专训1 活用乘法公式进行计算的六种技巧(3)

专训1 活用乘法公式进行计算的六种技巧名师点金：乘法公式是指平方差公式和完全平方公式，公式可以正用，也可以逆用．在使用公式时，要注意以下几点：(1)公式中的字母a，b可以是任意一个式子；(2)公式可以连续使用；(3)要掌握好公式中各项的关系及整个公式的结构特点；(4)在运用公式时要学会运用一些变形技巧．

巧用乘法公式的变形求式子的值

1．已知(a＋b)2＝7，(a－b)2＝4.求a2＋b2和的值．

2．已知x＋＝3，求x4＋的值．

巧用乘法公式进行简便运算

3．计算：

(1)2 0172－2 016×2 018；

(2)×××…××

；

(3)1002－992＋982－972＋…＋42－32＋22－12.

巧用乘法公式解决整除问题

4．对任意正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)是不是10的倍数？为什么？

应用乘法公式巧定个位数字

5．试求(2＋1)(22＋1)(24＋1)·…·(232＋1)＋1的个位数字．

巧用乘法公式解决复杂问题(换元法)

6．计算的值．

巧用乘法公式解决实际问题(分类讨论思想)

7．王老师在一次团体操队列队形设计中，先让全体队员排成一方阵(行与列的人数一

样多的队形，且总人数不少于25人)，人数正好够用，然后再进行各种队形变化，其中一个队形需分为5人一组，手执彩带变换图形，在讨论分组方案时，有人说现在的队员人数按5人一组分将多出3人，你说这可能吗？

答案

1．解：(a＋b)2＝a2＋2＋b2＝7，

(a－b)2＝a2－2＋b2＝4，

所以a2＋b2＝×(7＋4)＝×11＝，

＝×(7－4)＝×3＝.

2．解：因为x＋＝3，所以＝9，

所以x2＋＝7，所以＝49，所以x4＋＝47.

3．解：(1)原式＝2 0172－(2 017－1)×(2 017＋1)

＝2 0172－(2 0172－12)

＝2 0172－2 0172＋1

＝1.

(2)原式＝××××××…××××

＝××××××…××××

＝×

＝.

(3)原式＝＋(982－972)＋…＋(22－12)

＝(100＋99)×(100－99)＋(98＋97)×(98－97)＋…＋(2＋1)×(2－1)

＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1

＝

＝5 050.

4．解：对任意正整数n，整式(3n＋1)·(3n－1)－(3－n)(3＋n)是10的倍数，理由如下：(3n＋1)·(3n－1)－(3－n)(3＋n)＝(3n)2－1－(32－n2)＝9n2－1－9＋n2＝10n2－10＝10(n2－1)．

∵对任意正整数n，10(n2－1)是10的倍数，∴(3n＋1)·(3n－1)－(3－n)·(3＋n)是10的倍数．

5．解：(2＋1)(22＋1)(24＋1)·…·(232＋1)＋1

＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)·…·(232＋1)＋1

＝(22－1)(22＋1)(24＋1)·…·(232＋1)＋1

＝…

＝(264－1)＋1＝264＝(24)16＝1616.

因此个位数字是6.

6．解：设20 182 017＝m，则原式

＝

＝

＝

＝.

7．解：总人数可能为(5n)2人，(5n＋1)2人，(5n＋2)2人，(5n＋3)2人，(5n＋4)2人．(n为正整数) (5n)2＝5n·5n；

(5n＋1)2＝25n2＋10n＋1＝5(5n2＋2n)＋1；

(5n＋2)2＝25n2＋20n＋4＝5(5n2＋4n)＋4；

(5n＋3)2＝25n2＋30n＋9＝5(5n2＋6n＋1)＋4；

(5n＋4)2＝25n2＋40n＋16＝5(5n2＋8n＋3)＋1.

由此可见，无论哪一种情况总人数按每组5人分，要么不多出人数，要么多出的人数只可能是1人或4人，不可能是3人．