定积分的经济应用
定积分在医学和经济学中的应用
定积分在医学和经济学中的应用
定积分在医学和经济学中的应用
一、定积分在医学的应用
1、采用定积分法求出体积密度的温度指数
定积分法是一种用来衡量体积密度的温度指数的有效方法，它通过推算出物体某一温度下的体积密度，再用这个温度值求出体积密度的温度指数。
2、定积分法求解医学中人体的各种比热容和抵抗力
定积分法可以帮助医学研究人员求解出人体各种比热容和抵抗力，这些数据可以用于研究人体对环境变化的反应。
3、定积分用于细胞学研究
定积分法可以用于细胞学研究，其中，可以推算出细胞的朗道数量。
朗道数量是衡量细胞活动能力的重要标志，对于病理的预测和研究有重要意义。
二、定积分在经济学中的应用
1、获得投资回报率和投资风险的指标
定积分法可以用来衡量一项投资的回报率，以及投资风险的大小。
如果某个项目的回报率较高，可以判定这个投资项目较为稳健，而投资风险较低。
2、分析市场消费者群体行为模式
定积分法可以用来分析市场消费者群体的行为模式，可以推算出消费者群体的消费习惯，再根据消费习惯进行市场细分。
3、定积分法求解企业的长期成长趋势
定积分法可以用来求解企业的长期成长趋势，可以精确进行企业财务成绩的预测，从而为企业管理决策提供依据。
(完整版)定积分在经济中的应用
定积分在经济中的应用一、由经济函数的边际，求经济函数在区间上的增量根据边际成本，边际收入，边际利润以及产量x 的变动区间[,]a b 上的改变量（增量）就等于它们各自边际在区间[,]a b 上的定积分：()()()ba Rb R a R x dx '-=⎰ （1）()()()baC b C a C x dx '-=⎰ （2）()()()baL b L a L x dx '-=⎰ （3）例 1 已知某商品边际收入为0.0825x -+（万元/t ），边际成本为5（万元/t ），求产量x 从250t 增加到300t 时销售收入()R x ，总成本C ()x ，利润()I x 的改变量（增量）。
解 首先求边际利润()()()0.082550.0820L x R x C x x x '''=-=-+-=-+所以根据式（1）、式（2）、式（3），依次求出：300250(300)(250)()R R R x dx '-=⎰300250(0.0825)x dx =-+⎰=150万元300300250250(300)(250)()C C C x dx dx '-==⎰⎰=250万元300300250250(300)(250)()(0.0820)L L L x dx x dx '-==-+⎰⎰=-100万元二、由经济函数的变化率，求经济函数在区间上的平均变化率设某经济函数的变化率为()f t ，则称2121()t t f t dtt t -⎰为该经济函数在时间间隔21[,]t t 内的平均变化率。
例2 某银行的利息连续计算，利息率是时间t （单位：年）的函数：()0.08r t =+求它在开始2年，即时间间隔[0，2]内的平均利息率。
解 由于22()(0.08r t dt dt =+⎰⎰20.160.010.16=+=+所以开始2年的平均利息率为2()0.0820r t dtr ==+-⎰0.094≈例3 某公司运行t （年）所获利润为()L t （元）利润的年变化率为()310L t '=⨯/年）求利润从第4年初到第8年末，即时间间隔[3，8]内年平均变化率解 由于3885852333()310210(1)3810L t dt t '=⨯=⨯⋅+=⨯⎰⎰所以从第4年初到第8年末，利润的年平均变化率为853()7.61083L t dt '=⨯-⎰（元/年）即在这5年内公司平均每年平均获利57.610⨯元。
(完整版)定积分在经济中的应用
定积分在经济中的应用一、由经济函数的边际，求经济函数在区间上的增量根据边际成本，边际收入，边际利润以及产量x 的变动区间[,]a b 上的改变量（增量）就等于它们各自边际在区间[,]a b 上的定积分：()()()ba Rb R a R x dx '-=⎰ （1） ()()()ba Cb C a C x dx '-=⎰ （2） ()()()ba Lb L a L x dx '-=⎰ （3） 例1 已知某商品边际收入为0.0825x -+（万元/t ），边际成本为5（万元/t ），求产量x 从250t 增加到300t 时销售收入()R x ，总成本C ()x ，利润()I x 的改变量（增量）。
