⨯ 选D.点睛：空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理． (3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．8．若圆22240x y x y ++-=关于直线l ：30x y a ++=对称，则直线l 在y 轴上的截距为（ ） A ．-l B ．l C ．3 D ．-3【答案】A 【解析】 【分析】圆22240x y x y ++-=关于直线l ：30x y a ++=对称,等价于圆心(1,2)-在直线l ：30x y a ++=上,由此可解出a .然后令0x = ,得1y =-,即为所求. 【详解】因为圆22240x y x y ++-=关于直线l ：30x y a ++=对称,所以圆心(1,2)-在直线l ：30x y a ++=上,即320a -++= ,解得1a =. 所以直线:310l x y ++=,令0x = ,得1y =-. 故直线l 在y 轴上的截距为1-.本题考查了圆关于直线对称,属基础题.9．下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22，30)内的概率为( )A ．0.2B ．0.4C ．0.5D ．0.6【答案】B 【解析】区间[22,31)内的数据共有4个，总的数据共有11个，所以频率为1．4,故选B ． 10．设函数()()()222ln 2f x x a x a=-+-，其中0x >，R a ∈，存在0x 使得()045f x ≤成立，则实数a 的值为（）A ．15B ．25C ．12D ．1 【答案】A 【解析】试题分析：函数f （x ）可以看作是动点M （x ，lnx 2）与动点N （A ，2A ）之间距离的平方， 动点M 在函数y=2lnx 的图象上，N 在直线y=2x 的图象上， 问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离， 由y=2lnx 得，y'=2x=2，解得x=1， ∴曲线上点M （1，0）到直线y=2x 的距离最小，最小距离255=， 则f （x ）≥45， 根据题意，要使f （0x ）≤45，则f （0x ）=45，此时N 恰好为垂足， 由2021112MNa a k a a -===---，解得15a = 考点：导数在最大值、最小值问题中的应用11．若f(x)=ax 2+bx+c(c≠0)是偶函数,则g(x)=ax 3+bx 2+cx() A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数若f(x)=ax 2+bx+c(c≠0)是偶函数,则0b =,则3()g x ax cx =+是奇函数，选A.12．若实数,x y 满足32x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则2x y +的取值范围为( )A ．[]1,9 B ．[]5,9C ．[]3,9D ．[]3,5【答案】C 【解析】分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求z 的取值范围. 详解：作出不等式组对应的平面区域如图：设2z x y =+，得2y x z =-+， 平移直线2y x z =-+，由图象可知当直线2y x z =-+经过点()1,1A 时，直线的截距最小， 此时z 最小，为213z =+=，当直线2y x z =-+经过点()3,3B 时，直线的截距最大， 此时时z 最大，为2339z =⨯+=， 即39z ≤≤. 故选：C.点睛：本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法. 二、填空题：本题共4小题13．有n 个元素的集合的3元子集共有20个，则n = _______. 【答案】6在n 个元素中选取3个元素共有3C n 种，解3C n =20即可得解.【详解】在n 个元素中选取3个元素共有3C n 种，解3C n =20得6n =，故答案为6.【点睛】本题考查了组合数在集合中的应用，属于基础题.14．连续3次抛掷一枚质地均匀的硬币，在至少有一次出现正面向上的条件下，恰有一次出现反面向上的概率为 ． 【答案】73 【解析】试题分析：至少有一次正面向上的概率为872113=⎪⎭⎫ ⎝⎛-，恰有一次出现反面向上的概率为8321313=⎪⎭⎫ ⎝⎛C ，那么满足题意的概率为738783=．考点：古典概型与排列组合． 15．用数学归纳法证明422123(1)2n n n n +++++=>，在第二步证明从n k =到1n k =+成立时，左边增加的项数是_____项． 【答案】21k + 【解析】 【分析】根据等式422123(1)2n n n n +++++=>时，考虑n k =和1n k =+时，等式左边的项，再把1n k =+时等式的左端减去n k =时等式的左端，即可得到答案． 【详解】解：当n k =时，等式左端212k =+++，当1n k =+时，等式左端()()()22222121231k k k k k =++++++++++++（），所以增加的项数为：()22121k k k +=+﹣ 即增加了21k +项． 故答案为：21k +．此题主要考查数学归纳法的问题，解答的关键是明白等式左边项的特点，再把1n k =+时等式的左端减去n k =时等式的左端，属于基础题．16．若实数x y ，满足条件1230x x y y x≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则1y z x -=的最大值为_________．【答案】1 【解析】 【分析】作出平面区域，则1y z x-=表示过（0，1）和平面区域内一点的直线斜率．求解最大值即可． 【详解】作出实数x ，y 满足条件1230x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩的平面区域如图所示：由平面区域可知当直线1y z x-=过A 点时，斜率最大． 解方程组1230x x y =⎧⎨-+=⎩得A （1，2）．∴z 的最大值为2-11=1． 故答案为：1． 【点睛】点睛：利用线性规划求最值的步骤： (1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（ax by +型）、斜率型（y b x a++型）和距离型（()()22x a y b +++型）．(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解． (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。
湖北省荆门市2019-2020学年新高考高二数学下学期期末联考试题
提高练习一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数有三个不同的零点 （其中），则的值为( ) A ． B ． C ． D ．2．某公共汽车上有5名乘客，沿途有4个车站，乘客下车的可能方式（ ）A ．45A 种B ．45C 种 C ．45种D ．54种 3．若()2,X N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<<+=，()220.9545P X μσμσ-<<+=.设一批白炽灯的寿命（单位：小时）服从均值为1000，方差为400的正态分布，随机从这批白炽灯中选取一只，则（）A ．这只白炽灯的寿命在980小时到1040小时之间的概率为0.8186B ．这只白炽灯的寿命在600小时到1800小时之间的概率为0.8186C ．这只白炽灯的寿命在980小时到1040小时之间的概率为0.9545D ．这只白炽灯的寿命在600小时到1800小时之间的概率为0.95454．若曲线x y e =在0x =处的切线，也是ln y x b =+的切线，则b =（ ）A ．1-B ．1C ．2D ．e5．已知函数()f x cosx sinx =⋅，给出下列四个说法：2014π3f 3⎛⎫= ⎪⎝⎭①；②函数()f x 的周期为π； ()f x ③在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；()f x ④的图象关于点π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称 其中正确说法的序号是( )A ．②③B ．①③C ．①④D ．①③④ 6．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）A ．0.8B ．0.75C ．0.6D ．0.457．若全集U={1，2，3，4}且∁U A={2，3}，则集合A 的真子集共有（ ）A ．3个B ．5个C ．7个D ．8个8．函数f （x ）＝xsinx+cosx 的导函数为'()f x ，则导函数'()f x 的部分图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．9．复数21i -的共轭复数是 （ ） A ．1i - B ．