天体力学二体问题的解
第一章-二体问题PPT课件
rd2r dt2
=rr3
r
rdv=d(rv) 0 dt dt
hrvconst
34
34
3.2 二体问题的解析解
二体问题角动量是常数
开普勒第二定理
角动量在极坐标下的表示
vd dr trirrd d itrrirrd d tiθ
hrvr2 ddt iz
面积化率
dA 1 r2 d
dt 2 dt
35
35
3.2 二体问题的解析解
d 2rcm dt2
0
内力不改变系统的质心
19
19
2.3 二体相对运动方程
Gm1m2 r2
r2
r1 r
m1 dd2tr21
Gm1m2 r2
r1r2 r
m2 dd2tr22
- G (m 1 r 2m 2)(r2rr1)d2(r d2 t2 r1)
d2r=G(m1m2)rr
dt2
r2 r r3
20
20
14
14
1.4 教程和参考书
1、航天器轨道动力学，赵钧编著，哈工大出版社，2011 2、航天器轨道动力学与控制，杨嘉摨主编，宇航出版社， 1995（注：国内航天器领域经典专著） 3、Fundamentals of Astrodynamics and Applications(Second Edition)，Vallado，D.V. Microcosm Press, 2001 （注：国外 经典教材） 4、An introduction to the mathematics and methods of astrodynamics, Richard H. B. AIAA, 1999 （注：MIT教材）
物理规律的研究：牛顿定理和万有引力定理
第二章二体问题资料
由牛顿第二定律可知，卫星与地球的运 动方程：
二体问题的运动方程
设 为卫星S相对于O的加速度，则:
由于M远大于m，通常不考虑m的影响，则有：
取地球引力常数µ =GM=1，此时（3-4）式可写成 为：
二体问题的运动方程
设以O为原点的直角坐标系为O-XYZ，S点的坐标 为（X，Y，Z），则卫星S的地心向径r=（X，Y， Z），加速度 ，代入（3-4）得 二体问题的运动方程：
1571.12.27 － 1630.11.15
主要成就: 发现了行星运动三定律
一.卫星运动的开普勒定律
（1）开普勒第一定律 卫星运行的轨道为一椭圆，该椭圆的一个焦点与地球质心重合。 此定律阐明了卫星运行轨道的基本形态及其与地心的关系。由 万有引力定律可得卫星绕地球质心运动的轨道方程。r为卫星 的地心距离，a为开普勒椭圆的长半径，e为开普勒椭圆的偏心 率；f为真近点角，它描述了任意时刻卫星在轨道上相对近地 点的位置，是时间的函数。 m
三、二体问题与人卫正常轨道
二体问题
研究二个质点在万有引力作用下的运动规律问 题 摄动力
除地球引力(1)外，其它作用在卫星上的力
人卫正常轨道 满足如下假定条件下的卫星轨道，称为人 卫正常轨道: 地球为正球 除地球正球引力外，卫星不受其它摄动 力的作用
人卫正常轨道的特点: 运动轨道为一椭圆,可以精确地计算出 椭圆大小形状及其在空间中的定向以及 卫星在轨道上的位置
第二章 二体问题
本章主要介绍有关卫星的运动规律，轨道的描述， 以及二体问题的运动方程和方程的解。 重点： 1.二体问题的定义； 2.卫星运动的轨道参数； 3.二体问题基本运动方程； 4.二体问题基本运动方程的解。 难点： 1．怎样理解二体问题基本运动方程； 2．怎样得到二体问题基本运动方程的解。