解 首先求边际利润()()()0.082550.0820L x R x C x x x '''=-=-+-=-+所以根据式（1）、式（2）、式（3），依次求出：300250(300)(250)()R R R x dx '-=⎰300250(0.0825)x dx =-+⎰=150万元 300300250250(300)(250)()C C C x dx dx '-==⎰⎰=250万元 300300250250(300)(250)()(0.0820)L L L x dx x dx '-==-+⎰⎰=-100万元二、由经济函数的变化率，求经济函数在区间上的平均变化率 设某经济函数的变化率为()f t ，则称2121()t t f t dt t t -⎰ 为该经济函数在时间间隔21[,]t t 内的平均变化率。
例2 某银行的利息连续计算，利息率是时间t （单位：年）的函数：()0.08r t =+求它在开始2年，即时间间隔[0，2]内的平均利息率。
解 由于2200()(0.08r t dt dt =+⎰⎰20.160.010.16=+=+所以开始2年的平均利息率为20()0.0820r t dtr ==+-⎰0.094≈例3 某公司运行t （年）所获利润为()L t （元）利润的年变化率为()310L t '=⨯/年）求利润从第4年初到第8年末，即时间间隔[3，8]内年平均变化率解 由于3885852333()310210(1)3810L t dt t '=⨯=⨯⋅+=⨯⎰⎰所以从第4年初到第8年末，利润的年平均变化率为853()7.61083L t dt'=⨯-⎰（元/年）即在这5年内公司平均每年平均获利57.610⨯元。
高数三：函数平均值和定积分的经济学应用
三、平均值在实际问题中，常常用一组数据的算术平均值来描述这组数据的概貌。
例如：对某一零件的长度进行n 次测量，每次测得的值为。
通常用算术平均值作为这个零件长度的近似值。
然而，有时还需要计算一个连续函数在区间上的一切值的平均值。
我们已经知道，速度为的物体作直线运动，它在时间间隔上所经过的路程为用去除路程s ，即得它在时间间隔上的平均速度，为一般地，设函数在区间上连续，则它在上的平均值，等于它在上的定积分除以区间的长度b-a ，即图 5-34这个公式叫做函数的平均值公式。
它可变形为它的几何解释是：以为底、为曲边的曲边梯形面积，等于高为的同底矩形的面积（见图5-33）图 5-33例6 求从O到T这段时间内自由落体的平均速度。
解：自由速度为。
所以要计算的平均速度（见图5-34）为例7 计算纯电阻电路中正弦交流电在一个周期内功率的平均值。
解设电阻为R，那么电路中R两端的电压为而功率因为交流电的周期为，所以在一个周期上，P的平均值为就是说，纯电阻电路中正弦交流电的平均功率等于电流和电压的峰值乘积的一半。
通常交流电器上标明的功率是平均功率。
四、定积分在经济上的应用举例定积分在经济活动中应用很广泛。
如，已知某经济函数的边际函数的条件下，求原经济函数的改变量时，就需用定积分来解决。
例8 设某工厂生产某产品，边际产量为时间t的函数，已知求从t=1到t=3这两个小时的总产量。
解：因为总产量是它的边际产量的原函数。
所以，从t=1到t=3这两小时的总产量是（千件）例9 已知生产某产品x件的边际收入是( 元/件)求生产此产品1000件时的总收入，平均收入，及生产1000件到2000件时所增加的收入和平均收入。
解：设总收入函数为，总产量为1000件时的总收入R（1000），为平均收入产量从1000件到2000件所增加的收入为，其平均收入为例10 设某产品的总成本C（单位：万元）的边际成本是产量x（单位：百台）的函数，;总收入（单位：万元）的边际收入是产量x的函数，求：1）产量由1百台增加到5百台总成本，总收入各增加多少？2）已知固定成本C（0）为1万元，分别求出总成本、总收入，总利润与产量的关系式。
定积分在经济学中的应用
目的和意义
研究定积分在经济学中的应用，有助于深入理解经济现象和规律，为经济决策提 供科学依据。
通过定积分的应用，可以更加精确地描述和预测经济行为，提高经济分析的准确 性和可靠性。同时，定积分的应用也有助于推动经济学与其他学科的交叉融合， 促进经济学的发展和创新。
定积分的结果通常是数值形式，对于非专业 人士来说可能难以理解和解释，需要结合实 际经济现象进行解释和说明。
05
定积分在经济学中的未来发展
研究方向
1 深化定积分与金融学的交叉研究
探索定积分在金融衍生品定价、风险管理等领域的应用 ，为金融市场提供更精确的定量分析工具。
2 拓展定积分在产业组织理论中的应用