1i C ．1i -- D ．1i -10．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了割圆术.利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率.如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的n 的值为（ ）(参考数据：3 1.732≈，sin150.2588︒≈，sin7.50.1305︒≈）A ．12B ．24C ．48D ．96 11．若函数()321f x x ax =-+在（0，2）内单调递减，则实数a 的取值范围为 （ ）A ．a ≥3B ．a =3C ．a ≤3D ．0< a <3 12．复数1i 1i -=+z ，则z ＝（ ） A ．0 B ．12 C ．1 D 2二、填空题：本题共4小题13．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，焦距为2c ，P 是椭圆C 上一点（不在坐标轴上），Q 是12F PF ∠的平分线与x 轴的交点，若22QF OQ =，则椭圆离心率的范围是___________．14．已知函数()f x 为偶函数，对任意x ∈R 满足()(2)f x f x =-，当[1,0]x ∈-时，2()1f x x =-+.若函数()()||g x f x a x =-至少有4个零点，则实数a 的取值范围是____________．15．椭圆2214y x +=绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积为___________． 16．将三封录取通知书投入四个邮筒共有_____________种不同的投递方式.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
湖北省新高考联考协作体2021-2022学年高二上学期期末考试数学试题答案
2021-2022学年湖北省新高考联考协作体高二上学期期末考试高二数学试题（答案）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】选A 解：由题意可得：方程22143x y m m +=−−表示焦点在x 轴上的椭圆， 所以40m −>，30m −>并且34m m −<−，解得：732m <<． 2．【解答】选D 解：依题意123=OM OA OB OC k k k ++，由四点共面则系数和123=1k k k++，则=6k ．3．【解答】选C 解：若截距相等且不为0，可以设直线方程为1=+aya x ，将点(1,2)代入得133=+y x ，若截距互为相反数且不为0，可以设直线方程为1=−+ay a x ，将点(1,2)代入得111=+−yx ，若截距为0，则直线过原点，直线的方程为x y 2=． 4．【解答】选B 解：设AB a =，b AD =，1AA c =，则111BD AD AB a b c =−=−++，222221||()2221BD a b c a b c a b a c b c =−++=++−⋅−⋅+⋅=，则1||2BD =．5．【解答】选D 解：由椭圆224:13x y C +=的方程可得24a =，23b =，因为1260F PF ︒∠=，则222121212||||||2cos60||||PF PF PF PF F F +⋅︒=−，即22121212|(||||)3||||||PF PF PF PF F F +−=，由椭圆的定义可得2212(2)3||||(2)a PF PF c −=所以可得2221244||||()433PF PF a c b =−==，所以121211||||sin 62024PF F SPF PF =⋅︒=⨯=． 6．【解答】选B 解：圆心坐标为：(3,4)半径为2，圆心到直线的距离：|916||7|55C C d −+−==，由于圆上有且仅有三个点到直线3450x y −−=的距离为1，则1d =，即|7|=15C −，解得C=2或12． 7．【解答】选A 解：由题意得：11500a =，11.01080n n a a −−=，则11.0812501250()n n a a −−−=，11252500a −=则150}{2n a −为等比数列，-11250=250 1.08n n a −⨯，则-1=1250+250 1.08n n a ⨯2035∴年年底存栏头数为1516=1250+250 1.082050a ⨯≈．8．【解答】选C 解：2021202211a a −<−，2021202211a a >⎧∴⎨<⎩，或2021202211a a <⎧⎨>⎩，又11a >，若0q <则202120220a a <与2021202210a a −>矛盾， 若1q >则202220211a a >>，与20212022101a a −<−矛盾，则01q <<，2021202211a a ><，A ∴错误2202020222021110a a a ∴−=−>，B ∴错误，20211a >且20221a <，2021T ∴的值是n T 中最大的，C ∴正确， 404340432022()1T a =<，4042202120222021()1T a a ⋅>=∴使1n T <成立的最小正整数n 的值为4043，D ∴错误．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．【解答】选CD 解：因为向量p 在基底{,,}a b c 下的坐标为(1，2−，3)，则23p a b c =−+， 设向量p 在基底{a b +，a b −，}c 下的坐标为(x ，y ，)z ，则()()()()p x a b y a b zc x y a x y b zc =++−+=++−+，所以123x y x y z +=⎧⎪−=−⎨⎪=⎩，解得13,,322x y z =−==，所以向量p 在基底{a b +，a b −，}c 下的坐标为13(,,3)22−．故选项A 不正确；向量(2a =，1−，2)，(4b =−，2，)m ，且a 与b 的夹角为钝角，∴8220a b m =−−+<，且21242m−=≠−，解得5m <，且4m ≠−，，故选项B 不正确； 直线l 的方向向量为(1,0,1)a =，点(1A ，2，1)−在l 上，则点(2P ，1，1)到l 的距离为：2||1(cos ,)d AP AP a =−<>2)||||AP a AP a ⋅=⋅31(6−⨯=． ，故选项C 正确；两个不同平面α，β的法向量分别是,u v ，且(1,2,2),(2,4,4)u v =−=−−，因为2v u =−，所以//v u ，则//αβ，故选项D 正确．故选：CD ．10．【解答】选AC 解：根据题意，数列{}n a 的通项公式10(21)()11n n a n =+⋅，n a 最大时1110(21)()2010111102211(21)()11nn n n n a n a n n −−+⋅+==≥−−⋅，且+120(+1)1020+30122(+1)1122+11n n a n n a n n +===≤−，得221219≤≤n 则10a 最大，A 正确等差数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n S 与n T ，4231n n S n T n +=−，∴1171751595599()24921929239113()2a a a a Sb b T b b +⨯+=====⨯−+．故B 错误 4841281612S S S S S S S 、-、-、-成等差数列，4841281612===7=9S S S S S S S 3、-5、-、-，则16=3+5+7+9=24S 故C 正确.当1q =−时，10n n a a ++=，此时1{}n n a a ++不是等比数列，故D 错误．11．【解答】选BD解：由双曲线的渐近线方程为y =，可设双曲线方程为223x y λ−=，把点代入，得63λ−=，即3λ=．∴双曲线C 的方程为2231y x −=，故A 错误；由21a =，23b =，得2c ==，∴双曲线C 的离心率为2，故B 正确； 由双曲线的定义212|||||||5|||=2PF PF PF −=−，则2||3PF =或7，故C 错误； 双曲线的渐近线0y ±=，直线10y −−=与双曲线的渐近线平行，直线10x −−=与C 只有1个公共点故D 正确．故选：BD ．12．【解答】选BCD 解：231121=++=AC k ，则AC 边上的高的斜率为32−，则高的方程为)2(323+−=−x y 即2350x y +−=；则A 不正确设ABC ∆的外接圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，则110492301420D E F D E F D E F ++++=⎧⎪+−++=⎨⎪+−−+=⎩，解得3D =，1E =−，4F =−，所以ABC ∆的外接圆的方程为22340x y x y ++−−=．则B 正确C ．,231112,321213=−−−−=−=−−−=AC AB k k 则相交时]23,32[−∈k ，则C 正确D ．