线段垂直平分线经典练习题
线段的垂直平分线典型问题综合训练(含解析)
线段的垂直平分线典型问题综合训练（含解析）一．选择题（共11小题）1．如图，在△ABC中，分别以点A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧分别交于点D，E，则直线DE是（）A．∠A的平分线B．AC边的中线C．BC边的高线D．AB边的垂直平分线2．到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（）A．三条高的交点B．三条角平分线的交点C．三条边的垂直平分线的交点D．三条中线的交点3．下列条件中，不能判定直线MN是线段AB（M，N不在AB上）的垂直平分线的是（）A．MA=MB，NA=NB B．MA=MB，MN⊥ABC．MA=NA，MB=NB D．MA=MB，MN平分AB4．如图，在△ABC中，AB的中垂线交AB于点，交BC于点D，若△ADC的周长为17cm，AC=5cm，则BC的长为（）A．7cm B．10cm C．12cm D．22cm5．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AC=6cm，且△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（）cm．A．13 B．19 C．10 D．166．如图，在△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（）A．65°B．60°C．55°D．45°7．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若CD=AC，∠A=50°，则∠ACB的度数为（）A．90°B．95°C．100°D．105°8．如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是（）A．1对B．2对C．3对D．4对9．如图，△ABC中，∠BAC=100°，DF，EG分别是AB，AC的垂直平分线，则∠DAE等于（）A．50°B．45°C．30°D．20°10．如图，△ABC的两边AB和AC的垂直平分线分别交BC于D、E，如果边BC长为8cm，则△ADE的周长为（）A．16cm B．8cm C．4cm D．不能确定11．如图，有A、B、C三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（）A．AC、BC两边高线的交点处B．AC、BC两边垂直平分线的交点处C．AC、BC两边中线的交点处D．∠A、∠B两内角平分线的交点处二．填空题（共6小题）12．如图，D为BC边上一点，且BC=BD+AD，则AD DC，点D在的垂直平分线上．13．如图，若△ACD的周长为7cm，DE为AB边的垂直平分线，则AC+BC=cm．14．两组邻边分别相等的四边形我们称它为筝形．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC与BD 相交于点O，下列判断正确的有．（填序号）．①AC⊥BD；②AC、BD互相平分；③AC平分∠BCD；④∠ABC=∠ADC=90°；⑤筝形ABCD的面积为．15．如图，∠BAC=110°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是．16．如图，在△ABC中，AD垂直平分BC，AC=EC，点B、C、D、E在同一直线上，则AB+BD DE （用“＜”，“＞”，“=”填空）．17．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF=．三．解答题（共7小题）18．已知直线l及其两侧两点A、B，如图．（1）在直线l上求一点P，使PA=PB；（2）在直线l上求一点Q，使l平分∠AQB．（以上两小题保留作图痕迹，标出必要的字母，不要求写作法）19．如图，△ABC中，边AB、BC的垂直平分线交于点P，探究：点P是否也在边AC的垂直平分线上．20．某公园有海盗船、摩天轮、碰碰车三个娱乐项目，现要在公园内建一个售票中心，使得三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，请在图中确定售票中心的位置．21．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线交BC于点D，交AB延长线于点E，连接CE．求证：∠BCE=∠A+∠ACB．22．如图，在△ABC中，∠A=60°，点D是BC边的中点，DE⊥BC，∠ABC的角平分线BF交DE于△ABC 内一点P，连接PC．（1）若∠ACP=24°，求∠ABP的度数；（2）若∠ACP=m°，∠ABP=n°，请直接写出m，n满足的关系式：．23．如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD=DE．（1）若∠BAE=40°，求∠C的度数；（2）若△ABC周长13cm，AC=6cm，求DC长．24．已知：如图，在△ABC中，∠BAC=120°，若PM、QN分别垂直平分AB、AC．（1）求∠PAQ的度数；（2）如果BC=10cm，求△APQ的周长．线段的垂直平分线典型问题综合训练参考答案与试题解析一．选择题（共11小题）1．如图，在△ABC中，分别以点A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧分别交于点D，E，则直线DE是（）A．∠A的平分线B．AC边的中线C．BC边的高线D．AB边的垂直平分线【分析】由作图可知DA=DB，EA=EB，所以点D，E在线段AB的垂直平分线上，问题得解．【解答】解：∵分别以点A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧分别交于点D，E，∴DA=DB，EA=EB，∴点D，E在线段AB的垂直平分线上，故选D．2．到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（）A．三条高的交点B．三条角平分线的交点C．三条边的垂直平分线的交点D．三条中线的交点【分析】根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等解答即可．【解答】解：到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点，故选：C．3．下列条件中，不能判定直线MN是线段AB（M，N不在AB上）的垂直平分线的是（）A．MA=MB，NA=NB B．MA=MB，MN⊥AB C．MA=NA，MB=NB D．MA=MB，MN平分AB【分析】根据线段垂直平分线的判定定理进行判断即可．【解答】解：∵MA=MB，NA=NB，∴直线MN是线段AB的垂直平分线；∵MA=MB，MN⊥AB，∴直线MN是线段AB的垂直平分线；当MA=NA，MB=NB时，直线MN不一定是线段AB的垂直平分线；∵MA=MB，MN平分AB，∴直线MN是线段AB的垂直平分线，故选：C．4．如图，在△ABC中，AB的中垂线交AB于点，交BC于点D，若△ADC的周长为17cm，AC=5cm，则BC的长为（）A．7cm B．10cm C．12cm D．22cm【分析】根据垂直平分线的性质得到DB=DA，根据三角形的周长公式计算即可．【解答】解：∵DE是AB的中垂线，∴DB=DA，∵△ADC的周长为17cm，∴AD+DC+AC=17cm，∴BD+DC+AC=17cm，即BC+AC=17cm，∴BC=17﹣5=12cm，故选：C．5．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AC=6cm，且△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（）cm．A．13 B．19 C．10 D．16【分析】根据线段垂直平分线得出AD=DC，求出三角形ABD周长=AB+BC=13cm，即可求出答案．【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，∴AD=DC，∵△ABD的周长为13cm，∴AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=13cm，∵AC=6cm，∴△ABC的周长为AB+BC+AC=13cm+6cm=19cm，故选B．6．如图，在△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（）A．65°B．60°C．55°D．