人教九年级数学上册- 最大利润问题(附习题)
即降价情况下，定价57.5元时，有最大利润6125元.
（1）涨价情况下，定价65元时，有最大利润6250元. （2）降价情况下，定价57.5元时，有最大利润6125元.
综上可知： 该商品的价格定价为65元时，可获得最大利润6250元.
基础巩固
随堂演练
1.下列抛物线有最高点或最低点吗？如果有,写出这些
综合应用
3.某种文化衫以每件盈利20元的价格出售，每天可售出40 件. 若每件降价1元，则每天可多售10件，如果每天要盈利 最多，每件应降价多少元？
解：设每件应降价x元，每天的利润为y元， 由题意得：y=(20-x)(40+10x)
=-10x2+160x+800 =-10(x-8)2+1440 (0＜x＜20). 当x=8时，y取最大值1440. 即当每件降价8元时，每天的盈利最多。
点的坐标(用公式)：
(1)y=-4x2+3x;
(2)y=3x2+x+6.
解：b 2a
3
2 4
3 8
,
4ac b2 4a
32
4 4
9, 16
最高点为
3 8
,
9 16
.
解：b 1 1 , 2a 2 3 6
4ac b2 4 3 6 12 71
,
4a
43
12
最低点为
1 6
,
71 12
课堂小结
利用二次函数解决利润问题的一般步骤： (1)审清题意，理解问题； (2)分析问题中的变量和常量以及数量之间的关系； (3)列出函数关系式； (4)求解数学问题； (5)求解实际问题.
分析:(1)根据题意,设平均每天销售A种礼盒 为x盒,B种礼盒为y盒,列二元一次方程组解 答;(2)根据题意,设A种礼盒降价m元/盒,则A 种礼盒的销售量为(10+m3 )盒,再根据总利润 =每件商品的利润×销售量”列出解析式即 可.
利润 = 售价×销量-进价×销量 = (售价-进价)×销量
由3n000，10n 0.
可得：0≤n≤30.
涨价：
n取何值时，y有最大 值？最大值是多少？
y1=-10n2+100n+6000 （0≤n≤30） =-10(n2-10n)+6000
=-10(n-5)2+6250
抛物线y1 =-10n2+100n+6000顶点坐标为 (5,6250) ， 所以商品的单价上涨 5 元时，利润最大，为 6250 元.
300-10n 300+20m
利润
进价/元 售价/元 销量/件
利润
怎样确现定价n的取40
60
300
值范涨围价？ 40
60+n 300-10n
降价
40
60-m 300+20m
解:(1)设每件涨价n元，利润为y1. 则y1=(60+n – 40 )(300 – 10n) 即y1=-10n2+100n+6000 其中，0≤n≤30.
即涨价情况下，定价65元时，有最大利润6250元.
降价
进价/元 售价/元 销量/件
40
60-m 300+20m
利润
降价情况下的最大利润又是多少呢?
解: (2)设每件降价m元，利润为y2. 则y2=(60-m – 40 )(300 +20m) 即y2=-20m2+100m+6000 其中，0≤m≤20.
拓展延伸
4.求函数y=-x2+6x+5的最大值和最小值.
(1)0≤x≤6；
(2) -2≤x≤2.
解：y=-x2+6x+5=-(x-3)2+14 (1)当0≤x≤6时， 当x=3时， y有最大值14, 当x=0或6时，y有最小值5.
(2)当-2≤x≤2时， 当x=2时，y有最大值13, 当x=-2时，y有最小值-11.
由6m00m， 40 0.
可得：0≤m≤20.
怎样确定m的取 值范围？
降价：
m取何值时，y有最大 值？最大值是多少？
y2=-20m2+100m+6000 (0≤m≤20) =-20(m2-5m)+6000
=-20(m-2.5)2+6125
抛物线y2=-20m2+100m+6000顶点坐标为 (2.5,6125) ， 所以商品的单价下降 2.5 元时，利润最大，为 6125 元.
22.3 实际问题与二次函数 第2课时 最大利润问题
新课导入
问题：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300 件.市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少 卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品 的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
(1)能用二次函数表示实际问题中的数量关系(包括写出解 析式、自变量的取值范围、画图象草图). (2)会用二次函数求销售问题中的最大利润.
推进新课
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件. 市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少 卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商 品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
分析：
现价 涨价 降价
进价/元 40 40 40
售价/元 60
60+n 60-m
数量/件 300
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
.
2.某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x 元出售，可卖出(200-x)件，应如何定价才能使利润最大？
解：设所得利润为y元, 由题意得y=x(200-x)-30(200-x)
=-x2+230x-6000 =-(x-115)2+7225 (0<x<200) 当x=115时，y有最大值. 即当这件商品定价为115元时，利润最大.
数学人教版九年级上册求商品最大利润问题滚动练习
如何求商品的最大利润滚动练习
1、某商品原来每周卖出80件，每降价1元，每周多卖出5件，现降价x 元，每周卖件。
2、某商品原利润为60元，涨价x元后利润为元，如果原来每月卖出100件，若每涨价2元，每月就少出售10件，涨价x元后每月出售该商品的利润y元与x之间的函授关系式为：。
3、某一商品的进价是每个70元，以100元售出，则每个利润是多少？若一天售出50个，则获得的总利润是多少？
4、小王以每件120元的价格进回20件衣服，又以每件160元的价格全部卖出，问这次销售活动小王共盈利多少元？
5、提出问题：某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出（100-x）件，应如何定价才能使利润最大？
6、某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加10件。
将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大?
7、(2015江苏南京,第27题10分)某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，如图中的折线ABD、线段CD分别表示该产品每千克生产成本（单位：元）、销售价（单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系．
（1）请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义；
(2）求线段AB所表示的与x之间的函数表达式；
(3）当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？。
人教版数学九年级上册：22.3 第2课时 最大利润问题 (含答案)
第2课时最大利润问题1．将进货价为每件70元的某种商品按每件100元出售时每天能卖出20件，若这种商品每件的售价在一定范围内每降低1元，其日销售量就增加1件，为了获得最大利润，决定降价x 元，则单件的利润为________元，每日的销售量为________件，则每日的利润y(元)关于x(元)的函数关系式是y＝________________，所以每件降价________元时，每日获得的利润最大，为________元．2．服装店将进价为100元/件的服装按x元/件出售，每天可销售(200－x)件，若想获得最大利润，则x应定为()A．150 B．160 C．170 D．1803．某公司的生产利润原来是a万元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长的百分率都是x，那么y关于x的函数解析式是()A．y＝x2＋a B．y＝a(x－1)2C．y＝a(1－x)2D．y＝a(1＋x)24．[2019·丹东] 某服装超市购进单价为30元/件的童装若干件，物价部门规定其销售单价不低于30元/件，不高于60元/件．销售一段时间后发现：当销售单价为60元/件时，平均每月的销售量为80件，而当销售单价每降低10元时，平均每月能多售出20件．同时，在销售过程中，每月还要支付其他费用450元．设销售单价为x元/件，平均月销售量为y件．(1)求出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)当销售单价为多少时，销售这种童装每月可获利1800元？(3)当销售单价为多少时，销售这种童装每月获得的利润最大？最大利润是多少？5．某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．经市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y(个)与销售单价x(元/个)有如下关系：y＝－x＋60(30≤x≤60，且x 为整数)．设这种双肩包每天的销售利润为w元．