AC 所在直线的方程为3210x y −−=；B 到AC 的距离为13，AC=13，则面积为213，则D 正确．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．【解答】填2 解：设四个数为1a ，q a 1，112a q a −，21q a ，由4321a a a a =++即2111112q a a q a q a a =−++可得3=q ,则251021111211341==−+=+a a a q a q a a a a a .14．【解答】填(1−，4)． 解：（1）设点A 关于直线l 的对称点为(,)m n ，则这两点的中点为3(2m +，)2n ，所以310220213m nn m +⎧−+=⎪⎪⎨−⎪⋅=−⎪−⎩，解得1m =−，4n =，所以点A 关于直线l 的对称点为(1−，4)． 15．【解答】填49解法一：过A 、B 分别作准线的垂线，垂足为C 、D ，设||FB x =，则||BD x = ||||2AF AC x ==，||||3PB AB x ==，PFO PBD ∽△△则OF BD PF PB =即143xx x =，则43=x ，9||34AB x ==．解法二：设直线AB 的方程为21+=my x ，代入抛物线的方程得0122=−−my y 设1(A x ，1)y ，2(B x 2)y 则1212=12y y m y y =−+⎧⎨⎩，又2AF FB =则12=2y y −，代入有222=221y my −=−⎧⎪⎨−⎪⎩得22422==m y ⎧−⎪⎪⎨⎪⎪⎩，则12129||()114AB x x p m y y =++=+++=． 16．【解答】填32解：AC CD B A BD =−++，则 2222222=36+16+3672cos =40AC AB BD AC AB AC BD A C B D D B θ=++−⋅−⋅+⋅−，则2cos 3θ=． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．【解答】解：（1）因为{}n a 是等差数列，设等差数列{}n a 的公差为d 17747()7982a a S a +===，所以414a =．又317a =，由343a a d −==−，所以3(3)(3)263n a a n n =+−⨯−=−．（5分） （2）易知21()(23263)349=222n n S n a a n n n n++−−+==，（7分） 对称轴为496n =则，8n =，时max 8364498==1002S S −⨯+⨯=（10分） （或2630n a n =−>时得8n ≤，max 8364498==1002S S −⨯+⨯=）18．【解答】解：（1）设直线AB 的方程：x my n =+，因为M 在直线AB 上，所以2m n +=，设1(A x ，1)y ，2(B x 2)y ，由(2,1)M 是AB的中点可得，12212y y +=⨯=，联立24y x x my n⎧=⎨=+⎩，整理可得：2440y my n −−=，（2分）所以1242y y m +==，即12m =，则32m =（4分） 则直线的方程为23y x =−.（5分）解法二：设1(A x ，1)y ，2(B x 2)y ，由21121144y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 两式相减得121212(+)()4()y y y y x x −=−（2分） 则121212442+2y y k x x y y −====−，（4分） 则直线的方程为2(1)2y x =−+，即23y x =−.（5分）（2）设直线AB 的方程：x my n =+，因为M 在直线AB 上，所以2m n +=， 设1(A x ，1)y ，2(B x 2)y ，联立24y xx my n ⎧=⎨=+⎩，整理可得：2440y my n −−=，所以1212=4448n y y m y m y −=−+=⎧⎨⎩，（8分）2212122212()()+16163216()42y y y y y m m m m y −=−+=−+=−，当12m =时，m 1in 2|=|y y −=，（10分） 又7472421||||2121=⨯⨯=−⋅=y y OP S OAPB 最小.（12分） 19．【解答】解：（Ⅰ）1323n n a S +=−+，1323n n a S −∴=−+，(2)n ... 11332()2n n n n n a a S S a +−∴−=−−=−，(2)n (11)3n n a a +∴=，(2)n …．（3分） 对于1323n n a S +=−+令1n =，可得213231a a =−+=，解得2111=33a a =，（4分） {}n a ∴为等比数列，13q = ∴113nn a −=．（5分） （Ⅱ）3log =(1)n n b a n =−−31(1)log =3n n n n n a b a −−−=，（7分） 0121012(1)3333n n n H −−−−−=+++⋯+① 1231012(1)33333n nn H −−−−=+++⋯+②②−①得11123111(1)21111(1)(1)(2+1)133=1333333323213n n n n n nn n n H −−−−−−−=+++⋯+−−=+⋅−（11分）-1-1(2+1)33(2+1)=43443n n n n n n H ∴=−−⋅⋅−．（12分）20．【解答】解：（1）将圆C 化成标准方程得22(1)(2)4x y −+−=，（1分）圆心到直线l 的距离141317)12(93)12(23222++−=++−++=m m m m m m m d ，（2分） 弦长22222423r d d −=−=，则1d =,（3分） 即11413172=++−m m m 得0m =或12m =，（4分） 则直线的方程为30y −=或3460x y +−=.（5分）（2）直线3+(21)30mx m y +−=可以变形为(32)+30m x y y +−=，则直线过定点)3,2(−M ，（6分）圆心到直线l 的距离||d CM ≤，当且仅当l CM ⊥时取等号，此时11223123−=−−−⋅+−m m 得31−=m ,此时直线的方程为093=+−y x （8分）又222122||||=||2||42APCQ APC S S AP PC AC r r AC ==−=−，当||AC 最小，四边形面积最小，（10分）1013|9213|||22min =++−⨯=AC ，此时2104=26APCQ S =−最小（12分）21．【解答】解：（1）在正方形ABCD 中//BC AD ，则异面直线BC SD 、所成夹角即AD SD 、所成角，取BC 的中点O ，连接SO ，因为平面SBC ⊥平面ABCD ，平面SBC ⋂平面ABCD BC =，SO BC ⊥，SO ⊂平面SBC ，所以SO ⊥平面ABCD ； 设=AB a ，则=AD a ，2223==+244a a AS AD a a +=所以22222cos ==2422DA DS AS a ADS DA DS a a +−∠=⋅⨯⨯；则异面直线BC SD 、所成夹角的余弦值为42．（6分） （2）因为SO ⊥平面ABCD ，以点O 为坐标原点，建立空间直角坐标系O xyz −如图所示；由2AB =，则(1A ，2−，0)，(1B ，0，0)，(0S ，0，(1D −，2−，0)， (0AB =，2，0)，(1AS =−，2，设平面SAB 的一个法向量为(m x =，y ，)z ， 由00m AB m AS ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得20+20y x y =⎧⎪⎨−+=⎪⎩，令1z =，得(3m =，0，1)，（8分）又(AE AS λλ==−，2λ)，(2DA =，0，0)，所以(2DE λ=−，2λ)，（9分）设直线DE 与平面SAB 所成的角为θ，cos θ=则|||3(2)+sin 7||||||3DE m DE m DE λθ⋅−===⨯⨯+，解得14λ=，14||2DE =，即DE 的长为214（12分）22．【解答】解：（1）由离心率为21，则21=a c ，得c a 2=，c b 3=，于是椭圆的方程为2222143x yc c +=，又)23,1(A 在椭圆上，有22941143c c +=，得12=c ，所以椭圆的方程为22143x y +=.（4分）（2）设直线MN 的方程为+y kx m =，联立直线与椭圆的方程得2234()12x kx m ++=， 即222(43)84120k x kmx m +++−=，设),(),(2211y x N y x M 、，则348221+−=+k km x x ，324122421+−=k m x x ，（6分） 直线AN AM 、的倾斜满足1=+AN AM k k ，即11231232211=−−+−−x y x y 则)1)(1()1)(23()1)(23()1)(23()1)(23(2112211221−−=−−++−−+=−−+−−x x x m kx x m kx x y x y 即0)22())(21()12(2121=−−+−−+−m x x k m x x k ，（8分）将348221+−=+k km x x ，324122421+−=k m x x 代入化简得0)3)(32()122(42=+−−−+m m k m k 即0)32)(322(=−−−+m k m k ，则0322=−+m k 或032=−−m k即23+−=k m ，或32−=k m ，（10分）若23+−=k m 则直线MN 的方程为33(1)22y kx k k x =−+=−+，则直线MN 过定点)23,1(D ，与A 重合，舍去，若32−=k m 则直线MN 的方程为+23(+2)3y kx k k x =−=−，则直线MN 过定点)3,2(−−D则P 在以AD 为直径的圆上，圆心Q 为AD 中点)43,21(−−（12分）。