45°【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AD=DC，根据等腰三角形的性质得到∠C=∠DAC，求得∠DAC=30°，根据三角形的内角和得到∠BAC=95°，即可得到结论．【解答】解：由题意可得：MN是AC的垂直平分线，则AD=DC，故∠C=∠DAC，∵∠C=30°，∴∠DAC=30°，∵∠B=55°，∴∠BAC=95°，∴∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=65°，故选A．7．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若CD=AC，∠A=50°，则∠ACB的度数为（）A．90°B．95°C．100°D．105°【分析】由CD=AC，∠A=50°，根据等腰三角形的性质，可求得∠ADC的度数，又由题意可得：MN是BC 的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得：CD=BD，则可求得∠B的度数，继而求得答案．【解答】解：∵CD=AC，∠A=50°，∴∠ADC=∠A=50°，根据题意得：MN是BC的垂直平分线，∴CD=BD，∴∠BCD=∠B，∴∠B=∠ADC=25°，∴∠ACB=180°﹣∠A﹣∠B=105°．故选D．8．如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是（）A．1对B．2对C．3对D．4对【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA=OC，然后判断出△AOE和△COE 全等，再根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，从而得到△ABC关于直线AD轴对称，再根据全等三角形的定义写出全等三角形即可得解．【解答】解：∵EF是AC的垂直平分线，∴OA=OC，又∵OE=OE，∴Rt△AOE≌Rt△COE，∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴△ABC关于直线AD轴对称，∴△AOC≌△AOB，△BOD≌△COD，△ABD≌△ACD，综上所述，全等三角形共有4对．故选D．9．如图，△ABC中，∠BAC=100°，DF，EG分别是AB，AC的垂直平分线，则∠DAE等于（）A．50°B．45°C．30°D．20°【分析】从已知条件进行思考，由∠BAC=100°得∠B+∠C=80°，根据垂直平分线的性质，得∠BAD+∠EAC=80°于是答案可得．【解答】解：根据线段的垂直平分线性质，可得AD=BD，AE=GE．故∠EAC=∠ECA，∠ABD=∠BAD．因为∠BAC=100°，∠ABD+∠ACE=180°﹣100°=80°，∴∠DAE=100°﹣∠BAD﹣∠EAC=20°．故选D10．如图，△ABC的两边AB和AC的垂直平分线分别交BC于D、E，如果边BC长为8cm，则△ADE的周长为（）A．16cm B．8cm C．4cm D．不能确定【分析】根据线段垂直平方根性质得出BD=AD，AE=CE，求出△ADE的周长=BC，代入即可求出答案．【解答】解：∵DF是AB的垂直平分线，∴AD=BD，同理AE=EC，∴△ADE的周长是AD+AE+ED=BD+CE+DE=BC=8cm，故选B．11．如图，有A、B、C三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（）A．AC、BC两边高线的交点处B．AC、BC两边垂直平分线的交点处C．AC、BC两边中线的交点处D．∠A、∠B两内角平分线的交点处【分析】根据线段垂直平分线的性质即可得出答案．【解答】解：根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，超市应建在边AC和BC的垂直平分线上，故选B．二．填空题（共6小题）12．如图，D为BC边上一点，且BC=BD+AD，则AD=DC，点D在AC的垂直平分线上．【分析】结合图形易得AD=DC；根据“到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”解答．【解答】解：∵BC=BD+DC，BC=BD+AD，∴AD=CD；∴D在AC的垂直平分线上．故答案为：=，AC．13．如图，若△ACD的周长为7cm，DE为AB边的垂直平分线，则AC+BC=7cm．【分析】由已知条件，根据垂直平分线的性质得到AD=BD，进行等量代换后可得答案．【解答】解：∵DE为AB边的垂直平分线∴DA=DB∵△ACD的周长为7cm∴AD+AC+CD=AC+BC=7．故填7．14．两组邻边分别相等的四边形我们称它为筝形．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC与BD 相交于点O，下列判断正确的有①③⑤．（填序号）．①AC⊥BD；②AC、BD互相平分；③AC平分∠BCD；④∠ABC=∠ADC=90°；⑤筝形ABCD的面积为．【分析】根据题意AB=AD，BC=DC，AC与BD相交于点O可以证明△ABC≌△ADC、△ABO≌△ADO，可得AC、BD互相垂直，AC平分∠BAD、∠BCD．【解答】解：∵在△ABC与△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SSS）．∴∠BAO=∠DAO，∠BCO=∠DCO，即AC平分∠BCD．故③正确；∵AC平分∠BAD、∠BCD，△ABD与△BCD均为等腰三角形，∴AC、BD互相垂直，但不平分．故①正确，②错误；当AC2≠AB2+BC2时，∠ABC≠90°．同理∠ADC≠90°．故④错误；∵AC、BD互相垂直，∴筝形ABCD的面积为：AC•BO+AC•OD=AC•BD．故⑤正确；综上所述，正确的说法是①③⑤．故答案是：①③⑤．15．如图，∠BAC=110°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是40°．【分析】根据三角形内角和定理求出∠B+∠C的度数，根据线段的垂直平分线的性质得到PA=PB，QA=QC，得到∠PAB=∠B，∠QAC=∠C，结合图形计算即可．【解答】解：∵∠BAC=110°，∴∠B+∠C=70°，∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC，∴PA=PB，QA=QC，∴∠PAB=∠B，∠QAC=∠C，∴∠PAB+∠QAC=∠B+∠C=70°，∴∠PAQ=∠BAC﹣（∠PAB+∠QAC）=40°，故答案为：40°．16．如图，在△ABC中，AD垂直平分BC，AC=EC，点B、C、D、E在同一直线上，则AB+BD=DE（用“＜”，“＞”，“=”填空）．【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AB=AC，BD=CD，然后可得AB=CE，利用等量代换可得AB+BD=DC+CE=DE．【解答】解：∵AD垂直平分BC，∴AB=AC，BD=CD，∵AC=EC，∴AB=CE，∴AB+BD=DC+CE=DE，故答案为：=．17．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF=48°．【分析】根据角平分线定义求出∠ABC=2∠ABD=48°，∠DBC=∠ABD=24°，根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据线段垂直平分线性质求出FC=FB，求出∠FCB，即可求出答案．【解答】解：∵BD平分∠ABC，∠ABD=24°，∴∠ABC=2∠ABD=48°，∠DBC=∠ABD=24°，∵∠A=60°，∴∠ACB=180°﹣∠A﹣∠ACB=180°﹣60°﹣48°=72°，∵FE是BC的中垂线，∴FB=FC，∴∠FCB=∠DBC=24°，∴∠ACF=∠ACB﹣∠FCB=72°﹣24°=48°，故答案为：48°．三．解答题（共7小题）18．已知直线l及其两侧两点A、B，如图．（1）在直线l上求一点P，使PA=PB；（2）在直线l上求一点Q，使l平分∠AQB．（以上两小题保留作图痕迹，标出必要的字母，不要求写作法）【分析】（1）作线段AB的垂直平分线与l的交点即为所求；（2）作点A关于l的对称点A′，连接BA′并延长交l于点Q，点Q即为所求．【解答】解：如上图所示19．如图，△ABC中，边AB、BC的垂直平分线交于点P，探究：点P是否也在边AC的垂直平分线上．【分析】因为到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，所以点P是否在AC的垂直平分线上，只需判断PA是否等于PC即可．