开普勒第三定律
开普勒第三定律也适用于部分电荷在点电场中运动的情况。因为库仑力与万有引力均遵循“平方反比”规律， 通过类比可知，带电粒子在电场中的椭圆运动也遵循开普勒第三定律。
先构造一个匀速圆周运动的模Fra bibliotek，根据牛顿第二运动定律和库仑定律计算圆周运动周期，再将粒子由静止开 始的直线加速运动当做一个无限“扁”的椭圆运动，用开普勒第三定律计算粒子运动时间。
开普勒第三定律为经典力学的建立、牛顿的万有引力定律的发现，都作出重要的提示。
定律定义
开普勒在《宇宙谐和论》上的原始表述：绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其各自椭圆轨道半长 轴的立方与周期的平方之比是一个常量 。
常见表述：绕同一中心天体的所有行星的轨道的半长轴的三次方（ a³）跟它的公转周期的二次方（T²）的比 值都相等，即， （其中M为中心天体质量，k为开普勒常数，这是一个只与被绕星体有关的常量 ，G为引力常量， 其 2 0 0 6 年 国 际 推 荐 数 值 为 G = 6 . × 1 0 ⁻ ¹ ¹ N · m ²/ k g ²） 不 确 定 度 为 0 . × 1 0 ⁻ ¹ ¹ m ³k g ⁻ ¹ s ⁻ ² 。
用开普勒第三定律解决二体问题时，可将两个质点在相互作用下的运动，可约化为一个质点相对另一个质点 的相对运动，质点的质量需改用约化质量，即，其中，为两质点的质量。
开普勒第三定律也可以表示为：
引入天体质量后可表示为：
其中，为两个相应的行星质量，，为两个相应行星围绕同一恒星运动的周期，，为两个行星围绕同一恒星运 动的平均轨道半径。 通过拓展形式，可以根据绕同一行星的两星体轨道半径估测星体质量，或根据星体质量估 测运行轨道。
由运动总能量，得，则运动周期为 即 其中，，，和是方程的根，它们是椭圆运动的两个转折点，a为轨道半径，G为引力常量，M为中心天体的质 量。
二体问题
2.3.1 二体运动的轨道类型:椭圆
能量积分 1 r ⋅r − µ = C. C 是常数，所以可以取任意时刻的值
2
r
不妨取近点时刻：
r = a (1− e), r = 0
r
=
rer
+ rθeθ
=
h r
eθ
C
=
1 2
a2
h2
(1− e)2
−
µ
a (1− e)
=
−
µ 2a
C 仅与 a, µ 有关
3nd 行星绕太阳运动的周期平方与轨道椭圆半长径的立方成正比
(2.1.1) T 2 = ka3
k对所有的行星而言是同一常数
1
2.3.1 二体运动的轨道类型:椭圆
Kepler第三定律在太阳系内的体现.
2.3.1 二体运动的轨道类型:椭圆
Kepler第三定律的应用. 两个天体 m, m′ 围绕中心天体M 运动, 那么
在椭圆运动中真近点角 f 可以用 M 或 E 代替,在采用 M 时,M 中只含有 a, t, 而 E, f 中则含有 a, e, t, 并且 M 对时间的导数在二体运动中是常数.
2
2.3.1 二体运动的轨道类型:椭圆
Kepler方程的数值解法
E − esin E = M
这是一个超越方程
不动点迭代法 :
引入辅助量 F :
r = a (e cosh F −1)
代入积分，得到：
ν (t −τ ) = esinh F − F
这是双曲运动的Kepler方程.
