第七章 数值分析-函数逼近
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由多元函数取极值的必要条件有
从而有
m g 2[c00 ( xi ) c11 ( xi ) cnn ( xi ) yi ]k ( xk ) 0 ck i 0
(k 0,1, 2,, n)
y = ae bx
ln y = ln a + bx
y = ln y , c 0 = ln a , c 1 = b
由数据(xi,yi)得 (x i , y i ) = (x i ,ln y i ) 并由此得拟合曲线 y = c 0 + c 1x 最终得 y = e c 0 e c 1x 例2 已知某化学反应过程中沉淀物的质量如下表
1
y =
y
,x =
x
由数据(xi,yi)得
(x i , y i ) = (
1
xi yi
,
1
)
用
(x i , y i ) 得法方程,从而求出
a, b.
00 ( x) 11 ( x) nn ( x) 0
成立,则称函数系0(x), 1(x),… n(x)是线性无关的; 否则称为线性相关的.
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例如：1, x, x
2
,, x
n
在[a,b]上是线性无关的.
若函数系 0 ( x), 1 ( x),n ( x) 是线性无关的，则称之为基函 数。 设为形如 y c00 ( x) c11 ( x) cnn ( x) 的函数的全体. 记为 span(0 ( x), 1 ( x),n ( x)) . 我们的问题变成在中找出一个函数,使其“近似”已知数据.
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写成矩阵方程为 其中
AT AC Ay
（7.4.3）
0 ( x0 ) 1 ( x0 ) n ( x0 ) ( x ) ( x ) ( x ) 1 1 n 1 A 0 1 ( x ) ( x ) ( x ) 1 n n n 0 n C (c0 , c1 , , cn )T , y=(y 0 , y1 , , yn )T
解之得
c0 0.6695, c1 0.1997
y 1.953e
0.997 x
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2.幂函数拟合
设要拟合的函数为指数函数
y = ax b
两边取对数得
ln y = ln a + b ln x
令 y = ln y , c 0 = ln a , x = ln x 得要拟合的函数为
y = c 0 + bx
xi 1 2
5
10
yi 8 7
b y = ax + x
10 21
用最小二乘法求拟合曲线,要求曲线的形式为
解:依题设
1 0 ( x) x, 1 ( x) x
所以
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1 2 A 5 10 1 1 8 2 7 , y= 1 10 5 21 1 10
计算表格
yi ln yi
1 2 3 4 5 0.892 1.115 1.278 1.484 1.697
由于对线性函数而言,
T
0 ( x) 1,1 ( x) x
所以
1 1 1 1 1 c0 T T A 进而法方程为 A A A y 1 2 3 4 5 c1
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数值方法
刘丁酉
liudingyou487@
武 汉 大 学
数学与统计学院基础数学系
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§7 函数逼近
7.1 正交多项式 7.2 最佳平方逼近 7.3 有理函数逼近 7.4 曲线拟合的最小二乘法
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§7.4 曲线拟合的最小二乘法
7.4.1 曲线拟合
计算出 得法方程
130 4 282 T A A , A y 4 1.3 15.6
T
130 4 a 282 4 1.3 b 15.6
解法方程得
a = 1.988, b = 5.88
y = 1.988x +
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定义3.2 对给定的数据 ( xi , yi )(i 0,1, 2,, m), 若
y* ( x) c* j j ( x)
使得
j 0
* 2 [ y ( x ) y ] i i min i 0 m 2 [ y ( x ) y ] i i i 0 m
c , c ,, c
m
* 0
* 1
* n
设
g (c0 , c1 ,, cn ) [ y ( xi ) yi ]2
i 0
[c00 ( xi ) c11 ( xi ) cnn ( xi ) yi ]2
i 0
m
现在问题变为如何求出g( c )的最小值点
矩阵方程(7.4.3)称为法方程组.由于 所以矩阵方程(3.2)有唯一一组解
* ck ck
AT A 0
k=0,1,2,,n
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即可得到
* * * y* ( x) c0 0 ( x) c1 1 ( x) cn n ( x)
再由多元函数取极值的充分条件可以证明y*(x)为最小二乘 拟合曲线. 例1 已知数据如下:
c 0 0 (x i )k (x i ) c 1 1 (x i )k (x i ) c n n (x i )k (x i ) y i k (x i )
i 0 i 0 i 0 i 0 m m m m
(k 0,1,2, , n )
这是一个含有n+1个未知数并含有n+1个方程的方程组.