【解答】证明：∵边AB，BC的垂直平分线交于点P，∴PA=PB，PB=PC．∴PA=PB=PC．∴点P必在AC的垂直平分线上．20．某公园有海盗船、摩天轮、碰碰车三个娱乐项目，现要在公园内建一个售票中心，使得三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，请在图中确定售票中心的位置．【分析】由三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，可得售票中心是海盗船、摩天轮、碰碰车三个娱乐场组成三角形的三边的垂直平分线的交点．【解答】解：如图，①连接AB，AC，②分别作线段AB，AC的垂直平分线，两垂直平分线相较于点P，则P即为售票中心．21．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线交BC于点D，交AB延长线于点E，连接CE．求证：∠BCE=∠A+∠ACB．【分析】根据线段垂直平分线的想知道的CE=BE，根据等腰三角形的性质得到∠ECB=∠EBC，根据三角形的外角的性质即可得到结论．【解答】证明：∵BC的垂直平分线交BC于点D，交AB延长线于点E，∴CE=BE，∴∠ECB=∠EBC，∵∠EBC=∠A+∠ACB，∴∠BCE=∠A+∠ACB．22．如图，在△ABC中，∠A=60°，点D是BC边的中点，DE⊥BC，∠ABC的角平分线BF交DE于△ABC 内一点P，连接PC．（1）若∠ACP=24°，求∠ABP的度数；（2）若∠ACP=m°，∠ABP=n°，请直接写出m，n满足的关系式：m+3n=120．【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质，可得∠PBC=∠PCB，根据角平分线的定义，可得∠PBC=∠PCB=∠ABP，最后根据三角形内角和定理，即可得到∠ABP的度数；（2）运用（1）中的方法，即可得出m，n满足的关系式．【解答】解：（1）∵点D是BC边的中点，DE⊥BC，∴PB=PC，∴∠PBC=∠PCB，∵BP平分∠ABC，∴∠PBC=∠ABP，∴∠PBC=∠PCB=∠ABP，∵∠A=60°，∠ACP=24°，∴∠PBC+∠PCB+∠ABP=120°﹣24°，∴3∠ABP=120°﹣24°，∴∠ABP=32°；（2）∵点D是BC边的中点，DE⊥BC，∴PB=PC，∴∠PBC=∠PCB，∵BP平分∠ABC，∴∠PBC=∠ABP，∴∠PBC=∠PCB=∠ABP=n°，∵∠A=60°，∠ACP=m°，∴∠PBC+∠PCB+∠ABP=120°﹣m°，∴3∠ABP=120°﹣m°，∴3n°+m°=120°，故答案为：m+3n=120．23．如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD=DE．（1）若∠BAE=40°，求∠C的度数；（2）若△ABC周长13cm，AC=6cm，求DC长．【分析】（1）根据线段垂直平分线和等腰三角形性质得出AB=AE=CE，求出∠AEB和∠C=∠EAC，即可得出答案；（2）根据已知能推出2DE+2EC=7cm，即可得出答案．【解答】解：（1）∵AD垂直平分BE，EF垂直平分AC，∴AB=AE=EC，∴∠C=∠CAE，∵∠BAE=40°，∴∠AED=70°，∴∠C=∠AED=35°；（2）∵△ABC周长13cm，AC=6cm，∴AB+BE+EC=7cm，即2DE+2EC=7cm，∴DE+EC=DC=3.5cm．24．已知：如图，在△ABC中，∠BAC=120°，若PM、QN分别垂直平分AB、AC．（1）求∠PAQ的度数；（2）如果BC=10cm，求△APQ的周长．【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得PA=PB，再根据等边对等角的性质可得∠PAB=∠B，同理求出∠QAC=∠C，然后根据三角形的内角和定理求出∠B+∠C=60°，然后进行计算即可得解；（2）求出△APQ的周长=BC，然后代入数据即可得解．【解答】解：（1）∵PM垂直平分AB，∴PA=PB，∴∠PAB=∠B，同理，QA=QC，∴∠QAC=∠C，∵∠BAC=120°，∴∠B+∠C=180°﹣120°=60°，∴∠PAQ=∠BAC﹣（∠PAB+∠QAC）=∠BAC﹣（∠B+∠C）=120°﹣60°=60°；（2）由（1）可知：PA=PB，QA=QC，∴PA+PQ+QA=PB+PQ+QC=BC=10cm，即△APQ的周长为10cm．。
垂直平分线专项练习30题(有答案)ok
垂直平分线专项练习30题(有答案)ok垂直平分线专项练习30题（有答案）1．如图，在△ABC中，∠BAC=2∠B，DE⊥AB于点D，交BC于点E，AC=AD=BD，请你猜想∠C的度数并证明．2．如图，在△ABC中，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线PQ相交于点P，过点P分别作PN⊥AB于N，PM⊥AC 于点M，求证：BN=CM．3．如图，在△ABC中，D是BC的垂直平分线DH上一点，DF⊥AB于F，DE⊥AC交AC的延长线于E，且BF=CE．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若∠BAC=80°，求∠DCB的度数．4．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=52°，AB的垂直平分线MN交AC于点D．求∠DBC的度数．5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=45°，∠BAC=90°，AB=AC，点D是AB的中点，AF⊥CD于H交BC于F，BE∥AC交AF的延长线于E．求证：BC垂直且平分DE．6．已知△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于F．求证：∠BAF=∠ACF．7．如图，△ABC中，边AB、BC的垂直平分线交于点P．（1）求证：PA=PB=PC；（2）点P是否也在边AC的垂直平分线上？由此你还能得出什么结论？8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E是边AB上两点，且CE所在直线垂直平分线段AD，CD平分∠BCE，AC=5cm，求BD的长．9．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线EF交BC的延长线于点F，连接AF，求证：∠CAF=∠B．10．如图，在△ABC中，AD是∠BAC平分线，AD的垂直平分线分别交AB、BC延长线于F、E．求证：（1）∠EAD=∠EDA；（2）DF∥AC；（3）∠EAC=∠B．11．如图所示，AD是△ABC中∠BAC的平分线，AD的垂直平分线EF交BC的延长线于F，试说明∠BAF=∠ACF 的理由．12．如图所示，在△ABC中，AB=AC=16cm，D为AB的中点，DE⊥AB交AC于E，△BCE的周长为26cm，求BC的长．13．如图，在△ABC中，EN，DM分别是AB，AC边的垂直平分线，BC=8cm．求△AED的周长．14．如图，在△ABC中，0E，OF分别是AB，AC的中垂线，∠ABO=20°，∠ABC=45°，求∠BAC和∠ACB的度数．15．如图所示，△ABC中，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点E，EF⊥AB，EG⊥AC，垂足分别为F、G，则BF=CG吗？说明理由．16．在△ABC中，BC边的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，BE=5，△BCE的周长为18 即BE+CE+BC=18，求BC的长？17．如图1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=130°，边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q．（1）求∠PAQ的度数；（2）如图2，△ABC中，AB＞AC，且90°＜∠BAC＜180°，边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q．①若∠BAC=130°，则∠PAQ=_________°，若∠BAC=α，则∠PAQ用含有α的代数式表示为_________；②当∠BAC=_________°时，能使得PA⊥AQ；③若BC=10cm，则△PAQ的周长为_________cm．18．如图，△ABC中，AB=AC=14cm，D是AB的中点，DE⊥AB于D交AC于E，△EBC的周长是24cm，求BC 的长度．19．