2020~2021北京市西城区高三上学期期末数学试卷及答案(20210124072022)
【数学】北京市西城区高三上学期期末考试试卷(文)(解析版)
北京市西城区高三上学期期末考试数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合，，那么( )A. B. C. D.【答案】B【解析】先求出集合A，B，由此能求出A∩B．∵集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|x2≤5}＝{x|}，∴A∩B＝{﹣2，0，2}．故选：B．2.下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．根据题意，依次分析选项：对于A，y＝x2+2x为二次函数，其对称轴为x＝﹣1，不是偶函数，不符合题意；对于B，y＝x3，是奇函数，不符合题意；对于C，y＝ln|x|，是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增，符合题意；对于D，y＝cos x为偶函数，在区间（0，+∞）上不是单调函数，不符合题意，故选：C．3.一个四棱锥的三视图如图所示，那么这个四棱锥最长棱的棱长为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由三视图可知：该几何体如图所示，P A⊥底面ABCD，P A=2，底面是一个直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，BC=AB=1，AD=2．即可得出．由三视图可知：该几何体如图所示，P A⊥底面ABCD，P A=2，底面是一个直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，BC=AB=1，AD=2．可知其最长棱长为PD2．故选：C．4.设x，y满足约束条件，则z=x+3y的最小值为（）A. B. C. 1 D. 2【答案】A【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．由x，y满足约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，﹣1），化目标函数z＝x+3y为y，由图可知，当直线y过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为﹣1．故选：A．5.执行如图所示的程序框图，若输入的m=1，则输出数据的总个数为（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】B【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】解：模拟程序的运行，可得：m=1满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=3，输出n的值为3，m=3满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=7，输出n的值为7，m=7满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=15，输出n的值为15，m=15满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=31，输出n的值为31，m=31满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=63，输出n的值为63，m=63满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=127，输出n的值为127，m=127此时，不满足条件m∈（0，100），退出循环，结束．可得输出数据的总个数为6．故选：B．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．6.设数列是等比数列，则“”是“为递增数列”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当时，虽然有，但是数列不是递增数列，所以不充分；反之当数列是递增数列时，则必有，因此是必要条件，应选答案B。
北京市西城区第一学期期末高三级数学(理)试题及答案
X 市西城区2021 — 2021学年度第一学期期末卷子高三数学〔理科〕 2021.1第一卷〔选择题 共40分〕一、 选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．假设集合{|03}A x x =<<，{|12}B x x =-<<，则A B =〔A 〕{|13}x x -<< 〔B 〕{|10}x x -<< 〔C 〕{|02}x x <<〔D 〕{|23}x x <<2．以下函数中，在区间(0,)+∞上单调递增的是 〔A 〕1y x =-+〔B 〕|1|y x =-〔C 〕sin y x =〔D 〕12y x =3．执行如下列图的程序框图，输出的S 值为 〔A 〕2 〔B 〕6 〔C 〕30 〔D 〕2704．M 为曲线C ：3cos ,sin x y θθ=+⎧⎨=⎩〔θ为参数〕上的动点．设O 为原点，则OM 的最大值是 〔A 〕1 〔B 〕2 〔C 〕3〔D 〕45．实数,x y 满足10,10,10,x x y x y -⎧⎪+-⎨⎪-+⎩≥≥≥ 则2x y -的取值范围是〔A 〕[0,2] 〔B 〕(,0]-∞ 〔C 〕[1,2]- 〔D 〕[0,)+∞6．设,a b 是非零向量，且,a b 不共线．则“||||=a b 〞是“|2||2|+=+a b a b 〞的 〔A 〕充分而不必要条件 〔B 〕必要而不充分条件 〔C 〕充分必要条件〔D 〕既不充分也不必要条件7．A ，B 是函数2xy =的图象上的相异两点．假设点A ，B 到直线12y =的距离相等， 则点A ，B 的横坐标之和的取值范围是 〔A 〕(,1)-∞-〔B 〕(,2)-∞-〔C 〕(1,)-+∞〔D 〕(2,)-+∞8．在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度〔单位mol/L ，记作[H ]+〕和氢氧根离子的物质的量的浓度〔单位mol/L ，记作[OH ]-〕的乘积等于常数1410-．pH 值的定义为pH lg[H ]+=-，健康人体血液的pH 值保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的[H ][OH ]+-可以为〔参考数据：lg20.30≈，lg30.48≈〕 〔A 〕12〔B 〕13〔C 〕16〔D 〕110第二卷〔非选择题 共110分〕二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分． 9．在复平面内，复数2i1i-对应的点的坐标为____． 10．数列{}n a 是公比为2的等比数列，其前n 项和为n S ．假设212a =，则n a =____；5S =____．11．在△ABC 中，3a =，3C 2π∠=，△ABC ，则 c =____．12．把4件不同的产品摆成一排．假设其中的产品A 与产品B 都摆在产品C 的左侧，则不同的摆法有____种．〔用数字作答〕13．从一个长方体中截取局部几何体，得到一个以原长方体的局部顶点为顶点的凸多面体，其三视图如下列图．该几何体的外表积是____．14．函数2,2,()1,3.x x x c f x c x x ⎧+-⎪=⎨<⎪⎩≤≤≤假设0c =，则()f x 的值域是____；假设()f x 的值域是1[,2]4-，则实数c 的取值范围是____． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解容许写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．〔本小题总分值13分〕函数2π()2sin cos(2)3f x x x =-+．〔Ⅰ〕求()f x 的最小正周期；〔Ⅱ〕求()f x 在区间π[0,]2上的最大值． 16．〔本小题总分值13分〕表1和表2是某年局部日期的天安门广场升旗时刻表．表1：某年局部日期的天安门广场升旗时刻表〔Ⅰ〕从表1的日期中随机选出一天，试估量这一天的升旗时刻早于7:00的概率； 〔Ⅱ〕甲，乙二人各自从表2的日期中随机选择一天观看升旗，且两人的选择相互独立．记X 为这两人中观看升旗的时刻早于7:00的人数，求X 的分布列和数学期望()E X ．〔Ⅲ〕将表1和表2中的升旗时刻化为分数后作为样本数据〔如7:31化为31760〕．记表2中全部升旗时刻对应数据的方差为2s ，表1和表2中全部升旗时刻对应数据的方差为2*s ，推断2s 与2*s 的大小．〔只需写出结论〕 17．〔本小题总分值14分〕如图，三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥平面11AA C C ，12AA AB AC ===，160A AC ︒∠=. 过1AA 的平面交11B C 于点E ，交BC 于点F . 〔Ⅰ〕求证：1A C ⊥平面1ABC ；〔Ⅱ〕求证：四边形1AA EF 为平行四边形； 〔Ⅲ〕假设23BF BC =，求二面角1B AC F --的大小. 18．〔本小题总分值13分〕函数()e sin 1axf x x =⋅-，其中0a >．〔Ⅰ〕当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； 〔Ⅱ〕证明：()f x 在区间[0,π]上恰有2个零点． 19．〔本小题总分值14分〕椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点(2,0)A ．〔Ⅰ〕求椭圆C 的方程；〔Ⅱ〕设直线y kx =+C 交于,M N 两点．假设直线3x =上存在点P ，使得四边形PAMN 是平行四边形，求k 的值．20．〔本小题总分值13分〕数列n A ：12,,,(4)n a a a n ≥满足：11a =，n a m =，10k k a a +-=或1(1,2,,1)k n =-．对任意,i j ，都存在,s t ，使得i j s t a a a a +=+，其中,,,{1,2,,}i j s t n ∈且两两不相等．〔Ⅰ〕假设2m =，写出以下三个数列中全部符合题目条件的数列的序号； ① 1,1,1,2,2,2； ② 1,1,1,1,2,2,2,2； ③ 1,1,1,1,1,2,2,2,2 〔Ⅱ〕记12n S a a a =+++．假设3m =，证明：20S ≥；〔Ⅲ〕假设2018m =，求n 的最小值．X 市西城区2021 — 2021学年度第一学期期末高三数学〔理科〕参考答案及评分标准2021.1一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分.1．A 2．D 3．C 4．D 5．D 6．C 7．B 8．C二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分.9．(1,1)- 10．32n -，3141112．8 13．36 14．1[,)4-+∞；1[,1]2注：第10，14题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．〔本小题总分值13分〕解：〔Ⅰ〕因为2π()2sin cos(2)3f x x x =-+ππ1cos2(cos2cos sin 2sin )33x x x =--⋅-⋅ [ 4分]32cos2122x x =-+[ 5分]π)13x =-+， [ 7分]所以()f x 的最小正周期 2ππ2T ==．