5.88
最小二乘拟合曲线为:
x
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7.4.2 几种具体的拟合曲线类型
注意到:对同一组数据选不同的基所得的最小二乘拟合曲 线是不同的.所以我们在求最小二乘拟合曲线时应根据问 题的实际意义和数据的形态合理地选择基函数.下面是几 种具体的拟合曲线类型.
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1.指数函数的拟合 设要拟合的函数为指数函数 两边取对数得 令
时间xi 质量yi
1 2 3 4 5 2.44 3.05 3.59 4.41 5.46
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bx y ae 例3：求形如 的拟合曲线.
解:对 y aebx 两边取对数,得 令
ln y = ln a + bx
y = ln y , c 0 = ln a , c 1 = b 得
xi
y = c 0 + c 1x
在实际问题中，对所构造的插值多项式，要求它满 足插值条件。实际上这个要求有些过分。因为我们通过 测量所得到的值本身就存在观测误差。 其实，我们所要的函数只要是在总体上误差最小就 可以了。这就是曲线拟合问题。
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为了讨论此问题,先引入函数的线性相关性的概念 定义7.4.1 设函数系 0(x), 1(x),… n(x) 在[a,b]上连续,若当且仅当 时，才有 0= 1=…= n=0
n
（7.4.1）
y ( x )
则称 y y ( x) 为中的最小二乘拟合曲线.并称为均方误 差. 为:
* 2 [ y ( x ) y ] i i i 0
m
（7.4.2）
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下面我们要解决的问题是:如何求出y*(x) .换言之,如何求 出公式(7.4.1)中的
用数据(xi,yiபைடு நூலகம்得
(ln x i ,ln y i ) = (x i , y i ) 用 (x i , y i )
得法方程,从而求出 c0 , b, 最后求出a和b.
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3.双曲型函数的拟合 设要拟合的函数为双曲型函数
x y ax b
令
即
y =
1
y
1
=
ax + b b = a+ = a + bx x x
《数学函数逼近》课件
多项式逼近的性质
多项式逼近具有连续性和可微性，这意味着逼近函数在定义域内是连续的 ，并且可以求导。
多项式逼近的精度可以通过增加多项式的项数来提高，但同时也增加了计 算的复杂度。
多项式逼近的收敛性是指当多项式的项数趋于无穷时，逼近函数趋近于目 标函数。收敛速度决定了逼近的精度。
在数值分析中，线性逼近 被广泛应用于求解微分方 程、积分方程等数学问题 。
函数近似
在函数近似中，可以使用 线性逼近来近似复杂的函 数，以便于分析和计算。
数据拟合
在数据拟合中，线性逼近 可以用于拟合数据，并预 测未来的趋势。
03
多项式逼近
多项式逼近的定义
多项式逼近是使用多项式来近似表示 一个函数的方法。它通过选择一个多 项式，使其在某种意义下尽可能接近 给定的函数。
3
在金融领域，插值逼近被用于估计和预测股票价 格、利率等金融变量，例如在期权定价、风险评 估等方面。
05
样条逼近
样条逼近的定义
定义
样条逼近是一种数学方法，通过构建多项式样条来逼近给定的函数。样条是一 种连续、光滑的曲线，能够通过给定的离散数据点拟合出函数的变化趋势。
原理
通过选择合适的基函数（如多项式），并确定它们在离散数据点处的取值，可 以构建出一条连续、光滑的曲线，该曲线能够尽可能地逼近给定的函数。
数学函数逼近
xx年xx月xx日
• 引言 • 线性逼近 • 多项式逼近 • 插值逼近 • 样条逼近 • 傅里叶级数逼近
目录
01
引言
主题介绍
• 数学函数逼近是数学分析的一个重要分支，主要研究如何 用简单函数来近似表示复杂函数。
数值分析学习课件
§2.正交多项式
性质3. n次多项式 P (x)有n个互异实根，且全部(a, b)内。 n 性质4.设 P (x)的n个实根为x1 , x2 ,..., xn P + 1 (x) 的n+1 ，n n 个实根为 x1 , x2 ,..., xn1 ，则有
a x1 x1 x 2 x2 ...