已知：如图，在△ABC中，AB=AC=32，AB的垂直平分线DE分别交AB、AC于点E、D．（1）若△DBC的周长为56，求BC的长；（2）若BC=21，求△DBC的周长．20．在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，l1与l2相交于点O．△ADE 的周长为6cm．（1）求BC的长；（2）分别连结OA、OB、OC，若△OBC的周长为16cm，求OA的长．21．如图，在△ABC中，E、F分别是AB、AC上的点，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，求证：AD垂直平分EF．22．如图，AD是△ABC的角平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于点F．求证：∠FAC=∠B．23．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于P、Q．（1）若BC=10，求△APQ周长是多少？（2）若∠BAC=110°，求∠PAQ的度数是多少？24．已知，如图，AD是BC的垂直平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：（1）∠ABD=∠ACD；（2）DE=DF．25．如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF．求证：AD垂直平分EF．26．如图，△ABC中，E是BC边上的中点，DE⊥BC于E，DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，BM=CN 试证明：点D在∠BAC的平分线上．27．如图，△ABC中，BC=7，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G．求△AEG的周长．28．如图，在△ABC中，M为BC的中点，DM⊥BC，DM与∠BAC的角平分线交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，求证：BE=CF．29．已知，如图，DE为△ABC的边AB的垂直平分线，CD为△ABC的外角平分线，与DE交于D，DM⊥BC于M，DN⊥AC于N，求证：AN=BM．30．如图所示，在△ABC中，AB=8，AC=4，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线交于点D，过点D作DE⊥AB 于点E，DF⊥AC（或AC的延长线）于点D．（1）求证：BE=CF；（2）求AE的长．参考答案：1．解：∠C=90°．证明：如图，连接AE，在Rt△AED和Rt△BED中，，∴△AED≌△BED（HL），∴∠DAE=∠B，又∵∠BAC=2∠B，∴∠DAE=∠CAE，在△AED和△BED中，，∴△ACE≌△ADE，∴∠C=∠ADE=90°．2．证明：连接PB，PC，∵AP是∠BAC的平分线，PN⊥AB，PM⊥AC，∴PM=PN，∠PMC=∠PNB=90°，∵P在BC的垂直平分线上，∴PC=PB，在Rt△PMC和Rt△PNB中，∴Rt△PMC≌Rt△PNB（HL），∴BN=CM．3．（1）证明：如图，连接BD，∵DH垂直平分BC，∴BD=CD，在Rt△BDF和Rt△CDE中，，∵DF⊥AB于F，DE⊥AC，∴AD平分∠BAC；（2）解：∵Rt△BDF≌Rt△CDE，∴∠CDE=∠BDF，∴∠BDC=∠EDF，∵∠BAC=80°，∴∠EDF=360°﹣90°×2﹣80°=100°，∴∠BDC=100°，∵BD=CD，∴∠DCB=（180°﹣100°）=50°4．解：∵AB=AC，∠A=52°，∴∠ABC=∠ACB==64°，∵AB的垂直平分线MN，∴AD=BD，∠A=∠ABD=52°，∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=64°﹣52°=12°5．证明：在△ADC中，∠DAH+∠ADH=90°，∠ACH+∠ADH=90°，∴∠DAH=∠DCA，∵∠BAC=90°，BE∥AC，∴∠CAD=∠ABE=90°．又∵AB=CA，∴在△ABE与△CAD中，∴△ABE≌△CAD（ASA），∴AD=BE，又∵AD=BD，∴BD=BE，在Rt△ABC中，∠ACB=45°，∠BAC=90°，AB=AC，故∠ABC=45°．∵BE∥AC，∴∠EBD=90°，∠EBF=90°﹣45°=45°，∴△DBP≌△EBP（SAS），∴DP=EP，即可得出BC垂直且平分DE6．证明：∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1=∠2，∵FE是AD的垂直平分线，∴FA=FD（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等），∴∠FAD=∠FDA（等边对等角），∵∠BAF=∠FAD+∠1，∠ACF=∠FDA+∠2，∴∠BAF=∠ACF7．证明：（1）∵边AB、BC的垂直平分线交于点P，∴PA=PB，PB=PC．∴PA=PB=PC．还可得出结论：①三角形三边的垂直平分线相交于一点．②这个点与三顶点距离相等8．解：因为CE垂直平分AD，所以AC=CD=5cm．所以∠ACE=∠ECD．因为CD平分∠ECB，所以∠ECD=∠DCB．因为∠ACB=90°，所以∠ACE=∠ECD=∠DCB=30°．所以∠A=90°﹣∠ACE=60°．所以∠B=90°﹣∠A=30°．所以∠DCB=∠B．所以BD=CD=5cm9．证明：∵EF垂直平分AD，∴AF=DF，∠ADF=∠DAF，∵∠ADF=∠B+∠BAD，∠DAF=∠CAF+∠CAD，又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠CAF=∠B10．解：（1）∵EF是AD的垂直平分线，∴AE=DE，∴∠EAD=∠EDA；（2）∵EF是AD的垂直平分线，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA，∵AD是∠BAC平分线，∴∠FAD=∠CAD，∴∠FDA=∠CAD，∴DF∥AC；（3）∵∠EAC=∠EAD﹣∠CAD，∠B=∠EDA﹣∠BAD，且∠BAD=∠CAD，∠EAD=∠EDA，∴∠EAC=∠B11．解：∵EF垂直平分AD，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA．又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵∠BAF=∠BAD+∠FAD，∠ACF=∠DAC+∠FDA，∴∠BAF=∠ACF12．解：∵点D中AB的中点，DE⊥AB，∴DE是AB的中垂线，∴AE=BE，∴△BCE的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC=26，∴BC=26﹣AC=26﹣16=10cm13．解：∵EN，DM分别是AB，AC边的垂直平分线，∴BE=AE，CD=AD，14．解：连接AO并延长，交BC于点D，∵0E，OF分别是AB，AC的中垂线，∴OB=OA，OC=OA，∴OC=OB，∠ABO=∠BAO=20°，∠CBO=∠BCO，∠CAO=∠ACO，∵∠ABC=45°，∴∠CBO=∠BCO=25°，∴∠BOC=180°﹣∠CBO﹣∠BCO=130°，∵∠BOD=∠ABO+∠BAO，∴∠BOD=40°，∠COD=90°．∵∠COD=∠CAO+∠ACO，∴∠CAO=45°，∴∠BAC=∠BAO+∠CAO=65°，∠ACB=∠BCO+∠ACO=70°15．解：BF=CG；理由如下：因为点E在BC的垂直平分线上，所以BE=CE．因为点E在∠BAC的角平分线上，且EF⊥AB，EG⊥AC，所以EF=EG，在Rt△EFB和Rt△EGC中，因为BE=CE，EF=EG，所以Rt△EFB≌Rt△EGC（HL）．所以BF=CG16．解：∵BC边的垂直平分线DE，∴BE=CE=5，∵BE+CE+BC=18，∴BC=18﹣5﹣5=8，答：BC的长是817．