(1)求w与x之间的函数关系式；(2)这种双肩包的销售单价定为多少元/个时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？(3)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不能高于42元/个，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，那么销售单价应定为多少元/个？6. 某商店销售某种商品所获得的利润y(元)与所卖件数x(件)之间满足关系式y＝－x2＋1000x －200000，则当0<x≤450时的最大利润为()A．2500元B．47500元C．50000元D．250000元7．某种工艺品的进价为每件100元，当标价135元出售时，每天可售出100件．根据销售统计，该工艺品每件的价格每降低1元，每天可多售出4件．要使每天获得的利润最大，则每件需降价()A．5元B．10元C．15元D．20元8．某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于50%.经试销发现，销售量y(件)与销售单价x(元/件)之间的关系符合一次函数y＝－x＋140.(1)直接写出x的取值范围：__________；(2)若销售该服装获得的利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式：________________________________________________________________________.9．某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本3元，试销期间发现每天的销售量y(袋)与销售单价x(元/袋)之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示，其中3.5≤x≤5.5，另外每天还需支付其他各项费用80元．(1)请直接写出y与x之间的函数关系式；(2)如果想每天获得160元的利润，那么销售单价应定为多少元/袋？(3)设每天的利润为w元，当销售单价定为多少元/袋时，每天的利润最大？最大利润是多少元？10．“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天的销售量y(件)与销售单价x(元/件)之间存在一次函数关系，如图22－3－9所示．(1)求y与x之间的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)；(2)如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，那么当销售单价为多少时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？图22－3－911．十一黄金周期间，由于7座以下小型车辆免收高速公路通行费，使汽车租赁市场需求旺盛．某汽车租赁公司拥有20辆汽车．据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出；当租出的车辆每减少1辆，每辆车的日租金将增加50元，另外公司平均每日的各项支出共4800元．设公司每日租出x(0≤x≤20)辆车时，日收益为y元．(日收益＝日租金收入－平均每日各项支出)(1)公司每日租出x(x≤20)辆车时，每辆车的日租金增加__________元，此时每辆车的日租金为__________元(用含x的代数式表示)；(2)当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益最多？最多是多少元？答案1．(30－x) (20＋x) －x 2＋10x ＋600 5 6252．A [解析] 设利润为w 元，则w ＝(x －100)(200－x)＝－x 2＋300x －20000＝－(x －150)2＋2500(100≤x≤200)， 故当x ＝150时，w 有最大值．3．D4．解：(1)由题意得y ＝80＋20×60－x 10， ∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝－2x ＋200(30≤x≤60)．(2)由题意得(x －30)(－2x ＋200)－450＝1800，解得x 1＝55，x 2＝75(不符合题意，舍去)．答：当销售单价为55元/件时，销售这种童装每月可获利1800元．(3)设每月获得的利润为w 元．由题意得w ＝(x －30)(－2x ＋200)－450＝－2(x －65)2＋2000.∵－2＜0，∴当x≤65时，w 随x 的增大而增大．∵30≤x≤60，∴当x ＝60时，w 取最大值，w 最大＝－2(60－65)2＋2000＝1950.答：当销售单价为60元/件时，销售这种童装每月获得的利润最大，最大利润是1950元．5．解：(1)w ＝()x －30·y ＝(x －30)·(－x ＋60)＝－x 2＋90x －1800(30≤x≤60，且x 为整数)．(2)w ＝－x 2＋90x －1800＝－()x －452＋225.∵－1＜0，∴当x ＝45时，w 有最大值，最大值为225.答：这种双肩包的销售单价定为45元/个时，每天的销售利润最大，最大利润是225元．(3)当w ＝200时，可得方程－()x －452＋225＝200，解得x 1＝40，x 2＝50. ∵50＞42，∴x ＝50不符合题意，舍去．答：销售单价应定为40元/个．6．B [解析] 因为抛物线的对称轴为直线x ＝500，在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大，因此在0<x≤450的范围内，当x ＝450时，函数有最大值为47500.7．A8．(1)60≤x≤90 (2)W ＝－x 2＋200x －8400[解析] (1)∵规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于50%，∴60≤x≤90.(2)∵单件利润为(x －60)元，销售量为y ＝－x ＋140，∴销售该服装获得的利润W ＝(x －60)(－x ＋140)＝－x 2＋200x －8400.9．解：(1)设y ＝kx ＋b ，将x ＝3.5，y ＝280；x ＝5.5，y ＝120代入，得⎩⎪⎨⎪⎧3.5k ＋b ＝280，5.5k ＋b ＝120，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－80，b ＝560.则y 与x 之间的函数关系式为y ＝－80x ＋560(3.5≤x≤5.5)． (2)由题意，得(x －3)(－80x ＋560)－80＝160，整理，得x 2－10x ＋24＝0，解得x 1＝4，x 2＝6.∵3.5≤x≤5.5，∴x ＝4.答：如果想每天获得160元的利润，那么销售单价应定为4元/袋．(3)由题意，得w ＝(x －3)(－80x ＋560)－80＝－80x 2＋800x －1760＝－80(x －5)2＋240.∵3.5≤x≤5.5，∴当x ＝5时，w 有最大值为240.故当销售单价定为5元/袋时，每天的利润最大，最大利润是240元．10．解：(1)设y 与x 之间的函数解析式为y ＝kx ＋b.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧40k ＋b ＝300，55k ＋b ＝150， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－10，b ＝700. 故y 与x 之间的函数解析式为y ＝－10x ＋700.(2)由题意，得－10x ＋700≥240，解得x≤46.设每天获得的利润为w 元，则w ＝(x －30)·y ＝(x －30)(－10x ＋700)＝－10x 2＋1000x －21000＝－10(x－50)2＋4000.∵－10＜0，∴当x＜50时，w随x的增大而增大．∴当x＝46时，w最大＝－10×(46－50)2＋4000＝3840.答：当销售单价为46元/件时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元．11．解：(1)50(20－x)(－50x＋1400)(2)由题意，得y＝x(－50x＋1400)－4800＝－50x2＋1400x－4800＝－50(x－14)2＋5000.∵－50＜0，∴函数图象开口向下，函数有最大值，即当x＝14时，在0≤x≤20范围内，y有最大值5000.答：当每日租出14辆时，租赁公司的日收益最多，最多是5000元．。
人教版九年级上册数学第21章一元二次方程利润问题应用题(含答案)
一元二次方程利润问题应用题1、某市场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件赢利40元．为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．求：（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）要使商场平均每天赢利最多，请你帮助设计方案．2、某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施，调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台，商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？3、西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售,每天可售出200千克.为了促销,该经营户决定降价销售.经调查发现,这种小型西瓜每降价O.1元/千克，每天可多售出40千克.另外，每天的房租等固定成本共24元.该经营户要想每天盈利2O0元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元?4、某种服装，平均每天可以销售20件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？5、某化工材料经售公司购进了一种化工原料,进货价格为每千克30元.物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元,也不得低于30元.市场调查发现：单价每千克70元时日均销售60kg；单价每千克降低一元,日均多售2kg。