{ j(x) = e kj x , ki kj } 对应指数多项式 /* exponential
polynomial */
§1.函数逼近的基本概念
定义 权函数：
①
离散型 /*discrete type */
根据一系列离散点 ( xi , yi ) (i 1, ... , n) 拟合时，在每一误
Pk(x)
kl kl
由 P0 1, P1 x 有递推 (k 1) Pk 1 (2k 1) xP kPk 1 k
k
0
1
2 3
P0 ( x) 1 P ( x) x 1
P2 ( x ) =
4
1 P3 ( x ) = (5 x3 - 3x) 2 1 P4 ( x ) = (35 x 4 - 30 x 2 + 3) 8
第三章
函数逼近
/* Approximation Theory */
第一讲
§1.函数逼近的基本概念
§2.正交多项式
§1.函数逼近的基本概念
已知 x1 … xm ; y1 … ym, 求一个简单易算的近 m 似函数 P(x) f(x) 使得 | P ( xi ) yi |2 最小。
i 1
已知 [a, b]上定义的 f(x)，求一个简单易算的 b 近似函数 P(x) 使得 a [ P( x) f ( x)]2 dx 最小。
数值逼近知识点总结
数值逼近知识点总结一、基本概念1.1 逼近误差在数值逼近中，我们通常会用逼近值来代替某个函数的真实值。
这个逼近值和真实值之间的差称为逼近误差，通常表示为ε。
逼近误差可以分为绝对误差和相对误差两种。
绝对误差是指逼近值与真实值之间的差值，表示为|f(x)-Pn(x)|。
相对误差是指绝对误差与真实值的比值，表示为|f(x)-Pn(x)|/|f(x)|。
通常情况下，我们希望逼近误差越小越好。
1.2 逼近多项式在数值逼近中，我们通常会用一个多项式来逼近某个函数。
这个多项式通常称为逼近多项式，记为Pn(x)，其中n表示多项式的次数。
逼近方法的目的就是找到一个逼近多项式，使得它可以尽可能地接近原函数。
1.3 逼近点在进行数值逼近的过程中，逼近点的选择对逼近结果有很大的影响。
通常情况下，我们会选择一些离散的点，然后通过这些点来构造逼近多项式。
这些点通常称为逼近点，记为(xi, yi)。
1.4 逼近方法数值逼近的方法有很多种，常见的包括插值法、最小二乘法、迭代法等。
这些方法各有特点，适用于不同的逼近问题。
在接下来的篇幅中，我将详细介绍这些方法的原理和应用。
二、插值法2.1 基本概念插值法是数值逼近中常用的一种方法，它的基本思想是通过已知的数据点来构造一个插值多项式，然后用这个多项式来逼近原函数。
插值法的优点是可以通过已知的数据点来精确地确定逼近多项式。
常见的插值方法包括拉格朗日插值法、牛顿插值法等。
2.2 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一种通过拉格朗日基函数来构造插值多项式的方法。
假设给定n+1个互不相同的插值点(xi, yi)，我们要求一个n次多项式Pn(x)，满足条件Pn(xi)=yi(i=0,1,...,n)。
那么Pn(x)的表达式为：\[Pn(x)=y0L0(x)+y1L1(x)+...+ynLn(x)\]其中Li(x)为拉格朗日基函数，表达式为：\[Li(x)=\prod_{j=0,j\neq i}^n\frac{x-xi}{xi-xj}\]拉格朗日插值法的优点是简单易懂，容易编程实现。
数值计算方法 函数逼近 - 函数逼近
Ax Bx
函 数 逼 近
因证为：设xxAA为x(a单ij )为A位任x 向 意n量阶方，阵故，x为任意n维非零向量。
x
x
max( Ax Bx ) max Ax max Bx
x 1
x 1
x 1
