巧用向量方法求解决最值问题
平面向量中的极化恒等式及有关最值(范围)问题(1)
2(a·b－a·c－b·c＋1)＝48＋2(a＋b)·c＝48＋2|a＋b|cos θ(其中θ为 a＋b
与 c 的夹角)，因为|a－b|＝|a＋b|，所以|a－b|2＝48＋2|a－b|cos θ，则由
cos θ∈[－1，1]，得 48－2|a－b|≤|a－b|2≤48＋2|a－b|，解得 6≤|a－
1x 2
2－1x2＝1.
4
4
(2)如图，由已知|OF|＝1，取 FO 中点 E，连接 PE，由极化恒等式得
O→P·F→P＝|PE|2－1|OF|2＝|PE|2－1，
4
4
∵|PE|2max＝245，∴O→P·F→P的最大值为 6.
答案 (1)1 (2)C
题型二 平面向量中的最值(范围)问题
类型 1 利用函数型
则A→P·B→P的取值范围是________；若向量A→C＝λD→E＋μA→P，则λ＋μ的最
小值为________.
解析 (1)由题意，不妨设 b＝(2，0)，a＝(cos θ，sin θ)(θ∈[0，2π))，
则 a＋b＝(2＋cos θ，sin θ)，a－b＝(cos θ－2，sin θ).
令 y＝|a＋b|＋|a－b|
＝ （2＋cos θ）2＋sin2θ＋ （cos θ－2）2＋sin2θ
＝ 5＋4cos θ＋ 5－4cos θ，
则 y2＝10＋2 25－16cos2θ∈[16，20].
由此可得(|a＋b|＋|a－b|)max＝ 20＝2 5，
(|a＋b|＋|a－b|)min＝ 16＝4，
即|a＋b|＋|a－b|的最小值是 4，最大值是 2 5.
4a2
4a2
θ）2＝1，化简得
b2(1－cos2θ)＝
用向量方法巧解最值问题
设 ｍ一 （ ｚ一 ２ ３ ，一 （ ， ），ｌ ｚ一 ５， １ ， 一 ） 则
Ｙ — ｓ （ － ２ ｚ ３ － ｖ ／ ｘ－ — ＋ ｚ Ｉ ／ — ） － ，
ｖ 二而 ／ ＝
求 解．
含 有 无 理 式 ， 用 凑 配 技 巧 来 利
函数 训一 ｚ ＋ 的 最 小 值 ． 解 ： ｍ 一 （ ） ，一 （ ， ） 由 定 义 有 ： 设 ｚ， ，ｌ １２ ，
ｍ ・，一 ＋ ２ ｌ 一 １ ，Ｉ Ｉ Ｏ ｍ 一 ＋ ， ，Ｉ ５ Ｉｌ 一 ， 从 而 训 一 ｚ ＋ ｚ Ｉ Ｉ ｚ — ≥ ｍ 一 一
的最值
， 即
＋ Ｙ ≥
６
，
当且 仅 当 ｍ 与 ， 向时取等 号 ． ｌ同
向量 三角 不等 式 主要有 以下 四个 ：
（ ） 小 Ｉ Ｉｌ ≥ Ｉｌ ，Ｉ 当 且 仅 当 ｍ 与 １ Ｉ ＋ ，Ｉ ， ＋ ｌ ， ，
完 全 类 似 地 ， 向 量 ｍ 一 （ ＂Ｙ， ） ，一 设 ｏ， ｚ ，ｌ Ｚ （ ｂｆ ， ｍ 与 ， 数量 积 为 ： ｎ， ， ） 则 ｌ的 （ ） ・，— ｎ ３ｍ ｌ ｚ＋ ＋ ｃ ， 而 也 有 ： ・， ｚ从 ｍ ｌ
维普资讯
解 题方 法 与技
用 向 量 方 法 巧 解 最 值 问 题
广西钦 州师专数 学与计 算机 科 学 系（ ３ ０ ０ 梁 常东 ５ ５０ ） 广西桂 林 师专数 学与计 算机 科 学 系（ ４ ０ １ 蒋 晓云 ５ １０ ）
在 中 学 数 学 中 ， 某 些 代 数 式 的 最 值 问 对 题通 常使 用 凑 配 技 巧 （ 配方 法 ） 解 ， 在 如 求 现 高 中数 学增 加 了 向 量 内容 ， 们 在 使 用 向量 我 方法 求解 最 值 问题 ， 别是 一 些 无 理 式 的最 特 值 问题 时 ， 以大 大 简化 解 题 过 程 ， 高解 题 可 提
巧用向量方法解决最值问题
巧用向量方法求解决最值问题梁常东1蒋晓云2（1钦州师专数学与计算机科学系 广西 钦州 535000 2桂林师专数学与计算机科学系 广西 桂林 541001）在中学数学中，对某些代数式的最值问题通常使用凑配技巧（如配方法）求解，现在高中数学增加了向量内容，我们使用向量方法求解最值问题，特别是一些无理式的最值问题，可以大大简化解题过程，提高解题效率，收到事半功倍的效果。
