人教版九年级上第21章《一元二次方程-数学活动》ppt课件
合集下载
人教版初中数学九年级上册 21.1 一元二次方程 初中九年级数学教学课件PPT 人教版
1） (x 3)(3x 4) (x 2)2
2）（x-2）(x+3)=8
3) 2x 2 2 3x
例题例讲题解讲解
• [例３]方程（2a—4）x2 —2bx+a=0, 在什 么条件下此方程为一元二次方程？在什 么条件下此方程为一元一次方程？
解：当a≠2时是一元二次方程；当a＝ 2，b≠0时是一元一次方程；
?
问题(1) 有一块矩形铁皮,长100㎝,宽50㎝,在它
的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部分 折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒 的底面积为3600平方厘米,那么铁皮各角应切去 多大的正方形?
分析:
设切去的正方形的边长为xcm, 则盒底的长为 (100-2x)cm ,宽
3600
50㎝
1 x2
10x 900
0是一元二次方程吗？
一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程，经过整
理，都可以化为 ax2 bx c 的0形式,我们把
ax2 bx c 0(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方
程的一般形式。 想一想
为什么要限制a≠0，b,c可以为零吗？
a x 2 + b x + c = 0 (a ≠ 0)
二次项系数
一次项系数
• [例1]判断下列方程是否为一元二次方程？ • （1）3x 2 5y 3
• （2）x 2 4
• （3）x 2 1 x2
x 1
?
• （4）x 2 4 (x 2)2
下列方程那些是一元二次方程？
1.x(5x-2)=x(x+1)+4x2 2. 7x2+6=2x(3x+1)
一元二次方程解的概念
2）（x-2）(x+3)=8
3) 2x 2 2 3x
例题例讲题解讲解
• [例３]方程（2a—4）x2 —2bx+a=0, 在什 么条件下此方程为一元二次方程？在什 么条件下此方程为一元一次方程？
解：当a≠2时是一元二次方程；当a＝ 2，b≠0时是一元一次方程；
?
问题(1) 有一块矩形铁皮,长100㎝,宽50㎝,在它
的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部分 折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒 的底面积为3600平方厘米,那么铁皮各角应切去 多大的正方形?
分析:
设切去的正方形的边长为xcm, 则盒底的长为 (100-2x)cm ,宽
3600
50㎝
1 x2
10x 900
0是一元二次方程吗？
一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程，经过整
理，都可以化为 ax2 bx c 的0形式,我们把
ax2 bx c 0(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方
程的一般形式。 想一想
为什么要限制a≠0，b,c可以为零吗？
a x 2 + b x + c = 0 (a ≠ 0)
二次项系数
一次项系数
• [例1]判断下列方程是否为一元二次方程？ • （1）3x 2 5y 3
• （2）x 2 4
• （3）x 2 1 x2
x 1
?
• （4）x 2 4 (x 2)2
下列方程那些是一元二次方程？
1.x(5x-2)=x(x+1)+4x2 2. 7x2+6=2x(3x+1)
一元二次方程解的概念
人教版九年级数学上册 21.1 一元二次方程 课件(共37张PPt)
(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式。
想一想
为什么要限制a≠0，b,c可以为零吗？
a x 2 + b x + c = 0 (a ≠ 0)
二次项系数
一次项系数
例.把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次项
系数、一次项系数和常数项：
方程 3x2=5x-1 (x+2)(x -1)=6
x (x＋1) ＋ x(x＋2) ＋ (x＋1) (x＋2) ＝242.
即 x2 ＋2x－8 0＝0.
当堂训练
?
一元一次方程与一元二次 方程有什么联系与区别？
一般式 相同点 不同点
一元一次方程
一元二次方程
ax+b=0 (a≠0） ax2+bx+c=0 (a≠0） 整式方程，只含有一个未知数
未知数最高次数是1 未知数最高次数是2
1.本节学习的数学知识是： （1）一元二次方程的概念（2）一元二次方程的一般形式 2、学习的数学思想方法是 转化、建模思想。
3、如何理解一元二次方程的一般形式
ax2bxc0 (a≠0)？
（1）(a≠0)是成为一元二次方程的必要条件
找一元二次方程的二次项、一次项
解：（1）设其边长为x，则面积为x2，由题意得
4x2=25
4x2250
（2）设长为x，则宽为（x－2），由题意得 x(x－2)=100.
x2－2x－100=0. （3）设其中的较短一段为x，则较长一段为（1－x），由 题意得
x·1 = (1－x) 2 x2－3x＋1=0.