4，对任4意，n维 对A非任零意B向n. 维量非x,零向量x,
x 为单位向量，故A max Ax max Ax
函
数
由于 x, y R 为向量，而其分量 xi , yi (i 1, , n) 为实数，故有
逼
近
x y max 1in
xi yi
max 1 i n
xi yi
max 1 i n
xi
max 1 i n
yi
x y
范数的等价性
几点说明
如果 Rn 中两个范数 和 ，存在实数 m, M 0，
如不作说明今后是指任意一种向量范数的各种范数计算向量的各种范数计算向量sqrtsumn2n11000n182711矩阵的范数矩阵的范数设矩阵实矩阵集合矩阵范数是定义在上的非负的实值函数它满足为实数齐次条件三角不等式乘积不等式矩阵范数矩阵范数矩阵的范数矩阵的误差矩阵的误差的关于的绝对误差的关于的相对误差称为由诱导的矩阵范数
xn2
x
2
n
x
2 x x
n
2
2-范数和 -范数是等价的。
如不作说明，今后 是指任意一种向量范数
矩阵的范数
例 1 计 算 向 量x (1,2,3)T 的 各 种 范 数.
x 6, x 3, x 14.
1
2
函
数
逼
例 2 计 算 向 量x (1,2,3,...1000)T 的 各 种 范 数.
数值分析06函数逼近
函数逼近的历史与发展
早期发展
早在古希腊时期，数学家就开始研究用简单的几何图形来近 似表示复杂的曲线。随着数学的发展，函数逼近的理论和方 法不断完善和丰富。
现代进展
随着计算机科学和数值分析的兴起，函数逼近在数值计算、 信号处理、图像处理等领域的应用越来越广泛。现代的逼近 方法不仅追求形式简单，还注重逼近的精度和计算效率。
数据拟合
在数据分析和机器学习中，利用数值逼近方法对数据进行拟合， 以提高预测精度。
图像处理
在图像处理中，利用数值逼近方法对图像进行平滑、去噪等处理， 以提高图像质量。
工程计算
在工程计算中，利用数值逼近方法对复杂函数进行近似计算，以简 化计算过程和提高计算效率。
05
结论与展望
总结与评价
总结
数值分析06函数逼近课程是一门重要的数学课程，它涉及到许多实际问题的求解，如插值、拟合、最小二乘法等。 通过学习这门课程，学生可以掌握如何使用数学工具来近似描述和分析函数，从而更好地理解和解决实际问题。
数。
稳定性分析
稳定性定义
稳定性是指在逼近过程中，对于小的扰动或误差，逼近结果的变 化程度。
不稳定性影响
不稳定的逼近可能导致结果出现较大的偏差，影响数值计算的精 度和可靠性。
稳定性判据
根据稳定性判据，判断逼近函数的稳定性以及如何提高稳定性。
04
数值实例与应用
一元函数逼近实例
01
线性逼近
通过多项式逼近方法，将一元函 数在某点附近展开成线性形式， 如泰勒级数展开。
评价
这门课程的内容非常实用，对于数学专业的学生来说是一门必修课程。它不仅有助于提高学生的数学素养，还可 以为学生提供解决实际问题的能力。然而，该课程难度较大，需要学生具备较高的数学基础和思维能力。
数值分析第七章
(6) 切比雪夫多项式的极值性质
Tn (x) 的最高次项系数为 2n-1 (n = 1, 2, …)。
定理7.1 在-1≤x ≤1上，在首项系数为1的一切n次多项式Hn (x)中
1 ~ Tn ( x) n 1 Tn ( x) 2
与零的偏差最小，且其偏差为
即，对于任何
1 2 n 1
， p ( x) H n ( x) 有
函数逼近问题的一般提法： 对于函数类A中给定的函数f (x)，要求在另一类较简单 的且便于计算的函数类B( A)中寻找一个函数p (x)，使p (x) 与f (x)之差在某种度量意义下最小。 最常用的度量标准： (一) 一致逼近
max 以函数f (x)和p (x)的最大误差 x[ a ,b ] f ( x) p( x)