1 利用向量的数量积求最值设向量),,(y x m = ，),(b a n = 则n m与的数量积为：()by ax n m n m n m +=∠⋅=⋅,cos ，从而有：n m n m⋅≤⋅,当且仅当同向时取等号与n m （1）()22222222)( , b a by ax y x nn m m ++≥+⋅≥即 ,当且仅当同向时取等号与n m （2） 完全类似地，设向量),,(z y x m = ，),,(c b a n = ，则n m与的数量积为：~cz by ax n m ++=⋅，从而也有：n m n m ⋅≤⋅,当且仅当同向时取等号与n m ；()2222222222)(c b a cz by ax x y x nn m m ++++≥++⋅≥即 ，当且仅当同向时取等号与n m 。
在求解某些初等代数最值问题时，根据条件和结论的特点，将其转化为向量形式，利用向量的数量积，往往能避免繁杂的凑配技巧，使解答过程直观又易接受，下面举例说明：例1设y x,∈R +,且102=+y x ,求函数22y x w +=的最小值。
解:设)2,1(),y (x,==n m,由定义有：5,,1022222=+==+=⋅n y x m y x n m从而 ()22222nn m m y x w ⋅≥=+==205102=,当且仅当n m 与同向,即021>=y x 时取等号，所以当5.2,5==y x 时，22y x w +=取得最小值20。
如何解答平面向量最值问题
4x 4y
4
解题宝典
性运算法则、数量积公式来求向量模的表达式，再求
该表达式的最值，即可求得向量的模的最值.还可以根
据向量的几何意义构造出几何图形，将所求向量的模
y
≥ 1 (5 + 2 ∙4x ) = 9 ，
x y
4
4
看作三角形、四边形的一条边长，确定向量的模取最
当且仅当
∠ADC = 90°,
例3.已知直角梯形 ABCD 中，AD//BC，
1
= AM +
AN，
4x
4y
图1
有些平面向量最值问题中含有参数，要求参数的
最值或取值范围，需根据题意建立关于参数的关系
式，将问题转化为求代数式的最值问题，利用基本不
等式、函数的性质来求最值.还可以根据题意和向量加
减法的几何意义：三角形法则和平行四边形法则，画
a
（1）数列的通项公式 n ；
解：
（1）要使 C
{
-A
2m - 2
11 - 3m
2
数学篇
40
76
77
77
77
因 为 77 - 15 =(76 + 1) - 15 = 76 + C177·76 + ⋯
+C - 15 = 76(76 + C ·76 + ⋯ + C ) + 1 - 15 = 4 × 19
因为 BM = x BA + y BD = 2x BE + y BD ，
y
所以 λBN = 2x BE + y BD ，
构造平面向量巧解最值问题
构造平面向量巧解最值问题以《构造平面向量巧解最值问题》为标题，本文讨论的是一种可以用来解决最值问题的有效解决方案构造平面向量法，并分析其优势和存在的问题。
首先，让我们来回顾构造平面向量法的基本概念和步骤。
构造平面向量法是指，先将向量空间中的一个点A视为解空间的起始点，然后搜索另一个或多个点B，使其与点A组成一个平面向量，该平面向量可以满足给定的最值条件。
如果有多个满足给定最值条件的平面向量，那么就可以找到最优的平面向量 (使用最小二乘法等最小化工具)，从而获得最优解。
构造平面向量法包含以下几个重要步骤：首先，选定一个解空间中的起始点，然后，根据等式求解限定条件确定要搜索的下一点，最后，采用最优化技术（如最小二乘法）找出最优解。
构造平面向量法具有许多优点，首先，它是一种非常快速高效的求解方式，避免了极值搜索法可能遇到的局部最小值的问题；其次，它是一种灵活的求解方法，能够快速有效地应用于不同类型的最值问题；此外，它还具有普遍性，能够有效地处理多维最值问题以及各种求解空间的复杂最值问题。
尽管构造平面向量法在解决最值问题方面具有许多优点，但它也存在一些问题。
首先，构造平面向量法是非线性的，它无法解决高纬度最值问题；其次，它也会受到参数设置的影响，当参数设置不合理时可能会得到错误的解决方案；此外，它也受到初始点设置的影响，如果初始点设置不合理，也可能会得到错误的解。