消费者行为模型
通过建立消费者行为模型，定积分可 以描述消费者的购买决策过程，解释 消费者如何权衡价格、收入和偏好等 因素。
生产者行为分析
成本最小化
定积分可用于分析生产者如何最小化生产成本，通过优化生产要素的配置，提 高生产效率。
产量决策
定积分可以用于确定生产者在不同市场条件下的最优产量决策，以实现利润最 大化。
定积分的应用需要满足一定的假设条件，如 连续性、可微性等，但在实际经济现象中，
这些假设可能并不总是成立。
数据要求高
定积分的计算过程较为复杂，需要耗费大量 的计算资源和时间，对于大规模的经济系统
可能存在计算瓶颈。
计算成本高
定积分需要大量的数据作为支撑，数据的准 确性和完整性对结果的影响较大。
解释难度大
探索定积分在金融衍生品定价、风险管理等领域的应用 ，为金融市场提供更精确的定量分析工具。
简述不定积分和定积分在经济生活中的应用
简述不定积分和定积分在经济生活中的应用经济学中不定积分和定积分是一种重要的计算工具，具有广泛的实际应用。
不定积分和定积分在经济生活中有着重要的意义，它可以帮助经济学家和经济管理者更好地了解和研究经济问题，有助于更好地推进经济发展和管理经济。
本文将简要介绍不定积分和定积分在经济生活中的应用。
不定积分在经济生活中的应用不定积分的应用在经济学中很广泛，可以用来解决许多经济中的问题。
首先，它可以用来计算价格。
不定积分可以用来计算出给定价格下消费者需求量和生产商供给量之间的关系，进而了解消费者和生产商在某一价格水平下多大程度上能够受到价格影响。
其次，不定积分可以用来计算投资成本。
不定积分可以用来计算投资成本，以判断投资成本究竟有多大，是否值得投入。
投资者也可以运用不定积分法来分析所考虑的投资项目的投资回报率，以更快地、更高效地学习投资过程的风险和收益。
定积分在经济生活中的应用定积分也在经济生活中有着重要的应用。
首先，它可以用来计算消费函数。
函数可以用来展示消费者在不同收入水平下的消费水平，这有助于经济学家和政策制定者更好地理解消费者的消费行为，推动经济发展。
其次，定积分也可以用来计算税收函数。
税收函数可以用来计算税收对投资的影响，以判断出税收的调节幅度，有助于政府制定出合理的税收政策，推动经济发展。
此外，定积分还可以用来计算产出函数。
产出函数可以用来计算不同生产要素投入水平下生产总量的大小，有助于计算出不同生产要素对总产出的贡献度，以及它们投入和产出间的关系。
结论从上述内容可以看出，不定积分和定积分在经济生活中有着重要的应用。
不定积分可以用来计算价格和投资成本，而定积分则可以用来计算消费函数、税收函数和产出函数。
因此，不定积分和定积分都是经济学上重要的工具，它们对经济管理者来说是不可或缺的。
它们的正确运用可以帮助经济学家和经济管理者更深入地理解和研究经济状况，有助于推动经济发展。
定积分在经济学中的应用
定积分在经济学中的应用"定积分在经济学中的应用"定积分是数学中的一种重要概念，它通常用来解决连续函数的积分问题。
在经济学中，定积分也有着广泛的应用。
首先，定积分可以用来解决经济问题。
例如，在解决资本的无效配置问题时，可以使用定积分来求出资本的最优配置方案。
其次，定积分也可以用来解决生产函数问题。
通过对生产函数的定积分，可以得出生产总量与资本、劳动的函数关系，为企业决策提供参考。
此外，定积分还可以用来解决成本函数问题。
对成本函数进行定积分，可以得出成本总量与生产量的函数关系，为企业制定成本管理策略提供依据。
另外，定积分还可以用来解决供求函数问题。
通过对供求函数进行定积分，可以得出市场供需平衡的价格区间，为市场调节提供参考。
此外，定积分还可以用来解决效用函数问题。
对效用函数进行定积分，可以得出个体的效用曲线，为决策者制定1. 定积分的概念及其求法"1. 定积分的概念及其求法"定积分是数学中的一种重要概念，它是指在给定的区间内对一个连续函数的定义域进行积分的过程。
首先，定义定积分的概念。
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作∫a^b f(x) dx，称为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分。
其次，介绍定积分的求法。
常用的求定积分的方法有两种，一种是定义求积公式法，另一种是定积分的简单逼近法。
定义求积公式法是指根据函数f(x)的性质，使用一些特殊的函数求出f(x)在区间[a,b]上的定积分。