[ 8分] 〔Ⅱ〕因为 π02x ≤≤， 所以 ππ2π2333x --≤≤． [10分] 当 ππ232x -=，即5π12x =时， [11分]()f x 1． [13分]16．〔本小题总分值13分〕解：〔Ⅰ〕记事件A 为“从表1的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于7:00〞， [ 1分]在表1的20个日期中，有15个日期的升旗时刻早于7:00，所以 153(A)204P ==．[ 3分] 〔Ⅱ〕X 可能的取值为0,1,2． [ 4分] 记事件B 为“从表2的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于7:00〞，则 51(B)153P ==，2(B)1(B)3P P =-=．[ 5分] 4(0)(B)(B)9P X P P ==⋅=； 12114(1)C ()(1)339P X ==-=； 1(2)(B)(B)9P X P P ==⋅=． [ 8分]所以 X 的分布列为：()0129993E X =⨯+⨯+⨯=． [10分]注：学生得到X ~1(2,)3B ，所以12()233E X =⨯=，同样给分．〔Ⅲ〕22*s s <． [13分]17．〔本小题总分值14分〕解：〔Ⅰ〕因为 AB ⊥平面11AA C C ，所以 1A C AB ⊥． [ 1分]因为 三棱柱111ABC A B C -中，1AA AC =，所以 四边形11AA C C 为菱形， 所以 11A C AC ⊥． [ 3分]所以 1A C ⊥平面1ABC ． [ 4分] 〔Ⅱ〕因为 11//A A B B ，1A A ⊄平面11BB C C ，所以 1//A A 平面11BB C C ． [ 5分] 因为 平面1AA EF平面11BB C C EF =，所以 1//A A EF ． [ 6分]因为 平面//ABC 平面111A B C ，平面1AA EF平面ABC AF =，平面1AA EF平面1111A B C A E =，所以 1//A E AF ． [ 7分] 所以 四边形1AA EF 为平行四边形． [ 8分] 〔Ⅲ〕在平面11AA C C 内，过A 作Az AC ⊥．因为 AB ⊥平面11AA C C ，如图建立空间直角坐标系A xyz -．[ 9分] 由题意得，(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(0,2,0)C ，1A ，1C ．因为23BF BC =，所以 244(,,0)333BF BC −−→−−→==-， 所以 24(,,0)33F ．由〔Ⅰ〕得平面1ABC的法向量为1(0,1,A C −−→=设平面1AC F 的法向量为(,,)x y z =n ，则10,0,AC AF −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n 即30,240.33y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩令1y =，则2x =-，z =所以(2,1,=-n ． [11分]所以111|||cos ,|||||A C A C A C −−→−−→−−→⋅〈〉==n n n [13分] 由图知 二面角1B AC F --的平面角是锐角，所以 二面角1B AC F --的大小为45︒． [14分]18．〔本小题总分值13分〕解：〔Ⅰ〕当1a =时，()e sin 1x f x x =⋅-，所以 ()e (sin cos )xf x x x '=+． [ 2分]因为 (0)1f '=，(0)1f =-， [ 4分]所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y x =-． [ 5分]〔Ⅱ〕()e (sin cos )axf x a x x '=+． [ 6分]由 ()0f x '=，得 sin cos 0a x x +=． [ 7分] 因为 0a >，所以π()02f '≠． [ 8分]当 ππ(0,)(,π)22x ∈时， 由 sin cos 0a x x +=， 得 1tan x a =-．所以 存在唯一的0π(,π)2x ∈， 使得 01tan x a =-． [ 9分]()f x 与()f x '在区间(0,π)上的情况如下：所以 ()f x 在区间0(0,)x 上单调递增，在区间0(,π)x 上单调递减． [11分]因为π020π()()e 1e 102a f x f >=->-=， [12分]且 (0)(π)10f f ==-<，所以 ()f x 在区间[0,π]上恰有2个零点． [13分]19．〔本小题总分值14分〕解：〔Ⅰ〕由题意得 2a =，c e a ==， 所以c = [ 2分] 因为 222a b c =+， [ 3分] 所以 1b =， [ 4分]所以 椭圆C 的方程为 2214x y +=．[ 5分] 〔Ⅱ〕假设四边形PAMN 是平行四边形，则 //PA MN ，且 ||||PA MN =. [ 6分] 所以 直线PA 的方程为(2)y k x =-， 所以 (3,)P k，||PA = [ 7分] 设11(,)M x y ，22(,)N x y ． 由2244,y kx x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩得22(41)80k x +++=， [ 8分] 由0∆>，得 212k >．且12x x +=122841x x k =+． [ 9分] 所以||MN=． [10分]因为 ||||PA MN =， 所以整理得 421656330k k -+=， [12分]解得k =，或k = [13分]经检验均符合0∆>，但k =时不满足PAMN 是平行四边形，舍去．所以k =，或2k =± [14分]20．〔本小题总分值13分〕解：〔Ⅰ〕②③． [ 3分] 注：只得到 ② 或只得到 ③ 给[ 1分]，有错解不给分．〔Ⅱ〕当3m =时，设数列n A 中1,2,3出现频数依次为123,,q q q ，由题意1(1,2,3)i q i =≥． ① 假设14q <，则有12s t a a a a +<+〔对任意2s t >>〕，与矛盾，所以 14q ≥． 同理可证：34q ≥． [ 5分]② 假设21q =，则存在唯一的{1,2,,}k n ∈，使得2k a =．那么，对,s t ∀，有 112k s t a a a a +=+≠+〔,,k s t 两两不相等〕， 与矛盾，所以22q ≥． [ 7分]综上：1324,4,2q q q ≥≥≥， 所以 3120i i S iq ==∑≥． [ 8分]〔Ⅲ〕设1,2,,2018出现频数依次为122018,,...,q q q ．同〔Ⅱ〕的证明，可得120184,4q q ≥≥，220172,2q q ≥≥，则2026n ≥．取12018220174,2q q q q ====，1,3,4,5,,2016i q i == ，得到的数列为：:1,1,1,1,2,2,3,4,,2015,2016,2017,2017,2018,2018,2018,2018n B ．[10分] 下面证明n B 满足题目要求．对,{1,2,,2026}i j ∀∈，不妨令i j a a ≤，① 如果1i j a a ==或2018i j a a ==，由于120184,4q q ==，所以符合条件； ② 如果1,2i j a a ==或2017,2018i j a a ==，由于120184,4q q ==，220172,2q q ==， 所以也成立；③ 如果1,2i j a a =>，则可选取2,1s t j a a a ==-；同样的，如果2017,2018i j a a <=， 则可选取1,2017s i t a a a =+=，使得i j s t a a a a +=+，且,,,i j s t 两两不相等； ④ 如果12018i j a a <<≤，则可选取1,1s i t j a a a a =-=+，注意到这种情况每个数最多被选取了一次，因此也成立．综上，对任意,i j ，总存在,s t ，使得i j s t a a a a +=+，其中,,,{1,2,,}i j s t n ∈且两两不相等．因此n B 满足题目要求，所以n 的最小值为2026． [13分]。
2020届北京市西城区高三上学期期末数学试题(解析版)
2020届北京市西城区高三上学期期末数学试题一、单选题1．设集合{}{},3,0,1|,5A x x a B =<=-,若集合A B I 有且仅有2个元素,则实数a 的取值范围为（ ） A ．()3, -+∞ B ．(]0,1C ．[)1,+∞D ．[)1,5【答案】B 2．已知复数31iz i-=+，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D3．在ABC V 中,若6,60,75a A B ==︒=︒,则c =（ ）A ．4B ．C ．D ．【答案】D4．设x y >,且0,xy ≠则下列不等式中一定成立的是（ ）A ．11x y> B ．ln ln x y >C ．22x y --<D ．22x y >【答案】C5．已知直线20x y ++=与圆22220x y x y a ++-+=有公共点,则实数a 的取值范围为（ ） A ．(],0-∞ B ．[)0,+∞C ．[)0,2D ．(),2-∞【答案】A6．设三个向量,,a b c r r r 互不共线,则 “0a b c ++=r r r r”是 “以,,a b c r r r 为边长的三角形存在”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A7．紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品,其制作始于明朝正德年间.紫砂壶的壶型众 多,经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等.其中,石瓢壶的壶体可以近似看成一 个圆台 (即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的).下图给出了一个石瓢壶的相关数据(单位:cm ),那么该壶的容量约为（ ）A ．1003cmB ．3200cmC ．3003cmD ．4003cm【答案】B8．已知函数() 1f x x k =+,若存在区间[][),1,a b ∈-+∞,使得函数f (x )在区间[],a b 上的值域为[]1,1,a b ++则实数k 的取值范围为（ ）A ．()1,-+∞B ．(]1,0-C ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．1,04⎛⎤- ⎥⎝⎦【答案】D二、填空题9．在()51x -的展开式中,2x 的系数为___________. 【答案】10【解析】根据二项展开式的通项，赋值即可求出． 【详解】()51x -的展开式通项为()15r r r T C x +=-，令2x =，所以2x 的系数为()225110C -=．故答案为：10． 【点睛】本题主要考查二项展开式某特定项的系数求法，解题关键是准确求出展开式的通项，属于基础题．10．已知向量()()4,6,2,a b x =-=r r 满足//a b r r,其中x ∈R ,那么b =r _____________【答案】13【解析】根据向量平行的坐标表示求出x ，再根据向量模的坐标计算公式即可求出． 【详解】因为//a b r r，所以4260x --⨯=，解得3x =-．因此()222313b =+-=r ．故答案为：13． 