综上所述，构造平面向量法是一种有效的最值解决方案，它在多种最值问题中都可以取得很好的效果，但是，它也有一定的局限性，应当根据实际的情况来合理地使用和调整参数，以获得有效的求解结果。
总之，构造平面向量法作为一种有效的最值解决方案，在多维最值问题中可以取得很好的效果，但在解决高维度最值问题时，需要进行参数设置和初始点设置以获得最佳解决结果。
【向量专题】2.向量中最值(取值范围)问题解题策略
【向量专题】2.向量中最值（取值范围）问题解题策略
向量题目在高考题中除了最常见的简单运算外，还有另外一种有些难度的题目，即向量题目中的最值问题（取值范围问题），类似于其他专题，最值问题中千年不变的常见方法有利用三角函数有界性和不等式法，这次课除了这两种方法外再给出两种方法，常见的解决向量最值问题的方法有如下四种：、
向量专题中两类向量不等式。
（常被忽略）利用三角函数有界性来解，但是需要注意一下，三角函数有界性是在运算中出现正余弦的形式，所以当题目中出现了三角坐标时，又或者题目中出现了圆，椭圆，半圆的时候，如果需要设其上点的坐标，最好设成三角函数坐标的形式。
利用基本不等式解决最值问题。
利用几何图形法解决最值问题，特别需要注意在给定形状三角形内的情况。
向量中的最值来自曹老师的高中数学课00:00 29:46 注意接下来的转化：
用到了任意性注意这个结论：
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------。
论单位向量的巧用
五．
曰
一
综上可知， ／ ／ 二 ＝ ＞ 存在一个实数五 ， 使得 ： ２ － 。
ｅｌ
Ａ
６
Ｅ
Ｃ
－
－
（ ）
ｊ
评 注 ： 利 用 商 形 式 后 ， 便 于 学 生 理 解 。 令 书 或 ＝ 一 一 骨 雨 的
评注： 利用
图１ 菱形
途径之一 。
２ ． １ ． ２利用单位 向量证明定理、 等式 例 １证 明向量共线定理 向量共 线定理 阐述 如下 ： 对 于 向量 西、 ， 若 ／ ／
１ 单位向量 的概念
量。 由于是非零 向量 ， 单位 向量具有确定的方向。一个非零 个单位向量在平面直角坐标 系上 的坐标可表示为是 ：（ 『 ｌ ’ 后 ） ，
值的课题 ， 已经受到人们 广泛重视 。 向量 （ Ｖ ｅ Ｃ ｔ ｏ ｒ ） 又称矢量 ， 即
大家还 － ． Ｉ ￣ Ｊ 用前 面介绍 的两个 同 向单 位 向量相等 的性
求 出函数Ｙ ＝ ４ ｃ ｏ ｓ ｘ ＋ ３ ｓ ｉ ｎ 埔更 得最大值 与最 小值时对应 的 既有大小又有 方向的量 叫做 向量。 单位向量是 一种特殊 向量 ， 质， 的角度 （ 此处不再赘述 ） 。 在一些情况下 ，我们可 以利用单位向量的特性来 巧妙 解决数 学 中的问题 ， 其 方法新颖 ， 运算简捷 ， 是 启发学生思维 的有 效
ｌ Ｃ
：
当 高 与 裔 同 向 时 ， Ｉ ＝ ， 则 ＝ 斟 丽 ， 令 ＝ 一 尉 ， 则 有 再 ： ＝ ． 当 鬲 与 南 反 向 时 ， 裔 ： ＝ 一 鬲 ， 则 云 。 一 一 茸 同 ， 令 ： 一 罱 ， 则 有
对州
21 平面向量中最值、范围问题-备战2018高考技巧大全之高中数学黄金解题模板含解析
【高考地位】平面向量中的最值和范围问题,是一个热点问题，也是难点问题,这类试题的基本类型是根据给出的条件求某个量的最值、范围,如:向量的模、数量积、夹角及向量的系数．解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题，同时，平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，解决平面向量最值、范围问题的另一个基本思想是数形结合．在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中高档题. 【方法点评】方法一 利用基本不等式求平面向量的最值使用情景：一般平面向量求最值问题解题模板:第一步 利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系；第二步 运用基本不等式求其最值问题; 第三步 得出结论。