(4) Tn (x)在区间[-1, 1]上有n 个不同的零点
(2k 1) x k cos , (k 1, 2, , n) 2n
(5) Tn (x) 在[-1, 1]上有n + 1个不同的极值点
x k cos k
n
(k 0, 1, 2, , n)
使Tn (x)轮流取得最大值 1 和最小值 -1。
( x) e
x2
e
x2
mn 0, H m ( x) H n ( x)dx n 2 n! , m n
② 相邻的三项具有递推关系式：
H 0 ( x) 1, H 1 ( x) 2 x H n1 ( x) 2 xH n ( x) 2nH n1 ( x),
1 2 n 1
~ max Tn ( x) 0 max p( x) 0
1 x 1 1 x 1
《数值分析》第3讲：函数逼近与计算
函数的逼近与计算
pn * ( x) ? 1、Chebyshev给出如下概念
设 f ( x) C[a,b], 如p果( x) Hn ,
f (x)
|
p( x0 )
f
(
x0
)
|
max
a xb
|
p( x)
f ( x) |
p4 0*(x)
则称 x是0 偏差点。
如果 p( x0 ) f ( x0 ) 则称 x是0 正偏差点。
b
2a
a0 (
x ) 0 (
x)k
(
x)dx
b
b
2a an( x)n( x)k ( x)dx 2a ( x) f ( x)k ( x)dx
即
I ak
2a0 0( x),k ( x) 2a11( x),k ( x)
2an n( x),k ( x) 2 f ( x),k ( x)
函数的逼近与计算
则
1
1 1
2
n1
1 H 2
1 3
1 n2
1 n 1
1 n2
1 2n 1
例3.2 (P56)
已知 f ( x) 1 x2 C[0, 1], span{1, x}
则
1
(0 , 0 )
1dx 1,
0
(0 , 1)
1
1
xdx
0
2
(1, 0 )
1
1
xdx ,
▲ 1856年解决了椭圆积分的雅可比逆转问题，建立了椭圆函数 新结构的定理，一致收敛的解析函数项级数的和函数的解析性的 定理，圆环上解析函数的级数展开定理等。
函数的逼近与计算
函数逼近论
函数逼近论函数逼近论是函数论的一个重要组成部分，涉及的基本问题是函数的近似表示问题。
在数学的理论研究和实际应用中经常遇到下类问题：在选定的一类函数中寻找某个函数g，使它是已知函数ƒ在一定意义下的近似表示，并求出用g近似表示ƒ而产生的误差。
这就是函数逼近问题。
在函数逼近问题中，用来逼近已知函数ƒ的函数类可以有不同的选择；即使函数类选定了，在该类函数中用作ƒ的近似表示的函数g的确定方式仍然是各式各样的；g对ƒ的近似程度（误差）也可以有各种不同的含义。
所以函数逼近问题的提法具有多样的形式，其内容十分丰富。
从18世纪到19世纪初期，在L.欧拉、P.-S.拉普拉斯、J.-B.-J.傅里叶、J.-V.彭赛列等数学家的研究工作中已涉及一些个别的具体函数的最佳逼近问题。
这些问题是从诸如绘图学、测地学、机械设计等方面的实际需要中提出的。
在当时没有可能形成深刻的概念和统一的方法。
切比雪夫提出了最佳逼近概念,研究了逼近函数类是n次多项式时最佳逼近元的性质，建立了能够据以判断多项式为最佳逼近元的特征定理。
他和他的学生们研究了与零的偏差最小的多项式的问题，得到了许多重要结果。
已知[α,b]区间上的连续函数ƒ(x)，(n≥0)，叫做ƒ(x)的n阶最佳一致逼近值，简称为最佳逼近值，简记为En(ƒ)。
能使极小值实现的多项叫做ƒ(x)的n阶最佳逼近多项式。
切比雪夫证明了，在区间[-1,1]上函数xn+1的n阶最佳逼近多项式必满足关系式。
多项式就是著名的切比雪夫多项式。