湖北省新高考联考协作体2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题
湖北省新高考联考协作体2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题一、单选题1．集合{}2340A x x x =--≤∣，集合{B y y ==∣，则A B =I （ ） A ．[]1,2- B ．[]4,1- C ．[]0,1 D ．[]0,22．已知函数()y f x =的导函数()f x '图象如图所示，则函数()y f x =的极大值点有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3．如果函数()y f x =在[,]a b 上的图象是连续不断的一条曲线，那么“()()0f a f b ⋅<”是“函数()y f x =在(,)a b 内有零点”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．等比数列{}n a 的前n 项积为9,512n T T =，则37a a +的最小值是（ ）A ．2B ．C ．4D ．5．空间向量()1,0,1a =r 在()0,1,1b =r 上的投影向量为（ ）A ．11,0,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．⎝⎭C ．110,,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．22⎛ ⎝⎭6．设P 为椭圆22143x y +=上一动点，12F F ､分别为椭圆的左､右焦点，已知点()1,1D ，则1PF PD +的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．57．从数字0,1,2,3,4中选四个组成没有重复数字且比2024大的四位数有（ ） A ．52个 B ．64个 C ．66个 D ．70个8．已知111583e 45e ,3,5,e a b c >===，则a b c ､､的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c a b <<二、多选题9．下列说法中正确的是（ ）A ．若随机变量110,3XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭:，则()3120D X -= B ．若随机变量()2,X N μσ:，当μ不变时，σ越小，该正态分布对应的正态密度曲线越矮胖C ．回归分析中，样本决定系数2R 越大，残差平方和越小，模型拟合效果越好D ．在独立性检验中，当2(ααχχχ≥为α的临界值)时，推断零假设0H 不成立10．定义在R 上的非常数函数()f x 的导函数为()f x '，若()2f x +为偶函数且()()23f x f x ++=.则下列说法中一定正确的是（ ）A ．()f x 的图象关于直线2x =对称B ．6是函数()f x 的一个周期C ．()312f =D ．()f x '的图象关于直线3x =对称11．已知不等式ln 1x x ≤-对任意0x >恒成立，则下列不等式中一定成立的是（ ）A ．1ln 1x x≥-B ．016666650C C C e 666+++<L C ．111ln202522024+++>L D ．111ln2025232025+++>L三、填空题12．某中学举办女子排球赛，高二年级A 班与B 班进行比赛，每局比赛A 班获胜概率为25，每场比赛结果相互独立.若比赛采用三局两胜制（先赢两局者获胜），则A 班获胜的概率是.13．已知函数()2f x x ax =-在13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则实数a 的取值范围是. 14．过点()0,t 有且只有一条直线与曲线ex x y =相切，则实数t 的取值范围是.四、解答题15．已知在01(12)n n n x a a x a x -=+++L 的展开式中，所有项的二项式系数之和为512.(1)求n 的值，并求展开式中所有项的系数和；(2)求展开式中系数绝对值最大的项.16．随着“特种兵旅行”在网络的爆火，某市文旅局准备在本市的景区推出旅游一卡通（也称旅游年卡）.为了更科学的制定一卡通的有关条例，市文旅局随机调查了2023年到本市景区旅游的1000名游客的年旅游消费支出，其旅游消费支出（单位：百元）近似服从正态分布()2,N μσ，其中11.8, 3.2μσ==. (1)若2023年到本市景区旅游游客为500万人，试估计2023年有多少游客（单位：万）在本市的年旅游消费支出不低于1500元；(2)现将游客来源分为“当地游客”和“外地游客”.若从这1000名游客中随机抽取1人，抽到外地游客的概率为25.规定游客的消费支出不低于1400元为三星客户，否则为一星客户.请根据已知条件完成下面的列联表，并依据小概率值0.01α=的独立性检验，能否认为“客户星级”与“游客来源”有关联？参考数据：若随机变量()2,X N μσ~，则()()()0.6827,220.9545,330.9973P X P X P X μσμσμσμσμσμσ-≤≤+≈-≤≤+≈-≤≤+≈；参考公式：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.17．已知()1ln a f x x a x x-=--. (1)判断()f x 的单调性；(2)若()f x 的极大值为3-，求实数a 的值.18．某中学即将迎来百年校庆，校方准备组织校史知识竞猜比赛.比赛规则如下：比赛分成三轮，每轮比赛没有通过的学生直接淘汰，通过的学生可以领取奖品结束比赛，也可以放弃本轮奖品继续下一轮比赛，三轮都通过的学生可获得奖品一纪念版手办.已知学生每轮通过的概率都为12，通过第一轮比赛后领取奖品结束比赛的概率为13，通过第二轮比赛后领取奖品结束比赛的概率为12.(1)求学生小杰获得奖品的概率；(2)已知学生小杰获得奖品，求他至少通过两轮比赛的概率；(3)求学生小杰通过的比赛轮数X 的分布列与数学期望.19．已知()f x 是定义在[],a b 上的函数，*n ∀∈N ，将区间[],a b 划分为任意n 个互不相交的小区间，将分点按从小到大记作()0,1,,i x i n =L ，其中0,n x a x b ==.若存在一个常数0M >，使得()()11n i i i f x f x M -=-≤∑恒成立，称函数()f x 为[],a b 上的有界变差函数.(1)证明：若()f x 是定义在[]1,1-的单调递增函数，则()f x 为[]1,1-上的有界变差函数；(2)判断()2f x x =在[]1,1-上是否为有界变差函数？请说明理由；(3)判断()πcos ,00,0x x f x x x ⎧>⎪=⎨⎪=⎩在[]0,1上是否为有界变差函数？请说明理由.。
湖北省新高考联考协作体2024年高二9月起点考试 数学试题(含答案)
2024年高二9月起点考试高二数学试卷命题学校：安陆一中命题教师：审题学校：安陆一中考试时间：2024年9月5日下午14：30~16：30试卷满分：150分注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.孝感市某高中有学生1200人，其中高一年级有学生400人，高二年级有学生600人，现采用分层随机抽样的方法抽取120人进行问卷调查，则被抽到的高二年级学生人数比高一年级学生人数多()A .20B .30C .40D .502.已知复数z 满足：(12)34i z i +=-，则复数的虚部为()A .2iB .2-C .2D .2i-3.已知()2,0a →=，)2,2(=→b ，则a →在b →上的投影向量为()A .)B .()1,1C .()2,1D .()2,24.已知圆锥的侧面积为2π，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为3π的扇形，则该圆锥的底面圆半径为()A .33B .233C D .4335.掷两枚质地均匀的骰子，设A=“第一枚出现小于4的点”，B=“第二枚出现大于3的点”，则A 与B 的关系为()A .互斥B .互为对立C .相互独立D .相等6.在三棱锥S ABC -中，三个侧面与底面ABC 所成的角均相等，顶点S 在ABC △内的射影为O ，则O 是ABC △的()A .