在销售过程中,每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时,按一天计算）.如果日均获利1950元,求销售单价6、一容器装满20L纯酒精，第一次倒出若干升后，用水加满，第二次又倒出同样升数的混合液，再用水加满，容器里只有5L的纯酒精，第一次倒出的酒精多少升？（过程）7、某商场销售一批衬衫，平均每天可出售30件，每件赚50元，为扩大销售，加盈利，尽量减少库存，商场决定降价，如果每件降1元，商场平均每天可多卖2件，若商场平均每天要赚2100元，问衬衫降价多少元8、将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖500个，如果该商品每涨价1元，其销售量就减少10个。
人教版九年级数学上册21.3.2最大利润问题练习题
第2课时最大利润问题知识点二次函数的最值在销售问题中的应用1．将进货价为70元/件的某种商品按零售价100元/件出售时每天能卖出20件，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1件，为了获得最大利润，决定降价x元，则单件的利润为________元，每日的销售量为________件，则每日的利润y(元)关于x(元)的函数关系式是y＝________________(不要求写自变量的取值范围)，所以每件降价________元时，每日获得的最大利润为________元．2．服装店将进价为100元/件的服装按x元/件出售，每天可销售(200－x)件，若想获得最大利润，则x应定为()A．150 B．160 C．170 D．1803．某公司的生产利润原来是a万元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长的百分率都是x，那么y关于x的函数解析式是()A．y＝x2＋a B．y＝a(x－1)2C．y＝a(1－x)2D．y＝a(1＋x)24．2017·沈阳某商场购进一批进价为20元/件的日用商品，如果以单价30元/件销售，那么半个月内可销售出400件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，当销售单价是________元/件时，才能在半个月内获得最大利润．5．2017·十堰某超市销售一种牛奶，进价为每箱24元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱36元，每月可销售60箱．经市场调查发现：若这种牛奶的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱．设每箱牛奶降价x元(x为正整数)，每月的销量为y箱．(1)写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；(2)超市如何定价，才能使每月销售牛奶的利润最大？最大利润是多少元？6．2017·济宁某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．经市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y(个)与销售单价x(元/个)有如下关系：y＝－x＋60(30≤x≤60，且x为整数)．设这种双肩包每天的销售利润为w元．(1)求w与x之间的函数关系式；(2)这种双肩包的销售单价定为多少元/个时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？(3)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不能高于42元/个，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元/个？7. 某商店销售某件商品所获得的利润y(元)与所卖的件数x之间的关系满足y＝－x2＋1000x－200000，则当0<x≤450时的最大利润为()A．2500元B．47500元C．50000元D．250000元8．一件工艺品进价为100元，标价135元出售时，每天可售出100件．根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，每天可多售出4件．要使每天获得的利润最大，则每件需降价()A．5元B．10元C．15元D．20元9．某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于50%.经试销发现，销售量y(件)与销售单价x(元/件)的关系符合一次函数y ＝－x＋140.(1)直接写出x的取值范围：________；(2)若销售该服装获得的利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式：__________．10．2017·安徽某超市销售一种商品，成本为每千克40元，规定每千克售价不低于成本价，且不高于80元．经市场调查，每天的销售量y(千克)与售价x(元/千克)满足一次函数关系，部分数据如下表：(1)求y与x之间的函数解析式；(2)设该商品每天的总利润为W(元)，求W与x之间的函数解析式(利润＝收入－成本)；(3)试说明(2)中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出售价为多少元/千克时获得最大利润，最大利润是多少．11．已知某商品的进价为每件40元，现在的售价是每件60元，每星期可卖出300件．经市场调查发现：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．如何定价才能使利润最大？12．十一黄金周期间，由于7座以下小型车辆免收高速公路通行费，使汽车租赁市场需求旺盛．某汽车租赁公司拥有20辆汽车．据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出；当租出的车辆每减少1辆，每辆车的日租金将增加50元，另外公司平均每日的各项支出共4800元．设公司每日租出x(x≤20)辆车时，日收益为y元．(日收益＝日租金收入－平均每日各项支出)(1)公司每日租出x(x≤20)辆车时，每辆车的日租金增加________元，此时每辆车的日租金为________元(用含x的代数式表示)；(2)当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益最大？是多少元？1．(30－x) (20＋x) －x 2＋10x ＋600 5 6252．A [解析] 设利润为w 元，则w ＝(x －100)(200－x)＝－x 2＋300x －20000＝－(x －150)2＋2500(100≤x ≤200)， 故当x ＝150时，w 有最大值．3．D4．35 [解析] 设销售单价为x 元/件，销售利润为y 元．根据题意，得y ＝(x －20)[400－20(x －30)]＝(x －20)(1000－20x)＝－20x 2＋1400x －20000＝－20(x －35)2＋4500.∵－20＜0，∴当x ＝35时，y 有最大值．5．解：(1)根据题意，得y ＝60＋10x.由36－x ≥24得x ≤12，∴1≤x ≤12，且x 为整数．(2)设所获利润为W 元，则W ＝(36－x －24)(10x ＋60)＝－10x 2＋60x ＋720＝－10(x －3)2＋810，∴当x ＝3时，W 取得最大值，最大值为810.答：超市定价为每箱33元时，才能使每月销售牛奶的利润最大，最大利润是810元．6．解：(1)w ＝()x －30·y ＝(x －30)·(－x ＋60)＝－x 2＋90x －1800(30≤x ≤60，且x 为整数)．(2)w ＝－x 2＋90x －1800＝－()x －452＋225. ∵－1＜0， ∴当x ＝45时，w 有最大值，最大值为225.答：这种双肩包的销售单价定为45元/个时，每天的销售利润最大，最大利润是225元．(3)当w ＝200时，可得方程－()x －452＋225＝200，解得x 1＝40，x 2＝50.∵50＞42，∴x 2＝50不符合题意，舍去．答：该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元/个．7．B [解析] 因为抛物线的对称轴为直线x ＝500，在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大，因此在0<x ≤450的范围内，当x ＝450时，函数有最大值为47500.8．A9．60≤x ≤90 W ＝－x 2＋200x －8400[解析] (1)∵规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于50%，∴60≤x ≤90.(2)∵单件利润为(x －60)元，销售量为y ＝－x ＋140，∴销售该服装获得的利润W ＝(x －60)(－x ＋140)＝－x 2＋200x －8400.10．解：(1)根据题意，设y ＝kx ＋b ，其中k ，b 为待定的常数，且k ≠0.