( ) eF + e−F
cosh F =
, 双曲余弦函数
2
( ) eF − e−F
第3章二体问题
r
r01
r02
r1
r2
比较（3.10）式和（3.3）式，有
r1
m2 m1 m2
r
r2
m1 m1 m2
r
体系相对运动动能为
（3.10） （3.11） （3.12）
T
1 2
m1r12
1 2
m 2 r22
1 2
m1
(
m2 m1 m2
r)2
1 2
m2
(
m1 m1 m
2
r)2
1 2
m1m2 m1 m2
相互作用势只和粒子的相对距离r有关而和相对方向无关，即
V
(
i
)
(r )
V
(r
)
，称为中心势场。这是最重要的一类两体相互作用势。
本节讨论在中心势场 V (r) 中粒子的运动问题。
3.2.1 单粒子在中心势场中的运动
（1）运动特征和规律 • 受中心力作用
粒子在中心势场中受中心力作用
F V
( V r
1 3 rm r
其中 rm 2ma / L2 为轨道曲线极值点，于是稳定条件A>0变为
r 3rm
即在距离力心远处轨道是稳定的，在近处（包括在 r rm 处作圆周运动
）是不稳定的。
③
V kr 2 ，这时
A 1 2m (2kr) 2m r 4 (2k)1 6mk r 4 0
L2
L2
e 1 2EL2 ma 2
（3.26）
r P
1 e cos
（3.27）
上式为以坐标原点为焦点的圆锥曲线方程，式中P为半通径，e为偏心率。
• E < 0时，e < 1，为椭圆；
理论力学 两体问题
双星系统的研究有助于理解恒星的形成和演化过程，以及宇宙中的星系形成。
行星与卫星系统是一个行星和一个或多个卫星组成的系统，卫星绕着行星旋转，受到行星的万有引力作用。
行星与卫星的运动规律也是由万有引力定律和运动定律来描述，通过求解微分方程可以得出它们的轨道和运动规律。
理论力学 两体问题
目录
两体问题的基本概念 两体问题的动力学模型 两体问题的运动学模型 两体问题的经典问题 两体问题的数值模拟方法 两体问题的应用领域
01
CHAPTER
两体问题的基本概念
两体问题是指两个质点在万有引力或库仑力等作用下的运动问题。
两个质点在相互之间的力作用下，同时受到其他力的作用，这些力满足牛顿第三定律。
卫星轨道设计
卫星轨道设计是航天工程中的重要环节，而两体问题提供了卫星绕地球或其他天体运动的基本规律，为轨道设计提供了理论基础。
月球和火星探测
月球和火星探测任务中，两体问题用于研究探测器的轨道运动、着陆和巡视等任务。
航天工程
1
2
3
地球自转和极移是地球物理学研究的重要内容，两体问题提供了地球自转和极移的理论基础。
行星与卫星系统的研究有助于了解地球的气候变化、地质构造、天体演化等自然现象。
01
02
03
行星与卫星系统
哈雷彗星的轨道问题主要是研究其轨道的稳定性、变化规律以及与其他天体的相互作用。
哈雷彗星轨道问题的研究有助于了解太阳系的演化历史和天体的动力学行为。
哈雷彗星是太阳系中的一颗周期性彗星，其轨道非常长，大约需要76年才能绕行一周。
哈雷彗星轨道问题
天 体 力 学
天体力学天体力学是天文学和力学之间的交叉学科，是天文学中较早形成的一个分支学科，它主要应用力学规律来研究天体的运动和形状。
天体力学以往所涉及的天体主要是太阳系内的天体，五十年代以后也包括人造天体和一些成员不多(几个到几百个)的恒星系统。
天体的力学运动是指天体质量中心在空间轨道的移动和绕质量中心的转动(自转)。
对日月和行星则是要确定它们的轨道，编制星历表，计算质量并根据它们的自传确定天体的形状等等。
天体力学以数学为主要研究手段，至于天体的形状，主要是根据流体或弹性体在内部引力和自转离心力作用下的平衡形状及其变化规律。