垂心B .重心C .内心D .外心7.如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱1111ABCD A B C D -，底面ABCD是正方形，31=CC ，3CD =，且1160C CB C CD ∠=∠=︒，则向量1A C的模长为()AB .34C .52D .538.已知单位向量a ，b满足0a b b -+⋅= ，则→→+b a t 2(t R ∈)的最小值为()A .3B .3C .3D .23二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.关于向量a ，b，下列命题中正确的是()A .若a b =，则a b = ．B .若a b =- ，则a b ∥．C .若a b >，则a b > ．D .若→→→→==c b b a ,，则→→=c a ．10.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P 在线段11C D 上运动，则下列选项中正确的是()A .AP ．B ．平面1BB P ⊥平面1111A BCD ．C .若P 是11CD 的中点，则二面角11P B B C --的余弦值为255．D ．若114D P =，则直线1B P 与1BD 所成角的余弦值为．11.在一种数字通讯中，信号是由数字0和1的序列组成的。
2023-2024学年湖北省新高考联考协作体高二上学期期末考试数学试卷+答案解析
2023-2024学年湖北省新高考联考协作体高二上学期期末考试数学试卷❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线的焦点坐标为()A.B.C.D.2.若等比数列的第2项和第6项分别为3和12，则的第4项为()A.4B.C.6D.3.两条平行直线与间的距离为()A. B.1C.D.4.假设，，且A 与B 相互独立，则()A.B.C.D.5.已知空间向量，则B 点到直线AC 的距离为()A. B.C.D.6.过内一点的2023条弦的弦长恰好可以构成一个公差为的等差数列，则公差d 的最大值为()A.B.C.D.7.已知椭圆，过右焦点F 作直线与椭圆C 交于A 、B 两点，以AB 为直径画圆，则该圆与直线的位置关系为()A.相交B.相切C.相离D.不确定8.如图，在空间直角坐标系中，正四棱柱的底面边长为4，高为2，O 为上底面中心，E ，F ，G 分别为棱AD 、AB 、的中点.若平面OEF 与平面OBG 的交线为l ，则l 的方向向量可以是()A. B. C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.若数列的前n项和为，则下列命题正确的是()A.数列为等差数列B.数列为单调递增数列C.数列为单调递增数列D.数列为等差数列10.已知点和，过P点的两条直线分别与相切于A，B两点，则以下命题正确的是()A.B.C.P、A、Q、B均在圆上D.A，B所在直线方程为11.在棱长为2的正方体中，点P满足，、，则()A.当时，点P到平面的距离为B.当时，点P到平面的距离为C.当时，存在点P，使得D.当时，存在点P，使得平面PCD12.已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线C上两点A，B关于坐标原点对称，点P为双曲线C右支上一动点，记直线PA，PB的斜率分别为，，若，则下列说法正确的是()A.B.若，则的面积为C.若，则的内切圆半径为D.以为直径的圆与圆相切三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
湖北省新高考联考协作体2024-2025学年高二上学期10月联考数学试卷(含答案)
2024-2025学年湖北省“新高考联考协作体”高二10月联考数学试卷❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知(1+i )z =1+3i ，则复数z 的虚部为( )A. 1B. ―1C. iD. 22.一组数据23，11，14，31，16，17，19，27的上四分位数是( )A. 14B. 15C. 23D. 253.我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”现有一类似问题：不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示.用锯去锯这木材，若锯口深CD =4―2 2，锯道AB =4 2，则图中弧ACB 与弦AB 围成的弓形的面积为( )A. 4πB. 8C. 4π―8D. 8π―84.已知cos(θ+π4)=― 1010，θ∈(0,π2)，则sin(2θ―π3)=( )A. 4+3310B. 3+4310C. 4―3310D. 3―43105.平行六面体ABCD ―A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是边长为2的正方形，且∠A 1AD =∠A 1AB =60∘，AA 1=3，M 为A 1C 1，B 1D 1的交点，则线段BM 的长为( )A. 3B.10 C.11 D. 236.如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为Ω={1,2,3,4,5,6,7,8}，记事件A =“得到的点数为奇数”，记事件B =“得到的点数不大于4”，记事件C =“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是( )A. 事件B 与C 互斥B. P (A ∪B )=58C. P (ABC )=P (A )P (B )P (C )D. A ，B ，C 两两相互独立7.若某圆台有内切球(与圆台的上下底面及每条母线均相切的球)，且母线与底面所成角的正弦值为32，则此圆台与其内切球的表面积之比为( )A. 43B. 2C. 136D. 738.在△ABC 中，BC =2，∠BAC =π3，O 是△ABC 的外心，则OA ⋅BC +BA ⋅CA 的最大值为( )A. 2B. 103C. 113D. 4二、多选题：本题共3小题，共18分。
湖北省三市2019-2020学年高二下期末考试数学试题(理)含解析
湖北省三市2019-2020学年高二下期末考试数学试题(理)含解析~学年度第二学期期末联考试题高二数学(理科)本试卷共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合，集合，则A. B. C. D.【答案】C【解析】，所以=2. 已知命题；命题，则下列命题中为真命题的是A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：∵当时，，∴命题为假命题；∵，图象连续且，∴函数存在零点，即方程有解，∴命题为真命题，由复合命题真值表得：为假命题；为真命题；为假命题；为假命题.选故B.考点：1、复合命题的真假判断；2、指数函数；3、函数与方程.3. 设随机变量x服从正态分布N（2，9），若，则m=A. B. C. D. 2【答案】B【解析】由正态分布性质可得4. 设复数，若，则的概率为A. B. C. D.【答案】D【解析】若则，则的概率为：作出如图，则概率为直线上方与圆的公共部分的面积除以整个圆的面积，即：5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. B. C. D.【答案】B【解析】作出立体图形为：故该几何体的体积为：6. 若双曲线的一条渐近线与圆至多有一个交点，则双曲线的离心率为...A. B. C. D.【答案】C【解析】由题得双曲线的渐近线为：，与圆至多有一个交点，则,由，故选C7. 设x，y满足约束条件则的最大值是A. B. C. D.【答案】B【解析】作出如图：则表示阴影区域点与原点的连线的斜率，故8. 若抛物线上一点到焦点和抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线方程为A. B.C. 或D. 或【答案】C【解析】试题分析：，即，代入抛物线中，，所以或.∴或.考点：1.抛物线的焦点；2.抛物线的对称轴；3.抛物线的标准方程.9. 用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有A. 144个B. 120个C. 96个D. 72个【答案】B【解析】试题分析：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个；进而对首位数字分2种情况讨论，①首位数字为5时，②首位数字为4时，每种情况下分析首位、末位数字的情况，再安排剩余的三个位置，由分步计数原理可得其情况数目，进而由分类加法原理，计算可得答案．解：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个；分两种情况讨论：①首位数字为5时，末位数字有3种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有A43=24种情况，此时有3×24=72个，②首位数字为4时，末位数字有2种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有A43=24种情况，此时有2×24=48个，共有72+48=120个．故选：B考点：排列、组合及简单计数问题．10. 公元前300年欧几里得提出一种算法，该算法程序框图如图所示。