由表中的数据得⎩⎨⎧50k ＋b ＝100，60k ＋b ＝80，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝200.所以y ＝－2x ＋200(40≤x ≤80)． (2)根据题意得W ＝y·(x －40)＝(－2x ＋200)(x －40)＝－2x 2＋280x －8000(40≤x ≤80)．(3)由(2)可知：W ＝－2(x －70)2＋1800，所以当售价x 在40≤x<70的范围内时，利润W 随着x 的增大而增大；当售价x 在70<x ≤80的范围内时，利润W 随着x 的增大而减小．所以当x ＝70时，利润W 取得最大值，最大值为1800.即售价为70元/千克时获得最大利润，最大利润是1800元．11．解：设每件涨价x 元时的总利润为y 1元．y 1＝(60－40＋x)(300－10x)＝(20＋x)(300－10x)＝－10x2＋100x＋6000＝－10(x2－10x)＋6000＝－10[(x－5)2－25]＋6000＝－10(x－5)2＋6250(0≤x≤30)．当x＝5时，y1的最大值是6250.定价：60＋5＝65(元)．设每件降价x元时的总利润为y2元．y2＝(60－40－x)(300＋20x)＝(20－x)(300＋20x)＝－20x2＋100x＋6000＝－20(x2－5x)＋6000＝－20[(x－2.5)2－6.25]＋6000＝－20(x－2.5)2＋6125(0≤x≤20)．当x＝2.5时，y2的最大值是6125.定价：60－2.5＝57.5(元)．综合以上两种情况，得每件定价为65元时可获得最大利润为6250元．12．解：(1)50(20－x)(－50x＋1400)(2)由题意，得y＝x(－50x＋1400)－4800＝－50x2＋1400x－4800＝－50(x－14)2＋5000，∵－50＜0，∴函数图象开口向下，函数有最大值，即当x＝14时，在0≤x≤20范围内，y有最大值5000.答：当每日租出14辆时，租赁公司的日收益最大，为5000元．。
2022-2023学年人教版九年级上册 《一元二次方程》实际应用：利润问题 同步练习
《一元二次方程》实际应用：利润问题1．适逢中高考期间，某文具店平均每天可卖出30支2B铅笔，卖出1支铅笔的利润是1元，经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出10支铅笔，为了使每天获取的利润更多，该文具店决定把零售单价下降x元（0＜x＜1）．（1）当x为多少时，才能使该文具店每天卖2B铅笔获取的利润为40元？（2）该文具店每天卖2B铅笔获取的利润可以达到50元吗？如果能，请求出，如果不能，请说明理由．2．某小区物业一直用洗涤剂和消毒水对小区进行清洁消毒，已知1桶洗涤剂和4桶消毒水的价格为150元，2桶洗涤剂和2桶消毒水的价格为140元，该小区原来一周会消耗2桶洗涤剂和4桶消毒水．（1）求1桶洗涤剂和1桶消毒水的售价各是多少元？（2）新冠疫情期间物业加大了小区清洁消毒力度，现在该小区每周消耗洗涤剂的数量在原来一周的基础上增加了2m%，每周消耗的消毒水数量比原来一周消耗的多桶．疫情期间洗涤剂价格上涨了m%，因异地购买每桶还需另付邮费5元；每桶消毒水的价格上涨了50%，也因异地购买每桶还需另付邮费10元，现在该小区疫情期间每周购买洗涤剂和消毒水的费用（含邮费）比原来每周费用的4倍还少m元，求m的值．3．近年来，随着科技的进步，物质生活丰富的同时，人们对于生活质量的要求也越来越高，特别对室内空气净化、杀菌消毒、消除异味等需求的重视程度有明显提升．某公司研发生产了一款新型空气净化器，每台的成本是4400元，某专卖网店从该公司购进10000台空气净化器，同时向国内、国外进行在线发售．第一周，国内销售每台售价5400元，国内获利100万元；国外销售也售出了相同数量的空气净化器，但每台的成本增加了400元；国外销售每台获得的利润是国内销售每台利润的6倍．（1）该专卖网店国外销售空气净化器第一周的售价是每台多少元？（2）受贸易环境的影响，第二周，国内销售每台售价在第一周的基础上降低a%，销量上涨5a%；国外销售每台售价在第一周的基础上上涨a%，并且在第二周将剩下的空气净化器全部卖完，结果第二周国外的销售总额比国内的销售总额多6993万元，求a的值．4．商店把进货价为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件，现采用提高售价的办法增加利润，已知这种商品每涨价0.5元，其销售量就减少10件，物价局规定该商品的利润率不得超过60%，问商店应将售价定为多少，才能使每天所得利润为640元？商店应进货多少件？5．每年农历五月初五，是中国民间传统节日﹣﹣端午节．今年端午节，某蛋糕店推出了蛋黄肉粽和白粽两种粽子，其中蛋黄肉粽的销售单价为每千克30元，白粽的销售单价为每千克20元.5月份，蛋黄肉粽和白粽共销售了100千克，销售总额为2600元．（1）5月份，蛋黄肉粽的销售数量是多少千克？（2）为迎接端午节的到来，6月份该蛋糕店将蛋黄肉粽的销售单价降低了a%，其销量在5月份的基础上增加了a%；白粽的销售单价保持不变，其销量在5月份的基础上增加了a%．6月份两种粽子的销售总额比5月份两种粽子的销售总额增加了a%，求a的值．6．某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间正好可以住满．每个房间每天的定价每增加10元，就会有一个房间空闲．已知有游客入住的房间，宾馆每天需对每个房间支出50元的各种费用．（1）若某天宾馆的入住量为58个房间，则该天宾馆的利润为元；（2）求宾馆每天房间入住量达到多少个时，每天的利润为11000元．7．谊品生鲜超市在六月第三周购进“夏黑”和“阳光玫瑰”两种葡萄，已知“夏黑”葡萄的售价比“阳光玫瑰”葡萄的售价每千克少10元．（1）若六月第三周超市购进100千克的“夏黑”葡萄，“阳光玫瑰”葡萄的购进数量是“夏黑”葡萄购进数量的2倍，全部销售完后，销售额为17000元，则“夏黑”葡萄每千克的售价为多少元？（2）由于两种葡萄销量很好，六月第四周超市又购进了两种葡萄若干千克.6月24日，两种葡萄的售价与第三周的售价相同，其中“夏黑”葡萄与“阳光玫瑰”葡萄当天的销量之比为3：2，6月25日是端午节，超市决定调整销售方案，“夏黑”葡萄的售价每千克降价a%，销量比6月24日增加了2a%，“阳光玫瑰”葡萄的售价每千克上涨a%，销量比6月24日增加了a%，结果6月25日两种葡萄的总销售额比6月24日两种葡萄的总销售额增加了a%，求a的值（a＞0）．8．资料：公司营销区域面积是指公司营销活动范围内的地方面积，公共营销区域面积是指两家及以上公司营销活动重叠范围内的地方面积．材料：某地有A，B两家商贸公司（以下简称A，B公司）．去年下半年A，B公司营销区域面积分别为m平方千米，n平方千米，其中m＝3n，公共营销区域面积与A公司营销区域面积的比为；今年上半年，受政策鼓励，各公司决策调整，A公司营销区域面积比去年下半年增长了x%，B公司营销区域面积比去年下半年增长的百分数是A公司的4倍，公共营销区域面积与A公司营销区域面积的比为，同时公共营销区域面积与A，B两公司总营销区域面积的比比去年下半年增加了x个百分点．问题：（1）根据上述材料，针对去年下半年，提出一个你喜欢的数学问题（如求去年下半年公共营销区域面积与B公司营销区域面积的比），并解答；（2）若同一个公司去年下半年和今年上半年每平方千米产生的经济收益持平，且A公司每半年每平方千米产生的经济收益均为B 公司的1.5倍，求去年下半年与今年上半年两公司总经济收益之比．9．为了满足市场上的口罩需求，某厂购进A、B两种口罩生产设备若干台，已知购买A种口罩生产设备共花费360万元，购买B种口罩生产设备共花费480万元．购买的两种设备数量相同，且两种口罩生产设备的单价和为140万元．（1）求A、B两种口罩生产设备的单价；（2）已知该厂每生产一盒口罩需要各种成本40元，如果按照每盒50元的价格进行销售，每天可以售出500盒．后来经过市场调查发现，若每盒口罩涨价1元，则口罩的销量每天减少20盒，要保证每天销售口罩盈利6000元，且规避过高涨价风险，则每盒口罩可涨价多少元？10．暑假期间，某景区商店推出销售纪念品活动，已知纪念品每件的进货价为30元，经市场调研发现，当该纪念品的销售单价为40元时，每天可销售280件；当销售单价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．[销售利润＝销售总额﹣进货成本）（1）若该纪念品的销售单价为45元时，则当天销售量为件．（2）当该纪念品的销售单价为多少元时，该产品的当天销售利润是2610元．（3）该纪念品的当天销售利润有可能达到3700元吗？若能请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由．11．一家水果店以每斤12元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤14元的价格出售，每天可售出100斤，通过调査发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤．（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是多少斤（用含x的代数式表示）（2）销售这种水果要想每天盈利300元，且保证每天至少售出260斤，那么水果店需将每斤的售价降低多少元？12．学海书店购一批故事书进行销售，其进价为每本40元，如果按每本故事书50元进行出售，每月可以售出500本故事书，后来经过市场调查发现，若每本故事书涨价1元，则故事书的销量每月减少20本．（1）若学海书店要保证每月销售此种故事书盈利6000元，同时又要使购书者得到实惠，则每本故事书需涨价多少元？（2）若使该故事书的月销量不低于300本，则每本故事书的售价应不高于多少元？13．某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，每箱每降价1元，平均每天可多售出20箱．