【点睛】本题主要考查向量平行的坐标表示以及向量模的坐标计算公式的应用，属于基础题． 11．在公差为() 0d d ≠的等差数列{}n a 中,11a =- ,且2412,,a a a 成等比数列, 则d =______________【答案】3【解析】根据等差数列的通项公式，用d 表示出2412,,a a a ，再根据2412,,a a a 成等比数列，列式即可求解． 【详解】因为1(1)1(1)n a a n d n d =+-=-+-，所以24121,13,111a d a d a d =-+=-+=-+， 而2412,,a a a 成等比数列，所以13111113d dd d-+-+=-+-+，解得3d =或0d =(舍去)．故答案为：3． 【点睛】本题主要考查等差数列的性质以及等比数列的定义的应用，属于基础题．12．某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的四个侧面中,直角三角形有__________个【答案】3【解析】根据三视图先还原成四棱锥，然后在该四棱锥的四个侧面中判断，即可得出． 【详解】如图所示，该四棱锥是一个底面为直角梯形，一条侧棱PA 垂直于底面的四棱锥．由三视图可知，2,1PA AD AB BC ====，,AD AB BC AB ⊥⊥． 因为PA ⊥面ABCD ，所以,PAB PAD V V 都是直角三角形．在PBC V 中，22222,1,4419PB BC PC PA AB BC ===++=++=，所以222PB BC PC +=，PBC V 也是直角三角形．在PDC △中，2222448,125PD CD =+==+=，而29PC =，所以PDC △不是直角三角形．因此，该四棱锥的四个侧面中，直角三角形有3个． 故答案为：3 【点睛】本题主要考查三视图还原成几何体，线面垂直的定义、勾股定理及其逆定理的应用，意在考查学生的直观想象能力和逻辑推理能力，属于中档题． 13．对于双曲线,给出下列三个条件: ①离心率为2;②一条渐近线的倾斜角为30°; ③ 实轴长为8,且焦点在x 轴上.写出符合其中两个条件的一个双曲线的标准方程 __________．【答案】2211648x y -=,答案不唯一【解析】根据双曲线的性质，选择其中两个条件，求出,,a b c ，即可得到满足题意的一个的双曲线标准方程． 【详解】若选择①③，所以2,28ce a a===，解得4,8a c ==，所以222228448b c a =-=-=，因为焦点在x 轴上，所以双曲线的标准方程为2211648x y-=．若选择其它，可以得到其它的双曲线的标准方程．故答案为：2211648x y -=，答案不唯一．【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质的应用，属于基础题．14．某商贸公司售卖某种水果.经市场调研可知:在未来20天内,这种水果每箱的销售利润r (单位:元)与时间120(,t t t N ≤≤∈,单位:天)之间的函数关系式为1104r t =+, 且日销售量y (单位:箱)与时间t 之间的函数关系式为1202y t =- ①第4天的销售利润为__________元;②在未来的这20天中,公司决定每销售1箱该水果就捐赠) (*m m N ∈元给 “精准扶贫”对象.为保证销售积极性,要求捐赠之后每天的利润随时间t 的增大而增大,则m 的最小值是__________． 【答案】1232 5【解析】①先求出第4天每箱的销售利润，再求出当天的销售量即可求出该天的销售利润；②先求出捐赠后的利润解析式，再根据二次函数的性质，列出不等式组即可解出． 【详解】 ①因为()14410114r =⨯+=，()412024112y =-⨯=，所以该天的销售利润为111121232⨯=；②设捐赠后的利润为W 元，则()()11202104W y r m t t m ⎛⎫=-=-+- ⎪⎝⎭， 化简可得，()2121012001202W t m t m =-+++-．令()W f t =，因为二次函数的开口向下，对称轴为210t m =+，为满足题意所以，()*2102010m f n N +≥⎧⎪>⎨⎪∈⎩，解得5m ≥． 故答案为：①1232；②5． 【点睛】本题主要考查数学在生活中的应用，涉及二次函数的性质的应用，解题关键是对题意的理解和函数模型的建立，属于基础题．三、解答题15．已知函数()2.6f x cosx sin x π⎛⎫⎪⎝=⎭-g （1）求函数()f x 的最小正周期; （2）求函数()f x 在区间 ,02π⎡-⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值和最大值. 【答案】（1）π（2）最大值0．最小值32-. 【解析】（1）先利用两角差的正弦公式展开，再利用二倍角公式和辅助角公式(或两角差的正弦公式)合并成()sin y A x k ωϕ=++的形式，即可求出函数()f x 的最小正周期.（2）由 ,02x π⎡∈-⎤⎢⎥⎣⎦，求出72,666t x πππ⎡⎤=-∈--⎢⎥⎣⎦，再根据sin y t =的单调性可求出函数()f x 的最大最小值． 【详解】（1）因为1()2cos cos )2f x x x x =⋅-2cos cos x x x =-112cos222x x -- π1sin(2)62x =--所以函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==． （2）因为π02x -≤≤，所以7πππ2666t x -≤=-≤-，而sin y t =在7,62ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,26ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增，而7sin sin 66ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以当ππ262t x =-=-，即π6x =-时，()f x 取得最小值32-， 当π7π266t x =-=-，即π2x =-时，()f x 取得最大值0．【点睛】本题主要考查两角差的正弦公式、二倍角公式、辅助角公式的应用，以及三角函数在闭区间上的最值求法，意在考查学生的转化和运算能力，属于基础题．16．高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行,更带动了我国经济的巨大发展.据统 计,在2018年这一年内从A 市到B 市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为50万人次.为了 解乘客出行的满意度,现从中随机抽取100人次作为样本,得到下表(单位:人次):（1）在样本中任取1个,求这个出行人恰好不是青年人的概率;（2）在2018年从A 市到B 市乘坐高铁的所有成年人中,随机选取2人次,记其中老年人出行的人次为X .以频率作为概率,求X 的分布列和数学期望;（3）如果甲将要从A 市出发到B 市,那么根据表格中的数据,你建议甲是乘坐高铁还是飞机? 并说明理由. 【答案】（1）2950（2）分布列见解析，数学期望25（3）建议甲乘坐高铁从A 市到B 市.见解析【解析】（1）根据分层抽样的特征可以得知，样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19，39，42，即可按照古典概型的概率计算公式计算得出；（2）依题意可知X 服从二项分布，先计算出随机选取1人次，此人为老年人概率是151755=，所以12,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭:，即()2211155k kk P x k C -⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可求出X 的分布列和数学期望；（3）可以计算满意度均值来比较乘坐高铁还是飞机． 【详解】（1）设事件：“在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人”为M ， 由表可得：样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19，39，42， 所以在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人的概率193929()10050P M +==． （2）由题意，X 的所有可能取值为：012.，，因为在2018年从A 市到B 市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取1人次，此人为老年人概率是151755=， 所以022116(0)C (1)525P X ==⨯-=， 12118(1)C (1)5525P X ==⨯⨯-=， 22211(2)C ()525P X ==⨯=， 所以随机变量X 的分布列为：1 21625825125故16812()0122525255E X =⨯+⨯+⨯=． （3）答案不唯一，言之有理即可．如可以从满意度的均值来分析问题，参考答案如下：由表可知，乘坐高铁的人满意度均值为：521012511011652121115⨯+⨯+⨯=++乘坐飞机的人满意度均值为：410145702241475⨯+⨯+⨯=++因为11622155>， 所以建议甲乘坐高铁从A 市到B 市．【点睛】本题主要考查了分层抽样的应用、古典概型的概率计算、以及离散型随机变量的分布列和期望的计算，解题关键是对题意的理解，概率类型的判断，属于中档题．17．如图,在三棱柱111ABC A B C -中,1BB ⊥平面 ,ABC ABC V 为正三角形, 侧面11ABB A 是边长为2的正方形,D 为BC 的中点.（1）求证1://A B 平面1AC D ; （2）求二面角1C AC D --的余弦值;（3）试判断直线11A B 与平面1AC D 的位置关系,并加以证明. 【答案】（1）证明见解析（215（3）直线11A B 与平面1AC D 相交.证明见解析 【解析】（1）根据线面平行的判定定理,在面1AC D 内找一条直线平行于1A B 即可．所以连接1A C 交AC 与点E ，再连接DE ，由中位线定理可得1//DE A B ，即可得证； （2）取11B C 的中点F ，连接DF ．分别以DC ，DF ，DA 为x 轴，y 轴，z 轴，如图建立空间直角坐标系，再根据二面角的向量方法即可求出；（3）根据平面1AC D 的法向量与直线11A B 的方向向量的关系，即可判断直线11A B 与平面1AC D 的位置关系． 【详解】（1）由题意，三棱柱111ABC A B C -为正三棱柱．连接1A C ． 设11A C AC E =I ，则E 是1A C 的中点．连接DE ， 由D ，E 分别为BC 和1A C 的中点，得1//DE A B ．又因为DE ⊂平面1AC D ，1A B ⊄平面1AC D ， 所以1//A B 平面1AC D ．（2）取11B C 的中点F ，连接DF ．因为V ABC 为正三角形，且D 为BC 中点，所以AD BC ⊥． 由D ，F 分别为BC 和11B C 的中点，得1//DF BB ， 又因为1BB ⊥平面ABC ， 所以DF ⊥平面ABC ，即有DFAD ⊥，DF BC ⊥．