2020年广东省高考数学一模试卷(二)(有答案解析)

19. 已知点（1，），（
）都在椭圆 C： =1（a＞b＞0）上．
（1）求椭圆 C 的方程；（2）过点 M（0，1）的直线 l 与椭圆 C 交于不同两点 P，Q（异于顶点），记椭圆与 y 轴的两个交点分别为 A1，A2，若直线 A1P 与 A2Q 交于点 S，证明：点 S 恒在直线 y=4 上．
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考试情况
男学员
女学员
第 1 次考科目二人数
1200
800
第 1 次通过科目二人数 960
600
第 1 次未通过科目二人数 240
200
若以如表得到的男、女学员第 1 次通过科目二考试的频率分别作为此驾校男、女学员每次通过科目二考试的概率，且每人每次是否通过科目二考试相互独立．现有一对夫妻同时在此驾校报名参加了驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止．（1）求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；（2）若这对夫妻前 2 次参加科目二考试均没有通过，记这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为 X 元，求 X 的分布列与数学期望．
5.答案：D
解析：【分析】本题考查减函数的定义，已知函数求值的方法，根据函数单调性解不等式的方法．根据条件可得出 f（-1）=-1，根据 f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，即可由 f（x）＜-1 得出 f（x）＜f（-1），从而得到 x＞-1，即得出原不等式的解集．【解答】解：∵x∈[-2，1]时，f（x）=x2-2x-4；
所以双曲线的焦点坐标为（± ，0）．
故选：A．直接利用双曲线的方程求解 a，b，c 得到焦点坐标即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．
4.答案：B
解析：解：设等差数列{an}的公差为 d，∵a2+a8=34，S4=38， ∴2a1+8d=34，4a1+6d=38，联立解得：a1=5，d=3，故选：B．利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
（2）已知直线 l：y=kx 与曲线 C2 交于 A，B 两点，若 =3 ，求 k 的值．
23. 已知函数 f（x）=|x+a|+2|x-1|（a＞0）．（1）求 f（x）的最小值；
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（2）若不等式 f（x）-5＜0 的解集为（m，n），且 n-m= ，求 a 的值．
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A.
B.
C.
D.
3. 双曲线 9x2-16y2=1 的焦点坐标为（）
A. （± ，0） B. （0，） C. （±5，0）
D. （0，±5）
4. 记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，若 a2+a8=34，S4=38，则 a1=（）
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
5. 已知函数 f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，且当 x∈[-2，1]时，f（x）=x2-2x-4，则
则在△ABC 内任取一点 M，则点 M 落在△APQ 内的概率为 =
【解答】解：设 BC=a，
，得解．
由点 P，Q 为线段 BC 的两个黄金分割点，所以 BQ= ，CP= ，所以 PQ=BQ+CP-BC=（）a， S△APQ：S△ABC=PQ：BC=（ -2）a：a= -2，由几何概型中的面积型可得：在△ABC 内任取一点 M，则点 M 落在△APQ 内的概率为故选 B．
16. 已知 F 为抛物线 C：x2=2py（p＞0）的焦点，曲线 C1 是以 F 为圆心，为半径的圆，
直线 2 x-6y+3p=0 与曲线 C，C1 从左至右依次相交于 P，Q，R，S，则 =______
三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分） 17. △ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知
解析：解：根据程序框图，输出的 S 是 x1=17，x2=19，x3=20，x4=21，x5=23 这 5 个数据的方差，
∵ = （17+19+20+21+23）=20，
∴由方差的公式 S= [（17-20）2+（19-20）2+（20-20）2+（21-20）2+（23-20）2]=4．
故选：A．根据程序框图，输出的 S 是 x1=17，x2=19，x3=20，x4=21，x5=23 这 5 个数据的方差，先求这 5 个数的均值，然后代入方差公式计算即可．本题通过程序框图考查了均值和方差，解决问题的关键是通过程序框图能得出这是一个求数据方差的问题，属于基础题．
数 f（x）的图象自左至右的某三个相邻交点，且 2|PQ|=|QR|= ，则 ω+m=（）
A.
B. 2
C. 3
D.
12. 已知函数若 f（x）=（kx+ ）ex-3x，若 f（x）＜0 的解集中恰有两个正整数，则 k 的
取值范围为（）
A. （， ]
B. [ ，）
C. （， ]
D. [ ，）
A. S=4，即 5 个数据的方差为 4 B. S=4，即 5 个数据的标准差为 4 C. S=20，即 5 个数据的方差为 20 D. S=20，即 5 个数据的标准差为 20
8. 已知 A，B，C 三点不共线，且点 O 满足 16 -12 -3 = ，则（）
A. =12 +3
B. =12 -3
ccosA+ csinA=b+a．（1）求 C；
（2）若 D 在边 BC 上，且 BD=3DC，cosB= ，S△ABC=10 ，
求 AD．
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18. 已知五面体 ABCDEF 中，四边形 CDEF 为矩形，AB∥CD，CD=2DE=2AD=2AB=4， AC=2 ，且二面角 F-AB-C 的大小为 30°．（1）证明：AB⊥平面 ADE；（2）求二面角 E-BC-F 的余弦值．
8.答案：A
解析：解：由题意，可知：
对于 A：
=
=
，
整理上式，可得：
16 -12 -3 = ，
这与题干中条件相符合，故选：A．本题可将四个选项中的式子进行转化成与题干中式子相近，再比较，相同的那项即为答案．本题主要考查向量加减、数乘的运算，属基础题．
9.答案：D
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解析：【分析】利用数列的递推关系式，逐步求出数列的相邻两项，然后求解数列的和即可．本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查计算能力．【解答】解：由题意，∵a1=2， n=2 时，a2+a3=22， n=4 时，a4+a5=24， n=6 时，a6+a7=26， n=8 时，a8+a9=28， n=10 时，a10+a11=210， n=12 时，a12+a13=212，
段 CB 的比例中项，即满足 = = ≈0.618．后人把这个数称为黄金分割数，把点
C 称为线段 AB 的黄金分割点.在△ABC 中，若点 P，Q 为线段 BC 的两个黄金分割点，在△ABC 内任取一点 M，则点 M 落在△APQ 内的概率为（）
A.
B. -2
C.
D.
11. 已知函数 f（x）=sin（ωx+ ）+ （ω＞0），点 P，Q，R 是直线 y=m（m＞0）与函
21. 已知函数 f（x）=（x-a）ex（a∈R）．（1）讨论 f（x）的单调性；
（2）当 a=2 时，F（x）=f（x）-x+lnx，记函数 y=F（x）在（，1）上的最大值为
m，证明：-4＜m＜-3．
22. 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为
，（θ 为参数）已知点
Q（4，0），点 P 是曲线 Cl 上任意一点，点 M 为 PQ 的中点，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求点 M 的轨迹 C2 的极坐标方程；
关于 x 的不等式 f（x）＜-1 的解集为（）
A. （-∞，-1） B. （-∞，3）
C. （-1，3）
D. （-1，+∞）
6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
（）
A. 3π B. 4π C. 6π D. 8π
7. 执行如图的程序框图，依次输入 x1=17，x2=19，x3=20，x4=21， x5=23，则输出的 S 值及其统计意义分别是（）
C. =-12 +3
D. =-12 -3
9. 设数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a1=2，an+an+1=2n（n∈ ），则 S13=（）
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A.
B.
C.
D.
10. 古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段 AB 分为两线段 AC，CB，使得其中较长的一段 AC 是全长 AB 与另一
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 13. （2x+y）6 的展开式中，x2y4 的系数为______．
14. 设 x，y 满足约束条件
，则 z=2x+y 的最大值为______．
15. 在三棱锥 P-ABC 中，AP，AB，AC 两两垂直，且 AP=AB=AC= ．若点 D，E 分别在棱 PB，PC 上运动（都不含端点），则 AD+DE+EA 的最小值为______．
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∴f（-1）=-1； ∵f（x）在（-∞，+∞）上单调递减； ∴由 f（x）＜-1 得，f（x）＜f（-1）； ∴x＞-1； ∴不等式 f（x）＜-1 的解集为（-1，+∞）．故选：D．

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2020年广东省茂名市高考数学一模试卷及其答案教学内容

2020年广东省茂名市高考数学一模试卷及其答案2020年广东省茂名市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.已知集合A={x∈Z|−2<x<4}，B={x|x2+2x−3<0}，则A∩B=()A. (−2,1)B. (−1,3)C. {−1,0}D. {0,1，2}2.i是虚数单位，则复数z=2i在复平面内对应的点在()i−1A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知S5=a3+16，a1=1，则a2+a6=()A. 10B. 11C. 12D. 134.剪纸是我国的传统工艺，要剪出如图“双喜”字，需要将一张长方形纸对折两次进行剪裁，下列哪一个图形展开后是如图的“双喜”字．()A.B.C.D.5.记S n为等比数列{a n}的前n项和，若a1=1，S3=7，则a3⋅a5=()A. 64B. 729C. 64或729D. 64或2436.公元263年左右，我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率π，他从单位圆内接正六边形算起，令边数一倍一倍地增加，即12，24，48，…，192，…，逐个算出正六边形，正十二边形，正二十四边形，…，正一百九十二边形，…的面积，这些数值逐步地逼近圆面积，刘徽算到了正一百九十二边形，这时候π的近似值是3.141024，刘徽称这个方法为“割圆术”，并且把“割圆术”的特点概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”.刘徽这种想法的可贵之处在于用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限来逼近无穷，这种思想极其重要，对后世产生了巨大影响．按照上面“割圆术”，用正二十四边形来估算圆周率，则π的近似值是()(精确到0.01).(参考数据sin15°≈0.2588)A. 3.14B. 3.11C. 3.10D. 3.057.已知F1、F2为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，点P在双曲线C上，且线段PF1的中点坐标为(0,b)，则双曲线C的离心率为()A. √2B. √3C. √5D. 28.前进中学高二学生会体育部共有5人，现需从体育部派遣4人，分别担任拔河比赛活动中的裁判、记录结果、核查人数、维持纪律四项工作，每个人只能担任其中一项工作，其中体育部的张三不能担任裁判工作，则共有()种派遣方法．A. 120B. 96C. 48D. 609.设函数f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤π2)的最小正周期为π，且过点(0,√2)，则下列正确的为()10.①f(x)在(0,π2)单调递减．11.②f(x)的一条对称轴为x=π2．12.③f(|x|)的周期为π2．13.④把函数f(x)的图象向左平移π6个长度单位得到函数g(x)的解析式为g(x)=√2cos(2x+π6)A. ①②B. ①③C. ①②③D. ①②④14.下列函数图象中，函数f(x)=xαe|x|(α∈Z)的图象不可能的是()A. B.C. D.15.已知A(−√2,0)，B(√2,0)及抛物线方程为x2=8(y−1)，点P在抛物线上，则使得△ABP为直角三角形的点P个数为()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个16. 已知函数f(x)={ax 2−ax +1,x ≤1x −alnx,x >1(a ∈R)，若函数f(x)有四个零点，则a 的取值范围是( ) A. (−∞,0) B. (e,+∞) C. (4,+∞) D. (4,e 2) 二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）17. 已知实数x ，y 满足{x −y ≤52x +y −1≥0x +2y −2≤0，则z =3x +y 的最小值为______．18. 在△ABC 中，∠B =∠C =60°，AB =2，且点M 满足BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC⃗⃗⃗⃗⃗ =______． 19. 点P 为曲线y =2x 2+ln (4x +1)(x >−14)图象上的一个动点，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则当α取最小值时x 的值为______．20. 如图，网格纸上小正方形的边长为0.5，某多面体的正视图、左视图、俯视图为同一图形，粗实线画出如图所示，则该多面体外接球的体积等于______． 21. 22. 23. 24.三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）25. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知bsinB +a(sinA −sinB)=csinC ． 26. (Ⅰ)求角C 的大小；27. (Ⅱ)求sinA +sinB 的取值范围． 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34.35. 如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，D 是AB 的中点，BC =AC ，AB =2DC =2√2，AA 1=4．36. (Ⅰ)求证：BC 1//平面A 1CD ；37. (Ⅱ)求平面BCC 1B 1与平面A 1CD 所成锐二面角的平面角的余弦值．38.当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进．高中联招对初三毕业学生进行体育测试，是激发学生、家长和学校积极开展体育活动，保证学生健康成长的有效措施．某地区2019年初中毕业生升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远、掷实心球、1分钟跳绳三项测试，三项考试满分为50分，其中立定跳远15分，掷实心球15分，1分钟跳绳20分．某学校在初三上期开始时要掌握全年级学生每分钟跳绳的情况，随机抽取了100名学生进行测试，得到如下频率分布直方图，每分钟跳[165,175)[175,185)[185,195)[195,205)[205,215)绳个数得分16 17 18 19 2033分的概率；(Ⅱ)若该校初三年级所有学生的跳绳个数X服从正态分布N(μ,σ2)，用样本数据的平均值和方差估计总体的期望和方差(结果四舍五入到整数)，已知样本方差S2≈77.8(各组数据用中点值代替).根据往年经验，该校初三年级学生经过一年的训练，正式测试时每人每分钟跳绳个数都有明显进步，假设明年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加10个，利用现所得正态分布模型：(ⅰ)预估全年级恰好有1000名学生，正式测试时每分钟跳193个以上的人数．(结果四舍五入到整数)(ⅰ)若在该地区2020年所有初三毕业生中任意选取3人，记正式测试时每分钟跳202个以上的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和期望．附：若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2)，σ=√77.8≈9，则P(μ−σ<X<μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<X<μ+2σ)=0.9544，P(μ−3σ<X<μ+3σ)=0.997439. 设函数f(x)=e x −mx +n ，曲线y =f(x)在点(ln2,f(ln2))处的切线方程为x −y −2ln2=0． 40. (Ⅰ)求m ，n 的值；41. (Ⅱ)当x >0时，若k 为整数，且x +1>(k −x)[f(x)+x +1]，求k 的最大值． 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48.49. 在圆x 2+y 2=4上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足，当点P 在圆上运动时，点M 在线段PD 上，且DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，点M 的轨迹为曲线C 1．50. (1)求曲线C 1的方程；51. (2)过抛物线C 2：y 2=8x 的焦点F 作直线l 交抛物线于A ，B 两点，过F且与直线l 垂直的直线交曲线C 1于另一点C ，求△ABC 面积的最小值，以及取得最小值时直线l 的方程． 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58.59. 设A 为椭圆C 1：x 24+y 224=1上任意一点，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2−10ρcosθ+24=0，B 为C 2上任意一点．60. (1)写出C 1参数方程和C 2普通方程； 61. (2)求|AB|最大值和最小值． 62. 63. 64. 65. 66. 67. 68.69. 已知函数f(x)=|2x −2a|(a ∈R)，对∀x ∈R ，f(x)满足f(x)=f(2−x)．70. (Ⅰ)求a 的值；f(x)−f(x+2)≥m2+m，求实数m的取值71.(Ⅱ)若∃x∈R，使不等式12范围．72.73.74.75.76.77.78.答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵A={−1,0，1，2，3}，B={x|−3<x<1}，∴A∩B={−1,0}．故选：C．可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2.【答案】D【解析】解：∵z=2ii−1=2i(i+1)(i−1)(i+1)=1−i，∴在复平面内对应的点为(1,−1)，故选：D．由题意分子分母同乘以1+i，再进行化简求出实部和虚部即可．本题考查了复数的除法运算，关键利用共轭复数对分母实数化．3.【答案】B【解析】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S5=a3+16，a1=1，∴5+5×42d=1+2d+16，解得d=32．则a2+a6=2+6×32=11．故选：B．利用等差数列通项公式求和公式即可得出．本题考查了等差数列通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：如图“双喜”字，第一次对折后为；第二次对折后为；故选：D．把剪出“双喜”字对折两次即可得出结论．本题考查了轴对称的应用问题，是基础题．5.【答案】C【解析】解：设等比数列{a n}的公比为q≠1，∵a1=1，S3=7，∴1+q+q2=7，解得q=2，或−3．则a3⋅a5=q6=64或729．故选：C．利用等比数列的通项公式求和公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：连接圆心与正二十四边形的各个顶点，正二十四边形被分成了24个面积相等的等腰三角形，每个等腰三角形的腰长为1，顶角为360°24=15°，所以每个等腰三角形的面积s=12×1×1×sin360°24=12×sin15°，所以正二十四边形的面积为24s=12×sin15°≈12×0.2588≈3.11，故选：B．连接圆心与正二十四边形的各个顶点，正二十四边形被分成了24个面积相等的等腰三角形，可以计算出每个等腰三角形的面积，再算出正二十四边形的面积，即可求出π的近似值．本题主要考查了类比推理，是中档题．7.【答案】C【解析】解：F1、F2为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，点P在双曲线C上，且线段PF1的中点坐标为(0,b)，可得：2b=b2a，可得2a=b，所以双曲线的离心率为：e=ca =√a2+b2a2=√5．故选：C．利用双曲线的通径的一半为2b，列出方程，转化求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，抓住通径与已知条件的转化是解题的关键．8.【答案】B【解析】解：根据题意，需要先在5人中选出4人，分2种情况讨论：①，选出的4人中没有张三，此时将选出的4人全排列，对应4项工作即可，此时有A44=24种情况，②，选出的4人中没有张三，需要在其他4人中选出3人，再让选出4人担任4项工作，张三不担任裁判工作，有C43×3×A33=72种情况，则一共有24+72=96种安排方法；故选：B．根据题意，分2种情况讨论：①，选出的4人中没有张三，此时将选出的4人全排列，对应4项工作即可，②，选出的4人中没有张三，需要在其他4人中选出3人，再让选出4人担任4项工作，张三不担任裁判工作，由加法原理计算可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：函数f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)=√2sin(ωx+φ)(ω> 0,|φ|≤π2)，由于函数的最小正周期为π，所以ω=2ππ=2，由于函数的图象经过点(0,√2)，所以√2=√2sinφ，所以φ=π2．所以函数f(x)=√2sin(2x+π2)=√2cos2x，对于①f(x)在x∈(0,π2)时，2x∈(0,π)，所以函数单调递减．故正确．对于②f(x)的一条对称轴为x=π2.当x=π2时，函数取得最小值，故正确．③f(|x|)=√2cos2|x|，所以函数的周期为π.故错误．④把函数f(x)的图象向左平移π6个长度单位得到函数g(x)=√2cos(2x+π3)，故错误．故选：A．首先把三角函数的关系式进行变换，把函数的关系式变形成余弦型函数，进一步利用函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，余弦型函数的性质的应用，函数的图象的平移变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．10.【答案】C【解析】解：A图象中函数的定义域为R，函数是偶函数，则α为正偶数时，满足对应图象，B图象中函数的定义域为{x|x≠0}，函数是偶函数，则α为负偶数时，满足对应图象，C图象中函数的定义域为R，函数是奇函数，则α为正奇数，函数为增函数，且递增的速度越来越快，故C不满足条件．D图象中函数的定义域为R，函数是奇函数，则α为正奇数，函数为增函数，且递增的速度越来越快，故D满足条件．故选：C．结合函数定义域，奇偶性以及幂函数的性质分别进行判断即可．本题主要考查函数图象的识别和判断．结合函数的定义域，奇偶性，得到α是奇偶数是解决本题的关键．难度中等．11.【答案】D【解析】解：由题意如图所示，当∠PAB ，∠PBA 为直角时，即当PB ⊥AB ，PA ⊥AB 时有两个点，当PA ⊥PB ，即AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∠APB 为直角时，设P(a,a 28+1)，∵AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP⃗⃗⃗⃗⃗ =(a +√2,a 28+1)⋅(a −√2,a 28+1)=0，即(a +√2)(a −√2)+(a 28+1)2=0，整理：a 4+80a 2−64=0，可得由两个根，即有两个P 点关于y 轴对称，综上所述共有4个点P 满足△ABP 为直角三角形，故选：D ．讨论分别以P ，A ，B 为直角顶点的情况，可得△ABP 为直角三角形的个数．考查直线与抛物线的综合应用，属于中档题． 12.【答案】C【解析】解：①当a =0时，显然不符合题意，舍去；②当a <0时，f(x)=x −alnx 为(1,+∞)上的增函数，在区间(1,+∞)上至多有一个零点，与条件矛盾，不合题意，舍去；③当a >0时，则f(x)在(−∞,1]上有两个零点，在(1,+∞)上有两个零点．当x ≤1时，f(x)=ax 2−ax +1=a(x −12)2+4−a 4，由于对称轴是x =12，f(0)=f(1)=1>0，故只要f(12)<0，即a >4；当x >1时，f(x)=x −alnx ，f′(x)=1−ax =x−a x，令f′(x)=0，则x =a ，当0<a ≤1时，f′(x)>0，f(x)在(1,+∞)上单调递增，与条件矛盾，不符合题意，舍去；当a >1时，x ∈(1,a)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x ∈(a,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；且根据不同函数的增长率的知识知，必然存在x 0∈(a,+∞)，使得f(x 0)=x 0−alnx 0>0；故x =a 时f(x)有极小值，要满足条件，只要f(a)=a −alna <0，即a >e ；综上所述，a >4且a >e ，故a >4；故选：C ．当a =0时，显然不符合题意，舍去；当a <0时，f(x)=x −alnx 为(1,+∞)上的增函数，在区间(1,+∞)上至多有一个零点，与条件矛盾，不合题意，舍去；当a >0时，使f(x)在(−∞,1]上有两个零点，在(1,+∞)上有两个零点即可．本题考查了分段函数的零点问题，要分类讨论，注意数形结合，属于中档题．13.【答案】1【解析】解：由实数x ，y 满足{x −y ≤52x +y −1≥0x +2y −2≤0，作出可行域如图，联立{2x +y −1=0x +2y −2=0，解得A(0,1)，化目标函数z =3x +y 为y =−3x +z ，由图可知，当直线y =−3x +z 过A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为3×0+1=1．故答案为：1．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． 14.【答案】6【解析】解：因为在△ABC 中，∠B =∠C =60°，AB =2，所以△ABC 是等边三角形．因为点M 满足BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以，点C 是BM 的中点， AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2BC⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +2BC⃗⃗⃗⃗⃗ 2=2×2×cos120°+2×22=6，故答案为：6．根据题意可知△ABC 是等边三角形．且点C 是BM 的中点，将AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 用AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示，再进行AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 运算．本题考查数量积的运算，属于中档题． 15.【答案】14【解析】解：由y =2x 2+ln (4x +1)(x >−14)，得y′=4x +44x+1=4x +1+44x+1−1≥2√(4x +1)⋅44x+1−1=3，当且仅当4x +1=44x+1，即x =14时，y′最小，此时tanα最小，α最小．故答案为：14．求出原函数的导函数，利用基本不等式求得导函数的最小值，再由倾斜角的正切值等于斜率得答案．本题考查了利用导数研究过曲线上的某点的切线方程，过曲线上的某点的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是基础题．16.【答案】8√23π【解析】解：根据该几何体的三视图可知该几何体外框架为正方体，棱长为2，则其外接球的半径R=√22+22+222=√2，所以其体积为V=43πR3=8√23π，故答案为：8√23π判断出几何体外框架为正方体即可本题考查几何体三视图，几何体外接球体积公式，属于中档题17.【答案】解：(Ⅰ)由bsinB+a(sinA−sinB)=csinC，及正弦定理asinA =bsinB=csinC，得a(a−b)+b2=c2，即a2+b2−c2=ab，由余弦定理得cosC=a2+b2−c22ab =12，结合0<C<π，得C=π3．(Ⅱ)∵C=π3，∴A+B=π−C=2π3，即B=2π3−A，则sinA+sinB=sinA+sin(2π3−A)=sinA+√32cosA+12sinA=32sinA+√3 2cosA=√3sin(A+π6)，∵A∈(0,2π3)，∴A+π6∈(π6,5π6)，∴sin(A+π6)∈(12,1]，则sinA+sinB的取值范围是(√32,√3].【解析】(Ⅰ)利用正弦定理化简已知等式可得a(a−b)+b2=c2，即a2+ b2−c2=ab，再利用余弦定理结合0<C<π，得C．(Ⅱ)根据C的度数求出A+B的度数，用A表示出B，代入sinA+sinB中，利用两角和与差的正弦函数公式化简，根据A的范围得到这个角的范围，利用正弦函数的值域即可确定出所求式子的范围．此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式及定理是解本题的关键，属于基础题．18.【答案】解：(Ⅰ)证明：取A1B1中点E，连结BE，C1E，∵在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，D 是AB 的中点， ∴BE//A 1D ，C 1E//CD ，∵DA 1∩DC =D ，BE ∩C 1E =E ，平面CDA 1//平面C 1EB ， ∵BC 1//平面A 1CD ． (Ⅱ)解：∵AA 1⊥平面ABC ，D 是AB 的中点，BC =AC ，AB =2DC =2√2，AA 1=4.所以AC ⊥CB ，，，以C 为原点，CB 为x 轴，CC 1为y 轴，CA 为z 轴，建立空间直角坐标系，BC =AC =2，平面BCC 1B 1的法向量为m ⃗⃗ =(0,0，1)，A 1(0,4，2)，C(0,0，0)，B(2,0，0)，A(0,0，2)，D(1,0，1)，设CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0，1)，CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4，2)，设平面A 1CD 的法向量n ⃗ =(x,y ，z)，则{n ⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =x +z =0n ⃗ ⋅CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4y +2z =0，取x =2，得n ⃗ =(2,1，−2)，设平面BCC 1B 1与平面A 1CD 所成锐二面角的平面角为θ，则cosθ=|m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ||m⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗ |=23． ∴平面BCC 1B 1与平面A 1CD 所成锐二面角的平面角的余弦值为23．【解析】(Ⅰ)取A 1B 1中点E ，连结BE ，C 1E ，从而BE//A 1D ，C 1E//CD ，进而平面CDA 1//平面C 1EB ，由此能证明BC 1//平面A 1CD ．(Ⅱ)以C 为原点，OB 为x 轴，CC 1为y 轴，CA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面BCC 1B 1与平面A 1CD 所成锐二面角的平面角的余弦值．本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)现从样本的100名学生中，任意选取2人，两人得分之和不大于33分，即两人得分均为16分，或两人中1人16分，1人17分，由题意知：得16分的分数为5人，得17分的人数为9人， ∴两人得分之和不大于33分的概率为： P =C 52+C 51C 91C 1002=190．(Ⅱ)(i)X −=170×0.05+180×0.09+190×0.5+200×0.3+210×0.06=192.3≈192(个)，σ2≈77.8，σ≈9，∴正式测试时，μ=202，σ=9， ∴μ−σ=193，μ+σ=211， ∴P(ξ>193)=1−1−0.68262=0.8413，0.8413×1000=841.3≈841，∴正式测试时每分钟跳193个以上的人数为841个．(ii)由正态分布模型得，在该地区2020年初三毕业生中任取1人，每分钟跳绳个数202以上的概率为12，即ξ～B(3,12)，P(ξ=0)=C 30(12)0(1−12)3=18， P(ξ=1)=C 31(12)(1−12)2=38，P(ξ=2)=C 32(12)2(1−12)=38， P(ξ=3)=C 33(12)3(1−12)0=18，E(ξ)=0×18+1×38+2×38+3×18=32．【解析】(Ⅰ)现从样本的100名学生中，任意选取2人，两人得分之和不大于33分，即两人得分均为16分，或两人中1人16分，1人17分，由此能求出两人得分之和不大于33分的概率．(Ⅱ)(i)求出X −≈192个，σ2≈77.8，σ≈9，从而正式测试时，μ=202，σ=9，进而μ−σ=193，μ+σ=211，由此能求出正式测试时每分钟跳193个以上的人数．(ii)由正态分布模型得，在该地区2020年初三毕业生中任取1人，每分钟跳绳个数202以上的概率为12，即ξ～B(3,12)，由此能求出ξ的分布列和E(ξ)．本题考查概率、频数的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查正态分布、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)f′(x)=e x −m ，易知切线方程的斜率为1，且过点(ln2,−ln2)，∴{2−mln2+n =−ln22−m =1，解得m =1，n =2； (Ⅱ)由(Ⅰ)知，f(x)=e x −x −2，∴x +1>(k −x)[f(x)+x +1]即为x +1>(k −x)(e x −1)，当x >0时，等价于k <x+1e −1+x(x >0)，令g(x)=x+1e x −1+x(x >0)，则g′(x)=e x (e x −x−2)(e x −1)2，令ℎ(x)=e x −x −2，由x >0得，ℎ′(x)=e x −1>0， ∴函数ℎ(x)在(0,+∞)上递增，而ℎ(1)<0，ℎ(2)>0，故存在唯一的零点x 0∈(1,2)，使得ℎ(x 0)=0，即存在唯一的零点x 0∈(1,2)，使得g′(x 0)=0，当x ∈(0,x 0)时，g′(x)<0，g(x)递减，当x ∈(x 0,+∞)时，g′(x)>0，g(x)递增，∴g(x)min =g(x 0)，又ℎ(x 0)=0，即e x 0=x 0+2，故g(x 0)=x 0+1∈(2,3)， ∴整数k 的最大值为2．【解析】(Ⅰ)根据题意，列出方程组，解出即可；(Ⅱ)将原不等式变形为于k <x+1e x −1+x(x >0)，构造新函数g(x)=x+1e x −1+x(x >0)，求其最小值即可．本题考查导数的几何意义，以及利用导数解不等式，确定参数的范围，属于较难的题．21.【答案】解(1)设M(x,y)，P(x′,y′)，由题意可知D(x′,0)，因为DM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以可得M 是DP 的中点，∴{x =x′y =y′2，即{x′=xy′=2y ，而P 在圆x 2+y 2=4上，所以可得x 2+(2y)2=4，整理得：x 24+y 2=1，所以曲线C 1的方程：x 24+y 2=1．(2)由题意焦点F 的坐标(2,0)，显然直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为：x =my +2，设交点A(x,y)，B(x′,y′)，联立直线与抛物线的方程：{x =my +2y 2=8x， y 2−8my −16=0，y +y′=8m ，yy′=−16，所以弦长AB =√1+m 2⋅√(y +y′)2−4yy′=√1+m 2⋅√64m 2+64=8(1+m 2)，由题意可知CF 的方程为：y =−m(x −2)，与曲线C 1联立{y =−m(x −2)x 24+y 2=1可得：(1+4m 2)x 2−16m 2x +16m 2−4=0，∴x +2=16m 21+4m ，∴x C =8m 2−21+4m ，代入直线CF 中y C =−m(8m 2−21+4m 2−2)=4m1+4m 2，即C 的坐标为(8m 2−21+4m 2,4m1+4m 2)，所以CF =√(8m 2−21+4m 2−2)2+(4m 1+4m 2)2=4√1+m 21+4m 2，所以S △ABC =12⋅AB ⋅CF =12⋅8(1+m 2)⋅4√1+m 21+4m =16(1+m 2)⋅√1+m 21+4m ，令t =√1+m 2≥1，则S △ABC =16⋅t 34t 2−3，令f(t)=t 34t 2−3(t ≥1)，∴f′(t)=3t 2(4t 2−3)−t 3⋅4t(4t 2−3)2=t 2(4t 2−9)(4t 2−3)2，令f′(t)=0，t ≥1，t =32，当1≤t <32，f′(t)<0，f(t)单调递减当t >32，f′(t)>0，f(t)单调递增，所以t ∈[1,+∞)，f(32)最小，且最小值f(32)=(32)34⋅(32)2−3=916，所以△ABC 面积的最小值为16×916=9，且这时√1+m 2=32，解得m =±√52，即直线l 的方程为：x =±√52y +2．【解析】(1)由题意设P ，M 的坐标可得D 的坐标，由向量之间的关系求出P ，M 的坐标的关系，由相关点法，P 在圆上得出M 的轨迹方程；(2)设直线l 的方程与抛物线联立求出两根之和及两根之积，进而求出弦长AB 的长，再求直线CF 的方程与曲线C 1联立求出C 的坐标，求出CF 的长，由题意CF ⊥AB ，即CF 的长为C 到AB 边上的高，求出面积，换元，用导数求出函数在单调性，进而求出面积的最小值，及此时的直线l 的方程．考查直线与圆锥曲线的综合应用，属于中难题． 22.【答案】解：(1)椭圆C 1：x 24+y 224=1转换为参数方程为{x =2cosθy =2√6sinθ(θ为参数)．曲线C 2的极坐标方程为ρ2−10ρcosθ+24=0，转换为直角坐标方程为x 2+y 2−10x +24=0，整理得(x −5)2+y 2=1． (2)椭圆上点A(2cosθ,2√6sinθ)到曲线C 2的圆心(5,0)的距离d =√(2cosθ−5)2+24sin 2θ=√−20(cos θ+12)2+54，当cosθ=−12时，|AO|max=3√6，当cosθ=1时，|AO|min =3，所以|AB|max=3√6+1， |AB|min =2．【解析】(1)先将直线l 的参数方程利用部分分式法进行转化，再消参数，将曲线C 的方程先去分母，再将y =ρsinθ，x 2+y 2=ρ2代入，化简即可求解；(2)先将曲线C 的方程化为参数形式，再利用两点间的距离公式，结合三角函数求最值，即可得解．本题考查参数方程与普通方程、直角坐标和极坐标之间的转化、二次函数性质的应用，两点间的距离公式的应用，考查考生的运算求解能力，考查化归与转化思想．23.【答案】解：(Ⅰ)函数f(x)=|2x−2a|(a∈R)，对∀x∈R，f(x)满足f(x)=f(2−x)，可得f(x)的图象关于直线x=1对称，可得a=1；(Ⅱ)由(Ⅰ)可得f(x)=2|x−1|，f(x)−f(x+2)≥m2+m，若∃x∈R，使不等式12可得m2+m≤|x−1|−|2x+2|的最大值，由|x−1|−|2x+2|=|x−1|−|x+1|−|x+1|≤|x−1−x−1|−|x+ 1|≤2，当且仅当x=−1时，取得等号，即最大值2，则m2+m≤2，解得−2≤m≤1．【解析】(Ⅰ)由题意可得f(x)的图象关于直线x=1对称，再由绝对值函数的对称轴，可得a的值；(Ⅱ)运用绝对值不等式的性质和二次不等式的解法，即可得到所求范围．本题考查函数的对称性的判断和运用，不等式成立问题解法，注意运用绝对值不等式的性质，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．。