切比雪夫还证明了ƒ(x)在[α,b]上的n 阶最佳逼近多项式的充分必要条件是：在[α，b]上存在着n+2个点：α≤x1<x2<…xn+2≤b，在这些点上依照i=1,2,…,n+2的次序交错变号，像这样的点组{x1,x2,…,xn+2} 便是著名的切比雪夫交错组。
1885年德国数学家K.（T.W.）外尔斯特拉斯在研究用多项式来一致逼近连续函数的问题时证明了一条定理，这条定理在原则上肯定了任何连续函数都可以用多项式以任何预先指定的精确度在函数的定义区间上一致地近似表示，但是没有指出应该如何选择多项式才能逼近得最好。
函数逼近及数值计算
max | f ( x) ( x) | max | arctan x (a bx) | 取最小，这是最佳一致逼近。在本题中，问
x[0,1] x[0,1]
题就转化为求一次函数 ( x) 的最小最大优化问题：
min max | arctan x (a bx) | 。
R4 ( x) 的绝对值最大，其符号轮流改变，故 R4 (0) , R4 ( x ) ， R4 (1) ， a arctan x a bx ， a b 4 1 b 0 1 x 2
272
( x) a bx
y
面积 S f 和 ( x) a bx 在 [0,1] 上所围面积 S ，若用这两个 面积之差来度量逼近的好坏，似乎有点道理。但仔细观察，
S f S 在 [0,1] 的不同子段上有正有负，所以要改进，至
x
O x 1
少有 2 种指标可克服 有正有负的毛病：
1
1
( x x 2 ) 2 dx ； （2） (e x x) 2 dx ；
0
1
1
1
| x x 2 |dx ；（4）来自|e01x
x | dx 。
8．针对平方逼近，有人问，为什么不用三次方，四次方逼近呢？你的看法如何？ 9．若两个最优化问题 min f ( x ) 和 min g ( x) 的最优点 x* 相同，则称这两个优化问题等价。证明：
( f , g ) ( x) f ( x) g ( x)dx 0, x [a, b] ，
a
b
(2.3)
n
则称 f , g 在 [a, b] 上带权 ( x) 正交。进一步，若函数组 { 0 ( x), 1 ( x), , n ( x)} { k ( x)}k 0 中 的函数两两正交:
函数的数值逼近
函数的数值逼近用比较简单的函数代替复杂的函数,是函数逼近。
函数最佳逼近,即不满足插值条件而整体具有好的逼近效果的函数拟合方法。
下面先讨论函数的数值逼近的基本理论与方法，例如最佳平方逼近函数的存在性、惟一性以及最佳平方逼近函数的求法。
最后讨论曲线拟合的最小二乘解问题。
1、 预备知识1.1正交多项式的概念及几个重要性质定义1.1 设有C [a,b]中的函数组,),(,),(),(10 x x x n ΦΦΦ若满足{)1.1()()()(),(,0,⎰≠=>=ΦΦ=ΦΦbak j k j A k j k j k dx x x x ρ其中)(x ρ为权函数,则称此函数组为在区间[a,b]上带权)(x ρ的正交函数组,其中k A 为常数,若k A =1,称该函数组是标准正交的.定理1.1 设函数组{}∞=Φ0)(k k x 正交,则它们一定线性无关.证 设),,2,1()(n i x i =Φ为{}∞=Φ0)(k k x 中任意n 个函数,令,0)()()(2211=Φ++Φ+Φx C x C x C n n 上式两边与)(x k Φ作内积,由内积的性质和正交性有 ).,,2,1(0),(n k C k k k ==ΦΦ因为,0),(≠ΦΦk k 故有),,2,1(0n k C k==.得证.