解：（1）∵边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q，∴AP=BP，AQ=CQ，∴∠BAP=∠B，∠CAQ=∠C，∵∠BAC=130°，∴∠B+∠C=180°﹣∠BAC=50°，∴∠BAP+∠CAQ=50°，∴∠PAQ=∠BAC﹣（∠BAP+∠CAQ）=130°﹣50°=80°；（2）①∵边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q，∴AP=BP，AQ=CQ，∴∠BAP=∠B，∠CAQ=∠C，∵∠BAC=130°，∴∠B+∠C=180°﹣∠BAC=50°，∴∠BAP+∠CAQ=50°，∴∠PAQ=∠BAC﹣（∠BAP+∠CAQ）=130°﹣50°=80°；∵边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q，∴AP=BP，AQ=CQ，∴∠BAP=∠B，∠CAQ=∠C，∵∠BAC=α，∴∠B+∠C=180°﹣∠BAC=180°﹣α，∴∠BAP+∠CAQ=180°﹣α，∴∠PAQ=∠BAC﹣（∠BAP+∠CAQ）=α﹣（180°﹣α）=2α﹣180°；②当∠PAQ=90°，即2α﹣180°=90°时，PA⊥AQ，解得：α=135°，∴当∠BAC=135°时，能使得PA⊥AQ；③∵边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q，∴AP=BP，AQ=CQ，∵BC=10cm，即BP+PQ+CQ=AP+PQ+AQ=10cm，∴△PAQ的周长为10cm．故答案为：①80，2α﹣180°；②135；③1018．解：在△ABE中，∵D是AB的中点，DE⊥AB于D交AC于E，∴AE=BE；在△ABC中，∵AB=AC=14cm，AC=AE+EC，又∵CE+BE+BC=24cm，∴BC=10cm19．解：（1）∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴AD+CD=BD+CD=AC，∵△DBC的周长为56，AC=32，∴BC=56﹣32=24；（2）∵AD=BD，AC=32，∴AD+CD=BD+CD=AC=32，∵BC=21，∴△DBC的周长=BD+CD+BC=32+21=53．故答案为：24；5320．解：（1）∵DF、EG分别是线段AB、AC的垂直平分线，∴AD=BD，AE=CE，∴AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC，∵△ADE的周长为6cm，即AD+DE+AE=6cm，∴BC=6cm；（2）∵AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，∴OA=OC=OB，∵△OBC的周长为16cm，即OC+OB+BC=16，∴OC+OB=16﹣6=10，∴OC=5，∴OA=OC=OB=5．21．证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠EAD=∠FAD，∠AED=∠AFD=90°，∴∠EDA=180°﹣∠AED﹣∠EAD，∠FDA=180°﹣∠AFD﹣∠FAD，∴∠EDA=∠FDA，∵DE=DF（已证），∴DG垂直平分EF（三线合一），即AD垂直平分EF．22．证明：∵EF是AD的垂直平分线，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA，∵∠FAD=∠FAC+∠CAD，∠FDA=∠B+∠BAD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠FAC=∠B23．解：（1）∵MP、NQ分别是AB、AC的垂直平分线，∴AP=BP，AQ=CQ，∴△APQ周长=AP+PQ+AQ=BP+PQ+QC=BC，∵BC=10，∴△APQ周长=10；（2）∵∠BAC=110°，∴∠B+∠C=180°﹣110°=70°，∵AP=BP，AQ=CQ（已证），∴∠BAP=∠B，∠CAQ=∠C，∴∠PAQ=∠BAC﹣∠BAP﹣∠CAQ=∠BAC﹣∠B﹣∠C=110°﹣70°=40°24．证明：（1）∵AD是BC的垂直平分线，∴AB=AC，BD=CD，∴∠ABC=∠ACB，∠DBC=∠DCB，∴∠ABD=∠ACD；（2）∵AB=AC，AD是BC的垂直平分线，∴∠BAD=∠CAD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF25．证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，在△ADE和△ADF中，，∴△ADE≌△ADF（HL），∴AE=AF，又∵AD平分∠BAC，∴AD垂直平分EF26．证明：如图，连接BD、CD，∵DE⊥BC，E是BC边上的中点，∴BD=CD，在△BDM和△CDN中，，∴△BDM≌△CDN（HL），∴DM=DN，又∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴点D在∠BAC的平分线上．27．解：∵DE为AB的中垂线，∴AE=BE，∵FG是AC的中垂线，∴AG=GC，△AEG的周长等于AE+EG+GA，分别将AE和AG用BE和GC代替得：△AEG的周长等于BE+EG+GC=BC，所以△AEG的周长为BC的长度即7．故答案为：728．解：连接DB．∵点D在BC的垂直平分线上，∴DB=DC；∵D在∠BAC的平分线上，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF；∵∠DFC=∠DEB=90°，在Rt△DCF和Rt△DBE中，，∴Rt△DCF≌Rt△DBE（HL），∴CF=BE（全等三角形的对应边相等）．29．证明：∵DE为△ABC的边AB的垂直平分线，∴AD=BD，∵CD为△ABC的外角平分线，与DE交于D，DM⊥BC于M，DN⊥AC于N，∴DN=DM，在Rt△ADN和Rt△BDM中，，∴Rt△ADN≌Rt△BDM（HL），∴AN=BM．30．（1）证明：连结BD，CD．∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED=∠BED=∠AFD=90°，DE=DF．∵DE垂直平分BC，∴DB=DC．在Rt△DEB和Rt△DFC中，∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），∴BE=CF；（2）解：在Rt△ADE和Rt△ADF中，，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）．∴AE=AF．∵AB=AE+BE，∴AB=AF+EB，∴AB=AC+CF+EB．∵AB=8，AC=4，∴8=4+CF+EB，∴CF+EB=4，∴2EB=4，∴EB=2．∴AE=8﹣2=6．答：AE的长为6．。
线段的垂直平分线练习及答案
线段的垂直平分线练习及答案一、选择题（共8小题）1．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=5，则线段PB的长度为（）A．6B．5C．4D．3第1题图第2题图第5题图2．如图，AC=AD，BC=BD，则有（）A．A B垂直平分CD B．C D垂直平分ABC．A B与C D互相垂直平分D．C D平分∠ACB3．下列说法中错误的是（）A．过“到线段两端点距离相等的点”的直线是线段的垂直平分线B．线段垂直平分线的点到线段两端点的距离相等C．线段有且只有一条垂直平分线D．线段的垂直平分线是一条直线4．到△ABC 的三个顶点距离相等的点是△ABC的（）A．三边垂直平分线的交点B．三条角平分线的交点C．三条高的交点D．三边中线的交点5．如图，∠ABC=50°，AD垂直平分线段BC于点D，∠ABC的平分线交AD于E，连接EC；则∠AEC等于（）A．100°B．105°C．115°D．120°6．如图，△ABC中，AD是BC的中垂线，若BC=8，AD=6，则图中阴影部分的面积是（）A．48 B．24 C．12 D．67．如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于E，交AC于F，交AB于D，连接BF．若BC=6cm，BD=5cm，则△BCF的周长为（）A．16cm B．15cm C．20cm D．无法计算8．如图△ABC中，∠B=40°,AC的垂直平分线交AC于点D,交BC于点E，且∠EAB：∠CAE=3：1，则∠C=( )A．28°B．25°C．22.5°D．20°D第6题图第7题图第8题图二、填空题（共10小题）9．到线段AB两个端点距离相等的点的轨迹是_________ ．10．如图，有A、B、C三个居民小区是位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个休闲广场，使广场到三个小区的距离相等，则广场应建在_________ ．第10题图第12题图第13题图第14题图11.在阿拉伯数字中，有且仅有一条对称轴的数字是____________.12、如图，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，∠A=30°，∠ACB=80°，则∠BCE= _________ 度．