2020年广东省高考数学一模试卷答案解析

2020年广东省高考数学一模试卷答案解析一、选择题（共12题，共60分）1．已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，则A∪B＝（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，3]C．（0，3）D．（0，3]【解答】解：集合A＝{0，1，2，3}，B＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}＝（﹣1，3），则A∪B＝（﹣1，3]，故选：B．2．设z＝，则z的虚部为（）A．﹣1B．1C．﹣2D．2【解答】解：∵z＝＝，∴z的虚部为1．故选：B．3．某工厂生产的30个零件编号为01，02，…，19，30，现利用如下随机数表从中抽取5个进行检测．若从表中第1行第5列的数字开始，从左往右依次读取数字，则抽取的第5个零件编号为（）34 57 07 86 36 04 68 96 08 23 23 45 78 89 07 84 42 12 53 31 25 30 07 32 8632 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42A．25B．23C．12D．07【解答】解：根据随机数的定义，1行的第5列数字开始由左向右依次选取两个数字，依次为07，04，08，23，12，则抽取的第5个零件编号为，12，故选：C．4．记S n为等差数列{a n}的前n项和，若a2＝3，a5＝9，则S6为（）A．36B．32C．28D．24【解答】解：S6＝＝3×（3+9）＝36．故选：A．5．若双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点（1，﹣2），则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2【解答】解：∵双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点（1，﹣2），∴点（1，﹣2）在直线上，∴．则该双曲线的离心率为e＝．故选：C．6．已知tanα＝﹣3，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：因为tanα＝﹣3，则＝cos2α＝＝＝＝．故选：D．7．的展开式中x3的系数为（）A．168B．84C．42D．21【解答】解：由于的展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣2）r x7﹣2r，则令7﹣2r＝3，求得r＝2，可得展开式中x3的系数为•4＝84，故选：B．8．函数f（x）＝ln|e2x﹣1|﹣x的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：，故排除CD；f（﹣1）＝ln|e﹣2﹣1|+1＝ln（1﹣e﹣2）+lne＝，故排除B．故选：A．9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的外接球表面积为（）A．B．32πC．36πD．48π【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为三棱锥体A﹣BCD：如图所示：设外接球的半径为r，则：（2r）2＝42+42+42，解得r2＝12，所以：S＝4π×12＝48π．故选：D．10．已知动点M在以F1，F2为焦点的椭圆上，动点N在以M为圆心，半径长为|MF1|的圆上，则|NF2|的最大值为（）A．2B．4C．8D．16【解答】解：由椭圆的方程可得焦点在y轴上，a2＝4，即a＝2，由题意可得|NF2|≤|F2M|+|MN|＝|F2M|+|MF1|，当N，M，F2三点共线时取得最大值而|F2M|+|MF1|＝2a＝4，所以|NF2|的最大值为4，故选：B．11．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点O，H分别是△ABC的外心、垂心，且M为BC中点，则（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示的Rt△ABC，其中角B为直角，则垂心H与B重合，∵O为△ABC的外心，∴OA＝OC，即O为斜边AC的中点，又∵M为BC中点，∴，∵M为BC中点，∴＝＝＝．故选：D．12．已知定义在[0，]上的函数f（x）＝sin（ωx﹣）（ω＞0）的最大值为，则正实数ω的取值个数最多为（）A．4B．3C．2D．1【解答】解：∵定义在[0，]上的函数f（x）＝sin（ωx﹣）（ω＞0）的最大值为，∴0＜≤1，解得0＜ω≤3，∴≤ωx﹣≤．①0＜ω≤时，则sin（ω﹣）＝，令g（ω）＝sin（ω﹣）﹣，y＝sin（ω﹣）在（0，]上单调递增，∵g（0）＝﹣＜0，g（）＝1﹣＝＞0，因此存在唯一实数ω，使得sin（ω﹣）＝．②＜ω≤3，sin（ωx﹣）＝1，必须ω＝3，x＝．综上可得：正实数ω的取值个数最多为2个．故选：C．二、填空题（共4题，共20分）13．若x，y满足约束条件，则z＝x﹣2y的最小值为﹣3．【解答】解：画出x，y满足约束条件，表示的平面区域，如图所示；结合图象知目标函数z＝x﹣2y过A时，z取得最小值，由，解得A（1，2），所以z的最小值为z＝1﹣2×2＝﹣3．故答案为：﹣3．14．设数列{a n}的前n项和为S n，若S n＝2a n﹣n，则a6＝63．【解答】解：数列{a n}的前n项和为S n，由于S n＝2a n﹣n，①所以当n≥2时，S n﹣1＝2a n﹣1﹣（n﹣1）②，①﹣②得：a n＝2a n﹣1+1，整理得（a n+1）＝2（a n﹣1+1），所以（常数），所以数列{a n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列．所以，整理得．所以．故答案为：6315．很多网站利用验证码来防止恶意登录，以提升网络安全．某马拉松赛事报名网站的登录验证码由0，1，2，…，9中的四个数字随机组成，将从左往右数字依次增大的验证码称为“递增型验证码”（如0123），已知某人收到了一个“递增型验证码”，则该验证码的首位数字是1的概率为．【解答】解：基本事件的总数为，其中该验证码的首位数字是1的包括的事件个数为．∴该验证码的首位数字是1的概率＝＝．故答案为：．16．已知点M（m，m﹣）和点N（n，n﹣）（m≠n），若线段MN上的任意一点P都满足：经过点P的所有直线中恰好有两条直线与曲线C：y＝+x（﹣1≤x≤3）相切，则|m﹣n|的最大值为．【解答】解：由点M（m，m﹣）和点N（n，n﹣），可得M，N在直线y＝x﹣上，联立曲线C：y＝+x（﹣1≤x≤3），可得x2＝﹣，无实数解，由y＝+x的导数为y′＝x+1，可得曲线C在x＝﹣1处的切线的斜率为0，可得切线的方程为y＝﹣，即有与直线y＝x﹣的交点E（0，﹣），同样可得曲线C在x＝3处切线的斜率为4，切线的方程为y＝4x﹣，联立直线y＝x﹣，可得交点F（，），此时可设M（0，﹣），N（，），则由图象可得|m﹣n|的最大值为﹣0＝，故答案为：．三、解答题（共70分）17．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，a2+b2﹣c2＝2S．（1）求cos C；（2）若a cos B+b sin A＝c，，求b．【解答】解：（1）∵a2+b2﹣c2＝2S，所以2ab cos C＝ab sin C，即sin C＝2cos C＞0，sin2C+cos2C＝1，cos C＞0，解可得，cos C＝，（2）∵a cos B+b sin A＝c，由正弦定理可得，sin A cos B+sin B sin A＝sin C＝sin（A+B），故sin A cos B+sin B sin A＝sin A cos B+sin B cos A，所以sin A＝cos A，∵A∈（0，π），所以A＝，所以sin B＝sin（A+C）＝sin（）＝＝，由正弦定理可得，b＝＝＝3．18．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，点M，N分别在棱C1C，A1A上，且C1M＝2MC，A1N＝2NA．（1）求证：NC1∥平面BMD；（2）若A1A＝3，AB＝2AD＝2，∠DAB＝，求二面角N﹣BD﹣M的正弦值．【解答】解：（1）连接BD，AC交于E，取C1M的中点F，连接AF，ME，由C1M＝2MC，A1N＝2NA，故C1F＝AN，以且C1F∥AN，故平行四边形C1F AN，所以C1N∥F A，根据中位线定理，ME∥AF，由ME⊂平面MDB，F A⊄平面MDB，所以F A∥平面MDB，NC1∥F A，故NC1∥平面BMD；（2）AB＝2AD＝2，∠DAB＝，由DB2＝1+4﹣2×1×2×cos＝3，由AB2＝AD2+DB2，得AD⊥BD，以D为原点，以DA，DB，DD₁分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，D（0，0，0），B（0，，0），M（﹣1，，1），N（1，0，1），＝（0，，0），＝（﹣1，，1），＝（1，0，1），设平面MBD的一个法向量为＝（x，y，z），由，令x＝1，得＝（1，0，1），设平面NBD的一个法向量为＝（a，b，c），由，得，由cos＜＞＝，所以二面角N﹣BD﹣M为，正弦值为1．19．已知以F为焦点的抛物线C：y2＝2px（p＞0）过点P（1，﹣2），直线l与C交于A，B两点，M为AB中点，且．（1）当λ＝3时，求点M的坐标；（2）当＝12时，求直线l的方程．【解答】解：（1）将P（1，﹣2）代入抛物线C：y2＝2px方程，得p＝2，所以C的方程为y2＝4x，焦点F（1，0），设M（x0，y0），当λ＝3时，，可得M（2，2）．（2）方法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），由．可得（x0+1，y0﹣2）＝（λ，0），所以y0＝2，所以直线l的斜率存在且斜率，设直线l的方程为y＝x+b，联立，消去y，整理得x2+（2b﹣4）x+b2＝0，△＝（2b﹣4）2﹣4b2＝16﹣16b＞0，可得b＜1，则x1+x2＝4﹣2b，，，所以，解得b＝﹣6，b＝2（舍），所以直线l的方程为y＝x﹣6．方法二：设直线l的方程为x＝my+n，设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），联立方程组，消去x，整理得y2﹣4my﹣4n＝0，△＝16m2+16n＞0，则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4n，则，则M（2m2+n，2m），由．得（2m2+n+1，2m﹣2）＝（λ，0），所以m＝1，所以直线l的方程为x＝y+n，由△＝16+16n＞0，可得n＞﹣1，由y1y2＝﹣4n，得，所以，解得n＝6或n＝﹣2，（舍去）所以直线l的方程为y＝x﹣6．20．在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期．一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格：潜伏期（单位：天）[0，2]（2，4]（4，6]（6，8]（8，10]（10，12]（12，14]人数85205310250130155（1）求这1000名患者的潜伏期的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表．请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；潜伏期≤6天潜伏期＞6天总计50岁以上（含50岁）10050岁以下55总计200（3）以这1000名患者的潜伏期超过6天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立．为了深入研究，该研究团队随机调查了20名患者，其中潜伏期超过6天的人数最有可能（即概率最大）是多少？附：P（K2≥k0）0.050.0250.010k0 3.841 5.024 6.635，其中n＝a+b+c+d．【解答】解：（1）根据统计数据，计算平均数为＝×（1×85+3×205+5×310+7×250+9×130+11×15+13×5）＝5.4（天）；（2）根据题意，补充完整列联表如下；潜伏期＜6天潜伏期≥6天总计50岁以上（含50岁）653510050岁以下5545100总计12080200根据列联表计算K2＝＝≈2.083＜3.841，所以没有95%的把握认为潜伏期与年龄有关；（3）根据题意得，该地区每1名患者潜伏期超过6天发生的概率为＝，设调查的20名患者中潜伏期超过6天的人数为X，则X～B（20，），P（X＝k）＝••，k＝0，1，2， (20)由，得，化简得，解得≤k≤；又k∈N，所以k＝8，即这20名患者中潜伏期超过6天的人数最有可能是8人．21.已知函数f（x）＝e x﹣aln（x﹣1）．（其中常数e＝2.71828…，是自然对数的底数）（1）若a∈R，求函数f（x）的极值点个数；（2）若函数f（x）在区间（1，1+e﹣a）上不单调，证明：+＞a．【解答】解：（1）易知，①若a≤0，则f′（x）＞0，函数f（x）在（1，+∞）上单调递增，∴函数f（x）无极值点，即此时极值点个数为0；②若a＞0，易知函数y＝e x的图象与的图象有唯一交点M（x0，y0），∴，∴当x∈（1，x0）时，f′（x）＜0，函数f（x）在（1，x0）上单调递减，当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）在（x0，+∞）上单调递增，∴函数f（x）有较小值点x0，即此时函数f（x）的极值点个数为1；综上所述，当a≤0时，函数f（x）的极值点个数为0；当a＞0时，函数f（x）的极值点个数为1；（2）证明：∵函数f（x）在区间（1，1+e﹣a）上不单调，∴存在为函数f（x）的极值点，由（1）可知，a＞0，且，即，两边取自然对数得1﹣a+e﹣a＞lna，即1+e﹣a﹣lna＞a，要证+＞a，不妨考虑证，又易知e x≥1+x，∴，即，又，∴，∴，即，∴，∴+＞a．22．在直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为（t为参数，α为倾斜角），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ．（1）求C2的直角坐标方程；（2）直线C1与C2相交于E，F两个不同的点，点P的极坐标为，若2|EF|＝|PE|+|PF|，求直线C1的普通方程．【解答】解：（1）曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ．即ρ2＝4ρsinθ，可得普通方程：x2+y2＝4y．（2）点P的极坐标为，可得直角坐标为（﹣2，0）．把直线C1的参数方程为（t为参数，α为倾斜角），代入C2方程可得：t2﹣（4cosα+4sinα）t+12＝0，△＝﹣48＞0，可得：sin（α+）＞，或sin（α+）＜﹣，由α为锐角．可得：sin（α+）＞，解得：0＜α＜．则t1+t2＝4cosα+4sinα，t1t2＝12．∴|EF|＝＝4，|PE|+|PF|＝|t1|+|t2|＝|t1+t2|＝8|sin（α+）|，∴8＝8|sin（α+）|，∴化为：sin（α+）＝1，∴α＝+2kπ，k∈Z．α满足0＜α＜．可得α＝．∴直线C1的参数方程为：，可得普通方程：x﹣y+2＝0．23．已知a，b，c为正数，且满足a+b+c＝1．证明：（1）≥9；（2）ac+bc+ab﹣abc≤．【解答】证明：（1）＝，当且仅当时，等号成立；（2）∵a，b，c为正数，且满足a+b+c＝1，∴c＝1﹣a﹣b，1﹣a＞0，1﹣b＞0，1﹣c＞0，∴ac+bc+ab﹣abc＝（a+b﹣ab）c+ab＝（a+b﹣ab）（1﹣a﹣b）+ab＝（b﹣1）（a﹣1）（a+b）＝（1﹣a）（1﹣b）（1﹣c），∴ac+bc+ab﹣abc≤，当且仅当时，等号成立．。

广东省2020届高考数学一模试卷2 (含答案解析)

广东省2020届高考数学一模试卷2一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集U={1,2，3，4，5，6，7}，集合A={3,4，5}，B={1,3，6}，则A∩(∁U B)等于()A. {4,5}B. {2,4，5，7}C. {1,6}D. {3}2.设i是虚数单位，复数7+4i1+2i=()A. 3+2iB. 3−2iC. 2+3iD. 2−3i3.设x，y满足约束条件{3x+y−2 ≤ 0 y−x ≤ 2 y ≥ −x−1 , ，则z=y−2x的最大值()A. 72B. 2 C. 3 D. 1124.方程x+√y=0所表示的图形是()A. B. C. D.5.函数f(x)=(x−1)cosx2在区间[0,4]上的零点个数是()A. 4B. 5C. 6D. 76.一个正三棱柱的侧棱长和底面边长都相等，它的俯视图如图所示，左视图是一个矩形，棱柱的体积为2√3，则这个三棱柱的表面积为()A. 2√3B. 12C. 2√3+12D. 2√3+67.已知某地区一次联考中10000名学生的数学成绩服从正态分布N(120,100)，则数学成绩高于130分的学生人数大约为()附：X～N(μ,σ2)，则P(μ−σ<X≤μ+σ)=0.6826；P(μ−2σ<X≤μ+2σ)=0.9544；P(μ−3σ<X≤μ+3σ)=0.9974．A. 3174B. 1587C. 456D. 68288.设(1+x)n=a0+a1x+a2x2+⋯+a n x n，若a1+a2+⋯+a n=63，则展开式中系数最大的项是()A. 15x2B. 20x3C. 21x3D. 35x39.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右两个焦点分别为F1，F2，A，B为其左、右两个顶点，以线段F1F2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M，且∠AMB=30°，则该双曲线的离心率为()A. √212B. √13 C. 2√3 D. √19210.设数列{a n}的前n项和为S n，若a1=4且S n=12a n+1+2，则S10=()A. 2×(310−1)B. 2×(310+1)C. 2×(39+1)D. 2×(39−1)11.已知三棱锥P−ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，2AC=√3AB，若三棱锥P−ABC的体积为3，则该三棱锥的外接球的体积为()2A. 8√3πB. 6√3πC. 4√3πD. 2√3π12.已知函数f(x)=x−sinx，则不等式f(x2−1)+f(2x−2)>0的解集是()．A. (−∞,−1)⋃(3,+∞)B. (−3,1)C. (−∞,−3)⋃(1,+∞)D. (−1,3)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设函数f(x)=(x+a)lnx，若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线2x−y=0平行，则实数a的值为______．14.已知在数列{a n}中，a1=2，2n(a n+a n+1)=1，设T n=a1+2a2+⋯+2n−1a n，b n=3T n−n−1，a n数列{b n}的前n项和S n=______．15.已知a⃗,b⃗ ,c⃗均为单位向量，若a⃗⋅b⃗ =0，则|3a⃗+2b⃗ −c⃗|的最大值为________．16.过抛物线C：x2=4y的准线上任意一点P作抛物线的切线PA，PB，切点分别为A，B，则A点到准线的距离与B点到准线的距离之和的最小值是____________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且a2=b2+c2+bc．(1)求A的大小；(2)若sinB+sinC=1，b=2，试求△ABC的面积．18.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=BC=4，AB=4√3，M，N分别为AB，CC1的中点．(1)求证：CM//平面B1AN；(2)若A1M⊥B1C，求平面B1AN与平面B1MC所成锐二面角的余弦值．19.已知椭圆E：x23+y22=1的左右顶点分别为A、B，点P为椭圆上异于A，B的任意一点．(Ⅰ)求直线PA与PB的斜率乘积的值；(Ⅱ)设Q(t,0)(t≠√3)，过点Q作与x轴不重合的任意直线交椭圆E于M，N两点，则是否存在实数t，使得以MN为直径的圆恒过点A？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．20.已知函数f(x)=(x2−2x−5)e2x−1，求函数f(x)的极值．21.口袋中有大小形状质量相同的四个白球和两个红球，每次从中任取一个球，各个球被取到的可能性是一样的，取后不放回．若能把两个红球区分出来就停止，用ξ表示停止时取球的次数，(1)求ξ=3时的概率P(ξ=3)(2)求ξ的分布列与均值．22. 在平面直角坐标系中，圆C 的参数方程为{x =1+2cosαy =2sinα(α为参数).以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin(θ−π4)=1−√22．(1)求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)若直线l 与圆C 交于A,B 两点，M 是圆C 上不同于A,B 两点的动点，求ΔMAB 面积的最大值．23. 已知函数f(x)=|x −2|．(1)求不等式f(x)−|x|<1的解集；(2)设g(x)=|x +1|，若∀x ∈R ，f(x)+g(x)≥a 2−2a 恒成立，求a 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题目．根据补集与交集的定义，进行运算即可．解：全集U ={1,2，3，4，5，6，7}，集合A ={3,4，5}，集合B ={1,3，6}，所以∁U B ={2,4，5，7}，所以A ∩(∁U B)={4,5}. 故选A .2.答案：B解析：解：复数7+4i1+2i =(7+4i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=15−10i 5=3−2i ．故选：B ．利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．3.答案：A解析：【解答】约束条件对应的平面区域如图：目标函数z =y −2x 即y =2x +z ，当过B 时z 最大，由{y −x =2y =−x −1得到B(−1.5,0.5)，所以z 的最大值为0.5−2×(−1.5)=3.5；故选：A ．【分析】首先由约束条件画出可行域，然后根据目标函数的几何意义求其最大值．本题考查了简单线性规划问题；一般首先画出可行域，然后根据目标函数的几何意义求其最值．4.答案：D解析：本题主要考查函数的图象，属于基础题．利用排除法进行排除即可．解：因为√y≥0，则x≤0，排除ABC，故选D．5.答案：C解析：解：令f(x)=0，可得x=1或cosx2=0∴x=1或x2=kπ+π，k∈Z，2∵x∈[0,4]，则x2∈[0,16]，∴k可取的值有0，1，2，3，4，∴方程共有6个解，∴函数f(x)=(x−1)cosx2在区间[0,4]上的零点个数为6个，故选C令函数值为0，构建方程，即可求出在区间[0,4]上的解，从而可得函数f(x)=(x−1)cosx2在区间[0,4]上的零点个数本题考查三角函数的周期性以及零点的概念，属于基础题．6.答案：C解析：解：一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为2√3，x3=2√3，设高为：x，所以√34解得：x=2，)x2=2√3+12，故这个三棱柱的表面积为：(3+√32故选：C通过正三棱柱的体积，求出正三棱柱的高，棱长，进而可得答案．本题考查的知识点是棱柱的体积和表面积，简单几何体的三视图，方程思想，难度中档．7.答案：B解析：本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题的关键是考试的成绩ξ关于ξ= 120对称，利用对称写出待求分数段的频率，进而得解．根据考试的成绩ξ服从正态分布N(120,100)，得到考试的成绩ξ关于ξ=120对称，根据P(110<ξ≤130)=0.6826，得到P(ξ≥130)=0.1587，根据频率乘以样本容量得到这个分数段上的人数．解：∵数学成绩服从正态分布N(120,100)，∴数学成绩ξ关于ξ=120对称，∵P(110<ξ≤130)=0.6826，∴P(ξ≥130)=P(ξ≤110)=12×(1−0.6826)=0.1587，∴该班数学成绩在130分以上的人数为0.1587×10000=1587．故选：B．8.答案：B解析：本题考查了二项式展开式的系数，属于基础题．解：∵(1+x)n=a0+a1x+a2x2+⋯+a n x n，令x=0，得a0=1．令x=1，则(1+1)n=a0+a1+a2+⋯+a n=64，∴n=6，又(1+x)6的展开式二项式系数最大项的系数最大，∴(1+x)6的展开式系数最大项为T4=C63x3=20x3．故选B．9.答案：B解析：本题考查双曲线的方程和性质，考查直线和圆的位置关系，考查离心率的求法，属于基础题．求出双曲线的渐近线方程和圆的方程，求出交点M，再由两点的斜率公式，得到a，b的关系，再由离心率公式即可得到所求值．解：双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±bax，以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=c2，将直线y=bax代入圆的方程，可得，x=√a2+b2=a(负的舍去)，y=b，即有M(a,b)，又A(−a,0)，B(a,0)，由于∠AMB=30°，BM⊥x轴，则tan30°=2ab =√33，即有b=2√3a，则离心率e=ca =√1+b2a2=√13．故选：B．10.答案：C解析：解：数列{a n}的前n项和为S n，若a1=4且S n=12a n+1+2，可得a1=S1=12a2+2，即a2=4，n≥2时，a n=S n−S n−1，S n=12a n+1+2，S n−1=12a n+2，两式相减可得a n=12a n+1−12a n，即为a n+1=3a n，可得a n=a2q n−2=4⋅3n−2，n≥2，则S10=12a11+2=2×39+2=2×(39+1)，故选：C．由数列的递推式：n=1时，a1=S1，n≥2时，a n=S n−S n−1，结合等比数列的通项公式，可得a n，即可得到所求和．本题考查数列的递推式的运用：求通项，考查化简整理的运算能力，属于中档题．11.答案：C解析：本题考查了线面垂直的性质、三棱锥的体积计算公式、球的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．如图所示，由于三棱锥P−ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，可得PO是三棱锥P−ABC的高，OA=OB=OC=OP=x，AC⊥BC.而2AC=√3AB，可得BC=x，AC=√3x.利用三棱锥的体积计算公式可得x，再利用球的体积计算公式即可得出．解：如图所示，∵三棱锥P−ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，∴PO是三棱锥P−ABC的高，OA=OB=OC=OP=x，∴∠ACB=90°，∴AC⊥BC．∵2AC=√3AB，∴∠ABC=60°，。

2020年广东省广州市高考数学一模试卷和答案(文科)

