高等数学作业参考答案
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《高等数学》作业参考答案
第一章 函数作业(练习一)
一、填空题: 1.函数x x x f -+-=
5)
2ln(1
)(的定义域是________。
解:对函数的第一项,要求02>-x 且0)2ln(≠-x ,即2>x 且3≠x ;对函数的第二项,要求
05≥-x ,即5≤x 。取公共部分,得函数定义域为]5,3()3,2( 。
2.函数3
9
2--=
x x y 的定义域为________。
解:要使392--=
x x y 有意义,必须满足092
≥-x 且03>-x ,即⎩⎨⎧>≥3
3x x 成立,解不等式方程组,
得出⎩
⎨
⎧>-≤≥33
3x x x 或,故得出函数的定义域为),3(]3,(+∞⋃--∞。
3.已知1)1(2
+=-x e f x
,则)(x f 的定义域为________。
解:令u e x
=-1, 则()u x +=1ln , (),11ln )(2
++=∴u u f
即(),11ln )(2
++=∴x x f 故)(x f 的定义域为()+∞-,1
4.函数1
1
42-+
-=
x x y 的定义域是________。 解:),2[]2,(∞+--∞ 5.若函数52)1(2
-+=+x x x f ,则=)(x f ________。 解:62
-x
二、单项选择题:
1.若函数)(x f y =的定义域是[0,1],则)(ln x f 的定义域是 [ C ] A .),0(∞+ B .),1[∞+ C .]e ,1[ D .]1,0[
2.函数x y πsin ln =的值域是 [ D ] A .]1,1[- B .]1,0[ C .)0,(-∞ D .]0,(-∞
3.设函数f x ()的定义域是全体实数,则函数)()(x f x f -⋅是 [ C ] A.单调减函数 B.有界函数 C.偶函数 D.周期函数 解:A 、B 、D 三个选项都不一定满足。
设)()()(x f x f x F -⋅=,则对任意x 有
)()()()()())(()()(x F x f x f x f x f x f x f x F =-⋅=⋅-=--⋅-=-
即)(x F 是偶函数,故选项C 正确。
4.函数)1,0(1
1
)(≠>+-=a a a a x x f x
x [ B ] A.是奇函数 B.是偶函数 C.既奇函数又是偶函数 D.是非奇非偶函数 解:利用奇偶函数的定义进行验证。
)(1
1
)1()1(11)()(x f a a x a a a a x a a x x f x x x
x x x x x =+-=+--=+--=----- 所以B 正确。 5.若函数221
)1(x
x x x f +=+
,则=)(x f [ B ] A.2
x B.22
-x C.2
)1(-x D.12
-x 解:因为2)1(212122
2
22
-+=-++=+
x x x x x x 所以2)1()1(2-+=+x x x x f
则2)(2
-=x x f ,故选项B 正确。
6.设1)(+=x x f ,则)1)((+x f f = [ D ] A . x B .x + 1 C .x + 2 D .x + 3 解:由于1)(+=x x f , 得)1)((+x f f 1)1)((++=x f =2)(+x f
将1)(+=x x f 代入 得)1)((+x f f =32)1(+=++x x
7.下列函数中,( )不是基本初等函数。 [ B ]
A .x y )e 1(=
B .2ln x y =
C .x x
y cos sin = D .3
5x y =
解:因为2
ln x y =是由u y ln =,2
x u =复合组成的,所以它不是基本初等函数。
8.设函数⎩⎨
⎧>≤=0,
00,cos )(x x x x f ,则)4(π
-f = [ C ]
A .)4(π
-
f =)4(πf B .)2()0(πf f = C .)2()0(π-=f f D .)4
(π
f =22
解:因为02<-π,故1)2cos()2(=-=-ππf 且1)0(=f , 所以)2()0(π-=f f
9.若函数1)e (+=x f x
,则)(x f = [ C ]
A . 1e +x
B . 1+x
C . 1ln +x
D . )1ln(+x
10.下列函数中=y ( )是偶函数. [ B ] A . )(x f B . )(x f C . )(2
x f D . )()(x f x f --
三、解答题: 1.设⎩⎨
⎧<<≤≤=e
1ln 10)(x x x x
x f ,求:(1))(x f 的定义域;(2))0(f ,)1(f ,)2(f 。
解:(1)分段函数的定义域是各区间段之和,故)(x f 的定义域为)e ,0[)e ,1(]1,0[=
(2)10≤≤x 时,x x f =)( 0)0(=∴f ,1)1(=f
e 1< f ln )(= 2ln )2(=∴f 2.设⎩⎨ ⎧>≤--=00,1)(x x x x x f ,⎩⎨⎧>-≤=0,0, )(2 x x x x x g 求复合函数))(()),((x f g x g f 。 解:()()⎩⎨⎧>-≤--=0,10,12x x x x x g f ()()()⎪⎩ ⎪⎨⎧>--<+-≤≤---=0 ,1,101,122 x x x x x x x f g 3.(1)x x a a x f -+=)( (0>a ); 解:()()x f a a x f x x =+=-- ()x x a a x f -+=∴为偶函数 (2)x x x f +-=11ln )( 解:()()x f x x x x x f -=+--=-+=-11ln 11ln ()x x x f +-=∴11ln 为奇函数 (3))1ln()(2x x x f ++= 解:()( )() ()x f x x x x x x x f -=++-=++=++-=-22 2 1ln 11ln 1ln , ()() 21ln x x x f ++=∴为奇函数 4.已知x x f sin )(=,()()2 1x x f -=ϕ,求)(x ϕ的定义域 解:()()()()( )2 2 1arcsin ,1sin x x x x x f -=∴-==ϕϕϕ , 故()x ϕ的定义域为22≤≤- x