（1）若每箱降价3元，每天销售该饮料可获利多少元？（2）若要使每天销售该饮料获利1400元，则每箱应降价多少元？（3）能否使每天销售该饮料获利达到1500元？若能，请求出每箱应降价多少元；若不能，请说明理由．14．缤纷科技节“玩出你的稀缺竞争力”是西大银翔一张亮丽的名片，创意无限“萝卜塔搭”就是活动项目之一，为了准备该项活动，学校到市场购买了胡萝卜和白萝卜，胡萝卜的单价是毎千克5元，白萝卜的单价是每千克2元，购买白萝卜的数量是购买胡萝卜数量的2倍，同时，为了控制成本，则买萝卜的总费用不超过450元．（1）学校最多可购买多少千克萝卜？（2）在学校购买胡萝卜最多的前提下，所购买的两种萝卜全部制作成的创意作品，并将创意作品进行销售．在制作中其他费用共花200元，学生们在成本价（购买萝卜的费用+其他费用）的基础上每件提高2a%（10＜a＜50）作为售价，但无人问津，于是学生们在售价的基础上降低a%出售．最终，在活动结束时作品全部卖完，且在本次活动中赚了a%，求a的值．15．6月19日是全国低碳日．低碳生活代表着更健康、更自然、更安全的生活．某低碳家居用品销售商在第一个月成批购进低碳厨房用品A的单价为20元，调查发现：低碳厨房用品A的预计销售单价是30元，则销售量是230件，而实际销售单价比预计销售单价每上涨1元，销售量就减少5件，每件低碳厨房用品A售价不能高于50元．（1）第一个月低碳厨房用品A的实际销售单价定为多少元时，它的销售利润恰好为3600元？（2）第二个月，销售商将继续购进350件低碳厨房用品A，销售单价比第一个月预计销售单价上涨了10%，进价比第一个月的进价上涨了0.2m%同时，销售商将另外购进m件低碳厨房用品B，且它的单价比第一个月购进低碳厨房用品A的进价低20%，销售单价为28元；低碳厨房用品B的数量不少于第二个月购进低碳厨房用品A的数量的2倍，且不超过800套．第二个月低碳厨房用品A、B的进货全部销售完后，销售商获得的总利润为Q，请问当m取何值时利润最大，并求出最大值．16．涡阳某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为60元，销售价为100元时，每天可售出30件，为了迎接“六一”儿童节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出3件．（1）若每件童装降价x元，每天可售出件，每件盈利元（用含x 的代数式表示）．（2）每件童装降价多少元时，能让利于顾客并且商家平均每天能赢利1800元．17．风筝又称“纸鸢”、“鸢儿”，放风筝是民间传统游戏之一，也是清明时节人们所喜爱的活动．小李打算抓住这一机遇，以每个20元的成本制作了30个风筝，再以每个40元的价格售出，很快就被一抢而空，于是小李计划加紧制作第二批风筝．（1）预计第二批风筝的成本是每个15元，仍以原价出售，若两批风筝的总利润不低于2850元，则第二批至少应该制作多少个风筝？（2）在实际制作过程中，小李按照（1）中风筝的最低数量进行制作，但制作风筝的成本比预期的15元多了a%（a＞10），于是小李决定将售价也提高a%，附近的商户受到小李的启发，也纷纷卖起了风筝，在市场冲击下，小李实际还剩下a%的风筝没卖出去，但仍然比第一次获利多1668元，求a的值．18．毎年6月，学校门口的文具店都会购进毕业季畅销商品进行销售．已知校门口“小光文具店“在5月份就售出每本8元的A种品牌同学录90本，每本10元的B种品牌同学录175本．（1）某班班长帮班上同学代买A种品牌和B种品牌同学录共27本，共花费246元，请问班长代买A种品牌和B种品牌同学录各多少本？（2）该文具店在6月份决定将A种品牌同学录每本降价3元后销售，B种品牌同学录每本降价a%（a＞0）后销售．于是，6月份该文具店A种品牌同学录的销量比5月份多了a%，B种品牌同学录的销量比5月份多了（a+20）%，且6月份A、B两种品牌的同学录的销售总额达到了2550元，求a的值．19．“西瓜足解渴，割裂青瑶肤”，西瓜为夏季之水果，果肉味甜，能降温去暑；种子含油，可作消遣食品；果皮药用，有清热、利尿、降血压之效．某西瓜批发商打算购进“黑美人”西瓜与“无籽”西瓜两个品种的西瓜共70000千克．（1）若购进“黑美人”西瓜的重量不超过“无籽”西瓜重量的倍，求“黑美人”西瓜最多购进多少千克？（2）该批发商按（1）中“黑美人”西瓜最多重量购进，预计“黑美人”西瓜售价为4元/千克；“无籽”西瓜售价为5元/千克，两种西瓜全部售完．由于存储条件的影响，“黑美人”西瓜与“无籽”西瓜分别有a%与a%的损坏而不能售出．天气逐渐炎热，西瓜热卖，“黑美人”西瓜的销售价格上涨a%，“无籽”西瓜的销售价格上涨a%，结果售完之后所得的总销售额比原计划下降了3000元，求a的值．20．某商店经销甲、乙两种商品，已知一件甲种商品和一件乙种商品的进价之和为30元，每件甲种商品的利润是4元，每件乙种商品的售价比其进价的2倍少11元，小明在该商店购买8件甲种商品和6件乙种商品一共用了262元．（1）求甲、乙两种商品的进价分别是多少元？（2）在（1）的前提下，经销商统计发现，平均每天可售出甲种商品400件和乙种商品300件，如果将甲种商品的售价每提高0.1元，则每天将少售出7件甲种商品；如果将乙种商品的售价每提高0.1元，则每天将少售出8件乙种商品．经销商决定把两种商品的价格都提高a元，在不考虑其他因素的条件下，当a为多少时，才能使该经销商每天销售甲、乙两种商品获取的利润共2500元？参考答案1．解：（2）根据题意得：（1﹣x）（100x+30）＝40，整理得：10x2﹣7x+1＝0，解得：x1＝0.2，x2＝0.5．答：当x为0.2或0.5时，才能使该文具店每天卖2B铅笔获取的利润为40元．（2）根据题意得：（1﹣x）（100x+30）＝50，整理得：10x2﹣7x+2＝0，△＝b2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4×10×2＝﹣31＜0．答：该文具店每天卖2B铅笔获取的利润不可以达到50元．2．解：（1）设1桶洗涤剂的售价为x元，1桶消毒水的售价为y元，依题意，得：，解得：．答：1桶洗涤剂的售价为元，1桶消毒水的售价为元．（2）依题意，得：[（1+m%）+5]×2（1+2m%）+[（1+50%）+10]×（4+）＝4×（×2+×4）﹣m，整理，得：13m2+6600﹣357500＝0，解得：m1＝，m2＝（不合题意，舍去）．答：m的值为．3．解：（1）4400+400+（5400﹣4400）×6＝10800（元）．答：该专卖网店国外销售空气净化器第一周的售价是每台10800元．（2）第一周国内（国外）的销售数量为1000000÷（5400﹣4400）＝1000（台）．依题意，得：10800（1+a%）[10000﹣1000﹣1000﹣1000（1+5a%）]﹣5400（1﹣a%）×1000（1+5a%）＝69930000，整理，得：a2﹣100＝0，解得：a1＝10，a2＝﹣10（不合题意，舍去）．答：a的值为10．4．解；设售价为x元，据题意得（x﹣8）（200﹣10×）＝640，化简得x2﹣28x+192＝0，解得x1＝12，x2＝16，又∵x﹣8≤8×60%，∴x≤12.8，∴x＝16不合题意，舍去，∴x＝12，200﹣10×＝160（件）．答：商店应将售价定为12元，才能使每天利润为640元，商店应进货160件．5．解：（1）设5月份，蛋黄肉粽的销售数量是x千克，白粽的销售数量是y千克，依题意，得：，解得：．答：5月份，蛋黄肉粽的销售数量是60千克．（2）依题意，得：30（1﹣a%）×60（1+a%）+20×40（1+a%）＝2600（1+a%），整理，得：a2﹣50a＝0，解得：a1＝0（不合题意，舍去），a2＝50．答：a的值为50．6．解：（1）[200+10×（60﹣58）﹣50]×58＝9860（元）．故答案为：9860．（2）设每个房间每天的定价增加了x元，则每天可入住（60﹣）个房间，依题意，得：（60﹣）（200+x﹣50）＝11000，化简得：x2﹣450x+20000＝0，解得：x1＝50，x2＝400，∴60﹣＝55或20．答：每天房间入住量达到55个或20个时，利润为11000元．7．解：（1）设“夏黑”葡萄每千克的售价为x元，则“阳光玫瑰”葡萄每千克的售价为（x+10）元，依题意，得：100x+2×100（x+10）＝17000，解得：x＝50．答：“夏黑”葡萄每千克的售价为50元．（2）设6月24日，“夏黑”葡萄的销量为3m千克，则“阳光玫瑰”葡萄的销量为2m千克，依题意，得：50（1﹣a%）×3m（1+2a%）+（50+10）（1+a%）×2m（1+a%）＝[50×3m+（50+10）×2m]×（1+a%），整理，得：a2﹣25a＝0，解得：a1＝0（不合题意，舍去），a2＝25．答：a的值为5．8．解：（1）问题：求去年下半年公共营销区域面积与B公司营销区域面积的比？3n×＝，n：n＝；（2）依题意有×3n（1+x%）＝[3n（1+x%）+n（1+4x%）﹣×3n（1+x%）][3n×÷（3n+n﹣n+x%]，100（x%）2+45x%﹣13＝0，解得x%＝20%，x%＝﹣65%（舍去），设B公司每半年每平方千米产生的经济收益为a，则A公司每半年每平方千米产生的经济收益为1.5a，今年上半年两公司总经济收益为1.5a×3n×（1+20%）+an×（1+4×20%）＝7.2na，去年下半年两公司总经济收益为1.5a×3n+an＝5.5na，故去年下半年与今年上半年两公司总经济收益之比为（5.5na）：（7.2na）＝55：72．故去年下半年与今年上半年两公司总经济收益之比为55：72．9．解：（1）设A种口罩生产设备的单价为x万元，则B种口罩生产设备的单价为（140﹣x）万元，依题意有＝，解得x＝60，经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意，则140﹣x＝140﹣60＝80．