2020年广东省广州市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，M＝{3，4，5}，N ＝{1，3，6}，则集合{2，7}等于（）A．M∩N B．∁U（M∪N）C．∁U（M∩N）D．M∪N 2．（5分）某地区小学，初中，高中三个学段的学生人数分别为4800人，4000人，2400人．现采用分层抽样的方法调查该地区中小学生的“智慧阅读”情况，在抽取的样本中，初中学生人数为70人，则该样本中高中学生人数为（）A．42人B．84人C．126 人D．196人3．（5分）直线kx﹣y+1＝0与圆x2+y2+2x﹣4y+1＝0的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不确定4．（5分）已知函数f（x）＝，则f[f（）]的值为（）A．4B．2C．D．5．（5分）已知向量＝（2，1），＝（x，﹣2），若|+|＝|2﹣|，则实数x的值为（）A．B．C．D．26．（5分）如图所示，给出的是计算+++…+值的程序框图，其中判断框内应填入的条件是（）A．i＞9B．i＞10C．i＞11D．i＞12 7．（5分）设函数f（x）＝2cos（x﹣），若对任意x∈R都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则|x1﹣x2|的最小值为（）A．4πB．2πC．πD．8．（5分）刘徽是我国古代伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是我国最宝贵的数学遗产刘徽是世界上最早提出十进小数概念的人，他正确地提出了正负数的概念及其加减运算的规则．提出了“割圆术”，并用“割圆术”求出圆周率π为3.14．刘徽在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”被视为中国古代极限观念的佳作．其中“割圆术”的第一步是求圆的内接正六边形的面积，第二步是求圆的内接正十二边形的面积，依此类推．若在圆内随机取一点，则该点取自该圆内接正十二边形的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）已知sinα﹣cosα＝，0＜α＜π，则cos2α＝（）A．﹣B．C．D．﹣10．（5分）已知点P（x0，y0）在曲线C：y＝x3﹣x2+1上移动，曲线C在点P处的切线的斜率为k，若k∈[﹣，21]，则x0的取值范围是（）A．[﹣，]B．[﹣，3]C．[﹣，+∞）D．[﹣7，9] 11．（5分）已知O为坐标原点，设双曲线C：﹣＝1（a＞0，b ＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，点P是双曲线C上位于第一象限内的点．过点F2作∠F1PF2的平分线的垂线，垂足为A，若b ＝|F1F2|﹣2|OA|，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．212．（5分）在三棱锥A﹣BCD中，△ABD与△CBD均为边长为2的等边三角形，且二面角A﹣BD﹣C的平面角为120°，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A．7πB．8πC．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知复数z＝﹣i．则z2+z4＝．14．（5分）已知函数f（x）＝在区间（0，+∞）上有最小值4，则实数k＝．15．（5分）已知直线a⊥平面α，直线b⊂平面β，给出下列5个命题①若α∥β，则a⊥b；②若α⊥β，则a⊥b：③若α⊥β，则a ∥b：④若a∥b，则α⊥β；⑤若a⊥b则α∥β，其中正确命题的序号是．16．（5分）如图，在平面四边形ABCD中，∠BAC＝∠ADC＝，∠ABC＝，∠ADB＝，则tan∠ACD＝．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分．17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n＝n﹣S n，设b n＝a n﹣1．（1）求a1，a2，a3；（2）判断数列{b n}是否是等比数列，并说明理由；（3）求数列{a n}的前n项和S n．18．（12分）如图1，在边长为2的等边△ABC中，D，E分别为边AC，AB的中点．将△ADE沿DE折起，使得AB⊥AD，得到如图2的四棱锥A﹣BCDE，连结BD，CE，且BD与CE交于点H．（1）证明：AH上BD；（2）设点B到平面AED的距离为h1，点E到平面ABD的距离为h2，求的值．19．（12分）某种昆虫的日产卵数和时间变化有关，现收集了该昆虫第1夭到第5天的日产卵数据：第x天12345日产卵数y612254995（个）对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和表中的统计量的值．x i x i2（lny i）（x i•lny i）155515.9454.75（1）根据散点图，利用计算机模拟出该种昆虫日产卵数y关于x 的回归方程为y＝e a+bx（其中e为自然对数的底数），求实数a，b 的值（精确到0.1）；（2）根据某项指标测定，若日产卵数在区间（e6，e8）上的时段为优质产卵期，利用（1）的结论，估计在第6天到第10天中任取两天，其中恰有1天为优质产卵期的概率．附：对于一组数据（v1，μ1），（v2，μ2），…，（v n，μn），其回归直线μ＝α+βv的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝﹣•．20．（12分）已知⊙M过点A（，0），且与⊙N：（x+）2+y2＝16内切，设⊙M的圆心M的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程：（2）设直线l不经过点B（0，1）且与曲线C相交于P，Q两点．若直线PB与直线QB的斜率之积为﹣，判断直线l是否过定点，若过定点，求出此定点坐标；若不过定点，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）＝（x+a）e bx（b≠0）的最大值为，且曲线y＝f（x）在x＝0处的切线与直线y＝x﹣2平行（其中e 为自然对数的底数）．（1）求实数a，b的值；（2）如果0＜x1＜x2，且f（x1）＝f（x2），求证：3x1+x2＞3．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），曲线C2的参数方程为（θ为参数，且θ∈（，））．（1）求C1与C2的普通方程，（2）若A，B分别为C1与C2上的动点，求|AB|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）＝|3x﹣6|+|x+a|．（1）当a＝1时，解不等式f（x）＜3；（2）若不等式f（x）＜11﹣4x对任意x∈[﹣4，﹣]成立，求实数a的取值范围．2020年广东省广州市高考数学一模试卷（文科）答案与解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【分析】由已知求出M∩N＝{3}，M∪N＝{1，3，4，5，6}，再求其补集，可判断结果．【解答】解：由已知：M∩N＝{3}，M∪N＝{1，3，4，5，6}，∴∁U（M∩N）＝{1，2，4，5，6，7），∁U（M∪N）＝{2，7}．故选：B．2．【分析】设高中抽取人数为x，根据条件，建立比例关系进行求解即可．【解答】解：设高中抽取人数为x，则，得x＝42，故选：A．3．【分析】判断直线恒过的定点与圆的位置关系，即可得到结论．【解答】解：圆方程可整理为（x+1）2+（y﹣2）2＝4，则圆心（﹣1，2），半径r＝2，直线恒过点（0，1），因为（0，1）在圆内，故直线与圆相交，故选：A．4．【分析】根据分段函数的解析式，先求出f（）的值，再求f[f（）]的值．【解答】解：因为f（x）＝，∴f（）＝ln；∴f[f（）]＝e＝．故选：D．5．【分析】由向量和向量的坐标求出向量和向量的坐标，再利用|+|＝|2﹣|，即可求出x的值．【解答】解：∵向量＝（2，1），＝（x，﹣2），∴＝（2+x，﹣1），＝（4﹣x，4），∵|+|＝|2﹣|，∴，解得x＝，故选：C．6．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是累加并输出s的值，模拟循环过程可得条件．【解答】解：程序运行过程中，各变量值如下表所示：s＝0，n＝2，i＝1不满足条件，第一圈：s＝0+，n＝4，i＝2，不满足条件，第二圈：s＝+，n＝6，i＝3，不满足条件，第三圈：s＝++，n＝8，i＝4，…依此类推，不满足条件，第10圈：s＝+++…+，n＝22，i＝11，不满足条件，第11圈：s＝+++…++，n＝24，i＝12，此时，应该满足条件，退出循环，其中判断框内应填入的条件是：i＞11？．故选：C．7．【分析】由题意可知f（x1）≤f（x）≤f（x2），f（x1）是函数的最小值，f（x2）是函数的最大值，|x1﹣x2|的最小值就是半个周期．【解答】解：函数f（x）＝2cos（x﹣），若对于任意的x∈R，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），∴f（x1）是函数的最小值，f（x2）是函数的最大值，|x1﹣x2|的最小值就是函数的半周期，＝×＝2π；故选：B．8．【分析】设圆的半径为1，分别求出圆的面积及圆内接正十二边形的面积，由测度比是面积比得答案．【解答】解：设圆的半径为1，圆内接正十二边形的一边所对的圆心角为＝30°，则圆内接正十二边形的面积为：12××1×1×sin30°＝3．圆的面积为π×12＝π，由测度比为面积比可得：在圆内随机取一点，则此点在圆的某一个内接正十二边形内的概率是．故选：C．9．【分析】把sinα﹣cosα＝平方可得2sinαcosα的值，从而求得sinα+cosα的值，再利用二倍角的余弦公式求得cos2α＝cos2α﹣sin2α＝﹣（sinα﹣cosα）（sinα+cosα）的值．【解答】解：∵sinα﹣cosα＝，0＜α＜π，∴平方可得：1﹣2sinαcosα＝，2sinαcosα＝＞0．∴α为锐角．∴sinα+cosα═＝＝＝，∴cos2α＝cos2α﹣sin2α＝﹣（sinα﹣cosα）（sinα+cosα）＝﹣×＝﹣．故选：A．10．【分析】先求出y＝x3﹣x2+1的导数，然后求出曲线C在点P（x0，y0）处的切线斜率k，再根据k∈[﹣，21]求出x0的取值范围．【解答】解：由y＝x3﹣x2+1，得y'＝3x2﹣2x，则曲线C在点P（x0，y0）处的切线的斜率为，∵k∈[﹣，21]，∴∈，∴．故选：B．11．【分析】由角平分线的性质可得延长F2A交PF1与B，由PA为∠F1PF2的角平分线，F2A⊥PA，所以A为F2B的中点，|PF2|＝|PB|，可得OA为△BF1F2的中位线，b＝|F1F2|﹣2|OA|＝2c﹣2a再由a，b，c的关系求出离心率．【解答】解：延长F2A交PF1与B，由PA为∠F1PF2的角平分线，F2A⊥PA，所以A为F2B的中点，|PF2|＝|PB|，连接OA，则OA为△BF1F2的中位线，所以|BF1|＝2|OA|，而|BF1|＝|PF1|﹣|PB|＝|PF1|﹣|PF2|＝2a因为b＝|F1F2|﹣2|OA|＝2c﹣2a，而b2＝c2﹣a2所以c2﹣a2＝4（c﹣a）2整理可得3c2﹣8ac+5c2＝0，即3e2﹣8e+5＝0，解得e＝或1，再由双曲线的离心率大于1，可得e＝，故选：C．12．【分析】如图，取BD中点H，连接AH，CH，则∠AHC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，即∠AHD＝120°，分别过EF作平面ABD，平面BCD的垂线，则三棱锥的外接球一定是两条垂线的交点，记为O，连接AO，HO，则由对称性可得∠OHE＝60°，进而可求得R的值．【解答】解：如图，取BD中点H，连接AH，CH，因为△ABD与△CBD均为边长为2的等边三角形，所以AH⊥BD，CH⊥BD，则∠AHC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，即∠AHD＝120°，设△ABD与△CBD外接圆圆心分别为E，F，则由AH＝2×＝可得AE＝AH＝，EH＝AH＝，分别过EF作平面ABD，平面BCD的垂线，则三棱锥的外接球一定是两条垂线的交点，记为O，连接AO，HO，则由对称性可得∠OHE＝60°，所以OE＝1，则R＝OA＝＝，则三棱锥外接球的表面积4πR2＝4π×＝，故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．【分析】利用复数的乘方运算和加法法则即可得出．【解答】解：∵z2＝（﹣i）2＝﹣i﹣＝﹣i，∴z4＝（z2）2＝（﹣i）2＝﹣1，∴z2+z4＝﹣1﹣i，故答案是：﹣1﹣i．14．【分析】由函数在（0，+∞）上有最小值可知，k＞0，再由基本不等式即可求得k的值．【解答】解：依题意，k＞0，则，则，解得k＝4．故答案为：4．15．【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及其应用逐一核对四个命题得答案．【解答】解：对于①，由a⊥平面α，α∥β，得a⊥β，又直线b⊂平面β，∴a⊥b，故①正确；对于②，由a⊥平面α，α⊥β，得a∥β或a⊂β，而直线b⊂平面β，∴a与b的关系是平行、相交或异面，故②错误；对于③，由a⊥平面α，α⊥β，得a∥β或a⊂β，而直线b⊂平面β，∴a与b的关系是平行、相交或异面，故③错误；对于④，由a⊥平面α，a∥b，得b⊥α，又直线b⊂平面β，∴α⊥β，故④正确；对于⑤，由a⊥平面α，a⊥b，得b∥α或b⊂α，又直线b⊂平面β，∴α与β相交或平行，故⑤错误．∴其中正确命题的序号是①④．故答案为：①④．16．【分析】设∠ACD＝θ，AC＝1，则AD＝sinθ，进一步可得，再利用正弦定理可得，通过三角恒等变换即可求得tanθ的值，进而得出答案．【解答】解：不妨设∠ACD＝θ，AC＝1，则AD＝sinθ，在△ABD中，，∠ADB＝，则，在△ABD中，由正弦定理得，即，∴，∴，∴，∴，∴．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分．17．【分析】（1）a n＝n﹣S n，可得a1＝1﹣a1，解得a1．a2＝2﹣（a2+），解得a2．a3＝3﹣（a3++），解得a3．（2）a n＝n﹣S n，n≥2时，a n﹣1＝n﹣1﹣S n﹣1，相减可得：a n﹣1＝（a n﹣1），可得：b n＝b n﹣1．即可得出结论．﹣1（3）由（2）可得：b n＝﹣．可得a n＝b n+1，可得S n＝n﹣a n．【解答】解：（1）a n＝n﹣S n，∴a1＝1﹣a1，解得a1＝．a2＝2﹣（a2+），解得a2＝．a3＝3﹣（a3++），解得a3＝．（2）a n＝n﹣S n，n≥2时，a n﹣1＝n﹣1﹣S n﹣1，相减可得：2a n＝a n+1，﹣1变形为：a n﹣1＝（a n﹣1﹣1），由b n＝a n﹣1．可得：b n＝b n﹣1．b1＝a1﹣1＝﹣．∴数列{b n}是等比数列，首项为﹣，公比为．（3）由（2）可得：b n＝﹣×＝﹣．则a n＝b n+1＝1﹣．∴S n＝n﹣a n＝n﹣1+．18．【分析】（1）在图1中，证明BD⊥AC，ED∥BC，则在图2中，有，得DH＝，然后证明△BAD∽△AHD，可得∠AHD＝∠BAD＝90°，即AH⊥BD；（2）由V B＝V E﹣ABD，得，分别求出三角形ABD与﹣AED三角形AED的面积得答案．【解答】（1）证明：在图1中，∵△ABC为等边三角形，且D为边AC的中点，∴BD⊥AC，在△BCD中，BD⊥CD，BC＝2，CD＝1，∴BD＝，∵D、E分别为边AC、AB的中点，∴ED∥BC，在图2中，有，∴DH＝．在Rt△BAD中，BD＝，AD＝1，在△BAD和△AHD中，∵，∠BDA＝∠ADH，∴△BAD∽△AHD．∴∠AHD＝∠BAD＝90°，即AH⊥BD；（2）解：∵V B＝V E﹣ABD，﹣AED∴，则．∵△AED是边长为1的等边三角形，∴．在Rt△ABD中，BD＝，AD＝1，则AB＝．∴，则．19．【分析】（1）根据y＝e a+bx，两边取自然对数得lny＝a+bx，再利用线性回归方程求出a、b的值；（2）根据y＝e1.1+0.7x，由e6＜e1.1+0.7x＜e8求得x的取值范围，再利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．【解答】解：（1）因为y＝e a+bx，两边取自然对数，得lny＝a+bx，令m＝x，n＝lny，得n＝a+bm；因为＝＝＝0.693；所以b≈0.7；因为＝﹣b＝﹣0.7×3＝1.088；所以a≈1.1；即a≈1.1，b≈0.7；（2）根据（1）得y＝e1.1+0.7x，由e6＜e1.1+0.7x＜e8，得7＜x＜；所以在第6天到第10天中，第8、9天为优质产卵期；从未来第6天到第10天中任取2天的所有可能事件有：（6，7），（6，8），（6，9），（6，10），（7，8），（7，9），（7，10），（8，9），（8，10），（9，10）共10种；其中恰有1天为优质产卵期的有：（6，8），（6，9），（7，8），（7，9），（8，10），（9，10）共6种；设从未来第6天到第10天中任取2天，其中恰有1天为优质产卵期的事件为A，则P（A）＝＝；所以从未来第6天到第10天中任取2天，其中恰有1天为优质产卵期的概率为．20．【分析】（1）由两圆相内切的条件和椭圆的定义，可得曲线C的轨迹方程；（2）设直线BP的斜率为k（k≠0），则BP的方程为y＝kx+1，联立椭圆方程，解得交点P，同理可得Q的坐标，考虑P，Q的关系，运用对称性可得定点．【解答】解：（1）设⊙M的半径为R，因为圆M过A（，0），且与圆N相切，所以R＝|AM|，|MN|＝4﹣R，即|MN|+|MA|＝4，由|NA|＜4，所以M的轨迹为以N，A为焦点的椭圆．设椭圆的方程为+＝1（a＞b＞0），则2a＝4，且c＝＝，所以a＝2，b＝1，所以曲线C的方程为+y2＝1；（2）由题意可得直线BP，BQ的斜率均存在且不为0，设直线BP的斜率为k（k≠0），则BP的方程为y＝kx+1，联立椭圆方程x2+4y2＝4，可得（1+4k2）x2+8kx＝0，解得x1＝0，x2＝﹣，则P（﹣，），因为直线BQ的斜率为﹣，所以同理可得Q（，﹣），因为P，Q关于原点对称，（或求得直线l的方程为y＝x）所以直线l过定点（0，0）．21．【分析】（1）对原函数求导数，然后利用在x＝0处切线的斜率为1，函数的最大值为列出关于a，b的方程组求解；（2）利用f（x1）＝f（x2）找到x1，x2的关系式，然后引入t＝x2﹣x1，构造关于t的函数，将3x1+x2转换成关于t的函数，求最值即可．【解答】解：（1）由已知f′（x）＝（bx+ab+1）e bx．则易知f′（0）＝ab+1＝1，∴ab＝0，又因为b≠0，故a＝0．此时可得f（x）＝xe bx（b≠0），f′（x）＝（bx+1）e bx．①若b＞0，则当x时，f′（x）＜0，f（x）递减；．此时，函数f（x）有最小值，无最大值．②若b＜0，则当；x．此时，解得b＝﹣1．所以a＝0，b＝﹣1即为所求．（2）由0＜x1＜x2，且f（x1）＝f（x2）得：．∴．设t＝x2﹣x1（t＞0），则e t x1﹣x1＝t，可得，所以要证3x1+x2＞3，即证．∵t＞0，所以e t﹣1＞0，所以即证（t﹣3）e t+3t+3＞0．设g（t）＝（t﹣3）e t+3t+3（t＞0），则g′（t）＝（t﹣2）e t+3．令h（t）＝（t﹣2）e t+3，则h′（t）＝（t﹣1）e t，当t∈（0，1）时，h′（t）＜0，h（t）递减；t∈（1，+∞）时，h′（t）＞0，h（t）递增．所以h（t）＞h（1）＝3﹣e＞0，即g′（t）＞0，所以g（t）在（0，+∞）上递增．所以g（t）＞g（0）＝0．∴3x1+x2＞3．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用直线和曲线的位置关系式的应用求出结果．【解答】解：（1）由题可得：C1的普通方程为2x﹣y﹣5＝0又因为C2的参数方程为，两边平方可得，所以C 2的普通方程为，且．（2）由题意，设C1的平行直线2x﹣y+c＝0联立消元可得：3x2+4cx+c2+3＝0所以△＝4c2﹣36＝0，解得c＝±3又因为，经检验可知c＝3时与C2相切，所以．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．【分析】（1）a＝1时，f（x）＝|3x﹣6|+|x+1|，讨论x的取值范围，去掉绝对值求不等式f（x）＜3的解集即可；（2）f（x）＝|3x﹣6|+|x+a|＜11﹣4x对任意成立，等价于|x+a|＜5﹣x恒成立，去绝对值，从而求出a的取值范围．【解答】解：（1）a＝1时，f（x）＝|3x﹣6|+|x+1|＝；当x＜﹣1时，由f（x）＜3得﹣4x+5＜3，解得x＞（不合题意，舍去）；当﹣1≤x≤2时，由f（x）＜3得﹣2x+7＜3，解得x＞2（不合题意，舍去）；当x＞2时，由f（x）＜3得4x﹣5＜3，解得x＜2（不合题意，舍去）；所以不等式f（x）＜3的解集∅；（2）由f（x）＝|3x﹣6|+|x+a|＜11﹣4x对任意成立，得﹣（3x﹣6）+|x+a|＜11﹣4x，即|x+a|＜5﹣x，所以，所以，得a＞﹣5且a＜5﹣2x对任意成立；即﹣5＜a＜8，所以a的取值范围是（﹣5，8）．。

2020年广东省广州市高考数学一模试卷(理科) (含答案解析)

2020年广东省广州市高考数学一模试卷(理科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合M={x|x<2}，集合N={x|0<x<1}，则M∩N=()A. {x|1<x<2}B. {x|0<x<1}C. {x|x<2}D. R2.设复数z=1−i，则z3=()A. −2+2iB. 2+2iC. −2−2iD. 2−2i3.若直线y=x+b与圆x2+y2−4x+2y+3=0有公共点，则实数b的取值范围是()A. [−2,2]B. [−3,1]C. [−4,0]D. [−5,−1]4.条件p：|x−m|≤2，条件q：−1≤x≤n，若p是q的充要条件，则m+n=()A. 2B. 3C. 4D. 55.当0≤x≤π2时，函数f(x)=sinx+√3cosx的()A. 最大值是√3，最小值是12B. 最大值是√3，最小值是1C. 最大值是2，最小值是1D. 最大值是2，最小值是126.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，若四边形AA1C1C是边长为4的正方形，且AB=3,BC=5,，M是AA1的中点，则三棱锥A1−MBC1的体积为()A. 5B. 4C. 3D. 27.同文中学在高一年级进行“三城同创”演讲比赛，如果高一(8)班从3男1女4位同学中选派2位同学参加此次演讲比赛，那么选派的都是男生的概率是()．A. 34B. 14C. 23D. 128.直线l：y=k(x−1)与抛物线C：y2=4x交于A、B两点，若线段AB的中点横坐标为3，则|AB|的值为()A. 8B. 8√3C. 6√3D. 69.若等差数列{a n}的前n项和为S n，a4=1，a8+a9=9，则S9=()A. 15B. 16C. 17D. 1810.曲线y=3x−lnx在点(1,3)处的切线方程为()A. y=−2x−1B. y=−2x+5C. y=2x+1D. y=2x−111.已知O为坐标原点，F1，F2是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，P是双曲线右支上一点，PM为∠F1PF2的角平分线，过F1作PM的垂线交PM于点M，则|OM|的长度为()A. aB. bC. a2D. b212.函数f(x)=x2−x−2的零点是()A. –2，–1B. 2，–1C. 1，2D. 1，–2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.如图，是一个几何体的三视图，其中正视图与侧视图完全相同，均为等边三角形与矩形的组合，俯视图为圆，若已知该几何体的表面积为16π，则x=______ ．14.已知(2+x2)(ax+1a)6展开式中含x4项的系数为45，则正实数a的值为______．15.设单位向量e1⃗⃗⃗ ，e2⃗⃗⃗ 的夹角是2π3，若(e1⃗⃗⃗ −2e2⃗⃗⃗ )⊥(k e1⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ )，则实数k的值是______ ．16.已知数列{a n}的前n项和S n=n3，则a6+a7+a8=______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足sin(2A+B)sinA=2+2cos(A+B)．(1)证明：b=2a；(2)若c=√7a，求∠C大小．18.“一本书，一碗面，一条河，一座桥”曾是兰州的城市名片，而现在“兰州马拉松”又成为了兰州的另一张名片，随着全民运动健康意识的提高，马拉松运动不仅在兰州，而且在全国各大城市逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人口逐年增加．为此，某市对人们参加马拉松运动的情况进行了统计调查．其中一项调查是调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取200人，对其每周参与马拉松长跑训练的天数进行统计，得到以下统计表：若某人平均每周进行长跑训练天数不少于5天，则称其为“热烈参与者”，否则称为“非热烈参与者”．(1)经调查，该市约有2万人参与马拉松运动，试估计其中“热烈参与者”的人数；(2)某调查人员在调查这200人时，有3张周末的马拉松训练活动体验卡要向他们发放，若被调查者为“热烈参与者”，即送其1张体验卡，否则不予送出．调查人员顺次调查完前3人后，剩余的体验卡数量为ξ，试根据统计表的数据，以200人中“热烈参与者”的频率作为概率，求ξ的分布列及期望．19.如图，三棱柱ABC−A1B1C1的所有棱长都是2，AA1⊥平面ABC，D，E分别是AC，CC1的中点．(1)求证：AE⊥平面A1BD；(2)求二面角D−BE−B1的余弦值．20.已知定点A(−3,0)、B(3,0)，直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积为−1，记动点M的9轨迹为曲线C．(Ⅰ)求曲线C的方程；(Ⅱ)过点T(1,0)的直线l与曲线C交于P、Q两点，是否存在定点S(s,0)，使得直线SP与SQ斜率之积为定值，若存在求出S坐标；若不存在请说明理由．21. 已知函数f(x)=ln(x +a)−x ，a ∈R ．(1)当a =−1时，求f(x)的单调区间；(2)若x ≥1时，不等式e f(x)+a 2x 2>1恒成立，求实数a 的取值范围．22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：{x =1+12t y =√32t(t 为参数)，曲线C 1：{x =√2cosθy =sinθ(θ为参数)．(1)设l 与C 1相交于A ，B 两点，求|AB|；(2)若Q 是曲线C 2：{x =cosαy =3+sinα(α为参数)上的一个动点，设点P 是曲线C 1上的一个动点，求|PQ|的最大值．23. 设f(x)=|x +1|−|2x −1|，(1)求不等式f(x)≤x +2的解集；(2)若不等式满足f(x)≤|x|(|a −1|+|a +1|)对任意实数x ≠0恒成立，求实数a 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题考查交集的运算，属于基础题．求出集合M，N，即可求解．解：∵集合M={x|x<2}，集合N={x|0<x<1}，∴M∩N={x|0<x<1}．故选B．2.答案：C解析：本题考查了复数的运算法则、考查了计算能力，属于基础题．利用复数的运算法则求解即可．解：，故选C．3.答案：D解析：本题考查了直线与圆的位置关系，属于基础题．将圆的一般方程转化为标准方程，根据题意可知圆心(2,−1)到直线x−y+b=0的距离小于等于半径√2，即可求得b的取值范围．解：圆x2+y2−4x+2y+3=0转化成标准方程为(x−2)2+(y+1)2=2，圆心为(2,−1)，半径为√2，因为直线y=x+b与圆x2+y2−4x+2y+3=0有公共点，≤√2，解得−5≤b≤−1，所以√1+1故选：D．4.答案：C解析：解：条件p：|x−m|≤2，解出m−2≤x≤m+2.条件q：−1≤x≤n，由p是q的充要条件，∴m−2=−1，m+2=n，解得m=1，n=3．则m+n=4．故选：C．条件p：|x−m|≤2，解出m−2≤x≤m+2.条件q：−1≤x≤n，由p是q的充要条件，可得m−2=−1，m+2=n，解出即可得出．本题考查了不等式与方程的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.答案：C解析：利用辅助角公式将函数f(x)化简，根据三角函数的有界限求解即可．本题考查三角函数的图象及性质的运用，考查转化思想以及计算能力．解：函数f(x)=sinx+√3cosx=2sin(x+π3).当0≤x≤π2时，则π3≤x+π3≤5π6，那么：当x+π3=5π6时，函数f(x)取得最小值为1．当x+π3=π2时，函数f(x)取得最大值为2．故选C．6.答案：B解析：本题考查三棱柱体积的求法，属于基础题.根据题意可得sin∠MA1B=35，A1B=5，，A1M=2，即可得到S△A1MB,进而求出三棱锥A1−MBC1的体积．解：直三棱柱ABC−A1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为4的正方形，且AB=3,BC=5,M是AA1的中点，则sin∠MA1B=35，A1B=5，，A1M=2，所以S△A1MB =12·A1M·A1B·sin∠MA1B=12×2×5×35=3，所以棱锥A1−MBC1的体积为 VA1−MBC1=VC−A1MB=13×C1A1·S△A1MB=13×4×3=4．7.答案：D解析：本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．基本事件总数n=C42=6，选派的都是男生包含的基本事件个数m=C32=3，由此能求出选派的都是男生的概率．解：高二8班从3男1女4位同学中选派2位同学参加某演讲比赛，三男一女分别记为A，B，C，D，则4位同学中选派2位同学的结果有AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6种，选派的都是男生包含的结果有AB，AC，BC，共三种，∴选派的都是男生的概率p=36=12．故选D．8.答案：A解析：本题考查抛物线的性质和应用，正确运用抛物线的定义是关键．线段AB的中点到准线的距离为4，设A，B两点到准线的距离分别为d1，d2，由抛物线的定义知|AB|的值．解：由题设知直线l：y=k(x−1)经过抛物线C：y2=4x的焦点坐标，线段AB的中点到准线的距离为3+1=4，设A，B两点到准线的距离分别为d1，d2，由抛物线的定义知：|AB|=|AF|+|BF|=d1+d2=2×4=8．故选：A．9.答案：B解析：本题考查等差数列的通项公式及前n 项和公式，属于基础题．由a 8+a 9=9，a 4=1联立解方程组即可求出等差数列的的公差和首项，然后代入求和公式．解：因为{a n }是等差数列，所以可设a n =a 1+(n −1)d ，所以a 4=a 1+3d =1，a 8+a 9=2a 4+9d =9，所以d =79，a 1=−43，所以S 9=9×(−43)+9×82×79=16．故选B ． 10.答案：C解析：本题考查曲线的切线方程，考查导数的几何意义，属于基础题．求导数，确定切线的斜率，即可求出曲线y =3x −lnx 在点(1,3)处的切线方程．解：由题意，y ′=3−1x ，所以曲线过点(1,3)处的切线斜率为k =3−1=2，所以切线方程为y −3=2(x −1)，即y =2x +1，故选C ． 11.答案：A解析：解：依题意如图，延长F 1M ，交PF 2于点T ，∵PM 是∠F 1PF 2的角分线．TF 1是PM 的垂线，∴PM 是TF 1的中垂线，∴|PF 1|=|PT|，∵P为双曲线x2a2−y2b2=1上一点，∴|PF1|−|PF2|=2a，∴|TF2|=2a，在三角形F1F2T中，MO是中位线，∴|OM|=a．故选：A．先画出双曲线和焦点三角形，由题意可知PM是TF1的中垂线，再利用双曲线的定义，数形结合即可得结论．本题考查了双曲线的定义的运用以及双曲线标准方程的意义，解题时要善于运用曲线定义，数形结合的思想解决问题．12.答案：B解析：本题主要考查函数零点的判定定理．由方程的根与函数零点的关系可知，求方程的根，就是确定函数的零点，也就是求函数的图象与x轴的交点的横坐标．令f(x)=0，由二次方程的解法，运用因式分解解方程即可得到所求函数的零点．解：令f(x)=0，即x2−x−2=0，即有(x−2)(x+1)=0，解得x=2或x=−1．即函数f(x)的零点为2或−1．故选B．13.答案：2√3解析：解：由三视图可知此几何体是组合体：上面是圆锥、下面是圆柱，∵正视图与侧视图完全相同，均为等边三角形与矩形的组合，∴圆锥的高是x，则半径为xtan60°=√3，母线长是xsin60°=2√3x3，则圆柱的底面半径是√3，高是1，∵该几何体的表面积为16π，∴π×(√3)2+2π×√3×1+π√3× 2√3x 3=16π，化简得，√3x 2+2x −16√3=0，解得x =2√3或x =3舍去)，故答案为：2√3．由三视图可知此几何体是组合体：上面是圆锥、下面是圆柱，由条件和直角三角形的三角函数求出半径、圆锥母线长，利用圆柱、圆锥的表面积公式列出方程求出x 的值．本题考查了由三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力，计算能力．14.答案：√22或1解析：本题考查了二项式定理的应用以及利用二项展开式的通项公式求展开式中某项系数的问题，是综合性题目，属于基础题．根据(ax +1a )6展开式的通项公式求出展开式中含x 4与x 2，从而求出(2+x 2)(ax +1a )6展开式中含x 4项的系数，列出方程求出正实数a 的值．解：∵(ax +1a )6展开式的通项公式为：T r+1=C 6r ⋅(ax)6−r ⋅(1a )r =C 6r⋅a 6−2r ⋅x 6−r ，令6−r =4，得r =2，∴T 2+1=C 62⋅a 2⋅x 4=15a 2x 4，令6−r =2，得r =4，∴T 4+1=C 64⋅a −2⋅x 2=15a −2x 2，∴(2+x 2)(ax +1a )6展开式中含x 4项的系数为： 2×15a 2+15a −2=45，整理得2a 4−3a 2+1=0，解得a 2=1或a 2=12， ∴正实数a =1或a =√22．故答案为√22或1．15.答案：54解析：本题考查了平面向量的数量积公式的应用以及向量垂直的性质；属于常规题．首先求出单位向量e1⃗⃗⃗ ，e2⃗⃗⃗ 的数量积，再根据(e1⃗⃗⃗ −2e2⃗⃗⃗ )·(k e1⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ )=0，得到关于k的方程解之即可．解：因为单位向量e1⃗⃗⃗ ，e2⃗⃗⃗ 的夹角是2π3，所以e1⃗⃗⃗ ⋅e2⃗⃗⃗ =1×1×cos2π3=−12，并且(e1⃗⃗⃗ −2e2⃗⃗⃗ )⊥(k e1⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ )，所以(e1⃗⃗⃗ −2e2⃗⃗⃗ )⋅(k e1⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ )=0，展开得k e1⃗⃗⃗ 2−2e2⃗⃗⃗ 2+(1−2k)e1⃗⃗⃗ ⋅e2⃗⃗⃗ =0，即k−2−12(1−2k)=0，解得k=54．故答案为：54．16.答案：387解析：本题考查数列递推式，考查了由数列的前n项和求数列部分项的和，是基础的计算题．由已知数列的前n项和，利用a6+a7+a8=S8−S5求得结果．解：由S n=n3，得a6+a7+a8=S8−S5=83−53=387．故答案为：387．17.答案：解：(1)sin(2A+B)sinA=2+2cos(A+B)．∴sin(2A+B)=2sinA+2sinAcos(A+B)，∴sinAcos(A+B)+cosAsin(A+B)=2sinA+2sinAcos(A+B)，∴−sinAcos(A+B)+cosAsin(A+B)=2sinA，即sinB=2sinA，故由正弦定理可得b=2a．(2)由余弦定理可得cosC =a 2+b 2−c 22ab=a 2+4a 2−7a 24a 2=−12，因为∠C 是△ABC 的内角，故∠C =2π3．解析：(1)等式可化简为sinB =2sinA ，故由正弦定理可得b =2a ； (2)由余弦定理可得cosC =−12，∠C 是△ABC 的内角，故可得∠C =2π3．本题主要考查了余弦定理的综合应用，属于基础题．18.答案：解：(1)以200人中，“热烈参与者”的频率作为概率，则估计该市“热烈参与者”的人数约为：20000×15=4000； (2)根据题意可知，ξ～B(3,45)，P(ξ=0)=C 30×(15)3=1125， P(ξ=1)=C 31×45×(15)2=12125， P(ξ=2)=C 32×(45)2×15=48125， P(ξ=3)=C 33×(45)3=64125，∴ξ的分布列为：E(ξ)=3×45=125．解析：本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．(1)以200人中，“热烈参与者”的频率作为概率，可估计该市“热烈参与者”的人数； (2)根据题意可知，ξ～B(3,45)，由此能求出ξ的分布列和E(ξ)．19.答案：证明：(1)∵AB =BC =CA ，D 是AC 的中点，∴BD ⊥AC ，∵AA 1⊥平面ABC ，AA 1⊂平面AA 1C 1C ，∴平面AA 1C 1C ⊥平面ABC ，又平面AA 1C 1C ∩平面ABC =AC ，BD ⊂平面ABC ， ∴BD ⊥平面AA 1C 1C ，又AE ⊂平面AA 1C 1C ， ∴BD ⊥AE ．又∵在正方形AA 1C 1C 中，D ，E 分别是AC ，CC 1的中点，根据相似三角形，易得A 1D ⊥AE ．又A 1D ∩BD =D ，A 1D 、BD ⊂平面A 1BD ， ∴AE ⊥平面A 1BD ．解：(2)因为BD ⊥平面AA 1C 1C ，根据题意，取A 1C 1中点F ，以DF ，DA ，DB 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， D(0,0，0)，E(1,−1,0)，B(0,0,√3)，B 1(2,0,√3)，DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,√3)，DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,0)，BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0)，EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,√3)，设平面DBE 的一个法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)，则{DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =√3z =0DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =x −y =0，令x =1，则m⃗⃗⃗ =(1,1，0)，设平面BB 1E 的一个法向量为n⃗ =(a,b ，c)，则{BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =2a =0EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =a +b +√3c =0，令c =√3，则n ⃗ =(0,−3,√3) 设二面角D −BE −B 1的平面角为θ，观察可知θ为钝角， cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=−√64，∴cosθ=−√64，故二面角D −BE −B 1的余弦值为−√64．解析：本题考查线面垂直的证明，考查向量法求解二面角的余弦值，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．(1)推导出BD ⊥AC ，从而平面AA 1C 1C ⊥平面ABC ，进而BD ⊥平面AA 1C 1C ，BD ⊥AE ，再求出A 1D ⊥AE ，由此能证明AE ⊥平面A 1BD ．(2)取A 1C 1中点F ，以DF ，DA ，DB 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D −BE −B 1的余弦值．20.答案：解：(Ⅰ)设动点M(x,y)，则k MA =yx+3,k MB =yx−3(x ≠±3)， ∵k MA k MB =−19，即yx+3⋅yx−3=−19．化简得x 29+y 2=1，由已知x ≠±3，故曲线C 的方程为x 29+y 2=1(x ≠±3)．(Ⅱ)由已知直线l 过点T(1,0)，设l 的方程为x =my +1，则联立方程组{x =my +1x 2+9y 2=9，消去x 得 (m 2+9)y 2+2my −8=0，设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，则{y 1+y 2=−2mm 2+9y 1y 2=−8m 2+9，直线SP 与SQ 斜率分别为k SP =y 1x 1−s =y 1my 1+1−s ，k SQ =y 2x 2−s =y2my 2+1−s ，k SP k SQ =y 1y 2(my 1+1−s)(my 2+1−s)=y 1y 2m 2y 1y 2+m(1−s)(y 1+y 2)+(1−s)2=−8(s 2−9)m 2+9(1−s)2．当s =3时，k SP k SQ =−89(1−s)2=−29；当s =−3时，k SP k SQ =−89(1−s)2=−118．所以存在定点S(±3,0)，使得直线SP 与SQ 斜率之积为定值．解析：本题考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查计算能力，属于较难题． (Ⅰ)设动点M(x,y)，则k MA =yx+3,k MB =yx−3(x ≠±3)，利用k MA k MB =−19，求出曲线C 的方程． (Ⅱ)由已知直线l 过点T(1,0)，设l 的方程为x =my +1，则联立方程组{x =my +1x 2+9y 2=9，消去x 得(m 2+9)y 2+2my −8=0，设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)利用韦达定理求解直线的斜率，然后化简即可推出结果．21.答案：解：(1)当a =−1时，f(x)=ln(x −1)−x ，x >1，f′(x)=1x−1−1=2−xx−1，当1<x <2时，f′(x)>0，f(x)递增，当x >2时，f′(x)<0，f(x)递减，故f(x)在(1,2)递增，在(2,+∞)递减；(2)由题意得：x ≥1时，x +a >0恒成立，故a >−1，①，不等式e f(x)+a2x 2>1恒成立，即a2x 2+x+a e x −1>0对任意的x ≥1恒成立，设g(x)=a2x 2+x+a e x−1，x ≥1，g′(x)=ae x x−x+1−ae x，a ≤0时，g(2)=a(2+1e 2)−1+2e 2<0，不合题意， a >0时，要使x ≥1时，不等式e f(x)+a2x 2>1恒成立，只需g(1)=a(12+1e )−1+1e >0，即a >2(e−1)e+2，a >2(e−1)e+2时，ae x x −x +1−a =a(e x x −1)+1−x >2(e−1)e+2(e x x −1)+1−x ，设ℎ(x)=2(e−1)e+2(e x x −1)+1−x ，x ≥1，ℎ′(x)=2(e−1)e+2e x x +2(e−1)e+2e x −1，x ≥1，显然ℎ′(x)在(1,+∞)递增，∴ℎ′(x)>ℎ′(1)=4e 2−5e−2e+2>0，∴ℎ(x)在(1,+∞)递增，ℎ(x)>ℎ(1)=2(e−1)2e+2>0，即ae x x −x +1−a >0，②，由①②得：a >2(e−1)e+2时，满足题意．解析：(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； (2)问题转化为a2x 2+x+a e x−1>0对任意的x ≥1恒成立，设g(x)=a 2x 2+x+a e x−1，x ≥1，通过求导得到g(x)的单调性，从而求出a 的范围即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道综合题．22.答案：解：(1)由曲线C 1：{x =√2cosθy =sinθ(θ为参数)，消去参数θ，可得普通方程为x 22+y 2=1．把直线l 的参数方程代入为x 22+y 2=1，得7t 2+4t −4=0．则t 1+t 2=−47，t 1t 2=−47．∴|AB|=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=8√27； (2)设点P(x,y)是曲线C 1上的一个动点，化曲线C 2：{x =cosαy =3+sinα(α为参数)为x 2+(y −3)2=1． ∴|PC 2|=√x 2+(y −3)2=√−(y +3)2+20， ∵−1≤y ≤1， ∴|PC 2|的最大值为4，则|PQ|的最大值为5．解析：(1)化曲线C 1的参数方程为普通方程，把直线的参数方程代入，化为关于t 的一元二次方程，利用根与系数的关系及此时t 的几何意义求解；(2)点P(x,y)是曲线C 1上的一个动点，化曲线C 2的参数方程为普通方程，由两点间的距离公式写出|PC 2|，利用二次函数求其最大值，进一步得到|PQ|的最大值．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，训练了圆与椭圆位置关系的应用，是中档题．23.答案：解：(1)根据题意可得，当x <−1时，−x −1+2x −1≤x +2，解得−2<2，所以x <−1；…(1分) 当−1≤x ≤12时，x +1+2x −1≤x +2，解得x ≤1，所以−1≤x ≤12；…(2分) 当x >12时，x +1−2x +1≤x +2，解得x ≥0，所以x >12；…(3分) 综上，不等式f(x)≤x +2的解集为R …(5分) (2)不等式f(x)≤|x|(|a −1|+|a +1|)等价于|x+1|−|2x−1||x|≤|a −1|+|a +1|，…(6分)因为||x+1|−|2x−1||x||=||1+1x|−|2−1x||≤|1+1x+2−1x|=3，…(8分)当且仅当(1+1x )(2−1x )≤0时取等号，因为|x+1|−|2x−1||x|≤|a −1|+|a +1|，所以|a −1|+|a +1|≥3，解得a ≤−32或a ≥32，故实数a 的取值范围为(−∞,−32]∪[32,+∞)…(10分)解析：(1)利用x 的范围去掉绝对值符号，然后求解不等式的解集即可． (2)不等式f(x)≤|x|(|a −1|+|a +1|)等价于|x+1|−|2x−1||x|≤|a −1|+|a +1|，利用绝对值不等式的几何意义求解左侧的最值，然后求解a 的范围即可．本题考查不等式恒成立，绝对值不等式的解法，考查转化思想以及分类讨论思想的应用．。

