人教版九年级数学下册竞赛专题30 运动与变化------函数思想.doc

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专题30 运动与变化------函数思想

阅读与思考

所谓函数思想，就是用运动、变化的观点来分析问题中的数量关系，通过函数的形式，把这种关系表示出来，运用函数的概念和性质去分析问题、解决问题.

函数思想在解决问题中有以下几个方面的应用： 1．利用函数图象解决问题；

2．用函数的观点研究方程（组）、不等式（组）的解； 3．建立目标函数，运用函数的性质去解决问题.

方程与函数有着深刻的内在联系，这种联系体现在：方程的解是对应的函数图象交点的横坐标．函数图象的直观性，使得我们对方程的理解有了一种新的途径，

函数是初中数学的主要内容，有正比例函数、反比例函数、一次函次和二次函数，要研究它们的性质和图象．函数的思想方法就是用变化运动的观点来观察、分析问题．

应熟悉以下基本问题：

① 常见函数的性质、图象、画法；

② 常见函数的图象与该函数的解析式中各个系数的符号的关系； ③ 确定常见函数解析式的方法；函数与方程（组）的联系.

例题与求解

【例1】 同学们都知道，一次函数()0≠+=k b kx y 的图象是一条直线，它可以表示许多实际意义，比如在图1中，x 表示时间（小时），y 表示路程（千米）．那么从图象上可以看出，某人出发时（x ＝0），离某地（原点）2千米，出发1小时，由x ＝1，得y ＝5，即某人离某地5千米，他走了3千米．

在图2中，OA ，BA 分别表示甲、乙两人的运动图象，请根据图象回答下列问题：

(1)如果用t 表示时间，y 表示路程，那么甲、乙两人各自的路程与时间的函数关系式：甲_________，乙________________;

(2)甲的运动速度是______千米/时；

(3)甲、乙同时出发，相遇时，甲比乙多走______千米． （常州市中考试题）

x

y

O

–2–11

2

3

1

2345 x y

B A

1051520O 1

2

3

4

5

图1 图2

解题思路：本例采用新视角将行程问题用图示法表示，解题的关键是领会“一次函数”表示行程问题的意义，从图象获得与行程问题相关量的信息.

对于某些从正面直接求解比较困难的数学问题，通过对题设与结论的观察与分析，构造辅助元素，使问题结构更加清晰，解题过程更加简化，目标结论更为明确，这种解题方法称为构造法．

构造法的基本形式是以已知条件为“原料”，以所求结论为“方向”，构造出一种新的数学形式，常用的构造方法有：

①构造实例； ②构造反例； ③构造方程； ④构造函数； ⑤构造图形. 【例2】对于方程2

22x x m -+=，如果方程实根的个数恰为3个，则m 值等于( ) A .1

B 3

C ．2

D ．2.5

解题思路：可将m 值一一代入原方程，逐一验证，直至筛选出符合条件的m 的值．本例的另一解法是把讨论方程解的个数转化为讨论函数2

22y x x =-+与函数m y =图象交点，利用函数图象解题．

【例3】已知b ，c 为整数，方程052

=++c bx x 的两根都大于－1且小于0，求b 和c 的值． （全国初中数学联赛试题）

解题思路：解本例的基本思路是利用求根公式，通过解不等式组求出b ，c 的值，显然较繁．可以构造二次函数，讨论二次函数c bx x y ++=2

5与x 轴交点在－1与0之间时所满足的约束条件入手．

【例4】在直角坐标系中．有以A（－1，－1），B(1，一1), C(1，1），D(－1，1)为顶点的正方=-+上侧部分的面积为S．试求S关于a的函数关系式，并画出它们的图象．形，设它在折线y x a a

（河北省竞赛试题）解题思路：CD，AB平行于x轴且与x轴的距离为1，就a≥1，0≤a≤1，－1≤a＜0，a＜－1四种情况讨论.

【例5】如图，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA＝1.25米．由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流沿形状相同的各条抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1米处时距水面最大高度为2.25米．

(1)如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至落到池外？

(2)若水流喷出的抛物线形状与(1)相同，水池的半径为3.5米，要使水流不落到池外，此时水流的最大高度应达多少米？（精确到0.1米）（山西省中考试题）

A

O

解题思路：以OA所在的直线为y轴，过点O垂直于OA的直线为x轴，点O为原点，建立直角坐标系，解题的关键是求出抛物线的解析式.

随着近年中考和竞赛试题改革的不断深入，数学应用题已不再停留在“列方程解应用”的层次上，其内容繁多，题型多变，解法灵活，函数应用题的广泛出现是近年中考的一个显著特点.

函数应用题的数量关系是以函数的形式出现，解题的关键是建立量与量之间的函数关系式，运用相关函数的性质解题.

【例6】某商场促销方案规定：商场内所有商品按标价的80%出售，同时，当顾客在商场内消费满一定金额后，按下表获得相应的返还金额．

消费金额（元）300~400400~500500~600600~700700~900…

返还金额（元）3060100130150…

注：“300～400”表示消费金额大于300元且小于或等于400元，其他类同.

根据上述促销方案，顾客在该商场购物可以获得双重优惠．例如，若购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为400×(1－80%) ＋30＝110(元)．

(1)购买一件标价为1000元的商品，顾客获得的优惠额是多少？

(2)如果顾客购买标价不超过800元的商品，要使获得的优惠额不少于226元，那么该商品的标价至少为多少元？（南京市中考试题）解题思路：本题考查的是分段函数的应用问题，在解答过程中要体现分类讨论的思想．

能力训练

1．如图，是兰州市市内电话费y（元）与通话时间t（分钟）之间的函数关系的图象，则通话7分钟需付电话费_________（元）．

（甘肃省中考试题）