13、如图，△ABC的周长为19cm，AC的垂直平分线DE交BC于D，E为垂足，AE=3cm，则△ABD的周长为_________ cm．14．如图，已知在△ABC中，AB=AC=10，DE垂直平分AB，垂足为E，DE交AC于D，若△BDC的周长为16，则BC= _________ ．15．如图，在△ABC中，∠B=30°，直线CD垂直平分AB，则∠ACD的度数为_________ ．16．已知如图，在△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC与E，则△ADE的周长等于_________ ．17．如图，AB=AC，AC的垂直平分线DE交AB于D，交AC于E，BC=6，△CDB的周长为15，则AC= _________ ．18．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AC的垂直平分线分别交AB，AC于D，E两点，连接CD．则∠BCD=_________ 度．第15题图第16题图第17题图第18题图三、解答题（共5小题）19．如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD于点O．（1）图中有多少对全等三角形？请把它们都写出来；（2）任选（1）中的一对全等三角形加以证明．20．如图，在△ABC中，AB=AC，D是AB的中点，且DE⊥AB，△BCE的周长为8cm，且AC﹣BC=2cm，求AB、BC的长．21.如图，已知：在ABC中，AB、BC边上的垂直平分线相交于点P. 求证：点P在AC的垂直平分线上.22．如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．求证：AD垂直平分EF．23．如图，已知∠C=∠D=90°，AC与BD交于O，AC=BD．（1）求证：BC=AD；（2）求证：点O在线段AB的垂直平分线上．参考答案一、选择题（共8小题）1．B 2．A 3．A 4．A 5．C 6．C 7．A 8．A二．填空题（共10小题）9. 线段AB的中垂线；10. 三边垂直平分线的交点处；11. 3；12. 50；3. 13 ；14. 6 15. 60°；16. 8 ；17. 9 ；18.35°三．解答题（共5小题）19.（1）解：图中有三对全等三角形：△AOB≌△AOD，△COB≌△COD，△ABC≌△ADC；（2）证明△ABC≌△AD C．证明：∵AC垂直平分BD，∴AB=AD，CB=CD（中垂线的性质），又∵AC=AC，∴△ABC≌△ADC．20. 解：∵△ABC中，AB=AC，D是AB的中点，且DE⊥AB，∴AE=BE，∵△BCE的周长为8cm，即BE+CE+BC=8cm，∴AC+BC=8cm…①，∵AC﹣BC=2cm…②，①+②得，2AC=10cm，即AC=5cm，故AB=5cm；①﹣②得，2BC=6cm，BC=3cm．故AB=5cm、BC=3cm．21.证明：∵P在AB、BC的垂直平分线上∴AP=BP，BP=CP∴AP=CP，∴P点在AC 的垂直平分线上.22.证：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，在Rt△AED和Rt△AFD中∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），∴AE=AF，∵AD是∠BAC的平分线，∴AD垂直平分EF（三线合一）23. 证明：（1）∵∠C=∠D=90°，∴在Rt△ACB和Rt△BDA中，，∴Rt△ACB≌Rt△BDA，∴AD=BC；（2）∵Rt△ACB≌Rt△BDA，∴∠CAB=∠DBA，∴OA=OB，∴点O在线段AB的垂直平分线上．。
线段的垂直平分线经典习题及答(精.选)
线段的垂直平分线一、选择题（共8小题）1、如图，在△ABC 中，分别以点A 和点B 为圆心，大于的21AB 的长为半径画孤，两弧相交于点M ，N ，作直线MN ， 交BC 于点D ，连接AD ．若△ADC 的周长为10，AB=7，则△ABC 的周长为（ ） A 、7 B 、 14 C 、17 D 、20第1题 第2题 第3题2、如图，在Rt △ACB 中，∠C=90°，BE 平分∠ABC ，ED 垂直平分AB 于D ．若AC=9，则AE 的值是（ ）A 、6B 、4C 、6D 、43、如图，直线CD 是线段AB 的垂直平分线，P 为直线CD 上的一点，已知线段PA=5，则线段PB 的长度为（ ）A 、6B 、5C 、4D 、34、如图，等腰△ABC 中，AB=AC ，∠A=20°．线段AB 的垂直平分线交AB 于D ，交AC 于E ，连接BE ，则∠CBE 等于（ ）A 、80°B 、70°C 、60°D 、50°第4题 第 5题 第6题 5、如图，直线CP 是AB 的中垂线且交AB 于P ，其中AP=2CP ．甲、乙两人想在AB 上取两点D 、E ，使得AD=DC=CE=EB ，其作法如下：（甲）作∠ACP 、∠BCP 之角平分线，分别交AB 于D 、E ，则D 、E 即为所求；（乙）作AC 、BC 之中垂线，分别交AB 于D 、E ，则D 、E 即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确（ ）A 、两人都正确B 、两人都错误C 、甲正确，乙错误D 、甲错误，乙正确6、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=30°．AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D ，交BC 于点E ，则下列结论不正确的是（ ）A 、AE=BEB 、AC=BEC 、CE=DED 、∠CAE=∠B7、如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）A 、△ABC 的三条中线的交点B 、△ABC 三边的中垂线的交点 C 、△ABC 三条角平分线的交点D 、△ABC 三条高所在直线的交点第7题 第8题8、如图，AC=AD ，BC=BD ，则有（ ） A 、AB 垂直平分CD B 、CD 垂直平分AB C 、AB 与CD 互相垂直平分 D 、CD 平分∠ACB二、填空题（共12小题）9、如图，在△ABC中，∠B=30°，ED垂直平分BC，ED=3．则CE长为_________．第9题第10题第11题10、如图，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，∠A=30°，∠ACB=80°，则∠BCE=_________度．11如图，等腰三角形ABC中，已知AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，则∠CBD的度数为_________°．12、如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E．若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC 的周长之差为12，则线段DE的长为_________．第12题第13题第14题第15题13、如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB=_________度．14、如图，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交BC于点D，那么∠ADC=_________度．15、如图，∠ABC=50°，AD垂直且平分BC于点D，∠ABC的平分线BE交AD于点E，连接EC，则∠AEC的度数是_________度．16、如图，有一腰长为5cm，底边长为4cm的等腰三角形纸片，沿着底边上的中线将纸片剪开，得到两个全等的直角三角形纸片，用这两个直角三角形纸片拼成的平面图形中有_________个不同的四边形．第16题第17题第18题17已知如图，在△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC与E，则△ADE的周长等于_________．18、如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，若AC平分∠DAB，且AB=AC，AC=AD，有如下四个结论：①AC⊥BD；②BC=DE；③∠DBC=1/2∠DAC；④△ABC是正三角形．请写出正确结论的序号_________（把你认为正确结论的序号都填上）19、如图，△ABC的周长为19cm，AC的垂直平分线DE交BC于D，E为垂足，AE=3cm，则△ABD的周长为_________cm．20、在△ABC中，∠A=50°，AB=AC，AB的垂直平分线DE交AC于D，则∠DBC的度数是_________°．三、解答题（共6小题）21、如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．（1）求∠ECD的度数；（2）若CE=5，求BC长．22、如图，在直角△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线AD交BC于D，若DE垂直平分AB，求∠B的度数．1、如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于的AB的长为半径画孤，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB=7，则△ABC的周长为（）A、7B、14C、17D、20考点：线段垂直平分线的性质。
