二次函数实际问题易考题型总结

二次函数实际问题易考题型总结

一、利润最值问题

（一）一般利润最值问题

1.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？最大利润为多少？

（二）与一次函数相关的利润最值问题

2.某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查．调查发现这种水产品的每千克售价y(元)与销售月份x (月)满足

关系式13

36 8

y x

=-+

，而其每千克成本2

y(元)与销售月份x(月)满足的函数关系如图所示．

(1)试确定b，c的值；

(2)求出这种水产品每千克的利润y(元)与销售月份x(月)之间的函数关系式；

(3)“五一”之前，几月份出售这种水产品每千克的利润最大?最大利润是多少?

3.铜陵市大润发超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30元/千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量y (千克)与销售单价x (元)(30 x ）存在如下图所示的一次函数关系式．

⑴试求出y 与x 的函数关系式；

⑵设大润发超市销售该绿色食品每天获得利润P 元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？

⑶根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过4480元，现该超市经理要求每天利润不得低于4180元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价x 的范围(直接写出答案)．

二、面积最值问题

4.蒋老师的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，蒋老师准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门（木质）．花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？

x

5.如图，把一张长10cm，宽8cm的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合

成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．

（1）要使长方体盒子的底面积为48cm2，那么剪去的正方形的边长为多少？

（2）你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况？如果有，请你求出最大

值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由；

（3）如果把矩形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状、同样大小

的矩形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，是否有侧面积最大的情况；如果有，请你求出

最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说

明理由．

三、图形问题

6.如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED=16米，AE=8米，抛物线的顶点C到ED的距离是

11米，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系．

（1）求抛物线的解析式；

（2）已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED的距离h（单位：米）随时间t（单位：时）的变化满足函数关系h=﹣（t﹣19）2+8（0≤t≤40），且当水面到顶点C的距离不

大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？

7.某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所

示坐标系下经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）.在跳某个规定动作时，

正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面

2

10

3

米，入水处距池边的距离为4米，运动员

在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误．

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中完

成规定的翻腾动作并调整好入水姿势时，距池边的水平距离为

3

3

5

米，问此次跳水会不会失误？

并通过计算说明理由．

四、图像问题

（一）长度最值、平行四边形问题

8.如图，抛物线

1

4

17

4

5

2+

+

-

=x

y

与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过

点B作BC⊥x轴，垂足为点C(3，0).

（1）求直线AB的函数关系式；

（2）动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N. 设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s 与t的函数关系式，并写出t的取值范围；

（3）设在（2）的条件下（不考虑点P与点O，点C重合的情况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？问对于所求的t值，平行四边形BCMN是否菱形？请说明理由.

（二）周长与面积最值问题

9.如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D

的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积

及E点的坐标．