天体内部和天体相互之间的万有引力是决定天体运动和形状的主要因素，天体力学目前仍以万有引力定律为基础。
虽然已发现万有引力定律与某些观测事实发生矛盾(如水星近日点进动问题)，而用爱因斯坦的广义相对论却能对这些事实作出更好的解释，但对天体力学的绝大多数课题来说，相对论效应并不明显。
因此，在天体力学中只是对于某些特殊问题才需要应用广义相对论和其他引力理论。
天体力学的发展历史远在公元前一、二千年，中国和其他文明古国就开始用太阳、月亮和大行星等天体的视运动来确定年、月和季节，为农业服务。
随着观测精度的不断提高，观测资料的不断积累，人们开始研究这些天体的真运动，从而预报它们未来的位置和天象，更好地为农业、航海事业等服务。
历史上出现过各种太阳、月球和大行星运动的假说，但直到1543年哥白尼提出日心体系后，才有反映太阳系的真运动的模型。
而开普勒根据第谷多年的行星观测资料，于1609～1619年间先后提出了著名的行星运动三大定律；开普勒定律深刻地描述了行星运动，至今仍有重要作用。
他还提出著名的开普勒方程，对行星轨道要柔下了定义。
从此可以预报行星(以及月球)更准确的位置，形成理论天文学，这是天体力学的前身。
到这时为止，人们对天体(指太阳、月球和大行星)的真运动仅处于描述阶段，未能深究行星运动的力学原因。
早在中世纪末期，达·芬奇就提出了不少力学概念，人们开始认识到力的作用。
非天文专业《天体力学》课程建设与教学方法研究
文章编号： １ ６ ７ ４ — ９ ３ ２ ４ （ ２ ０ １ ４ ） ０ ５ — ０ ０ ５ ８ — ０ ２
、
引言
天体力学是应用力学规律研究天体的运动和形状的一 门学科 ， 是天文学的一个分支， 同时又与数学和物理学的关 系密切 。 天体力学诞生于１ ６ ８ ７ 年， 但作为学科名称是拉普拉
２０１４ 年 １ 月 第 ５期
教 育 教 学 论 坛
ＥＤ ＵＣ Ａ ＴＩ ＯＮ Ｔ ＥＡ ＣＨ Ｉ Ｎ Ｇ Ｆ ＯＲ ＵＭ
Ｊ ａ ｎ． ２ Ｏ１ ４
Ｎ Ｏ． ５
非天文专业《 天体力学》 课程建设与教学方法研究
汪海洪 ， 罗
（ 武汉 大学
佳， 钟
波， 邹 贤才
武汉 ４ ３ ０ ０ ７ ９ ）
教学 内容与 教材 、教学 方法 和考 核等 方 面对非 天文 专业 天 体力学课程建设进行探讨 ， 以供同行参考。 二、 教 学 目标
的逻辑思维能力 ； （ ３ ） 指导学生将天体力学基本理论应用于 实际天体 ， 利用案例介绍天体力学在本专业 中的应用 ， 培养 学生 独立 分析与 解决 问题 的能力 。 三、 教 学 内容 与教 材 人造天体的出现与电子计算机的广泛应用 ，极大扩展 了天体力学的内容和应用范围，但是非天文专业天体力学 课程不可能也没必要涉及天体力学的所有 内容。结合专业 特点和需求 ， 选择的教学内容以经典天体力学的核心内容 为主， 即二体问题和摄动理论。 考虑到非天文专业大学生的 实际， 教学内容侧重于基本概念和基础理论 ， 并辅 以所需的 数学 和物 理学 基础 知识 。 表１ 列 出 了具 体教 学 内容 和课 时 安 排。第１ 章绪论对课程进行概述 ， 简要介绍天体力学的研究 内容和发展历史。第２ ～ ３ 章是针对非天文专业学生缺乏相 应 基础 而安 排 的数 学 、物理 和天 文学方 面 的基 础知 识 。第 ４ ～ ６ 章是经典天体力学的主要内容， 也是课程学习的重点。 第７ 章 是多 体 问题 ， 重点 介绍 三体 问题 。 第８ 章 主要 以地球 为 例介绍天体的形状与 自转理论。 教学内容由浅到深、 由易到 难 逐渐 递进 ， 便 于学 生理解 吸 收 。 国内天体力学的教材较少 ，而且由于出版时间较早现 已经没有再版， 如《 天体力学引论 、 《 天体力学基础》 删 。