初二线段的垂直平分线测试题与答案
线段的垂直平分线测试题一、选择题1．已知MN是线段AB的垂直平分线，C，D是MN上任意两点，则∠CAD和∠CBD之间的大小关系是（）A.∠CAD<∠CBDB.∠CAD＝∠CBDC.∠CAD>∠CBDD.无法判断2．如图，在△ABC中，AD垂直平分扫BC，AC＝EC，点B，D，C，E在同一条直线上，则AB＋DB与DE之间的数量关系是（）A. AB＋DB>DEB. AB＋DB<DEC. AB＋DB＝DED. 无法判断第二题第三题3．如图，A，B是直线l外两点，在l上求作一点P，使PA＋PB最小，作法（）A.连接BA并延长与l的交点为PB.连接AB，并作线段A月的垂直平分线与l的交点为PC.过点B作l的垂线，垂线与l的交点为PD.过点A作l的垂线段AO，O是垂足，延长AO到A′，使A′O＝AO，再连接A′B，A′B与L的交点为P，点P为所求。
4．已知在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交线段AC于D，若△ABC和△DBC的周长分别是60 cm和38 cm，则△ABC的腰长和底边BC的长分别是（）A．24 cm和12 cm B.16 cm和22 cm C．20 cm和16 cm D．22 cm和16 cm5．若一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三条边上，则这个三角形是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定二、填空题6．到线段AB两个端点距离相等的点，在.7．直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC的垂直平分线交AB于D，若AD＝2 c m，则BD＝cm．三、解答题8．如图. 在△ABC中，∠BAC＝110°，PM，QN分别垂直平分AB，AC，求∠PAQ9．如图在△ABC中，∠A＝90°，AC＝8 cm，AB＝6 cm，BC边的垂直平分线DE交BC于E，交AC于D，求△ABD的周长．10．如图已知AB＝AC＝20 cm，DE垂直平分AB，垂足为E，DE交AC 于点D，若△DBC的周长为35 cm，求BC的长．第8题第9题第10题11．如图1－80所示，△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，已知△ADE的周长为12 cm，求BC的长．12．如图1－81所示，A，B是公路l（l为东西走向）两旁的两个村庄，A村到公路l的距离AC＝1 km，B村到公路l的距离BD＝2 km，B村在A村的南偏东45°方向上．（1）求A，B两村之间的距离；（2）为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站P，要求该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点P的位置．（保留清晰的作图痕迹，不写作法）13．如图1－82所示，∠BAC＝∠ABD，AC＝BD，点O是AD，BC的交点，点E是AB的中点．试判断OE和AB的位置关系，并给出证明．参考答案与解析：1．B[提示：△CAD≌△CBD]2．C[提示：因为AB＝AC，BD＝CD，所以AB＋DB＝AC＋DC＝EC＋DC＝DE]3．D[提示：由D中作法知，直线l垂直平分AA′，则PA＋PB＝PA′＋PB＝A′B，两点之间线段最短．]4．D[提示：AB的垂直平分线与边AC交于D，则BD＝AD，故BD＋DC＝AC，所以AB＝60－38＝22（cm），AC＝22 cm，BC＝38－22＝16（cm）．]5．C[提示：直角三角形的三边垂直平分线交于斜边的中点处．]6．线段AB的垂直平分线上7．2[提示：AD＝CD＝BD．]8．解：∵∠BAC=110°，∴∠B ＋∠C ；180°－110°=70°．∵PM ，QN 分别垂直平分AB ，AC ，∴△BP M ≌△APM ，△CQN ≌△AQN ．∴∠B ＝∠BAP ，∠C ＝∠CAQ ． ∴∠BAP ＋∠CAQ ＝∠B ＋∠C ＝70°．∴∠PAQ=∠BAC －∠BAP －∠CAQ ＝110°－ 70°＝40°．9．解：∵DF 垂直平分BC ，∴BD ＝DC ，∴AC=AD ＋DC=AD ＋B D ＝8 cm ．又∵AB ＝6 cm ，∴AB ＋AD ＋DB ＝14 cm ，即△ABD 的周长为14 cm ．10．解：因为D 正垂直平分AB ，垂足为正，D 正交AC 于点D ，所以DA ＝DB ，所以BD ＋DC ＝AD ＋DC ＝20 cm ．又因为△DBC 的周长为35 cm ，即BD ＋DC ＋BC ＝35 cm ，所以BC=15 cm ．11．解：因为AB ，AC 的垂直平分线分别交BC 于点D ，E ，所以DA ＝DB ，EA=EC ，所以BC ＝BD ＋DE ＋EC ＝DA 十DF ＋AE ，即为△ADE 的周长．又因为△ADE 的周长为12 cm ，所以BC ＝12 cm ．12．解：如图1－83所示．（1）方法1：设AB 与CD 的交点为O ，根据题意可得∠A=∠OBD=45°，∴△ACO 和△BDO 都是等腰直角三角形，∴AO ＝2，BO ＝22，∴A ，B两村的距离为AB=AO ＋BO ＝2＋22＝32 （km ）．方法2：过点B 作直线l 的平行线交AC 的延长线于E ，易证四边形CDBE 是矩形，∴C E ＝BD＝2．在R t △AEB 中，由∠A=45°，可得EF ＝CA ＝3，∴AB ＝233322=+ （km ）．（2）作法：①分别以点A ，B 为圆心，以大于12AB 的长为半径作弧，两弧交于两点M ，N ，作直线MN ；②直线MN 交l 于点P ，点P 即为所求．13．解：OE ⊥AB 证明如下：在△BAC 和△ABD 中，AC=BD ，∠BAC=∠ABD ， AB ＝BA ，∴△BAC ≌△ABD ，∴∠O BA ＝∠OAB ，∴OA ＝OB ．又AE ＝BE ，∴OE ⊥AB ．。
《垂直平分线》练习题(含答案)
1题A B E C 2题D A B C 3题D AB EC 4题A B C O 5题D A BE C 11题D A B E C O 12题D A B E C 13题D A B E C 14题D A B E C 15题D A B E C6题D A BE C 8题D A B E C 7题D A B E C 10题'9题《垂直平分线》练习题1.如图，△ABC 的边AB 的垂直平分线交AC 于点E,若AE=23，则BE= 。
2.如图，△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线交AC 于点D, △ABC 和△DBC 的周长分别为60㎝和38㎝，则△ABC 的腰长为 ，底边长为 。
3.如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CB 的垂直平分线DE 交AB 于点D,垂足为E ，①若∠B=20°，则∠ADC 的度数为 ；②若△ADC 的周长为14，AC=4，则AB= ；③若AB=8㎝，则CD= 。
4.如图，△ABC 中，∠A=52°，AB 、AC 的垂直平分线交于点O ，则∠BOC 的度数为 。
5.如图，∠ABC=50°，AD 垂直平分线段BC ，交BC 于点D ，∠ABC 的角平分线BE 交AD 于点E ，连接EC ，则∠AEC 的度数为 。
6.如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线交BC 于点D ，垂足为E ，△ABD 的周长为12㎝，AC=5㎝，则△ABC 的周长为 。
7.如图，△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线交AC 于点E ，垂足为D, ∠EBC ∶∠EBA=1∶2，则∠A 的度数为 。