例如，当f(x)为常数时，f(x)在区间[a,b]上的定积分就是f(x)的常数值乘以区间[a,b]的长度。
定积分的简单逼近法是指使用一些简单的函数来逼近函数f(x)，然后求出这些简单函数的定积分，最后用这些定积分的和来近似求出f(x)在区间[a,b]上的定积分。
常用的简单逼近法有梯形公式法和 Simpson 公式法。
总之，定积分是数学中的一种重要概念2. 定积分在解决经济问题中的应用"2. 定积分在解决经济问题中的应用"定积分是数学中的一种重要概念，它在解决经济问题中也有着广泛的应用。
6.6 定积分在经济上的应用
B = ∫ f (t )er (T −t ) dt
0
T
若收入流(或支出流) f (t ) = a(常数) ，则称此为均 匀收入流(或支出流)．
例 题 四
求收入流为 1000(元 / 年) 在 20 年时间内的现值 与将来值，这里以 10%的年利率连续复利方式赢 取利息．
解
据公式有现值
P = ∫ 1000 ⋅ e
dF (t ) = f (t )) ，则从 a 时期到 b dt
时期净投资与资本存量之间的关系可用定积分表示为
F (b) − F (a) = ∫ f (t )dt
a
b
假设某个体老板在时期 t = 0 时拥有资本存量
例 题 六
解
500 000 元，除了资本折旧之外，计划在未来 10 年以
f (t ) = 600t 2 的速度进行新资本投资，计算从现
0 20 −0.1t
1000 −0.1t 20 dt = − e 0 0.1
= 10000(1 − e−2 ) ≈ 8646.65(元)
将来值
P = ∫ 1000 ⋅ e
0
20
0.1(20 −t )
1000 0.1(20−t ) 20 dt = − e 0 0.1
= 10000(e 2 − 1) ≈ 63890.56(元)
固定成本是 2000，试确定总成本函数．
总成本函数
C (Q) = ∫ (3Q 2 − 118Q + 1315)dQ + C0
0
Q
= Q 3 − 59Q 2 + 1315Q + 2000
例 题 二
解
．
已知某产品的边际成本 C '(Q) = 1 (万元/百台)，边际 收益 R '(Q) = 5 − Q (万元/百台)，其中 Q 为产量，固定 成本 1 万元，问（1）求收益函数和成本函数； （2）产量等于多少时利润最大?
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总 现 值 T p(t)ertdt. 0
对于将来值 , pt dt 在 T t 年后获得利息 , 从而在 [t , t dt ]内
收益流的将来值 [ p ( t) d t] e r ( T t) p ( t) e r ( T t) d t ，
第八节 定积分的经济应用
一、由边际函数求原函数 二、由变化率求总量 三、收益流的现值和将来值
由第三章边际分析知, 对一已知经济 F(x) (如需 求函数 Q(P)、总成本函数 C(x) 、总收入函数 R(x) 和利润函数 L(x)等), 它的边际函数就是它 的导函数 F(x).
作为导数(微分)的逆运算, 若对已知的边际函数
Ca,bab1C(x)dx
例3 某工厂生产某商品在时刻 t的总产量的变
化率为 x't10 10t2 （单位∕小时）.
求 t 2 到 t 4 这两小时的总产量.
解
Q
4
x(t)dt
2
=24100＋12tdt
[1006t2]4 227. 2
例 4 已知某产品的边际成本为 C( x) 2x2 3x 2 （元/单位）求：
（1）生产前 6 个单位产品的可变成本； （2）若固定成本C(0) 6元，求前 6 个产品的平均 成本； （3）求生产第 10 个到第 15 个单位产品时的平均 成本.
解 （1）生产前6个单位产品，即从生产第1个 到第6个单位的可变成本为
C1,606(2x23x2)dx 32x323x22x60102
一、由边际函数求原函数
例1 固已定知成边本际为成1本00为0,求C总(x)成本7 函2数5x ．,
解
x
C(x)C(0) C(x)dx
0
x 25
10000(7
)dx x
10 0 [7x 050x]0 x
1007x050x
例2 已知对某种商品的需求量是价格 P的函数， 且边际需求 Q '(P ) 4,该商品的最大需求量为80 (即 P＝0时，Q80),求需求量与价格的函数关系.
故，总的将来值 T p(t)er(Tt)dt. 0
例6 假设以年连续复利率 0.1计息 ,求收益 流量为100元/年的收益流在20年内的现 值和将来值.