2019-2020学年湖北省新高考联考协作体高二下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年湖北省新高考联考协作体高二第二学期期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．设集合M＝{x|﹣1≤x≤2且x∈Z}，N＝{x|y＝lg（x+1）}，则M∩N＝（）A．（﹣1，+∞）B．{﹣1，0，1，2}C．{0，1，2}D．{1，2}2．复数＝（）A．B．C．i D．﹣i3．已知，若，则＝（）A．B．C．D．34．若（2x﹣1）5的展开式中x3的系数是（）A．10B．﹣10C．40D．﹣405．设椭圆C：＝1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，若在x轴上方的C上存在两个不同的点M，N满足∠F1MF2＝∠F1NF2＝，则椭圆C离心率的取值范围是（）A．B．C．D．6．5个人站成一列，甲不站中间且站在乙后面的排法数为（）A．42B．48C．52D．547．已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为，若此三棱柱外接球的表面积为5π，则异面直线AC1与BA1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．8．已知函数f（x）＝ln（x+1）﹣2ax，当x＞0时，f（x）＜0恒成立，则a的取值范围是（）A．B．C．D．二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分．）9．下列说法中正确的是（）A．将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变B．设有一个线性回归方程，变量x增加1个单位时，平均增加5个单位C．设具有相关关系的两个变量x，y的相关系数为r，则|r|越接近于0，x和y之间的线性相关程度越强D．在一个2×2列联表中，由计算得K2的值，则K2的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大10．已知ω＞0，函数的图象在区间上有且仅有一条对称轴，则实数ω的可能取值是（）A．1B．2C．3D．411．对于四面体A﹣BCD，下面说法正确的是（）A．若AB＝AC＝AD，则AB，AC，AD与底面所成的角相等B．若AB⊥CD，AC⊥BD，则点A在底面BCD内的射影是△BCD的内心C．若A到△BCD三边的距离相等，且点A在平面BCD上的射影E落在△BCD内，则E是△BCD的内心D．四面体A﹣BCD的四个面中最多有四个直角三角形12．已知A1、A2是椭圆C：长轴上的两个顶点，点P是椭圆上异于A1、A2的任意一点，点Q与点P关于x轴对称，则下列四个命题中正确的是（）A．直线PA1与PA2的斜率之积为定值B．C．△PA1A2的外接圆半径的最大值为D．直线PA1与QA2的交点M在双曲线上三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分．）13．命题“∀x∈R，2x+2﹣x≥2”的否定是．14．已知公比不为1的等比数列{a n}满足a5a7+a4a8＝18，则a6＝．15．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，在抛物线上任取一点P，则P到直线y＝x+3的最短距离为，P到y轴的距离与到直线y＝x+3的距离之和的最小值为．16．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，PC⊥AD，底面ABCD为梯形，AB∥DC，AB⊥BC，AB＝BC，点E在棱PB上，若PD∥平面EAC，则＝．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1＝2，前n项和是S n，且____（①a1，a3，a7成等比数列，②S n＝，③a8＝16，任选一个条件填入上空），设b n＝a n•2n﹣1，求数列{b n}的前n项和T n．18．已知向量＝（sin x，cos x），＝（cos x，cos x），f（x）＝•．（1）求函数f（x）＝•的最小正周期；（2）在△ABC中，BC＝，sin B＝3sin C，若f（A）＝1，求△ABC的周长．19．随着高考制度的改革，我省将于2021年开启“语数外+3”新高考模式，2018年秋季入学的高一新生从物理（物）、化学（化）、生物（生）、政治（政）、历史（历）、地理（地）六科中任选三科（共20种选法）作为自己将来高考要考的“语数外+3”中的“3”．某市为了顺利迎接新高考改革，在某高中200名学生中进行“学生模拟选科数据”调查，每个学生只能从表格中的20种课程组合中选择一种，得到学生模拟选课数据统计如表：序号1234567组合学科物化生物化政物化历物化地物生政物生历物生地人数20人5人10人10人5人15人10人序号891011121314组合学科物政历物政地物历地化生政化生历化生地化政历人数5人0人5人5人………序号151617181920组合学科化政地化历地生政历生政地生历地政历地总计人数……10人5人…25人200人为了解学生学习成绩与学生模拟选课情况之间的关系，用分层抽样的方法从这200名学生中抽取40人的样本进行分析．（1）从选择学习物理且学习化学的学生中随机抽取3人，求这3人中至少有2人要学习生物的概率；（2）从选择学习物理且学习化学的学生中随机抽取3人，记这3人中要学习地理的人数为X，学习政治的人数为Y，求随机变量ξ＝X﹣Y的分布列和数学期望．20．如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA＝PB，∠APB＝∠ACB＝90°，点E，F分别是AB，PB的中点，点G是三角形BCE的重心，CG与AB交于点O．（1）求证：GF∥平面PAC；（2）若GO＝1，，求二面角B﹣AP﹣C的余弦值．21．已知椭圆的短轴长为2，且离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）设与圆O：相切的直线l交椭圆C于A，B两点（O为坐标原点），求△AOB面积的最大值．22．已知函数f（x）＝lnx﹣mx﹣1，m∈R．（1）若该函数在x＝1处的切线与直线2x+y+1＝0垂直，求m的值；（2）若函数g（x）＝xf（x）在其定义域上有两个极值点x1，x2．①求m的取值范围；②证明：x1x2＞e2．参考答案一.单项选择题（共8小题）.1．设集合M＝{x|﹣1≤x≤2且x∈Z}，N＝{x|y＝lg（x+1）}，则M∩N＝（）A．（﹣1，+∞）B．{﹣1，0，1，2}C．{0，1，2}D．{1，2}【分析】可以求出集合M，N，然后进行交集的运算即可．解：∵M＝{﹣1，0，1，2}，N＝{x|x＞﹣1}，∴M∩N＝{0，1，2}．故选：C．2．复数＝（）A．B．C．i D．﹣i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：＝．故选：B．3．已知，若，则＝（）A．B．C．D．3【分析】由题意利用两个向量垂直的性质求得x的值，再根据向量的模的定义，求得结果．解：∵已知，若，∴•＝2+2x＝0，求得x＝﹣1，则＝＝，故选：A．4．若（2x﹣1）5的展开式中x3的系数是（）A．10B．﹣10C．40D．﹣40【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得x3的系数．解：（2x﹣1）5的展开式中，通项公式为T r+1＝•（﹣1）r•25﹣r•，令＝3，求得r＝3，可得展开式中x3的系数为﹣40．故选：D．5．设椭圆C：＝1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，若在x轴上方的C上存在两个不同的点M，N满足∠F1MF2＝∠F1NF2＝，则椭圆C离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】当点M在上顶点A时，∠F1MF2最大，要使在x轴上方的C上存在两个不同的点M，N满足∠F1MF2＝∠F1NF2＝，只需∠F1AF2＞，即tan，即可求解．解：如图，当点M在上顶点A时，∠F1MF2最大，要使在x轴上方的C上存在两个不同的点M，N满足∠F1MF2＝∠F1NF2＝，只需∠F1AF2＞，即∠AF2F1＜∴tan，⇒3b2＜c2⇒3（a2﹣c2）＜c2，⇒3a2＜4c2，e，则椭圆C离心率的取值范围是：（，1），故选：C．6．5个人站成一列，甲不站中间且站在乙后面的排法数为（）A．42B．48C．52D．54【分析】利用元素定序问题，以及排除法进行计算即可．