分别以DC ，DF ，DA 为x 轴，y 轴，z 轴，如图建立空间直角坐标系， 则3)A ，1(1,2,0)C ，(1,0,0)C ，(0,0,0)D ，(1,0,0)B -，所以1(1,2,0)DC =u u u u r ，3)DA =u u u r ，(3)CA =-u u u r ，1(0,2,0)CC =u u u u r，设平面1AC D 的法向量1111(,,)n x y z =u r， 由10DA n ⋅=u u u r u u r ，110DC n ⋅=u u u u r u u r ，得11130,20,z x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩令11y =，得1(2,1,0)=-n ． 设平面1AC C 的法向量2222(,,)n x y z =u u r，由20CA n ⋅=u u u r u u r ，120CC n ⋅=u u u u r u u r ，得22230,20,x z y ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩令21z =，得2(3,0,1)n =u u r．设二面角1C ACD --的平面角为θ，则 121215|cos |||||||n n n n θ⋅==⋅u u r u u r u u r u u r 由图可得二面角1C AC D --为锐二面角， 所以二面角1C AC D --15．（3）结论：直线11A B 与平面1AC D 相交． 证明：因为(1,0,3)AB =--u u u r ，11//A B AB ，且11=A B AB ， 所以11(1,0,3)A B =-u u u u r ．又因为平面1AC D 的法向量1(2,1,0)n =-u u r ，且11120A B n ⋅=≠u u u u r u u r ，所以11A B u u u u r 与1n u r 不垂直， 因为11A B ⊄平面1AC D ，且11A B 与平面1AC D 不平行，故直线11A B 与平面1AC D 相交．【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理的应用，二面角的求法，以及直线与平面的位置关系判断，意在考查学生的直观想象能力、逻辑推理能力和数学运算能力，属于中档题．18．已知椭圆22: 14x W y +=的右焦点为F ,过点F 且斜率为()0k k ≠的直线l 与椭圆W 交于,A B 两点,线段AB 的中点为,M O 为坐标原点.（1）证明:点M 在y 轴的右侧;（2）设线段AB 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别相交于点,C D .若ODC △与CMF V 的面积相等,求直线l 的斜率k【答案】（1）证明见解析（2）2 【解析】（1）设出直线l 的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系求出点M 的横坐标即可证出；（2）根据线段AB 的垂直平分线求出点,C D 的坐标，即可求出ODC △的面积，再表示出CMF V 的面积，由V ODC 与V CMF 的面积相等列式，即可解出直线l 的斜率k ．【详解】（1）由题意，得F，直线(l y k x =-：（0k ≠）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立22(1,4y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩消去y，得2222(41)(124)0k x x k +-+-=， 显然>0∆，12x x += 则点M的横坐标122M x x x +=，因为22041M x k =>+， 所以点M 在y 轴的右侧．（2）由（1）得点M的纵坐标(M M y k x ==即M ． 所以线段AB的垂直平分线方程为：1(y x k =--． 令0x =，得2(0,)41D k +；令0y =，得22(,0)41C k +． 所以V ODC的面积222127||22(41)ODC k k S k ∆⋅=⋅⋅+， V CMF的面积22213(1)||||22(41)CMF k k S k ∆+⋅=⋅⋅=+． 因为V ODC 与V CMF 的面积相等， 所以22222227||3(1)||2(41)2(41)k k k k k k ⋅+⋅=++，解得4k =±． 所以当V ODC 与V CMF 的面积相等时，直线l的斜率k = 【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系的应用、根与系数的关系应用，以及三角形的面积的计算，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题．19．已知函数()21,2x f x e ax x =-+其中1a >- （1）当0a =时,求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程;（2）当1a =时,求函数()f x 的单调区间;（3）若()212f x x x b ≥++对于x ∈R 恒成立,求b a -的最大值. 【答案】（1）10x y -+=（2）()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞.（3）11e+ 【解析】（1）根据导数的几何意义，求出切线斜率，由点斜式方程即可写出切线方程；（2）求出导数，依据()e 1x f x x '=-+在(),-∞+∞上单调递增，且(0)0f '=，分别解不等式()0f x '>以及()0f x '<，即可求出函数()f x 的单调增区间和减区间；（3）由题意得e (1)0x a x b -+-≥在x ∈R 上恒成立，设()e (1)x g x a x b =-+-，用导数讨论函数的单调性，求出最小值(ln(1))0g a +≥，可得1(1)ln(1)b a a a --++≤．再设()1ln (0)h x x x x =->，求出函数()h x 的最大值，即为b a -的最大值．【详解】（1）由21()e 2x f x x =+，得()e x f x x '=+， 所以(0)1f =，(0)1f '=．所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为10x y -+=．（2）由21()e 2x f x x x =-+，得()e 1x f x x '=-+． 因为(0)0f '=，且 ()e 1x f x x '=-+在(),-∞+∞上单调递增，所以由()e 10x f x x '=-+>得，0x >，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增 ，由()e 10x f x x '=-+<得，0x <所以函数()f x 在(,0)-∞上单调递减．综上，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞．（3）由21()2f x x x b ++≥，得e (1)0x a x b -+-≥在x ∈R 上恒成立．设()e (1)x g x a x b =-+-，则()e (1)x g x a '=-+．由()e (1)0x g x a '=-+=，得ln(1)x a =+，（1a >-）．随着x 变化，()g x '与()g x 的变化情况如下表所示：所以()g x 在(,ln(1))a -∞+上单调递减，在(ln(1),)a ++∞上单调递增．所以函数()g x 的最小值为(ln(1))(1)(1)ln(1)g a a a a b +=+-++-． 由题意，得(ln(1))0g a +≥，即 1(1)ln(1)b a a a --++≤．设()1ln (0)h x x x x =->，则()ln 1h x x '=--．因为当10e x <<时，ln 10x -->； 当1ex >时，ln 10x --<， 所以()h x 在1(0,)e 上单调递增，在1(,)e+∞上单调递减． 所以当1ex =时，max 11()()1e e h x h ==+． 所以当11e a +=，1(1)ln(1)b a a a =+-++，即11e a =-，2e b =时，b a -有最大值为11e+． 【点睛】本题主要考查导数的几何意义的应用，利用导数研究函数的单调性和最值，以及函数不等式恒成立问题的解法，意在考查学生的等价转化思想和数学运算能力，属于较难题．20．设整数集合{}12100,,,A a a a =⋯,其中121001?··205a a a ≤<<<≤ ，且对于任意(),1100i j i j ≤≤≤，若i j A +∈，则.i j a a A +∈（1）请写出一个满足条件的集合A ;（2）证明:任意{}101,102,,200,x x A ∈⋯∉;（3）若100205a =,求满足条件的集合A 的个数.【答案】（1）{1,2,3,,100}A =L （2）证明见解析 （3）16个【解析】（1）根据题目条件，令n a n =，即可写出一个集合{1,2,3,,100}A =L ；（2）由反证法即可证明；（3）因为任意的{}101,102,,200,x x A ∈⋯∉，所以集合{201,202,,205}A I L 中至多5个元素.设100100m a b -=≤，先通过判断集合A 中前100m -个元素的最大值可以推出(1100)i a i i m =-≤≤，故集合A 的个数与集合{201,202,203,204}的子集个数相同，即可求出．【详解】（1）答案不唯一． 如{1,2,3,,100}A =L ；（2）假设存在一个0{101,102,,200}x ∈L 使得0x A ∈，令0100x s =+，其中s ∈N 且100s ≤≤1，由题意，得100s a a A +∈，由s a 为正整数，得100100s a a a +>，这与100a 为集合A 中的最大元素矛盾，所以任意{101,102,,200}x ∈L ，x A ∉．（3）设集合{201,202,,205}A I L 中有(15)m m ≤≤个元素，100m a b -=，由题意，得12100200m a a a -<<<L ≤，10011002100200m m a a a -+-+<<<<L ，由（2）知，100100m a b -=≤．假设100b m >-，则1000b m -+>．因为10010010055100b m m -+-+=<-≤，由题设条件，得100100m b m a a A --++∈，因为100100100100200m b m a a --+++=≤， 所以由（2）可得100100100m b m a a --++≤， 这与100m a -为A 中不超过100的最大元素矛盾，所以100100m a m --≤，又因为121001m a a a -<<<L ≤，i a ∈N ，所以(1100)i a i i m =-≤≤．任给集合{201,202,203,204}的1m -元子集B ，令0{1,2,,100}{205}A m B =-L U U ， 以下证明集合0A 符合题意：对于任意,i j 00)(1i j ≤≤≤1，则200i j +≤．若0i j A +∈，则有m i j +≤100-，所以i a i =，j a j =，从而0i j a a i j A +=+∈．故集合0A 符合题意，所以满足条件的集合A 的个数与集合{201,202,203,204}的子集个数相同，故满足条件的集合A 有4216=个．【点睛】本题主要考查数列中的推理，以及反证法的应用，解题关键是利用题目中的递进关系，找到破解方法，意在考查学生的逻辑推理能力和分析转化能力，属于难题．。
北京西城区高三上学期期末考试数学试题(理)