定理1.2 设{}],,[)(0b a C x nk k ∈Φ=它们线性无关的充分必要条件是其Gram 行列式,0≠n G 其中)2.1(),(),(),(),(),(),(),(),(),(101110101000n n n n n n n G ΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦ=证 我们主要在实内积空间讨论问题.由内积的定义可知),,(),(k j j k ΦΦ=ΦΦ故n G 对应的矩阵是对称矩阵.考虑以n a a a ,,,10 为未知元的线性方程组∑===ΦΦnk k j kn j a)3.1().,,1,0(0),(其系数行列式为n G .由线性代数知识知道：式（1.3）仅有零解),,1,0(0n k a k ==的充要条件是,0≠n G充分性 设,0≠n G 要证明{}n k k x 0)(=Φ线性无关. 作线性组合∑==Φnk kk a 0,0显然有∑∑∑=====ΦΦ=ΦΦ=ΦΦnk nk nk k j k j k k j k k n j a a a 0).,,1,0(0),(),(),(这表明),,1,0(n k a k =满足式(1.3).又因,0≠n G 故有),,1,0(0n k a k ==,按线性无关的定义知{}nk k x 0)(=Φ线性无关.必要性 设{}nk k x 0)(=Φ线性无关.要证明.0≠n G设),,1,0(n k a k =满足式(1.3).即 ∑===ΦΦnk k j kn j a).,,1,0(0),(则有 ∑∑====ΦΦ=ΦΦnk j k k nk j k kn j a a),,,1,0(0),(),(从而有 .0),(0∑∑===ΦΦnk nk kkkka a由上式可知.00∑==Φnk kk a由于{}nk k x 0)(=Φ线性无关,则有),,1,0(0n k a k ==,即齐次线性方程组(1.3)仅有零解,故.0≠n G定义1.2 给定区间[a,b]和对应的权函数)(x ρ及多项式序列∑===kj jjk k x ax g 0),,2,1,0()(其中首项系数,0≠k a 若满足{)9.1()()()(),(,0,⎰≠=>==ba k j k j A k j k j k dx x g x g x g g ρ则称之为在区间[a,b]上带权)(x ρ的正交多项式序列, )(x g k 称为k 次正交多项式. 没说明时,认为权函数)(x ρ≡1.2、最佳平方逼近2.1 最佳平方逼近函数的概念定义2.1 设],[)(b a C x f ∈及],[b a C 中的子集},,,,{10n span ΦΦΦ=Γ 其中n ΦΦΦ,,,10 线性无关. 若存在Γ∈*)(x S 使得)1.2()]()()[(min ||)()(||min ||)()(||22222⎰-=-=-Γ∈Γ∈*ba S S dxx S x f x x S x f x S x f ρ 成立,则称)(x S *为f(x)在Γ中的最佳平方逼近函数.特别地,当},,,,1{nx x span =Γ满足式(2.1)的Γ∈*)(x S n 称为f(x)的n 次最佳平方逼近多项式,简称n 次最佳平方逼近.2.2 最佳平方逼近函数的求法定理 2.1 对于任意的函数],[)(b a C x f ∈,其在Γ中的最佳平方逼近函数)(x S *是存在且唯一的.证 Γ中的函数形如∑=Φ=nj jj x a x S 0),()(由式(2.1)可知,求f(x)的最佳平方逼近函数等价于求多元函数∑⎰=Φ-=nj j j ban dxx a x f x a a a I 0210)2.2()]()()[(),,,(ρ的最小值问题.