电动力学复习题

《电动力学》复习题

一、 简答题

1． 分别写出电流的连续性方程的微分形式与积分形式，并简单说明它的物理意义。

2． 写出麦克斯韦方程组，并对每一个方程用一句话概括其物理意义。 3． 麦克斯韦方程组中的电场与磁场是否对称？为什么？

4． 一个空间矢量场A K

，给出哪些条件能把它唯一确定？

5． 写出极化电流与极化强度、磁化电流密度与磁化强度之间的关系式。

6． 简述公式d

d d d d V V w V f V S t σ−=⋅+⋅∫∫∫v K K K K v 的物理意义。 7． 简述介质中静电场的唯一性定理。

8． 写出无界空间、上半空间以及球外空间在第一类边值条件下的格林函数。

9． 写出电偶极矩和电四极矩的定义式。

10． 设体系的电荷密度分布为()x ρK

，则该体系在外场e ϕ中的能量是多少？

11． 写出麦克斯韦方程组的积分形式，并写出其对应的在介质分界面上的表达形式（即边值关系）。

12． 简述引入磁标势的基本条件，并写出磁标势所满足的泊松方程。 13． 写出磁偶极矩的定义式以及它所产生的矢势与标势的表达式。 14． 平面电磁波中，电场和磁场的能量密度各为多少？电场能与磁场能相等吗？

15．简述全反射现象。

16．在导体内部，电荷密度随时间衰减的表达式是什么？衰减的特征时间如何定义？特征时间的表达式是什么？

17．什么是穿透深度？电磁波从介质垂直入射到导体时，穿透深度是多少？良导体的条件是什么？

18．简述趋肤效应。

19．谐振腔内亥姆霍兹方程的本征解的表达式是什么？

20．若电磁波在一个宽为a，高为b的无穷长矩形波导管中传播，其截止角频率是多少？

21．写出电磁场矢势与标势中的库仑规范与洛仑兹规范条件。

22．写出在洛仑兹规范下的标势与矢势方程（即达朗贝尔方程）。23．写出真空中标势与矢势的达朗贝尔方程的推迟势解。

24．简述对小电流分布区域在远场区的矢势进行多极展开的基本条件。25．写出电磁波动量密度的表达式，以及它与能流密度的关系式，独立的静电场或静磁场存在动量吗？

26．简述狭义相对论中的两条基本假设。

27．′Σ坐标系以速度v相对Σ坐标系沿x轴正向运动，写出从Σ系到′Σ系的洛仑兹变换公式。

28．′Σ坐标系以速度v相对Σ坐标系沿x轴正向运动，在Σ系中两事件的

Δ，在′Σ系中两事件的时间与空间间隔分别是时间与空间间隔分别为tΔ和x

多少？

29．简述相对论的时间延缓效应和长度收缩效应。

30． ′Σ坐标系以速度v 相对Σ坐标系沿x 轴正向运动，写出相对论速度变换公式。

二、 证明题

1． 利用公式

d d d d L S E l B S t ⋅=−⋅∫∫K K

K K v

证明两介质的分界面上的电场强度跃变关系式

21()0n e E E ×−=K K K

（第1章，课堂证明） 2． 已知一个电荷系统的电偶极矩定义为

()(,)d p t x t x V ρΩ

′′′=∫K K K

利用电荷守恒定律0J t

ρ∂∇⋅+=∂K ，证明p K

的变化率为 d (,)d d p

J x t V t

Ω′′=∫K K K （习题1－5） （注意：电偶极矩的定义式和电荷守恒定律的表达式要求掌握，考试时不一定给出） 3． 证明：

（1）当两种绝缘介质的分界面上不带自由电荷时，电场线的曲折满足

2211

tan tan θεθε= 其中1ε和2ε分别为两种介质的电容率，1θ和2θ分别为界面两侧电力线与法线的夹角。

（2）当两种导电介质内流有稳恒电流时，分界面上电场线曲折满足

22

11

tan tan θσθσ= 其中1σ和2σ分别为两种介质的电导率。

（习题1－12） 4． 证明：时谐电磁波在无电荷分布的、μ和ε为常数的均匀各向同性线性

介质中的传播规律的基本方程为2

2()1()E x i E x σωμεεω⎛

⎞∇=−+⎜⎟⎝

⎠K K K K 。

（第4章，课堂证明）

5． 证明自由空间中，介质内的电场E K 与磁场B K

所满足的方程为亥姆霍兹

方程。（第4章，课堂证明）

6． 由平面电磁波的电场表达式0()ik x E x E e ⋅=K K

K K K ，

证明平面电磁波为横波。（第4章，课堂证明）

7． 利用电磁场的边值条件证明两介质分界面上的反射与折射定律。（第4章，课堂证明）

8． 设A K 和ϕ是满足洛仑兹规范的矢势和标势，引入赫兹矢量函数(,)Z x t K K

，

若令Z ϕ=−∇⋅K

，证明2

1Z A c t ∂=∂K

K 。（习题5－5.1） 9． 两个质量、电荷都相同的粒子相向而行发生碰撞，证明电偶极辐射和磁偶极辐射都不会发生。（习题5－6）

10． 动量为k K

=，能量为ω=的光子撞在静止的电子上，散射到与入射方向夹角为θ的方向上。证明散射光子的频率变化量为

2202sin 2

m c θωωωω′′−=

= 亦即散射光波长变化量

2004sin 2

m c πθ

λλλΔ=−==

其中2k

π

λ=为散射前光子的波长，0m 为电子的静止质量。（习题6－26）

三、 计算题

1． 有一内外半径分别为1r 和2r 的空心介质球，介质的电容率为ε，使介质内均匀带静止自由电荷密度f ρ，求 （1）空间各点的电场；

（2）极化体电荷和极化面电荷分布。（习题1－7）

2． 内外半径分别为1r 和2r 的无穷长中空导体圆柱，

沿轴向流有稳恒均匀自由电流f J K

，导体的磁导率为μ，求磁感应强度和磁化电流。（习题1－8） 3． 求带电量为Q ，半径为a 的导体球的静电场总能量。（课堂例题2－1） 4． 如图所示，两同心球壳之间充以两种介质，左半部分介质电容率为1ε，右半部分介质电容率为2ε。设内球壳总带电量为Q ，半径为a ，外球壳接地，半径为b ，求介质中的电势和内球壳上的电荷分布。（课堂例题2－2）

5． 把一无限长圆柱形导体放入均匀电场0E K

中，圆柱形导体接地，半径为b ，柱外为真空，且圆柱轴线与电场方向垂直，求空间电势分布。（数学物理方法之分离变量法例3）

6． 把半径为b 的无限长圆柱形均匀各向同性电介质放入均匀电场0E K

中，柱外介质的介电常数为1ε，柱体介质的介电常数为2ε。求空间电势分布。（数学物理方法之分离变量法例4）