(4)设较长的直角边为x ，则较短的直角边为x -2，由题意，得
设农民收入平均每年增长的百分率是x，农民 收入一年后为5（1＋x）万元，两年后为
想一想
为什么要限制a≠0，b,c可以为零吗？
a x 2 + b x + c = 0 (a ≠ 0)
二次项系数
一次项系数
例.把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次项
系数、一次项系数和常数项：
方程 3x2=5x-1 (x+2)(x -1)=6
x (x＋1) ＋ x(x＋2) ＋ (x＋1) (x＋2) ＝242.
即 x2 ＋2x－8 0＝0.
当堂训练
?
一元一次方程与一元二次 方程有什么联系与区别？
一般式 相同点 不同点
一元一次方程
一元二次方程
ax+b=0 (a≠0） ax2+bx+c=0 (a≠0） 整式方程，只含有一个未知数
未知数最高次数是1 未知数最高次数是2
1.本节学习的数学知识是： （1）一元二次方程的概念（2）一元二次方程的一般形式 2、学习的数学思想方法是 转化、建模思想。
3、如何理解一元二次方程的一般形式
ax2bxc0 (a≠0)？
（1）(a≠0)是成为一元二次方程的必要条件
找一元二次方程的二次项、一次项
解：（1）设其边长为x，则面积为x2，由题意得
4x2=25
4x2250
（2）设长为x，则宽为（x－2），由题意得 x(x－2)=100.
x2－2x－100=0. （3）设其中的较短一段为x，则较长一段为（1－x），由 题意得
x·1 = (1－x) 2 x2－3x＋1=0.
(4)设较长的直角边为x ，则较短的直角边为x -2，由题意，得
设农民收入平均每年增长的百分率是x，农民 收入一年后为5（1＋x）万元，两年后为
人教版数学九年级上册21.1一元二次方程课件
小练习
(1)(2)(7)
1.判断下列方程________是一元二次方程。
1
2
2
（3）x=
（1）x +x=0
（2）x =1
（5）x2-3=(x-1)(x+2）
（4）x2-3+2y=0
（6）ax2+bx+c=0
（7）mx2=0(m为不等于0的常数)
解析：抓住一元二次方程的3个主要特征：①一元；②二次；③整式。（3）不
X
整理得
x2+2x-4=0
X2+2X-4=0
B
情境引入
有一块矩形铁皮，长100cm、宽50cm，在
它的四角各切去一个同样的正方形，然后将
四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒。
如果要制作的方盒的底面积为3600cm2，
那么铁皮各角应切去多大的正方形？
设切去的正方形的边长为x cm，则盒底
整理，得4x2-300x+1400=0.
解析：先把方程转化为一般情势。A.3x2--2x-5=0，一次项是-2x，不合题
意；B.9x2-16x=0，一次项是-16x，不合题意；C.x2-7x=0，一次项是-7x，
不合题意；D.x2-25=0，不含一次项，符合题意。
小练习
1.一元二次方程4x=2x2-5x+1化为一般情势是：___________；
2x2-9x+1=0
2
2x
-9x
1
其二次项是：____；一次项是：_____常数项是：__。
解析：移项得：2x2-5x-4x+1=0。合并同类项，得：2x2-9x+1=0，注意：习惯上
让二次项系数为正的，各项要连同它前面的符合。
人教版初中数学课标版九年级上册21.1一元二次方程(共17张PPT)
•
10、阅读一切好书如同和过去最杰出 的人谈 话。2021/8/102021/8/102021/8/108/10/2021 11:40:20 PM
•
11、一个好的教师，是一个懂得心理 学和教 育学的 人。2021/8/102021/8/102021/8/10Aug-2110- Aug-21
•
12、要记住，你不仅是教课的教师， 也是学 生的教 育者， 生活的 导师和 道德的 引路人 。2021/8/102021/8/102021/8/10Tues day, August 10, 2021
第二十一章 一元二方程
21.1.1一元二次方程
第二十一章 一元二方程
21.1.1一元二次方程
活动一：二次方程初体验
问题1：长 5 m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端与 墙的距离是3 m。梯子可以达到的垂直高度h是多少？
5m
h
3m
活动一：二次方程初体验
问题2：长 5 m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端与 墙的距离是3 m。若梯子底端向左滑动的距离与梯 子顶端向下滑动的距离相等，求梯子滑动的距离。
5m
3m
活动一：二次方程初体验
x 设梯子滑动的距离为 x m，ຫໍສະໝຸດ 5mx3m
整理，得
根据勾股定理，滑动前梯子的顶端 离地面 4 m，
4－x
则滑动后梯子顶端离地面（4－x ） m ，梯子底端离墙（3＋x）m，
滑动后，三边仍符合勾股定理，得
(4－x)2 ＋ (3＋x)2= 52
2x2 － 2x = 0
活动一：二次方程初体验
一元二次方程有很多很多，为了统一 形式，我们通常按降未知数的幂排列。
活动三：一元二次方程的一般式
一元二次方程的一般形式
人教版数学九年级上册21.1 一元二次方程课件(共24张PPT)
解：设小道的宽度为x米，得(20－2x)(10－x)＝120整理得x2-要建造一个长10m，宽5m玻璃顶观景亭，如图所示在它的四角建造四个截面为正方形的承重柱. 已知需要用到玻璃的面积为45m2，那么承重柱的宽度多少？
解：设承重柱的宽度为x米，得(10－x)(5-x)＝45整理得x2-15x+5＝0.