由极值存在的必要条件有)3.2(),,,1,0(0n k a Ik==∂∂积分与求导交换次序有: ∑⎰==Φ-Φ-nj k j j badx x x a x f x 0.0))()](()()[(2ρ故∑⎰===ΦΦ-nj k j j ban k dx x x a x f x 0)4.2(),,,1,0(0)()]()()[( ρ∑⎰⎰=Φ=ΦΦnj babak j k j dx x x f x dx x x x a 0.)()()()()()(ρρ所以∑==Φ=ΦΦnj k j j kn k f a 0)5.2().,,1,0(),(),(这是以n a a a ,,10为未知元的线性方程组,因为n ΦΦΦ,,,10 线性无关,其系数行列式,0≠n G 故式(2.5)有唯一解.设其解为),,,1,0(n i a i =*则∑=**Φ=ni iia x S 0)6.2(.)(下面证明)(x S *满足式(2.1).即需证明,)(Γ∈∀x S⎰⎰-≤-*babadx x S x f x dx x S x f x 22)]()()[()]()()[(ρρ成立.为此只需证明 ⎰⎰≥---=*babax S x f x dx x S x f x D .0)]()()[()]()()[(22ρρ由于⎰⎰*-=b abadxx S x dx x S x D 22)]()[()]()[(ρρdx x S x f x dx x S x f x bab a⎰⎰*+-)()()(2)()()(2ρρ⎰*-=badx x S x S x 2)]()()[(ρ⎰**--+badx x S x f x S x S x ,)]()()][()()[(2ρ由于,)()(Γ∈-*x S x S 由(2.4)知上式第二项为零. 故 .0)]()()[(2⎰≥-=*badx x S x S x D ρ这表明)(x S *为f(x)在Γ中的最佳平方逼近函数.由于式(2.5)的解),,,1,0(n i a i =*存在且唯一,所以f(x)在Γ中的最佳平方逼近函数)(x S *存在且唯一. 最佳平方逼近函数的误差由式(2.4)知 22||)()(||x S x f *-),(),(),(),(f S f S S f f S f S f S f ******-=---=--= ),(||||),(),(022∑=**-=-=nk k k f a f f S f f φ)7.2(.),(||||022∑=*-=k k k f af φ例 2.1 求函数x e x f =)(在区间[0,1]上的一次最佳平方逼近多项式)(1x S *,并计算22||)()(||x S x f *-.解 设,)(101x a a x S +=*1,1)(,,1},,1{10===Φ=Φ=Γn x x x span ρ，由式（2.5）知⎩⎨⎧Φ=ΦΦ+ΦΦΦ=ΦΦ+ΦΦ),(),(),(),(),(),(11110010110000f a a f a a ⎰==ΦΦ1000,11),(dx⎰==ΦΦ=ΦΦ10110,21),(),(xdx ⎰⎰-==Φ==ΦΦ10010211,1),(,31),(e dx e f dx x x ⎰==Φ11,1),(dx xe f x所以 ,11312121110⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡e a a⎩⎨⎧-=-=.618,10410e a e a 故.)618(104)(1x e e x S -+-=*由式(2.7)知22||)()(||x S x f *-=∑=-=122),(||||k k k f a f φ.1094.3)618()1)(104(132⎰-⨯=-----=e e e dx e x 3、用正交多项式作函数的最佳平方逼近设},,,,{10n span ϕϕϕ =Γ{}ni i 0=ϕ在[a,b]上带权)(x ρ正交。