近 年来 ， 也鲜 有 天体力 学方 面 的书籍 出版 。 时 间最近 的天体 力 学 书籍 是２ ０ ０ ８ 年 出版 的《 现代 天体力 学导 论 》 ， 但是 该 书专 业性较强 ，主要介绍现代天体力学的内容和代表性研究成 果， 不适合作为非天文学专业本科生的教材。 为了满足课程 教学的需要 ， 课程组在２ ０ ０ ６ 年就结合国内外资料编写了《 天 体力学》 讲义 ， 内容覆盖了所需的基础知识和天体力学基本 理论 ， 并 添加 在本 专业 的一些 实 际应用 案例 。 经过 多年 的不 断更新和完善 ， 讲义基本具备了出版教材的条件。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
天体力学二体问题的解内容提要本文简单介绍了天体力学次级学科内容，发展简史，及其在人类文明发展的历史地位。
天体力学认为二体问题已经解决，这是一个认识误区。
文章详细地叙述了二体问题的传统解法，按照《伯力克物理教程》第一卷《力学》第九章中高级课题所讲述的方法，导出二体问题与时间有关的解。
探讨了二体问题方程式。
天体力学二体问题传统解，致使许多自然现象困惑难解。
走出天体力学认识的误区，一大批物理批疑难问题豁然开朗。
附件用10个专题文章尝试解解释有关物理疑难问题目录1 天体力学简介1.1 天体力学次级学科内容1.2 天体力学发展简史1.3 天体力学历史地位2 天体力学传统观念2.1 牛顿绝对时空观念2.2 二体问题常规解2.3天体力学认识中的误区3二体问题与时间相关的解3.1 天体引力场的时空结构3.2二体问题与时间相关的解3.3二体问题与时间有关的解附件1 哈勃定律的理论解释2 太阳系天体距离和周期的规律性3 水星近日点的进动4 月球长期加速运动5 古生物化石的年轮和月轮6 河外天体光谱红移7 天体形态与微观结构的联系8 太阳常数理论计算9 物理黑洞10地球能量、温度和辐射1 天体力学简介1.1 天体力学次级学科天体力学是研究天体的运动和形状的学科。
天体力学可分为六个次级学科：①多体问题，又称做N体问题，或称摄动理论。
研究N个质点在万有引力作用下的动力学问题，其中只有二体问题已彻底解决。
②数值方法。
采用数值计算的方法来求解天体的运动方程并讨论解的收敛性、稳定性及计算方法的改进等问题。
③定性方法。
探讨天体运动轨道的宏观图像、运动区域和轨道特征。
④天文动力学。
又称为星际航行动力学，主要是研究各种人造天体的运动规律。
⑤历书天文学。
根据天体运动理论和轨道要素编制各种天体的历表和计算各种天象。
⑥天体的形状和自转理论。
主要研究各种物态组成的天体的自转平衡形态、稳定性及自转轴的变化规律。
历史渊源1.2 天体力学发展简史丹麦天文学家第谷（B. Tycho ，1546～1601）在16世纪对行星绕日运行作了长期的观测，记录了大量准确可靠的天文数据资料。
德国天文学家，数学家开普勒(Kepler，Johannes,1571～1630)根据第谷多年的行星观测资料于1609年－1619年先后提出了行星运动三大定律，还提出了著名的开普勒方程，对行星轨道要素下了定义。
从此可以预报行星（以及月球）更准确的位置，形成理论天文学，揭开了天体力学的序幕；英国著名的物理学家牛顿（I.Newton，1643～1727），英国科学家胡克（R. Hook ）和荷兰物理学家惠更斯(C. Huygens）都曾根据开普勒定律推测行星和太阳间存在和距离二次方成反比的引力，为此胡克和牛顿还通过信，因此，对定律的首创权有过争议。
1687 年 7 月 Newton名著《自然哲学的数学原理》问世，提出绝对时空观念，牛顿动力学三定律和万有引力定律，建立经典力学理论基础。