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
ax2 称为二次项， a 称为二次项系数， bx 称为一次项， b 称为一次项系数， c 称为常数项.
为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？
21.1 一元二次方程
1.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程(2022年版课标调整为“能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出一元二次方程”)2.理解一元二次方程的概念及一元二次方程根的意义；3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
某社区按照“崇尚自然、接近自然、回归自然”的原则，打造独具特色的“幸福林”，要对社区公园景观化进行改造.任务1 打造“郁金香”观赏带为了增加观赏性，要在一个占地面积为10000km2的正方形郁金香观赏园，求郁金香种植园的边长是多少呢？
例1 根据问题列出方程，判断是否为一元二次方程，若是请指出二次项系数，一次项系数和常数项
解：根据题意列方程为4x(x+2)=100去括号化为一般式为x2＋2x-25=0该方程是一元二次方程二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为-25
(2)若公园的长比宽长2，周长为100，求公园边长x;
解：根据题意列方程为2x+(x+2)=100去括号得3x-98=0该方程不是一元二次方程
解：设承重柱的宽度为x米，得(10－x)(5-x)＝45整理得x2-15x+5＝0.
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
ax2 称为二次项， a 称为二次项系数， bx 称为一次项， b 称为一次项系数， c 称为常数项.
为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？
21.1 一元二次方程
1.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程(2022年版课标调整为“能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出一元二次方程”)2.理解一元二次方程的概念及一元二次方程根的意义；3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
某社区按照“崇尚自然、接近自然、回归自然”的原则，打造独具特色的“幸福林”，要对社区公园景观化进行改造.任务1 打造“郁金香”观赏带为了增加观赏性，要在一个占地面积为10000km2的正方形郁金香观赏园，求郁金香种植园的边长是多少呢？
例1 根据问题列出方程，判断是否为一元二次方程，若是请指出二次项系数，一次项系数和常数项
解：根据题意列方程为4x(x+2)=100去括号化为一般式为x2＋2x-25=0该方程是一元二次方程二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为-25
(2)若公园的长比宽长2，周长为100，求公园边长x;
解：根据题意列方程为2x+(x+2)=100去括号得3x-98=0该方程不是一元二次方程
人教版初中数学九年级上册 21.1 一元二次方程 初中九年级数学教学课件PPT 人教版
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式 方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式
Hale Waihona Puke 一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以
化为 ax2+b的x+形c=式0,我们把
ax2+bx+c=0
(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式。
拓展
1.下列方程中,无论a为何值,总是关于x的一元
3、请抢答下列各式是否为一元二次方 程（每组3号作答）：
（1）x-2x2+√5=0
是
(3)ax2+bx+c=0
不一定
(2)4x2-3y-1=0 不是
(4)x(x+1)-2=0
是
(5)a+－a12=0
不是
(6)(m-2）2=1
是
4、一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以
特点: ①都是整式方程;
②只含一个未知数;
③未知数的最高次数是2.
2、一元二次方程的概念
• 像这样的等号两边都是整式, 只含有一 个未知数(一元)，并且未知数的最高次 数是2(二次)的方程叫做一元二次方程
(quadratic equation in one unknown)
─1 -10x-900=0是一元二次方程吗 ？a2
化为 ax2+bx的+c形=0式,我们把
ax2+bx+c=0
(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式
。
想一想
为什么要限制a≠0，b,c可以为零吗？
a x 2 + b x + c = 0 (a ≠ 0)
人教版初中数学九年级上册 21.1 一元二次方程 初中九年级数学教学课件PPT 人教版
1.一元二次方程的概念
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2的整式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以
化(a,为b,c为a常x数2 ，ab≠x0）的称c形为式一0,我元们二把次方程的一般形式。 ax2 bx c 0
谢谢
4．动脑思考，巩固训练
2．根据下列问题，列出关于 x 的方程，并将所列 方程化成一元二次方程的一般形式．
（1）4 个完全相同的正方形的面积之和是 25，求 正方形的边长 x；
（2）一个矩形的长比宽多 2，面积是 100，求矩形 的长 x；
（3）把长为 1 的木条分成两段，使较短一段的长 与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的 长 x．
高多少米?
