角平分线与垂直平分线练习题(经典)
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图1
图2 D C E A B 0角平分线
角平分线性质定理:角平分线上的点到这个角两边的距离相等。
角平分线的判定: 到一个叫两边的距离相等的点在这个角的平分线上。
例1.如图,在ABC △中,90C ∠=,AD 平分CAB ∠,8cm 5cm BC BD ==,,那么D 点到直线AB 的距离是cm .
例2.如图,已知在Rt △ABC 中,∠C =90°, BD 平分∠ABC ,
交AC 于D .
(1) 若∠BAC =30°, 则AD 与BD 之间有何数量关系,说
明你的理由;
(2) 若AP 平分∠BAC ,交BD 于P , 求∠BPA 的度数. 3、考点深入练习
例3:如图:在△ABC 中,BE 、CF 分别是AC 、AB 两边上的高,在BE 上截取BD=AC ,在CF 的延长线上截取CG=AB ,连结AD 、AG 。
求证:(1)AD=AG ,(2)AD 与AG 的位置关系如何。 例4:两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置,图2是由它抽象出的几何图形,B ,C ,E 在同一条直线上,连结DC .(8分)
(1)请找出图2中的全等三角形,并给予证明(说明:结论中不得含有未标识的字母);
(2)证明:DC ⊥BE
例5:△DAC,△EBC 均是等边三角形,AE,BD 分别与CD,CE 交于点M,N. 求证:(1)AE=BD (2)CM=CN (3)△CMN 为等边三角形(4)MN ∥BC
垂直平分线的性质与判定强化练习
1如图1,在△ABC 中,BC =8cm ,AB 的垂直平分线交AB 于点D ,交边AC 于点E ,△BCE 的周长等于18cm ,则AC 的长等于 ( )
A .6cm
B .8cm
C .10cm
D .12cm
D
A C
B N M
A B C P A
B C D G
H
F E D C
B A E
2题
2如图,在Rt ABC
△中,90
ACB D E
∠=,,分别为AC AB
,的中点,连DE CE
,.
下列结论中不一定正确的是()
A.ED BC
∥ B.ED AC
⊥ C.ACE BCE
∠=∠ D.AE CE
=
3、△ABC中,∠C=90°,AB的中垂线交直线BC于D,若∠BAD-∠DAC=22.5°,则∠B等
于()
A.37.5°
B.67.5°
C.37.5°或67.5°
D.无法确定
4、线段的垂直平分线上的点_____________________________________.
5、到一条线段的两个端点的距离相等的点,______________________.
6、如图,在△ABC中,AC的垂直平分线交AC于E,交BC于D,△ABD的周长是12 cm,AC=5cm,
则AB+BD+AD=cm;AB+BD+DC=cm;△ABC的周长是cm。
3题 4题
7、如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=15°,DE是AB的中垂线,垂足为D,交BC于E,
BE=5,则AE=__________,∠AEC=__________,AC=__________ 。
8在△ABC中,∠C=90°,用直尺和圆规在AC上作点P,使P到A、B的距离相等(保
留作图痕迹,不写作法和证明).
9如图4,AB=AD,BC=CD,AC、BD相交于点E.由这些条件可以得出若干结论,请你
写出其中三个正确结论(不要添加字母和辅助线,不要求证明).
10、如右图,在△ABC中,AB=AC, BC=12,∠BAC =120°,AB的垂
直平分线交BC边于点E, AC的垂直平分线交BC边于点N。
(1) 求△AEN的周长。
(2) 求∠EAN的度数。
(3) 判断△AEN的形状。
11、如图,已知线段CD垂直平分线AB,AB平分CAD
∠问AD与BC平行吗?请说明理
由。
A
B
D
E
M
N
12、如图,已知AOB ∠和AOB ∠内两点M 、N 画一点P 使它到AOB ∠的两边距离相等,且到点M 和N 的距离相等。
如图,在△ABC 的AB 、AC 边的外侧作等边△ACE 和等边△ABF ,连接BE 、CF 相交于
点O ,(1)求证:CF=BE ;(2)连AO ,则:①AO 平
分∠BAC ;②OA 平分∠EOF ,你认为正确的是
②
(填①或②).并证明你的结论.
(1)证明:∵△ABF 和△ACE 是等边三角形,∴AB=AF ,AC=AE ,∠FAB=∠EAC=60°,∴
∠FAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC ,即∠FAC=∠BAE ,在△ABE 与△AFC 中,AB=AF ∠BAE=FAC AE=AC ∴△ABE ≌△AFC (SAS ) ∴BE=FC ;(2)解:连AO ,过A 分别作AP ⊥CF 与P ,AM ⊥BE 于Q ,如图,∵△ABE ≌△AFC ,∴S △A B E =S △A F C ,∴
1
2
AP •CF=
1
2
AQ •BE ,而CF=BE ,∴AP=AQ ,∴OA 不一定平分∠MAN ,所以①错误;∵在RT △AOP 和RT △AOM 中,
AP =AM AO =AO
,∴RT △AOP ≌RT △AOM (HL )∴∠AOF=∠AOE ,所以②正确.故答案为②.