瑞士数学家欧拉（Euler，Léonhard，1707～1783）是第一个较完整的月球运动理论的创立者，法国数学家达朗贝尔（d'Alembert，Jean le Rond，1717～1783）的《动力学》是力学方面的一部奠基性著作，书中包括后来以他的名字命名的达朗贝尔原理，根据这个原理建立起把动力学问题化为静力学问题来处理的一般方法。
他运用这个方法研究了天体力学中的三体问题，并把它推广到流体动力学中法国数学家拉格朗日（Lagrange，Joseph-Louis，1736～1813）在《分析力学》一书中，运用变分原理和分析的方法，建立起完整和谐的力学体系，使力学分析化了，拉格朗日是大行星运动理论的创始人。
法国数学家，天文学家拉普拉斯(Laplace，Pierre-Simon，1749～1827)是天体力学集大成者。
他的五卷十六册巨著《天体力学》成为经典天体力学的代表作。
在这部著作中，他对大行星和月球的运动都提出了较完整的理论，而且对周期彗星和木星的卫星也提出了相应的运动理论。
同时，他还对天体形状的理论基础－流体自转时的平衡形状理论作了详细论述。
法国数学家勒让德（Legendre，Adrien-Marie，1752～1833）在天文学的研究中，引进了著名的“勒让德多项式”，发现了它的许多性质。
德国数学家，天文学家，物理学家高斯（Gauss，Carl Friedrich ，1777～1855）创立三次观测决定小行星轨道的计算方法，1809年发表其计算方法。
此后，几乎都用这个方法推算小行星轨道。
在星历表计算中，他引进一组辅助量（又称为高斯常数），使求日心赤道直角坐标计算大大简化。
法国数学家泊松（Poisson，Siméon-Denis，1781～1840）对积分理论、行星运动理论、热物理、弹性理论、电磁理论、位势理论和概率论都有重要贡献。
“泊松方程”是经典引力理论的分析形式。
德国数学家雅可比(Jacobi，Carl Gustav Jacob ，1804～1851)和英国数学家、物理学家哈密顿（Hamilton，William Rowan 1805～1865）对分析力学的建立做出了重要贡献。
1846年，根据法国天文学家勒威耶（Le Verrier，Urbain Jean Joseph，1811～1877）和英国天文学家亚当斯(Adams，John Couch，1819～1892)的计算，发现了海王星。
这是经典天体力学的伟大成果，也是自然科学理论预见性的重要验证。
此后，大行星和月球运动理论益臻完善。
成为编算天文年历中各天体历表的根据。
法国数学家庞加莱（Poincar é，Jules-Henri ，1854～1912），又译彭加勒庞加莱，庞加莱在1892－1899年出版的三卷本《天体力学新方法》是这个时期的代表作。
数值方法最早可追溯到高斯的工作方法。
十九世纪末形成的科威耳方法和亚当斯方法，至今仍为天体力学的基本数值方法（见天体力学数值方法），但在电子计算机出现以前应用不广。
二十世纪五十年代以后，由于人造天体的出现和电子计算机的广泛应用，天体力学进入一个新时期。
研究又增加了各种类型的人造天体，以及成员不多的恒星系统。
在研究方法中，数值方法有迅速的发展，不仅用于解决实际问题，而且物理学 同定性方法和分析方法也有相应发展，以适应观测精度日益提高的要求。
1.3 天体力学历史地位天体力学是人类文明史上伟大的丰碑，也是人类历史上第一个走出地球的科学理论，以 足够精确的计算结果预言了天体前后几百年、几千年甚至几万年的运动，经受了无数的新的观测考验。
天体力学对人类社会的进步起了巨大的推动作用。