答：A种口罩生产设备的单价为60万元，则B种口罩生产设备的单价为80万元；（2）设每盒口罩可涨价m元，依题意有（50﹣40+m）（500﹣20m）＝6000，解得m1＝5，m2＝10（舍去）．故每盒口罩可涨价5元．10．解：（1）280﹣（45﹣40）×10＝230（件）．故答案为：230．（2）设该纪念品的销售单价为x元（x＞40），则当天的销售量为[280﹣（x﹣40）×10]件，依题意，得：（x﹣30）[280﹣（x﹣40）×10]＝2610，整理，得：x2﹣98x+2301＝0，整理，得：x1＝39（不合题意，舍去），x2＝59．答：当该纪念品的销售单价为59元时，该产品的当天销售利润是2610元．（3）不能，理由如下：设该纪念品的销售单价为y元（y＞40），则当天的销售量为[280﹣（y﹣40）×10]件，依题意，得：（y﹣30）[280﹣（y﹣40）×10]＝3700，整理，得：y2﹣98y+2410＝0．∵△＝（﹣98）2﹣4×1×2410＝﹣36＜0，∴该方程无解，即该纪念品的当天销售利润不能达到3700元．11．解：（1）由题意可得，每天的销售量是：100+＝（200x+100）（斤），即将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是（200x+100）斤；（2）由题意可得，，解得，x＝1，即水果店需将每斤的售价降低1元．12．（1）解：设每本故事书需涨价x元，由题意，得（x+50﹣40）（500﹣20x）＝6000，解得x1＝5，x2＝10（不合题意，舍去）．答：每本故事书需涨5元；（2）解：设每本故事书的售价为m元，则500﹣20（m﹣50）≥300，解得，m≤60．答：每本故事书的售价应不高于60元．13．解：设每箱饮料降价x元，商场日销售量（100+20x）箱，每箱饮料盈利（12﹣x）元；（1）依题意得：（12﹣3）（100+20×3）＝1440（元）答：每箱降价3元，每天销售该饮料可获利1440元；（2）要使每天销售饮料获利1400元，依据题意列方程得，（12﹣x）（100+20x）＝1400，整理得x2﹣7x+10＝0，解得x1＝2，x2＝5；∵为了多销售，增加利润，∴x＝5，答：每箱应降价5元，可使每天销售饮料获利1400元．（3）不能，理由如下：要使每天销售饮料获利1500元，依据题意列方程得，（12﹣x）（100+20x）＝1500，整理得x2﹣7x+15＝0，因为△＝49﹣60＝﹣11＜0，所以该方程无实数根，即不能使每天销售该饮料获利达到1500元．14．解：（1）设学校可购买x千克胡萝卜，则购买2x千克白萝卜，根据题意得：5x+2×2x≤450，解得：x≤50．3x≤150，答：学校最多可购买150千克萝卜．（2）设y＝a%，根据题意得：（200+450）×（1+2y）（1﹣y）＝（200+450）×（1+y），整理得：4y2﹣y＝0，解得：y＝0.25或y＝0（舍去），∴a%＝0.25，a＝25．答：a的值为25．15．解：（1）设实际销售单价比预计销售单价上涨x元，根据题意得：（30+x﹣20）（230﹣5x）＝3600，整理得：x2﹣36x+260＝0，解得：x1＝10，x2＝26，∵每件低碳厨房用品A售价不能高于50元，26+30＝56（元）＞50元，∴x2＝26，不合题意舍去，10+30＝40（元），∴第一个月低碳厨房用品A的实际销售单价定为40元；答：第一个月低碳厨房用品A的实际销售单价定为40元时，它的销售利润恰好为3600元；（2）根据题意得：Q＝350[30（1+10%）﹣20（1+0.2m%）]+m[28﹣20（1﹣20%）]＝4550﹣2m，∵低碳厨房用品B的数量不少于第二个月购进低碳厨房用品A的数量的2倍，且不超过800套，∴700≤m≤800，当m＝700时，Q值最大，Q＝4550﹣2×700＝3150（元）．答：当m取700时利润最大，最大值为3150元．16．解：（1）设每件童装降价x元时，每天可销售（30+3x）件，每件盈利（40﹣x）元，故答案为：（30+3x），（40﹣x）；（2）根据题意，得：（30+3x）（40﹣x）＝1800解得：x1＝20，x2＝10．因为让利于顾客，所以x＝20符合题意．答：每件童装降价20元，平均每天赢利1800元．17．解：（1）设第二批制作x个风筝，（40﹣15）x+（40﹣20）×30≥2850，解得，x≥90，答：第二批至少应该制作90个风筝；（2）[40（1+a%）﹣15（1+a%）]×90（1﹣a%）﹣15（1+a%）×90×a%﹣（40﹣20）×30＝1668，解得，a＝20或a＝5（舍去），答：a的值是20．18．解：（1）设班长代买A种品牌同学录x本，B种品牌同学录y 本，依题意，得：，解得：．答：班长代买A种品牌同学录12本，B种品牌同学录15本．（2）依题意，得：（8﹣3）×90（1+a%）+10（1﹣a%）×175[1+（a+20）%]＝2550，整理，得：a2﹣20a＝0，解得：a1＝20，a2＝0（舍去）．答：a的值为20．19．解：（1）设购进“黑美人”西瓜x千克，则购进“无籽”西瓜（7000﹣x）千克，依题意，得：x≤（70000﹣x），解得：x≤40000．答：“黑美人”西瓜最多购进40000千克．（2）依题意，得：4×（1+a%）×40000×（1﹣a%）+5×（1+a%）×（70000﹣40000）×（1﹣a%）＝4×40000+5×（70000﹣40000）﹣3000，整理，得：a2+50a﹣600＝0，解得：a1＝10，a2＝﹣60（舍去）．答：a的值为10．20．解：（1）设甲种商品的进价是x元，乙种商品的进价是y元，依题意有，解得．故甲种商品的进价是16元，乙种商品的进价是14元；（2）依题意有：（400﹣10a×7）（4+a）+（300﹣10a×8）（14×2﹣11﹣14+a）＝2500，整理，得150a2﹣180a＝0，解得a1＝，a2＝0（舍去）．故当a为时，才能使该经销商每天销售甲、乙两种商品获取的利润共2500元．。
人教版九年级数学上册22.3 第2课时 商品利润最大问题同步测试题附答案
第2课时 商品利润最大问题知识点1、二次函数常用来解决最优化的问题，这个问题实质是求函数的最大（小）值。
2、抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点是它的最高（低）点，当x=2b a - 时，二次函数有最大（小）值y=244ac b a-。
一、选择题1、进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价。
若设平均每次降价的百分率是x ，降价后的价格为y 元，原价为a 元，则y 与x 之间的函数关系式为（ ）A 、2(1)y a x =-B 、2(1)y a x =-C 、2(1)y a x =-D 、2(1)y a x =-2、某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价。
若每件商品的售价为x元，则可卖处(350-10x)件商品。
商品所获得的利润y 元与售价x 的函数关系为（ ）A 、2105607350y x x =--+B 、2105607350y x x =-+-C 、210350y x x =-+D 、2103507350y x x =-+-3、某产品的进货价格为90元，按100元一个售出时，能售500个，如果这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为了获得最大利润，其定价应定为（ ）A 、130元B 、120元C 、110元D 、100元4、小明在跳远比赛中跳出了满意的一跳，函数23.54.9h t t =-（t 单位s ，h 单位m ）可用来描述她的重心的高度变化，则她从起跳后到重心处于最高位置时所用的时间是（ ）A 、0.71sB 、0.70sC 、0.63sD 、0.36s5、如图，正△ABC 的边长为3cm ，动点P 从点A 出发，以每秒1cm 的速度，沿A →B →C 的方向运动，到达点C 时停止，设运动时间为x （秒），2y PC =，则y 关于x 的函数图像大致为（ ）A B 第5题 C D6、已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像如图所示，现有下列结论：①abc ＞0；②24b ac -＜0；③c ＜4b ；④a+b ＞0.则其中正确的结论的个数是（ ）A 、1B 、2C 、3D 、47、如图，已知：正方形ABCD 边长为1，E 、F 、G 、H 分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH ，设小正方形EFGH 的面积为s ，AE 为x ，则s 关于x 的函数图象大致是（ ）A B C 第7题 D8、某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，为节约资源，现要按图中所示的方法从这些边角料上截取矩形（阴影部分）片备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x 、y 应分别为（ ）A 、x=10,y=14B 、x=14,y=10C 、x=12,y=15D 、x=15,y=12第6题 第8题二、填空题1、已知卖出盒饭的盒数x （盒）与所获利润y （元）满足关系式：21200357600y x x =-+-，则卖出盒饭数量为 盒时，获得最大利润为 元。
人教版九年级数学上册利润问题
22.3.2 利润问题
(2) 销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？
(2)显然，当y=16时，x1=7、x2=13. ∵y=-x+20x-75图象的对称轴为x=10， ∴点（7,16）关于对称轴的对称点为（13,16）, 结合图象分析得， 销售单价在7 ≤x ≤13时，利润不低于16元.