解 现值 20100e0.1tdt 0 100(10e2)
864.66；
将来值 20100e0.1(20t)dt 0 1000e2(1e2)
考虑从现在 t 开 0到始 T年后这一时间段
将来值和.以 现连 值续复利率计息 分析 在区间[0,T ]内任取一小区间 [t, t dt], 在 [t, t dt]内所获得的金额近似为 pt dt ,从 t 0 开始, pt dt 这一金额是在 t 年后的将来 获得 ,从而在 [t, t dt]内
0
r
即 收 入 的 资 本 b(1价 e值 rT)为 a。
r
当收益流量是无 ，限 即 T期 时 时，
vT l im b r(1erT )ab rA
练习题
一、已知边际成本为 C(x) 30 4x, 边际收益为 R(x) 60 2x,求最大利润（设成本0为）。
二、某地区居民购买箱 冰的消费支出W (x)的变化 率是居民总收入x的函数，W (x) 1 ， 200 x 当居民收入由４亿元增 加到９亿元时，购买 冰箱的消费支出增加少 多？
解 由边际需求的不定积分公式，可得需求量
Q(P)Q '(P)dP ＝4dP 4 P C(C 为积分常数).
代入Q(P)P080 C80, 于是需求量与价 格的函数关系是 Q (P ) 4 P 80
本例也可由变上限的定积分公式直接求得
Q (P ) 0 P Q '(t) d Q t(0 ) 0 P(4)dP 80 4 P 8.0
成本.
解 （3） C10,15 11 05 1(2x23x2)dx
32x3
3x2 2
15
2x9
156 (元 0)
C1,015C16,015165620（ 60元）
例 5 设某产品每天生产 x单位时，边际成本为
C(x) 4x（元/单位），其固定成本为 10 元，总收入
R(x)的变化率也是产量 x的函数:R(x) 60 2x
若t年后要得到B元人民币，则现在需要存入 银行多少金额（现值）
P Bert 收益流的将来值 将收益流存入银行并加上利 息之后的存款值。
收益流的现值 收益流的现值是这样一笔款项， 若将它存入银行，将来从收益流中获得的总收 益，与包括利息在内的银行存款值有相同的价值。
若有一笔收益流 流量 的p为 收 t元 益/年,
求每天生产多少单位产品时，总利润 L( x)最大？
解
C (x)C 0C v10
2x210
x4xdx102x2
0
x 0
R(x) 0x(602x)dx60xx2
L (x ) R (x ) C (x )(6x 0 x2)(2x21)0
3x26x 010
由 L (x ) 6 0 6 x 0得 x10 且 L (x)60
例 4 已知某产品的边际成本为 C( x) 2x2 3x 2 （元/单位）求：
（1）生产前 6 个单位产品的可变成本； （2）若固定成本C(0) 6元，求前 6 个产品的平均 成本； （3）求生产第 10 个到第 15 个单位产品时的平均 成本.
解（2） C(6) 0 6(2x23x2)d x6
二、由变化率求总量
利用微分学的思想可以求总量的变化率（边 际变化）反. 过来，若已知总量的变化率（边际变 化），也可以利用积分学的思想来求总量.
常用的几个求总量的积分公式：
（1）已知某产品在时刻t 的总产量的变化率为 f (t)，则
从时刻t1到时刻t2的总产量为
Q t2 f(t)dt t1
（2）已知边际成本C( x)是产品的产量 x 的函数，则生 产第 a 个单位产品到第b 个单位产品的可变成本为
F(x)求不定积分, 则可求得原经济函数
F(x)F(x)dx
其中, 积分常数 C可由经济函数的具体条件确定.
也可由 NL公式
x
F (t)d tF (x)F (0),
0
求得原经济函数
x
F (x) F (t)d tF (0)
0
由 NL公式, 可求出原经济函数从 a到 b的变
动值 (或增量)
b
10 62 108
C(6)1081（ 8 元 /单位） 6
例 4 已知某产品的边际成本为 C( x) 2x2 3x 2 （元/单位）求：
（1）生产前 6 个单位产品的可变成本；
（2）若固定成本C(0) 6元，求前 6 个产品的平均 成本；
（3）求生产第 10 个到第 15 个单位产品时的平均
所以每天生产10个单位产品可获得最大利润， 最大利润为 L(10)29（ 0 元）。
三、收益流的现值和将来值
收益流 收益若是连续地获得，则收益可被看 作是一种随时间连续变化的收益流。
收益流量 收益流对时间的变化率。
若以连续复利r计息，一笔P元人民币从现 在存入银行，t年后的价值（将来值）
B Pert
63.809 .6
四、 小结
•由边际函数求原函数 •由变化率求总量 •收益流的现值和将来值
思考题
设有一项计划现在(即 t 0 )需一项投入 a (元)，可
获得一项在 [0,T ] 中的常数收益流量 b (元)，若连续
复利的利率为 r ，求收益的资本价值．
思考题解答
vTbertdtab(1erT)a
一、75; 二、0.01.
练习题答案