北京市西城区第一学期期末试卷高三数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合{|01}A x x =∈<<R ，{|(21)(1)0}B x x x =∈-+>R ，则A B =（ ）（A ）1(0,)2（B ）(1,1)-（C ）1(,1)(,)2-∞-+∞ （D ）(,1)(0,)-∞-+∞2．在复平面内，复数5i2i-的对应点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限（C ）第三象限 （D ）第四象限3．在极坐标系中，已知点(2,)6P π，则过点P 且平行于极轴的直线的方程是（ ）（A ）sin 1=ρθ（B ）sin =ρθ（C ）cos 1=ρθ（D ）cos =ρθ4．执行如图所示的程序框图．若输出15S =， 则框图中① 处可以填入（ ） （A ）2k < （B ）3k < （C ）4k < （D ）5k <5．已知函数()cos f x x b x =+，其中b 为常数．那么“0b =”是“()f x 为奇函数”的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件6．已知,a b 是正数，且满足224a b <+<．那么22a b +的取值范围是（ ）（A ）416(,)55（B ）4(,16)5 （C ）(1,16)（D ）16(,4)57．某四面体的三视图如图所示．该四面体的六条棱的长度中，最大的是（ ）（A ）（B ）（C ）（D ）8．将正整数1,2,3,4,5,6,7随机分成两组，使得每组至少有一个数，则两组中各数之和相等的概率是（ ） （A ）221（B ）463（C ）121（D ）263第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 已知向量(1,3)=a ，(2,1)=-b ，(3,2)=c .若向量c 与向量k +a b 共线，则实数k = _____．10．如图，Rt △ABC 中，90ACB ︒∠=，3AC =，4BC =．以AC 为直径的圆交AB 于点D ，则BD = ；CD =______．11．设等比数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ．若11a =，34a =，63k S =，则k =______．12．已知椭圆 22142x y +=的两个焦点是1F ，2F ，点P 在该椭圆上．若12||||2PF PF -=，则△12PF F 的面积是______．13．已知函数π()sin(2)6f x x =+，其中π[,]6x a ∈-．当3a π=时，()f x 的值域是______；若()f x 的值域是1[,1]2-，则a 的取值范围是______．14．已知函数()f x 的定义域为R ．若∃常数0c >，对x ∀∈R ，有()()f x c f x c +>-，则称函数()f x 具有性质P ．给定下列三个函数：①()2x f x =； ②()sin f x x =； ③3()f x x x =-．其中，具有性质P 的函数的序号是______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）在△ABC 中，已知21cos 2B B =-．（Ⅰ）求角B 的值； （Ⅱ）若2BC =，4A π=，求△ABC 的面积．16．（本小题满分14分）如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为正方形，PD PA =，⊥PA 平面PDC ，E 为棱PD 的中点．（Ⅰ）求证：PB // 平面EAC ； （Ⅱ）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（Ⅲ）求二面角B AC E --的余弦值．17．（本小题满分13分）生产A ，B 两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品．现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下： 测试指标 [70,76) [76,82) [82,88) [88,94) [94,100]元件A 8 12 40 32 8元件B7 1840 29 6（Ⅰ）试分别估计元件A ，元件B 为正品的概率；（Ⅱ）生产一件元件A ，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件B ，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元 .在（Ⅰ）的前提下， （ⅰ）记X 为生产1件元件A 和1件元件B 所得的总利润，求随机变量X 的分布列和数学期望；（ⅱ）求生产5件元件B 所获得的利润不少于140元的概率．18．（本小题满分13分）已知函数2()xf x x b=+，其中b ∈R ． （Ⅰ）求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）设0b >．若13[,]44x ∃∈，使()1f x ≥，求b 的取值范围．19．（本小题满分14分）如图，已知抛物线24y x =的焦点为F ．过点(2,0)P 的直线交抛物线于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，直线AF ，BF 分别与抛物线交于点M ，N ．（Ⅰ）求12y y 的值；（Ⅱ）记直线MN 的斜率为1k ，直线AB 的斜率为2k .证明：12k k 为定值．20．（本小题满分13分）如图，设A 是由n n ⨯个实数组成的n 行n 列的数表，其中ij a (,1,2,3,,)i j n =表示位于第i 行第j 列的实数，且{1,1}ij a ∈-.记(,)S n n 为所有这样的数表构成的集合．对于(,)A S n n ∈，记()i r A 为A 的第i 行各数之积，()j c A 为A 的第j列各数之积．令11()()()nni j i j l A r A c A ===+∑∑．（Ⅰ）请写出一个(4,4)A S ∈，使得()0l A =；（Ⅱ）是否存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =？说明理由；（Ⅲ）给定正整数n ，对于所有的(,)A S n n ∈，求()l A 的取值集合．。
北京市西城区普通中学2024学年数学高三上期末学业质量监测试题含解析
北京市西城区普通中学2024学年数学高三上期末学业质量监测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足6322S S -=，则2823a a 的最小值为 A ．8 B ．16 C ．24 D ．362．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0n a >，1q >，3520a a +=，2664a a =，则5S =（ ）A ．48B ．36C ．42D ．31 3．已知向量()3,1a =，()3,1b =-，则a 与b 的夹角为（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 4．已知集合A ={x |–1<x <2}，B ={x |x >1}，则A ∪B =A ．（–1，1）B ．（1，2）C ．（–1，+∞）D ．（1，+∞） 5．复数12i z i=+的共轭复数在复平面内所对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 6．已知集合M ＝{y ｜y ＝，x ＞0}，N ＝{x ｜y ＝lg （2x －）}，则M∩N 为（ ）A ．（1，＋∞）B ．（1，2）C ．[2，＋∞）D ．[1，＋∞）7．已知函数f (x )＝223,1ln ,1x x x x x ⎧--+≤⎨>⎩,若关于x 的方程f (x )＝kx －12恰有4个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是( )A ．1e 2⎛ ⎝B ．12e ⎡⎢⎣ C ．12e ⎛ ⎝⎦ D ．12e ⎛ ⎝⎭8．三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都相等，1160BAA CAA ︒∠=∠=，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ）A ．33B ．66C ．34D ．369．设F 为抛物线24x y =的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若0FA FB FC ++=，则|||||FA FB FC ++=（ ）. A ．9 B ．6C ．38D ．316 10．已知点(2,0)M ，点P 在曲线24y x =上运动，点F 为抛物线的焦点，则2||||1PM PF -的最小值为（ ） A ．3B ．2(51)-C ．45D ．411．双曲线﹣y 2=1的渐近线方程是（ ） A ．x±2y=0 B ．2x±y=0 C ．4x±y=0 D ．x±4y=0 12．某四棱锥的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ）A ．8B ．83C ．4D ．43二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021.1第一学期北京市西城区高三期末数学试题及答案
2021 北京西城高三（上）期末数学2021.1 本试卷共5 页，共150 分。
考试时长120 分钟。
考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分（选择题共40 分）一、选择题共10 小题，每小题4 分，共40 分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合A = {x | -1 <x < 3}，B ={x | 0 <x ≤4} ，则A（A）( 0,3) （B）(-1, 4) （C）(0, 4] （D）(-1, 4]（2）在复平面内，复数z 所对应的点的坐标为(1 , -1) ，则z ⋅z =（A ）2 （B）-2i （C）（D）2i（3）已知f (x) 为奇函数，其局部图象如图所示，那么（A） f (2) = 2 （B） f (2) =-2（C）f (2) >-2 （D） f (2) <-2（4）已知A( 4,8) ，B ( 2, 4) ，C( 3, y ) 三点共线，则y 的值为（A）4 （B）5 （C）6 （D）7x2-y2=（5）已知双曲线a2b21 的焦距等于实轴长的2 倍，则其渐近线的方程为（A）y =±3x（B）y =±2x（C）y =±3x3（D）y =±1x2（6）已知半径为2 的圆经过点(1, 0) ，其圆心到直线3x - 4 y+12 = 0 的距离的最小值为（A）0 （B）1 （C）2 （D）3（7）已知函数 f (x) = sin 2x , x ∈[ a,b ] ，则“ b -a ≥π”是“ f (x) 的值域为[-1,1] ”的2（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件B =2（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（8）被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：C =W log (1+S) ，其中C 为最大数据传输速率，单位为2 Nbit / s ；W为信道带宽，单位为Hz；S为信噪比. 香农公式在5G 技术中发挥着举足轻重的作用. 当NS= 99 ，W = 2000Hz 时，最大数据传输速率记为C ；当S= 9999 ，W = 3000Hz 时，最大数据传输速率记为N 1NC ，则C2 为C1（A）1 （B）52（C）154（D）3（9）设函数f (x) 和g(x) 的定义域为D ，若存在非零实数c ∈D ，使得f (c) +g(c) = 0 ，则称函数f (x) 和g(x) 在D 上具有性质P.现有三组函数：①f (x) =x ，g(x) =x2② f (x) = 2-x，g(x) =-e x③ f (x) =-x2，g(x) = 2x其中具有性质P 的是（A）①②（B）①③（C）②③（D）①②③（10）在棱长为1 的正方体ABCD -A1B1C1D1 中，M , N 分别为BD1 , B1C1 的中点，点P 在正方体的表面上运动，且满足MP ⊥CN ，则下列说法正确的是（A）点P 可以是棱BB 的中点（B）线段MP 的最大值为31 2（C）点P 的轨迹是正方形（D）点P 轨迹的长度为2+第二部分（非选择题共110 分）二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共25 分。