2020年广东省广州市高考(理科)数学一模试卷 (Word 含解析)

2020年高考数学一模试卷（理科）一、选择題（共12小题）1．设集合M＝{x|0＜x＜1，x∈R}，N＝{x||x|＜2，x∈R}，则（）A．M∩N＝M B．M∩N＝N C．M∪N＝M D．M∪N＝R2．若复数z满足方程z2+2＝0，则z3＝（）A．±2√2B．−2√2C．−2√2i D．±2√2i3．若直线kx﹣y+1＝0与圆x2+y2+2x﹣4y+1＝0有公共点，则实数k的取值范围是（）A．[﹣3，+∞）B．（﹣∞，﹣3]C．（0，+∞）D．（﹣∞，+∞）4．已知p：|x+1|＞2，q：2＜x＜3，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．设函数f（x）＝2cos（12x−π3），若对于任意的x∈R都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则|x1﹣x2|的最小值为（）A．π2B．πC．2πD．4π6．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为V，若P，Q分别在AA1，CC1上，且AP=13AA1，CQ=13CC1，则四棱锥B﹣APQC的体积是（）A．16V B．29V C．13V D．79V7．为了让居民了解垃圾分类，养成垃圾分类的习惯，让绿色环保理念深入人心．某市将垃圾分为四类：可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾．某班按此四类由10位同学组成四个宣传小组，其中可回收物与餐厨垃圾宣传小组各有2位同学，有害垃圾与其他垃圾宣传小组各有3位同学．现从这10位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派1人的概率为（）A．514B．914C．37D．478．已知直线l：y＝x﹣2与x轴的交点为抛物线C：y2＝2px的焦点，直线l与抛物线C交于A，B两点，则AB中点到抛物线准线的距离为（）A．8B．6C．5D．49．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=13，a2+a5＝4，若S n≥4a n+8（n∈N*），则n的最小值为（） A ．8B ．9C ．10D ．1110．已知点P （x 0，y 0）是曲线C ：y ＝x 3﹣x 2+1上的点，曲线C 在点P 处的切线与y ＝8x ﹣11平行，则（） A ．x 0＝2B ．x 0=−43C ．x 0＝2或x 0=−43D ．x 0＝﹣2或x 0=4311．已知O 为坐标原点，设双曲线C ：x 2a −y 2b =1（a ＞0，b ＞0）的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 是双曲线C 上位于第一象限内的点．过点F 2作∠F 1PF 2的平分线的垂线，垂足为A ，若b ＝|F 1F 2|﹣2|OA |，则双曲线C 的离心率为（） A ．54B ．43C ．53D ．212．已知函数f (x)={−x 2−x +1，x ＜0x 2−x +1，x ≥0，若F （x ）＝f （x ）﹣sin （2020πx ）﹣1在区间[﹣1，1]上有m 个零点x 1，x 2，x 3，…，x m ，则f （x 1）+f （x 2）+f （x 3）+…+f （x m ）＝（） A ．4042B ．4041C ．4040D ．4039二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．如图，如果一个空间几何体的正视图与侧视图为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为1的圆及其圆心，则这个几何体的体积为，表面积为．14．在（ax +1x）（x 2﹣1）5的展开式中，x 3的系数为15，则实数a ＝． 15．已知单位向量e 1→与e 2→的夹角为π3，若向量e 1→+2e 2→与2e 1→+k e 2→的夹角为5π6，则实数k 的值为．16．记数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a n +a n+1n=cosnπ2−sinnπ2（n ∈N*），且m +S 2019＝﹣1009，a1m＞0，则1a1+9m的最小值为．三、解答题：共70分，解答题应写出文字说明、证明过程与演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～23题为选考题，考生根据要求作答．17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=√3，且满足absinCasinA+bsinB−csinC=√3（1）求角C的大小；（2）求b+2a的最大值．18．随着马拉松运动在全国各地逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人数逐年增加．为此，某市对参加马拉松运动的情况进行了统计调査，其中一项是调査人员从参与马拉松运动的人中随机抽取100人，对其每月参与马拉松运动训练的夭数进行统计，得到以下统计表；平均每月进行训练的天数x x≤55＜x＜20x≥20人数156025（1）以这100人平均每月进行训练的天数位于各区间的频率代替该市参与马拉松训练的人平均每月进行训练的天数位于该区间的概率．从该市所有参与马拉松训练的人中随机抽取4个人，求恰好有2个人是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的概率；（2）依据统计表，用分层抽样的方法从这100个人中抽取12个，再从抽取的12个人中随机抽取3个，Y表示抽取的是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的人数，求Y 的分布列及数学期望E（Y）．19．如图1，在边长为2的等边△ABC中，D，E分别为边AC，AB的中点，将△AED沿ED折起，使得AB⊥AD，AC⊥AE，得到如图2的四棱锥A﹣BCDE，连结BD，CE，且BD与CE交于点H．（1）求证：AH⊥平面BCDE；（2）求二面角B﹣AE﹣D的余弦值．20．已知⊙M 过点A （√3，0），且与⊙N ：（x +√3）2+y 2＝16内切，设⊙M 的圆心M 的估轨迹为C ，（1）求轨迹C 的方程；（2）设直线l 不经过点B （2，0）且与曲线C 交于点P ，Q 两点，若直线PB 与直线QB 的斜率之积为−12，判断直线l 是否过定点，若过定点，求出此定点的坐标，若不过定点，请说明理由．21．已知函数f （x ）＝（x ﹣4）e x ﹣3+x 2﹣6x ，g （x ）＝（a −13）x ﹣1﹣lnx ．（1）求函数f （x ）在（0，+∞）上的单调区间；（2）用max {m ，n }表示m ，n 中的最大值，f ′（x ）为f （x ）的导函数，设函数h （x ）＝max {f ′（x ），g （x ）}，若h （x ）≥0在（0，+∞）上恒成立，求实数a 的取值范围；（3）证明：1n +1n+1+1n+2+⋯+13n−1+13n＞ln 3（n ∈N*）．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =3+ty =1+2t（t 为参数），曲线C 2的参数方程为{x =√3cosθy =√3tanθ（θ为参数，且θ∈（π2，3π2））．（1）求C 1与C 2的普通方程，（2）若A ，B 分别为C 1与C 2上的动点，求|AB |的最小值． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|3x ﹣6|+|x +a |．（1）当a ＝1时，解不等式f （x ）＜3；（2）若不等式f （x ）＜11﹣4x 对任意x ∈[﹣4，−32]成立，求实数a 的取值范围．参考答案一、选择題：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合題目要求的.1．设集合M＝{x|0＜x＜1，x∈R}，N＝{x||x|＜2，x∈R}，则（）A．M∩N＝M B．M∩N＝N C．M∪N＝M D．M∪N＝R【分析】求出集合M，N，进而求出M∩N，M∪N，由此能求出结果．解：∵集合M＝{x|0＜x＜1，x∈R}，N＝{x||x|＜2，x∈R}＝{x|﹣2＜x＜2，x∈R}，∴M∩N＝{x|0＜x＜1，x∈R}＝M，M∪N＝{x|﹣2＜x＜2，x∈R}＝N．故选：A．2．若复数z满足方程z2+2＝0，则z3＝（）A．±2√2B．−2√2C．−2√2i D．±2√2i【分析】先求复数z，再求z3即可解：由z2+2=0⇒z=±√2i⇒z3=±2√2i，故选：D．3．若直线kx﹣y+1＝0与圆x2+y2+2x﹣4y+1＝0有公共点，则实数k的取值范围是（）A．[﹣3，+∞）B．（﹣∞，﹣3]C．（0，+∞）D．（﹣∞，+∞）【分析】整理圆的方程得到其圆心与半径，直线与圆有交点等价于圆心到直线的距离d=≤2，解不等式即可√1+k解：圆方程可整理为（x+1）2+（y﹣2）2＝4，则圆心（﹣1，2），半径r＝2，≤2，整理得3k2﹣2k+3≥0，则圆心到直线的距离d=√1+k因为△＝4﹣36＜0，故不等式恒成立，所以k∈（﹣∞，+∞），故选：D．4．已知p：|x+1|＞2，q：2＜x＜3，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】解出不等式p ，即可判断出关系．解：p ：|x +1|＞2，解得：x ＞1，或x ＜﹣3． q ：2＜x ＜3，则q ⇒p ，但是p 无法推出q ． ∴p 是q 的必要不充分条件．故选：B ．5．设函数f （x ）＝2cos （12x −π3），若对于任意的x ∈R 都有f （x 1）≤f （x ）≤f （x 2）成立，则|x 1﹣x 2|的最小值为（） A ．π2B ．πC ．2πD ．4π【分析】由题意可知f （x 1）≤f （x ）≤f （x 2），f （x 1）是函数的最小值，f （x 2）是函数的最大值，|x 1﹣x 2|的最小值就是半个周期．解：函数f （x ）＝2cos （12x −π3），若对于任意的x ∈R ，都有f （x 1）≤f （x ）≤f （x 2），∴f （x 1）是函数的最小值，f （x 2）是函数的最大值，|x 1﹣x 2|的最小值就是函数的半周期， T 2=12×2π12=2π；故选：C ．6．已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积为V ，若P ，Q 分别在AA 1，CC 1上，且AP =13AA 1，CQ =13CC 1，则四棱锥B ﹣APQC 的体积是（） A ．16VB ．29VC ．13VD ．79V【分析】由题意画出图形，过P 作PG ∥AB 交BB 1于G ，连接GQ ，由等体积法可得V B﹣APQC=23V ABC−PQG ，再由已知得到V ABC−PQG =13V ABC−A 1B 1C 1，即可得出．解：如图，过P 作PG ∥AB 交BB 1于G ，连接GQ ，在三棱柱ABC ﹣PQG 中，由等积法可得V B ﹣APQC =23V ABC−PQG ，∵AP =13AA 1，CQ =13CC 1， ∴V ABC−PQG =13V ABC−A 1B 1C 1，∴V B−APQG =23V ABC−PQG =23×13V ABC−A 1B 1C 1=29V ．故选：B．7．为了让居民了解垃圾分类，养成垃圾分类的习惯，让绿色环保理念深入人心．某市将垃圾分为四类：可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾．某班按此四类由10位同学组成四个宣传小组，其中可回收物与餐厨垃圾宣传小组各有2位同学，有害垃圾与其他垃圾宣传小组各有3位同学．现从这10位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派1人的概率为（）A．514B．914C．37D．47【分析】基本事件总数n=C105=252，每个宣传小组至少选派1人包含的基本事件个数m=C22C21C31C31+C21C22C31C31+C21C21C32C31+C21C21C31C32，由此能求出每个宣传小组至少选派1人的概率．解：某市将垃圾分为四类：可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾．某班按此四类由10位同学组成四个宣传小组，其中可回收物与餐厨垃圾宣传小组各有2位同学，有害垃圾与其他垃圾宣传小组各有3位同学．现从这10位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，基本事件总数n=C105=252，每个宣传小组至少选派1人包含的基本事件个数：m=C22C21C31C31+C21C22C31C31+C21C21C32C31+C21C21C31C32=108，则每个宣传小组至少选派1人的概率为P=mn=108252=37．故选：C．8．已知直线l：y＝x﹣2与x轴的交点为抛物线C：y2＝2px的焦点，直线l与抛物线C交于A，B两点，则AB中点到抛物线准线的距离为（）A ．8B ．6C ．5D ．4【分析】求出抛物线的准线方程，然后求解准线方程，求出线段AB 的中点的横坐标，然后求解即可．解：抛物线C ：y 2＝2px ，可得准线方程为：x =−p2，直线l ：y ＝x ﹣2，经过抛物线的焦点坐标，可得P ＝4，抛物线方程为：y 2＝8x 由题意可得：{y 2=8xy =x −2，可得x 2﹣12x +4＝0，直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点，则线段AB 的中点的横坐标为：6，则线段AB 的中点到抛物线C 的准线的距离为：6+2＝8．故选：A ．9．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=13，a 2+a 5＝4，若S n ≥4a n +8（n ∈N *），则n 的最小值为（） A ．8B ．9C ．10D ．11【分析】利用等差数列通项公式求出数列的首项与公差，然后求解通项公式以及数列的和，结合不等式求解即可．解：等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=13，a 2+a 5＝4，可得：13+d +13+4d ＝4，解得d =23，所以S n =n 3+n(n −1)×13=n23，a n =13+(n −1)×23=2n−13， S n ≥4a n +8（n ∈N *），可得：n 23≥8n−43+8，可得：n 2﹣8n ﹣20≥0，解得n ≥10或n ≤﹣2（舍去），所以n 的最小值为10．故选：C ．10．已知点P （x 0，y 0）是曲线C ：y ＝x 3﹣x 2+1上的点，曲线C 在点P 处的切线与y ＝8x ﹣11平行，则（） A ．x 0＝2B ．x 0=−43C ．x 0＝2或x 0=−43D ．x 0＝﹣2或x 0=43【分析】先求出y ＝x 3﹣x 2+1的导数，得到曲线C 在点P （x 0，y 0）处的切线斜率k ，然后根据曲线C 在点P 处的切线与y ＝8x ﹣11平行得到关于x 0的方程，解方程得到x 0的值，再检验得到符合条件的x 0．解：由y ＝x 3﹣x 2+1，得y '＝3x 2﹣2x ，则曲线C 在点P （x 0，y 0）处的切线的斜率为k =y′|x=x 0=3x 02−2x 0， ∵曲线C 在点P 处的切线与y ＝8x ﹣11平行， ∴3x 02−2x 0=8，∴x 0＝2或x =−43， ∵当x 0＝2时，切线和y ＝8x ﹣11重合， ∴x =−43．故选：B ．11．已知O 为坐标原点，设双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 是双曲线C 上位于第一象限内的点．过点F 2作∠F 1PF 2的平分线的垂线，垂足为A ，若b ＝|F 1F 2|﹣2|OA |，则双曲线C 的离心率为（） A ．54B ．43C ．53D ．2【分析】由角平分线的性质可得延长F 2A 交PF 1与B ，由PA 为∠F 1PF 2的角平分线，F 2A ⊥PA ，所以A 为F 2B 的中点，|PF 2|＝|PB |，可得OA 为△BF 1F 2的中位线，b ＝|F 1F 2|﹣2|OA |＝2c ﹣2a 再由a ，b ，c 的关系求出离心率．解：延长F 2A 交PF 1与B ，由PA 为∠F 1PF 2的角平分线，F 2A ⊥PA ，所以A 为F 2B 的中点，|PF 2|＝|PB |，连接OA ，则OA 为△BF 1F 2的中位线，所以|BF 1|＝2|OA |，而|BF 1|＝|PF 1|﹣|PB |＝|PF 1|﹣|PF 2|＝2a因为b ＝|F 1F 2|﹣2|OA |＝2c ﹣2a ，而b 2＝c 2﹣a 2所以c 2﹣a 2＝4（c ﹣a ）2整理可得3c 2﹣8ac +5c 2＝0，即3e 2﹣8e +5＝0，解得e =53或1，再由双曲线的离心率大于1，可得e =53，故选：C ．12．已知函数f (x)={−x 2−x +1，x ＜0x 2−x +1，x ≥0，若F （x ）＝f （x ）﹣sin （2020πx ）﹣1在区间[﹣1，1]上有m 个零点x 1，x 2，x 3，…，x m ，则f （x 1）+f （x 2）+f （x 3）+…+f （x m ）＝（） A ．4042B ．4041C ．4040D ．4039【分析】本题利用正弦函数的性质求出周期，再利用图象中心对称的性质求出函数值的和．解：∵F （x ）＝f （x ）﹣sin （2020πx ）﹣1在区间[﹣1，1]上有m 个零点， ∴f （x ）﹣1＝sin （2020πx ）在区间[﹣1，1]上有m 个零点，即g （x ）＝f （x ）﹣1={−x 2−x ，x ＜0x 2−x ，x ≥0与h （x ）＝sin （2020πx ）在区间[﹣1，1]上有m 个交点， ∵T =2πω=2π2020π=11010且h （x ）关于原点对称，在区间[﹣1，1]上h （x ）max ＝1，h （x ）min ＝﹣1 又∵g （x ）＝f （x ）﹣1={−x 2−x ，x ＜0x 2−x ，x ≥0∴在区间[﹣1，1]上g （x ）max ＝g （12）=12，g （x ）min ＝g （−12）=−12且g （x ）关于原点对称．∵根据g （x ）和h （x ）函数图象特点易知在h （x ）一个周期内， g （x ）和h （x ）图象有两个交点． ∵T =11010∴在（0，1]内共有1010个周期， ∴g （x ）和h （x ）图象共有2020个交点， ∵g （x ）和h （x ）图象都关于原点对称，∴g （x ）和h （x ）图象在[﹣1，0）U （0，1]共有4040个交点，再加上（0，0）这个交点．∵g （x ）关于原点对称，设x 1，x 2为关于原点对称的两个交点横坐标， ∴g （x 1）+g （x 2）＝0，即f （x 1）﹣1+f （x 2）﹣1＝0，即f （x 1）+f （x 2）＝2，∴f （x 1）+f （x 2）+f （x 3）+…+f （x m ）=40402×2+f （0）＝4040+1＝4041．故选：B ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．如图，如果一个空间几何体的正视图与侧视图为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为1的圆及其圆心，则这个几何体的体积为 √3π3，表面积为 3π ．【分析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为圆锥，圆锥的底面半径为1，高为√3．再由圆锥的体积公式及表面积公式求解．解：由三视图还原原几何体，可知该几何体为圆锥，该几何体的体积V =13×π×12×√3=√3π3；表面积S =π×12+12×2π×1×2=3π．故答案为：√3π3；3π．14．在（ax +1x ）（x 2﹣1）5的展开式中，x 3的系数为15，则实数a ＝ 5 ．【分析】先求得（x 2﹣1）5的展开式的通项公式，再列出含x 3的系数的关于a 的方程，最后求出a ．解：∵（x 2﹣1）5的展开式的通项公式为T r +1＝C5r （x 2）5﹣r •（﹣1）r ＝（﹣1）r•C5r x10﹣2r，r ＝0，1， (5)∴（ax +1x）（x 2﹣1）5的展开式中含x 3的系数为a ×（﹣1）4×C 54+C53•（﹣1）3＝5a ﹣10．又∵5a ﹣10＝15，∴a ＝5．故答案为：5．15．已知单位向量e 1→与e 2→的夹角为π3，若向量e 1→+2e 2→与2e 1→+k e 2→的夹角为5π6，则实数k 的值为 ﹣10 ．【分析】根据单位向量的定义与平面向量数量积的运算法则，求解即可．解：单位向量e 1→与e 2→的夹角为π3，即|e 1→|＝|e 2→|＝1，e 1→•e 2→=1×1×cos π3=12；又向量e 1→+2e 2→与2e 1→+k e 2→的夹角为5π6，所以（e 1→+2e 2→）•（2e 1→+k e 2→）＝|e 1→+2e 2→|×|2e 1→+k e 2→|cos5π6，即2×12+（4+k ）×12+2k ×12=√12+4×12+4×12×√4×12+4k ×12+k 2×12×（−√32）；8+5k =−√21•√k 2+2k +4； {8+5k ≤0(8+5k)2=21(k 2+2k +4)，解得k ＝﹣10，所以实数k 的值为﹣10．16．记数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a n +a n+1n=cosnπ2−sinnπ2（n ∈N*），且m +S 2019＝﹣1009，a 1m ＞0，则1a 1+9m的最小值为 16 ．【分析】通过递推式，可求得S 2019与a 1的关系，结合已知等式m +S 2019＝﹣1009，即可求出结论．解：由已知，a 2+a 3＝﹣2； a 4+a 5＝4；a6+a7＝﹣6；⋮a2018+a2019＝﹣2018；将上述等式左右分别相加，得S2019﹣a1＝﹣2018+1008＝﹣1010；将S2019＝a1﹣1010代入等式m+S2019＝﹣1009，得m+a1＝1；∵a1m＞0，故都为正数；∴1a1+9m=（1a1+9m）（m+a1）＝10+ma1+9a1m≥10+2√ma1⋅9a1m=16；当且仅当m＝3a1即m=34，a1=14时等号成立；故答案为：16．三、解答题：共70分，解答题应写出文字说明、证明过程与演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～23题为选考题，考生根据要求作答．17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=√3，且满足absinCasinA+bsinB−csinC=√3．（1）求角C的大小；（2）求b+2a的最大值．【分析】（1）根据已知条件，结合正余弦定理可得cosC=12，由此即可求得C；（2）易知b=2sinB=2sin(A+π3)，再由三角恒等变换可得b+2a=2√7sin(A+Φ)，结合A∈(0，2π3)，可知sin（A+ϕ）max＝1，由此求得b+2a的最大值．解：（1）由题意及正弦定理可得：abca2+b2−c2=√3，由余弦定理得：a2+b2﹣c2＝2ab•cos C，所以cosC=a2+b 2−c22ab=12，又C为△ABC内角，∴C=π3；（2）由正弦定理可得：asinA =bsinB=csinC=2，所以a＝2sin A，b＝2sin B，又因为A+B+C＝π，所以b=2sinB=2sin(A+π3 )，所以b+2a=2sin(A+π3)+4sinA=sinA+√3cosA+4sinA=5sinA+√3cosA=2√7sin(A+ϕ)，且tanϕ=√35，又因为A∈(0，2π3 )，所以sin（A+ϕ）max＝1，所以b+2a≤2√7，即b+2a的最大值为2√7．18．随着马拉松运动在全国各地逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人数逐年增加．为此，某市对参加马拉松运动的情况进行了统计调査，其中一项是调査人员从参与马拉松运动的人中随机抽取100人，对其每月参与马拉松运动训练的夭数进行统计，得到以下统计表；平均每月进行训练的天数x x≤55＜x＜20x≥20人数156025（1）以这100人平均每月进行训练的天数位于各区间的频率代替该市参与马拉松训练的人平均每月进行训练的天数位于该区间的概率．从该市所有参与马拉松训练的人中随机抽取4个人，求恰好有2个人是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的概率；（2）依据统计表，用分层抽样的方法从这100个人中抽取12个，再从抽取的12个人中随机抽取3个，Y表示抽取的是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的人数，求Y 的分布列及数学期望E（Y）．【分析】（1）记“平均每月进行训练的天数不少于20天”为事件A．求出P(x≥20)= 25100=14，利用独立重复实验的概率求解即可．（2）由题意得：x＜20的人：12×34=9；x≥20的人有12×14=3从抽取的12个人中随机抽取3个，Y表示抽取的是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的人数，Y的可能取值为0，1，2，3，且Y～H（3，3，12），求出概率，得到分布列，然后求解期望即可．解：记“平均每月进行训练的天数不少于20天”为事件A．由表可知P(x≥20)=25 100，所以P(A)=C 42(14)2(1−14)2=27128．（2）由题意得：x ＜20的人：12×34=9；x ≥20的人有12×14=3从抽取的12个人中随机抽取3个，Y 表示抽取的是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的人数，Y 的可能取值为0，1，2，3，且Y ～H （3，3，12）P(Y =0)=C 93C 123=84220，P(Y =1)=C 92C 31C 123=108220，P(Y =2)=C 91C 32C 123=27220，P(Y =3)=C 33C123=1220，所以Y 的分布列为： Y 0123P84220108220272201220Y 的分布列及数学期望E(Y)=0×84220+1×108220+2×27220+3×1220=34． 19．如图1，在边长为2的等边△ABC 中，D ，E 分别为边AC ，AB 的中点，将△AED 沿ED 折起，使得AB ⊥AD ，AC ⊥AE ，得到如图2的四棱锥A ﹣BCDE ，连结BD ，CE ，且BD 与CE 交于点H ．（1）求证：AH ⊥平面BCDE ；（2）求二面角B ﹣AE ﹣D 的余弦值．【分析】（1）证明AD ⊥CD ，CD ⊥BD ，即可证明CD ⊥平面ABD ．推出CD ⊥AH ，同理AH ⊥BE ，即可证明AH ⊥平面BCDE ．（2）过D 作Dz ⊥平面BCDE ，DB 为x 轴，DC 为y 轴，Dz 为z 轴，建立空间直角坐标系，求出平面AED 的法向量，平面AEB 的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角B ﹣AE ﹣D 的余弦值即可．【解答】（1）证明：由题意，AD ＝CD ＝1，BD =CE =√3，又因为AB ⊥AD ，所以AB =√BD 2−AD 2=√3−1=√2=AC ，所以AC 2＝AD 2+CD 2，即AD ⊥CD 又因为CD ⊥BD ，且BD ∩AD ＝D ，所以CD ⊥平面ABD ．所以CD ⊥AH ，同理AH ⊥BE ，CD 与BE 是相交直线，所以AH ⊥平面BCDE ．（2）解：如图，过D 作Dz ⊥平面BCDE ，DB 为x 轴，DC 为y 轴，Dz 为z 轴，建立空间直角坐标系所以D （0，0，0），B(√3，0，0)，E(√32，−12，0)，设点A （a ，0，b ）由AD =1，AB =√2得{a 2+b 2=1(a −√3)2+b 2=2，解得：a =√33，b =√63，所以A(√33，0，√63)，所以AE →=(√36，−12，−√63)，AB →=(2√33，0，−√63)，DA →=(√33，0，√63)，设平面AED 的法向量为n 1→=(x 1，y 1，z 1)，所以{AE →⋅n 1→=0DA →⋅n 1→=0⟹{x 1=√3y 1+2√2z 1x 1+√2z 1=0，取z 1＝﹣1，得n 1→=(√2，√6，−1)，同理可得平面AEB 的法向量n 2→=(1，−√3，√2)，所以cos ＜n 1→，n 2→≥n 1→⋅n 2→|n 1→||n 2→|=−√33，由图可知，所求二面角为钝角，所以二面角B ﹣AE ﹣D 的余弦值为−√33．20．已知⊙M 过点A （√3，0），且与⊙N ：（x +√3）2+y 2＝16内切，设⊙M 的圆心M 的估轨迹为C ，（1）求轨迹C 的方程；（2）设直线l 不经过点B （2，0）且与曲线C 交于点P ，Q 两点，若直线PB 与直线QB 的斜率之积为−12，判断直线l 是否过定点，若过定点，求出此定点的坐标，若不过定点，请说明理由．【分析】（1）由题意⊙M 过点A(√3，0)，且与⊙N ：(x +√3)2+y 2=16内切，推出M 的轨迹为椭圆，结合椭圆定义求轨迹C 的方程．（2）当l 的斜率不存在的时，设P （x 0，y 0），所以Q （x 0，﹣y 0），利用斜率乘积以及点在椭圆上，转化求解l 与x 轴的交点为(23，0)，当l 的斜率存在时，设l 的方程为y ＝kx +b 联立{y =kx +bx 24+y 2=1，通过判别式推出4k 2＞b 2﹣1，结合韦达定理，利用斜率的乘积推出b =−23k ，然后得到直线系方程说明结果距离．解：（1）由题意⊙M 过点A(√3，0)，且与⊙N ：(x +√3)2+y 2=16内切，设两圆切点为D 所以|MD |+|MN |＝|ND |＝4，在⊙M 中，|MD |＝|MA |所以|MA |+|MN |＝4，所以M 的轨迹为椭圆，由定义可知{2a =4c =√3，所以求轨迹C 的方程为x 24+y 2=1．（2）当l 的斜率不存在的时，设P （x 0，y 0），所以Q （x 0，﹣y 0），所以{k PB ⋅k QB =y 0x 0−2⋅−yx 0−2=−12x 024+y 02=1，解得{x 0=23y 0=2√33或{x 0=2y 0=0(舍)，所以l 与x 轴的交点为(23，0)，当l 的斜率存在时，设l 的方程为y ＝kx +b 联立{y =kx +bx 24+y 2=1消元可得（1+4k 2）x 2+8kbx +4b 2﹣4＝0， △＝（8kb ）2﹣4（1+4k 2）（4b 2﹣4）＝64k 2﹣16b 2+16＞0，所以4k 2＞b 2﹣1，由韦达定理x 1+x 2=−8kb1+4k 2；x 1x 2=4b 2−41+4k2，k PB ⋅k QB=y 1x 1−2⋅y 2x 2−2=(kx 1+b)(x 1−2)(kx 2+b)(x 2−2)=k 2x 1x 2+kb(x 1+x 2)+b 2x 1x 2−2(x 1+x 2)+4=k 24b 2−41+4k 2−8k 2b21+4k2+b24b 2−41+4k2−2−8kb1+4k2+4=b 2−4k2(4k+2b)2=(b−2k)(b+2k)4(2k+b)2，又因为2k+b≠0，所以b−2k4(b+2k)=−12，即b=−23k，所以b2−1=(−23k)2−1＜4k2，所以b=−23k成立，所以y=kx−23k=k(x−23)，当x=23时，y＝0，所以l过(23，0)综上所述l过定点，且点坐标为(23，0)21．已知函数f（x）＝（x﹣4）e x﹣3+x2﹣6x，g（x）＝（a−13）x﹣1﹣lnx．（1）求函数f（x）在（0，+∞）上的单调区间；（2）用max{m，n}表示m，n中的最大值，f′（x）为f（x）的导函数，设函数h（x）＝max{f′（x），g（x）}，若h（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围；（3）证明：1n +1n+1+1n+2+⋯+13n−1+13n＞ln3（n∈一、选择题*）．【分析】（1）求出导函数，通过f′（x）＝0得x＝3然后判断函数的单调性求解函数的单调区间即可．（2）通过h（x）＝max{f’（x），g（x）}≥0恒成立，令F(x)=1+lnxx，推出a−13≥F(x)max，结合函数的导数求解函数的最大值，求解即可．（3）设m（x）＝e x﹣x﹣1（x＞0），利用函数的导数推出e x＞x+1，然后结合不等式转化求解证明即可．解：（1）因为f（x）＝（x﹣4）e x﹣3+x2﹣6x，所以f′（x）＝（x﹣3）e x﹣3+2x﹣6＝（x﹣3）（e x﹣3+2），令f′（x）＝0得x＝3当x＞3时，f′（x）＞0，f（x）单调递增当0＜x＜3时，f′（x）＜0，f（x）单调递减所以f（x）单调递增区间为（3，+∞）；f（x）单调递减区间为（0，3）．（2）由（1）知f′（x）＝（x﹣3）（e x﹣3+2），当x≥3时f’（x）≥0恒成立，故h （x）≥0恒成立当x＜3时，f’（x）＜0，又因为h（x）＝max{f’（x），g（x）}≥0恒成立，所以g（x）≥0在（0，3）上恒成立所以(a−13)x−1−lnx≥0，即a−13≥1+lnxx在（0，3）上恒成立令F(x)=1+lnxx，则a −13≥F(x)max ，F’(x)=1−(lnx+1)x 2=−lnx x2，令F ’（x ）＝0得x ＝1，易得F （x ）在（0，1）上单增，在[1，3）上单减，所以F （x ）max ＝F （1）＝1，所以a −13≥1，即a ≥43综上可得a ≥43，（3）设m （x ）＝e x ﹣x ﹣1（x ＞0），则m ′（x ）＝e x ﹣1＞0，所以m （x ）在（0，+∞）上单增，所以m （x ）＞m （0）＝0，即e x ＞x +1 所以e 1n +1n+1+1n+1+⋯+13n =e 1n⋅e1n+1⋅e 1n+2⋯e 13n＞n+1n ⋅n+2n+1⋅n+3n+2⋯3n3n−1⋅3n+13n ＞n+1n ⋅n+2n+1⋅n+3n+2⋯3n3n−1=3，所以1n +1n+1+1n+2+⋯+13n−1+13n＞ln3．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =3+ty =1+2t（t 为参数），曲线C 2的参数方程为{x =√3cosθy =√3tanθ（θ为参数，且θ∈（π2，3π2））．（1）求C 1与C 2的普通方程，（2）若A ，B 分别为C 1与C 2上的动点，求|AB |的最小值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用直线和曲线的位置关系式的应用求出结果．解：（1）由题可得：C 1的普通方程为2x ﹣y ﹣5＝0又因为C 2的参数方程为{x =√3cosθy =√3tanθ，两边平方可得{x 2=3cos 2θy 2=3sin 2θcos 2θ，所以C 2的普通方程为x 23−y 23=1，且x ≤−√3．（2）由题意，设C 1的平行直线2x ﹣y +c ＝0联立{2x −y +c =0x 23−y 23=1消元可得：3x 2+4cx +c 2+3＝0所以△＝4c 2﹣36＝0，解得c ＝±3又因为x ≤−√3，经检验可知c ＝3时与C 2相切，所以|AB|min =|3−(−5)|√2+(−1)=8√55．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|3x ﹣6|+|x +a |．（1）当a ＝1时，解不等式f （x ）＜3；（2）若不等式f （x ）＜11﹣4x 对任意x ∈[﹣4，−32]成立，求实数a 的取值范围．【分析】（1）a ＝1时，f （x ）＝|3x ﹣6|+|x +1|，讨论x 的取值范围，去掉绝对值求不等式f （x ）＜3的解集即可；（2）f （x ）＝|3x ﹣6|+|x +a |＜11﹣4x 对任意x ∈[−4，−32]成立，等价于|x +a |＜5﹣x 恒成立，去绝对值，从而求出a 的取值范围．解：（1）a ＝1时，f （x ）＝|3x ﹣6|+|x +1|={−4x +5，x ＜−1−2x +7，−1≤x ≤24x −5，x ＞2；当x ＜﹣1时，由f （x ）＜3得﹣4x +5＜3，解得x ＞12（不合题意，舍去）；当﹣1≤x ≤2时，由f （x ）＜3得﹣2x +7＜3，解得x ＞2（不合题意，舍去）；当x ＞2时，由f （x ）＜3得4x ﹣5＜3，解得x ＜2（不合题意，舍去）；所以不等式f （x ）＜3的解集∅；（2）由f （x ）＝|3x ﹣6|+|x +a |＜11﹣4x 对任意x ∈[−4，−32]成立，得﹣（3x ﹣6）+|x +a |＜11﹣4x ，即|x +a |＜5﹣x ，所以{|x +a|＜5−x5−x ＞0，所以{x −5＜x +a x +a ＜5−x，得a ＞﹣5且a ＜5﹣2x 对任意x ∈[−4，−32]成立；即﹣5＜a ＜8，所以a的取值范围是（﹣5，8）．。