8.如图，平行四边形ABCD 中，AB=3，BC=5，AC 的垂直平分线交AD 与点E,则△CDE 的周长为 。
9.如图，某广告公司为一厂家设计的商标图案，AD 垂直平分线段BC ，E 、F 都在线段AD 上，若AB=5，BC=6，则图中阴影部分面积为 。
10.如图，△ABC 中，AB=BC=2，∠ABC=90°，D 为BC 的中点，且它关于AC 的对称点D ’,则 BD ’= 。
线段垂直平分线的练习题
一、填空题1、如图，MN 是线段AB 的垂直平分线，P 为MN 上一点，则PA,PB 的大小关系是＿＿＿＿＿＿＿＿。
2、如图，∠C=90°，DE 垂直平分AB ，∠1：∠2=2:3，则∠CAB=＿＿＿＿＿＿＿＿。
3、如图，点O 为△ABC 三边垂直平分线的交点，点O 到顶点A 的距离为5㎝，则AO+BO+CO=＿＿＿＿＿＿＿＿㎝。
4、如图，在△ABC 中，∠C=90°，DE 是斜边AB 的垂直平分线，分别交AB ，AC 于D 、E 两点，∠BEC=60°，EC=1，则AE=＿＿＿＿＿＿。
5、如图，在△ABC 中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D 是BC 边的中点，E 是AB 边上一动点，则EC+ED 的最小值是＿＿＿＿＿＿。
(1)POABN M (3)OCBA(4)DE BCA (5)ED BC A二、选择题1、给出下列命题：①如果等腰三角形内有一点到底边的两个端点的距离相等，那么这个点与顶点的连线必垂直平分底边；②等腰三角形底边的高上任意一点到底边两端点的距离相等；③M 点在线段AB 外，MB=MA ，则过M 点所作直线l 是AB 的垂直平分线；④三角形三边的垂直平分线必相交于一点。
其中正确的命题有（ ）个A 、1B 、2C 、3D 、 42、等腰三角形的顶角为100°，两腰的垂直平分线交于点P ，则（ ） A 、点P 在三角形内； B 、点P 在三角形底边上；C 、点P 在三角形外D 、点P 的位置与三角形的边长有关 3、如图，△ABC 中，MD 垂直平分AB 于M ，交BC 于D ，NE 垂直平分AC 于N ，交交BC 于E ，若∠BAC=120°，则∠DAE=（ ） A 、50° B 、60° C 、70° D 、80°4、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，BC 边上的垂直平分线交AB 于D ，AB=12，AC=6，，则图中等于6的线段共有（ ）条A 、2B 、3C 、4D 、 55、下列命题中，是假命题的是（ ）A 、斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等B 、两条直角边对应相等的两个直角三角形全等C 、两个锐角对应相等的两个直角三角形全等D 、一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等 三、如图 ，△ABC 中，AB=AC=16，D 为AB 的中点，且DE⊥AB 交AC 于E ，△BCE 的周长为26 求BC 的长EDCB AADE BC N M ED CB A。
初二线段垂直平分线练习题带答案
初二线段垂直平分线练习题带答案题目一：在平面直角坐标系中，已知线段AB的坐标分别为A(-2,1)和B(4,-3)，求线段AB的垂直平分线方程。
解析：要求线段AB的垂直平分线方程，我们需要找到线段AB的中点以及线段AB的斜率。
线段AB的中点坐标为：x坐标：(x_A + x_B)/2 = (-2 + 4)/2 = 2/2 = 1y坐标：(y_A + y_B)/2 = (1 + (-3))/2 = -2/2 = -1所以线段AB的中点为M(1, -1)。
线段AB的斜率为：斜率 k = (y_B - y_A)/(x_B - x_A)= (-3 - 1)/(4 - (-2))= -4/6= -2/3由于垂直平分线与线段的斜率乘积为-1，所以垂直平分线的斜率为斜率 k 的相反数的倒数：k_2 = -1/(-2/3) = 3/2。
通过中点和斜率，我们可以得到垂直平分线的方程：y - y_M = k_2(x - x_M)y - (-1) = (3/2)(x - 1)y + 1 = (3/2)(x - 1)2(y + 1) = 3(x - 1)2y + 2 = 3x - 32y = 3x - 5所以线段AB的垂直平分线方程为2y = 3x - 5。
题目二：在平面直角坐标系中，直线L过点A(-3,3)，且与直线x = -1垂直，求直线L的方程。
解析：首先，直线L与直线x = -1垂直，说明直线L的斜率为0。
由于直线L过点A(-3,3)，我们可以确定直线L的y截距为3。
所以直线L的方程为y = 3。
题目三：在平面直角坐标系中，已知线段CD的两个端点分别为C(-4,2)和D(6,2)，求线段CD的垂直平分线方程。
解析：要求线段CD的垂直平分线方程，我们需要找到线段CD的中点以及线段CD的斜率。
线段CD的中点坐标为：x坐标：(x_C + x_D)/2 = (-4 + 6)/2 = 2/2 = 1y坐标：(y_C + y_D)/2 = (2 + 2)/2 = 4/2 = 2所以线段CD的中点为N(1, 2)。
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《线段垂直平分线》中一道习题的变式
例1：如图1，在△ABC 中，已知AC=27，AB 的垂直平分线
交AB 于点D ，交AC 于点E ，△BCE 的周长等于50，求BC 的长.
点评：此题是△ABC 中一边AB 的垂直平分线AC 相交;那么当AB 的垂直平分线与BC 相交时，(如图2),对应的是△ACE 的周长，它的周长也等于AC+BC.图形变化，但结论不变.
变式1：如图1，在△ABC 中， AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，若∠BEC=70°，则∠A=
.
点评：此题变式求角的计算方法，应用了两个定理.按照同样的方法,图2中也能得出相应的结论：∠AEC=2∠B.
变式2：
如图3，在Rt △ABC 中，AB 的垂直平分线交BC 边于点E 。
若BE=2，∠B =15°求：AC 的长。
点评：此题为图形变式，由一般三角形变为直角三角形，上面我们总结的结论不变，然后再应用直角三角形的有关性质。
图1 图2 图3
[变式练习1]
如图4，在Rt△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E.若BE=2，∠B =°求：AC的长.
图4
例2: 如图5，在△ABC中，AB=AC, BC=12,∠BAC =120°,AB的垂直平分线交BC边于点E, AC的垂直平分线交BC边于点N.
(1) 求∠EAN的度数.
(2) 求△AEN的周长.
(3) 判断△AEN的形状.
图5
[变式练习2]:如图6，在△ABC中，AB=AC, BC=12,∠BAC =130°,AB的垂直平分线交BC边于点E, AC的垂直平分线交BC边于点N.
(1) 求△AEN的周长.
(2) 求∠EAN的度数.
(3) 判断△AEN的形状.
图6
[变式练习3]:如图7，在△ABC中， BC=12,∠BAC =100°,AB的垂直平分线交BC边于点E, AC的垂直平分线交BC边于点N.
(1) 求△AEN的周长.
(2) 求∠EAN的度数.
图7
.
点评：例2和它的两道变式练习题中发现：三个图形由特殊到一般，从顶角是120°的等腰三角形到顶角是钝角的一般的等腰三角形到一般钝角三角形，△AEN的形状也不断的变化，∠EAN的度数也变化，但△AEN的周长不变，因此得出结论：1）△AEN的周长=BC 长.2）△AEN的形状变化规律是由等边三角形到等腰三角形到一般三角形，与△ABC的形状有关.3）∠EAN的度数与∠BAC的度数有关.因为∠EAN=180°-2∠B-2∠C=180°-2（∠B+∠C）=180°-2（180°-∠BAC）=2∠BAC -180°.从等式中也得出∠BAC必须大于90°.
[变式练习4]
如图8，△ABC中, ∠BAC =70°, BC=12,AB的垂直平分线交BC边于点E, AC的垂直平分线交BC边于点N.
求:∠EAN的度数.
点评:由上题的方法得出∠AEC+∠
BNA =2∠B+2∠C,由平角性质可得: ∠
AEB+∠CNA=360°-(2∠B+2∠C),由三角形
内角和定理得∠EAN=180°-2∠BAC
图8
总评：从上述两道例题及变式题中得出无论是图形变化还是题条件变化，都和基本图形及由基本图形得出的结论有关.因此同学们在以后的学习或解题中，善于在复杂图形中找出基本图形，这样就会将图形简单化.应用由基本图形得出的相关结论，就会找出解题思路.。