2014北京西城区高三期末数学(文)试题
北京市西城区2021 — 2021学年度第一学期期末试卷高三数学〔文科〕 2021.1第一卷〔选择题 共40分〕一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{|02}A x x =<<，0{|1}B x x =-≥，那么集合A B =〔 〕〔A 〕(0,1) 〔B 〕(0,1]〔C 〕(1,2)〔D 〕[1,2)2．命题p ：“x ∀∈R ，23x -<〞，那么p ⌝是〔 〕 〔A 〕x ∀∈R ，23x ->， 〔B 〕x ∀∈R ，23x -≥ 〔C 〕x ∃∈R ，23x -< 〔D 〕x ∃∈R ，23x -≥3．在平面直角坐标系xOy 中，点(1,3)A ，(2,)B k -，假设向量OA AB ⊥，那么实数k =〔 〕 〔A 〕4 〔B 〕3〔C 〕2〔D 〕14．假设坐标原点在圆22()()4x m ym 的内部，那么实数m 的取值范围是〔 〕〔A 〕11m〔B 〕33m〔C 〕22m〔D 〕2222m5．执行如下图的程序框图，输出的S 值为〔 〕 〔A 〕34 〔B 〕45〔C 〕56〔D 〕16． 假设曲线221ax by +=为焦点在x 轴上的椭圆，那么实数a ,b 满足〔 〕 〔A 〕22a b > 〔B 〕11a b< 〔C 〕0a b << 〔D 〕0b a <<7．定义域为R 的函数()f x 满足(1)2()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，2()f x x x =-，那么当[1,0]x ∈-时，()f x 的最小值为〔 〕〔A 〕18-〔B 〕 14-〔C 〕0〔D 〕148.在平面直角坐标系xOy 中，记不等式组0,0,2x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩≥≤≤所表示的平面区域为D . 在映射,:u x y T v x y =+⎧⎨=-⎩的作用下，区域D 内的点(,)x y 对应的象为点(,)u v ，那么由点(,)u v 所形成的平面区域的面积为〔 〕 〔A 〕2 〔B 〕4〔C 〕8〔D 〕16第二卷〔非选择题 共110分〕二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分． 9．复数z 满足2i=1iz +，那么||z =______．10．在等差数列{}n a 中，11a =，8104a a +=，那么公差d =______；前17项的和17S =______．11．一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧〔左〕视图如下图，那么此三棱柱正〔主〕视图的面积为______．12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 假设3a =，2b =，1cos()3A B +=， 那么cos C =______；c = ______．13．设函数2log , 0,()4, 0,x x x f x x >⎧=⎨⎩≤ 那么[(1)]f f -=______；假设函数()()g x f x k=-存在两个零点，那么实数k 的取值范围是______．14．设{(,)|(,)0}M x y F x y ==为平面直角坐标系xOy 内的点集，假设对于任意11(,)x y M ∈，存在22(,)x y M ∈，使得12120x x y y +<，那么称点集M 满足性质P . 给出以下三个点集：○1{(,)|cos 0}R x y x y =-=； ○2{(,)|ln 0}S x y x y =-=； ○322{(,)|1}T x y x y =-=. 其中所有满足性质P 的点集的序号是______．侧(左)视图2三、解答题：本大题共6小题，共80分．解容许写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．〔本小题总分值13分〕函数()f x x ω=，π()sin()(0)3g x x ωω=->，且()g x 的最小正周期为π.〔Ⅰ〕假设()f α=[π,π]α∈-，求α的值； 〔Ⅱ〕求函数()()y f x g x =+的单调增区间.16．〔本小题总分值13分〕以下茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以a 表示．〔Ⅰ〕假设甲、乙两个小组的数学平均成绩一样，求a 的值； 〔Ⅱ〕求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率；〔Ⅲ〕当2a =时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，求这两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过2分的概率．17．〔本小题总分值14分〕如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，BF =3，G 和H 分别是CE 和CF 的中点. 〔Ⅰ〕求证：AC ⊥平面BDEF ； 〔Ⅱ〕求证：平面BDGH //平面AEF ； 〔Ⅲ〕求多面体ABCDEF 的体积.甲组乙组 891a822 F B CG EAHD18．〔本小题总分值13分〕函数()()e xf x x a =+，其中e 是自然对数的底数，a ∈R . 〔Ⅰ〕求函数)(x f 的单调区间；〔Ⅱ〕当[0,4]x ∈时，求函数()f x 的最小值.19．〔本小题总分值14分〕,A B 是抛物线2:W y x =上的两个点，点A 的坐标为(1,1)，直线AB 的斜率为(0)k k >.设抛物线W 的焦点在直线AB 的下方.〔Ⅰ〕求k 的取值范围；〔Ⅱ〕设C 为W 上一点，且AB AC ⊥，过,B C 两点分别作W 的切线，记两切线的交点为D . 判断四边形ABDC 是否为梯形，并说明理由.20．〔本小题总分值13分〕设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，且*0()n a n >∈N ，[]n a 表示不超过实数n a 的最大整数〔如[2.5]2=〕,记[]n n b a =，数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T . 〔Ⅰ〕假设1114,2a q，求3T ； 〔Ⅱ〕证明： n n S T 〔1,2,3,n 〕的充分必要条件为na N ；〔Ⅲ〕假设对于任意不超过2014的正整数n ，都有21nT n ，证明：120122()13q <<.。
2020—2021年西城区高三数学文科期末试题及答案
2020—2021年西城区高三数学文科期末试题及答案北京市西城区2020 — 2020学年度第一学期期末试卷高三数学（文科） 2020.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合1,0,1,2{}A -=，2{|}B x x x =>，则集合A B =（ ）（A ）{1,0,1}-（B ）{1,2}-（C ）{0,1,2}（D ）{1,1,2}-3．在锐角∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若2a b =，sin 4B =，则（ ） （A ）3A π= （B ）6A π=（C）sin 3A =（D ）2sin 3A =4．执行如图所示的程序框图，输出的x 值为（ ） （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）72．设命题p ：2log 0,2xx x ∀>>，则p ⌝为（ ） （A ）2log 0,2xx x ∀>< （B ）2log 0,2xx x ∃>≤ （C ）2log 0,2xx x ∃><（D ）2log 0,2xx x ∃>≥5．设函数()y f x =的定义域为R ，则“(0)0f =”是“函数()f x 为奇函数”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件6. 某天，甲要去银行办理储蓄业务，已知银行的营业时刻为9：00至17：00，设甲在当天 13：00至18：00之间任何时刻去银行的可能性相同，那么甲去银行恰好能办理业务的概率是（ ）（A ）13 （B ）34 （C ）58 （D ）458. 如图，在空间四边形ABCD 中，两条对角线,AC BD 互相垂直，且长度分别为4和6，平行于这两条对角线的平面与边,,,AB BC CD DA 分别相交于点,,,E F G H ，记四边形EFGH 的面积为y ，设BEx AB，则（ ）（A ）函数()y f x 的值域为(0,4] （B ）函数()y f x 的最大值为8（C ）函数()y f x 在2(0,)3上单调递减（D ）函数()y f x 满足()(1)f x f x7． 设抛物线2:4W y x 的焦点为F ，过F 的直线与W 相交于A ，B 两点，记点F 到直线l ：1x 的距离为d ，则有（ ）（A ）2||d AB ≥ （B ）2||d AB （C ）2||d AB ≤ （D ）2||d ABA BE CD GH F第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 复数i1iz =+，则||z =______.10．设平面向量,a b 满足||3=a ，||2=b ，3⋅=-a b ，那么,a b 的夹角θ=____.11．一个四棱锥的三视图如图所示，那么那个四棱锥最长棱的棱长为_____.12．设12,F F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，且直线2y x =为双曲线C 的一条渐近线，点P 为C 上一点，假如12||||4PF PF -=，那么双曲线C 的方程为____；离心率为_____.13. 某小学教师预备购买一些签字笔和铅笔盒作为奖品，已知签字笔每支5元，铅笔盒每个6元，花费总额不能超过50元. 为了便于学生选择，购买签字笔和铅笔盒的个数均不能少于3个，那么该教师有_______种不同的购买奖品方案.14. 设函数3||, 1,()log , 1.x a x f x x x -⎧=⎨>⎩≤（1）假如(1)3f =，那么实数a =___；（2）假如函数()2y f x =-有且仅有两个零点，那么实数a 的取值范畴是___.侧(左)视图正(主)视图俯视图三、解答题：本大题共6小题，共80分．