解：甲站在乙的后面和乙站在甲的后面人数相同，即甲站在乙后面的排法有＝60种，甲站中间，且站在乙后面的此时乙有两种选择，即乙×甲××，或×乙甲××，其余3人全排列，则排法＝12种，则满足条件的共有60﹣12＝48种，故选：B．7．已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为，若此三棱柱外接球的表面积为5π，则异面直线AC1与BA1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】此外接球半径R＝，进而求出AA1＝1，以A为原点，在平面ABC内过A 作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AC1与BA1所成角的余弦值．解：∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为，此三棱柱外接球的表面积为5π，∴此外接球半径R＝＝，取BC中点D，连结AD，设△ABC重心为G，三棱柱外接球球心为O，取AA1中点E，连结OE，A1O，则A1O＝R＝，OE＝AG＝＝1，∴AA1＝2A1E＝2＝1，以A为原点，在平面ABC内过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），A1（0，0，1），B（，0），C1（0，，1），＝（0，），＝（﹣，1），设异面直线AC1与BA1所成角为θ，则cosθ＝＝＝．∴异面直线AC1与BA1所成角的余弦值为．故选：A．8．已知函数f（x）＝ln（x+1）﹣2ax，当x＞0时，f（x）＜0恒成立，则a的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】利用不等式关系转化为两个函数的图象高低关系，作出两个函数的图象，求出函数在x＝0处的切线斜率，建立不等式关系即可．解：当x＞0时，f（x）＜0恒成立，即ln（x+1）﹣2ax＜0，即ln（x+1）＜2ax恒成立即可，作出函数y＝ln（x+1）和y＝2ax的图象如图，当a≤0时，不满足条件．当a＞0时，函数y＝ln（x+1）的导数y′＝，则函数在x＝0处的切线斜率k＝1，要使ln（x+1）＜2ax恒成立，则只需要当x＝0时的切线斜率满足2a≥1，即a≥即可，故选：B．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．下列说法中正确的是（）A．将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变B．设有一个线性回归方程，变量x增加1个单位时，平均增加5个单位C．设具有相关关系的两个变量x，y的相关系数为r，则|r|越接近于0，x和y之间的线性相关程度越强D．在一个2×2列联表中，由计算得K2的值，则K2的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大【分析】利用方差的性质判断A的正误；利用回归直线的性质判断B，相关系数判断C，独立检验判断D．解：将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变，满足方差的性质，A正确；设有一个线性回归方程，变量x增加1个单位时，平均增加5个单位，错误应该是减少5个单位；所以B不正确；设具有相关关系的两个变量x，y的相关系数为r，则|r|越接近于0，x和y之间的线性相关程度越弱，所以C不正确；在一个2×2列联表中，由计算得K2的值，则K2的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大，正确；故选：AD．10．已知ω＞0，函数的图象在区间上有且仅有一条对称轴，则实数ω的可能取值是（）A．1B．2C．3D．4【分析】直接利用正弦型函数的周期性的应用求出结果．解：函数的图象在区间上有且仅有一条对称轴，则函数的最小正周期T．所以当ω＝1时，T＝2π满足条件．当ω＝2时，T＝π满足条件，当ω＝3时，T＝不满足条件，当ω＝4时，T＝不满足条件，故选：AB．11．对于四面体A﹣BCD，下面说法正确的是（）A．若AB＝AC＝AD，则AB，AC，AD与底面所成的角相等B．若AB⊥CD，AC⊥BD，则点A在底面BCD内的射影是△BCD的内心C．若A到△BCD三边的距离相等，且点A在平面BCD上的射影E落在△BCD内，则E是△BCD的内心D．四面体A﹣BCD的四个面中最多有四个直角三角形【分析】对于A，根据线面角得定义即可判断；对于B，根据三垂线定理得逆定理可知，O是△BCD的垂心；对于C，根据勾股定理可得E点到△BCD三边的距离相等，故E是△BCD的内心；对于D，在正方体中，找出满足题意得四面体，即可得到直角三角形得个数．解：对于A选项，因为AB＝AC＝AD，设点A在平面BCD内的射影是O，因为，，所以sin∠ABO＝sin∠ACO＝sin∠ADO，则AB，AC，AD与底面所成的角相等，所以A选项正确；对于B选项，设点A在平面BCD内的射影是O，则OB是AB在平面BCD内的射影，因为AB⊥CD，根据三垂线定理的逆定理可得CD⊥OB同理可证BD⊥OC，所以O是△BCD的垂心，所以B选项错误；对于C选项，若A到△BCD三边的距离相等，且点A在平面BCD上的射影E落在△BCD内，则△AEB≌△AEC≌△AED，由勾股定理可知E点到△BCD三边的距离相等，故E是△BCD的内心，所以选项C正确；对于D选项，如图，直角三角形的直角顶点已经标出，直角三角形的个数是4，所以D选项正确．故选：ACD．12．已知A1、A2是椭圆C：长轴上的两个顶点，点P是椭圆上异于A1、A2的任意一点，点Q与点P关于x轴对称，则下列四个命题中正确的是（）A．直线PA1与PA2的斜率之积为定值B．C．△PA1A2的外接圆半径的最大值为D．直线PA1与QA2的交点M在双曲线上【分析】由A1、A2是椭圆C：长轴上的两个顶点．设p（x0，y0）在椭圆上，A1（﹣2，0）A2（2，0），直接求解直线PA1与PA2的斜率之积，可得定值；在根据向量坐标的运算即可判断；当P在短轴顶点时，可得△PA1A2的外接圆半径的最大值为；设出Q，求解直线PA1与QA2的交点M，满足双曲线，从而可以判断；解：设p（x0，y0），∵A1、A2是椭圆C：长轴上的两个顶点．∴A1（﹣2，0）A2（2，0）则＝，故A不正确．由＝（﹣2﹣x0，﹣y0）（2﹣x0，﹣y0）＝＝＜0，故B 正确．当P在短轴顶点时，A1A2＝4，PA2＝PA1＝，sin∠PA1A2＝，由正弦定理：可得△PA1A2的外接圆半径的最大值R＝；故C正确．点Q与点P关于x轴对称，设Q（x0，﹣y0），直线PA1与QA2的方程分别为：…①……②①②两式相乘：可得，由带入双曲线，即直线PA1与QA2的交点M在双曲线上；故D正确．故选：BCD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．命题“∀x∈R，2x+2﹣x≥2”的否定是∃x∈R，2x+2﹣x＜2．【分析】利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．解：命题“∀x∈R，2x+2﹣x≥2”是全称命题，所以，命题“∀x∈R，2x+2﹣x≥2”的否定是∃x∈R，2x+2﹣x＜2．故答案为：∃x∈R，2x+2﹣x＜2．14．已知公比不为1的等比数列{a n}满足a5a7+a4a8＝18，则a6＝±3．【分析】由题意利用等比数列的性质，求得a6的值．解：∵公比不为1的等比数列{a n}满足a5a7+a4a8＝18＝2，求得a6＝±3，故答案为：±3．15．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，在抛物线上任取一点P，则P到直线y＝x+3的最短距离为，P到y轴的距离与到直线y＝x+3的距离之和的最小值为2．【分析】求出与x﹣y+3＝0平行且与抛物线相切的直线方程，得到切点坐标，由两平行线间的距离，然后利用抛物线的性质求解第二问求得答案．解：如图，设与直线l：x﹣y+3＝0平行且与抛物线相切的直线方程为x﹣y+m＝0，联立，得x2+（2m﹣4）x+m2＝0．由△＝（2m﹣4）2﹣4m2＝0，解得：m＝1．∴方程x2+（2m﹣4）x+m2＝0化为x2﹣2x+1＝0，解得x＝1，则y＝1+m＝2．∴P（1，2），此时点P到直线l：x﹣y+3＝0的最短距离为d＝＝．P到y轴的距离与到直线y＝x+3的距离之和的最小值为抛物线的焦点到直线的距离减去．所以最小值为：＝2．故答案为：；21．16．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，PC⊥AD，底面ABCD为梯形，AB∥DC，AB⊥BC，AB＝BC，点E在棱PB上，若PD∥平面EAC，则＝2．【分析】连接BD交AC于点O，连接OE，先由线面垂直的性质定理可知PA⊥AD，再结合线面垂直的判定定理得AD⊥面PAC，从而有AD⊥AC．结合△ABC为等腰Rt△以及AB∥DC，可推出△ACD也为等腰Rt△，CD＝2AB，于是＝＝，最后根据线面平行的性质定理可证得OE∥PD，＝，从而得解．解：如图所示，连接BD交AC于点O，连接OE，∵PA⊥平面ABCD，AD⊂面ABCD，∴PA⊥AD，∵PC⊥AD，PA∩PC＝P，PA、PC⊂面PAC，∴AD⊥面PAC，∵AC⊂面PAC，∴AD⊥AC．