2 天体力学传统观念2.1 牛顿绝对时空观念Newton 时空观念一般称为经典时空观念，又称为绝对时空观念，Newton 曾经对这个时空观念详细描述：1、 绝对的、真正的和数学的时间自身在流逝着，而且由于其本性而在均匀地、与任何其他外界事物无关地流逝着，它又可以名之为‘延续性’；相对的、表观的和通常的的时间是延续性的一种可感觉的、外部的（无论是精确的或是不相等的）通过运动来进行的量度我们通常就用诸如小时、日、月、年等这种量度以代替真正的时间。
2、 绝对的空间，就其本性而言，是与任何外界事物无关而永远是相同的和不动的。
相对空间是绝对空间的可动部分或者量度。
我们的感官通过绝对空间对其他物体的位置而确定了它，弁且通常把它当作不动的空间看待。
如相对地球而言的地下，大气或天体等空间就是这样确定的。
绝对空间和相对空间，在形状上和大小上都相同，但在数字上并不总是保持一样。
因为，例如当地球运动时，一个相对地球总是保持不变的大气空间，将一个时间是大气流入的绝对空间的一个部分，而在另一时间将是绝对空间的另一个部分，所以从绝对的意义来了解，它总是在不断变化的。
” （摘自H ·S 塞耶编《牛顿自然哲学著作选》第十九页至二十页）Newton 时空观念为经典力学的运动参照系建立提供了哲学的、物理的理论依据。
按照Newton 时空观念，一个无限延伸的三维钢架和一个均匀流逝的运动构成了一个运 动参照系，一个刚性的尺和一个稳频的钟可以分别对空间和时间进行度量。
在三维钢架上的空的空间构成三维 Euclid 空间直角坐标系坐标x α (I=1, 2, 3), 时间t 作为参变量, x α作为时间t 的函数x α（t ） 。
如果有另一个参照系K '以速度v 相对K 运动，K '中的相应的空间坐标为'x α，'t ，则'x α，'t 和x α，t 之间变换由下述的Galilao 时空变换公式决定： 'x x v t ααα=- (2.1)t t =' (2.2)上式中v α是v 沿x α方向的分量，在变换中，位矢r 的平方2r 是不变量，即：22'2r x x αααα== (2.3) 按照惯例，上式重复下标表示求和。
2.2 二体问题传统解二体问题是各类天体真实运动的第一次近似结果，也是研究天体在有心力场的引力作用下的运动。
根据牛顿绝对时空观念、牛顿动力学基本定律和牛顿万有引力定律，运动方程具有如下形式 d m dt=v F (2.4） 上式中，m 表示天体质量，v 表示天体运动速度，F 表示太阳和天体之间的引力， t 表示时间。
在解方程（2.4）时，二体问题采用了下述的逻辑推理：第一、 选择质心参照系描述二体运动，以折合质量Mm M mμ=+代替天体质量m ， 折合质量也称约化质量，约化质量既小于M ，也小于m ，主要由两者中质量较小者决定；第二、引进势函数描述质点与球形物体之间作用力，势函数对空间坐标的偏导数正比于质点所受总引力的相应分力。
把中心天体看成是质量密度均匀分布的球体，以φ表示势函数，则φ等于G r μφ=-，单位质量体元受的作用力为m φ=-∇F ，这样，方程(2.4)可以写成如下形式 d dtφ=-∇v (2.5） 按照上述逻辑形式，行星对太阳运动，就像是在以太阳为中心的惯性参照系中运动一样，只是要用约化质量代替行星质量。
在太阳系黄道面上选择极坐标系，以太阳的质量中心为极坐标系的原点，r 表示矢径（描述天体相对太阳的位置），r 表示矢径的长度，θ表示矢径的角度，则方程（2.4）有如下形式2()m r r F θ-= (2.6） 2(2)()0m d m r r r r dt θθθ+==(2.7） 令2r h θ= ，沿径r 方向和沿θ方向的两个方程分别为 22G r r r μθ-=-(2.8） 10dh r dt= (2.9） 上式中h 为单位质量的角动量，h 为一个积分常数，2mr mh θ⋅=即天体单位质量的动量矩守恒。