解承诺写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数2π()12sin ()4f x x =--，x ∈R . （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）判定函数()f x 在区间ππ[,]66-上是否为增函数？并说明理由.16．（本小题满分13分）已知数列{}n a 满足25a =，且其前n 项和2n S pn n =-． （Ⅰ）求p 的值和数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n b 为等比数列，公比为p ，且其前n 项和n T 满足55T S <，求1b 的取值范畴．17．（本小题满分14分）如图，在四棱柱1111D C B A ABCD -中，A A 1⊥底面ABCD ，90BAD ∠=，BC AD //，且122A A AD BC ===，1AB =. 点E 在棱AB 上，平面1A EC 与棱11C D 相交于点F . （Ⅰ）求证：1A F ∥平面1B CE ；（Ⅱ）求证： AC ⊥平面11CDD C ；（Ⅲ）写出三棱锥11B A EF -体积的取值范畴. （结论不要求证明）18．（本小题满分13分）最近，张师傅和李师傅要将家中闲置资金进行投资理财. 现有两种投资方案，且一年后投资盈亏的情形如下：B CA 1 D 1DA B 1C 1E F（1） 投资股市：（2） 购买基金：（Ⅰ）当2p时，求q 的值； （Ⅱ）已知“购买基金”亏损的概率比“投资股市”亏损的概率小，求p 的取值范畴；（Ⅲ）已知张师傅和李师傅两人都选择了“购买基金”来进行投资，假设三种投资结果显现的可能性相同，求一年后他们两人中至少有一人获利的概率． 19．（本小题满分14分）已知椭圆C ：2211612x y +=的右焦点为F ，右顶点为A ，离心率为e ，点(,0)(4)P m m >满足条件||||FA e AP =. （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）设过点F 的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，记PMF ∆和PNF ∆的面积分别为1S ，2S ，若122S S =,求直线l 的方程. 20．（本小题满分13分）关于函数(),()f x g x ，假如它们的图象有公共点P ，且在点P 处的切线相同，则称函数()f x 和()g x 在点P 处相切，称点P 为这两个函数的切点.设函数2()(0)f x ax bx a =-≠,()ln g x x =.（Ⅰ）当1a =-,0b =时, 判定函数()f x 和()g x 是否相切？并说明理由； （Ⅱ）已知a b =，0a >，且函数()f x 和()g x 相切，求切点P 的坐标；（Ⅲ）设0a >，点P 的坐标为1(,1)e-，问是否存在符合条件的函数()f x 和()g x ，使得它们在点P 处相切？若点P 的坐标为2(e ,2)呢？（结论不要求证明）北京市西城区2020 — 2020学年度第一学期期末高三数学（文科）参考答案及评分标准2020.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．B 3．A 4．C 5．B 6．D 7．A 8．D 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．2 10．2π311. 12．221416x y -=13．9 14．2-或4 (1,3]- 注：第12，14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为2π()12sin ()4f x x =--πcos 2()4x =-.................. 3分 sin 2x =， (5)分因此函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==.……………… 7分 （Ⅱ）解：结论：函数()f x 在区间ππ[,]66-上是增函数. (9)分理由如下：由ππ2π22π22k x k -+≤≤， 解得ππππ44k x k -+≤≤，因此函数()f x 的单调递增区间为ππ[π,π]44k k -+，()k ∈Z .……………… 12分当0=k 时，知)(x f 在区间ππ[,]44-上单调递增， 因此函数()f x 在区间ππ[,]66-上是增函数. ……………… 13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由题意，得11S p =-，242S p =-，因为 25a =，212S a a =+， 因此 24215S p p =-=-+，解得 2p =. ……………… 3分因此 22n S n n =-．当2n ≥时，由1n n n a S S -=-， ……………… 5分 得 22(2)[2(1)(1)]43n a n n n n n =-----=-. ……………… 7分 验证知1n =时，1a 符合上式，因此43n a n =-，*n ∈N . ……………… 8分（Ⅱ）解：由（Ⅰ），得11(12)(21)12n n n b T b -==--. ……………… 10分因为 55T S <，因此 521(21)255b -<⨯-，解得 14531b <． ……………… 12分 又因为10b ≠，因此1b 的取值范畴是45(,0)(0,)31-∞． ……………… 13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为1111D C B A ABCD -是棱柱，因此平面ABCD ∥平面1111A B C D . 又因为平面ABCD 平面1A ECF EC =，平面1111A B C D 平面11A ECF A F =，因此 1A F ∥CE . …………………3分 又 1A F ⊄平面1B CE ，CE ⊂平面1B CE ，因此 1A F ∥平面1B CE . …………………6分（Ⅱ）证明：在四边形ABCD 中，因为 90BAD ∠=，BC AD //,且BC AD 2=，2AD =，1AB =， 因此 222112AC =+=，222112CD =+=. 因此 222AC CD AD +=，因此 90ACD ∠=，即AC CD ⊥. …………………7分因为 1A A ⊥平面ABCD AC ⊂，平面ABCD ， 因此 1A A AC ⊥.因为在四棱柱1111D C B A ABCD -中，11//A A C C ，因此 1C C AC ⊥. …………………9分 又因为 1,CD C C ⊂平面11CDD C ，1CDC C C =，因此 AC ⊥平面11CDD C . …………………11分（Ⅲ）解：三棱锥11B A EF -的体积的取值范畴是12[,]33. …………………14分18．（本小题满分13分）B CA 1 D 1DA B 1C 1E F（Ⅰ）解：因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三种且三种投资结果相互独立，因此 p +13+q =1. (2)分又因为 12p， 因此 q =61． (3)分（Ⅱ）解：由“购买基金”亏损的概率比“投资股市”亏损的概率小， 得 38q， ……………… 4分 因为 p +13+q =1，因此 2338qp，解得 724p . ……………… 7分 又因为 113p q ，0q ≥，因此 23p ≤. 因此72243p ≤. ……………… 8分（Ⅲ）解：记事件A 为 “一年后张师傅和李师傅两人中至少有一人获利”， ………… 9分用a ，b ，c 分别表示一年后张师傅购买基金“获利”、“不赔不赚”、“亏损”，用x ，y ，z 分别表示一年后李师傅购买基金“获利”、“不赔不赚”、“亏损”， 则一年后张师傅和李师傅购买基金，所有可能的投资结果有339⨯=种， 它们是：(,)a x ，(,)a y ，(,)a z ，(,)b x ，(,)b y ，(,)b z ，(,)c x ，(,)c y ，(,)c z ， ……………10分因此事件A 的结果有5种，它们是：(,)a x ，(,)a y ，(,)a z ，(,)b x ，(,)c x . …………… 11分因此这一年后张师傅和李师傅两人中至少有一人获利的概率5()9P A =. …………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：因为椭圆C 的方程为 2211612x y +=，因此 4a =,b =,2c ==, ………………2分则 12c e a ==，||2FA =，||4AP m =-. ………………3分 因为 ||21||42FA AP m ==-，因此 8m =. ………………5分（Ⅱ）解：若直线l 的斜率不存在，则有 21S S =，不合题意. ………………6分若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为)2(-=x k y ，),(11y x M ，),(22y x N .由 ⎪⎩⎪⎨⎧-==+),2(,1121622x k y y x 得 2222(43)1616480k x k x k +-+-=， ……………… 7分可知 0>∆恒成立，且 34162221+=+k k x x ，3448162221+-=k k x x . ……………… 8分因为PMF ∆和PNF ∆的面积分别为111||||2S PF y =⋅，221||||2S PF y =⋅, 因此2||||212121=-==y yy y S S . ……………… 9分 即 212y y -=.因此 221y y y -=+，2212221)(22y y y y y +-=-=， (11)分则 22121)]2()2([2)2()2(-+--=-⋅-x k x k x k x k ， 即 2212121)4(24)(2-+-=++-x x x x x x ，即 2222222)43416(2434162344816-+-=++⋅-+-k k k k k k ， 解得 25±=k . ……………… 13分因此直线l 的方程为 )2(25-=x y 或 )2(25--=x y . ……………… 14分 20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：结论：当1a =-,0b =时,函数()f x 和()g x 不相切. …………………1分 理由如下：由条件知2()f x x =-， 由()ln g x x =，得0x >，又因为 ()2f x x '=-，1()g x x '=， …………………2分因此当0x >时，()20f x x '=-<，1()0g x x '=>，因此关于任意的0x >，()()f x g x ''≠.当1a =-,0b =时,函数()f x 和()g x 不相切. …………………3分 （Ⅱ）解：若a b =，则()2f x ax a '=-，1()g x x'=， 设切点坐标为(,)s t ，其中0s >,由题意，得 2ln as as s -=， ① 12as a s-=， ② …………………4分 由②，得 1(21)a s s =-，代入①，得 1ln 21s s s -=-. （*） (5)分因为 10(21)a s s =>-，且0s >，因此 12s >. 设函数 1()ln 21x F x x x -=--，1(,)2x ∈+∞， 则 2(41)(1)()(21)x x F x x x ---'=-. …………………6分令()0F x '= ，解得1x =或14x =(舍). …………………7分当x 变化时，()F x '与()F x 的变化情形如下表所示，…………………8分因此当1x =时，()F x 取到最大值(1)0F =，且当1(,1)(1,)2x ∈+∞时()0F x <. 因此，当且仅当1x =时()0F x =. 因此方程（*）有且仅有一解1s =. 因此 ln 0t s ==，因此切点P 的坐标为(1,0). …………………9分 （Ⅲ）解：当点P 的坐标为1(,1)e-时，存在符合条件的函数()f x 和()g x ，使得它们在点P 处相切； …………………11分 当点P 的坐标为2(e ,2)时，不存在符合条件的函数()f x 和()g x ，使得它们在点P 处相切. …………………13分。