2019-2020学年广东省广州市高考数学一模试卷(文科)(有答案)

广东省广州市高考数学一模试卷（文科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合A={x|﹣1≤x ≤1}，B={x|x 2﹣2x ≤0}，则A∩B=（） A ．{x|﹣1≤x ≤2} B ．{x|﹣1≤x ≤0}C ．{x|1≤x ≤2}D ．{x|0≤x ≤1}2．已知复数z 满足z=（i 为虚数单位），则复数z 所对应的点所在象限为（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知函数则f （f （﹣2））的值为（）A ．B ．C ．D ．4．设P 是△ABC 所在平面内的一点，且=2，则△PAB 与△PBC 的面积之比是（）A ．B ．C ．D ．5．如果函数（ω＞0）的相邻两个零点之间的距离为，则ω的值为（）A ．3B ．6C ．12D ．246．执行如图所示的程序框图，如果输入x=3，则输出k 的值为（）A ．6B ．8C ．10D ．127．在平面区域{（x ，y ）|0≤x ≤1，1≤y ≤2}内随机投入一点P ，则点P 的坐标（x ，y ）满足y ≤2x 的概率为（） A ．B ．C ．D ．8．已知f （x ）=sin （x+），若sinα=（＜α＜π），则f （α+）=（）A ．B ．﹣C ．D ．9．如果P 1，P 2，…，P n 是抛物线C ：y 2=4x 上的点，它们的横坐标依次为x 1，x 2，…，x n ，F 是抛物线C 的焦点，若x 1+x 2+…+x n =10，则|P 1F|+|P 2F|+…+|P n F|=（） A ．n+10 B ．n+20 C ．2n+10D ．2n+2010．一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（） A ．20π B ．C ．5πD ．11．已知下列四个命题：p 1：若直线l 和平面α内的无数条直线垂直，则l ⊥α； p 2：若f （x ）=2x ﹣2﹣x ，则∀x ∈R ，f （﹣x ）=﹣f （x ）； p 3：若，则∃x 0∈（0，+∞），f （x 0）=1；p 4：在△ABC 中，若A ＞B ，则sinA ＞sinB ．其中真命题的个数是（） A ．1B ．2C ．3D ．412．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（）A ．8+8+4B ．8+8+2C ．2+2+D ． ++二．填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．函数f （x ）=x 3﹣3x 的极小值为．14．设实数x ，y 满足约束条件，则z=﹣2x+3y 的取值范围是．15．已知双曲线C ：（a ＞0，b ＞0）的左顶点为A ，右焦点为F ，点B （0，b ），且，则双曲线C 的离心率为． 16．在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD ⊥BC ，，CD=5，BD=2AD ，则AD 的长为．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．已知数列{a n }是等比数列，a 2=4，a 3+2是a 2和a 4的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n =2log 2a n ﹣1，求数列{a n b n }的前n 项和T n ．18．从某企业生产的某中产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值．由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率之比为4：2：1．（Ⅰ）求这些产品质量指标落在区间[75，85]内的概率；（Ⅱ）用分层抽样的方法在区间[45，75）内抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意抽取2件产品，求这2件产品都在区间[45，65）内的概率．19．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，AC∩BD=O，A1O⊥底面ABCD，AB=AA1=2．（Ⅰ）证明：BD⊥平面A1CO；（Ⅱ）若∠BAD=60°，求点C到平面OBB1的距离．20．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A，左焦点为F1（﹣2，0），点B（2，）在椭圆C上，直线y=kx（k≠0）与椭圆C交于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）在x轴上是否存在点P，使得无论非零实数k怎样变化，总有∠MPN为直角？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=me x﹣lnx﹣1．（Ⅰ）当m=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当m≥1时，证明：f（x）＞1．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．【选修4-1：几何证明选讲】22．如图所示，△ABC内接于⊙O，直线AD与⊙O相切于点A，交BC的延长线于点D，过点D作DE∥CA交BA的延长线于点E．（I）求证：DE2=AE•BE；（Ⅱ）若直线EF与⊙O相切于点F，且EF=4，EA=2，求线段AC的长．选修4-4：坐标系与参数方程23．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点0为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈[0，2π）．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）在曲线C上求一点D，使它到直线l：，（t为参数，t∈R）的距离最短，并求出点D的直角坐标．选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）=|x+|﹣|x﹣|．（I）当a=1时，求不等式f（x）≥的解集；（Ⅱ）若对任意a∈[0，1]，不等式f（x）≥b的解集为空集，求实数b的取值范围．广东省广州市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|﹣1≤x≤1}，B={x|x2﹣2x≤0}，则A∩B=（）A．{x|﹣1≤x≤2} B．{x|﹣1≤x≤0} C．{x|1≤x≤2} D．{x|0≤x≤1}【考点】交集及其运算．【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：B={x|x2﹣2x≤0}={x|0≤x≤2}，则A∩B={x|0≤x≤1}，故选：D2．已知复数z满足z=（i为虚数单位），则复数z所对应的点所在象限为（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】根据复数的几何意义，即可得到结论．【解答】解：z===，对应的坐标为（2，﹣1），位于第四象限，故选：D．3．已知函数则f（f（﹣2））的值为（）A．B．C．D．【考点】函数的值．【分析】利用分段函数的性质求解．【解答】解：∵函数，∴f（﹣2）=（﹣2）2﹣（﹣2）=6，f（f（﹣2））=f（6）==﹣．故选：C．4．设P是△ABC所在平面内的一点，且=2，则△PAB与△PBC的面积之比是（）A．B．C．D．【考点】向量数乘的运算及其几何意义．【分析】由=2可知P为AC上靠近A点的三等分点．【解答】解：∵=2，∴P为边AC靠近A点的三等分点，∴△PAB与△PBC的面积比为1：2．故选：B．5．如果函数（ω＞0）的相邻两个零点之间的距离为，则ω的值为（）A．3 B．6 C．12 D．24【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．【分析】根据余弦函数的相邻两个零点之间的距离恰好等于半个周期，即可求得ω的值．【解答】解：函数（ω＞0）的相邻两个零点之间的距离为，∴T=2×=，又=，解得ω=6．故选：B．6．执行如图所示的程序框图，如果输入x=3，则输出k的值为（）A．6 B．8 C．10 D．12【考点】程序框图．【分析】根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到满足条件x＞100，跳出循环体，确定输出k的值．【解答】解：模拟执行程序，可得x=3，k=0x=9，k=2不满足条件x＞100，x=21，k=4不满足条件x＞100，x=45，k=6不满足条件x＞100，x=93，k=8不满足条件x＞100，x=189，k=10满足条件x＞100，退出循环，输出k的值为10．故选：C．7．在平面区域{（x，y）|0≤x≤1，1≤y≤2}内随机投入一点P，则点P的坐标（x，y）满足y≤2x的概率为（）A．B．C．D．【考点】简单线性规划；几何概型．【分析】作出不等式组对应的区域，利用几何概型的概率公式，即可得到结论．【解答】解：不等式组表示的平面区域为D的面积为1，不等式y≤2x对应的区域为三角形ABC，则三角形ABC的面积S==，则在区域D内任取一点P（x，y），则点P满足y≤2x的概率为，故选：A．8．已知f（x）=sin（x+），若sinα=（＜α＜π），则f（α+）=（）A．B．﹣C．D．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】根据同角的三角函数的关系，以及两角和的正弦公式，即可求出．【解答】解：∵＜α＜π，sinα=，∴cosα=﹣∵f（x）=sin（x+），∴f （α+）=sin （α++）=sin （α+）=sinαcos +cos αsin =﹣（﹣）=，故选：C ．9．如果P 1，P 2，…，P n 是抛物线C ：y 2=4x 上的点，它们的横坐标依次为x 1，x 2，…，x n ，F 是抛物线C 的焦点，若x 1+x 2+…+x n =10，则|P 1F|+|P 2F|+…+|P n F|=（） A ．n+10 B ．n+20 C ．2n+10 D ．2n+20【考点】抛物线的简单性质．【分析】由抛物线性质得|P n F|==x n +1，由此能求出结果．【解答】解：∵P 1，P 2，…，P n 是抛物线C ：y 2=4x 上的点，它们的横坐标依次为x 1，x 2，…，x n ，F 是抛物线C 的焦点， x 1+x 2+…+x n =10， ∴|P 1F|+|P 2F|+…+|P n F| =（x 1+1）+（x 2+1）+…+（x n +1） =x 1+x 2+…+x n +n =n+10．故选：A ．10．一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（） A ．20π B ．C ．5πD ．【考点】球的体积和表面积．【分析】作出六棱柱的最大对角面与外截球的截面，设正六棱柱的上下底面中心分别为O 1，O 2，球心为O ，一个顶点为A ，如右图．可根据题中数据结合勾股定理算出球的半径OA ，再用球的体积公式即可得到外接球的体积．【解答】解：作出六棱柱的最大对角面与外截球的截面，如右图，则该截面矩形分别以底面外接圆直径和六棱柱高为两边，设球心为O ，正六棱柱的上下底面中心分别为O 1，O 2，则球心O 是O 1，O 2的中点． ∵正六棱柱底面边长为1，侧棱长为1， ∴Rt △AO 1O 中，AO 1=1，O 1O=，可得AO==，因此，该球的体积为V=π•（）3=．故选：D ．11．已知下列四个命题：p1：若直线l和平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；p2：若f（x）=2x﹣2﹣x，则∀x∈R，f（﹣x）=﹣f（x）；p 3：若，则∃x∈（0，+∞），f（x）=1；p4：在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB．其中真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题的真假判断与应用．【分析】p1：根据线面垂直的判断定理判定即可；p2：根据奇函数的定义判定即可；p3：对表达式变形可得=x+1+﹣1，利用均值定理判定即可；p4：根据三角形角边关系和正弦定理判定结论成立．【解答】解：p1：根据判断定理可知，若直线l和平面α内两条相交的直线垂直，则l⊥α，若没有相交，无数的平行直线也不能判断垂直，故错误；p2：根据奇函数的定义可知，f（﹣x）=2﹣x﹣2x=﹣f（x），故∀x∈R，f（﹣x）=﹣f（x），故正确；p 3：若=x+1+﹣1≥1，且当x=0时，等号成立，故不存在x∈（0，+∞），f（x）=1，故错误；p4：在△ABC中，根据大边对大角可知，若A＞B，则a＞b，由正弦定理可知，sinA＞sinB，故正确．故选：B．12．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（）A．8+8+4B．8+8+2C．2+2+D． ++【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知几何体为从边长为4的正方体切出来的三棱锥．作出直观图，计算各棱长求面积．【解答】解：由三视图可知几何体为从边长为4的正方体切出来的三棱锥A﹣BCD．作出直观图如图所示：其中A，C，D为正方体的顶点，B为正方体棱的中点．∴S△ABC ==4，S△BCD==4．∵AC=4，AC⊥CD，∴S△ACD==8，由勾股定理得AB=BD==2，AD=4．∴cos∠ABD==﹣，∴sin∠ABD=．∴S△ABD==4．∴几何体的表面积为8+8+4．故选A．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．函数f（x）=x3﹣3x的极小值为﹣2 ．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】首先求导可得f′（x）=3x2﹣3，解3x2﹣3=0可得其根，再判断导函数的符号分析函数的单调性，即可得到极小值．【解答】解析：令f′（x）=3x2﹣3=0，得x=±1，可求得f（x）的极小值为f（1）=﹣2．故答案：﹣2．14．设实数x，y满足约束条件，则z=﹣2x+3y的取值范围是[﹣6，15] ．【考点】简单线性规划．【分析】由题意作平面区域，化简z=﹣2x+3y为y=x+，从而结合图象求解．【解答】解：由题意作平面区域如下，化简z=﹣2x+3y为y=x+，故结合图象可知，在点B（3，0）处有最小值，在点C（﹣3，3）处有最大值，故﹣2×3+3×0≤z≤﹣2×（﹣3）+3×3，即z∈[﹣6，15]，故答案为：[﹣6，15]．15．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左顶点为A，右焦点为F，点B（0，b），且，则双曲线C的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设出A ，F 的坐标，运用向量的数量积的坐标表示，结合a ，bc 的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：由题意可得A （﹣a ，0），F （c ，0），B （0，b ），可得=（﹣a ，﹣b ），=（c ，﹣b ），由，可得﹣ac+b 2=0，即有b 2=c 2﹣a 2=ac ，由e=，可得e 2﹣e ﹣1=0，解得e=（负的舍去）．故答案为：．16．在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD ⊥BC ，，CD=5，BD=2AD ，则AD 的长为 5 ．【考点】三角形中的几何计算．【分析】根据题意画出图象，延长BC 、过A 做AE ⊥BC 、垂足为E ，根据平行线的性质和勾股定理依次求出AE 、CE 、BC 、BD ，由条件求出AD 的长．【解答】解：如图所示：延长BC ，过A 做AE ⊥BC ，垂足为E ， ∵CD ⊥BC ，∴CD ∥AE ， ∵CD=5，BD=2AD ，∴，解得AE=，在RT △ACE ，CE===，由得BC=2CE=5，在RT △BCD 中，BD===10，则AD=5，故答案为：5．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．已知数列{a n }是等比数列，a 2=4，a 3+2是a 2和a 4的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n =2log 2a n ﹣1，求数列{a n b n }的前n 项和T n ．【考点】数列递推式；等差数列与等比数列的综合．【分析】（Ⅰ）等比数列{a n }中，a 2=4，a 3+2是a 2和a 4的等差中项，有等比数列的首项和公比分别表示出已知条件，解方程组即可求得首项和公比，代入等比数列的通项公式即可求得结果；（Ⅱ）把（1）中求得的结果代入b n =2log 2a n ﹣1，求出b n ，利用错位相减法求出T n ．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q ，因为a 2=4，所以a 3=4q ，．）因为a 3+2是a 2和a 4的等差中项，所以2（a 3+2）=a 2+a 4．即2（4q+2）=4+4q 2，化简得q 2﹣2q=0．因为公比q ≠0，所以q=2．所以（n ∈N *）．（Ⅱ）因为，所以b n =2log 2a n ﹣1=2n ﹣1．所以．则，①，，②，①﹣②得，．=，所以．18．从某企业生产的某中产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值．由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率之比为4：2：1．（Ⅰ）求这些产品质量指标落在区间[75，85]内的概率；（Ⅱ）用分层抽样的方法在区间[45，75）内抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意抽取2件产品，求这2件产品都在区间[45，65）内的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（I）由题意，质量指标值落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率之和，利用之比为4：2：1，即可求出这些产品质量指标值落在区间[75，85]内的频率；（2）由频率分布直方图得从[45，65）的产品数中抽取5件，记为A，B，C，D，E，从[65，75）的产品数中抽取1件，记为a，由此利用列举法求出概率．【解答】解：（I）由题意，质量指标值落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率之和为1﹣0.04﹣0.12﹣0.19﹣0.3=0.35，∵质量指标值落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率之比为4：2：1，∴这些产品质量指标值落在区间[75，85]内的频率为0.35×=0.05，（Ⅱ）由频率分布直方图得：这些产品质量指标值落在区间[55，65）内的频率为0.35×=0.2，这些产品质量指标值落在区间[65，75）内的频率为0.35×=0.1，这些产品质量指标值落在区间[45，55）内的频率为0.03×10=0.30，所以这些产品质量指标值落在区间[45，65）内的频率为0.3+0.2=0.5，∵=∴从[45，65）的产品数中抽取6×=5件，记为A，B，C，D，E，从[65，75）的产品数中抽取6×=1件，记为a，从中任取两件，所有可能的取法有：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，a），（B，C），（B，D），（B，E），（B，a），（C，D），（D（C，E），（C，a），（D，E），（D，a），（E，a），共15种，这2件产品都在区间[45，65）内的取法有10种，∴从中任意抽取2件产品，求这2件产品都在区间[45，65）内的概率=．19．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，AC∩BD=O，A1O⊥底面ABCD，AB=AA1=2．（Ⅰ）证明：BD⊥平面A1CO；（Ⅱ）若∠BAD=60°，求点C到平面OBB1的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）证明A 1O ⊥BD ．CO ⊥BD ．即可证明BD ⊥平面A 1CO ．（Ⅱ）解法一：说明点B 1到平面ABCD 的距离等于点A 1到平面ABCD 的距离A 1O ．设点C 到平面OBB 1的距离为d ，通过，求解点C 到平面OBB 1的距离．解法二：连接A 1C 1与B 1D 1交于点O 1，连接CO 1，OO 1，推出OA 1O 1C 为平行四边形．证明CH ⊥平面BB 1D 1D ，然后求解点C 到平面OBB 1的距离．【解答】（Ⅰ）证明：因为A 1O ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以A 1O ⊥BD ．…因为ABCD 是菱形，所以CO ⊥BD ．… 因为A 1O∩CO=O，A 1O ，CO ⊂平面A 1CO ，所以BD ⊥平面A 1CO ．…（Ⅱ）解法一：因为底面ABCD 是菱形，AC∩BD=O，AB=AA 1=2，∠BAD=60°，所以OB=OD=1，．…所以△OBC 的面积为．…因为A 1O ⊥平面ABCD ，AO ⊂平面ABCD ，所以A 1O ⊥AO ，．…因为A 1B 1∥平面ABCD ，所以点B 1到平面ABCD 的距离等于点A 1到平面ABCD 的距离A 1O ．… 由（Ⅰ）得，BD ⊥平面A 1AC ．因为A 1A ⊂平面A 1AC ，所以BD ⊥A 1A ．因为A 1A ∥B 1B ，所以BD ⊥B 1B ．… 所以△OBB 1的面积为．…设点C 到平面OBB 1的距离为d ，因为，所以．…所以．所以点C 到平面OBB 1的距离为．…解法二：由（Ⅰ）知BD ⊥平面A 1CO ，因为BD ⊂平面BB 1D 1D ，所以平面A 1CO ⊥平面BB 1D 1D ．… 连接A 1C 1与B 1D 1交于点O 1，连接CO 1，OO 1，因为AA 1=CC 1，AA 1∥CC 1，所以CAA 1C 1为平行四边形．又O ，O 1分别是AC ，A 1C 1的中点，所以OA 1O 1C 为平行四边形．所以O 1C=OA 1=1．…因为平面OA 1O 1C 与平面BB 1D 1D 交线为OO 1，过点C 作CH ⊥OO 1于H ，则CH ⊥平面BB 1D 1D ．… 因为O 1C ∥A 1O ，A 1O ⊥平面ABCD ，所以O 1C ⊥平面ABCD ．因为OC ⊂平面ABCD ，所以O •1C ⊥OC ，即△OCO 1为直角三角形．… 所以．所以点C 到平面OBB 1的距离为．…20．已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，左顶点为A ，左焦点为F 1（﹣2，0），点B （2，）在椭圆C 上，直线y=kx （k ≠0）与椭圆C 交于E ，F 两点，直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）在x 轴上是否存在点P ，使得无论非零实数k 怎样变化，总有∠MPN 为直角？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题意可设椭圆标准方程为+=1（a ＞b ＞0），结合已知及隐含条件列关于a ，b ，c 的方程组，求解方程组得到a 2，b 2的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）设F（x0，y），E（﹣x，﹣y），写出AE、AF所在直线方程，求出M、N的坐标，得到以MN为直径的圆的方程，由圆的方程可知以MN为直径的圆经过定点（±2，0），即可判断存在点P．【解答】解：（Ⅰ）由题意可设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），则c=2，a2﹣b2=c2， +=1，解得：a2=8，b2=4．可得椭圆C的方程为+=1；（Ⅱ）如图，设F（x0，y），E（﹣x，﹣y），则+=1，A（﹣2，0），AF所在直线方程y=（x+2），取x=0，得y=，∴N（0，），AE所在直线方程为y=（x+2），取x=0，得y=．则以MN为直径的圆的圆心坐标为（0，），半径r=，圆的方程为x2+（y﹣）2==，即x2+（y+）2=．取y=0，得x=±2．可得以MN为直径的圆经过定点（±2，0）．可得在x轴上存在点P（±2，0），使得无论非零实数k怎样变化，总有∠MPN为直角．21．已知函数f（x）=me x﹣lnx﹣1．（Ⅰ）当m=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当m≥1时，证明：f（x）＞1．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求得m=1时，f（x）的导数，可得切点坐标和切线的斜率，由点斜式方程可得所求切线的方程；（Ⅱ）证法一：运用分析法证明，当m≥1时，f（x）=me x﹣lnx﹣1≥e x﹣lnx﹣1．要证明f（x）＞1，只需证明e x﹣lnx﹣2＞0，思路1：设g（x）=e x﹣lnx﹣2，求得导数，求得单调区间，可得最小值，证明大于0即可；思路2：先证明e x≥x+1（x∈R），设h（x）=e x﹣x﹣1，求得导数和单调区间，可得最小值大于0；证明x ﹣lnx﹣1≥0．设p（x）=x﹣lnx﹣1，求得导数和单调区间，可得最小值大于0，即可得证；思路3：先证明e x﹣lnx＞2．：因为曲线y=e x与曲线y=lnx的图象关于直线y=x对称，结合点到直线的距离公式，求得两曲线上的点的距离AB＞2，即可得证；证法二：因为f（x）=me x﹣lnx﹣1，要证明f（x）＞1，只需证明me x﹣lnx﹣2＞0．思路1：设g（x）=me x﹣lnx﹣2，求得导数和单调区间，求得最小值，证明大于0，即可得证；思路2：先证明e x≥x+1（x∈R），且lnx≤x+1（x＞0）．设F（x）=e x﹣x﹣1，求得导数和单调区间，可得最小值大于0，再证明me x﹣lnx﹣2＞0，运用不等式的性质，即可得证．【解答】（Ⅰ）解：当m=1时，f（x）=e x﹣lnx﹣1，所以．…所以f（1）=e﹣1，f'（1）=e﹣1．…所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣（e﹣1）=（e﹣1）（x﹣1）．即y=（e﹣1）x．…（Ⅱ）证法一：当m≥1时，f（x）=me x﹣lnx﹣1≥e x﹣lnx﹣1．要证明f（x）＞1，只需证明e x﹣lnx﹣2＞0．…以下给出三种思路证明e x﹣lnx﹣2＞0．思路1：设g（x）=e x﹣lnx﹣2，则．设，则，所以函数h （x ）=在（0，+∞）上单调递增．…因为，g'（1）=e ﹣1＞0，所以函数在（0，+∞）上有唯一零点x 0，且．…因为g'（x 0）=0时，所以，即lnx 0=﹣x 0．…当x ∈（0，x 0）时，g'（x ）＜0；当x ∈（x 0，+∞）时，g'（x ）＞0．所以当x=x 0时，g （x ）取得最小值g （x 0）．… 故．综上可知，当m ≥1时，f （x ）＞1．… 思路2：先证明e x ≥x+1（x ∈R ）．… 设h （x ）=e x ﹣x ﹣1，则h'（x ）=e x ﹣1．因为当x ＜0时，h'（x ）＜0，当x ＞0时，h'（x ）＞0，所以当x ＜0时，函数h （x ）单调递减，当x ＞0时，函数h （x ）单调递增．所以h （x ）≥h （0）=0．所以e x ≥x+1（当且仅当x=0时取等号）．… 所以要证明e x ﹣lnx ﹣2＞0，只需证明（x+1）﹣lnx ﹣2＞0．… 下面证明x ﹣lnx ﹣1≥0．设p （x ）=x ﹣lnx ﹣1，则．当0＜x ＜1时，p'（x ）＜0，当x ＞1时，p'（x ）＞0，所以当0＜x ＜1时，函数p （x ）单调递减，当x ＞1时，函数p （x ）单调递增．所以p （x ）≥p （1）=0．所以x ﹣lnx ﹣1≥0（当且仅当x=1时取等号）．… 由于取等号的条件不同，所以e x ﹣lnx ﹣2＞0．综上可知，当m ≥1时，f （x ）＞1．…（若考生先放缩lnx ，或e x 、lnx 同时放缩，请参考此思路给分！）思路3：先证明e x ﹣lnx ＞2．因为曲线y=e x 与曲线y=lnx 的图象关于直线y=x 对称，设直线x=t （t ＞0）与曲线y=e x ，y=lnx 分别交于点A ，B ，点A ，B 到直线y=x 的距离分别为d 1，d 2，则．其中，（t ＞0）．①设h （t ）=e t ﹣t （t ＞0），则h'（t ）=e t ﹣1．因为t ＞0，所以h'（t ）=e t ﹣1＞0．所以h （t ）在（0，+∞）上单调递增，则h （t ）＞h （0）=1．所以．②设g （t ）=t ﹣lnt （t ＞0），则．因为当0＜t ＜1时，g'（t ）＜0；当t ＞1时，g'（t ）＞0，所以当0＜t ＜1时，g （t ）=t ﹣lnt 单调递减；当t ＞1时，g （t ）=t ﹣lnt 单调递增．所以g （t ）≥g （1）=1．所以．所以．综上可知，当m ≥1时，f （x ）＞1．… 证法二：因为f （x ）=me x ﹣lnx ﹣1，要证明f （x ）＞1，只需证明me x ﹣lnx ﹣2＞0．… 以下给出两种思路证明me x ﹣lnx ﹣2＞0．思路1：设g （x ）=me x ﹣lnx ﹣2，则．设，则．所以函数h （x ）=在（0，+∞）上单调递增．…因为，g'（1）=me ﹣1＞0，所以函数在（0，+∞）上有唯一零点x 0，且．…因为g'（x 0）=0，所以，即lnx 0=﹣x 0﹣lnm ．…当x ∈（0，x 0）时，g'（x ）＜0；当x ∈（x 0，+∞）时，g'（x ）＞0．所以当x=x 0时，g （x ）取得最小值g （x 0）．…故．综上可知，当m≥1时，f（x）＞1．…思路2：先证明e x≥x+1（x∈R），且lnx≤x+1（x＞0）．…设F（x）=e x﹣x﹣1，则F'（x）=e x﹣1．因为当x＜0时，F'（x）＜0；当x＞0时，F'（x）＞0，所以F（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增．所以当x=0时，F（x）取得最小值F（0）=0．所以F（x）≥F（0）=0，即e x≥x+1（当且仅当x=0时取等号）．…由e x≥x+1（x∈R），得e x﹣1≥x（当且仅当x=1时取等号）．…所以lnx≤x﹣1（x＞0）（当且仅当x=1时取等号）．…再证明me x﹣lnx﹣2＞0．因为x＞0，m≥1，且e x≥x+1与lnx≤x﹣1不同时取等号，所以me x﹣lnx﹣2＞m（x+1）﹣（x﹣1）﹣2=（m﹣1）（x+1）≥0．综上可知，当m≥1时，f（x）＞1．…请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．【选修4-1：几何证明选讲】22．如图所示，△ABC内接于⊙O，直线AD与⊙O相切于点A，交BC的延长线于点D，过点D作DE∥CA交BA的延长线于点E．（I）求证：DE2=AE•BE；（Ⅱ）若直线EF与⊙O相切于点F，且EF=4，EA=2，求线段AC的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）推导出△AED∽△DEB，由此能证明DE2=AE•BE．（Ⅱ）由切割线定理得EF2=EA•EB，由DE∥CA，得△BAC∽△BED，由此能求出AC．【解答】证明：（Ⅰ）∵AD是⊙O的切线，∴∠DAC=∠B，∵DE∥CA，∴∠DAC=∠EDA，∴∠EDA=∠B，∵∠AED=∠DEB，∴△AED∽△DEB，∴，∴DE2=AE•BE．解：（Ⅱ）∵EF是⊙O的切线，EAB是⊙O割线，∴EF2=EA•EB，∵EF=4，EA=2，∴EB=8，AB=EB﹣EA=6，由（Ⅰ）知DE2=AE•BE，∴DE=4，∵DE∥CA，∴△BAC∽△BED，∴，∴AC==．选修4-4：坐标系与参数方程23．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点0为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈[0，2π）．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）在曲线C上求一点D，使它到直线l：，（t为参数，t∈R）的距离最短，并求出点D的直角坐标．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）利用可把圆C的极坐标方程化为普通方程．（II）消去参数把直线l的参数方程化为普通方程，求出圆心C到直线l的距离d，得出直线与圆的位置关系即可得出．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈[0，2π），即ρ2=2ρsinθ，化为x2+y2﹣2y=0，配方为x2+（y﹣1）2=1．（2）曲线C的圆心C（0，1），半径r=1．直线l：，（t为参数，t∈R）化为普通方程：﹣y﹣1=0，可得圆心C到直线l的距离d==1=0，∴直线l与圆C相切，其切点即为所求．联立，解得D．选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）=|x+|﹣|x﹣|．（I）当a=1时，求不等式f（x）≥的解集；（Ⅱ）若对任意a∈[0，1]，不等式f（x）≥b的解集为空集，求实数b的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（I）当a=1时，利用绝对值的意义求得不等式的解集．（Ⅱ）由题意可得b大于f（x）的最大值．再根据绝对值的意义可得f（x）的最大值为1，可得实数b的范围．【解答】解：（I）当a=1时，不等式f（x）≥，即|x+1|﹣|x|≥，即数轴上的x对应点到﹣1对应点的距离减去它到原点的距离大于，而﹣0.25对应点到﹣1对应点的距离减去它到原点的距离正好等于，故|x+1|﹣|x|≥的解集为{x|x≥﹣0.25}．（Ⅱ）若对任意a∈[0，1]，不等式f（x）≥b的解集为空集，则b大于f（x）的最大值．而由绝对值的意义可得f（x）的最大值为1，故实数b＞1．。