例1.已知点A 在线段BC 上（不含端点），O 是直线BC 外一点,且20OA aOB bOC --=，则221a ba b b+++的最小值是___________ 【答案】222例2 如右图所示，已知点G 是ABC ∆的重心，过点G 作直线与,AB AC 两边分别交于,N M 两点，且,AM x AB AN y AC ==，则2x y +的最小值为( ）A ．2B ．13C ．3223+ D ．34【答案】C【变式演练1】如图所示，已知点G 是ABC ∆的重心，过点G 作直线与,AB AC 两边分别交于,M N 两点，且,AM x AB AN y AC ==,则x y +的最小值为( ）A ．2B ．13C ．43D ．34【答案】CMNA BGQ考点：向量共线，基本不等式求最值【变式演练2】已知点A（1, 1)，B(4,0），C（2，2）．平面区域D由所有满足AP AB ACλμ=+(1≤≤a，1≤≤b）的点P（x，y)组成的区域．若区域D的面积为8,则a+b的最小值为．【答案】4考点:1、平面向量的线性运算；2、基本不等式． 【变式演练3】平行四边形ABCD 中，60,1,2,BAD AB AD P ∠===为平行四边形内一点,且22AP =，若),(R AD AB AP ∈+=μλμλ,则2u λ+的最大值为 ． 6【解析】试题分析：对),(R AD AB AP ∈+=μλμλ两边平方可得()()22AP AB AD λμ=+可化为222222APAB AB AD ADλλμμ=+⋅⋅+,据已知条件可得22122λμ=+≥,即λμ≤，又()22212223λλμ=++=+≤，则λ+≤. 考点：向量的数量积运算；基本不等式方法二 利用向量的数量积m n m n ⋅≤求最值或取值范围使用情景：涉及数量积求平面向量最值问题解题模板：第一步 运用向量的加减法用已知向量表示未知向量；第二步 运用向量的数量积的性质求解； 第三步 得出结论。
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巧用向量方法求解决最值问题
在中学数学中，对某些代数式的最值问题通常使用凑配技巧（如配方法）求解，现在高中数学增加了向量内容，我们使用向量方法求解最值问题，特别是一些无理式的最值问题，可以大大简化解题过程，提高解题效率，收到事半功倍的效果。
如果设向量，，则与的数量积为：
，从而有：（1）,当且仅当
与同向同号时取等号（2），即,当且仅当与同向同号时取等号。
完全类似地，设向量,，则与的数量积为：
，从而也有：（1）,当且仅当与同向同号时取等号；（2），即,，当且仅当与同
向同号时取等号。
在求解某些初等代数最值问题时，根据条件和结论的特点，将其转化为向量形式，利用向量的数量积，往往能避免繁杂的凑配技巧，使解答过程直观又易接受，下面简单介绍几种求解的方式方法：
1、用向量求未知数，满足整式方程的代数式的最值。
例1：已知实数满足方程,求的最值。
解：由得
设：,
则，即
2、用向量求未知数满足三元一次方程及三元二次方程的最值。
例2：已知实数满足方程即,问
的最小值
解：原方程可化为，
设：,
即的最大值为3，最小值为
3、用向量求未知数满足整式方程的分式方程的值。
例3：已知实数满足方程,求的最值。
解：设,则
设,
即：
4、用向量求无理函数的值域。
例4：求已知函数的值域。
解：由且可知,
设,
即：
5、用向量求未知数满足分式方程的代数式的最值。
例5：已知实数满足方程,求的最值。
解：设,
6、用向量求使整式为最值的未知数的值。
例5：求实数的值，使得达到最小值。
解：设,
由知
当且仅当时成立，
即：,时，等号成立。
7、用向量求未知数满足分式方程的分式的最值。
例7：已知且,求的最大
值
解：由知
设,
当且仅当时等号成立。
8、用向量求无理式的最值。
例8：如果，那么的最大值是多少？解：设,
由知：
当且仅当时，等号成立。
9、用向量求满足二次方程的函数的取值范围。
例9：如果,,则的取值范围是多少？解：设,;
由知：。