2020届北京市西城区高三上学期期末数学试题(解析版)
2020届北京市房山区高三上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{}12A x x =-≤≤，{}0,1,2,3B =，则A B =I （ ） A ．{}0,1 B ．{}1,0,1-C ．{}0,1,2D ．{}1,0,1,2-【答案】C【解析】利用交集定义直接求解． 【详解】∵集合{}12A x x =-≤≤，B ＝{0，1，2，3}， ∴A ∩B ＝{0，1，2}． 故选：C ． 【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2．已知复数=z z 的虚部为（ ）A ．13B ．3C ．13-D ．3-【答案】B【解析】利用复数的代数形式的运算法则，先求出z ，由此利用复数的定义能求出z 的虚部． 【详解】i i133z ===+,故z 的虚部为3 故选：B 【点睛】本题考查复数的虚部的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意复数的代数形式的合理运用． 3．等差数列{}n a 中，若1476a a a ++=，n S 为{}n a 的前n 项和，则7S =（ ） A ．28 B ．21C ．14D ．7【答案】C【解析】利用等差数列下角标性质求得4a ，再利用求和公式求解 【详解】等差数列{}n a 中，若1476a a a ++=，则4436,2a a =∴=则74714S a == 故选：C 【点睛】本题考查等数列的前n 项公式，考查化简、计算能力，熟练运用等差数列下角标性质是关键，属于基础题． 4．从2020年起，北京考生的高考成绩由语文、数学、外语3门统一高考成绩和考生选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成．等级性考试成绩位次由高到低分为A 、B 、C 、D 、E ，各等级人数所占比例依次为：A 等级15%，B 等级40%，C 等级30%，D 等级14%，E 等级1%．现采用分层抽样的方法，从参加历史等级性考试的学生中抽取200人作为样本，则该样本中获得A 或B 等级的学生人数为（ ） A ．55 B ．80C ．90D ．110【答案】D【解析】利用抽样比求解 【详解】设该样本中获得A 或B 等级的学生人数为x ，则1540110200100x x +=∴= 故选：D 【点睛】本题考查分层抽样的定义与应用，考查计算能力，是基础题 5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A ．23B ．43C ．2D ．4【答案】A【解析】将三视图还原，利用三棱锥体积公式求解【详解】三视图还原为如图所示的三棱锥：侧面SBC⊥底面ABC，且SBC∆为等腰三角形，ABC∆为直角三角形，故体积112221323V=⨯⨯⨯⨯=故选：A【点睛】本题考查三视图及锥体体积，考查空间想象能力，是基础题6．若点5π5π(cos,sin)66M在角α的终边上，则tan2α=（）A3B．3C3D．3【答案】D【解析】先求出点M的坐标，再利用任意角的三角函数的定义求出tanα的值,再利用二倍角公式求解【详解】5π5π(cos,sin)66M即为31,22M⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，则2333tan tan23113αα-=∴==-故选：D【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，以及二倍角公式，属于容易题．7．已知双曲线C的方程为2214yx-=，点P，Q分别在双曲线的左支和右支上，则直线PQ的斜率的取值范围是（）A ．(2,2)-B ．11(,)22-C ．(,2)(2,)-∞-+∞UD ．11(,)(,)22-∞-+∞U【答案】A【解析】利用直线PQ 的斜率与渐近线比较求解 【详解】由题双曲线的渐近线斜率为2±，当直线PQ 的斜率为(2,2)-时，满足题意，当直线PQ 的斜率(,2)(2,)-∞-+∞U 为时，交双曲线为同一支，故选：A 【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系，考查渐近线斜率，是基础题8．设a r ，b r 均为单位向量，则“a r 与b r 夹角为π3”是“||a b +r r ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据向量数量积的应用，利用平方法求出向量夹角，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】由“|a b +rr|=|a r|2+|b r|2+2a r •b =r3，即1+1+2a r •b =r 3，得2a r •b =r 1，a r •12b =r ，则cosθ112112a b a b ⋅===⨯rr r r， 则a r与b r夹角θ3π=，即“a r 与b r 夹角为3π”是“|a b +r r|=的充分必要条件， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合充分条件和必要条件的定义结合向量数量积的应用进行化简是解决本题的关键．9．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为棱AB 的中点，动点P 在平面11BCC B 及其边界上运动，总有1AP D M ⊥，则动点P 的轨迹为（ ）A．两个点B．线段C．圆的一部分D．抛物线的一部分【答案】BD M垂直，取B1B的中点E，CB的中点F，连接AE，EF，在正方【解析】先找到一个平面总是保持与1体ABCD﹣A1B1C1D1中，可得AF⊥面DMD1，MD1⊥平面AEF即可得出．【详解】D M垂直，如图，先找到一个平面总是保持与1取B1B的中点E，CB的中点F，连接AE，EF，AF,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，D D⊥AF，则有AF⊥面DMD1，同理MD1⊥AE，则MD1⊥平面AEF易证DM⊥AF，1又点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，根据平面的基本性质得：点P的轨迹为面AEF与面BCC1B1的交线段EF．故选：B【点睛】本题考查线面垂直的判定与正方体的几何特征、轨迹的求法、平面的基本性质等基础知识，考查空间想象力．属于基础题．10．已知某校运动会男生组田径综合赛以选手三项运动的综合积分高低决定排名．具体积分规则如表1所示，某代表队四名男生的模拟成绩如表2．表1 田径综合赛项目及积分规则表2 某队模拟成绩明细根据模拟成绩，该代表队应选派参赛的队员是：（）A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】B【解析】由得分规则计算甲乙丙丁四人各项得分进行判断即可【详解】由题，甲各项得分为：100米跑60-15=45分；跳高60+4=64；掷实心球60+15=75；则总分为45+64+75=184 乙各项得分为：100米跑60+20=80分；跳高60+10=70；掷实心球60-5=55，则总分为80+70+55=205丙各项得分为：100米跑60+5=65分；跳高60+6=66；掷实心球60+10=70，则总分为65+66+70=201丁各项得分为：100米跑60-5=55分；跳高60+2=62；掷实心球60+5=65，则总分为55+62+65=182,综上，乙得分最多故选：B【点睛】本题考查数据分析及决策问题，理解题意是关键，是基础题二、填空题11．已知两点()2,0A ，()0,2B ，则以线段AB 为直径的圆的方程为_____________． 【答案】()()22112x y -+-=【解析】根据中点坐标公式求圆心为（1，1），求两点间距离公式求AB ，写出圆的标准方程即可。
2023-2024学年北京市西城区高三(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年北京市西城区高三（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 1．已知集合A ＝{x |﹣1＜x ＜3}，B ＝{x |x 2≥4}，则A ∪B ＝（ ） A ．（﹣1，+∞）B ．（﹣1，2]C ．（﹣∞，﹣2]∪（﹣1，+∞）D ．（﹣∞，﹣2]∪（﹣1，3）2．在复平面内，复数z =i−2i的对应点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．设a ，b ∈R ，且a ＞b ，则（ ） A ．1a ＜1bB ．tan a ＞tan bC ．3﹣a ＜2﹣bD ．a |a |＞b |b |4．已知双曲线C 的一个焦点是F 1（0，2），渐近线为y =±√3x ，则C 的方程是（ ） A ．x 2−y 23=1B ．x 23−y 2=1C ．y 2−x 23=1D ．y 23−x 2=15．已知点O （0，0），点P 满足|PO |＝1．若点A （t ，4），其中t ∈R ，则|P A |的最小值为（ ） A ．5B ．4C ．3D ．26．在△ABC 中，∠B ＝60°，b =√7，a ﹣c ＝2，则△ABC 的面积为（ ） A ．3√32B ．3√34 C ．32D ．347．已知函数f(x)=ln1+x1−x，则（ ） A ．f （x ）在（﹣1，1）上是减函数，且曲线y ＝f （x ）存在对称轴B ．f （x ）在（﹣1，1）上是减函数，且曲线y ＝f （x ）存在对称中心C ．f （x ）在（﹣1，1）上是增函数，且曲线y ＝f （x ）存在对称轴D ．f （x ）在（﹣1，1）上是增函数，且曲线y ＝f （x ）存在对称中心 8．设a →，b →是非零向量，则“|a →|＜|b →|”是“|a →•b →|＜|b →|2”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．设{a n }是首项为正数，公比为q 的无穷等比数列，其前n 项和为S n ．若存在无穷多个正整数k ，使S k ≤0，则q 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，0）B ．（﹣∞，﹣1]C ．[﹣1，0）D ．（0，1）10．如图，水平地面上有一正六边形地块ABCDEF ，设计师规划在正六边形的顶点处矗立六根与地面垂直的柱子，用以固定一块平板式太阳能电池板A 1B 1C 1D 1E 1F 1．若其中三根柱子AA 1，BB 1，CC 1的高度依次为12m ，9m ，10m ，则另外三根柱子的高度之和为（ ）A ．47mB ．48mC ．49mD ．50m二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。