2020年广东省湛江市高考数学一模试卷(文科) (含答案解析)

2020年广东省湛江市高考数学一模试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 设集合，B ={x|x ≥2}，则A ∩B =( )A. [2,4)B. {2,4}C. {3}D. {2,3}2. 若复数z =i1+i (i 为虚数单位)，则z ⋅z =( )A. 12iB. −14C. 14D. 123. 设a =0.512，b =0.812，c =log 20.5则( )A. c <b <aB. c <a <bC. a <b <cD. b <a <c4. 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，深受人们喜爱．如图即是一副窗花，是把一个边长为12的大正方形在四个角处都剪去边长为1的小正方形后剩余的部分，然后在剩余部分中的四个角处再剪出边长全为1的一些小正方形．若在这个窗花内部随机取一个点，则该点不落在任何一个小正方形内的概率是( )A. 37B. 47C. 57D. 675. 已知等差数列{a n }中，且a 4+a 12=10，则前15项和S 15=( )A. 15B. 20C. 21D. 756. 已知函数f(x)={(110)x ,x ≤10−lg(x +2),x >10，若f(8−m 2)<f(2m)，则实数m 的取值范围是( )A. (−4,2)B. (−4,1)C. (−2,4)D. (−∞,−4)∪(2,+∞)7. 已知向量a ⃗ =(2,1),a ⃗ ⋅(a ⃗ −b ⃗ )=15，则b ⃗ 在a⃗ 方向上的投影为( ) A. 10 B. −10 C. 2√5 D. −2√58. 设a ，b 是两条直线，α，β是两个平面，则“a ⊂α，b ⊥β，α//β”是“a ⊥b ”的( )A. 必要不充分条件B. 充要条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件9. 设函数f(x)是定义在R 上的奇函数，满足f(x +1)=−f(x −1)，若f(−1)>1，f(5)=a 2−2a −4，则实数a 的取值范围是( )A. (−1,3)B. (−∞,−1)∪(3,+∞)C. (−3,1)D. (−∞,−3)∪(1,+∞)10. 在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，△ABC 是等边三角形，AA 1⊥平面ABC ，AB =2，AA 1=√2，则异面直线AB 1和BC 1所成角的正弦值为( )A. 1B. √77C. 12D. √3211. 已知F 1，F 2为双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，过点F 2作此双曲线一条渐近线的垂线，垂足为M ，且满足|MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3|MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，则此双曲线的离心率是( )A. √2B. √52C. √5D. √6212. 已知函数f(x)=√3sinωx +cosωx(ω>0)，y =f(x)的图象与x 轴两个相邻交点的距离等于π2，则f(x)的单调递增区间是( )A. [kπ−π12,kπ+5π12]，k ∈Z B. [kπ+5π12,kπ+11π12],k ∈ ZC. [kπ−π3,kπ+π6],k ∈ ZD. [kπ+π6,kπ+2π3],k ∈ Z二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若一组样本数据1，2，a ，9的平均数为4，则该组数据的中位数______ ． 14. 设实数x ，y 满足{x +y ≥2,2x −y ≤4,y ≤4,则x −2y 的最大值等于________． 15. 已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1=2a n +1，b n =a n +1，n ∈N ∗，则{b n }的通项公式b n =________．16. 已知抛物线C ：x =ay 2的准线为l ：x =−1，则其焦点为________；设直线lˈ：y =3x +4，过抛物线C 上一点P 作l 和lˈ的垂线，垂足分别为M ，N ，则|PM|+|PN|的最小值为________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，在△ABC中，已知，D是BC边上的一点，AD=5,AC=7,DC=3(1)求△ADC的面积；(2)求边AB的长．18.如图，三棱柱ABC−A1B1C1的侧面ABB1A1为正方形，BC=B1C，∠CBB1=45°，D是AB的中点，(1)求证：AC1//平面B1CD；(2)若AB⊥B1C，AB=2，求三棱柱ABC−A1B1C1的体积．19.研究机构对某校学生往返校时间的统计资料表明：该校学生居住地到学校的距离x(单位：千米)和学生花费在上学路上的时间y(单位：分钟)有如下的统计资料：如果统计资料表明y 与x 有线性相关关系，试求：(1)判断y 与x 是否有很强的线性相关性？(相关系数r 的绝对值大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性，精确到0.01)(2)求线性回归方程y ̂=b ̂x +a ̂(精确到0.01)；(3)将ŷ<27分钟的时间数据y i ̂称为美丽数据，现从这6个时间数据y i ̂中任取2个，求抽取的2个数据全部为美丽数据的概率．参考数据：∑y i 6i=1=175.4，∑x i 6i=1y i =764.36，∑(x i −x )6i=1(y i −y )=80.30,∑(x i −x )26i=1=14.30，∑(6i=1y i −y)2=471.65，√∑(6i=1x i −x)2(y i −y)2=82.13．参考公式：r =i −x )6i=1i −y )√∑(x i −x )2i=1(y i −y)2，b ̂=i −x )6i=1i −y )∑(x −x )26．20. 设A 是圆O ：x 2+y 2=16上的任意一点，l 是过点A 且与x 轴垂直的直线，B 是直线l 与x 轴的交点，点Q 在直线l 上，且满足4|BQ|=3|BA|.当点A 在圆O 上运动时，记点Q 的轨迹为曲线C ． (1)求曲线C 的方程；(2)已知直线y =kx −2(k ≠0)与曲线C 交于M ，N 两点，点M 关于y 轴的对称点为M′，设P(0,−2)，证明：直线M′N 过定点，并求△PM′N 面积的最大值．21.已知函数．(1)求函数f(x)的图象在点(1,f(1))处切线的方程；x2−4x的极值；(2)讨论函数g(x)=f(x)+32(3)若f(x)≤m(x2−1)对任意的x∈[1,+∞)成立，求实数m的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=√2t(t为参数).以坐标原点O为极点，x轴的正y=t2半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsinθ=4，M为曲线C2上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|⋅|OP|=16.(Ⅰ)求点P的轨迹C3的直角坐标方程；(Ⅱ)设C1与C3的交点为A，B，求△AOB的面积．23.已知f(x)=|x−1|+|x+2|．(Ⅰ)解不等式f(x)≥5；(Ⅱ)若关于x的不等式f(x)>a2−2a对任意的x∈R恒成立，求a的取值范围．【答案与解析】1.答案：D解析：本题考查了集合的交集运算，属于基础题．直接根据交集的运算得出答案即可．解：因为，B ={x|x ≥2}，所以A ∩B ={2,3}．故选D ．2.答案：D解析：解：∵z =i1+i =i(1−i)(1+i)(1−i)=12+12i ， ∴z ⋅z −=|z|2=(√(12)2+(−12)2)2=12．故选：D ．利用复数代数形式的乘除运算化简z ，再由z ⋅z −=|z|2求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.答案：B解析：本题主要考查了指数与指数幂的运算，对数与对数运算，比较大小的应用，解题的关键是熟练掌握指数与指数幂的运算，对数与对数运算．根据已知及指数与指数幂的运算，对数与对数运算，比较大小的判断，可知a ，b ，c 的大小关系．解：∵a =√0.5>0，b =√0.8>0，c =log 20.5<0，且√0.8>√0.5， ∴c <a <b ．故选B ．4.答案：D解析：本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．根据题意，计算窗花的面积的面积，利用几何概率的计算公式求解即可．属于一般题．解：窗花的面积为122−4×1=140，其中小正方形的面积为5×4=20，所以所求概率P=140−20140=67．故选D．5.答案：D解析：本题考查了等差数列的通项公式及其性质、求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．等差数列{a n}的性质可得：a1+a15=a4+a12=10，再利用求和公式即可得出．解：由等差数列{a n}的性质可得：a1+a15=a4+a12=10，∴前15项和S15=15(a1+a15)2=15×102=75．故选：D．6.答案：A解析：本题主要考查分段函数的应用，考查对数函数等的性质，根据函数单调性的性质求解即可.属基础题．解：∴函数f(x)在R上单调递减，由f(8−m2)<f(2m)，得：8−m2>2m，解得：−4<m<2．故选A．7.答案：D解析：本题考查平面向量的投影，根据平面向量的投影公式直接计算即可，属基础题．解：因为向量a⃗=(2,1), a⃗⃗⃗ ⋅(a⃗−b⃗ )=15，所以| a⃗⃗⃗ |2−a⃗·b⃗ =15，解得a⃗·b⃗ =−10则b⃗ 在a⃗方向上的投影为a⃗ ·b⃗|a⃗|=√5=−2√5，故选D．8.答案：C解析：根据空间直线和平面的位置关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据空间直线和平面的位置关系是解决本题的关键．解：若α//β，则当b⊥β时，b⊥α，∵a⊂α，∴a⊥b成立，即充分性成立，若a⊥b，则a⊂α，b⊥β，α//β不一定成立，即必要性不成立，则“a⊂α，b⊥β，α//β”是“a⊥b”的充分不必要条件，故选：C9.答案：A解析：本题考查函数的周期性和奇偶性，涉及不等式的解法，属基础题．由f(x+1)=−f(x−1)，可得f(x+ 4)=−f(x+2)=f(x)，即函数f(x)的周期为4，由f(x)是奇函数，f(−1)=−f(1)，可知f(5)= f(1)<−1，解不等式a2−2a−4<−1，即可得答案．解：由f(x+1)=−f(x−1)，可得f(x+2)=−f(x)，则f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，故函数f(x)的周期为4，则f(5)=f(1)=a2−2a−4，又∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(−1)>1，∴f(1)<−1．∴a2−2a−4<−1，解得−1<a<3．∴实数a的取值范围是(−1,3)．故选：A ．10.答案：A解析：本题考查异面直线所成角的正弦值的求法，是中档题．作BD//AB 1交A 1B 1的延长线于D ，连接DC 1，则∠DBC 1就是异面直线AB 1和BC 1所成的角(或其补角)，由此能求出异面直线AB 1和BC 1所成的角的正弦值．解：如图，作BD//AB 1交A 1B 1的延长线于D ，连接DC 1，则∠DBC 1就是异面直线AB 1和BC 1所成的角(或其补角)，由已知得：BD =AB 1=√22+(√2)2=√6， BC 1=√BC 2+CC 12=√22+(√2)2=√6，C 1D =√B 1C 12+B 1D 2−2B 1C 1·B 1Dcos∠C 1B 1D =2√3，则BD 2+BC 12=C 1D 2，故∠DBC 1=90°，所以异面直线AB 1和BC 1所成的角为直角，正弦值为1．故选：A ．11.答案：D解析：本题考查双曲线的离心率的求法，解题时要认真审题，注意余弦定理的合理运用，考查运算能力，属于中档题．由点到直线的距离公式可得|MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=b ，则|MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3b ，cos∠F 1OM =−a c，由此利用余弦定理可得a ，b 的关系，进而得到a ，c 的关系，由离心率公式计算即可得到所求值．解：由F 2(c,0)到渐近线y =b a x 的距离为d =√a 2+b 2=b即有|MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=b ，则|MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3b ，在△MF 1O 中，|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=a ，|OF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=c ，cos∠F 1OM =−cos∠F 2OM =−a c ，由余弦定理可知a 2+c 2−9b 22ac =−ac ，又c 2=a 2+b 2，化简可得a 2=2b 2，即有c 2=a 2+b 2=32a 2，即有e =c a =√62．故选：D ．12.答案：C解析：解：函数f(x)=√3sinωx +cosωx =2sin(ωx +π6)，因为y =f(x)的图象与x 轴两个相邻交点的距离等于π2，函数的周期T =π，所以ω=2，所以f(x)=2sin(2x +π6)，因为2kπ−π2≤2x +π6≤π2+2kπ，k ∈Z ，解得x ∈[kπ−π3,kπ+π6]，k ∈Z即函数的单调增区间为：[kπ−π3,kπ+π6]，k ∈Z故选：C ．化简函数f(x)=√3sinωx +cosωx 为f(x)=2sin(ωx +π6)，y =f(x)的图象与x 轴两个相邻交点的距离等于π2，求出函数的周期，推出ω，得到函数解析式，利用正弦函数的单调增区间求出函数的单调增区间．本题是基础题，考查由y =Asin(ωx +φ)的部分图象确定其解析式，注意函数的周期的求法，考查计算能力，正弦函数的单调增区间的求法，常考题型．13.答案：3解析：先根据平均数的定义求出a的值，然后根据中位数的定义求解．本题考查了平均数与中位数的定义，属于基础题．解：由题意可知，(1+2+a+9)÷4=4，a=4，这组数据从小到大排列1，2，4，9，∴中位数是2+42=3．故答案为：3．14.答案：2解析：本题主要考查简单线性规划.作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．解：设z=x−2y得y=12x−z2，作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分):平移直线y=12x−z2，由图象可知当直线y=12x−z2过点B(2,0)时，直线y=12x−z2的截距最小，此时z最大，代入目标函数z=x−2y，得z=2．∴目标函数z=x−2y的最大值是2．故答案为2．15.答案：2n解析：本题考查数列的递推关系式、等比数列的判定以及等比数列的通项公式，题目比较基础．由已知求得a n+1+1=2(a n+1)，即b n+1=2b n，可得{b n}为等比数列，首项b1=a1+1=2，公比为2，故b n =2n ，问题得解．解：因为a n+1=2a n +1，所以a n+1+1=2(a n +1)，即b n+1=2b n ，所以b n+1b n =2，所以{b n }为等比数列，首项b 1=a 1+1=2，公比为2，所以b n =2n ．故答案为2n ．16.答案：(1,0)；7√1010解析：本题主要考查了抛物线的简单性质，点到直线距离公式的应用，属于中档题．先由准线方程得出焦点坐标，点P 到准线的距离等于点P 到焦点F 的距离，过焦点F 作直线3x −y +4=0的垂线，此时|PM|+|PN|最小，根据抛物线方程求得F ，进而利用点到直线的距离公式求得|PM|+|PN|的最小值．解：抛物线C ：x =ay 2的准线为l ：x =−1，则其焦点为(1,0)，点P 到准线的距离等于点P 到焦点F 的距离，过焦点F 作直线3x −y +4=0的垂线，此时|PM|+|PN|最小，∵F(1,0)，则|PM|+|PN|=√32+(−1)2=7√1010，故答案为(1,0)；7√1010． 17.答案：解：(1)在ΔADC 中，由余弦定理，得=52+32−722×5×3=−12， ∵∠ADC 为三角形的内角，∴∠ADC =120∘，∴sin∠ADC=√32，=12×5×3×√32=15√34．(2)在ΔABD中，∠ADB=60∘，由正弦定理得：ABsin∠ADB =ADsinB，∴AB=512×√32=5√3．解析：本题主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式，属于中档题．(1)先由余弦定理求出∠ADC，利用三角形面积公式SΔADC=12AD⋅DC⋅sin∠ADC即可求出结果．(2)利用正弦定理即可求出结果．18.答案：(1)证明：连接BC1，交B1C于点O，连接OD，∵四边形BB1C1C为平行四边形，∴O为BC1的中点，又D为AB的中点，∴OD//AC1，∵OD⊂平面B1CD，AC1⊄平面B1CD，∴AC1//平面B1CD；(2)解：由侧面ABB1A1为正方形，知AB⊥BB1，又AB⊥B1C，BB1∩B1C=B1，BB1、B1C在平面BB1C1C内，∴AB⊥平面BB1C1C，∵AB⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面BB1C1C，在△BB1C中，BC=B1C，∠CBB1=45°，∴B1C⊥BC，∵B1C⊂平面BB1C1C，平面ABC∩平面BB1C1C=BC，∴B 1C ⊥平面ABC ，即B 1C 为三棱柱ABC −A 1B 1C 1的高，∵AB ⊥平面BB 1C 1C ，BC ⊂平面BB 1C 1C ，∴AB ⊥BC ，由AB =BB 1=2，侧面ABB 1A 1为正方形，得BC =B 1C =√2，∴S △ABC =12×2×√2=√2，∴三棱柱ABC −A 1B 1C 1的体积V =√2×√2=2．解析：本题考查平面与平面平行的判定，训练了多面体体积的求法，是基础题．(1)连接BC 1，交B 1C 于点O ，连接OD ，由已知可得OD//AC 1，再由线面平行的判定可得AC 1//平面B 1CD ；(2)证明AB ⊥平面BB 1C 1C ，可得平面ABC ⊥平面BB 1C 1C ，再证明B 1C ⊥平面ABC ，即B 1C 为三棱柱ABC −A 1B 1C 1的高，然后由已知结合棱柱体积公式求三棱柱ABC −A 1B 1C 1的体积．19.答案：解：(1)由题知，x =16∑x i 6i=1=3.9,y =16∑y i 6i=1=29.23， ∴r =i −x )6i=1i −y )√∑(x i −x )2i=1(y i −y )2=80.3082.13≈0.98，∴y 与x 有很强的线性相关性．(2)依题意得x =16∑x i 6i=1=3.9,y =16∑y i 6i=1=29.23，∑(x i −x )6i=1(y i −y )=80.30,∑(x i −x )26i=1=14.30， ∴b ̂=i −x )6i=1i −y )∑(x −x )26=80.3014.30≈5.62，又∵a ̂=y −b̂x =29.23−5.62×3.9≈7.31，故线性回归方程为ŷ=5.62x +7.31． (3)由(2)可知，当x =3.1时，y 3̂=24.732<27，当x =4.3时，y 4̂=31.476>27，∴满足ŷ<27分钟的美丽数据共有3个，设3个美丽数据为a 、b 、c ，另3个不是美丽数据为A 、B 、C ，则从6个数据中任取2个共有15种情况，即aA ，aB ，aC ，bA ，bB ，bC ，cA ，cB ，cC ，AB ，AC ，BC ，ab ，ac ，bc ，其中，抽取到的数据全部为美丽数据的有3种情况，即ab ，ac ，bc ，，∴从这6个数据y i ̂中任取2个，抽取的2个数据全部为美丽数据的概率为P =15．解析：本题主要考查回归方程相关问题，属于基础题．(1)求出相关系数，然后根据题意和0.75比较确定y 与x 是否有很强的线性相关性即可．(2)根据公式求出回归方程即可．(3)列举出所有的基本事件，然后求出概率即可．20.答案：解：(1)设Q(x,y)，A(x 0,y 0)，∵4|BQ|=3|BA|，Q 在直线l 上，∴x 0=x ，|y 0|=43|y|.①∵点A 在圆x 2+y 2=16上运动，∴x 02+y 02=16.② 将①式代入②式即得曲线C 的方程为x 216+y 29=1．证明：(2)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，则M′(−x 1,y 1)，联立{x 216+y 29=1y =kx −2，得(16k 2+9)x 2−64kx −80=0，Δ>0， ∴x 1+x 2=64k16k 2+9，x 1x 2=−8016k 2+9．∵直线M′N 的斜率k M′N =y 2−y1x 2+x 1，∴直线M′N 的方程为y −y 1=y 2−y1x 2+x 1(x +x 1). 令x =0，得y =y 2x 1+y 1x 2x 2+x 1=(kx 2−2)x 1+(kx 1−2)x 2x 2+x 1 =2kx 1x 2x 2+x 1−2=−92，∴直线M′N 过定点D(0,−92).△PM′N 面积S △PM ‘N =12|PD|⋅|x 1+x 2|=54×|64k 16k 2+9|=8016|k |+9|k |≤2√16k ×|k |=103，当且仅当16|k|=9|k |，即k =±34时取等号，∴△PM′N 面积的最大值为103．解析：本题考查曲线方程的求法，考查直线过定点的证明，考查三角形的面积的最大值的求法，考查椭圆、直线方程、韦达定理、三角形面积公式、均值不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是较难题．(1)点A在圆x2+y2=16上运动，引起点Q的运动，我们可以由4|BQ|=3|BA|，得到点A和点Q 坐标之间的关系式，并由点A的坐标满足圆的方程得到点Q坐标所满足的方程；(2)设M(x1,y1)，N(x2,y2)，则M′(−x1,y1)，联立{x216+y29=1y=kx−2，得(16k2+9)x2−64kx−80=0，利用直线的斜率，求直线M′N的方程，即可求得直线M′N所过定点，并求出△PM′N面积的最大值．21.答案：解：(1)因为，所以，所以f′(1)=1．又f(1)=0，所以函数f(x)的图象在点(1,f(1))处切线的方程为y−0=1×(x−1)，即x−y−1=0．(2)因为，所以g′(x)=lnx+1+3x−4=lnx+3(x−1).令，得x=1，.因为0<x<1时，g′(x)<0，x>1时，g′(x)>0，所以函数g(x)在x=1处取得极小值，极小值为g(1)=−52．不存在极大值．(3)据题意，得xlnx≤m(x2−1)对任意的x∈[1,+∞)成立，即lnx≤m(x−1x)对任意的x∈[1,+∞)成立．令ℎ(x)=lnx−m(x−1x)(x≥1)，所以ℎ′(x)=1x −m(1+1x2)=−mx2+x−mx2，当m≤0时，ℎ′(x)>0，此时ℎ(x)在[1,+∞)上单调递增.又ℎ(1)=0，所以当x>1时，ℎ(x)>0，这与ℎ(x)≤0对任意的x∈[1,+∞)恒成立矛盾；当m>0时，二次方程−mx2+x−m=0的判别式Δ=1−4m2．若Δ≤0，解得m≥12，此时ℎ′(x)≤0，ℎ(x)在[1,+∞)上单调递减．又ℎ(1)=0，所以当x≥1时，ℎ(x)≤0，满足题设；若Δ>0，解得0<m<12，此时关于x 的方程−mx 2+x −m =0的两实数根是x 1=1−√1−4m 22m ，x 2=1+√1−4m 22m ，其中x 1<1，x 2>1．又分析知，函数ℎ(x )在区间(x 1,x 2)上单调递增，ℎ(1)=0，所以当x ∈(1,x 2)时，ℎ(x )>0，不符合题设．综上，所求实数m 的取值范围是[12,+∞)．解析：本题考查了利用导数研究函数的单调性和极值以及利用导数研究曲线上某点切线方程的知识点．(1)对原函数求导，得到f′(x )=lnx +1，再利用点斜式方程即可得解；(2)由题意得0<x <1时，g′(x)<0，x >1时，g′(x)>0 ，函数g(x)在x =1处取得极小值，极小值为g(1)=−52；(3)原问题转化为对任意的x ∈[1,+∞)成立，构造函数，讨论m 的范围，利用导数研究函数的最值，即可得解． 22.答案：解：(Ⅰ)根据题意，设M(ρ0,θ0)，P(ρ,θ)，则|OM|=ρ0，|OP|=ρ，易知ρ≠0．由题意，得{ρρ0=16ρ0sinθ0=4θ=θ0，解得ρ=4sinθ．故轨迹C 3的直角坐标方程为x 2+(y −2)2=4(y ≠0)．(Ⅱ)将曲线C 1的参数方程{x =√2t y =t 2(t 为参数)，转化为普通方程为y =x 22．联立{x 2+(y −2)2=4(y ≠0)y =x 22，可得A(2,2)，B(−2,2)．所以|AB|=4，所以S △AOB =12×2×|AB|=4．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，三角形面积公式的应用，属于基础题型．(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(Ⅱ)将参数方程化为直角坐标方程，联立方程求解交点坐标，从而可得出面积．23.答案：解：(Ⅰ)当x<−2时，f(x)=−(x−1)−(x+2)=−2x−1，由f(x)≥5解得x≤−3；当−2≤x<1时，f(x)=−(x−1)+(x+2)=3≥5不成立；当x≥1时，f(x)=(x−1)+x+2=2x+1≥5解得x≥2，综上有f(x)≥5的解集是(−∞,−3]∪[2,+∞)；(2)因为|x−1|+|x+2|≥|(x−1)−(x+2)|=3，所以f(x)的最小值为3，要使得关于x的不等式f(x)>a2−2a对任意的x∈R恒成立，只需a2−2a<3解得−1<a<3，故a的取值范围是(−1,3)．解析：(Ⅰ)利用绝对值的意义，分类讨论，即可解不等式f(x)≥5；(Ⅱ)因为|x−1|+|x+2|≥|(x−1)−(x+2)|=3，所以f(x)的最小值为3，要使得关于x的不等式f(x)>a2−a对任意的x∈R恒成立，只需a2−2a<3解得a的取值范围．本题考查不等式的解法，考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．。