A
分析: 雕像上部的高度AC,下部的高度BC 2-x
应有如下关系:
C
AC BC 即 BC2 2AC
x
BC 2
设雕像下部高xm,于是得方程
B
x2 2(2 x) 整理得 x2 2x 4 0
问题正方形,然后将四周突 出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要 制作的方盒的底面积为3600平方厘米,那么铁 皮各角应切去多大的正方形?
分析: 全部比赛共 4×7=28场
设应邀请x个队参赛,每个队要与其他 (x-1) 个队各
赛1场,
由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是
同一场比赛,所以全部比赛共
1 x(x 1) 2
28场.
即
x2 x 56
1．细心观察，归纳定义
思考：观察上述三个方程，它们与一元一次方程有 什么共同点？有什么不同点？
21.1 一元二次方程
人教版九年级数学 上第21章一元二次方程21.2.3因式分解解一元二次方程课件(16张PPT)(9.
复习十字相乘法
把这个方程 x215x500因式分解后的结果是？
A .(x10)(x5)0 √B .(x10)(x5)0
1
-10
1
-5
1 x (-5) + 1 x (-10) = -15
解一元二次方程
因式分解的主要方法
提公因式法
十字相乘法
a2x b xc0(a0)
公式法
完全平方公式法
平方差公式
解一元二次方程
因式分解法
7x22.1x0 降次 1、因式分解
解： x(7x2.1 )0
2、化为两个一次式的乘积
x0 或 (7x2.1)0 3、使两个一次式的乘积分别等于0
x10, x20.3
如 a b 果 0 ,那 a 0 么 或 b 0 .
解一元二次方程
因式分解法
练一练
x2 6x0 解： x(x6)0
第二十一章 一元二次方程 21.2 解一元二次方程
21.2.3 因式分解法
解一元二次方程
解一元二次方程
直接开平方法
配方法
公式法
a2x b xc0(a0)
7x22.1x0
解一元二次方程
解一元二次方程
7x22.1x0 用哪个解法更简单？
直接开平方？
配方法？
公式法？
x20.3x0 x2 0 .3 x (0 .1)2 5 (0 .1)2 5
x=0或(x6)0
x1 = 0 x2=6
解一元二次方程
因式分解法
7x22.1x0 解： x(7x2.1 )0
x2 6x0 解： x(x6)0
x2 8x9 解： x(x8)9
如 a b 果 0 ,那 a 0 么 或 b 0 .
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2．动脑思考，解决问题
三角点阵中前 n 行的点数和能是 600 吗？如果能， 求出 n；如果不能，试用一元 二次方程说明道理．
（n n+）1 2
= 600
n 2 + n - 1 200 = 0 方程无整数根，所以不存在点数和为 600 的情况．
3．拓展延伸
如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换为 2， 4，6，…，2n，…，你能探究出前 n 行的点数和满足什 么规律吗？这个三角形点阵中前 n 行的点数和能是 600 吗？如果能，求出 n；如果不能，试用一元二次方程说 明道理．
……
前 n 行的点数和： 1+2+3+…+ n-2 （+ n-）1 +n=（ ） ．
（n n+）1 2
2．动脑思考，解决问题
假设三角点阵中前 n 行的点数和为 300，求 n 的值．
600 = 0
解方程： n 1 = 24， n 2 = -25（舍去）．
九年级 上册
数学活动
课件说明
▪ 本课探究三角点阵中前 n 行的点数和所满足的规律， 并应用规律进行计算．
课件说明
• 学习目标： 1．探究发现三角点阵中前 n 行的点数规律，并能用 于计算； 2．掌握从特殊到一般，从个别到整体地观察、分析 问题的方法，建立数学模型解决问题，培养应用 意识．
1．创设情境，发现规律
…… 三角点阵中，从上往下有无数多行，其中第一行有 1 个点，第二行有 2 个点……第 n 行有 n 个点……
1．创设情境，发现规律
前 1 行的点数和：1 前 2 行的点数和：3 前 3 行的点数和：6 前 4 行的点数和：10
……
前 n 行的点数和：
？
1．创设情境，发现规律
用试验的方法，由上而下 逐行相加其点数，可以得到结 果，但是当 n 很大的时候，我 们怎么简捷地得出答案呢？