∵AB⊥BC，AB＝BC，∴AC＝AB，∠BAC＝45°，又AB∥DC，∴∠ACD＝∠BAC＝45°，∴△ACD为等腰直角三角形，CD＝AC＝2AB，∴＝＝．∵PD∥平面EAC，PD⊂面PBD，且平面EAC∩平面PBD＝OE，∴OE∥PD，∴＝＝2．故答案为：2．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1＝2，前n项和是S n，且____（①a1，a3，a7成等比数列，②S n＝，③a8＝16，任选一个条件填入上空），设b n＝a n•2n﹣1，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】选①：由已知得a n＝n+1，再利用错位相减法求和；选②：，再利用错位相减法求和；选③：求得a n＝2+2（n﹣1）＝2n，，再利用错位相减法求和；解：设等差数列{a n}的公差为d，选①：由a1，a3，a7成等比数列得，化简得d2＝d∵d≠0，∴d＝1∴a n＝n+1，于是，∴，，相减得：，∴；选②：，n＝1时，a1＝2，符合上式，∴a n＝n+1，下同①；选③：，∴a n＝2+2（n﹣1）＝2n，∴，T n＝1×2+2×22+3×23+…+n•2n，2T n＝1×22+2×23+3×24+…+n•2n﹣1，相减得，∴．18．已知向量＝（sin x，cos x），＝（cos x，cos x），f（x）＝•．（1）求函数f（x）＝•的最小正周期；（2）在△ABC中，BC＝，sin B＝3sin C，若f（A）＝1，求△ABC的周长．【分析】（1）利用平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换的应用可求函数解析式f （x）＝sin（2x+）+，利用周期公式即可计算得解．（2）由题意可得sin（2A+）＝，结合范围0＜A＜π，可求A的值，设角A，B，C 的对边分别为a，b，c，由正弦定理利用sin B＝3sin C，可得b＝3c，根据余弦定理可求c的值，进而可求b的值，从而可求三角形的周长．解：（1）因为＝（sin x，cos x），＝（cos x，cos x），f（x）＝•＝sin x cos x+cos2x ＝sin2x+cos2x+＝sin（2x+）+，所以函数f（x）＝•的最小正周期T＝＝π．（2）由题意可得：sin（2A+）＝，又0＜A＜π，所以＜2A+＜，所以2A+＝，解得A＝，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，则：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，所以a＝BC＝，又sin B＝3sin C，可得b＝3c，故7＝9c2+c2﹣3c2，解得c＝1，所以b＝3，可得△ABC的周长为4+．19．随着高考制度的改革，我省将于2021年开启“语数外+3”新高考模式，2018年秋季入学的高一新生从物理（物）、化学（化）、生物（生）、政治（政）、历史（历）、地理（地）六科中任选三科（共20种选法）作为自己将来高考要考的“语数外+3”中的“3”．某市为了顺利迎接新高考改革，在某高中200名学生中进行“学生模拟选科数据”调查，每个学生只能从表格中的20种课程组合中选择一种，得到学生模拟选课数据统计如表：序号1234567组合学科物化生物化政物化历物化地物生政物生历物生地人数20人5人10人10人5人15人10人序号891011121314组合学科物政历物政地物历地化生政化生历化生地化政历人数5人0人5人5人………序号151617181920组合学科化政地化历地生政历生政地生历地政历地总计人数……10人5人…25人200人为了解学生学习成绩与学生模拟选课情况之间的关系，用分层抽样的方法从这200名学生中抽取40人的样本进行分析．（1）从选择学习物理且学习化学的学生中随机抽取3人，求这3人中至少有2人要学习生物的概率；（2）从选择学习物理且学习化学的学生中随机抽取3人，记这3人中要学习地理的人数为X，学习政治的人数为Y，求随机变量ξ＝X﹣Y的分布列和数学期望．【分析】（1）求出样本中选择学习物理且学习化学的学生共有9人，还学习生物的有4人，然后利用古典概型概率求解这3人中至少有2人要学习生物的概率．（2）推出X的所有可能取值为0，1，2．Y的所有可能取值为0，1，ξ的所有可能取值为0，﹣1，1，2，求出概率，得到分布列，然后求解期望即可．解：（1）由题意可知，样本中选择学习物理且学习化学的学生共有9人，其中还学习生物的有4人，则从选择学习物理且学习化学的学生中随机抽取3人，这3人中至少有2人要学习生物的概率．（2）由题意可知，样本中选择学习物理且学习化学的学生共有9人，其中还学习地理的有2人，学习政治的有1人．则X的所有可能取值为0，1，2．Y的所有可能取值为0，1，∴ξ的所有可能取值为0，﹣1，1，2，所以，，，，ξ的分布列为ξ﹣1012P则．20．如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA＝PB，∠APB＝∠ACB＝90°，点E，F分别是AB，PB的中点，点G是三角形BCE的重心，CG与AB交于点O．（1）求证：GF∥平面PAC；（2）若GO＝1，，求二面角B﹣AP﹣C的余弦值．【分析】（1）连接EF，EG，EG与BC交于D，证明EG∥AC，EF∥PA，证明EG∥平面PAC，EF∥平面PAC，推出平面EFG∥平面PAC，然后证明GF∥平面PAC．（2）说明OE⊥OC，OF，OB，OC两两互相垂直，建立空间直角坐标系，求出平面PAC 的一个法向量，平面PAB的一个法向量，然后利用空间向量的数量积求解二面角B﹣AP ﹣C的余弦值即可．【解答】（1）证明：连接EF，EG，EG与BC交于D，∵点G为△BCE的重心，∴D 为BC中点，又E为AB中点，∴EG∥AC又F为PB中点，∴EF∥PA，∵EG，EF⊄平面PAC，AC，AP⊂平面PAC，∴EG∥平面PAC，EF∥平面PAC，而EG，EF⊂平面EFG，EG∩EF＝E，∴平面EFG∥平面PAC，又GF⊂平面EFG因此GF∥平面PAC．（2）解：∵GO＝1，∴CO＝3∵，∴，∴，又∠ACB＝90°，E为AB中点，∴，∴OE2+OC2＝CE2，∴OE⊥OC，∴OF，OB，OC两两互相垂直，如图建立空间直角坐标系，则，，C（3，0，0），，则，设平面PAC的一个法向量为，则由，得，∴取y＝﹣1得，又平面PAB的一个法向量可取为，，∴所求二面角B﹣AP﹣C的余弦值为．21．已知椭圆的短轴长为2，且离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）设与圆O：相切的直线l交椭圆C于A，B两点（O为坐标原点），求△AOB面积的最大值．【分析】（1）利用已知条件求出b，结合离心率，求出a，得到椭圆方程．（2）写出△AOB的面积S的表达式，设A（x1，y1），B（x2，y2），通过①当AB⊥x 轴时，求出面积；②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝kx+m（显然k≠0），通过直线与圆相切，得到关系式，直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理以及弦长公式转化求解△AOB面积的最大值．解：（1）由题设：，a2＝b2+c2，解得a2＝3，b2＝1，∴椭圆C的方程为．（2）∵△AOB的面积S＝，设A（x1，y1），B（x2，y2），①当AB⊥x轴时，．②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝kx+m（显然k≠0），由已知，得，把y＝kx+m代入椭圆方程消去y，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3＝0，，＝＝＝，∴|AB|≤2，当且仅当即时等号成立．又当AB⊥x轴时，，故|AB|max＝2，从而△AOB面积的最大值为．22．已知函数f（x）＝lnx﹣mx﹣1，m∈R．（1）若该函数在x＝1处的切线与直线2x+y+1＝0垂直，求m的值；（2）若函数g（x）＝xf（x）在其定义域上有两个极值点x1，x2．①求m的取值范围；②证明：x1x2＞e2．【分析】（1）由已知结合导数的几何意义及直线垂直与斜率的关系即可求解；（2）①先对函数求导，然后结合极值存在的条件即可求解；②由①可设0＜x1＜e＜x2，且h（x1）＝h（x2），构造函数，对其求导，然后结合导数与单调性关系即可证．【解答】解（1）由已知得，∵，∴，∴m＝1…（2）∴g'（x）＝lnx﹣mx①由题意可得g′（x）＝xlnx﹣mx＝0有2个正根即m＝有2个正根，令h（x）＝，则，由h'（x）＞0得0＜x＜e，由h'（x）＜0得x＞e，∴h（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减且h（e）＝，h（1）＝0，x→0时，h（x）→﹣∞，x→+∞时，h（x）→0，∴…②由①可设0＜x1＜e＜x2，且h（x1）＝h（x2），构造函数，则，∴φ（x）在（e，+∞）上为增函数，∵x2＞e，∴ϕ（x2）＞ϕ（e），即，∴，∵0＜x1＜e，，且h（x）在（0，e）上单调递增，∴，∴…。