2020年广东省高考数学一模试卷(文科) (含解析)

2020年广东省高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共12小题）1．已知集合A，B均为全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}的子集，集合A＝{1，2，3，4}，则满足A∩∁U B＝{1，2}的集合B可以是（）A．{1，2，3，4}B．{1，2，7}C．{3，4，5，6}D．{1，2，3}2．复数z=4+3i3−4i（i为虚数单位）的虚部为（）A．﹣1B．2C．5D．13．已知向量a→=(12，−1)向量b→满足2a→+b→=（﹣1，m），若a→⊥b→，则m＝（）A．﹣3B．3C．1D．24．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分别为A，B，若四边形AF2BF1是正方形且面积为4，则椭圆C的方程为（）A．x24+y22=1B．x22+y2=1C．x23+y22=1D．x24+y23=15．如图，△OAB是边长为2的正三角形，记△OAB位于直线x＝t（0＜t≤2）左侧的图形的面积为f（t），则y＝f（t）的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．6．若sin(π+α)=√23，则sin(2α−π2)的值为（）A ．−19B ．−59C ．19D ．597．甲、乙两人分别从4种不同的图书中任选2本阅读，则甲、乙两人选的2本恰好相同的概率为（）A ．14B ．13C ．16D ．1368．某广场设置了一些石凳子供大家休息，这些石凳子是由正方体沿各棱的中点截去八个一样的正三棱锥后得到的．如果被截正方体的棱长为40cm ，则石凳子的体积为（）A ．1920003cm 3B ．1600003cm 3C ．160003cm 3D ．640003cm 39．执行如图的程序框图，若输出A 的值为70169，则输入i 的值为（）A ．4B ．5C ．6D ．710．已知O 是坐标原点，双曲线C ：x 2a −y 2b =1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，过点F 的直线l 与x 轴垂直，且交双曲线C 于A ，B 两点，若△ABO 是等腰直角三角形，则双曲线C 的离心率为（） A ．√5+12B ．√5−12C ．√5−1D ．√5+111．在△ABC 中，已知A ＝60°，D 是边BC 上一点，且BD ＝2DC ，AD ＝2，则△ABC 面积的最大值为（） A ．√3B ．32√3C ．2√3D ．52√312．已知f （x ）是定义在（−π2，π2）上的奇函数，f （1）＝0，且当x ∈（0，π2）时，f （x ）+f ′（x ）tan x ＞0，则不等式f （x ）＜0的解集为（） A ．（﹣1，0）∪（1，π2）B ．（﹣1，0）∪（0，1）C ．（−π2，﹣1）∪（1，π2） D ．（−π2，﹣1）∪（0，1）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．设函数f （x ）＝mx 2lnx ，若曲线y ＝f （x ）在点（e ，f （e ））处的切线与直线ex +y +2020＝0平行，则m ＝．14．若x ，y 满足约束条件{|x −y|≤1|x|≤2，则z ＝2x +y 的最大值为．15．如图，已知三棱锥P ﹣ABC 满足PA ＝PB ＝PC ＝AB ＝2，AC ⊥BC ，则该三棱锥外接球的体积为．16．函数f（x）＝sinπx+a cosπx满足f（x）＝f（13−x），x∈[0，32]，方程f（x）﹣m＝0恰有两个不等的实根，则实数m的取值范围为．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知{a n}为单调递增的等差数列，设其前n项和为S n，S5＝﹣20，且a3，a5+1，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求S n的最小值及取得最小值时n的值．18．某城市2018年抽样100户居民的月均用电量（单位：千瓦时），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]分组，得到如表频率分布表：分组频数频率[160，180）n10.04[180，200）19f1[200，220）n20.22[220，240）250.25[240，260）150.15[260，280）10f2[280，300]50.05（1）求表中n1，n2，f1，f2的值，并估计2018年该市居民月均用电量的中位数m；（2）该城市最近十年的居民月均用电量逐年上升，以当年居民月均用电量的中位数u（单位：千瓦时）作为统计数据，如图是部分数据的折线图．由折线图看出，可用线性回归模型拟合u与年份t的关系．①为简化运算，对以上数据进行预处理，令x＝t﹣2014，y＝u﹣195，请你在答题卡上完成数据预处理表；②建立u关于t的线性回归方程，预测2020年该市居民月均用电量的中位数．附：回归直线y=b x+a的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b=∑n i=1x i y i−nxy ∑n i=1x i2−nx2，a=y−b x．19．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1，D是AB的中点，E是C1C的中点，且AB＝1，AA1＝2．（1）证明：CD∥平面A1EB；（2）求点A1到平面BDE的距离．20．动圆C与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1，x2是方程x2+2mx﹣4＝0的两根．（1）若线段AB是动圆C的直径，求动圆C的方程；（2）证明：当动圆C过点M（0，1）时，动圆C在y轴上截得弦长为定值．21．已知函数f（x）＝e x+（m﹣e）x﹣mx2．（1）当m＝0时，求函数f（x）的极值；（2）当m＜0时，证明：在（0，1）上f（x）存在唯一零点．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ﹣2ρsinθ＝1．若P为曲线C1上的动点，Q是射线OP上的一动点，且满足|OP|•|OQ|＝2，记动点Q的轨迹为C2．（1）求C2的直角坐标方程；（2）若曲线C1与曲线C2交于M，N两点，求△OMN的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f(x)=|x−k|+12|x+3|−2(k∈R)．（1）当k＝1时，解不等式f（x）≤1；（2）若f（x）≥x对于任意的实数x恒成立，求实数k的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A，B均为全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}的子集，集合A＝{1，2，3，4}，则满足A∩∁U B＝{1，2}的集合B可以是（）A．{1，2，3，4}B．{1，2，7}C．{3，4，5，6}D．{1，2，3}【分析】根据题意得出1，2∉B，即可判断结论．解：∵集合A，B均为全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}的子集，集合A＝{1，2，3，4}，要满足A∩∁U B＝{1，2}；则1，2∉B，故符合条件的选项为C．故选：C．【点评】本题考查集合了的交、并、补集的混合运算问题，是基础题．2．复数z=4+3i3−4i（i为虚数单位）的虚部为（）A．﹣1B．2C．5D．1【分析】利用复数的运算法则即可得出．解：∵z=4+3i3−4i=(4+3i)(3+4i)(3−4i)(3+4i)=25i25=i，∴复数z=4+3i3−4i的虚部是1，故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则，属于基础题．3．已知向量a→=(12，−1)向量b→满足2a→+b→=（﹣1，m），若a→⊥b→，则m＝（）A ．﹣3B ．3C ．1D ．2【分析】由题意利用两个向量坐标形式的运算，两个向量垂直的性质、两个向量的数量积公式，求得m 的值．解：向量a →=(12，−1)，向量b →满足2a →+b →=（﹣1，m ），设b →=（ x ，y ），则（1+x ，﹣2+y ）＝（﹣1，m ），∴1+x ＝﹣1，且﹣2+y ＝m ，求得x ＝﹣2，m ＝y ﹣2．若a →⊥b →，则a →⋅b →=x 2−y ＝﹣1﹣y ＝0，故y ＝﹣1，∴m ＝y ﹣2＝﹣3，故选：A ．【点评】本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量垂直的性质、两个向量的数量积公式，属于基础题．4．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，上、下顶点分别为A ，B ，若四边形AF 2BF 1是正方形且面积为4，则椭圆C 的方程为（） A ．x 24+y 22=1B ．x 22+y 2=1C ．x 23+y 22=1D ．x 24+y 23=1【分析】由四边形AF 2BF 1是正方形且面积为4可得b ，c 的值，再由a ，b ，c 之间的关系求出a 的值，进而求出椭圆的面积．解：由AF 2BF 1是正方形可得b ＝c ，再由AF 2BF 1的面积为4可得12•2c •2b ＝4，即bc ＝2，又a 2＝b 2+c 2，解得：a 2＝4，b 2＝2，所以椭圆的方程为：x 24+y 22=1；故选：A ．【点评】本题考查椭圆的性质，及正方形的面积与对角线的关系，属于中档题． 5．如图，△OAB 是边长为2的正三角形，记△OAB 位于直线x ＝t （0＜t ≤2）左侧的图形的面积为f （t ），则y ＝f （t ）的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．【分析】根据面积的变换趋势与t 的关系进行判断即可．解：当0＜x ＜1时，函数的面积递增，且递增速度越来越快，此时，CD ，不合适，当1≤x ≤2时，函数的面积任然递增，且递增速度逐渐变慢，排除A ，故选：B ．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数递增速度与t 的关系是解决本题的关键．难度不大．6．若sin(π+α)=√23，则sin(2α−π2)的值为（）A．−19B．−59C．19D．59【分析】由已知利用诱导公式可求sinα的值，进而利用诱导公式，二倍角的余弦函数公式化简所求即可求解．解：∵sin(π+α)=√23，∴可得sinα=−√23，∴sin(2α−π2)=−cos2α＝2sin2α﹣1＝2×（−√23）2﹣1=−59．故选：B．【点评】本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．7．甲、乙两人分别从4种不同的图书中任选2本阅读，则甲、乙两人选的2本恰好相同的概率为（）A．14B．13C．16D．136【分析】基本事件总数n=C42=6，由此能求出甲、乙两人选的2本恰好相同的概率．解：甲、乙两人分别从4种不同的图书中任选2本阅读，基本事件总数n=C42=6，则甲、乙两人选的2本恰好相同的概率p=1 6．故选：C．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力以及化归与转化思想，是基础题．8．某广场设置了一些石凳子供大家休息，这些石凳子是由正方体沿各棱的中点截去八个一样的正三棱锥后得到的．如果被截正方体的棱长为40cm，则石凳子的体积为（）A ．1920003cm 3B ．1600003cm 3C ．160003cm 3D ．640003cm 3【分析】由正方体的体积减去八个正三棱锥的体积求解．解：如图，正方体AC 1 的棱长为40cm ，则截去的一个正三棱锥的体积为13×12×20×20×20=40003cm 3．又正方体的体积为V ＝40×40×40＝64000cm 3，∴石凳子的体积为64000−8×40003=1600003cm 3，故选：B ．【点评】本题考查多面体体积的求法，考查计算能力，是基础题．9．执行如图的程序框图，若输出A 的值为70169，则输入i 的值为（）A．4B．5C．6D．7【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量A的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：模拟程序的运行，可得A=12，k＝1满足条件1≤i，执行循环体，A=25，k＝2满足条件2≤i，执行循环体，A=512，k＝3满足条件3≤i，执行循环体，A=1229，k＝4满足条件4≤i，执行循环体，A=2970，k＝5满足条件5≤i，执行循环体，A=70 169，k＝6由题意，此时不满足条件6≤i，退出循环，输出A的值为70 169，可得输入i的值为5．故选：B．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．10．已知O是坐标原点，双曲线C：x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F的直线l与x轴垂直，且交双曲线C于A，B两点，若△ABO是等腰直角三角形，则双曲线C的离心率为（）A．√5+12B．√5−12C．√5−1D．√5+1【分析】由双曲线的性质，结合通径以及半焦距，可得a，c的方程，运用离心率公式计算即可得到．解：由题意可知：|AF |=b 2a，双曲线C ：x 2a −y 2b =1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，过点F 的直线l 与x 轴垂直，且交双曲线C 于A ，B 两点，若△ABO 是等腰直角三角形，可得c =b 2a =c 2−a 2a，e ＝e 2﹣1，e ＞1解得e =√5+12．故选：A ．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，同时考查勾股定理的运用，灵活运用双曲线的定义是解题的关键．11．在△ABC 中，已知A ＝60°，D 是边BC 上一点，且BD ＝2DC ，AD ＝2，则△ABC 面积的最大值为（） A ．√3B ．32√3 C ．2√3D ．52√3【分析】先根据向量的三角形法则得到AD →=13AB →+23AC →；对其两边平方，求出bc 的取值范围即可求得结论．解：因为在△ABC 中，已知A ＝60°，D 是边BC 上一点，且BD ＝2DC ，AD ＝2，；∴AD →=AB →+BD →=AB →+23BC →=AB →+23（AC →−AB →）=13AB →+23AC →；∴AD →2=19AB →2+2×13AB →×23AC →+49AC →2；即：4=19c 2+49bc •cos60°+49b 2⇒36＝c 2+2bc +4b 2≥2√c 2⋅4b 2+2bc ＝6bc ；∴bc ≤6，（当且仅当2b ＝c 时等号成立）；∵S △ABC =12bc sin A ≤12×6×√32=3√32．即△ABC 面积的最大值为：3√32．故选：B ．【点评】本题考查△ABC 的面积的求法以及向量知识的综合应用，涉及到基本不等式，属于中档题目．12．已知f （x ）是定义在（−π2，π2）上的奇函数，f （1）＝0，且当x ∈（0，π2）时，f （x ）+f ′（x ）tan x ＞0，则不等式f （x ）＜0的解集为（） A ．（﹣1，0）∪（1，π2）B ．（﹣1，0）∪（0，1）C ．（−π2，﹣1）∪（1，π2） D ．（−π2，﹣1）∪（0，1）【分析】令g （x ）＝f （x ）sin x ，g ′（x ）＝[f （x ）+f ′（x ）tan x ]•cos x ，当x ∈（0，π2）时，根据f （x ）+f ′（x ）tan x ＞0，可得函数g （x ）单调递增．又g （1）＝0，可得x ∈（0，1）时，g （x ）＝f （x ）sin x ＜0，sin x ＜0，解得f （x ）＜0．x ＝0时，f （0）＝0，舍去．根据f （x ）是定义在（−π2，π2）上的奇函数，可得g （x ）是定义在（−π2，π2）上的偶函数．进而得出不等式f （x ）＜0的解集．解：令g （x ）＝f （x ）sin x ，g ′（x ）＝f （x ）cos x +f ′（x ）sin x ＝[f （x ）+f ′（x ）tan x ]•cos x ，当x ∈（0，π2）时，f （x ）+f ′（x ）tan x ＞0，∴g ′（x ）＞0，即函数g （x ）单调递增．又g （1）＝0，∴x ∈（0，1）时，g （x ）＝f （x ）sin x ＜0，sin x ＜0，解得f （x ）＜0． x ＝0时，f （0）＝0，舍去．∵f （x ）是定义在（−π2，π2）上的奇函数，∴g （x ）是定义在（−π2，π2）上的偶函数．∴不等式f （x ）＜0的解集为（﹣1，0）∪（0，1）．故选：B ．【点评】本题考查了利用导数研究的单调性、构造法、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．设函数f （x ）＝mx 2lnx ，若曲线y ＝f （x ）在点（e ，f （e ））处的切线与直线ex +y +2020＝0平行，则m ＝ −13．【分析】求出f （x ）的导数，然后根据切线与直线ex +y +2020＝0平行，得f ′（e ）＝﹣e ，列出关于m 的方程，解出m 的值．解：f ′（x ）＝m （2xlnx +x ），又曲线y ＝f （x ）在点（e ，f （e ））处的切线与直线ex +y +2020＝0平行，∴f ′（e ）＝3em ＝﹣e ，解得m =−13．故答案为：−13．【点评】本题考查导数的几何意义和切线方程的求法，同时考查学生运用方程思想解题的能力和运算能力．14．若x ，y 满足约束条件{|x −y|≤1|x|≤2，则z ＝2x +y 的最大值为 7 ．【分析】先画出线性约束条件表示的可行域，再将目标函数赋予几何意义，最后利用数形结合即可得目标函数的最值．解：画出x ，y 满足约束条件{|x −y|≤1|x|≤2，可行域如图阴影部分由{x =2x −y =−1，得A （2，3）目标函数z ＝2x +y 可看做斜率为﹣2的动直线，其纵截距越大z 越大，由图数形结合可得当动直线过点A时，z最大＝2×2+3＝7．故答案为：7．【点评】本题主要考查了线性规划，以及二元一次不等式组表示平面区域的知识，数形结合的思想方法，属于基础题．15．如图，已知三棱锥P﹣ABC满足PA＝PB＝PC＝AB＝2，AC⊥BC，则该三棱锥外接球的体积为3227√3π．【分析】因为AC⊥BC，所以△ABC的外接圆的圆心为斜边AB的中点D，再由PA＝PB ＝PC可得球心O在直线PD所在的直线上，设为O，然后在直角三角形中由勾股定理可得外接球的半径，进而求出外接球的体积．解：因为AC⊥BC，所以△ABC的外接圆的圆心为斜边AB的中点D，可得外接圆的半径为r=12AB=1，再由PA＝PB＝PC＝AB＝2可得PD⊥面ABC，可得PD=√PA2−AD2=√3，可得球心O在直线PD所在的直线上，设外接球的半径为R，取OP＝OA＝R，在△OAD 中，R 2＝r 2+（PD ﹣R ）2，即R 2＝1+（√3−R ）2，解得：R =2√3=2√33，所以外接球的体积V =4π3R 3=32√327π，故答案为：32√327π．【点评】本题考查三棱锥的棱长与外接球的半径之间的关系，及球的体积公式，属于中档题．16．函数f （x ）＝sin πx +a cos πx 满足f （x ）＝f （13−x ），x ∈[0，32]，方程f （x ）﹣m ＝0恰有两个不等的实根，则实数m 的取值范围为 √3≤m ＜2或﹣2＜m ≤﹣1 ．【分析】首先利用函数的对称性求出函数的关系式，进一步利用函数的图象求出函数f （x ）的图象和函数y ＝m 的交点，进一步求出结果．解：函数f （x ）＝sin πx +a cos πx 满足f （x ）＝f （13−x ），则函数的对称轴为x =16，当x =16时，函数f （x ）取得最值，即±√1+a 2=sin π6+acos π6，整理得a 2−2√3a +3=0，解得a =√3，所以f （x ）＝sin πx +√3cosπx =2sin （πx +π3）．由于x ∈[0，32]，所以π3≤πx +π3≤3π2+π3=11π6，根据函数的图象，当√3≤m＜2或﹣2＜m≤﹣1时，函数的f（x）的图象与y＝m有两个交点，即方程f （x）﹣m＝0恰有两个不等的实根，故答案为：√3≤m＜2或﹣2＜m≤﹣1．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，函数的图象的应用，函数的零点和函数的图象的交点的关系的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知{a n}为单调递增的等差数列，设其前n项和为S n，S5＝﹣20，且a3，a5+1，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求S n的最小值及取得最小值时n的值．【分析】（1）设等差数列的公差为d，d＞0，由等差数列的求和公式和通项公式，结合等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；（2）由等差数列的求和公式，结合二次函数的最值求法，注意n为正整数，可得所求最值．解：（1）{a n}为单调递增的等差数列，设公差为d，d＞0，由S5＝﹣20，可得5a1+10d＝﹣20，即a1+2d＝﹣4，①由a3，a5+1，a9成等比数列，可得a3a9＝（a5+1）2，即（a1+2d）（a1+8d）＝（a1+4d+1）2，化为2a1d＝2a1+1+8d，②由①②解得d=12，a1＝﹣5，则a n＝﹣5+12（n﹣1）=12（n﹣11）；（2）S n=12n（﹣5+n−112）=14（n2﹣21n）=14[（n−212）2−4414]，由于n为正整数，可得n＝10或11时，S n取得最小值−55 2．【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，以及等比中项的性质，考查方程思想和化简运算能力，属于基础题．18．某城市2018年抽样100户居民的月均用电量（单位：千瓦时），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]分组，得到如表频率分布表：分组频数频率[160，180）n10.04[180，200）19f1[200，220）n20.22[220，240）250.25[240，260）150.15[260，280）10f2[280，300]50.05（1）求表中n1，n2，f1，f2的值，并估计2018年该市居民月均用电量的中位数m；（2）该城市最近十年的居民月均用电量逐年上升，以当年居民月均用电量的中位数u（单位：千瓦时）作为统计数据，如图是部分数据的折线图．由折线图看出，可用线性回归模型拟合u与年份t的关系．①为简化运算，对以上数据进行预处理，令x＝t﹣2014，y＝u﹣195，请你在答题卡上完成数据预处理表；②建立u关于t的线性回归方程，预测2020年该市居民月均用电量的中位数．附：回归直线y=b x+a的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b=∑n i=1x i y i−nxy ∑n i=1x i2−nx2，a=y−b x．【分析】（1）根据频数、频率和样本容量的关系可分别求出n1，n2，f1，f2的值；设样本的中位数为a，根据中位数的性质可列出关于a的方程，解之即可得解；（2）①根据折线图中的数据和x＝t﹣2014，y＝u﹣195，算出每组数据对应的x和y值即可；②由①中的数据，可求出x，y，再根据a，b的参考公式，求出这两个系数后可得y关于x的线性回归方程，再把t和u代入化简即可得u关于t的线性回归方程；令t＝2020，算出u的值就是所求．解：（1）n1＝100×0.04＝4；n2＝100×0.22＝22；f1=19100=0.19；f2=10100=0.1．设样本频率分布表的中位数为a，则0.04+0.19+0.22+0.25×120×(a−20)=0.5，解得a＝224，由样本估计总体，可估计2018年该市居民月均用电量的中位数m为224千瓦时．（2）①数据预处理如下表：x＝t﹣2014﹣4﹣2024 y＝u﹣195﹣21﹣1101929②由①可知，x=0，y=−21−11+0+19+295=3.2，∴b=∑n i=1x i y i−nxy∑n i=1x i2−nx2=(−4)×(−21)+(−2)×(−11)+2×19+4×29(−4)2+(−2)2+22+42=26040=6.5，a=y−b x=3.2−6.5×0=3.2，∴y关于x的线性回归方程为y=6.5x+3.2，∵x＝t﹣2014，y＝u﹣195，∴u﹣195＝6.5（t﹣2014）+3.2，故u关于t的线性回归方程为u＝6.5t﹣12892.8，当t＝2020时，u＝6.5×2020﹣12892.8＝237.2（千瓦时）．故预测2020年该市居民月均用电量的中位数为237.2千瓦时．【点评】本题考查对频数、频率分布表的认识、线性回归方程的求法，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题．19．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1，D是AB的中点，E是C1C的中点，且AB＝1，AA1＝2．（1）证明：CD∥平面A1EB；（2）求点A1到平面BDE的距离．【分析】（1）取A1B的中点F，连接EF，DF，由三角形中位线定理可得DF∥A1A，DF=12A1A，再由已知得到DF∥EC，DF＝EC，得四边形CDEF为平行四边形，则CD∥EF．由直线与平面平行的判定可得CD∥平面A1EB；（2）证明CD⊥平面A1ABB1，又由（1）知，CD∥EF，得到EF⊥平面A1ABB1，再证明AB⊥平面CDE，得AB⊥DE，则BD⊥DE，分别求出平面BDE与平面A1BD的体积，然后利用等体积法求点A1到平面BDE的距离．【解答】（1）证明：取A1B的中点F，连接EF，DF，∵D，F分别是AB，A1B的中点，∴DF∥A1A，DF=12A1A，∵A1A∥C1C，A1A＝C1C，E是C1C的中点，∴DF∥EC，DF＝EC，可得四边形CDEF为平行四边形，则CD∥EF．∵CD⊄平面A1EB，EF⊂平面A1EB，∴CD∥平面A1EB；（2）解：∵△ABC是正三角形，D是AB的中点，∴CD⊥AB，∵ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴A1A⊥平面ABC，则A1A⊥CD．∵A1A∩AB＝A，∴CD⊥平面A1ABB1，又由（1）知，CD∥EF，∴EF⊥平面A1ABB1，∵AB ＝1，AA 1＝2，∴CD =√32，则S △A 1BD =12×2×12=12．∴V E−A1BD=13S △A 1BD ⋅EF =13×12×√32=√312．在Rt △CDE 中，DE =√CD 2+CE 2=√72．∵AB ⊥CD ，AB ⊥CE ，CD ∩CE ＝C ， ∴AB ⊥平面CDE ，得AB ⊥DE ，则BD ⊥DE ．∴S △BDE =12×12×√72=√78．设点A 1到平面BDE 的距离为d ，由V A 1−BDE =V E−A 1BD ，得13S △BDE ⋅d =√312，即13×√78=√312，则d =2√217．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求点到平面的距离，是中档题．20．动圆C 与x 轴交于A （x 1，0），B （x 2，0）两点，且x 1，x 2是方程x 2+2mx ﹣4＝0的两根．（1）若线段AB 是动圆C 的直径，求动圆C 的方程；（2）证明：当动圆C 过点M （0，1）时，动圆C 在y 轴上截得弦长为定值．【分析】（1）由韦达定理可得到x 1+x 2＝﹣2m ，x 1x 2＝﹣4，从而求得圆心与半径，进而求得动圆C 的方程；（2）先设出动圆C 的方程，再由题设条件解决D 、E 、F 的值，进而求出动圆C 在y 轴上截得弦长．解：（1）∵x 1，x 2是方程x 2+2mx ﹣4＝0的两根，∴x 1+x 2＝﹣2m ，x 1x 2＝﹣4． ∵动圆C 与x 轴交于A （x 1，0），B （x 2，0）两点，且线段AB 是动圆C 的直径， ∴动圆C 的圆心C 的坐标为（﹣m ，0），半径为|AB|2=|x 2−x 1|2=√(x 1+x 2)2−4x 1x 22=√m +4．∴动圆C 的方程为（x +m ）2+y 2＝m 2+4；（2）证明：设动圆C 的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F ＝0，∵动圆C 与y 轴交于M （0，1），N （0，y 1），令y ＝0则x 2+Dx +F ＝0，由题意可知D ＝2m ，F ＝﹣4，又动圆C 过点M （0，1），∴1+E ﹣4＝0，解得E ＝3．令x ＝0，则y 2+3y ﹣4＝0，解得y ＝1或y ＝﹣4，∴y 1＝﹣4．∴动圆C 在y 轴上截得弦长为|y 1﹣1|＝5．故动圆C 在y 轴上截得弦长为定值．【点评】本题主要考查圆的方程及被坐标轴截得的弦长的问题，属于基础题． 21．已知函数f （x ）＝e x +（m ﹣e ）x ﹣mx 2．（1）当m ＝0时，求函数f （x ）的极值；（2）当m ＜0时，证明：在（0，1）上f （x ）存在唯一零点．【分析】（1）将m ＝0带入，求导得f ′（x ）＝e x ﹣e ，再求出函数f （x ）的单调性，进而求得极值；（2）求导得f ′（x ）＝e x ﹣2mx +m ﹣e ，令g （x ）＝f ′（x ），对函数g （x ）求导后，可知g（x）＝f′（x）在（0，1）上单调递增，而g（0）＜0，g（1）＞0，进而函数f （x）在（0，1）上的单调性，再运用零点存在性定理可得证．解：（1）当m＝0时，f（x）＝e x﹣ex，f′（x）＝e x﹣e，又f′（x）是增函数，且f′（1）＝0，∴当x＞1时，f′（x）＞0，当x＜1时，f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，∴当x＝1时，f（x）取得极小值f（1）＝0，无极大值；（2）证明：f′（x）＝e x﹣2mx+m﹣e，令g（x）＝f′（x）＝e x﹣2mx+m﹣e，则g′（x）＝e x﹣2m，当m＜0时，则g′（x）＞0，故g（x）＝f′（x）在（0，1）上单调递增，又g（0）＝f′（0）＝1+m﹣e＜0，g（1）＝f′（1）＝﹣m＞0，∴存在x0∈（0，1），使得g（x0）＝f′（x0）＝0，且当x∈（0，x0）时，f′（x）＜0，f（x）是减函数，当x∈（x0，1）时，f′（x）＞0，f（x）是增函数，又∵f（0）＝1，f（1）＝0，∴f（x）在（0，1）上存在唯一零点．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值及函数的零点，考查推理论证能力及运算求解能力，属于中档题．一、选择题22．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ﹣2ρsinθ＝1．若P为曲线C1上的动点，Q是射线OP上的一动点，且满足|OP|•|OQ|＝2，记动点Q的轨迹为C2．（1）求C2的直角坐标方程；（2）若曲线C1与曲线C2交于M，N两点，求△OMN的面积．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用点到直线的距离公式的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．解：（1）曲线C1的极坐标方程为ρcosθ﹣2ρsinθ＝1．若P为曲线C1上的动点，Q是射线OP上的一动点，且满足|OP|•|OQ|＝2，记动点Q 的轨迹为C2．设P（ρ1，θ），Q（ρ，θ），则：ρ1cosθ﹣2ρ1sinθ＝1，即ρ1=1cosθ−2sinθ，由于|OP|•|OQ|＝2，所以ρ＝2cosθ﹣4sinθ，整理得ρ2＝2ρcosθ﹣4ρsinθ，转换为直角坐标方程为：（x﹣1）2+（y+2）2＝5（原点除外）．（2）曲线C1的极坐标方程为ρcosθ﹣2ρsinθ＝1转换为直角坐标方程为：x﹣2y﹣1＝0．曲线C2的圆心为（1，﹣2），半径为√5，所以圆心到直线C1的距离d=√1+(−2)=5．所以|MN|=2√(√5)2−(4√5)2=6√5．由于点O到C1的距离d2=|−1|√1+(−2)=1√5所以S△OMN=12×|MN|×d2=12×6√51√5=35．【点评】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f(x)=|x−k|+12|x+3|−2(k∈R)．（1）当k＝1时，解不等式f（x）≤1；（2）若f（x）≥x对于任意的实数x恒成立，求实数k的取值范围．【分析】（1）由题意可得|x﹣1|+12|x+3|≤3，由零点分区间法和绝对值的定义，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；（2）由题意可得|x﹣k|+12|x+3|≥x+2恒成立．讨论x≤﹣2恒成立，x＞﹣2时，可得|x﹣k|≥x+12恒成立，讨论﹣2＜x≤﹣1，x＞﹣1时，结合绝对值不等式的解法和恒成立思想，可得所求范围．解：（1）当k＝1时，不等式f（x）≤1即为|x﹣1|+12|x+3|≤3，等价为{x≥1x−1+12x+32≤3或{−3＜x＜11−x+12x+32≤3或{x≤−31−x−12x−32≤3，解得1≤x≤53或﹣1≤x＜1或x∈∅，则原不等式的解集为[﹣1，53 ]；（2）f（x）≥x对于任意的实数x恒成立，即为|x﹣k|+12|x+3|≥x+2恒成立．当x≤﹣2时，|x﹣k|+12|x+3|≥0≥x+2恒成立；当x＞﹣2时，|x﹣k|+12|x+3|≥x+2恒成立等价为|x﹣k|+x+32≥x+2，即|x﹣k|≥x+12恒成立，当﹣2＜x≤﹣1时，|x﹣k|≥x+12恒成立；当x＞﹣1时，|x﹣k|≥x+12恒成立等价为x﹣k≥x+12或x﹣k≤−x+12恒成立．即x≥2k+1或x≤23（k−12）恒成立，则2k+1≤﹣1解得k≤﹣1，所以k的取值范围是（﹣∞，﹣1]．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论思想，考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想和分类讨论思想，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．。