解:(1)设y与x的函数关系式为y＝kx+b(k≠0),代入
4k b 10000 5k b 9500
k -500 ，解得 b 12000 .
∴y＝-500x+12 000；
22.3.2 利润问题
(2)在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/
件．若某一周该商品的销售量不少于6 000件，求这一周该商场销
60-40 (60-40-x)
销售量(件)
300 (300+20x)
每星期利润(元) 6000
(60-40-x)(300+20x)
建立函数关系式：y = (60-40-x)(300+20x)， 即：y = -20x2+100x+6000.
22.3.2 利润问题
②自变量x的取值范围如何确定？
营销规律是价格下降，销量上升，因此需要考虑单件利润不为负， 故 20-x ≥ 0，且x ≥ 0，因此自变量的取值范围是0 ≤ x ≤20.
22.3.2 利润问题
22.3.2 利润问题
归纳 求解最大利润问题的一般步骤
1. 建立利润与价格之间的函数关系式：运用“总利润= 总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量”; 2. 结合实际意义，确定自变量的取值范围； 3. 在自变量的取值范围内确定最大利润： 可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数 的简图，利用简图和性质求出.
人教版九年级数学上知识点深度解析第2课时 商品利润最大问题
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3. 教材P51习题T2变式某种商品每件进价为20元，调 查表明：在某段时间内若以每件 x 元（20≤ x ≤30， 且 x 为整数）出售，可卖出（30－ x ）件.若使利润最 大，每件的售价应为 25 元.
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4. 教材P50探究2变式一件工艺品进价为100元，以 标价135元售出，每天可售出100件.根据销售统计， 一件工艺品每降价1元，则每天可以多售出4件.要使 日利润最大，则每件应降价 5 元.
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Hale Waihona Puke 谢谢观看运用策略常见的关系式： 商品 ①商品利润＝商品售价－商品进价； 利润 ②商品利润、进价、利润率之间的关系： 最大 商品利润÷商品进价＝商品利润率； 问题 ③标价＝进价×（1＋提高率）；
④实际售价＝标价×打折率.
当堂检测
1. 某超市销售一种商品，发现一周利润 y （元）与销
售单价 x （元）之间的关系满足 y ＝－2（ x －20）2＋
1558，由于某种原因，销售单价只能为15≤ x ≤22，
那么一周可获得最大利润是（ A ）
A. 1558元
B. 1550元
C. 1508元
D. 20元
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2. 某超市销售一种商品，每件成本为50元，超市的销 售经理经调查发现，该商品每月的销售量 y （件）与销 售单价 x （元）之间满足函数关系式 y ＝－5 x ＋550.若 设该商品每月所获利润为 w （元），则 w 与 x 之间化简 后的函数关系式为 w ＝－5 x2＋800 x －27500 ， w 的 最大值为 4500 .
第二十二章 二次函数
22.3 实际问题与二次函数 第2课时 商品利润最大问题
要点归纳
九年级数学上册二次函数的应用——最大利润问题同步练习及答案
最大利润问题——典型题专项训练知识点 1 利润最大化问题1．毕节某旅行社在十一黄金周期间接团去外地旅游，经计算所获营业额y(元)与旅行团人员x(人)之间满足关系式y＝－x2＋100x＋28400，要使所获营业额最大，则旅行团应有( )A．30人B．40人C．50人D．55人2．一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件．根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为( )A．5元B．10元C．0元D．36元3．2017·贵阳模拟某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y(件)与销售单价x(元/件)符合一次函数y＝kx＋b，且x＝65时，y＝55；x＝75时，y＝45.(1)求一次函数y＝kx＋b的表达式．(2)若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少时，商场可获得最大利润，最大利润是多少？知识点 2 利用二次函数的最值解决其他实际问题4．两个数的和为6，这两个数的积最大可以达到________．5．某果园有90棵橘子树，平均每棵树结520个橘子．根据经验估计，每多种一棵橘子树，平均每棵树就会少结4个橘子．设果园里增种x棵橘子树，橘子总个数为y个，则果园里增种________棵橘子树时，橘子总个数最多．6．生物学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测量出这种植物高度的增长情况(如下表)．科学家经过猜想，推测出y与x之间是二次函数关系．(1)求y与x之间的函数表达式；(2)推测最适合这种植物生长的温度，并说明理由．图2－4－127．如图2－4－13所示，正方形ABCD的边长为4，E，F分别是边BC，CD上的两个动点，且AE⊥EF，则AF的最小值是________．图2－4－138．在端午节前夕，三位同学到某超市调研一种进价为2元的粽子的销售情况．请根据小丽提供的信息，解答小明和小华提出的问题．图2－4－149．经市场调查，某种商品在第x天的售价与销量的相关信息如下表：已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品每天的利润为y元．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)销售该商品第几天时，当天销售利润最大？最大利润是多少？10．东坡商贸公司购进某种水果的成本为20元/千克，经过市场调研发现，这种水果在未来48天的销售单价p(元/千克)与时间t(天)之间的函数关系式为p＝\f(1412)t＋48（25≤t≤48，t为整数），且其日销售量y(千克)与时间t(天)的关系如下表：(1)已知y与t之间的变化规律符合一次函数关系，试求在第30天的日销售量是多少；(2)问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？(3)在实际销售的前24天中，公司决定每销售1千克水果就捐款n元利润(n<9)给“精准扶贫”对象．现发现：在前24天中，每天扣除捐款后的日销售利润随时间t的增大而增大，求n的取值范围．详解1．C 2.A3．解：(1)根据题意，得65k＋b＝55，75k＋b＝45，)解得k＝－1，b＝120.)∴一次函数的表达式为y＝－x＋120.(2)根据题意，得W＝(x－60)(－x＋120)＝－x2＋180x－7200＝－(x－90)2＋900.∵抛物线的开口向下，∴当x＜90时，W随x的增大而增大，而60≤x≤87，∴当x＝87时，W最大＝－(87－90)2＋900＝891.∴当销售单价定为87元/件时，商场可获得最大利润，最大利润是891元．4．95．20 [解析] 设果园里增种x棵橘子树，那么果园里共有(x＋90)棵橘子树，∵每多种一棵树，平均每棵树就会少结4个橘子，∴平均每棵树结(520－4x)个橘子．∴y＝(x＋90)(520－4x)＝－4x2＋160x＋46800，∴当x＝－b2a＝－1602×（－4）＝20时，y最大，橘子总个数最多．6．解：(1)设y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，选(0，49)，(2，41)，(－2，49)代入后得方程组c＝49，4a－2b＋c＝49，4a＋2b＋c＝41，解得a＝－1，b＝－2，c＝49，∴y与x之间的函数表达式为y＝－x2－2x＋49.(2)最适合这种植物生长的温度是－1 ℃.理由：由(1)可知，当x＝－b2a＝－1时，y取最大值50，即说明最适合这种植物生长的温度是－1 ℃.7．5 [解析] 在Rt△ADF中，AF2＝AD2＋DF2＝42＋(4－CF)2，若AF最小，则CF最大．设BE＝x，CF＝y，∵∠B＝∠AEF＝90°，则∠BAE＋∠AEB＝∠FEC＋∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠FEC，∴△ABE∽△ECF，∴ABEC＝BECF，即44－x＝xy，化简得y＝－x2＋4x4＝－14(x－2)2＋1，∴当x＝2时，y有最大值为1，此时DF最小，为3，由勾股定理得到AF＝AD2＋DF2＝5.8．解：(1)小华的问题解答：设利润为W元，每个定价为x元，则W＝(x－2)·[500－100(x－3)]＝－100x2＋1000x －1600＝－100(x－5)2＋900.当W＝800时，解得x＝4或x＝6，又因为2×240%＝4.8(元)，所以x＝6不符合题意，舍去，故每个定价为4元时，每天的利润为800元．(2)小明的问题解答：当x＜5时，W随x的增大而增大．所以当x＝4.8时，W最大，为－100(4.8－5)2＋900＝896(元)．所以800元销售利润不是最多，每个定价为4.8元时，才会使每天利润最大．9．