2020年广东省广州市高考数学一模试卷(理科)

2020年广东省广州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知复数z 满足(1)2i z i +=，则||(z = ) A ．2B ．1C ．2D ．122．（5分）已知集合{0A =，1，2，3}，2{|1B x x n ==-，}n A ∈，P A B =I ，则P 的子集共有( ) A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个3．（5分）sin80cos50cos140sin10(︒︒+︒︒= ) A ．3-B ．3 C ．12-D ．124．（5分）已知命题:p x R ∀∈，210x x -+<；命题:q x R ∃∈，23x x >，则下列命题中为真命题的是( ) A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．p q ⌝∧⌝5．（5分）已知函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+，当1x …时，2()f x x x=-，则{|(2)1}(x f x +>= )A ．{|3x x <-或0}x >B ．{|0x x <或2}x >C ．{|2x x <-或0}x > D ．{|2x x <或4}x >6．（5分）如图，圆O 的半径为1，A ，B 是圆上的定点，OB OA ⊥，P 是圆上的动点，点P 关于直线OB 的对称点为P '，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，将||OP OP -'u u u r u u u r 表示为x 的函数()f x ，则()y f x =在[0，]π上的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．7．（5分）陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为( )A ．(72)π+B ．(102)π+C ．(1042)π+D ．(112)π+8．（5分）某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为e ，设地球半径为R ，该卫星近地点离地面的距离为r ，则该卫星远地点离地面的距离为()A ．1211e er R e e ++-- B ．111e er R e e ++-- C ．1211e er R e e-+++ D ．111e er R e e-+++ 9．（5分）羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成．某班级从3名男生1A ，2A ，3A 和3名女生1B ，2B ，3B 中各随机选出两名，把选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则1A 和1B 两人组成一队参加比赛的概率为( ) A ．19B ．29 C ．13D ．4910．（5分）已知1F ，2F 是双曲线222:1(0)x C y a a-=>的两个焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与C 相交于A ，B 两点，若||AB =2ABF ∆的内切圆的半径为( )A B C D 11．（5分）已知函数()f x 的导函数为()f x '，记1()()f x f x ='，21()()f x f x ='，⋯，1()()(*)n n f x f x n N +='∈．若()sin f x x x =，则20192021()()(f x f x += )A ．2cos x -B ．2sin x -C ．2cos xD ．2sin x12．（5分）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F ，G 分别是棱AD ，1CC ，11C D 的中点，给出下列四个命题： ①1EF B C ⊥；②直线FG 与直线1A D 所成角为60︒；③过E ，F ，G 三点的平面截该正方体所得的截面为六边形； ④三棱锥B EFG -的体积为56．其中，正确命题的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）设向量(,1)a m =r ，(2,1)b =r ，且221()2a b a b =+r r r r g ，则m = ．14．（5分）某种产品的质量指标值Z 服从正态分布2(,)N μσ，且(33)0.9974P Z μσμσ-<<+=．某用户购买了10000件这种产品，则这10000件产品中质量指标值位于区间(3,3)μσμσ-+之外的产品件数为．15．（5分）25(321)x x --的展开式中，2x 的系数是．（用数字填写答案）16．（5分）已知ABC ∆的三个内角为A ，B ，C ，且sin A ，sin B ，sin C 成等差数列，则sin22cos B B +的最小值为，最大值为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分．17．（12分）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，112(*)2n n n S a n N --=∈．（1）求1n n a a ++；（2）令2n n n b a a +=-，证明数列{}n b 是等比数列，并求其前n 项和n T ．18．（12分）如图，三棱锥P ABC -中，PA PC =，AB BC =，120APC ∠=︒，90ABC ∠=︒，3AC PB =．（1）求证：AC PB ⊥；（2）求直线AC 与平面PAB 所成角的正弦值．19．（12分）某企业质量检验员为了检测生产线上零件的质量情况，从生产线上随机抽取了80个零件进行测量，根据所测量的零件尺寸（单位：)mm ，得到如图的频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，求这80个零件尺寸的中位数（结果精确到0.01)；（2）若从这80个零件中尺寸位于[62.5，64.5)之外的零件中随机抽取4个，设X 表示尺寸在[64.5，65]上的零件个数，求X 的分布列及数学期望EX ；（3）已知尺寸在[63.0，64.5)上的零件为一等品，否则为二等品，将这80个零件尺寸的样本频率视为概率．现对生产线上生产的零件进行成箱包装出售，每箱100个．企业在交付买家之前需要决策是否对每箱的所有零件进行检验，已知每个零件的检验费用为99元．若检验，则将检验出的二等品更换为一等品；若不检验，如果有二等品进入买家手中，企业要向买家对每个二等品支付500元的赔偿费用．现对一箱零件随机抽检了11个，结果有1个二等品，以整箱检验费用与赔偿费用之和的期望值作为决策依据，该企业是否对该箱余下的所有零件进行检验？请说明理由．20．（12分）已知函数()x be f x alnx x =-，曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为220x y e ---=．（1）求a ，b 的值；（2）证明函数()f x 存在唯一的极大值点0x ，且0()222f x ln <-． 21．（12分）已知点P 是抛物线21:34C y x =-的顶点，A ，B 是C 上的两个动点，且4PA PB =-u u u r u u u rg ．（1）判断点(0,1)D 是否在直线AB 上？说明理由；（2）设点M 是PAB ∆的外接圆的圆心，点M 到x 轴的距离为d ，点(1,0)N ，求||MN d -的最大值．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线1C 的参数方程为cos (1sin x t t y t αα=⎧⎨=+⎩为参数），曲线2C 的参数方程为sinx y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数）．（1）求1C 与2C 的普通方程；（2）若1C 与2C 相交于A ，B 两点，且||AB =sin α的值． [选修4-5：不等式选讲]（10分） 23．已知0a >，0b >，且1a b +=．（1）求12a b+的最小值；（2）证明：2221ab b a b +<++．2020年广东省广州市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知复数z 满足(1)2i z i +=，则||(z = )A B ．1C D ．12【解答】解：(1)2i z i +=Q ， ∴22(1)2211(1)(1)2i i i i z i i i i -+====+++-，∴||z =故选：A ．2．（5分）已知集合{0A =，1，2，3}，2{|1B x x n ==-，}n A ∈，P A B =I ，则P 的子集共有( ) A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个【解答】解：Q 集合{0A =，1，2，3}，2{|1B x x n ==-，}{1n A ∈=-，0，3，8}， {0P A B ∴==I ，3}，P ∴的子集共有224=个．故选：B ．3．（5分）sin80cos50cos140sin10(︒︒+︒︒= )A ．BC ．12-D ．12【解答】解：1sin80cos50cos140sin10cos10cos50sin50sin10cos(5010)cos602︒︒+︒︒=︒︒-︒︒=︒+︒=︒=．故选：D ．4．（5分）已知命题:p x R ∀∈，210x x -+<；命题:q x R ∃∈，23x x >，则下列命题中为真命题的是( ) A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．p q ⌝∧⌝【解答】解：22131()024x x x -+=-+>恒成立，故命题:p x R ∀∈，210x x -+<为假命题，当1x =-时，23x x >，成立，即命题:q x R ∃∈，23x x >，为真命题，则p q ⌝∧为真，其余为假命题，故选：B ．5．（5分）已知函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+，当1x …时，2()f x x x=-，则{|(2)1}(x f x +>= )A ．{|3x x <-或0}x >B ．{|0x x <或2}x >C ．{|2x x <-或0}x > D ．{|2x x <或4}x >【解答】解：由(1)(1)f x f x -=+，得函数关于1x =对称，当1x …时，2()f x x x=-，则()f x 为增函数，且f （2）211=-=，由()1f x >得2x >，由对称性知当1x <时，由()1f x >得0x <，综上()1f x >得2x >或0x <，由(2)1f x +>得22x +>或20x +<，得0x >或2x <-，即不等式的解集为{|2x x <-或0}x >，故选：C ．6．（5分）如图，圆O 的半径为1，A ，B 是圆上的定点，OB OA ⊥，P 是圆上的动点，点P 关于直线OB 的对称点为P '，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，将||OP OP -'u u u r u u u r 表示为x 的函数()f x ，则()y f x =在[0，]π上的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：设PP '的中点为M ，则||||2||OP OP P P PM '-'==u u u r u u u r u u u r u u u u r，当[0x ∈，]2π时，在Rt OMP ∆中，||1OP =，OPM POA x ∠=∠=，所以||cos ||PM x OP =，所以||cos PM x =，||2cos OP OP x -'=u u u r u u u r ，即()2cos f x x =，[0x ∈，]2π．从四个选项可知，只有选项A 正确，故选：A ．7．（5分）陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为( )A ．(722)π+B ．(1022)π+C ．(1042)π+D ．(1142)π+【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：上部是圆柱，下部是圆锥，几何体的表面积为：1442223(1042)2ππππ+⨯⨯+⨯=+．故选：C ．8．（5分）某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为e ，设地球半径为R ，该卫星近地点离地面的距离为r ，则该卫星远地点离地面的距离为()A ．1211e er R e e ++-- B ．111e er R e e ++-- C ．1211e er R e e-+++ D ．111e er R e e-+++ 【解答】解：椭圆的离心率：(0,1)ce a=∈，(c 为半焦距；a 为长半轴）只要求出椭圆的c 和a ，设卫星近地点，远地点离地面距离分别为m ，n ，由题意，结合图形可知，a c r R -=+，远地点离地面的距离为：n a c R =+-，m a c R =--，1r Ra e +=-， ()1r R ec e+=-，所以远地点离地面的距离为：()121111r R e r R e en a c R R r R e e e e+++=+-=+-=+----．故选：A ．9．（5分）羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成．某班级从3名男生1A ，2A ，3A 和3名女生1B ，2B ，3B 中各随机选出两名，把选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则1A 和1B 两人组成一队参加比赛的概率为( ) A ．19B ．29 C ．13D ．49【解答】解：从3名男生1A ，2A ，3A 和3名女生1B ，2B ，3B 中各随机选出两名，共有22339C C =，选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛有11224C C =，故总的事件个数为9436⨯=种，其中1A 和1B 两人组成一队有11224C C =种，故则1A 和1B 两人组成一队参加比赛的概率为41369=，故选：A ．10．（5分）已知1F ，2F 是双曲线222:1(0)x C y a a-=>的两个焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与C 相交于A ，B 两点，若||AB =2ABF ∆的内切圆的半径为( )A B C D【解答】解：由双曲线的方程可设左焦点1(,0)F c -，由题意可得22b AB a==，再由1b =，可得a 2212x y -=，所以1(F 0)，2F 0)，所以2121122ABF S AB F F ==V g g三角形2ABF 的周长为2211(2)(2)42C AB AF BF AB a AF a BF a AB =++=++++=+==设内切圆的半径为r ，所以三角形的面积1122S C r r ===g g g ，所以r =，故选：B ．11．（5分）已知函数()f x 的导函数为()f x '，记1()()f x f x ='，21()()f x f x ='，⋯，1()()(*)n n f x f x n N +='∈．若()sin f x x x =，则20192021()()(f x f x += )A ．2cos x -B ．2sin x -C ．2cos xD ．2sin x【解答】解：()sin f x x x =，则1()()sin cos f x f x x x x ='=+，21()()cos cos sin 2cos sin f x f x x x x x x x x ='=+-=-， 32()()2sin sin cos 3sin cos f x f x x x x x x x x ='=---=-- 43()()3cos cos sin 4cos sin f x f x x x x x x x x ='=--+=-+ 54()()4sin sin cos 5sin cos f x f x x x x x x x x ='=++=+ 65()()5cos cos sin 6cos sin f x f x x x x x x x ='=+-=-， 76()()6sin sin cos 7sin cos f x f x x x x x x x x ='=---=--⋯，则13()()sin cos 3sin cos 2sin f x f x x x x x x x x +=+--=-， 35()()3sin cos 5sin cos 2sin f x f x x x x x x x x +=--++=， 57()()5sin cos 7sin cos 2sin f x f x x x x x x x x +=+--=-，即4143()()2sin n n f x f x x +++=-， 4345()()2sin n n f x f x x +++=则20192021()()2sin f x f x x +=，故选：D ．12．（5分）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F ，G 分别是棱AD ，1CC ，11C D 的中点，给出下列四个命题： ①1EF B C ⊥；②直线FG 与直线1A D 所成角为60︒；③过E ，F ，G 三点的平面截该正方体所得的截面为六边形； ④三棱锥B EFG -的体积为56．其中，正确命题的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：如图；连接相关点的线段，O 为BC 的中点，连接EFO ，因为F 是中点，可知1B C OF ⊥，1EO B C ⊥，可知1B C ⊥平面EFO ，即可证明1B C EF ⊥，所以①正确；直线FG 与直线1A D 所成角就是直线1A B 与直线1A D 所成角为60︒；正确；过E ，F ，G 三点的平面截该正方体所得的截面为五边形；如图：是五边形ENFGI ．所以③不正确；三棱锥B EFG -的体积为：123115(22131)232223G EBM V -+=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯⨯=．123115(22131)132226F EBM V -+=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯⨯=．所以三棱锥B EFG -的体积为56．④正确；故选：C ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）设向量(,1)a m =r ，(2,1)b =r ，且221()2a b a b =+r r r r g ，则m = 2 ．【解答】解：因为向量(,1)a m =r ，(2,1)b =r ，且221()2a b a b =+r r r r g ，∴22220()0a a b b a b -+=⇒-=r r rr r r g ； ∴a b =rr；2m ∴=；故答案为：2．14．（5分）某种产品的质量指标值Z 服从正态分布2(,)N μσ，且(33)0.9974P Z μσμσ-<<+=．某用户购买了10000件这种产品，则这10000件产品中质量指标值位于区间(3,3)μσμσ-+之外的产品件数为 26 ．【解答】解：因为某种产品的质量指标值Z 服从正态分布2(,)N μσ，且(33)0.9974P Z μσμσ-<<+=．所以10000件产品中质量指标值位于区间(3,3)μσμσ-+之外的产品件数为：10000(10.9974)26⨯-=；故答案为：26．15．（5分）25(321)x x --的展开式中，2x 的系数是 25 ．（用数字填写答案）【解答】解：因为：2525(321)[3(21)]x x x x --=-+；其展开式的通项公式为：2515(3)[(21)]r r r r T x x -+=-+g ð； Q 要求2x 的系数；所以：当50r -=，即5r =时，需求5[(21)]x -+的展开式的2x 项，故此时2x 的系数是：5222355(1)2140⨯-⨯⨯=痧；当51r -=，即4r =时，需求5[(21)]x -+的展开式的常数项，故此时2x 的系数是：4555553(1)115⨯⨯-⨯⨯=-痧；综上可得：2x 的系数是：401525-=．故答案为：25．16．（5分）已知ABC ∆的三个内角为A ，B ，C ，且sin A ，sin B ，sin C 成等差数列，则sin22cos B B +的最小值为1 ，最大值为．【解答】解：sin A Q ，sin B ，sin C 成等差数列， 2sin sin sin B A C ∴=+，由正弦定理可得，2b a c =+，由余弦定理有，222222()2331cos 1122222a cb ac b ac b ac B ac ac ac ac +-+--===--=…（当且仅当a b c ==时取等号），又B 为三角形ABC 内角，故(0,]3B π∈，设()sin 22cos ,(0,]3f B B B B π=+∈，则f '（B ）22cos22sin 4sin 2sin 2B B B B =-=--+，令f '（B ）0>，解得06B π<<，令f '（B ）0<，解得63B ππ<<，故函数f （B ）在(0,)6π单调递增，在(,)63ππ单调递减，∴2()()sin 2cos 1333min f B f πππ==+，()()sin 2cos 636max f B f πππ==+=．．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分．17．（12分）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，112(*)2n n n S a n N --=∈．（1）求1n n a a ++；（2）令2n n n b a a +=-，证明数列{}n b 是等比数列，并求其前n 项和n T ．【解答】解：（1）由1122n n n S a --=，可得1n =时，11a S =，又1121S a -=，即11a =； 2n …时，1n n n a S S -=-，112122n n n S a ----=，又1122n n n S a --=，两式相减可得1112n n n a a --+=-，即有112n n n a a ++=-；（2）证明：由（1）可得112n n na a ++=-，即有12112n n n a a ++++=-，两式相减可得2112n n n n b a a ++=-=，则1122122n n n n b b +++==，可得数列{}n b 是首项为14，公比为12的等比数列，前n 项和111(1)114212212n n n T +-==--． 18．（12分）如图，三棱锥P ABC -中，PA PC =，AB BC =，120APC ∠=︒，90ABC ∠=︒，AC ．（1）求证：AC PB ⊥；（2）求直线AC 与平面PAB 所成角的正弦值．【解答】解：（1）证明：取AC 中点O ，连结PO ，BO ， PA PC =Q ，AB BC =，PO AC ∴⊥，BO AC ⊥， PO BO O =Q I ，AC ∴⊥平面PBO ，PB ⊂Q 平面PBO ，AC PB ∴⊥．（2）解：设23AC =，则1PO =，2PA PC PB===，3BO =，222PO BO PB ∴+=，PO BO ∴⊥，以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，则(0A ，3-，0)，(0C ，3，0)，(0P ，0，1)，(3B ，0，0)， (0AC =u u u r ，23，0)，(0PA =u u u r ，3-，1)-，(3PB =u u u r，0，1)-，设平面PAB 的法向量(n x =r，y ，)z ，则3030n PA y z n PB x z ⎧=--=⎪⎨=-=⎪⎩u u u r r g u u u r r g ，取1x =，得(1n =r ，1-，3)，设直线AC 与平面PAB 所成角为θ，则直线AC 与平面PAB 所成角的正弦值为： ||235sin ||||235AC n AC n θ===u u u r rg u u u r r g g ．19．（12分）某企业质量检验员为了检测生产线上零件的质量情况，从生产线上随机抽取了80个零件进行测量，根据所测量的零件尺寸（单位：)mm ，得到如图的频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，求这80个零件尺寸的中位数（结果精确到0.01)；（2）若从这80个零件中尺寸位于[62.5，64.5)之外的零件中随机抽取4个，设X 表示尺寸在[64.5，65]上的零件个数，求X 的分布列及数学期望EX ；（3）已知尺寸在[63.0，64.5)上的零件为一等品，否则为二等品，将这80个零件尺寸的样本频率视为概率．现对生产线上生产的零件进行成箱包装出售，每箱100个．企业在交付买家之前需要决策是否对每箱的所有零件进行检验，已知每个零件的检验费用为99元．若检验，则将检验出的二等品更换为一等品；若不检验，如果有二等品进入买家手中，企业要向买家对每个二等品支付500元的赔偿费用．现对一箱零件随机抽检了11个，结果有1个二等品，以整箱检验费用与赔偿费用之和的期望值作为决策依据，该企业是否对该箱余下的所有零件进行检验？请说明理由．【解答】解：（1）由于[62.0，63.0)内的频率为(0.0750.225)0.50.15+⨯=，[63.0，63.5)内的频率为0.750.50.375⨯=，设中位数为[63.0x ∈，63.5)，由0.15(63)0.750.5x +-⨯=，得63.47x ≈，故中位数为63.47；（2）这80个零件中尺寸位于[62.5，64.5)之外的零件共有7个，其中尺寸位于[62.0，62.5)内的有3个，位于[64.5，65)共有4个，随机抽取4个，则1X =，2，3，4，3134474(1)35C C P X C ===，22344718(2)35C C P X C ===，13344712(3)35C C P X C ===，44471(4)35C P X C ===，418121161234353535357EX =+++=g g g g ；（3）根据图象，每个零件是二等品的概率为(0.0750.2250.100)0.50.2P =++⨯=，设余下的89个零件中二等品的个数为~(89,0.2)Y B ，由二项分布公式，890.217.8EY =⨯=，若不对余下的零件作检验，设检验费用与赔偿费用的和为S ， 11995001089500S Y Y =⨯+=+，若对余下的零件作检验，则这一箱检验费用为9900元，以整箱检验费用与赔偿费用之和的期望值作为决策依据，则11995009989ES EY =⨯+=，因为9900ES >，所以应该对余下的零件作检验．（或者9989ES =与9900相差不大，可以不做检验都行．)20．（12分）已知函数()xbe f x alnx x =-，曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为220x y e ---=．（1）求a ，b 的值；（2）证明函数()f x 存在唯一的极大值点0x ，且0()222f x ln <-．【解答】解：（1）函数的定义域为(0,)+∞，2()()x x a b xe e f x x x-'=-，则f '（1）a =，f （1）be =-，故曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为0ax y a be ---=，又曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为220x y e ---=， 2a ∴=，1b =；（2）证明：由（1）知，()2x e f x lnx x =-，则22()x xx xe e f x x -+'=，令()2x x g x x xe e =-+，则()2x g x xe '=-，易知()g x '在(0,)+∞单调递减，又(0)20g '=>，g '（1）20e =-<，故存在1(0,1)x ∈，使得1()0g x '=，且当1(0,)x x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，当1(x x ∈，)+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减，由于(0)10g =>，g （1）20=>，g （2）240e =-<，故存在0(1,2)x ∈，使得0()0g x =，且当0(0,)x x ∈时，()0g x >，()0f x '>，()f x 单调递增，当0(x x ∈，)+∞时，()0g x <，()0f x '<，()f x 单调递减，故函数存在唯一的极大值点0x ，且00000()20x x g x x x e e =-+=，即00002,(1,2)1x x e x x =∈-，则0000002()221x e f x lnx lnx x x =-=--，令2()2,121h x lnx x x =-<<-，则222()0(1)h x x x '=+>-，故()h x 在(1,2)上单调递增，由于0(1,2)x ∈，故0()h x h <（2）222ln =-，即00222221lnx ln x -<--， 0()222f x ln ∴<-．21．（12分）已知点P 是抛物线21:34C y x =-的顶点，A ，B 是C 上的两个动点，且4PA PB =-u u u r u u u rg ．（1）判断点(0,1)D 是否在直线AB 上？说明理由；（2）设点M 是PAB ∆的外接圆的圆心，点M 到x 轴的距离为d ，点(1,0)N ，求||MN d -的最大值．【解答】解：（1）由抛物线的方程可得顶点(0,3)P -，由题意可得直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为：4y kx =+，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y联立直线与抛物线的方程：24134y kx y x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩，整理可得：244(3)0x kx b --+=，△21616(3)0k b =++>，即230k b ++>， 124x x k+=，124(3)x x b =-+，2222222121212()4(3)412y y k x x kb x x b k b k b b b k =+++=-+++=-，21212()242y y k x x b k b +=++=+，因为1(PA PB x =u u u r u u u rg ，123)(y x +，222221212123)3()94(3)123(42)923y x x y y y y b b k k b b b +=++++=-++-+++=+-，而4PA PB =-u u u r u u u rg ，所以2234b b +-=-，解得1b =-，m 满足判别式大于0，即直线方程为1y kx =-，所以恒过(0,1)- 可得点(0,1)D 不在直线AB 上．（2）因为点M 是PAB ∆的外接圆的圆心，所以点M 是三角形PAB 三条边的中垂线的交点，设线段PA 的中点为F ，线段PB 的中点为为E ，因为(0,3)P -，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y所以1(2x F ，13)2y -，2(2x E ，23)2y -，113PA y k x +=，223PB y k x +=，所以线段PA 的中垂线的方程为：11113()232y x xy x y --=--+，而A 在抛物线上，所以211134y x =-，所以线段PA 的中垂线的方程为：211418x y x x =-+-，同理可得线段PB 的中垂线的方程为：222418x y x x =-+-，联立方程211222418418x y x x x y x x ⎧=-+-⎪⎪⎨⎪=-+-⎪⎩解得1212()32x x x x x +=-，22121288x x x x y ++-=，由（1）得124x x k +=，124(3)8x x b =-+=-，所以8432M kx k -⨯=-=，22221212122()288M x x x x x x y k +++===，即点M 的轨迹方程为：212x y =；可得焦点1(0,)8F ，准线方程为：y =-连接NF 交抛物线于0M ，由抛物线的性质，到焦点的距离等于到准线的距离，001111165||||||(||)||188648MN d NF NM M F NF +----=+=++=…，所以||MN d -的最大值为165+．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线1C 的参数方程为cos (1sin x t t y t αα=⎧⎨=+⎩为参数），曲线2C 的参数方程为sin 1cos 2x y θθθ=⎧⎪⎨=+⎪⎩为参数）．（1）求1C 与2C 的普通方程；（2）若1C 与2C 相交于A ，B 两点，且||2AB =sin α的值．【解答】解：（1）由曲线1C 的参数方程为cos (1sin x t t y t αα=⎧⎨=+⎩为参数），消去参数t ，可得tan 1y x α=+；由曲线2C 的参数方程为sin 1cos 2x y θθθ=⎧⎪⎨=+⎪⎩为参数），消去参数θ，可得222y x =-，即第21页（共21页） 221(0)2y x y +=…．（2）把cos (1sin x t t y t αα=⎧⎨=+⎩为参数）代入2212y x +=，得22(1cos )2sin 10t t αα++-=． ∴1222sin 1t t cos αα-+=+，12211t t cos α-=+．12||||AB t t ∴=-= 解得：2cos 1α=，即cos 1α=±，满足△0>． sin 0α∴=．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知0a >，0b >，且1a b +=．（1）求12a b+的最小值；（2）证明：2221ab b a b +<++．【解答】解：（1）12122()()333a b a b a b a b b a +=++=+++=+…当且仅当“b =”时取等号，故12a b+的最小值为3+ （2）证明：222222222412)155ab b ab b ab b b b a b ab b a +++===++++++„，当且仅当1,2a b ==时取等号，此时1a b +≠．故2221ab b a b +<++．。

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