解：(1)当1≤x＜50时，y＝(200－2x)(x＋40－30)＝－2x2＋180x＋2000；当50≤x≤90时，y＝(200－2x)(90－30)＝－120x＋12000.(2)当1≤x＜50时，二次函数图象的开口向下，对称轴为直线x＝－b2a＝45，∴当x＝45时，y最大＝－2×452＋180×45＋2000＝6050；当50≤x≤90时，y随x的增大而减小，∴当x＝50时，y最大＝－120×50＋12000＝6000.综上所述，销售该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元．10．解：(1)依题意，得y＝120－2t.当t＝30时，y＝120－60＝60.答：在第30天的日销售量为60千克．(2)设日销售利润为W元，则W＝(p－20)y.当1≤t≤24时，W＝(14t＋30－20)(120－2t)＝－12t2＋10t＋1200＝－12(t－10)2＋1250.当t＝10时，W最大＝1250.当25≤t≤48时，W＝(－12t＋48－20)(120－2t)＝t2－116t＋3360＝(t－58)2－4.由二次函数的图象及性质知，当t＝25时，W最大＝1085.∵1250>1085，∴在第10天的销售利润最大，最大日销售利润为1250元．(3)依题意，得每天扣除捐款后的日销售利润W＝(14t＋30－20－n)(120－2t)＝－12t2＋2(n＋5)t＋1200－120n.其图象对称轴为直线t＝2n＋10，要使W随t的增大而增大．由二次函数的图象及性质知，2n＋10≥24，解得n≥7.又∵n<9，∴7≤n<9.。
【初中数学】第2课时 最大利润问题 [人教版九年级上册] (练习题)
第2课时最大利润问题[人教版九年级上册] (2912) 1.某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y(个)与销售单价x(元/个)有如下关系：y=−x+60(30≤x≤60)．设这种双肩包每天的销售利润为w元．(1)求w与x之间的函数关系式；(2)这种双肩包的销售单价定为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？(3)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于42元/个，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，那么销售单价应定为多少？2.某厂家生产一批遮阳伞，每个遮阳伞的成本价是20元，试销售时发现：遮阳伞每天的销售量y（个）与销售单价x（元）之间是一次函数关系，当销售单价为28元时，每天的销售量为260个；当销售单价为30元时，每天的销量为240个．(1)求遮阳伞每天的销出量y个)与销售单价x（元）之间的函数关系式；(2)设遮阳伞每天的销售利润为w（元），当销售单价定为多少元时，才能使每天的销售润最大？最大利润是多少元？3.将进货价为70元/件的某种商品按零售价100元/件出售时每天能卖出20件，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1件，为了获得最大利润决定降价x元，则单件的利润为元，每日的销售量为件，每日的利润y=(写出自变量的取值范围)，所以每件降价元时，每日获得的最大利润为元．4.某超市经销一种商品，每件成本为50元．经市场调研，当该商品每件的销售价为60元时，每个月可销售300件，若每件的销售价每增加1元，则每个月的销售量将减少10件．设该商品每件的销售价为x元，每个月的销售量为y件．(1)求y与x的函数表达式；(2)当该商品每件的销售价为多少元时，每个月的销售利润最大？最大利润是多少？5.某商店销售某件商品所获得的利润y(元)与所卖的件数x之间的关系满足y=−x2+1000x−200000，则当0<x⩽450时的最大利润为（）A.2500元B.47500元C.50000元D.250000元6.鄂尔多斯市某宾馆共有50个房间供游客居住，每间房价不低于200元且不超过320元、如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．已知每个房间定价x（元）和游客居住房间数y（间）符合一次函数关系，如图是y关于x的函数图象．(1)求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；(2)当房价定为多少元时，宾馆利润最大？最大利润是多少元？7.红星公司销售一种成本为40元/件产品，若月销售单价不高于50元/件，一个月可售出5万件；月销售单价每涨价1元，月销售量就减少0.1万件.其中月销售单价不低于成本.设月销售单价为x(单位：元/件)，月销售量为y(单位：万件).(1)直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)当月销售单价是多少元时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？(3)为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售1件产品便向大别山区捐款a元.已知该公司捐款当月的月销售单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万元，求a的值.参考答案1(1)【答案】解：w=(x−30)·y=(x−30)·(−x+60)=−x2+90x−1800，∴w与x之间的函数关系式为w=−x2+90x−1800(30≤x≤60)．(2)【答案】w=−x2+90x−1800=−(x−45)2+225.∵−1<0，∴当x=45时，w有最大值，w的最大值为225.答：这种双肩包的销售单价定为45元/个时，每天的销售利润最大，最大利润为225元．(3)【答案】当w=200时，可得方程−(x−45)2+225=200.解得x1=40，x2=50.∵50>42，∴x2=50不符合题意，应舍去．答：该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元/个．2(1)【答案】解：设函数关系式为y=kx+b，，由题意可得：{260=28k+b240=30k+b，解得：{k=−10b=540∴函数关系式为y=−10x+540；【解析】:设函数关系式为y=kx+b，由当销售单价为28元时，每天的销售量为260个；当销售单价为30元时，每天的销量为240个．可列方程组，即可求解；(2)【答案】由题意可得：w=(x−20)y=(x−20)(−10x+540)=−10(x−37)2+2890，∵−10<0，∴当x=37时，W有最大值为2890，答：当销售单价定为37元时，才能使每天的销售润最大，最大利润是2890元．【解析】:由每天销售利润=每个遮阳伞的利润x销售量，列出函数关系式，由二次函数的性质可求解．3.【答案】:(30−x)；(20+x)；−x2+10x+600(0⩽x⩽30，且x为整数)；5；625【解析】:根据题意用x表示出单件的利润、日销售量、日利润，进而根据二次函数的性质，求出每日获得的最大利润4(1)【答案】解：根据题意，y＝300﹣10（x﹣60）=−10x+900，∴y与x的函数表达式为：y＝−10x+900；【解析】:根据等量关系“利润=（售价−进价）×销量”列出函数表达式即可．(2)【答案】设利润为w，由（1）知：w＝（x﹣50）（−10x+900）=﹣10x2＋1400x﹣45000，∴w＝﹣10（x﹣70）2＋4000，∴每件销售价为70元时，获得最大利润；最大利润为4000元．【解析】:根据（1）中列出函数关系式，配方后依据二次函数的性质求得利润最大值．5.【答案】:B【解析】:因为抛物线的对称轴为直线x=500，在对称轴左侧,y随x的增大而增大，因此在0<x⩽450的范围内，当x=450时，函数有最大值为475006(1)【答案】解：由题意，设y关于x的函数解析式为y＝kx+b，把（280，40），（290，39）代入得：{280k+b=40290k+b=39，解得：{k=−1 10b=68，∴y与x之间的函数解析式为y=−110x+68（200≤x≤320）；【解析】:根据图象设y关于x的函数解析式为y＝kx+b，然后用待定系数法求函数解析式即可；(2)【答案】设宾馆的利润为w元，则w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（−110x+68）=−110x2+70x﹣1360=−110（x﹣350）2+10890，∵−1<0，10∴当x＜350时，w随x的增大而增大，∵200≤x≤320，∴当x＝320时，w取得最大值，最大值为10800元，答：当每间房价定价为320元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是10800元．【解析】:根据宾馆利润数＝单个房间的利润×游客居住房间数，列出二次函数的关系式，再根据二次函数的性质解决问题．7(1)【答案】解：由题知，y=5−(x−50)×0.1，整理得y=10−0.1x（40≤x≤100）；【解析】:根据题意写出销售量和销售单价之间的关系式即可；(2)【答案】设月销售利润为z，由题知，z=(x−40)y=(x−40)(10−0.1x)=−0.1x2+14x−400=−0.1(x−70)2+90，∴当x=70时，z有最大值为90，即当月销售单价是70元时，月销售利润最大，最大利润是90万元；【解析】:根据销售量和销售单价之间的关系列出销售利润和单价之间的关系式求最值即可；(3)【答案】由(2)知，当月销售单价是70元时，月销售利润最大，即(70−40−a)×(10−0.1×70)=78，解得a=4，∴a的值为4.【解析】:根据(2)中的函数和月销售单价不高于70元/件的取值范围，确定a值即可．。